Интегралын үндсэн шинж чанарыг томъёол. Интегралын хамгийн энгийн шинж чанарууд

Англи:Википедиа сайтыг илүү аюулгүй болгож байна. Та ирээдүйд Википедиа руу холбогдох боломжгүй хуучин вэб хөтөч ашиглаж байна. Төхөөрөмжөө шинэчлэх эсвэл мэдээллийн технологийн админтайгаа холбогдоно уу.

中文: 维基百科正在使网站更加安全。您正在使用旧的浏览器，请更新IT ）。

Испани: Wikipedia сайтад нэвтэрч болно. Wikipedia-д холбогдох вэб сайтыг ашиглах боломжгүй. Мэдээллийн администратортай холбоо барих эсвэл бодит байдлыг шалгах. Más abajo hay una actualización más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Франц:Википедиа болон хоёр талын аюулгүй байдлыг нэмэгдүүлэх сайт. Википедиа руу холбогчийг ашиглан вэб хөтөчийг ашиглах боломжтой. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Des information supplémentaires plus техник болон en anglais sont disponibles ci-dessous.

日本語: ??? IT情報は以下に英語で提供しています。

Герман:Википедиа Sicherheit der Webseite-г ашиглах боломжгүй. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator болон. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise Du unten-ийг englischer Sprache хэл дээр олжээ.

италио: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Vikipedia-г futuro-д холбоно уу. Хүссэн тохиолдолд та мэдээлэлтэй холбоотой эсвэл удирдах боломжтой. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e tecnico англи хэл дээр.

Мажар:Википедиа бидтонсагосаб lesz. А бөнгэсзо, амит хаснальсз, нем лесз кепес капчсолодни а жөвөбен. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a részletesebb magyarázatot (анголул).

Свенска: Wikipedia gor sidan mer saker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia i framtiden. Мэдээллийн технологийн администраторыг шинэчлэх боломжтой. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Бид таны хөтчийн программ хангамжийг манай сайтуудтай холбоход тулгуурласан TLSv1.0 болон TLSv1.1 гэсэн аюулгүй TLS протоколын хувилбаруудын дэмжлэгийг устгаж байна. Энэ нь ихэвчлэн хуучирсан хөтчүүд эсвэл хуучин Android ухаалаг гар утаснуудаас болдог. Эсвэл энэ нь корпорацийн эсвэл хувийн "Вэб аюулгүй байдлын" програм хангамжийн хөндлөнгийн оролцоо байж болох бөгөөд энэ нь холболтын аюулгүй байдлын түвшинг бууруулдаг.

Та манай сайтад нэвтрэхийн тулд вэб хөтчөө шинэчлэх эсвэл энэ асуудлыг засах ёстой. Энэ зурвас 2020 оны 1-р сарын 1 хүртэл үргэлжилнэ. Энэ өдрөөс хойш таны хөтөч манай серверүүдтэй холбогдох боломжгүй болно.

Энэ нийтлэлд бид үндсэн шинж чанаруудыг жагсаах болно тодорхой интеграл. Эдгээр шинж чанаруудын ихэнх нь Riemann болон Darboux тодорхой интегралын үзэл баримтлалд тулгуурлан батлагдсан.

Тодорхой интегралын тооцоог ихэвчлэн эхний таван шинж чанарыг ашиглан хийдэг тул шаардлагатай үед бид тэдгээрт хандах болно. Тодорхой интегралын үлдсэн шинж чанаруудыг голчлон янз бүрийн илэрхийллийг үнэлэхэд ашигладаг.

Үргэлжлүүлэхийн өмнө тодорхой интегралын үндсэн шинж чанарууд, a нь b-ээс хэтрэхгүй гэдгийг хүлээн зөвшөөрцгөөе.

x = a дээр тодорхойлогдсон y = f(x) функцийн хувьд тэгш байдал үнэн болно.

Өөрөөр хэлбэл, интегралын ижил хязгаартай тодорхой интегралын утга тэгтэй тэнцүү байна. Энэ шинж чанар нь Риманы интегралын тодорхойлолтын үр дагавар юм, учир нь энэ тохиолдолд интервалын аль ч хуваалт ба аливаа цэгийн сонголтын интеграл нийлбэр бүр тэгтэй тэнцүү байна, тиймээс интеграл нийлбэрийн хязгаар тэг байна.

Интервал дээр интегралдах функцийн хувьд, .

Өөрөөр хэлбэл интегралын дээд доод хязгаар байраа солиход тодорхой интегралын утга эсрэгээр өөрчлөгдөнө. Тодорхой интегралын энэ шинж чанар нь Риманы интегралын үзэл баримтлалаас үүдэлтэй бөгөөд зөвхөн сегментийн хуваалтыг дугаарлах нь x = b цэгээс эхлэх ёстой.

y = f(x) ба y = g(x) интервал дээр интегралдах функцүүдийн хувьд .

Баталгаа.

Функцийн интеграл нийлбэрийг бичье сегментийн өгөгдсөн хэсэг болон өгөгдсөн цэгийн сонголтын хувьд:

Энд ба нь тухайн сегментийн өгөгдсөн хуваалтын хувьд y = f(x) ба y = g(x) функцүүдийн салшгүй нийлбэр юм.

Хэмжээ рүүгээ явж байна Бид Риманы интегралын тодорхойлолтоор нотлогдож буй өмчийн мэдэгдэлтэй тэнцүү болохыг олж авлаа.

Тогтмол хүчин зүйлийг тодорхой интегралын тэмдгээс гаргаж авч болно. Өөрөөр хэлбэл интервал дээр интегралдах y = f(x) функц ба дурын k тоон хувьд дараах тэгшитгэл биелнэ. .

Тодорхой интегралын энэ өмчийн баталгаа нь өмнөхтэй туйлын төстэй юм.


y = f(x) функц нь X интервал дээр интегралч байг, ба Тэгээд .

Энэ шинж чанар нь хоёуланд нь үнэн бөгөөд эсвэл .

Баталгаажуулалтыг тодорхой интегралын өмнөх шинж чанарууд дээр үндэслэн хийж болно.

Хэрэв функц интервал дээр интегралдах боломжтой бол ямар ч дотоод интервал дээр интегралдах боломжтой.

Нотлох баримт нь Darboux нийлбэрийн шинж чанар дээр суурилдаг: хэрвээ сегментийн одоо байгаа хэсэгт шинэ оноо нэмбэл доод Darboux нийлбэр буурахгүй, дээд хэсэг нь нэмэгдэхгүй.

Хэрэв y = f(x) функц нь интервал болон аргументын дурын утгын хувьд интегралчлагдах боломжтой бол .

Энэ шинж чанарыг Риманы интегралын тодорхойлолтоор нотолсон: хэрчмийг хуваах цэг ба цэгүүдийн аль ч сонголтын интеграл нийлбэр нь сөрөг биш (эерэг биш) байх болно.

Үр дагавар.

Интервал дээр интегралдах y = f(x) ба y = g(x) функцүүдийн хувьд дараах тэгш бус байдал үүснэ.


Энэ мэдэгдэл нь тэгш бус байдлыг нэгтгэх боломжтой гэсэн үг юм. Бид дараах шинж чанаруудыг нотлохын тулд энэ үр дүнг ашиглах болно.

y = f(x) функцийг интервал дээр интегралдах боломжтой байг, тэгвэл тэгш бус байдал биелнэ .

Баталгаа.

Энэ нь ойлгомжтой . Өмнөх шинж чанарт бид тэгш бус байдлыг нэр томъёогоор нэгтгэж болохыг олж мэдсэн тул энэ нь үнэн юм . Энэ давхар тэгш бус байдлыг дараах байдлаар бичиж болно .

y = f(x) ба y = g(x) функцуудыг интервал дээр болон аргументын дурын утгын хувьд интегралчлах боломжтой байг. , Хаана Тэгээд .

Нотолгоо нь ижил төстэй байдлаар хийгддэг. m ба M нь хамгийн жижиг бөгөөд хамгийн өндөр үнэ цэнэ y = f(x) функц , тэгвэл сегмент дээр . Давхар тэгш бус байдлыг сөрөг бус y = g(x) функцээр үржүүлэх нь биднийг дараах давхар тэгш бус байдалд хүргэнэ. Үүнийг интервал дээр нэгтгэснээр бид нотлогдсон мэдэгдэлд хүрнэ.

Эдгээр шинж чанарууд нь интегралыг энгийн интегралуудын аль нэгэнд нь буулгах, цаашдын тооцоололд шилжүүлэхэд ашиглагддаг.

1. Тодорхой бус интегралын дериватив нь интегралтай тэнцүү байна.

2. Тодорхой бус интегралын дифференциал нь интегралтай тэнцүү байна.

3. Тодорхой функцийн дифференциалын тодорхойгүй интеграл нь энэ функц ба дурын тогтмолын нийлбэртэй тэнцүү байна.

4. Тогтмол коэффициентийг интеграл тэмдэгээс гаргаж болно.

Үүнээс гадна, a ≠ 0

5. Нийлбэрийн интеграл (ялгаа) нь интегралуудын нийлбэртэй (ялгаатай) тэнцүү байна.

6. Үл хөдлөх хөрөнгө нь 4 ба 5-р шинж чанаруудын нэгдэл юм:

Түүнчлэн, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Тодорхой бус интегралын хувьсах шинж чанар:

Хэрэв бол

8. Эд хөрөнгө:

Хэрэв бол

Үнэндээ энэ өмчхувьсагчийг өөрчлөх аргыг ашиглан интеграцийн онцгой тохиолдлыг илэрхийлдэг бөгөөд үүнийг дараагийн хэсэгт илүү дэлгэрэнгүй авч үзэх болно.

Нэг жишээг харцгаая:

Эхлээд бид шинж чанар 5, дараа нь шинж чанар 4, дараа нь бид эсрэг деривативын хүснэгтийг ашиглаж, үр дүнг авсан.

Манай онлайн интеграл тооцоолуурын алгоритм нь дээр дурдсан бүх шинж чанарыг дэмждэг бөгөөд таны интегралын нарийвчилсан шийдлийг хялбархан олох болно.

Эсрэг дериватив ба тодорхойгүй интеграл.

(a; b) интервал дээрх f(x) функцийн эсрэг дериватив нь өгөгдсөн интервалаас аль ч х-д тэгш байдал биелэх F(x) функц юм.

Хэрэв бид тогтмол C-ийн дериватив тэгтэй тэнцүү болохыг харгалзан үзвэл тэгш байдал үнэн болно. . Иймд f(x) функц нь дурын тогтмол С-ийн хувьд F(x)+C эсрэг деривативуудын олонлогтой байх ба эдгээр эсрэг деривативууд нь дурын тогтмол утгаараа бие биенээсээ ялгаатай.

f(x) функцийн эсрэг деривативуудын бүхэл бүтэн багцыг энэ функцийн тодорхойгүй интеграл гэж нэрлээд тэмдэглэнэ. .

Илэрхийлэлийг интеграл, f(x)-ийг интеграл гэнэ. Интеграл нь f(x) функцийн дифференциалыг илэрхийлнэ.

Үл мэдэгдэх функцийг дифференциалаар нь олох үйлдлийг тодорхойгүй интеграл гэж нэрлэдэг, учир нь интегралчлалын үр дүн нь нэг F(x) функц биш, харин F(x)+C эсрэг деривативуудын олонлог юм.

Хүснэгтийн интеграл

Интегралын хамгийн энгийн шинж чанарууд

1. Интеграцийн үр дүнгийн дериватив нь интегралтай тэнцүү байна.

2. Функцийн дифференциалын тодорхойгүй интеграл нь тухайн функцийн нийлбэр ба дурын тогтмолтой тэнцүү байна.

3. Коэффицентийг тэмдгээс хасаж болно тодорхойгүй интеграл.

4. Функцийн нийлбэр/ялгааны тодорхойгүй интеграл нь функцын тодорхойгүй интегралын нийлбэр/ялгаатай тэнцүү байна.

Тодорхой бус интегралын эхний ба хоёр дахь шинж чанаруудын завсрын тэгшитгэлийг тодруулах зорилгоор өгөв.

Гурав, дөрөв дэх шинж чанарыг батлахын тулд тэгш байдлын баруун талын деривативуудыг олоход хангалттай.

Эдгээр деривативууд нь интегралуудтай тэнцүү бөгөөд энэ нь эхний шинж чанараас үүдэлтэй нотолгоо юм. Энэ нь сүүлийн шилжилтэд ч хэрэглэгддэг.

Тиймээс интеграцийн асуудал нь ялгах асуудлын урвуу бөгөөд эдгээр асуудлуудын хооронд маш нягт холбоо байдаг.

Эхний шинж чанар нь нэгдмэл байдлыг шалгах боломжийг олгодог. Гүйцэтгэсэн интеграцийн зөв эсэхийг шалгахын тулд олж авсан үр дүнгийн деривативыг тооцоолоход хангалттай. Хэрэв ялгах үр дүнд олж авсан функц нь интегралтай тэнцүү бол энэ нь интегралчлал зөв хийгдсэн гэсэн үг юм;

Тодорхой бус интегралын хоёр дахь шинж чанар нь функцийн мэдэгдэж буй дифференциалаас түүний эсрэг деривативыг олох боломжийг олгодог. Тодорхой бус интегралын шууд тооцоог энэ шинж чанарт үндэслэнэ.

1.4.Интеграцийн хэлбэрүүдийн өөрчлөгдөөгүй байдал.

Инвариант интеграл гэдэг нь аргументууд нь бүлгийн элементүүд эсвэл нэгэн төрлийн орон зайн цэгүүд (ийм орон зайн аль ч цэгийг бүлгийн өгөгдсөн үйлдлээр нөгөө рүү шилжүүлж болно) функцүүдийн интеграцийн төрөл юм.

f(x) функц нь f.w дифференциал хэлбэрийн интегралыг тооцоолоход буурдаг, энд

r(x)-ийн тодорхой томьёог доор өгөв. Гэрээний нөхцөл нь хэлбэртэй байна .

энд Tg gОG-г ашиглан X дээрх ээлжийн операторыг хэлнэ: Tgf(x)=f(g-1x). X=G топологи буюу зүүн шилжилтээр өөр дээрээ үйлчилдэг бүлэг байг. Би болон. Хэрэв G нь орон нутгийн хэмжээнд нягт байвал (ялангуяа, хязгааргүй хэмжээст бүлгүүдэд I.I. байхгүй бол) оршино. I. ба дэд олонлогийн хувьд. шинж чанарын функц cA (А дээр 1, А гадна 0) нь зүүн Xaar хэмжигдэхүүнийг m(A) тодорхойлно. Энэ хэмжүүрийг тодорхойлох шинж чанар нь зүүн шилжилтийн үед өөрчлөгддөггүй байдал юм: m(g-1A)=m(A) бүх gОG. Бүлэг дээрх зүүн Haar хэмжигдэхүүн нь эерэг скаляр хүчин зүйл хүртэл өвөрмөц байдлаар тодорхойлогддог. Хэрвээ Haar хэмжигдэхүүн m мэдэгдэж байвал I. ба. f функцийг томъёогоор өгөгдөнө . Зөв Haar хэмжүүр нь ижил төстэй шинж чанартай байдаг. Үргэлжилсэн гомоморфизм (бүлгийн өмчийг хадгалсан газрын зураг) G бүлгийн DG бүлэгт (үржүүлэхийн хувьд) байр суурьтай байна. үүнд зориулсан тоо

Энд dmr болон dmi нь баруун ба зүүн Хаар хэмжүүр юм. DG(g) функцийг дуудна G бүлгийн модуль. Хэрэв байвал G бүлгийг дуудна. нэг модуль; энэ тохиолдолд баруун болон зүүн Haar хэмжүүрүүд давхцдаг. Компакт, хагас энгийн ба нилпотент (ялангуяа, коммутатив) бүлгүүд нь нэг модуль юм. Хэрэв G нь n хэмжээст Lie бүлэг ба q1,...,qn нь G дээрх зүүн инвариант 1 хэлбэрийн орон зайд суурь бол G дээрх зүүн Хаар хэмжигдэхүүн нь n-хэлбэрээр өгөгдөнө. Тооцоолохын тулд орон нутгийн координатуудад

qi-г үүсгэхийн тулд та G бүлгийн ямар ч матрицын хэрэгжилтийг ашиглаж болно: 1-хэлбэрийн g-1dg матриц нь өөрчлөгдөөгүй хэвээр байгаа бөгөөд түүний коэффициент. шаардлагатай суурь нь сонгогдсон зүүн инвариант скаляр 1-хэлбэрүүд юм. Жишээлбэл, GL(n, R) матрицын бүрэн бүлэг нь нэг модуль бөгөөд түүн дээрх Haar хэмжигдэхүүнийг маягтаар өгсөн болно. Болъё X=G/H нь нэгэн төрлийн орон зай бөгөөд түүний хувьд орон нутгийн авсаархан G бүлэг нь хувиргах бүлэг, хаалттай дэд бүлэг Н нь тодорхой цэгийн тогтворжуулагч юм. X дээр i.i байхын тулд бүх hОH-д DG(h)=DH(h) тэнцүү байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай. Ялангуяа H нь авсаархан эсвэл хагас энгийн тохиолдолд энэ нь үнэн юм. I.-ийн бүрэн онол ба. хязгааргүй хэмжээст олон талт дээр байдаггүй.

Хувьсагчдыг солих.

Дифференциал тооцоололд дараахь асуудлыг шийддэг. энэ функцийн дор ƒ(x) түүний уламжлалыг ол(эсвэл дифференциал). Интеграл тооцоо урвуу асуудлыг шийднэ: түүний уламжлал F "(x)=ƒ(x) (эсвэл дифференциал) гэдгийг мэдэж, F(x) функцийг ол. Хайж буй F(x) функцийг ƒ(x) функцийн эсрэг дериватив гэнэ. ).

F(x) функцийг дуудна эсрэг дериватив(a; b) интервал дээрх ƒ(x) функц, хэрэв ямар нэгэн x є (a; b) бол тэгш байдал

F " (x)=ƒ(x) (эсвэл dF(x)=ƒ(x)dx).

Жишээлбэл, y = x 2, x є R функцийн эсрэг дериватив нь функц юм, учир нь

Аливаа функц нь эсрэг дериватив байх нь ойлгомжтой

Энд C нь тогтмол, учир нь

Теорем 29. 1. Хэрэв F(x) функц нь (a;b) дээрх ƒ(x) функцийн эсрэг дериватив бол ƒ(x)-ийн бүх эсрэг деривативын олонлогийг F(x)+ томъёогоор олно. C, энд C нь тогтмол тоо юм.

▲ F(x)+C функц нь ƒ(x)-ийн эсрэг дериватив юм.

Үнэхээр (F(x)+C) " =F " (x)=ƒ(x).

Ф(х) нь F(x)-ээс ялгаатай ƒ(x) функцийн эсрэг дериватив байг, өөрөөр хэлбэл Ф "(x)=ƒ(х). Дараа нь дурын x є (а; b)-ийн хувьд бидэнд байна.

Энэ нь (Үндэслэл 25.1-ийг үзнэ үү) гэсэн үг

Энд C нь тогтмол тоо юм. Иймд Ф(x)=F(x)+С.▼

ƒ(x)-ийн бүх эсрэг дериватив функцүүдийн F(x)+С олонлогийг нэрлэнэ ƒ(x) функцийн тодорхойгүй интегралба ∫ ƒ(x) dx тэмдгээр тэмдэглэнэ.

Тиймээс, тодорхойлолтоор

∫ ƒ(x)dx= F(x)+C.

Энд ƒ(x)-г дуудна интеграл функц, ƒ(x)dx — интеграл илэрхийлэл, X - интеграцийн хувьсагч, ∫ -тодорхойгүй интегралын тэмдэг.

Функцийн тодорхойгүй интегралыг олох үйлдлийг энэ функцийг интеграллах гэж нэрлэдэг.

Геометрийн хувьд тодорхойгүй интеграл нь y=F(x)+C (С-ийн тоон утга бүр нь тухайн гэр бүлийн тодорхой муруйтай тохирч байна) “параллель” муруйн гэр бүл юм (166-р зургийг үз). Эсрэг дериватив (муруй) бүрийн графикийг нэрлэнэ интеграл муруй.

Функц бүр тодорхойгүй интегралтай байдаг уу?

“(a;b) дээр үргэлжилсэн функц бүр энэ интервал дээр эсрэг деривативтай, улмаар тодорхойгүй интегралтай байдаг” гэсэн теорем байдаг.

Тодорхой бус интегралын тодорхойлолтоос үүдэлтэй хэд хэдэн шинж чанарыг тэмдэглэе.

1. Тодорхой бус интегралын дифференциал нь интегралтай тэнцүү, тодорхойгүй интегралын дериватив нь интегралтай тэнцүү байна.

d(∫ ƒ(x)dx)=ƒ(x)dх, (∫ ƒ(x)dx) " =ƒ(x).

Үнэхээр d(∫ ƒ(x) dx)=d(F(x)+C)=dF(x)+d(C)=F " (x) dx =ƒ(x) dx

(∫ ƒ (x) dx) " =(F(x)+C)"=F"(x)+0 =ƒ (x).

Энэ өмчийн ачаар интеграцийн зөв байдлыг ялгах замаар шалгадаг. Жишээлбэл, тэгш байдал

∫(3x 2 + 4) dx=х з +4х+С

үнэн, учир нь (x 3 +4x+C)"=3x 2 +4.

2. Тодорхой функцийн дифференциалын тодорхойгүй интеграл нь энэ функц ба дурын тогтмолын нийлбэртэй тэнцүү байна.

∫dF(x)= F(x)+C.

Үнэхээр,

3. Тогтмол коэффициентийг интеграл тэмдэгээс гаргаж болно.

α ≠ 0 нь тогтмол байна.

Үнэхээр,

(C 1 / a = C-г тавь.)

4. Хязгаарлагдмал тооны тасралтгүй функцүүдийн алгебрийн нийлбэрийн тодорхойгүй интеграл нь функцүүдийн нийлбэрийн интегралуудын алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

F"(x)=ƒ(x) ба G"(x)=g(x) гэж үзье. Дараа нь

Энд C 1 ±C 2 =C.

5. (Интегралчлалын томъёоны инвариант байдал).

Хэрэв , энд u=φ(x) нь тасралтгүй деривативтай дурын функц юм.

▲ x нь бие даасан хувьсагч, ƒ(x) нь тасралтгүй функц, F(x) нь эсрэг дериватив байна. Дараа нь

Одоо φ(x) нь тасралтгүй дифференциалагдах функц болох u=φ(x) гэж тохируулъя. F(u)=F(φ(x)) нийлмэл функцийг авч үзье. Функцийн эхний дифференциалын хэлбэрийн инвариантын улмаас (160-р хуудсыг үз) бид

Эндээс▼

Тиймээс тодорхойгүй интегралын томъёо нь эсэхээс үл хамааран хүчинтэй хэвээр байна интеграцийн хувьсагчбие даасан хувьсагч эсвэл түүний тасралтгүй дериватив бүхий аливаа функц.

Тиймээс, томъёоноос x-г u (u=φ(x))-ээр орлуулснаар бид олж авна

Тухайлбал,

Жишээ 29.1.Интегралыг ол

Энд C=C1+C 2 +C 3 +C 4.

Жишээ 29.2.Интеграл шийдлийг ол:

• 29.3. Үндсэн тодорхойгүй интегралын хүснэгт

Интеграл нь дифференциалын урвуу үйлдэл гэдгийг далимдуулан дифференциал тооцооны харгалзах томьёог (дифференциалын хүснэгт) урвуулж, тодорхойгүй интегралын шинж чанарыг ашиглан үндсэн интегралын хүснэгтийг гаргаж болно.

Жишээлбэл, учир нь

d(sin u)=cos u . ду

Интеграцийн үндсэн аргуудыг авч үзэхдээ хүснэгтэд байгаа хэд хэдэн томъёоны гарал үүслийг өгөх болно.

Доорх хүснэгтэд байгаа интегралуудыг хүснэгт гэж нэрлэдэг. Тэднийг цээжээр мэддэг байх ёстой. Интеграл тооцоололд дифференциал тооцоололтой адил энгийн функцүүдийн эсрэг деривативуудыг олох энгийн бөгөөд түгээмэл дүрэм байдаггүй. Эсрэг деривативыг олох аргууд (жишээ нь функцийг нэгтгэх) нь өгөгдсөн (хайж буй) интегралыг хүснэгтэд оруулах техникийг зааж өгдөг. Иймд хүснэгтийн интегралыг мэдэж, таних чадвартай байх шаардлагатай.

Үндсэн интегралын хүснэгтэд интеграцийн хувьсагч нь бие даасан хувьсагч болон бие даасан хувьсагчийн функцийг хоёуланг нь илэрхийлж болохыг анхаарна уу (интегралчлалын томьёоны инвариантын шинж чанарын дагуу).

Доорх томьёоны үнэн зөвийг баруун талд байгаа дифференциалыг авах замаар шалгаж болох бөгөөд энэ нь томьёоны зүүн талын интегралтай тэнцүү байна.

Жишээлбэл, 2-р томьёоны үнэн зөвийг баталъя. 1/u функц нь тэгээс бусад бүх утгын хувьд тодорхойлогдсон бөгөөд тасралтгүй байна.

Хэрэв u > 0 бол ln|u|=lnu байна Тийм ч учраас

Хэрэв та<0, то ln|u|=ln(-u). Ногэсэн үг

Тэгэхээр томъёо 2 зөв байна. Үүний нэгэн адил томъёо 15-ыг шалгая:

Үндсэн интегралын хүснэгт

Найзууд аа! Бид таныг хэлэлцэхийг урьж байна. Хэрэв танд өөрийн гэсэн бодол байгаа бол сэтгэгдэл дээр бидэнд бичээрэй.