Формула n арифметик прогрессийн тоо. Арифметик прогрессийн n-р гишүүний томъёо

Математик нь уран зураг, яруу найргийн нэгэн адил өөрийн гэсэн гоо сайхантай.

Оросын эрдэмтэн, механикч Н.Е. Жуковский

Математикийн элсэлтийн шалгалтын маш нийтлэг асуудал бол үзэл баримтлалтай холбоотой асуудлууд юм арифметик прогресс. Ийм асуудлыг амжилттай шийдвэрлэхийн тулд та арифметик прогрессийн шинж чанаруудын талаар сайн мэдлэгтэй байх ёстой бөгөөд тэдгээрийг хэрэглэх тодорхой ур чадвартай байх ёстой.

Эхлээд арифметик прогрессийн үндсэн шинж чанаруудыг эргэн санаж, хамгийн чухал томьёог танилцуулъя, энэ үзэл баримтлалтай холбоотой.

Тодорхойлолт. Тооны дараалал, дараагийн нэр томъёо бүр өмнөхөөсөө ижил тоогоор ялгаатай байна, арифметик прогресс гэж нэрлэдэг. Энэ тохиолдолд тооявцын зөрүү гэж нэрлэдэг.

Арифметик прогрессийн хувьд дараах томъёонууд хүчинтэй байна.

, (1)

Хаана. Томъёо (1)-ийг арифметик прогрессийн ерөнхий гишүүний томьёо гэж нэрлэдэг бөгөөд (2) томъёо нь арифметик прогрессийн үндсэн шинж чанарыг илэрхийлдэг: прогрессийн гишүүн бүр нь түүний хөрш гишүүдийн арифметик дундажтай давхцдаг ба .

Чухам энэ шинж чанараараа авч үзэж буй прогрессийг "арифметик" гэж нэрлэдэг болохыг анхаарна уу.

Дээрх (1) ба (2) томъёог дараах байдлаар ерөнхийлсөн болно.

(3)

Хэмжээг тооцоолохын тулдэхлээд арифметик прогрессийн нөхцлүүдтомъёог ихэвчлэн ашигладаг

(5) хаана ба .

Хэрэв бид томъёог харгалзан үзвэл (1), дараа нь (5) томъёоноос энэ нь дараах болно

Хэрэв бид тэмдэглэвэл, тэгвэл

Хаана. Учир нь (7) ба (8) томъёо нь харгалзах (5) ба (6) томъёоны ерөнхий дүгнэлт юм.

Ялангуяа , томъёо (5)-аас дараах нь болно, Юу

Дараах теоремоор томъёолсон арифметик прогрессийн шинж чанарыг ихэнх оюутнууд бараг мэддэггүй.

Теорем.Хэрэв бол

Баталгаа.Хэрэв бол

Теорем нь батлагдсан.

Жишээ нь: теоремыг ашиглан, гэдгийг харуулж болно

"Арифметик прогресс" сэдвээр асуудлыг шийдвэрлэх ердийн жишээг авч үзье.

Жишээ 1.Байгаа. олох.

Шийдэл.(6) томъёог хэрэглэснээр бид . Түүнээс хойш ба , дараа нь эсвэл .

Жишээ 2.Гурав дахин их байх ба хуваахад үр дүн нь 2, үлдэгдэл нь 8. ба -ыг тодорхойл.

Шийдэл.Жишээнүүдийн нөхцлөөс харахад тэгшитгэлийн систем дараах байдалтай байна

, , ба , тэгвэл (10) тэгшитгэлийн системээс олж авна

Энэ тэгшитгэлийн системийн шийдэл нь ба .

Жишээ 3.Хэрэв болон -г ол.

Шийдэл.(5) томъёоны дагуу бид эсвэл . Гэсэн хэдий ч (9) өмчийг ашигласнаар бид .

Үүнээс хойш ба , дараа нь тэгшитгэлээс тэгшитгэл дараах байдалтай байнаэсвэл .

Жишээ 4.Хэрэв олох.

Шийдэл.(5) томъёоны дагуу бид байна

Гэхдээ теоремыг ашиглан бид бичиж болно

Эндээс болон (11) томъёоноос бид .

Жишээ 5. Өгөгдсөн: . олох.

Шийдэл.Түүнээс хойш. Гэсэн хэдий ч, тиймээс.

Жишээ 6. Let , and . олох.

Шийдэл.(9) томъёог ашиглан бид . Иймд хэрэв , тэгвэл эсвэл .

Түүнээс хойш ба тэгвэл энд тэгшитгэлийн систем байна

Аль нь болохыг шийдэхэд бид ба .

Тэгшитгэлийн байгалийн язгуурнь .

Жишээ 7.Хэрэв болон -г ол.

Шийдэл.Томъёо (3)-ын дагуу бид ийм байгаа тул асуудлын нөхцлөөс тэгшитгэлийн систем гарч ирнэ

Хэрэв бид илэрхийллийг орлуулах юм болсистемийн хоёр дахь тэгшитгэлд оруулна, дараа нь бид эсвэл авна.

Үндэс квадрат тэгшитгэлбайнаМөн .

Хоёр тохиолдлыг авч үзье.

1. За тэгвэл . Түүнээс хойш ба , дараа нь .

Энэ тохиолдолд (6) томъёоны дагуу бид байна

2. Хэрэв , тэгвэл , ба

Хариулт: ба.

Жишээ 8.Энэ нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд. олох.

Шийдэл.Томъёо (5) болон жишээний нөхцөлийг харгалзан бид бичнэ.

Энэ нь тэгшитгэлийн системийг хэлнэ

Хэрэв бид системийн эхний тэгшитгэлийг 2-оор үржүүлж, дараа нь хоёр дахь тэгшитгэлд нэмбэл бид дараахь зүйлийг авна.

(9) томъёоны дагуу бид байна. Үүнтэй холбогдуулан (12)эсвэл .

Түүнээс хойш ба , дараа нь .

Хариулт: .

Жишээ 9.Хэрэв болон -г ол.

Шийдэл.Түүнээс хойш , ба нөхцөлөөр , дараа нь эсвэл .

Томъёогоор (5) мэдэгдэж байна, Юу . Түүнээс хойш.

Тиймээс, энд шугаман тэгшитгэлийн систем байна

Эндээс бид ба . Томьёог (8) харгалзан бид бичнэ.

Жишээ 10.Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.Өгөгдсөн тэгшитгэлээс үзэхэд . , , ба гэж үзье. Энэ тохиолдолд.

Томъёоны дагуу (1) бид бичиж болно.

-ээс хойш тэгшитгэл (13) нь цорын ганц тохиромжтой язгууртай байна.

Жишээ 11.гэсэн тохиолдолд хамгийн их утгыг ол.

Шийдэл.-ээс хойш авч үзэж буй арифметик прогресс буурч байна. Үүнтэй холбогдуулан илэрхийлэл нь прогрессийн хамгийн бага эерэг гишүүний тоо байх үед хамгийн их утгыг авдаг.

Томъёо (1) ба баримтыг ашиглацгаая, тэр болон . Дараа нь бид үүнийг эсвэл .

Түүнээс хойш, дараа нь эсвэл . Гэсэн хэдий ч энэ тэгш бус байдалдхамгийн том натурал тоо, Тийм учраас .

Хэрэв -ийн утгыг (6) томъёонд орлуулсан бол бид .

Хариулт: .

Жишээ 12.Бүх хоёр оронтой тоонуудын нийлбэрийг тодорхойл натурал тоонууд, үүнийг 6-д хуваахад 5-ын үлдэгдэл үлдэнэ.

Шийдэл.Бүх хоёр оронтой натурал тоонуудын олонлогоор тэмдэглэе, өөрөөр хэлбэл. . Дараа нь бид олонлогийн элементүүдээс (тоо) бүрдэх дэд олонлогийг байгуулах бөгөөд үүнийг 6-д хуваахад 5-ын үлдэгдэл гарах болно.

Суулгахад хялбар, Юу . Мэдээжийн хэрэг, олонлогийн элементүүдарифметик прогресс үүсгэнэ, аль нь болон .

Олонлогийн үндсэн байдлыг (элементүүдийн тоо) тогтоохын тулд бид . ба учир нь (1) буюу томъёоноос гарна. Томъёо (5)-ыг харгалзан бид .

Асуудлыг шийдвэрлэх дээрх жишээнүүд нь бүрэн гүйцэд гэж хэлж болохгүй. Энэхүү нийтлэлийг дүн шинжилгээнд үндэслэн бичсэн болно орчин үеийн аргуудтухайн сэдвээр ердийн асуудлыг шийдвэрлэх. Арифметик прогресстой холбоотой асуудлыг шийдвэрлэх аргуудыг илүү гүнзгий судлахын тулд санал болгож буй уран зохиолын жагсаалтад хандахыг зөвлөж байна.

1. Коллежид элсэгчдэд зориулсан математикийн асуудлын цуглуулга / Ed. М.И. Сканави. – М.: Энх тайван ба боловсрол, 2013. – 608 х.

2. Супрун В.П. Ахлах ангийн сурагчдад зориулсан математик: нэмэлт хэсгүүд сургуулийн сургалтын хөтөлбөр. – М .: Ленанд / URSS, 2014. – 216 х.

3. Медынский М.М. Бүрэн курсБодлого, дасгалд анхан шатны математик. Ном 2: Тооны дараалал ба дэвшил. - М .: Эдитус, 2015. – 208 х.

Асуулт хэвээр байна уу?

Багшаас тусламж авахын тулд бүртгүүлнэ үү.

вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.

Зарим хүмүүс "хөгжил" гэдэг үгийг дээд математикийн салбаруудаас авсан маш нарийн төвөгтэй нэр томъёо гэж болгоомжтой ханддаг. Үүний зэрэгцээ хамгийн энгийн арифметик прогресс бол такси тоолуурын ажил юм (тэдгээр нь одоо ч байгаа). Мөн арифметик дарааллын мөн чанарыг ойлгох (мөн математикт "мөн чанарыг олж авах"-аас өөр чухал зүйл байхгүй) хэд хэдэн энгийн ойлголтыг задлан шинжилж үзэхэд тийм ч хэцүү биш юм.

Математик тооны дараалал

Тоон дарааллыг ихэвчлэн тоонуудын цуваа гэж нэрлэдэг бөгөөд тус бүр нь өөрийн гэсэн дугаартай байдаг.

a 1 нь дарааллын эхний гишүүн юм;

ба 2 нь дарааллын хоёр дахь гишүүн юм;

ба 7 нь дарааллын долоо дахь гишүүн юм;

ба n нь дарааллын n дэх гишүүн;

Гэсэн хэдий ч дур зоргоороо тогтсон тоо, тоо биднийг сонирхдоггүй. Бид n-р гишүүний утга нь түүний дарааллын тоотой математикийн хувьд тодорхой томьёолж болох хамаарлаар холбогдох тоон дараалалд анхаарлаа хандуулах болно. Өөрөөр хэлбэл: n-р тооны тоон утга нь n-ийн зарим функц юм.

a нь тоон дарааллын гишүүний утга;

n - түүний серийн дугаар;

f(n) нь функц бөгөөд n тоон дарааллын дарааллын тоо нь аргумент юм.

Тодорхойлолт

Арифметик прогрессийг ихэвчлэн дараагийн гишүүн бүр өмнөхөөсөө ижил тоогоор их (бага) байх тоон дараалал гэж нэрлэдэг. Арифметик дарааллын n-р гишүүний томъёо дараах байдалтай байна.

a n - арифметик прогрессийн одоогийн гишүүний утга;

a n+1 - дараагийн тооны томъёо;

d - ялгаа (тодорхой тоо).

Хэрэв зөрүү эерэг (d>0) байвал авч үзэж буй цувралын дараагийн гишүүн бүр өмнөхөөсөө их байх ба ийм арифметик прогресс нэмэгдэхийг тодорхойлоход хялбар байдаг.

Доорх графикаас тооны дарааллыг яагаад "өсгөх" гэж нэрлэснийг ойлгоход хялбар байдаг.

Зөрүү сөрөг гарсан тохиолдолд (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Заасан гишүүний үнэ цэнэ

Заримдаа арифметик прогрессийн дурын a n гишүүний утгыг тодорхойлох шаардлагатай болдог. Үүнийг арифметик прогрессийн бүх гишүүдийн утгыг эхнийхээс хүссэн хүртэл нь дараалан тооцоолох замаар хийж болно. Гэсэн хэдий ч, жишээлбэл, таван мянга, найман сая дахь гишүүний утгыг олох шаардлагатай бол энэ замыг үргэлж хүлээн зөвшөөрдөггүй. Уламжлалт тооцоо хийхэд маш их цаг хугацаа шаардагдана. Гэхдээ тодорхой арифметик прогрессийг тодорхой томъёогоор судалж болно. Мөн n-р гишүүний томьёо байдаг: арифметик прогрессийн аль ч гишүүний утгыг прогрессийн эхний гишүүний нийлбэр, хүссэн гишүүний тоогоор үржүүлж, бууруулсан прогрессийн зөрүүгээр тодорхойлж болно. нэг.

Томъёо нь ахиц дэвшлийг нэмэгдүүлэх, бууруулахад түгээмэл байдаг.

Өгөгдсөн нэр томъёоны утгыг тооцоолох жишээ

Арифметик прогрессийн n-р гишүүний утгыг олох дараах бодлогыг бодъё.

Нөхцөл: параметртэй арифметик прогресс байна:

Дарааллын эхний гишүүн нь 3;

Тооны цувааны зөрүү 1.2 байна.

Даалгавар: та 214 нэр томъёоны утгыг олох хэрэгтэй

Шийдэл: Өгөгдсөн нэр томъёоны утгыг тодорхойлохын тулд бид дараах томъёог ашиглана.

a(n) = a1 + d(n-1)

Асуудлын мэдэгдлийн өгөгдлийг илэрхийлэлд орлуулснаар бид дараах байдалтай байна.

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

Хариулт: Дарааллын 214 дэх гишүүн нь 258.6-тай тэнцүү.

Тооцооллын энэ аргын давуу тал нь тодорхой юм - бүх шийдэл нь 2-оос илүүгүй мөр авдаг.

Өгөгдсөн тооны нэр томъёоны нийлбэр

Ихэнх тохиолдолд өгөгдсөн арифметик цувралд түүний зарим сегментийн утгын нийлбэрийг тодорхойлох шаардлагатай байдаг. Үүнийг хийхийн тулд нэр томъёо бүрийн утгыг тооцоолж, дараа нь нэмэх шаардлагагүй. Хэрэв нийлбэрийг нь олох шаардлагатай нэр томъёоны тоо бага байвал энэ аргыг хэрэглэнэ. Бусад тохиолдолд дараах томъёог ашиглах нь илүү тохиромжтой.

1-ээс n хүртэлх арифметик прогрессийн гишүүний нийлбэр нь эхний болон n-р гишүүний нийлбэрийг n гишүүний тоогоор үржүүлж, хоёрт хуваасантай тэнцүү байна. Хэрэв томьёоны n-р гишүүний утгыг өгүүллийн өмнөх догол мөрийн илэрхийллээр сольсон бол бид дараахь зүйлийг авна.

Тооцооллын жишээ

Жишээлбэл, дараах нөхцлөөр асуудлыг шийдье.

Дарааллын эхний гишүүн нь тэг;

Энэ ялгаа нь 0.5 байна.

Асуудал нь 56-аас 101 хүртэлх цувралын нөхцлийн нийлбэрийг тодорхойлохыг шаарддаг.

Шийдэл. Прогрессийн хэмжээг тодорхойлох томъёог ашиглана уу.

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Нэгдүгээрт, бид асуудлынхаа өгөгдсөн нөхцөлийг томъёонд орлуулах замаар прогрессийн 101 гишүүний утгын нийлбэрийг тодорхойлно.

s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2,525

Мэдээжийн хэрэг, 56-аас 101 хүртэлх прогрессийн нөхцлийн нийлбэрийг олохын тулд S 101-ээс S 55-ыг хасах шаардлагатай.

s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

Энэ жишээний арифметик прогрессийн нийлбэр нь:

s 101 - s 55 = 2,525 - 742,5 = 1,782,5

Арифметик прогрессийн практик хэрэглээний жишээ

Өгүүллийн төгсгөлд эхний догол мөрөнд өгөгдсөн арифметик дарааллын жишээ рүү буцъя - таксиметр (таксины машины тоолуур). Энэ жишээг авч үзье.

Таксинд суух (3 км замыг багтаасан) 50 рубль болно. Дараагийн км тутамд 22 рубль / км-ийн төлбөр төлдөг. Аяллын зай нь 30 км. Аяллын зардлыг тооцоол.

1. Буух зардалд үнэ нь багтсан эхний 3 км-ыг хасъя.

30 - 3 = 27 км.

2. Цаашид тооцоо хийх нь арифметик тооны цувааг задлан шинжлэхээс өөр зүйл биш юм.

Гишүүний дугаар - аялсан километрийн тоо (эхний гурвыг хассан).

Гишүүний үнэ цэнэ нь нийлбэр юм.

Энэ асуудлын эхний нэр томъёо нь 1 = 50 рубльтэй тэнцүү байх болно.

Прогрессийн зөрүү d = 22 r.

бидний сонирхож буй тоо бол арифметик прогрессийн (27+1)-р гишүүний утга - 27-р километрийн төгсгөлд тоолуурын заалт 27.999... = 28 км.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Дурын урт хугацааны хуанлийн өгөгдлийн тооцоолол нь тодорхой тоон дарааллыг дүрсэлсэн томъёонд суурилдаг. Одон орон судлалд тойрог замын урт нь геометрийн хувьд огторгуйн биетээс од хүртэлх зайнаас хамаардаг. Үүнээс гадна янз бүрийн тооны цувралуудыг статистик болон математикийн бусад хэрэглээний салбарт амжилттай ашиглаж байна.

Тоон дарааллын өөр нэг төрөл нь геометр юм

Геометрийн прогресс нь арифметик прогресстой харьцуулахад илүү их өөрчлөлтийн хурдаар тодорхойлогддог. Улс төр, социологи, анагаах ухаанд тодорхой үзэгдлийн тархалтын өндөр хурдыг харуулахын тулд жишээлбэл, тахал өвчний үед энэ үйл явц геометрийн прогрессоор хөгждөг гэж хэлдэг нь санамсаргүй хэрэг биш юм.

Геометрийн тооны цувралын N-р гишүүн нь өмнөхөөсөө ялгаатай бөгөөд үүнийг зарим тогтмол тоогоор үржүүлдэг - хуваагч, жишээлбэл, эхний гишүүн нь 1, хуваагч нь 2-той тэнцүү, дараа нь:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - геометр прогрессийн одоогийн гишүүний утга;

b n+1 - геометр прогрессийн дараагийн гишүүний томъёо;

q нь геометр прогрессийн хуваагч (тогтмол тоо).

Хэрэв арифметик прогрессийн график шулуун шугам байвал геометр прогресс нь арай өөр зургийг зурна.

Арифметикийн нэгэн адил геометр прогресс нь дурын гишүүний утгын томъёотой байдаг. Геометр прогрессийн дурын n-р гишүүн нь эхний гишүүний үржвэр ба n-ийн зэрэглэлийн прогрессийн хуваагчийг нэгээр багасгасантай тэнцүү байна.

Жишээ. Бидэнд эхний гишүүн нь 3-тай тэнцүү, прогрессийн хуваагч нь 1.5-тай тэнцүү геометр прогресс байна. Прогрессийн 5-р гишүүнийг олъё

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1.5 4 = 15.1875

Өгөгдсөн тооны нэр томъёоны нийлбэрийг мөн тусгай томъёогоор тооцоолно. Геометр прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэр нь прогрессийн n-р гишүүн ба хуваагч ба прогрессийн эхний гишүүний үржвэрийн зөрүүг нэгээр бууруулсан хуваалттай тэнцүү байна.

Хэрэв b n-ийг дээр дурдсан томъёогоор сольсон бол авч үзэж буй тооны цувралын эхний n гишүүний нийлбэрийн утга дараах хэлбэртэй болно.

Жишээ. Геометр прогресс нь 1-тэй тэнцэх эхний гишүүнээс эхэлнэ. Хусагч нь 3-тай тэнцүү байна. Эхний найман гишүүний нийлбэрийг олъё.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Хичээлийн төрөл:шинэ материал сурах.

Хичээлийн зорилго:

• арифметик прогресс ашиглан шийдсэн асуудлын талаархи оюутнуудын ойлголтыг өргөжүүлэх, гүнзгийрүүлэх; арифметик прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэрийн томъёог гаргахдаа сурагчдын эрэл хайгуулыг зохион байгуулах;
• шинэ мэдлэгийг бие даан олж авах, өгөгдсөн даалгаварт хүрэхийн тулд олж авсан мэдлэгээ ашиглах чадварыг хөгжүүлэх;
• олж авсан баримтуудыг нэгтгэх хүсэл, хэрэгцээг хөгжүүлэх, бие даасан байдлыг хөгжүүлэх.

Даалгаварууд:

• "Арифметик прогресс" сэдвээр байгаа мэдлэгийг нэгтгэн дүгнэх, системчлэх;
• арифметик прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэрийг тооцоолох томьёог гаргаж авах;
• янз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэхдээ олж авсан томъёог хэрхэн ашиглахыг заах;
• тоон илэрхийллийн утгыг олох журамд оюутнуудын анхаарлыг хандуулах.

Тоног төхөөрөмж:

• бүлэг, хосоор ажиллах даалгавар бүхий картууд;
• онооны хуудас;
• танилцуулга"Арифметик прогресс."

I. Суурь мэдлэгийг шинэчлэх.

1. Хосоор бие даан ажиллах.

1-р сонголт:

Арифметик прогрессийг тодорхойлно уу. Арифметик прогрессийг тодорхойлсон давтагдах томьёог бич. Арифметик прогрессийн жишээг өгч, ялгааг нь заана уу.

2-р сонголт:

Арифметик прогрессийн n-р гишүүний томъёог бич. Арифметик прогрессийн 100 дахь гишүүнийг ол ( a n}: 2, 5, 8 …
Энэ үед самбарын ард хоёр оюутан ижил асуултын хариултыг бэлдэж байна.
Оюутнууд хамтрагчийнхаа ажлыг самбар дээр шалгах замаар үнэлдэг. (Хариулт бүхий хуудсыг гардуулав.)

2. Тоглоомын мөч.

Даалгавар 1.

Багш аа.Би арифметик прогрессийн талаар бодсон. Хариултуудын дараа та энэ дэвшлийн 7-р гишүүнийг хурдан нэрлэхийн тулд надаас хоёр асуулт асуу. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15...)

Оюутнуудын асуулт.

1. Прогрессийн зургаа дахь гишүүн юу вэ, ялгаа нь юу вэ?
2. Прогрессийн найм дахь гишүүн гэж юу вэ, ялгаа нь юу вэ?

Хэрэв нэмэлт асуулт байхгүй бол багш тэднийг өдөөж болно - d (зөрүү) дээр "хориг" тавих, өөрөөр хэлбэл ялгаа нь юутай тэнцүү болохыг асуухыг хориглоно. Та асуулт асууж болно: прогрессийн 6-р гишүүн хэдтэй тэнцүү, 8-р гишүүн нь хэдтэй тэнцүү вэ?

Даалгавар 2.

Самбар дээр 20 тоо бичсэн байна: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Багш самбар руу нуруугаа харуулан зогсож байна. Оюутнууд энэ дугаарыг дуудаж, багш нь тэр даруй дугаарыг өөрөө дууддаг. Би үүнийг яаж хийхийг тайлбарлана уу?

Багш n-р улирлын томъёог санаж байна a n = 3n – 2заасан утгуудыг n орлуулснаар харгалзах утгыг олно a n.

II. Сурах даалгавар тавих.

Би Египетийн папиристаас олдсон МЭӨ 2-р мянганы эртний асуудлыг шийдэхийг санал болгож байна.

Даалгавар:"Та нарт хэлье: 10 хэмжүүр арвайг 10 хүнд хуваа, хүн бүр болон хөршийнхөө хоорондох зөрүү нь хэмжүүрийн 1/8 байна."

• Энэ асуудал нь арифметик прогрессийн сэдэвтэй ямар холбоотой вэ? (Дараагийн хүн бүр хэмжүүрийн 1/8-ийг илүү авдаг. Энэ нь зөрүү нь d=1/8, 10 хүн, энэ нь n=10 гэсэн үг юм.)
• Таны бодлоор 10 хэмжигдэхүүн ямар утгатай вэ? (Хөгжлийн бүх нөхцлийн нийлбэр.)
• Асуудлын нөхцлийн дагуу арвайг хуваахад хялбар, хялбар болгохын тулд өөр юу мэдэх хэрэгтэй вэ? (Дэвшилтийн эхний хугацаа.)

Хичээлийн зорилго– Прогрессийн гишүүний нийлбэр нь тэдгээрийн тоо, эхний гишүүн, ялгавараас хамаарах хамаарлыг олж, асуудлыг эрт дээр үед зөв шийдвэрлэсэн эсэхийг шалгах.

Томьёог гаргахын өмнө эртний египетчүүд асуудлыг хэрхэн шийдсэнийг харцгаая.

Тэгээд тэд үүнийг дараах байдлаар шийдсэн.

1) 10 хэмжүүр: 10 = 1 хэмжүүр – дундаж хувь;
2) 1 хэмжүүр ∙ = 2 хэмжигдэхүүн – хоёр дахин нэмэгдсэн дундажхуваалцах.
Давхардсан дундажхувь гэдэг нь 5 ба 6 дахь этгээдийн хувьцааны нийлбэр юм.
3) 2 хэмжигдэхүүн – 1/8 хэмжигдэхүүн = 1 7/8 хэмжигдэхүүн – тав дахь хүний ​​эзлэх хувийг хоёр дахин нэмэгдүүлнэ.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - тавны нэг хэсэг; гэх мэтээр та өмнөх болон дараагийн хүн бүрийн эзлэх хувийг олох боломжтой.

Бид дарааллыг авна:

III. Асуудлыг шийдэж байна.

1. Бүлгээр ажиллах

I бүлэг:Дараалсан 20 натурал тооны нийлбэрийг ол: S 20 =(20+1)∙10 =210.

Ерөнхийдөө

II бүлэг: 1-ээс 100 хүртэлх натурал тоонуудын нийлбэрийг ол (Бяцхан Гауссын домог).

S 100 = (1+100)∙50 = 5050

Дүгнэлт:

III бүлэг: 1-ээс 21 хүртэлх натурал тоонуудын нийлбэрийг ол.

Шийдэл: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Дүгнэлт:

IV бүлэг: 1-ээс 101 хүртэлх натурал тоонуудын нийлбэрийг ол.

Дүгнэлт:

Асуудлыг шийдвэрлэх энэ аргыг "Гаусын арга" гэж нэрлэдэг.

2. Бүлэг бүр асуудлын шийдлийг самбар дээр гаргана.

3. Дурын арифметик прогрессийн санал болгож буй шийдлүүдийн ерөнхий дүгнэлт:

a 1, a 2, a 3,…, a n-2, a n-1, a n.
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Үүнтэй төстэй үндэслэлийг ашиглан энэ нийлбэрийг олъё:

4. Бид асуудлыг шийдэж чадсан уу?(Тийм.)

IV. Асуудлыг шийдвэрлэхдээ олж авсан томъёог анхан шатны ойлголт, хэрэглээ.

1. Томьёог ашиглан эртний асуудлын шийдлийг шалгах.

2. Төрөл бүрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд томьёог хэрэглэх.

3. Бодлого шийдвэрлэхдээ томъёо хэрэглэх чадварыг хөгжүүлэх дасгалууд.

A) № 613

Өгөгдсөн: ( a n) -арифметик прогресс;

(a n): 1, 2, 3, …, 1500

Олно: S 1500

Шийдэл: , a 1 = 1 ба 1500 = 1500,

B) Өгөгдсөн: ( a n) -арифметик прогресс;
(a n): 1, 2, 3, …
S n = 210

Олно: n
Шийдэл:

V. Бие даан, харилцан баталгаажуулах ажил.

Денис шуудан зөөгчөөр ажиллаж эхэлсэн. Эхний сард түүний цалин 200 рубль байсан бол дараагийн сар бүр 30 рубль нэмэгдэв. Тэр нэг жилийн хугацаанд нийт хэдэн төгрөгийн орлого олсон бэ?

Өгөгдсөн: ( a n) -арифметик прогресс;
a 1 = 200, d=30, n=12
Олно: S 12
Шийдэл:

Хариулт: Денис жилд 4380 рубль авсан.

VI. Гэрийн даалгавар.

1. 4.3-р хэсэг – томъёоны гарал үүслийг сур.
2. №№ 585, 623 .
3. Арифметик прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэрийн томъёог ашиглан шийдэж болох бодлого байгуул.

VII. Хичээлийг дүгнэж байна.

1. Онооны хуудас

2. Өгүүлбэрүүдийг үргэлжлүүлнэ үү

• Өнөөдөр хичээл дээр би сурсан ...
• Сурсан томъёонууд...
• Би үүнд итгэж байна ...

3. Та 1-ээс 500 хүртэлх тооны нийлбэрийг олж чадах уу? Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд ямар арга хэрэглэх вэ?

Лавлагаа.

1. Алгебр, 9-р анги. Ерөнхий боловсролын сургалтын байгууллагын сурах бичиг. Эд. Г.В. Дорофеева.М.: "Гэгээрэл", 2009 он.

Ерөнхий боловсролын сургуульд (9-р анги) алгебр судлахдаа чухал сэдвүүдийн нэг бол геометрийн болон арифметикийн прогрессийг багтаасан тоон дарааллыг судлах явдал юм. Энэ нийтлэлд бид арифметик прогресс болон шийдлийн жишээг авч үзэх болно.

Арифметик прогресс гэж юу вэ?

Үүнийг ойлгохын тулд асуудлын явцыг тодорхойлох, мөн асуудлыг шийдвэрлэхэд дараа нь ашиглах үндсэн томъёог өгөх шаардлагатай.

Арифметик эсвэл алгебрийн прогресс гэдэг нь гишүүн бүр нь өмнөхөөсөө тодорхой тогтмол утгаараа ялгаатай эрэмблэгдсэн рационал тоонуудын багц юм. Энэ утгыг зөрүү гэж нэрлэдэг. Өөрөөр хэлбэл, эрэмбэлэгдсэн тоонуудын аль нэг гишүүн ба ялгааг мэдсэнээр та арифметик прогрессийг бүхэлд нь сэргээж чадна.

Нэг жишээ хэлье. Дараах тоонуудын дараалал нь арифметик прогресс байх болно: 4, 8, 12, 16, ..., учир нь энэ тохиолдолд ялгаа нь 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Гэхдээ 3, 5, 8, 12, 17 тоонуудын багцыг авч үзэж буй прогрессийн төрөлд хамааруулах боломжгүй, учир нь түүний ялгаа нь тогтмол утга биш (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠) 17 - 12).

Чухал томъёонууд

Одоо арифметик прогресс ашиглан асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардагдах үндсэн томъёог танилцуулъя. Дарааллын n-р гишүүнийг a n тэмдгээр тэмдэглэе, энд n нь бүхэл тоо. Бид ялгааг латин d үсгээр тэмдэглэдэг. Дараа нь дараах илэрхийллүүд хүчинтэй байна.

1. n-р гишүүний утгыг тодорхойлохын тулд дараах томьёо тохиромжтой: a n = (n-1)*d+a 1 .
2. Эхний n гишүүний нийлбэрийг тодорхойлохдоо: S n = (a n +a 1)*n/2.

9-р ангид арифметик прогрессийн аливаа жишээг ойлгохын тулд эдгээр хоёр томьёог санахад хангалттай, учир нь авч үзэж буй төрлийн аливаа асуудал нь тэдгээрийн хэрэглээнд суурилдаг. Прогрессийн ялгааг d = a n - a n-1 томъёогоор тодорхойлно гэдгийг санах нь зүйтэй.

Жишээ №1: үл мэдэгдэх гишүүнийг олох

Арифметик прогресс болон түүнийг шийдвэрлэхэд хэрэглэгдэх томъёоны энгийн жишээг өгье.

10, 8, 6, 4, ... дарааллыг өгье, үүнээс таван гишүүнийг олох хэрэгтэй.

Асуудлын нөхцлөөс харахад эхний 4 нэр томъёо нь мэдэгдэж байна. Тав дахь нь хоёр янзаар тодорхойлогддог.

1. Эхлээд ялгааг тооцоолъё. Бидэнд: d = 8 - 10 = -2 байна. Үүний нэгэн адил та өөр хоёр гишүүнийг хажуудаа зогсоож болно. Жишээлбэл, d = 4 - 6 = -2. d = a n - a n-1 гэж мэдэгдэж байгаа тул d = a 5 - a 4, үүнээс бид дараахь зүйлийг авна: a 5 = a 4 + d. Бид мэдэгдэж буй утгуудыг орлуулна: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Хоёрдахь арга нь тухайн явцын ялгааг мэдэхийг шаарддаг тул та эхлээд дээр үзүүлсэн шиг үүнийг тодорхойлох хэрэгтэй (d = -2). Эхний гишүүн a 1 = 10 гэдгийг мэдэж, бид дарааллын n тооны томъёог ашигладаг. Бидэнд: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2 * n. Сүүлийн илэрхийлэлд n = 5-ыг орлуулснаар бид дараахийг авна: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Таны харж байгаагаар хоёр шийдэл нь ижил үр дүнд хүргэсэн. Энэ жишээн дэх прогрессийн зөрүү d нь сөрөг утгатай болохыг анхаарна уу. Дараагийн нэр томъёо бүр өмнөхөөсөө бага байдаг тул ийм дарааллыг буурах гэж нэрлэдэг.

Жишээ №2: явцын зөрүү

Одоо даалгавраа бага зэрэг хүндрүүлье, яаж хийх жишээг өгье

Зарим үед 1-р гишүүн 6-тай тэнцүү, 7-р гишүүн 18-тай тэнцүү байдаг нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд ялгааг олж, энэ дарааллыг 7-р гишүүн рүү сэргээх шаардлагатай.

Үл мэдэгдэх нэр томъёог тодорхойлохын тулд томъёог ашиглая: a n = (n - 1) * d + a 1 . Нөхцөлөөс мэдэгдэж буй өгөгдлийг, өөрөөр хэлбэл a 1 ба 7 тоонуудыг орлуулъя, бидэнд: 18 = 6 + 6 * d байна. Энэ илэрхийллээс та ялгааг хялбархан тооцоолж болно: d = (18 - 6) /6 = 2. Ингээд бид асуудлын эхний хэсгийг хариуллаа.

7-р гишүүний дарааллыг сэргээхийн тулд та алгебрийн прогрессийн тодорхойлолтыг ашиглах хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d гэх мэт. Үүний үр дүнд бид бүх дарааллыг сэргээдэг: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Жишээ №3: Прогресс зурах

Асуудлыг улам хүндрүүлье. Одоо бид арифметик прогрессийг хэрхэн олох вэ гэсэн асуултанд хариулах хэрэгтэй. Дараах жишээг өгч болно: хоёр тоо өгөгдсөн, жишээлбэл - 4 ба 5. Эдгээрийн хооронд өөр гурван гишүүн байхын тулд алгебрийн прогрессийг үүсгэх шаардлагатай.

Энэ асуудлыг шийдэж эхлэхээсээ өмнө өгөгдсөн тоонууд цаашдын хөгжилд ямар байр суурь эзлэхийг ойлгох хэрэгтэй. Тэдний хооронд дахин гурван гишүүн байх тул 1 = -4 ба 5 = 5 болно. Үүнийг тогтоосны дараа бид өмнөхтэй төстэй асуудал руу шилждэг. Дахин хэлэхэд, n-р гишүүний хувьд бид томъёог ашиглана: a 5 = a 1 + 4 * d. Эндээс: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25. Эндээс олж авсан зүйл бол ялгааны бүхэл тоо биш, харин рационал тоо учраас алгебрийн прогрессийн томьёо ижил хэвээр байна.

Одоо олсон зөрүүг 1 дээр нэмээд прогрессийн алга болсон нөхцлүүдийг сэргээе. Бид дараахийг авна: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 = 2.75 + 2.25 = 5, энэ нь давхцсан. асуудлын нөхцөлтэй хамт.

Жишээ №4: Прогрессийн эхний хугацаа

Шийдэл бүхий арифметик прогрессийн жишээг үргэлжлүүлье. Өмнөх бүх бодлогод алгебрийн прогрессийн эхний тоог мэддэг байсан. Одоо өөр төрлийн бодлогыг авч үзье: 15 = 50 ба 43 = 37 гэсэн хоёр тоог өгье. Энэ дараалал аль тооноос эхэлж байгааг олох шаардлагатай.

Өнөөг хүртэл ашигласан томьёо нь 1 ба d-ийн талаархи мэдлэгтэй гэж үздэг. Асуудлын мэдэгдэлд эдгээр тоонуудын талаар юу ч мэдэгддэггүй. Гэсэн хэдий ч бид мэдээлэл байгаа нэр томъёо бүрийн илэрхийлэлүүдийг бичих болно: a 15 = a 1 + 14 * d, a 43 = a 1 + 42 * d. Бид 2 үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнтэй (a 1 ба d) хоёр тэгшитгэлийг хүлээн авсан. Энэ нь шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэхэд асуудлыг багасгасан гэсэн үг юм.

Энэ системийг шийдэх хамгийн хялбар арга бол тэгшитгэл бүрт 1-ийг илэрхийлж, дараа нь үүссэн илэрхийллүүдийг харьцуулах явдал юм. Эхний тэгшитгэл: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; хоёр дахь тэгшитгэл: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Эдгээр илэрхийлэлийг тэгшитгэснээр бид дараахь зүйлийг авна: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, эндээс d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0.464 (зөвхөн 3 аравтын бутархай өгөгдсөн).

d-г мэдэж байгаа тул дээрх 2 илэрхийллийн аль нэгийг 1-д ашиглаж болно. Жишээлбэл, эхлээд: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0.464) = 56.496.

Хэрэв та олж авсан үр дүнгийн талаар эргэлзэж байгаа бол үүнийг шалгаж болно, жишээлбэл, нөхцөл байдалд заасан дэвшлийн 43 дахь хугацааг тодорхойлж болно. Бид авна: a 43 = a 1 + 42 * d = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008. Жижиг алдаа нь тооцоололд мянганы нэг хүртэл бөөрөнхийлсөнтэй холбоотой юм.

Жишээ №5: хэмжээ

Одоо арифметик прогрессийн нийлбэрийн шийдэл бүхий хэд хэдэн жишээг харцгаая.

Дараах хэлбэрийн тоон прогрессийг өгье: 1, 2, 3, 4, ...,. Эдгээр тооны 100-ийн нийлбэрийг хэрхэн тооцоолох вэ?

Компьютерийн технологийн хөгжлийн ачаар энэ асуудлыг шийдэх боломжтой, өөрөөр хэлбэл хүн Enter товчийг дармагц компьютер хийх бүх тоог дарааллаар нь нэмнэ. Гэсэн хэдий ч, хэрэв та танилцуулсан тоон цуваа нь алгебрийн прогресс бөгөөд түүний ялгаа нь 1-тэй тэнцүү гэдгийг анхаарч үзвэл асуудлыг оюун ухаанаар шийдэж болно. Нийлбэрийн томъёог ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна: S n = n * ( a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

18-р зууны эхээр 10-хан настай Германы алдарт хүн хэдхэн секундын дотор энэ асуудлыг толгой дотроо шийдэж чадсан тул энэ асуудлыг "гаусс" гэж нэрлэсэн нь сонирхолтой юм. Хүү алгебрийн прогрессийн нийлбэрийн томьёог мэдэхгүй ч дарааллын төгсгөлд байгаа тоонуудыг хосоор нь нэмбэл үргэлж ижил үр дүн, өөрөөр хэлбэл 1 + 100 = 2 + 99 гарна гэдгийг анзаарчээ. = 3 + 98 = ..., эдгээр нийлбэрүүд яг 50 (100/2) байх тул зөв хариултыг авахын тулд 50-г 101-ээр үржүүлэхэд хангалттай.

Жишээ №6: n-ээс m хүртэлх гишүүний нийлбэр

Арифметик прогрессийн нийлбэрийн өөр нэг ердийн жишээ бол: 3, 7, 11, 15, ... гэсэн цуврал тоонуудыг өгвөл 8-аас 14 хүртэлх гишүүний нийлбэр нь хэдтэй тэнцүү болохыг олох хэрэгтэй. .

Асуудлыг хоёр аргаар шийддэг. Тэдгээрийн эхнийх нь 8-аас 14 хүртэлх үл мэдэгдэх нэр томъёог олох, дараа нь тэдгээрийг дараалан нэгтгэх явдал юм. Цөөн нэр томъёо байдаг тул энэ арга нь маш их хөдөлмөр шаарддаггүй. Гэсэн хэдий ч энэ асуудлыг илүү түгээмэл хоёрдахь аргыг ашиглан шийдвэрлэхийг санал болгож байна.

Гол санаа нь n > m нь бүхэл тоо болох m ба n гишүүний хоорондох алгебрийн прогрессийн нийлбэрийн томъёог олж авах явдал юм. Хоёр тохиолдолд бид нийлбэрийн хоёр илэрхийлэл бичнэ.

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

n > m тул 2-р нийлбэрт эхнийх нь багтах нь ойлгомжтой. Сүүлийн дүгнэлт нь эдгээр нийлбэрүүдийн зөрүүг авч, түүнд a m нэр томъёог нэмбэл (ялгааг авах тохиолдолд S n нийлбэрээс хасна) бид асуудлын шаардлагатай хариултыг авна гэсэн үг юм. Бидэнд: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- м/2). Энэ илэрхийлэлд n ба m-ийн томъёог орлуулах шаардлагатай. Дараа нь бид дараахь зүйлийг авна: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1) - м / 2) = a 1 * (n - м + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * м - м 2 - 2) / 2.

Үүссэн томъёо нь бага зэрэг төвөгтэй боловч S mn нийлбэр нь зөвхөн n, m, a 1, d-ээс хамаарна. Манай тохиолдолд a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Эдгээр тоог орлуулснаар бид: S mn = 301 болно.

Дээрх шийдлүүдээс харахад бүх бодлого нь n-р гишүүний илэрхийлэл ба эхний гишүүний олонлогийн нийлбэрийн томъёоны мэдлэг дээр суурилдаг. Эдгээр асуудлын аль нэгийг шийдэж эхлэхээсээ өмнө нөхцөл байдлыг сайтар уншиж, юу олох хэрэгтэйг тодорхой ойлгож, дараа нь шийдлийг үргэлжлүүлэхийг зөвлөж байна.

Өөр нэг зөвлөгөө бол энгийн байхыг хичээх явдал юм, өөрөөр хэлбэл та нарийн төвөгтэй математик тооцоололгүйгээр асуултанд хариулж чадвал үүнийг хийх хэрэгтэй, учир нь энэ тохиолдолд алдаа гаргах магадлал бага байдаг. Жишээлбэл, 6-р шийдэлтэй арифметик прогрессийн жишээн дээр S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m томъёогоор зогсоож болно. завсарлага нийтлэг даалгавартусдаа дэд даалгавар болгон (энэ тохиолдолд эхлээд a n ба a m нэр томъёог олоорой).

Хэрэв та олж авсан үр дүндээ эргэлзэж байвал зарим жишээн дээр дурдсанчлан үүнийг шалгахыг зөвлөж байна. Бид арифметик прогрессийг хэрхэн олохыг олж мэдсэн. Хэрэв та үүнийг ойлговол энэ нь тийм ч хэцүү биш юм.

Жишээ нь, дараалал \(2\); \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)... нь арифметик прогресс юм, учир нь дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө гурваар ялгаатай байдаг (өмнөх элементээс гурвыг нэмснээр олж авч болно):

Энэ прогрессийн хувьд \(d\) зөрүү эерэг (\(3\)-тай тэнцүү) тул дараагийн гишүүн бүр өмнөхөөсөө их байна. Ийм дэвшил гэж нэрлэдэг нэмэгдэж байна.

Гэсэн хэдий ч \(d\) нь сөрөг тоо байж болно. Жишээ нь, арифметик прогрессоор \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... прогрессийн зөрүү \(d\) нь хасах зургаатай тэнцүү байна.

Мөн энэ тохиолдолд дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө бага байх болно. Эдгээр дэвшилтүүдийг гэж нэрлэдэг буурч байна.

Арифметик прогрессийн тэмдэглэгээ

Явцыг жижиг латин үсгээр тэмдэглэнэ.

Прогресс үүсгэдэг тоонуудыг дуудна гишүүд(эсвэл элементүүд).

Тэдгээрийг арифметик прогрессийн адил үсгээр тэмдэглэсэн боловч дарааллын элементийн тоотой тэнцүү тооны индекстэй байна.

Жишээлбэл, арифметик прогресс \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14...\right\)\) нь \(a_1=2\) элементүүдээс бүрдэнэ; \(a_2=5\); \(a_3=8\) гэх мэт.

Өөрөөр хэлбэл, явцын хувьд \(a_n = \зүүн\(2; 5; 8; 11; 14…\баруун\)\)

Арифметик прогрессийн бодлого бодох

Зарчмын хувьд, дээр дурдсан мэдээлэл нь бараг бүх арифметик прогрессийн асуудлыг (OGE-д санал болгож буй асуудлуудыг оруулаад) шийдвэрлэхэд хангалттай юм.

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессийг \(b_1=7; d=4\) нөхцлөөр тодорхойлно. \(b_5\) олох.
Шийдэл:

Хариулт: \(b_5=23\)

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессийн эхний гурван гишүүнийг өгөв: \(62; 49; 36...\) Энэ прогрессийн эхний сөрөг гишүүний утгыг ол.
Шийдэл:

	Бид дарааллын эхний элементүүдийг өгсөн бөгөөд энэ нь арифметик прогресс гэдгийг мэддэг. Өөрөөр хэлбэл, элемент бүр хөршөөсөө ижил тоогоор ялгаатай байдаг. Дараагийн элементээс өмнөхийг нь хасаж аль нь болохыг олж мэдье: \(d=49-62=-13\).
	Одоо бид шаардлагатай (эхний сөрөг) элемент рүү дэвшлээ сэргээж чадна.
	Бэлэн. Та хариултаа бичиж болно.

Хариулт: \(-3\)

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессийн хэд хэдэн дараалсан элементүүд өгөгдсөн: \(…5; x; 10; 12.5...\) \(x\) үсгээр тэмдэглэгдсэн элементийн утгыг ол.
Шийдэл:

	\(x\)-ийг олохын тулд бид дараагийн элемент өмнөхөөсөө хэр их ялгаатай болохыг, өөрөөр хэлбэл прогрессийн зөрүүг мэдэх хэрэгтэй. Үүнийг хөрш зэргэлдээх хоёр элементээс олъё: \(d=12.5-10=2.5\).
	Одоо бид хайж буй зүйлээ хялбархан олох боломжтой: \(x=5+2.5=7.5\).
	Бэлэн. Та хариултаа бичиж болно.

Хариулт: \(7,5\).

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессийг дараах нөхцлөөр тодорхойлно: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Энэ прогрессийн эхний зургаан гишүүний нийлбэрийг ол.
Шийдэл:

	Бид прогрессийн эхний зургаан гишүүний нийлбэрийг олох хэрэгтэй. Гэхдээ бид тэдний утгыг мэдэхгүй, зөвхөн эхний элементийг өгдөг. Тиймээс бид эхлээд бидэнд өгсөн зүйлийг ашиглан утгыг нэг нэгээр нь тооцоолно. \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Бидэнд хэрэгтэй зургаан элементийг тооцоолсны дараа бид тэдгээрийн нийлбэрийг олно.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	Шаардлагатай хэмжээ нь олдсон.

Хариулт: \(S_6=9\).

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессоор \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Энэ дэвшлийн ялгааг ол.
Шийдэл:

Хариулт: \(d=7\).

Арифметик прогрессийн чухал томьёо

Таны харж байгаагаар арифметик прогрессийн олон асуудлыг гол зүйлийг ойлгох замаар шийдэж болно - арифметик прогресс нь тооны гинж бөгөөд энэ гинжин хэлхээний дараагийн элемент бүрийг өмнөхтэй нь ижил тоог нэмснээр олж авдаг. явцын ялгаа).

Гэсэн хэдий ч заримдаа "толгойгоор" шийдэх нь маш тохиромжгүй нөхцөл байдал байдаг. Жишээлбэл, эхний жишээн дээр бид тав дахь элементийг \(b_5\) биш, харин гурван зуун наян зургаа дахь \(b_(386)\) олох хэрэгтэй гэж төсөөлөөд үз дээ. Бид дөрөв \(385\) удаа нэмэх үү? Эсвэл эцсийн өмнөх жишээн дээр та эхний далан гурван элементийн нийлбэрийг олох хэрэгтэй гэж төсөөлөөд үз дээ. Та тоолохоос залхах болно ...

Тиймээс ийм тохиолдолд тэд асуудлыг "толгойгоор нь" шийддэггүй, харин арифметик прогрессоор гаргаж авсан тусгай томъёог ашигладаг. Гол нь прогрессийн n-р гишүүний томъёо ба \(n\) эхний гишүүний нийлбэрийн томъёо юм.

\(n\)-р гишүүний томъёо: \(a_n=a_1+(n-1)d\), энд \(a_1\) нь прогрессийн эхний гишүүн юм;
\(n\) - шаардлагатай элементийн тоо;
\(a_n\) – \(n\) тоотой прогрессийн гишүүн.

Энэ томьёо нь зөвхөн эхний болон явцын зөрүүг мэдэхийн тулд гурван зуу, сая дахь элементийг ч хурдан олох боломжийг олгодог.

Жишээ. Арифметик прогрессийг дараах нөхцлөөр тодорхойлно: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). \(b_(246)\) олох.
Шийдэл:

Хариулт: \(b_(246)=1850\).

Эхний n гишүүний нийлбэрийн томъёо: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), энд

\(a_n\) - сүүлчийн нийлбэр гишүүн;

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессийг \(a_n=3.4n-0.6\) нөхцлөөр тодорхойлно. Энэ прогрессийн эхний \(25\) гишүүний нийлбэрийг ол.
Шийдэл:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Эхний хорин таван гишүүний нийлбэрийг тооцоолохын тулд бид эхний болон хорин тав дахь гишүүний утгыг мэдэх хэрэгтэй. Бидний дэвшлийг тооноос нь хамааруулан n-р гишүүний томъёогоор өгдөг (дэлгэрэнгүйг үзнэ үү). Эхний элементийг \(n\) оронд нэгээр нь оруулан тооцоолъё.
\(n=1;\) \(a_1=3.4·1-0.6=2.8\)		Одоо \(n\) оронд хорин тавыг орлуулж хорин тав дахь гишүүнийг олъё.
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4·25-0.6=84.4\)		За, одоо бид шаардлагатай хэмжээг хялбархан тооцоолж болно.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Хариулт нь бэлэн байна.

Хариулт: \(S_(25)=1090\).

Эхний нөхцлийн \(n\) нийлбэрийн хувьд та өөр томъёог авч болно: та зүгээр л \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) -ын оронд \(a_n\) томъёог орлуулна \(a_n=a_1+(n-1)d\). Бид авах:

Эхний n гишүүний нийлбэрийн томъёо: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), энд

\(S_n\) – эхний элементүүдийн шаардлагатай \(n\) нийлбэр;
\(a_1\) – эхний нийлбэр гишүүн;
\(d\) - явцын зөрүү;
\(n\) – нийлбэр дэх элементийн тоо.

Жишээ. Арифметик прогрессийн эхний \(33\)-ex гишүүний нийлбэрийг ол: \(17\); \(15.5\); \(14\)…
Шийдэл:

Хариулт: \(S_(33)=-231\).

Илүү төвөгтэй арифметик прогрессийн бодлого

Одоо та бараг ямар ч арифметик прогрессийн бодлогыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай бүх мэдээлэлтэй байна. Зөвхөн томьёо хэрэглэхээс гадна бага зэрэг бодох хэрэгтэй (математикийн хувьд энэ нь хэрэг болно ☺) гэсэн бодлогуудыг авч үзээд сэдвээ дуусгая.

Жишээ (OGE). Прогрессийн бүх сөрөг гишүүний нийлбэрийг ол: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
Шийдэл:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Даалгавар нь өмнөхтэй маш төстэй юм. Бид ижил зүйлийг шийдэж эхэлдэг: эхлээд бид \(d\) олдог.
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		Одоо бид нийлбэрийн томъёонд \(d\)-г орлуулахыг хүсч байна ... энд жижиг нюанс гарч ирнэ - бид \(n\) мэдэхгүй. Өөрөөр хэлбэл, хэдэн нэр томъёо нэмэх шаардлагатайг бид мэдэхгүй. Яаж мэдэх вэ? Бодоод үз дээ. Эхний эерэг элементэд хүрэхэд бид элемент нэмэхээ зогсооно. Өөрөөр хэлбэл, та энэ элементийн дугаарыг олж мэдэх хэрэгтэй. Яаж? Арифметик прогрессийн дурын элементийг тооцоолох томьёог бичье: Манай тохиолдолд \(a_n=a_1+(n-1)d\).
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19.3+(n-1)·0.3\)		Бид тэгээс их байхын тулд \(a_n\) хэрэгтэй. Энэ нь юу болох талаар \(n\) олж мэдье.
\(-19.3+(n-1)·0.3>0\)
\((n-1)·0.3>19.3\) \(|:0.3\)		Бид тэгш бус байдлын хоёр талыг \(0.3\) гэж хуваана.
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		Бид хасах нэгийг шилжүүлж, тэмдгүүдийг өөрчлөхөө мартдаггүй
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		Тооцоолъё...
\(n>65,333…\)		...мөн эхний эерэг элемент нь \(66\) гэсэн тоотой болох нь харагдаж байна. Үүний дагуу сүүлийн сөрөг нь \(n=65\) байна. Ямар ч тохиолдолд үүнийг шалгаж үзье.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1)·0.3=-0.1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1)·0.3=0.2\)		Тиймээс бид эхний \(65\) элементүүдийг нэмэх хэрэгтэй.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		Хариулт нь бэлэн байна.

Хариулт: \(S_(65)=-630.5\).

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессийг дараах нөхцлөөр тодорхойлно: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)-аас \(42\) элемент хүртэлх нийлбэрийг ол.
Шийдэл:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Энэ бодлогод та мөн элементүүдийн нийлбэрийг олох хэрэгтэй, гэхдээ эхнийхээс биш, харин \(26\)-аас эхлэн. Ийм тохиолдолд бидэнд томъёо байхгүй. Хэрхэн шийдэх вэ? Энэ нь амархан - \(26\)-аас \(42\) дахь нийлбэрийг авахын тулд эхлээд \(1\)-ээс \(42\) дахь нийлбэрийг олж, дараа нь хасах хэрэгтэй. үүнээс эхнийхээс \(25\) хүртэлх нийлбэр (зураг харна уу).
	Бидний явцын хувьд \(a_1=-33\) ба ялгаа \(d=4\) (эцсийн эцэст бид дараагийн элементийг олохын тулд өмнөх элемент дээр дөрвийг нэмдэг). Үүнийг мэдсэнээр бид эхний \(42\)-y элементүүдийн нийлбэрийг олно.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Одоо эхний \(25\) элементүүдийн нийлбэр.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Эцэст нь бид хариултыг тооцоолно.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Хариулт: \(S=1683\).

Арифметик прогрессийн хувьд практик ач холбогдол багатай тул бид энэ нийтлэлд авч үзээгүй өөр хэд хэдэн томъёо байдаг. Гэсэн хэдий ч та тэдгээрийг амархан олох боломжтой.