3.1. Туйлын координат

Ихэнхдээ онгоцонд ашигладаг туйлын координатын систем . О цэг өгөгдсөн бол энэ нь тодорхойлогддог, гэж нэрлэдэг туйл, ба туйлаас ялгарах туяа (бидний хувьд энэ нь тэнхлэг юм Ox) - туйлын тэнхлэг. M цэгийн байрлалыг хоёр тоогоор тогтооно. радиус (эсвэл радиус вектор) ба туйлын тэнхлэг ба векторын хоорондох өнцөг φ.φ өнцгийг гэж нэрлэдэг туйлын өнцөг; радианаар хэмжиж, туйлын тэнхлэгээс цагийн зүүний эсрэг тоолно.

Туйлын координатын систем дэх цэгийн байрлалыг эрэмбэлэгдсэн хос тоогоор (r; φ) өгнө. Туйл дээр r = 0,ба φ тодорхойлогдоогүй байна. Бусад бүх цэгүүдийн хувьд r > 0,ба φ нь 2π-ийн үржвэр болох гишүүн хүртэл тодорхойлогддог. Энэ тохиолдолд (r; φ) ба (r 1 ; φ 1) хос тоонууд нь ижил цэгтэй холбогдоно.

Тэгш өнцөгт координатын системийн хувьд xOyЦэгийн декарт координатыг түүний туйлын координатаар дараах байдлаар амархан илэрхийлнэ.

3.2. Комплекс тооны геометрийн тайлбар

Хавтгай дээрх декартын тэгш өнцөгт координатын системийг авч үзье xOy.

Аливаа комплекс тоо z=(a, b) нь координаттай хавтгай дээрх цэгтэй холбоотой байна ( x, y), Хаана координат x = a, i.e. нийлмэл тооны бодит хэсэг, координат y = bi нь төсөөллийн хэсэг юм.

Цэгүүд нь нийлмэл тоонууд байдаг хавтгай бол цогцолбор хавтгай юм.

Зураг дээр комплекс тоо z = (a, b)цэгтэй тохирч байна М(х, у).

Дасгал хийх.Комплекс тоонуудыг координатын хавтгай дээр зур.

3.3. Комплекс тооны тригонометрийн хэлбэр

Хавтгай дээрх комплекс тоо нь цэгийн координаттай байдаг М(x;y). Үүнд:

Комплекс тоо бичих - комплекс тооны тригонометрийн хэлбэр.

r тоог дууддаг модуль нийлмэл тоо zболон томилогдсон. Модуль нь сөрөг биш бодит тоо юм. Учир нь .

Хэрэв модуль нь тэг болно z = 0, өөрөөр хэлбэл. a = b = 0.

φ тоог дууддаг аргумент z болон томилогдсон. Аргумент z нь туйлын координатын систем дэх туйлын өнцөг, тухайлбал 2π-ийн үржвэр хүртэл тодорхойгүй тодорхойлогддог.

Дараа нь бид хүлээн зөвшөөрнө: , энд φ нь аргументийн хамгийн бага утга юм. Энэ нь ойлгомжтой

.

Сэдвийг илүү гүнзгий судлахдаа φ* туслах аргументыг оруулдаг.

Жишээ 1. Комплекс тооны тригонометрийн хэлбэрийг ол.

Шийдэл. 1) модулийг авч үзье: ;

2) φ хайж байна: ;

3) тригонометрийн хэлбэр:

Жишээ 2.Комплекс тооны алгебрийн хэлбэрийг ол .

Энд утгыг орлуулахад хангалттай тригонометрийн функцуудмөн илэрхийллийг хувиргах:

Жишээ 3.Комплекс тооны модуль ба аргументыг олох;

1) ;

2) ; φ - 4 улиралд:

3.4. Тригонометрийн хэлбэрийн комплекс тоотой үйлдлүүд

· Нэмэх ба хасахАлгебрийн хэлбэрээр нийлмэл тоонуудтай хийх нь илүү тохиромжтой.

· Үржүүлэх- энгийн тусламжтайгаар тригонометрийн хувиргалтгэдгийг харуулж болно Үржүүлэх үед тоонуудын модулийг үржүүлж, аргументуудыг нэмнэ: ;

Хавтгай дээрх цэгийн байрлалыг тодорхойлохын тулд туйлын координатыг ашиглаж болно [g, (r), Хаана Гнь цэгийн эхлэлээс зай, ба (Р- радиусыг үүсгэдэг өнцөг - тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй энэ цэгийн вектор Өө.Өнцгийн өөрчлөлтийн эерэг чиглэл (РҮзэж буй чиглэл нь цагийн зүүний эсрэг байна. Декарт болон туйлын координатуудын хоорондох холболтын давуу талыг ашиглан: x = g cos avg,y = g sin (х,

Бид нийлмэл тоог бичих тригонометрийн хэлбэрийг олж авдаг

z - r(нүгэл (p + i нүгэл

Хаана Г

Xi + y2, (p нь нийлмэл тооны аргумент бөгөөд үүнийг олдог

л X . y y

томъёо cos(p --, sin^9  = - эсвэл үүнээс үүдэлтэй тг(p --, (p-arctg

Утга сонгохдоо анхаарна уу Лхагвасүүлчийн тэгшитгэлээс тэмдгүүдийг харгалзан үзэх шаардлагатай x ба y.

Жишээ 47. Комплекс тоог тригонометрийн хэлбэрээр бич 2 = -1 + л/З / .

Шийдэл. Комплекс тооны модуль ба аргументыг олъё:

= yj 1 + 3 = 2 . Булан Лхагвахарилцаанаас бид олж мэднэ cos(х = -, нүгэл(p = - .Дараа нь

бид авдаг cos(p = -, суп

u/z g~

• - -. z = -1 + V3-/ цэг байрлах нь ойлгомжтой
• 2 руу 3

хоёрдугаар улиралд: (Р= 120°

Орлуулах

2 к.. cos--h; нүгэл

томъёонд (1) олсон 27Г L

Сэтгэгдэл. Комплекс тооны аргумент нь өвөрмөц байдлаар тодорхойлогддоггүй, харин үржвэртэй нэр томьёоны хүрээнд 2х.Дараа нь дамжин sp^gтэмдэглэнэ

дотор хавсаргасан аргументын утга (х 0 %2 Дараа нь

A)^g = + 2kk.

Алдарт Эйлерийн томъёог ашиглан e, бид комплекс тоо бичих экспоненциал хэлбэрийг олж авдаг.

Бидэнд байгаа r = g(co^(p + i?,p(p)=ge,

Комплекс тоон дээрх үйлдлүүд

• 1. Хоёр комплекс тооны нийлбэр r, = X] + у х/ ба g 2 - x 2 +y 2 / r томъёоны дагуу тодорхойлогдоно! +2 2 = (x, +^2) + (^1 + ^2)‘ r
• 2. Комплекс тоог хасах үйлдлийг нэмэхийн урвуу үйлдэл гэж тодорхойлно. Цогцолбор тоо g = g x - g 2,Хэрэв g 2 + g = g x,

нь нийлмэл тоонуудын ялгаа 2, ба g 2.Дараа нь r = (x, - x 2) + (y, - цагт 2) /.

• 3. Хоёр комплекс тооны үржвэр g x= x, +y, -z ба 2 2 = x 2+ U2‘ r-ийг томъёогоор тодорхойлно
• *1*2 =(* +У"0 (X 2+ T 2 -0= X 1 X 2 Y 1 2 -1 +x Y2 " * + У1 У2 " ^ =

= (хх 2 ~УУ 2)+(Х У2 + Х 2У)-"-

Тухайлбал, y-y= (x + y-y)(x-y /)= x 2 + y 2.

Та экспоненциал болон тригонометрийн хэлбэрээр нийлмэл тоог үржүүлэх томъёог авч болно. Бидэнд байгаа:

• 1^ 2 - G x e 1 = )G 2 e > = G]G 2 cOs((P + дундаж 2) + isin
• 4. Комплекс тоог хуваахыг урвуу үйлдэл гэж тодорхойлно

үржүүлэх, өөрөөр хэлбэл. тоо G-- r хуваах коэффициент гэж нэрлэдэг! g 2 дээр,

Хэрэв g x -1 2 ? 2 . Дараа нь

X + Ти _ (*і + IU 2 ~ 1 U2 ) x 2 + ІУ2 (2 + ^У 2)( 2 ~ 1 У 2)

x, x 2 + /y, x 2 - ix x y 2 - i 2 y x y 2 (x x x 2 + y x y 2)+ /(- x,y 2 + X 2 Y])

2 2 x 2 + Y 2

1 д

би (р г

• - 1U e "(1 Fg) - I.сОї((Р -ср 1)+ І- (Р-,)] >2 >2
• 5. Комплекс тоог эерэг бүхэл тоо болгон өсгөх нь тухайн тоог экспоненциал эсвэл тригонометрийн хэлбэрээр бичсэн тохиолдолд хамгийн тохиромжтой.

Үнэхээр, хэрэв g = 1 дараа

=(гэ,) = g p e t = G"(co8 psr+іт gkr).

Формула g" =r n (cosn(p+бол n(p))Мойврын томъёо гэж нэрлэдэг.

6. Үндэс олборлолт P-Комплекс тооны 0-р зэрэг нь хүчин чадал руу өсгөх урвуу үйлдэл гэж тодорхойлогддог p, p- 1,2,3,... өөрөөр хэлбэл. нийлмэл тоо = y[gүндэс гэж нэрлэдэг P-комплекс тооны 0-р зэрэглэл

g, хэрэв Г = g x. Энэ тодорхойлолтоос ийм зүйл гарч байна g - g", А g x= л/г. (r-psr x,А sr^-sr/n, энэ нь = r/*+ тоонд зориулж бичсэн Мойврийн томьёооос үүдэлтэй іьипп(р).

Дээр дурьдсанчлан, нийлмэл тооны аргумент нь өвөрмөц байдлаар тодорхойлогддоггүй, харин 2-ын үржвэр болох нэр томъёо хүртэл байдаг. болон.Тийм ч учраас = (p + 2pk, мөн r тооны аргументаас хамааран руу,гэж тэмдэглэе (р кмөн боо

томъёог ашиглан тооцоолно (р к= - + . Байгаа нь ойлгомжтой П com-

нийлмэл тоо, П-р зэрэг нь 2-ын тоотой тэнцүү.Эдгээр тоонууд нэгтэй

мөн ижил модуль тэнцүү байна y[g,ба эдгээр тоонуудын аргументуудыг олж авна руу = 0, 1, P - 1. Тиймээс тригонометрийн хэлбэрээр үндэс i-рградусыг дараах томъёогоор тооцоолно.

(p + 2kp . . Лхагва + 2кп

, руу = 0, 1, 77-1,

.(p+2ktg

ба экспоненциал хэлбэрээр - томъёоны дагуу l[g - y[ge p

Жишээ 48. Комплекс тоон дээр үйлдлүүдийг алгебрийн хэлбэрээр гүйцэтгэнэ:

a) (1-/H/2) 3 (3 + /)

• (1 - /л/2) 3 (z + /) = (1 - zl/2/ + 6/ 2 - 2 л/2 / ? 3)(3 + /) =
• (1 - Зл/2/ - 6 + 2л/2/ДЗ + /)=(- 5 - л/2/ДЗ + /) =

15-Зл/2/-5/-л/2/ 2 = -15 - Зл/2/-5/+ л/2 = (-15 +л/2)-(5 +Зл/2)/;

Жишээ 49. r = Uz - / тоог тав дахь зэрэглэлд хүргэнэ.

Шийдэл. Бид r тоог бичих тригонометрийн хэлбэрийг олж авдаг.

G =л/3 + 1 =2, C08 (p --, 5ІІ7 (Р =

• (1 - 2/X2 + /)
• (z-,)

O - 2.-X2 + o

• 12+ 4/-9/
• 2 +і - 4/ - 2/ 2 2 - 3/ + 2 4 - 3/ 3 + і
• (z-O "(z-O

З/ 2 12-51 + 3 15 - 5/

• (3-i) ’з+/
• 9 + 1 z_±.
• 5 2 1 "

Эндээс О--, А r = 2

Бид Moivre-г авдаг: би -2

/ ^ _ 7G, . ?Г

• -SS-- ИБІП -

• --b / -

= -(l/w + g)= -2 .

Жишээ 50: Бүх утгыг ол

Шийдэл, r = 2, a Лхагватэгшитгэлээс олно уйлах(p = -,zt--.

Энэ цэг 1 - / d/z дөрөвдүгээр улиралд байрладаг, i.e. f =--. Дараа нь

• 1 - 2
• ( (УГ Л

Бид илэрхийллээс үндсэн утгыг олдог

V1 - /л/з = л/2

• --+ 2А:/г ---ь 2 кк
• 3 . . 3

S08--1- ба 81P-

At - 0 бидэнд 2 0 = л/2 байна

Дэлгэц дээрх тоог төлөөлж 2-ын язгуурын утгыг олох боломжтой

-* TO/ 3 + 2 cl

At руу= 1 бидэнд өөр үндсэн утга байна:

• 7G. 7G_
• ---ь27г ---ь2;г
• 3. . h

7G . . 7G L-С05- + 181П - 6 6

• --N-

хамтран? - 7G + /5SH - I"

л/3__т_

телиа хэлбэр. Учир нь r= 2, а Лхагва= , тэгвэл g = 2e 3 , a y[g = y/2e 2

Алгебрийн хэлбэрээр бичсэн комплекс тоон дээрх үйлдлүүд

Комплекс тооны алгебрийн хэлбэр z =(а,б).хэлбэрийн алгебр илэрхийлэл гэж нэрлэдэг

z = а + би.

Комплекс тоон дээрх арифметик үйлдлүүд z 1 = a 1 + б 1 биТэгээд z 2 = a 2 + б 2 би, алгебрийн хэлбэрээр бичсэнийг дараах байдлаар гүйцэтгэнэ.

1. Комплекс тоонуудын нийлбэр (ялгаа).

z 1 ±z 2 = (а 1 ± a 2) + (б 1 ±б 2)∙i,

тэдгээр. нэмэх (хасах) нь ижил төстэй нэр томъёоны бууралт бүхий олон гишүүнт нэмэх дүрмийн дагуу хийгддэг.

2. Комплекс тоонуудын үржвэр

z 1 ∙z 2 = (а 1 ∙а 2 -б 1 ∙б 2) + (а 1 ∙б 2 + a 2 ∙б 1)∙i,

тэдгээр. үржүүлэх нь олон гишүүнтийг үржүүлэх ердийн дүрмийн дагуу хийгддэг бөгөөд үүнийг харгалзан үздэг. би 2 = 1.

3. Хоёр нийлмэл тоог хуваахыг дараах дүрмийн дагуу гүйцэтгэнэ.

, (z 2 ≠ 0),

тэдгээр. хуваах нь ногдол ашиг ба хуваагчийг хуваагчийн хавсарсан тоогоор үржүүлэх замаар хийгддэг.

Комплекс тоонуудын экспонентацийг дараах байдлаар тодорхойлно.

Үүнийг харуулах нь амархан

Жишээ.

1. Комплекс тоонуудын нийлбэрийг ол z 1 = 2 – биТэгээд z 2 = – 4 + 3би.

z 1 + z 2 = (2 + (–1)∙i)+ (–4 + 3би) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) би = –2+2би.

2. Комплекс тооны үржвэрийг ол z 1 = 2 – 3биТэгээд z 2 = –4 + 5би.

= (2 – 3би) ∙ (–4 + 5би) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3би)+ 2∙5би– 3би∙ 5би = 7+22би.

3. Хэсэлтийг ол zхуваалтаас z 1 = 3 - 2на z 2 = 3 – би.

z = .

4. Тэгшитгэлийг шийд: , xТэгээд y Î Р.

(2x+y) + (x+y)би = 2 + 3би.

Комплекс тоонуудын тэгш байдлын улмаас бид дараах байдалтай байна.

хаана x =–1 , y= 4.

5. Тооцоол: би 2 ,би 3 ,би 4 ,би 5 ,би 6 ,би -1 , би -2 .

6. Хэрэв .

.

7. Тооны эсрэг тоог тооцоол z=3-и.

Тригонометрийн хэлбэрийн нийлмэл тоо

Нарийн төвөгтэй онгоцДекарт координаттай хавтгай гэж нэрлэдэг ( x, y), хэрэв цэг бүр координаттай ( а, б) нь нийлмэл тоотой холбоотой z = a + bi. Энэ тохиолдолд абсцисса тэнхлэг гэж нэрлэдэг бодит тэнхлэг, ординатын тэнхлэг нь байна төсөөлөлтэй. Дараа нь нийлмэл тоо бүр a+biгеометрийн хэлбэрээр хавтгай дээр цэг болгон дүрсэлсэн А (а, б) эсвэл вектор.

Тиймээс цэгийн байрлал А(тиймээс комплекс тоо z) -ийг | векторын уртаар тодорхойлж болно | = rболон өнцөг j, вектороор үүсгэгдсэн | | бодит тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй. Векторын уртыг нэрлэдэг комплекс тооны модульба | гэж тэмдэглэнэ z |=r, болон өнцөг jдуудсан комплекс тооны аргументболон томилогдсон j = arg z.

Энэ нь тодорхой байна | z| ³ 0 ба | z | = 0 Û z = 0.

Зураг дээрээс. 2 гэдэг нь ойлгомжтой.

Комплекс тооны аргумент нь хоёрдмол утгатай боловч 2-ын нарийвчлалтайгаар тодорхойлогддог pk, kÎ З.

Зураг дээрээс. 2 бас тодорхой байна, хэрэв z=a+biТэгээд j=arg z,Тэр

cos j =,нүгэл j =, төг j =.

Хэрэв zÎРТэгээд z> 0, тэгвэл arg z = 0 +2pk;

Хэрэв z ОРТэгээд z< 0, тэгвэл arg z = p + 2pk;

Хэрэв z = 0,arg zтодорхойлогдсон.

Аргументийн үндсэн утгыг 0 интервал дээр тодорхойлно £ arg z£2 p,

эсвэл -х£ arg z £ х.

Жишээ нь:

1. Комплекс тооны модулийг ол z 1 = 4 – 3биТэгээд z 2 = –2–2би.

2. Нөхцөлөөр тодорхойлогдсон цогц хавтгай дээрх талбайг тодорхойлно.

1) | z | = 5; 2) | z| £6; 3) | z – (2+би) | £3; 4) £6 | z – би| £7.

Шийдэл ба хариултууд:

1) | z| = 5 Û Û - радиус 5 ба төв нь эхийн цэгтэй тойргийн тэгшитгэл.

2) 6 радиустай, төв нь эхэн дээрээ байгаа тойрог.

3) 3 радиустай, төв нь цэг дээр байгаа тойрог z 0 = 2 + би.

4) Нэг цэг дээр төвтэй 6 ба 7 радиустай тойргуудаар хүрээлэгдсэн цагираг z 0 = би.

3. Тоонуудын модуль ба аргументыг ол: 1) ; 2) .

1) ; А = 1, б = Þ ,

Þ j 1 = .

2) z 2 = –2 – 2би; a =–2, b =-2 Þ ,

.

Зөвлөмж: Үндсэн аргументыг тодорхойлохдоо нарийн төвөгтэй хавтгайг ашиглана уу.

Тиймээс: z 1 = .

2) , r 2 = 1, j 2 =, .

3) , r 3 = 1, j 3 =, .

4) , r 4 = 1, j 4 =, .