Эргэлтийн хөдөлгөөний энерги. Эргэлтийн хөдөлгөөний үеийн кинетик энерги ба ажил Эргэлтийн хөдөлгөөний кинематик энерги

1. Биеийн эргэн тойрон дахь эргэлтийг анхаарч үзээрэй хөдөлгөөнгүй Z тэнхлэг.Бүх биеийг олонлогт хуваая анхан шатны массм би. Энгийн массын шугаман хурд m би– v i = w R би, хаана Р би- массын зай м биэргэлтийн тэнхлэгээс. Тиймээс кинетик энерги би th анхан шатны масс нь тэнцүү байх болно . Биеийн нийт кинетик энерги: , энд эргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад биеийн инерцийн момент байна.

Тогтмол тэнхлэгийг тойрон эргэлдэж буй биеийн кинетик энерги нь дараахтай тэнцүү байна.

2. Одоо биеийг нь зөвшөөр эргэдэгзарим тэнхлэгтэй харьцуулахад, мөн өөрөө тэнхлэг хөдөлдөгаажмаар, өөртэйгээ зэрэгцээ хэвээр байна.

ЖИШЭЭ: Гулсахгүйгээр өнхөрч буй бөмбөлөг эргэлтийн хөдөлгөөн хийх ба эргэлтийн тэнхлэг дамжин өнгөрөх хүндийн төв ("O" цэг) хөрвүүлгийн дагуу хөдөлдөг (Зураг 4.17).

Хурд би-анхан шатны биеийн жин тэнцүү байна , биеийн зарим “O” цэгийн хурд хаана байна; – “O” цэгтэй харьцуулахад энгийн массын байрлалыг тодорхойлдог радиус вектор.

Энгийн массын кинетик энерги нь дараахтай тэнцүү байна.

ТАЙЛБАР: вектор бүтээгдэхүүн нь векторын чиглэлтэй давхцаж, модультай тэнцүү байна (Зураг 4.18).

Энэ тайлбарыг харгалзан бид үүнийг бичиж болно , эргэлтийн тэнхлэгээс массын зай хаана байна. Хоёрдахь хугацаанд бид хүчин зүйлүүдийн мөчлөгийн зохицуулалтыг хийж, дараа нь олж авдаг

Биеийн нийт кинетик энергийг олж авахын тулд нийлбэрийн тэмдгээс давсан тогтмол хүчин зүйлсийг авч, бүх энгийн масс дээр энэ илэрхийллийг нэгтгэнэ. Бид авдаг

Энгийн массын нийлбэр нь биеийн масс "m" юм. Илэрхийлэл нь биеийн инерцийн төвийн радиус вектороор (инерцийн төвийн тодорхойлолтоор) биеийн массын үржвэртэй тэнцүү байна. Эцэст нь, "O" цэгээр дамжин өнгөрөх тэнхлэгтэй харьцуулахад биеийн инерцийн момент. Тиймээс бид бичиж болно

Хэрэв бид “С” биеийн инерцийн төвийг “O” цэг гэж авбал радиус вектор тэгтэй тэнцүү байх ба хоёр дахь гишүүн алга болно. Дараа нь "С" цэгийг дайрч өнгөрөх тэнхлэгтэй харьцуулахад инерцийн төвийн хурдыг, мөн дамжин - биеийн инерцийн моментийг тэмдэглэснээр бид дараахь зүйлийг олж авна.

(4.6)

Тиймээс хавтгай хөдөлгөөнд байгаа биеийн кинетик энерги нь инерцийн төвийн хурдтай тэнцүү хурдтай хөрвүүлэх хөдөлгөөний энерги, биеийн инерцийн төвийг дайран өнгөрч буй тэнхлэгийг тойрон эргэх энергиээс бүрдэнэ.

Эргэлтийн хөдөлгөөний үед гадны хүчний ажил хатуу.

Биеийг хөдөлгөөнгүй Z тэнхлэгийг тойрон эргэх үед хүчний гүйцэтгэсэн ажлыг олцгооё.

Масс дээр дотоод хүч ба гадаад хүч үйлчилнэ (үр дүнд үүссэн хүч нь эргэлтийн тэнхлэгт перпендикуляр хавтгайд оршдог) (Зураг 4.19). Эдгээр хүч нь цаг хугацаанд нь ажилладаг dtажил:

-д гүйцэтгэсэн холимог бүтээлүүдхүчин зүйлсийн векторын мөчлөгийн сэлгэцийн хувьд бид дараахь зүйлийг олно.

Энд , "O" цэгтэй харьцуулахад дотоод болон гадаад хүчний моментууд тус тус байна.

Бүх энгийн массыг нэгтгэн дүгнэж үзвэл бид бие дээр хийсэн үндсэн ажлыг цаг тухайд нь олж авдаг dt:

Дотоод хүчний моментуудын нийлбэр нь тэг байна. Дараа нь гадны хүчний нийлбэр моментийг тэмдэглээд бид дараах илэрхийлэлд хүрнэ.

Хоёр векторын скаляр үржвэр нь векторуудын аль нэгнийх нь модулийн үржвэрийг хоёр дахь векторын эхнийх рүү чиглэсэн проекцоор үржүүлсэнтэй тэнцүү скаляр байдаг нь мэдэгдэж байна. Z тэнхлэг давхцаж байна) олж авна

гэхдээ w dt=г j, i.e. цаг хугацааны явцад биеийг эргүүлэх өнцөг dt. Тийм ч учраас

Ажлын тэмдэг нь M z-ийн тэмдгээс хамаарна, i.e. векторын проекцын тэмдэгээс векторын чиглэл рүү.

Тиймээс биеийг эргүүлэхэд дотоод хүч ямар ч ажил хийдэггүй бөгөөд гадаад хүчний ажлыг томъёогоор тодорхойлно .

Хязгаарлагдмал хугацаанд хийсэн ажлыг интегралчлалаар олно

Хэрэв үүссэн гадны хүчний момент чиглэл рүү чиглэсэн проекц тогтмол хэвээр байвал интеграл тэмдэгээс хасаж болно.

, өөрөөр хэлбэл .

Тэдгээр. Биеийн эргэлтийн хөдөлгөөний үед гадны хүчний хийсэн ажил нь эргэлтийн чиглэл ба өнцгийн гадаад хүчний моментийн проекцын үржвэртэй тэнцүү байна.

Нөгөөтэйгүүр, бие махбодид нөлөөлж буй гадны хүчний ажил нь биеийн кинетик энергийг нэмэгдүүлэхэд чиглэгддэг (эсвэл эргэдэг биеийн кинетик энергийн өөрчлөлттэй тэнцүү). Үүнийг үзүүлье:

;

Тиймээс,

. (4.7)

Өөрөө:

Уян хатан хүч;

Хукийн хууль.

ЛЕКЦ 7

Гидродинамик

Одоогийн шугам, хоолой.

Гидродинамик нь шингэний хөдөлгөөнийг судалдаг боловч түүний хууль нь хийн хөдөлгөөнд мөн хамаарна. Хөдөлгөөнгүй шингэний урсгалд орон зайн цэг бүрт түүний бөөмсийн хурд нь цаг хугацаанаас хамаарахгүй хэмжигдэхүүн бөгөөд координатын функц юм. Тогтвортой урсгалд шингэний хэсгүүдийн траекторууд нь урсгалын шугам үүсгэдэг. Одоогийн шугамын хослол нь одоогийн хоолойг үүсгэдэг (Зураг 5.1). Шингэнийг шахах боломжгүй, дараа нь хэсгүүдээр урсаж буй шингэний эзэлхүүн гэж бид үздэг С 1 ба С 2 нь адилхан байх болно. Нэг секундын дотор эдгээр хэсгүүдээр тэнцүү хэмжээний шингэн өнгөрөх болно

, (5.1)

хаана ба хэсгүүд дэх шингэний хурд С 1 ба С 2 , ба векторууд нь ба гэж тодорхойлогддог, энд ба хэсгүүдийн нормууд байна С 1 ба С 2. (5.1) тэгшитгэлийг тийрэлтэт тасралтгүй байдлын тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Үүнээс үзэхэд шингэний хурд нь одоогийн хоолойн хөндлөн огтлолтой урвуу хамааралтай байна.

Бернуллигийн тэгшитгэл.

Бид хамгийн тохиромжтой шахагдахгүй шингэнийг авч үзэх болно дотоод үрэлт(наалдамхай чанар) байхгүй байна. Хөдөлгөөнгүй урсах шингэн дэх нимгэн гүйдлийн хоолойг (Зураг 5.2) зүсэлттэй сонгож авцгаая. S 1Тэгээд S 2, урсгал шугамуудад перпендикуляр. Хөндлөн огтлолд 1 богино хугацаанд тбөөмс хол зайд шилжих болно л 1, мөн хэсэгт 2 - хол зайд л 2. Цаг хугацааны хувьд хоёр хэсгээр дамжуулан тижил хэмжээний бага хэмжээний шингэн дамжин өнгөрөх болно В= V 1 = V 2мөн их хэмжээний шингэнийг шилжүүлнэ m=rV, Хаана r- шингэний нягт. Ерөнхий өөрчлөлт механик энергихэсгүүдийн хоорондох урсгалын хоолой дахь бүх шингэний S 1Тэгээд S 2үед болсон юм т, эзлэхүүний энергийг өөрчлөх замаар сольж болно ВЭнэ нь 1-р хэсгээс 2-р хэсэг рүү шилжих үед үүссэн. Ийм хөдөлгөөн хийснээр энэ эзлэхүүний кинетик ба боломжит энерги өөрчлөгдөж, түүний энергийн нийт өөрчлөлт өөрчлөгдөнө

, (5.2)

хаана v 1 ба v 2 - хэсгүүд дэх шингэний хэсгүүдийн хурд S 1Тэгээд S 2тус тус; g- таталцлын хурдатгал; h 1Тэгээд h 2- хэсгүүдийн төвийн өндөр.

IN хамгийн тохиромжтой шингэнҮрэлтийн алдагдал байхгүй тул эрчим хүчний ашиг олдог Д.Эхуваарилагдсан эзэлхүүн дээр даралтын хүчний хийсэн ажилтай тэнцүү байх ёстой. Үрэлтийн хүч байхгүй тохиолдолд энэ ажил:

(5.2) ба (5.3) тэгш байдлын баруун талыг тэнцүүлж, ижил индекс бүхий нэр томъёог тэгш байдлын нэг тал руу шилжүүлснээр бид олж авна.

. (5.4)

Хоолойн хэсгүүд S 1Тэгээд S 2дур мэдэн авсан тул одоогийн хоолойн аль ч хэсэгт илэрхийлэл хүчинтэй байна гэж маргаж болно.

. (5.5)

(5.5) тэгшитгэлийг Бернуллигийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Хэвтээ шугамын хувьд h = constтэгш байдал (5.4) хэлбэрийг авна

r /2 + p 1 = r /2 + p2 , (5.6)

тэдгээр. хурд ихсэх цэгүүдэд даралт бага байна.

Дотоод үрэлтийн хүч.

Жинхэнэ шингэн нь зуурамтгай чанараараа тодорхойлогддог бөгөөд энэ нь шингэн ба хийн аливаа хөдөлгөөн нь түүнийг үүсгэсэн шалтгаан байхгүй тохиолдолд аяндаа зогсоход илэрдэг. Хөдөлгөөнгүй гадаргуугаас дээш шингэн давхарга байрлаж, дээр нь гадаргуутай хөвж буй хавтангийн хурдаар хөдөлдөг туршилтыг авч үзье. С(Зураг 5.3). Туршлагаас харахад хавтанг тогтмол хурдтайгаар хөдөлгөхийн тулд түүнд хүчээр үйлчлэх шаардлагатай байдаг. Хавтан нь хурдатгал хүлээн авдаггүй тул энэ хүчний үйлчлэл нь үрэлтийн хүч болох өөр, тэнцүү хэмжээтэй, эсрэг чиглэлд чиглэсэн хүчээр тэнцвэрждэг гэсэн үг юм. . Ньютон үрэлтийн хүчийг харуулсан

, (5.7)

Хаана г- шингэний давхаргын зузаан, h - шингэний зуурамтгай чанар буюу үрэлтийн коэффициент, хасах тэмдэг нь векторуудын өөр өөр чиглэлийг харгалзан үздэг. F trТэгээд vо. Хэрэв та давхаргын өөр өөр газарт шингэний хэсгүүдийн хурдыг судалж үзвэл энэ нь шугаман хуулийн дагуу өөрчлөгддөг (Зураг 5.3):

v(z) = = (v 0 /d)·z.

Энэ тэгш байдлыг ялгаж үзвэл бид олж авна dv/dz= v 0 /г. Үүнийг бодолцон

томъёо (5.7) хэлбэрийг авна

F tr=- h(dv/dz)S , (5.8)

Хаана h- динамик зуурамтгай байдлын коэффициент. Хэмжээ dv/dzхурдны градиент гэж нэрлэдэг. Энэ нь тэнхлэгийн чиглэлд хурд хэр хурдан өөрчлөгдөж байгааг харуулдаг z. At dv/dz= const хурдны градиент нь хурдны өөрчлөлттэй тоон хувьд тэнцүү байна vөөрчлөгдөх үед zнэгж тутамд. (5.8) томъёонд тоогоор оруулъя. dv/dz =-1 ба С= 1, бид олж авна h = Ф. энэ нь гэсэн үг физик утга h: зуурамтгай чанар нь нэгдмэл хэмжээтэй тэнцүү хурдны градиент бүхий нэгж талбайн шингэний давхаргад үйлчлэх хүчинтэй тоон хувьд тэнцүү байна. SI зуурамтгай чанарын нэгжийг паскал секунд гэж нэрлэдэг (Па s гэж тэмдэглэсэн). CGS системд зуурамтгай чанарыг хэмжих нэгж нь 1 poise (P), 1 Pa s = 10P байна.

Эхлээд OZ тогтмол тэнхлэгийг тойрон өнцгийн хурдаар эргэдэг хатуу биетийг авч үзье ω (Зураг 5.6). Биеийг энгийн масс болгон хувацгаая. Энгийн массын шугаман хурд нь -тэй тэнцүү бөгөөд түүний эргэлтийн тэнхлэгээс зай нь энд байна. Кинетик энерги би-энэ энгийн масс нь тэнцүү байх болно

Тиймээс бүх биеийн кинетик энерги нь түүний хэсгүүдийн кинетик энергиэс бүрддэг

Энэ харьцааны баруун талд байгаа нийлбэр нь эргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад биеийн инерцийн моментийг илэрхийлдэг болохыг харгалзан бид эцэст нь олж авна.

. (5.30)

Эргэдэг биеийн кинетик энергийн томъёо (5.30) нь биеийн хөрвүүлэх хөдөлгөөний кинетик энергийн харгалзах томьёотой төстэй. Тэдгээрийг сүүлчийнхээс албан ёсоор орлуулах замаар олж авдаг .

Ерөнхий тохиолдолд хатуу биеийн хөдөлгөөнийг хөдөлгөөний нийлбэрээр дүрсэлж болно - биеийн массын төвийн хурдтай тэнцүү хурдтай хөрвүүлэх, төвийг дайран өнгөрөх агшин зуурын тэнхлэгийг тойрон өнцгийн хурдаар эргүүлэх. масс. Энэ тохиолдолд биеийн кинетик энергийн илэрхийлэл хэлбэрийг авна

Одоо хатуу биеийг эргүүлэх үед гадны хүчний моментийн гүйцэтгэсэн ажлыг олцгооё. Цаг хугацааны хувьд гадны хүчний үндсэн ажил dtбиеийн кинетик энергийн өөрчлөлттэй тэнцүү байх болно

Эргэлтийн хөдөлгөөний кинетик энергийн дифференциалыг авч үзвэл бид түүний өсөлтийг олно

Эргэлтийн хөдөлгөөний динамикийн үндсэн тэгшитгэлийн дагуу

Эдгээр харилцааг харгалзан бид үндсэн ажлын илэрхийлэлийг хэлбэр болгон бууруулдаг

OZ эргэлтийн тэнхлэгийн чиглэл дэх гадны хүчний үүссэн моментийн төсөөлөл нь тухайн цаг хугацааны туршид биеийн эргэлтийн өнцөг юм.

(5.31) нэгтгэж, бид эргэлдэж буй биед үйлчилж буй гадны хүчний ажлын томъёог олж авна.

Хэрэв бол томъёог хялбаршуулна

Тиймээс хатуу биеийг тогтмол тэнхлэгтэй харьцуулахад эргүүлэх үед гадны хүчний ажил нь эдгээр хүчний моментийн энэ тэнхлэгт проекцын үйлчлэлээр тодорхойлогддог.

Гироскоп

Гироскоп бол эргэлтийн тэнхлэг нь орон зайд чиглэлээ өөрчилж чаддаг хурдан эргэдэг тэгш хэмтэй бие юм. Гироскопын тэнхлэг нь орон зайд чөлөөтэй эргэхийн тулд гироскопыг гимбал суспенз гэж нэрлэгдэх хэсэгт байрлуулна (Зураг 5.13). Гироскопын нисдэг дугуй нь хүндийн төвөөр дамжин өнгөрөх C 1 C 2 тэнхлэгийг тойрон дотоод цагирагт эргэлддэг. Дотоод цагираг нь эргээд C 1 C 2 перпендикуляр B 1 B 2 тэнхлэгийн эргэн тойронд гаднах цагирагт эргэлдэж болно. Эцэст нь гаднах уралдаан нь C 1 C 2 ба B 1 B 2 тэнхлэгт перпендикуляр A 1 A 2 тэнхлэгийн эргэн тойронд тулгуурын холхивч дээр чөлөөтэй эргэлдэж болно. Бүх гурван тэнхлэг нь суспензийн төв буюу гироскопын тулгуур цэг гэж нэрлэгддэг тодорхой О цэг дээр огтлолцдог. Гимбал дахь гироскоп нь гурван зэрэг эрх чөлөөтэй тул гимблийн төвийг тойрон ямар ч эргэлт хийх боломжтой. Хэрэв гироскопын түдгэлзүүлэлтийн төв нь түүний хүндийн төвтэй давхцаж байвал гироскопын бүх хэсгүүдийн суспензийн төвтэй харьцуулахад үүссэн хүндийн момент тэг болно. Ийм гироскопыг тэнцвэртэй гэж нэрлэдэг.

Одоо хамгийн ихийг авч үзье чухал шинж чанаруудянз бүрийн салбарт өргөн хэрэглэгддэг гироскоп.

1) Тогтвортой байдал.

Эсрэг тэнцвэржүүлсэн гироскопын аливаа эргэлтийн хувьд түүний эргэлтийн тэнхлэг нь лабораторийн лавлах системтэй харьцуулахад чиглэлд өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна. Энэ нь үрэлтийн хүчний моменттой тэнцүү бүх гадны хүчний момент нь маш бага бөгөөд гироскопын өнцгийн импульсийн өөрчлөлтийг бараг үүсгэдэггүйтэй холбоотой юм.

Өнцгийн импульс нь гироскопын эргэлтийн тэнхлэгийн дагуу чиглэгддэг тул түүний чиглэл өөрчлөгдөхгүй байх ёстой.

Хэрэв гадны хүч богино хугацаанд үйлчилбэл өнцгийн импульсийн өсөлтийг тодорхойлдог интеграл бага байх болно.

. (5.34)

Энэ нь том хүчний богино хугацааны нөлөөн дор тэнцвэртэй гироскопын хөдөлгөөн бага зэрэг өөрчлөгддөг гэсэн үг юм. Гироскоп нь өнцгийн импульсийн хэмжээ, чиглэлийг өөрчлөх аливаа оролдлогыг эсэргүүцдэг бололтой. Энэ нь гироскопын хөдөлгөөнийг хурдан эргүүлсний дараа олж авдаг гайхалтай тогтвортой байдалтай холбоотой юм. Гироскопын энэ шинж чанарыг нисэх онгоц, усан онгоц, пуужин болон бусад төхөөрөмжүүдийн хөдөлгөөнийг автоматаар удирдахад өргөн ашигладаг.

Хэрэв гироскоп нь чиглэлд тогтмол байдаг гадны хүчний агшинд удаан хугацаагаар үйлчилдэг бол гироскопын тэнхлэг нь эцсийн эцэст гадны хүчний моментийн чиглэлд тохируулагдана. Энэ үзэгдлийг гирокомпаст ашигладаг. Энэ төхөөрөмж нь гироскоп бөгөөд тэнхлэгийг хэвтээ хавтгайд чөлөөтэй эргүүлэх боломжтой. Улмаас өдөр тутмын эргэлтДэлхий ба төвөөс зугтах хүчний моментийн үйлдэл, гироскопын тэнхлэг нь эргэлдэж, хоорондох өнцөг нь хамгийн бага байх болно (Зураг 5.14). Энэ нь гироскопын тэнхлэгийн меридиан хавтгай дахь байрлалтай тохирч байна.

2). Гироскопийн нөлөө.

Хэрэв эргэлтийн тэнхлэгт перпендикуляр тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлэх хандлагатай байгаа эргэдэг гироскопод хос хүчийг хэрэглэвэл эхний хоёр тэнхлэгт перпендикуляр гурав дахь тэнхлэгийг тойрон эргэлдэж эхэлнэ (Зураг 5.15). Гироскопийн энэхүү ер бусын үйлдлийг гироскопийн эффект гэж нэрлэдэг. Энэ нь хос хүчний момент нь O 1 O 1 тэнхлэгийн дагуу чиглэсэн бөгөөд цаг хугацааны явцад векторын өөрчлөлт нь ижил чиглэлтэй байх болно гэж тайлбарладаг. Үүний үр дүнд шинэ вектор нь O 2 O 2 тэнхлэгтэй харьцуулахад эргэх болно. Тиймээс, анх харахад байгалийн бус гироскопын зан байдал нь эргэлтийн хөдөлгөөний динамикийн хуулиудад бүрэн нийцдэг.

3). Гироскопын прецесс.

Гироскопын прецесс нь түүний тэнхлэгийн конус хэлбэрийн хөдөлгөөн юм. Энэ нь гадны хүчний момент нь гироскопын тэнхлэгтэй зэрэгцэн эргэлдэж, үргэлж зөв өнцгийг үүсгэдэг тохиолдолд тохиолддог. Урт эргэлтийг харуулахын тулд хурдан эргэлтэнд тохируулсан сунгасан тэнхлэг бүхий дугуйг ашиглаж болно (Зураг 5.16).

Хэрэв дугуй нь тэнхлэгийн сунгасан төгсгөлд дүүжлэгдсэн бол түүний тэнхлэг нь өөрийн жингийн нөлөөн дор босоо тэнхлэгийн эргэн тойронд урагшилж эхэлнэ. Хурдан эргэдэг дээд хэсэг нь мөн прецессийн үзүүлбэр болж чадна.

Гироскопийн прецессийн шалтгааныг олж мэдье. Тэнцвэргүй гироскопыг авч үзье, тэнхлэг нь тодорхой O цэгийн эргэн тойронд чөлөөтэй эргэлддэг (Зураг 5.16). Гироскопод хэрэглэсэн таталцлын момент нь тэнцүү хэмжээтэй байна

Гироскопын масс хаана байна, О цэгээс гироскопын массын төв хүртэлх зай, гироскопын тэнхлэгийн босоо тэнхлэгээс үүссэн өнцөг. Вектор нь гироскопын тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх босоо хавтгайд перпендикуляр чиглэнэ.

Энэ моментийн нөлөөн дор гироскопын өнцгийн импульс (түүний гарал үүсэл нь О цэг дээр байрладаг) цаг хугацааны өсөлтийг авч, гироскопын тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх босоо хавтгай нь өнцгөөр эргэлддэг. Вектор нь үргэлж перпендикуляр байдаг тул хэмжээ өөрчлөгдөхгүйгээр вектор зөвхөн чиглэлд өөрчлөгддөг. Гэсэн хэдий ч хэсэг хугацааны дараа харилцан зохицуулалтвекторууд бөгөөд эхний мөчтэй ижил байх болно. Үүний үр дүнд гироскопын тэнхлэг нь конусыг дүрслэн босоо чиглэлд тасралтгүй эргэлддэг. Энэ хөдөлгөөнийг прецесс гэж нэрлэдэг.

Прецессийн өнцгийн хурдыг тодорхойлъё. 5.16-р зурагт конусын тэнхлэг ба гироскопын тэнхлэгийг дайран өнгөрөх онгоцны эргэлтийн өнцөг нь тэнцүү байна.

Гироскопын өнцгийн импульс хаана байна, түүний цаг хугацааны өсөлт.

Тэмдэглэгдсэн харилцаа, хувиргалтыг харгалзан - -д хувааж, бид прецессийн өнцгийн хурдыг олж авна.

. (5.35)

Технологид хэрэглэгддэг гироскопуудын хувьд прецессийн өнцгийн хурд нь гироскопын эргэлтийн хурдаас хэдэн сая дахин бага байдаг.

Эцэст нь хэлэхэд, электронуудын тойрог замын хөдөлгөөний улмаас прецессийн үзэгдэл атомуудад бас ажиглагддаг болохыг бид тэмдэглэж байна.

Динамикийн хуулиудын хэрэглээний жишээ

Эргэлтийн хөдөлгөөний үед

1. Жуковскийн вандан сандал ашиглан хэрэгжүүлж болох өнцгийн импульс хадгалагдах хуулийн зарим жишээг авч үзье. Хамгийн энгийн тохиолдолд Жуковскийн вандан сандал нь диск хэлбэртэй платформ (сандал) бөгөөд бөмбөг холхивч дээр босоо тэнхлэгийн эргэн тойронд чөлөөтэй эргэлддэг (Зураг 5.17). Жагсагчид вандан сандал дээр сууж эсвэл зогсож, дараа нь түүнийг эргүүлнэ. Холхивч ашиглах үрэлтийн хүч маш бага байдаг тул эргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад мөргөцөг ба үзүүлэнгээс бүрдэх системийн өнцгийн импульс цаг хугацааны явцад өөрчлөгдөх боломжгүй. . Хэрэв жагсагч гартаа хүнд дамббелл барьж, гараа хажуу тийш нь тарааж байвал тэр системийн инерцийн моментийг ихэсгэх тул өнцгийн импульс өөрчлөгдөхгүй байхын тулд эргэлтийн өнцгийн хурд буурах ёстой.

Өнцгийн импульс хадгалагдах хуулийн дагуу бид энэ тохиолдолд тэгшитгэлийг үүсгэнэ

Энд хүн ба мөргөцгийн инерцийн момент ба эхний ба хоёр дахь байрлал дахь дамббеллүүдийн инерцийн момент ба системийн өнцгийн хурдууд.

Дамббеллуудыг хажуу тийш нь өргөх үед системийн эргэлтийн өнцгийн хурд нь тэнцүү байх болно

Дамббелл хөдөлгөх үед хүний хийсэн ажлыг системийн кинетик энергийн өөрчлөлтөөр тодорхойлж болно

2. Жуковскийн вандан сандал дээр өөр нэг туршилт хийцгээе. Жагсагчид вандан сандал дээр сууж эсвэл зогсож, босоо чиглэлтэй тэнхлэгтэй хурдан эргэдэг дугуйг өгдөг (Зураг 5.18). Дараа нь жагсагч дугуйг 180 0 эргүүлнэ. Энэ тохиолдолд дугуйны өнцгийн импульсийн өөрчлөлт нь бүхэлдээ вандан сандал болон жагсагч руу шилждэг. Үүний үр дүнд вандан сандал нь үзүүлэнгийн хамт өнцгийн импульс хадгалагдах хуулийн үндсэн дээр тодорхойлсон өнцгийн хурдаар эргэлдэж эхэлдэг.

Анхны төлөв дэх системийн өнцгийн импульс нь зөвхөн дугуйны өнцгийн импульсээр тодорхойлогддог бөгөөд тэнцүү байна.

дугуйны инерцийн момент хаана, түүний эргэлтийн өнцгийн хурд.

Дугуйг 180 0 өнцгөөр эргүүлсний дараа системийн өнцгийн импульс нь хүнтэй мөргөцгийн өнцгийн импульс ба дугуйны өнцгийн импульсийн нийлбэрээр тодорхойлогдоно. Дугуйны өнцгийн импульсийн вектор чиглэлээ эсрэгээр өөрчилж, босоо тэнхлэгт проекц нь сөрөг болсныг харгалзан бид олж авна.

Энд "хүн-платформ" системийн инерцийн момент ба мөргөцгийн хүнтэй хамт эргэх өнцгийн хурд.

Өнцгийн импульс хадгалагдах хуулийн дагуу

Тэгээд .

Үүний үр дүнд бид вандан сандлын эргэлтийн хурдыг олдог

3. Массын нимгэн саваа мба урт лсавааны дундуур дайран өнгөрөх босоо тэнхлэгийг тойрон хэвтээ хавтгайд ω=10 с -1 өнцгийн хурдтайгаар эргэлддэг. Нэг хавтгайд үргэлжлүүлэн эргэлдэж байгаа тул саваа хөдөлж, эргэлтийн тэнхлэг нь одоо бариулын төгсгөлийг дайран өнгөрдөг. Хоёр дахь тохиолдолд өнцгийн хурдыг ол.

Энэ асуудалд эргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад бариулын массын тархалт өөрчлөгддөг тул савааны инерцийн момент мөн өөрчлөгддөг. Тусгаарлагдсан системийн өнцгийн импульс хадгалагдах хуулийн дагуу бид байна

Энд саваагийн дундуур дамждаг тэнхлэгтэй харьцуулахад бариулын инерцийн момент; нь савааны төгсгөлийг дайран өнгөрөх тэнхлэгтэй харьцуулахад инерцийн момент бөгөөд Штейнерийн теоремоор олддог.

Эдгээр илэрхийллийг өнцгийн импульс хадгалагдах хуульд орлуулж, бид олж авна

4. Савааны урт Л=1.5 м ба масс м 1=10 кг дээд үзүүрээс нугастай өлгөөтэй. -ийн масстай сум м 2=10 гр, хэвтээ чиглэлд =500 м/с хурдтайгаар нисч, саваанд гацсан. Цохилтын дараа саваа ямар өнцгөөр хазайх вэ?

Зураг дээр төсөөлөөд үз дээ. 5.19. харилцан үйлчлэгч биетүүдийн систем "саваа сум". Нөлөөллийн агшин дахь гадны хүчний моментууд (таталцал, тэнхлэгийн урвал) тэгтэй тэнцүү тул бид өнцгийн импульс хадгалагдах хуулийг ашиглаж болно.

Нөлөөллийн өмнөх системийн өнцгийн импульс нь түдгэлзүүлэх цэгтэй харьцуулахад сумны өнцгийн импульстэй тэнцүү байна.

Уян хатан бус нөлөөллийн дараах системийн өнцгийн импульсийг томъёогоор тодорхойлно

Суудлын цэгтэй харьцуулахад бариулын инерцийн момент хаана, сумны инерцийн момент, цохилтын дараа шууд сумтай саваагийн өнцгийн хурд.

Орлуулсны дараа үүссэн тэгшитгэлийг шийдэж, бид олно

Одоо механик энерги хадгалагдах хуулийг ашиглая. Сум туссаны дараа савааны кинетик энергийг түүний өсөлтийн хамгийн дээд цэг дэх потенциал энергитэй нь тэнцүүлье.

Энэ системийн массын төвийн өндрийн өндөр хаана байна.

Шаардлагатай өөрчлөлтүүдийг хийсний дараа бид олж авна

Савааны хазайлтын өнцөг нь харьцаатай холбоотой

Тооцооллыг хийсний дараа бид =0.1p=18 0 болно.

5. Биеийн хурдатгал ба утаснуудын хурцадмал байдлыг Atwood машин дээр (Зураг 5.20) тодорхойлно. Эргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад блокийн инерцийн момент нь тэнцүү байна I, блок радиус r. Утасны массыг үл тоомсорло.

Ачаалал ба блок дээр үйлчлэх бүх хүчийг цэгцэлж, тэдгээрийн динамик тэгшитгэлийг байгуулъя.

Хэрэв блокны дагуу утас гулсахгүй бол шугаман болон өнцгийн хурдатгал нь хоорондоо хамааралтай байна.

Эдгээр тэгшитгэлийг шийдэж, бид олж авна

Дараа нь бид T 1 ба T 2-ийг олно.

6. Обербекийн загалмайн дамар дээр утас бэхлэгдсэн байна (Зураг 5.21), үүнээс жинтэй ачаа М= 0.5 кг. Ачаа өндрөөс унахад хэр хугацаа шаардагдахыг тодорхойл h= доод байрлал руу 1 м. Дамрын радиус r=3 см.Дөрвөн жин жинтэй м= 250 гр тус бүр зайнаас Р= түүний тэнхлэгээс 30 см. Ачааллын инерцийн моменттой харьцуулахад хөндлөн ба дамрын инерцийн моментийг үл тоомсорлодог.

Эргэдэг биеийн кинетик энерги нь биеийн бүх хэсгүүдийн кинетик энергийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Бөөмийн масс, түүний шугаман (тойргийн) хурд нь энэ бөөмийн эргэлтийн тэнхлэгээс зайтай пропорциональ байна. Энэ илэрхийлэлд орлуулж, бүх бөөмсийн нийтлэг өнцгийн хурдыг нийлбэрийн тэмдгээс гарган авч үзвэл:

Эргэдэг биеийн кинетик энергийн энэхүү томьёог биеийн инерцийн момент гэгдэх утгыг оруулбал хөрвүүлэх хөдөлгөөний кинетик энергийн илэрхийлэлтэй төстэй хэлбэрт оруулж болно. Материалын цэгийн инерцийн момент нь тухайн цэгийн масс ба түүний эргэлтийн тэнхлэгээс зайны квадратын үржвэр юм. Биеийн инерцийн момент нь биеийн бүх материаллаг цэгүүдийн инерцийн моментуудын нийлбэр юм.

Тиймээс эргэдэг биеийн кинетик энергийг дараах томъёогоор тодорхойлно.

Формула (2) нь хөрвүүлэх хөдөлгөөнд байгаа биеийн кинетик энергийг тодорхойлдог томъёоноос ялгаатай нь биеийн массын оронд инерцийн момент I, хурдны оронд бүлгийн хурдыг оруулсан болно.

Эргэдэг нисдэг дугуйны их кинетик энергийг технологид ашигладаг бөгөөд гэнэт өөрчлөгдөж буй ачааллын үед машиныг жигд ажиллуулахад ашигладаг. Эхний ээлжинд их хэмжээний инерцийн момент бүхий нисдэг дугуйг эргүүлэхийн тулд машинаас ихээхэн хэмжээний ажил шаардагддаг боловч гэнэт их ачаалалтай үед машин зогсдоггүй бөгөөд нөөцийг ашиглан ажлыг гүйцэтгэдэг. нисдэг дугуйны кинетик энерги.

Ялангуяа их хэмжээний нисдэг дугуйг цахилгаан мотороор удирддаг гулсмал тээрэмд ашигладаг. Эдгээр дугуйнуудын нэгний тайлбарыг энд оруулав: "Дугуй нь 3.5 м диаметртэй, жинтэй. 600 эрг / мин-ийн хэвийн хурдтай үед дугуйны кинетик энергийн нөөц нь дугуй өнхөрч байх үед . тээрэмдэх хүчин чадал нь 20,000 литр . -тай. Даралтын доорхи үлгэрээр холхивч дахь үрэлтийг хамгийн бага хэмжээнд хүртэл бууруулж, төвөөс зугтах инерцийн хүчний хортой нөлөөллөөс зайлсхийхийн тулд дугуйг тэнцвэржүүлж, дугуйны тойрог дээр байрлуулсан ачаалал нь түүнийг тайван байдлаас гаргаж авдаг. "

Зарим биетүүдийн инерцийн моментуудын утгыг (тооцоолол хийхгүйгээр) танилцуулъя (эдгээр бие тус бүр нь бүх талбайд ижил нягттай байдаг гэж үздэг).

Нимгэн цагирагийн төвийг дайран өнгөрөх тэнхлэгтэй харьцуулахад түүний хавтгайд перпендикуляр байх инерцийн момент (Зураг 55):

Дугуй дискний (эсвэл цилиндрийн) төвийг нь дайран өнгөрөх тэнхлэгийг тойрсон ба түүний хавтгайд перпендикуляр инерцийн момент (дискний туйлын инерцийн момент; Зураг 56):

Нимгэн дугуй дискний диаметртэй давхцах тэнхлэгтэй харьцуулахад инерцийн момент (дискний экваторын инерцийн момент; Зураг 57):

Бөмбөгний төвийг дайран өнгөрөх тэнхлэгтэй харьцуулахад бөмбөгний инерцийн момент:

Төвийг дайран өнгөрч буй тэнхлэгийг тойрон радиусын нимгэн бөмбөрцөг давхаргын инерцийн момент:

Зузаан бөмбөрцөг давхаргын (гадна гадаргуугийн радиус, хөндийн радиустай хөндий бөмбөг) төвөөр дамжин өнгөрөх тэнхлэгийн инерцийн момент:

Биеийн инерцийн моментуудыг интеграл тооцоолол ашиглан тооцдог. Ийм тооцооллын явцын талаар ойлголт өгөхийн тулд түүнд перпендикуляр тэнхлэгтэй харьцуулахад бариулын инерцийн моментийг олцгооё (Зураг 58). Саваа, нягтралын хөндлөн огтлолтой байг. Эргэлтийн тэнхлэгээс x зайд байрлах урттай бариулын энгийн жижиг хэсгийг сонгоцгооё. Дараа нь түүний масс Эргэлтийн тэнхлэгээс x зайд байгаа тул инерцийн момент нь тэгээс I хүртэлх мужид нэгтгэгдэнэ.

Инерцийн момент тэгш өнцөгт параллелепипедтэгш хэмийн тэнхлэгтэй харьцуулахад (Зураг 59)

Бөгжний торусын инерцийн момент (Зураг 60)

Хавтгайн дагуу эргэлдэж буй биеийн эргэлтийн энерги (гулсахгүйгээр) энэ биеийн хөрвүүлэх хөдөлгөөний энергитэй хэрхэн холбоотой болохыг авч үзье.

Өнхрөх биеийн хөрвүүлэх хөдөлгөөний энерги нь тэнцүү бөгөөд энэ нь биеийн масс ба хөрвүүлэх хөдөлгөөний хурд юм. Өнхөрч буй биеийн эргэлтийн өнцгийн хурд ба биеийн радиусыг тэмдэглэе. Гулсахгүй өнхөрч буй биеийн хөрвүүлэх хөдөлгөөний хурд нь бие нь онгоцтой холбогдох цэгүүд дэх биеийн захын хурдтай тэнцүү гэдгийг ойлгоход хялбар байдаг (бие нэг эргэлт хийх үед төв нь биеийн таталцлын хүч хол хөдөлдөг тул

Тиймээс,

Эргэлтийн энерги

иймээс,

Инерцийн моментуудын дээрх утгыг энд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

а) өнхрөх цагирагны эргэлтийн хөдөлгөөний энерги нь түүний хөрвүүлэх хөдөлгөөний энергитэй тэнцүү байна;

б) өнхрөх нэгэн төрлийн дискний эргэлтийн энерги нь хөрвүүлэх хөдөлгөөний энергийн талтай тэнцүү байна;

в) өнхрөх нэгэн төрлийн бөмбөгний эргэлтийн энерги нь хөрвүүлэх хөдөлгөөний энерги юм.

Эргэлтийн тэнхлэгийн байрлалаас инерцийн моментийн хамаарал.Хүндийн төв нь С цэгт байгаа саваа (Зураг 61) өнцгийн хурдаар (о тэнхлэгийн эргэн тойронд, зургийн хавтгайд перпендикуляр) эргэлдэнэ. Тодорхой хугацааны туршид байрлалаасаа хөдөлсөн гэж үзье. A B ба таталцлын төв нь нумыг дүрсэлсэн. Савааны энэ хөдөлгөөнийг саваа эхлээд хөрвүүлэлтээр (өөрөөр хэлбэл, өөртэйгээ параллель хэвээр байгаа) байрлал руу шилжиж, дараа нь C байрлал руу эргэлдэж байгаа гэж үзэж болно. эргэлтийн тэнхлэгээс хүндийн төвийн) a, өнцгөөр нь саваа А байрлалаас В байрлал руу шилжих үед түүний бөөм бүрийн хөдөлгөөн нь хүндийн төвийн хөдөлгөөнтэй адил байна, өөрөөр хэлбэл, энэ нь тэнцүү буюу тэнхлэгийн эргэн тойронд O-г дайран өнгөрөх тэнхлэгийг хоёр хэсэгт задалж болно.

Лекц 3. Хатуу биеийн динамик

Лекцийн тойм

3.1. Хүч чадлын мөч.

3.2. Эргэлтийн хөдөлгөөний үндсэн тэгшитгэлүүд. Инерцийн момент.

3.3. Эргэлтийн кинетик энерги.

3.4. Импульсийн мөч. Өнцгийн импульс хадгалагдах хууль.

3.5. Хөрвүүлэлт ба эргэлтийн хөдөлгөөний хоорондох аналоги.

Хүч чадлын мөч

Тогтмол тэнхлэгийг тойрсон хатуу биеийн хөдөлгөөнийг авч үзье. Хатуу бие нь тогтмол эргэлтийн тэнхлэгтэй байг OO ( Зураг 3.1) бөгөөд түүнд дурын хүч үйлчилнэ.

Цагаан будаа. 3.1

Хүчийг хүчний хоёр бүрэлдэхүүн хэсэг болгон задалъя, хүч нь эргэлтийн хавтгайд оршдог ба хүч нь эргэлтийн тэнхлэгтэй параллель байна. Дараа нь бид хүчийг хоёр бүрэлдэхүүн хэсэг болгон задлах болно: – радиус векторын дагуу үйлчлэх ба – перпендикуляр.

Биед үзүүлсэн бүх хүч түүнийг эргүүлэхгүй. Хүч нь холхивч дээр даралтыг бий болгодог боловч түүнийг эргүүлдэггүй.

Хүч нь биеийг радиус векторын аль хэсэгт хэрэглэж байгаагаас хамаарч тэнцвэрийг алдагдуулж болно. Тиймээс тэнхлэгийг тойрсон хүчний моментийн тухай ойлголтыг нэвтрүүлсэн. Хүчний агшинэргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад радиус вектор ба хүчний вектор үржвэр гэж нэрлэдэг.

Вектор нь эргэлтийн тэнхлэгийн дагуу чиглэгддэг бөгөөд хөндлөн үржвэрийн дүрэм эсвэл баруун шураг дүрэм эсвэл гимлетийн дүрмээр тодорхойлогддог.

Хүчний моментийн модуль

Энд α нь векторуудын хоорондох өнцөг юм.

3.1-р зурагнаас. гэдэг нь ойлгомжтой .

r 0 – хамгийн богино зайэргэлтийн тэнхлэгээс хүчний үйлчлэлийн шугам хүртэлх хэсгийг хүчний мөр гэж нэрлэдэг. Дараа нь хүчний агшинг бичиж болно

M = F r 0 . (3.3)

Зураг дээрээс. 3.1.

Хаана Ф– радиус векторт перпендикуляр чиглэл рүү векторын проекц. Энэ тохиолдолд хүчний момент нь тэнцүү байна

. (3.4)

Хэрэв биед хэд хэдэн хүч үйлчилдэг бол үүссэн хүчний момент нь бие даасан хүчний моментуудын векторын нийлбэртэй тэнцүү боловч бүх моментууд тэнхлэгийн дагуу чиглэгддэг тул тэдгээрийг алгебрийн нийлбэрээр сольж болно. Биеийг цагийн зүүний дагуу эргүүлбэл момент эерэг, эсрэгээр эргэвэл сөрөг гэж үзнэ. Хэрэв бүх хүчний моментууд () тэгтэй тэнцүү бол бие тэнцвэрт байдалд байх болно.

Моментийн тухай ойлголтыг "capricious ороомог" ашиглан харуулж болно. Утасны дамар нь утасны чөлөөт үзүүрээр татагддаг ( будаа. 3.2).

Цагаан будаа. 3.2

Утасны суналтын чиглэлээс хамааран дамар нь нэг чиглэлд эргэлддэг. Хэрэв өнцгөөр татвал α , дараа нь тэнхлэгийг тойрсон хүчний момент ТУХАЙ(зурагтай перпендикуляр) ороомогыг цагийн зүүний эсрэг эргүүлж, буцаж эргэлддэг. Өнцөгт хурцадмал байдал үүссэн тохиолдолд β эргүүлэх хүчийг цагийн зүүний эсрэг чиглүүлж, ороомог урагшаа эргэлддэг.

Тэнцвэрийн нөхцөлийг () ашиглан бид байгуулж болно энгийн механизмууд, эдгээр нь хүчний "хувиргагчид", i.e. Бага хүч хэрэглэснээр та янз бүрийн жинтэй ачааг өргөж, хөдөлгөж чадна. Барилгад өргөн хэрэглэгддэг хөшүүрэг, түрдэг тэрэг, төрөл бүрийн блокууд нь энэ зарчим дээр суурилдаг. Барилгын краны тэнцвэрт байдлыг хадгалахын тулд ачааны жингээс үүссэн хүчний моментийг нөхөхийн тулд эсрэг тэмдгийн хүчний моментийг үүсгэдэг сөрөг жингийн систем үргэлж байдаг.

3.2. Эргэлтийн үндсэн тэгшитгэл
хөдөлгөөнүүд. Инерцийн момент

Тогтмол тэнхлэгийг тойрон эргэдэг туйлын хатуу биеийг авч үзье ОО(Зураг 3.3). Энэ биеийг Δ масстай элементүүдэд оюун ухаанаараа хуваацгаая м 1, Δ м 2, …, Δ м н. Эргүүлэх үед эдгээр элементүүд нь радиустай тойргийг дүрслэх болно r 1,r 2 , …,r n. Элемент тус бүр дээр хүч үйлчилдэг F 1,F 2 , …,Fn. Биеийн тэнхлэгийг тойрон эргэх ООбүрэн эргэлтийн моментийн нөлөөн дор үүсдэг М.

М = М 1 + М 2 + … + М n (3.4)

Хаана M 1 = F 1 r 1, M 2 = F 2 r 2, ..., M n = F n r n

Ньютоны II хуулийн дагуу хүч бүр Ф, D масстай элемент дээр ажилладаг м, энэ элементийг хурдасгахад хүргэдэг а, өөрөөр хэлбэл

F i =Д би, би (3.5)

Харгалзах утгуудыг (3.4) орлуулснаар бид олж авна

Цагаан будаа. 3.3

Шугаман өнцгийн хурдатгалын хамаарлыг мэдэх ε () ба өнцгийн хурдатгал нь бүх элементүүдийн хувьд ижил байвал (3.6) томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.

М = (3.7)

=I (3.8)

I– тогтмол тэнхлэгтэй харьцуулахад биеийн инерцийн момент.

Дараа нь бид авах болно

M = I ε (3.9)

Эсвэл вектор хэлбэрээр

(3.10)

Энэ тэгшитгэл нь эргэлтийн хөдөлгөөний динамикийн үндсэн тэгшитгэл юм. Энэ нь Ньютоны хуулийн II тэгшитгэлтэй төстэй юм. (3.10) -аас инерцийн момент тэнцүү байна

Тиймээс тухайн биеийн инерцийн момент нь хүчний моментийг түүний үүсгэсэн өнцгийн хурдатгалд харьцуулсан харьцаа юм. (3.11)-ээс харахад инерцийн момент нь биеийн эргэлтийн хөдөлгөөнтэй харьцуулахад инерцийн хэмжүүр болох нь тодорхой байна. Хөрвүүлэх хөдөлгөөнд инерцийн момент нь масстай ижил үүрэг гүйцэтгэдэг. SI нэгж [ I] = кг м 2. (3.7) томъёоноос харахад инерцийн момент нь эргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад биеийн хэсгүүдийн массын тархалтыг тодорхойлдог.

Тэгэхээр r радиустай тойрогт хөдөлж буй ∆m масстай элементийн инерцийн момент нь тэнцүү байна.

I = r 2Д м (3.12)

би = (3.13)

Тасралтгүй массын тархалтын хувьд нийлбэрийг интегралаар сольж болно

I= ∫ r 2 дм (3.14)

интеграци нь биеийн бүх массыг хамардаг.

Энэ нь биеийн инерцийн момент нь эргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад масс ба түүний тархалтаас хамаардаг болохыг харуулж байна. Үүнийг туршилтаар харуулж болно ( Зураг 3.4).

Цагаан будаа. 3.4

Хоёр дугуй цилиндр, нэг нь хөндий (жишээлбэл, металл), нөгөө нь ижил урт, радиус, масстай цул (модон) нэгэн зэрэг эргэлдэж эхэлдэг. Их хэмжээний инерцийн момент бүхий хөндий цилиндр нь хатуу цилиндрээс хоцрох болно.

Хэрэв масс нь мэдэгдэж байгаа бол инерцийн моментыг тооцоолж болно мэргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад түүний тархалт. Хамгийн энгийн тохиолдол бол массын бүх элементүүд эргэлтийн тэнхлэгээс тэнцүү байрладаг цагираг юм ( будаа. 3.5):

би = (3.15)

Цагаан будаа. 3.5

Төрөл бүрийн тэгш хэмтэй массын биетүүдийн инерцийн моментуудын илэрхийлэлийг үзүүлье м.

1. Инерцийн момент цагираг, хөндий нимгэн ханатай цилиндртэгш хэмийн тэнхлэгтэй давхцах эргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад.

, (3.16)

r– цагираг эсвэл цилиндрийн радиус

2. Хатуу цилиндр ба дискний хувьд тэгш хэмийн тэнхлэгийг тойрсон инерцийн момент

(3.17)

3. Бөмбөгийг төвөөр дайран өнгөрч буй тэнхлэгийг тойрсон инерцийн момент

(3.18)

r- бөмбөгний радиус

4. Урт урттай нимгэн бариулын инерцийн момент лсаваатай перпендикуляр тэнхлэгтэй харьцуулахад, түүний дундуур дамжин өнгөрдөг

(3.19)

л- бариулын урт.

Хэрэв эргэлтийн тэнхлэг нь массын төвөөр дамжин өнгөрөхгүй бол энэ тэнхлэгтэй харьцуулахад биеийн инерцийн моментийг Штайнерын теоремоор тодорхойлно.

(3.20)

Энэ теоремын дагуу дурын тэнхлэгт хамаарах инерцийн момент O’O’ ( ) нь биеийн массын төвийг дайран өнгөрөх параллель тэнхлэгийг тойрсон инерцийн моменттэй тэнцүү ( ) дээр нэмэх нь биеийн массын үржвэрийг зайны квадратыг үржүүлсэн байна Атэнхлэгүүдийн хооронд ( будаа. 3.6).

Цагаан будаа. 3.6

Эргэлтийн кинетик энерги

Үнэмлэхүй хатуу биетийг OO тогтмол тэнхлэгийн эргэн тойронд өнцгийн хурдаар эргүүлэхийг авч үзье. ω (будаа. 3.7). Хатуу биеийг задалж үзье nэнгийн массууд ∆ м би. Массын элемент бүр радиустай тойргийн дагуу эргэлддэг r iшугаман хурдтай (). Кинетик энерги нь бие даасан элементүүдийн кинетик энергиэс бүрдэнэ.

(3.21)

Цагаан будаа. 3.7

Үүнийг (3.13)-аас эргэн санацгаая – ОО тэнхлэгтэй харьцуулахад инерцийн момент.

Тиймээс эргэдэг биеийн кинетик энерги

E k = (3.22)

Тогтмол тэнхлэгийг тойрон эргэх кинетик энергийг бид авч үзсэн. Хэрэв бие нь хөрвүүлэх ба эргэлтийн хөдөлгөөн гэсэн хоёр хөдөлгөөнд оролцдог бол биеийн кинетик энерги нь хөрвүүлэх хөдөлгөөний кинетик энерги ба эргэлтийн кинетик энергиэс бүрдэнэ.

Жишээлбэл, масстай бөмбөг мөнхрөх; Бөмбөгний массын төв нь орчуулгын дагуу хурдтай хөдөлдөг у (будаа. 3.8).

Цагаан будаа. 3.8

Бөмбөгний нийт кинетик энерги нь тэнцүү байх болно

(3.23)

3.4. Импульсийн мөч. Хамгаалалтын хууль
өнцгийн импульс

Инерцийн моментийн үржвэртэй тэнцүү физик хэмжигдэхүүн Iөнцгийн хурд руу ω , өнцгийн импульс (өнцгийн импульс) гэж нэрлэдэг. Лэргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад.

– өнцгийн импульс нь вектор хэмжигдэхүүн бөгөөд түүний чиглэл нь өнцгийн хурдны чиглэлтэй давхцдаг.

Цаг хугацааны хувьд (3.24) ялгах тэгшитгэлийг олж авна

Хаана, М- гадаад хүчний нийт момент. Тусгаарлагдсан системд гадны хүчний эргэлт байхгүй ( М=0) ба

Харах:Энэ нийтлэлийг 49298 удаа уншсан

Pdf Хэл сонгох... Орос Украйн Англи хэл

Богино тойм

Хэлийг сонгосны дараа дээрх материалыг бүхэлд нь татаж авна

Материаллаг цэг эсвэл цэгийн системийн механик хөдөлгөөнийг өөрчлөх хоёр тохиолдол:

механик хөдөлгөөнийг нэгээс шилжүүлдэг механик системнөгөө рүү нь механик хөдөлгөөн;
механик хөдөлгөөн нь материйн хөдөлгөөний өөр хэлбэр (боломжийн энерги, дулаан, цахилгаан гэх мэт) болж хувирдаг.

Хөдөлгөөний өөр хэлбэрт шилжихгүйгээр механик хөдөлгөөний өөрчлөлтийг авч үзэхэд механик хөдөлгөөний хэмжүүр нь материаллаг цэг эсвэл механик системийн импульсийн вектор юм. Энэ тохиолдолд хүчний хэмжүүр нь хүчний импульсийн вектор юм.

Механик хөдөлгөөн нь материйн хөдөлгөөний өөр хэлбэр болж хувирах үед материалын цэг эсвэл механик системийн кинетик энерги нь механик хөдөлгөөний хэмжүүр болдог. Механик хөдөлгөөнийг хөдөлгөөний өөр хэлбэр болгон хувиргах үед үзүүлэх хүчний үйл ажиллагааны хэмжүүр нь хүчний ажил юм

Кинетик энерги

Хөдөлгөөний явцад саад бэрхшээлийг даван туулах чадварыг кинетик энерги гэнэ.

Материаллаг цэгийн кинетик энерги

Материаллаг цэгийн кинетик энерги нь тухайн цэгийн масс ба хурдны квадратын үржвэрийн талтай тэнцүү скаляр хэмжигдэхүүн юм.

Кинетик энерги:

орчуулгын болон эргэлтийн хөдөлгөөнийг хоёуланг нь тодорхойлдог;
системийн цэгүүдийн хөдөлгөөний чиглэлээс хамаардаггүй бөгөөд эдгээр чиглэлийн өөрчлөлтийг тодорхойлдоггүй;
дотоод болон гадаад хүчний үйлдлийг тодорхойлдог.

Механик системийн кинетик энерги

Системийн кинетик энерги нь системийн биеийн кинетик энергийн нийлбэртэй тэнцүү байна. Кинетик энерги нь системийн биеийн хөдөлгөөний төрлөөс хамаарна.

Хатуу биеийн кинетик энергийг тодорхойлох янз бүрийн төрөлхөдөлгөөн хөдөлгөөнүүд.

Хөрвүүлэлтийн хөдөлгөөний кинетик энерги
Хөрвүүлэх хөдөлгөөний үед биеийн кинетик энерги нь тэнцүү байна Т=м V 2 /2.

Хөрвүүлэх хөдөлгөөний үед биеийн инерцийн хэмжүүр нь масс юм.

Биеийн эргэлтийн хөдөлгөөний кинетик энерги

Биеийн эргэлтийн хөдөлгөөний үед кинетик энерги нь эргэлтийн тэнхлэг ба түүний өнцгийн хурдны квадраттай харьцуулахад биеийн инерцийн моментийн бүтээгдэхүүний хагастай тэнцүү байна.

Эргэлтийн хөдөлгөөний үед биеийн инерцийн хэмжүүр нь инерцийн момент юм.

Биеийн кинетик энерги нь биеийн эргэлтийн чиглэлээс хамаардаггүй.

Биеийн хавтгай параллель хөдөлгөөний кинетик энерги

Биеийн хавтгай параллель хөдөлгөөний үед кинетик энерги нь тэнцүү байна

Хүчний ажил

Хүчний ажил нь зарим хөдөлгөөний үед биед үзүүлэх хүчний үйлчлэлийг тодорхойлж, хөдөлж буй цэгийн хурдны модулийн өөрчлөлтийг тодорхойлдог.

Хүчний үндсэн ажил

Тухайн цэгийн хөдөлгөөний чиглэлд чиглэсэн траекторийн шүргэгч рүү чиглэсэн хүчний проекц ба энэ дагуу чиглэсэн цэгийн хязгааргүй бага шилжилтийн үржвэртэй тэнцүү скаляр хэмжигдэхүүнийг хүчний энгийн ажил гэнэ. шүргэгч.

Эцсийн нүүлгэн шилжүүлэлт дээр хүчээр хийсэн ажил

Эцсийн шилжилтийн үед хүчний гүйцэтгэсэн ажил нь түүний үндсэн хэсгүүдэд хийсэн ажлын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Эцсийн нүүлгэн шилжүүлэлтэд үзүүлэх хүчний ажил M 1 M 0 нь энэ шилжилтийн дагуух үндсэн ажлын интегралтай тэнцүү байна.

M 1 M 2 нүүлгэн шилжүүлэх хүчний ажлыг абсцисса тэнхлэг, муруй ба M 1 ба M 0 цэгүүдэд харгалзах ординатаар хязгаарласан зургийн талбайгаар дүрсэлсэн болно.

SI систем дэх хүч ба кинетик энергийн ажлын хэмжилтийн нэгж нь 1 (J) юм.

Хүчний ажлын тухай теоремууд

Теорем 1. Тодорхой нүүлгэн шилжүүлэлт дээр үр дүнгийн хүчний хийсэн ажил нь ижил шилжилт дээр бүрэлдэхүүн хүчний хийсэн ажлын алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Теорем 2.Үүссэн шилжилт дээр тогтмол хүчний хийсэн ажил нь бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн шилжилт дээр энэ хүчний хийсэн ажлын алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Хүч

Хүч гэдэг нь тухайн хүчний нэгж хугацаанд гүйцэтгэсэн ажлыг тодорхойлдог хэмжигдэхүүн юм.

Эрчим хүчийг хэмжих нэгж нь 1W = 1 J / s байна.

Хүчний ажлыг тодорхойлох тохиолдлууд

Дотоод хүчний ажил

Аливаа хөдөлгөөний үед хатуу биеийн дотоод хүчний гүйцэтгэсэн ажлын нийлбэр нь тэг байна.

Хүндийн хүчний ажил

Уян хатан хүчний ажил

Үрэлтийн хүчний ажил

Эргэдэг биед үйлчлэх хүчний ажил

Тогтмол тэнхлэгийн эргэн тойронд эргэлдэж буй хатуу биед үзүүлэх хүчний үндсэн ажил нь эргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад гадаад хүчний үндсэн момент ба эргэлтийн өнцгийн өсөлттэй тэнцүү байна.

Өнхрөх эсэргүүцэл

Хөдөлгөөнгүй цилиндр ба хавтгайн контактын бүсэд контактын шахалтын орон нутгийн хэв гажилт үүсч, хүчдэл нь зууван хуулийн дагуу тархдаг бөгөөд эдгээр хүчдэлийн N үр дүнгийн үйл ажиллагааны шугам нь ачааллын үйл ажиллагааны шугамтай давхцдаг. цилиндрт үзүүлэх хүч Q. Цилиндр өнхрөх үед ачааллын хуваарилалт тэгш бус болж, хамгийн их нь хөдөлгөөн рүү шилждэг. Үр дүнгийн N нь өнхрөх үрэлтийн хүчний гар болох k хэмжээгээр шилждэг бөгөөд үүнийг өнхрөх үрэлтийн коэффициент гэж нэрлэдэг бөгөөд урт (см) хэмжээтэй байна.

Материаллаг цэгийн кинетик энергийн өөрчлөлтийн тухай теорем

Тодорхой шилжилтийн үед материалын цэгийн кинетик энергийн өөрчлөлт нь ижил шилжилтийн үед тухайн цэг дээр үйлчлэх бүх хүчний алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Механик системийн кинетик энергийн өөрчлөлтийн тухай теорем

Тодорхой шилжилтийн үед механик системийн кинетик энергийн өөрчлөлт нь роботын дотоод болон гадаад хүчний алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү байна. материаллаг цэгүүдижил шилжилттэй системүүд.

Хатуу биеийн кинетик энергийн өөрчлөлтийн тухай теорем

Тодорхой шилжилтийн үед хатуу биетийн (өөрчлөгдөөгүй систем) кинетик энергийн өөрчлөлт нь ижил шилжилтийн үед системийн цэгүүдэд үйлчлэх гадаад хүчний нийлбэртэй тэнцүү байна.

Үр ашиг

Механизмд үйлчилдэг хүч

Механизм эсвэл машинд үйлчлэх хүч ба хос хүчийг (момент) бүлэгт хувааж болно.

1. Эерэг ажил гүйцэтгэх жолоодлогын хүч ба моментууд (хөдөлгүүрийн холбоосуудад хэрэглэнэ, жишээлбэл, дотоод шаталтын хөдөлгүүрийн поршений хийн даралт).

2. Сөрөг ажил гүйцэтгэх хүч ба эсэргүүцлийн моментууд:

ашигтай эсэргүүцэл (тэдгээр нь машинаас шаардагдах ажлыг гүйцэтгэдэг бөгөөд жолоодлогын холбоосуудад ашиглагддаг, жишээлбэл, машинаар өргөгдсөн ачааллын эсэргүүцэл),
эсэргүүцлийн хүч (жишээлбэл, үрэлтийн хүч, агаарын эсэргүүцэл гэх мэт).

3. Пүршний таталцлын хүч ба уян харимхай хүч (эерэг ба сөрөг аль аль нь ажилладаг, харин бүтэн мөчлөгийн ажил тэг байна).

4. Ажил хийдэггүй, гаднаас (суурийн хариу үйлдэл гэх мэт) бие эсвэл зогсож байгаа хүч, моментууд.

5. Кинематик хосоор ажиллаж буй холбоосуудын хоорондын харилцан үйлчлэх хүч.

6. Хурдатгалтай холбоосын масс ба хөдөлгөөнөөс үүссэн холбоосуудын инерцийн хүч нь эерэг, сөрөг ажил гүйцэтгэж, ажил гүйцэтгэхгүй.

Механизм дахь хүчний ажил

Тогтвортой горимд машин ажиллах үед түүний кинетик энерги өөрчлөгддөггүй бөгөөд хөдөлгөгч хүч ба эсэргүүцлийн хүчний нийлбэр нь тэг байна.

Машиныг хөдөлгөөнд оруулахад зарцуулсан ажил нь ашигтай, хортой эсэргүүцлийг даван туулахад зарцуулагддаг.

Механизмын үр ашиг

Тогтвортой хөдөлгөөний үед механик үр ашиг нь машины ашигтай ажлын харьцааг машиныг хөдөлгөөнд оруулахад зарцуулсан ажлын харьцаатай тэнцүү байна.

Машины элементүүдийг цуваа, зэрэгцээ, холимог байдлаар холбож болно.

Цуврал холболтын үр ашиг

Механизмуудыг цувралаар холбох үед нийт үр ашиг нь бие даасан механизмын хамгийн бага үр ашгаас бага байдаг.

Зэрэгцээ холболтын үр ашиг

Механизмуудыг зэрэгцээ холбох үед нийт үр ашиг нь хамгийн бага үр ашгаас их, бие даасан механизмын хамгийн өндөр үр ашгаас бага байдаг.

Формат: pdf

Хэл: Орос, Украин

Шат арааны тооцооны жишээ
Дамжуулах араа тооцоолох жишээ. Материалын сонголт, зөвшөөрөгдөх хүчдэлийн тооцоо, контакт, гулзайлтын бат бэхийн тооцоог хийсэн.

Цацрагийн гулзайлтын асуудлыг шийдэх жишээ
Жишээн дээр хөндлөн хүч ба гулзайлтын моментуудын диаграммыг барьж, аюултай хэсгийг олж, I-цацрагыг сонгосон. Уг асуудал нь дифференциал хамаарлыг ашиглан диаграмм байгуулахад дүн шинжилгээ хийж, цацрагийн янз бүрийн хөндлөн огтлолын харьцуулсан шинжилгээг хийсэн.

Босоо амны эргэлтийн асуудлыг шийдэх жишээ
Даалгавар нь өгөгдсөн диаметр, материал, зөвшөөрөгдөх хүчдэлд ган босоо амны бат бөх чанарыг шалгах явдал юм. Уусмалыг боловсруулах явцад эргэлтийн момент, зүсэлтийн хүчдэл, мушгирах өнцгийн диаграммыг бүтээдэг. Босоо амны өөрийн жинг тооцохгүй

Саваа чангалах-шахах асуудлыг шийдэх жишээ
Даалгавар нь зөвшөөрөгдөх хүчдэлийн үед ган баарны бат бөх чанарыг шалгах явдал юм. Уусмалын явцад уртааш хүч, хэвийн хүчдэл ба шилжилтийн диаграммыг бүтээдэг. Савааны өөрийн жинг тооцдоггүй

Кинетик энерги хадгалагдах теоремын хэрэглээ
Механик системийн кинетик энерги хадгалагдах теоремыг ашиглан асуудлыг шийдэх жишээ