1 n 2 цуврал яагаад нийлдэг вэ? Онлайн цуврал конвергенц

Гармоник цуврал- натурал цувралын дараалсан тоонуудын урвуу хязгааргүй тооны гишүүнээс бүрдэх нийлбэр:

∑ k = 1 ∞ 1 k = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ + 1 k + ⋯ (\displaystyle \sum _(k=1)^(\mathcal (\infty ))(\frac (1) )(k))=1+(\frac (1)(2))+(\frac (1)(3))+(\frac (1)(4))+\cdots +(\frac (1) (k))+\cdots ).

Нэвтэрхий толь бичиг YouTube

1 / 5

✪ Тооны цуврал. Үндсэн ойлголтууд - bezbotvy

✪ Гармоник цувааны зөрүүг нотлох баримт

✪ Цуврал-9. Дирихлегийн цувралын конвергенц ба дивергенц

✪ Зөвлөгөө №1. Мат. шинжилгээ. Тригонометрийн систем дэх Фурье цуврал. Хамгийн энгийн шинж чанарууд

✪ ЗЭРЭГЛЭЛ. Хяналт

Хадмал орчуулга

Цувралын эхний n гишүүний нийлбэр

Цувралын бие даасан гишүүд тэг байх хандлагатай байдаг ч нийлбэр нь зөрүүтэй байдаг. s n гармоник цувралын n-р хэсэгчилсэн нийлбэр нь n-р гармоник тоо юм.

s n = ∑ k = 1 n 1 k = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ + 1 n (\displaystyle s_(n)=\нийлбэр _(k=1)^(n)(\frac (1) )(k))=1+(\frac (1)(2))+(\frac (1)(3))+(\frac (1)(4))+\cdots +(\frac (1) (n)))

Зарим хэсэгчилсэн нийлбэр утгууд

s 1 = 1 s 2 = 3 2 = 1 , 5 s 3 = 11 6 ≈ 1.833 s 4 = 25 12 ≈ 2.083 s 5 = 137 60 ≈ 2.283 (\displaystyle (x)&s=(1) \\\\s_(2)&=&(\frac (3)(2))&=&1(,)5\\\\s_(3)&=&(\frac (11)(6))& \ойролцоогоор &1(,)833\\\\s_(4)&=&(\frac (25)(12))&\ойролцоогоор &2(,)083\\\\s_(5)&=&(\frac (137)(60))&\ойролцоогоор &2(,)283\төгс(матриц)))

s 6 = 49 20 = 2.45 s 7 = 363,140 ≈ 2,593 сек 8 = 761,280 ≈ 2,718 сек 10 3 ≈ 7,484 сек 10 6 ≈ 14,39(\s 6 ≈ (14,39) rac (49 )(20))&=&2(,)45\\\\s_(7)&=&(\frac (363)(140))&\ойролцоогоор &2(,)593\\\\s_ (8)& =&(\frac (761)(280))&\ойролцоогоор &2(,)718\\\\s_(10^(3))&\ойролцоогоор &7(,)484\\\\s_( 10^(6) ))&\ойролцоогоор &14(,)393\төгсгөл(матриц)))

Эйлерийн томъёо

Үнэ цэнэтэй үед ε n → 0 (\displaystyle \varepsilon _(n)\баруун сум 0), тиймээс, том n (\displaystyle n):

s n ≈ ln ⁡ (n) + γ (\displaystyle s_(n)\ойролцоогоор \ln(n)+\гамма )- Эхний нийлбэрийн Эйлерийн томъёо n (\displaystyle n)гармоник цувралын гишүүд. Эйлерийн томъёог ашиглах жишээ

n (\displaystyle n)	s n = ∑ k = 1 n 1 k (\displaystyle s_(n)=\sum _(k=1)^(n)(\frac (1)(k)))	ln ⁡ (n) + γ (\displaystyle \ln(n)+\гамма )	ε n (\displaystyle \varepsilon _(n)), (%)
10	2,93	2,88	1,7
25	3,82	3,80	0,5

Гармоник цувралын хэсэгчилсэн нийлбэрийн илүү нарийвчлалтай асимптотик томъёо:

s n ≍ ln ⁡ (n) + γ + 1 2 n − 1 12 n 2 + 1 120 n 4 − 1 252 n 6 ⋯ = ln ⁡ (n) + γ + 1 2 n − ∑ k = 12 2 k n 2 k (\displaystyle s_(n)\asymp \ln(n)+\гамма +(\frac (1)(2n))-(\frac (1)(12n^(2))))+(\ frac (1)(120n^(4)))-(\frac (1)(252n^(6)))\цэг =\ln(n)+\гамма +(\frac (1)(2n))- \нийлбэр _(k=1)^(\infty )(\frac (B_(2k))(2k\,n^(2k)))), Хаана B 2 k (\displaystyle B_(2k))- Бернуллигийн тоо.

Энэ цуврал нь ялгаатай боловч түүний тооцооллын алдаа нь эхний хасагдсан хугацааны хагасаас хэтрэхгүй.

Хэсэгчилсэн нийлбэрийн тоо-онолын шинж чанарууд

∀ n > 1 s n ∉ N (\displaystyle \forall n>1\;\;\;\;s_(n)\notin \mathbb (N) )

Цувралуудын зөрүү

S n → ∞ (\displaystyle s_(n)\баруун сум \infty )цагт n → ∞ (\displaystyle n\баруун сум \infty)

Гармоник цуваа нь хуваагддагмаш удаан (хэсэгчилсэн нийлбэр нь 100-аас хэтрэхийн тулд цувралын 10 43 орчим элемент шаардлагатай).

Гармоник цувралын зөрүүг телескоп цувралтай харьцуулан харуулж болно.

v n = ln ⁡ (n + 1) − ln ⁡ n = ln ⁡ (1 + 1 n) ∼ + ∞ 1 n (\displaystyle v_(n)=\ln(n+1)-\ln n=\ln \ зүүн(1+(\frac (1)(n))\баруун)(\дутуу тохируулсан (+\infty )(\sim ))(\frac (1)(n))),

хэсэгчилсэн нийлбэр нь тодорхой тэнцүү байна:

∑ i = 1 n − 1 v i = ln ⁡ n ∼ s n (\displaystyle \sum _(i=1)^(n-1)v_(i)=\ln n\sim s_(n)).

Оресмегийн нотолгоо

Зөрчилдөөний нотолгоог нэр томьёог дараах байдлаар бүлэглэн гаргаж болно.

∑ k = 1 ∞ 1 k = 1 + [ 1 2 ] + [ 1 3 + 1 4 ] + [ 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 ] + [ 1 9 + ⋯ ] + ⋯ > 1 + [ 1 2 ] + [ 1 4 + 1 4 ] + [ 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 ] + [ 1 16 + ⋯ ] + ⋯ = 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + ⋯. (\displaystyle (\эхлэх(зэрэгцүүлсэн)\нийлбэр _(k=1)^(\infty )(\frac (1)(k))&()=1+\зүүн[(\frac (1)(2) )\баруун]+\зүүн[(\frac (1)(3))+(\frac (1)(4))\баруун]+\зүүн[(\frac (1)(5))+(\frac (1)(6))+(\frac (1)(7))+(\frac (1)(8))\баруун]+\зүүн[(\frac (1)(9))+\cdots \ баруун]+\cdots \\&()>1+\зүүн[(\frac (1)(2))\баруун]+\зүүн[(\frac (1)(4))+(\frac (1) (4))\баруун]+\зүүн[(\frac (1)(8))+(\frac (1)(8))+(\frac (1)(8))+(\frac (1) (8))\баруун]+\зүүн[(\frac (1)(16))+\cdots \баруун]+\cdots \\&()=1+\ (\frac (1)(2))\ \ \ +\quad (\frac (1)(2))\ \quad +\ \qquad \quad (\frac (1)(2))\qquad \ \quad \ +\quad \ \ (\ frac (1) )(2))\ \quad +\ \cdots .\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)))

Сүүлийн эгнээ нь мэдээжийн хэрэг зөрүүтэй байна. Энэ нотолгоо нь дундад зууны үеийн эрдэмтэн Николас Орес (1350 орчим) юм.

Зөрчлийн өөр баталгаа

Уншигчийг энэхүү нотлох баримтын буруу эсэхийг шалгахыг урьж байна

Хоорондын ялгаа n (\displaystyle n)гармоник тоо ба натурал логарифм n (\displaystyle n)Эйлер-Машерони тогтмолд нийлдэг.

Янз бүрийн гармоник тоонуудын ялгаа нь бүхэл тоотой хэзээ ч тэнцүү байдаггүй бөгөөд үүнээс бусад гармоник тоо байдаггүй H 1 = 1 (\displaystyle H_(1)=1), бүхэл тоо биш.

Холбоотой цуврал

Дирихлетийн цуврал

Ерөнхий гармоник цуврал (эсвэл Дирихлегийн цуврал) нь цуврал юм

∑ k = 1 ∞ 1 k α = 1 + 1 2 α + 1 3 α + 1 4 α + ⋯ + 1 k α + ⋯ (\displaystyle \sum _(k=1)^(\infty )(\frac () 1)(k^(\alpha )))=1+(\frac (1)(2^(\alpha )))+(\frac (1)(3^(\альфа )))+(\frac ( 1)(4^(\альфа )))+\cdots +(\frac (1)(k^(\альфа )))+\cdots ).

Ерөнхий гармоник цуваа нь -д хуваагдана α ⩽ 1 (\displaystyle \alpha \leqslant 1)мөн цагт нийлдэг α > 1 (\displaystyle \alpha >1) .

Дарааллын ерөнхий гармоник цувралын нийлбэр α (\displaystyle \alpha) Riemann zeta функцийн утгатай тэнцүү:

∑ k = 1 ∞ 1 k α = ζ (α) (\displaystyle \sum _(k=1)^(\infty )(\frac (1)(k^(\alpha )))=\zeta (\alpha) ))

Тэгш тооны хувьд энэ утгыг pi-ээр тодорхой илэрхийлнэ, жишээлбэл, ζ (2) = π 2 6 (\displaystyle \zeta (2)=(\frac (\pi ^(2))(6))), мөн аль хэдийн α=3-ын хувьд түүний утга аналитик байдлаар тодорхойгүй байна.

Гармоник цувралын ялгааг харуулсан өөр нэг жишээ нь хамаарал байж болно ζ (1 + 1 n) ∼ n (\displaystyle \zeta (1+(\frac (1)(n)))\sim n) . Иймээс ийм цуваа нь 1 магадлалтай, цувралын нийлбэр нь сонирхолтой шинж чанартай санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж тэд хэлдэг. Жишээлбэл, +2 эсвэл -2 цэгүүдэд тооцоолсон магадлалын нягтын функц нь дараах утгатай байна.

0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7 642 …,

⅛-ээс 10 −42-оос бага ялгаатай.

"Нимгэнүүлсэн" гармоник цуврал

Кемпнерийн цуврал (Англи)

Хэрэв бид хуваагч нь 9-ийн тоог агуулаагүй зөвхөн нэр томъёо үлдсэн гармоник цувралыг авч үзвэл үлдсэн нийлбэр нь тоонд нийлдэг.<80 . Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Однако из этого будет ошибочно заключать о сходимости исходного гармонического ряда, так как с ростом разрядов в числе n (\displaystyle n), "нимгэрүүлсэн" цувралын нийлбэрт улам бүр цөөхөн нэр томъёог авдаг. Өөрөөр хэлбэл, гармоник цувралын нийлбэрийг бүрдүүлдэг нэр томъёоны дийлэнх хэсгийг дээрээс нь хязгаарласан геометрийн прогрессоос хэтрүүлэхгүйн тулд хаядаг.

Цуврал тоонуудын нийлбэрийг олъё. Хэрэв та үүнийг олж чадахгүй бол систем нь цувралын нийлбэрийг тодорхой нарийвчлалтайгаар тооцдог.

Цуврал нэгдэл

Энэхүү тооцоолуур нь цуваа нийлж байгаа эсэхийг тодорхойлохоос гадна нийлэлтийн аль шинж тэмдэг ажиллаж, аль нь болохгүй байгааг харуулж чадна.

Мөн чадлын цувааны нийлэлтийг хэрхэн тодорхойлохыг мэддэг.

Цувралын нийлэх хурдыг (эсвэл зөрүүг) харж болох цувралын графикийг мөн бүтээсэн.

Илэрхийлэл, функц оруулах дүрэм

Илэрхийлэл нь функцээс бүрдэж болно (тэмдэглэгээг цагаан толгойн үсгийн дарааллаар өгсөн болно): үнэмлэхүй(x)Үнэмлэхүй үнэ цэнэ x
(модуль xэсвэл |x|) arccos(x)Чиг үүрэг - нуман косинус x arccosh(x)-аас нуман косинус гипербол x arcsin(x)Арксинаас x arcsinh(x)-аас арксин гипербол x арктан(х)Чиг үүрэг - артангенс x arctgh(x)-аас арктангенс гипербол x д дойролцоогоор 2.7-той тэнцүү тоо exp(x)функц - илтгэгч x(зэрэг д^x) бүртгэл(x)эсвэл ln(x)-ийн натурал логарифм x
(Авахын тулд log7(x), та log(x)/log(7) оруулах хэрэгтэй (эсвэл жишээ нь, for log10(x)=лог(x)/лог(10)) пиЭнэ тоо нь "Pi" бөгөөд ойролцоогоор 3.14-тэй тэнцүү байна нүгэл(х)Чиг үүрэг - Синус x cos(x)Үйл ажиллагаа - косинус x sinh(x)Чиг үүрэг - синус гиперболоос x cosh(x)Чиг үүрэг - Косинусын гипербол x sqrt(x)Чиг үүрэг - квадрат язгуур x sqr(x)эсвэл x^2Чиг үүрэг - Дөрвөлжин x бор(x)Чиг үүрэг - шүргэгчээс x tgh(x)Чиг үүрэг - Тангенс гиперболоос x cbrt(x)Чиг үүрэг - шоо үндэс x

Дараах үйлдлүүдийг илэрхийлэлд ашиглаж болно. Бодит тоогэж оруулна 7.5 , Үгүй 7,5 2*x- үржүүлэх 3/x- хэлтэс x^3- экспонентаци x+7- нэмэлт x - 6- хасах
Бусад онцлогууд: давхар(x)Функц - дугуйлах xдоошоо (жишээ нь шал(4.5)==4.0) тааз(x)Функц - дугуйлах xдээшээ (жишээ нь тааз(4.5)==5.0) тэмдэг(x)Чиг үүрэг - тэмдэг x erf(x)Алдааны функц (эсвэл магадлалын интеграл) laplace(x)Лаплас функц

Цувралын нийлэлтийг шалгах хэд хэдэн арга байдаг. Эхлээд та цувралын нийлбэрийг олох боломжтой. Хэрэв үр дүнд нь бид хязгаарлагдмал тоо авах юм бол энэ нь цуврал нийлдэг. Жишээлбэл, учир нь

дараа нь цуврал нийлнэ. Хэрэв бид цувралын нийлбэрийг олж чадаагүй бол цувралын нийлэлтийг шалгахын тулд өөр аргыг ашиглах хэрэгтэй.

Ийм аргуудын нэг д'Аламберын тэмдэг

энд тус тус цувааны n ба (n+1)-р гишүүн байх ба нийлэлтийг D-ийн утгаар тодорхойлно: Хэрэв D< 1 - ряд сходится, если D >

Жишээ болгон бид цувралын нийлэлтийг d'Alembert's test ашиглан судалдаг. Эхлээд ба гэсэн илэрхийллүүдийг бичье. Одоо харгалзах хязгаарыг олъё:

Д'Аламберын туршилтын дагуу цувралууд нийлдэг.

Цувралын нийлэлтийг шалгах өөр нэг арга бол радикал Кошигийн шинж тэмдэг, үүнийг дараах байдлаар бичнэ.

Энд цувааны n-р гишүүн байх ба д'Аламберын тестийн нэгэн адил нийлэх нь D-ийн утгаар тодорхойлогддог: Хэрэв D.< 1 - ряд сходится, если D >1 - зөрүүтэй. D = 1 үед энэ тэмдэг нь хариулт өгөхгүй бөгөөд нэмэлт судалгаа хийх шаардлагатай.

Жишээлбэл, бид радикал Коши тестийг ашиглан цувралын нийлэлтийг судалдаг. Эхлээд -ийн илэрхийллийг бичье. Одоо харгалзах хязгаарыг олъё:

Гарчиг="15625/64>1">-ээс хойш радикал Коши тестийн дагуу цуваа зөрүүтэй байна.

Жагсаалтад дурдсан зүйлсийн зэрэгцээ интеграл Коши тест, Раабе тест гэх мэт цувралын ойртох шинж тэмдгүүд байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Манай онлайн тооцоолуур, Wolfram Alpha системийн үндсэн дээр бүтээгдсэн нь цувралын нэгдлийг шалгах боломжийг танд олгоно. Түүгээр ч зогсохгүй хэрэв тооцоолуур нь цувралын нийлбэр болгон тодорхой тоог гаргадаг бол цуврал нийлдэг. Үгүй бол та "Цуврал нэгдэх тест" зүйлд анхаарлаа хандуулах хэрэгтэй. Хэрэв "цуврал нийлнэ" гэсэн хэллэг байгаа бол цуврал нийлнэ. Хэрэв "цуврал хуваагдана" гэсэн хэллэг байгаа бол цуврал нь хуваагдана.

"Цуврал нийлэх тест"-ийн бүх боломжит утгын орчуулгыг доор харуулав.

Текст асаалттай Англи хэл	Орос хэл дээрх текст
Гармоник цувралын туршилтаар цуваа нь хуваагддаг.	Судалгаанд хамрагдаж буй цувралуудыг гармоник цувралтай харьцуулах үед анхны цуваа зөрүүтэй байдаг.
Харьцааны тестийг багтаасан болно.	D'Alembert-ийн тест нь цувралын нийлэг байдлын талаар хариулт өгч чадахгүй.
Үндэс тестийг багтаасан болно.	Радикал Коши тест нь цувралын нэгдлийн талаар хариулт өгөх боломжгүй юм.
Харьцуулалтын тестээр цувралууд нийлдэг.	Харьцуулбал цуврал нэгдэж байна
Харьцааны тестээр цувралууд нийлдэг.	d'Alembert-ийн туршилтын дагуу цуврал нэгдэж байна
Хязгаарын туршилтаар цувралууд хоорондоо ялгаатай байна.	title=" n->oo-д зориулсан цувааны n-р гишүүний хязгаар тэгтэй тэнцүү биш эсвэл байхгүй" гэсэн баримт дээр үндэслэсэн."> , или указанный предел не существует, сделан вывод о том, что ряд расходится. !}

Энэ нийтлэл нь дасгал, даалгаврыг шинжлэхэд хэрэг болох бүтэцтэй, нарийвчилсан мэдээллийг өгдөг. Бид тооны цувралын сэдвийг авч үзэх болно.

Энэ нийтлэл нь үндсэн тодорхойлолт, ойлголтуудаас эхэлдэг. Дараа нь бид стандарт хувилбаруудыг ашиглаж, үндсэн томъёог судлах болно. Материалыг нэгтгэхийн тулд нийтлэлд үндсэн жишээ, даалгавруудыг өгсөн болно.

Үндсэн дипломууд

Эхлээд системийг төсөөлье: a 1 , a 2 . . . , a n , . . . , энд a k ∈ R, k = 1, 2. . . .

Жишээ нь: 6, 3, - 3 2, 3 4, 3 8, - 3 16, гэх мэт тоонуудыг авъя. . . .

Тодорхойлолт 1

Тооны цуваа нь ∑ a k k = 1 ∞ = a 1 + a 2 + гишүүний нийлбэр юм. . . + a n + . . . .

Тодорхойлолтыг илүү сайн ойлгохын тулд q = - 0 гэсэн өгөгдсөн тохиолдлыг авч үзье. 5: 8 - 4 + 2 - 1 + 1 2 - 1 4 +. . . = ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k .

Тодорхойлолт 2

a k ерөнхий буюу k --рцувралын гишүүн.

Энэ нь иймэрхүү харагдаж байна - 16 · - 1 2 к.

Тодорхойлолт 3

Цувралын хэсэгчилсэн нийлбэриймэрхүү харагдаж байна S n = a 1 + a 2 + . . . + a n , үүнд n- дурын тоо. S n бол nthцувралын нийлбэр.

Жишээлбэл, ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k нь S 4 = 8 - 4 + 2 - 1 = 5 байна.

S 1 , S 2 , . . . , S n , . . . тоонуудын хязгааргүй дараалал үүсгэнэ.

Нэг эгнээний хувьд nthнийлбэрийг S n = a 1 · (1 - q n) 1 - q = 8 · 1 - - 1 2 n 1 - - 1 2 = 16 3 · 1 - - 1 2 n томъёогоор олно. Бид хэсэгчилсэн нийлбэрийн дараах дарааллыг ашигладаг: 8, 4, 6, 5, . . . , 16 3 · 1 - - 1 2 n , . . . .

Тодорхойлолт 4

∑ k = 1 ∞ a k цуваа нэгдэхдараалал нь хязгаарлагдмал хязгаартай үед S = lim S n n → + ∞ . Хэрэв хязгаар байхгүй эсвэл дараалал нь төгсгөлгүй бол ∑ k = 1 ∞ a k цувааг нэрлэнэ. ялгаатай.

Тодорхойлолт 5

Нэгдсэн цувааны нийлбэр∑ k = 1 ∞ a k нь ∑ k = 1 ∞ a k = lim S n n → + ∞ = S дарааллын хязгаар юм.

Энэ жишээнд lim S n n → + ∞ = lim 16 3 t → + ∞ · 1 - 1 2 n = 16 3 · lim n → + ∞ 1 - - 1 2 n = 16 3 , мөр ∑ k = 1 ∞ ( - 16) · - 1 2 к нийлдэг. Нийлбэр нь 16 3: ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k = 16 3 .

Жишээ 1

Дивергент цувааны жишээ нь нэгээс их хуваагчтай геометр прогрессийн нийлбэр юм: 1 + 2 + 4 + 8 +. . . + 2 n - 1 + . . . = ∑ k = 1 ∞ 2 k - 1.

n-р хэсэгчилсэн нийлбэрийг S n = a 1 (1 - q n) 1 - q = 1 (1 - 2 n) 1 - 2 = 2 n - 1, хэсэгчилсэн нийлбэрийн хязгаар нь хязгааргүй: lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ (2 n - 1) = + ∞ .

Дивергент тооны цувралын өөр нэг жишээ бол ∑ k = 1 ∞ 5 = 5 + 5 + хэлбэрийн нийлбэр юм. . . . Энэ тохиолдолд n-р хэсэгчилсэн нийлбэрийг Sn = 5n гэж тооцоолж болно. Хэсэгчилсэн нийлбэрийн хязгаар нь хязгааргүй lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ 5 n = + ∞ .

Тодорхойлолт 6

∑ k = 1 ∞ = 1 + 1 2 + 1 3 + -тэй ижил хэлбэрийн нийлбэр. . . + 1 n + . . . - Энэ гармоник тооны цуврал.

Тодорхойлолт 7

Нийлбэр ∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 с + 1 3 с +. . . + 1 n s + . . . , Хаана с –бодит тоо, нь ерөнхий гармоник тооны цуврал юм.

Дээр дурдсан тодорхойлолтууд нь ихэнх жишээ, асуудлыг шийдвэрлэхэд тусална.

Тодорхойлолтыг дуусгахын тулд тодорхой тэгшитгэлийг батлах шаардлагатай.

1. ∑ k = 1 ∞ 1 k – дивергент.

Бид урвуу аргыг ашигладаг. Хэрэв энэ нь нэгдэж байвал хязгаар нь хязгаарлагдмал байна. Бид тэгшитгэлийг lim n → + ∞ S n = S ба lim n → + ∞ S 2 n = S гэж бичиж болно. Тодорхой үйлдлүүдийн дараа бид l i m n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0 тэгш байдлыг авна.

эсрэг,

S 2 n - S n = 1 + 1 2 + 1 3 +. . . + 1 n + 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2 n - - 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2 н

Дараах тэгш бус байдал хүчинтэй байна: 1 n + 1 > 1 2 n, 1 n + 1 > 1 2 n, . . . , 1 2 n - 1 > 1 2 n . Бид S 2 n - S n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + гэдгийг олж авна. . . + 1 2 n > 1 2 n + 1 2 n + . . . + 1 2 n = n 2 n = 1 2 . S 2 n - S n > 1 2 илэрхийлэл нь lim n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0 хүрэхгүй байгааг харуулж байна. Цуврал нь ялгаатай.

1. b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + . . . + b 1 q n + . . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 q k - 1

Тоонуудын дарааллын нийлбэр q дээр нийлдэг гэдгийг батлах шаардлагатай< 1 , и расходится при q ≥ 1 .

Дээрх тодорхойлолтуудын дагуу хэмжээ nнэр томъёог S n = b 1 · (q n - 1) q - 1 томъёогоор тодорхойлно.

Хэрэв q< 1 верно

lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · q n - 1 q - 1 = b 1 · lim n → + ∞ q n q - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 · 0 - 1 q - 1 = b 1 q - 1

Тоон цуваа нийлдэг гэдгийг бид нотолсон.

q = 1 b 1 + b 1 + b 1 +-ийн хувьд. . . ∑ k = 1 ∞ b 1 . Нийлбэрүүдийг S n = b 1 · n томъёог ашиглан олж болно, хязгаар нь хязгааргүй lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · n = ∞. Үзүүлсэн хувилбарт цувралууд хоорондоо ялгаатай байна.

Хэрэв q = - 1, дараа нь цуврал нь b 1 - b 1 + b 1 - шиг харагдана. . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 (- 1) k + 1 . Хэсэгчилсэн нийлбэр нь сондгой бол S n = b 1 шиг харагдана n, мөн тэгш байдлын хувьд S n = 0 байна n. Энэ тохиолдлыг авч үзсэний дараа бид ямар ч хязгаарлалтгүй, цуврал нь зөрүүтэй байгаа эсэхийг шалгах болно.

q > 1-ийн хувьд lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · (q n - 1) q - 1 = b 1 · lim n → + ∞ q n q - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 · ∞ - 1 q - 1 = ∞

Тооны цуваа зөрүүтэй байдгийг бид нотолсон.

1. Хэрэв ∑ k = 1 ∞ 1 k s цуваа нийлнэ s > 1ба s ≤ 1 бол ялгаатай.

Учир нь s = 1бид ∑ k = 1 ∞ 1 k -г олж авах ба цуваа нь салж байна.

Хэзээ с< 1 получаем 1 k s ≥ 1 k для к,натурал тоо. Цуврал нь дивергент ∑ k = 1 ∞ 1 k тул хязгаар байхгүй. Үүний дараа ∑ k = 1 ∞ 1 k s дараалал нь хязгааргүй болно. Сонгосон цувралууд хэзээ зөрүүтэй байна гэж бид дүгнэж байна с< 1 .

∑ k = 1 ∞ 1 k s цуваа нь нийлдэг болохыг нотлох шаардлагатай. s > 1.

S 2 n - 1 - S n - 1 гэж төсөөлье:

S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 + 1 2 с + 1 3 с +. . . + 1 (n - 1) s + 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) с - - 1 + 1 2 с + 1 3 с + . . . + 1 (n - 1) s = 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) с

1 (n + 1) s байна гэж үзье< 1 n s , 1 (n + 2) s < 1 n s , . . . , 1 (2 n - 1) s < 1 n s , тогда S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s < < 1 n s + 1 n s + . . . + 1 n s = n n s = 1 n s - 1

Байгалийн ба тэгш n = 2 тоонуудын тэгшитгэлийг төсөөлье: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 3 - S 1 = 1 2 s + 1 3 s< 1 2 s - 1 n = 4: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 7 - S 3 = 1 4 s + 1 5 s + 1 6 s + 1 7 s < 1 4 s - 1 = 1 2 s - 1 2 n = 8: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 15 - S 7 = 1 8 s + 1 9 s + . . . + 1 15 s < 1 8 s - 1 = 1 2 s - 1 3 . . .

Бид авах:

∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 с + 1 3 с + 1 4 с +. . . + 1 7 секунд + 1 8 секунд + . . . + 1 15 секунд + . . . = = 1 + S 3 - S 1 + S 7 - S 3 + S 15 + S 7 +. . .< < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . .

Илэрхийлэл нь 1 + 1 2 с - 1 + 1 2 с - 1 2 + 1 2 с - 1 3 +. . . нь q = 1 2 с - 1 геометр прогрессийн нийлбэр юм. Анхны мэдээллээр цагт s > 1, дараа нь 0< q < 1 . Получаем, ∑ k = 1 ∞ < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . . = 1 1 - q = 1 1 - 1 2 s - 1 . Последовательность ряда при s > 1нэмэгдэж, 1 1 - 1 2 с - 1-ээс дээш хязгаарлагдана. Хязгаарлалт байгаа ба цуваа нийлэг ∑ k = 1 ∞ 1 k s байна гэж төсөөлье.

Тодорхойлолт 8

Цуврал ∑ k = 1 ∞ a k Энэ тохиолдолд эерэг байна, хэрэв гишүүд нь > 0 a k > 0 бол k = 1, 2, . . . .

Цуврал ∑ k = 1 ∞ b k дохио өгөх, хэрэв тоонуудын тэмдгүүд өөр байвал. Энэ жишээг ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · a k эсвэл ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 · a k , энд a k > гэж үзүүлэв. 0 , k = 1 , 2 , . . . .

Цуврал ∑ k = 1 ∞ b k ээлжлэн, сөрөг болон эерэг олон тоо агуулсан тул.

Хоёрдахь хувилбарын цуврал нь гурав дахь хувилбарын онцгой тохиолдол юм.

Тохиолдол бүрийн жишээг энд харуулав.

6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . . 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . .

Гурав дахь сонголтын хувьд та үнэмлэхүй болон нөхцөлт нийлэлтийг тодорхойлж болно.

Тодорхойлолт 9

∑ k = 1 ∞ b k-г мөн нийлэг гэж үзэх тохиолдолд ∑ k = 1 ∞ b k цуваа туйлын нийлдэг.

Хэд хэдэн ердийн сонголтыг нарийвчлан авч үзье.

Жишээ 2

Хэрэв эгнээ 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 + байвал. . . ба 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . нийлсэн гэж тодорхойлсон бол 6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + гэж үзэх нь зөв. . .

Тодорхойлолт 10

Хувьсах ∑ k = 1 ∞ b k цувааг ∑ k = 1 ∞ b k нь салангид байвал нөхцөлт нийлдэг, ∑ k = 1 ∞ b k цувааг нийлдэг гэж үзнэ.

Жишээ 3

∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + гэсэн сонголтыг нарийвчлан авч үзье. . . . Үнэмлэхүй утгуудаас бүрдэх ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = ∑ k = 1 ∞ 1 k цувралыг дивергент гэж тодорхойлно. Энэ сонголтыг тодорхойлоход хялбар тул нэгдмэл гэж үздэг. Энэ жишээнээс бид цуврал ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + болохыг олж мэдэв. . . нөхцөлт нийлсэн гэж үзнэ.

Конвергент цувааны онцлог

Тодорхой тохиолдлуудад шинж чанаруудад дүн шинжилгээ хийцгээе

1. Хэрэв ∑ k = 1 ∞ a k нийлдэг бол ∑ k = m + 1 ∞ a k цувааг мөн нийлдэг гэж үзнэ. Энэ нь ямар ч эгнээ гэдгийг тэмдэглэж болно мнэр томъёог мөн нийлмэл гэж үздэг. Хэрэв бид ∑ k = m + 1 ∞ a k дээр хэд хэдэн тоог нэмбэл гарсан үр дүн нь мөн нийлэх болно.
2. Хэрэв ∑ k = 1 ∞ a k нийлж, нийлбэр нь = С, тэгвэл ∑ k = 1 ∞ A · a k , ∑ k = 1 ∞ A · a k = A · S цуваа мөн нийлнэ, энд А- тогтмол.
3. Хэрэв ∑ k = 1 ∞ a k ба ∑ k = 1 ∞ b k нийлбэр байвал нийлбэрүүд АТэгээд БМөн ∑ k = 1 ∞ a k + b k ба ∑ k = 1 ∞ a k - b k цуваа мөн нийлнэ. Хэмжээ нь тэнцүү байх болно A+BТэгээд А - Бтус тус.

Жишээ 4

Цуврал ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 нийлдэг болохыг тодорхойл.

∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 = ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 илэрхийллийг өөрчилье. ∑ k = 1 ∞ 1 k s цуваа нийлдэг тул ∑ k = 1 ∞ 1 k 4 3 цувааг нийлэх гэж үзнэ. s > 1. Хоёрдахь шинж чанарын дагуу ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 .

Жишээ 5

∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 цуваа нийлэх эсэхийг тодорхойл.

Анхны хувилбарыг ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + n n 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + ∑ n = 1 ∞1 гэж өөрчилье.

Бид ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 ба ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 нийлбэрийг авна. Цуврал бүрийг шинж чанарын дагуу нийлсэн гэж үзнэ. Тиймээс цуврал нийлэхийн хэрээр анхны хувилбар нь нийлдэг.

Жишээ 6

1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + цуваа нийлэх эсэхийг тооцоол. . . мөн дүнг тооцно.

Анхны хувилбарыг өргөжүүлье:

1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 +. . . = = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 +. . . - 2 · 3 + 1 + 1 3 + 1 9 + . . . = = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 · ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2

Цуврал бүр нь тооны дарааллын гишүүдийн нэг учраас нийлдэг. Гурав дахь шинж чанарын дагуу бид анхны хувилбар нь нийлдэг гэдгийг тооцоолж болно. Бид нийлбэрийг тооцоолно: Цувралын эхний гишүүн ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1, хуваагч = 0. 5, үүний дараа, ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1 1 - 0 байна. 5 = 2. Эхний гишүүн ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3, буурах тоон дарааллын хуваагч нь = 1 3 байна. Бид авна: ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 1 - 1 3 = 9 2 .

1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + -ийн нийлбэрийг тодорхойлохын тулд бид дээр авсан илэрхийлэлүүдийг ашигладаг. . . = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 2 - 2 9 2 = - 7

Цуврал нийлэх эсэхийг тодорхойлох зайлшгүй нөхцөл

Тодорхойлолт 11

Хэрэв ∑ k = 1 ∞ a k цуваа нийлэг байвал түүний хязгаар болно kthгишүүн = 0: lim k → + ∞ a k = 0 .

Хэрэв бид ямар нэг сонголтыг шалгавал бид мартаж болохгүй зайлшгүй нөхцөл. Хэрэв энэ нь биелээгүй бол цувралууд хуваагдана. Хэрэв lim k → + ∞ a k ≠ 0 бол цуваа дивергент байна.

Нөхцөл байдал нь чухал боловч хангалттай биш гэдгийг тодруулах хэрэгтэй. Хэрэв lim k → + ∞ a k = 0 тэнцүү байвал ∑ k = 1 ∞ a k нь нийлдэг гэсэн баталгаа болохгүй.

Нэг жишээ хэлье. ∑ k = 1 ∞ 1 k гармоник цувааны хувьд нөхцөл хангагдсан lim k → + ∞ 1 k = 0, гэхдээ цуваа зөрөөтэй хэвээр байна.

Жишээ 7

∑ n = 1 ∞ n 2 1 + n нийлэлтийг тодорхойл.

lim n → + ∞ n 2 1 + n = lim n → + ∞ n 2 n 2 1 n 2 + 1 n = lim n → + ∞ 1 1 n 2 + 1 n болзол биелсэн эсэхийг анхны илэрхийллийг шалгая. = 1 + 0 + 0 = + ∞ ≠ 0

Хязгаар nthгишүүн нь 0-тэй тэнцүү биш. Энэ цуврал нь ялгаатай гэдгийг бид нотолсон.

Эерэг цувааны нийлэлтийг хэрхэн тодорхойлох вэ.

Хэрэв та эдгээр шинж чанаруудыг байнга ашигладаг бол хязгаарыг байнга тооцоолох хэрэгтэй болно. Энэ хэсэг нь жишээ, асуудлыг шийдвэрлэхэд бэрхшээлээс зайлсхийхэд тусална. Эерэг цувааны нийлэлтийг тодорхойлохын тулд тодорхой нөхцөл байдаг.

Эерэг тэмдгийн нийлэгжилтийн хувьд ∑ k = 1 ∞ a k , a k > 0 ∀ k = 1 , 2 , 3 , . . . нийлбэрийн хязгаарлагдмал дарааллыг тодорхойлох шаардлагатай.

Цувралыг хэрхэн харьцуулах вэ

Цувралуудыг харьцуулах хэд хэдэн шинж тэмдэг байдаг. Бид нийлэлтийг тодорхойлохыг санал болгож буй цувааг нийлэх нь мэдэгдэж буй цувралуудтай харьцуулж үздэг.

Эхний тэмдэг

∑ k = 1 ∞ a k ба ∑ k = 1 ∞ b k нь эерэг тэмдгийн цуваа. a k ≤ b k тэгш бус байдал нь хүчинтэй k = 1, 2, 3, ...Эндээс ∑ k = 1 ∞ b k цуваанаас ∑ k = 1 ∞ a k -ийг олж авч болно. ∑ k = 1 ∞ a k нь дивергент тул ∑ k = 1 ∞ b k цувралыг дивергент гэж тодорхойлж болно.

Энэ дүрмийг тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд байнга ашигладаг бөгөөд нэгдмэл байдлыг тодорхойлоход туслах ноцтой аргумент юм. Хэцүү байдал нь тухайн тохиолдол бүрт харьцуулах тохиромжтой жишээг олох боломжгүй байгаатай холбоотой байж болох юм. Ихэнх тохиолдолд цувралыг индикатор гэсэн зарчмын дагуу сонгодог kthХугацаа нь хуваагч ба хуваагчийн илтгэгчийг хассан үр дүнтэй тэнцүү байна kthцувралын гишүүн. a k = k 2 + 3 4 k 2 + 5, ялгаа нь тэнцүү байна гэж үзье. 2 – 3 = - 1 . Энэ тохиолдолд бид цувралыг харьцуулахын тулд тодорхойлж болно к-р b k = k - 1 = 1 k, энэ нь гармоник юм.

Хүлээн авсан материалыг нэгтгэхийн тулд бид хэд хэдэн ердийн сонголтыг нарийвчлан авч үзэх болно.

Жишээ 8

∑ k = 1 ∞ 1 k - 1 2 цуваа юу болохыг тодорхойл.

Хязгаар = 0 lim k → + ∞ 1 k - 1 2 = 0 тул бид хийсэн. шаардлагатай нөхцөл. Тэгш бус байдал нь шударга байх болно 1 k< 1 k - 1 2 для к,эдгээр нь байгалийн юм. Өмнөх догол мөрүүдээс бид гармоник цуваа ∑ k = 1 ∞ 1 k ялгаатай болохыг олж мэдсэн. Эхний шалгуурын дагуу анхны хувилбар нь ялгаатай гэдгийг баталж болно.

Жишээ 9

Цуврал нь нийлэх эсвэл дивергент ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 эсэхийг тодорхойл.

Энэ жишээнд lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 = 0 тул шаардлагатай нөхцөл хангагдсан байна. Бид үүнийг 1 k 3 + 3 k - 1 тэгш бус байдлаар төлөөлдөг< 1 k 3 для любого значения к. Гармоник цуваа ∑ k = 1 ∞ 1 k с нийлдэг тул ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 цуваа нь нийлдэг. s > 1. Эхний шалгуурын дагуу бид тооны цуваа нийлдэг гэж дүгнэж болно.

Жишээ 10

∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) цуваа юу болохыг тодорхойл. lim k → + ∞ 1 k ln (ln k) = 1 + ∞ + ∞ = 0 .

Энэ сонголтоор та хүссэн нөхцлийн биелэлтийг тэмдэглэж болно. Харьцуулахын тулд цувралыг тодорхойлъё. Жишээлбэл, ∑ k = 1 ∞ 1 k s. Зэрэг гэж юу болохыг тодорхойлохын тулд дарааллыг (ln (ln k)), k = 3, 4, 5 гэж үзнэ. . . . Дарааллын гишүүд ln (ln 3) , ln (ln 4) , ln (ln 5) , . . . хязгааргүй хүртэл нэмэгддэг. Тэгшитгэлд дүн шинжилгээ хийсний дараа бид N = 1619-ийг утга болгон авч дарааллын нөхцлүүд > 2 болохыг тэмдэглэж болно. Энэ дарааллын хувьд 1 k ln (ln k) тэгш бус байдал үнэн болно< 1 k 2 . Ряд ∑ k = N ∞ 1 k 2 сходится согласно первому признаку, так как ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 тоже сходящийся. Отметим, что согласно первому признаку ряд ∑ k = N ∞ 1 k ln (ln k) сходящийся. Можно сделать вывод, что ряд ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) также сходящийся.

Хоёр дахь тэмдэг

∑ k = 1 ∞ a k ба ∑ k = 1 ∞ b k нь эерэг тооны цуваа гэж үзье.

lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ бол ∑ k = 1 ∞ b k цуваа нийлж, ∑ k = 1 ∞ a k нь мөн нийлнэ.

Хэрэв lim k → + ∞ a k b k ≠ 0 бол ∑ k = 1 ∞ b k цуваа нь хуваагддаг тул ∑ k = 1 ∞ a k нь мөн салах болно.

Хэрэв lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ ба lim k → + ∞ a k b k ≠ 0 байвал цувааны нийлэх буюу дивергенц нь нөгөө цувралын нийлэх буюу дивергенцийг хэлнэ.

Хоёрдахь тэмдгийг ашиглан ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 гэж үзье. ∑ k = 1 ∞ b k харьцуулахын тулд ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 нийлэх цувааг авна. Хязгаарыг тодорхойлъё: lim k → + ∞ a k b k = lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 1 k 3 = lim k → + ∞ k 3 k 3 + 3 k - 1 = 1

Хоёрдахь шалгуурын дагуу ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 нийлсэн цуваа нь анхны хувилбар мөн нийлдэг болохыг тодорхойлж болно.

Жишээ 11

∑ n = 1 ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 цуваа юу болохыг тодорхойл.

Энэ хувилбарт хангагдсан lim k → ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 = 0 шаардлагатай нөхцөл байдалд дүн шинжилгээ хийцгээе. Хоёрдахь шалгуурын дагуу ∑ k = 1 ∞ 1 k цувралыг авна. Бид хязгаарыг хайж байна: lim k → + ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 1 k = lim k → + ∞ k 3 + 3 k 4 k 3 + 5 = 1 4

Дээрх диссертацийн дагуу дивергент цуврал нь анхны цувралын ялгааг дагуулдаг.

Гурав дахь тэмдэг

Харьцуулах гурав дахь тэмдгийг авч үзье.

∑ k = 1 ∞ a k ба _ ∑ k = 1 ∞ b k эерэг тооны цуваа гэж үзье. Хэрэв a k + 1 a k ≤ b k + 1 b k гэсэн тодорхой тооны хувьд нөхцөл хангагдвал энэ ∑ k = 1 ∞ b k цувааны нийлэмж нь ∑ k = 1 ∞ a k цуваа мөн нийлдэг гэсэн үг юм. Дивергент цуваа ∑ k = 1 ∞ a k нь ∑ k = 1 ∞ b k ялгааг агуулна.

Д'Аламберын тэмдэг

∑ k = 1 ∞ a k нь эерэг тооны цуваа гэж төсөөлье. Хэрэв lim k → + ∞ a k + 1 a k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k + 1 a k >1, дараа нь ялгаатай.

Тайлбар 1

Хэрвээ хязгаар нь хязгааргүй бол D'Alembert-ийн тест хүчинтэй.

Хэрэв lim k → + ∞ a k + 1 a k = - ∞ бол цуваа нийлдэг, хэрэв lim k → ∞ a k + 1 a k = + ∞ бол дивергент байна.

Хэрэв lim k → + ∞ a k + 1 a k = 1 бол d'Alembert-ийн тэмдэг тус болохгүй бөгөөд дахин хэд хэдэн судалгаа хийх шаардлагатай болно.

Жишээ 12

Д’Аламбертын шалгуурыг ашиглан цуваа нийлдэг эсвэл дивергент ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 2 k эсэхийг тодорхойлно.

Шаардлагатай нэгдэх нөхцөл хангагдсан эсэхийг шалгах шаардлагатай. L'Hopital-ийн дүрмийг ашиглан хязгаарыг тооцоолъё: lim k → + ∞ 2 k + 1 2 k = ∞ ∞ = lim k → + ∞ 2 k + 1 " 2 k " = lim k → + ∞ 2 2 k ln 2 = 2 + ∞ ln 2 = 0

Нөхцөл хангагдсаныг бид харж байна. d'Alembert-ийн тестийг ашиглая: lim k → + ∞ = lim k → + ∞ 2 (k + 1) + 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k = 1 2 lim k → + ∞ 2 к + 3 2 к + 1 = 12< 1

Цуврал нь нийлдэг.

Жишээ 13

Цуврал дивергент ∑ k = 1 ∞ k k k эсэхийг тодорхойлно уу! .

Цувралын зөрүүг тодорхойлохын тулд d'Alembert-ийн тестийг ашиглая: lim k → + ∞ a k + 1 a k = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 (k + 1) ! к к к! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 · k ! k k · (k + 1) ! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 k k · (k + 1) = = lim k → + ∞ (k + 1) k k k = lim k → + ∞ k + 1 k k = lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e > 1

Тиймээс цуврал нь ялгаатай байна.

Радикал Кошигийн шинж тэмдэг

∑ k = 1 ∞ a k нь эерэг тэмдэгтэй цуваа гэж үзье. Хэрэв lim k → + ∞ a k k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k k >1, дараа нь ялгаатай.

Тайлбар 2

Хэрэв lim k → + ∞ a k k = 1 бол энэ тэмдэг нь ямар ч мэдээлэл өгөхгүй - нэмэлт дүн шинжилгээ хийх шаардлагатай.

Энэ онцлогийг тодорхойлоход хялбар жишээнүүдэд ашиглаж болно. Тооны цувралын гишүүн нь экспоненциал чадлын илэрхийлэл байх тохиолдолд энэ тохиолдол ердийн байх болно.

Хүлээн авсан мэдээллийг нэгтгэхийн тулд хэд хэдэн ердийн жишээг авч үзье.

Жишээ 14

∑ k = 1 ∞ 1 (2 k + 1) k эерэг тэмдгийн цуваа нийлэх эсэхийг тодорхойл.

lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k = 1 + ∞ + ∞ = 0 байх тул шаардлагатай нөхцөл хангагдсан гэж үзнэ.

Дээр дурдсан шалгуурын дагуу бид lim k → + ∞ a k k = lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k k = lim k → + ∞ 1 2 k + 1 = 0-г авна.< 1 . Данный ряд является сходимым.

Жишээ 15

∑ k = 1 ∞ 1 3 k · 1 + 1 k k 2 тооны цуваа нийлэх үү?

Бид өмнөх догол мөрөнд тайлбарласан функцийг ашигладаг lim k → + ∞ 1 3 k 1 + 1 k k 2 k = 1 3 lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e 3< 1 , следовательно, числовой ряд сходится.

Интеграл Коши тест

∑ k = 1 ∞ a k нь эерэг тэмдэгтэй цуваа гэж үзье. Үргэлжилсэн аргументийн функцийг тэмдэглэх шаардлагатай у = f(x), энэ нь n = f (n) -тай давхцдаг. Хэрэв у = f(x)тэгээс их, тасалддаггүй бөгөөд [ a ; + ∞) , энд a ≥ 1 байна

Дараа нь буруу интеграл ∫ a + ∞ f (x) d x нийлдэг бол авч үзэж буй цуваа мөн нийлнэ. Хэрэв энэ нь зөрүүтэй байвал авч үзэж буй жишээн дээр цуваа бас ялгаатай байна.

Функц буурч байгаа эсэхийг шалгахдаа өмнөх хичээлүүдийн материалыг ашиглаж болно.

Жишээ 16

Нэгдэх ∑ k = 2 ∞ 1 k · ln k жишээг авч үзье.

lim k → + ∞ 1 k · ln k = 1 + ∞ = 0 байх тул цуваа нийлэх нөхцөл хангагдсан гэж үзнэ. y = 1 x ln x гэж үзье. Энэ нь тэгээс их, тасалддаггүй бөгөөд [ 2 ; + ∞). Эхний хоёр зүйл тодорхой мэдэгдэж байгаа боловч гурав дахь нь илүү нарийвчлан хэлэлцэх ёстой. Деривативыг ол: y " = 1 x · ln x " = x · ln x " x · ln x 2 = ln x + x · 1 x x · ln x 2 = - ln x + 1 x · ln x 2. Энэ нь [ 2 ; + ∞ дээр тэгээс бага байна).Энэ нь функц буурч байна гэсэн дүгнэлтийг баталж байна.

Үнэн хэрэгтээ y = 1 x ln x функц нь бидний дээр авч үзсэн зарчмын шинж чанаруудтай тохирч байна. Үүнийг ашиглая: ∫ 2 + ∞ d x x · ln x = lim A → + ∞ ∫ 2 A d (ln x) ln x = lim A → + ∞ ln (ln x) 2 A = = lim A → + ∞ (ln) ( ln A) - ln (ln 2)) = ln (ln (+ ∞)) - ln (ln 2) = + ∞

Хүлээн авсан үр дүнгээс харахад зохисгүй интеграл нь ялгаатай тул эх жишээ нь ялгаатай байна.

Жишээ 17

∑ k = 1 ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 цувааны нийлэлтийг батал.

lim k → + ∞ 1 (10 к - 9) (ln (5 k + 8)) 3 = 1 + ∞ = 0 тул нөхцөл хангагдсан гэж үзнэ.

k = 4-ээс эхлэн зөв илэрхийлэл нь 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3< 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

Хэрэв ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 цувралыг нийлсэн гэж үзвэл харьцуулах зарчмуудын аль нэгний дагуу ∑ k = 4 ∞ 1 (10) цуврал болно. k - 9) ( ln (5 k + 8)) 3-ыг мөн нийлэх гэж үзнэ. Ингэснээр бид анхны илэрхийлэл нь нийлдэг болохыг тодорхойлж чадна.

Баталгаажуулалт руу шилжье: ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

y = 1 5 x + 8 (ln (5 x + 8)) 3 функц нь тэгээс их тул тасалдахгүй бөгөөд [ 4 ; + ∞). Бид өмнөх догол мөрөнд дурдсан функцийг ашигладаг:

∫ 4 + ∞ d x (5 x + 8) (l n (5 x + 8)) 3 = lim A → + ∞ ∫ 4 A d x (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = = 1 5 lim A → + ∞ ∫ 4 A d (ln (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = - 1 10 lim A → + ∞ 1 (ln (5 x + 8)) 2 | 4 A = = - 1 10 lim A → + ∞ 1 (ln (5 A + 8)) 2 - 1 (ln (5 4 + 8)) 2 = = - 1 10 1 + ∞ - 1 (ln 28) 2 = 1 10 · ln 28 2

Үүссэн конвергентын цуваа ∫ 4 + ∞ d x (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3, бид ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k +) болохыг тодорхойлж болно. 8 )) 3 бас нийлдэг.

Раабегийн тэмдэг

∑ k = 1 ∞ a k нь эерэг тооны цуваа гэж үзье.

lim k → + ∞ k · a k a k + 1 бол< 1 , то ряд расходится, если lim k → + ∞ k · a k a k + 1 - 1 >1, дараа нь нийлнэ.

Хэрэв дээр дурдсан аргууд нь харагдахуйц үр дүнг өгөхгүй бол энэ тодорхойлох аргыг ашиглаж болно.

Үнэмлэхүй конвергенцийн судалгаа

Судалгааны хувьд бид ∑ k = 1 ∞ b k авна. Бид эерэг тэмдгийг ∑ k = 1 ∞ b k ашигладаг. Бид дээр дурдсан аль ч тохиромжтой функцийг ашиглаж болно. Хэрэв ∑ k = 1 ∞ b k цуваа нийлбэл анхны цуваа туйлын нийлнэ.

Жишээ 18

∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 цувааг нэгтгэх ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 = ∑ k = 1 ∞ 1 3 k гэсэн утгыг судал. 3 + 2 к - 1.

Нөхцөл хангагдсан lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 = 1 + ∞ = 0 . ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 2, хоёр дахь тэмдгийг ашиглая: lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 1 k 3 2 = 1 3 .

∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 цуваа нийлдэг. Анхны цуврал нь мөн туйлын нийлдэг.

Хувьсах цувралын ялгаа

Хэрэв ∑ k = 1 ∞ b k цуваа дивергент бол харгалзах ээлжлэн ∑ k = 1 ∞ b k цуваа нь салангид эсвэл нөхцөлт нийлдэг.

∑ k = 1 ∞ b k модулиудын зөрүүгээс ∑ k = 1 ∞ b k-ийн талаар дүгнэлт хийхэд зөвхөн d'Alembert тест болон радикал Коши тест тусална. Шаардлагатай нийлэх нөхцөл хангагдаагүй, өөрөөр хэлбэл lim k → ∞ + b k ≠ 0 бол ∑ k = 1 ∞ b k цуваа мөн ялгаагүй болно.

Жишээ 19

Ялгааг шалгах 1 7, 2 7 2, - 6 7 3, 24 7 4, 120 7 5 - 720 7 6, . . . .

Модуль kthнэр томъёог b k = k гэж илэрхийлнэ! 7 к.

∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k цувааг авч үзье! d'Alembert's test ашиглан нийлэх 7 k: lim k → + ∞ b k + 1 b k = lim k → + ∞ (k + 1) ! 7 к + 1 к! 7 k = 1 7 · lim k → + ∞ (k + 1) = + ∞ .

∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k ! 7 к нь анхны хувилбартай адил зөрүүтэй байна.

Жишээ 20

∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) нийлдэг.

Шаардлагатай нөхцөлийг авч үзье lim k → + ∞ b k = lim k → + ∞ k 2 + 1 ln (k + 1) = ∞ ∞ = lim k → + ∞ = k 2 + 1 " (ln (k + 1)) " = = lim k → + ∞ 2 k 1 k + 1 = lim k → + ∞ 2 k (k + 1) = + ∞ . Нөхцөл хангагдаагүй тул ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) цуваа зөрүүтэй байна. Хязгаарыг L'Hopital-ийн дүрмийг ашиглан тооцоолсон.

Нөхцөлтэй нийлэх шалгуур

Лейбницийн тест

Тодорхойлолт 12

Хэрэв ээлжилсэн цувааны нөхцлийн утга буурч байвал b 1 > b 2 > b 3 > . . . > . . . ба модулийн хязгаар = 0 k → + ∞ байвал ∑ k = 1 ∞ b k цуваа нийлнэ.

Жишээ 17

Нэгдэхийн тулд ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) -ийг авч үзье.

Цувралыг ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) хэлбэрээр илэрхийлнэ. Шаардлагатай нөхцөл хангагдсан: lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 . Хоёр дахь харьцуулалтын шалгуураар ∑ k = 1 ∞ 1 k гэж үзье lim k → + ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) 1 k = lim k → + ∞ 2 k + 1 5 (k + 1) = 2 5

∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) зөрүүтэй болохыг бид олж мэдэв. ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) цуврал нь Лейбницийн шалгуурын дагуу нийлдэг: дараалал 2 1 + 1 5 1 1 1 + 1 = 3 10, 2 2 + 1 5 · 2 · (2 ​​+ 1) = 5 30 , 2 · 3 + 1 5 · 3 · 3 + 1 , . . . буурч, lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 байна.

Цуврал нь нөхцөлт байдлаар нийлдэг.

Абел-Дирихлетийн тест

Тодорхойлолт 13

( u k ) нэмэгдэхгүй ба ∑ k = 1 + ∞ v k дараалал нь хязгаарлагдмал байвал ∑ k = 1 + ∞ u k · v k нийлнэ.

Жишээ 17

1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 + -ийг судлах. . . нэгдлийн төлөө.

Төсөөлөөд үзье

1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 + . . . = 1 1 + 1 2 (- 3) + 1 3 2 + 1 4 1 + 1 5 (- 3) + 1 6 = ∑ k = 1 ∞ u k v k

Энд (u k) = 1, 1 2, 1 3, . . . нь өсөхгүй байх ба дараалал (v k) = 1, - 3, 2, 1, - 3, 2, . . . хязгаарлагдмал (S k) = 1, - 2, 0, 1, - 2, 0, . . . . Цуврал нэгдэж байна.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Хариулт: цуваа зөрүүтэй байна.

Жишээ №3

$\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ цувралын нийлбэрийг ол.

Нийлбэрийн доод хязгаар нь 1 тул цувааны нийтлэг гишүүнийг нийлбэрийн тэмдгийн дор бичнэ: $u_n=\frac(2)((2n+1)(2n+3))$. Цувралын n-р хэсэгчилсэн нийлбэрийг хийцгээе, i.e. Өгөгдсөн тооны цувралын эхний $n$ нөхцлүүдийг нийлбэрлэе:

$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\frac(2)(7\cdot 9 )+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3)). $$

Би яагаад $\frac(2)(15)$ биш яг $\frac(2)(3\cdot 5)$ гэж бичдэг нь цаашдын ярианаас тодорхой болно. Гэсэн хэдий ч хэсэгчлэн бичсэн нь биднийг зорилгодоо нэг ч болтугай ойртуулсангүй. Бид $\lim_(n\to\infty)S_n$-г олох хэрэгтэй, гэхдээ зүгээр л бичвэл:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\ frac(2)(7\cdot 9)+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))\баруун), $$

тэгвэл хэлбэрийн хувьд бүрэн зөв болсон энэ бичлэг мөн чанартаа юу ч өгөхгүй. Хязгаарыг олохын тулд эхлээд хэсэгчилсэн нийлбэрийн илэрхийллийг хялбарчлах хэрэгтэй.

Цувралын ерөнхий гишүүнийг илэрхийлэх $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ бутархайг энгийн бутархай болгон задлахаас бүрдэх стандарт хувиргалт байдаг. Задрах асуудал рационал бутархайТусдаа сэдэв нь анхан шатны хичээлүүдэд зориулагдсан болно (жишээлбэл, энэ хуудасны №3 жишээг үзнэ үү). $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ бутархайг энгийн бутархай болгон өргөжүүлбэл бид дараах байдалтай болно:

$$ \frac(2)((2n+1)(2n+3))=\frac(A)(2n+1)+\frac(B)(2n+3)=\frac(A\cdot(2n) +3)+B\cdot(2n+1))((2n+1)(2n+3)). $$

Бид үүссэн тэгш байдлын зүүн ба баруун талд байгаа бутархайн тоог тэнцүүлж байна.

$$ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1). $$

$A$ ба $B$-ийн утгыг олох хоёр арга бий. Та хаалт нээж, нэр томъёог дахин цэгцэлж болно, эсвэл $n$-ын оронд тохирох утгыг орлуулж болно. Зөвхөн олон янз байхын тулд энэ жишээнд бид эхний замаар явах болно, дараагийнх нь хувийн утгыг $n$ орлуулах болно. Хаалтуудыг нээж, нэр томъёог дахин цэгцлэхэд бид дараахь зүйлийг авна.

$$ 2=2An+3A+2Bn+B;\\ 2=(2A+2B)n+3A+B. $$

Тэгш байдлын зүүн талд $n$-ийн өмнө тэг байна. Хэрэв та хүсвэл, ойлгомжтой болгохын тулд тэгш байдлын зүүн талыг $0\cdot n+ 2$ хэлбэрээр илэрхийлж болно. Тэгш байдлын зүүн талд $n$-ийн өмнө тэг, баруун талд $n$-ийн өмнө $2A+2B$ байгаа тул эхний тэгшитгэл $2A+2B=0$ байна. Энэ тэгшитгэлийн хоёр талыг нэн даруй 2-т хуваагаад дараа нь $A+B=0$ гарна.

Тэгш тэгш байдлын зүүн талд чөлөөт нэр томъёо нь 2, баруун талд нь $3A+B$, тэгвэл $3A+B=2$ байна. Тиймээс, бидэнд систем бий:

$$ \зүүн\(\эхлэх(эгцэлсэн) & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)\баруун. $$

Бид математикийн индукцийн аргыг ашиглан нотлох ажлыг гүйцэтгэнэ. Эхний алхамд та нотлогдож буй тэгш байдал үнэн эсэхийг шалгах хэрэгтэй $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ $n=1$. Бид $S_1=u_1=\frac(2)(15)$ гэдгийг мэдэж байгаа ч $\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ илэрхийлэл нь $\frac( гэсэн утгыг өгөх үү. 2 )(15)$, хэрэв бид $n=1$-г орлуулбал? Шалгацгаая:

$$ \frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2\cdot 1+3)=\frac(1) (3)-\frac(1)(5)=\frac(5-3)(15)=\frac(2)(15). $$

Тэгэхээр $n=1$-ын хувьд $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ тэгшитгэл хангагдана. Энэ нь математикийн индукцийн аргын эхний алхамыг дуусгаж байна.

$n=k$-ын хувьд тэгш байдал хангагдсан гэж үзье, өөрөөр хэлбэл. $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$. $n=k+1$-д ижил тэгш байдал хангагдана гэдгийг баталъя. Үүнийг хийхийн тулд $S_(k+1)$:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1). $$

$u_n=\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)$ тул $u_(k+1)=\frac(1)(2(k+1)+ 1 болно. )-\frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(2k+3)-\frac(1)(2(k+1)+3)$. Дээрх таамаглалын дагуу $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$, тиймээс томьёо $S_(k+1)=S_k+u_(k+1)$ хэлбэрийг авна:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2k+3)-\ frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2(k+1)+3). $$

Дүгнэлт: $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ томьёо нь $n=k+1$-д зөв байна. Иймд математикийн индукцийн аргын дагуу $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ томьёо нь N$ дахь дурын $n\-д үнэн байна. Тэгш байх нь батлагдсан.

Дээд математикийн стандарт хичээлд тэд ямар ч нотлох баримт шаардахгүйгээр нэр томьёог цуцалснаараа ихэвчлэн "хасах"-д сэтгэл хангалуун байдаг. Тиймээс бид n-р хэсэгчилсэн нийлбэрийн илэрхийлэлийг авсан: $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. $\lim_(n\to\infty)S_n$-ийн утгыг олъё:

Дүгнэлт: өгөгдсөн цуваа нийлж, нийлбэр нь $S=\frac(1)(3)$ байна.

Хэсэгчилсэн нийлбэрийн томъёог хялбарчлах хоёр дахь арга.

Үнэнийг хэлэхэд, би өөрөө энэ аргыг илүүд үздэг :) Хэсэгчилсэн дүнг товчилсон хувилбараар бичье:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)). $$

Бид өмнө нь $u_k=\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)$ гэдгийг олж мэдсэн тул:

$$ S_n=\нийлбэр\хязгаар_(k=1)^(n)\frac(2)((2к+1)(2к+3))=\нийлбэр\хязгаар_(k=1)^(n)\зүүн (\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\баруун). $$

$S_n$ нийлбэр нь хязгаарлагдмал тооны нөхцлүүдийг агуулж байгаа тул бид тэдгээрийг хүссэнээрээ өөрчлөх боломжтой. Би эхлээд $\frac(1)(2k+1)$ маягтын бүх нөхцөлийг нэмээд дараа нь $\frac(1)(2k+3)$ маягтын нөхцөл рүү шилжихийг хүсэж байна. Энэ нь бид хэсэгчилсэн дүнг дараах байдлаар танилцуулна гэсэн үг юм.

$$ S_n =\frac(1)(3)-\frac(1)(5)+\frac(1)(5)-\frac(1)(7)+\frac(1)(7)-\ frac(1)(9)+\frac(1)(9)-\frac(1)(11)+\ldots+\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)= \\ =\frac(1)(3)+\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+1) )-\left(\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+3)\баруун). $$

Мэдээжийн хэрэг, өргөтгөсөн тэмдэглэгээ нь туйлын тохиромжгүй тул дээрх тэгш байдлыг илүү нягт бичиж болно.

$$ S_n=\нийлбэр\хязгаар_(k=1)^(n)\зүүн(\фрак(1)(2к+1)-\фрак(1)(2к+3)\баруун)=\нийлбэр\хязгаар_( k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3). $$

Одоо $\frac(1)(2k+1)$ болон $\frac(1)(2k+3)$ илэрхийллүүдийг нэг хэлбэрт шилжүүлье. Үүнийг том фракцын хэлбэрт оруулах нь тохиромжтой гэж би бодож байна (хэдийгээр жижиг хэсгийг ашиглах боломжтой боловч энэ нь амтны асуудал юм). $\frac(1)(2k+1)>\frac(1)(2k+3)$ (хүлээгч том байх тусмаа жижиг бутархай) тул бид $\frac(1)(2k+) бутархайг өгнө. 3) $\frac(1)(2k+1)$ хэлбэрт $.

Би $\frac(1)(2k+3)$ бутархайн хуваагч дахь илэрхийллийг дараах байдлаар үзүүлнэ.

$$ \frac(1)(2k+3)=\frac(1)(2k+2+1)=\frac(1)(2(k+1)+1). $$

Мөн $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)$ нийлбэрийг одоо дараах байдлаар бичиж болно.

$$ \нийлбэр\хязгаар_(k=1)^(n)\frac(1)(2к+3)=\нийлбэр\хязгаар_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1) ) )+1)=\нийлбэр\хязгаар_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1). $$

Хэрэв тэгшитгэл $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+) 1) $ ямар ч асуулт гаргахгүй бол цаашаа явцгаая. Хэрэв танд асуулт байвал тэмдэглэлийг өргөжүүлнэ үү.

Бид хөрвүүлсэн дүнг хэрхэн авсан бэ? харуулах\нуух

Бидэнд $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2() цуврал байсан. k+1)+1)$. $k+1$-ын оронд шинэ хувьсагчийг оруулъя - жишээ нь $t$. Тэгэхээр $t=k+1$.

Хуучин хувьсагч $k$ хэрхэн өөрчлөгдсөн бэ? Мөн 1-ээс $n$ болж өөрчлөгдсөн. $t$ шинэ хувьсагч хэрхэн өөрчлөгдөхийг олж мэдье. Хэрэв $k=1$ бол $t=1+1=2$. Хэрэв $k=n$ бол $t=n+1$. Тэгэхээр $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)$ илэрхийлэл нь одоо болж байна: $\sum\limits_(t=2)^(n) +1)\frac(1)(2т+1)$.

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1) )(2т+1). $$

Бидэнд $\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)$ нийлбэр байна. Асуулт: Энэ хэмжээгээр ямар үсэг хэрэглэх нь хамаагүй юу? :) Зүгээр л $t$-ийн оронд $k$ үсгийг бичихэд бид дараах зүйлийг олж авна.

$$ \sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k) +1). $$

Ингэж бид $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+) тэгш байдлыг олж авдаг. 1) \frac(1)(2k+1)$.

Тиймээс хэсэгчилсэн нийлбэрийг дараах байдлаар илэрхийлж болно.

$$ S_n=\нийлбэр\хязгаар_(k=1)^(n)\frac(1)(2к+1)-\нийлбэр\хязгаар_(k=1)^(n)\frac(1)(2к+3) )=\нийлбэр\хязгаар_(k=1)^(n)\frac(1)(2к+1)-\нийлбэр\хязгаар_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2к+1) ). $$

$\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ болон $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1) нийлбэрүүдийг анхаарна уу )(2k+1)$ нь зөвхөн нийлбэрийн хязгаарт ялгаатай. Эдгээр хязгаарлалтыг ижил болгоё. $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ нийлбэрээс эхний элементийг "зайлуулах" нь бидэнд дараах байдалтай байна:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(2\cdot 1+1)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(3)+\нийлбэр\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1). $$

$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)$ нийлбэрээс хамгийн сүүлийн элементийг “зайлаад” бид дараахыг авна:

$$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1) )+\frac(1)(2(n+1)+1)=\нийлбэр\хязгаар_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+ 3 ).$$

Дараа нь хэсэгчилсэн нийлбэрийн илэрхийлэл дараах хэлбэртэй болно.

$$ S_n=\нийлбэр\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k) +1)=\frac(1)(3)+\нийлбэр\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3)\баруун)=\\ =\frac(1)(3)+\нийлбэр\хязгаар_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2n+3)=\ frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Хэрэв та бүх тайлбарыг алгасвал n-р хэсэгчилсэн нийлбэрийн товчилсон томъёог олох үйл явц дараах хэлбэртэй болно.

$$ S_n=\нийлбэр\хязгаар_(k=1)^(n)u_k =\нийлбэр\хязгаар_(k=1)^(n)\frac(2)((2к+1)(2к+3)) = \нийлбэр\хязгаар_(k=1)^(n)\зүүн(\фрак(1)(2к+1)-\фрак(1)(2к+3)\баруун)=\\ =\нийлбэр\хязгаар_(к) =1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\frac(1)(3) +\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1) )+\frac(1)(2n+3)\баруун)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Бид $\frac(1)(2k+3)$ бутархайг $\frac(1)(2k+1)$ хэлбэрт оруулсныг сануулъя. Мэдээжийн хэрэг, та эсрэгээр нь хийж болно, i.e. $\frac(1)(2k+1)$ бутархайг $\frac(1)(2k+3)$ хэлбэрээр илэрхийлнэ. Хэсэгчилсэн нийлбэрийн эцсийн илэрхийлэл өөрчлөгдөхгүй. Энэ тохиолдолд би хэсэгчилсэн дүнг олох үйл явцыг тэмдэглэлийн доор нуух болно.

Хэрэв өөр бутархай руу хөрвүүлбэл $S_n$-г хэрхэн олох вэ? харуулах\нуух

$$ S_n =\нийлбэр\хязгаар_(k=1)^(n)\frac(1)(2к+1)-\нийлбэр\хязгаар_(k=1)^(n)\frac(1)(2к+3) ) =\нийлбэр\хязгаар_(k=0)^(n-1)\фрак(1)(2к+3)-\нийлбэр\хязгаар_(k=1)^(n)\frac(1)(2к+3) )=\\ =\фрак(1)(3)+\нийлбэр\хязгаар_(k=1)^(n-1)\frac(1)(2к+3)-\зүүн(\нийлбэр\хязгаар_(k=) 1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2n+3)\баруун) =\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+ 3) ). $$

Тэгэхээр $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. $\lim_(n\to\infty)S_n$ хязгаарыг ол:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)\баруун)=\frac (1)(3)-0=\frac(1)(3). $$

Өгөгдсөн цуваа нийлдэг ба түүний нийлбэр $S=\frac(1)(3)$.

Хариулт: $S=\frac(1)(3)$.

Цувралын нийлбэрийг олох сэдвийн үргэлжлэлийг хоёр, гуравдугаар хэсэгт авч үзэх болно.