Тооны тойрог дээр pi-тэй тоог хэрхэн тэмдэглэх вэ? Хичээл "нэгж тойрог дээрх синус ба косинусын тодорхойлолт" Дүгнэлт ба үндсэн томъёо.

"Координатын хавтгай дээрх тооны тойрог" сэдвээр хичээл, танилцуулга

Нэмэлт материал
Эрхэм хэрэглэгчид, сэтгэгдэл, сэтгэгдэл, хүслээ үлдээхээ бүү мартаарай! Бүх материалыг вирусны эсрэг програмаар шалгасан.

1С-ийн 10-р ангийн Integral онлайн дэлгүүрийн гарын авлага, симуляторууд
Параметртэй алгебрийн бодлого, 9-11-р анги
Бид геометрийн асуудлыг шийддэг. 7-10-р ангийн барилгын интерактив даалгавар

Бид юу судлах вэ:
1. Тодорхойлолт.
2. Тооны тойргийн чухал координатууд.
3. Тооны тойргийн координатыг хэрхэн олох вэ?
4. Тооны тойргийн үндсэн координатын хүснэгт.
5. Асуудлыг шийдвэрлэх жишээ.

Координатын хавтгай дээрх тооны тойргийн тодорхойлолт

Тойргийн төв нь координатын эхлэлтэй давхцахаар тооны тойргийг координатын хавтгайд байрлуулж, түүний радиусыг нэгж хэрчим болгон авъя. А тооны тойргийн эхлэл цэг нь (1;0) цэгтэй зэрэгцсэн байна.

Тооны тойргийн цэг бүр координатын хавтгайд өөрийн гэсэн х, у координаттай бөгөөд:
1) $x > 0$, $y > 0$-ийн хувьд - эхний улиралд;
2) $ x 0 $ - 2-р улиралд;
3) $x-ийн хувьд 4) $x > 0$, $y-ийн хувьд
Тооны тойргийн $M(x; y)$ аль ч цэгийн хувьд дараах тэгш бус байдал хангагдана: $-1
Тооны тойргийн тэгшитгэлийг санаарай: $x^2 + y^2 = 1$.

Зурагт үзүүлсэн тооны тойрог дээрх цэгүүдийн координатыг хэрхэн олохыг сурах нь бидний хувьд чухал юм.

$\frac(π)(4)$ цэгийн координатыг олъё

$M(\frac(π)(4))$ цэг нь эхний улирлын дунд юм. M цэгээс OA шулуун шугам руу перпендикуляр MR-ийг буулгаж OMP гурвалжинг авч үзье.AM нум нь AB нумын тал нь тул $∠MOP=45°$.
Тэгэхээр OMP гурвалжин нь хоёр талт өнцөг юм зөв гурвалжинба $OP=MP$, өөрөөр хэлбэл. М цэг дээр абсцисса ба ордината тэнцүү байна: $x = y$.
$M(x;y)$ цэгийн координатууд нь тооны тойргийн тэгшитгэлийг хангаж байгаа тул тэдгээрийг олохын тулд тэгшитгэлийн системийг шийдэх хэрэгтэй.
$\эхлэх (тохиолдлууд) x^2 + y^2 = 1, \\ x = y. \төгсгөл (тохиолдлууд)$
Энэ системийг шийдсэний дараа бид дараахь зүйлийг олж авна: $y = x =\frac(\sqrt(2))(2)$.
Энэ нь $\frac(π)(4)$ тоонд харгалзах M цэгийн координат $M(\frac(π)(4))=M(\frac(\sqrt(2))( гэсэн үг юм. 2);\frac (\sqrt(2))(2))$.
Өмнөх зурагт үзүүлсэн цэгүүдийн координатыг ижил төстэй аргаар тооцоолсон болно.

Тооны тойрог дээрх цэгүүдийн координатууд

Жишээнүүдийг харцгаая

Жишээ 1.
Тооны тойрог дээрх цэгийн координатыг ол: $P(45\frac(π)(4))$.

Шийдэл:
$45\frac(π)(4) = (10 + \frac(5)(4)) * π = 10π +5\frac(π)(4) = 5\frac(π)(4) + 2π*5 доллар.
Энэ нь $45\frac(π)(4)$ тоо нь $\frac(5π)(4)$ тоотой тооны тойргийн ижил цэгтэй тохирч байна гэсэн үг. Хүснэгтийн $\frac(5π)(4)$ цэгийн утгыг харвал $P(\frac(45π)(4))=P(-\frac(\sqrt(2))( 2);-\frac (\sqrt(2))(2))$.

Жишээ 2.
Тооны тойрог дээрх цэгийн координатыг ол: $P(-\frac(37π)(3))$.

Шийдэл:

Учир нь $t$ ба $t+2π*k$ тоонууд, k нь бүхэл тоо нь тооны тойргийн ижил цэгтэй тохирч байвал:
$-\frac(37π)(3) = -(12 + \frac(1)(3))*π = -12π –\frac(π)(3) = -\frac(π)(3) + 2π *(-6)$.
Энэ нь $-\frac(37π)(3)$ нь тооны тойргийн $–\frac(π)(3)$ болон –$\frac(π) тоотой ижил цэгтэй тохирч байна гэсэн үг. (3)$ нь $\frac(5π)(3)$-тай ижил цэгтэй тохирч байна. Хүснэгт дэх $\frac(5π)(3)$ цэгийн утгыг харвал бид дараахийг олж авна.
$P(-\frac(37π)(3))=P(\frac((1))(2);-\frac(\sqrt(3))(2))$.

Жишээ 3.
Ординат $y =\frac(1)(2)$ бүхий тооны тойрог дээрх цэгүүдийг олж, $t$ ямар тоотой тохирч байгааг бичнэ үү?

Шийдэл:
$y =\frac(1)(2)$ шулуун шугам нь тооны тойргийг M ба P цэгүүдээр огтолж байна. M цэг нь $\frac(π)(6)$ тоотой тохирч байна (хүснэгтийн өгөгдлөөс). Энэ нь $\frac(π)(6)+2π*k$ гэсэн хэлбэрийн дурын тоог илэрхийлнэ. P цэг нь $\frac(5π)(6)$ тоотой тохирч байгаа тул $\frac(5π)(6) +2 π*k$ хэлбэрийн дурын тоотой тохирч байна.
Ийм тохиолдлуудад ихэвчлэн хэлдэг шиг бид хоёр цуврал утгыг хүлээн авсан:
$\frac(π)(6) +2 π*k$ ба $\frac(5π)(6) +2π*k$.
Хариулт: $t=\frac(π)(6) +2 π*k$ ба $t=\frac(5π)(6) +2π*k$.

Жишээ 4.
Тооны тойрог дээрх абсцисса $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ цэгүүдийг олоод аль $t$ тоотой тохирч байгааг бич.

Шийдэл:

$x =-\frac(\sqrt(2))(2)$ шулуун шугам нь тооны тойргийг M ба P цэгүүдээр огтолж байна. $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ тэгш бус байдал тохирч байна. PM нумын цэгүүд рүү. M цэг нь $3\frac(π)(4)$ тоотой тохирч байна (хүснэгтийн өгөгдлөөс). Энэ нь $-\frac(3π)(4) +2π*k$ хэлбэрийн дурын тоо гэсэн үг. P цэг нь $-\frac(3π)(4)$ тоотой тохирч байгаа тул $-\frac(3π)(4) +2π*k$ хэлбэрийн дурын тоотой тохирч байна.

Дараа нь бид $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$ болно.

Хариулт: $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$.

Бие даан шийдвэрлэх асуудал

1) Тооны тойрог дээрх цэгийн координатыг ол: $P(\frac(61π)(6))$.
2) Тооны тойрог дээрх цэгийн координатыг ол: $P(-\frac(52π)(3))$.
3) Тооны тойрог дээрх ординат $y = -\frac(1)(2)$ цэгүүдийг олж, $t$ аль тоотой тохирч байгааг бич.
4) Тооны тойргоос $y ≥ -\frac(1)(2)$ ординаттай цэгүүдийг олоод аль $t$ тоотой тохирч байгааг бич.
5) Тооны тойргоос $x≥-\frac(\sqrt(3))(2)$ абсциссатай цэгүүдийг олоод аль $t$ тоотой тохирч байгааг бич.

Сургуульд тригонометрийн хичээлийг судлахдаа сурагч бүр "тооны тойрог" гэсэн маш сонирхолтой ойлголттой тулгардаг. Сурагч хожим нь тригонометрийг хэр сайн сурах нь сургуулийн багшийн энэ нь юу болох, яагаад хэрэгтэйг тайлбарлах чадвараас хамаарна. Харамсалтай нь багш бүр энэ материалыг тодорхой тайлбарлаж чаддаггүй. Үүнээс болж олон оюутан хэрхэн тэмдэглэхээ мэдэхгүй эргэлзэж байна тооны тойрог дээрх цэгүүд. Хэрэв та энэ өгүүллийг эцэс хүртэл уншвал ямар ч асуудалгүйгээр үүнийг хэрхэн хийхийг сурах болно.

Ингээд эхэлцгээе. Радиус нь 1 тойрог зуръя. Энэ тойргийн “хамгийн баруун” цэгийг үсгээр тэмдэглэе. О:

Баяр хүргэе, та дөнгөж сая нэгж тойрог зурлаа. Энэ тойргийн радиус 1 тул урт нь .

Тус бүрдээ бодит тоота цэгээс тооны тойргийн дагуух траекторийн уртыг тааруулж болно О. Цагийн зүүний эсрэг хөдөлгөөний чиглэлийг эерэг чиглэл болгон авна. Сөрөг тохиолдолд - цагийн зүүний дагуу:

Тооны тойрог дээрх цэгүүдийн байршил

Өмнө дурьдсанчлан, тооны тойргийн урт (нэгж тойрог) нь -тэй тэнцүү байна. Энэ тойрог дээр дугаар хаана байх вэ? Мэдээжийн хэрэг, цэгээс Оцагийн зүүний эсрэг бид тойргийн уртыг хагасаар явах хэрэгтэй бөгөөд бид хүссэн цэг дээрээ өөрсдийгөө олох болно. Үүнийг үсгээр тэмдэглэе Б:

Хагас тойрог замаар сөрөг чиглэлд алхвал ижил цэгт хүрч болохыг анхаарна уу. Дараа нь бид тоог нэгжийн тойрог дээр зурна. Өөрөөр хэлбэл, тоонууд нь ижил цэгтэй тохирч байна.

Түүгээр ч зогсохгүй энэ цэг нь , , , тоонуудтай тохирч, ерөнхийдөө , хэлбэрээр бичиж болох хязгааргүй тооны олонлогтой тохирч байна, өөрөөр хэлбэл бүхэл тооны олонлогт хамаарна. Энэ бүх учир нь цэгээс БТа ямар ч чиглэлд "дэлхийг тойрон" аялж (тойрог нэмэх, хасах) ижил цэгт хүрч болно. Бид ойлгож, санаж байх ёстой чухал дүгнэлтийг олж авдаг.

Тоо бүр нь тооны тойргийн нэг цэгтэй тохирч байна. Гэхдээ тооны тойргийн цэг бүр нь хязгааргүй тооны тоотой тохирч байна.

Одоо тооны тойргийн дээд хагас тойргийг цэгээр тэнцүү урттай нумуудад хуваацгаая C. Нумын уртыг харахад хялбар байдаг О.Ч.тэнцүү . Одоо гол зүйлээ хойшлуулъя Cцагийн зүүний эсрэг чиглэлд ижил урттай нум. Үүний үр дүнд бид зорилгодоо хүрэх болно Б. Үр дүн нь нэлээд хүлээгдэж байгаа тул . Энэ нумыг дахин нэг чиглэлд тавья, гэхдээ одоо цэгээс Б. Үүний үр дүнд бид зорилгодоо хүрэх болно Д, аль хэдийн дугаартай тохирч байх болно:

Энэ цэг нь зөвхөн тоонд төдийгүй, жишээлбэл, тоотой тохирч байгааг дахин анхаарна уу, учир нь энэ цэгээс холдох замаар хүрч болно. Оцагийн зүүний дагуу дөрөвний тойрог (сөрөг чиглэл).

Ерөнхийдөө энэ цэг нь хэлбэрээр бичиж болох хязгааргүй олон тоотой тохирч байгааг бид дахин тэмдэглэж байна. . Гэхдээ тэдгээрийг мөн хэлбэрээр бичиж болно. Эсвэл хэрэв хүсвэл . Эдгээр бүх бүртгэл нь туйлын тэнцүү бөгөөд тэдгээрийг бие биенээсээ авч болно.

Одоо нумыг хувааж үзье О.Ч.хагас цэг М. Одоо нумын урт хэд болохыг олж мэдээрэй ОМ? Энэ нь зөв, нумын хагас нь О.Ч.. Тэр бол . Цэг нь ямар тоотой тохирч байна вэ? Мтооны тойрог дээр? Одоо та эдгээр тоонуудыг гэж бичиж болно гэдгийг ойлгох болно гэдэгт итгэлтэй байна.

Гэхдээ үүнийг өөрөөр хийж болно. Авцгаая . Дараа нь бид үүнийг авдаг . Өөрөөр хэлбэл, эдгээр тоог маягтаар бичиж болно . Тооны тойргийг ашиглан ижил үр дүнг авч болно. Би аль хэдийн хэлсэнчлэн, хоёр бүртгэл нь тэнцүү бөгөөд тэдгээрийг бие биенээсээ авч болно.

Одоо та оноо тохирох тоонуудын жишээг хялбархан өгч болно Н, ПТэгээд Ктооны тойрог дээр. Жишээлбэл, тоонууд болон:

Ихэнхдээ тооны тойрог дээрх харгалзах цэгүүдийг тодорхойлохын тулд хамгийн бага эерэг тоонуудыг авдаг. Хэдийгээр энэ нь огт шаардлагагүй боловч хугацаа Н, та бүхний мэдэж байгаачлан, бусад тоонуудын хязгааргүй тоотой тохирч байна. Жишээлбэл, тоо орно.

Хэрэв та нумыг эвдвэл О.Ч.цэгүүдтэй тэнцүү гурван нум болгон СТэгээд Л, тэгэхээр энэ бол гол зүйл юм Сцэгүүдийн хооронд байх болно ОТэгээд Л, дараа нь нумын урт OSба нумын урттай тэнцүү байх болно OL-тэй тэнцүү байх болно. Хичээлийн өмнөх хэсэгт олж авсан мэдлэгээ ашигласнаар тоон тойрог дээрх үлдсэн цэгүүд хэрхэн гарч ирснийг хялбархан олж мэдэх боломжтой.

Тооны тойрог дээрх π-ийн үржвэр биш тоо

Одоо өөрөөсөө асуулт асууя: 1-ийн тоонд тохирох цэгийг тоон шулуун дээр хаана тэмдэглэх вэ? Үүнийг хийхийн тулд та нэгж тойргийн хамгийн "баруун" цэгээс эхлэх хэрэгтэй Оурт нь 1-тэй тэнцүү байх нумыг зур. Бид зөвхөн хүссэн цэгийн байршлыг ойролцоогоор зааж өгч чадна. Дараах байдлаар үргэлжлүүлье.

Та тооны тойргийн талаар аль хэдийн уншиж, түүнийг яагаад тооны тойрог гэж нэрлэдэг, координатын гарал үүсэл түүн дээр байгаа, аль тал нь эерэг чиглэл болохыг мэдсэн байх гэж найдаж байна. Үгүй бол гүй! Мэдээжийн хэрэг та тооны тойрог дээр оноо олохгүй бол.

Бид \(2π\), \(π\), \(\frac(π)(2)\), \(-\frac(π)(2)\), \(\frac(3π) гэсэн тоонуудыг тэмдэглэдэг. (2)\)

Тооны тойргийн радиус нь \(1\) гэдгийг өмнөх нийтлэлээс мэдэж байгаа. Энэ нь тойрог нь \(2π\)-тай тэнцүү байна гэсэн үг (\(l=2πR\) томъёогоор тооцоолсон). Үүнийг харгалзан бид тооны тойрог дээр \(2π\) тэмдэглэнэ. Энэ тоог тэмдэглэхийн тулд бид тооны тойргийн дагуу \(0\) цэгээс эерэг чиглэлд \(2π\)-тай тэнцэх зайд шилжих шаардлагатай бөгөөд тойргийн урт нь \(2π\) тул эргэх болно. бид хийх болно бүрэн эргэлт. Өөрөөр хэлбэл \(2π\) ба \(0\) тоо нь ижил цэгтэй тохирч байна. Санаа зоволтгүй, нэг цэгийн олон утга нь тооны тойрогт хэвийн байна.

Одоо тооны тойрог дээрх \(π\) тоог тэмдэглэе. \(π\) нь \(2π\)-ийн тал юм. Тиймээс энэ тоо болон харгалзах цэгийг тэмдэглэхийн тулд та \(0\) цэгээс эерэг чиглэлд хагас тойрог явах хэрэгтэй.

Цэгийг тэмдэглэе \(\frac(π)(2)\) . \(\frac(π)(2)\) нь \(π\-ийн тэн хагас нь) тул энэ тоог тэмдэглэхийн тулд \(0\) цэгээс эерэг чиглэлд \(-ийн хагастай тэнцэх зайд явах хэрэгтэй. π\), энэ нь дөрөвний тойрог юм.

Тойрог дээрх цэгүүдийг тэмдэглэе \(-\)\(\frac(π)(2)\) . Бид өнгөрсөн үеийнхтэй ижил зайд, гэхдээ сөрөг чиглэлд шилждэг.

\(-π\) тавья. Үүнийг хийхийн тулд сөрөг чиглэлд хагас тойрогтой тэнцэх зайг алхцгаая.

Одоо илүү төвөгтэй жишээг харцгаая. Тойрог дээр \(\frac(3π)(2)\) тоог тэмдэглэе. Үүнийг хийхийн тулд бид \(\frac(3)(2)\) бутархайг \(\frac(3)(2)\) \(=1\)\(\frac(1)(2)\ болгон хөрвүүлнэ. ), өөрөөр хэлбэл e. \(\frac(3π)(2)\) \(=π+\)\(\frac(π)(2)\) . Энэ нь та \(0\) цэгээс эерэг чиглэлд хагас тойрог, өөр дөрөвний нэг зайд явах хэрэгтэй гэсэн үг юм.

Дасгал 1. Тооны тойрог дээр \(-2π\),\(-\)\(\frac(3π)(2)\) цэгүүдийг тэмдэглэ.

Бид \(\frac(π)(4)\), \(\frac(π)(3)\), \(\frac(π)(6)\) тоог тэмдэглэнэ.

Дээрээс бид тоон тойргийн \(x\) ба \(y\) тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийн утгуудыг олсон. Одоо завсрын цэгүүдийн байрлалыг тодорхойлъё. Эхлээд \(\frac(π)(4)\) , \(\frac(π)(3)\) ба \(\frac(π)(6)\) цэгүүдийг зуръя.
\(\frac(π)(4)\) нь \(\frac(π)(2)\)-ын тал нь (өөрөөр хэлбэл \(\frac(π)(4)\) \(=\)\ ( \frac(π)(2)\) \(:2)\) , тэгэхээр \(\frac(π)(4)\) нь дөрөвний нэг тойрог байна.

\(\frac(π)(4)\) нь \(π\)-ийн гуравны нэг (өөрөөр хэлбэл \(\frac(π)(3)\) \(=π:3\)), тиймээс зай \ (\frac(π)(3)\) нь хагас тойргийн гуравны нэг юм.

\(\frac(π)(6)\) нь \(\frac(π)(3)\)-ийн хагас нь (эцэст нь \(\frac(π)(6)\) \(=\)\( \frac (π)(3)\) \(:2\)) тиймээс \(\frac(π)(6)\) зай нь \(\frac(π)(3)\) зайны тал юм.

Тэд бие биентэйгээ харьцуулахад ийм байдлаар байрладаг.

Сэтгэгдэл:\(0\), \(\frac(π)(2)\) ,\(π\), \(\frac(3π)(2)\) , \(\frac(π) утгатай цэгүүдийн байршил ( 4)\) , \(\frac(π)(3)\) , \(\frac(π)(6)\) зүгээр л санаж байх нь дээр. Тэдгээргүйгээр тооны тойрог нь мониторгүй компьютер шиг ашигтай зүйл мэт боловч хэрэглэхэд туйлын тохиромжгүй юм.

Тойрог дээрх өөр өөр зайг тодорхой харуулав.

Бид \(\frac(7π)(6)\), \(-\frac(4π)(3)\), \(\frac(7π)(4)\) тоог тэмдэглэнэ.

Тойрог дээрх цэгийг тэмдэглэе \(\frac(7π)(6)\) , үүний тулд бид дараах хувиргалтыг хийнэ: \(\frac(7π)(6)\) \(=\)\(\ frac(6π + π)( 6)\) \(=\)\(\frac(6π)(6)\) \(+\)\(\frac(π)(6)\) \(=π+ \)\(\frac( π)(6)\) . Эндээс бид тэгээс эерэг чиглэлд \(π\), дараа нь өөр \(\frac(π)(6)\) зайг туулах хэрэгтэйг харж болно.

Тойрог дээр \(-\)\(\frac(4π)(3)\) цэгийг тэмдэглэ. Хувиргах: \(-\)\(\frac(4π)(3)\) \(=-\)\(\frac(3π)(3)\) \(-\)\(\frac(π)( 3)\) \(=-π-\)\(\frac(π)(3)\) . Энэ нь \(0\)-аас та сөрөг чиглэлд \(π\) зай, мөн \(\frac(π)(3)\) явах хэрэгтэй гэсэн үг юм.

\(\frac(7π)(4)\) цэгийг зуръя, үүний тулд бид \(\frac(7π)(4)\) \(=\)\(\frac(8π-π)(4) хувиргана. )\) \ (=\)\(\frac(8π)(4)\) \(-\)\(\frac(π)(4)\) \(=2π-\)\(\frac(π) )(4) \) . Энэ нь \(\frac(7π)(4)\) утгатай цэгийг байрлуулахын тулд \(2π\) утгатай цэгээс сөрөг тал руу \(\) зайд шилжих шаардлагатай гэсэн үг юм. frac(π)(4)\) .

Даалгавар 2. \(-\)\(\frac(π)(6)\) ,\(-\)\(\frac(π)(4)\) ,\(-\)\(\frac) цэгүүдийг тэмдэглэ. тооны тойрог (π)(3)\) ,\(\frac(5π)(4)\) ,\(-\)\(\frac(7π)(6)\) ,\(\frac(11π) (6) \) , \(\frac(2π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(3π)(4)\) .

Бид \(10π\), \(-3π\), \(\frac(7π)(2)\) ,\(\frac(16π)(3)\), \(-\frac(21π) тоонуудыг тэмдэглэдэг. )( 2)\), \(-\frac(29π)(6)\)

\(10π\) гэж \(5 \cdot 2π\) хэлбэрээр бичье. \(2π\) нь зай гэдгийг санаарай урттай тэнцүүтойрог, тиймээс \(10π\) цэгийг тэмдэглэхийн тулд та тэгээс \(5\) тойрогтой тэнцүү зайд шилжих хэрэгтэй. Бид дахин \(0\) цэг дээр ирнэ гэдгийг таахад хэцүү биш, зүгээр л таван эргэлт хий.

Энэ жишээнээс бид дүгнэж болно:

\(n∈Z\) (өөрөөр хэлбэл \(n\) нь дурын бүхэл тоо) гэсэн \(2πn\) зөрүүтэй тоонууд ижил цэгт тохирно.

Өөрөөр хэлбэл, \(2π\)-аас их (эсвэл \(-2π\)-ээс бага) тоо тавихын тулд түүнээс тэгш тоо \(π\) (\(2π\), \(8π\), \(-10π\)…) ба устга. Тиймээс бид цэгийн байрлалд нөлөөлөхгүй тооноос "хоосон хувьсгал" -ыг хасах болно.

Өөр нэг дүгнэлт:

\(0\) харгалзах цэг нь бүх тэгш хэмжигдэхүүнтэй тохирч байна \(π\) (\(±2π\),\(±4π\),\(±6π\)…).

Одоо тойрогт \(-3π\) хэрэглэнэ. \(-3π=-π-2π\), энэ нь \(-3π\) ба \(–π\) тойрог дээрх нэг газар байна (учир нь \(-2π-д "хоосон эргэлт"-ээр ялгаатай. \)).

Дашрамд хэлэхэд бүх сондгой \(π\) тэнд бас байх болно.

\(π\) харгалзах цэг нь \(π\) (\(±π\),\(±3π\),\(±5π\)…) бүх сондгой хэмжигдэхүүнтэй тохирч байна.

Одоо \(\frac(7π)(2)\) тоог тэмдэглэе. Бид ердийнхөөрөө: \(\frac(7π)(2)\) \(=\)\(\frac(6π)(2)\) \(+\)\(\frac(π)(2) \ ) \(=3π+\)\(\frac(π)(2)\) \(=2π+π+\)\(\frac(π)(2)\) . Бид хоёр пи-г хаясан бөгөөд \(\frac(7π)(2)\) тоог тодорхойлохын тулд та тэгээс эерэг чиглэлд \(π+\)\(\) -тэй тэнцүү зайд шилжих хэрэгтэй болж байна. frac(π)(2)\ ) (жишээ нь хагас тойрог, өөр дөрөвний нэг).

Ахлах сургуулийн сурагчид хэзээ ч хичээлдээ асуудалтай тулгарахыг мэддэггүй. Орос хэлнээс эхлээд амьдралын аюулгүй байдал хүртэл сургуульд сурсан аливаа хичээл нь хүндрэл учруулдаг. Нэг нь эрдэм шинжилгээний салбаруудСургуулийн хүүхдүүдийн байнга хөлсөө урсгадаг хичээл бол алгебр. Алгебрийн шинжлэх ухаан нь долоодугаар ангиасаа эхлэн хүүхдүүдийн оюун санааг айлгаж эхэлдэг бөгөөд арав, арваннэгдүгээр жилдээ энэ бизнесээ үргэлжлүүлдэг. Өсвөр насныхан янз бүрийн арга хэрэгслээр амьдралаа хөнгөвчлөх боломжтой бөгөөд үүнд үргэлж шийдэгч орно.

Алгебрийн 10-11-р ангийн GDZ-ийн цуглуулга (Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева)үндсэн номонд маш сайн нэмэлт юм. -ээр дамжуулан лавлагаа мэдээлэлоюутан аливаа дасгалыг шийдвэрлэхэд бэлэн байна. Даалгаврууд нь дараахь сэдвүүдэд дүн шинжилгээ хийх болно.

• тригонометрийн функц ба тэгшитгэл;
• логарифм;
• градус.

Өгөгдсөн хариулт, тайлбарууд нь хүүхдэд зайлшгүй туслах шаардлагатай зохиогчийн тэмдэглэлтэй байна.

Яагаад танд шийдэгч хэрэгтэй байна вэ?

Энэхүү нийтлэл нь бүх сургуулийн сурагчдад материалыг бие даан судалж, сэдвийг буруу ойлгосон эсвэл орхигдуулсан тохиолдолд чанарыг алдагдуулахгүйгээр өөрөө үзэх боломжийг олгодог. Түүнчлэн, лавлагаа өгөгдөл нь ирээдүйд бие даасан, үр дүнтэй бэлтгэх боломжийг олгодог туршилтууд. Хамгийн сониуч оюутнууд дагаж болно сургалтын хөтөлбөрурагшлах бөгөөд энэ нь ирээдүйд мэдлэгийг өөртөө шингээж, дундаж оноог нэмэгдүүлэхэд эерэгээр нөлөөлнө.

Арав, арваннэгдүгээр ангийн хүүхдүүдээс гадна Алимовын 10-11-р ангийн алгебрийн гарын авлагаЭцэг эх, багш нар үүнийг хялбархан ашиглах боломжтой: эхнийх нь хүүхдийн мэдлэгийг хянах хэрэгсэл болж, дараагийнх нь өөрийн материалыг боловсруулах үндэс суурь болно. тестийн даалгаварангийн үйл ажиллагаанд зориулагдсан.

Цуглуулга хэрхэн зохион байгуулагдсан

Эх сурвалж нь сурах бичгийн бүтцийг бүрэн дагаж мөрддөг. Дотор нь хэрэглэгч 1624 дасгалын хариулт, мөн арван гурван бүлэгт хуваагдсан "Өөрийгөө сорих" хэсгийн даалгавруудыг үзэх боломжтой. Түлхүүрийг 24 цагийн турш ашиглах боломжтой бөгөөд дугаарыг хайлтын талбар эсвэл тохиромжтой навигаци ашиглан олох боломжтой.

5. Аливаа аргументын ТРИГОНОМЕТРИЙН функцууд

§ 20. НЭГЖИЙН ТОЙРОГ

948. Нэгж тойргийн нумын урт ба түүний радиан хэмжигдэхүүн хоёрын хооронд ямар хамааралтай вэ?

949. Нэгж тойрог дээр тоонуудтай харгалзах цэгүүдийг байгуул: 0; 1; 2; 3; 4; 5; .... Эдгээр цэгүүдийн аль нэг нь давхцаж болох уу? Яагаад?

950. Тоонуудыг α = 1 / 2 томъёогоор өгнө к, Хаана к= 0; ±1; ±2; ....
Тооны шулуун ба нэгж тойрог дээр эдгээр тоонуудтай тохирох цэгүүдийг байгуул. Тооны шулуун дээр хэдэн ийм цэг, нэгж тойрог дээр хэд байх вэ?

951. Нэгж тойрог ба тооны тэнхлэг дээрх тоонуудтай тохирох цэгүүдийг тэмдэглэ.
1) α = π к, к= 0; ±1, ±2, ...;
2) α = π / 2 (2к + 1), к= 0; ± 1; ±2; ...;
3) α = π к / 6 , к= 0; ±1; ±2; ... .
Тооны шулуун дээр хэдэн ийм цэг, нэгж тойрог дээр хэд байдаг вэ?

952. Тооны тэнхлэг ба нэгж тойрог дээр байрлах тоонуудтай харгалзах цэгүүд хэрхэн вэ?
1) АТэгээд - А; 2) АТэгээд А±π; 3) А+ π ба А- π; 4) АТэгээд А+ 2π к, к= 0; ±1; ±2; ...?

953. Тоонуудыг тооны тэнхлэг дээрх цэгээр дүрслэх, нэгж тойрог дээрх цэгээр илэрхийлэх үндсэн ялгаа нь юу вэ?

954. 1) Нэгж тойргийн огтлолцох цэгүүдэд тохирох хамгийн бага сөрөг бус тоог ол: a) координатын тэнхлэгүүдтэй; б) координатын өнцгийн биссектрисатай.

2) Тухайн тохиолдол бүрт бичнэ үү ерөнхий томъёонэгж тойргийн заасан цэгүүдэд тохирох тоонууд.

955. Үүнийг мэдсээр байж Ань нэгж тойргийн өгөгдсөн цэгт харгалзах тоонуудын нэг бол дараахь зүйлийг олоорой.
1) өгөгдсөн цэгт тохирох бүх тоо;
2) өгөгдсөнтэй тэгш хэмтэй нэгж тойрог дээрх цэгт тохирох бүх тоонууд:
a) x тэнхлэгтэй харьцуулахад; б) ординатын тэнхлэгтэй харьцуулахад; в) гарал үүсэлтэй харьцуулахад.
Зөвшөөрөх замаар асуудлыг шийдээрэй А = 0; π / 2 ; 1 ; 2 ; π / 6; - π / 4 .

956. Тоонууд хангагдсан нөхцөлийг ол А, харгалзах:
1) нэгж тойргийн 1-р улирлын цэгүүд;
2) нэгж тойргийн 2-р улирлын цэгүүд;
3) нэгж тойргийн 3-р улирлын цэгүүд;
4) нэгж тойргийн 4-р улирлын цэгүүд.

957. Нэгж тойрогт бичсэн энгийн найман өнцөгт ABCDEFKL-ийн А орой нь координаттай (1; 0) байна (Зураг 39).

1) Найман өнцөгтийн үлдсэн оройнуудын координатыг тодорхойл.
2) Нэгж тойргийн төгсгөлийн нумын ерөнхий томъёог үүсгэ.
a) A, C, E, K цэгүүдэд; b) B, D, F, L цэгүүдэд; в) A, B, C, D, E, F, K, L цэгүүдэд.

958. 1) Ординат нь 0.5 байх нэгж тойрог дээр цэг байгуул. Нэгж тойргийн хэдэн цэгт өгөгдсөн ординат байна вэ? Эдгээр цэгүүд ординатын тэнхлэгтэй харьцуулахад хэрхэн байрладаг вэ?

2) Төгсгөл нь 0.5 ординаттай үнэмлэхүй утгын хамгийн бага нумыг протектороор (1°-ийн нарийвчлалтай) хэмжиж, ординаттай цэгүүдээр төгссөн нэгж тойргийн нумын ерөнхий томьёог гарга. 0.5.

959. Ординатыг авч 958-р бодлогыг шийд цагттэнцүү:

1) - 0,5; 2) 0 4; 3) 0,5√3 .

960. 1) Нэгж тойрог дээр абсцисс нь 0.5 байх цэгийг байгуул. Нэгж тойргийн хэдэн цэг өгөгдсөн абсциссатай вэ? Эдгээр цэгүүд x тэнхлэгтэй харьцуулахад хэрхэн байрладаг вэ?

2) Төгсгөлд нь 0.5-тай тэнцэх абсциссатай хамгийн жижиг эерэг нумыг протектороор (1°-ийн нарийвчлалтай) хэмжиж, 0.5-ын абсциссатай цэгүүдээр төгссөн нэгж тойргийн нумын ерөнхий томьёог гарга.

961. Абсциссыг авч 960-р асуудлыг шийд Xтэнцүү:

1) - 2 / 3 ; 2) 0,4; 3) 0,5√2 .

962. Томъёогоор өгөгдсөн нэгж тойргийн нумуудын төгсгөлийн координатыг тодорхойлно уу. к= 0; ±1; ±2; ...):

1) α = 30°(2 к+ 1); 2) α = π к / 3 .

963. Дараах өнцгийн цувааг илэрхийлнэ үү ( к= 0; ±1; ±2; ...):

1) α 1 = 180° к+ 120 ° ба α 2 = 180 ° к+ 30°;

2) α 1 = π к + π / 6 ба α 2 = π к - π / 3 ;

3) α 1 = 90° кба α 2 = 45° (2 к + 1);

4) α 1 = π кба α 2 = π / 3 (3к± 1);

5) α 1 = 120° к± 15 ° ба α 2 = 120 ° к± 45 °;

6) α 1 = π к; α2 = 2π к ± π / 3 ба α 3 = 2л к± 2π / 3 ;

7) α 1 = 180° к+ 140°; α 2 = 180 ° к+ 80 ° ба α 3 = 180 ° к+ 20°;

8) α 1 = 180° к + (-1)к 60 ° ба α 2 = 180 ° к - (-1)к 60°.

964. Дараах томъёонуудын давхардсан өнцгийг арилгана уу ( к= 0-±1; ±2; ...):

1) α 1 = 90° кба α 2 = 60 ° к+ 30°;

2) α 1 = π к / 2 ба α 2 = π к / 5 ;

3) α 1 = 1/4 π кба α 2 = 1/2 π к± 1/4 π;

4) α 1 = π (2 к+ 1) - π / 6 ба α 2 = 2/5 π к+ 1 / 30 π;

5) α 1 = 72° к+ 36 ° ба α 2 = 120 ° к+ 60°.