Ньютоны интерполяцийн томъёо. Ньютон дахь интерполяцийн олон гишүүнт Ньютоны томъёог ашиглан тодорхой нарийвчлалтайгаар интерполяци хийнэ

Ньютоны анхны интерполяцийн томъёо нь хүснэгтийн зангилааны ойролцоо функцийг интерполяцид оруулахад бараг тохиромжгүй юм. Энэ тохиолдолд ихэвчлэн ашиглагддаг .

Даалгаврын тодорхойлолт . Функцийн утгуудын дарааллыг авч үзье

ижил зайтай аргументын утгуудын хувьд интерполяцийн алхам хаана байна. Дараах хэлбэрийн олон гишүүнтийг байгуулъя.

эсвэл ерөнхий хүчийг ашиглан бид дараахь зүйлийг авна.

Дараа нь, хэрэв тэгш байдал хангагдсан бол бид авна

Эдгээр утгыг томъёонд (1) орлуулъя. Тэгээд эцэст нь, Ньютоны хоёр дахь интерполяцийн томъёохэлбэртэй байна:

Томъёоны (2) илүү тохиромжтой тэмдэглэгээг танилцуулъя. Тэгвэл байг

Эдгээр утгыг томъёогоор (2) орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.

Энэ бол ердийн үзэл бодол юм Ньютоны хоёр дахь интерполяцийн томъёо. Функцийн утгуудын тооцоог ойролцоогоор гаргахын тулд:

Ньютоны эхний болон хоёр дахь интерполяцийн томъёог функцийг экстраполяци хийх, өөрөөр хэлбэл хүснэгтээс гадуурх аргументуудын утгуудын функцын утгыг олоход ашиглаж болно.

Хэрэв энэ нь ойролцоо байвал Ньютоны анхны интерполяцийн томьёо, дараа нь хэрэглэх нь ашигтай. Хэрэв энэ нь ойролцоо байвал Ньютоны хоёр дахь интерполяцийн томъёог ашиглах нь илүү тохиромжтой.

Тиймээс Ньютоны анхны интерполяцийн томъёог ихэвчлэн ашигладаг урагш интерполяциТэгээд араас нь экстраполяци хийх, мөн Ньютоны хоёр дахь интерполяцийн томъёо, эсрэгээр нь буцаж интерполяци хийхТэгээд урагш экстраполяци.

Ерөнхийдөө экстраполяцийн үйл ажиллагаа нь үгийн нарийн утгаараа интерполяцийн үйлдлээс бага нарийвчлалтай болохыг анхаарна уу.

Жишээ. Алхамыг хийснээр хүснэгтэд өгөгдсөн функцийн хувьд Ньютоны интерполяцийн олон гишүүнтийг байгуул

Шийдэл. Бид ялгааны хүснэгтийг эмхэтгэдэг (Хүснэгт 1). Гурав дахь эрэмбийн ялгаа нь бараг тогтмол байдаг тул бид (3) томъёогоор авна. Хүлээн зөвшөөрсний дараа бид дараахь зүйлийг авах болно.

Энэ нь Ньютоны интерполяцийн олон гишүүнтийг хүсч байна.

Хүснэгт 1

	0,875 0,7088 0,5361 0,3572 0,173 -0,0156 -0,20	-0,1662 -0,1727 -0,1789 -0,1842 -0,1886 -0,1925	-0,0065 -0,0062 -0,0053 -0,0044 -0,0039	0,0003 0,0009 0,0009 0,0005

Үзэл баримтлалыг авч үзье хязгаарлагдмал ялгаа.

Функцийг өгье y=f(x)хуваагдсан [x 0 , x„] сегмент дээр Пижил сегментүүд (ижил зайтай аргументуудын утгын тохиолдол): Ax=h = const. Зангилаа бүрийн хувьд x 0, X, =x 0 + /Г, ...,X" =x()+ n hфункцийн утгуудыг маягтаар тодорхойлно

Үзэл баримтлалыг танилцуулъя хязгаарлагдмал ялгаа.

Эхний эрэмбийн хязгаарлагдмал ялгаа

Хоёрдахь эрэмбийн хязгаарлагдмал ялгаа Дээд зэрэглэлийн хязгаарлагдмал ялгаа нь ижил төстэй байдлаар тодорхойлогддог.

Диагональ (Хүснэгт 5.1) эсвэл хэвтээ (Хүснэгт 5.2) байж болох хязгаарлагдмал функцүүдийн ялгааг хүснэгтэд байрлуулах нь тохиромжтой.

Диагональ хүснэгт

Хүснэгт 5.1

Хэвтээ ширээ

Хүснэгт 5.2

						5 нас,
						A 5 Uo
					ба 4 нас.

Ньютоны анхны интерполяцийн томъёо

Бие даасан хувьсагчдын тэнцүү утгуудын хувьд y=/(x) функцэд y, =/(x) утгыг өгье.

Хаана h- интерполяцийн алхам.

Бид олон гишүүнтийг олох хэрэгтэй P„(x)градус ns өндөр байна П,цэгүүд (зангилаа) х хүлээн авах, утгууд:

Интерполяцийн олон гишүүнтийг дараах хэлбэрээр хайна.

Олон гишүүнт байгуулах асуудал нь коэффициентийг тодорхойлоход ирдэг А,нөхцөлөөс:

Бид (5.13)-д x = x 0 гэж таамаглаж байна, учир нь хоёр дахь, гурав дахь болон бусад нөхцөлүүд нь 0-тэй тэнцүү байна.

Коэффицентийг олъё А (.

Pries=X1 бид дараахыг авна.

Тодорхойлохын тулд a 2Хоёрдахь эрэмбийн хязгаартай зөрүүг гаргая. At x=x 2бид авах:

Бусад коэффициентүүдийг ижил төстэй байдлаар олж болно. Ерөнхий томъёо нь:

Эдгээр илэрхийллийг (5.13) томъёонд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

хаана x„ у х- интерполяцийн зангилаа; X- одоогийн хувьсагч; h- интерполяцийн хоёр зангилааны ялгаа; h- утга нь тогтмол, өөрөөр хэлбэл интерполяцийн зангилаанууд хоорондоо ижил зайтай байна.

Энэ олон гишүүнтийг нэрлэдэг Ньютоны интерполяцийн олон гишүүнтХүснэгтийн эхэнд интерполяци хийх (урагшаа интерполяци), эсвэл Ньютоны анхны олон гишүүнт.

Практик хэрэглээний хувьд энэ олон гишүүнт тэмдэглэгээг оруулан хувиргасан хэлбэрээр бичдэг t=(x - x 0)/ц,Дараа нь

Энэ томъёо нь интерполяцийн интерполийн эхэнд ойрхон аргументуудын утгуудын функцын утгыг тооцоолоход хамаарна.

Формат интерполяцийн Ньютон аргын алгоритмын блок диаграммыг Зураг дээр үзүүлэв. 5.3, хөтөлбөр - хавсралтад.

Жишээ 5.3. Температураас хамааран бодисын дулааны багтаамжийг хүснэгтэд үзүүлэв C p =f(T)(Хүснэгт 5.3).

Хүснэгт 5.3

(5.16) томъёог ашиглая:

Цагаан будаа. 5.3.

Өөрчлөлтийг хийсний дараа бид дараах хэлбэрийн интерполяцийн олон гишүүнийг олж авна.

Олон гишүүнт гуравдахь зэрэгтэй бөгөөд олсон томъёог ашиглан утгыг тооцоолох боломжтой болгодог цагтүл мэдэгдэхийн төлөө X.

Жишээ 5.4.Хүснэгтэнд 5.3.1-д температураас хамаарч дулааны багтаамжийн утгыг харуулав. Г=450 К цэгийн дулаан багтаамжийн утгыг тодорхойлно.

Ньютоны анхны интерполяцийн томъёог ашиглая. Төгсгөлийн ялгааг өмнөх жишээнд (Хүснэгт 5.3.2) тооцоолсон бөгөөд бид интерполяцийн олон гишүүнтийг x=450 K дээр бичнэ.

Тиймээс 450 К-ийн температурт дулааны багтаамж байх болно

Г=450 К-ийн дулаан багтаамжийн утга нь Лагранжийн томъёогоор тооцоолсонтой ижил байв.

Ньютоны хоёр дахь интерполяцийн томъёо

Интерполяцийн интерполяцийн төгсгөлд байрлах цэгүүдийн функцүүдийн утгыг олохын тулд Ньютоны хоёр дахь интерполяцийн олон гишүүнтийг ашиглана. Интерполяцийн олон гишүүнтийг хэлбэрээр бичье

Магадлал a 0, a b..., А"нөхцөлөөс тодорхойлогдоно:

Бид (5.18)-д таамаглаж байна. x=x„,Дараа нь

Бид итгэж байна X=x„_|, тиймээс,

Хэрэв x = x n - 2 iТэр

Үүний нэгэн адил та олон гишүүнтийн бусад коэффициентүүдийг олж болно (5.18):

Эдгээр илэрхийллийг (5.18) томъёонд орлуулснаар бид олж авна Ньютоны хоёр дахь интерполяцийн томъёо,эсвэл "хоцрогдсон" интерполяцийн Ньютоны олон гишүүнт:

Дараах тэмдэглэгээг танилцуулъя.

(5.19)-д орлуулалт хийснээр бид дараахь зүйлийг авна.

Энэ бол Ньютоны ухарсан интерполяцийн хоёр дахь томьёо юм.

Жишээ 5.5. Г=550 К температурын дулааны багтаамжийг (хүснэгт 5.3-ыг үз) тооцоол.

Ньютоны хоёр дахь томьёо (5.19) ба харгалзах хязгаарлагдмал ялгааг ашиглая (Хүснэгт 5.4-ийг үз):

Тиймээс 550 К-ийн температурт дулааны багтаамжийн утга

Лагранжийн томьёотой ижил зорилгоор ашигладаг Ньютоны интерполяцийн томьёог олж авахдаа бид аргументийн ижил зайтай утгуудыг авч үзэх нэмэлт таамаглалыг гаргадаг. Тиймээс функцийн утгыг үзье y = f(x) ижил зайтай утгуудын хувьд тодорхойлсон x 0 , x 1 = x 0 + h, …, x n = x 0 + nh. Эдгээр аргументын утгууд нь функцийн утгатай тохирно: y 0 =f(x 0),y 1 =f(x 1), …, y n = f(x n).

Шаардлагатай олон гишүүнтийг хэлбэрээр бичье

F( x) = а 0 + а 1 (x- x 0) + а 2 (x- x 0)(x- x 1) + а 3 (x- x 0)(x- x 1)(x- x 2) + …

…+ а n( x- x 0)(x- x 1)…(x- x n -1) (3.9)

Коэффициентийг тодорхойлох a 0 , a 1 ,..., a n оруулах (3.9) x = x 0 . Дараа нь цагт 0 = Ф(x 0)=а 0 . Цаашилбал, таамаглаж байна x=x 1 , бид авдаг цагт 1 =Ф(x 1) = а 0 + a 1 h , хаана

a 1 =

Коэффициентийн тооцоог үргэлжлүүлээд тавья X =x 2. Дараа нь

y 2 = y 0 + 2h + а 2 2хх, y 2 – 2Δ y 0 = а 2 2h 2 ;

y 2 – 2y 1 + 2y 0 – y 0 = y 2 – 2y 1 + y 0 = а 2 2h 2 .

(3.8) дээр үндэслэн бид олж авна y 2 – 2y 1 + y 0 = Δ 2 y 0.

Яг ижил аргаар бид авдаг

Цаашдын ижил төстэй тооцоолол нь аливаа коэффициентийн ерөнхий томъёог бичих боломжийг олгодог Ак:

Коэффициентийн олсон илэрхийллүүдийг томъёогоор (3.9) орлуулснаар бид олж авна

Үүссэн томъёог Ньютоны анхны интерполяцийн томъёо гэж нэрлэдэг.

Практик хэрэглээний хувьд Ньютоны томъёог (3.10) ихэвчлэн хувиргасан хэлбэрээр бичдэг. Үүнийг хийхийн тулд бид тэмдэглэгээг танилцуулж байна

эндээс x = x 0 + ht.

Үүнийгээ дамжуулан илэрхийлье т(3.10) томъёонд багтсан хүчин зүйлүүд:

………………………..

Үүссэн илэрхийлэлүүдийг томъёогоор (3.10) орлуулснаар бид эцэст нь олж авна

Илэрхийлэл (3.11) нь Ньютоны анхны интерполяцийн томъёоны эцсийн хэлбэрийг илэрхийлнэ.

Жишээ. Алхам хийж байна h = 0.05, сегмент дээрх функцэд Ньютоны интерполяцийн олон гишүүнтийг байгуул y = e x ,хүснэгтээр тодорхойлсон. 3.3.

Хүснэгт 3.3

Ялгаатай баганад нийтлэг практикийг дагаж бид аравтын бутархайг таслалаар тусгаарладаггүй бөгөөд энэ нь функцийн утгын баганаас тодорхой харагдаж байна.

Гурав дахь эрэмбийн ялгаа нь бараг тогтмол байдаг тул (3.11) томъёонд бид тавьсан n = 3. Хүлээн зөвшөөрснөөр X 0 = 3,50 Тэгээд цагт 0 = 33,115, байх болно:

Ньютоны анхны интерполяцийн томьёо нь ялгаатай утгын тоо бага байгаа хүснэгтийн төгсгөлд функцийг интерполяцид оруулахад тохиромжгүй юм. Энэ тохиолдолд Ньютоны хоёр дахь интерполяцийн томьёог хэрэглэж байгаа бөгөөд одоо бид үүнийг авч үзэх болно.

Шаардлагатай интерполяцийн олон гишүүнтийг хэлбэрээр бичье

Өмнөхтэй адил коэффициентүүд А 0 , А 1 ,… Аnнөхцөлөөс тодорхойлогдоно Ф(x i) = yби.(3.12) оруулцгаая. X = X n.Дараа нь а 0 = y n.

Үүнтэй адилаар, таамаглаж байна x = x n -1, бид авдаг y n -1 = y n+ а 1 (x n -1 - x n),

ба түүнээс хойш x n -1 - x n = - h, Тэр

Сүүлийн илэрхийллийн тоологчийг дараах байдлаар илэрхийлж болно.

yn -yn -1 - (yn -1 -yn-2)= Δ yn -1 -Δ yn -2 =Δ 2 yn -2.

Үүнтэй төстэй тооцооллыг үргэлжлүүлснээр бид коэффициентүүдийн ерөнхий томъёог олж авна

Бүх коэффициент утгыг (3.12) орлуулсны дараа энэ томьёо хэлбэрийг авна

Энэ бол Ньютоны хоёр дахь интерполяцийн томъёо юм. Ашиглахад хялбар болгохын тулд эхнийх шиг тэмдэглэгээг оруулснаар өөрчлөгддөг

= т эсвэл x= xn+th.

Одоо үүнийг дамжуулан илэрхийлье т (3.13) томъёоны хүчин зүйлүүд:

……………………………………………..

Энэ орлуулалтыг хийсний дараа бид эцэст нь:

Жишээ. Хүснэгтийн дагуу Долоон оронтой логарифмын 3.5 утгыг 1000-аас 10-аар нэмэгдүүлэн лог 1044-ийг олно.

Хүснэгт 3.5

x	y	Δ y	Δ2 y	Δ3 y
	3,0000000 3,0043214 3,0086002 3,0128372 3,0170333 3,0211893		-426 -418 -409 -401

Хүлээн авцгаая xn= 1050,yn= 3,0211893;Δ yn-1 = 0,0041560;

Δ2 yn -2 = - 0.0000401;Δ 3 y n-3 = 0.0000008. Дараа нь x= Бид 1044 авдаг

Ньютоны эхний болон хоёр дахь интерполяцийн томъёог функцийг экстраполяци хийх, өөрөөр хэлбэл аргументуудын утгуудын функцүүдийн утгыг олоход ашиглаж болно. X , ширээний гадаа хэвтэж байна. Хэрэв үнэ цэнэ x< x 0 мөн утга xОйролцоо x 0 , дараа нь Ньютоны анхны интерполяцийн томъёог ашиглах нь ашигтай бөгөөд

Хэрэв x > x 0 Тэгээд xОйролцоо X П , дараа нь Ньютоны хоёр дахь интерполяцийн томъёог ашиглах нь илүү тохиромжтой, ба

Иймээс Ньютоны эхний интерполяцийн томьёог ихэвчлэн урагш болон ухарсан экстраполяцид ашигладаг бол Ньютоны хоёр дахь интерполяцийн томъёог эсрэгээр нь буцаах интерполяц ба урагш экстраполяцид ашигладаг.

Жишээ. Ширээтэй байх 3.6 утга ба ялгаа, у = нүгэл X: хүртэл X= 15° өмнө X = 55° алхамаар h= 5° , нүгэл 14-ийг олох ° ба гэм 56 ° .

Хүснэгт 3.6

x(0 C)	y	Δ y	Δ2 y	Δ3 y
	0,2588 0,3420 0,4226 0,5000 0,5736 0,6428 0,7071 0,7660 0,8192	832 532	-26 -32 -38 -44 -49 -54 -57	-6 -6 -6 -5 -5 -3

Шийдэл. sin14-ийг тооцоолох 0 хүлээж авцгаая x 0 = 15 0 Тэгээд x= 14 0 , эндээс т = (14–15)/5 = – 0,2.

Энд бид хойшоо экстраполяци хийх шаардлагатай байгаа тул Ньютоны анхны интерполяцийн томьёо ба төгсгөлийн зөрүүг нэг мөрөөр зурсан:

нүгэл 14 0 = 0,2588 + (– 0,2)0,0832+ (– 0,0026) +

+ (–0,0006) = 0,242.

Нүглийг олохын тулд56 0 хүлээж авцгаая xn= 55 0 Тэгээд x= 56 0 , эндээс т= .

Ньютоны хоёр дахь интерполяцийн томъёог (3.14) хэрэглэж, давхар доогуур зураастай ялгааг ашигласнаар бид дараах байдалтай болно.

гэм 56 0 = 0,8192+ 0.2·0.0532 + (- 0,0057)+ (- 0,0003)= 0,83.

Нэлээд түгээмэл интерполяцийн арга бол Ньютоны арга юм. Энэ аргын интерполяцийн олон гишүүнт дараах хэлбэртэй байна.

P n (x) = a 0 + a 1 (x-x 0) + a 2 (x-x 0)(x-x 1) + ... + a n (x-x 0)(x-x 1)...(x-x n-1).

Даалгавар нь P n (x) олон гишүүнтийн a i коэффициентийг олох явдал юм. Коэффициентийг тэгшитгэлээс олно:

P n (x i) = y i , i = 0, 1, ..., n,

системийг бичих боломжийг танд олгоно:

a 0 + a 1 (x 1 - x 0) = y 1 ;

a 0 + a 1 (x 2 - x 0) + a 2 (x 2 - x 0)(x 2 - x 1) = y 2 ;

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

a 0 +... + a n (x n - x 0)(x n - x 1) ... (x n - x n-1) = y n;

Бид төгсгөлийн зөрүүний аргыг ашигладаг. Хэрэв зангилаанууд x i тэнцүү интервалаар өгөгдсөн h, i.e.

x i+1 - x i = h,

тэгвэл ерөнхий тохиолдолд x i = x 0 + i×h, энд i = 1, 2, ..., n. Сүүлийн илэрхийлэл нь шийдэж буй тэгшитгэлийг хэлбэрт оруулах боломжийг олгодог

y 1 = a 0 + a 1 ×h;

y 2 = a 0 + a 1 (2 цаг) + a 2 (2 цаг) цаг;

- - - - - - - - - - - - - - - - - - -

y i = a 0 + a 1 ×i×h + a 2 ×i×h[(i-1)h] + ... + a i ×i!×h i ,

коэффициентийг хаанаас авдаг

Энд Dу 0 нь эхний төгсгөлийн ялгаа юм.

Тооцооллыг үргэлжлүүлснээр бид дараахь зүйлийг олж авна.

Энд D 2 y 0 нь хоёр дахь төгсгөлийн ялгаа бөгөөд энэ нь ялгааны зөрүү юм. a i коэффициентийг дараах байдлаар илэрхийлж болно.

a i коэффициентүүдийн олсон утгыг P n (x) утгад оруулснаар бид Ньютоны интерполяцийн олон гишүүнтийг олж авна.

Шинэ хувьсагчийг оруулах томьёог хувиргацгаая, энд q нь x цэгээс х 0 цэгээс шилжихэд шаардлагатай алхамуудын тоо юм. Өөрчлөлтийн дараа бид дараахь зүйлийг авна.

Үүссэн томьёог Ньютоны анхны интерполяцийн томъёо буюу Ньютоны форвард интерполяцийн томъёо гэж нэрлэдэг. q нь үнэмлэхүй утгаараа бага байх x – x 0 анхны утгын ойролцоо y = f(x) функцийг интерполяцид ашиглах нь давуу талтай.

Хэрэв бид интерполяцийн олон гишүүнтийг дараах хэлбэрээр бичвэл:

Дараа нь ижил аргаар Ньютоны хоёр дахь интерполяцийн томъёог эсвэл "буцах" интерполяцийн Ньютоны томъёог олж авч болно:

Энэ нь ихэвчлэн хүснэгтийн төгсгөлийн ойролцоох функцийг интерполяцид ашигладаг.

Энэ сэдвийг судлахдаа интерполяцийн олон гишүүнтүүд нь интерполяцийн зангилаанууд дээр өгөгдсөн f(x) функцтэй давхцаж, бусад цэгүүдэд ерөнхий тохиолдолд ялгаатай байх болно гэдгийг санах хэрэгтэй. Энэ алдаа нь аргын алдааг бидэнд өгдөг. Интерполяцийн аргын алдаа нь Лагранж ба Ньютоны томьёотой адил үлдэгдэл нэр томъёогоор тодорхойлогддог бөгөөд энэ нь үнэмлэхүй алдааны дараах үнэлгээг авах боломжийг олгодог.

Хэрэв интерполяцийг ижил алхамаар хийвэл үлдсэн хугацааны томъёог өөрчилнө. Ялангуяа Ньютоны томьёог ашиглан "урагш" ба "буцах" гэсэн интерполяц хийх үед R(x)-ийн илэрхийлэл бие биенээсээ арай өөр байна.

Үүссэн томъёонд дүн шинжилгээ хийснээр R(x) алдаа нь тогтмол хүртэл хоёр хүчин зүйлийн үржвэр болох нь тодорхой байна, тэдгээрийн нэг нь f (n+1) (x) дотор х байх нь 2 хүчин зүйлийн үржвэрээс хамаарна. f(x) функцийн шинж чанарууд бөгөөд үүнийг зохицуулах боломжгүй, харин өөр функцийн хэмжээ,

зөвхөн интерполяцийн зангилааны сонголтоор тодорхойлогддог.

Хэрэв эдгээр зангилааны байршил амжилтгүй болбол модулийн дээд хязгаар |R(x)| нэлээд том байж болно. Иймд олон гишүүнт П n+1 (x) хамгийн бага утгатай байхаар x i (өгөгдсөн тооны зангилааны хувьд) хамгийн оновчтой сонгох асуудал гарч ирнэ.

2. Ньютоны интерполяци

Хүснэгтийн функц өгөгдсөн:

би
0
1
2
..	..	..
n

Координаттай цэгүүдийг зангилааны цэгүүд эсвэл зангилаа гэж нэрлэдэг.

Хүснэгтийн функцийн зангилааны тоо N=n+1 байна.

Энэ функцийн утгыг завсрын цэгээс олох шаардлагатай, жишээ нь, , болон. Асуудлыг шийдэхийн тулд интерполяцийн олон гишүүнт ашигладаг.

Ньютоны томъёоны дагуу интерполяцийн олон гишүүнт дараах хэлбэртэй байна.

Энд n нь олон гишүүнтийн зэрэг,

Ньютоны интерполяцийн томъёо нь зангилааны аль нэг дэх утга болон зангилаанууд дээр байгуулагдсан функцийн хуваагдсан зөрүүгээр интерполяцийн олон гишүүнтийг илэрхийлэх боломжийг олгодог.

Нэгдүгээрт, бид салангид ялгааны талаар шаардлагатай мэдээллийг өгдөг.

Зангилаа оруулах

функцийн утгууд мэдэгдэж байна. , , цэгүүдийн дунд давхцах зүйл байхгүй гэж үзье. Эхний эрэмбийн хуваагдсан ялгааг харилцаа гэж нэрлэдэг

, ,.

Бид хөрш зэргэлдээ зангилаа, өөрөөр хэлбэл илэрхийллээс бүрдэх хуваагдсан ялгааг авч үзэх болно

Эдгээр эхний дарааллын тусгаарлагдсан ялгаануудаас бид хоёр дахь дарааллын тусгаарлагдсан ялгааг үүсгэж болно:

,

,

Тиймээс, давтагдах томъёог ашиглан хэсэг дэх 3-р эрэмбийн тусгаарлагдсан ялгааг 1-р эрэмбийн тусгаарлагдсан ялгаагаар тодорхойлж болно.

Энд , , олон гишүүнтийн зэрэг.

Хамгийн их утга нь . Дараа нь хэсэг дээрх n-р эрэмбийн хуваагдсан зөрүү нь тэнцүү байна

тэдгээр. нь 3-р эрэмбийн хуваагдсан зөрүүг хэсгийн уртад хуваасантай тэнцүү байна.

Хуваагдсан ялгаа

Эдгээр нь сайн тодорхойлогдсон тоонууд тул (1) илэрхийлэл нь үнэхээр 3-р зэргийн алгебрийн олон гишүүнт юм. Түүнчлэн, олон гишүүнт (1) хэсэгт хуваагдсан бүх ялгааг хэсгүүдэд тодорхойлсон болно.

Хуваагдсан зөрүүг тооцоолохдоо тэдгээрийг хүснэгт хэлбэрээр бичих нь заншилтай байдаг

■

--р эрэмбийн хуваагдсан ялгааг зангилаа дахь функцын утгуудаар дараах байдлаар илэрхийлнэ.

. (1)

Энэ томъёог индукцээр баталж болно. Бидэнд (1) томъёоны тусгай тохиолдол хэрэгтэй болно:

Ньютоны интерполяцийн олон гишүүнтийг олон гишүүнт гэж нэрлэдэг

Ньютоны олон гишүүнтийн авч үзсэн хэлбэрийг Ньютоны анхны интерполяцийн томъёо гэж нэрлэдэг бөгөөд ихэвчлэн хүснэгтийн эхэнд интерполяци хийх үед ашигладаг.

Ньютоны интерполяцийн асуудлыг шийдэх нь Лагранжийн интерполяцийн бодлогыг бодвол зарим давуу талтай болохыг анхаарна уу. Лагранжийн интерполяцийн олон гишүүнт гишүүн бүр нь y i, i=0,1,…n хүснэгтийн функцийн бүх утгуудаас хамаарна. Иймд N зангилааны цэгийн тоо болон n олон гишүүнтийн зэрэг (n=N-1) өөрчлөгдөхөд Лагранжийн интерполяцийн олон гишүүнтийг шинээр байгуулах шаардлагатай. Ньютоны олон гишүүнт N зангилааны цэгийн тоо болон n олон гишүүнтийн зэргийг өөрчлөхдөө Ньютоны томьёо (2) дахь стандарт гишүүний харгалзах тоог нэмэх буюу хасахад л хангалттай. Энэ нь практикт тохиромжтой бөгөөд тооцоолох үйл явцыг хурдасгадаг.

Ньютоны томъёоны функцийг програмчлах

Томъёо (1) ашиглан Ньютоны олон гишүүнтийг бүтээхийн тулд бид мөчлөгийн тооцооллын процессыг -ийн дагуу зохион байгуулдаг. Энэ тохиолдолд хайлтын алхам бүрт бид k-р эрэмбийн салангид ялгааг олдог. Бид алхам бүрт хуваагдсан ялгааг Y массив руу оруулна.

Дараа нь давтагдах томъёо (3) дараах байдлаар харагдах болно.

Ньютоны томъёо (2) нь зөвхөн хэсгүүдэд тооцогдсон 3-р эрэмбийн салангид ялгааг ашигладаг, өөрөөр хэлбэл. -д зориулсан 3-р эрэмбийн ялгааг салгав. Эдгээр тусгаарлагдсан k-р эрэмбийн ялгааг гэж тэмдэглэе. -д тооцсон хуваагдсан зөрүүг дээд эрэмбийн хуваагдсан зөрүүг тооцоход ашигладаг.

(4) -ийг ашиглан бид (2) томъёог нураана. Үүний үр дүнд бид авдаг

(5)

– хүснэгтийн функцийн утга (1) -ийн хувьд.

– хэсгийн хувьд 3-р эрэмбийн хуваагдсан зөрүү.