Тэгш өнцөгт параллелограмм хэлбэрээр. Параллелограммын өнцөг ба талбайн нийлбэрийг тооцоолох: шинж чанар ба шинж чанарууд

"Параллелограмм" гэсэн нийлмэл үг үү? Мөн үүний цаана маш энгийн дүр байдаг.

За, бид хоёр зэрэгцээ шугам авсан:

Дахиад хоёр хөндлөн гарсан:

Мөн дотор нь параллелограмм байна!

Параллелограмм ямар шинж чанартай байдаг вэ?

Параллелограммын шинж чанарууд.

Өөрөөр хэлбэл, асуудалд параллелограмм өгвөл та юу ашиглаж болох вэ?

Дараах теорем энэ асуултад хариулна.

Бүгдийг нарийвчлан зурцгаая.

Юу гэсэн үг вэ теоремын эхний цэг? Үнэн хэрэгтээ хэрэв танд параллелограмм байгаа бол та мэдээж хэрэг болно

Хоёрдахь цэг нь хэрэв параллелограмм байгаа бол дахин, мэдээжийн хэрэг:

Эцэст нь, гурав дахь цэг нь хэрэв танд параллелограмм байгаа бол дараахь зүйлийг анхаарч үзээрэй.

Ямар баялаг сонголт байгааг та харж байна уу? Асуудалд юу ашиглах вэ? Даалгаврын асуултанд анхаарлаа төвлөрүүлэхийг хичээ, эсвэл бүгдийг нэг нэгээр нь туршиж үзээрэй - зарим "түлхүүр" хийх болно.

Одоо өөрөөсөө өөр асуулт асууя: бид параллелограммыг "хараар" хэрхэн таних вэ? Дөрвөн өнцөгт юу тохиолдох ёстой вэ, тэгвэл бид түүнд параллелограммын "гарчиг" өгөх эрхтэй байх ёстой вэ?

Параллелограммын хэд хэдэн шинж тэмдэг энэ асуултад хариулдаг.

Параллелограммын шинж тэмдэг.

Анхаар! Эхлэх.

Параллелограмм.

Анхаарна уу: хэрэв та асуудлынхаа дор хаяж нэг тэмдгийг олсон бол танд параллелограмм байгаа нь гарцаагүй бөгөөд та параллелограммын бүх шинж чанарыг ашиглаж болно.

2. Тэгш өнцөгт

Энэ нь танд огт мэдээ биш байх гэж бодож байна

Эхний асуулт: тэгш өнцөгт нь параллелограмм мөн үү?

Мэдээжийн хэрэг! Эцсийн эцэст, тэр байна - санаж байна, бидний тэмдэг 3?

Эндээс мэдээжийн хэрэг тэгш өнцөгт нь аливаа параллелограммын нэгэн адил диагональуудыг огтлолцох цэгээр хагасаар хуваадаг.

Гэхдээ тэгш өнцөгт нь бас нэг онцлог шинж чанартай байдаг.

Тэгш өнцөгт өмч

Энэ өмч яагаад онцгой шинж чанартай байдаг вэ? Учир нь өөр ямар ч параллелограмм тэнцүү диагональ байдаггүй. Үүнийг илүү тодорхой томъёолъё.

Анхаарна уу: тэгш өнцөгт болохын тулд дөрвөлжин нь эхлээд параллелограмм болж, дараа нь диагональуудын тэгш байдлыг харуулах ёстой.

3. Алмаз

Мөн дахин асуулт: ромб параллелограмм уу, үгүй юу?

Бүтэн баруун талд - параллелограмм, учир нь түүнд болон (бидний онцлог 2-ыг санаарай).

Дахин хэлэхэд ромб нь параллелограмм учраас параллелограммын бүх шинж чанарыг агуулсан байх ёстой. Энэ нь ромбын эсрэг өнцөг нь тэнцүү, эсрэг талууд нь параллель, диагональууд нь огтлолцох цэг дээр хоёр хуваагддаг гэсэн үг юм.

Ромбын шинж чанарууд

Зураг луу хар:

Тэгш өнцөгтийн хувьд эдгээр шинж чанарууд нь ялгаатай, өөрөөр хэлбэл эдгээр шинж чанаруудын хувьд энэ нь зүгээр л параллелограмм биш, харин ромб юм гэж дүгнэж болно.

Алмазны шинж тэмдэг

Мөн дахин анхаарлаа хандуулаарай: диагональ нь перпендикуляр дөрвөн өнцөгт биш, харин параллелограмм байх ёстой. Үүнд итгэлтэй байна:

Үгүй ээ, мэдээжийн хэрэг, түүний диагональууд нь перпендикуляр бөгөөд диагональ нь өнцгийн биссектриса юм. Гэхдээ ... диагональууд нь огтлолцох цэгээр хагас хуваагддаггүй тул - Параллелограмм БИШ, тиймээс ромбус БИШ.

Өөрөөр хэлбэл, дөрвөлжин нь нэгэн зэрэг тэгш өнцөгт ба ромб юм. Юу болсныг харцгаая.

Яагаад гэдэг нь тодорхой байна уу? - ромбус нь А өнцгийн биссектрис бөгөөд энэ нь тэнцүү байна. Энэ нь (мөн түүнчлэн) хоёр өнцөгт хуваагддаг гэсэн үг юм.

За, энэ нь тодорхой байна: тэгш өнцөгтийн диагональууд тэнцүү; Ромбын диагональууд нь перпендикуляр бөгөөд ерөнхийдөө диагональуудын параллелограммыг огтлолцох цэгээр хагасаар хуваадаг.

ДУНДАЖ ТҮВШИН

Дөрвөн өнцөгтийн шинж чанарууд. Параллелограмм

Параллелограммын шинж чанарууд

Анхаар! Үг" Параллелограммын шинж чанарууд"Хэрэв таны даалгавар бол гэсэн үг Байнапараллелограмм, дараа нь дараах бүх зүйлийг ашиглаж болно.

Параллелограммын шинж чанарын тухай теорем.

Аливаа параллелограммд:

Энэ бүхэн яагаад үнэн, өөрөөр хэлбэл үнэн болохыг ойлгоцгооё БИД БАТЛАХ болнотеорем.

Тэгвэл яагаад 1) үнэн гэж?

Хэрэв энэ нь параллелограмм бол:

хөндлөн хэвтэж байна
загалмай шиг хэвтэж байна.

Энэ нь (II шалгуурын дагуу: ба - ерөнхий) гэсэн үг юм.

За, ингээд л болоо! - нотолсон.

Гэхдээ дашрамд хэлэхэд! Бид бас нотолсон 2)!

Яагаад? Гэхдээ (зураг харна уу), өөрөөр хэлбэл, яг учир нь.

Зөвхөн 3 үлдсэн).

Үүнийг хийхийн тулд та хоёр дахь диагональ зурах хэрэгтэй.

Одоо бид үүнийг харж байна - II шинж чанарын дагуу (өнцөг ба тэдгээрийн "хоорон дахь" тал).

Шинж чанар нь батлагдсан! Тэмдгүүд рүү шилжье.

Параллелограммын шинж тэмдэг

Параллелограммын тэмдэг нь дүрс нь параллелограмм гэдгийг "та яаж мэдэх вэ?" Гэсэн асуултанд хариулдаг гэдгийг санаарай.

Дүрсэнд иймэрхүү байна:

Яагаад? Яагаад гэдгийг ойлгоход таатай байх болно - энэ нь хангалттай. Гэхдээ хараарай:

За, бид яагаад 1 тэмдэг үнэн болохыг олж мэдсэн.

За, энэ нь бүр ч хялбар! Дахин диагональ зуръя.

Юу гэсэн үг вэ гэхээр:

БАЭнэ нь бас амархан. Гэхдээ ... өөр!

гэсэн үг, . Хөөх! Гэхдээ бас - секанттай дотоод нэг талт!

Тиймээс энэ нь тийм гэсэн үг юм.

Хэрэв та нөгөө талаас нь харвал дотоод нэг талдаа секанттай! Тиймээс.

Ямар агуу болохыг харж байна уу?!

Мөн дахин энгийн:

Яг адилхан, мөн.

Анхаар:олсон бол ядажТаны асуудалд параллелограммын нэг тэмдэг байгаа бол танд байна ягпараллелограмм ба та ашиглаж болно хүн бүрПараллелограммын шинж чанарууд.

Бүрэн тодорхой болгохын тулд диаграмыг харна уу:

Дөрвөн өнцөгтийн шинж чанарууд. Тэгш өнцөгт.

Тэгш өнцөгтийн шинж чанарууд:

1) цэг нь маш тодорхой байна - эцэст нь 3 () тэмдэг нь зүгээр л биелсэн

Мөн цэг 2) - маш чухал. Тиймээс үүнийг нотолж үзье

Энэ нь хоёр талд (болон - ерөнхий) гэсэн үг юм.

Гурвалжнууд тэнцүү тул гипотенузууд нь тэнцүү байна.

Үүнийг нотолсон!

Диагональуудын тэгш байдал нь бүх параллелограммуудын дунд тэгш өнцөгтийн өвөрмөц шинж чанар юм гэж төсөөлөөд үз дээ. Энэ нь энэ мэдэгдэл үнэн юм

Яагаад гэдгийг ойлгоцгооё?

Энэ нь (параллелограммын өнцөг гэсэн үг) гэсэн үг юм. Гэхдээ энэ нь параллелограмм гэдгийг дахин нэг удаа санацгаая, тиймээс.

гэсэн үг, . За, мэдээжийн хэрэг, тэд тус бүр нь ийм байна! Эцсийн эцэст тэд нийтдээ өгөх ёстой!

Тиймээс тэд үүнийг нотолсон параллелограммгэнэт (!) диагональууд тэнцүү болж, дараа нь энэ яг тэгш өнцөгт.

Гэхдээ! Анхаар!Энэ тухай юм параллелограммууд! Зөвхөн хэн ч бишижил диагональтай дөрвөлжин нь тэгш өнцөгт, ба зөвхөнпараллелограмм!

Дөрвөн өнцөгтийн шинж чанарууд. Ромб

Мөн дахин асуулт: ромб параллелограмм уу, үгүй юу?

Бүтэн баруун талд - параллелограмм, учир нь энэ нь (Бидний онцлог 2-ыг санаарай).

Гэхдээ бас онцгой шинж чанарууд байдаг. Үүнийг томъёолъё.

Ромбын шинж чанарууд

Яагаад? Ромб бол параллелограмм учраас диагональуудыг нь хагасаар хуваана.

Яагаад? Тийм ээ, ийм учраас!

Өөрөөр хэлбэл диагональууд нь ромбын булангийн биссектрис болж хувирав.

Тэгш өнцөгтийн нэгэн адил эдгээр шинж чанарууд нь байна өвөрмөц, тэдгээр нь тус бүр нь ромбын тэмдэг юм.

Алмазны шинж тэмдэг.

Яагаад энэ вэ? Тэгээд хараарай,

гэсэн үг хоёулааЭдгээр гурвалжнууд нь ижил өнцөгтүүд юм.

Дөрвөн өнцөгт нь ромб байхын тулд эхлээд параллелограмм "болж", дараа нь 1 эсвэл 2-р шинж чанарыг харуулах ёстой.

Дөрвөн өнцөгтийн шинж чанарууд. Дөрвөлжин

Өөрөөр хэлбэл, дөрвөлжин нь нэгэн зэрэг тэгш өнцөгт ба ромб юм. Юу болсныг харцгаая.

Яагаад гэдэг нь тодорхой байна уу? Квадрат - ромб нь тэнцүү өнцгийн биссектрис юм. Энэ нь (мөн түүнчлэн) хоёр өнцөгт хуваагддаг гэсэн үг юм.

Яагаад? За, зүгээр л Пифагорын теоремыг хэрэглэе...

ХУРААНГУЙ БА ҮНДСЭН Формулууд

Параллелограммын шинж чанарууд:

Эсрэг талууд тэнцүү байна: , .
Эсрэг өнцөг нь тэнцүү байна: , .
Нэг талын өнцгүүдийн нийлбэр нь: , .
Диагональууд нь огтлолцох цэгээр хоёр хэсэгт хуваагдана: .

Тэгш өнцөгтийн шинж чанарууд:

Тэгш өнцөгтийн диагональууд тэнцүү байна: .
Тэгш өнцөгт бол параллелограмм (тэгш өнцөгтийн хувьд параллелограммын бүх шинж чанарууд биелдэг).

Ромбын шинж чанарууд:

Ромбын диагональууд перпендикуляр: .
Ромбын диагональууд нь түүний өнцгийн биссектрис юм: ; ; ; .
Ромб бол параллелограмм юм (ромбын хувьд параллелограммын бүх шинж чанарууд биелдэг).

Дөрвөлжингийн шинж чанарууд:

Квадрат нь ромб ба тэгш өнцөгтийг нэгэн зэрэг илэрхийлдэг тул дөрвөлжингийн хувьд тэгш өнцөгт ба ромбын бүх шинж чанарууд биелдэг. Мөн:

За ингээд сэдэв дууслаа. Хэрэв та эдгээр мөрүүдийг уншиж байгаа бол энэ нь таныг маш дажгүй гэсэн үг юм.

Учир нь хүмүүсийн ердөө 5% нь өөрөө ямар нэг зүйлийг эзэмших чадвартай байдаг. Хэрэв та дуустал уншсан бол та энэ 5% -д байна!

Одоо хамгийн чухал зүйл.

Та энэ сэдвээр онолыг ойлгосон. Би давтан хэлье, энэ бол үнэхээр гайхалтай! Та үе тэнгийнхнийхээ дийлэнх олонхоос аль хэдийн илүү болсон.

Асуудал нь энэ нь хангалтгүй байж магадгүй юм ...

Юуны төлөө?

Улсын нэгдсэн шалгалтыг амжилттай өгч, их, дээд сургуульд төсвөөр элссэнийхээ төлөө, ХАМГИЙН ЧУХАЛ насан туршдаа.

Би чамайг юунд ч итгүүлэхгүй, би нэг л зүйлийг хэлье...

Сайн боловсрол эзэмшсэн хүмүүс сураагүй хүмүүсээс хамаагүй их цалин авдаг. Энэ бол статистик.

Гэхдээ энэ бол гол зүйл биш юм.

Хамгийн гол нь тэд ИЛҮҮ АЗ ЖАРГАЛТАЙ байдаг (ийм судалгаанууд байдаг). Магадгүй тэдний өмнө олон боломжууд нээгдэж, амьдрал илүү гэрэл гэгээтэй болж байгаа юм болов уу? Мэдэхгүй...

Гэхдээ өөрийнхөөрөө бод...

Улсын нэгдсэн шалгалтанд бусдаас илүү байж, эцэст нь... аз жаргалтай байхын тулд юу хэрэгтэй вэ?

ЭНЭ СЭДВИЙН АСУУДЛЫГ ШИЙДВЭРЭЭР ГАРАА АВНА.

Шалгалтын үеэр танаас онол асуухгүй.

Танд хэрэгтэй болно цаг хугацааны эсрэг асуудлыг шийдвэрлэх.

Хэрэв та тэдгээрийг шийдэж амжаагүй бол (МАШ ИХ!) Та хаа нэгтээ тэнэг алдаа гаргах нь гарцаагүй, эсвэл зүгээр л цаг зав гарахгүй.

Энэ нь спорттой адил юм - баттай ялахын тулд та үүнийг олон удаа давтах хэрэгтэй.

Хүссэн газраасаа цуглуулгаа олоорой зайлшгүй шийдэл, нарийвчилсан дүн шинжилгээ хийхмөн шийд, шийд, шийд!

Та бидний даалгавруудыг (заавал биш) ашиглаж болно, бид мэдээж санал болгож байна.

Бидний даалгавруудыг илүү сайн ашиглахын тулд та одоо уншиж байгаа YouClever сурах бичгийн ашиглалтын хугацааг уртасгахад туслах хэрэгтэй.

Хэрхэн? Хоёр сонголт байна:

Энэ нийтлэл дэх бүх далд ажлуудын түгжээг тайлах -
Сурах бичгийн бүх 99 өгүүлэлд байгаа бүх далд даалгавруудыг нээх Сурах бичиг худалдаж аваарай - 899 рубль

Тийм ээ, бидний сурах бичигт ийм 99 өгүүлэл байгаа бөгөөд бүх даалгавар, тэдгээрт байгаа бүх далд текстийг шууд нээх боломжтой.

Бүх далд даалгаврууд руу нэвтрэх эрхийг сайтын ашиглалтын хугацаанд олгодог.

Дүгнэж хэлэхэд...

Хэрэв танд бидний даалгавар таалагдахгүй бол бусдыг хайж олоорой. Зөвхөн онол дээр бүү зогс.

“Ойлголоо”, “Би шийдэж чадна” гэдэг бол огт өөр чадвар юм. Танд хоёулаа хэрэгтэй.

Асуудлыг хайж олоод шийдээрэй!

Параллелограмм нь эсрэг талууд нь хос хосоороо параллель байрладаг дөрвөн өнцөгт юм (Зураг 233).

Дурын параллелограммын хувьд дараах шинж чанаруудыг хангана.

1. Параллелограммын эсрэг талууд тэнцүү байна.

Баталгаа. ABCD параллелограмм дээр бид диагональ АС-ийг зурна. ACD ба AC B гурвалжнууд нь AC нийтлэг тал ба түүнтэй зэргэлдээх хоёр хос тэнцүү өнцөгтэй тул тэнцүү байна.

(AD ба BC зэрэгцээ шугамтай хөндлөн өнцөг гэх мэт). Энэ нь ижил өнцгүүдийн эсрэг байрлах тэнцүү гурвалжны талуудтай адил гэсэн үг бөгөөд үүнийг батлах шаардлагатай байна.

2. Параллелограммын эсрэг өнцөг нь тэнцүү байна.

3. Параллелограммын зэргэлдээх өнцөг, өөрөөр хэлбэл нэг талтай зэргэлдээх өнцөг, нийлбэр гэх мэт.

Зэрэгцээ шугамын өнцгийн шинж чанараас 2 ба 3-р шинж чанарын баталгааг нэн даруй олж авна.

4. Параллелограммын диагональууд огтлолцох цэг дээрээ бие биенээ хоёр хуваана. Өөрөөр хэлбэл,

Баталгаа. AOD ба BOC гурвалжин нь хоорондоо тэнцүү, учир нь тэдгээрийн AD ба BC талууд нь тэнцүү (1-р шинж чанар) ба тэдгээрийн хажуугийн өнцөгүүд (параллель шугамын хөндлөн өнцөг гэх мэт). Эндээс харахад эдгээр гурвалжны харгалзах талууд тэнцүү байна: AO, энэ нь нотлох шаардлагатай зүйл юм.

Эдгээр дөрвөн шинж чанар бүр нь параллелограммыг тодорхойлдог, эсвэл тэдний хэлснээр түүний онцлог шинж чанар юм, өөрөөр хэлбэл эдгээр шинж чанаруудын дор хаяж нэгийг агуулсан дөрвөн өнцөгт бүр нь параллелограмм юм (тиймээс бусад гурван шинж чанартай байдаг).

Үл хөдлөх хөрөнгө тус бүрийн нотлох баримтыг тусад нь авч үзье.

1". Дөрвөн өнцөгтийн эсрэг талууд хос хосоороо тэнцүү бол энэ нь параллелограмм болно.

Баталгаа. ABCD дөрвөн өнцөгт нь AD ба BC, AB ба CD талуудтай тэнцүү байг (Зураг 233). Диагональ АС-ийг зуръя. ABC ба CDA гурвалжнууд нь гурван хос тэнцүү талуудтай байх болно.

Харин BAC ба DCA өнцгүүд тэнцүү ба . BC ба AD талуудын параллелизм нь CAD ба ACB өнцгүүдийн тэгш байдлаас үүдэлтэй.

2. Дөрвөн өнцөгт хоёр хос эсрэг талын өнцөгтэй бол энэ нь параллелограмм болно.

Баталгаа. Let . Түүнээс хойш AD ба BC хоёр тал нь зэрэгцээ байна (шугамуудын параллелизм дээр үндэслэсэн).

3. Бид томьёолол, нотлох баримтыг уншигчдад үлдээж байна.

4. Дөрвөн өнцөгтийн диагональууд огтлолцох цэг дээр бие биенээ хоёр хуваасан бол дөрвөн өнцөгт нь параллелограмм болно.

Баталгаа. Хэрэв AO = OS, BO = OD (Зураг. 233) бол AOD ба BOC гурвалжин нь AO ба CO, BO ба DO тэнцүү талуудтай хосуудын хооронд бэхлэгдсэн, О орой дээр тэнцүү өнцөгтэй (босоо!) адил тэнцүү байна. Гурвалжны тэгш байдлаас бид AD ба BC талууд тэнцүү гэж дүгнэж байна. AB ба CD талууд нь мөн тэнцүү бөгөөд дөрвөлжин нь G шинж чанарын дагуу параллелограмм болж хувирдаг.

Тиймээс өгөгдсөн дөрвөн өнцөгт нь параллелограмм гэдгийг батлахын тулд дөрвөн шинж чанарын аль нэгнийх нь үнэн зөвийг шалгахад хангалттай. Уншигчид параллелограммын өөр нэг шинж чанарыг бие даан нотлохыг урьж байна.

5. Дөрвөн өнцөгт нь тэнцүү, зэрэгцээ талуудтай бол энэ нь параллелограмм болно.

Заримдаа параллелограммын аль ч хос зэрэгцээ талуудыг түүний суурь гэж нэрлэдэг бол нөгөө хоёрыг хажуу тал гэж нэрлэдэг. Параллелограммын хоёр талд перпендикуляр шулуун шугамын хэрчим, тэдгээрийн хооронд бэхлэгдсэн хэсгийг параллелограммын өндөр гэнэ. Зураг дээрх параллелограмм. 234 нь AD ба BC тал руу h өндөртэй, хоёр дахь өндрийг сегментээр илэрхийлнэ.

Хичээлийн хураангуй.

Алгебр 8-р анги

Багш Сысой А.К.

1828 оны сургууль

Хичээлийн сэдэв: "Параллелограмм ба түүний шинж чанарууд"

Хичээлийн төрөл: хосолсон

Хичээлийн зорилго:

1) Шинэ ойлголт - параллелограмм ба түүний шинж чанарыг шингээх

2) Геометрийн асуудлыг шийдвэрлэх ур чадвар, чадварыг үргэлжлүүлэн хөгжүүлэх;

3) Математик ярианы соёлыг хөгжүүлэх

Хичээлийн төлөвлөгөө:

1. Зохион байгуулалтын мөч

(Слайд 1)

Слайд нь Льюис Кэрроллын мэдэгдлийг харуулж байна. Хичээлийн зорилгын талаар оюутнуудад мэдэгдэнэ. Сурагчдын хичээлд бэлэн байдлыг шалгана.

2. Мэдлэгийг шинэчлэх

(Слайд 2)

Самбар дээр аман ажилд зориулсан даалгавар байдаг. Багш оюутнуудыг эдгээр асуудлын талаар бодож, асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэхийг ойлгодог хүмүүст гараа өргөхийг урьж байна. Хоёр бодлого шийдвэрлэсний дараа өнцгийн нийлбэрийн теоремыг батлах сурагчийг самбарт дуудаж, зураг дээр бие даан нэмэлт бүтээн байгуулалт хийж, теоремыг амаар нотолно.

Оюутнууд олон өнцөгтийн өнцгийн нийлбэрийн томъёог ашигладаг.

3. Үндсэн хэсэг

(Слайд 3)

Самбар дээрх параллелограммын тодорхойлолт. Багш шинэ дүрсийн талаар ярьж, тодорхойлолтыг томъёолж, зураг ашиглан шаардлагатай тайлбарыг хийдэг. Дараа нь танилцуулгын алаг хэсэгт маркер, захирагч ашиглан параллелограммыг хэрхэн зурахыг харуулав (хэд хэдэн тохиолдол байж болно).

(Слайд 4)

Багш параллелограммын анхны шинж чанарыг томъёолдог. Суралцагчдыг зургаас юу өгөгдсөн, юуг нотлох шаардлагатайг хэлэхийг урь. Үүний дараа өгөгдсөн даалгавар самбар дээр гарч ирнэ. Оюутнууд (багшийн тусламжтайгаар) шаардлагатай тэгш байдлыг гурвалжны тэгшитгэлээр нотлох ёстой гэж таамаглаж байгаа бөгөөд үүнийг диагональ зурах замаар олж авах боломжтой (самбар дээр диагональ гарч ирнэ). Дараа нь сурагчид гурвалжин яагаад тэнцүү болохыг тааж, гурвалжин тэнцүү гэсэн тэмдгийг нэрлэнэ (харгалзах дүрс гарч ирнэ). Тэд гурвалжныг тэнцүү болгоход шаардлагатай баримтуудыг амаар дамжуулдаг (тэдгээрийг нэрлэснээр харгалзах дүрслэл гарч ирнэ). Дараа нь оюутнууд конгруент гурвалжны шинж чанарыг томъёолж, энэ нь нотлох баримтын 3-р цэг болж, теоремын баталгааг бие даан амаар гүйцэтгэнэ.

(Слайд 5)

Багш параллелограммын хоёр дахь шинж чанарыг томъёолдог. Самбар дээр параллелограммын зураг гарч ирнэ. Багш нь зургийг ашиглан юу өгөгдсөн, юуг нотлох шаардлагатайг хэлэхийг санал болгож байна. Оюутнууд юу өгөгдсөн, юуг нотлох шаардлагатайг зөв тайлагнасны дараа теоремын нөхцөл гарч ирнэ. Оюутнууд диагональуудын хэсгүүдийн тэгш байдлыг гурвалжны тэгш байдлын тусламжтайгаар баталж болно гэж таамаглаж байнаAOBТэгээд C.O.D.. Параллелограммын өмнөх шинж чанарыг ашиглан талууд тэнцүү байна гэж таамаглаж байнаABТэгээд CD. Дараа нь тэд тэнцүү өнцгийг олох хэрэгтэй гэдгийг ойлгож, параллель шугамын шинж чанарыг ашиглан тэнцүү талуудтай зэргэлдээх өнцгийн тэгш байдлыг батлах хэрэгтэй. Эдгээр үе шатуудыг слайд дээр дүрсэлсэн болно. Теоремын үнэн нь гурвалжны тэгш байдлаас үүдэлтэй - оюутнууд үүнийг хэлж, слайд дээр харгалзах дүрслэл гарч ирнэ.

(Слайд 6)

Багш параллелограммын гурав дахь шинж чанарыг томъёолдог. Хичээл дуустал үлдсэн хугацаанаас хамааран багш оюутнуудад энэ өмчийг бие даан нотлох, эсвэл зөвхөн томъёолсноороо хязгаарлагдах боломжийг олгож, нотлох баримтыг оюутнуудад гэрийн даалгавар болгон үлдээж болно. Хичээлийн эхэнд давтагдсан бичээстэй олон өнцөгтийн өнцгийн нийлбэр эсвэл хоёр зэрэгцээ шугамын нэг талт дотоод өнцгийн нийлбэр дээр үндэслэн нотолгоо хийж болно.МЭТэгээд МЭӨ, мөн секант, жишээ ньAB.

4. Материалыг засах

Энэ үе шатанд оюутнууд өмнө нь сурсан теоремуудыг ашиглан асуудлыг шийддэг. Оюутнууд асуудлыг шийдвэрлэх санааг бие даан сонгодог. Загварын олон боломжит хувилбарууд байдаг бөгөөд тэдгээр нь оюутнууд асуудлын шийдлийг хэрхэн эрэлхийлэхээс хамаардаг тул асуудлын шийдлийн дүрслэл байхгүй бөгөөд оюутнууд шийдлийн үе шат бүрийг тусад нь самбар дээр бие даан зурдаг. уусмалыг дэвтэрт бичих замаар.

(Слайд 7)

Ажлын нөхцөл гарч ирнэ. Багш нөхцөл байдлын дагуу "Өгөгдсөн" гэж томъёолохыг санал болгож байна. Оюутнууд нөхцөл байдлын богино мэдэгдлийг зөв бичсэний дараа самбар дээр "Өгөгдсөн" гарч ирнэ. Асуудлыг шийдвэрлэх үйл явц дараах байдалтай байж болно.

BH өндрийг зурцгаая (дүрслэгдсэн)

AHB гурвалжин нь тэгш өнцөгт гурвалжин юм. А өнцөг нь C өнцөгтэй тэнцүү бөгөөд 30 0-тэй тэнцүү (параллелограммын эсрэг өнцгүүдийн шинж чанарын дагуу). 2BH =AB (тэгш өнцөгт гурвалжны 30 0 өнцгийн эсрэг байрлах хөлийн шинж чанараар). Тэгэхээр AB = 13 см.

AB = CD, BC = AD (параллелограммын эсрэг талуудын шинж чанарын дагуу) Тэгэхээр AB = CD = 13 см. Параллелограммын периметр 50 см тул BC = AD = (50 – 26): 2 = 12 см.

Хариулт: AB = CD = 13 см, BC = AD = 12 см.

(Слайд 8)

Ажлын нөхцөл гарч ирнэ. Багш нөхцөл байдлын дагуу "Өгөгдсөн" гэж томъёолохыг санал болгож байна. Дараа нь дэлгэц дээр "Өгөгдсөн" гарч ирнэ. Улаан шугамыг ашиглан дөрвөн өнцөгтийг тодруулсан бөгөөд энэ нь параллелограмм гэдгийг батлах хэрэгтэй. Асуудлыг шийдвэрлэх үйл явц дараах байдалтай байж болно.

Учир нь BK ба MD нь нэг шулуунд перпендикуляр, дараа нь BK ба MD шугамууд параллель байна.

Зэргэлдээ өнцгөөр дамжуулан BM ба KD шулуун шугамууд ба MD секантын дотоод нэг талт өнцгийн нийлбэр нь 180 0-тэй тэнцүү болохыг харуулж болно. Тиймээс эдгээр шугамууд зэрэгцээ байна.

BMDK дөрвөлжин нь эсрэг талуудтай хос хосоороо параллель байдаг тул энэ дөрвөлжин параллелограмм болно.

5. Хичээлийн төгсгөл. Үр дүнгийн зан байдал.

(Слайд 8)

Шинэ сэдвийн талаархи асуултууд слайд дээр гарч, оюутнуудад хариулдаг.

Баталгаа

Юуны өмнө диагональ АС-ийг зуръя. Бид ABC ба ADC гэсэн хоёр гурвалжин авдаг.

ABCD нь параллелограмм учраас дараах үнэн байна.

AD || BC \Баруун сум \өнцөг 1 = \өнцөг 2хөндлөн хэвтэх шиг.

AB || CD\Баруун сум\өнцөг3 =\ өнцөг 4хөндлөн хэвтэх шиг.

Иймд \triangle ABC = \triangle ADC (хоёр дахь шалгуурын дагуу: ба AC нийтлэг).

Тиймээс \triangle ABC = \triangle ADC, дараа нь AB = CD ба AD = BC болно.

Батлагдсан!

2. Эсрэг өнцөг нь ижил байна.

Баталгаа

Нотлох баримтын дагуу шинж чанарууд 1Бид үүнийг мэднэ \angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4. Тиймээс эсрэг талын өнцгүүдийн нийлбэр нь: \angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4. \triangle ABC = \triangle ADC гэдгийг харгалзан үзвэл \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .

Батлагдсан!

3. Диагональууд нь огтлолцох цэгээр хагасаар хуваагдана.

Баталгаа

Өөр диагональ зурцгаая.

By өмч 1Эсрэг талууд нь адилхан гэдгийг бид мэднэ: AB = CD. Дахин нэг удаа хөндлөн хэвтэх ижил өнцгийг тэмдэглэ.

Тиймээс гурвалжны тэгш байдлын хоёр дахь шалгуурын дагуу \triangle AOB = \triangle COD байх нь тодорхой байна (хоёр өнцөг ба тэдгээрийн хоорондох тал). Өөрөөр хэлбэл, BO = OD (булангийн эсрэг талд \ өнцөг 2 ба \ өнцөг 1) ба AO = OC (булангийн эсрэг талд \ өнцөг 3 ба \ өнцөг 4 тус тус).

Батлагдсан!

Параллелограммын шинж тэмдэг

Хэрэв таны асуудалд зөвхөн нэг шинж чанар байгаа бол зураг нь параллелограмм бөгөөд та энэ зургийн бүх шинж чанарыг ашиглаж болно.

Илүү сайн цээжлэхийн тулд параллелограмм тэмдэг нь дараах асуултанд хариулах болно гэдгийг анхаарна уу - "Яаж мэдэх вэ?". Өөрөөр хэлбэл, өгөгдсөн дүрс нь параллелограмм гэдгийг хэрхэн олж мэдэх вэ.

1. Хоёр тал нь тэнцүү ба параллель дөрвөн өнцөгтийг параллелограмм гэнэ.

AB = CD; AB || CD\Rightarrow ABCD нь параллелограмм юм.

Баталгаа

Илүү дэлгэрэнгүй харцгаая. Яагаад AD || МЭӨ?

\triangle ABC = \triangle ADC by өмч 1: AB = CD, AC - нийтлэг ба \angle 1 = \angle 2 зэрэгцээ AB ба CD ба хөндлөн АС-тай хөндлөн хэвтэнэ.

Харин \triangle ABC = \triangle ADC , тэгвэл \angle 3 = \angle 4 (AB ба CD-ийн эсрэг талд тус тус хэвтэнэ). Тиймээс МЭ || BC (\angle 3 and \angle 4 - хөндлөн хэвтэх нь мөн тэнцүү).

Эхний тэмдэг нь зөв.

2. Эсрэг талууд нь тэнцүү дөрвөн өнцөгтийг параллелограмм гэнэ.

AB = CD, AD = BC \Rightarrow ABCD нь параллелограмм юм.

Баталгаа

Энэ тэмдгийг авч үзье. Дахин диагональ хувьсах гүйдлийг зуръя.

By өмч 1\triangle ABC = \гурвалжин ACD .

Үүнээс үзэхэд: \өнцөг 1 = \өнцөг 2 \Баруун сум AD || МЭӨТэгээд \өнцөг 3 = \өнцөг 4 \Баруун сум AB || CD, өөрөөр хэлбэл ABCD нь параллелограмм юм.

Хоёр дахь тэмдэг нь зөв.

3. Эсрэг өнцөг нь тэнцүү дөрвөн өнцөгтийг параллелограмм гэнэ.

\angle A = \angle C, \angle B = \angle D \Баруун сум ABCD- параллелограмм.

Баталгаа

2 \альфа + 2 \бета = 360^(\circ)(Нөхцөлөөр ABCD нь дөрвөлжин бөгөөд \angle A = \angle C , \angle B = \angle D тул).

\alpha + \beta = 180^(\circ) болох нь харагдаж байна. Харин \alpha болон \beta AB секант дээр дотоод нэг талт байна.

Мөн \alpha + \beta = 180^(\circ) гэдэг нь бас МЭ || МЭӨ

Түүнчлэн, \alpha болон \beta нь AD секант дахь дотоод нэг талт байна. Энэ нь AB || гэсэн үг юм CD.

Гурав дахь тэмдэг нь зөв.

4. Параллелограмм нь диагональууд нь огтлолцох цэгээр хагасаар хуваагдсан дөрвөн өнцөгт юм.

AO = OC; BO = OD\Баруун тийш параллелограмм.

Баталгаа

BO = OD; AO = OC , \angle 1 = \angle 2 босоо байдлаар \Баруун сум \гурвалжин AOB = \гурвалжин ХБХ, \Баруун сум \өнцөг 3 = \өнцөг 4, болон \Rightarrow AB || CD.

Үүнтэй адилаар BO = OD; AO = OC, \өнцөг 5 = \ өнцөг 6 \ Баруун сум \ гурвалжин AOD = \ гурвалжин BOC \ Баруун сум \ өнцөг 7 = \ өнцөг 8, болон \Rightarrow AD || МЭӨ

Дөрөв дэх тэмдэг нь зөв.