Орон зай дахь шугамуудын параллелизм. (2019)

Энэ хичээлээр бид огторгуй дахь параллель шулуунуудын сэдвээр үндсэн тодорхойлолт, теоремуудыг өгөх болно.
Хичээлийн эхэнд бид огторгуй дахь параллель шулуунуудын тодорхойлолтыг авч үзээд, огторгуйн аль ч цэгээр дамжуулан өгөгдсөн цэгтэй параллель зөвхөн нэг шулуун зурах боломжтой гэсэн теоремыг батлах болно. Дараа нь бид хавтгайтай огтлолцсон хоёр параллель шулууны тухай леммыг батална. Үүний тусламжтайгаар бид гурав дахь шугамтай параллель хоёр шулууны тухай теоремыг батлах болно.

Сэдэв: Шугаман ба хавтгайн параллелизм

Хичээл: Орон зай дахь параллель шугамууд. Гурван шугамын параллелизм

Планиметрийн хувьд бид параллель шугамыг аль хэдийн судалсан. Одоо бид орон зайд параллель шугамыг тодорхойлж, харгалзах теоремуудыг батлах хэрэгтэй.

Тодорхойлолт: Сансар огторгуйн хоёр шулуун нэг хавтгайд оршдог, огтлолцдоггүй бол тэдгээрийг параллель гэнэ (Зураг 1.).

Зэрэгцээ шугамын тэмдэглэгээ: a || б.

1. Аль шугамыг параллель гэж нэрлэдэг вэ?

2. Өгөгдсөн хоёр параллель шулууныг огтолж буй бүх шулуунууд нэг хавтгайд хэвтэж байгааг батал.

3. Шугаман нь шугамуудыг огтолдог ABТэгээд МЭӨзөв өнцгөөр. Шугамууд зэрэгцээ байна уу? ABТэгээд МЭӨ?

4. Геометр. 10-11-р анги: Сурагчдад зориулсан сурах бичиг боловсролын байгууллагууд(үндсэн ба профайлын түвшин) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5-р хэвлэл, засч залруулсан, өргөжүүлсэн - М.: Mnemosyne, 2008. - 288 х. : өвчтэй.

Энэ нийтлэлд бид гурван хэмжээст орон зайд шулуун шугамын тухай ойлголтыг ойлгох болно, сонголтуудыг авч үзэх болно харьцангуй байрлалШулуун шугамууд ба орон зайд шулуун шугамыг тодорхойлох үндсэн аргуудын талаар ярилцъя. Илүү сайн ойлгохын тулд бид график дүрслэлийг өгдөг.

Хуудасны навигаци.

Сансар огторгуйн шулуун шугам бол ойлголт юм.

Сансар огторгуй дахь параллель шугамын тодорхойлолтыг өгсний дараа бид тэдгээрийн ач холбогдлын дагуу шулуун шугамын чиглэлийн векторуудын талаар ярих хэрэгтэй. Энэ шулуун дээр эсвэл үүнтэй параллель шулуун дээр байрлах тэгээс бусад векторыг шугамын чиглэлийн вектор гэнэ. Шулуун шугамын чиглэлийн векторыг орон зайд шулуун шугамтай холбоотой асуудлыг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн ашигладаг.

Эцэст нь гурван хэмжээст орон зайд хоёр шугам огтлолцож болно. Орон зайн хоёр шулуун нэг хавтгайд ороогүй бол тэдгээрийг хазайлт гэнэ. Сансар огторгуй дахь хоёр шулууны харьцангуй байрлал нь биднийг огтлолцох шугамуудын хоорондох өнцөг гэсэн ойлголт руу хөтөлдөг.

Орон зайд шулуун шугамыг тодорхойлох аргууд.

Орон зайд шулуун шугамыг өвөрмөц байдлаар тодорхойлох хэд хэдэн арга байдаг. Голыг нь жагсаацгаая.

Шулуун шугам нь хоёр цэг, зөвхөн нэгийг дайран өнгөрдөг гэдгийг бид аксиомоос мэднэ. Тиймээс, хэрэв бид сансар огторгуйд хоёр цэгийг тэмдэглэвэл энэ нь тэдгээрийг дайран өнгөрөх шулуун шугамыг хоёрдмол утгагүй тодорхойлох боломжийг бидэнд олгоно.

Гурван хэмжээст орон зайд тэгш өнцөгт координатын системийг нэвтрүүлж, түүний хоёр цэгийн координатыг зааж шулуун шугамыг зааж өгсөн бол өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг үүсгэх боломж бидэнд байна.

Орон зайн шугамыг тодорхойлох хоёр дахь арга нь теорем дээр суурилдаг: өгөгдсөн шулуун дээр оршдоггүй огторгуйн аль ч цэгээр өгөгдсөнтэй параллель шугам дамждаг бөгөөд зөвхөн нэг нь.

Тиймээс, хэрэв бид шугам (эсвэл энэ шугамын сегмент) ба түүн дээр байхгүй цэгийг зааж өгвөл өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шугамтай параллель шугамыг өвөрмөц байдлаар тодорхойлно.

Та шугам өнгөрөх цэг болон түүний чиглэлийн векторыг зааж өгч болно. Энэ нь мөн шулуун шугамыг хоёрдмол утгагүй тодорхойлох боломжийг танд олгоно.

Хэрэв шулуун шугамыг тогтсон тэгш өнцөгт координатын системтэй харьцуулахад ийм байдлаар тодорхойлсон бол бид түүний орон зай дахь шулуун шугамын каноник тэгшитгэл, орон зай дахь шулуун шугамын параметрийн тэгшитгэлийг шууд бичиж болно.

Орон зайн шугамыг тодорхойлох дараах арга нь стереометрийн аксиом дээр суурилдаг: хэрэв хоёр хавтгай нь нийтлэг цэгтэй бол эдгээр хавтгайн бүх нийтлэг цэгүүд байрладаг нийтлэг шулуун шугамтай байна.

Ийнхүү огтлолцсон хоёр хавтгайг тодорхойлсноор бид огторгуйн шулуун шугамыг өвөрмөц байдлаар тодорхойлдог.

Орон зай дахь шугамыг тодорхойлох өөр нэг арга нь теоремоос (үүнийг нотлох баримтыг энэ өгүүллийн төгсгөлд жагсаасан номноос олж болно): хэрэв хавтгай ба түүн дотор оршдоггүй цэг өгөгдсөн бол нэг шугам өнгөрөх болно. энэ цэгээр дамжин ба перпендикуляр өгсөн онгоц.

Тиймээс шулуун шугамыг тодорхойлохын тулд та хүссэн шулуун шугамын перпендикуляр байх хавтгай ба энэ шулуун шугам өнгөрөх цэгийг зааж өгч болно.

Хэрэв өгөгдсөн тэгш өнцөгт координатын системтэй харьцуулахад шугамыг ийм байдлаар зааж өгсөн бол өгөгдсөн хавтгайд перпендикуляр өгөгдсөн цэгээр дамжин өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийн талаархи өгүүллийн материалыг мэдэх нь ашигтай байх болно.

Ном зүй.

• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Е.Г., Юдина И.И. Геометр. 7-9-р анги: Ерөнхий боловсролын сургалтын байгууллагын сурах бичиг.
• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Е.Г. Геометр. Ерөнхий боловсролын сургуулийн 10-11-р ангийн сурах бичиг.
• Бугров Я.С., Никольский С.М. Дээд математик. Нэгдүгээр боть: Элементүүд шугаман алгебрба аналитик геометр.
• Ильин В.А., Позняк Е.Г. Аналитик геометр.

Ухаалаг оюутнуудын зохиогчийн эрх

Бүх эрх хуулиар хамгаалагдсан.
Зохиогчийн эрхийн хуулиар хамгаалагдсан. Зохиогчийн эрх эзэмшигчийн урьдчилан бичгээр зөвшөөрөл авалгүйгээр сайтын аль ч хэсгийг, түүний дотор дотоод материал, гадаад үзэмжийг ямар ч хэлбэрээр хуулбарлаж, ашиглахыг хориглоно.

Таны хувийн нууцыг хадгалах нь бидний хувьд чухал юм. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын практикийг хянаж үзээд асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.

Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах

Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.

Та бидэнтэй холбоо барихдаа хүссэн үедээ хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.

Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.

Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг вэ:

• Таныг сайт дээр өргөдөл гаргах үед бид таны нэр, утасны дугаар, хаяг зэрэг янз бүрийн мэдээллийг цуглуулж болно Имэйлгэх мэт.

Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:

• Манайх цуглуулсан хувийн мэдээлэлБид тантай холбоо барьж, өвөрмөц санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар танд мэдээлэх боломжийг олгодог.
• Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээж болно.
• Мөн бид үзүүлж буй үйлчилгээгээ сайжруулах, танд үйлчилгээнийхээ талаар зөвлөмж өгөх зорилгоор аудит хийх, мэдээллийн дүн шинжилгээ хийх, төрөл бүрийн судалгаа хийх зэрэг хувийн мэдээллийг дотоод зорилгоор ашиглаж болно.
• Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй сурталчилгаанд оролцсон бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.

Гуравдагч этгээдэд мэдээллийг задруулах

Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.

Үл хамаарах зүйл:

• Шаардлагатай тохиолдолд - хуульд заасан журмын дагуу, шүүхийн журмаар, мөн/эсвэл олон нийтийн хүсэлт, хүсэлтийг үндэслэн төрийн байгууллагуудОХУ-ын нутаг дэвсгэр дээр - хувийн мэдээллээ задруулах. Аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтийн ач холбогдолтой зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой.
• Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх, худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох өв залгамжлагч гуравдагч этгээдэд шилжүүлж болно.

Хувийн мэдээллийг хамгаалах

Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, зүй бусаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.

Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хүндэтгэх

Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын стандартыг ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.

Орон зай дахь хоёр шугамыг янз бүрийн аргаар байрлуулж болно. Юуны өмнө, хоёр шулуун шугам нь нийтлэг цэгтэй байж магадгүй юм. Дараа нь тэд нэг хавтгайд хэвтэж байгаа нь ойлгомжтой. Үнэн хэрэгтээ, ийм хавтгайг бүтээхийн тулд үүнийг гурван цэгээр зурахад хангалттай: заасан шугамын огтлолцлын А цэг (Зураг 323) ба шулуун дээр тус тус авсан С ба В цэгүүд. Шугаман тус бүртэй хоёр нийтлэг цэгтэй тул онгоц нь хоёр шулууныг агуулна.

Одоо эдгээр шугамууд нийтлэг цэггүй байг. Энэ нь параллелизмын тодорхойлолтод шугамууд нэг хавтгайд хамаарахыг заасан тул тэдгээр нь зэрэгцээ байна гэсэн үг биш юм. Шулуун шугамынхаа байршлын тухай асуултыг шийдэхийн тулд жишээлбэл, тэдгээрийн аль нэгээр нь K хавтгайг, жишээлбэл, өөр шулуун дээр дур мэдэн авсан А цэгийг зурж үзье.Хоёр тохиолдол боломжтой:

1) Баригдсан хавтгай нь хоёр дахь шулуун шугамыг бүхэлд нь агуулна (Зураг 324). Энэ тохиолдолд шулуун шугамууд нь нэг хавтгайд хамаарах бөгөөд огтлолцохгүй тул параллель байна.

2) X хавтгай нь шугамыг А цэг дээр огтолно. Дараа нь хоёр шулуун нэг хавтгайд хэвтэхгүй. Ийм шугамыг огтлолцох шугам гэж нэрлэдэг (Зураг 325).

Тиймээс хоёр шугамын харьцангуй байрлалын гурван үндсэн боломжит тохиолдол байдаг.

1. Шулуунууд нэг хавтгайд хэвтэж, огтлолцоно.

2. Шулуунууд нэг хавтгайд орших ба зэрэгцээ байна.

3. Шулуун шугамууд огтлолцдог, өөрөөр хэлбэл нэг хавтгайд хэвтдэггүй.

Жишээ. Кубын 12 ирмэгээс хос шулуун шугам үүсгэж болно. Үүнээс 24 хос огтлолцох, 24 хос огтлолцох, 18 хос зэрэгцээ шугам байна. Уншигч үүнийг загвар эсвэл зургаас зөв эсэхийг шалгах болно.

Сансар огторгуйд параллель шугамын постулат хүчинтэй хэвээр байгааг анхаарна уу.

Шугамын гаднах цэгээр дамжуулан зөвхөн нэг шугамтай параллель байна.

Үнэн хэрэгтээ шулуун шугам ба түүний гадна талд өгөгдсөн цэг нь өгөгдсөн шулуунтай параллель байх шаардлагатай шулуун шугам байх ёстой хавтгайг тодорхойлдог бөгөөд түүний өвөрмөц байдал нь параллелуудын постулатаас үүсдэг.

Зэрэгцээ шугамын шинж чанартай холбоотой хоёр алдартай планиметрийн санал нь орон зайн хувьд тусгай үндэслэл шаарддаг гэдгийг анхаарна уу (232-р зүйлийг үз).

Хэрэв хоёр шугам гуравны нэгтэй зэрэгцээ байвал тэдгээр нь хоорондоо параллель байна; зэрэгцээ ба ижил чиглэсэн талуудтай хоёр өнцөг нь тэнцүү байна.

Эдгээр саналын хоёр дахь саналын тухайд бид огтлолцох шугамын хоорондох өнцгийн тодорхойлолтыг үүн дээр үндэслэсэн болохыг тэмдэглэж байна: хоёр огтлолцох шугамын хоорондох өнцөг нь тэдгээртэй параллель ба дурын M цэгээр татсан хоёр шугамын хоорондох өнцөг юм. Мэдээжийн хэрэг, ийм тодорхойлолт нь өнцөг нь M цэгийн сонголтоос хамааралгүй гэсэн таамаглал дээр суурилдаг (232-р зүйлийг үз).

Өгөгдсөн цэгээс шулуун руу унасан перпендикуляр гэдэг нь өгөгдсөн цэгээс өгөгдсөн шулуун руу тэгш өнцөгт татагдсан, түүнийг огтолж буй шулуун шугамыг ойлгоно. Шулуун дээр хэвтдэггүй цэгээр дамжуулан түүнд нэг перпендикуляр зурж болно.

Үнэн хэрэгтээ, шаардлагатай перпендикуляр нь өгөгдсөн шугам, цэгээр тодорхойлогдсон хавтгайд байх ёстой тул планиметрийн заалтууд үүнд хамаарна. Гэсэн хэдий ч шулуун дээр хэвтэж буй цэгээс түүнд хязгааргүй тооны перпендикуляр зурж болно: энэ шугамаар зурсан хавтгай бүрт нэг.