Гурвалжны өнцгүүдийн нийлбэр. Гурвалжны өнцгийн нийлбэр теорем

Теорем. Гурвалжны дотоод өнцгийн нийлбэр нь хоёр тэгш өнцөгтэй тэнцүү байна.

ABC гурвалжинг авъя (Зураг 208). Түүний дотоод өнцгийг 1, 2, 3 тоогоор тэмдэглэе. Үүнийг баталъя

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

Гурвалжны зарим оройгоор, жишээ нь В, АС-тай параллель MN шулуун шугамыг татъя.

В орой дээр бид ∠4, ∠2, ∠5 гэсэн гурван өнцөг авсан. Тэдний нийлбэр нь шулуун өнцөг тул 180°-тай тэнцүү байна.

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.

Харин ∠4 = ∠1 нь MN ба AC параллель шулуунууд ба AB зүсэлттэй хөндлөн огтлолын дотоод өнцөг юм.

∠5 = ∠3 - эдгээр нь MN ба AC параллель шугам, BC зүсэлт бүхий дотоод хөндлөн өнцөг юм.

Энэ нь ∠4 ба ∠5-ийг тэдгээрийн тэнцүү ∠1 ба ∠3-аар сольж болно гэсэн үг.

Тиймээс ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180° байна. Теорем нь батлагдсан.

2. Гурвалжны гадаад өнцгийн шинж чанар.

Үнэн хэрэгтээ ABC гурвалжинд (Зураг 209) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3, гэхдээ бас ∠ВСD, энэ гурвалжны ∠1 ба ∠2-тай зэргэлдээгүй гадаад өнцөг нь мөн 180°-тай тэнцүү байна. - ∠3.

Тиймээс:

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;

∠BCD = 180° - ∠3.

Тиймээс ∠1 + ∠2= ∠BCD.

Гурвалжны гадна талын өнцгийн үүсмэл шинж чанар нь гурвалжны гадна талын өнцгийн тухай өмнө нь нотлогдсон теоремын агуулгыг тодруулж, зөвхөн гурвалжны гаднах өнцөг нь түүнтэй зэргэлдээгүй гурвалжны дотоод өнцөг бүрээс их байна гэж заасан; одоо гадаад өнцөг нь түүнтэй зэргэлдээгүй дотоод өнцгийн нийлбэртэй тэнцүү болохыг тогтоожээ.

3. 30° өнцөгтэй тэгш өнцөгт гурвалжны өмч.

ACB тэгш өнцөгт гурвалжны B өнцөг 30°-тай тэнцүү байна (Зураг 210). Дараа нь түүний бусад хурц өнцөг нь 60 ° -тай тэнцүү байх болно.

Хөлийн АС нь AB гипотенузын талтай тэнцүү гэдгийг баталцгаая. АС хөлийг C зөв өнцгийн оройноос цааш сунгаж, АС хэрчимтэй тэнцэх CM хэрчмийг хойш тавья. М цэгийг В цэгтэй холбоно. Үүссэн ВСМ гурвалжин нь ACB гурвалжинтай тэнцүү байна. ABM гурвалжны өнцөг бүр нь 60°-тай тэнцүү тул энэ гурвалжин нь тэгш талт гурвалжин юм.

Хөлийн АС нь AM-ийн хагастай тэнцүү бөгөөд AM нь AB-тай тэнцүү тул AC хөл нь AB гипотенузын талтай тэнцүү байх болно.

Өчигдрийн дараа:

Геометрийн үлгэр дээр үндэслэсэн мозайкаар тоглоцгооё.

Нэгэн цагт гурвалжингууд байсан. Тэд бие биенийхээ хуулбар төдий болохоор адилхан.
Тэд ямар нэгэн байдлаар зэрэгцэн нэг шулуун шугаманд зогсов. Тэд бүгд ижил өндөртэй байсан тул -
Дараа нь тэдний орой нь захирагчийн дор ижил түвшинд байв.

Гурвалжингууд унаж, толгой дээрээ зогсох дуртай байв. Тэд дээд эгнээнд авирч, акробатчид шиг буланд зогсов.
Мөн бид аль хэдийн мэдэж байсан - тэд оройгоо яг нэг эгнээнд байрлуулах үед
Дараа нь тэдний ул нь захирагчийг дагадаг - учир нь хэрэв хэн нэгэн ижил өндөртэй бол тэд мөн адил өндөртэй байдаг!

Тэд бүх зүйлд адилхан байсан - ижил өндөр, ижил ул,
ба хажуугийн гулсуурууд - нэг нь эгц, нөгөө нь илүү хавтгай - урт нь ижил байна
мөн тэдгээр нь ижил налуутай. За, зүгээр л ихрүүд! (зөвхөн өөр хувцастай, тус бүр өөрийн гэсэн оньсоготой).

- Гурвалжингууд хаана ижил талуудтай вэ? Хаана ижил булангууд байдаг вэ?

Гурвалжингууд толгой дээрээ зогсож, тэндээ зогсож, гулсаж, доод эгнээнд хэвтэхээр шийдэв.
Тэд толгодоор гулсаж, гулсаж; гэхдээ тэдний слайдууд адилхан!
Тиймээс тэд доод гурвалжны хооронд яг таарч, цоорхойгүй, хэн ч хэнийг ч хажуу тийш нь түлхсэнгүй.

Бид гурвалжнуудын эргэн тойронд хараад сонирхолтой шинж чанарыг анзаарсан.
Тэдний өнцөг хаана ч нийлсэн гурван өнцөг нь гарцаагүй уулзана.
хамгийн том нь "толгойн өнцөг", хамгийн хурц өнцөг, гурав дахь нь дунд зэргийн том өнцөг юм.
Тэд аль нь вэ гэдэг нь шууд тодорхой болохын тулд өнгөт тууз уясан.

Гурвалжны гурван өнцөг, хэрэв та тэдгээрийг нэгтгэвэл -
нэг том өнцгийг бүрдүүлдэг "нээлттэй булан" - нээлттэй номын хавтас шиг,

______________________О ___________________

үүнийг эргэх өнцөг гэж нэрлэдэг.

Аливаа гурвалжин нь паспорттай адил юм: гурван өнцөг нь нийлсэн өнцөгтэй тэнцүү байна.
Хэн нэгэн таны хаалгыг тогшлоо: - knock-knock, би гурвалжин байна, намайг хонуулахыг зөвшөөрнө үү!
Тэгээд чи түүнд хэлээрэй - Өргөтгөсөн хэлбэрээр өнцгүүдийн нийлбэрийг надад үзүүлээрэй!
Энэ нь жинхэнэ гурвалжин уу эсвэл хуурамч уу гэдэг нь шууд тодорхой болно.
Баталгаажуулалт амжилтгүй болсон - Зуун наян градус эргэж, гэртээ харь!

Тэд "180 ° эргэх" гэж хэлэхэд энэ нь арагшаа эргэх гэсэн үг юм
эсрэг чиглэлд яв.

"Нэг удаа" гэхгүйгээр илүү танил хэллэгээр ижил зүйл:

OX тэнхлэгийн дагуу ABC гурвалжны зэрэгцээ орчуулгыг хийцгээе
вектор руу AB AB суурийн урттай тэнцүү.
Гурвалжны C ба C 1 оройг дайран өнгөрөх DF шугам
OX тэнхлэгтэй параллель, учир нь OX тэнхлэгт перпендикуляр байна
h ба h 1 сегментүүд (тэнцүү гурвалжны өндөр) тэнцүү байна.
Тиймээс A 2 B 2 C 2 гурвалжны суурь нь АВ суурьтай параллель байна
урттай тэнцүү байна (С 1 орой нь С-тэй харьцангуй AB хэмжээгээр шилжсэн тул).
Гурван талдаа A 2 B 2 C 2 ба ABC гурвалжин тэнцүү байна.
Иймд шулуун өнцөг үүсгэгч ∠A 1 ∠B ∠C 2 өнцөг нь ABC гурвалжны өнцөгтэй тэнцүү байна.
=> Гурвалжны өнцгүүдийн нийлбэр нь 180° байна

Хөдөлгөөний тусламжтайгаар - "орчуулга" гэж нэрлэгддэг нотолгоо нь илүү богино бөгөөд илүү тодорхой болно.
Хүүхэд хүртэл мозайкийн хэсгүүдийг ойлгож чадна.

Гэхдээ уламжлалт сургууль:

зэрэгцээ шугамууд дээр таслагдсан дотоод хөндлөн огтлолын өнцгийн тэгш байдал дээр үндэслэсэн

Энэ нь яагаад ийм болсон талаар санаа өгдөгөөрөө үнэ цэнэтэй,
Яагаадгурвалжны өнцгүүдийн нийлбэр нь урвуу өнцөгтэй тэнцүү вэ?

Учир нь тэгэхгүй бол параллель шугамууд нь манай ертөнцөд танил болсон шинж чанартай байх ёсгүй.

Теоремууд хоёр талдаа ажилладаг. Зэрэгцээ шугамын аксиомоос энэ нь дараах байдалтай байна
хөндлөн хэвтэх ба босоо өнцгийн тэгш байдал, тэдгээрээс - гурвалжны өнцгийн нийлбэр.

Гэхдээ эсрэгээр нь бас үнэн: гурвалжны өнцөг нь 180 ° байхад параллель шулуунууд байдаг.
(шугам дээр хэвтээгүй цэгээр дамжуулан өгөгдсөн шугамын өвөрмөц || шугамыг зурж болно).
Хэзээ нэгэн цагт дэлхий дээр өнцгүүдийн нийлбэр нь нээгдээгүй өнцөгтэй тэнцүү биш гурвалжин гарч ирвэл -
тэгвэл параллель нь параллель байхаа больж, дэлхий бүхэлдээ нугалж, хазайх болно.

Гурвалжин хээтэй судлууд нь нэг нэгнийхээ дээр байрлуулсан бол -
Та талбайг бүхэлд нь давтан хэв маягаар бүрхэж болно, жишээ нь хавтанцартай шал шиг:

Та ийм торонд янз бүрийн хэлбэр дүрсийг зурж болно - зургаан өнцөгт, ромбус,
одны олон өнцөгт болон төрөл бүрийн паркет авах

Онгоцыг паркетанаар хавтанцар хийх нь зөвхөн хөгжилтэй тоглоом төдийгүй математикийн чухал асуудал юм.

________________________________________ _______________________-------__________ ________________________________________ ______________
/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\=/\__||_/ \__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\

Дөрвөн өнцөгт бүр тэгш өнцөгт, дөрвөлжин, ромб гэх мэт байдаг тул
хоёр гурвалжингаас бүрдэж болно,
Дөрвөн өнцөгтийн өнцгийн нийлбэр: 180° + 180° = 360°

Ижил тэгш өнцөгт гурвалжныг янз бүрийн аргаар квадрат болгон нугалав.
2 хэсгээс бүрдсэн жижиг дөрвөлжин. Дунджаар 4. Мөн 8-ын хамгийн том нь.
Зурганд 6 гурвалжингаас бүрдсэн хэдэн дүрс байгаа вэ?

Гурвалжны өнцгүүдийн нийлбэр 180 градустай тэнцүү гэдгийг та баталж чадах уу? мөн хамгийн сайн хариултыг авсан

Top_ed[guru]-н хариулт
Яагаад аль хэдийн маш, маш удаан хугацааны өмнө батлагдсан зүйлийг батлах гэж.
Евклидийн геометрийн сонгодог теорем болох гурвалжны өнцгийн нийлбэр теорем нь
Гурвалжны өнцгүүдийн нийлбэр нь 180° байна.
ABC нь дурын гурвалжин байг. В оройгоор AC шулуунтай параллель шугам татъя. А ба D цэгүүд ВС шулууны эсрэг талд байхаар D цэгийг тэмдэглэе.
DBC ба ACB өнцөг нь AC ба BD параллель шугамтай хөндлөн BC-ээс үүссэн дотоод хөндлөн огтлолтой өнцөгүүдтэй тохирч байна. Иймд гурвалжны B ба C орой дээрх өнцгүүдийн нийлбэр нь ABD өнцөгтэй тэнцүү байна.
Гурвалжны бүх гурван өнцгийн нийлбэр нь ABD ба BAC өнцгүүдийн нийлбэртэй тэнцүү байна. Эдгээр нь параллель АС ба BD ба AB огтлолын нэг талт дотоод өнцөг тул тэдгээрийн нийлбэр нь 180° байна. Теорем нь батлагдсан.

-аас хариу Бориска(в)[гуру]
Би чадна, гэхдээ яаж гэдгийг санахгүй байна))

-аас хариу Мурашкина[гуру]
Чадах. Энэ нь танд яаралтай байна уу? ? Та тавдугаар ангийн шалгалт өгч байна уу? ? :))

-аас хариу Орий Семыкин[гуру]
1. Энэ нь орон зайн геометрээс хамаарна. Риманы онгоц > 180, талбай дээр. Лобачевский< 180. На Эвклидовой - равенство.
2. Оройгоор аль нэг талдаа параллель шугам зурж, хоёр тал болон нэмэлт шугамаас үүссэн хөндлөн өнцгийг шалгана. Үүссэн өнцөг (180) нь гурвалжны гурван өнцгийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Нотолгоо нь үндсэндээ зөвхөн нэг зэрэгцээ шугам зурж болно гэсэн баримт дээр тулгуурладаг. Энэ нь тийм биш олон геометрийн хэлбэрүүд байдаг.

-аас хариу Юрий[гуру]
Яагаад батлагдсан зүйлээ батлах вэ?)) Хэрэв та шинэ зүйл хүсч байвал квадратыг хоёр хэсэгт хуваана уу))

-аас хариу Николай Евгеньевич[гуру]
Би чадахгүй.

-аас хариу Алекс Бричка[шинжээч]
Тиймээ, энд нотлох зүйл алга, та зүгээр л бие биендээ өнцөг нэмэх хэрэгтэй, тэгээд л болоо.

-аас хариу 2 хариулт[гуру]

Сайн уу? Гурвалжны өнцгүүдийн нийлбэр нь 180 градустай тэнцүү гэдгийг та баталж чадах уу?