Механик энерги. Эргэлтийн хөдөлгөөний үед кинетик энерги

Механик.

Асуулт №1

Лавлах систем. Инерцийн лавлагааны системүүд. Галилео-Эйнштейний харьцангуйн зарчим.

Лавлах хүрээ- энэ нь тухайн биеийн хөдөлгөөн, түүнтэй холбоотой координатын системийг тодорхойлсон биетүүдийн багц юм.

Инерцийн лавлагааны систем (IRS)чөлөөтэй хөдөлж буй бие нь тайван буюу жигд шулуун хөдөлгөөнтэй байх систем юм.

Галилео-Эйнштейний харьцангуйн зарчим- Аливаа инерциал тооллын систем дэх байгалийн бүх үзэгдлүүд ижил хэлбэрээр явагддаг бөгөөд ижил математик хэлбэртэй байдаг. Өөрөөр хэлбэл, бүх ISO тэнцүү байна.

Асуулт №2

Хөдөлгөөний тэгшитгэл. Хатуу биеийн хөдөлгөөний төрлүүд. Кинематикийн үндсэн үүрэг.

Хөдөлгөөний тэгшитгэл материаллаг цэг:

- хөдөлгөөний кинематик тэгшитгэл

Хатуу биеийн хөдөлгөөний төрлүүд:

1) Орчуулгын хөдөлгөөн - биед зурсан аливаа шулуун шугам өөртэйгээ зэрэгцээ хөдөлдөг.

2) Эргэлтийн хөдөлгөөн - биеийн аль ч цэг тойрог хэлбэрээр хөдөлдөг.

φ = φ(t)

Кинематикийн үндсэн үүрэг- энэ нь материаллаг цэгийн хурдны V = V(t) ба координат (эсвэл радиус вектор) r = r(t) хурдатгалын тодорхой хугацааны хамаарлаас a = a(t) болон мэдэгдэж байгаа анхны нөхцөл V 0 ба r 0 .

Асуулт №7

Судасны цохилт (Хөдөлгөөний хэмжээ) нь биеийн механик хөдөлгөөний хэмжүүрийг тодорхойлдог вектор физик хэмжигдэхүүн юм. Сонгодог механикийн хувьд биеийн импульс нь массын үржвэртэй тэнцүү байдаг мэнэ цэгийг хурдаараа v, импульсийн чиглэл нь хурдны векторын чиглэлтэй давхцдаг.

Онолын механикийн хувьд ерөнхий импульснь системийн Лагранжийн ерөнхийлсөн хурдтай холбоотой хэсэгчилсэн дериватив юм

Системийн лагранж заримаас хамаарахгүй бол ерөнхий координатууд, дараа нь улмаас Лагранжийн тэгшитгэл .

Чөлөөт бөөмийн хувьд Лагранж функц нь дараах хэлбэртэй байна, иймээс:

Хаалттай системийн Лагранжийн орон зай дахь байрлалаас үл хамаарах байдал нь өмчөөс хамаарна орон зайн нэгэн төрлийн байдал: сайн тусгаарлагдсан системийн хувьд түүний зан төлөв нь бидний орон зайд хаана байрлуулахаас хамаардаггүй. By Ноетерийн теоремЭнэ нэгэн төрлийн байдлаас зарим нэг физик хэмжигдэхүүн хадгалагдана. Энэ хэмжигдэхүүнийг импульс (ердийн, ерөнхий бус) гэж нэрлэдэг.

Сонгодог механикийн хувьд бүрэн импульсМатериалын цэгүүдийн системийг материаллаг цэгүүдийн массын бүтээгдэхүүн ба тэдгээрийн хурдны нийлбэртэй тэнцүү вектор хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг.

үүний дагуу хэмжигдэхүүнийг нэг материаллаг цэгийн импульс гэж нэрлэдэг. Энэ нь бөөмийн хурдтай ижил чиглэлд чиглэсэн вектор хэмжигдэхүүн юм. Олон улсын нэгжийн систем (SI) нь импульсийн нэгж юм килограмм-метр секунд(кг м/с)

Хэрэв бид хязгаарлагдмал хэмжээтэй биетэй харьцаж байгаа бол түүний импульсийг тодорхойлохын тулд биеийг материаллаг цэгүүд гэж үзэж, тэдгээрийн дээр нэгтгэж болох жижиг хэсгүүдэд хуваах шаардлагатай бөгөөд үр дүнд нь бид дараахь зүйлийг олж авна.

Аливаа гадны хүчинд өртөөгүй системийн импульс (эсвэл тэдгээрийг нөхдөг) хадгалсанцагтаа:

Энэ тохиолдолд импульсийн хадгалалт нь Ньютоны хоёр ба гурав дахь хуулиас хамаарна: системийг бүрдүүлэгч материаллаг цэг тус бүрээр Ньютоны хоёрдугаар хуулийг бичиж, системийг бүрдүүлэгч бүх материаллаг цэгүүдийг нэгтгэснээр Ньютоны гурав дахь хуулийн дагуу бид тэгш байдлыг олж авна (* ).

Харьцангуй механикийн хувьд харилцан үйлчлэлгүй материаллаг цэгүүдийн системийн гурван хэмжээст импульс нь хэмжигдэхүүн юм.

,

Хаана м би- жин биматериаллаг цэг.

Харилцан хамааралгүй материаллаг цэгүүдийн хаалттай системийн хувьд энэ утга хадгалагдана. Гэсэн хэдий ч гурван хэмжээст импульс нь жишиг хүрээнээс хамаардаг тул харьцангуй өөрчлөгддөггүй хэмжигдэхүүн биш юм. Илүү утга учиртай хэмжигдэхүүн нь нэг материаллаг цэгийн хувьд тодорхойлогддог дөрвөн хэмжээст импульс байх болно

Практикт бөөмийн масс, импульс, энергийн хоорондын дараах хамаарлыг ихэвчлэн ашигладаг.

Зарчмын хувьд харилцан үйлчлэлгүй материаллаг цэгүүдийн системийн хувьд тэдгээрийн 4 моментийг нэгтгэсэн болно. Гэсэн хэдий ч харьцангуй механикийн харилцан үйлчлэлийн хэсгүүдийн хувьд зөвхөн системийг бүрдүүлдэг бөөмсийн импульс төдийгүй тэдгээрийн хоорондын харилцан үйлчлэлийн талбайн импульсийг харгалзан үзэх шаардлагатай. Тиймээс харьцангуй механикийн хувьд илүү утга учиртай хэмжигдэхүүн бол хадгалалтын хуулийг бүрэн хангадаг энерги-моментийн тензор юм.

Асуулт №8

Инерцийн момент- скаляр физик хэмжигдэхүүн, тэнхлэгийг тойрон эргэх хөдөлгөөнд байгаа биеийн инерцийн хэмжүүр, биеийн масс нь түүний хөрвүүлэх хөдөлгөөн дэх инерцийн хэмжигдэхүүнтэй адил. Бие дэх массын тархалтаар тодорхойлогддог: инерцийн момент нь үндсэн массын үржвэрийн нийлбэр нь тэдгээрийн суурь хүртэлх зайны квадраттай тэнцүү байна.

Тэнхлэгийн инерцийн момент

Зарим биеийн инерцийн тэнхлэгийн моментууд.

Инерцийн момент механик систем тогтмол тэнхлэгтэй харьцуулахад (“тэнхлэгийн инерцийн момент”) хэмжигдэхүүн Ж а, бүх массын бүтээгдэхүүний нийлбэртэй тэнцүү nСистемийн материаллаг цэгүүдийг тэнхлэг хүртэлх зайны квадратаар:

,

• м би- жин бир цэг,
• r i-аас зайтай битэнхлэг рүү чиглэсэн цэг.

Тэнхлэг инерцийн моментбие Ж ань тэнхлэгийг тойрон эргэх хөдөлгөөнд байгаа биеийн инерцийн хэмжүүр юм, яг л биеийн масс нь хөрвүүлэх хөдөлгөөн дэх түүний инерцийн хэмжүүр юм.

,

• dm = ρ dV- биеийн эзэлхүүний жижиг элементийн масс dV,
• ρ - нягтрал,
• r- элементээс зай dVтэнхлэгт a.

Хэрэв бие нь нэгэн төрлийн бол, өөрөөр хэлбэл түүний нягт нь хаа сайгүй ижил байна

Томъёоны гарал үүсэл

dmба инерцийн моментууд dJ i. Дараа нь

Нимгэн ханатай цилиндр (цагираг, цагираг)

Томъёоны гарал үүсэл

Биеийн инерцийн момент нь түүний бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн инерцийн моментуудын нийлбэртэй тэнцүү байна. Нимгэн ханатай цилиндрийг масстай элементүүдэд хуваа dmба инерцийн моментууд dJ i. Дараа нь

Нимгэн ханатай цилиндрийн бүх элементүүд нь эргэлтийн тэнхлэгээс ижил зайд байрладаг тул (1) томъёог хэлбэрт шилжүүлнэ.

Штайнерын теорем

Инерцийн моменталиваа тэнхлэгтэй харьцуулахад хатуу биетийн хэмжээ нь зөвхөн биеийн масс, хэлбэр, хэмжээ зэргээс гадна энэ тэнхлэгтэй харьцуулахад биеийн байрлалаас хамаарна. Штайнерын теоремын дагуу (Гюйгенс-Штайнер теорем) инерцийн моментбие Ждурын тэнхлэгтэй харьцуулахад нийлбэртэй тэнцүү байна инерцийн моментэнэ бие J cавч үзэж буй тэнхлэгтэй параллель биеийн массын төвөөр дамжин өнгөрөх тэнхлэгтэй харьцуулахад, биеийн массын үржвэр мзайны квадрат тутамд гтэнхлэгүүдийн хооронд:

Хэрэв биеийн массын төвийг дайран өнгөрөх тэнхлэгтэй харьцуулахад биеийн инерцийн момент бол түүнээс хол зайд байрлах параллель тэнхлэгтэй харьцуулахад инерцийн момент нь тэнцүү байна.

,

биеийн нийт масс хаана байна.

Жишээлбэл, саваагийн төгсгөлийг дайран өнгөрөх тэнхлэгтэй харьцуулахад инерцийн момент нь дараахтай тэнцүү байна.

Эргэлтийн энерги

Эргэлтийн хөдөлгөөний кинетик энерги- эргэлттэй холбоотой биеийн энерги.

Биеийн эргэлтийн хөдөлгөөний үндсэн кинематик шинж чанар нь түүний өнцгийн хурд (ω) ба өнцгийн хурдатгал юм. Эргэлтийн хөдөлгөөний үндсэн динамик шинж чанарууд - z эргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад өнцгийн импульс:

К з = Би Зω

ба кинетик энерги

Энд I z нь эргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад биеийн инерцийн момент юм.

Инерцийн үндсэн тэнхлэгүүдтэй эргэдэг молекулыг авч үзэх үед ижил төстэй жишээг олж болно би 1, би 2Тэгээд би 3. Эргэлтийн энергиийм молекулыг илэрхийллээр өгөгдсөн

Хаана ω 1, ω 2, Мөн ω 3- өнцгийн хурдны үндсэн бүрэлдэхүүн хэсгүүд.

Ерөнхийдөө өнцгийн хурдтай эргэлтийн энергийг дараах томъёогоор олно.

, Хаана I- инерцийн тензор.

Асуулт №9

Импульсийн мөч (өнцгийн импульс, өнцгийн импульс, тойрог замын импульс, өнцгийн импульс) эргэлтийн хөдөлгөөний хэмжээг тодорхойлдог. Хэр их масс эргэлдэж байгаа, эргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад хэрхэн тархсан, эргэлт ямар хурдаар явагдах зэргээс хамаарах хэмжигдэхүүн.

Энд эргэлтийг зөвхөн тэнхлэгийн эргэн тойронд тогтмол эргүүлэх биш өргөн утгаар ойлгодог гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Жишээ нь, тэр ч байтугай хамт шулуун хөдөлгөөнбие нь хөдөлгөөний шугам дээр хэвтээгүй дурын төсөөллийн цэгийг өнгөрч, мөн өнцгийн импульстэй байдаг. Бодит эргэлтийн хөдөлгөөнийг тодорхойлоход өнцгийн импульс хамгийн их үүрэг гүйцэтгэдэг байж магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч энэ нь илүү өргөн хүрээний асуудлын хувьд маш чухал юм (ялангуяа асуудал нь төв эсвэл тэнхлэгийн тэгш хэмтэй бол зөвхөн эдгээр тохиолдолд биш).

Өнцгийн импульс хадгалагдах хууль(өнцгийн импульс хадгалагдах хууль) - системийн тэнцвэрт байдлын үед хаалттай системийн аль ч тэнхлэгтэй харьцуулахад бүх өнцгийн импульсийн вектор нийлбэр тогтмол хэвээр байна. Үүний дагуу хаалттай системийн өнцгийн импульс нь цаг хугацааны хувьд өнцгийн импульсийн аливаа деривативтай харьцуулахад хүчний момент юм.

Тиймээс системийг хаах шаардлагыг гадны хүчний гол (нийт) момент тэгтэй тэнцүү байх шаардлагад сулруулж болно.

бөөмсийн системд үйлчлэх хүчний аль нэгний момент хаана байна. (Гэхдээ мэдээжийн хэрэг, хэрэв гадны хүчин огт байхгүй бол энэ шаардлагыг бас хангана).

Математикийн хувьд өнцгийн импульс хадгалагдах хууль нь орон зайн изотропи, өөрөөр хэлбэл дурын өнцгөөр эргэх үед орон зайн өөрчлөгдөөгүй байдлаас үүсдэг. Дурын хязгааргүй жижиг өнцгөөр эргүүлэхэд тоотой бөөмийн радиус вектор , хурд нь - -ээр өөрчлөгдөнө. Системийн Лагранж функц нь орон зайн изотропийн улмаас ийм эргэлтээр өөрчлөгдөхгүй. Тийм ч учраас

« Физик - 10-р анги"

Уран гулгагч яагаад эргэлтийн өнцгийн хурдыг нэмэгдүүлэхийн тулд эргэлтийн тэнхлэгийн дагуу сунадаг вэ?
Ротор нь эргэх үед нисдэг тэрэг эргэх ёстой юу?

Асуултуудаас харахад гадны хүч биед үйлчлэхгүй эсвэл тэдгээрийн үйлдлийг нөхөж, биеийн нэг хэсэг нь нэг чиглэлд эргэлдэж эхэлбэл нөгөө хэсэг нь түлшийг гадагшлуулахтай адил нөгөө чиглэлд эргэлддэг. пуужин бол пуужин өөрөө эсрэг чиглэлд хөдөлдөг.

Импульсийн мөч.

Хэрэв бид эргэлддэг дискийг авч үзвэл дискний нийт импульс тэг болох нь тодорхой болно, учир нь биеийн аль ч хэсэг нь ижил хурдтай хөдөлж буй бөөмстэй тохирч, харин эсрэг чиглэл(Зураг 6.9).

Гэхдээ диск хөдөлж байна, бүх хэсгүүдийн эргэлтийн өнцгийн хурд ижил байна. Гэсэн хэдий ч бөөмс эргэлтийн тэнхлэгээс хол байх тусам түүний импульс их байх нь ойлгомжтой. Тиймээс эргэлтийн хөдөлгөөний хувьд импульстэй төстэй өөр нэг шинж чанарыг нэвтрүүлэх шаардлагатай - өнцгийн импульс.

Тойрог дотор хөдөлж буй бөөмийн өнцгийн импульс нь бөөмийн импульс ба түүнээс эргэлтийн тэнхлэг хүртэлх зайны үржвэр юм (Зураг 6.10):

Шугаман ба өнцгийн хурдууд нь v = ωr хамаарлаар холбогдоно

Хатуу биетийн бүх цэгүүд ижил өнцгийн хурдтай тогтмол эргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад хөдөлдөг. Хатуу биеийг материаллаг цэгүүдийн цуглуулга болгон төлөөлж болно.

Хатуу биеийн өнцгийн импульс нь инерцийн момент ба эргэлтийн өнцгийн хурдны үржвэртэй тэнцүү байна.

Өнцгийн импульс нь вектор хэмжигдэхүүн бөгөөд (6.3) томъёоны дагуу өнцгийн импульс нь өнцгийн хурдтай ижил чиглэгддэг.

Импульсийн хэлбэрийн эргэлтийн хөдөлгөөний динамикийн үндсэн тэгшитгэл.

Биеийн өнцгийн хурдатгал нь өнцгийн хурдны өөрчлөлтийг тухайн өөрчлөлт гарсан хугацаанд хуваасантай тэнцүү байна: Эргэлтийн хөдөлгөөний динамикийн үндсэн тэгшитгэлд энэ илэрхийллийг орл. иймээс I(ω 2 - ω 1) = MΔt, эсвэл IΔω = MΔt.

Тиймээс,

ΔL = MΔt. (6.4)

Өнцгийн импульсийн өөрчлөлт нь бие эсвэл системд үйлчлэх хүчний нийт момент ба эдгээр хүчний үйлчлэлийн үргэлжлэх хугацаатай тэнцүү байна.

Өнцгийн импульс хадгалагдах хууль:

Тогтмол эргэлтийн тэнхлэгтэй бие эсвэл системд үйлчлэх хүчний нийт момент тэгтэй тэнцүү бол өнцгийн импульсийн өөрчлөлт мөн тэг болно, өөрөөр хэлбэл системийн өнцгийн импульс тогтмол хэвээр байна.

ΔL = 0, L = const.

Системийн импульсийн өөрчлөлт нь системд үйлчилж буй хүчний нийт импульстэй тэнцүү байна.

Эргэдэг тэшүүрчин гараа хажуу тийш нь сунгаж, улмаар эргэлтийн өнцгийн хурдыг багасгахын тулд инерцийн моментыг нэмэгдүүлдэг.

Өнцгийн импульс хадгалагдах хуулийг "Жуковскийн вандан туршилт" гэж нэрлэдэг дараах туршилтыг ашиглан харуулж болно. Нэг хүн босоо тэнхлэг нь түүний төвөөр дамждаг вандан сандал дээр зогсож байна. Эрэгтэй хүн гартаа дамббелл барьдаг. Хэрэв вандан сандал эргэдэг бол тэр хүн дамббеллийг цээжиндээ дарж эсвэл гараа доошлуулж, дараа нь дээш өргөх замаар эргэлтийн хурдыг өөрчилж болно. Гараа дэлгэснээр тэрээр инерцийн моментийг нэмэгдүүлж, эргэлтийн өнцгийн хурд буурч (Зураг 6.11, а), гараа доошлуулж, инерцийн моментыг багасгаж, вандан сандлын эргэлтийн өнцгийн хурд нэмэгддэг (Зураг 1). 6.11, b).

Мөн хүн вандан сандлын ирмэгээр алхаж эргүүлэх боломжтой. Энэ тохиолдолд вандан сандал нь эсрэг чиглэлд эргэлддэг, учир нь нийт өнцгийн импульс тэгтэй тэнцүү байх ёстой.

Гироскоп гэж нэрлэгддэг төхөөрөмжүүдийн ажиллах зарчим нь өнцгийн импульс хадгалагдах хууль дээр суурилдаг. Гироскопын гол шинж чанар нь энэ тэнхлэгт гадны хүч үйлчлэхгүй бол эргэлтийн тэнхлэгийн чиглэлийг хадгалах явдал юм. 19-р зуунд Гироскопыг далайчид далайд чиглүүлэхийн тулд ашигладаг байв.

Эргэдэг хатуу биеийн кинетик энерги.

Эргэдэг хатуу биеийн кинетик энерги нь түүний бие даасан хэсгүүдийн кинетик энергийн нийлбэртэй тэнцүү байна. Биеийг жижиг элементүүдэд хувааж, тус бүрийг материаллаг цэг гэж үзэж болно. Дараа нь биеийн кинетик энерги нь түүний бүрдэх материаллаг цэгүүдийн кинетик энергийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Биеийн бүх цэгүүдийн эргэлтийн өнцгийн хурд ижил байна.

Хаалтанд байгаа утга нь бидний аль хэдийн мэдэж байгаачлан хатуу биеийн инерцийн момент юм. Эцэст нь, тогтмол эргэлтийн тэнхлэгтэй хатуу биеийн кинетик энергийн томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.

Хатуу биеийн хөдөлгөөний ерөнхий тохиолдолд эргэлтийн тэнхлэг чөлөөтэй байх үед түүний кинетик энерги нь хөрвүүлэлтийн болон эргэлтийн хөдөлгөөний энергийн нийлбэртэй тэнцүү байна. Тиймээс дугуйны масс нь дугуйнд төвлөрч, замын дагуу тогтмол хурдтайгаар эргэлддэг дугуйны кинетик энерги нь тэнцүү байна.

Хүснэгтэнд материалын цэгийн хөрвүүлэх хөдөлгөөний механикийн томъёог хатуу биеийн эргэлтийн хөдөлгөөний ижил төстэй томъёотой харьцуулсан болно.

Даалгаврууд

1. Дугуйн жин нь галт тэрэгний массын 15%-тай тэнцэх бол 4000 тонн жинтэй галт тэрэгний үр ашигтай масс нь таталцлын массаас хэд дахин их болохыг тодорхойл. Дугуйг 1.02 м-ийн диаметртэй диск гэж үзье.Хэрэв дугуйны диаметр хагасаар том бол хариулт хэрхэн өөрчлөгдөх вэ?

2. 1200 кг жинтэй хос дугуй 0.08 налуутай толгод уруу өнхрөх хурдатгалыг тодорхойл. Дугуйг диск гэж үзье. Өнхрөх эсэргүүцлийн коэффициент 0.004. Дугуй ба төмөр замын хоорондох наалдацын хүчийг тодорхойлно.

3. 1400 кг жинтэй хос дугуй 0,05 налуутай толгод руу өнхрөх хурдатгалыг тодорхойл. Эсэргүүцлийн коэффициент 0.002. Дугуйнууд гулсахгүйн тулд наалдалтын коэффициент ямар байх ёстой вэ? Дугуйг диск гэж үзье.

4. 40 тонн жинтэй машин 1200 кг жинтэй 8 дугуйтай, 1,02 м голчтой бол 0,020 налуутай гүвээ уруу ямар хурдатгалтайгаар өнхрөхийг тодорхойл.Хүрдний төмөр замд наалдсан хүчийг тодорхойл. Эсэргүүцлийн коэффициент 0.003.

5. 4000 тн жинтэй галт тэрэг 0.3 м/с 2 хурдатгалтай тоормослох бол дугуйны тоормосны талбайн даралтын хүчийг тодорхойл. Нэг хос дугуйны инерцийн момент 600 кг м 2, тэнхлэгийн тоо 400, дэвсгэрийн гулсах үрэлтийн коэффициент 0.18, гулсмал эсэргүүцлийн коэффициент 0.004 байна.

6. Дөрвөн тэнхлэгт 60 тн жинтэй машинд довтолгооны тоормосны тавцан дээр 30 м-ийн зам дээрх хурд 2 м/с-ээс 1.5 м/с болж буурсан бол тоормосны хүчийг тодорхойл. Нэг дугуйны инерцийн момент 500 кг м 2 байна.

7. Зүтгүүрийн хурд хэмжигч галт тэрэгний хурд нэг минутын дотор 10 м/с-ээс 60 м/с болтлоо нэмэгдсэнийг харуулсан. Жолооны дугуй нь гулссан байх магадлалтай. Цахилгаан хөдөлгүүрийн арматур дээр үйлчлэх хүчний моментийг тодорхойлно. Дугуйны инерцийн момент 600 кг м 2, арматур нь 120 кг м 2 байна. Арааны харьцаа араа дамжуулалт 4.2. Төмөр зам дээрх даралтын хүч 200 кН, төмөр зам дээрх дугуйны гулсалтын үрэлтийн коэффициент 0.10 байна.

11. ЭРГЭЛТИЙН КИНЕТИК ЭРЧИМ

ХӨДӨЛГӨӨНҮҮД

Эргэлтийн хөдөлгөөний кинетик энергийн томъёог гаргая. Биеийг өнцгийн хурдаар эргүүлээрэй ω тогтмол тэнхлэгтэй харьцуулахад. Биеийн аливаа жижиг бөөм нь хаана байх хурдтай тойрог дотор хөрвүүлэх хөдөлгөөнд ордог би -эргэлтийн тэнхлэг хүртэлх зай, тойрог замын радиус. Бөөмийн кинетик энерги масс м битэнцүү . Бөөмийн системийн нийт кинетик энерги нь тэдгээрийн кинетик энергийн нийлбэртэй тэнцүү байна. Биеийн бөөмсийн кинетик энергийн томъёог нэгтгэн дүгнэж, бүх бөөмсийн хувьд ижил өнцгийн хурдны квадратыг нийлбэрийн тэмдэг болгон гаргая. Бөөмийн массын бүтээгдэхүүний эргэлтийн тэнхлэг хүртэлх зайн квадратын нийлбэр нь эргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад биеийн инерцийн момент юм. . Тэгэхээр, Тогтмол тэнхлэгтэй харьцуулахад эргэлдэж буй биеийн кинетик энерги нь тэнхлэгтэй харьцуулахад биеийн инерцийн момент ба эргэлтийн өнцгийн хурдны квадратын үржвэрийн хагастай тэнцүү байна:

Эргэдэг биетүүдийн тусламжтайгаар механик энергийг хадгалах боломжтой. Ийм биеийг flywheels гэж нэрлэдэг. Ихэвчлэн эдгээр нь хувьсгалын байгууллага юм. Вааран дугуйнд flywheels ашиглах нь эрт дээр үеэс мэдэгдэж байсан. Дотоод шаталтат хөдөлгүүрт цахилгаан цохилтын үед поршений хөдөлгүүр нь нисдэг дугуй руу механик энерги өгдөг бөгөөд энэ нь дараагийн гурван цохилтоор хөдөлгүүрийн голыг эргүүлэх ажлыг гүйцэтгэдэг. Маягт ба прессэд нисдэг дугуй нь харьцангуй бага чадалтай цахилгаан мотороор хөдөлдөг бөгөөд бараг бүх хугацаанд механик энерги хуримтлуулдаг. бүрэн эргэлтба нөлөөллийн богино мөчид энэ нь тамга дарах ажилд шилжүүлдэг.

Тээврийн хэрэгсэл жолоодохын тулд эргэдэг нисдэг дугуй ашиглах олон оролдлого байдаг: машин, автобус. Тэднийг махомобил, гиромобил гэж нэрлэдэг. Ийм олон туршилтын машин бий болсон. Хуримтлагдсан энергийг дараагийн хурдатгалд ашиглахын тулд цахилгаан галт тэрэгний тоормослох үед эрчим хүч хуримтлуулахын тулд нисдэг дугуй ашиглах нь ирээдүйтэй байх болно. Flywheel эрчим хүчний хуримтлалыг Нью-Йорк хотын метроны галт тэргэнд ашигладаг.

Эхлээд OZ тогтмол тэнхлэгийг тойрон өнцгийн хурдаар эргэдэг хатуу биетийг авч үзье ω (Зураг 5.6). Биеийг энгийн масс болгон хувацгаая. Энгийн массын шугаман хурд нь -тэй тэнцүү бөгөөд түүний эргэлтийн тэнхлэгээс зай нь энд байна. Кинетик энерги би-энэ энгийн масс нь тэнцүү байх болно

.

Тиймээс бүх биеийн кинетик энерги нь түүний хэсгүүдийн кинетик энергиэс бүрддэг

.

Энэ харьцааны баруун талд байгаа нийлбэр нь эргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад биеийн инерцийн моментийг илэрхийлдэг болохыг харгалзан бид эцэст нь олж авна.

. (5.30)

Эргэдэг биеийн кинетик энергийн томъёо (5.30) нь биеийн хөрвүүлэх хөдөлгөөний кинетик энергийн харгалзах томьёотой төстэй. Тэдгээрийг сүүлчийнхээс албан ёсоор орлуулах замаар олж авдаг .

Ерөнхий тохиолдолд хатуу биетийн хөдөлгөөнийг хөдөлгөөний нийлбэрээр дүрсэлж болно - биеийн массын төвийн хурдтай тэнцүү хурдаар хөрвүүлэх, төвийг дайран өнгөрөх агшин зуурын тэнхлэгийг тойрон өнцгийн хурдаар эргэх. масс. Энэ тохиолдолд биеийн кинетик энергийн илэрхийлэл хэлбэрийг авна

.

Одоо хатуу биеийг эргүүлэх үед гадны хүчний моментийн гүйцэтгэсэн ажлыг олцгооё. Цаг хугацааны хувьд гадны хүчний үндсэн ажил dtбиеийн кинетик энергийн өөрчлөлттэй тэнцүү байх болно

Эргэлтийн хөдөлгөөний кинетик энергийн дифференциалыг авч үзвэл бид түүний өсөлтийг олно

.

Эргэлтийн хөдөлгөөний динамикийн үндсэн тэгшитгэлийн дагуу

Эдгээр харилцааг харгалзан бид үндсэн ажлын илэрхийлэлийг хэлбэр болгон бууруулдаг

OZ эргэлтийн тэнхлэгийн чиглэл дэх гадны хүчний үүссэн моментийн төсөөлөл нь тухайн цаг хугацааны туршид биеийн эргэлтийн өнцөг юм.

(5.31) нэгтгэж, бид эргэлдэж буй биед үйлчилж буй гадны хүчний ажлын томъёог олж авна.

Хэрэв бол томъёог хялбаршуулна

Тиймээс хатуу биеийг тогтмол тэнхлэгтэй харьцуулахад эргүүлэх үед гадны хүчний ажил нь эдгээр хүчний моментийн энэ тэнхлэгт проекцын үйлчлэлээр тодорхойлогддог.

Гироскоп

Гироскоп бол эргэлтийн тэнхлэг нь орон зайд чиглэлээ өөрчилж чаддаг хурдан эргэдэг тэгш хэмтэй бие юм. Гироскопын тэнхлэг нь орон зайд чөлөөтэй эргэхийн тулд гироскопыг гимбал суспенз гэж нэрлэгдэх хэсэгт байрлуулна (Зураг 5.13). Гироскопын нисдэг дугуй нь хүндийн төвөөр дамжин өнгөрөх C 1 C 2 тэнхлэгийг тойрон дотоод цагирагт эргэлддэг. Дотоод цагираг нь эргээд C 1 C 2 перпендикуляр B 1 B 2 тэнхлэгийн эргэн тойронд гаднах цагирагт эргэлдэж болно. Эцэст нь гаднах уралдаан нь C 1 C 2 ба B 1 B 2 тэнхлэгт перпендикуляр A 1 A 2 тэнхлэгийн эргэн тойронд тулгуурын холхивч дээр чөлөөтэй эргэлдэж болно. Бүх гурван тэнхлэг нь суспензийн төв буюу гироскопын тулгуур цэг гэж нэрлэгддэг тодорхой О цэг дээр огтлолцдог. Гимбал дахь гироскоп нь гурван зэрэг эрх чөлөөтэй тул гимблийн төвийг тойрон ямар ч эргэлт хийх боломжтой. Хэрэв гироскопын түдгэлзүүлэлтийн төв нь түүний хүндийн төвтэй давхцаж байвал гироскопын бүх хэсгүүдийн суспензийн төвтэй харьцуулахад үүссэн хүндийн момент тэг болно. Ийм гироскопыг тэнцвэртэй гэж нэрлэдэг.

Одоо хамгийн ихийг авч үзье чухал шинж чанаруудянз бүрийн салбарт өргөн хэрэглэгддэг гироскоп.

1) Тогтвортой байдал.

Эсрэг тэнцвэржүүлсэн гироскопын аливаа эргэлтийн хувьд түүний эргэлтийн тэнхлэг нь лабораторийн лавлах системтэй харьцуулахад чиглэлд өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна. Энэ нь үрэлтийн хүчний моменттой тэнцүү бүх гадны хүчний момент нь маш бага бөгөөд гироскопын өнцгийн импульсийн өөрчлөлтийг бараг үүсгэдэггүйтэй холбоотой юм.

Өнцгийн импульс нь гироскопын эргэлтийн тэнхлэгийн дагуу чиглэгддэг тул түүний чиглэл өөрчлөгдөхгүй байх ёстой.

Хэрэв гадны хүч богино хугацаанд үйлчилбэл өнцгийн импульсийн өсөлтийг тодорхойлдог интеграл бага байх болно.

. (5.34)

Энэ нь том хүчний богино хугацааны нөлөөн дор тэнцвэртэй гироскопын хөдөлгөөн бага зэрэг өөрчлөгддөг гэсэн үг юм. Гироскоп нь өнцгийн импульсийн хэмжээ, чиглэлийг өөрчлөх аливаа оролдлогыг эсэргүүцдэг бололтой. Энэ нь гироскопын хөдөлгөөнийг хурдан эргүүлсний дараа олж авдаг гайхалтай тогтвортой байдалтай холбоотой юм. Гироскопын энэ шинж чанарыг нисэх онгоц, усан онгоц, пуужин болон бусад төхөөрөмжүүдийн хөдөлгөөнийг автоматаар удирдахад өргөн ашигладаг.

Хэрэв гироскоп нь чиглэлд тогтмол байдаг гадны хүчний агшинд удаан хугацаагаар үйлчилдэг бол гироскопын тэнхлэг нь эцсийн эцэст гадны хүчний моментийн чиглэлд тохируулагдана. Энэ үзэгдлийг гирокомпаст ашигладаг. Энэ төхөөрөмж нь гироскоп бөгөөд тэнхлэгийг хэвтээ хавтгайд чөлөөтэй эргүүлэх боломжтой. Улмаас өдөр тутмын эргэлтДэлхий ба төвөөс зугтах хүчний моментийн үйлдэл, гироскопын тэнхлэг нь эргэлдэж, хоорондох өнцөг нь хамгийн бага байх болно (Зураг 5.14). Энэ нь гироскопын тэнхлэгийн меридиан хавтгай дахь байрлалтай тохирч байна.

2). Гироскопийн нөлөө.

Хэрэв эргэлтийн тэнхлэгт перпендикуляр тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлэх хандлагатай байгаа эргэдэг гироскопод хос хүчийг хэрэглэвэл эхний хоёр тэнхлэгт перпендикуляр гурав дахь тэнхлэгийг тойрон эргэлдэж эхэлнэ (Зураг 5.15). Гироскопийн энэхүү ер бусын үйлдлийг гироскопийн эффект гэж нэрлэдэг. Энэ нь хос хүчний момент нь O 1 O 1 тэнхлэгийн дагуу чиглэсэн бөгөөд цаг хугацааны явцад векторын өөрчлөлт нь ижил чиглэлтэй байх болно гэж тайлбарладаг. Үүний үр дүнд шинэ вектор нь O 2 O 2 тэнхлэгтэй харьцуулахад эргэх болно. Тиймээс, анх харахад байгалийн бус гироскопын зан байдал нь эргэлтийн хөдөлгөөний динамикийн хуулиудад бүрэн нийцдэг.

3). Гироскопын прецесс.

Гироскопын прецесс нь түүний тэнхлэгийн конус хэлбэрийн хөдөлгөөн юм. Энэ нь гадны хүчний момент нь гироскопын тэнхлэгтэй зэрэгцэн эргэлдэж, үргэлж зөв өнцгийг үүсгэдэг тохиолдолд тохиолддог. Урт эргэлтийг харуулахын тулд хурдан эргэлтэнд тохируулсан сунгасан тэнхлэг бүхий дугуйг ашиглаж болно (Зураг 5.16).

Хэрэв дугуй нь тэнхлэгийн сунгасан төгсгөлд дүүжлэгдсэн бол түүний тэнхлэг нь өөрийн жингийн нөлөөн дор босоо тэнхлэгийн эргэн тойронд урагшилж эхэлнэ. Хурдан эргэдэг дээд хэсэг нь мөн прецессийн үзүүлбэр болж чадна.

Гироскопийн прецессийн шалтгааныг олж мэдье. Тэнцвэргүй гироскопыг авч үзье, тэнхлэг нь тодорхой O цэгийн эргэн тойронд чөлөөтэй эргэлддэг (Зураг 5.16). Гироскопод хэрэглэсэн таталцлын момент нь тэнцүү хэмжээтэй байна

Гироскопын масс хаана байна, О цэгээс гироскопын массын төв хүртэлх зай, гироскопын тэнхлэгийн босоо тэнхлэгээс үүссэн өнцөг. Вектор нь гироскопын тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх босоо хавтгайд перпендикуляр чиглэнэ.

Энэ моментийн нөлөөн дор гироскопын өнцгийн импульс (түүний гарал үүсэл нь О цэг дээр байрладаг) цаг хугацааны өсөлтийг авч, гироскопын тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх босоо хавтгай нь өнцгөөр эргэлддэг. Вектор нь үргэлж перпендикуляр байдаг тул хэмжээ өөрчлөгдөхгүйгээр вектор зөвхөн чиглэлд өөрчлөгддөг. Гэсэн хэдий ч хэсэг хугацааны дараа харилцан зохицуулалтвекторууд бөгөөд эхний мөчтэй ижил байх болно. Үүний үр дүнд гироскопын тэнхлэг нь конусыг дүрслэн босоо чиглэлд тасралтгүй эргэлддэг. Энэ хөдөлгөөнийг прецесс гэж нэрлэдэг.

Прецессийн өнцгийн хурдыг тодорхойлъё. 5.16-р зурагт конусын тэнхлэг ба гироскопын тэнхлэгийг дайран өнгөрөх онгоцны эргэлтийн өнцөг нь тэнцүү байна.

Гироскопын өнцгийн импульс хаана байна, түүний цаг хугацааны өсөлт.

Тэмдэглэгдсэн харилцаа, хувиргалтыг харгалзан - -д хувааж, бид прецессийн өнцгийн хурдыг олж авна.

. (5.35)

Технологид хэрэглэгддэг гироскопуудын хувьд прецессийн өнцгийн хурд нь гироскопын эргэлтийн хурдаас хэдэн сая дахин бага байдаг.

Эцэст нь хэлэхэд, электронуудын тойрог замын хөдөлгөөний улмаас прецессийн үзэгдэл атомуудад бас ажиглагддаг болохыг бид тэмдэглэж байна.

Динамикийн хуулиудын хэрэглээний жишээ

Эргэлтийн хөдөлгөөний үед

1. Жуковскийн вандан сандал ашиглан хэрэгжүүлж болох өнцгийн импульс хадгалагдах хуулийн зарим жишээг авч үзье. Хамгийн энгийн тохиолдолд Жуковскийн вандан сандал нь диск хэлбэртэй платформ (сандал) бөгөөд бөмбөг холхивч дээр босоо тэнхлэгийн эргэн тойронд чөлөөтэй эргэлддэг (Зураг 5.17). Жагсагчид вандан сандал дээр сууж эсвэл зогсож, дараа нь түүнийг эргүүлнэ. Холхивч ашиглах үрэлтийн хүч маш бага байдаг тул эргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад мөргөцөг ба үзүүлэнгээс бүрдэх системийн өнцгийн импульс цаг хугацааны явцад өөрчлөгдөх боломжгүй. . Хэрэв жагсагч гартаа хүнд дамббелл барьж, гараа хажуу тийш нь тарааж байвал тэр системийн инерцийн моментийг ихэсгэх тул өнцгийн импульс өөрчлөгдөхгүй байхын тулд эргэлтийн өнцгийн хурд буурах ёстой.

Өнцгийн импульс хадгалагдах хуулийн дагуу бид энэ тохиолдолд тэгшитгэлийг үүсгэнэ

Энд хүн ба мөргөцгийн инерцийн момент ба эхний ба хоёр дахь байрлал дахь дамббеллүүдийн инерцийн момент ба системийн өнцгийн хурдууд.

Дамббеллуудыг хажуу тийш нь өргөх үед системийн эргэлтийн өнцгийн хурд нь тэнцүү байх болно

.

Дамббелл хөдөлгөх үед хүний ​​хийсэн ажлыг системийн кинетик энергийн өөрчлөлтөөр тодорхойлж болно

2. Жуковскийн вандан сандал дээр өөр нэг туршилт хийцгээе. Жагсагчид вандан сандал дээр сууж эсвэл зогсож, босоо чиглэлтэй тэнхлэгтэй хурдан эргэдэг дугуйг өгдөг (Зураг 5.18). Дараа нь жагсагч дугуйг 180 0 эргүүлнэ. Энэ тохиолдолд дугуйны өнцгийн импульсийн өөрчлөлт нь бүхэлдээ вандан сандал болон жагсагч руу шилждэг. Үүний үр дүнд вандан сандал нь үзүүлэнгийн хамт өнцгийн импульс хадгалагдах хуулийн үндсэн дээр тодорхойлсон өнцгийн хурдаар эргэлдэж эхэлдэг.

Анхны төлөв дэх системийн өнцгийн импульс нь зөвхөн дугуйны өнцгийн импульсээр тодорхойлогддог бөгөөд тэнцүү байна.

дугуйны инерцийн момент хаана, түүний эргэлтийн өнцгийн хурд.

Дугуйг 180 0 өнцгөөр эргүүлсний дараа системийн өнцгийн импульс нь хүнтэй мөргөцгийн өнцгийн импульс ба дугуйны өнцгийн импульсийн нийлбэрээр тодорхойлогдоно. Дугуйны өнцгийн импульсийн вектор чиглэлээ эсрэгээр өөрчилж, босоо тэнхлэгт проекц нь сөрөг болсныг харгалзан бид олж авна.

,

Энд "хүн-платформ" системийн инерцийн момент ба мөргөцгийн хүнтэй хамт эргэх өнцгийн хурд.

Өнцгийн импульс хадгалагдах хуулийн дагуу

Тэгээд .

Үүний үр дүнд бид вандан сандлын эргэлтийн хурдыг олдог

3. Массын нимгэн саваа мба урт лсавааны дундуур дайран өнгөрөх босоо тэнхлэгийг тойрон хэвтээ хавтгайд ω=10 с -1 өнцгийн хурдтайгаар эргэлддэг. Нэг хавтгайд үргэлжлүүлэн эргэлдэж байгаа тул саваа хөдөлж, эргэлтийн тэнхлэг нь одоо бариулын төгсгөлийг дайран өнгөрдөг. Хоёр дахь тохиолдолд өнцгийн хурдыг ол.

Энэ асуудалд эргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад бариулын массын тархалт өөрчлөгддөг тул савааны инерцийн момент мөн өөрчлөгддөг. Тусгаарлагдсан системийн өнцгийн импульс хадгалагдах хуулийн дагуу бид байна

Энд саваагийн дундуур дамждаг тэнхлэгтэй харьцуулахад бариулын инерцийн момент; нь савааны төгсгөлийг дайран өнгөрөх тэнхлэгтэй харьцуулахад инерцийн момент бөгөөд Штейнерийн теоремоор олддог.

Эдгээр илэрхийллийг өнцгийн импульс хадгалагдах хуульд орлуулж, бид олж авна

,

.

4. Савааны урт Л=1.5 м ба масс м 1=10 кг дээд үзүүрээс нугастай өлгөөтэй. -ийн масстай сум м 2=10 гр, хэвтээ чиглэлд =500 м/с хурдтайгаар нисч, саваанд гацсан. Цохилтын дараа саваа ямар өнцгөөр хазайх вэ?

Зураг дээр төсөөлөөд үз дээ. 5.19. харилцан үйлчлэгч биетүүдийн систем "саваа сум". Нөлөөллийн агшин дахь гадны хүчний моментууд (таталцал, тэнхлэгийн урвал) тэгтэй тэнцүү тул бид өнцгийн импульс хадгалагдах хуулийг ашиглаж болно.

Нөлөөллийн өмнөх системийн өнцгийн импульс нь түдгэлзүүлэх цэгтэй харьцуулахад сумны өнцгийн импульстэй тэнцүү байна.

Уян хатан бус нөлөөллийн дараах системийн өнцгийн импульсийг томъёогоор тодорхойлно

,

Суудлын цэгтэй харьцуулахад бариулын инерцийн момент хаана, сумны инерцийн момент, цохилтын дараа шууд сумтай саваагийн өнцгийн хурд.

Орлуулсны дараа үүссэн тэгшитгэлийг шийдэж, бид олно

.

Одоо хамгааллын хуулийг ашиглая механик энерги. Сум туссаны дараа савааны кинетик энергийг түүний өсөлтийн хамгийн дээд цэг дэх потенциал энергитэй нь тэнцүүлье.

,

Энэ системийн массын төвийн өндрийн өндөр хаана байна.

Шаардлагатай өөрчлөлтүүдийг хийсний дараа бид олж авна

Савааны хазайлтын өнцөг нь харьцаатай холбоотой

.

Тооцооллыг хийсний дараа бид =0.1p=18 0 болно.

5. Биеийн хурдатгал ба утаснуудын хурцадмал байдлыг Atwood машин дээр (Зураг 5.20) тодорхойлно. Эргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад блокийн инерцийн момент нь тэнцүү байна I, блок радиус r. Утасны массыг үл тоомсорло.

Ачаалал ба блок дээр үйлчлэх бүх хүчийг цэгцэлж, тэдгээрийн динамик тэгшитгэлийг байгуулъя.

Хэрэв блокны дагуу утас гулсахгүй бол шугаман болон өнцгийн хурдатгал нь хоорондоо хамааралтай байна.

Эдгээр тэгшитгэлийг шийдэж, бид олж авна

Дараа нь бид T 1 ба T 2-ийг олно.

6. Обербекийн загалмайн дамар дээр утас бэхлэгдсэн байна (Зураг 5.21), үүнээс жинтэй ачаа М= 0.5 кг. Ачаа өндрөөс унахад хэр хугацаа шаардагдахыг тодорхойл h= доод байрлал руу 1 м. Дамрын радиус r=3 см.Дөрвөн жин жинтэй м= 250 гр тус бүр зайнаас Р= түүний тэнхлэгээс 30 см. Ачааллын инерцийн моменттой харьцуулахад хөндлөн ба дамрын инерцийн моментийг үл тоомсорлодог.

1. Биеийн эргэн тойрон дахь эргэлтийг анхаарч үзээрэй хөдөлгөөнгүйтэнхлэг Z. Бүхэл биеийг m энгийн массын олонлогт хуваая би. Энгийн массын шугаман хурд m би– v i = w R би, хаана Р би- массын зай м биэргэлтийн тэнхлэгээс. Тиймээс кинетик энерги би th анхан шатны масс нь тэнцүү байх болно . Биеийн нийт кинетик энерги: , энд эргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад биеийн инерцийн момент байна.

Тогтмол тэнхлэгийг тойрон эргэлдэж буй биеийн кинетик энерги нь дараахтай тэнцүү байна.

2. Одоо биеийг нь зөвшөөр эргэдэгзарим тэнхлэгтэй харьцуулахад, мөн өөрөө тэнхлэг хөдөлдөгаажмаар, өөртэйгээ зэрэгцээ хэвээр байна.

ЖИШЭЭ: Гулсахгүйгээр өнхөрч буй бөмбөлөг эргэлтийн хөдөлгөөн хийх ба эргэлтийн тэнхлэг дамжин өнгөрөх хүндийн төв ("O" цэг) хөрвүүлгийн дагуу хөдөлдөг (Зураг 4.17).

Хурд би-анхан шатны биеийн жин тэнцүү байна , биеийн зарим “O” цэгийн хурд хаана байна; – “O” цэгтэй харьцуулахад энгийн массын байрлалыг тодорхойлдог радиус вектор.

Энгийн массын кинетик энерги нь дараахтай тэнцүү байна.

ТАЙЛБАР: вектор бүтээгдэхүүн нь векторын чиглэлтэй давхцаж, модультай тэнцүү байна (Зураг 4.18).

Энэ тайлбарыг харгалзан бид үүнийг бичиж болно , эргэлтийн тэнхлэгээс массын зай хаана байна. Хоёрдахь хугацаанд бид хүчин зүйлүүдийн мөчлөгийн зохицуулалтыг хийж, дараа нь олж авдаг

Биеийн нийт кинетик энергийг олж авахын тулд бид энэ илэрхийлэлийг бүхэлд нь нэгтгэн гаргадаг анхан шатны масс, нийлбэрийн тэмдгээс цааш тогтмол хүчин зүйлсийг гаргаж авна. Бид авдаг

Энгийн массын нийлбэр нь биеийн масс "m" юм. Илэрхийлэл нь биеийн инерцийн төвийн радиус вектороор (инерцийн төвийн тодорхойлолтоор) биеийн массын үржвэртэй тэнцүү байна. Эцэст нь, "O" цэгээр дамжин өнгөрөх тэнхлэгтэй харьцуулахад биеийн инерцийн момент. Тиймээс бид бичиж болно

.

Хэрэв бид “С” биеийн инерцийн төвийг “O” цэг гэж авбал радиус вектор тэгтэй тэнцүү байх ба хоёр дахь гишүүн алга болно. Дараа нь "С" цэгийг дайрч өнгөрөх тэнхлэгтэй харьцуулахад инерцийн төвийн хурдыг, мөн дамжин - биеийн инерцийн моментийг тэмдэглэснээр бид дараахь зүйлийг олж авна.

(4.6)

Тиймээс хавтгай хөдөлгөөнд байгаа биеийн кинетик энерги нь инерцийн төвийн хурдтай тэнцүү хурдтай хөрвүүлэх хөдөлгөөний энерги, биеийн инерцийн төвийг дайран өнгөрч буй тэнхлэгийг тойрон эргэх энергиээс бүрдэнэ.

Хатуу биеийн эргэлтийн хөдөлгөөний үед гадны хүчний ажил.

Биеийг хөдөлгөөнгүй Z тэнхлэгийг тойрон эргэх үед хүчний гүйцэтгэсэн ажлыг олцгооё.

Масс дээр дотоод хүч ба гадаад хүч үйлчилнэ (үр дүнд үүссэн хүч нь эргэлтийн тэнхлэгт перпендикуляр хавтгайд оршдог) (Зураг 4.19). Эдгээр хүч нь цаг хугацаанд нь ажилладаг dtажил:

-д гүйцэтгэсэн холимог бүтээлүүдхүчин зүйлсийн векторын мөчлөгийн сэлгэцийн хувьд бид дараахь зүйлийг олно.

Энд , "O" цэгтэй харьцуулахад дотоод болон гадаад хүчний моментууд тус тус байна.

Бүх энгийн массыг нэгтгэн дүгнэж үзвэл бид бие дээр хийсэн үндсэн ажлыг цаг тухайд нь олж авдаг dt:

Дотоод хүчний моментуудын нийлбэр нь тэг байна. Дараа нь гадны хүчний нийлбэр моментийг тэмдэглээд бид дараах илэрхийлэлд хүрнэ.

.

Хоёр векторын скаляр үржвэр нь векторуудын аль нэгнийх нь модулийн үржвэрийг хоёр дахь векторын эхнийх рүү чиглэсэн проекцоор үржүүлсэнтэй тэнцүү скаляр байдаг нь мэдэгдэж байна. Z тэнхлэг давхцаж байна) олж авна

,

гэхдээ w dt=г j, i.e. цаг хугацааны явцад биеийг эргүүлэх өнцөг dt. Тийм ч учраас

.

Ажлын тэмдэг нь M z-ийн тэмдгээс хамаарна, i.e. векторын проекцын тэмдэгээс векторын чиглэл рүү.

Тиймээс биеийг эргүүлэхэд дотоод хүч ямар ч ажил хийдэггүй бөгөөд гадаад хүчний ажлыг томъёогоор тодорхойлно .

Хязгаарлагдмал хугацаанд хийсэн ажлыг интегралчлалаар олно

.

Хэрэв үүссэн гадны хүчний момент чиглэл рүү чиглэсэн проекц тогтмол хэвээр байвал интеграл тэмдэгээс хасаж болно.

, өөрөөр хэлбэл .

Тэдгээр. Биеийн эргэлтийн хөдөлгөөний үед гадны хүчний хийсэн ажил нь эргэлтийн чиглэл ба өнцгийн гадаад хүчний моментийн проекцын үржвэртэй тэнцүү байна.

Нөгөөтэйгүүр, бие махбодид нөлөөлж буй гадны хүчний ажил нь биеийн кинетик энергийг нэмэгдүүлэхэд чиглэгддэг (эсвэл эргэдэг биеийн кинетик энергийн өөрчлөлттэй тэнцүү). Үүнийг үзүүлье:

;

Тиймээс,

. (4.7)

Өөрөө:

Уян хатан хүч;

Хукийн хууль.

ЛЕКЦ 7

Гидродинамик

Одоогийн шугам, хоолой.

Гидродинамик нь шингэний хөдөлгөөнийг судалдаг боловч түүний хууль нь хийн хөдөлгөөнд мөн хамаарна. Хөдөлгөөнгүй шингэний урсгалд орон зайн цэг бүрт түүний бөөмсийн хурд нь цаг хугацаанаас хамаарахгүй хэмжигдэхүүн бөгөөд координатын функц юм. Тогтвортой урсгалд шингэний хэсгүүдийн траекторууд нь урсгалын шугам үүсгэдэг. Одоогийн шугамын хослол нь одоогийн хоолойг үүсгэдэг (Зураг 5.1). Шингэнийг шахах боломжгүй, дараа нь хэсгүүдээр урсаж буй шингэний эзэлхүүн гэж бид үздэг С 1 ба С 2 нь адилхан байх болно. Нэг секундын дотор эдгээр хэсгүүдээр тэнцүү хэмжээний шингэн өнгөрөх болно

, (5.1)

хаана ба хэсгүүд дэх шингэний хурд С 1 ба С 2 , ба векторууд нь ба гэж тодорхойлогддог, энд ба хэсгүүдийн нормууд байна С 1 ба С 2. (5.1) тэгшитгэлийг тийрэлтэт тасралтгүй байдлын тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Үүнээс үзэхэд шингэний хурд нь одоогийн хоолойн хөндлөн огтлолтой урвуу хамааралтай байна.

Бернуллигийн тэгшитгэл.

Бид хамгийн тохиромжтой шахагдахгүй шингэнийг авч үзэх болно дотоод үрэлт(наалдамхай чанар) байхгүй байна. Хөдөлгөөнгүй урсах шингэн дэх нимгэн гүйдлийн хоолойг (Зураг 5.2) зүсэлттэй сонгож авцгаая. S 1Тэгээд S 2, урсгал шугамуудад перпендикуляр. Хөндлөн огтлолд 1 богино хугацаанд тбөөмс хол зайд шилжих болно л 1, мөн хэсэгт 2 - хол зайд л 2. Цаг хугацааны хувьд хоёр хэсгээр дамжуулан тижил хэмжээний бага хэмжээний шингэн дамжин өнгөрөх болно В= V 1 = V 2мөн их хэмжээний шингэнийг шилжүүлнэ m=rV, Хаана r- шингэний нягт. Ерөнхийдөө хэсгүүдийн хоорондох урсгалын хоолой дахь бүх шингэний механик энергийн өөрчлөлт S 1Тэгээд S 2үед болсон юм т, эзлэхүүний энергийг өөрчлөх замаар сольж болно ВЭнэ нь 1-р хэсгээс 2-р хэсэг рүү шилжих үед үүссэн. Ийм хөдөлгөөн хийснээр энэ эзлэхүүний кинетик ба боломжит энерги өөрчлөгдөж, түүний энергийн нийт өөрчлөлт өөрчлөгдөнө

, (5.2)

хаана v 1 ба v 2 - хэсгүүд дэх шингэний хэсгүүдийн хурд S 1Тэгээд S 2тус тус; g- таталцлын хурдатгал; h 1Тэгээд h 2- хэсгүүдийн төвийн өндөр.

IN хамгийн тохиромжтой шингэнҮрэлтийн алдагдал байхгүй тул эрчим хүчний ашиг олдог Д.Эхуваарилагдсан эзэлхүүн дээр даралтын хүчний хийсэн ажилтай тэнцүү байх ёстой. Үрэлтийн хүч байхгүй тохиолдолд энэ ажил:

(5.2) ба (5.3) тэгш байдлын баруун талыг тэнцүүлж, ижил индекс бүхий нэр томъёог тэгш байдлын нэг тал руу шилжүүлснээр бид олж авна.

. (5.4)

Хоолойн хэсгүүд S 1Тэгээд S 2дур мэдэн авсан тул одоогийн хоолойн аль ч хэсэгт илэрхийлэл хүчинтэй байна гэж маргаж болно.

. (5.5)

(5.5) тэгшитгэлийг Бернуллигийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Хэвтээ шугамын хувьд h = constтэгш байдал (5.4) хэлбэрийг авна

r /2 + p 1 = r /2 + p2 , (5.6)

тэдгээр. хурд ихсэх цэгүүдэд даралт бага байна.

Дотоод үрэлтийн хүч.

Жинхэнэ шингэн нь зуурамтгай чанараараа тодорхойлогддог бөгөөд энэ нь шингэн ба хийн аливаа хөдөлгөөн нь түүнийг үүсгэсэн шалтгаан байхгүй тохиолдолд аяндаа зогсоход илэрдэг. Хөдөлгөөнгүй гадаргуугаас дээш шингэн давхарга байрлаж, дээр нь гадаргуутай хөвж буй хавтангийн хурдаар хөдөлдөг туршилтыг авч үзье. С(Зураг 5.3). Туршлагаас харахад хавтанг тогтмол хурдтайгаар хөдөлгөхийн тулд түүнд хүчээр үйлчлэх шаардлагатай байдаг. Хавтан нь хурдатгал хүлээн авдаггүй тул энэ хүчний үйлчлэл нь үрэлтийн хүч болох өөр, тэнцүү хэмжээтэй, эсрэг чиглэлд чиглэсэн хүчээр тэнцвэрждэг гэсэн үг юм. . Ньютон үрэлтийн хүчийг харуулсан

, (5.7)

Хаана г- шингэний давхаргын зузаан, h - шингэний зуурамтгай чанар буюу үрэлтийн коэффициент, хасах тэмдэг нь векторуудын өөр өөр чиглэлийг харгалзан үздэг. F trТэгээд vо. Хэрэв та давхаргын өөр өөр газарт шингэний хэсгүүдийн хурдыг судалж үзвэл энэ нь шугаман хуулийн дагуу өөрчлөгддөг (Зураг 5.3):

v(z) = = (v 0 /d)·z.

Энэ тэгш байдлыг ялгаж үзвэл бид олж авна dv/dz= v 0 /г. Үүнийг бодолцон

томъёо (5.7) хэлбэрийг авна

F tr=- h(dv/dz)S , (5.8)

Хаана h- динамик зуурамтгай байдлын коэффициент. Хэмжээ dv/dzхурдны градиент гэж нэрлэдэг. Энэ нь тэнхлэгийн чиглэлд хурд хэр хурдан өөрчлөгдөж байгааг харуулдаг z. At dv/dz= const хурдны градиент нь хурдны өөрчлөлттэй тоон хувьд тэнцүү байна vөөрчлөгдөх үед zнэгж тутамд. (5.8) томъёонд тоогоор оруулъя. dv/dz =-1 ба С= 1, бид олж авна h = Ф. энэ нь гэсэн үг физик утга h: зуурамтгай чанар нь нэгдмэл хэмжээтэй тэнцүү хурдны градиент бүхий нэгж талбайн шингэний давхаргад үйлчлэх хүчинтэй тоон хувьд тэнцүү байна. SI зуурамтгай чанарын нэгжийг паскал секунд гэж нэрлэдэг (Па s гэж тэмдэглэсэн). CGS системд зуурамтгай чанарыг хэмжих нэгж нь 1 poise (P), 1 Pa s = 10P байна.