1º. Экспоненциал тэгшитгэлиндекст хувьсагч агуулсан тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь хүчнүүдийн өмч дээр суурилдаг: ижил суурьтай хоёр зэрэглэл нь тэдгээрийн илтгэгч нь тэнцүү байх тохиолдолд тэнцүү байна.

2º. Экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсэн аргууд:

1) хамгийн энгийн тэгшитгэл нь шийдэлтэй;

2) суурьтай логарифм хэлбэрийн тэгшитгэл а хэлбэрт оруулах;

3) хэлбэрийн тэгшитгэл нь тэгшитгэлтэй тэнцүү байна;

4) хэлбэрийн тэгшитгэл тэгшитгэлтэй тэнцүү байна.

5) хэлбэрийн тэгшитгэлийг тэгшитгэлд орлуулах замаар багасгаж, дараа нь энгийн экспоненциал тэгшитгэлийн багцыг шийднэ;

6) харилцан хамаарал бүхий тэгшитгэл орлуулах замаар тэд тэгшитгэл болгон бууруулж, дараа нь тэгшитгэлийн багцыг шийднэ;

7) хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл a g(x)Тэгээд b g(x)үүнийг өгсөн төрлийн орлуулах замаар тэдгээрийг тэгшитгэл болгон бууруулж, дараа нь тэгшитгэлийн багцыг шийддэг.

Экспоненциал тэгшитгэлийн ангилал.

1. Нэг суурь руу шилжих замаар шийддэг тэгшитгэл.

Жишээ 18. Тэгшитгэлийг шийд .

Шийдэл: Бүх эрх мэдлийн суурь нь 5-ын тооны зэрэгтэй байдгийг ашиглацгаая: .

2. Нэг илтгэгч рүү шилжүүлэх замаар шийддэг тэгшитгэл.

Эдгээр тэгшитгэлийг анхны тэгшитгэлийг хэлбэрт шилжүүлэх замаар шийддэг , энэ нь пропорциональ шинж чанарыг ашиглан хамгийн энгийн болтол нь багасгасан.

Жишээ 19. Тэгшитгэлийг шийд:

3. Нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргаж шийддэг тэгшитгэл.

Хэрэв тэгшитгэл дэх илтгэгч бүр нь нөгөөгөөсөө тодорхой тоогоор ялгаатай бол хамгийн бага илтгэгчтэй илтгэгчийг хаалтнаас гаргаж тэгшитгэлийг шийднэ.

Жишээ 20. Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл: Тэгшитгэлийн зүүн талын хаалтанд хамгийн бага илтгэгчтэй градусыг авъя.

Жишээ 21. Тэгшитгэлийг шийд

Шийдэл: Тэгшитгэлийн зүүн талд 4-р суурьтай, баруун талд 3-р суурьтай зэрэгцүүдийг тус тусад нь бүлэглээд хамгийн бага илтгэгчтэй зэрэглэлүүдийг хаалтанд оруулъя.

4. Квадрат (эсвэл куб) тэгшитгэл болгон бууруулсан тэгшитгэл.

Дараахь тэгшитгэлийг шинэ y хувьсагчийн квадрат тэгшитгэл болгон буурууллаа.

a) энэ тохиолдолд орлуулах төрөл;

б) орлуулалтын төрөл ба .

Жишээ 22. Тэгшитгэлийг шийд .

Шийдэл: Хувьсагчийн өөрчлөлт хийж, квадрат тэгшитгэлийг шийдье:

.

Хариулт: 0; 1.

5. Экспоненциал функцүүдийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл.

Маягтын тэгшитгэл нь үл мэдэгдэхтэй харьцуулахад хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл юм а хТэгээд б х. Ийм тэгшитгэлийг эхлээд хоёр талыг нь хувааж, дараа нь квадрат тэгшитгэл болгон орлуулах замаар багасгадаг.

Жишээ 23. Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл: Тэгшитгэлийн хоёр талыг дараахь байдлаар хуваа.

Тавьснаар бид үндэстэй квадрат тэгшитгэлийг олж авна.

Одоо асуудал нь тэгшитгэлийн багцыг шийдэх явдал юм . Эхний тэгшитгэлээс бид үүнийг олж мэднэ. Хоёр дахь тэгшитгэл нь ямар ч утгын хувьд үндэсгүй x.

Хариулт: -1/2.

6. Экспоненциал функцүүдийн хувьд рационал тэгшитгэл.

Жишээ 24. Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл: Бутархайн хуваагч ба хуваагч 3 xХоёрын оронд бид нэг экспоненциал функцийг авна:

7. Маягтын тэгшитгэл .

Нөхцөлөөр тодорхойлогдсон зөвшөөрөгдөх утгуудын багц (APV) бүхий ийм тэгшитгэлийг тэгшитгэлийн хоёр талын логарифмыг авч эквивалент тэгшитгэл болгон бууруулж, энэ нь эргээд хоёр тэгшитгэлийн багцтай тэнцэнэ.

Жишээ 25. Тэгшитгэлийг шийд: .

.

Дидактик материал.

Тэгшитгэлийг шийд:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

9. ; 10. ; 11. ;

14. ; 15. ;

16. ; 17. ;

18. ; 19. ;

20. ; 21. ;

22. ; 23. ;

24. ; 25. .

26. Тэгшитгэлийн язгуурын үржвэрийг ол .

27. Тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэрийг ол .

Илэрхийллийн утгыг ол:

28. , хаана x 0- тэгшитгэлийн үндэс;

29. , хаана x 0– тэгшитгэлийн бүх үндэс .

Тэгшитгэлийг шийд:

31. ; 32. .

Хариултууд: 10; 2. -2/9; 3. 1/36; 4. 0, 0.5; 50; 6.0; 7. -2; 8.2; 9. 1, 3; 10. 8; 11.5; 12.1; 13. ¼; 14.2; 15. -2, -1; 16. -2, 1; 17.0; 18.1; 19.0; 20. -1, 0; 21. -2, 2; 22. -2, 2; 23.4; 24. -1, 2; 25. -2, -1, 3; 26. -0.3; 27.3; 28.11; 29.54; 30. -1, 0, 2, 3; 31. ; 32. .

Сэдэв No8.

Экспоненциал тэгш бус байдал.

1º. Экспонент дахь хувьсагчийг агуулсан тэгш бус байдлыг нэрлэнэ экспоненциал тэгш бус байдал.

2º. Маягтын экспоненциал тэгш бус байдлын шийдэл нь дараах мэдэгдлүүд дээр суурилдаг.

хэрэв , тэгш бус байдал нь тэнцүү байна;

бол тэгш бус байдал нь -тэй тэнцүү байна.

Экспоненциал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхтэй ижил аргыг ашигладаг.

Жишээ 26. Тэгш бус байдлыг шийд (нэг суурь руу шилжих арга).

Шийдэл: Учир нь , тэгвэл өгөгдсөн тэгш бус байдлыг дараах байдлаар бичиж болно. . -ээс хойш энэ тэгш бус байдал нь тэгш бус байдалтай тэнцүү байна .

Сүүлийн тэгш бус байдлыг шийдэж, бид .

Жишээ 27. Тэгш бус байдлыг шийд: ( нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргах замаар).

Шийдэл: Тэгш бус байдлын зүүн талд, баруун талд байгаа хаалтнаас гаргаж аваад тэгш бус байдлын хоёр талыг (-2) хувааж, тэгш бус байдлын тэмдгийг эсрэгээр нь өөрчилье.

Үүнээс хойш үзүүлэлтүүдийн тэгш бус байдал руу шилжих үед тэгш бус байдлын тэмдэг дахин эсрэгээр өөрчлөгдөнө. Бид авдаг. Тиймээс энэ тэгш бус байдлын бүх шийдлүүдийн багц нь интервал юм.

Жишээ 28. Тэгш бус байдлыг шийд ( шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх замаар).

Шийдэл: үзье. Дараа нь энэ тэгш бус байдал дараах хэлбэртэй болно. эсвэл , түүний шийдэл нь интервал .

Эндээс. Функц нэмэгдэх тул .

Дидактик материал.

Тэгш бус байдлын шийдлүүдийн багцыг тодорхойлно уу:

1. ; 2. ; 3. ;

6. Ямар үнэ цэнээр xФункцийн график дээрх цэгүүд шулуун шугамын доор байрладаг уу?

7. Ямар үнэ цэнээр xФункцийн график дээрх цэгүүд дор хаяж шулуун шугамаас бага байх уу?

Тэгш бус байдлыг шийд:

8. ; 9. ; 10. ;

13. Тэгш бус байдлын хамгийн том бүхэл тоон шийдийг тодорхойл .

14. Тэгш бус байдлын хамгийн том бүхэл ба хамгийн бага бүхэл тооны шийдүүдийн үржвэрийг ол .

Тэгш бус байдлыг шийд:

15. ; 16. ; 17. ;

18. ; 19. ; 20. ;

21. ; 22. ; 23. ;

24. ; 25. ; 26. .

Функцийн домайныг ол:

27. ; 28. .

29. Функц тус бүрийн утга 3-аас их байх аргументуудын багцыг ол.

Тэгээд .

Хариултууд: 11.3; 12.3; 13. -3; 14.1; 15. (0; 0.5); 16. ; 17. (-1; 0)U(3; 4); 18. [-2; 2]; 19. (0; +∞); 20. (0; 1); 21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0.5; +∞); 23. (0; 1); 24. (-1; 1); 25. (0; 2]; 26. (3; 3.5)U (4; +∞); 27. (-∞; 3)U(5);28.

Тэдгээрийн зарим нь танд илүү төвөгтэй мэт санагдаж болох ч зарим нь эсрэгээрээ хэтэрхий энгийн байдаг. Гэхдээ тэд бүгд нийтлэг нэг чухал онцлогтой: тэдгээрийн тэмдэглэгээ нь $f\left(x \right)=((a)^(x))$ экспоненциал функцийг агуулна. Ингээд тодорхойлолтыг танилцуулъя:

Экспоненциал тэгшитгэл нь экспоненциал функц агуулсан аливаа тэгшитгэл юм. $((a)^(x))$ хэлбэрийн илэрхийлэл. Заасан функцээс гадна ийм тэгшитгэл нь бусад алгебрийн бүтцийг агуулж болно - олон гишүүнт, үндэс, тригонометр, логарифм гэх мэт.

За тэгэхээр. Бид тодорхойлолтыг эрэмбэлсэн. Одоо асуулт гарч ирнэ: энэ бүх новшийг яаж шийдэх вэ? Хариулт нь энгийн бөгөөд төвөгтэй байдаг.

Сайн мэдээнээс эхэлцгээе: олон оюутнуудад хичээл зааж байсан туршлагаас харахад тэдний ихэнх нь экспоненциал тэгшитгэлийг ижил логарифмуудаас хамаагүй хялбар, бүр илүү тригонометрийг олдог гэж хэлж болно.

Гэхдээ муу мэдээ бий: заримдаа бүх төрлийн сурах бичиг, шалгалтын асуудал бичдэг хүмүүс "урам зориг"-д автдаг бөгөөд тэдний эмээр үрэвссэн тархи ийм харгис тэгшитгэлийг гаргаж эхэлдэг тул тэдгээрийг шийдвэрлэх нь зөвхөн оюутнуудад төдийгүй олон багш нарт ч хүндрэлтэй байдаг. ийм асуудал дээр гацах.

Гэсэн хэдий ч гунигтай зүйлийн талаар ярихаа больё. Тэгээд түүхийн эхэнд өгсөн тэр гурван тэгшитгэл рүү буцъя. Тэдгээрийг тус бүрээр нь шийдэхийг хичээцгээе.

Эхний тэгшитгэл: $((2)^(x))=4$. За, 4-ийн тоог авахын тулд 2-ын тоог ямар түвшинд өсгөх ёстой вэ? Магадгүй хоёр дахь нь юм болов уу? Эцсийн эцэст, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - мөн бид зөв тоон тэгшитгэлийг авсан, өөрөөр хэлбэл. үнэхээр $x=2$. За, баярлалаа Cap, гэхдээ энэ тэгшитгэл маш энгийн байсан тул миний муур хүртэл үүнийг шийдэж чадна. :)

Дараахь тэгшитгэлийг авч үзье.

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Гэхдээ энд энэ нь арай илүү төвөгтэй юм. Олон оюутнууд $((5)^(2))=25$ нь үржүүлэх хүснэгт гэдгийг мэддэг. Зарим нь мөн $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ нь үндсэндээ сөрөг хүчний тодорхойлолт ($((a)^(-n))= \ томьёотой төстэй гэж сэжиглэж байна. frac(1)(((a)^(n)))$).

Эцэст нь, цөөн хэдэн хүмүүс эдгээр баримтуудыг нэгтгэж, дараах үр дүнд хүрч болохыг ойлгодог.

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Тиймээс бидний анхны тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичих болно.

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Баруун сум ((5)^(2х-3))=((5)^(-2))\]

Гэхдээ энэ нь аль хэдийн бүрэн шийдэгдэх боломжтой! Тэгшитгэлийн зүүн талд экспоненциал функц, тэгшитгэлийн баруун талд экспоненциал функц байна, тэднээс өөр хаана ч байхгүй. Тиймээс бид суурийг "хаягдаж", үзүүлэлтүүдийг тэнэг байдлаар тэнцүүлж чадна.

Бид ямар ч сурагчийн хэдхэн мөрөнд шийдэж чадах хамгийн энгийн шугаман тэгшитгэлийг олж авсан. За, дөрвөн мөрөнд:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\төгсгөх(зохицуулах)\]

Хэрэв та сүүлийн дөрвөн мөрөнд юу болсныг ойлгохгүй байгаа бол "шугаман тэгшитгэл" сэдэв рүү буцаж очоод үүнийг давтана уу. Учир нь энэ сэдвийн талаар тодорхой ойлголтгүй бол экспоненциал тэгшитгэлийг авч үзэхэд эрт байна.

\[((9)^(x))=-3\]

Тэгэхээр бид үүнийг яаж шийдэх вэ? Эхлээд бодсон: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, тиймээс анхны тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

\[((\left(((3)^(2)) \баруун))^(x))=-3\]

Дараа нь бид хүчийг хүчирхэг болгон өсгөхөд илтгэгчийг үржүүлдэг гэдгийг санаж байна.

\[((\left(((3)^(2)) \баруун))^(x))=((3)^(2x))\Баруун сум ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\төгсгөх(зохицуулах)\]

Ийм шийдвэр гаргасны төлөө бид хоёрыг шударгаар авах болно. Учир нь бид Pokemon-ийн тэнцвэртэй байдлын үүднээс гурвын өмнө хасах тэмдгийг энэ гурвын хүч рүү илгээсэн. Гэхдээ та үүнийг хийж чадахгүй. Тийм учраас л. Гуравын өөр өөр хүчийг харна уу:

\[\begin(матриц) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\төгсгөл(матриц)\]

Энэ таблетыг эмхэтгэхдээ би юу ч гажуудуулаагүй: би эерэг хүчийг, сөрөг хүчийг, тэр ч байтугай бутархай хүчийг харлаа ... за, энд дор хаяж нэг сөрөг тоо хаана байна вэ? Тэр явчихсан! Энэ нь байж болохгүй, учир нь $y=((a)^(x))$ экспоненциал функц нь нэгдүгээрт, үргэлж зөвхөн эерэг утгыг авдаг (нэгийг хэчнээн үржүүлж, хоёроор хуваасан ч гэсэн энэ нь хэвээр байх болно. эерэг тоо), хоёрдугаарт, ийм функцийн суурь болох $a$ тоо нь тодорхойлолтоор эерэг тоо юм!

За тэгвэл $((9)^(x))=-3$ тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ? Гэхдээ ямар ч арга байхгүй: үндэс байхгүй. Энэ утгаараа экспоненциал тэгшитгэлүүд нь квадрат тэгшитгэлтэй маш төстэй байдаг - үндэс байхгүй байж болно. Харин квадрат тэгшитгэлд язгуурын тоог ялгаварлагчаар тодорхойлдог бол (эерэг дискриминант - 2 үндэс, сөрөг - үндэс байхгүй) экспоненциал тэгшитгэлд бүх зүйл тэнцүү тэмдгийн баруун талд байгаа зүйлээс хамаарна.

Тиймээс бид үндсэн дүгнэлтийг томъёоллоо: $((a)^(x))=b$ хэлбэрийн хамгийн энгийн экспоненциал тэгшитгэл нь $b \gt 0$ байвал үндэстэй байна. Энэхүү энгийн баримтыг мэдсэнээр та санал болгож буй тэгшитгэл нь үндэстэй эсэхийг амархан тодорхойлж чадна. Тэдгээр. Үүнийг огт шийдэх нь зүйтэй болов уу эсвэл үндэс байхгүй гэж шууд бичих нь зүйтэй болов уу.

Энэ мэдлэг нь илүү төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэхэд олон удаа туслах болно. Одоогоор дууны үг хангалттай байна - экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсэн алгоритмыг судлах цаг болжээ.

Экспоненциал тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ

Ингээд асуудлыг томъёолъё. Экспоненциал тэгшитгэлийг шийдэх шаардлагатай:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b \gt 0\]

Бидний өмнө нь хэрэглэж байсан "гэнэн" алгоритмын дагуу $b$ тоог $a$ тооны хүчээр илэрхийлэх шаардлагатай.

Үүнээс гадна $x$ хувьсагчийн оронд ямар нэгэн илэрхийлэл байвал бид аль хэдийн шийдэж болох шинэ тэгшитгэлийг авах болно. Жишээлбэл:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Баруун сум ((2)^(x))=((2)^(3))\Баруун сум x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Баруун сум ((3)^(-x))=((3)^(4))\Баруун сум -x=4\Баруун сум x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Баруун сум ((5)^(2x))=((5)^(3))\Баруун сум 2x=3\Баруун сум x=\frac(3)( 2). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Хачирхалтай нь энэ схем нь тохиолдлын 90% -д ажилладаг. Тэгвэл үлдсэн 10%-ийг яах вэ? Үлдсэн 10% нь бага зэрэг "шизофрени" экспоненциал тэгшитгэлүүд юм.

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

За, 3-ыг авахын тулд 2-ыг ямар хүчээр өсгөх хэрэгтэй вэ? Эхлээд? Гэхдээ үгүй: $((2)^(1))=2$ хангалттай биш. Хоёрдугаарт? Үгүй: $((2)^(2))=4$ хэт их байна. Тэгвэл аль нь вэ?

Мэдлэгтэй оюутнууд аль хэдийн таамаглаж байсан байх: ийм тохиолдолд үүнийг "сайхан" шийдэх боломжгүй үед "хүнд их буу" - логарифмууд гарч ирдэг. Логарифм ашиглан дурын эерэг тоог бусад эерэг тооны (нэгээс бусад) зэрэглэлээр илэрхийлж болно гэдгийг сануулъя.

Энэ томъёог санаж байна уу? Би оюутнууддаа логарифмын тухай ярихдаа үргэлж анхааруулдаг: энэ томьёо (энэ нь мөн л логарифмын үндсэн ижилсэл юмуу, хэрэв та хүсвэл логарифмын тодорхойлолт юм) таныг маш удаан хугацаанд зовоож, хамгийн их "үзэгдэх" болно. гэнэтийн газрууд. За, тэр гарч ирэв. Бидний тэгшитгэл болон энэ томьёог харцгаая.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\лог )_(б))а)) \\\төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \]

Хэрэв бид $a=3$ нь баруун талд байгаа бидний анхны тоо, харин $b=2$ нь баруун талыг нь багасгахыг хүсэж буй экспоненциал функцийн үндсэн суурь гэж үзвэл бид дараах зүйлийг олж авна.

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Баруун сум 3=((2)^(((\лог )_(2))3 ))) \\& ((2)^(x))=3\Баруун сум ((2)^(x))=((2)^(((\лог )_(2))3))\Баруун сум x=( (\log )_(2))3. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Бид бага зэрэг хачирхалтай хариулт авлаа: $x=((\log )_(2))3$. Бусад даалгаварт олон хүн ийм хариултанд эргэлзэж, шийдлээ дахин шалгаж эхэлдэг: хэрэв алдаа хаа нэгтээ орвол яах вэ? Би чамайг баярлуулах гэж яарч байна: энд алдаа байхгүй бөгөөд экспоненциал тэгшитгэлийн үндэс дэх логарифмууд нь ердийн нөхцөл байдал юм. Тиймээс дасаарай. :)

Одоо үлдсэн хоёр тэгшитгэлийг аналогиар шийдье.

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Баруун сум ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Баруун сум x=((\лог )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Баруун сум ((4)^(2х))=((4)^(((\лог )_(4))11))\Баруун сум 2x=( (\log )_(4))11\Баруун сум x=\frac(1)(2)((\лог )_(4))11. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Тэгээд л болоо! Дашрамд хэлэхэд сүүлчийн хариултыг өөрөөр бичиж болно.

Бид логарифмын аргументуудад үржүүлэгчийг нэвтрүүлсэн. Гэхдээ энэ хүчин зүйлийг суурь дээр нэмэхэд хэн ч саад болохгүй.

Түүнээс гадна, бүх гурван сонголт зөв - эдгээр нь ижил дугаарыг бичих өөр өөр хэлбэрүүд юм. Энэ шийдэлд алийг нь сонгох, бичих нь та өөрөө шийдэх болно.

Ийнхүү бид $((a)^(x))=b$ хэлбэрийн аливаа экспоненциал тэгшитгэлийг шийдэж сурсан бөгөөд энд $a$ ба $b$ тоонууд хатуу эерэг байдаг. Гэсэн хэдий ч манай дэлхийн хатуу ширүүн бодит байдал бол ийм энгийн ажлууд маш ховор тохиолддог. Ихэнхдээ та иймэрхүү зүйлтэй тулгарах болно:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3х)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Тэгэхээр бид үүнийг яаж шийдэх вэ? Үүнийг ерөөсөө шийдэж чадах уу? Хэрэв тийм бол яаж?

Бүү сандар. Эдгээр бүх тэгшитгэлүүд нь бидний аль хэдийн авч үзсэн энгийн томъёонд хурдан бөгөөд амархан буурдаг. Та зүгээр л алгебрийн хичээлээс хэд хэдэн заль мэхийг санах хэрэгтэй. Мэдээжийн хэрэг, зэрэгтэй ажиллах дүрэм байхгүй. Би энэ бүхний талаар одоо хэлье. :)

Экспоненциал тэгшитгэлийг хөрвүүлэх

Санаж байх ёстой хамгийн эхний зүйл бол ямар ч экспоненциал тэгшитгэлийг хичнээн төвөгтэй байсан ч хамаагүй хамгийн энгийн тэгшитгэл болгон багасгах ёстой - бидний өмнө нь авч үзсэн, хэрхэн шийдвэрлэхээ мэддэг. Өөрөөр хэлбэл аливаа экспоненциал тэгшитгэлийг шийдэх схем дараах байдалтай байна.

1. Анхны тэгшитгэлийг бичнэ үү. Жишээ нь: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Хачин жигтэй юм хий. Эсвэл бүр "тэгшитгэлийг хөрвүүлэх" гэж нэрлэдэг тэнэглэл;
3. Гаралт дээр $((4)^(x))=4$ эсвэл үүнтэй төстэй хэлбэрийн хамгийн энгийн илэрхийллүүдийг аваарай. Түүнээс гадна нэг анхны тэгшитгэл нь нэг дор хэд хэдэн ийм илэрхийлэл өгч болно.

Эхний цэг дээр бүх зүйл тодорхой байна - миний муур ч гэсэн тэгшитгэлийг цаасан дээр бичиж чадна. Гурав дахь цэг нь бас тодорхой юм шиг санагдаж байна - бид дээрх олон тэгшитгэлийг аль хэдийн шийдсэн.

Гэхдээ хоёр дахь цэгийн талаар юу хэлэх вэ? Ямар төрлийн өөрчлөлтүүд вэ? Юуг юу болгон хувиргах вэ? Мөн хэрхэн?

За, олж мэдье. Юуны өмнө би дараахь зүйлийг тэмдэглэхийг хүсч байна. Бүх экспоненциал тэгшитгэлийг хоёр төрөлд хуваадаг.

1. Тэгшитгэл нь ижил суурьтай экспоненциал функцээс бүрдэнэ. Жишээ нь: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Томъёо нь янз бүрийн суурьтай экспоненциал функцуудыг агуулдаг. Жишээ нь: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ болон $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09$.

Эхний төрлийн тэгшитгэлээс эхэлье - тэдгээрийг шийдвэрлэхэд хамгийн хялбар байдаг. Мөн тэдгээрийг шийдвэрлэхэд тогтвортой илэрхийлэлийг тодруулах гэх мэт техник бидэнд туслах болно.

Тогтвортой илэрхийлэлийг тусгаарлах

Энэ тэгшитгэлийг дахин харцгаая:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Бид юу харж байна вэ? Дөрөв нь өөр өөр түвшинд өргөгдсөн. Гэхдээ эдгээр бүх хүч нь $x$ хувьсагчийн бусад тоонуудын энгийн нийлбэрүүд юм. Тиймээс зэрэгтэй ажиллах дүрмийг санах нь зүйтэй.

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a) )^(y))). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Энгийнээр хэлбэл, нэмэхийг чадлын үржвэр болгон хувиргаж, хасахыг хялбархан хувааж болно. Эдгээр томьёог тэгшитгэлийнхээ градуст хэрэглэхийг хичээцгээе.

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\төгсгөл(зохицуулах)\]

Энэ баримтыг харгалзан анхны тэгшитгэлийг дахин бичиж, зүүн талд байгаа бүх нэр томъёог цуглуулцгаая.

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 - арван нэгэн; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Эхний дөрвөн нэр томьёо нь $((4)^(x))$ элементийг агуулж байна - үүнийг хаалтнаас гаргая:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \баруун)=-11. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Тэгшитгэлийн хоёр талыг $-\frac(11)(4)$ бутархайгаар хуваах нь хэвээр байна, i.e. үндсэндээ урвуу бутархайгаар үржүүлнэ - $-\frac(4)(11)$. Бид авах:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \баруун )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \баруун); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\& x=1. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Тэгээд л болоо! Бид анхны тэгшитгэлийг хамгийн энгийн хэлбэрт оруулж, эцсийн хариултыг авсан.

Үүний зэрэгцээ, шийдвэрлэх явцад бид $((4)^(x))$ нийтлэг хүчин зүйлийг олж илрүүлсэн (тэр ч байтугай хаалтнаас гаргасан) - энэ бол тогтвортой илэрхийлэл юм. Үүнийг шинэ хувьсагчаар тодорхойлж болно, эсвэл та үүнийг анхааралтай илэрхийлж, хариултыг авах боломжтой. Ямар ч тохиолдолд шийдлийн гол зарчим нь дараах байдалтай байна.

Эх тэгшитгэлээс бүх экспоненциал функцээс амархан ялгагдах хувьсагч агуулсан тогтвортой илэрхийллийг ол.

Сайн мэдээ гэвэл бараг бүх экспоненциал тэгшитгэл нь ийм тогтвортой илэрхийллийг тусгаарлах боломжийг олгодог.

Гэхдээ муу мэдээ гэвэл эдгээр илэрхийлэл нь нэлээд төвөгтэй бөгөөд тодорхойлоход нэлээд хэцүү байж болох юм. Тиймээс дахиад нэг асуудлыг авч үзье:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Магадгүй хэн нэгэнд "Паша, чи чулуу шидсэн үү?" Гэсэн асуулт гарч ирж магадгүй юм. Энд 5 ба 0.2 гэсэн өөр өөр суурь бий." Гэхдээ хүчийг 0.2 суурь болгон хувиргаж үзье. Жишээлбэл, аравтын бутархайг энгийн нэг болгон бууруулъя.

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \баруун))))=((\left(\frac(2)(10) ) \баруун))^(-\зүүн(x+1 \баруун))))=((\left(\frac(1)(5) \баруун))^(-\зүүн(x+1 \баруун)) )\]

Таны харж байгаагаар 5-ын тоо хэдийгээр хуваагчаар гарч ирсэн хэвээр байна. Үүний зэрэгцээ индикаторыг сөрөг гэж дахин бичсэн. Одоо зэрэгтэй ажиллах хамгийн чухал дүрмүүдийн нэгийг санацгаая.

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Баруун сум ((\зүүн(\frac(1)(5) \баруун))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \баруун))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Энд мэдээж би жаахан худлаа байсан. Учир нь бүрэн ойлголттой болохын тулд сөрөг үзүүлэлтүүдээс ангижрах томъёог дараах байдлаар бичих шаардлагатай байв.

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \баруун))^(n ))\Баруун сум ((\зүүн(\frac(1)(5) \баруун))^(-\зүүн(x+1 \баруун)))=((\зүүн(\frac(5)(1) \ баруун))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Нөгөөтэйгүүр, зөвхөн бутархайтай ажиллахад юу ч саад болоогүй:

\[((\left(\frac(1)(5) \баруун))^(-\left(x+1 \баруун)))=((\left(((5)^(-1)) \ баруун))^(-\зүүн(x+1 \баруун))))=((5)^(\left(-1 \баруун)\cdot \left(-\left(x+1 \баруун) \баруун) ))=((5)^(x+1))\]

Гэхдээ энэ тохиолдолд та хүчийг өөр хүч рүү өсгөх чадвартай байх хэрэгтэй (би танд сануулъя: энэ тохиолдолд үзүүлэлтүүдийг нэгтгэсэн болно). Гэхдээ би фракцуудыг "урвуу" болгох шаардлагагүй байсан - магадгүй энэ нь зарим хүмүүст илүү хялбар байх болно. :)

Ямар ч тохиолдолд анхны экспоненциал тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичнэ.

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Тиймээс анхны тэгшитгэлийг өмнө нь авч үзсэнээс хамаагүй хялбараар шийдэж болох нь харагдаж байна: энд та тогтвортой илэрхийлэл сонгох шаардлагагүй - бүх зүйл өөрөө багассан. Зөвхөн $1=((5)^(0))$ гэдгийг санахад л үлддэг бөгөөд үүнээс бид дараахь зүйлийг авдаг.

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& x=-2. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Энэ бол шийдэл! Бид эцсийн хариултыг авсан: $x=-2$. Үүний зэрэгцээ, бидний хувьд бүх тооцооллыг маш хялбаршуулсан нэг техникийг тэмдэглэхийг хүсч байна.

Экспоненциал тэгшитгэлд аравтын бутархайн бутархайг арилгаж, энгийн болгон хөрвүүлэхээ мартуузай. Энэ нь танд ижил түвшний суурьуудыг харж, шийдлийг ихээхэн хялбаршуулах боломжийг олгоно.

Хүчин чадлыг ашиглан бие биедээ багасгах боломжгүй өөр өөр суурьтай илүү төвөгтэй тэгшитгэлүүд рүү шилжье.

Degrees Property ашиглах

Бидэнд хоёр илүү хатуу тэгшитгэл байгааг сануулъя:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Энд байгаа гол хүндрэл нь юуг, ямар үндэслэлээр өгөх нь тодорхойгүй байна. Тогтвортой илэрхийллүүд хаана байна вэ? Ижил үндэслэлүүд хаана байна вэ? Эдгээрийн аль нь ч байхгүй.

Гэхдээ өөр замаар явахыг хичээцгээе. Хэрэв бэлэн ижил суурь байхгүй бол та одоо байгаа баазыг хүчин зүйлээр ялгах замаар олохыг оролдож болно.

Эхний тэгшитгэлээс эхэлье:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Баруун сум ((21)^(3x))=((\зүүн(7\cdot 3 \баруун))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Гэхдээ та эсрэгээр нь хийж болно - 7 ба 3-ын тооноос 21-ийг хий. Үүнийг зүүн талд хийхэд хялбар байдаг, учир нь хоёр зэрэглэлийн үзүүлэлтүүд ижил байна.

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \баруун))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3х)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Тэгээд л болоо! Та үржвэрийн гаднах экспонентыг аваад тэр даруй хэд хэдэн мөрөнд шийдэж болох сайхан тэгшитгэлтэй болсон.

Одоо хоёр дахь тэгшитгэлийг харцгаая. Энд бүх зүйл илүү төвөгтэй байдаг:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \баруун))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

Энэ тохиолдолд фракцууд нь буурах боломжгүй болсон боловч хэрэв ямар нэг зүйлийг багасгах боломжтой бол үүнийг багасгахаа мартуузай. Ихэнхдээ та аль хэдийн ажиллах боломжтой сонирхолтой шалтгаанууд гарч ирдэг.

Харамсалтай нь бидэнд онцгой зүйл тохиолдсонгүй. Гэхдээ бид бүтээгдэхүүний зүүн талын экспонентууд эсрэгээрээ байгааг харж байна.

Танд сануулъя: индикатор дахь хасах тэмдгээс ангижрахын тулд та зөвхөн бутархай хэсгийг "эргэх" хэрэгтэй. За, анхны тэгшитгэлийг дахин бичье:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \баруун))^(x-1))=\frac(9) )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \баруун))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \баруун))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Хоёрдахь мөрөнд бид $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a) дүрмийн дагуу хаалтанд байгаа үржвэрийн нийт илтгэгчийг зүгээр л гаргав. \cdot b \right))^ (x))$, сүүлчийнх нь тэд зүгээр л 100 тоог бутархайгаар үржүүлсэн.

Одоо зүүн (суурь) болон баруун талд байгаа тоонууд зарим талаараа төстэй байгааг анхаарна уу. Хэрхэн? Тийм ээ, энэ нь ойлгомжтой: тэдгээр нь ижил тооны хүч юм! Бидэнд байгаа:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac() 10)(3) \баруун))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \right)))^(2)). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Тиймээс бидний тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичих болно.

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \баруун))^(3)) \баруун))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10)\баруун))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \баруун))^(3)) \баруун))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \баруун))^(3\зүүн(x-1 \баруун))))=((\зүүн(\frac(10)(3) \баруун))^(3х-3))\]

Энэ тохиолдолд баруун талд та ижил суурьтай зэрэг авах боломжтой бөгөөд үүний тулд фракцыг "эргүүлэхэд" хангалттай.

\[((\left(\frac(3)(10) \баруун))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \баруун))^(-2))\]

Бидний тэгшитгэл эцэст нь дараах хэлбэртэй болно.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх)& ((\left(\frac(10)(3) \баруун))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \баруун)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Энэ бол шийдэл. Түүний гол санаа нь бид өөр өөр суурьтай байсан ч эдгээр суурийг ижил зүйл болгон багасгахыг дэгээ эсвэл дэгээгээр оролддог явдал юм. Тэгшитгэлийн анхан шатны хувиргалт ба хүчнүүдтэй ажиллах дүрмүүд үүнд тусалдаг.

Гэхдээ ямар дүрэм, хэзээ хэрэглэх вэ? Нэг тэгшитгэлд та хоёр талыг ямар нэгэн зүйлээр хуваах, нөгөөд экспоненциал функцийн суурийг хүчин зүйлээр тооцох шаардлагатайг хэрхэн ойлгох вэ?

Энэ асуултын хариулт нь туршлагаас ирэх болно. Эхлээд энгийн тэгшитгэл дээр гараа туршиж үзээрэй, дараа нь асуудлыг аажмаар хүндрүүлээрэй - удахгүй таны ур чадвар ижил Улсын нэгдсэн шалгалт эсвэл бие даасан/туршилтын аливаа экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хангалттай байх болно.

Энэ хүнд хэцүү ажилд танд туслахын тулд би үүнийг өөрөө шийдэхийн тулд өөрийн вэбсайтаас тэгшитгэлийн багцыг татаж авахыг санал болгож байна. Бүх тэгшитгэлүүд хариулттай тул та үргэлж өөрийгөө шалгаж болно.

Ер нь бэлтгэл сургуулилтаа амжилттай хийхийг хүсэн ерөөе. Дараагийн хичээл дээр уулзъя - дээр дурдсан аргууд хангалтгүй болсон үнэхээр нарийн төвөгтэй экспоненциал тэгшитгэлд дүн шинжилгээ хийх болно. Мөн энгийн сургалт хангалтгүй байх болно. :)

Жишээ нь:

\(4^x=32\)
\(5^(2х-1)-5^(2х-3)=4.8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Экспоненциал тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ

Аливаа экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ бид үүнийг \(a^(f(x))=a^(g(x))\) хэлбэрт хүргэж, дараа нь илтгэгчийн тэгшитгэл рүү шилжихийг эрмэлздэг, өөрөөр хэлбэл:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Жишээлбэл:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Чухал! Ижил логикоос харахад ийм шилжилтийн хоёр шаардлагыг дагаж мөрддөг.
- дугаараар зүүн ба баруун ижил байх ёстой;
- Зүүн ба баруун талын зэрэг нь "цэвэр" байх ёстой., өөрөөр хэлбэл үржүүлэх, хуваах гэх мэт зүйл байх ёсгүй.

Жишээлбэл:

Тэгшитгэлийг багасгахын тулд \(a^(f(x))=a^(g(x))\) хэлбэрийг ашиглана.

Жишээ . Экспоненциал тэгшитгэлийг шийднэ үү \(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Шийдэл:

\(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		\(27 = 3^3\) гэдгийг бид мэднэ. Үүнийг харгалзан бид тэгшитгэлийг өөрчилдөг.
\(\sqrt(3^3)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		\(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) язгуурын шинж чанараар бид \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). Дараа нь \((a^b)^c=a^(bc)\ зэрэглэлийн шинж чанарыг ашиглан \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ олж авна. (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Мөн \(a^b·a^c=a^(b+c)\) гэдгийг бид мэднэ. Үүнийг зүүн талд хэрэглэснээр бид дараахийг авна: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1.5 + x-1)=3^(x+0.5)\).
\(3^(x+0.5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Одоо үүнийг санаарай: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Энэ томьёог мөн эсрэг чиглэлд ашиглаж болно: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Дараа нь \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0.5)=(3^(-1))^(2x)\)		Баруун талд \((a^b)^c=a^(bc)\) өмчийг ашигласнаар бид дараахийг олж авна: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0.5)=3^(-2x)\)		Одоо бидний суурь тэнцүү, хөндлөнгийн коэффициент байхгүй гэх мэт. Тиймээс бид шилжилтийг хийж чадна.
		Жишээ . Экспоненциал тэгшитгэлийг шийднэ үү \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\) Шийдэл: \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\) Бид дахин \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) хүчийг эсрэг чиглэлд ашигладаг. \(4^x 4^(0.5)-5 2^x+2=0\) Одоо \(4=2^2\) гэдгийг санаарай. \((2^2)^x·(2^2)^(0.5)-5·2^x+2=0\) Зэрэглэлийн шинж чанарыг ашиглан бид дараахь зүйлийг хувиргана. \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0.5)=2^(2 0.5)=2^1=2.\) \(2·(2^x)^2-5·2^x+2=0\) Бид тэгшитгэлийг анхааралтай ажиглаж, орлуулах \(t=2^x\) нь өөрөө санал болгож байгааг харна. \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) Гэсэн хэдий ч бид \(t\) утгуудыг олсон бөгөөд бидэнд \(x\) хэрэгтэй. Бид урвуу орлуулалт хийж, X-д буцаж ирдэг. \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) Хоёр дахь тэгшитгэлийг сөрөг хүчний шинж чанарыг ашиглан хувиргацгаая... \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) ...хариулт хүртэл бид шийднэ. \(x_1=1\) \(x_2=-1\) Хариулт : \(-1; 1\). Асуулт хэвээр байна - аль аргыг хэзээ хэрэглэхийг хэрхэн ойлгох вэ? Энэ нь туршлагатай хамт ирдэг. Үүнийг боловсруулах хүртлээ нарийн төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэх ерөнхий зөвлөмжийг ашиглаарай - "хэрэв та юу хийхээ мэдэхгүй байгаа бол чадах зүйлээ хий." Өөрөөр хэлбэл, тэгшитгэлийг зарчмын хувьд хэрхэн хувиргаж болохыг хайж, үүнийг хийхийг оролдоорой - хэрвээ юу болбол яах вэ? Хамгийн гол нь зөвхөн математикт суурилсан хувиргалт хийх явдал юм. Шийдэлгүй экспоненциал тэгшитгэл Сурагчдыг төөрөгдүүлдэг өөр хоёр нөхцөл байдлыг харцгаая. - хүчин чадлын эерэг тоо нь тэгтэй тэнцүү, жишээлбэл, \(2^x=0\); - эерэг тоо нь сөрөг тооны зэрэгтэй тэнцүү, жишээлбэл, \(2^x=-4\). Харгис хүчээр шийдэх гэж оролдъё. Хэрэв x нь эерэг тоо бол х өсөх тусам бүх хүч \(2^x\) нэмэгдэх болно: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=2\); \(2^2=4\) \(x=3\); \(2^3=8\). \(x=0\); \(2^0=1\) Мөн. Сөрөг X хэвээр байна. \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\) өмчийг санаж, бид шалгана: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\) \(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) Хэдийгээр алхам тутамд энэ тоо багасч байгаа ч хэзээ ч тэгт хүрэхгүй. Тиймээс сөрөг зэрэг нь биднийг аварсангүй. Бид логик дүгнэлтэд хүрч байна: Ямар ч хэмжээгээр эерэг тоо эерэг тоо хэвээр үлдэнэ. Тиймээс дээрх хоёр тэгшитгэлд шийдэл байхгүй байна. Өөр өөр суурьтай экспоненциал тэгшитгэл Практикт заримдаа бид бие биедээ бууруулж болохгүй өөр өөр суурьтай, ижил илтгэгчтэй экспоненциал тэгшитгэлтэй тулгардаг. Тэд дараах байдлаар харагдана: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), \(a\) ба \(b\) нь эерэг тоо юм. Жишээлбэл: \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2х-1)=(\frac(1)(7))^(2х-1)\) Ийм тэгшитгэлийг тэгшитгэлийн аль нэг талд (ихэвчлэн баруун талд нь хуваадаг, өөрөөр хэлбэл \(b^(f(x))\) хуваах замаар амархан шийдэж болно. Эерэг тоо учраас та ингэж хувааж болно. ямар ч хүчинд эерэг байна (өөрөөр хэлбэл бид тэгээр хуваагддаггүй) Бид дараахь зүйлийг авна. \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) Жишээ . Экспоненциал тэгшитгэлийг шийднэ үү \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Шийдэл: \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Энд бид тавыг гурав болгон хувиргах боломжгүй, эсвэл эсрэгээр (ядаж ашиглахгүйгээр). Энэ нь бид \(a^(f(x))=a^(g(x))\ хэлбэрт орж чадахгүй гэсэн үг юм. Гэсэн хэдий ч үзүүлэлтүүд ижил байна. Тэгшитгэлийг баруун талд нь, өөрөөр хэлбэл \(3^(x+7)\)-д хуваая (бид гурав нь ямар ч хэмжээгээр тэг болохгүй гэдгийг мэдэж байгаа учраас үүнийг хийж чадна). \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) Одоо \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) шинж чанарыг санаж, зүүн талд нь эсрэг чиглэлд ашиглаарай. Баруун талд бид зүгээр л бутархайг багасгадаг. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) Бүх зүйл дээрдэхгүй байх шиг байна. Гэхдээ хүч чадлын бас нэг шинж чанарыг санаарай: \(a^0=1\), өөрөөр хэлбэл: "тэг зэрэглэлийн аль ч тоо \(1\)-тэй тэнцүү байна." Мөн эсрэгээр нь үнэн: "нэг нь тэг хүртэлх тоогоор илэрхийлэгдэж болно." Үүний давуу талыг баруун талын суурийг зүүн талынхтай адил болгоцгооё. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) Voila! Суурь зүйлсээсээ салцгаая. Бид хариу бичиж байна. Хариулт : \(-7\). Заримдаа илтгэгчийн "ижил байдал" нь тодорхойгүй байдаг ч илтгэгчийн шинж чанарыг чадварлаг ашиглах нь энэ асуудлыг шийддэг. Жишээ . Экспоненциал тэгшитгэлийг шийднэ үү \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Шийдэл: \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Тэгшитгэл маш гунигтай харагдаж байна... Суурийг ижил тоо болгон бууруулж болохгүй (долоо нь \(\frac(1)(3)\)-тай ямар ч тохиолдолд тэнцүү байх болно), гэхдээ бас илтгэгч нь өөр байна. .. Гэсэн хэдий ч зүүн талын илтгэгч хоёрыг ашиглая. \(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) \((a^b)^c=a^(b·c)\) шинж чанарыг санаж, бид зүүнээс хувиргана: \(7^(2(x-2))=7^(2·(x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\). \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Одоо сөрөг зэрэглэлийн шинж чанарыг санаж \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\) баруун талаас нь хувиргана: \((\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) Сайн уу! Шалгуур үзүүлэлтүүд ижил байна! Бидэнд аль хэдийн танил болсон схемийн дагуу ажиллаж, хариултаас өмнө шийддэг. Хариулт : \(2\).

Манай вэб сайтын youtube суваг руу орж бүх шинэ видео хичээлүүдийг цаг алдалгүй аваарай.

Нэгдүгээрт, эрх мэдлийн үндсэн томъёо, тэдгээрийн шинж чанарыг санацгаая.

Тооны бүтээгдэхүүн аөөрөө n удаа тохиолдвол бид энэ илэрхийллийг a … a=a n гэж бичиж болно

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Хүч эсвэл экспоненциал тэгшитгэл– эдгээр нь хувьсагч нь зэрэглэл (эсвэл илтгэгч) байх тэгшитгэл бөгөөд суурь нь тоо юм.

Экспоненциал тэгшитгэлийн жишээ:

Энэ жишээн дээр 6 тоо нь суурь бөгөөд энэ нь үргэлж доод талд, хувьсагч юм xзэрэг эсвэл үзүүлэлт.

Экспоненциал тэгшитгэлийн илүү жишээг өгье.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

Одоо экспоненциал тэгшитгэл хэрхэн шийдэгддэгийг харцгаая?

Энгийн тэгшитгэлийг авч үзье:

2 x = 2 3

Энэ жишээг таны толгойд ч шийдэж болно. Эндээс харахад x=3 байна. Эцсийн эцэст, зүүн ба баруун талууд тэнцүү байхын тулд та x-ийн оронд 3-ын тоог тавих хэрэгтэй.
Одоо энэ шийдвэрийг хэрхэн албан ёсны болгохыг харцгаая:

2 x = 2 3
x = 3

Ийм тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бид хассан ижил үндэслэлүүд(өөрөөр хэлбэл, хоёр) ба үлдсэнийг нь бичсэн, эдгээр нь градус юм. Бид хайж байсан хариултаа авсан.

Одоо шийдвэрээ нэгтгэн дүгнэе.

Экспоненциал тэгшитгэлийг шийдэх алгоритм:
1. Шалгах хэрэгтэй адилхантэгшитгэл баруун болон зүүн талд суурьтай эсэх. Хэрэв шалтгаан нь ижил биш бол бид энэ жишээг шийдэх хувилбаруудыг хайж байна.
2. Суурь нь ижил болсны дараа, тэнцүүлэхградус ба үүссэн шинэ тэгшитгэлийг шийд.

Одоо хэд хэдэн жишээг харцгаая:

Энгийн зүйлээс эхэлцгээе.

Зүүн ба баруун талын суурь нь 2-ын тоотой тэнцүү бөгөөд энэ нь бид суурийг хаяж, тэдгээрийн хүчийг тэнцүүлж чадна гэсэн үг юм.

x+2=4 Хамгийн энгийн тэгшитгэл олдлоо.
x=4 – 2
x=2
Хариулт: x=2

Дараах жишээн дээр та суурь нь өөр байгааг харж болно: 3 ба 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Эхлээд есийг баруун тийш шилжүүлбэл бид дараахь зүйлийг авна.

Одоо та ижил суурийг хийх хэрэгтэй. 9=32 гэдгийг бид мэднэ. (a n) m = a nm чадлын томьёог ашиглая.

3 3x = (3 2) x+8

Бид 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16 болно

3 3x = 3 2x+16 Одоо зүүн, баруун талд суурь нь ижил, гуравтай тэнцүү байх нь тодорхой болсон бөгөөд энэ нь бид тэдгээрийг хаяж, градусыг тэнцүүлэх боломжтой гэсэн үг юм.

3x=2x+16 бид хамгийн энгийн тэгшитгэлийг олж авна
3x - 2x=16
x=16
Хариулт: x=16.

Дараах жишээг харцгаая.

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Юуны өмнө бид суурь, хоёр ба дөрөв дэх суурийг хардаг. Мөн бид тэдэнтэй адилхан байх хэрэгтэй. Бид дөрвийг (a n) m = a nm томъёог ашиглан хувиргана.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Мөн бид a n a m = a n + m гэсэн нэг томъёог ашигладаг:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Тэгшитгэлд нэмэх:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Үүнтэй ижил шалтгаанаар бид жишээ татсан. Гэхдээ бусад 10, 24 тоо биднийг зовоож байна.Тэдгээрийг яах вэ? Хэрэв та анхааралтай ажиглавал зүүн талд бид 2 2 дахин давтагдаж байгааг харж болно, энд хариулт байна - бид хаалтнаас 2 2 дахин гаргаж болно:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Хаалтанд байгаа илэрхийллийг тооцоолъё:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Бид бүхэл тэгшитгэлийг 6-д хуваана.

4=2 2 гэж төсөөлье:

2 2x = 2 2 суурь нь адилхан, бид тэдгээрийг хаяж, градусыг тэнцүүлнэ.
2х = 2 бол хамгийн энгийн тэгшитгэл юм. Үүнийг 2-т хуваагаад бид авна
x = 1
Хариулт: x = 1.

Тэгшитгэлийг шийдье:

9 x – 12*3 x +27= 0

Өөрчлүүлье:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Бид тэгшитгэлийг авна:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Бидний суурь ижил, гуравтай тэнцүү байна.Энэ жишээнээс та эхний гурав нь хоёр дахь (х)-ээс хоёр дахин (2x) зэрэгтэй байгааг харж болно. Энэ тохиолдолд та шийдэж чадна солих арга. Бид тоог хамгийн бага хэмжээгээр орлуулна:

Дараа нь 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Бид тэгшитгэлийн бүх х хүчийг t-ээр орлуулна:

t 2 - 12т+27 = 0
Бид квадрат тэгшитгэлийг авдаг. Дискриминантаар дамжуулан бид дараахь зүйлийг олж авна.
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

Хувьсагч руу буцах x.

t 1-ийг авна уу:
t 1 = 9 = 3 x

Тэр бол,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Нэг үндэс олдлоо. Бид t 2-оос хоёр дахь нь хайж байна:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Хариулт: x 1 = 2; x 2 = 1.

Вэбсайт дээрх ТУСЛАХ ШИЙДВЭРЛЭХ хэсэгт байгаа асуултаа асууж болно, бид танд хариулах нь гарцаагүй.

Бүлэгт нэгдээрэй

Энэ нь үл мэдэгдэх нь экспонент болон чадлын суурь хоёуланд нь байх хэлбэрийн тэгшитгэлийн нэр юм.

Та маягтын тэгшитгэлийг шийдвэрлэх бүрэн тодорхой алгоритмыг тодорхойлж болно. Үүнийг хийхийн тулд та хэзээ гэдгийг анхаарах хэрэгтэй Өө)тэг, нэг, хасах нэгтэй тэнцүү биш, ижил суурьтай (эерэг ч бай, сөрөг ч бай) зэрэгтэй тэнцүү байх нь илтгэгчүүд тэнцүү байх тохиолдолд л боломжтой. Өөрөөр хэлбэл, тэгшитгэлийн бүх язгуурууд тэгшитгэлийн үндэс болно. f(x) = g(x)Эсрэг заалт нь үнэн биш, хэзээ Өө)< 0 ба бутархай утгууд f(x)Тэгээд g(x)илэрхийллүүд Өө) f(x) Тэгээд

Өө) g(x) утгаа алддаг. -ээс шилжих үед гэсэн үг f(x) = g(x)(болон гаднах үндэс гарч ирж магадгүй бөгөөд үүнийг анхны тэгшитгэлийн эсрэг шалгах замаар хасах шаардлагатай. Мөн тохиолдлууд a = 0, a = 1, a = -1тусад нь авч үзэх шаардлагатай.

Тиймээс тэгшитгэлийг бүрэн шийдэхийн тулд бид дараах тохиолдлуудыг авч үзье.

a(x) = O f(x)Тэгээд g(x)эерэг тоонууд байх болно, тэгвэл энэ нь шийдэл юм. Үгүй бол үгүй

a(x) = 1. Энэ тэгшитгэлийн үндэс нь мөн анхны тэгшитгэлийн үндэс юм.

a(x) = -1. Хэрэв энэ тэгшитгэлийг хангасан x утгын хувьд, f(x)Тэгээд g(x)нь ижил паритеттай бүхэл тоо (хоёулаа тэгш эсвэл хоёулаа сондгой) бол энэ нь шийдэл юм. Үгүй бол үгүй

Хэзээ ба бид тэгшитгэлийг шийднэ f(x)= g(x)олж авсан үр дүнг анхны тэгшитгэлд орлуулснаар бид гадны үндэсийг таслав.

Экспоненциал чадлын тэгшитгэлийг шийдэх жишээ.

Жишээ №1.

1) x - 3 = 0, x = 3. учир нь 3 > 0, 3 2 > 0 байвал x 1 = 3 нь шийдэл болно.

2) x - 3 = 1, x 2 = 4.

3) x - 3 = -1, x = 2. Хоёр үзүүлэлт хоёулаа тэгш байна. Энэ шийдэл нь x 3 = 1 байна.

4) x - 3? 0 ба x? ± 1. x = x 2, x = 0 эсвэл x = 1. x = 0, (-3) 0 = (-3) 0-ийн хувьд энэ шийдэл зөв: x 4 = 0. x = 1, (- 2) 1 = (-2) 1 - энэ шийдэл зөв x 5 = 1.

Хариулт: 0, 1, 2, 3, 4.

Жишээ №2.

Арифметик квадрат язгуурын тодорхойлолтоор: x - 1? 0, x? 1.

1) x - 1 = 0 эсвэл x = 1, = 0, 0 0 нь шийдэл биш юм.

2) x - 1 = 1 x 1 = 2.

3) x - 1 = -1 x 2 = 0 нь ODZ-д тохирохгүй.

D = (-2) - 4*1*5 = 4 - 20 = -16 - үндэс байхгүй.