Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нөхцөлгүй системүүд. Крыловын дэд орон зайг ашиглан шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нөхцөл муутай сийрэг системийг шийдвэрлэх

Лабораторийн ажил No3

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нөхцөлгүй системийг шийдвэрлэх

Тогтворжуулах арга

Оролтын параметрүүд: системийн n дараалалтай тэнцүү n эерэг бүхэл тоо; a нь системийн коэффициентүүдийн матрицыг агуулсан n x n бодит тооны массив; b - системийн чөлөөт нөхцлийн багана агуулсан n бодит тооны массив (b(1) = b 1, b(2)=b 2, …b(n)=b n) .

Гаралтын параметрүүд: x – системийн шийдэл; p- давталтын тоо.

Алгоритм диаграммыг Зураг 18-д үзүүлэв.

Програмын текст:

procedure regul(N:Integer;a:Tmatr;b:Tvector;var X:Tvector; var p:integer);

var a1,a2:matr; b1,b2,x0:твектор; альфа, s1, s: бодит; хамгийн их,eps:бодит; i,j,k,l:бүхэл тоо;

Out_Slau_T(n,a,b);

I:=1 To n Do (A T A хүлээн авах)

For K:=1 To N Do

For J:=1 To N Do S:=S+A*A;

I:=1 To N Do (A T B хүлээн авах)

J-ийн хувьд:=1 To N Do

Эхлэх S:=S+A*B[j];

альфа:=0; (анхны альфа утга)

k:=0; (давталтын тоо)

альфа:=альфа+0,01; inc(k); a2:=a1;

for i:=1 to N do a2:=a1+alfa; (A T A+alfa хүлээн авах)

for i:=1 to N do b2[i]:=b1[i]+alfa*x0[i]; (A T B+alfa хүлээн авах)

SIMQ(n,a2,b2,l);

a2:=a1; X:=b2; x0:=X; b2:=b1;

vozm(N,eps,a2,b2);

simq(n,a2,b2,l);

for i:=2 to n do

хэрэв abs(b2[i]-X[i])>max тэгвэл max:=abs(b2[i]-X[i]);

X1 = 1.981 X2 = 0.4735

Зураг 18 - Зохицуулах аргын алгоритмын схем

Зохицуулалтын аргыг ашиглан нөхцөл муутай системийг шийдвэрлэх даалгаврын хувилбаруудыг 3-р хүснэгтэд үзүүлэв.

Эргүүлэх арга (Өгсөн)

Алгоритм диаграммыг Зураг 19-д үзүүлэв.

Жишээ. Тэгшитгэлийн системийг шийдэх

Програмын текст:

ЖУРАМ Vrash;

Var I,J,K: Бүхэл тоо; M, L, R: Бодит; F1: TEXT; M1,M2 шошго;

Out_Slau_T(nn,aa,b);

for i:=1 to Nn do

I-ийн хувьд:=1-ээс Nn-1 Эхлэх

For K:=I+1 To Nn Do Эхлэх

Хэрэв (Aa0.0) Дараа нь M1 руу оч;Хэрэв (Аа0.0) Дараа нь M1 руу оч;

1:M:=Sqrt(Аа*Аа+Аа*Аа);

L:=-1.0*Аа/М;

М2: J:=1 To Nn Do Эхлэх

R:=M*Aa-L*Aa;

Аа:=Л*Аа+М*Аа;

R:=M*Aa-L*Aa;

Аа:=Л*Аа+М*Аа;

I:=Nn Downto 1 Do Begin-ийн хувьд

For K:=0 To Nn-I-1 Do Begin M:=M+Aa*Aa; Төгсгөл;

Аа:=(Аа-М)/Аа; Төгсгөл;

for i:=1 to Nn do x[i]:=Aa;End;

Хөтөлбөрийн дагуу хийсэн тооцоолол дараахь үр дүнд хүргэв.

X1 = 1.981 X2 = 0.4735

Зураг 19 - Гивенсийн аргын алгоритмын схем (эргэлт)

Даалгаврын сонголтууд

Хүснэгт 3

	Матриц А				Матриц А

Мэдлэгийн хяналтын 3-р лабораторийн ажлын сэдвийг хяналт, сургалтын хөтөлбөрөөр дүрслэн үзүүлэв.

Лабораторийн ажил No4

Шугаман бус тэгшитгэл, шугаман бус тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх

Энгийн давталтын арга

Лабораторийн ажлыг гүйцэтгэх журам:

Уусмалын тэг ойролцоо утгыг олох;

f(x) = 0 системийг x = Ф(x) хэлбэрт шилжүүлнэ;

Аргын нэгдэх нөхцөлийг шалгана уу.

Алгоритм диаграммыг Зураг 20-д үзүүлэв.

Жишээ. Энгийн давталтын аргыг ашиглан системийг шийднэ үү

Тэг орчимд бид x = 1, y = 2.2, z = 2 цэгийг сонгоно. Системийг хэлбэрт шилжүүлье.

Програмын текст:

ЖУРАМ Iteraz;

Var I,J,K,J1: Бүхэл тоо;

X2,X3,Eps: Бодит;

Бүлэг:=0.01; X2:=0.0; K:=1;

For J:=1 To Nn Do Эхлэх

I-ийн хувьд:=1 To Nn Do Begin S:=S+Aa*Xx[i]; Төгсгөл;

For J1:=1 To Nn Do Эхлэх Xx:=R; Төгсгөл; X3:=Xx;

I-ийн хувьд:=1 To Nn Do эхлэх бол (Xx[i]>=X3) Дараа нь X3:=Xx[i]; Төгсгөл;

I-ийн хувьд:=1 To Nn Do эхлэх Xx[i]:=Xx[i]/X3; Төгсгөл;

X1:=X3; U:=Abs(X2-X1); U1:=U/Abs(X1);

Хэрэв (U1>=Eps) бол X2:=X1;

((K>=50) эсвэл (U1) хүртэл

Хөтөлбөрийн дагуу хийсэн тооцоолол дараахь үр дүнд хүргэв.

X(1)= 1.1132 X(2)= 2.3718 X(3)= 2.1365

Давталтын тоо: 5

Зураг 20 - Энгийн давталтын аргын алгоритмын схем

Ньютоны арга

Програмыг аравны нэгээс илүүгүй дарааллын системийг шийдвэрлэхэд ашиглаж болно.

Оролтын параметрүүд: n - системийн тэгшитгэлийн тоо (үл мэдэгдэх тоотой давхцаж байна), n £ 10; шийдлийн анхны таамаглалыг агуулсан n бодит тооны x массив; f нь x массивын элементүүдэд байрлах өгөгдсөн x утгууд дээр үндэслэн f функцийн одоогийн утгуудыг тооцож, тэдгээрийг байрлуулдаг f(n, x, y) гадаад процедурын нэр юм. y массивын элементүүд; g - x массиваас өгөгдсөн x утгуудаас матрицын элементүүдийг тооцоолох гадаад процедурын нэр g(n, x, d)
n x n хэмжээст d массив дотор байрласан ; eps - давтагдах үйл явцыг дуусгах нөхцлийн утга.

Гаралтын параметрүүд: x - n бодит тооны массив (оролт гэж нэрлэдэг) нь дэд програмаас гарах үед шийдлийн ойролцоо утгыг агуулна; k нь давталтын тоо юм.

UDC 519.61:621.3

V.P. ВОЛОБОЕВ*, В.П. КЛИМЕНКО*

ФИЗИК БАЙГУУЛЛАГЫГ ТОДОРХОЙЛОХ ШУГААН АЛГЕБРИЙН ТЭГШИГЧИЛГЭЭНИЙ НӨХЦӨЛГҮЙ СИСТЕМИЙГ ШИЙДЭХ НЭГ АРГА ХЭМЖЭЭНИЙ ТУХАЙ

Украины Үндэсний Шинжлэх Ухааны Академийн Математикийн машин ба системийн асуудлын хүрээлэн, Киев, Украин

Хийсвэр. Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн (SLAR) системээр тодорхойлогддог физик объектуудыг загварчлах үр дүнгийн магадлал нь матрицын буруу зохион байгуулалтын үр дүнд биш, харин зангилааны потенциалын арга буюу түүний аналогийн аргыг ашиглан атираат түвшний үе шатанд хамгийн бага SLAR-ыг буруу сонгох, арга өөрөө Энэ нь даалгаврыг зөв тогтоох аргын гол зөрчил юм.Үүссэн SLAR-ын зөв эсэхийг шалгах арга. үүсээгүй тэгш хэмтэй матрицтай зангилааны потенциалын аргыг санал болгосон бөгөөд үүнийг зөв хэлбэрт шилжүүлэх шаардлагатай байна.

Түлхүүр үгс: систем, загварчлал, буруу тохируулга, буруу үндэслэл, шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн систем, зангилааны потенциалын арга, даалгаврыг зөв тогтоох арга, зөв ​​эсэхийг шалгах.

Тэмдэглэл. Дискрет загварыг шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн (SLAE) системээр тодорхойлсон физик объектуудыг загварчлах үр дүнгийн найдвартай байдал нь матрицын нөхцөл байдал муу байгаагаас бус харин SLAE хувьсагчийн буруу сонголтоос хамаардаг болохыг харуулж байна. зангилааны потенциал эсвэл түүний аналогийн аргыг ашиглан тэгшитгэл зохиох үе шатанд байгаа бөгөөд энэ арга нь өөрөө асуудлыг зөв боловсруулах аргын тодорхой нэг тохиолдол юм. Зангилаагүй, тэгш хэмтэй матрицтай зангилааны потенциалын аргаар эмхэтгэсэн SLAE-ийн зөв эсэхийг шалгах, шаардлагатай бол зөв хэлбэрт шилжүүлэх аргыг санал болгож байна.

Түлхүүр үгс: систем, загварчлал, буруу тавьсан бодлого, буруу нөхцөл, шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн систем, зангилааны потенциалын арга, бодлогыг зөв томъёолох арга, зөв ​​эсэхийг шалгах.

Хийсвэр. Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн (SLAE) системээр тодорхойлогддог физик объектуудын симуляцийн үр дүнгийн найдвартай байдал нь нөхцөл муутай матрицаас биш харин тэгшитгэл үүсгэх үе шатанд SLAE хувьсагчийн буруу сонголтоос хамаардаг болохыг уг баримтаас харж болно. зангилааны боломжит аргаар эсвэл түүний аналогоор, мөн арга нь асуудлыг зөв илэрхийлэх аргын онцгой тохиолдол юм. Зангилааны боломжит аргаар хийсэн, дан бус, тэгш хэмтэй матрицтай, шаардлагатай бол зөв хэлбэрт шилжүүлэх SLAE-ийн зөв эсэхийг шалгах аргыг санал болгосон.

Түлхүүр үг: систем, загварчлал, буруу бодлого, нөхцөл муутай, шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн систем, зангилааны боломжит арга, бодлогыг зөв илэрхийлэх арга, зөв ​​эсэхийг шалгах.

1. Танилцуулга

Физик (техникийн) объектыг загварчлах олон асуудал нь шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг (SLAE) шийдвэрлэхэд ирдэг. Ийм системийг шийдвэрлэх бүх тооцоог хязгаарлагдмал тооны чухал тоогоор гүйцэтгэдэг тул дугуйрсан алдаанаас болж нарийвчлалыг ихээхэн алдаж болно. Тохиромжгүй нөхцөлтэй (тогтворгүй) систем эсвэл илүү ерөнхий томъёололд буруу тавьсан асуудал нь оролтын өгөгдлийн алдаа, тооцооллын нарийвчлалын тогтмол түвшинг харгалзан шийдэлд ямар ч нарийвчлалыг баталгаажуулдаггүй асуудал гэж үздэг. Нөхцөл байдлын дугаарыг SLAE-ийг шийдвэрлэхэд гарч болзошгүй алдааны априори хамгийн муу үнэлгээ болгон ашигладаг. Уран зохиолоос харахад олон тооны асуудлыг тоон аргаар шийддэг ч физик (техникийн) объектын онцлогийг харгалздаггүй цэвэр математикийн асуудал гэж үздэг. математик физикийн болон нарийн төвөгтэй физик процессын математик загварчлал

© Волобоев В.П., Клименко В.П., 2014

шар шувуу ба техникийн систем нь шугаман алгебрийн асуудлуудын шавхагдашгүй эх сурвалж юм. Жагсаалтад орсон асуудлын ангиллын хувьд шийдлийн аргыг боловсруулахдаа SLAE эмхэтгэх үе шатыг тооцдоггүй бөгөөд энэ нь тодорхой асуудлын онцлогийг харгалзан үзэх боломжтой юм. Энэ үе шатыг анхааралдаа авах ёстой гэдгийг дараах ажлын үр дүнгээр баталж байна.

Юуны өмнө, SLAE-ийг шийдвэрлэхдээ нарийвчлалын алдагдал бага, нөхцөлийн дугаарын утга нь асар их байдаг матрицуудын жишээг харуулсан ажлыг онцлон тэмдэглэх нь зүйтэй. Нөхцөл байдлын дугаар дээр үндэслэн SLAE-ийг шийдвэрлэх нарийвчлалын урьдчилсан үнэлгээ шаардлагатай боловч хангалтгүй. Зохисгүй асуудлыг шийдвэрлэх цоо шинэ хандлагыг уг бүтээлд санал болгосон. Нөхцөл байдлын тоо их байсан ч гэсэн SLAE-ийг шийдвэрлэх нарийвчлалыг нэмэгдүүлэхийн тулд физик объектын салангид загварыг тайлбарлах үе шатанд SLAE-ийг зөв бүрдүүлэхийг санал болгож байгаа явдал юм. Энэ нь уг ажилд дурдсан матрицууд байгаа төдийгүй объектын салангид загварыг дүрсэлсэн SLAE матрицыг зөв бүрдүүлэх аргыг санал болгосон гэсэн үг юм. SLAE-ийн матрицыг бүрдүүлэх аргыг цахилгаан хэлхээ, эрчим хүчний систем, механикийн саваа систем, математик физикийн эллипс тэгшитгэлийн зан үйлийг загварчлах асуудлуудтай холбоотой авч үздэг.

Энэ аргын мөн чанар нь одоо байгаа аргуудаас ялгаатай нь SLAE-ийг бүрдүүлэхдээ физик объектын салангид загварын параметрүүдийг хувьсагчийн зорилтот сонголтоор харгалзан үздэг. Энэ аргыг зөвхөн дискрет загварын топологийг графикаар дүрсэлсэн объектуудад ашиглах боломжтой гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Энэхүү шаардлагыг цахилгаан хэлхээ ба эрчим хүчний системийн дизайны загвараар хангаж байна. Физикийн нарийн төвөгтэй үйл явц, техникийн систем, математик физикийн математик загварчлалын олон асуудлын хувьд дискрет загварын топологийн дүрслэлийг график хэлбэрээр ашигладаггүй. Физик объектын салангид загварын дизайны схемийн элементүүдийн топологийг график хэлбэрээр дүрслэх замаар дээрх хязгаарлалтыг арилгасан болохыг бүтээлүүд харуулж байна. Элементүүдийн топологийг график хэлбэрээр дүрслэх арга бас бий.

Энэ нийтлэлд бид салангид загварын топологийг график хэлбэрээр илэрхийлээгүй тохиолдолд буруу тавьсан асуудлыг засах аргыг санал болгох болно. Уг аргыг боловсруулахдаа математикийн физик, физикийн нарийн төвөгтэй процесс, техникийн систем дэх асуудлын салангид загваруудыг тайлбарлах нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн арга (зангилааны боломжит арга) нь SLAE матрицыг зөв бүрдүүлэх аргын онцгой тохиолдол гэдгийг бид анхаарч үздэг. .

2. Объектын дискрет загварыг дүрсэлсэн SLAE-ийн шийдлийн нарийвчлал ба тэгшитгэл зохиох аргын хоорондын хамаарал.

Академич Воеводин В.В. Гауссын аргыг ашиглан SLAE-ийг шийдвэрлэх үр дүнгийн хамгийн өндөр нарийвчлал нь үндсэн элементийн сонголттой аргыг ашиглах үед хүрдэг болохыг ажилдаа харуулсан. Энэ санаан дээр үндэслэн асар олон бүтээл хэвлэгджээ. Гэсэн хэдий ч практик асуудлуудыг шийдвэрлэх нь SLAE-ийг шийдвэрлэх нарийвчлал, ялангуяа тохиромжгүй матрицын хувьд дугуйралтын алдааны улмаас мэдэгдэхүйц алдагддаг, өөрөөр хэлбэл шийдлийн үе шатанд үр дүнгийн нарийвчлалыг сайжруулахад хангалтгүй болохыг харуулж байна. үндсэн элементүүдийн сонголтоор Гауссын аргыг энгийнээр ашиглах.

Энэхүү санааны цаашдын хөгжил бол объектын салангид загварын тайлбарыг эмхэтгэх үе шатанд матрицын диагональ элементүүдийг гол болгон бүрдүүлэхийг санал болгож буй ажилд санал болгож буй арга юм. Үүнийг хийхийн тулд тайлбарыг эмхэтгэхдээ нэмэлт мэдээлэл, тухайлбал салангид загварын параметрүүдийг ашигладаг. Энэхүү аргын үр нөлөө, тухайлбал дискретийг тодорхойлсон SLAE-ийн шийдлийн нарийвчлалаас хамаарна.

ISSN 1028-9763. Математикийн машин ба систем, 2014, No4

Тэгшитгэл зохиох аргаас авсан объектын шинэ загварыг загвар жишээ ашиглан үзүүлнэ. Доор бид загвар жишээний тайлбарыг үндсэн элемент, түүний шийдлийг сонгох, сонгохгүйгээр тайлбарласан аргыг ашиглан эмхэтгэхийг авч үзэх болно.

Загварын жишээ болгон 1-р зурагт үзүүлсэн цахилгаан хэлхээг сонгосон. 1.

Цагаан будаа. 1. Цахилгаан хэлхээ

Цахилгаан хэлхээг тодорхойлсон SLAE-ийн нөхцөл байдал нь хэлхээний бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн дамжуулалтын (эсэргүүцлийн) утгын тархалтын хүрээнээс хамаардаг нь мэдэгдэж байна. Цахилгаан хэлхээний бүрдэл хэсгүүдийн дамжуулалтын өөрчлөлтийн сонгосон хүрээ, 15 захиалгатай тэнцэх нь SLAE-ийн муу нөхцөл байдлыг баталгаажуулж, улмаар асуудлын буруу байдлыг баталгаажуулдаг. 2-р зангилааны потенциалыг (G2 бүрэлдэхүүн хэсэг дээрх хүчдэл) тооцоолох жишээг ашиглан цахилгаан хэлхээний тайлбарыг бүрдүүлэхдээ диагональ элементийг бүрдүүлэх аргаас тооцооны үр дүнгийн найдвартай байдлын хамаарлыг шинжлэх болно.

Асуудлыг зөв томъёолох аргыг ашиглан загвар жишээг шийдвэрлэхэд шаардлагатай үндсэн заалтуудыг доор харуулав. Энэ аргыг ашиглан цахилгаан хэлхээний математик загварыг бүтээх нь Кирхгофын хуулиудын үндсэн дээр эмхэтгэсэн бүрэлдэхүүн хэсгийн тэгшитгэл, тэгшитгэлийг багтаасан цахилгаан хэлхээний тэгшитгэлийн үндсэн систем дээр суурилдаг. Загварын жишээний хувьд бүрэлдэхүүн хэсгийн тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

Энд U i - бүрэлдэхүүн хэсэг дээр унасан хүчдэл, I - бүрэлдэхүүн хэсэг дундуур урсах гүйдэл, Gt - бүрэлдэхүүн хэсгийн дамжуулалт.

Цахилгаан хэлхээний графикийг дүрслэхийн тулд Кирхгофын хуулиуд дээр үндэслэсэн тэгшитгэл, контур ба огтлолын топологийн матрицуудыг ашигладаг. Хэлхээний график нь цахилгаан хэлхээтэй давхцдаг. Контур ба огтлолын топологийн матрицыг эмхэтгэх нь хэлхээний графикийн модыг сонгох, сонгосон модны контурыг зурах явдал юм. Цахилгаан хэлхээний графикийн модыг бүх хүчдэлийн эх үүсвэрийг модонд, гүйдлийн бүх эх үүсвэрийг хөвчийг оруулах байдлаар сонгосон. Хэлхээний бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн хүчдэлийн U болон гүйдэл I векторуудын элементүүдийг модонд (индекс D), өөрөөр хэлбэл мөчир, хөвч (индекс X) гэж ангилдаг.

Хэлхээний графикийн модтой хөвчийг холбосноор контур үүсдэг. Энэ тохиолдолд

контурын топологийн матриц нь хэлбэртэй байна

Энд 1 нь хөвчний нэгж дэд матриц, t

Матрицын шилжүүлгийг илэрхийлэх ба хэсгүүдийн топологийн матриц нь |1 -F хэлбэртэй, 1 нь салбаруудын нэгж дэд матриц юм. -аас дараах байдлаар матрицын диагональ гишүүд

ISSN 1028-9763. Математикийн машин ба систем, 2014, No4

хэлхээн дэх модны бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн дамжуулах чадвар нь хамгийн их дамжуулах чадвартай тохиолдолд гол зүйл байх болно. Топологийн матрицын төрлийг харгалзан Кирхгофын хуулиуд дээр үндэслэн боловсруулсан хэлхээний тэгшитгэлийг матриц хэлбэрээр дараах байдлаар бичиж болно.

тэдний =-ґid, (3)

Эмхэтгэсэн тэгшитгэлийн системийн хувьсагчдыг үндсэн тэгшитгэлийн системийн шинжилгээний үр дүнд бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн хүчдэл ба/эсвэл гүйдлээс сонгоно. Хэрэв модны мөчир дэх бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг хувьсах хүчдэлээр сонгосон бол бүрэлдэхүүн хэсгийн тэгшитгэл (1) ба тэгшитгэл (3), (4) -ийг дараах хэлбэрт шилжүүлж болно.

Gd U d - F(Gx (- FUd)) = 0.

Доор бид загвар жишээ болгон тэгшитгэлийн эмхэтгэлийг танилцуулах болно. Нэгдүгээрт, матрицын диагональ нөхцлүүд нь гол зүйл болохын тулд цахилгаан хэлхээний тайлбарыг зурсан болно. Энэ шаардлагыг модонд багтсан E1, G6, G3, G2 бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн багц хангаж байна (1-р зурагт модны мөчрүүдийг тод зураасаар тодруулсан). Бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн хүчдэл ба гүйдлийн дараах векторууд нь сонгосон модтой тохирч байна.

ба топологийн матрицууд

Өөрчлөлтийн дараах (6), (7) болон бүрэлдэхүүн хэсгийн тэгшитгэлийг харгалзан үзсэн (5) тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

- (G4 + G5) (G4 + G5) G1 + G2 + G4 + G5

Матрицын хувийн утгууд \= 1.5857864376253, R2 = 5.0E +14+j5.0E +14, A, = 5.0E +14 - j5.0E +14 тул SLAE (8) нөхцөл тааруу байна. Системийг шийдэх үр дүнгийн нарийвчлал нь тэгшитгэлийг бүрдүүлэх хувилбарын сонголтоос хэрхэн хамаарч байгааг тодорхойлохын тулд 2-р зангилааны боломжит Uq-ийн тооцоог ерөнхий хэлбэрээр гүйцэтгэнэ.

ISSN 1028-9763. Математикийн машин ба систем, 2014, No4

(g1+g2 +g4 +g5)-

Тооцооллын процессын (9-11) дүн шинжилгээнээс үзэхэд цахилгаан дамжуулах чанар (15 дараалал) их хэмжээний өөрчлөлтийг үл харгалзан тоонуудын дүрслэлийн эцсийн нарийвчлалд хатуу шаардлага тавьдаггүй. тэгшитгэл зохиох, тэдгээрийг шийдвэрлэх үед. Найдвартай үр дүнд хүрэхийн тулд SLAE-ийг эмхэтгэх, шийдвэрлэх тооцооллын процессыг хоёр чухал тоогоор илэрхийлэх нарийвчлалтайгаар гүйцэтгэхэд хангалттай.

SLAE (8)-д G+G4+G5I матрицын хоёр дахь эгнээний (баганын) диагональ элемент нь үлдсэн нөхцлүүдийн нийлбэрээс мэдэгдэхүйц их (15 баллын дарааллаар) байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй.

мөр (багана) | G4 + 2G51. Энэ нь UG = 0-ийг авснаар бид SLAE-г хялбарчилж чадна гэсэн үг юм

(8), үр дүнгийн найдвартай байдлыг хадгалах. Гараар тоолох эрин үед энэ техник нь 2-р зангилааг 3-тай хослуулахтай тохирч байв (Зураг 1).

Хоёрдахь тохиолдолд (диагональ элементийг үндсэн элемент болгон сонгохгүйгээр) модонд Ex, G6, G4, G2 бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг сонгоход хангалттай (1-р зурагт модны мөчрүүдийг тасархай шугамаар тэмдэглэсэн болно.

мөр). Эдгээр бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн хүчдэлийн уналт нь тэг зангилаанаас эхлэн тоологдсон зангилааны потенциал 1, 4, 3, 2-т тохирно. Энэ нь модны бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн ийм сонголттойгоор SLAE матрицыг зөв бүрдүүлэх арга нь зангилааны потенциалын аргатай давхцдаг гэсэн үг юм. Бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн хүчдэл ба гүйдлийн дараах векторууд нь сонгосон мод, хөвчтэй тохирч байна.

U D = UG UG G4, Ux = G1 UG3 UG G D G ig G4, Ix = G1 IG3 IG

UG G2 G5 ig G2 G5

ба топологийн матрицууд

(12), (13) болон бүрэлдэхүүн хэсгийн тэгшитгэлийг харгалзан үзсэн (5) тэгшитгэл нь дараахь зүйлийг авна

ISSN 1028-9763. Математикийн машин ба систем, 2014, No4

G5 + G6 -G5 0 UG G6 0

G5 G3 + G4 + G5 -G3 Uo. = 0

0 - G3 G1 + G2 + G3 Uo2 G1E1

Тэгшитгэлийн систем (14) нь матрицын дараах хувийн утгуудыг агуулж байгаа тул нөхцөл муутай байна: 1 = 1.0,1 =1015 +у1015,1 =1015-/1015. Жишээний эхний хувилбарын нэгэн адил 2-р зангилааны боломжит UG-ийг ерөнхий хэлбэрээр тооцоолно.

(G + G + G) -----------

V 3 4 У (G + G)

+ (G1 + G2 + G3)

3 4 5" (G5 + G6)

Тэгшитгэлийн системийг (15-17) шийдвэрлэх тооцоолох үйл явцын дүн шинжилгээнээс харахад үр дүнгийн найдвартай байдал нь тэгшитгэл зохиох, шийдвэрлэх үед тоонуудын дүрслэлийн эцсийн нарийвчлалаас хамаарна. Хэрэв системийг (15-17) шийдвэрлэх тооцооллын процессыг 15 чухал цифрээс бага нарийвчлалтайгаар гүйцэтгэвэл үр дүн гарна.

1015 +1015 ~ o,

мөн тохиолдолд үнэн зөв 15-аас дээш чухал тоо, энэ нь байх болно

1030 + 2*1015 +1030 + %+ 3/1015)

Матриц (8) ба (14), мөн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх тооцооллын процессуудын харьцуулалтаас дараах дүгнэлтийг гаргана.

Зангилааны потенциалын арга нь -д санал болгож буй аргын онцгой тохиолдол юм, тухайлбал зангилааны потенциалын аргад үндсэн зангилааг бусадтай холбосон графикийн ирмэгүүд нь мод руу үргэлж сонгогддог.

Матрицын диагональ элементүүд нь хамгийн их диагональ сонгох эсвэл сонгохгүйгээр матрицыг бүрдүүлсэн эсэхээс үл хамааран мөр, баганын аль алинд нь бусад элементүүдээс модулийн хувьд том байдаг. Ганц ялгаа нь диагональ элементүүд нь диагональ бус элементүүдээс хэр их хэмжээтэй байдаг. Энэ төрлийн SLAE-ийг Гауссын аргыг ашиглан үндсэн элементийг сонгох замаар шийдвэрлэх нь энэ ангиллын бодлогын үр дүнгийн нарийвчлалыг нэмэгдүүлэхгүй гэсэн үг юм.

ISSN 1028-9763. Математикийн машин ба систем, 2014, No4

Гауссын шийдэлд ашигласан чухал тоонуудын эцсийн тоо нь матрицыг хамгийн их диагональ элементүүдтэй эсвэл сонгохгүйгээр барьсан эсэхээс ихээхэн хамаарна. Асуудлын нэг хувилбараас нөгөө хувилбарын хоорондох ялгаа нь тэгшитгэлийг бүрдүүлэх үе шатанд нэг тохиолдолд хамгийн их цахилгаан дамжуулах чадвартай бүрэлдэхүүн хэсгийг мод руу сонгосон бөгөөд ингэснээр энэ бүрэлдэхүүн хэсгийн хүчдэл нь SLAE-д хувьсагч болдог. Энэ бүрэлдэхүүн хэсгийн дамжуулалт нь зөвхөн матрицын диагональ элемент үүсэхэд оролцдог. Өөр нэг тохиолдолд энэ бүрэлдэхүүн хэсэг нь хөвч рүү ордог. (3) тэгшитгэлээс харахад бүрэлдэхүүн хэсгийн стрессийг модны бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн стрессээр тодорхойлно. Тэгшитгэл (4)-ээс харахад бүрэлдэхүүн хэсгийн дамжуулах чанар нь мөр, баганын элементүүдийг бүрдүүлэхэд оролцдог тул хөвчний дамжуулалт нь эдгээр матрицын элементүүдийн хэмжээг тодорхойлдог.

3. Зангилааны потенциалын аргаар эмхэтгэсэн SLAE матрицыг зөв томъёололд тохирсон хэлбэрт шилжүүлэх.

Математик физикийн асуудлыг тоон аргаар шийдвэрлэх, нарийн төвөгтэй физик процесс, техникийн системийг математик загварчлахдаа эдгээр асуудлын салангид загваруудыг тодорхойлсон SLAE-ийг эмхэтгэхийн тулд зангилааны потенциал эсвэл түүний аналогийн аргыг голчлон ашигладаг. Энэ аргын нэг онцлог шинж чанар нь үндсэн зангилаанаас үлдсэн зангилаа хүртэл тоологдсон салангид загварын дизайны схемийн потенциал, тэгшитгэл зохиох энгийн алгоритм, SLAE-ийн сул дүүргэсэн матрицыг SLAE хувьсагч болгон ашигладаг явдал юм. Ийм үр ашгийн үнэ нь даалгаврын буруу байж магадгүй юм. Зангилааны потенциалын арга нь асуудлыг зөв тавих аргын зөвхөн нэг хувилбар гэдгийг харгалзан буруу тавьсан асуудлыг матрицын хувиргалт ашиглан засч залруулж болно. Доор бид зангилааны потенциалын аргаар буруу зохиосон асуудлыг хувиргах алгоритмыг авч үзэх болно.

Төрөл бүрийн физик объектуудаас зөвхөн шугаман салангид загвар нь доройтдоггүй, тэгш хэмтэй матрицтай SLAE-ээр тодорхойлогдсон объектуудыг л авч үзэх болно.

3.1. Матрицыг хувиргах алгоритм

Матрицыг хувиргах алгоритмыг боловсруулахдаа матрицын i-р эгнээний j-р диагональ бус элементийг хасах тэмдэг бүхий матрицад оруулсан бөгөөд холболтыг дүрсэлсэн салангид загварын параметрийг агуулна. дискрет загварын i-р ба j-р зангилааны хооронд. Диагональ элемент нь эерэг тэмдэг бүхий матрицад багтсан бөгөөд диагональ бус элементүүдийн нийлбэр, i-р зангилаа ба үндсэн зангилааны хоорондох холболтыг дүрсэлсэн салангид загварын параметрийг агуулдаг. Ихэвчлэн салангид загварын зангилаануудыг дугаарлахдаа үндсэн зангилаа тэг гэж тооцогддог.

Дээрх судалгаанаас үзэхэд хөрвүүлсэн SLAE-ийн түвшний асуудлын буруу байдал нь шугамын диагональ бус элементүүдийн дор хаяж нэг нь зөвхөн багтсан салангид загварын параметрээс хамаагүй их байвал л үүсдэг. диагональ элементэд. Эмхэтгэсэн SLAE-ийн зөв эсэхийг шалгах аргачлалыг доор харуулав.

SLAE-г маягттай болго

Энд x нь зангилааны потенциалын вектор (зангилааны нөлөөлөл), y нь гадаад урсгалын вектор, А нь хэлбэрийн матриц юм.

ISSN 1028-9763. Математикийн машин ба систем, 2014, No4

а11 а1і a1j a1n

аі1 а,і aj ain , (21)

aJ1 an1 аі aJJ ann

энд n нь матрицын хэмжээ. Матрицын элементүүд нь дараахь шаардлагыг хангасан байна.

ai > 0, a.< 0, а. = а]г,1 < i < n, 1 < j < n при j Ф і. (22)

Доор бид матрицын i-р эгнээний зөв эсэхийг шалгах, шаардлагатай бол засварлах талаар авч үзэх болно.

Юуны өмнө, матрицын i-р эгнээний диагональ элементэд багтсан ait-ийн салангид загварын параметрийг тодорхойлно.

Ait параметр нь нөхцөлийг хангаж байвал матрицын i-р эгнээ зөв зохиогдсон гэж үзнэ.

1 < j < n, при j Ф і.

Хэрэв нөхцөл (24) хангагдаагүй бол i-р эгнээ тохируулагдана. Эхлээд диагональ бус элементүүдээс хамгийн том нь сонгогдоно. Үүнийг i -р эгнээний j -р элемент гэж үзье. Матрицын найрлагын онцлогоос (нөхцөл (22)) элементүүдийг үүсгэхэд оролцдог салангид загварын параметрийг шалгахад хялбар байдаг. ба i-р ба j-р мөрүүдийн a.^ нь aii ба a элементүүдийн салшгүй хэсэг болгон орсон болно. . i-р мөрийг тохируулахын мөн чанар нь матрицын i-р ба j-р мөрүүдийг элементийн утга a байхаар хувиргах явдал юм. зөвхөн aii элементэд багтсан. Энэ нь xi хувьсагчийг хэлбэрээр илэрхийлэхэд хялбар байдаг

X = xj + xj (25)

SLAE матрицын j-р баганын элементүүдийн дараах хувиргалтыг хийж байна

o = ai. + ai, 1< 1 < n , (26)

Бид матрицын шинэ j-р баганыг олж авах бөгөөд үүнд хувирсан элементүүд нь a. ба а. элементүүдийг бүрдүүлсэн салангид загварын параметрийг агуулаагүй a. ба а. .

Дараагийн алхам бол томьёог ашиглан j-р мөрийг хувиргах явдал юм

aji = a.i + aii, 1< l < n . (27)

Хувиргасан j -string-ын a i элементүүд нь a i элементтэй харгалзах салангид загварын параметрийг агуулахаа больсон.

ISSN 1028-9763. Математикийн машин ба систем, 2014, No4

SLAE матрицын зөв эсэхийг шалгах, буруу мөрүүдийг засах ажлыг бүхэлд нь матрицын хувьд гүйцэтгэнэ. Энэ ажилд зөвхөн матрицыг зөв хэлбэрт шилжүүлэх алгоритмыг бий болгох арга барилыг авч үзсэн. Матрицыг зөв хэлбэрт шилжүүлэх үр дүнтэй алгоритмыг боловсруулахтай холбоотой асуудлыг энэ ажилд авч үзээгүй болно. Доор бид зангилааны потенциалын аргаар эмхэтгэсэн SLAE матрицыг (14) хувиргах жишээг өгөх болно.

3.2. Демо жишээ

Юуны өмнө матриц (14) нь тэгш хэмтэй, доройтдоггүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Матрицын коэффициентууд (22) нөхцөлийг хангаж байна. Зангилааны потенциал нь бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн хүчдэлийн уналттай тохирч байна

U4 = UG^, U3 = UG, U2 = UG

(28)-ыг харгалзан SLAE (14)-ийг дараах байдлаар илэрхийлж болно.

G5 + G6 - G5 0 U 4 0

G5 G3 + G4 + G5 - G3 U3 = 0

0 - G3 G + G2 + G3 U2 GA

Матрицын зөв эсэхийг шалгах нь дараах үйлдлүүдийг агуулна.

Зөвхөн багтсан дискрет загварын параметрийн (23) томъёогоор тодорхойлох

диагональ элемент болгон хувиргана. Матрицын эхний эгнээнд G6, хоёр дахь эгнээнд G4, гурав дахь эгнээнд (Gl + G2) байх болно.

Матрицын мөрүүдийг зөв эсэхийг шалгах нь (24) томъёоны дагуу хийгддэг. Энэхүү шалгалтын үр дүнд (G4 = 1) ^ (G3 = 1015) тул хоёр дахь мөр нь зөв байдлын шаардлагыг хангахгүй байна. G3 параметрийг мөн матрицын гурав дахь эгнээнд оруулсан тул (25) томъёоны дагуу U3 хувьсагчийн дүрслэлийг хэлбэрээр сонгоно.

U3 = U2 + U23, (30)

3-р баганын элементүүдийг (26) томъёоны дагуу хувиргасны үр дүнд бид дараах хэлбэрийн матрицыг (29) авна.

G5 + G6 - G5 - G5

G5 g3 + g4 + g5 g4+g5

Гурав дахь мөрийг хувиргасны дараа (27) томъёоны дагуу матриц (31) нь хэлбэртэй болно.

(G5 + G6) - G5 - g5 U 4 0

G5 (G3 + G4 + G) (G4 + G5) U 23 = 0. (32)

G5 (G4 + g5) (G + G2 + G4+g5) U2 G E

SLAE (32) нь зөв байдлын шаардлагыг хангаж байгаа тул тохируулга дууссан гэж үзнэ. SLAE хувьсагч (32) нь SLAE хувьсагчид (8) тохирч байна.

ISSN 1028-9763. Математикийн машин ба систем, 2014, No4

Мод болгон хувиргасны үр дүнд асуудлыг зөв боловсруулах аргын нэгэн адил бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг сонгосон. SLAE (8) ба (32)-ын харьцуулалтаас үзэхэд хоёр дахь багана ба хоёр дахь эгнээний матрицын (32) диагональ бус элементүүд нь (8) матрицаас тэмдгээр ялгаатай байна. Энэ нь матрицыг (14) хувиргахдаа G3 бүрэлдэхүүн хэсгийн гүйдлийн чиглэлийг SLAE (8) эмхэтгэх үед сонгосон чиглэлээс эсрэгээр сонгосоны үр дүн юм. U23 хувьсагчийг U23 = -U23 гэж сольж, хоёр дахь тэгшитгэлийн элементүүдийн тэмдгүүдийг эсрэгээр нь өөрчилснөөр бид (8) матрицыг олж авна.

4. Дүгнэлт

Загварчлал нь хүн төрөлхтний оюуны үйл ажиллагааны салшгүй хэсэг болсон бөгөөд загварчлалын үр дүнгийн найдвартай байдал нь загварчлалын үр дүнг үнэлэх гол шалгуур юм. Үр дүнгийн найдвартай байдлыг хангахын тулд нарийн төвөгтэй объект, тэдгээрийн шийдлүүдийг дүрслэх арга, алгоритмыг боловсруулахад шинэ хандлага шаардлагатай байна.

Буруу асуудлыг шийдвэрлэх аргуудыг боловсруулахад одоо байгаа арга барилаас ялгаатай нь энэ баримт бичиг нь муу (нөхцөлгүй) асуудлыг зөв хэлбэрт оруулахыг санал болгож байна. Физик объектын салангид загваруудыг тодорхойлсон SLAE-ийг шийдвэрлэхэд найдвартай үр дүнд хүрэхэд хэцүү болгодог нь матрицын нөхцөл байдал муу биш, харин тэгшитгэл зохиох үе шатанд SLAE хувьсагчдыг буруу сонгосон, зангилааны арга зэргээс харагдаж байна. Дискрет загварыг тодорхойлсон SLAE-ийг бүрдүүлэхэд ашигладаг потенциал ба түүний аналогууд нь асуудлыг зөв боловсруулах аргын онцгой тохиолдол юм. SLAE матриц нь дан бус, тэгш хэмтэй байх тохиолдолд зангилааны потенциалын аргаар эмхэтгэсэн SLAE-ийн зөв эсэхийг шалгах аргыг санал болгож байна. Матрицыг зөв хэлбэрт шилжүүлэх алгоритмыг авч үзнэ.

НОМ ЗҮЙ

1. Калиткин Н.Н. Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн тоон нөхцөл байдлын шалгуур / N.N. Калиткин, Л.Ф. Юхно, Л.В. Кузьмина // Математик загварчлал. - 2011. T. 23, No 2. - P. 3 - 26.

2. Волобоев В.П. Нарийн төвөгтэй системийг загварчлах нэг арга барилын талаар / V.P. Волобоев, В.П. Клименко // Математик машин ба системүүд. - 2008. - No 4. - P. 111 - 122.

3. Волобоев В.П. Эрчим хүчний системийг загварчлах нэг арга барилын талаар / V.P. Волобоев, В.П. Клименко // Математик машин ба системүүд. - 2009. - No 4. - P. 106 - 118.

4. Волобоев В.П. Савааны системийн механик ба графикийн онол / V.P. Волобоев, В.П. Клименко // Математик машин ба системүүд. - 2012. - No 2. - P. 81 - 96.

5. Волобоев В.П. Төгсгөлийн элементийн арга ба графикийн онол / В.П. Волобоев, В.П. Клименко // Математик машин ба системүүд. - 2013. - No 4. - P. 114 - 126.

6. Пухов Г.Е. Математикийн машины онолын сонгосон асуултууд / Пухов Г.Е. - Киев: Украины ЗХУ-ын Шинжлэх ухааны академийн хэвлэлийн газар, 1964. - 264 х.

7. Сэшү С. Шугаман график ба цахилгаан хэлхээ / С.Сэшү, М.Б. Рейд. - М.: Дээд сургууль, 1971. - 448 х.

8. Зенкевич О. Хязгаарлагдмал элементүүд ба ойролцоогоор / О.Зенкевич, К.Морган. - М.: Мир, 1986. -318 х.

9. Воеводин В.В. Шугаман алгебрийн тооцооллын үндэс / Воеводин В.В. - М.: Наука, 1977. -304 х.

10. Цахилгааны инженерийн онолын үндэс: их дээд сургуулиудад зориулсан сурах бичиг / K.S. Демирчян, Л.Р. Нейман, Н.В. Коровкин, В.Л. Чечурин. - . - Петр, 2003. - T. 2. - 572 х.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн тохиромжгүй систем гэж нэрлэгддэг системийг шийдвэрлэхэд ямар бэрхшээл тулгардаг нь мэдэгдэж байна: ийм системийн баруун талын жижиг өөрчлөлтүүд нь шийдлийн томоохон (зөвшөөрөгдөх хэмжээнээс давсан) өөрчлөлттэй тохирч болно.

Тэгшитгэлийн системийг авч үзье

Аz=u, (3; 2,1)

Хаана A -- a ij элементүүдтэй матриц , А=(a ij ), z -- z j координаттай хүссэн вектор , z=(z j), Тэгээд --координат бүхий мэдэгдэж буй вектор Тэгээд би ,у= (u i ), i, j =1, 2, ..., П.Системийг (3; 2,1) гэж нэрлэдэг доройтох,системийн тодорхойлогч тэг бол detA = 0. Энэ тохиолдолд матриц Ахувийн утга нь тэг байна. Ийм төрлийн нөхцөл муутай системүүдийн хувьд матриц Атэгтэй ойролцоо хувийн утгатай байна.

Хэрэв тооцооллыг хязгаарлагдмал нарийвчлалтайгаар хийсэн бол зарим тохиолдолд өгөгдсөн тэгшитгэлийн систем доройтсон эсвэл муу нөхцөлтэй эсэхийг тогтоох боломжгүй байдаг. Тиймээс нөхцөл байдал муутай, доройтсон системүүд нь өгөгдсөн нарийвчлалын хүрээнд ялгагдахгүй байж болно. Мэдээжийн хэрэг, энэ нөхцөл байдал нь матрицтай тохиолдолд тохиолддог Атэгтэй ойролцоо хувийн утгатай.

Практик асуудлуудад баруун гар тал нь ихэвчлэн байдаг Тэгээдба матрицын элементүүд А,өөрөөр хэлбэл, системийн коэффициентүүд (3; 2,1) ойролцоогоор мэдэгдэж байна. Эдгээр тохиолдолд системийн оронд (3;2,1) Бид Az= өөр системтэй харьцаж байна Тэгээдийм байдлаар ||А-А||<=h, ||u-u||<=--d, где смысл норм обычно определяется характером задачи. Имея вместо матрицы АА матрицын хувьд бид системийн доройтол, доройтолгүй байдлын талаар тодорхой дүгнэлт хийж чадахгүй (3; 2.1).

Эдгээр тохиолдолд яг системийн тухай Аz=u, шийдэл нь тодорхойлогдох ёстой, бид зөвхөн матрицын хувьд гэдгийг л мэднэ Аба баруун тал Тэгээдтэгш бус байдал ||А-А||<=h, ||u-u||<=--d. Но систем с такими исходными данными (Гар)хязгааргүй олон бөгөөд бидний мэддэг алдааны түвшинд тэдгээр нь ялгагдахын аргагүй юм. Учир нь яг системийн (3; 2.1) оронд бид ойролцоогоор системтэй болсон Аз= ба,тэгвэл бид ойролцоогоор шийдлийг олох тухай л ярьж болно. Гэхдээ ойролцоогоор систем Az=uуусдаггүй байж болно. гэсэн асуулт гарч ирнэ.

Тодорхойлсон нөхцөл байдалд системийн (3; 2.1) ойролцоо шийдэл гэж юуг ойлгох ёстой вэ?

"Боломжтой нарийн системүүдийн" дунд доройтсон системүүд бас байж болно. Хэрэв тэдгээр нь шийдэгдэх боломжтой бол тэд хязгааргүй олон шийдэлтэй болно. Тэдгээрийн алийг нь ойролцоогоор олох тухай ярих ёстой вэ?

Тиймээс, олон тооны тохиолдлуудад бид бие биенээсээ ялгагдахгүй (өгөгдсөн түвшний алдааны дотор) тэгшитгэлийн системийг бүхэлд нь авч үзэх ёстой бөгөөд тэдгээрийн дунд доройтсон болон шийдэгдэх боломжгүй байж болно. Энэ ангиллын системийн ойролцоо шийдлийг бий болгох аргууд нь ижил бөгөөд ерөнхий байх ёстой. Эдгээр шийдлүүд нь анхны өгөгдлийн бага зэргийн өөрчлөлтөд тэсвэртэй байх ёстой (3; 2.1).

Ийм аргуудыг бүтээх нь "сонголт" гэсэн санаан дээр суурилдаг. Сонголтыг асуудлын мэдэгдэлд оруулсан W[ z ] тусгай, урьдчилан тодорхойлсон функцуудыг ашиглан хийж болно.

F дахь F-ийн F 1-ийн хаа сайгүй нягт дэд олонлог дээр тодорхойлогдсон сөрөг бус функциональ W[ z ]-ийг гэнэ. үйл ажиллагааг тогтворжуулах,Хэрэв:

• a) z T элемент нь түүний тодорхойлолтын мужид хамаарах;
• б) дурын d>0 тооны хувьд F 1-ээс F 1,d элемент z олонлог
• W[z]

Тиймээс шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн дурын системийг (товчхондоо SLAE) авч үзье.

Аз =у, (3; 2,2)

z ба u нь векторууд, z=(z 1, z 2, ...,z n)-OR n, Тэгээд=(u 1 , u 2 , ... ,u n)--OR m , A-- a ij элементүүдтэй матриц , А= (a ij ), энд j =1, 2, ..., n; i= 1, 2, ..., Т,болон тоо Птоотой тэнцүү байх албагүй Т.

Энэ систем нь өвөрмөц шийдэлтэй, доройтсон (мөн хязгааргүй олон шийдэлтэй) болон шийдэгдэх боломжгүй байж болно.

Псевдо шийдэлсистемийг (3; 2,2) зөрүүг багасгадаг z вектор гэж нэрлэдэг || Аз - у || бүх орон зайд Rn. Систем (3; 2,2) нь нэгээс олон псевдо шийдэлтэй байж болно. F A нь түүний бүх хуурамч уусмалуудын олонлог, z 1 нь ямар нэгэн тогтмол вектор байг. Rn,ихэвчлэн асуудлын мэдэгдлээр тодорхойлогддог.

Вектортой харьцуулахад хэвийн z 1 системийн (3;2,2) уусмалыг хамгийн бага нормтой z 0 псевдо шийдэл гэж нэрлэнэ || z - z 1 ||, өөрөөр хэлбэл ийм

|| z 0 - z 1 || =

Энд. Дараах зүйлд тэмдэглэгээг хялбар болгох үүднээс бид z 1 = 0 ба z 1 = 0 векторын хувьд хэвийн шийдийг зүгээр л нэрлэнэ гэж үзнэ. ердийн шийдэл.

(3; 2,2) хэлбэрийн аливаа системийн хувьд ердийн шийдэл байдаг бөгөөд өвөрмөц байдаг.

Тайлбар 1. (3;2,2) системийн z°-ийн хэвийн шийдийг мөн z--z 1 векторын координаттай харьцуулахад өгөгдсөн эерэг тодорхой квадрат хэлбэрийг багасгасан псевдо шийд гэж тодорхойлж болно. Доор үзүүлсэн бүх үр дүн хүчинтэй хэвээр байна.

Тайлбар 2. Матрицын зэрэглэлийг бичье Адоройтсон систем (3; 2,1) нь r-тэй тэнцүү байна < n ба z r+1 ,z r+2 , … , z n - шугаман орон зайн суурь Н А , z элементүүдээс бүрдэх бөгөөд үүнд зориулагдсан Аз=0, N A = ( z; Аз= 0). n--r ортогональ байдлын нөхцлийг хангасан системийн (3; 2,1) z°-ийн шийдэл

(z 0 - z 1 , z S)= 0, S= r + 1, r + 2, .. ,n, (3; 2,3)

нь өвөрмөц байдлаар тодорхойлогддог бөгөөд ердийн шийдэлтэй давхцдаг.

Системийн (3; 2,2) хэвийн шийдлийг олох асуудал буруу тавигдаж байгааг харахад хялбар байдаг. Үнэндээ болъё A --тэгш хэмтэй матриц. Хэрэв энэ нь доройтоогүй бол ортогональ хувиргалтаар

z = Vz*, u = Vu*

түүнийгдиагональ хэлбэрт оруулж болох ба хувиргасан систем нь хэлбэртэй болно

l i z i *=u i * , i= 1, 2,. .., П,

Энд l i нь матрицын хувийн утга юм А.

Хэрэв тэгш хэмтэй матриц A --нь доройтдоггүй бөгөөд r зэрэгтэй, дараа нь түүний хувийн утгуудын n - r нь тэгтэй тэнцүү байна. Болъё

l i №0 i=1, 2, ..., r;

i=r+1,r+2, …, n-ийн хувьд l i =0.

Бид (3; 2,2) системийг шийдвэрлэх боломжтой гэж үздэг. Энэ тохиолдолд i =r + 1, ..., n-ийн хувьд u i *= 0 байна.

Системийн "анхны өгөгдөл" -ийг оруулаарай (АТэгээд Тэгээд)алдаатай, өөрөөр хэлбэл оронд нь зааж өгсөн АТэгээд Тэгээдтэдгээрийн ойролцоо утгыг өгсөн болно АТэгээд у:

|| A - A ||<=h, ||u - u||<=d . При этом

Би зөвшөөрье -- матрицын хувийн утга А.Тэд норм (3; 2.4) дахь А-аас тасралтгүй хамааралтай байдаг нь мэдэгдэж байна. Үүний үр дүнд l r+1 , l r+2 , …, l n хувийн утгууд хангалттай жижиг h-ийн хувьд дур зоргоороо жижиг байж болно .

Хэрэв тэдгээр нь тэгтэй тэнцүү биш бол

Тиймээс ямар ч хангалттай бага алдааны дотор системийн эвдрэл гарах болно АТэгээд Мөн,зарим z i * нь урьдчилан тодорхойлсон утгыг авна. Энэ нь (3; 2,2) системийн хэвийн шийдлийг олох асуудал тогтворгүй байна гэсэн үг.

Системийн хэвийн шийдлийг олох аргын тайлбарыг доор харуулав (3; 2.2), тогтвортой ба жижиг (нормоор (3; 2.4)) баруун талын цочрол. Мөн,зохицуулалтын аргад үндэслэсэн.

Шаардлагатай вектор

Хэрэв бол (1) системийг муу нөхцөл гэж нэрлэдэг. Энэ тохиолдолд матрицын коэффициент ба баруун талын алдаа эсвэл тооцооллын дугуйралтын алдаа нь шийдлийг ихээхэн гажуудуулж болзошгүй юм.

Олон асуудлыг шийдвэрлэхэд системийн баруун тал (1) ба матрицын А коэффициентийг ойролцоогоор мэддэг. Энэ тохиолдолд яг системийн (1) оронд өөр систем байна

тиймэрхүү

Бид ба d-ийн утгуудыг мэддэг гэж үздэг.

Систем (1)-ийн оронд систем (2) байгаа тул бид зөвхөн (1) системийн ойролцоо шийдлийг олох боломжтой. Системийн (1) ойролцоо шийдлийг бий болгох арга нь анхны өгөгдлийн бага зэргийн өөрчлөлтөд тогтвортой байх ёстой.

Системийн псевдосоюз (1) нь бүх орон зайн зөрүүг багасгадаг вектор юм.

x 1 нь ихэвчлэн асуудлын мэдэгдлээр тодорхойлогддог -аас ямар нэгэн тогтмол вектор байг.

(1) системийн x 1 векторын хэвийн шийдэл нь хамгийн бага нормтой x 0 псевдо шийдэл юм.

Энд F нь (1) системийн бүх псевдо шийдлүүдийн багц юм.

Түүнээс гадна

Энд ¾ нь x векторын бүрэлдэхүүн хэсэг юм.

(1) төрлийн аливаа системийн хувьд ердийн шийдэл байдаг бөгөөд өвөрмөц байдаг. Нөхцөл байдал муутай системийн (1) хэвийн шийдлийг олох асуудал муу тавигдсан.

Системийн (1) ойролцоогоор хэвийн шийдлийг олохын тулд бид зохицуулалтын аргыг ашигладаг.

Энэ аргын дагуу бид хэлбэрийн тэгшитгэх функцийг бүтээдэг

мөн энэ функцийг багасгах векторыг ол. Түүнчлэн, зохицуулалтын параметр a нь нөхцөл байдлаас онцгойлон тодорхойлогддог

Хаана .

Өгөгдсөн нарийвчлалын хүрээнд доройтсон болон муу нөхцөлтэй системүүдийг ялгах боломжгүй байж болно. Гэхдээ (1) системийн шийдвэрлэх чадварын тухай мэдээлэл байгаа бол (5) нөхцлийн оронд дараах нөхцөлийг ашиглана.

Бүрэлдэхүүн хэсгүүд векторууд нь функциональ (4)-ийн хамгийн бага нөхцлөөс гаргаж авсан шугаман алгебр тэгшитгэлийн системийн шийдэл юм.

мөн шиг харагдаж байна

Энд E нь таних матриц,

¾Гермитийн коньюгат матриц.

Практикт векторыг сонгох нь нэмэлт анхаарал шаарддаг. Хэрэв тэдгээр нь байхгүй бол =0 гэж үзье.

=0-ийн хувьд бид системийг (7) хэлбэрээр бичнэ

Хаана

Олдсон вектор нь системийн (1) ойролцоогоор хэвийн шийдэл байх болно.

a параметрийг сонгоход анхаарлаа хандуулцгаая. Хэрэв a=0 бол (7) систем нь нөхцөл муутай систем болж хувирна. Хэрэв a том бол систем (7) нь сайн нөхцөлтэй байх боловч тогтмолжуулсан шийдэл нь (1) системийн хүссэн шийдэлд ойр байж чадахгүй. Тиймээс хэтэрхий том эсвэл хэтэрхий жижиг а нь тохиромжгүй.

Практикт ихэвчлэн a параметрийн хэд хэдэн утгыг ашиглан тооцооллыг хийдэг. Жишээлбэл,

a-ийн утга бүрийн хувьд функцийг (4) багасгах элементийг ол. Зохицуулалтын параметрийн хүссэн утгыг (5) эсвэл (6) тэгшитгэлийг шаардлагатай нарийвчлалд хангасан a тоо гэж авна.

III. ДАСГАЛ

1. Утга нь 10 -6 зэрэгтэй тодорхойлогч нь гурван үл мэдэгдэх гурван тэгшитгэлээс бүрдэх шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг байгуул.

2. Эхнийхтэй адил боловч эхний системийн чөлөөт нөхцлөөс 0.00006-аар ялгаатай бусад чөлөөт нөхцөлтэй хоёр дахь системийг байгуул.

3. Зохицуулалтын арга (=0 ба d=10 -4 гэж үзвэл) болон бусад аргыг (жишээ нь Гауссын арга) ашиглан бүтээгдсэн системүүдийг шийднэ.

4. Хүлээн авсан үр дүнг харьцуулж, ашигласан аргуудын хэрэглээний талаар дүгнэлт гарга.

IV. ТАЙЛАН БҮРТГЭЛ

Тайлан нь:

1. Бүтээлийн нэр.

2. Асуудлын тухай мэдэгдэл.

3. Шийдлийн алгоритмын тодорхойлолт (арга).

4. Тайлбар бүхий програмын текст.

5. Хөтөлбөрийн үр дүн.

НОМ ЗҮЙН ЖАГСААЛТ

1. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Тохиромжгүй асуудлыг шийдвэрлэх арга замууд. - М.: Наука, 1979. 286 х.

2. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобелков Г.М. Тоон аргууд. - М.: БИНОМ. Мэдлэгийн лаборатори, 2007 636 х.

Лабораторийн ажил No23

8.2.3. Муухай, муу нөхцөлтэй системүүд

Дээр авч үзсэн “сайн” тохиолдлоос ялгаатай (8. D хэсгийг үзнэ үү) тусгай арга барилыг шаарддаг MxN хэмжээтэй дөрвөлжин матрицтай SLAE Ax=b руу дахин буцъя. Хоёр ижил төрлийн SLAE-д анхаарлаа хандуулцгаая.

• доройтсон систем (тэг тодорхойлогчтой |A|=0);
• муу нөхцөлтэй систем (тодорхойлогч А нь 0-тэй тэнцүү биш боловч нөхцөлийн тоо маш том).

Эдгээр төрлийн тэгшитгэлийн системүүд нь бие биенээсээ эрс ялгаатай хэдий ч (эхнийх нь шийдэл байхгүй, харин хоёр дахь нь зөвхөн нэг л байдаг) компьютерийн практик талаас нь авч үзвэл, тэдгээрийн хооронд нийтлэг зүйл олон байдаг. тэд.

Degenerate SLAEs

Муусан систем нь тэг тодорхойлогч |A|=0 (ганц матриц) бүхий матрицаар тодорхойлсон систем юм. Ийм системд багтсан зарим тэгшитгэлийг бусад тэгшитгэлүүдийн шугаман хослолоор төлөөлдөг тул үнэндээ систем өөрөө дутуу тодорхойлогддог. Баруун талын b векторын тодорхой төрлөөс хамааран хязгааргүй тооны шийдлүүд байдаг эсвэл огт байхгүй гэдгийг ойлгоход хялбар байдаг. Эхний сонголт нь ердийн псевдо шийдлийг бий болгоход (жишээ нь, хязгааргүй олон шийдлүүдээс тодорхой, жишээлбэл, тэг векторт хамгийн ойр байгаа шийдлийг сонгох) ирдэг. Энэ хэргийг хэсэгт нарийвчлан авч үзсэн болно. 8.2.2 (8.11-8.13 жагсаалтаас үзнэ үү).

Цагаан будаа. 8.7. Ганц матрицтай хоёр тэгшитгэлийн үл нийцэх системийн график дүрслэл

А дан квадрат матрицтай SLAE Aх=b нь ганц шийдэлгүй байх хоёр дахь тохиолдлыг авч үзье. Ийм асуудлын жишээг (хоёр тэгшитгэлийн системийн хувьд) Зураг дээр үзүүлэв. 8.7, түүний дээд хэсэгт А матриц ба в векторыг танилцуулж, тусгаарлах функцийг ашиглан системийг шийдэх оролдлого хийсэн (А матриц нь ганц бие учраас амжилтгүй болсон). Зургийн гол хэсгийг эзэлж байгаа графикаас харахад системийг тодорхойлох хоёр тэгшитгэл нь хавтгай (x0,xi) дээрх хоёр зэрэгцээ шугамыг тодорхойлж байгааг харуулж байна. Шулуун нь координатын хавтгайн аль ч цэг дээр огтлолцдоггүй бөгөөд үүний дагуу системийн шийдэл байхгүй байна.

ЖИЧ

Нэгдүгээрт, 2х2 хэмжээтэй дан бус дөрвөлжин матрицаар тодорхойлогдсон SLAE нь хавтгайд огтлолцох хос шугамыг тодорхойлдог болохыг анхаарна уу (доорх Зураг 8.9-ийг үз). Хоёрдугаарт, хэрэв систем тууштай байсан бол тэгшитгэлийн геометрийн дүрслэл нь хязгааргүй тооны шийдлийг дүрсэлсэн хоёр давхцах шугам байх болно гэдгийг хэлэх нь зүйтэй.

Цагаан будаа. 8.8. f (x) = |Ax-b| үлдэгдэл функцийн хэсгүүдийн график

Системийн псевдо-шийдлүүдийн талаар авч үзсэн ганц тохиолдолд |Ax-b| , хязгааргүй олон байх ба тэдгээр нь Зураг дээр үзүүлсэн хоёртой параллель гурав дахь шулуун дээр хэвтэнэ. 8.7 ба тэдгээрийн дунд байрладаг. Үүнийг Зураг дээр үзүүлэв. f(x) = = | функцийн хэд хэдэн хэсгийг харуулсан 8.8 Ax-b | , энэ нь ижил гүнтэй минимумын гэр бүл байгааг илтгэнэ. Хэрэв та тэдгээрийг олохын тулд суулгасан Minimiz функцийг ашиглахыг оролдвол түүний тоон арга нь дурдсан шугамын аль нэг цэгийг (эхний нөхцлөөс хамааран) үргэлж олох болно. Тиймээс өвөрмөц шийдлийг тодорхойлохын тулд бүх псевдо шийдлүүдээс хамгийн бага нормтой хувилбарыг сонгох хэрэгтэй. Та Mathcad программ дээр суулгасан Minimize функцүүдийн хослолыг ашиглан энэхүү олон хэмжээст багасгах асуудлыг томьёолохыг оролдож болно, гэхдээ илүү үр дүнтэй арга бол зохицуулалт (доороос харна уу) эсвэл ортогональ матрицын задрал (8.3-р хэсгийг үзнэ үү) ашиглах явдал юм.

Тохиромжгүй системүүд

Муу болзолт систем гэж тодорхойлогч А нь тэгтэй тэнцүү биш харин нөхцөлийн дугаар |A -1 | |А| маш том. Нөхцөл байдал муутай системүүд нь өвөрмөц шийдэлтэй байдаг ч бодит байдал дээр энэ шийдлийг хайх нь ихэвчлэн утгагүй байдаг. Нөхцөл байдал муутай SLAE-ийн шинж чанарыг хоёр тодорхой жишээгээр авч үзье (Жагсаалт 8.14).

Жагсаалт 8.14. Хоёр ойрхон муу нөхцөлтэй SLAE-ийн шийдэл

Жагсаалтын 8.14-ийн мөр бүр нь хоёр маш ойрхон муу нөхцөлтэй SLAE-ийн шийдлийг агуулна (ижил баруун талын b ба бага зэрэг өөр матрицууд A). Ойролцоох хэдий ч эдгээр системийн яг шийдлүүд нь бие биенээсээ маш хол байдаг. Хоёр тэгшитгэлийн системийн хувьд яг шийдлийг олоход хялбар байдаг боловч өндөр хэмжээст SLAE-ийг шийдвэрлэхдээ тооцооллын явцад зайлшгүй хуримтлагддаг жижиг дугуйралтын алдаанууд ("яг" Гауссын алгоритмыг оруулаад) асар их алдаа гаргахад хүргэдэг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. үр дүнд нь. Асуулт өөрөө тогтворгүй байгаагаас шалтгаалж буруу болж хувирах нь тодорхой бол тоон шийдлийг хайх нь утга учиртай юу?

Нөхцөл байдал муутай SLAE-ийг (8.14-р жагсаалтад жишээ болгон өгсөн хоёр тэгшитгэлийн систем хүртэл) шийдвэрлэх тусгай аргуудыг хайхад биднийг албаддаг өөр нэг зүйл бол туршилтын үр дүн гэж физик тайлбартай холбоотой юм. Хэрэв оролтын өгөгдлийг ямар нэг алдаагаар олж авсан нь эхэндээ мэдэгдэж байгаа бол загвар дахь жижиг алдаанууд (А матриц ба вектор б) шийдэлд том алдаа гаргахад хүргэдэг тул муу нөхцөлтэй системийг шийдэх нь утгагүй болно. Ийм шинж чанартай асуудлуудыг муу тавьсан гэж нэрлэдэг.

Буруу байдлын шалтгааныг илүү сайн ойлгохын тулд хоёр тэгшитгэлийн сайн (Зураг 8.9) ба муу (Зураг 8.10) болзолт системийн график тайлбарыг харьцуулах нь зүйтэй. Системийн шийдлийг тэгшитгэл тус бүрийг илэрхийлсэн хоёр шулуун шугамын огтлолцлын цэгээр дүрсэлдэг.

Цагаан будаа. 8.9. Хоёр тэгшитгэлийн сайн нөхцөлтэй системийн график

Цагаан будаа. 8.10. Хоёр тэгшитгэлийн муу нөхцөлтэй системийн график

Зураг дээрээс. 8.10-аас харахад муу нөхцөлтэй SLAE-д тохирох шулуун шугамууд нь хоорондоо ойрхон (бараг параллель) байрладаг нь тодорхой байна. Үүнтэй холбогдуулан шугам тус бүрийн байршилд бага зэргийн алдаа гарах нь тэдгээрийн огтлолцлын цэгийг нутагшуулахад ихээхэн алдаа гарахад хүргэдэг (SLAE-ийн шийдэл) нь сайн нөхцөлтэй системээс ялгаатай нь шугамын налуу нь тэдгээрийн огтлолцох цэгийн байршилд бага нөлөө үзүүлдэг (Зураг 8.9).

ЖИЧ

Матрицын муу нөхцөл нь хэт тодорхойлогдсон (зөрчил) SLAE-ээр тодорхойлсон туршилтын өгөгдлийг сэргээхэд (жишээлбэл, томографийн асуудалд) ердийн үзэгдэл юм. Энэ нь дараагийн хэсэгт (доорх Жагсаалт 8.16-г үзнэ үү) харуулсан тохиолдол юм.

Тогтворжуулах арга

Тохиромжтой асуудлууд, тухайлбал, доройтсон, муу нөхцөлтэй SLAE-ийг шийдвэрлэхийн тулд зохицуулалт гэж нэрлэгддэг маш үр дүнтэй аргыг боловсруулсан. Энэ нь практик тохиолдлуудад ихэвчлэн тохиолддог шийдлийн бүтцийн талаархи нэмэлт априори мэдээллийг (хогийн априор тооцооны вектор) харгалзан үзэхэд суурилдаг. Зохицуулалтын талаар секц дээр нарийвчлан авч үзсэн тул. 6.3.3, бид зөвхөн SLAE Ax=b-ийг шийдэх асуудлыг Тихоновын функциональ хамгийн бага утгыг олох бодлогоор сольж болохыг санаж байна.

Ω (x,λ) = |Ax-b| 2 +λ |x-x0| 2. (8.3)

Энд R нь жижиг эерэг зохицуулалтын параметр бөгөөд үүнийг ямар нэг оновчтой аргаар сонгох ёстой. Тихоновын функцийг багасгах асуудлыг эргээд өөр SLAE-ийг шийдвэрлэхэд хүргэж болохыг харуулж байна.

(A T A+ λ I)-x=A T B+λ x0, (8.4)

аль цагт λ ->0 нь анхны муу нөхцөлтэй системд ордог бөгөөд том x-ийн хувьд сайн нөхцөлд байгаа нь x 0 шийдэлтэй байна. Мэдээжийн хэрэг, А-ийн зарим завсрын утга нь оновчтой байх бөгөөд энэ нь хүлээн зөвшөөрөгдөх нөхцөл ба анхны асуудалтай ойр байх хооронд тодорхой буулт хийх болно. Зохицуулалтын арга нь тухайн асуудлын шугаман байдлаас шалтгаалан өвөрмөц бөгөөд тогтвортой байдаг (8.4) системийн шийдлийг олох нөхцөлт сайн (Тихоновын дагуу) асуудал болгон бууруулж байгааг анхаарна уу.

Зураг дээр үзүүлсэн доройтлын системийн тогтмол шийдлийг шаардлагагүй тайлбаргүйгээр танилцуулъя. 8.8. Жагсаалт 8.15 нь асуудлын шийдлийг олохыг харуулж байна (8.4) ба үлдэгдэл ба шийдэл нь R зохицуулалтын параметрээс үүссэн хамаарлыг Зураг дээр үзүүлэв. 8.11 ба 8.12 тус тус. Анхны систем, тиймээс системийн (8.4)-ийн шийдлүүд нь цагт гэдгийг онцлон тэмдэглэх нь зүйтэй λ =0 байдаггүй.

Жагсаалт 8.15 Муухайлсан SLAE-ийн зохицуулалт

Тогтворжуулах эцсийн алхам бол оновчтойг сонгох явдал юм λ . Үлдэгдэлийн хамаарлаас хамааран зохицуулалтын параметрийг сонгох боломжтой дор хаяж хоёр хүчин зүйл байдаг. Харж буй жишээн дээр бид тодорхойлох шалгуурыг ашигладаг λ , оролтын өгөгдлүүдийг тодорхойлоход гарсан алдааны урьдчилсан тооцоотой тэнцүү үлдэгдэл нормыг сонгоход үндэслэн: матриц А ба вектор b, өөрөөр хэлбэл утга | δA | + |5λ|. Жишээлбэл, та үлдэгдэл норм ба үүний дагуу параметрийг сонгож болно λ ба шийдэл x( λ ), Зурагт тэмдэглэсэн. 8.11 ба 8.12 тасархай шугам.

ТАЙЛБАР 1

Өөр сонголт λ Загварын алдааны талаар ямар нэгэн априори анхаарах шаардлагагүй бөгөөд энэ нь хэсэгт авч үзсэн бараг оновчтой арга юм. 6.3.3.

ТАЙЛБАР 2

Шугаман бодлогын хувьд (8.4) томъёо нь ерөнхий томьёо (8.3)-тай ижил үр дүнг өгч байгааг шалгах нь ашигтай. Үүнийг хийхийн тулд Жагсаалт 8.15-д заасан SLAE (8.4)-ийн шийдлийг илэрхийлсэн сүүлийн мөрийг Жагсаалт 8.16-д үзүүлсэн шиг тоон аргаар багасгасан код болгон өөрчлөхөд хангалттай. Тооцоолол нь (компьютерийн ажиллах цагийг илүү их шаарддаг) зурагт үзүүлсэнтэй ижил үр дүнг өгдөг. 8.11 ба 8.12.

ТАЙЛБАР 3

Жагсаалтын 8.15 ба 8.16-ын тооцоололд шийдлийн өөр, жишээлбэл, илүү бодитой, априори үнэлгээг (тэдгээрт ашигласан тэг вектор x0-ийн оронд) авч үзээд энэ нь үр дүнд хэрхэн нөлөөлж байгааг хараарай.

Цагаан будаа. 8.11. Муухайлсан SLAE-ийн тогтмол уусмалын үлдэгдэл А параметрээс хамаарах хамаарал (Жагсаалт 8.15-ын үргэлжлэл)

ТАЙЛБАР 4

Тихоновын функцийн хувьд (8.3) томъёоны оронд өөр хамаарлыг ашиглах нь бас сонирхолтой юм. Ω(x,λ ) = |Ax-b|+ λ |x-x0 | . Та CD-ээс тооцооллын холбогдох жишээг олох болно.

Цагаан будаа. 8.12. λ-аас хамааран тогтмол шийдэл (Жагсаалт 8.15-аас үргэлжлэл)

Жагсаалт 8.16. Багасгах алгоритм ашиглан SLAE-ийн зохицуулалт (Жагсаалт 8.15-ын үргэлжлэл)