Энгийн бутархайн түүх. Төсөл "Бутархайн түүхээс" Эрдэм шинжилгээний ажил Үе үе бутархайн тухай сонирхолтой баримтууд

Ишченко Александра

“Бутархайн түүхээс” төслийн хүрээнд 6-р ангийн сурагчдын хийсэн илтгэлүүдийн нэг. үед судалгааны үйл ажиллагааОюутнууд энгийн бутархай гэдэг нь математикчдын зохион бүтээсэн зүйл эсвэл үзэл баримтлал гэсэн асуултанд хариулах ёстой байв практик үйл ажиллагаахүн. Янз бүрийн улс орнууд, өөр өөр түүхэн эрин үед фракц үүссэн түүхийг судалж байхдаа оюутнууд энэ асуултад хариулдаг. Танилцуулгад Сонирхолтой баримтуудэртний математикийн номнуудын гэрэл зургуудыг толилуулж байна. Энэхүү илтгэлийг "Бутархай" сэдвээр хичээлд ашиглаж, тухайн сэдвийн сонирхлыг бий болгож болно.

Татаж авах:

Слайдын тайлбар:

Эрт дээр үеэс хүмүүс зөвхөн объектыг тоолж зогсохгүй,

Энэ нь натурал тоо, мөн урт, цаг, талбайг хэмжих шаардлагатай байв. Хэмжилтийн үр дүнг үргэлж илэрхийлдэггүй натурал тоо, эд анги, хувьцааг харгалзан үзэх шаардлагатай байв. Фракцууд ингэж гарч ирсэн.

Ишченко Саша, 6D анги,

Хотын боловсролын байгууллага "87-р гимнази", 2009 он.

Бутархай хэсгүүдийн тухай анхны дурдлагыг эртний Вавилоны шавар хавтангаас олжээ.

Энэ муж нь МЭӨ ойролцоогоор гурван мянган жилийн өмнө Тигр, Евфрат мөрний хөндийд байрладаг байв.

Вавилоны "текстүүд" нь ихэвчлэн гарын алганы хэмжээтэй шавар шахмал хэлбэрээр бидэнд ирдэг. Тэдгээр нь шаантаг хэлбэртэй цагаан толгойн дөрвөлжин үсгээр бичигдсэн байдаг.

Тэдний арифметик нь 60-ын суурьтай байсан бөгөөд Вавилоны математикт бүхэл тоо ба бутархайн хувьд жижиг жижиг системийг ашигладаг байсан бөгөөд бутархайг 60-тай тэнцүү тогтмол хуваагчаар бичдэг байв.

Жишээлбэл,

Хожим нь эртний Египетчүүд 1/2, 1/3, 1/28 фракцуудыг нэвтрүүлсэн - тэдгээрийг үндсэн буюу нэгж гэж нэрлэдэг байсан; 2/3 фракцын тусгай тэмдэглэгээ байсан бөгөөд энэ нь бусад фракцуудын тэмдэглэгээтэй давхцдаггүй байв.

Египетчүүд бусад бүх бутархайг хувьцааны нийлбэр гэж бичихийг оролдсон, өөрөөр хэлбэл. 1/n хэлбэрийн бутархай.

Жишээлбэл, 8/15-ын оронд 1/3+1/5 гэж бичсэн. Заримдаа энэ нь тохиромжтой байсан

МЭӨ 2000 оны эртний Египетийн папирус.

Нэгж бутархайг ашиглан тооцоолох аргууд нь Египетчүүдээс Грек рүү, Грекчүүдээс Арабуудад, тэднээс баруун Европ.

Сонирхолтой бутархай систем байсан Эртний Ром. Массын нэгж, 1 илжиг нь 12 хэсэгт хуваагдсан бөгөөд үүний дагуу Ромчууд арван хоёр аравтын бутархайг ашигласан.

Бидний 1/12 гэж нэрлэдэг бутархайг Ромчууд "унц" гэж нэрлэдэг байсан ч урт эсвэл өөр хэмжигдэхүүнийг хэмжихэд ашигладаг байсан; бидний 1/8 гэж нэрлэдэг фракцыг Ромчууд "нэг хагас унц" гэж нэрлэдэг байв.

Ром хүн 7 унц замыг туулсан эсвэл 5 унц ном уншсан гэж хэлж болно. Үүний зэрэгцээ тэд зам, номыг жинлээгүй нь мэдээж.

Энэ нь замын 7/12 хэсгийг хамарсан эсвэл номын 5/12 хэсгийг уншсан гэсэн үг юм.

Бутархайг тоологч болон хуваагчтай бичих орчин үеийн системийг эртний Энэтхэгт бий болгосон боловч индианчууд бутархай шугам бичдэггүй байв.
Энэтхэгийн эрдэмтэн Брахмагуптагийн (МЭ 8-р зуун) гаргасан бутархайтай ажиллах дүрэм нь манайхаас арай л ялгаатай.Бутархайг Энэтхэгийн тэмдэглэгээ, тэдгээртэй ажиллах дүрмийг 9-р зуунд Лалын шашинтай орнуудад сурсан. Узбек эрдэмтэн Хорезмын Мухаммед (аль-Хорезми) .

Тэднийг Баруун Европт Италийн худалдаачин, эрдэмтэн Леонардо Фибоначчи Пизагаас авчирсан (13-р зуун).

Пизагийн Леонардо

1170-1250 орчим

Эртний Орос дахь бутархайг хувьцаа гэж нэрлэдэг байсан, хожим нь эвдэрсэн тоо. Тиймээс 1 тоологчтой бутархайнууд өөрийн гэсэн нэртэй байв.

1/2 - хагас, хагас.

1\3 нь гуравны нэг юм.

1\4 - тэгш.

1\6 - гуравны хагас.

1\8 - хагас.

1\12 - гуравны хагас.

1\10 - аравны нэг (1.09 га)

МАГНИЦКИ

Леонтий Филиппович (1669-1739)

Нэгдүгээр хуудас

"Арифметик" орос сурах бичиг

Орос улсад 16-р зууныг хүртэл славян дугаарлалт хэрэглэж байсан. Зөвхөн Петр I-ийн үед аравтын тооллын системийг нэвтрүүлсэн бөгөөд энэ нь өнөөг хүртэл хадгалагдан үлджээ. 1903 онд Л.Ф.Магнитскийн "Арифметик" ном хэвлэгджээ. Эхний хэсэгт бүхэл тоогоор хийсэн үйлдлүүдийг, хоёр дахь нь эвдэрсэн тоонуудтай, өөрөөр хэлбэл. бутархай хэлбэрээр.

Энэ сэдвийг янз бүрийн уран зохиол, интернетээс судалсны дараа

Би ийм дүгнэлтэд хүрсэн:

Энгийн бутархай бол математикчдын бүтээл биш, харин ойлголт юм

ямар хүмүүс өөр өөр улс орнуудмөн өөр өөр түүхэн цаг үед өөрсдөө

Бид үүнийг бодож олоод амьдралдаа ашигласан.

Үндэстэн бүр өөр өөрийн нэр, бутархайн тэмдэглэгээг гаргаж ирсэн.

Математикчид зөвхөн үүнийг системчилсэн бөгөөд

Бид тохиромжтой бүртгэлийн маягт гаргаж ирэв.

4. http://images.yandex.ru/yandsearch?

5. http://ru.wikipedia.org/wiki

3. http://kosilova.textdriven.com/narod/studia3/math/translatio/babylon.htm

Уран зохиол

2. нэвтэрхий толь бичиг. Би дэлхийг судалж байна. Агуу эрдэмтэд. – М.: АСТ Publishing House LLC, 2003;

1. нэвтэрхий толь. Би дэлхийг судалж байна. Математик. – М.: “АСТ хэвлэлийн газар” ХХК,

Аравтын бутархай 3-р зуунд гарч ирэв. МЭӨ. Аравтын тооллын системийг ашигласан эртний Хятадад. 3-р зууны Хятадын математикч. Лю Хуй 10, 100 гэх мэт хуваагчтай бутархайг ашиглахыг зөвлөж байна. квадрат үндсийг гаргаж авах үед. Тэр дүрэм гэсэн үг

Дараа нь үүнийг Араб, Европын олон математикчид ихэвчлэн ашигладаг байсан. Энэ дүрэм нь бусад тооцооллын аргуудын хамт аравтын бутархайг шинжлэх ухаанд нэвтрүүлэхэд ихээхэн хувь нэмэр оруулсан юм.

15-р зуунд Аравтын бутархайн бүрэн онолыг Самаркандын одон орон судлаач Жемшид аль-Каши "Арифметикийн түлхүүр" (1427) зохиолд боловсруулсан. Тэрээр аравтын бутархайтай ажиллах дүрмийг нарийвчлан тодорхойлсон. Аль-Каши Хятадад аравтын бутархайг ашигладаг байсныг мэдээгүй байж магадгүй юм. Тэр өөрөө тэднийг өөрийн шинэ бүтээл гэж үздэг байв. Аравтын бутархайг байнга ашиглах, тэдгээртэй ажиллах дүрмийг тайлбарлах нь эрдэмтний шууд гавьяа гэдэгт эргэлзэхгүй байна. Гэвч түүний зохиолуудыг Европын эрдэмтэд мэддэггүй байв. Тэд бие даан аравтын бутархайн онолыг боловсруулсан.

Ийм бутархай системийг бий болгох санаа 13-р зуунаас хойш арифметикийн сурах бичигт үе үе гарч ирсэн. Энэ тухай Жордан Неморариус “Арван номонд өгүүлсэн арифметик” бүтээлдээ бичжээ.

Францын эрдэмтэн Франсуа Вьет 1579 онд Парист "Математикийн канон" хэмээх бүтээлээ хэвлүүлж, эмхэтгэхдээ аравтын бутархайг ашигласан тригонометрийн хүснэгтүүдийг танилцуулсан. Аравтын бутархай бичихдээ тэрээр ямар ч тодорхой аргыг баримталдаггүй байсан: заримдаа тэр бүхэл хэсгийг бутархай хэсгээс босоо шугамаар тусгаарлаж, заримдаа бүхэл хэсгийн тоог тодоор, заримдаа бутархай хэсгийн тоог бичдэг байв. жижиг үсгээр. Ийнхүү Вьетагийн ачаар аравтын бутархай нь шинжлэх ухааны тооцоололд нэвтэрч эхэлсэн боловч өдөр тутмын практикт нэвтэрч чадаагүй юм.

Голландын эрдэмтэн Саймон Стевин аравтын бутархайг бүх практик тооцоонд ашиглах ёстой гэж үздэг. Тэрээр аравтын бутархайн бутархайг нэвтрүүлж, дүрэм боловсруулсан "Арав" (1585) бүтээлээ үүнд зориулжээ. арифметик үйлдлүүдтэдэнтэй хамт мөнгөний нэгж, хэмжүүр, жингийн аравтын системийг санал болгов.

"Арав" хурдан Европт алдартай болсон. 1585 онд энэ номыг фламанд хэлээр хэвлүүлсний дараа зохиолч үүнийг орчуулжээ Франц, мөн 1601 онд англи хэл дээр хэвлэгдсэн.

Стивин бутархайг одоогийнхоос өөрөөр бичсэн. Дугуйлсан 0-ийг бутархай хэсгийг заахдаа ашигласан. Бутархай бичихдээ таслалыг анх 1592 онд хэрэглэж байжээ.Англид таслалын оронд цэг хэрэглэдэг байсан бол АНУ-д өнөөг хүртэл хэрэглэж байна. Тэрээр 1616-1617 онд таслалыг цэг шиг тусгаарлах тэмдэг болгон ашиглахыг санал болгосон. алдартай Английн математикчЖон Непьер. Одон орон судлаач Йоханнес Кеплер бүтээлдээ аравтын бутархайг ашигласан.

Орос улсад аравтын бутархайн тухай сургаалыг анх Л.Ф. Магнитский "Арифметик" номондоо.

Павликова Е.В. (, МАОУ Дятковская 5-р дунд сургууль)

1. Anishchenko E. A. Тоо нь математикийн үндсэн ойлголт. Мариуполь, 2002 он.

2. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математик. 5-р анги: боловсролын боловсролын байгууллагууд. – 26 дахь хэвлэл, устгасан. – М .: Mnemosyne, 2009. – 280 х.

3. Гейзер Г.И. Сургуулийн математикийн түүх. Багш нарт зориулсан гарын авлага. – М.: Боловсрол, 1981. – 239 х.

4. Математик. 5-р анги: ерөнхий боловсролын боловсрол. байгууллагууд / S.M. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, A.V. Шевкин. 11-р хэвлэл, шинэчилсэн. – М.: Боловсрол, 2016. – 272 х. – (МУИС - сургууль).

5. Математик нэвтэрхий толь бичиг. - М., 1988.

6. Драгунский V. Чи хошин шогийн мэдрэмжтэй байх ёстой. – Хандалтын горим: http://peskarlib.ru/lib.phpid_sst=248.

7. Бутархайн түүхээс. Хандалтын горим: http://schools.keldysh.ru/sch1905/drobi/history.htm.

8. Википедиагийн материал - үнэгүй нэвтэрхий толь. Хандалтын горим: http://ru.wikipedia.org/wiki.

9. Ишлэл. Хандалтын горим: http://citaty.socratify.net/lev-toltoi/25013.

Бутархайг судлах нь амьдрал өөрөө шийдэгддэг. Төрөл бүрийн тооцоолол, тооцоолол хийх чадвар нь хүн бүрт зайлшгүй шаардлагатай байдаг, учир нь бид бутархай хэсгүүдтэй тулгардаг. Өдөр тутмын амьдрал. Би эдгээр тоонуудын нэр хаанаас ирснийг мэдэхийг хүссэн; Эдгээр тоог гаргасан хүн бол бидний сургуульд сурч байгаа "Бутархай" сэдэв бол миний амьдралд зайлшгүй шаардлагатай сэдэв юм.

Судалгааны объект:энгийн бутархайн гарал үүслийн түүх.

Судалгааны сэдэв: энгийн бутархай.

Таамаглал: Бутархай тоо байхгүй байсан бол математик хөгжиж чадах уу?

Ажлын зорилго: математикийн танхимын “Бидний эргэн тойрон дахь математик” стендийг бутархайн тухай сонирхолтой баримтуудаар чимэглэх.

Даалгаварууд:

1. Математикт бутархай үүссэн түүхийг судлах;

2. Стендний хэсгүүдийг эмхэтгэхэд ашиглаж болох бутархайн тухай хамгийн сонирхолтой баримтуудыг сонго.

3. Математикийн танхимд стенд байрлуулах.

Бутархай хэсгүүдээр хүрээлэгдсэн амьдарч байгаа бид тэдгээрийг тэр бүр тодорхой анзаардаггүй. Гэсэн хэдий ч бид маш олон удаа тулгардаг: гэртээ, гудамжинд, дэлгүүрт. Өглөө сэрээд бид сэрүүлэг рүү харж, бутархайтай тулгардаг. Дэлгүүрт байгаа зүйлсийг жинлэхдээ бид бутархайг ашигладаг. Хэмжилтэд, ачааны хэмжээг тодорхойлохдоо. Бутархай хэсгүүд биднийг хаа сайгүй хүрээлж байдаг. Бутархайн тусламжтайгаар бид уртыг хэмжиж, бүхэл бүтэн хэсгийг хэсэг болгон хувааж болно. Бутархайг мэдэхгүй хүний өндөр эсвэл объект хоорондын зайг хэрхэн хэмжих вэ? Эргэн тойрон дахь бүх зүйл бутархай юм!

Хамааралтай байдал: Бутархайн практик хэрэглээний цар хүрээ өргөжиж байгаа тул орчин үеийн амьдрал бутархайн асуудлыг чухал болгож байна.

Судалгааны аргууд:

1. Бутархайн тухай мэдээллийг янз бүрийн эх сурвалжаас хайх: Интернет, уран зохиол, сурах бичиг.

2. Мэдээлэлд дүн шинжилгээ хийх, харьцуулах, нэгтгэх, системчлэх.

Энгийн бутархайн түүхээс

Бутархай хэсгүүдийн үүсэх

Эрт дээр үеэс практик чухал асуудлуудыг шийдвэрлэхийн тулд хүмүүс объектыг тоолж, тоо хэмжээг хэмжих, өөрөөр хэлбэл "хэдэн тоо вэ?" Гэсэн асуултанд хариулдаг байсан: сүрэгт хэдэн хонь байна, талбайгаас хэдэн хэмжүүр үр тариа цуглуулдаг вэ? , дүүргийн төвөөс хэдэн миль зайтай гэх мэт тоо гарч ирэв. Хэмжилтийн үр дүн эсвэл бүтээгдэхүүний өртгийг натурал тоогоор илэрхийлэх нь үргэлж боломжгүй байсан. Хүн шинэ бутархай тоо гаргах шаардлагатай үед бутархай тоо гарч ирэв. Эрт дээр үед бүхэл ба бутархай тоог өөр өөрөөр авч үздэг байсан: давуу эрх нь бүхэл тоонуудын талд байсан. "Хэрэв та нэгжийг хуваахыг хүсвэл математикчид чамайг шоолж, үүнийг хийхийг зөвшөөрөхгүй" гэж Афины академийг үүсгэн байгуулагч Платон бичжээ.

Бүх соёл иргэншилд бутархай гэсэн ойлголт нь бүхэл бүтэн хэсгийг тэнцүү хэсгүүдэд хуваах үйл явцаас үүссэн. Оросын "бутархай" гэсэн нэр томъёо нь бусад хэл дээрх аналогуудын нэгэн адил лат хэлнээс гаралтай. "Фрактура" гэдэг нь араб хэл дээрх ижил утгатай үгийн орчуулга юм: эвдэх, таслах. Тиймээс, хаа сайгүй анхны бутархай нь 1/n хэлбэрийн бутархай байсан байх. Цаашдын хөгжилМэдээжийн хэрэг, эдгээр бутархайнуудыг m/n - рационал тоонуудыг бүрдүүлж болох нэгж болгон авч үзэх хандлагатай байдаг. Гэсэн хэдий ч энэ замыг бүх соёл иргэншил дагаж мөрдөөгүй: жишээлбэл, эртний Египетийн математикт энэ нь хэзээ ч хэрэгждэггүй.

Хүмүүсийг танилцуулсан анхны фракц нь хагас байв. Хэдийгээр дараах бүх бутархайн нэр нь хуваагчийн нэртэй холбоотой (гурав нь "гурав", дөрөв нь "дөрөв" гэх мэт) боловч энэ нь хагас нь тийм биш юм - бүх хэл дээрх нэр нь ямар ч хамаагүй. "хоёр" гэсэн үгээр хий.

Бутархайг бүртгэх систем, тэдгээртэй харьцах дүрэм нь янз бүрийн ард түмний дунд эрс ялгаатай байв. өөр өөр цаг хугацааижил хүмүүсээс. Янз бүрийн соёл иргэншлийн соёлын харилцааны явцад олон тооны санаа бодлыг зээлж авах нь чухал үүрэг гүйцэтгэсэн.

Орос хэл дээрх бутархай

Орос хэлэнд "бутархай" гэдэг үг 8-р зуунд гарч ирсэн бөгөөд энэ нь "дроблит" - эвдэх, хэсэг болгон хуваах үйл үгээс гаралтай. Бутархайн орчин үеийн тэмдэглэгээ нь Эртний Энэтхэг: Арабууд ч бас хэрэглэж эхэлсэн.

Хуучин гарын авлагаас бид Орос хэл дээрх фракцуудын дараах нэрийг олдог.

Орос улсад 16-р зуун хүртэл славян дугаарлалт ашиглагдаж байсан бөгөөд дараа нь аравтын тооллын систем аажмаар тус улсад нэвтэрч эхэлсэн. Энэ нь эцэст нь Петр I-ийн удирдлаган дор славян дугаарлалтаас татгалзав.

ОХУ-д ашигласан газрын хэмжүүр нь дөрөвний нэг, түүнээс бага нь дөрөвний нэг хагас байсан бөгөөд үүнийг окмина гэж нэрлэдэг байв. Эдгээр нь бетоны фракцууд, дэлхийн талбайг хэмжих нэгжүүд байсан боловч октина нь цаг хугацаа, хурдыг хэмжиж чаддаггүй байв. Хэсэг хугацааны дараа октина нь ямар ч утгыг илэрхийлж болох хийсвэр фракц 1/8 гэсэн утгатай болсон. Бутархайн хэрэглээний тухай Орос XVIIзуунд В.Беллюстины “Хүмүүс хэрхэн аажмаар бодит арифметикт хүрсэн бэ” номноос дараах зүйлийг уншиж болно: “17-р зууны гар бичмэлд. “Тогтоолын бүх бутархайн тухай өгүүлэл нь бутархайг бичгээр тэмдэглэж, тоо, хуваагчийг зааснаас шууд эхэлнэ. Бутархайг дуудахдаа дараах шинж чанарууд сонирхолтой байдаг: дөрөв дэх хэсгийг дөрөвний нэг гэж нэрлэдэг байсан бол 5-аас 11 хүртэлх хуваарьтай бутархайг "ина" гэж төгссөн үгээр илэрхийлсэн тул 1/7 нь долоо хоног, 1/5 нь таван оноо, 1/10 нь аравны нэг; 10-аас дээш хуваагчтай хувьцааг "лот" гэсэн үгээр дууддаг, жишээлбэл 5/13 - багцын арван гуравны тав. Бутархай тоог барууны эх сурвалжаас шууд авсан. Тоолуурыг дээд тоо, хуваагчийг доод гэж нэрлэдэг байсан.”

Эртний бусад муж дахь бутархай

Эртний египетчүүдийн тоолох бүх дүрэм нь нэмэх, хасах, давхар тоо, бүтэн бутархайг нэгд оруулах чадвар дээр суурилдаг байв. Бутархайн хувьд тусгай тэмдэглэгээ байсан. Египетчүүд 1/n хэлбэрийн бутархайг ашигласан ба энд n нь натурал тоо юм. Ийм бутархайг аликвот гэж нэрлэдэг. Заримдаа m:n-ийг хуваахын оронд m-ийг үржүүлдэг байсан. n.

Энэ зорилгоор тусгай хүснэгтүүдийг ашигласан. Бутархайтай үйлдлүүд нь Египетийн арифметикийн шинж чанар байсан бөгөөд хамгийн энгийн тооцоолол нь заримдаа нарийн төвөгтэй асуудал болж хувирдаг гэж хэлэх ёстой. (Програм).

Өргөдөл

“Математик бидний эргэн тойронд” стенд

"Египтэд бутархай бичих" хүснэгт

Энэхүү хүснэгт нь хүлээн зөвшөөрөгдсөн хуулиудын дагуу нарийн төвөгтэй арифметик тооцооллыг хийхэд тусалсан. Сургуулийн хүүхдүүд үржүүлэх хүснэгтийг цээжилдэг шиг бичээчид цээжилсэн бололтой. Энэ хүснэгтийг мөн тоог хуваахад ашигладаг байсан. Египетчүүд мөн бутархайг хэрхэн үржүүлж, хуваахыг мэддэг байсан. Гэхдээ үржүүлэхийн тулд та бутархайг бутархайгаар үржүүлж, дараа нь хүснэгтийг дахин ашиглах хэрэгтэй байсан. Хуваалтын нөхцөл байдал бүр ч төвөгтэй байв.

Египетчүүд аль хэдийн орсон байна эртний цаг үеТэд 2 алимыг гурван хүнд хэрхэн хуваахыг мэддэг байсан: тэд бүр энэ тооны тусгай дүрстэй байсан. Дашрамд хэлэхэд, энэ нь Египетийн бичээчдийн хэрэглээний цорын ганц бутархай байсан бөгөөд тоологч хэсэгт нэгж байхгүй байсан - бусад бүх фракцууд нь тоологчд 1-тэй байсан (үндсэн бутархай гэж нэрлэдэг): 1/2, 1/3 , 1/17, ... гэх мэт. Бутархайд хандах ийм хандлага маш удаан хугацаанд байсаар ирсэн. Соёл иргэншил аль хэдийн үхсэн эртний египет, Нэгэн цагт ногоон бүс нутаг Сахарын элсэнд залгигдсан бөгөөд Сэргэн мандалтын үе хүртэл бүх үндсэн хэсгүүдийн нийлбэрт хуваагдсан байв!

Хятадад энгийн бутархайтай бараг бүх арифметик үйлдлүүд 2-р зуунд бий болсон. МЭӨ д.; тэдгээрийг математикийн мэдлэгийн үндсэн хэсэгт дүрсэлсэн байдаг эртний Хятад- “Есөн ном дахь математик” номын эцсийн хэвлэл нь Жан Кангийнх. Хятадын математикчид Евклидийн алгоритмтай төстэй дүрэмд (тоо ба хуваагчийн хамгийн том нийтлэг хуваагч) үндэслэн тооцоо хийснээр бутархай тоог багасгасан. Бутархайг үржүүлэх нь урт, өргөнийг бутархайгаар илэрхийлсэн тэгш өнцөгт талбайн талбайг олох гэж үздэг байв. Хуваалцах санааг ашиглан хуваах гэж үзсэн бол Хятадын математикчид энэ хэсэгт оролцогчдын тоо бутархай, жишээлбэл, 3 1/2 хүн байж болно гэж андуураагүй.

Эхэндээ хятадууд энгийн фракцуудыг ашигладаг байсан бөгөөд эдгээрийг ванны иероглиф ашиглан нэрлэжээ.

Бан (“хагас”) -1\2;

Шао бан (“жижиг хагас”) -1\3;

Тай банх (“том хагас”) -2\3.

Сонирхолтой нь, Вавилончууд тогтмол хуваагчийг (60-тай тэнцэх) илүүд үздэг байсан нь тэдний тооны систем нь хүйсийн жижиг байсан тул бололтой.

Ромчууд мөн 12-той тэнцүү зөвхөн нэг хуваагч ашигласан.

Энэтхэгт энгийн фракцын үзэл баримтлалын цаашдын хөгжилд хүрсэн. Энэ улсын математикчид нэгж бутархайгаас ерөнхий бутархай руу хурдан шилжиж чадсан. Ийм бутархайг анх удаа геометрийн бүтэц, зарим тооцооллын үр дүнг агуулсан Апастамбын (МЭӨ VII-V зуун) "Олсны дүрэм" номоос олжээ. Энэтхэгт тэмдэглэгээний системийг ашигласан - магадгүй Хятад, магадгүй хожуу Грек гаралтай - манайх шиг бутархайн тоог хувагчийн дээр бичсэн боловч бутархай шугамгүй, харин бутархайг бүхэлд нь нэг хэсэгт байрлуулсан байв. тэгш өнцөгт хүрээ.

Сонирхолтой фракцууд

"Бутархайн тухай мэдлэггүй бол хэнийг ч арифметик мэддэг гэж хүлээн зөвшөөрөхгүй!"

Хүмүүс мөнгө ашиглах бүртээ үргэлж бутархайтай тааралддаг: Дундад зууны үед 1 англи пенс = 1/12 шиллинг; Одоогийн байдлаар Оросын копейк = рублийн 1/100 байна.

Хэмжих систем нь фракцуудыг авч явдаг: 1 сантиметр = 1/10 дециметр = 1/100 метр.

Бутархай нь үргэлж моодонд орж ирсэн. Гурван улирлын ханцуйны загвар нь үргэлж хамааралтай байдаг. Мөн 7/8 тайрсан өмд бол хувцасны шүүгээний гайхалтай нарийн ширийн зүйл юм.

Та янз бүрийн хичээл дээр бутархайтай уулзаж болно. Тухайлбал, газар зүйд: “ЗСБНХУ оршин тогтнох үед Орос улс газар нутгийнхаа зургаагийн нэгийг эзэлж байсан. Одоо Орос улс газар нутгийн 9/1-ийг эзэлж байна." IN дүрслэх урлаг- хүний дүрсийг дүрслэх үед. Хөгжимд хэмнэл, хөгжмийн бүтээлийн хэмжүүр.

Хүн амьдралдаа "бутархай" гэдэг үгтэй тулгардаг:

Ан агнуурын винтовоос буудах жижиг хар тугалганы бөмбөг - буудсан.

Байнга, тасалдсан дуу чимээ - бөмбөр цохих.

Тэнгисийн цэргийн хүчинд "буудсан!" - гал зогсоох.

Байшингийн дугаарлалт. Хоёр огтлолцсон гудамжны дагуу дугаарласан байшинд бутархайгаар тусгаарлагдсан тоог байрлуулна.

Бүжиг дэх фракц. Оросын ардын бүжгийг бутархай, гүйлтгүйгээр төсөөлөхийн аргагүй юм.

Шүдээрээ нэг хэсгийг тогших - шүдээ хавирах (даарахаас чичирч, айх).

Уран зохиолд. Виктор Драгунскийн "Чи хошин шогийн мэдрэмжтэй байх ёстой" өгүүллэгийн баатар Дениска нэг удаа найз Мишкагаас хоёр алимыг хэрхэн гурвын хооронд тэнцүү хуваах вэ гэж асуужээ. Мишка эцэст нь бууж өгөхөд тэрээр "Компот хий!" Гэж хариулав. Мишка, Денис нар бутархайг сураагүй байсан бөгөөд 2 нь 3-т хуваагддаггүй гэдгийг баттай мэдэж байсан уу?

Хатуухан хэлэхэд "компот тогооч" гэдэг нь бутархайтай үйл ажиллагаа юм. Алимыг хэсэг хэсгээр нь хэрчиж, эдгээр хэсгүүдийн тоо хэмжээг нэмж, хасах, үржүүлж, хуваах болно - хэн биднийг зогсоох вэ?.. Бүхэл алим хэдэн жижиг хэсгүүдээс бүрдэхийг санах нь бидэнд чухал юм...

Гэхдээ тийм биш цорын ганц шийдвэрэнэ даалгавар! Та алим бүрийг гурван хэсэгт хувааж, хоёр ийм хэсгийг гурвууланд нь тараах хэрэгтэй.

Олон зууны турш ард түмний хэлээр тасархай тоог бутархай гэж нэрлэдэг байв. Жишээлбэл, та ямар нэг зүйлийг тэнцүү хуваах хэрэгтэй, жишээлбэл, чихэр, алим, нэг хэсэг элсэн чихэр гэх мэт. Үүнийг хийхийн тулд нэг хэсэг элсэн чихэрийг хоёр тэнцүү хагас болгон хувааж эсвэл хуваах ёстой. Тоонуудтай адилхан, хагасыг нь авахын тулд та нэг нэгжийг хоёр хэсэгт хуваах эсвэл "хуваах" хэрэгтэй. Эндээс л "эвдэрсэн" тоонууд гарч ирдэг.

Гурван төрлийн бутархай байдаг:

1. Нэгж (аликвот) эсвэл бутархай (жишээлбэл, 1/2, 1/3, 1/4 гэх мэт).

2. Системчилсэн, өөрөөр хэлбэл хуваагч нь тооны зэрэглэлээр илэрхийлэгддэг бутархай (жишээлбэл, 10 эсвэл 60-ын зэрэг гэх мэт).

3. Тоолуур ба хуваагч нь дурын тоо байж болох ерөнхий төрөл.

"Худал" - жигд бус, "бодит" - зөв гэсэн фракцууд байдаг.

Математик дахь бутархай - дүрслэлийн хэлбэр математик хэмжигдэхүүнүүдбүхэл бус тоо буюу бутархай гэсэн ойлголтыг анх тусгасан хуваах үйлдлийг ашигласан. Хамгийн энгийн тохиолдолд - тоон бутархай- хоёр тооны харьцаа

m/n бутархайд (унш: “em nths”) шугамын дээр байрлах m тоог тоологч, шугамын доор байрлах n тоог хуваагч гэж нэрлэдэг. Хуваагч нь бүхэл хэдэн тэнцүү хэсэгт хуваагдсаныг, тоологч нь хэдэн ийм хэсгүүдийг авсныг харуулна. Бутархай шугамыг хуваах тэмдэг гэж ойлгож болно.

Бутархайн орчин үеийн тэмдэглэгээг хэрэглэж, дэлгэрүүлж эхэлсэн Европын анхны эрдэмтэн бол Италийн худалдаачин, аялагч, хотын бичиг хэргийн ажилтан Фиббоначчийн хүү (Пизагийн Леонардо) юм.

1202 онд тэрээр "бутархай" гэдэг үгийг нэвтрүүлсэн.

Тоолуур ба хуваагч гэсэн нэрийг 13-р зуунд Грекийн лам, эрдэмтэн, математикч Максимус Плануд нэвтрүүлсэн.

Бутархай бичих орчин үеийн системийг Энэтхэгт бий болгосон. Гагцхүү тэнд хуваагчийг дээд талд, тоологчийг доод талд нь бичээд бутархай шугам бичээгүй. Арабууд одоогийнх шиг бутархай бичдэг болсон. Дундад зууны үеийн бутархайтай үйлдлүүд нь математикийн хамгийн хэцүү салбар гэж тооцогддог байв. Өнөөдрийг хүртэл Германчууд хүнд хэцүү байдалд орсон хүний тухай "бутархай болсон" гэж хэлдэг.

Бутархай нь хөгжимд бас үүрэг гүйцэтгэсэн. Одоо тодорхой хөгжмийн тэмдэглэлд урт нотыг бүхэлд нь хагас (хагас урт), дөрөвний нэг, арван зургаа, гучин секундэд хуваадаг. Тиймээс ямар ч хөгжмийн бүтээлийн хэмнэлийн зүй тогтол нь хэчнээн ээдрээтэй байсан ч энгийн бутархайгаар тодорхойлогддог. Гармони нь бутархайтай нягт холбоотой болсон нь Европчуудын "Тоо нь дэлхийг захирдаг" гэсэн гол санааг баталжээ.

“Хүн бол бутархайтай адил: тоологч нь өөрөө, хуваагч нь өөрийнхөө тухай юу гэж бодож байна. Хугацагч том байх тусам бутархай бага байна" (Л.Н. Толстой).

Судалгааны үндсэн үр дүн

Бутархай тоог судлах нь бүх цаг үеийн болон бүх ард түмний дунд математикийн хамгийн хэцүү хэсэг гэж тооцогддог. Бутархайг мэддэг хүмүүс ихэд хүндэтгэлтэй ханддаг байсан. 15-р зууны эртний славян гар бичмэлийн зохиогч. гэж бичжээ: "Бүтэн ... гэдэг нь гайхалтай биш, харин хэсэг хэсгээрээ ... гэдэг нь сайшаалтай."

Ажиллаж байхдаа би маш олон шинэ, сонирхолтой зүйлийг сурсан. Би нэвтэрхий толь бичгүүдээс олон ном, хэсэг уншсан. Би хүмүүсийн ажиллаж байсан анхны бутархай, аликвотын бутархай гэсэн ойлголттой танилцаж, бутархайн тухай сургаалыг хөгжүүлэхэд хувь нэмрээ оруулсан эрдэмтдийн шинэ нэрсийг олж мэдсэн. Ажлаа хийх явцдаа маш олон шинэ зүйл сурсан, энэ мэдлэг хичээлд хэрэг болно гэж бодож байна.

Дүгнэлт: Бутархайн хэрэгцээ нь хүний хөгжлийн маш эрт үед үүссэн. Амьдралд хүн зөвхөн объектыг тоолохоос гадна хэмжигдэхүүнийг хэмжих ёстой байв. Хүмүүс урт, газар нутаг, эзэлхүүн, биеийн жин, цагийг хэмжиж, худалдан авсан эсвэл худалдсан барааны төлбөрийг хийдэг. Хэмжилтийн үр дүн эсвэл бүтээгдэхүүний өртгийг натурал тоогоор илэрхийлэх нь үргэлж боломжгүй байсан. Бутархай, тэдгээрийг зохицуулах дүрэм ингэж гарч ирсэн.

Ажлын практик ач холбогдол

Би текст засварлагч дээр ажиллах ур чадварыг эзэмшсэн, интернетийн эх сурвалжтай ажилласан. Би математикийн танхимын “Бидний эргэн тойрон дахь математик” стендийг бутархайн тухай сонирхолтой баримтаар чимэглэх материалыг сонгосон (Хавсралт). Мөн стенд зохион бүтээсэн (Хавсралт).

Судалгааны үр дүнд би таамаглалыг баталсан: хүмүүс бутархайгүйгээр хийж чадахгүй, бутархайгүй бол математик хөгжиж чадахгүй.

Ном зүйн холбоос

Балбутская А.А. ФРАКЦИЙН ТУХАЙ СОНИРХОЛТОЙ // Шинжлэх ухаанаас эхэл. – 2017. – No5-2. – P. 265-268;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=874 (хандалтын огноо: 29/08/2019).

Хотын төсвийн боловсролын байгууллага

2-р дунд сургууль

ХИЙСЭН МЭДЭЭ

хичээл: "Математик"

энэ сэдвээр: "Ер бусын бутархай"

Гүйцэтгэсэн:

5-р ангийн сурагч

Фролова Наталья

Удирдагч:

Друщенко Е.А.

математикийн багш

Стрежевой, Томск муж


	Оршил
	Энгийн бутархайн түүхээс.
	Бутархай хэсгүүдийн үүсэх.
	Эртний Египт дэх бутархай.
	Эртний Вавилон дахь бутархай.
	Эртний Ром дахь бутархай.
	Бутархай Эртний Грек.
	Орос хэл дээрх бутархай.
	Эртний Хятад дахь бутархай.
	Эртний болон Дундад зууны үеийн бусад муж дахь бутархай.
	Энгийн бутархайн хэрэглээ.
	Аликвотын бутархай.
	Жижиг дэлбээний оронд том хэмжээтэй.
	Хэцүү нөхцөл байдалд байгаа хуваагдал.
III.	Сонирхолтой фракцууд.
	Домино фракцууд.
	Олон зууны гүнээс.
	Дүгнэлт
	Ном зүй
	Хавсралт 1. Байгалийн масштаб.
	Хавсралт 2. Энгийн бутархай ашигласан эртний бодлого.
	Хавсралт 3. Энгийн бутархайтай хөгжилтэй бодлого.
	Хавсралт 4. Домино бутархай

Оршил

Энэ жил бид бутархайн талаар суралцаж эхэлсэн. Маш ер бусын тоонууд, ер бусын тэмдэглэгээнээс эхлээд төгсгөлд нь нарийн төвөгтэй дүрэмтэдэнтэй хийх үйлдэл. Хэдийгээр тэдэнтэй анх танилцсанаас л бид жирийн амьдралд ч тэдэнгүйгээр хийж чадахгүй нь тодорхой байсан, учир нь бид өдөр бүр бүхэл бүтэн хэсгийг хэсэг болгон хуваах асуудалтай тулгардаг, тэр ч байтугай тодорхой мөчид ч гэсэн надад санагдаж байсан. бүхэл тоогоор хүрээлэгдэхээ больсон, харин бутархай тоогоор хүрээлэгдсэн байв. Тэдэнтэй хамт дэлхий илүү төвөгтэй, гэхдээ нэгэн зэрэг илүү сонирхолтой болж хувирав. Надад хэдэн асуулт байна. Бутархай шаардлагатай юу? Тэд чухал уу? Би фракцууд хаанаас бидэнд ирсэн, тэдэнтэй ажиллах дүрмийг хэн гаргаж ирснийг мэдэхийг хүссэн. Хэдийгээр зохион бүтээсэн гэдэг үг тийм ч тохиромжгүй байж магадгүй, учир нь математикт бүх зүйлийг баталгаажуулах ёстой, учир нь бидний амьдрал дахь бүх шинжлэх ухаан, салбарууд дэлхий даяар мөрдөгдөж буй математикийн тодорхой хуулиуд дээр суурилдаг. Манай улсад бутархай нэмэх нь нэг дүрмийн дагуу хийгддэг байж болохгүй, гэхдээ Англид хаа нэгтээ өөр байдаг.

Эссэ дээр ажиллаж байхдаа би зарим бэрхшээлтэй тулгарсан: шинэ нэр томьёо, үзэл баримтлалыг бий болгохын тулд би оюун ухаанаа шахаж, асуудлыг шийдэж, эртний эрдэмтдийн санал болгосон шийдлийг шинжлэх хэрэгтэй болсон. Мөн бичихдээ анх удаа бутархай, бутархай илэрхийлэл бичих шаардлага тулгарсан.

Миний эссений зорилго: энгийн бутархайн тухай ойлголтын хөгжлийн түүхийг судлах, практик асуудлыг шийдвэрлэхэд энгийн бутархайг ашиглах хэрэгцээ, ач холбогдлыг харуулах. Миний өөртөө тавьсан зорилтууд: эссений сэдвээр материал цуглуулах, түүнийг системчлэх, эртний асуудлуудыг судлах, боловсруулсан материалыг нэгтгэн дүгнэх, ерөнхий материал бэлтгэх, илтгэл бэлтгэх, хийсвэр илтгэл тавих.

Миний ажил гурван бүлгээс бүрдэнэ. Боловсрол, шинжлэх ухаан, нэвтэрхий толь бичиг, цахим хуудас зэрэг 7 эх сурвалжийн материалыг судалж, боловсрууллаа. Би эртний эх сурвалжаас авсан бодлого, энгийн бутархайтай холбоотой зарим сонирхолтой бодлогуудыг агуулсан программ зохиож, Power Point редактор дээр хийсэн илтгэлийг бэлтгэсэн.

I. Энгийн бутархайн түүхээс

1.1 Бутархай хэсгүүд үүсэх

Олон тооны түүх-математикийн судалгаагаар бутархай тоо нь натурал тоонуудын дараа эрт дээр үед янз бүрийн ард түмний дунд гарч ирсэн болохыг харуулж байна. Бутархайн дүр төрх нь практик хэрэгцээтэй холбоотой байдаг: хэсэг болгон хуваах шаардлагатай ажлууд маш түгээмэл байсан. Нэмж дурдахад, амьдралд хүн зөвхөн объектыг тоолж зогсохгүй хэмжигдэхүүнийг хэмжих ёстой байв. Хүмүүс биеийн урт, газар нутаг, эзэлхүүн, массын хэмжилттэй тулгарсан. Энэ тохиолдолд хэмжилтийн нэгж нь хэмжсэн утгын бүхэл тоонд багтахгүй байх тохиолдол гарсан. Жишээлбэл, нэг хэсгийн уртыг алхамаар хэмжихэд хүн дараах үзэгдэлтэй тулгарсан: арван алхам нь урттай таарч, үлдсэн хэсэг нь нэг алхамаас бага байв. Тиймээс бутархай тоо гарч ирэх хоёр дахь чухал шалтгааныг сонгосон хэмжүүрийг ашиглан хэмжигдэхүүнийг хэмжихийг авч үзэх хэрэгтэй.

Ийнхүү бүх соёл иргэншилд бутархай гэсэн ойлголт нь бүхэл бүтэн хэсгийг тэнцүү хэсгүүдэд хуваах үйл явцаас үүссэн. Оросын "бутархай" гэсэн нэр томъёо нь бусад хэл дээрх аналогуудын нэгэн адил лат хэлнээс гаралтай. fractura, энэ нь эргээд араб хэл дээрх ижил утгатай үг хэллэгийн орчуулга юм: эвдэх, таслах. Тиймээс, хаа сайгүй анхны бутархай нь 1/n хэлбэрийн бутархай байсан байх. Цаашдын хөгжил нь эдгээр бутархайнуудыг m/n - рационал тоонуудыг бүрдүүлж болох нэгж болгон авч үзэх рүү чиглэх нь дамжиггүй. Гэсэн хэдий ч энэ замыг бүх соёл иргэншил дагаж мөрдөөгүй: жишээлбэл, эртний Египетийн математикт энэ нь хэзээ ч хэрэгждэггүй.

Хүмүүсийг танилцуулсан анхны фракц нь хагас байв. Хэдийгээр дараах бүх бутархайн нэр нь хуваагчийн нэртэй холбоотой (гурав нь "гурав", дөрөв нь "дөрөв" гэх мэт) боловч энэ нь хагасын хувьд үнэн биш - бүх хэл дээрх нэр нь ямар ч хамааралгүй юм. "хоёр" гэсэн үгээр хий.

Бутархайг бүртгэх систем, тэдгээртэй харьцах дүрэм нь өөр өөр үндэстнүүдийн дунд, өөр өөр цаг үед ижил хүмүүсийн дунд эрс ялгаатай байв. Янз бүрийн соёл иргэншлийн соёлын харилцааны явцад олон тооны санаа бодлыг зээлж авах нь чухал үүрэг гүйцэтгэсэн.

1.2 Эртний Египт дэх бутархай

Эртний Египтэд тэд зөвхөн хамгийн энгийн бутархайг ашигладаг байсан бөгөөд тоологч нь нэгтэй тэнцүү байдаг (бидний "бутархай" гэж нэрлэдэг). Математикчид ийм бутархайг аликв (Латин хэлнээс - хэд хэдэн) гэж нэрлэдэг. Суурь бутархай эсвэл нэгж бутархай гэсэн нэрийг мөн ашигладаг.

Египетчүүд тавьсан иероглиф

(э, "[нэг] нь" эсвэл дахин, ам) тооноос дээш байх нь энгийн тэмдэглэгээнд нэгж бутархайг илэрхийлэх боловч ариун бичвэрүүдэд мөр ашигласан. Жишээ нь:

нүдний ихэнх хэсэг

1/2 (эсвэл 32/64)

1/8 (эсвэл 8/64)

нулимс дусал (?)

1/32 (эсвэл ²/64)

Үүнээс гадна египетчүүд иероглиф дээр суурилсан бичгийн хэлбэрийг ашигладаг байв Хорусын нүд (Ваджет). Эртний хүмүүс нарны дүрс, нүдийг хооронд нь холбодог онцлогтой байв. Египетийн домог зүйд Хорус бурханыг ихэвчлэн дурддаг бөгөөд энэ нь далавчит нарыг дүрсэлсэн бөгөөд хамгийн түгээмэл ариун бэлгэдлийн нэг юм. Нарны дайснуудтай хийсэн тулалдаанд Сетийн дүрд дүрслэгдсэн Хорус эхлээд ялагдсан. Сэт түүнээс нүдийг - гайхалтай нүдийг булаан авч, нүдийг нь таслав. Тот - эрдэм мэдлэг, учир шалтгаан, шударга ёсны бурхан - нүдний хэсгүүдийг дахин нэг бүхэлд нь нэгтгэж, "Хорусын эрүүл нүд" -ийг бүтээжээ. Зүссэн Нүдний хэсгүүдийн зургийг Эртний Египтэд 1/2-оос 1/64 хүртэлх бутархайг илэрхийлэхийн тулд бичгээр ашигласан.

Wadget-д багтсан, нийтлэг хуваагч болгон бууруулсан зургаан тэмдэгтийн нийлбэр: 32/64 + 16/64 + 8/64 + 4/64 + 2/64 + 1/64 = 63/64

Ийм бутархайг Египетийн фракцын бусад хэлбэрийн хамт хуваахад ашигласан хекат, Эртний Египт дэх эзэлхүүний гол хэмжүүр. Энэхүү хосолсон бичлэгийг мөн үр тариа, талх, шар айрагны хэмжээг хэмжихэд ашигласан. Хэмжээг Хорусын нүдний бутархай хэсэг болгон тэмдэглэсний дараа үлдэгдэл үлдсэн бол ердийн хэлбэрээр rho-ийн үржвэр, гекатын 1/320-тай тэнцэх хэмжигдэхүүний нэгжээр бичдэг.

Жишээлбэл, иймэрхүү:

Энэ тохиолдолд "ам" -ыг бүх иероглифийн өмнө байрлуулсан.

Хэкатарвай: 1/2 + 1/4 + 1/32 (энэ нь арвайн 25/32 сав).

Хэкатойролцоогоор 4.785 литр байсан.

Египетчүүд бусад бутархайг аликвотын бутархайн нийлбэрээр төлөөлдөг байсан, жишээлбэл 9/16 = 1/2+1/16; 7/8=1/2+1/4+1/8 гэх мэт.

Ингэж бичсэн байна: /2 /16; /2/4/8.

Зарим тохиолдолд энэ нь хангалттай энгийн мэт санагддаг. Жишээлбэл, 2/7 = 1/7 + 1/7. Гэхдээ египетчүүдийн өөр нэг дүрэм бол хэд хэдэн бутархай тоогоор давтагдахгүй байх явдал байв. Энэ нь тэдний бодлоор 2/7 нь 1/4 + 1/28 байсан.

Одоо хэд хэдэн аликвотын бутархайн нийлбэрийг Египетийн бутархай гэж нэрлэдэг. Өөрөөр хэлбэл, нийлбэрийн бутархай бүр нэгтэй тэнцүү хуваагч, натурал тоотой тэнцүү хуваагчтай байна.

Төрөл бүрийн тооцоолол хийх, бүх бутархайг нэгжээр илэрхийлэх нь мэдээжийн хэрэг маш хэцүү бөгөөд цаг хугацаа их шаарддаг байсан. Тиймээс Египетийн эрдэмтэд бичээчийн ажлыг хөнгөвчлөхийн төлөө санаа тавьжээ. Тэд фракцуудын задралын тусгай хүснэгтүүдийг энгийн болгон эмхэтгэсэн. Эртний Египетийн математикийн баримт бичгүүд нь математикийн шинжлэх ухааны бүтээл биш, харин амьдралаас авсан жишээ бүхий практик сурах бичиг юм. Бичгийн сургуулийн сурагчийн шийдэх ёстой ажлуудын нэг нь амбаарын багтаамж, сагсны хэмжээ, талбайн хэмжээ, өв залгамжлагчдын өмчийг хуваах гэх мэт тооцоолол байв. Бичигч эдгээр дээжийг санаж, тооцоололд хурдан ашиглах чадвартай байх ёстой байв.

Египетийн бутархайн тухай хамгийн анхны мэдэгдэж байгаа ишлэлүүдийн нэг бол Ринд математикийн папирус юм. Египетийн бутархайг дурдсан гурван хуучин бичвэр бол Египетийн математикийн арьсан гүйлгээ, Москвагийн математикийн папирус, Ахмимын модон таблет юм.

Египетийн математикийн хамгийн эртний дурсгал болох "Москвагийн папирус" нь МЭӨ 19-р зууны үеийн баримт бичиг юм. Үүнийг 1893 онд эртний эрдэнэсийн цуглуулагч Голенищев олж авсан бөгөөд 1912 онд Москвагийн дүрслэх урлагийн музейн өмч болжээ. Үүнд 25 өөр асуудал багтсан.

Жишээлбэл, 37-г (1 + 1/3 + 1/2 + 1/7) гэж өгөгдсөн тоонд хуваах бодлогыг авч үздэг. Энэ бутархайг дараалан хоёр дахин нэмэгдүүлж, 37 ба үр дүнгийн ялгааг илэрхийлж, нийтлэг хуваагчийг олохтой үндсэндээ төстэй процедурыг ашигласнаар хариулт нь: 16 + 1/56 + 1/679 + 1/776.

Математикийн хамгийн том баримт бичиг болох бичээч Ахмесийн тооцооны гарын авлага дээрх папирусыг 1858 онд Английн цуглуулагч Райнд олжээ. Папирусыг МЭӨ 17-р зуунд эмхэтгэсэн. Түүний урт нь 20 метр, өргөн нь 30 сантиметр юм. Энэ нь математикийн 84 бодлого, тэдгээрийн шийдэл, хариултыг Египетийн бутархай хэлбэрээр бичсэн болно.

Ахмес папирус нь 2\n хэлбэрийн 2/5-аас 2/99 хүртэлх бүх бутархай хэсгүүдийг аликвотын бутархайн нийлбэр хэлбэрээр бичсэн хүснэгтээс эхэлдэг. Египетчүүд мөн бутархайг хэрхэн үржүүлж, хуваахыг мэддэг байсан. Гэхдээ үржүүлэхийн тулд та бутархайг бутархайгаар үржүүлж, дараа нь хүснэгтийг дахин ашиглах хэрэгтэй байсан. Хуваалтын нөхцөл байдал бүр ч төвөгтэй байв. Жишээлбэл, 5-ыг 21-д хэрхэн хуваасан нь:

Ахмес папирусаас байнга тулгардаг асуудал: “Та нарт хэлье: 10 хэмжүүр арвайг 10 хүнд хуваа. хүн бүр болон түүний хөршийн хоорондох ялгаа нь хэмжүүрийн 1/8 байна. Дундаж хувьцаа нь нэг хэмжүүр юм. 10-аас нэгийг хасах; үлдэгдэл 9. Зөрүүний талыг нөхөх; энэ нь 1/16. 9 удаа аваарай. Үүнийг дунд цохилтонд түрхэнэ; Төгсгөлд нь хүрэх хүртлээ нүүр тус бүрийн хэмжүүрийн 1/8-ийг хас."

Ахмесын папирусын өөр нэг асуудал нь аликвотын фракцуудын хэрэглээг харуулсан: "7 талхыг 8 хүнд хуваа."
Талх бүрийг 8 хэсэг болгон хуваасан бол 49 зүсэлт хийх шаардлагатай болно.
Египетэд энэ асуудлыг ингэж шийдсэн. 7/8 бутархайг бутархай хэлбэрээр бичсэн: 1/2 + 1/4 + 1/8. Энэ нь хүн бүрт тал талх, талхны дөрөвний нэг, талхны наймны нэгийг өгөх ёстой гэсэн үг юм; Тиймээс бид дөрвөн талхыг хагас, хоёр талхыг 4 хэсэг, нэг талхыг 8 хэсэг болгон хувааж, дараа нь тус бүрийг нэг хэсэг болгон хуваана.

Египетийн фракцын хүснэгтүүд болон Вавилоны янз бүрийн хүснэгтүүд нь тооцооллыг хөнгөвчлөх хамгийн эртний мэдэгдэж буй хэрэгсэл юм.

Египетийн фракцуудыг эртний Грекд, улмаар дэлхийн математикчид дундад зууны үе хүртэл эртний математикчдийн тайлбарыг үл харгалзан ашигласаар байв. Жишээлбэл, Клаудиус Птолемей Вавилоны системтэй (байрлалын тооллын систем) харьцуулахад Египетийн бутархайг ашиглахад тохиромжгүй байдлын талаар ярьсан. Египетийн бутархайг судлах чухал ажлыг 13-р зууны математикч Фибоначчи "Либер Абачи" бүтээлдээ хийсэн бөгөөд эдгээр нь аравтын бутархай ба энгийн бутархайг ашиглан хийсэн тооцоолол бөгөөд эцэст нь Египетийн бутархайг орлуулсан. Фибоначчи бутархайн нийлмэл тэмдэглэгээ, түүний дотор холимог суурь тэмдэглэгээ, бутархайн нийлбэр тэмдэглэгээг ашигладаг байсан бөгөөд Египетийн бутархайг ихэвчлэн ашигладаг байв. Энэ номонд мөн энгийн бутархайг Египетийн бутархай руу хөрвүүлэх алгоритмуудыг өгсөн.

1.3 Эртний Вавилон дахь бутархай.

Эртний Вавилонд тэд хүйсийн жижиг тооны системийг ашигладаг байсан нь мэдэгдэж байна. Эрдэмтэд энэ баримтыг Вавилоны мөнгөн ба жингийн нэгжийг түүхэн нөхцөл байдлаас шалтгаалан 60 тэнцүү хэсэгт хуваасантай холбон тайлбарлаж байна: 1 талант = 60 мин; 1 мина = 60 шекел. Жараад он нь Вавилончуудын амьдралд түгээмэл байсан. Тийм ч учраас тэд үргэлж хуваагч 60 буюу түүний хүчин чадалтай: 60 2 = 3600, 60 3 = 216000 гэх мэт жижиг хэсгүүдийг ашигласан. Эдгээр нь дэлхийн анхны системчилсэн фракцууд, i.e. хуваагч нь ижил тооны зэрэглэл бүхий бутархай. Ийм бутархайг ашиглан Вавилончууд ойролцоогоор олон бутархайг төлөөлөх ёстой байв. Энэ нь эдгээр фракцуудын сул тал, нэгэн зэрэг давуу тал юм. Эдгээр бутархайнууд нь 15-р зууныг хүртэл Грек, дараа нь араб хэлтэй, дундад зууны үеийн Европын эрдэмтдийн шинжлэх ухааны тооцооллын байнгын хэрэгсэл болж, аравтын бутархай руу шилжсэн. Гэвч бүх үндэстний эрдэмтэд 17-р зууныг хүртэл одон орон судлалд хүйсийн жижиг бутархайг ашиглаж, одон орон судлалын фракц гэж нэрлэдэг байв.

Төрөл бүрийн хүснэгтийн хувьд Вавилоны математикт сексийн жижиг тооны систем нь ихээхэн үүрэг гүйцэтгэхийг урьдчилан тодорхойлсон. Вавилоны бүрэн үржүүлэх хүснэгтэд 1x1-ээс 59x59 хүртэлх үржвэрүүд, өөрөөр хэлбэл 1770 тоо байх ёстой бөгөөд бидний үржүүлэх хүснэгтийн хувьд 45 биш. Ийм хүснэгтийг цээжлэх нь бараг боломжгүй юм. Бичгээр бичсэн ч гэсэн энэ нь маш төвөгтэй байх болно. Тиймээс үржүүлэхийн хувьд, хуваахдаа янз бүрийн хүснэгтүүдийн өргөн хүрээтэй багц байсан. Вавилоны математик дахь хуваах үйлдлийг "нэгдүгээр асуудал" гэж нэрлэж болно. Вавилончууд m тоог n тоогоор хуваахыг багасгаж, m тоог 1\ n бутархайгаар үржүүлж байсан бөгөөд тэдэнд "хуваах" гэсэн нэр томъёо ч байгаагүй. Жишээлбэл, бид x = m: n гэж бичихийг тооцоолохдоо тэд үргэлж ингэж тайлбарладаг: n-ийн урвуу утгыг авбал та 1\ n-ийг харж, m-ийг 1\ n-ээр үржүүлж, х-г харах болно. Мэдээжийн хэрэг, бидний захидлын оронд Вавилоны оршин суугчид тодорхой тоонуудыг дуудсан. Тиймээс Вавилоны математикийн хамгийн чухал үүргийг олон тооны харилцан тооцооллын хүснэгтүүд гүйцэтгэсэн.

Нэмж дурдахад, вавилончууд бутархай тоогоор тооцоолохын тулд үндсэн бутархайг хүйсийн жижиг бутархайгаар илэрхийлсэн өргөн хүрээтэй хүснэгтүүдийг эмхэтгэсэн. Жишээлбэл:

1\16 = 3\60 + 45\60 2 , 1\54 = 1\60 + 6\60 2 + 40\60 3 .

Вавилончуудад бутархай тоог нэмэх, хасах үйлдлийг манай байрлалын тооллын систем дэх бүхэл тоо ба аравтын бутархайтай харгалзах үйлдлүүдтэй адилаар гүйцэтгэсэн. Гэхдээ бутархайг бутархайгаар хэрхэн үржүүлсэн бэ? Хэмжих геометрийн нэлээд өндөр хөгжил (газар судлал, талбайн хэмжилт) нь Вавилончууд геометрийн тусламжтайгаар эдгээр бэрхшээлийг даван туулсан болохыг харуулж байна: шугаман масштабыг 60 дахин өөрчлөх нь талбайн масштабыг 60-60 дахин өөрчлөх боломжийг олгодог. Вавилонд натурал тоонуудын талбарыг эерэг рационал тоонуудын бүс болгон өргөжүүлээгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй, учир нь вавилончууд зөвхөн хязгаарлагдмал хүйсийн жижиг бутархайг авч үздэг байсан бөгөөд энэ бүсэд хуваагдах нь үргэлж боломжгүй байдаг. Нэмж дурдахад вавилончууд 1\2,1\3,2\3,1\4,1\5,1\6,5\6 фракцуудыг ашигладаг байсан бөгөөд тэдгээрийн хувьд бие даасан шинж тэмдгүүд байдаг.

Вавилоны жижиг тооллын системийн ул мөр цаг хугацаа, өнцгийг хэмжих орчин үеийн шинжлэх ухаанд үлджээ. Цагийг 60 минут, минутыг 60 секунд, тойргийг 360 градус, градусыг 60 минут, минутыг 60 секунд болгон хуваах нь өнөөдрийг хүртэл хадгалагдан үлджээ. Минут гэдэг нь латинаар "жижиг хэсэг", хоёр дахь гэсэн утгатай. "хоёр дахь"

(жижиг хэсэг).

1.4. Эртний Ром дахь бутархай.

Ромчууд голчлон зөвхөн бетоны фракцуудыг ашигладаг байсан бөгөөд энэ нь хийсвэр хэсгүүдийг ашигласан хэмжүүрийн дэд хэсгүүдээр сольсон. Энэхүү фракцын систем нь жингийн нэгжийг 12 хэсэгт хуваахад үндэслэсэн бөгөөд үүнийг илжиг гэж нэрлэдэг байв. Ромын арван хоёрдугаар бутархай ийм байдлаар үүссэн, i.e. хуваагч нь үргэлж арван хоёр байсан бутархай. Хөзрийн арван хоёр дахь хэсгийг унци гэж нэрлэдэг байв. 1/12-ын оронд Ромчууд "нэг унц", 5/12 - "таван унц" гэх мэт гэж хэлсэн. Гурван унцийг дөрөвний нэг, дөрвөн унцыг гуравны нэг, зургаан унц хагас гэж нэрлэдэг.

Мөн зам, цаг хугацаа болон бусад хэмжигдэхүүнийг харааны зүйл болох жинтэй харьцуулсан. Жишээлбэл, Ром хүн долоон унц замаар алхсан эсвэл таван унц ном уншсан гэж хэлж болно. Энэ тохиолдолд мэдээж зам, номыг дэнсэлсэнгүй. Энэ нь аяллын 7/12-ыг дуусгасан эсвэл номын 5/12-ыг уншсан гэсэн үг юм. 12 хуваарьтай бутархайг багасгах эсвэл арван хоёрыг жижиг болгон хуваах замаар олж авсан бутархайн хувьд тусгай нэрс байсан. Нийтдээ бутархайн хувьд 18 өөр нэр ашигласан. Жишээлбэл, дараах нэрсийг ашигласан:

"scrupulus" - 1/288 assa,

"хагас" - хагас асса,

"Sextance" бол түүний зургаа дахь хэсэг,

"хагас унц" - хагас унц, өөрөөр хэлбэл. 1/24 илжиг гэх мэт.

Ийм бутархайтай ажиллахын тулд нэмэх хүснэгт болон эдгээр бутархайн үржүүлэх хүснэгтийг санах шаардлагатай байв. Тиймээс Ромын худалдаачид триен (1/3 асса) ба секстаныг нэмэхэд үр дүн нь хагас, имп (2/3 асса) секунцаар (2/3 унц, өөрөөр хэлбэл 1/8 асса) үржүүлэхэд үр дүн гарна гэдгийг баттай мэдэж байсан. үр дүн нь унци юм. Ажлыг хөнгөвчлөхийн тулд тусгай хүснэгтүүдийг эмхэтгэсэн бөгөөд тэдгээрийн зарим нь бидэнд ирсэн.

Унцыг шугамаар тэмдэглэсэн - хагас асса (6 унц) - S үсгээр (Латин үгийн эхний Semis - хагас). Эдгээр хоёр тэмдэг нь тус бүр өөрийн гэсэн нэртэй арван хоёр аравтын бутархайг бүртгэдэг байв. Жишээлбэл, 7\12-ыг дараах байдлаар бичсэн: S-.

МЭӨ 1-р зуунд Ромын нэрт уран илтгэгч, зохиолч Цицерон: "Бутархайн тухай мэдлэггүй бол хэн ч арифметикийг мэддэг гэж хүлээн зөвшөөрөгдөхгүй!"

МЭӨ 1-р зууны Ромын алдарт яруу найрагч Горацийн тухайн үеийн Ромын сургуулийн нэгэн багш, сурагч хоёрын ярианы тухай өгүүлсэн дараах ишлэл нь ердийн зүйл юм.

Багш: Албины хүү таван унцаас нэг унци хасвал хэд үлдэхийг надад хэлээч!

Оюутан: Гуравны нэг.

Багш: Тийм ээ, чи бутархайг сайн мэддэг, өмчөө хэмнэх боломжтой болно.

1.5. Эртний Грек дэх бутархай.

Эртний Грекд арифметик нь судалдаг зүйл юм ерөнхий шинж чанаруудтоо - логистикаас тусгаарлагдсан - тооцоолох урлаг. Грекчүүд фракцыг зөвхөн логистикт ашиглах боломжтой гэж үздэг байв. Грекчүүд бутархай тоогоор бүх арифметик үйлдлүүдийг чөлөөтэй хийдэг байсан боловч тэдгээрийг тоо гэж хүлээн зөвшөөрдөггүй байв. Грекийн математикийн бүтээлүүдэд бутархай олдсонгүй. Грекийн эрдэмтэд математикийг зөвхөн бүхэл тоогоор судлах ёстой гэж үздэг. Тэд худалдаачид, гар урчууд, түүнчлэн одон орон судлаачид, газар судлаачид, механикч болон бусад "хар хүмүүст" фракцын асуудлыг орхисон. "Хэрэв та нэгжийг хуваахыг хүсвэл математикчид чамайг шоолж, үүнийг хийхийг зөвшөөрөхгүй" гэж Афины академийг үүсгэн байгуулагч Платон бичжээ.

Гэхдээ эртний Грекийн бүх математикчид Платонтой санал нийлээгүй. Тиймээс Архимед "Тойрог хэмжих тухай" зохиолдоо бутархайг ашигладаг. Александрийн Херон мөн фракцуудыг чөлөөтэй зохицуулдаг байв. Египетчүүдийн нэгэн адил тэрээр бутархайг үндсэн бутархайн нийлбэр болгон задалдаг. 12\13-ын оронд 1\2 + 1\3 + 1\13 + 1\78, 5\12-ын оронд 1\3 + 1\12 гэх мэтийг бичнэ. Байгалийн тоонуудад ариун айдастай ханддаг Пифагор хүртэл хөгжмийн хэмжүүрийн онолыг бий болгохдоо хөгжмийн гол интервалуудыг бутархайгаар холбосон. Пифагор болон түүний шавь нар бутархай гэсэн ойлголтыг огт ашиглаагүй нь үнэн. Тэд зөвхөн бүхэл тооны харьцааны тухай ярихыг зөвшөөрсөн.

Грекчүүд бутархайтай зөвхөн хааяа ажилладаг байсан тул өөр өөр тэмдэглэгээ ашигладаг байв. Херон, Диофант нар бутархайг цагаан толгойн үсгийн дарааллаар бичсэн бөгөөд хуваарийн доор тоологчийг байрлуулсан байна. Зарим бутархайн хувьд, жишээлбэл, 1\2 - L′′-д тусад нь тэмдэглэгээг ашигласан боловч ерөнхийдөө цагаан толгойн үсгээр дугаарлах нь бутархайг тодорхойлоход хэцүү болгодог.

Нэгж бутархайн хувьд тусгай тэмдэглэгээг ашигласан: бутархайн хуваагчийг баруун тийш зурсан, тоологчийг бичээгүй. Жишээлбэл,
цагаан толгойн үсгийн системд 32 гэсэн утгатай ба " - бутархай 1\32. Энгийн бутархайн тоологч, хоёр анхны тоогоор хоёр удаа авсан хуваагч хоёрыг нэг мөрөнд зэрэгцүүлэн бичсэн ийм бичлэг байдаг. Ингэж бичдэг. Жишээлбэл, Александрийн Херон 3\4 бутархайг бичжээ.
.

Бутархай тоонуудын Грек тэмдэглэгээний сул тал нь грекчүүд "тоо" гэдэг үгийг нэгжийн багц гэж ойлгодог байсан тул одоо бидний нэг оновчтой тоо буюу бутархай гэж үздэгийг Грекчүүд "тоо"-ийн харьцаа гэж ойлгодогтой холбоотой юм. хоёр бүхэл тоо. Энэ нь Грекийн арифметикт бутархайг яагаад ховор олдгийг тайлбарладаг. Нэгж тоологчтой бутархай эсвэл жижиг жижиг бутархайн аль алинд нь давуу эрх олгосон. Практик тооцоололд яг бутархайн хамгийн их хэрэгцээтэй салбар бол одон орон судлал байсан бөгөөд энд Вавилоны уламжлал маш хүчтэй байсан тул бүх үндэстэн, тэр дундаа Грек үүнийг ашигладаг байв.

1.6. Орос хэл дээрх бутархай

Новгородын хийдийн лам Кирик нэрээр нь бидний мэддэг Оросын анхны математикч он цагийн тоолол, хуанлийн асуудлыг авч үзсэн. "Хүнд бүх жилийн тоог хэлж сургах нь" (1136) хэмээх өөрийн гараар бичсэн номонд, i.e. "Хүн оныг хэрхэн тоолж мэдэх тухай заавар" нь цагийг тав, хорин тав гэх мэт хуваахыг ашигладаг. бутархай, тэр үүнийг "бутархай цаг" эсвэл "цэгц" гэж нэрлэсэн. Тэрээр долоо дахь бутархай цагт хүрч, үүнээс өдөр эсвэл шөнийн дотор 937,500 байдаг бөгөөд долоо дахь бутархай цагт юу ч ирдэггүй гэж хэлэв.

Математикийн анхны сурах бичигт (7-р зуун) бутархайг бутархай, хожим нь "эвдэрсэн тоо" гэж нэрлэдэг. Орос хэлэнд бутархай гэдэг үг 8-р зуунд гарч ирсэн бөгөөд энэ нь "хуваах" үйл үгээс гаралтай - эвдэх, хэсэг болгон хуваах. Тоо бичихдээ хэвтээ шугам ашигласан.

Хуучин гарын авлагад Орос хэл дээрх фракцуудын дараах нэрс байдаг.

1/2 - хагас, хагас

1/3 - гурав дахь

1/4 - тэгш

1/6 - гуравны хагас

1/8 - хагас

1/12 - гуравны хагас

1/16 - хагас хагас

1/24 - хагас ба гуравны хагас (бага гуравны нэг)

1/32 - хагас хагас (жижиг хагас)

1/5 - пятина

1/7 - долоо хоног

1/10 нь аравны нэг юм.

ОХУ-д дөрөвний нэг буюу түүнээс бага хэмжээтэй газрыг ашигласан -

хагас дөрөвний нэгийг октина гэж нэрлэдэг байв. Эдгээр нь бетоны фракцууд, дэлхийн талбайг хэмжих нэгжүүд байсан боловч октина нь цаг хугацаа, хурдыг хэмжиж чаддаггүй байв. Хэсэг хугацааны дараа октина нь ямар ч утгыг илэрхийлж болох хийсвэр фракц 1/8 гэсэн утгатай болсон.

17-р зууны Орос улсад бутархайн хэрэглээний талаар та В.Беллюстины "Хүмүүс хэрхэн аажмаар жинхэнэ арифметикт хүрсэн бэ" номноос дараахь зүйлийг уншиж болно: "17-р зууны гар бичмэлд. "Бүх бутархайн тухай тоон өгүүлэл" нь бутархайг бичгээр тэмдэглэж, тоологч ба хуваагчийг заах замаар шууд эхэлнэ. Бутархайг дуудахдаа дараах шинж чанарууд сонирхолтой байдаг: дөрөв дэх хэсгийг дөрөвний нэг гэж нэрлэдэг байсан бол 5-аас 11 хүртэлх хуваарьтай бутархайг "ина" гэж төгссөн үгээр илэрхийлсэн тул 1/7 нь долоо хоног, 1/5 нь тав, 1/10 нь аравны нэг; 10-аас дээш хуваагчтай хувьцааг "лот" гэсэн үгээр дууддаг, жишээлбэл 5/13 - багцын арван гуравны тав. Бутархай тоог барууны эх сурвалжаас шууд зээлж авсан... Тоологчийг дээд тоо, хуваагчийг доод гэж нэрлэдэг байсан.”

16-р зуунаас эхлэн банзны абакус нь Орост маш их алдартай байсан - Оросын абакусын анхны загвар болсон төхөөрөмжийг ашиглан тооцоолол хийдэг. Энэ нь нарийн төвөгтэй арифметик үйлдлүүдийг хурдан бөгөөд хялбар гүйцэтгэх боломжийг олгосон. Банзан данс нь худалдаачид, Москвагийн захиалгын ажилтнууд, "хэмжээчид" - газар судлаач, сүм хийдийн эдийн засагч гэх мэт хүмүүсийн дунд маш өргөн тархсан байв.

Анхны хэлбэрээрээ самбарын арифметик нь ахисан түвшний арифметикийн хэрэгцээнд тусгайлан тохирсон байв. Энэ бол 15-17-р зууны Орос улсад татварын тогтолцоо бөгөөд бүхэл тоог нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах үйлдлүүдийн зэрэгцээ ердийн татварын нэгж болох анжис нь бутархайтай ижил үйлдлүүдийг хийх шаардлагатай байв. хэсэгт хуваагдсан байв.

Банзан данс нь хоёр эвхдэг хайрцагнаас бүрдсэн байв. Хайрцаг бүрийг хоёр хэсэгт хуваасан (дараа нь зөвхөн доод талд); бэлэн мөнгөний дансны шинж чанараас шалтгаалан хоёр дахь хайрцаг шаардлагатай байсан. Хайрцагны дотор ясыг сунгасан утас эсвэл утсан дээр бэхэлсэн байв. Аравтын бутархай тооллын системийн дагуу бүхэл тоонуудын эгнээ 9 эсвэл 10 шоо байсан; бутархайтай үйлдлүүд нь бүрэн бус эгнээнд хийгдсэн: гурван шоо бүхий эгнээ нь гуравны гурав, дөрвөн шоо нь дөрөвний дөрөв (дөрөв) байв. Доорх нь нэг шоо байсан мөрүүд байв: шоо бүр нь түүний байрлах фракцын тэн хагасыг төлөөлдөг (жишээлбэл, гурван шооны эгнээний доор байрлах шоо нь гуравны нэгийн хагас, түүний доор байрлах шоо нь шооны тал нь байв. гуравны нэг гэх мэт). Хоёр ижил "нэгдмэл" бутархайг нэмснээр хамгийн ойрын дээд зэрэглэлийн бутархайг өгнө, жишээлбэл, 1/12+1/12=1/6 гэх мэт. Абакус дээр ийм хоёр бутархай нэмэх нь хамгийн ойрын өндөр даалуу руу шилжихтэй тохирч байна.

Бутархайг нийтлэг хуваагч болгон бууруулалгүйгээр нэгтгэн дүгнэв, жишээлбэл, "дөрөвний нэг ба гуравны хагас, хагас" (1/4 + 1/6 + 1/16). Заримдаа бутархайтай үйлдлүүдийг бүхэлд нь (анжис) тодорхой хэмжээний мөнгөтэй тэнцүүлэх замаар бүхэл байдлаар гүйцэтгэдэг байв. Жишээлбэл, соха = 48 мөнгөний нэгж бол дээрх фракц нь 12 + 8 + 3 = 23 мөнгөний нэгж болно.

Дэвшилтэт арифметикийн хувьд жижиг бутархайтай ажиллах шаардлагатай байв. Зарим гар бичмэлүүд дээр дурдсантай төстэй "тоолох самбар" -ын зураг, тайлбарыг өгдөг, гэхдээ нэг ястай олон тооны эгнээтэй, ингэснээр 1/128 ба 1/96 хүртэлх фракцуудыг байрлуулж болно. Тохирох хэрэгслийг бас үйлдвэрлэсэн гэдэгт эргэлзэх зүйл алга. Тооцоологчдод тав тухтай байлгах үүднээс "Жижиг ясны код" -ын олон дүрмийг өгсөн болно. Гурван дөрвөн анжис, хагас анжис, хагас анжис гэх мэт нийтлэг тооцоонд түгээмэл хэрэглэгддэг фракцуудыг нэмэх. хагас хагас хагас хагас хагас хүртэл анжис нь хагас хагас хагас хагас хагасгүй анжис юм, i.e. 3/4+1/8+1/16+1/32 +1/64 + 1/128 = 1 - 1/128 гэх мэт.

Харин бутархайн дотроос зөвхөн 1/2 ба 1/3-ыг нь, мөн 2-т дараалсан хуваах замаар олж авсан хэсгүүдийг нь авч үзсэн. Бусад цувралын бутархайтай үйлдлүүдэд "банз тоолох" нь тохиромжгүй байв. Тэдэнтэй ажиллахдаа фракцуудын янз бүрийн хослолын үр дүнг өгсөн тусгай хүснэгтэд хандах шаардлагатай байв.

IN 1703 Оросын анхны математикийн "Арифметик" сурах бичиг хэвлэгджээ. Зохиогч Магнитский Леонти Филлипович. Энэхүү номын 2-р хэсэг болох "Эвдэрсэн буюу бутархай тоонуудын тухай" хэсэгт бутархайн судалгааг дэлгэрэнгүй харуулав.

Магнитский бараг орчин үеийн шинж чанартай. Магнитский хувьцааны тооцооны талаар орчин үеийн сурах бичгүүдээс илүү нарийвчлан авч үздэг. Магнитский бутархайг нэрлэсэн тоо (зөвхөн 1/2 биш, харин рублийн 1/2, пуд гэх мэт) гэж үздэг бөгөөд асуудлыг шийдвэрлэх явцад бутархайтай үйлдлүүдийг судалдаг. Эвдэрсэн тоо байна гэж Магнитский хариулав: "Эвдэрсэн тоо бол өөр юу ч биш, зөвхөн тоо гэж зарласан зүйлийн нэг хэсэг нь, өөрөөр хэлбэл, хагас рубль нь хагас рубль бөгөөд үүнийг рубль эсвэл рубль гэж бичдэг. рубль, эсвэл рубль, эсвэл тавны хоёр, аль нэг хэсэг нь тоо, өөрөөр хэлбэл эвдэрсэн тоо гэж зарласан бүх төрлийн зүйл." Магнитский 2-оос 10 хүртэлх хуваарьтай бүх зөв бутархайн нэрийг өгдөг. Жишээлбэл, 6 хуваарьтай бутархай: нэг арван зургаа, хоёр арван зургаа, гурван арван зургаа, дөрөв арван зургаа, таван арван зургаа.

Магнитский тоологч, хуваагч гэсэн нэрийг ашигладаг, зохисгүй бутархай, холимог тоо, бүх үйлдлээс гадна буруу бутархайн хэсгийг бүхэлд нь тусгаарладаг.

Бутархай тоог судлах нь арифметикийн хамгийн хэцүү хэсэг байсаар ирсэн боловч өмнөх үеийн аль ч үед хүмүүс бутархайг судлахын ач холбогдлыг ойлгож, багш нар оюутнуудаа яруу найраг, зохиолд урамшуулахыг хичээдэг байв. Л.Магнитский бичсэн:

Гэхдээ арифметик гэж байдаггүй

Изо бол бүхэл бүтэн шүүгдэгч,

Мөн эдгээр хувьцаанд юу ч байхгүй,

Хариулах боломжтой.

Өө, гуйя, гуйя

Хэсэг хэсгүүдэд байх чадвартай байх.

1.7. Эртний Хятад дахь бутархай

Хятадад энгийн бутархайтай бараг бүх арифметик үйлдлүүд 2-р зуунд бий болсон. МЭӨ д.; Эдгээрийг эртний Хятадын математикийн мэдлэгийн үндсэн хэсэг болох "Есөн ном дахь математик"-д дүрсэлсэн бөгөөд түүний эцсийн хэвлэл нь Жан Кангийн харьяалагддаг. Хятадын математикчид Евклидийн алгоритмтай төстэй дүрэмд (тоо ба хуваагчийн хамгийн том нийтлэг хуваагч) үндэслэн тооцоо хийснээр бутархай тоог багасгасан. Бутархайг үржүүлэх нь урт, өргөнийг бутархайгаар илэрхийлсэн тэгш өнцөгт талбайн талбайг олох гэж үздэг байв. Хуваалцах санааг ашиглан хуваах гэж үзсэн бол Хятадын математикчид энэ хэсэгт оролцогчдын тоо бутархай, жишээлбэл, 3⅓ хүн байж болно гэж ичихгүй байв.

Эхэндээ хятадууд энгийн фракцуудыг ашигладаг байсан бөгөөд эдгээрийг ванны иероглиф ашиглан нэрлэжээ.

хориг (“хагас”) –1\2;

шао бан (“жижиг хагас”) –1\3;

тай банх (“том хагас”) –2\3.

Дараагийн шат бол бутархайн тухай ерөнхий ойлголтыг хөгжүүлэх, тэдэнтэй ажиллах дүрмийг бий болгох явдал байв. Хэрэв эртний Египтэд зөвхөн аликвотын бутархайг ашигладаг байсан бол Хятадад фракц гэж тооцогддог фракцуудыг цорын ганц боломжтой биш харин бутархайн сортуудын нэг гэж үздэг байв. Хятадын математик эрт дээр үеэс холимог тоонуудыг авч үздэг. Математикийн хамгийн эртний бичвэр болох Жоу Би Суан Жин (Жоу Гномоны тооцоолол/Гномоны тухай математикийн зохиол) нь 247 933 / 1460 зэрэг тоонуудыг хүчирхэг болгодог тооцооллыг агуулдаг.

“Жю Жан Суан Шу”-д (“Есөн хэсэгт тоолох дүрэм”) бутархайг бүхэл бүтэн хэсэг гэж үздэг бөгөөд энэ нь түүний бутархайн n-тоогоор илэрхийлэгддэг-fen – m (n)

Талбайн хэмжилтэд ерөнхийд нь зориулагдсан “Жю Жан Шүан Шу” номын эхний хэсэгт бутархайг багасгах, нэмэх, хасах, хуваах, үржүүлэх дүрэм, тэдгээрийн харьцуулалт, “тэнцүүлэх”-ийг тусад нь өгсөн. Тэдний арифметик дундажийг олох шаардлагатай гурван бутархайн харьцуулалт (хоёр тооны арифметик дундажийг тооцоолох энгийн дүрмийг номонд өгөөгүй).

Жишээлбэл, заасан эссе дэх бутархайн нийлбэрийг олж авахын тулд дараахь зааврыг санал болгож байна: "Тоологчийг хуваагчаар ээлжлэн үржүүл (ху чэн). Нэмэх - энэ бол ногдол ашиг (ши) юм. Хуваагчийг үржүүлэх - энэ бол хуваагч (fa). Ногдол ашиг ба хуваагчийг нэг(үүд) болгон нэгтгэнэ. Хэрэв үлдэгдэл байвал хуваагчтай холбоно." Энэ заавар нь хэрвээ хэд хэдэн бутархай нэмбэл бутархай бүрийн тоог бусад бүх бутархайн хуваагчаар үржүүлэх шаардлагатай гэсэн үг юм. Ногдол ашгийг (ийм үржүүлгийн үр дүнгийн нийлбэр) хуваагчтай (бүх хуваагчийн үржвэр) "нийсгэх" үед шаардлагатай бол багасгаж, бүхэл хэсгийг нь хуваах замаар тусгаарлах ёстой бутархайг авдаг. , тэгвэл “үлдэгдэл” нь тоологч, багасгасан хуваагч нь хуваагч байна. Бутархайн багцын нийлбэр нь бүхэл тоо, бутархай хоёроос бүрдэх ийм хуваагдлын үр дүн юм. “Хүлээгчийг үржүүл” гэдэг нь үндсэндээ бутархайг хамгийн их нийтлэг хуваагч хүртэл нь багасгах гэсэн үг юм.

Жиу Жан Суан Шу дахь бутархайг багасгах дүрэм нь хоёр тооны хамгийн их нийтлэг хуваагчийг тодорхойлох зорилготой Евклидийн алгоритм гэж нэрлэгддэг тоон болон хуваагчийн хамгийн том нийтлэг хуваагчийг олох алгоритмыг агуулдаг. Гэхдээ хэрэв сүүлийнх нь мэдэгдэж байгаачлан Принсипид геометрийн томъёогоор өгөгдсөн бол хятад алгоритмыг цэвэр арифметик хэлбэрээр үзүүлэв. Дэн шу ("ижил тоо") гэж нэрлэгддэг хамгийн том нийтлэг хуваагчийг олох хятад алгоритм нь том тооноос бага тоог дараалан хасах байдлаар бүтээгдсэн. Бутархай нь энэ тооны den shu-аар буурах ёстой. Тухайлбал, 49\91 гэсэн бутархайг багасгах саналтай байна. Бид дараалсан хасах үйлдлийг гүйцэтгэдэг: 91 – 49 = 42; 49 – 42 = 7; 42 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 = 0. Дан шу = 7. Бутархайг энэ тоогоор бууруул. Бид авна: 7\13.

Жиу Жан Суан Шу дахь бутархайн хуваагдал нь өнөөдрийн хүлээн зөвшөөрөгдсөнөөс өөр юм. "Жин Фэн" ("хуваах дараалал") дүрэмд бутархайг хуваахын өмнө тэдгээрийг нийтлэг хуваагч болгон багасгах ёстой гэж заасан байдаг. Тиймээс бутархайг хуваах журам нь шаардлагагүй алхамтай: a/b: c/d = ad/bd: cb/bd = ad/cb. Зөвхөн 5-р зуунд. Жан Цю-цзян “Жан Цю-жиан суан жин” (“Жан Цю-жяны тоолох хууль”) бүтээлдээ түүнээс ангижирч, ердийн дүрмийн дагуу бутархайг хуваадаг: a/b: c/d = ad/ cb.

Хятадын математикчид бутархайг хуваах нарийн алгоритмыг удаан хугацаанд тууштай байсан нь түүний түгээмэл байдлыг хадгалах хүсэл эрмэлзэл, тоолох самбар ашиглахтай холбоотой байж болох юм. Үндсэндээ энэ нь бутархайн хуваагдлыг бүхэл тоонд хуваахаас бүрддэг. Хэрэв бүхэл тоо холимог тоонд хуваагдаж байвал энэ алгоритм хүчинтэй. Жишээлбэл, 2922-ыг 182 5 / 8-д хуваахдаа эхлээд хоёуланг нь 8-аар үржүүлсэн нь бүхэл тоог цаашид хуваах боломжтой болсон: 23376:1461= 16

1.8. Эртний болон Дундад зууны үеийн бусад муж дахь бутархай.

Жишээлбэл, бутархай гэж бүртгэгдсэн

Энэтхэгийн эрдэмтэн Брамагуптагийн (8-р зуун) тогтоосон бутархайтай ажиллах дүрэм нь орчин үеийнхээс бараг ялгаагүй байв. Хятад, Энэтхэгт нэгэн адил нийтлэг ойлголтыг авчрахын тулд бүх нэр томъёоны хуваагчийг удаан хугацаанд үржүүлж байсан боловч 9-р зуунаас хойш. аль хэдийн хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг ашигласан.

Дундад зууны арабууд бутархай бичихдээ гурван системийг ашигладаг байжээ. Нэгдүгээрт, Энэтхэг маягаар, хуваагчийг тоологчийн доор бичих; Бутархай шугам нь 12-р зууны төгсгөл - 13-р зууны эхэн үед гарч ирэв. Хоёрдугаарт, албан тушаалтнууд, газар судлаачид, худалдаачид 10-аас ихгүй хуваарьтай бутархайг ашиглан египетийнхтэй адил аликвотын фракцын тооцоог ашигласан (зөвхөн араб хэлэнд тусгай нэр томъёо байдаг); ойролцоо утгыг ихэвчлэн ашигладаг байсан; Арабын эрдэмтэд энэхүү тооцоог сайжруулахаар ажиллажээ. Гуравдугаарт, Арабын эрдэмтэд Грекчүүдийн нэгэн адил цагаан толгойн үсгийн тэмдэглэгээг хэрэглэж, бүхэл бүтэн хэсэг болгон өргөжүүлсэн Вавилон-Грекийн хүйсийн системийг өвлөн авсан.

Бутархайн Энэтхэгийн тэмдэглэгээ ба тэдгээртэй ажиллах дүрмийг 9-р зуунд баталсан. Лалын орнуудад Хорезмын Мухаммед (аль-Хорезми) ачаар. Исламын орнуудын худалдааны практикт нэгж бутархайг өргөн ашигладаг байсан бол шинжлэх ухаанд хүйсийн жижиг бутархай, бага хэмжээгээр энгийн бутархайг ашигладаг байв. Аль-Каражи (X-XI зуун), аль-Хасар (XII зуун), аль-Каласади (XV зуун) болон бусад эрдэмтэд энгийн бутархайг нэгж бутархайн нийлбэр, үржвэр хэлбэрээр илэрхийлэх дүрмийг бүтээлдээ танилцуулсан. Бутархайн тухай мэдээллийг Пизагаас Италийн худалдаачин, эрдэмтэн Леонардо Фибоначчи (13-р зуун) Баруун Европ руу шилжүүлсэн. Тэрээр бутархай гэдэг үгийг нэвтрүүлж, бутархай шугамыг (1202) ашиглаж эхэлсэн бөгөөд бутархайг үндсэн хэсгүүдэд системтэйгээр хуваах томъёог өгсөн. Тоолуур ба хуваагч гэсэн нэрийг 13-р зуунд Грекийн лам, эрдэмтэн, математикч Максимус Плануд нэвтрүүлсэн. Бутархайг нийтлэг хуваагч болгон багасгах аргыг 1556 онд Н.Тарталья санал болгосон. Энгийн бутархай нэмэх орчин үеийн схем нь 1629 оноос эхтэй. A. Girard дээр.

II. Энгийн бутархайн хэрэглээ

2.1 Аликвотын бутархай

Аликвотын бутархайг ашиглах асуудлууд нь стандарт бус асуудлуудын томоохон ангиллыг бүрдүүлдэг, тэр дундаа эрт дээр үеэс гарч ирсэн асуудлууд байдаг. Аливаа зүйлийг аль болох хамгийн бага алхмаар хэд хэдэн хэсэгт хуваах шаардлагатай үед хэсэгчилсэн фракцыг ашигладаг. 2/n ба 2/(2n +1) хэлбэрийн бутархайг хоёр аликвот бутархай болгон задлахыг томъёо хэлбэрээр системчилсэн болно.

Гурав, дөрөв, тав гэх мэт задаргаа. Нэг гишүүнийг хоёр бутархай болгон, дараагийн гишүүнийг дахин хоёр аликв бутархай болгон задлах замаар аликвотын бутархай гаргаж болно.

Тоонуудыг хэсэгчилсэн бутархайн нийлбэрээр илэрхийлэхийн тулд заримдаа та ер бусын авъяас чадварыг харуулах хэрэгтэй. 2/43 тоог дараах байдлаар илэрхийлнэ гэж бодъё: 2/43=1/42+1/86+1/129+1/301. Тоонууд дээр арифметик үйлдлүүд хийж, тэдгээрийг нэгийн бутархайн нийлбэр болгон задлах нь маш тохиромжгүй байдаг. Иймээс жижиг аликвотын бутархайн нийлбэр хэлбэрээр задлах асуудлыг шийдвэрлэх явцад бутархайн задралыг томъёо хэлбэрээр системчлэх санаа гарч ирэв. Хэрэв та аликвотын бутархайг хоёр хэсэг болгон задлах шаардлагатай бол энэ томъёо хүчинтэй.

Томъёо дараах байдалтай байна.

1/n=1/(n+1) + 1/n ·(n+1)

Бутархай тэлэлтийн жишээ:

1/3=1/(3+1)+1/3·(3+1)=1/4 +1/12;

1/5=1/(5+1)+1/5·(5+1)=1/6 +1/30;

1/8=1/(8+1)+1/8·(8+1)=1/9+ 1/72.

Дараах ашигтай тэгшитгэлийг олж авахын тулд энэ томъёог хувиргаж болно: 1/n·(n+1)=1/n -1/(n+1)

Жишээлбэл, 1/6=1/(2 3)=1/2 -1/3

Өөрөөр хэлбэл, аликвотын бутархайг хоёр аликвотын бутархайн зөрүү эсвэл хуваагч нь тэдгээрийн үржвэртэй тэнцүү дараалсан тоонуудын зөрүүгээр илэрхийлж болно.

Жишээ. 1-ийн тоог янз бүрийн аликвотын бутархайн нийлбэрээр төлөөл

a) гурван гишүүн 1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6

б) дөрвөн нэр томъёо

1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)= 1/2+1/3+1/7+1/42

в) таван нэр томъёо

1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)=1/2+1/3+1/7+1/42=1/2+(1/4+ +1/12) +1/7+1/42=1/2+1/4+1/12 +1/7+1/42

2.2 Жижиг бутархайн оронд том

Машин үйлдвэрлэлийн үйлдвэрүүдэд маш сонирхолтой мэргэжил байдаг бөгөөд үүнийг маркер гэж нэрлэдэг. Тэмдэглэгээ нь шаардлагатай хэлбэрийг өгөхийн тулд энэ бэлдэцийг боловсруулах ёстой ажлын хэсэг дээрх шугамуудыг тэмдэглэдэг.

Тэмдэглэгч нь сонирхолтой, заримдаа хэцүү геометрийн асуудлуудыг шийдвэрлэх, арифметик тооцоолол хийх гэх мэтийг хийх ёстой.
"Ямар нэгэн байдлаар 7 ижил тэгш өнцөгт хавтанг 12 хэсгийн хооронд тэнцүү хуваах шаардлагатай байсан. Тэд эдгээр 7 ялтсуудыг тэмдэглэгээнд авчирч, аль нь ч маш жижиг хэсгүүдэд бутлахгүйн тулд ялтсуудыг тэмдэглэж өгөхийг түүнээс хүсэв. Тиймээс хамгийн энгийн шийдэл бол - хавтан бүрийг 12 тэнцүү хэсэгт хуваах нь тохиромжгүй, учир нь энэ нь олон жижиг хэсгүүдэд хүргэдэг.
Эдгээр ялтсуудыг илүү том хэсгүүдэд хуваах боломжтой юу? Маркер бодож, бутархайгаар арифметик тооцоолол хийж, эцэст нь эдгээр ялтсуудыг хуваах хамгийн хэмнэлттэй аргыг олсон.
Дараа нь тэрээр 5 хавтанг амархан буталж, зургаан хэсэг, 13 хавтан 12 хэсэг, 13 хавтан 36 хэсэг, 26 ширхэг 21 ширхэг гэх мэт тэнцүү хуваажээ.

Тэмдэглэгч нь 7\12 бутархайг 1\3 + 1\4 нэгжийн бутархайн нийлбэр хэлбэрээр үзүүлсэн болох нь харагдаж байна. Энэ нь өгөгдсөн 7 хавтангаас 4 нь тус бүрийг гурван тэнцүү хэсэгт хуваасан бол бид гуравны 12, өөрөөр хэлбэл хэсэг тус бүрийн гуравны нэгийг авна гэсэн үг юм. Бид үлдсэн 3 хавтанг тус бүр 4 тэнцүү хэсэгт хувааж, 12 дөрөвний нэгийг авдаг, өөрөөр хэлбэл хэсэг тус бүрийн дөрөвний нэгийг авдаг. Үүний нэгэн адил нэгж бутархайн нийлбэр хэлбэрээр бутархайн дүрслэлийг ашиглан 5\6=1\2+1\3; 13\121\3+3\4; 13\36=1\4+1\9.

2.3 Хүнд нөхцөлд байгаа хэлтэс

Аав нь хөвгүүддээ 17 тэмээ үлдээж, том хагасыг, дунд нэгийг гуравны нэгийг, бага нь есдүгээр тэмээгээ хуваахыг тушаасан зүүн зүгийн нэгэн үлгэр байдаг. Гэвч 17 нь 2, 3, 9-д хуваагддаггүй. Хөвгүүд мэргэн рүү хандав. Мэргэн бутархайг мэддэг байсан бөгөөд энэ хүнд хэцүү нөхцөлд тусалж чаддаг байв.

Тэр заль мэх хийсэн. Мэргэн тэмээгээ сүрэгт түр нэмээд 18 болж, гэрээслэлд заасны дагуу энэ тоог хуваагаад, мэргэн тэмээгээ буцаан авчээ. Нууц нь хөвгүүдийн гэрээслэлийн дагуу сүргийг хуваах хэсгүүд нь нийлбэрээр 1-тэй тэнцдэггүй. Үнэхээр 1\2 + 1\3 + 1\9 = 17\18.

Ийм даалгавар маш олон байдаг. Жишээлбэл, нэг нь нэг, гурав, таван рубль, үлдсэн нь арван рублийн үнэтэй түрийвч олсон 4 найзын тухай Оросын сурах бичгээс нэг асуудал. Харилцан тохиролцсоны дагуу нэг нь гуравны нэгийг, хоёр дахь нь дөрөвний нэгийг, гурав дахь нь тав, дөрөв дэх нь зургаа дахь хэсгийг хүссэн. Гэсэн хэдий ч тэд өөрсдөө үүнийг хийж чадахгүй байсан: хажуугаар нь өнгөрч байсан хүн рубль нэмсний дараа тусалсан. Энэ хүндрэлийг шийдэхийн тулд хажуугаар өнгөрөх хүн 1\3 + 1\4 + 1\5 + 1\6 = 57\60 нэгжийн бутархайг нэмж, найз нөхдийнхөө хүсэлтийг хангаж, өөртөө 2 рубль олжээ.

III.Сонирхолтой фракцууд

3.1 Домино бутархай

Domino бол дэлхий даяар алдартай ширээний тоглоом юм. Домино тоглоом нь ихэвчлэн 28 тэгш өнцөгт хавтангаас бүрддэг. Домино бол урд тал нь шугамаар хоёр дөрвөлжин хэсэгт хуваагдсан тэгш өнцөгт хавтан юм. Хэсэг бүр тэгээс зургаан цэгийг агуулна. Хэрэв та хамгийн багадаа нэг тал (хоосон) дээр оноо агуулаагүй шоонуудыг хасвал үлдсэн шоонуудыг бутархай гэж үзэж болно. Хоёр тал нь ижил тооны оноо (давхар) агуулсан шоо нь нэгтэй тэнцэх буруу бутархай юм. Хэрэв та эдгээр ясыг нэмж авбал танд 15 яс үлдэх болно. Тэдгээрийг янз бүрийн аргаар зохион байгуулж, сонирхолтой үр дүнд хүрч болно.

1. 3 эгнээнд байрлуулж, тус бүрийн бутархайн нийлбэр нь 2 байна.

;
;

2. 4/3, 6/1, 3/2 гэх мэт зарим даалууг буруу бутархай болгон ашиглан 15 хавтанг тус бүр 5 хавтантай гурван эгнээ болгон байрлуулж, эгнээ тус бүрийн бутархайн нийлбэрийг гарга. 10-ын тоотой тэнцэв.

1\3+6\1+3\4+5\3+5\4=10

2\1+5\1+2\6+6\3+4\6=10

4\1+2\3+4\2+5\2+5\6=10

3. Бутархайг эгнээнд байрлуулах, нийлбэр нь бүхэл тоо байх болно (гэхдээ өөр өөр эгнээнд ялгаатай).

3.2 Эрт дээр үеэс.

"Тэр энэ асуудлыг нухацтай судалсан." Энэ нь асуудлыг эцсээ хүртэл судалсан, өчүүхэн ч эргэлзээгүй гэсэн үг. "Шижрэлтэй" гэсэн хачирхалтай үг нь 1/288 асса буюу "scrupulus" гэсэн Ром нэрнээс гаралтай.

"Бутархай руу орох." Энэ илэрхийлэл нь хэцүү нөхцөл байдалд өөрийгөө олох гэсэн үг юм.

"Асс" нь фармакологийн массыг хэмжих нэгж юм (эм зүйч фунт).

"Унц" нь Английн хэмжүүрийн систем дэх массын нэгж, фармакологи, химийн массын хэмжих нэгж юм.

IV. Дүгнэлт.

Бутархайн түүх бол олон саад бэрхшээл, хүндрэлтэй эргэлдсэн зам юм гэж би дүгнэсэн. Эссэ дээрээ ажиллаж байхдаа би маш олон шинэ, сонирхолтой зүйлийг сурсан. Би нэвтэрхий толь бичгүүдээс олон ном, хэсэг уншсан. Би хүмүүсийн ажиллаж байсан анхны бутархай, аликвотын бутархай гэсэн ойлголттой танилцаж, бутархайн тухай сургаалыг хөгжүүлэхэд хувь нэмрээ оруулсан эрдэмтдийн шинэ нэрсийг олж мэдсэн. Би өөрөө олимпиад, зугаа цэнгэлийн асуудлыг шийдэхийг хичээсэн, энгийн бутархайг аликвит бутархай болгон задлах жишээг бие даан сонгож, текстэд өгөгдсөн жишээ, бодлогын шийдлийг задлан шинжилсэн. Эссэ дээр ажиллаж эхлэхээсээ өмнө өөрөөсөө асуусан асуултын хариулт: энгийн бутархайнууд шаардлагатай, тэдгээр нь чухал юм. Танилцуулга бэлтгэх нь сонирхолтой байсан тул би багш, ангийнханаасаа тусламж хүсэх шаардлагатай болсон. Мөн бичихдээ бутархай, бутархай илэрхийлэл бичих шаардлага анх удаа тулгарсан. Сургуулийн хуралд би илтгэлээ тавьсан. Мөн ангийнхаа хүүхдүүдийн өмнө үзүүлбэр үзүүлжээ. Тэд маш анхааралтай сонсож, миний бодлоор тэд сонирхож байсан.

Би хураангуй дээр ажиллаж эхлэхээсээ өмнө тавьсан даалгавраа биелүүлсэн гэж бодож байна.

Уран зохиол.

1. Бородин А.И. Арифметикийн түүхээс. "Вишча сургууль" хэвлэлийн газрын дарга К., 1986 он

2. Глейзер Г.И.Сургуулийн математикийн түүх: IV-VI анги. Багш нарт зориулсан гарын авлага. – М.: Боловсрол, 1981 он.

3. Игнатьев Е.И. Оюун ухааны хаант улсад. "Наука" хэвлэлийн газрын физик-математикийн уран зохиолын ерөнхий редакц, М., 1978 он.

4. Кордемской Г.А. Математикийн ухаан. - 10-р хэвлэл, шинэчилсэн найруулга. Мөн нэмэлт - М.: Unisam, MDS, 1994.

5. Строик Д.Я. Товч эссэматематикийн түүх. М.: Наука, 1990 он.

6.Хүүхдэд зориулсан нэвтэрхий толь бичиг. 11-р боть. Математик. Москва, Аванта+, 1998 он.

7. /wiki.Материал Википедиа - Чөлөөт нэвтэрхий толь.

Хавсралт 1.

Байгалийн масштаб

Пифагор бол эрдэмтэн, тэр дундаа алдартай теоремыг зохиогч гэдгийг хүн бүр мэддэг. Гэхдээ тэр гайхалтай хөгжимчин байсан нь тийм ч олонд мэдэгддэггүй. Эдгээр авъяас чадварыг хослуулсан нь түүнд байгалийн хэмжүүр байдаг талаар хамгийн түрүүнд таамаглах боломжийг олгосон юм. Би үүнийг батлах ёстой хэвээр байсан. Пифагор туршилтдаа зориулж хагас багаж, хагас төхөөрөмж - "монохорд" бүтээжээ. Энэ бол гонзгой хайрцаг, дээр нь утас татсан байв. Утасны доор, хайрцгийн дээд таган дээр Пифагор утсыг хэсэг болгон хуваахад хялбар болгохын тулд масштаб зуржээ. Пифагор монокордоор олон туршилт хийж, эцэст нь дуугаралттай утсанд ямар зан үйлийг математикийн хувьд дүрсэлсэн байдаг. Пифагорын бүтээлүүд нь бидний одоо хөгжмийн акустик гэж нэрлэдэг шинжлэх ухааны үндэс суурийг тавьсан юм. Хөгжмийн хувьд октав доторх долоон авиа нь арифметикийн хувьд гарын арван хуруутай адил байгалийн зүйл юм. Буудсаны дараа эргэлдэж байсан хамгийн анхны нумны утас нь бидний бараг өөрчлөгдөөгүй хэвээр байгаа хөгжмийн аялгууг бэлэн болгожээ.

Физикийн үүднээс нум, уяа хоёр нэг юм. Тэгээд тэр хүн нумны шинж чанарыг анхаарч, уяа хийсэн. Дууны утас нь бүхэлдээ төдийгүй хагас, гуравны нэг, дөрөвний нэг гэх мэт чичиргээтэй байдаг. Одоо энэ үзэгдлийг арифметик талаас нь авч үзье. Хагас нь бүхэл утсаас хоёр дахин, гуравны нэг нь гурван удаа, дөрөвний нэг нь дөрвөн удаа чичирдэг. Нэг үгээр хэлбэл, утаснуудын чичиргээт хэсэг нь хэд дахин бага бол түүний хэлбэлзлийн давтамж нь ижил тооны дахин их байдаг. Бүх утас 24 герц давтамжтайгаар чичирнэ гэж бодъё. Бутархайн хэлбэлзлийг арван зургаа хүртэл тоолох замаар бид хүснэгтэд үзүүлсэн тооны цувралыг авна. Энэ давтамжийн дарааллыг байгалийн гэж нэрлэдэг, i.e. байгалийн, цар хүрээ.

Хавсралт 2.

Энгийн бутархай ашигласан эртний асуудлууд.

Янз бүрийн улс орны эртний гар бичмэлүүд болон эртний арифметикийн сурах бичигт бутархайн тухай олон сонирхолтой бодлого байдаг. Эдгээр асуудал тус бүрийг шийдвэрлэхийн тулд асар их ухаан, овсгоо, сэтгэх чадварыг шаарддаг.

1. Хоньчин 70 бухтай ирдэг. Түүнээс:

Та олон сүргээсээ хэд авчирдаг вэ?

Хоньчин хариулав:

Би үхрийн гуравны нэгийн гуравны хоёрыг авчирдаг. Сүрэгт хэдэн бух байгааг тоолоорой?

Ахмесийн папирус (Египет, МЭӨ 2000 орчим).

2. Хэн нэгэн 1/13-ыг төрийн сангаас авсан. Үлдсэнээс өөр нэг нь 1/17 авсан. Тэр 192-ыг төрийн санд үлдээсэн. Бид эхлээд төрийн санд хэдэн төгрөг байсныг олж мэдмээр байна.

Акмим папирус (VI зуун)

3. Аялагч! Диофантусын чандрыг энд оршуулсан байдаг. Тоонууд нь түүний амьдрал хэр удаан байсныг хараарай.

Түүний зургадугаар хэсэг бол гайхалтай хүүхэд нас байсан.

Түүний амьдралын арван хоёр дахь хэсэг өнгөрч, дараа нь эрүү нь хөвсгөр хучигдсан байв.
Диофант долоо дахь удаагаа хүүхэдгүй гэрлэжээ.

Таван жил өнгөрсөн; тэр сайхан ууган хүүгээ төрүүлснээр адислагдсан.
Хувь тавилан түүнд аавтайгаа харьцуулахад дэлхий дээрх сайхан, гэгээлэг амьдралын хагасыг л өгсөн.

Өвгөн хүүгээ алдсанаас хойш дөрвөн жил амьдарсандаа гүнээ гунигтайгаар дэлхийн хувь заяаны төгсгөлийг хүлээн зөвшөөрөв.

Надад хэлээч, Диофант үхлийг хэдэн жил тэвчсэн бэ?

4. Хэн нэгэн үхэж байхдаа гэрээсэлсэн: “Хэрэв миний эхнэр хүү төрүүлбэл 2/3-ыг түүнд, үлдсэнийг нь эхнэрт нь өг. Хэрэв охин төрвөл 1/3 нь түүнд, 2/3 нь эхнэрт нь өгнө." Ихрүүд төрсөн - хүү, охин хоёр. Үл хөдлөх хөрөнгийг хэрхэн хуваах вэ?

Эртний Ромын асуудал (II зуун)

Хамгийн том нь дунджаас хамгийн бага нь өгөгдсөн хэсгээр, дундаж нь хамгийн бага нь хамгийн том нь өгөгдсөн хэсгээр, хамгийн бага нь 10-аас дундажийн өгөгдсөн хэсгээс давах гурван тоог ол.

Диофант Александрын "Арифметик" зохиол (МЭ 2-3-р зуун)

5. Зэрлэг нугас Өмнөд тэнгисээс хойд тэнгис рүү 7 хоног нисдэг. Зэрлэг галуу хойд тэнгисээс өмнөд тэнгис рүү 9 хоног нисдэг. Одоо нугас, галуу хоёр зэрэг нисдэг. Тэд хэд хоногийн дараа уулзах вэ?

Хятад (МЭ 2-р зуун)

6. “Нэг худалдаачин 3 хотоор дайран өнгөрч, эхний хотод эд хөрөнгийнх нь хагас, гуравны нэг, хоёр дахь хотод үлдсэн хөрөнгийнх нь хагас, гуравны нэг, гурав дахь хотод тэднээс татвар хураав. түүний үлдэгдэл эд хөрөнгийн хагас ба гуравны нэг нь. Тэгээд гэртээ ирэхэд түүнд 11 мөнгө үлджээ. Анх худалдаачин хэдэн төгрөгтэй байсныг олж мэд” гэв.

Ананий Ширакаци. "Асуулт ба хариулт" цуглуулга (VIIМЭ зуун).

Кадамба цэцэг бий,

Нэг дэлбээний хувьд

Зөгийүүдийн тавны нэг нь буурсан байна.

Би ойролцоо өссөн

Бүгд Сименгда цэцэглэж байна,

Гурав дахь хэсэг нь үүн дээр тохирно.

Тэдний ялгааг ол

Гурван удаа нугална

Тэгээд эдгээр зөгийүүдийг кутай дээр тарь.

Зөвхөн хоёр нь олдсонгүй

Өөртөө газар хаана ч байхгүй

Бүгд нааш цааш, хаа сайгүй нисч байв

Цэцгийн үнэрийг мэдрэв.

Одоо надад хэлээч

Миний оюун ухаанд тооцоолж,

Нийт хэдэн зөгий байдаг вэ?

Хуучин Энэтхэгийн асуудал (XI зуун).

8. “Түүнээс гуравны нэг ба дөрөвний нэгийг хасвал 10 гарна гэдгийг мэдсээр байж тоог ол”.

Мухаммед ибн Муса аль Хорезми "Арифметик" (9-р зуун)

9. Нэгэн эмэгтэй цэцэрлэгт алим түүхээр явав. Цэцэрлэгээс гарахын тулд тэрээр дөрвөн хаалгаар гарах ёстой бөгөөд тус бүр нь хамгаалагчтай байв. Эмэгтэй түүж авсан алимныхаа талыг нэгдүгээр хаалганы жижүүрт өгөв. Хоёр дахь харуулд хүрч ирээд эмэгтэй үлдсэн хүмүүсийн талыг түүнд өгөв. Тэр гурав дахь хамгаалагчтай ижил зүйлийг хийсэн бөгөөд дөрөв дэх хамгаалагчтай алимыг хуваалцахад 10 алим үлдсэн байв. Тэр цэцэрлэгт хэдэн алим түүсэн бэ?

"1001 шөнө"

10. Зөвхөн “тэр” ба “энэ”, “тэр” ба “энэ”-ийн тал нь – “тэр” ба “энэ” хоёрын дөрөвний гурвын хэдэн хувь нь байх вэ.

Codex эртний Орос(X-XI зуун)

11. Гурван казак адуу худалдаж авахаар малчинд ирэв.

"За, би чамд адуу зарна" гэж малчин "Нэгд нь хагас сүрэг, хагас адууг, хоёрт үлдсэн адууны талыг, хоёр дахь нь хагас адууг зарна, гурав дахь нь мөн талыг нь авна" гэж хариулав. хагас морьтой үлдсэн адуунаас.

Би өөртөө 5-хан морь үлдээх болно."

Казакууд малчин адуугаа хэрхэн хуваахыг гайхаж байв. Гэвч хэсэг хугацааны дараа тэд тайвширч, хэлэлцээр болов.

Малчин казак бүрт хэдэн адуу зарсан бэ?

12. Хэн нэгэн багшаас: "Танай ангид хэдэн хүүхэд байгааг хэлээч, би хүүгээ чамтай элсүүлэхийг хүсч байна" гэж асуув. Багш: "Хэрвээ над шиг олон, хагас дутуу, дөрөвний нэг, чиний хүүтэй адил олон сурагч ирвэл би 100 сурагчтай болно" гэж хариулав. Асуулт бол багш хэдэн шавьтай байсан бэ?

Л.Ф.Магнитский "Арифметик" (1703)

13. Аялагч нөгөөгөө гүйцэж ирээд түүнээс: "Урдах тосгон хүртэл хэр хол вэ?" Өөр нэг аялагч хариуд нь: "Таны ирж буй тосгоноос зай нь тосгон хоорондын зайны гуравны нэгтэй тэнцэнэ. Хэрэв та дахиад хоёр миль явбал тосгоны дунд яг таарна. Эхний аялагч явахад хэдэн миль үлдсэн бэ?

Л.Ф.Магнитский "Арифметик" (1703)

14. Тариачин эмэгтэй зах дээр өндөг зарж байв. Эхний худалдан авагч нь өндөгнийхөө хагасыг, өндөгнийх нь хагасыг, үлдсэн хагасыг нь, өндөгнийх нь хагасыг, гурав дахь нь сүүлийн 10 өндөгийг худалдаж авсан.

Тариачин эмэгтэй зах дээр хэдэн өндөг авчирсан бэ?

Л.Ф.Магнитский "Арифметик" (1703)

15. Эхнэр нөхөр хоёр нэг авдраас мөнгө аваад юу ч үлдээгүй. Нөхөр нь бүх мөнгөний 7/10, эхнэр нь 690 рубль авсан. Бүх мөнгө хэд байсан бэ?

Л.Н.Толстой "Арифметик"

16. Тооны наймны нэг

Үүнийг аваад аль нэгийг нь нэмнэ үү

Гурван зуугийн хагас

Мөн найм нь давах болно

Жаахан биш - тавин

Дөрөвний гурав. Би баяртай байх болно,

Оноо мэддэг хүн байвал

Тэр надад дугаарыг хэлэх болно.

Иоганн Хемелинг, математикийн багш (1800)

17. Гурван хүн тодорхой хэмжээний мөнгө хожсон. Эхнийх нь энэ хэмжээний 1/4, хоёр дахь нь -1/7, гурав дахь нь 17 флориныг эзэлж байна. Нийт ялалт хэр их вэ?

Адам Ризе (Герман, 16-р зуун) 18. Хадгаламжаа бүх хөвгүүддээ тэнцүү хуваахаар шийдээд хэн нэгэн гэрээслэл үйлджээ. “Миний хөвгүүдийн хамгийн том нь 1000 рубль, үлдсэн мөнгөний наймны нэгийг авах ёстой; дараагийнх нь - 2000 рубль, шинэ үлдэгдлийн наймны нэг; гурав дахь хүү - 3000 рубль, дараагийн үлдэгдлийн наймны нэг гэх мэт." Хүүгийн тоо, гэрээсэлсэн хадгаламжийн хэмжээг тогтоо.

Леонхард Эйлер (1780)

19. Гурван хүн 24,000 ливрийн үнэтэй байшин авах хүсэлтэй байна. Эхнийх нь хагасыг, хоёр дахь нь гуравны нэгийг, гурав дахь нь үлдсэнийг нь өгөхөөр тохиролцов. Гурав дахь нь хэдэн төгрөг өгөх вэ?

Бутархай "," Энгийн бутархай" Тоглоом "Тэд юу ярьж чадах вэ ... сэтгэцийн арифметикийн хувьд." "Сэдвийн даалгавар" Энгийн бутархайба тэдгээрт хийсэн үйлдлүүд" 1. У... философич, зохиолч. Б.Паскаль байсан ер бусынавъяаслаг, олон талт, түүний амьдрал ...

Бүтээлийн текстийг зураг, томъёололгүйгээр нийтэлсэн.
Бүрэн хувилбаражлыг "Ажлын файлууд" табаас PDF форматаар авах боломжтой

Оршил

Бутархайг судлах нь амьдрал өөрөө шийдэгддэг. Бид өдөр тутмын амьдралдаа фракцтай тулгардаг тул янз бүрийн тооцоолол, тооцоолол хийх чадвар нь хүн бүрт зайлшгүй шаардлагатай байдаг. Би эдгээр тоонуудын нэр хаанаас ирснийг мэдэхийг хүссэн; Эдгээр тоог гаргасан хүн бол бидний сургуульд сурч байгаа "Бутархай" сэдэв бол миний амьдралд зайлшгүй шаардлагатай сэдэв юм.

Судалгааны объект: энгийн бутархайн гарал үүслийн түүх.

Судалгааны сэдэв: энгийн бутархай.

Таамаглал: Хэрэв бутархай тоо байхгүй байсан бол математик хөгжиж чадах уу?

Ажлын зорилго: Математикийн танхимын "Бидний эргэн тойронд математик" стендийг бутархайн тухай сонирхолтой баримтуудаар чимэглэж байна.

Даалгаварууд:

Математикийн бутархайн түүхийг судлах;

Стендний хэсгүүдийг эмхэтгэхэд ашиглаж болох бутархайн тухай хамгийн сонирхолтой баримтуудыг сонго.

Математикийн танхимд стенд байрлуул.

Хамааралтай байдал: Орчин үеийн амьдрал бутархайн асуудлыг практикт хэрэглэх хүрээ өргөжиж байгаа тул бутархайн асуудлыг чухал болгож байна.

Судалгааны аргууд:

1. Бутархайн тухай мэдээллийг янз бүрийн эх сурвалжаас хайх: Интернет, уран зохиол, сурах бичиг.

2. Мэдээлэлд дүн шинжилгээ хийх, харьцуулах, нэгтгэх, системчлэх.

1. Энгийн бутархайн түүхээс

1.1. Бутархай хэсгүүдийн үүсэх

Бүх соёл иргэншилд бутархай гэсэн ойлголт нь бүхэл бүтэн хэсгийг тэнцүү хэсгүүдэд хуваах үйл явцаас үүссэн. Оросын "бутархай" гэсэн нэр томъёо нь бусад хэл дээрх аналогуудын нэгэн адил лат хэлнээс гаралтай. "Фрактура" гэдэг нь араб хэл дээрх ижил утгатай үгийн орчуулга юм: эвдэх, таслах. Тиймээс, хаа сайгүй анхны бутархай нь 1/n хэлбэрийн бутархай байсан байх. Цаашдын хөгжил нь эдгээр бутархайнуудыг m/n - рационал тоонуудыг бүрдүүлж болох нэгж болгон авч үзэх рүү чиглэх нь дамжиггүй. Гэсэн хэдий ч энэ замыг бүх соёл иргэншил дагаж мөрдөөгүй: жишээлбэл, эртний Египетийн математикт энэ нь хэзээ ч хэрэгждэггүй.

1.2. Орос хэл дээрх бутархай

Орос хэлэнд "бутархай" гэдэг үг 8-р зуунд гарч ирсэн бөгөөд энэ нь "дроблит" - эвдэх, хэсэг болгон хуваах үйл үгээс гаралтай. Бутархайн орчин үеийн тэмдэглэгээ нь Эртний Энэтхэгээс гаралтай: Арабчууд ч үүнийг ашиглаж эхэлсэн.

Хуучин гарын авлагаас бид Орос хэл дээрх фракцуудын дараах нэрийг олдог.

ОХУ-д ашигласан газрын хэмжүүр нь дөрөвний нэг, түүнээс бага нь дөрөвний нэг хагас байсан бөгөөд үүнийг окмина гэж нэрлэдэг байв. Эдгээр нь бетоны фракцууд, дэлхийн талбайг хэмжих нэгжүүд байсан боловч октина нь цаг хугацаа, хурдыг хэмжиж чаддаггүй байв. Хэсэг хугацааны дараа октина нь ямар ч утгыг илэрхийлж болох хийсвэр фракц 1/8 гэсэн утгатай болсон. 17-р зууны Орос улсад бутархайн хэрэглээний талаар та В.Беллюстины "Хүмүүс хэрхэн аажмаар жинхэнэ арифметикт хүрсэн бэ" номноос дараахь зүйлийг уншиж болно: "17-р зууны гар бичмэлд. “Тогтоолын бүх бутархайн тухай өгүүлэл нь бутархайг бичгээр тэмдэглэж, тоо, хуваагчийг зааснаас шууд эхэлнэ. Бутархайг дуудахдаа дараах шинж чанарууд сонирхолтой байдаг: дөрөв дэх хэсгийг дөрөвний нэг гэж нэрлэдэг байсан бол 5-аас 11 хүртэлх хуваарьтай бутархайг "ина" гэж төгссөн үгээр илэрхийлсэн тул 1/7 нь долоо хоног, 1/5 нь таван оноо, 1/10 нь аравны нэг; 10-аас дээш хуваагчтай хувьцааг "лот" гэсэн үгээр дууддаг, жишээлбэл 5/13 - багцын арван гуравны тав. Бутархай тоог барууны эх сурвалжаас шууд авсан. Тоолуурыг дээд тоо, хуваагчийг доод гэж нэрлэдэг байсан.”

1.3. Эртний бусад муж дахь бутархай

Бүх дансны дүрэм эртний египетчүүднэмэх, хасах, давхар тоо, бүтэн бутархайг нэгд оруулах чадварт суурилсан байв. Бутархайн хувьд тусгай тэмдэглэгээ байсан. Египетчүүд 1/n хэлбэрийн бутархайг ашигласан ба энд n нь натурал тоо юм. Ийм бутархайг нэрлэдэг хэсэг. Заримдаа m:n-ийг хуваахын оронд m∙n-ийг үржүүлдэг байсан.

Эрт дээр үед египетчүүд 2 алимыг хэрхэн гурав хуваахыг мэддэг байсан: бүр энэ тооны тусгай дүрс байдаг. Дашрамд хэлэхэд, энэ нь Египетийн бичээчдийн хэрэглээний цорын ганц бутархай байсан бөгөөд тоологч хэсэгт нэгж байхгүй байсан - бусад бүх фракцууд нь тоологчд 1-тэй байсан (үндсэн бутархай гэж нэрлэдэг): 1/2, 1/3 , 1/17, ... гэх мэт. Бутархайд хандах ийм хандлага маш удаан хугацаанд байсаар ирсэн. Эртний Египтийн соёл иргэншил аль хэдийн мөхөж, нэгэн цагт ногоон газар нутаг Сахарын элсэнд шингэж, фракцууд нь Сэргэн мандалтын үе хүртэл үндсэн хэсгүүдийн нийлбэрт хуваагдсан!

ХятададЭнгийн бутархайтай бараг бүх арифметик үйлдлүүд 2-р зуунд бий болсон. МЭӨ д.; Эдгээрийг эртний Хятадын математикийн мэдлэгийн суурь хэсэг болох "Есөн ном дахь математик"-д дүрсэлсэн байдаг бөгөөд түүний эцсийн хэвлэл нь Жан Цанд харьяалагддаг. Хятадын математикчид Евклидийн алгоритмтай төстэй дүрэмд (тоо ба хуваагчийн хамгийн том нийтлэг хуваагч) үндэслэн тооцоо хийснээр бутархай тоог багасгасан. Бутархайг үржүүлэх нь урт, өргөнийг бутархайгаар илэрхийлсэн тэгш өнцөгт талбайн талбайг олох гэж үздэг байв. Хуваалцах санааг ашиглан хуваах гэж үзсэн бол Хятадын математикчид энэ хэсэгт оролцогчдын тоо бутархай, жишээлбэл, 3⅓ хүн байж болно гэж ичихгүй байв.

Эхэндээ хятадууд энгийн фракцуудыг ашигладаг байсан бөгөөд эдгээрийг ванны иероглиф ашиглан нэрлэжээ.

банх ("хагас") -12;

шао бан ("жижиг хагас") -13;

тай банх ("том хагас") -23. Юу вэ гэж гайхаж байна Вавилончуудтэд тогтмол хуваагчийг илүүд үздэг байсан (60-тай тэнцүү, учир нь тэдний тооны систем нь хүйсийн жижиг байсан бололтой).

РомчуудТэд мөн 12-той тэнцүү зөвхөн нэг хуваагч ашигласан.

Энгийн бутархай үзэл баримтлалыг цаашид хөгжүүлэхэд онд хүрсэн Энэтхэг. Энэ улсын математикчид нэгж бутархайгаас ерөнхий бутархай руу хурдан шилжиж чадсан. Ийм бутархайг анх удаа геометрийн бүтэц, зарим тооцооллын үр дүнг агуулсан Апастамбын (МЭӨ VII-V зуун) "Олсны дүрэм" номоос олжээ. Энэтхэгт тэмдэглэгээний системийг ашигласан - магадгүй Хятад, магадгүй хожуу Грек гаралтай - манайх шиг бутархайн тоог хувагчийн дээр бичсэн боловч бутархай шугамгүй, харин бутархайг бүхэлд нь нэг хэсэгт байрлуулсан байв. тэгш өнцөгт хүрээ.

Сонирхолтой фракцууд

"Бутархайн тухай мэдлэггүй бол хэнийг ч арифметик мэддэг гэж хүлээн зөвшөөрөхгүй!" (Цицерон)

Хэмжих систем нь фракцуудыг авч явдаг: 1 сантиметр = 1/10 дециметр = 1/100 метр.

Та бутархайтай уулзаж болно өөр өөр хичээл дээр. Тухайлбал, газар зүйд: “ЗСБНХУ оршин тогтнох үед Орос улс газар нутгийнхаа зургаагийн нэгийг эзэлж байсан. Одоо Орос улс газар нутгийн 9/1-ийг эзэлж байна." Дүрслэх урлагт - хүний дүрсийг дүрслэх үед. Хөгжимд хэмнэл, хөгжмийн бүтээлийн хэмжүүр.

Хүн "бутархай" гэдэг үгтэй тааралддаг. Амьдралд:

Ан агнуурын винтовоос буудах жижиг хар тугалганы бөмбөг - буудсан.

Байнга, тасалдсан дуу чимээ - бөмбөр цохих.

Тэнгисийн цэргийн хүчинд "буудсан!" - гал зогсоох.

Бүжиг дэх фракц. Оросын ардын бүжгийг бутархай, гүйлтгүйгээр төсөөлөхийн аргагүй юм.

Шүдээрээ нэг хэсгийг тогших - шүдээ хавирах (даарахаас чичирч, айх).

Уран зохиолд. Виктор Драгунскийн "Чи хошин шогийн мэдрэмжтэй байх ёстой" өгүүллэгийн баатар Дениска нэг удаа найз Мишкагаас хоёр алимыг хэрхэн гурвын хооронд тэнцүү хуваах вэ гэж асуужээ. Мишка эцэст нь бууж өгөхөд тэрээр "Компот хий!" Гэж хариулав. Мишка, Денис нар бутархайг сураагүй байсан бөгөөд 2 нь 3-т хуваагддаггүй гэдгийг баттай мэдэж байсан уу?

Гэхдээ энэ нь асуудлыг шийдэх цорын ганц шийдэл биш юм! Алим бүрийг гурван хэсэгт хувааж, хоёр ийм хэсгийг гурвууланд нь тараах шаардлагатай.

Гурван төрлийн бутархай байдаг:

Нэгж (аливот) эсвэл бутархай (жишээ нь 1/2, 1/3, 1/4 гэх мэт).

Системчилсэн, өөрөөр хэлбэл хуваагчийг тооны хүчээр илэрхийлдэг бутархай (жишээлбэл, 10 эсвэл 60-ын зэрэг гэх мэт).

Тоолуур ба хуваагч нь дурын тоо байж болох ерөнхий хэлбэр.

"Худал" - жигд бус, "бодит" - зөв гэсэн фракцууд байдаг.

Математик дахь бутархай- бүхэл бус тоо буюу бутархай гэсэн ойлголтыг анх тусгасан хуваах үйлдлийг ашиглан математик хэмжигдэхүүнийг илэрхийлэх хэлбэр. Хамгийн энгийн тохиолдолд тоон бутархай нь хоёр тооны харьцаа юм.

м:н =м/н

Бутархай м/n(унших: “um nth”) тоо м, шугамын дээгүүр байрласан тоог тоологч, шугамын доор байрлах n тоог хуваагч гэнэ. Хуваагч нь бүхэл хэдэн тэнцүү хэсэгт хуваагдсаныг, тоологч нь хэдэн ийм хэсгүүдийг авсныг харуулна. Бутархай шугамыг хуваах тэмдэг гэж ойлгож болно.

1202 онд тэрээр "бутархай" гэдэг үгийг нэвтрүүлсэн.

Тоолуур ба хуваагч гэсэн нэрийг 13-р зуунд Грекийн лам, эрдэмтэн, математикч Максимус Плануд нэвтрүүлсэн.

Судалгааны үндсэн үр дүн

Дүгнэлт: Бутархайн хэрэгцээ нь хүний хөгжлийн маш эрт үед үүссэн. Амьдралд хүн зөвхөн объектыг тоолохоос гадна хэмжигдэхүүнийг хэмжих ёстой байв. Хүмүүс урт, газар нутаг, эзэлхүүн, биеийн жин, цагийг хэмжиж, худалдан авсан эсвэл худалдсан барааны төлбөрийг хийдэг. Хэмжилтийн үр дүн эсвэл бүтээгдэхүүний өртгийг натурал тоогоор илэрхийлэх нь үргэлж боломжгүй байсан. Бутархай, тэдгээрийг зохицуулах дүрэм ингэж гарч ирсэн.

Ажлын практик ач холбогдол:

Би текст засварлагч дээр ажиллах ур чадварыг эзэмшсэн, интернетийн эх сурвалжтай ажилласан. Би математикийн танхимын “Бидний эргэн тойрон дахь математик” стендийг бутархайн тухай сонирхолтой баримтаар чимэглэх материалыг сонгосон (Хавсралт 1). Мөн стенд зохион бүтээсэн (Хавсралт).

Судалгааны үр дүнд Би таамаглалыг баталсан: хүмүүс бутархайгүйгээр хийж чадахгүй, бутархайгүй бол математик хөгжиж чадахгүй.

Ном зүй

Анищенко E. A. Тоо нь математикийн үндсэн ойлголт юм. Мариуполь, 2002 он.

Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математик. 5-р анги: Ерөнхий боловсролын сургалтын байгууллагын сурах бичиг/- 26-р хэвлэл, стер. - М .: Mnemosyne, 2009. - 280 х.

Гейзер Г.И. Сургуулийн математикийн түүх. Багш нарт зориулсан гарын авлага. - М.: Боловсрол, 1981. - 239 х.

Математик. 5-р анги: ерөнхий боловсролын боловсрол. байгууллагууд. [CM. Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В. Шевкин]. - 11-р хэвлэл, шинэчилсэн. - М.: Боловсрол, 2016. - 272 х. - (МУИС - сургууль).

Математик нэвтэрхий толь бичиг. - М., 1988.

Алсын зайнаас хандах цахим нөөц (Интернет)

3. Википедиагийн материал - үнэгүй нэвтэрхий толь. Хандалтын горим: http://ru.wikipedia.org/wiki

Ишлэл. Хандалтын горим: http://citaty.socratify.net/lev-toltoi/25013.

Хэрэглээ

“Математик бидний эргэн тойронд” стенд

"Египтэд бутархай бичих" хүснэгт