УКРАИН УЛСЫН БОЛОВСРОЛ, ШИНЖЛЭХ УХААНЫ ЯАМ

СУМИЙН УЛСЫН ИХ СУРГУУЛЬ

Компьютерийн шинжлэх ухааны тэнхим

СУРГАЛТЫН АЖИЛ

МЭДЭЭЛЭЛ:

Тоон аргууд

"Системийг шийдвэрлэх давталтын аргууд тийм биш юм шугаман тэгшитгэл»

1. Шугаман бус тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх арга. ерөнхий мэдээлэл

2.1 Энгийн давталтын арга

2.2 Айткен хувиргалт

2.3 Ньютоны арга

2.3.1 Ньютоны аргын өөрчлөлтүүд

2.3.2 Квази-Ньютоны аргууд

2.4 Шугаман бус тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх давталтын бусад аргууд

2.4.1 Пикардын арга

2.4.2 Градиент буурах арга

2.4.3 Тайвшруулах арга

3. Давталтын аргуудыг программчлан, Maple математикийн багцыг ашиглан хэрэгжүүлэх

3.1 Энгийн давталтын арга

3.2 Градиент буурах арга

3.3 Ньютоны арга

3.4 Ньютоны аргыг өөрчилсөн

Ашигласан уран зохиолын жагсаалт

1. Шугаман бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга. Ерөнхий мэдээлэл.

Бидэнд тэгшитгэлийн системийг өгье, хаана

- зарим шугаман бус операторууд: (1.1)

Үүнийг мөн матриц хэлбэрээр илэрхийлж болно:

(1.1)

Үүний шийдлийг энэ утга гэж нэрлэдэг

, Үүний төлөө

Тооцооллын маш түгээмэл асуудал бол (1.1) системийн зарим эсвэл бүх шийдлийг олох явдал юм n-тэй шугаман бус алгебр эсвэл трансцендент тэгшитгэл nүл мэдэгдэх.

-ээр тэмдэглэе Xбаганын вектор ( X 1 , X 2 ,..., x n)Ттэгшитгэлийн системийг томъёо (1.2) хэлбэрээр бичнэ. Ф(X) = 0, хаана F=(е 1 , f 2 ,..., f n)Т.

Ийм тэгшитгэлийн системүүд нь жишээлбэл, физик системийг зохион бүтээх явцад шууд эсвэл шууд бус байдлаар үүсч болно. Тиймээс, жишээлбэл, тодорхой функцийг багасгах асуудлыг шийдэх үед Г(X)энэ функцийн градиент тэг байх цэгүүдийг тодорхойлох шаардлагатай байдаг. Итгэж байна F=град Г,Бид шугаман бус системийг олж авдаг.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системээс ялгаатай нь шийдлийн хувьд хоёуланг нь ашиглаж болно Чигээрээ(эсвэл үнэн зөв), болон давталттай(эсвэл хаах) аргууд, шугаман бус тэгшитгэлийн системийн шийдлийг зөвхөн ойролцоо, давталтын аргаар олж авч болно. Эдгээр нь ойролцоогоор дарааллыг олж авах боломжийг танд олгоно

. Хэрэв давтагдах процесс нийлдэг бол хилийн утга нь өгөгдсөн тэгшитгэлийн системийн шийдэл болно.

Системийн шийдлийг олох аргуудын талаархи ойлголтыг дуусгахын тулд "нийцэх түвшин" гэх мэт ойлголтыг тодруулах шаардлагатай. Хэрэв тууштай байдлын хувьд x n, хязгаарт ойртож байна X *, томъёо зөв байна

(к- эерэг бодит тоо), Тэр кэнэ дарааллын нийлэх хурд гэж нэрлэдэг.

2. Шугаман бус тэгшитгэлийн системийг шийдэх давталтын аргууд

2.1 Энгийн давталтын арга

Энгийн давталтын арга (дараалсан ойролцоо тоо) нь тооцооллын математикийн гол аргуудын нэг бөгөөд өргөн ангиллын тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хэрэглэгддэг. Маягтын шугаман бус тэгшитгэлийн системд энэ аргын тайлбар, үндэслэлийг өгье

f i (x 1 ,x 2 ,...x n) = 0, би=1,2,..n;

Тэгшитгэлийн системийг тусгай хэлбэрт оруулъя.

(2.1)

Эсвэл вектор хэлбэрээр

. (2.2)

Түүгээр ч барахгүй, энэ тогтолцоонд шилжих нь зөвхөн ийм нөхцөлтэй байх ёстой

агшилтын зураглал юм.

Зарим анхны ойролцоолсон X (0) = ашиглах (x 1 (0) ,x 2 (0) ,...x n (0))

X (k+1) =  (X (k)) давтагдах процессыг байгуулъя. Тооцоолол нь нөхцөл биелэх хүртэл үргэлжилнэ

. Дараа нь тэгшитгэлийн системийн шийдэл нь зураглалын тогтмол цэг юм.

Тодорхой нормоор аргыг үндэслэл болгоцгооё

зай.

Нөхцөлүүдийн биелэлт нь системийн шийдлийг олоход хүргэдэг конвергенцийн теоремыг танилцуулъя.

Теорем (нийтлэг байдлын тухай).Болъё

1). Ф(х) вектор функц нь мужид тодорхойлогддог

; нөхцөл хангагдсан

3). Тэгш бус байдал шударга байна

Дараа нь давтагдах үйл явцад:

, – тэгшитгэлийн системийн шийдэл; ,

Сэтгэгдэл. 2) нөхцлийн тэгш бус байдал нь домайн дахь Ф(х) вектор функцийн Липшицийн нөхцөл юм. Стогтмолтой

(шахалтын нөхцөл). Үүнийг харуулж байна Фбүс дэх шахалтын оператор юм С, өөрөөр хэлбэл (2.2) тэгшитгэлийн хувьд шахсан зураглалын зарчим үйлчилнэ. Теоремын мэдэгдлүүд нь (2.2) тэгшитгэл нь тухайн бүсэд шийдэлтэй байна гэсэн үг юм С, ба дараалсан ойролцоо тооцоолол нь хуваагчтай геометрийн дарааллын хурдаар энэ шийдэлд нийлдэг. q.

Баталгаа. Учир нь

, тэгвэл 3) таамаглалаас шалтгаалсан ойролцоо тооцооллын хувьд бид . гэсэн үг. , k=2,3,... ба хөрш ойртохын тулд тэгш бус байдал (2.3) хангагдсан болохыг харуулъя.

Бид индукцаар маргах болно. At

мэдэгдэл үнэн, учир нь Мөн . Ойролцоогоор S-д хамаарах ба тэгш бус байдал (2.3) -д тохирно гэж үзье. -ээс хойш теоремын 2) нөхцөлийг харгалзан үзэхийн тулд бид .

Индуктив таамаглалаар

Шугаман бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Бид тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй гэж бодъё

Хаана
– шугаман бус тасралтгүй функц.

Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг шууд ба давталтын гэж хуваадаг. Шууд аргууд гэдэг нь томъёогоор (жишээлбэл, квадрат тэгшитгэлийн үндсийг олох) шийдлийг тооцоолох боломжийг олгодог аргууд юм. Давталттай аргууд гэдэг нь эхний ойртсон утгыг тодорхойлж, яг шийдэлд ойртсон нийлэх дарааллыг бий болгох, дараагийн ойртолт бүрийг өмнөх аргуудыг ашиглан тооцдог аргууд юм.

Асуудлын бүрэн шийдлийг 3 үе шатанд хувааж болно.

(1) тэгшитгэлийн язгуурын тоо, шинж чанар, байршлыг тогтооно.

Үндэсүүдийн ойролцоо утгыг олох, жишээлбэл. үндэс ургах интервалыг заана (үндэсийг салгах).

Үндэсийн утгыг шаардлагатай нарийвчлалтайгаар олох (үндэсийг зааж өгөх).

Эхний хоёр асуудлыг шийдвэрлэх янз бүрийн график болон аналитик аргууд байдаг.

(1) тэгшитгэлийн язгуурыг салгах хамгийн ойлгомжтой арга бол функцийн графикийн огтлолцох цэгүүдийн координатыг тодорхойлох явдал юм.
абсцисса тэнхлэгтэй. Абсцисс график огтлолцох цэгүүд
тэнхлэгтэй
тэгшитгэлийн язгуурууд (1)

(1) тэгшитгэлийн язгуурын тусгаарлах интервалыг интервал дээр тасралтгүй функцүүдийн шинж чанарын теоремд үндэслэн аналитик аргаар олж авч болно.

Хэрэв, жишээ нь, функц
сегмент дээр тасралтгүй
Тэгээд
, дараа нь Болзано-Коши теоремын дагуу сегмент дээр
тэгшитгэлийн дор хаяж нэг язгуур байна (1) (сондгой тооны үндэс).

Хэрэв функц бол
Болзано-Коши теоремын нөхцлийг хангаж, энэ интервал дээр монотон, дараа нь
(1) тэгшитгэлийн зөвхөн нэг язгуур байна.Иймээс (1) тэгшитгэл нь байна
дараах нөхцөл хангагдсан бол нэг үндэс:

Хэрэв функц идэвхжсэн бол өгөгдсөн интервалнь тасралтгүй ялгагдах боломжтой бол бид Роллегийн теоремын үр дүнг ашиглаж болох бөгөөд үүний дагуу хос үндэс хооронд ядаж нэг суурин цэг байх болно. Энэ тохиолдолд асуудлыг шийдэх алгоритм нь дараах байдалтай байна.

Үндэсийг салгах ашигтай хэрэгсэл бол Штурмын теоремыг ашиглах явдал юм.

Гурав дахь асуудлын шийдлийг янз бүрийн давталтын (тоон) аргуудаар гүйцэтгэдэг: дихотомийн арга, энгийн давталтын арга, Ньютоны арга, хөвчний арга гэх мэт.

ЖишээТэгшитгэлээ шийдье
арга энгийн давталт. Тогтооцгооё
. Функцийн графикийг байгуулъя.

Графикаас харахад бидний тэгшитгэлийн үндэс нь сегментэд хамаарна
, өөрөөр хэлбэл
нь бидний тэгшитгэлийн язгуурын тусгаарлах сегмент юм. Үүнийг аналитик байдлаар шалгаж үзье, өөрөөр хэлбэл. нөхцөлийг биелүүлэх (2):

Энгийн давталтын аргын анхны тэгшитгэл (1) хэлбэрт шилжсэнийг санацгаая
ба давталтыг дараах томъёоны дагуу гүйцэтгэнэ.

(3)

Томъёо (3) ашиглан тооцооллыг нэг давталт гэж нэрлэдэг. Нөхцөл хангагдсан үед давталт зогсдог
, Хаана - үндсийг олоход туйлын алдаа, эсвэл
, Хаана - харьцангуй алдаа.

Энгийн давталтын арга нь нөхцөл хангагдсан тохиолдолд нийлдэг
Учир нь
. Функц сонгох
(3) томъёонд давталтын хувьд та аргын нэгдэлд нөлөөлж болно. Хамгийн энгийн тохиолдолд
нэмэх эсвэл хасах тэмдэгтэй.

Практикт энэ нь ихэвчлэн илэрхийлэгддэг
тэгшитгэлээс шууд (1). Хэрэв нийлэх нөхцөл хангагдаагүй бол (3) хэлбэрт шилжүүлж сонго. Өөрийн тэгшитгэлийг хэлбэрээр илэрхийлье
(х-ийг тэгшитгэлээс илэрхийлнэ үү). Аргын нэгдэх нөхцөлийг шалгая:

Учир нь
. Нэгтгэх нөхцөл хангагдаагүй болохыг анхаарна уу
, тиймээс бид үндэс тусгаарлах сегментийг авдаг
. Бид тэгшитгэлээ хэлбэрээр танилцуулахдаа үүнийг тэмдэглэж байна
, аргын нэгдэх нөхцөл хангагдаагүй байна:
сегмент дээр
. График үүнийг харуулж байна
функцээс илүү хурдан нэмэгддэг
(|tg| шүргэгчийн хазайлтын өнцөг
сегмент дээр
)

Сонгоцгооё
. Бид давталтыг дараах томъёоны дагуу зохион байгуулдаг.

Бид давталтын үйл явцыг өгөгдсөн нарийвчлалтайгаар программын дагуу зохион байгуулдаг.

> fv:=proc(f1,x0,eps)

> k:=0:

x:=x1+1:

байхад abs(x1-x)> eps хийх

x1:=f1(x):

хэвлэх(evalf(x1,8)):

хэвлэх(abs(x1-x)):

:printf("Итерийн тоо.=%d ",k):

Төгсгөл:

19-р давталтаар бид тэгшитгэлийнхээ үндсийг авсан

үнэмлэхүй алдаатай

Тэгшитгэлээ шийдье Ньютоны арга. Ньютоны аргын давталтуудыг дараах томъёогоор гүйцэтгэнэ.

Ньютоны аргыг функцтэй энгийн давталтын арга гэж үзэж болох юм бол Ньютоны аргын нийлэх нөхцөлийг дараах байдлаар бичнэ.

.

Бидний тэмдэглэгээнд
ба нийлэх нөхцөл сегмент дээр хангагдана
, графикаас харж болно:

Ньютоны арга квадрат хурдаар нийлдэг бөгөөд анхны ойролцоолсон утгыг язгуурт хангалттай ойрхон сонгох ёстой гэдгийг санаарай. Тооцооллыг хийцгээе:
, анхны ойролцоололт, . Бид давталтыг дараах томъёоны дагуу зохион байгуулдаг.

Бид давталтын процессыг өгөгдсөн нарийвчлалтайгаар программчлан зохион байгуулдаг. 4-р давталтаар бид тэгшитгэлийн язгуурыг олж авна

-тай
Бид куб тэгшитгэлийг ашиглан шугаман бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг жишээ болгон авч үзсэн; Мэдээжийн хэрэг, эдгээр аргууд нь шийддэг. янз бүрийн төрөлшугаман бус тэгшитгэл. Жишээлбэл, тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Ньютоны арга
, [-1.5;-1] гэсэн тэгшитгэлийн язгуурыг ол:

Дасгал хийх: Шугаман бус тэгшитгэлийг нарийвчлалтай шийднэ

0.

сегментийг хагасаар хуваах (дихотоми)

энгийн давталт.

Ньютон (шүргэх)

секант - хөвч.

Даалгаврын сонголтыг дараах байдлаар тооцоолно: жагсаалт дээрх тоог 5-д хуваана (
), бүхэл хэсэг нь тэгшитгэлийн дугаартай, үлдсэн хэсэг нь аргын дугаартай тохирч байна.

Физик химийн тэнхим SFU (RSU)
ТООН АРГА, ПРОГРАМЧИЛГАА
Лекцийн хичээлд зориулсан материал
Лектор – Урлаг. Илч. Щербаков I.N.

Шугаман бус тэгшитгэлийн системүүд

Зан үйлийн загварчлалын асуудлыг шийдвэрлэх үед химийн системүүдИхэнхдээ бид хувьсагчийн хувьд шугаман бус тэгшитгэлийн системийг шийдэх хэрэгтэй болдог. Системүүд n n үл мэдэгдэх x 1, x 2, ..., x n бүхий шугаман тэгшитгэлийг ерөнхийд нь дараах байдлаар бичнэ.

Энд F 1, F 2,..., F n нь үл хамаарах хувьсагчийн шугаман бусыг оролцуулан бие даасан хувьсагчийн дурын функцууд юм.

Шугаман тэгшитгэлийн системийн нэгэн адил системийн шийдэл нь вектор (эсвэл векторууд) (X *) бөгөөд орлуулсны дараа системийн бүх тэгшитгэлийг нэгэн зэрэг адилтгал болгон хувиргадаг.

Тэгшитгэлийн систем нь шийдэлгүй, нэг шийдэлтэй, төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй тооны шийдтэй байж болно. Шийдлийн тооны асуултыг тодорхой асуудал бүрийн хувьд тусад нь шийдэх ёстой.

Шугаман бус тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх хамгийн энгийн давталтын аргууд болох энгийн давталтын арга, Зайделийн арга, Ньютоны арга зэргийг авч үзье.

Энгийн давталтын арга

Энэ аргыг хэрэгжүүлэхийн тулд тэгшитгэл бүрээс нэг хувьсагчийг дараах байдлаар илэрхийлэх алгебрийн хувиргалтаар шийдвэрлэх тэгшитгэлийн системийг дараах хэлбэрт оруулах шаардлагатай.

Дараа нь анхны ойролцоолох векторыг сонгоно

хувиргасан тэгшитгэлийн системд орлуулна. Эхний тэгшитгэлээс эхний хувьсагчийн шинэ ойролцооллыг, хоёр дахь хувьсагчийн хоёр дахь гэх мэтийг олж авна. Үр дүнд нь хувьсагчийн цэвэршүүлсэн утгыг дахин эдгээр тэгшитгэлд орлуулах гэх мэт. Тиймээс (i+1)-р алхам дээр Бидэнд байгаа давталтын процедурын

Зайделийн арга

Зайделийн энгийн давталтын алгоритмын өөрчлөлт нь одоогийн давталтын үе шатанд байгаа хувьсагчдын цэвэршүүлсэн утгыг ашиглах явдал юм. Тиймээс, эхний хувьсагчийн утгыг тодруулахын тулд зөвхөн өмнөх алхамын утгуудыг, хоёр дахь хувьсагчийн хувьд - одоогийн алхамын x 1 утга, үлдсэн хэсэг нь өмнөх үеийнх гэх мэтийг ашиглана. :

Ньютон-Рафсоны арга

Математикийн үндэсарга нь функцүүдийн шугаманчлал юм Ф 1 , Ф 2 , Fn (тэгшитгэлийн зүүн тал) шийдэлд хүрэх эхний цэгийн ойролцоо Тейлорын цуваа болгон өргөжүүлж, шугаман нөхцлөөс бусад цувралын бүх гишүүнийг үл тоомсорлодог. нэмэгдэлхувьсагч.

Хоёр үл мэдэгдэх хоёр тэгшитгэлийн системийн жишээн дээрх аргыг авч үзье.

Функцуудыг шугаман болгоё Ф 1 , Ф 2 тодорхой цэгийн ойролцоо Тейлорын цуврал болгон өргөжүүлэх замаар (анхны ойролцоолсон) хувьсагчийн өсөлтийн шугаман нөхцлөөс бусад цувралын бүх гишүүнийг үл тоомсорлодог.

Нэг хувьсагчийн функцийн хувьд x 0 цэгийн ойролцоох Тейлорын цувралын өргөтгөл дараах хэлбэртэй байна гэдгийг санаарай.

Шугаман нэгээс бусад бүх нэр томъёог үл тоомсорлосны дараа:

Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн хувьд өргөтгөлийг ижил төстэй байдлаар гүйцэтгэдэг.

Тэгшитгэлийн системийн шийдлийг олохын тулд зарим анхны ойролцооллыг сонгоцгооё

Функцийг бичье Ф 1 Сонгосон цэгийн ойролцоох Тейлорын цуврал өргөтгөлийн 2 хувьсах шугаман хэсэг

Хоёр дахь тэгшитгэлийн хувьд ижил төстэй

Хэрэв хувьсагчдын утгууд x 1 Тэгээд x 2 нь шийдэл бол системийн тэгшитгэл хоёулаа алга болох ёстой тул бид үүссэн өргөтгөлүүдийг тэгтэй тэнцүүлнэ.

Товчхондоо бид дараах тэмдэглэгээг танилцуулж байна.

i-р хувьсагчийн өсөлт

Функцийн эхний хэсэгчилсэн деривативын утга Ф j-г хувьсагчийн утгаар x i хувьсагчаар

– хувьсагчдын харгалзах утгатай j -th функцийн утга, өөрөөр хэлбэл j -р тэгшитгэлийн зөрүү.

Бид хувьсагчдын өсөлттэй холбоотой 2 x 2 шугаман тэгшитгэлийн системийг олж авдаг

Эсвэл матриц хэлбэрээр,

Хэсэгчилсэн дериватив утгын матрицыг Жакоби матриц гэж нэрлэдэг (эсвэл Якобиан). Энэ системийн шийдэл нь анхны ойролцоолсон залруулгын векторыг өгдөг.

Үүнийг анхны ойролцоолох вектор дээр нэмэх нь хувьсагчдын шинэ утгыг өгдөг.

Тиймээс, шийдэл нь дараах байдалтай байна.

1. Анхны ойролцоо утгыг сонгож, системийг хэвийн хэлбэрт оруулж, системийн тэгшитгэлийн баруун талын бүх хувьсагчидтай холбоотой хэсэгчилсэн деривативуудыг аналитик хэлбэрээр олно.

2. Анхны ойролцоолсон цэг дэх хэсэгчилсэн деривативын утгуудын Якобын матрицыг тооцоолно.

3. Шугаман тэгшитгэлийн системийг хувьсагчийн өсөлтөөр шийддэг.

4. өсөлтийн векторыг анхны ойролцоолох вектор дээр нэмнэ

5. Нийцэх нөхцөлийг шалгаж, хэрэв хүрэхгүй бол 2-р алхамаас эхлэн процедурыг давтан хийнэ.

Энэ аргыг ямар ч хэмжигдэхүүнтэй тэгшитгэлийн системд хялбархан нэгтгэдэг.

F 1 n функцийн хувьд хувьсагч нь цэгийн ойролцоох Тейлорын цуврал тэлэлтийн шугаман хэсэг ингэж бичсэн

Системийн бүх тэгшитгэлийг задалж, өмнө нь танилцуулсан тэмдэглэгээг ашигласны дараа хувиргасны дараа Δ x i хувьсагчдын өсөлттэй холбоотой n дарааллын шугаман тэгшитгэлийн системийг олж авна.

Эсвэл матриц хэлбэрээр,

Товчилсон хэлбэрээр бид үүнийг ингэж бичиж болно - (F" )(Δ x ) = - (F ) , хэсэгчилсэн дериватив утгуудын матрицыг - (F" ) гэж нэрлэдэг. Якобын матрицэсвэл Якобиантэгшитгэлийн системүүд.

Энэ системийн шийдэл нь анхны ойролцоолсон залруулгын векторыг өгдөг. Үүнийг анхны ойролцоолох вектор дээр нэмэх нь хувьсагчдын шинэ, боловсронгуй утгыг өгдөг.

Тооцоолоход шаардлагатай хэсэгчилсэн дериватив Якобын матрицууд, аналитик аргаар тооцоолж болно, эсвэл хэрэв боломжгүй эсвэл хэцүү бол ойролцоогоор ялгах томъёог ашиглан, жишээлбэл, функцийн өсөлтийг аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцаагаар олж болно.

Хаана эпсилон- харьцангуй бага тоо.

Давталтын аргуудын нийлэлтийг хянах аргууд
системийн шийдлүүд

Шугаман бус тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх давталтын үйл явцын нэгдлийг хэд хэдэн аргаар хянаж болно, жишээлбэл:

1. Үлдэгдэл векторын норм (Евклид эсвэл -максимум).

2. Хувьсагчдын харьцангуй хазайлтын векторын евклидийн норм

3. Норм-харьцангуй хазайлтын хамгийн их вектор

Тэгшитгэлийн системийг шийдэхийн тулд Ньютоны аргыг хэрэглэцгээе

Хэсэгчилсэн дериватив матриц (аналитик хэлбэрээр)

Шугаман тэгшитгэлийн систем

Аналитик аргаар эсвэл Крамерын арга эсвэл матрицын урвуу аргаар шийдвэрлэх боломжтой. Анхны ойролцоогоор x = 0.15, y = 0.17 гэж үзье

Эхний давталт:

Якоби матриц - Функцийн утгын вектор. Залруулгын тооцоолсон вектор Шинэ ойролцоолсон x = 0.15 + 0.028704 = 0.178704, y = 0.17 + 0.090926 = 0.260926 Хоёр дахь давталт: Тооцоолсон засварын вектор Шинэ ойролцоолсон x = 0.196656, y = 0.293359 Гурав дахь давталт: Тооцоолсон залруулгын вектор Шинэ ойролцоолсон x = 0.199867, y = 0.299739 6 дахь давталтанд аль хэдийн үлдэгдэл векторын Евклидийн норм 2.8∙10 -13, хувьсагчдын хамгийн их харьцангуй өөрчлөлт нь 1.6∙2с ба шийдээс -10 байна. = 0.2 , y = 0.3 5∙10 -7-ээс бага үнэмлэхүй алдаатай. Ижил анхны нөхцөлд давталтын энгийн арга нь 33-р алхамд, Зайделийн өөрчлөлт - 31-р алхамд ижил нарийвчлалтайгаар нийлдэг. Доорх зураг нь MS Excel дээр авч үзсэн системийг шийдвэрлэхдээ тооцооллын зохион байгуулалтын жишээг харуулж байна.
Тайлбар: B3 ба B4 нүднүүд нь системийн шийдлийн анхны ойролцоо утгыг агуулдаг (х 0 ба у 0 тус тус). D3:E4 нүднүүдийн мужид x нь B3 нүдэнд, y нь B4 нүдэнд байвал Жакобын матрицыг тооцоолох томъёо байдаг (томьёог доорх зурагт үзүүлэв). G3:G4 нүдэнд сөрөг тэмдэгтэй үлдэгдэл векторын утгыг тооцоолно.
H3 нүдэнд үлдэгдэл векторын Евклидийн нормыг тооцоолно. I3:I4 нүдэнд шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэж, шийдлийн залруулгын векторыг тооцоолно. Үүнийг хийхийн тулд системийн коэффициентүүдийн матрицыг (Jacobi матриц) урвуу болгож, чөлөөт гишүүний баганын вектороор (үлдэгдэлийн сөрөг вектор) үржүүлнэ. Энэ хүрээний нүдн дэх томъёог массив томьёо болгон оруулсан болно. Ойролцоох - J3 нүдэнд - нийлэлтийг хянахын тулд залруулгын векторын нормыг тооцдог (доорх зураг дээрх томьёог харна уу).
Хоёрдахь давталтын мөчлөгийн I3:I4 нүднүүдэд олж авсан залруулгын утгыг эхний ойролцоолсон (B6:B7 нүднүүдэд) нэмж, дараа нь тооцооллыг эхний мөчлөгтэй адил давтана. Ажлын хуудасны 6, 7-р мөрөнд бичсэн томъёог шаардлагатай нарийвчлалд хүрэх хүртэл хуулж болно.

Шугаман бус тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд хүргэдэг бодлого

Шугаман бус тэгшитгэлийн системийн шийдлийг ашигладаг асуудлын жишээ бол параметрүүдийн хувьд шугаман бус математик загваруудыг ашиглан хүснэгтэд заасан функцийг ойртуулах явдал юм. Үүнийг өмнө нь дэлгэрэнгүй тайлбарласан. Хэрэв ойртсон функц ба түүнийг тодорхойлох параметрүүд a i дараах байдлаар томилно Дараа нь бүх хүснэгтэн цэгүүдээр функцийн график өнгөрөх нөхцөлийг дараах системийн хэлбэрээр бичиж болно. Өөр нэг жишээ бол хэд хэдэн хувьсагчтай функцийн экстремум (хамгийн бага ба хамгийн их)-ийг хайх явдал юм.Экстремумын нөхцөл нь функцийн бүх хэсэгчилсэн деривативуудын нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү байх явдал юм. Тиймээс, ерөнхий тохиолдолд шугаман бус байх дараах хэлбэрийн тэгшитгэлийн системийг шийдэх шаардлагатай байна.

Тооцооллын томъёо Ньютоны аргахэлбэртэй байна:

Хаана n=0,1,2,..

Геометрийн хувьд Ньютоны аргаязгуурт хүрэх дараагийн арга нь OX тэнхлэгтэй огтлолцох цэг болно гэсэн үг. функцийн графиктай шүргэгч y=f(x)цэг дээр.

Теорем Ньютоны аргын нэгдлийн тухай.

Функц нь хоёр дахин тасралтгүй дифференциалагдах зарим хөршийн тэгшитгэлийн энгийн язгуур байцгаая.

Дараа нь уг язгуурын ийм жижиг хөрш байгаа бөгөөд энэ хөршөөс анхан шатны ойролцоо тоог дур мэдэн сонгосон тохиолдолд Ньютоны аргын давталтын дараалал нь хөршөөс хэтрэхгүй бөгөөд тооцоолол хүчинтэй байна.

Ньютоны арга(1) анхны ойролцоо тооцооллын сонголтод мэдрэмтгий x 0 .

Практикт энэ аргыг монотон нэгтгэхийн тулд шаардлагатай байдаг:

1-р дериватив f(x)

2-р дериватив f(x) тусгаарлагдсан үндэсийн нутагшуулах интервал [a, b] дээр тогтмол тэмдэгтэй байх ёстой;

анхны аргын хувьд x 0 локалчлалын интервалын хилийг функцийн 2-р деривативын үржвэр нь тэгээс их байх үед сонгоно (f(c)f ’’ (c) > 0, энд c нь интервалын хилийн нэг).

. Өгөгдсөн нарийвчлалын хувьд >

Теоремд дурдсанчлан Ньютоны арга нь орон нутгийн нэгдэлтэй, өөрөөр хэлбэл түүний ойртох муж нь язгуурын жижиг хөрш юм. .

Буруу сонголт хийснээр давталтын дараалал ялгаатай байж болно.

Энгийн давталтын арга (дараалсан давталтын арга).

Энгийн давталтын аргыг хэрэглэхийн тулд эхний тэгшитгэлийг дагаж мөрдөнө давталт хийхэд тохиромжтой хэлбэр рүү хөрвүүлэх .

Энэ хөрвүүлэлтийг янз бүрийн аргаар хийж болно.

Уг функцийг давтагдах функц гэж нэрлэдэг.

Энгийн давталтын аргын тооцооллын томъёо нь:

Хаана n=0,1,2,..

Теорем энгийн давталтын аргын нэгдэл дээр.

Функц нь язгуурын зарим хэсэгт тасралтгүй дифференциал болох ба тэгш бус байдлыг хангая

Хаана 0 < q < 1 - тогтмол.

Дараа нь заасан хөршөөс анхны ойролцооллыг сонгохоос үл хамааран давталтын дараалал нь энэ хөршөөс гарахгүй, арга нь нийлдэг.

геометрийн дарааллын хурдтай, алдааны тооцоолол хүчинтэй байна :

Давтагдах үйл явцыг дуусгах шалгуур .

Өгөгдсөн > 0 нарийвчлалын хувьд тэгш бус байдлыг хангах хүртэл тооцооллыг хийх ёстой.

Хэрэв утга нь бол давталтыг дуусгах илүү энгийн шалгуурыг ашиглаж болно:

Хэрэв тэгш бус байдалд байвал (5) q > 1, дараа нь давталтын арга (4) нь ялгаатай.

Хэрэв тэгш бус байдалд байвал (5) q= 1 , дараа нь давталтын арга (4) нь нийлэх эсвэл салах боломжтой.

Хэрэв бол q > = 1 , дараа нь давталтын арга (4) нь ялгарах ба

хамаарна давталтын параметртэй энгийн давталтын арга.

Хэрэглээний гол зүйл бол тэгшитгэлийг тэнцүү болгон хувиргах явдал юм.

αf(x) = 0

x = x+αf(x), (9)

Хаана α – давталтын параметр (бодит тогтмол).

Тооцооллын томъёо давталтын параметртэй энгийн давталтын аргахэлбэртэй байна:

x (n+1) = x (n) + αf(x (n) ) , (10)

Хаана n=0,1,2,..

(10) маягтын дагуу баригдсан давтагдах процесс нь нийлдэг, Хэрэв:

Функцийн 1-р дериватив f(x)тэмдэг нь тогтмол бөгөөд тусгаарлагдсан үндэсийг нутагшуулах интервалаар хязгаарлагддаг;

давтагдах параметрийн тэмдэг α функцийн 1-р деривативын эсрэг тэмдэг f(x)тусгаарлагдсан үндэсийг нутагшуулах интервал дээр;

давтагдах параметрийн утгын модуль α тэгш бус байдлаас тооцсон болно

| α | < 2/M , (11)

Энд M нь функцийн 1-р деривативын хамгийн их модуль юм f(x)

Дараа нь давталтын параметрийн  ийм сонголттойгоор (10) арга нь q-тэй тэнцүү хуваагчтай геометр прогрессийн хурдаар интервалд хамаарах анхны ойролцоолсон утгын хувьд нийлдэг.

Энд m нь функцийн 1-р деривативын хамгийн бага модуль юм f(x)тусгаарлагдсан үндэсийг нутагшуулах интервал дээр.

Шугаман бус тэгшитгэлийн систем нь дараах хэлбэртэй байна.

Энд үл мэдэгдэх хувьсагчид байгаа бөгөөд (7) функцуудын ядаж нэг нь шугаман бус байвал хэвийн эрэмбийн систем гэж нэрлэдэг.

Шугаман бус тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх нь тооцооллын математикийн хэцүү асуудлын нэг юм. Асуудал нь системд шийдэл байгаа эсэх, хэрэв байгаа бол хэд нь болохыг тодорхойлох явдал юм. Тухайн бүс нутагт шийдлийг боловсронгуй болгох нь илүү хялбар ажил юм.

Функцуудыг талбарт тодорхойл. Дараа нь тухайн газар нь шийдэл олох боломжтой газар болно. Уусмалыг боловсронгуй болгох хамгийн түгээмэл аргууд бол энгийн давталтын арга ба Ньютоны арга юм.

Шугаман бус тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх энгийн давталтын арга

Анхны системээс (7) тэнцүү хувиргах замаар бид дараах хэлбэрийн систем рүү шилждэг.

Томьёогоор тодорхойлогддог давталт үйл явц

та анхны ойролцоо утгыг зааж эхэлж болно. Давталтын процессыг нэгтгэх хангалттай нөхцөл бол хоёр нөхцлийн нэг юм.

Эхний нөхцөлийг бичье:

Хоёр дахь нөхцөлийг бичье:

Систем (7)-г (8) хэлбэрт оруулан нийлэх давталтуудыг зөвшөөрөх аргуудын нэгийг авч үзье.

Маягтын хоёр дахь эрэмбийн системийг үзье:

Та үүнийг энэ маягт руу оруулах хэрэгтэй:

Системийн эхний тэгшитгэлийг үл мэдэгдэх тогтмолоор, хоёр дахь нь үл мэдэгдэх тогтмолоор үржүүлээд дараа нь тэдгээрийг нэмж тэгшитгэлийн хоёр талд нэмье. Бид хувиргасан системийн эхний тэгшитгэлийг олж авна

Бид нийлэх хангалттай нөхцлөөс үл мэдэгдэх тогтмолуудыг тодорхойлно

Эдгээр нөхцлийг илүү дэлгэрэнгүй бичье:

Модулийн тэмдгийн доорх илэрхийлэл нь тэгтэй тэнцүү гэж үзвэл тогтмолуудыг тодорхойлох дөрвөн үл мэдэгдэх дөрвөн тэгшитгэлийн системийг олж авна.

Параметрүүдийн ийм сонголтоор функцүүдийн хэсэгчилсэн деривативууд цэгийн ойролцоо тийм ч хурдан өөрчлөгдөхгүй бол нийлэх нөхцөл хангана.

Системийг шийдэхийн тулд та анхны таамаглалыг тодорхойлж, деривативын утгыг тооцоолох хэрэгтэй. Тооцооллыг давталтын алхам бүрт хийдэг

Энгийн давталтын арга нь өөрөө өөрийгөө засах боломжтой, бүх нийтийнх бөгөөд компьютер дээр хэрэгжүүлэхэд хялбар байдаг. Хэрэв систем байгаа бол том захиалга, дараа нь програм энэ арга, удаан нийлэх хурдтай байхыг зөвлөдөггүй. Энэ тохиолдолд илүү хурдан нийлдэг Ньютоны аргыг ашигладаг.

Шугаман бус тэгшитгэлийн системийг шийдэх Ньютоны арга

(7) хэлбэрийн шугаман бус тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх шаардлагатай байг. Шийдэл нь бүх функцууд тасралтгүй үргэлжилдэг, хамгийн багадаа эхний деривативтай байдаг зарим домэйнд байгаа гэж үзье. Ньютоны арга нь дараах хэлбэрийн тодорхой томъёоны дагуу явагддаг давтагдах процесс юм.

Ньютоны аргыг ашиглахад тулгардаг бэрхшээлүүд:

урвуу матриц байдаг уу?

Энэ нь бүс нутгаас хэтэрдэггүй гэж үү?

Өөрчлөгдсөн Ньютоны арга нь эхний ажлыг хөнгөвчилдөг. Өөрчлөлт нь матрицыг цэг бүрт тооцдоггүй, зөвхөн эхний хэсэгт нь тооцдог. Ийнхүү өөрчлөгдсөн Ньютоны арга нь дараах томьёотой байна.

Гэхдээ өөрчилсөн Ньютоны арга нь хоёр дахь асуултанд хариулдаггүй.

Дараах нөхцөл хангагдсан тохиолдолд (8) эсвэл (10) томъёоны дагуу давтагдах процесс дуусна

Ньютоны аргын давуу тал нь энгийн давталтын аргатай харьцуулахад хурдан нийлдэг.