Дериватив 2 4. Деривативыг хэрхэн олох вэ? Шийдлийн жишээ

Хүчин чадлын функцийн деривативын томъёоны гарал үүсэл (х-ийг а-ын зэрэгт). x-ийн үндэсээс үүссэн деривативуудыг авч үзнэ. Хүчин чадлын функцийн деривативын томъёо илүү өндөр дараалал. Деривативыг тооцоолох жишээ.

Агуулга

Мөн үзнэ үү: Хүчин чадлын функц ба үндэс, томъёо, график
Эрчим хүчний функцийн графикууд

Үндсэн томъёо

X-ийн а-ын дериватив нь х-ийг хасах нэгийн хүчинтэй тэнцүү байна.
(1) .

x-ийн n-р язгуураас m-р зэрэглэлийн дериватив нь:
(2) .

Хүчин чадлын функцийн деривативын томъёоны гарал үүсэл

Тохиолдол x > 0

a илтгэгчтэй x хувьсагчийн чадлын функцийг авч үзье.
(3) .
Энд а нь дур зоргоороо байна бодит тоо. Эхлээд хэргийг авч үзье.

(3) функцийн деривативыг олохын тулд бид чадлын функцийн шинж чанарыг ашиглан дараах хэлбэрт шилжүүлнэ.
.

Одоо бид деривативыг дараах байдлаар олно.
;
.
Энд.

Формула (1) нь батлагдсан.

x-ийн n зэрэгтэй язгуурыг m зэрэгтэй болгох томъёоны гарал үүсэлтэй

Дараах хэлбэрийн үндэс болох функцийг авч үзье.
(4) .

Деривативыг олохын тулд язгуурыг чадлын функц болгон хувиргана.
.
Томъёо (3)-тай харьцуулбал бид үүнийг харж байна
.
Дараа нь
.

(1) томъёог ашиглан бид деривативыг олно:
(1) ;
;
(2) .

Практикт томьёо (2) цээжлэх шаардлагагүй. Эхлээд үндсийг хүч чадлын функц болгон хувиргаж, дараа нь (1) томъёог ашиглан тэдгээрийн деривативыг олох нь илүү тохиромжтой (хуудасны төгсгөлд байгаа жишээг үзнэ үү).

Тохиолдол x = 0

Хэрэв бол х = хувьсагчийн утгад чадлын функц тодорхойлогдоно 0 . (3) функцийн деривативыг x = дээр олъё 0 . Үүнийг хийхийн тулд бид деривативын тодорхойлолтыг ашигладаг.
.

x =-г орлуулъя 0 :
.
Энэ тохиолдолд дериватив гэж бид баруун талын хязгаарыг хэлнэ.

Тиймээс бид олсон:
.
Эндээс харахад , .
-д.
-д.
Энэ үр дүнг томъёо (1) -ээс олж авна.
(1) .
Иймд (1) томъёо нь x =-д мөн хүчинтэй байна 0 .

Тохиолдол x< 0

(3) функцийг дахин авч үзье:
(3) .
a тогтмолын тодорхой утгуудын хувьд энэ нь x хувьсагчийн сөрөг утгуудын хувьд мөн тодорхойлогддог. Тухайлбал, a нь рационал тоо байг. Дараа нь үүнийг бууруулж болохгүй бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно:
,
Энд m ба n нь нийтлэг хуваагчгүй бүхэл тоо юм.

Хэрэв n нь сондгой бол х хувьсагчийн сөрөг утгуудын хувьд чадлын функцийг мөн тодорхойлно. Жишээлбэл, n = үед 3 ба m = 1 Бид x-ийн шоо язгууртай:
.
Энэ нь мөн x хувьсагчийн сөрөг утгуудын хувьд тодорхойлогддог.

Тодорхойлогдсон a тогтмолын оновчтой утгуудын (3) чадлын функцийн деривативыг олцгооё. Үүний тулд x-г дараах хэлбэрээр төлөөлүүлье.
.
Дараа нь,
.
Тогтмолыг деривативын тэмдгийн гадна байрлуулж, цогц функцийг ялгах дүрмийг ашиглан деривативыг олно.

.
Энд. Гэхдээ
.
Түүнээс хойш
.
Дараа нь
.
Өөрөөр хэлбэл (1) томъёо нь дараахь тохиолдолд хүчинтэй байна.
(1) .

Дээд зэрэглэлийн деривативууд

Одоо чадлын функцийн дээд эрэмбийн деривативуудыг олцгооё
(3) .
Бид эхний эрэмбийн деривативыг аль хэдийн олсон:
.

Деривативын тэмдгийн гадна а тогтмолыг авбал бид хоёрдугаар эрэмбийн деривативыг олно.
.
Үүний нэгэн адил бид гурав, дөрөв дэх дарааллын деривативуудыг олдог.
;

.

Үүнээс харахад энэ нь тодорхой байна дурын n-р эрэмбийн деривативдараах хэлбэртэй байна:
.

анзаараарай, тэр хэрэв а бол натурал тоо , тэгвэл n-р дериватив тогтмол байна:
.
Дараа нь бүх деривативууд тэгтэй тэнцүү байна:
,
цагт.

Деривативыг тооцоолох жишээ

Жишээ

Функцийн деривативыг ол:
.

Үндэсийг хүч болгон хөрвүүлье:
;
.
Дараа нь анхны функц нь дараах хэлбэрийг авна.
.

Хүчин чадлын деривативуудыг олох:
;
.
Тогтмолын дериватив нь тэг байна:
.

Дериватив

Математик функцийн деривативыг (ялгаалах) тооцоолох нь дээд математикийг шийдвэрлэхэд маш түгээмэл асуудал юм. Энгийн (анхан) математикийн функцүүдийн хувьд энэ нь нэлээд энгийн зүйл юм, учир нь анхан шатны функцүүдийн деривативын хүснэгтүүдийг эртнээс эмхэтгэсэн бөгөөд хялбархан ашиглах боломжтой байдаг. Гэсэн хэдий ч нарийн төвөгтэй математик функцийн деривативыг олох нь тийм ч энгийн ажил биш бөгөөд ихэвчлэн ихээхэн хүчин чармайлт, цаг хугацаа шаарддаг.

Деривативыг онлайнаар олоорой

Манай онлайн үйлчилгээ нь утгагүй урт тооцооллоос ангижрах боломжийг олгодог деривативыг онлайнаар олохнэг агшинд. Түүнчлэн, вэбсайт дээр байрлах манай үйлчилгээг ашиглан www.site, та тооцоолж болно онлайн деривативаль аль нь энгийн функцээс, аналитик шийдэлгүй маш нарийн төвөгтэй функцээс. Манай сайтын бусадтай харьцуулахад гол давуу тал нь: 1) деривативыг тооцоолох математикийн функцийг оруулах аргад хатуу шаардлага байхгүй (жишээлбэл, синус x функцийг оруулахдаа та үүнийг sin x эсвэл sin гэж оруулж болно. (x) эсвэл sin[x] гэх мэт d.); 2) онлайн дериватив тооцоо нь горимд шууд явагддаг онлайнмөн туйлын үнэгүй; 3) функцийн деривативыг олох боломжийг бид танд олгоно ямар ч захиалга, деривативын дарааллыг өөрчлөх нь маш хялбар бөгөөд ойлгомжтой; 4) бид танд бараг бүх математикийн функцын деривативыг, тэр ч байтугай бусад үйлчилгээгээр шийдэж чадахгүй маш нарийн төвөгтэй функцийг олох боломжийг олгодог. Өгөгдсөн хариулт нь үргэлж үнэн зөв бөгөөд алдаа агуулсан байж болохгүй.

Манай серверийг ашигласнаар та 1) үүсмэл хувилбарыг онлайнаар тооцоолж, алдаа, үсгийн алдаа гаргаж болох цаг хугацаа шаардсан, уйтгартай тооцооллуудыг арилгах боломжтой; 2) хэрэв та математикийн функцийн деривативыг өөрөө тооцоолсон бол бид танд олж авсан үр дүнг манай үйлчилгээний тооцоололтой харьцуулж, шийдэл зөв эсэхийг шалгах эсвэл дотогш нэвтэрсэн алдааг олох боломжийг олгоно; 3) хүссэн функцийг олоход ихэвчлэн цаг хугацаа шаардагддаг энгийн функцүүдийн дериватив хүснэгтүүдийг ашиглахын оронд манай үйлчилгээг ашигла.

Та хийх ёстой бүх зүйл деривативыг онлайнаар олох- манай үйлчилгээг ашиглах явдал юм

Санахад маш амархан.

За, хол явахгүй, шууд харцгаая урвуу функц. Аль функц нь экспоненциал функцийн урвуу функц вэ? Логарифм:

Манай тохиолдолд суурь нь дараах тоо юм.

Ийм логарифмийг (өөрөөр хэлбэл суурьтай логарифм) "байгалийн" гэж нэрлэдэг бөгөөд бид үүнд зориулж тусгай тэмдэглэгээ ашигладаг: бид оронд нь бичдэг.

Энэ нь юутай тэнцүү вэ? Мэдээжийн хэрэг, .

Байгалийн логарифмын дериватив нь маш энгийн:

Жишээ нь:

1. Функцийн деривативыг ол.
2. Функцийн дериватив нь юу вэ?

Хариултууд: Экспоненциал ба натурал логарифм нь дериватив талаас нь авч үзвэл маш энгийн функцууд юм. Бусад суурьтай экспоненциал болон логарифм функцууд нь өөр деривативтай байх бөгөөд бид үүнийг ялгах дүрмийн дагуу дараа нь шинжлэх болно.

Ялгах дүрэм

Юуны дүрэм? Ахиад л шинэ нэр томъёо, дахиад?!...

Ялгаварлахдеривативыг олох үйл явц юм.

Тэгээд л болоо. Энэ үйл явцыг нэг үгээр өөр юу гэж нэрлэх вэ? Дериватив биш ... Математикчид дифференциалыг функцийн ижил өсөлт гэж нэрлэдэг. Энэ нэр томъёо нь Латин дифференциас - ялгаа гэсэн үгнээс гаралтай. Энд.

Эдгээр бүх дүрмийг гаргахдаа бид хоёр функцийг ашиглана, жишээ нь, ба. Бидэнд мөн тэдгээрийн өсөлтийн томъёо хэрэгтэй болно:

Нийтдээ 5 дүрэм байдаг.

Тогтмолыг дериватив тэмдгээс хасна.

Хэрэв - зарим тогтмол тоо (тогтмол), дараа нь.

Мэдээжийн хэрэг, энэ дүрэм нь ялгааны хувьд бас ажилладаг: .

Үүнийг баталъя. Байг, эсвэл илүү энгийн.

Жишээ.

Функцийн деривативуудыг ол:

1. нэг цэг дээр;
2. нэг цэг дээр;
3. нэг цэг дээр;
4. цэг дээр.

Шийдэл:

1. (Үүсвэр нь бүх цэгт ижил байна, учир нь үүнээс хойш шугаман функц, санаж байна уу?);

Бүтээгдэхүүний дериватив

Энд бүх зүйл ижил байна: шинэ функцийг нэвтрүүлж, түүний өсөлтийг олцгооё:

Дериватив:

Жишээ нь:

1. Функцийн деривативыг олох ба;
2. Тухайн цэг дээрх функцийн деривативыг ол.

Шийдэл:

Экспоненциал функцийн дериватив

Одоо таны мэдлэг зөвхөн экспоненциал функцийн деривативыг хэрхэн олохыг сурахад хангалттай юм (энэ нь юу болохыг та мартаагүй байна уу?).

Тэгэхээр хэдэн тоо хаана байна.

Бид функцийн деривативыг аль хэдийн мэдэж байгаа тул функцээ шинэ суурь болгон багасгахыг хичээцгээе.

Үүнийг хийхийн тулд бид энгийн дүрмийг ашиглах болно: . Дараа нь:

За, энэ ажилласан. Одоо деривативыг олохыг хичээ, энэ функц нь нарийн төвөгтэй гэдгийг мартаж болохгүй.

Болсон уу?

Энд өөрийгөө шалгаарай:

Томъёо нь экспонентийн деривативтай маш төстэй болж хувирав: энэ нь хэвээр үлдэж, зөвхөн нэг хүчин зүйл гарч ирсэн бөгөөд энэ нь зүгээр л тоо боловч хувьсагч биш юм.

Жишээ нь:
Функцийн деривативуудыг ол:

Хариултууд:

Энэ бол зүгээр л тооны машингүйгээр тооцоолох боломжгүй, өөрөөр хэлбэл үүнийг цаашид бичих боломжгүй тоо юм. энгийн хэлбэрээр. Тиймээс бид үүнийг хариултдаа энэ хэлбэрээр үлдээж байна.

Энд хоёр функцийн коэффициент байгааг анхаарна уу, тиймээс бид харгалзах ялгах дүрмийг хэрэглэнэ.

Энэ жишээнд хоёр функцийн үржвэр:

Логарифм функцийн дериватив

Үүнтэй төстэй: та байгалийн логарифмын деривативыг аль хэдийн мэддэг болсон.

Тиймээс өөр суурьтай дурын логарифмийг олохын тулд, жишээлбэл:

Бид энэ логарифмыг суурь болгон багасгах хэрэгтэй. Логарифмын суурийг хэрхэн өөрчлөх вэ? Та энэ томъёог санаж байна гэж найдаж байна:

Зөвхөн одоо бид оронд нь бичих болно:

Хуваагч нь зүгээр л тогтмол (хувьсагчгүй тогтмол тоо) юм. Деривативыг маш энгийнээр олж авдаг:

Экспоненциал ба логарифм функцийн деривативууд нь Улсын нэгдсэн шалгалтанд бараг хэзээ ч олддоггүй, гэхдээ тэдгээрийг мэдэх нь илүүц байх болно.

Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив.

Юу болов " нарийн төвөгтэй функц"? Үгүй ээ, энэ бол логарифм биш, арктангенс ч биш. Эдгээр функцийг ойлгоход хэцүү байж болох юм (хэдийгээр танд логарифм хийхэд хэцүү гэж үзвэл "Логарифм" гэсэн сэдвийг уншвал зүгээр байх болно), гэхдээ математикийн үүднээс "цогцолбор" гэдэг нь "хэцүү" гэсэн үг биш юм.

Жижиг туузан дамжуулагчийг төсөөлөөд үз дээ: хоёр хүн сууж, зарим объекттой зарим үйлдэл хийж байна. Жишээлбэл, эхнийх нь шоколадны баарыг боодол дээр боож, хоёр дахь нь туузаар холбодог. Үр дүн нь нийлмэл объект юм: шоколадны баар ороож, туузаар холбосон. Шоколадны баар идэхийн тулд урвуу дарааллаар урвуу алхмуудыг хийх хэрэгтэй.

Үүнтэй төстэй математик шугамыг бүтээцгээе: эхлээд бид тооны косинусыг олж, дараа нь гарсан тоог квадрат болгоно. Тиймээс, бидэнд тоо (шоколад) өгөгдсөн, би түүний косинусыг (боодол) олоод, дараа нь та миний авсан зүйлийг дөрвөлжин болго (туузаар уя). Юу болсон бэ? Чиг үүрэг. Энэ бол нарийн төвөгтэй функцийн жишээ юм: утгыг олохын тулд бид эхний үйлдлийг хувьсагчтай шууд хийж, дараа нь эхний үйлдлээс үүссэн хоёр дахь үйлдлийг гүйцэтгэдэг.

Өөрөөр хэлбэл, нийлмэл функц нь аргумент нь өөр функц болох функц юм: .

Бидний жишээн дээр, .

Бид урвуу дарааллаар ижил алхмуудыг хялбархан хийж чадна: эхлээд та үүнийг квадрат болго, дараа нь би гарсан тооны косинусыг хайна: . Үр дүн нь бараг үргэлж өөр байх болно гэдгийг таахад хялбар байдаг. Нарийн төвөгтэй функцүүдийн чухал шинж чанар: үйлдлийн дараалал өөрчлөгдөхөд функц өөрчлөгддөг.

Хоёр дахь жишээ: (ижил зүйл). .

Бидний хамгийн сүүлд хийх үйлдлийг дуудах болно "гадаад" функц, мөн хамгийн түрүүнд гүйцэтгэсэн үйлдэл - үүний дагуу "дотоод" функц(эдгээр нь албан бус нэрс, би зөвхөн материалыг энгийн хэлээр тайлбарлахад ашигладаг).

Аль функц нь гадаад, аль нь дотоод гэдгийг өөрөө тодорхойлохыг хичээ.

Хариултууд:Дотоод болон гадаад функцийг салгах нь хувьсагчийг өөрчлөхтэй маш төстэй: жишээлбэл, функцэд

1. Бид хамгийн түрүүнд ямар үйлдэл хийх вэ? Эхлээд синусыг тооцоод дараа нь шоо болгоё. Энэ нь дотоод функц, гэхдээ гадаад функц гэсэн үг юм.
   Мөн анхны функц нь тэдний найрлага юм: .
2. Дотоод: ; гадна: .
   Шалгалт: .
3. Дотоод: ; гадна: .
   Шалгалт: .
4. Дотоод: ; гадна: .
   Шалгалт: .
5. Дотоод: ; гадна: .
   Шалгалт: .

Бид хувьсагчдыг өөрчилж, функцийг авдаг.

За, одоо бид шоколадаа гаргаж аваад деривативыг хайх болно. Процедур нь үргэлж эсрэгээрээ байдаг: эхлээд бид гадаад функцийн деривативыг хайж, дараа нь үр дүнг дотоод функцийн деривативаар үржүүлнэ. Анхны жишээтэй холбоотойгоор дараах байдалтай байна.

Өөр нэг жишээ:

Ингээд эцэст нь албан ёсны дүрмийг томъёолъё:

Нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг олох алгоритм:

Энэ нь энгийн юм шиг санагдаж байна, тийм үү?

Жишээнүүдээр шалгацгаая:

Шийдэл:

1) Дотоод: ;

Гадна: ;

2) Дотоод: ;

(Одоогоор таслах гэж бүү оролдоорой! Косинусын доороос юу ч гарахгүй, санаж байна уу?)

3) Дотоод: ;

Гадна: ;

Энэ нь гурван түвшний нарийн төвөгтэй функц болох нь шууд тодорхой байна: эцэст нь энэ нь өөрөө нарийн төвөгтэй функц бөгөөд бид үүнээс үндсийг нь гаргаж авдаг, өөрөөр хэлбэл бид гурав дахь үйлдлийг гүйцэтгэдэг (шоколадыг боодол дээр хийнэ) мөн цүнхэнд туузтай). Гэхдээ айх шалтгаан байхгүй: бид энэ функцийг ердийнх шигээ дарааллаар нь "тайлах" болно: эцсээс нь.

Өөрөөр хэлбэл, бид эхлээд үндсийг, дараа нь косинусыг, дараа нь хаалтанд байгаа илэрхийлэлийг ялгадаг. Тэгээд бид бүгдийг үржүүлнэ.

Ийм тохиолдолд үйлдлүүдийг дугаарлах нь тохиромжтой. Энэ нь юу мэддэгээ төсөөлөөд үз дээ. Энэ илэрхийллийн утгыг тооцоолох үйлдлийг бид ямар дарааллаар гүйцэтгэх вэ? Нэг жишээг харцгаая:

Үйлдлийг хожим гүйцэтгэх тусам харгалзах функц нь "гадаад" байх болно. Үйлдлүүдийн дараалал нь өмнөхтэй адил байна:

Энд үүрлэх нь ерөнхийдөө 4 түвшинтэй байдаг. Үйл ажиллагааны чиглэлийг тодорхойлъё.

1. Радикал илэрхийлэл. .

2. Үндэс. .

3. Синус. .

4. Дөрвөлжин. .

5. Бүгдийг нэгтгэх нь:

ҮҮСГЭЛ. ГОЛ ЗҮЙЛИЙН ТУХАЙ ТОВЧХОН

Функцийн дериватив- функцийн өсөлтийг аргументийн хязгааргүй бага өсөлтийн аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцаа:

Үндсэн деривативууд:

Ялгах дүрэм:

Тогтмолыг дериватив тэмдгээс хасна:

Нийлбэрийн дериватив:

Бүтээгдэхүүний дериватив:

Хэсгийн дериватив:

Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив:

Нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг олох алгоритм:

1. Бид "дотоод" функцийг тодорхойлж, түүний уламжлалыг олдог.
2. Бид "гадаад" функцийг тодорхойлж, түүний уламжлалыг олдог.
3. Бид эхний болон хоёр дахь цэгүүдийн үр дүнг үржүүлдэг.

Экспоненциал (e-ийн x-ийн хүч) ба экспоненциал функцийн (a-х-ийн) деривативын томъёоны нотолгоо ба уламжлал. e^2x, e^3x болон e^nx-ийн деривативыг тооцоолох жишээ. Дээд зэрэглэлийн деривативуудын томъёо.

Агуулга

Мөн үзнэ үү: Экспоненциал функц - шинж чанар, томъёо, график
Экспонент, e-ийн х-ийн хүч - шинж чанар, томьёо, график

Үндсэн томъёо

Экспонентийн дериватив нь илтгэгчтэй тэнцүү (e-ийн x-ийн дериватив нь e-ийн x-ийн дериватив):
(1) (e x )′ = e x.

a суурьтай экспоненциал функцийн дериватив нь функцийг өөрөө а-ын натурал логарифмаар үржүүлсэнтэй тэнцүү байна.
(2) .

Экспоненциал гэдэг нь суурь нь дараах хязгаар болох e тоотой тэнцүү экспоненциал функц юм.
.
Энд энэ нь натурал тоо эсвэл бодит тоо байж болно. Дараа нь бид экспоненциалын деривативын томъёог (1) гаргана.

Экспоненциал дериватив томъёоны гарал үүсэл

Экспоненциал, e-ийг x-ийн хүчийг авч үзье.
y = e x .
Энэ функц нь хүн бүрт зориулагдсан байдаг. Түүний x хувьсагчтай холбоотой деривативыг олъё. Тодорхойлолтоор дериватив нь дараахь хязгаар юм.
(3) .

Энэ илэрхийлэлийг мэдэгдэж байгаагаар нь багасгахын тулд хувиргацгаая математик шинж чанаруудболон дүрэм. Үүнийг хийхийн тулд бидэнд дараах баримтууд хэрэгтэй.
A)Экспонент шинж чанар:
(4) ;
B)Логарифмын шинж чанар:
(5) ;
IN)Логарифмын тасралтгүй байдал ба тасралтгүй функцийн хязгаарын шинж чанар:
(6) .
Энд хязгаартай функц байгаа бөгөөд энэ хязгаар нь эерэг байна.
G)Хоёр дахь гайхалтай хязгаарын утга:
(7) .

Эдгээр баримтуудыг өөрсдийн хязгаарт хэрэгжүүлцгээе (3). Бид өмчийг ашигладаг (4):
;
.

Сэлгээ хийцгээе. Дараа нь; .
Экспоненциалын тасралтгүй байдлын улмаас
.
Иймд хэзээ , . Үүний үр дүнд бид:
.

Сэлгээ хийцгээе. Дараа нь . -д. Мөн бидэнд байна:
.

Логарифмын шинж чанарыг хэрэглэцгээе (5):
. Дараа нь
.

Үл хөдлөх хөрөнгийг (6) ашиглацгаая. Эерэг хязгаар байх ба логарифм нь тасралтгүй байх тул:
.
Энд бид хоёр дахь аргыг бас ашигласан гайхалтай хязгаар(7). Дараа нь
.

Тиймээс бид экспоненциалын дериватив (1) томъёог олж авлаа.

Экспоненциал функцийн деривативын томъёоны гарал үүсэл

Одоо бид а зэрэгтэй суурьтай экспоненциал функцийн деривативын томъёог (2) гаргаж авлаа. Бид үүнд итгэдэг бөгөөд . Дараа нь экспоненциал функц
(8)
Хүн бүрт зориулж тодорхойлсон.

Томъёо (8)-ийг хувиргацгаая. Үүний тулд бид экспоненциал функц болон логарифмын шинж чанарыг ашиглана.
;
.
Тиймээс бид (8) томъёог дараах хэлбэрт шилжүүлэв.
.

e-ийн x-ийн дээд эрэмбийн деривативууд

Одоо дээд эрэмбийн деривативуудыг олцгооё. Эхлээд экспонентийг харцгаая:
(14) .
(1) .

(14) функцийн дериватив нь (14) функцтэй тэнцүү болохыг бид харж байна. (1) ялгахдаа бид хоёр ба гуравдугаар дарааллын деривативуудыг олж авна.
;
.

Энэ нь n-р эрэмбийн дериватив нь анхны функцтэй тэнцүү болохыг харуулж байна:
.

Экспоненциал функцийн дээд эрэмбийн деривативууд

Одоо a зэрэгтэй суурьтай экспоненциал функцийг авч үзье.
.
Бид түүний анхны деривативыг олсон:
(15) .

(15) ялгахдаа бид хоёр ба гуравдугаар дарааллын деривативуудыг олж авна.
;
.

Ялгавар бүр нь анхны функцийг үржүүлэхэд хүргэдэг гэдгийг бид харж байна. Тиймээс n-р эрэмбийн дериватив нь дараах хэлбэртэй байна.
.

Мөн үзнэ үү:

Хэрэв та тодорхойлолтыг дагаж мөрдвөл тухайн цэг дэх функцийн дериватив нь Δ функцийн өсөлтийн харьцааны хязгаар юм. yаргументийн өсөлт рүү Δ x:

Бүх зүйл ойлгомжтой байх шиг байна. Гэхдээ энэ томъёог ашиглан функцийн деривативыг тооцоолж үзээрэй е(x) = x 2 + (2x+ 3) · д xнүгэл x. Хэрэв та бүх зүйлийг тодорхойлолтоор хийвэл хэдэн хуудас тооцоо хийсний дараа та зүгээр л унтах болно. Тиймээс илүү энгийн бөгөөд үр дүнтэй аргууд байдаг.

Эхлэхийн тулд бид бүх төрлийн функцүүдээс энгийн функц гэж нэрлэгддэг функцүүдийг ялгаж салгаж болно гэдгийг тэмдэглэж байна. Эдгээр нь харьцангуй энгийн илэрхийллүүд бөгөөд деривативуудыг удаан хугацаанд тооцоолж, хүснэгтэд оруулав. Ийм функцууд нь тэдгээрийн деривативуудын хамт санахад хялбар байдаг.

Энгийн функцүүдийн деривативууд

Үндсэн функцууд нь доор жагсаасан бүх функцууд юм. Эдгээр функцүүдийн деривативуудыг цээжээр мэддэг байх ёстой. Түүнээс гадна тэдгээрийг цээжлэх нь тийм ч хэцүү биш - тиймээс тэд анхан шатны шинж чанартай байдаг.

Тиймээс, үндсэн функцүүдийн деривативууд:

Нэр	Чиг үүрэг	Дериватив
Тогтмол	е(x) = C, C ∈ Р	0 (тийм ээ, тэг!)
Рационал үзүүлэлттэй хүч	е(x) = x n	n · x n − 1
Синус	е(x) = нүгэл x	cos x
Косинус	е(x) = cos x	- нүгэл x(хасах синус)
Тангенс	е(x) = тг x	1/cos 2 x
Котангенс	е(x) = ctg x	− 1/нүгэл 2 x
Байгалийн логарифм	е(x) = бүртгэл x	1/x
Дурын логарифм	е(x) = бүртгэл а x	1/(x ln а)
Экспоненциал функц	е(x) = д x	д x(юу ч өөрчлөгдөөгүй)

Хэрэв энгийн функцийг дурын тогтмол тоогоор үржүүлбэл шинэ функцийн деривативыг хялбархан тооцоолно.

(C · е)’ = C · е ’.

Ерөнхийдөө деривативын тэмдгээс тогтмолуудыг авч болно. Жишээлбэл:

(2x 3)’ = 2 · ( x 3)’ = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Мэдээжийн хэрэг, энгийн функцуудыг бие биендээ нэмэх, үржүүлэх, хуваах гэх мэт олон зүйлийг хийх боломжтой. Ийм байдлаар шинэ функцууд гарч ирэх бөгөөд энэ нь ялангуяа энгийн байхаа больсон боловч тодорхой дүрмийн дагуу ялгаатай байх болно. Эдгээр дүрмийг доор авч үзэх болно.

Нийлбэр ба зөрүүний дериватив

Функцуудыг өгье е(x) Мөн g(x), деривативууд нь бидэнд мэдэгддэг. Жишээлбэл, та дээр дурдсан үндсэн функцуудыг авч болно. Дараа нь та эдгээр функцүүдийн нийлбэр ба ялгааны деривативыг олох боломжтой.

1. (е + g)’ = е ’ + g ’
2. (е − g)’ = е ’ − g ’

Тэгэхээр хоёр функцийн нийлбэр (ялгаа) нь деривативуудын нийлбэр (ялгаа)-тай тэнцүү байна. Илүү олон нэр томъёо байж болно. Жишээлбэл, ( е + g + h)’ = е ’ + g ’ + h ’.

Хатуухан хэлэхэд алгебрт "хасах" гэсэн ойлголт байдаггүй. "Сөрөг элемент" гэсэн ойлголт байдаг. Тиймээс ялгаа е − gнийлбэр болгон дахин бичиж болно е+ (−1) g, дараа нь зөвхөн нэг томъёо үлдэнэ - нийлбэрийн дериватив.

е(x) = x 2 + нүгэл х; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Чиг үүрэг е(x) нь хоёр үндсэн функцийн нийлбэр тул:

е ’(x) = (x 2 + нүгэл x)’ = (x 2)' + (нүгэл x)’ = 2x+ cos x;

Бид функцийг ижил төстэй шалтгаанаар тайлбарладаг g(x). Зөвхөн гурван нэр томъёо байдаг (алгебрийн үүднээс):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Хариулт:
е ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Бүтээгдэхүүний дериватив

Математик бол логик шинжлэх ухаан тул олон хүн нийлбэрийн дериватив нь деривативын нийлбэртэй тэнцүү бол тухайн бүтээгдэхүүний дериватив гэж олон хүн үздэг. ажил хаях"> деривативын үржвэртэй тэнцүү байна. Гэхдээ та эргэлзээрэй! Бүтээгдэхүүний деривативыг огт өөр томъёогоор тооцдог. Тухайлбал:

(е · g) ’ = е ’ · g + е · g ’

Томъёо нь энгийн боловч ихэнхдээ мартагддаг. Зөвхөн сургуулийн сурагчид төдийгүй оюутнууд ч гэсэн. Үр дүн нь буруу шийдэгдсэн асуудлууд юм.

Даалгавар. Функцийн деривативыг ол: е(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · д x .

Чиг үүрэг е(x) нь хоёр үндсэн функцын бүтээгдэхүүн тул бүх зүйл энгийн:

е ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)’ cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (− нүгэл x) = x 2 (3cos x − xнүгэл x)

Чиг үүрэг g(x) эхний үржүүлэгч нь арай илүү төвөгтэй боловч ерөнхий схем өөрчлөгддөггүй. Мэдээжийн хэрэг, функцийн эхний хүчин зүйл g(x) нь олон гишүүнт ба дериватив нь нийлбэрийн дериватив юм. Бидэнд байгаа:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · д x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · д x + (x 2 + 7x− 7) · ( д x)’ = (2x+ 7) · д x + (x 2 + 7x− 7) · д x = д x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · д x = x(x+ 9) · д x .

Хариулт:
е ’(x) = x 2 (3cos x − xнүгэл x);
g ’(x) = x(x+ 9) · д x .

Сүүлийн шатанд деривативыг хүчин зүйлээр ангилдаг болохыг анхаарна уу. Албан ёсоор үүнийг хийх шаардлагагүй, гэхдээ ихэнх деривативуудыг дангаар нь тооцдоггүй, харин функцийг шалгахын тулд хийдэг. Энэ нь цаашид деривативыг тэгтэй тэнцүүлэх, түүний тэмдгүүдийг тодорхойлох гэх мэт болно гэсэн үг юм. Ийм тохиолдолд илэрхийлэлийг хүчин зүйл болгон хуваах нь дээр.

Хэрэв хоёр функц байгаа бол е(x) Мөн g(x), болон g(x) Бидний сонирхож буй олонлог дээр ≠ 0 байвал бид шинэ функцийг тодорхойлж болно h(x) = е(x)/g(x). Ийм функцийн хувьд та деривативыг олж болно:

Сул биш, тийм үү? Хасах нь хаанаас ирсэн бэ? Яагаад g 2? Мөн үүн шиг! Энэ бол хамгийн төвөгтэй томъёонуудын нэг бөгөөд та үүнийг лонхгүйгээр олж чадахгүй. Тиймээс үүнийг тодорхой жишээн дээр судлах нь дээр.

Даалгавар. Функцийн деривативыг ол:

Бутархай тус бүрийн тоологч ба хуваагч нь энгийн функцуудыг агуулдаг тул бидэнд хэрэгтэй зүйл бол энэ хэсгийн деривативын томъёо юм.

Уламжлал ёсоор тоологчийг хүчин зүйл болгон хувацгаая - энэ нь хариултыг ихээхэн хялбаршуулах болно:

Нарийн төвөгтэй функц нь хагас километрийн урттай томьёо байх албагүй. Жишээлбэл, функцийг авахад хангалттай е(x) = нүгэл xболон хувьсагчийг солино x, дээр гэж хэлье x 2 + лн x. Энэ нь бүтэх болно е(x) = нүгэл ( x 2 + лн x) - энэ бол нарийн төвөгтэй функц юм. Энэ нь мөн деривативтай боловч дээр дурдсан дүрмийн дагуу үүнийг олох боломжгүй болно.

Би юу хийх хэрэгтэй вэ? Ийм тохиолдолд нийлмэл функцийн деривативын хувьсагч болон томъёог орлуулах нь дараахь зүйлийг хийхэд тусална.

е ’(x) = е ’(т) · т', Хэрэв x-ээр солигдоно т(x).

Дүрмээр бол, энэ томъёог ойлгох нөхцөл байдал нь квентийн деривативаас ч илүү гунигтай байдаг. Тиймээс үүнийг тодорхой жишээн дээр тайлбарлах нь дээр Дэлгэрэнгүй тодорхойлолталхам бүр.

Даалгавар. Функцийн деривативыг ол: е(x) = д 2x + 3 ; g(x) = нүгэл ( x 2 + лн x)

Хэрэв функцэд байгаа бол гэдгийг анхаарна уу е(x) илэрхийлэл 2-ын оронд x+ 3 амархан байх болно x, дараа нь бид энгийн функцийг авна е(x) = д x. Тиймээс, бид орлуулалт хийдэг: 2-ыг зөвшөөрье x + 3 = т, е(x) = е(т) = д т. Бид нийлмэл функцийн деривативыг дараах томъёогоор хайдаг.

е ’(x) = е ’(т) · т ’ = (д т)’ · т ’ = д т · т ’

Тэгээд одоо - анхаарлаа хандуулаарай! Бид урвуу орлуулалтыг гүйцэтгэдэг: т = 2x+ 3. Бид дараахыг авна:

е ’(x) = д т · т ’ = д 2x+ 3 (2 x + 3)’ = д 2x+ 3 2 = 2 д 2x + 3

Одоо функцийг харцгаая g(x). Үүнийг солих шаардлагатай нь ойлгомжтой x 2 + лн x = т. Бидэнд байгаа:

g ’(x) = g ’(т) · т' = (нүгэл т)’ · т’ = cos т · т ’

Урвуу солих: т = x 2 + лн x. Дараа нь:

g ’(x) = cos ( x 2 + лн x) · ( x 2 + лн x)’ = cos ( x 2 + лн x) · (2 x + 1/x).

Тэгээд л болоо! Сүүлийн илэрхийллээс харахад бүх асуудлыг үүсмэл нийлбэрийг тооцоолох хүртэл багасгасан.

Хариулт:
е ’(x) = 2 · д 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) учир нь ( x 2 + лн x).

Хичээлдээ би "үүсмэл" гэсэн нэр томъёоны оронд "анхны" гэдэг үгийг ихэвчлэн ашигладаг. Жишээлбэл, нийлбэрийн цохилт нь цус харвалтын нийлбэртэй тэнцүү байна. Энэ нь илүү ойлгомжтой юу? За, сайн байна.

Тиймээс деривативыг тооцоолох нь дээр дурдсан дүрмийн дагуу эдгээр ижил цохилтоос ангижрахад хүргэдэг. Эцсийн жишээ болгон рационал илтгэгчтэй дериватив хүчин рүү буцъя:

(x n)’ = n · x n − 1

Цөөхөн хүн дүрд нь үүнийг мэддэг nбутархай тоо байж магадгүй. Жишээлбэл, үндэс нь x 0.5. Үндэс дор нь ямар нэгэн гоёмсог зүйл байвал яах вэ? Дахин хэлэхэд үр дүн нь нарийн төвөгтэй функц байх болно - тэд ийм барилга байгууламжийг өгөх дуртай туршилтуудболон шалгалтууд.

Даалгавар. Функцийн деривативыг ол:

Эхлээд язгуурыг рационал илтгэгчтэй зэрэглэлээр дахин бичье.

е(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Одоо бид орлуулалт хийж байна: зөвшөөрөх x 2 + 8x − 7 = т. Бид дараах томъёог ашиглан деривативыг олно.

е ’(x) = е ’(т) · т ’ = (т 0.5)’ · т’ = 0.5 · т−0.5 · т ’.

Урвуу орлуулалтыг хийцгээе: т = x 2 + 8x− 7. Бидэнд:

е ’(x) = 0.5 · ( x 2 + 8x− 7) −0.5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0.5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Эцэст нь, үндэс рүү буцах: