Евклидийн алгоритм ашиглан диофантийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. Диофантины тэгшитгэл: жишээ бүхий шийдлийн аргууд
- Жишээ №1 (энгийн)
- Жишээ №2 (төвөгтэй)
- Тахиа, туулай, сарвууны тухай асуудал
- Худалдагч, өөрчлөлттэй холбоотой асуудал
Оюутнуудын сэтгэгдлээс үзэхэд Диофантины тэгшитгэл нь зөвхөн оюутнуудад төдийгүй эцэг эхчүүдэд сургуулийн математикийн хичээлд жинхэнэ саад тотгор болж байна. Тэд юу вэ, тэдгээрийг хэрхэн зөв шийдвэрлэх вэ? Горнотай боловсролын төвийн математикийн багш Аэлита Бекешева, физик-математикийн шинжлэх ухааны нэр дэвшигч Юрий Шанко нар үүнийг олж мэдэхэд бидэнд тусалсан.
Диофант гэж хэн бэ?
Эртний египетчүүд ч гэсэн үндэслэл гаргахад хялбар байх үүднээс үл мэдэгдэх тоог илэрхийлдэг тусгай үг гаргаж ирсэн боловч тэр үед үйлдлийн тэмдэг, тэнцүү тэмдэг байгаагүй тул тэгшитгэл хэрхэн бичихээ мэддэггүй байв.
Тэгшитгэлийг хэрхэн бичихийг анх олж мэдсэн хүн бол Александрын гайхамшигт эрдэмтэн Диофант юм. Александриа бол эртний ертөнцийн соёл, худалдаа, шинжлэх ухааны агуу төв байв. Энэ хот одоо ч байсаар байгаа бөгөөд энэ нь Египетийн Газар дундын тэнгисийн эрэгт байрладаг.
Диофант МЭ 3-р зуунд амьдарч байсан бололтой. мөн эртний үеийн сүүлчийн агуу математикч байсан. Түүний хоёр бүтээл бидэнд хүрч ирсэн - "Арифметик" (арван гурван номоос зургаа нь хадгалагдан үлдсэн) ба "Олон өнцөгт тоонуудын тухай" (хэсэгт). Диофантийн ажил нь алгебр, математик анализ, тооны онолын хөгжилд ихээхэн нөлөө үзүүлсэн.
Гэхдээ та Диофантийн тэгшитгэлийн талаар ямар нэг зүйлийг мэддэг ...
Диофантийн тэгшитгэлийг хүн бүр мэддэг! Эдгээр нь бага ангийн сурагчдын сонгон шалгаруулалтаар шийдэгддэг асуудлууд юм.
” Жишээ нь: "Та 96 копейкийн үнэтэй зайрмагны мөнгө, таван копейк зоостой бол хэдэн янзаар төлж чадах вэ?"
Хэрэв бид Диофантийн тэгшитгэлд ерөнхий тодорхойлолт өгвөл энэ нь нэмэлт нөхцөл бүхий алгебрийн тэгшитгэл гэж хэлж болно: түүний бүх шийдэл нь бүхэл тоо (мөн ерөнхий тохиолдолд оновчтой) байх ёстой.
” Ихэнхдээ эхчүүд (ялангуяа хөгжингүй социализмын үед сургууль төгссөн хүмүүс) ийм даалгаврын гол зорилго нь хүүхдүүдэд зайрмагны үнэ бага хэмжээгээр төлөхийг заах явдал гэж үздэг. Тиймээс тэд жижиг зүйлийг овоолох нь өнгөрсөн зүйл гэдэгт чин сэтгэлээсээ итгэлтэй байх үед тэдний хайртай долдугаар ангийн (эсвэл наймдугаар ангийн сурагч) гэнэтийн асуулт гарч ирж, "Ээж ээ, үүнийг яаж шийдэх вэ?" хоёр хувьсагчтай тэгшитгэл. Өмнө нь сургуулийн сургалтын хөтөлбөрт ийм асуудал байгаагүй (хувьсагчтай адил олон тэгшитгэл байх ёстой гэдгийг бид бүгд санаж байна) тиймээс математикч бус ээж нь ихэвчлэн тэнэгтдэг. Гэхдээ энэ бол өөрчлөлт, зайрмагны талаархи ижил асуудал бөгөөд зөвхөн ерөнхий хэлбэрээр бичигдсэн болно!
Дашрамд хэлэхэд тэд яагаад долдугаар ангид байхдаа гэнэт түүн рүү буцаж ирдэг юм бэ? Энэ нь энгийн: Диофантийн тэгшитгэлийг судлах зорилго нь математик, компьютерийн шинжлэх ухаан, програмчлалын аль алинд нь улам бүр хөгжиж буй бүхэл тооны онолын үндэс суурийг хангах явдал юм. Диофатины тэгшитгэлийг Улсын нэгдсэн шалгалтын "С" хэсгийн асуудлуудаас ихэвчлэн олдог. Хамгийн хэцүү нь юуны түрүүнд төгсөгч нь зөвийг нь сонгох ёстой олон шийдэл байдаг. Гэсэн хэдий ч шугаман Диофатины тэгшитгэлийг ax + by = c тусгай алгоритм ашиглан харьцангуй амархан шийдэж болно.
Диофантын тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритмууд
Диофантийн тэгшитгэлийг судлах нь 7-р ангиас эхлэн алгебрийн гүнзгийрүүлсэн сургалтаас эхэлдэг. Сурах бичигт Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Mindyuk ашиглан шийдэж болох зарим асуудал, тэгшитгэлүүдийг өгдөг Евклидийн алгоритмТэгээд үлдэгдлээр тоолох арга, - гэж Аэлита Бекешева хэлэв.- Хожим нь 8-9-р ангид бид өндөр эрэмбийн бүхэл тоонуудын тэгшитгэлийг авч үзэх үед сурагчдад үзүүлэв. хүчин зүйлчлэлийн арга, мөн энэ тэгшитгэлийн шийдлийн цаашдын шинжилгээ, үнэлгээний арга. Ингээд танилцуулъя бүтэн квадрат сонгох аргын тусламжтайгаар. Анхны тооны шинж чанарыг судлахдаа бид бүхэл тоон дахь тэгшитгэлийг шийдвэрлэх онолын үндсэн теоремуудын нэг болох Фермагийн жижиг теоремыг танилцуулдаг. Дээд түвшний хувьд энэ танил 10-11-р ангид үргэлжилдэг. Үүний зэрэгцээ бид хүүхдүүдэд "модуло харьцуулалтын онолыг судлах, ашиглах талаар танилцуулж, 7-9-р ангид мэддэг болсон алгоритмуудаа дадлага хийдэг. Энэ материалыг A.G.-ийн сурах бичигт маш сайн тусгасан болно. Мордкович "Алгебр ба анализын эхлэл, 10-р анги" ба Г.В. Дорофеева 10-р ангийн "Математик".
Евклидийн алгоритм
Евклидийн арга нь өөрөө математикийн өөр нэг асуудлыг хэлдэг - хамгийн том нийтлэг хуваагчийг олох: анхны хос тооны оронд шинэ хос бичигдсэн - бага тоо, анхны хосын жижиг, том тооны хоорондох зөрүү. Энэ үйлдэл нь хосын тоо тэнцүү болтол үргэлжилнэ - энэ нь хамгийн нийтлэг хүчин зүйл байх болно. Диофантийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхийн тулд алгоритмын хувилбарыг бас ашигладаг - одоо бид Юрий Шанкотой хамт"Зоосны тухай" асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэхийг жишээгээр харуулъя.
Бид шугаман диофантийн тэгшитгэлийг авч үзье ax + by = c, a, b, c, x, y нь бүхэл тоонууд. Таны харж байгаагаар нэг тэгшитгэл нь хоёр хувьсагчтай. Гэхдээ таны санаж байгаагаар бидэнд зөвхөн бүхэл үндэс хэрэгтэй бөгөөд энэ нь асуудлыг хялбаршуулдаг - тэгшитгэл нь үнэн байх хос тоог олох боломжтой.
Гэсэн хэдий ч Диофантийн тэгшитгэл нь үргэлж шийдэлтэй байдаггүй. Жишээ нь: 4x + 14y = 5. Шийдэл байхгүй, учир нь тэгшитгэлийн зүүн талд, x ба y бүхэл тоонуудын хувьд үр дүн нь тэгш тоо, 5 нь сондгой тоо байх болно. Энэ жишээг ерөнхийд нь хэлж болно. Хэрэв тэгшитгэлд байгаа бол. сүх + by = c a ба b коэффициентүүд нь бүхэл d-д хуваагддаг боловч c тоо нь d-д хуваагддаггүй бол тэгшитгэлд шийдэл байхгүй болно. Нөгөө талаас, хэрэв бүх коэффициентүүд (a, b, c) d-д хуваагддаг бол тэгшитгэлийг бүхэлд нь d-д хувааж болно.
Жишээлбэл, 4x + 14y = 8 тэгшитгэлд бүх коэффициентүүд нь 2-т хуваагдана. Тэгшитгэлийг энэ тоонд хувааж, дараахийг авна: 2𝑥 + 7𝑦 = 4. Энэ техник (тэгшитгэлийг зарим тоогоор хуваах) нь заримдаа тооцооллыг хялбарчлах боломжийг олгодог. .
Одоо нөгөө талаас нь явцгаая. Тэгшитгэлийн зүүн талын (a эсвэл b) коэффициентүүдийн нэг нь 1-тэй тэнцүү гэж үзье.Тэгвэл бидний тэгшитгэл бодитоор шийдэгдэнэ. Үнэн хэрэгтээ, жишээ нь, a = 1, тэгвэл бид ямар ч бүхэл тоог y гэж авч болно, x = c - by. Хэрэв бид анхны тэгшитгэлийг нэг коэффициент нь 1-тэй тэнцүү байх тэгшитгэл болгон бууруулж сурвал бид ямар ч шугаман диофант тэгшитгэлийг шийдэж сурах болно!
Би үүнийг жишээ болгон 2x + 7y = 4 тэгшитгэлийг ашиглан харуулах болно.
Үүнийг дараах байдлаар дахин бичиж болно: 2(x + 3y) + y = 4.
Шинэ үл мэдэгдэх z = x + 3y-г оруулъя, тэгвэл тэгшитгэл дараах байдлаар бичигдэнэ: 2z + y = 4.
Бидэнд нэг коэффициенттэй тэгшитгэл байна! Тэгвэл z нь дурын тоо, y = 4 − 2z.
Зөвхөн x-г олоход л үлдлээ: x = z − 3y = z − 3(4 − 2z) = 7z − 12.
z=1 гэж үзье. Дараа нь y=2, x=-5. 2 * (-5)+7 * 2=4
z=5 гэж үзье. Дараа нь y=-6, x=23. 2 * (23)+7 * (-6)=4
” Энэ жишээн дээр бид 2 ба 7 коэффициент бүхий тэгшитгэлээс 2 ба 1 коэффициенттэй тэгшитгэл рүү хэрхэн шилжсэнийг ойлгох нь чухал юм. Энэ тохиолдолд (мөн үргэлж!) шинэ коэффициент (энэ тохиолдолд - нэг) нь үлдэгдэл юм. Анхны коэффициентүүдийг бие биендээ хуваах (7-ыг 2).
Энэ жишээнд бид эхний орлуулалтын дараа нэн даруй азтай байсан, бид 1-ийн коэффициенттэй тэгшитгэлийг хүлээн авсан. Энэ нь үргэлж тохиолддоггүй, гэхдээ бид өмнөх заль мэхийг давтаж, шинэ үл мэдэгдэх зүйлсийг нэвтрүүлж, шинэ тэгшитгэлүүдийг бичиж болно. Эрт орой хэзээ нэгэн цагт ийм орлуулалтын дараа та 1 коэффициенттэй тэгшитгэлийг авах болно.
Илүү төвөгтэй тэгшитгэлийг шийдэхийг хичээцгээе гэж Аэлита Бекешева хэлэв.
13x - 36y = 2 тэгшитгэлийг авч үзье.
Алхам №1
36/13=2 (10 үлдсэн). Тиймээс анхны тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичиж болно: 13x-13* 2y-10y=2. Үүнийг өөрчилье: 13(x-2y)-10y=2. z=x-2y шинэ хувьсагчийг танилцуулъя. Одоо бид тэгшитгэлтэй байна: 13z-10y=2.
Алхам №2
13/10=1 (3 үлдсэн). Анхны 13z-10y=2 тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичиж болно: 10z-10y+3z=2. Үүнийг өөрчилье: 10(z-y)+3z=2. m=z-y шинэ хувьсагчийг танилцуулъя. Одоо бид тэгшитгэлтэй байна: 10m+3z=2.
Алхам №3
10/3=3 (1 үлдсэн). Анхны 10m+3z=2 тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичиж болно: 3* 3m+3z+1m=2. Үүнийг өөрчилье: 3(3м+з)+1м=2. n=3m+z шинэ хувьсагчийг танилцуулъя. Одоо бид тэгшитгэлтэй байна: 3n+1m=2.
Өө! Бид нэг коэффициенттэй тэгшитгэлтэй болсон!
m=2-3n, n нь дурын тоо байж болно. Гэсэн хэдий ч бид x ба y-г олох хэрэгтэй. Хувьсагчдыг урвуу дарааллаар солицгооё. Бид x ба y-г ямар ч тоо байж болох n-ээр илэрхийлэх ёстой гэдгийг санаарай.
y=z-m; z=n-3m, m=2-3n ⇒ z=n-3* (2-3n), y=n-3*(2-3n)-(2-3n)=13n-8; y=13n-8
x=2y+z ⇒ x=2(13n-8)+(n-3*(2-3n))=36n-22; x=36n-22
n=1 гэж үзье. Дараа нь y=5, x=24. 13 * (14)-36 * 5=2
n=5 гэж үзье. Дараа нь y=57, x=158. 13 * (158)-36 * (57)=2
Тийм ээ, үүнийг ойлгох нь тийм ч хялбар биш, гэхдээ одоо та сонголтоор шийдэгддэг асуудлуудыг ерөнхийд нь шийдэж чадна!
Тоо тааруулах асуудлыг шийдвэрлэх
Бага ангийн сурагчдад зориулсан сонгон шалгаруулалтаар шийдэж болох асуудлын жишээ: хэн хурдан шийдэхийг харахын тулд хүүхэдтэйгээ өрсөлдөөрэй: та Евклидийн алгоритмыг ашиглаж байна уу, эсвэл сонгон шалгаруулалтыг ашиглаж байгаа сурагч уу?
Сарвууны асуудал
Нөхцөл
Тахиа, туулайнууд торонд сууж байна. Тэд нийтдээ 20 сарвуутай. Хэдэн тахиа, хэдэн туулай байж болох вэ?
Шийдэл
Х тахиа, у туулайтай болцгооё. Тэгшитгэл хийцгээе: 2x+4y=20. Тэгшитгэлийн хоёр талыг хоёроор бууруулъя: x+2y=10. Иймд x=10-2y, энд x ба y эерэг бүхэл тоо байна.
Хариулах
Туулай, тахианы тоо: (1; 8), (2; 6), (3; 4), (4; 2), (5; 0)
Зөвшөөрч байна, энэ нь "торонд нэг туулай байх болтугай ..." гэснээс илүү хурдан болсон.
Зоосны тухай асуудал
Нөхцөл
Нэг худалдагч эмэгтэйд тав, хоёр рублийн зоос л байсан. Тэр 57 рублийг хэдэн аргаар цуглуулж чадах вэ?
Шийдэл
Бидэнд х хоёр рублийн, у таван рублийн зоос байг. Тэгшитгэл хийцгээе: 2x+5y=57. Тэгшитгэлийг хувиргая: 2(x+2y)+y=57. z=x+2y гэж үзье. Дараа нь 2z+y=57. Тиймээс, y=57-2z, x=z-2y=z-2(57-2z) ⇒ x=5z-114. z хувьсагч нь 23-аас бага байж болохгүй гэдгийг анхаарна уу (өөрөөр бол x, хоёр рублийн зоосны тоо сөрөг байх болно) ба 28-аас их (эсвэл y, таван рублийн зоосны тоо сөрөг байх болно). 23-аас 28 хүртэлх бүх утга нь бидний хувьд тохиромжтой.
Хариулах
Зургаан арга.
Бэлтгэсэн: Татьяна Яковлева
Боловсрол, шинжлэх ухааны яам
Оюутны шинжлэх ухааны нийгэмлэг
"Алгебр" хэсэг
Сэдэв дээр ажиллах:
"Диофантины тэгшитгэл"
Дууссан:
НЗДТГ-ын 43-р дунд сургуулийн 10 "А" ангийн сурагч
Булавина Татьяна
Шинжлэх ухааны удирдагч: Пестова
Надежда Ивановна
Нижний Новгород 2010 он
Танилцуулга
Диофантийн тэгшитгэлийн тухай
Диофант тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга
Лавлагаа
Танилцуулга
Би арифметик хэрхэн үүссэнийг сонирхож байсан тул "Диофантын тэгшитгэл" сэдвийг сонгосон.
Александрийн Диофант (3-р зуун) - Грекийн математикч. Түүний “Арифметик” номыг үе үеийн математикчид судалсан.
4-3-р зууны эртний Грекийн шинжлэх ухааны ер бусын цэцэглэлт. МЭӨ д. Шинэ эриний эхэн үед энэ нь Грекийг Ром эзлэн авсны улмаас аажмаар буурч, дараа нь Ромын эзэнт гүрний задралын эхлэлээр солигдов. Гэвч энэ бүдгэрч буйн ард тод бамбар асаж байна. МЭ 3-р зуунд Александрын математикч Диофант "Арифметик" хэмээх бүтээл гарч ирэв. Диофантийн амьдралын талаар бид зөвхөн Палатины антологид багтсан шүлгээс л мэддэг. Энэхүү антологид 6-р зууны Грекийн яруу найрагч, математикчийн цуглуулсан шүлгийн 48 бодлого багтсан болно. Метродор. Тэдний дунд усан сан, Хэроны титэм, Диофантийн амьдралын зам зэрэг асуудлууд байв. Сүүлийнх нь булшны чулуун бичээс хэлбэрээр бүтээгдсэн.
Диофантусын үнс булшинд оршдог: түүнийг гайхшруулж, чулуу
Талийгаачийн нас мэргэн урлагаар нь ярина.
Тэрээр бурхдын хүслээр хүүхэд байхдаа амьдралынхаа зургаагийн нэгийг өнгөрөөжээ.
Тэгээд би хацар дээр хөвсгөр 5 цаг хагастай уулзсан.
Найз охинтойгоо сүй тавиад дөнгөж долоо дахь өдөр байлаа.
Түүнтэй таван жил суусны эцэст мэргэн хүүгээ хүлээв.
Аавынх нь хайртай хүү амьдралынхаа хагасыг л туулсан.
Түүнийг эцгээсээ эрт булшны дэргэд авав.
Эцэг эх нь хоёр жилийн турш хоёр удаа гашуудаж байв.
Энд би гунигтай амьдралынхаа хязгаарыг олж харлаа.
“Арифметик” зохиол нь эртний математикт үүссэн цаг хугацааны хувьд төдийгүй агуулгын хувьд онцгой байр суурь эзэлдэг. Үүний дийлэнх нь тооны онолын янз бүрийн асуудлууд, тэдгээрийн шийдлүүдээс бүрддэг. Гэхдээ хамгийн чухал зүйл бол эртний Грекчүүдийн дунд Диофантийн шийдэлд алгебрийн болон тооны онолын аргуудыг урьдчилан таамаглаж байсан шиг геометрийн аргыг ашигладаггүй; Харамсалтай нь, арифметикийг бүрдүүлсэн 13 номоос эхний 6 нь л бидэнд хүрч, үлдсэн нь тухайн үеийн хямарсан цаг үеийн эргэлтэнд мөхсөн. Диофант нас барснаас хойш 100 жилийн дараа эртний Грекийн шинжлэх ухааны үнэлж баршгүй эрдэнэсийг агуулсан алдарт Александрын номын сан шатсан гэдгийг хэлэхэд хангалттай.
Диофантийн тэгшитгэл дээр.
Диофантийн арифметикийн асуудлыг тэгшитгэлийн тусламжтайгаар шийддэг тэгшитгэлийг шийдвэрлэх асуудлууд арифметикээс илүү алгебртай холбоотой байдаг. Яагаад бид эдгээр тэгшитгэлийг арифметик гэж хэлэх вэ? Үнэн хэрэгтээ эдгээр ажлууд нь тодорхой шинж чанартай байдаг.
Нэгдүгээрт, тэдгээрийг тэгшитгэл эсвэл бүхэл тооны коэффициент бүхий тэгшитгэлийн систем болгон бууруулна. Дүрмээр бол эдгээр системүүд нь тодорхойгүй, i.e. тэдгээр дэх тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тооноос бага байна.
Хоёрдугаарт, зөвхөн бүхэл тоо, ихэвчлэн байгалийн шийдлийг олох хэрэгтэй.
Эдгээрийн бүх хязгааргүй олонлогоос ийм шийдлүүдийг сонгохын тулд бүхэл тоонуудын шинж чанарыг ашиглах хэрэгтэй бөгөөд энэ нь арифметикийн талбарт аль хэдийн хамааралтай байдаг.
Диофантийн тэгшитгэл нь бүхэл тоо эсвэл оновчтой шийдийг олох шаардлагатай бүхэл тооны коэффициент бүхий алгебрийн тэгшитгэл эсвэл алгебрийн тэгшитгэлийн систем юм. Түүгээр ч барахгүй тэгшитгэл дэх үл мэдэгдэх тоо нь тэгшитгэлийн тооноос их байна. Диофантийн тэгшитгэлийн онолыг нэг ч том математикч өнгөрөөгүй.
Орчин үеийн энгийн асуудлыг авч үзье.
Худалдан авалтын хувьд та 1700 рубль төлөх шаардлагатай болно. Худалдан авагчид зөвхөн 200 рублийн үнэт цаас байдаг. ба 500 рубль. Тэр ямар аргаар төлж чадах вэ? Энэ асуултад хариулахын тулд x ба y хоёр үл мэдэгдэх 2x + 5y=17 тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хангалттай. Ийм тэгшитгэл нь хязгааргүй олон шийдтэй байдаг. Ялангуяа (x, 17-2x/5) хэлбэрийн аль ч хос тоо нь үүссэн тэгшитгэлтэй тохирч байна. Гэхдээ энэ практик асуудлын хувьд зөвхөн x ба y-ийн сөрөг бус бүхэл тоонууд тохиромжтой. Тиймээс бид асуудлын дараах томъёололд хүрнэ: 2x+5y=17 тэгшитгэлийн бүх бүх сөрөг бус шийдлүүдийг ол. Хариулт нь эцэс төгсгөлгүй тоо байхаа больсон, харин зөвхөн хоёр хос тоо (1, 3) болон (6, 1) Диофант өөрөө асуудлаа шийджээ. Түүний Арифметикийн зарим асуудлыг энд оруулав.
1. Үржвэр нь тэдгээрийн нийлбэртэй өгөгдсөн харьцаатай байхаар хоёр тоог ол.
2. Квадратуудын нийлбэр нь мөн квадрат байх гурван квадратыг ол.
3. Нийлбэрийг нь нэмэх, хасах үед үржвэр нь шоо болох хоёр тоог ол.
4. 13=2²+3² тооны хувьд квадратуудын нийлбэр нь 13 байх өөр хоёрыг ол.
Сүүлчийн асуудлын Диофантийн шийдлийг танилцуулъя. Тэрээр эхний тоог (А-аар тэмдэглэсэн) x+2-тэй тэнцүү, хоёр дахь B тоог 2x-3-тай тэнцүү болгож, x-ийн өмнөх коэффициентийг өөр гэж авч болохыг харуулж байна. Тэгшитгэл шийдвэрлэх
(x+2)²+(kx-3)²=13,
Диофант x=8/5, үүнээс A=18/5,B=1/5 гэж олжээ. Диофантын зааврыг ашиглаад B-ийн илэрхийлэлд x-ийн урд дурын коэффициент авъя. Тэгшитгэлээс дахин A=x+2, B=kx-3 гэж үзье.
(x+2)²+(kx-3)²=13
x=2(3k-2)/k²+1.
A=2(k²+3k-1)/k²+1,
B=3k²-4k-3/k²+1.
Одоо Диофантын үндэслэл тодорхой болов. Тэрээр 2²+3²=13 нөхцөлийг харгалзан үзэхэд квадрат тэгшитгэлийн зэрэглэлийг багасгах боломжийг олгодог маш тохиромжтой орлуулалтыг A=x+2, B=2x-3-ийг танилцуулж байна. B-тэй адил амжилтаар 2x+3-ыг авах боломжтой байсан ч дараа нь бид Диофант зөвшөөрөөгүй В-ийн сөрөг утгыг авдаг. Мэдээжийн хэрэг, k=2 нь А ба В эерэг байх хамгийн бага натурал тоо юм.
Diifant тэгшитгэлийг судлах нь ихэвчлэн маш их бэрхшээлтэй холбоотой байдаг. Түүнээс гадна та бүхэл тооны коэффициент бүхий F (x,y1,y2,…,yn) олон гишүүнтийг зааж өгч болох тул ямар ч бүхэл тооноос F (x,y1,y2,…) тэгшитгэл байгаа эсэхийг мэдэх боломжийг олгодог алгоритм байхгүй болно. ,yn) нь y1,…,y-тэй харьцуулахад )=0 шийдвэрлэх боломжтой. Ийм олон гишүүнтийн жишээг тодорхой бичиж болно. Тэдгээрийн шийдлийн талаар дэлгэрэнгүй тайлбар өгөх боломжгүй юм.
Диофантийн асуудлыг орчин үеийн томъёолсон нь бид Ферматад өртэй. Тодорхой бус тэгшитгэлийг зөвхөн бүхэл тоогоор шийдэх асуудлыг Европын математикчдад тавьсан хүн тэр юм. Энэ нь Фермагийн шинэ бүтээл биш гэдгийг хэлэх ёстой - тэр зөвхөн бүхэл тооны шийдлийг олох сонирхлыг сэргээсэн. Ер нь зөвхөн бүхэл тоон шийдлийг зөвшөөрдөг асуудлууд орчин үеийн математикт диофантийн тэгшитгэлийг судалж, тэдгээрийг шийдвэрлэх арга замыг эрэлхийлдэг бүхэл бүтэн чиглэл байдаг , энэ нь геометрийн аргыг нотлох баримтыг ашигладаг тул.
Хамгийн энгийн Диофантын тэгшитгэл ax+by=1, a ба b салшгүй хоёрдогч тоонууд нь хязгааргүй олон шийдтэй (х0 ба y0 нь шийдэл бол x=x0+bn, y=y0-an тоонууд, энд n нь дурын байна. бүхэл тоо нь бас шийдэл байх болно).
Диофантийн тэгшитгэлийн өөр нэг жишээ
x 2 + y 2 = z 2 . (5)
Энэ бол 2-р зэргийн диофантийн тэгшитгэл юм. Одоо бид түүний шийдлийг хайх болно. Тэдгээрийг гурвалсан тооны (x,y,z) хэлбэрээр бичих нь тохиромжтой. Тэднийг Пифагорын гурван ихэр гэж нэрлэдэг. Ерөнхийдөө (5) тэгшитгэл нь хязгааргүй тооны шийдлээр хангагдана. Гэхдээ бид зөвхөн байгалийн зүйлийг л сонирхох болно. Энэ тэгшитгэлийн бүхэл, эерэг шийдлүүд нь бүхэл талын урттай тэгш өнцөгт гурвалжны x, y, гипотенуз z-ийн уртыг төлөөлж, Пифагорын тоо гэж нэрлэдэг. Бидний даалгавар бол Пифагорын тооны бүх гурвалсан тоог олох явдал юм. Хэрэв ийм гурвалсан хоёр тоо нийтлэг хуваагчтай бол гурав дахь тоо нь мөн түүнд хуваагдана гэдгийг анхаарна уу. Тэдгээрийг бүгдийг нь нийтлэг хуваагчаар хуваавал бид Пифагорын гурвалсан тоог дахин олж авна. Энэ нь ямар ч Пифагорын гурвалсан гурваас нэг нь өөр нэг Пифагор гурвалсан руу шилжиж болно гэсэн үг бөгөөд тэдгээрийн тоо нь хосоороо харилцан анхны байдаг. Ийм гурвыг команд гэж нэрлэдэг. Мэдээжийн хэрэг, бидний даалгаврын хувьд Пифагорын анхдагч гурвын ерөнхий хэлбэрийг олоход хангалттай. Анхан шатны Пифагорын гурвалсанд хоёр тоо тэгш байж болохгүй, гэхдээ нэгэн зэрэг гурван тоо нэгэн зэрэг сондгой байж чадахгүй нь ойлгомжтой. Зөвхөн нэг сонголт үлдсэн: хоёр тоо сондгой, нэг нь тэгш байна. z нь тэгш тоо байж болохгүй гэдгийг харуулъя. Эсрэгээр нь гэж үзье: z=2m, тэгвэл x, y нь сондгой тоо. x=2k+1, y=2t+1. Энэ тохиолдолд x²+y²=4(k²+k+t²+t)+2 нийлбэр нь 4-т хуваагдахгүй, харин z²=4m² нь 4-т хуваагдана. Тэгэхээр x эсвэл y нь тэгш тоо юм. x=2u, y ба z сондгой тоо байг. z+y=2v, z-y=2w гэж тэмдэглэе. v ба w тоонууд харилцан анхны байна. Үнэн хэрэгтээ хэрэв тэд d>1 нийтлэг хуваагчтай байсан бол z=w+v ба y=v-w хоёуланд нь хуваагч байх байсан нь y ба z-ийн харьцангуй энгийн байдалтай зөрчилддөг. Нэмж дурдахад, v ба w нь өөр өөр паритеттай: тэгэхгүй бол y ба z нь тэгш байх болно. x²=(z+y)(z-y) тэгшитгэлээс u²=vw гэж гарна. v ба w нь хоёрдогч бөгөөд тэдгээрийн үржвэр нь квадрат тул хүчин зүйлүүд тус бүр нь квадрат болно. Энэ нь v=p², w= q² p ба q натурал тоонууд байгаа гэсэн үг. Мэдээжийн хэрэг, p ба q тоонууд нь хоёрдогч бөгөөд өөр өөр паритуудтай. Одоо бидэнд байна
z=p²+q² , y=p²-q²,
x²=(p²+q²)²-(p²-q²)²=4 p² q².
Үүний үр дүнд бид ямар ч анхдагч Пифагор гурвалсан (x,y,z)-ийн хувьд өөр өөр паритеттай p ба q харилцан анхны натурал тоо p>q байдгийг нотолсон.
x =2pq, y =p²-q², z = p 2 + q 2 .(6)
Томъёог ашиглан Пифагорын бүх гурвалсан тоог олж авч болно
x =2pq, y = p²-q², z = p 2 + q 2 ,
Энд m ба n нь харилцан анхны бүхэл тоо юм. Түүний бусад бүх байгалийн шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.
x=2kpq,y=k(p²-q²),z=k(х 2 + q 2 ),
Энд k нь дурын натурал тоо юм. Одоо дараах бодлогыг авч үзье: m>2 дурын натурал тоо өгөгдсөн; Нэг тал нь m-тэй тэнцүү Пифагор гурвалжин бий юу? Хэрэв бид хөл нь өгөгдсөн m урттай байхыг шаардах юм бол аль ч m-ийн хариулт эерэг байна. Үүнийг баталъя. Эхлээд m сондгой тоо байг. p=m+1/2, q=m-1/2 гэе. Бид Пифагорын гурвалсан хэсгийг авдаг
ХОТЫН ТӨСВИЙН БОЛОВСРОЛЫН БАЙГУУЛЛАГА
СМОленск хотын 28-р ДУНД СУРГУУЛЬ
СМОЛЕНСК УЛСЫН ИХ СУРГУУЛЬ
Математикийн хэсэг
Хийсвэр
Диофантийн тэгшитгэл
Ажил гүйцэтгэсэн: Евгений Игорьевич Гончаров,
11-р ангийн сурагч
Дарга: Солдатенкова Зоя Александровна,
математикийн багш
Смоленск
Би яагаад энэ сэдвийг сонирхож байна вэ?
Нэг өдөр би сурах бичгийг уншиж байхдаа Диофантийн тэгшитгэлийн тухай жижиг хажуугийн самбар олж харав. Энэ сэдвийн доторх асуудал гэдэг үг нь сонирхол татахуйц, заримдаа инээдэмтэй нөхцөлтэй байдгийг би тэр даруй анзаарсан бөгөөд тэдгээрийг шийдвэрлэх олон тооны янз бүрийн аргууд байдаг тул тэдгээр нь ердийн зүйл биш юм. Бас зарим нь надад хэцүү байсан.
Тэдгээрийг оновчтой шийдвэрлэх арга замыг хайж олсноор би энэ сэдвийг илүү сайн мэддэг болсон. Би гүнзгий шумбах тусам илүү төвөгтэй, сонирхолтой даалгавартай тулгардаг, илүү олон асуулт гарч ирэв. Энэ сэдвийн ихэнх нь сургуулийн сургалтын хөтөлбөрөөс гадуур байгааг би удалгүй ойлгосон.
Тиймээс би үйл явдлаас урьтаж онол руу гүнзгий орсонгүй (ДХБ, Хилбертийн 10-р бодлого, Фермагийн сүүлчийн теорем гэх мэт). Тэрээр зөвхөн диофантийн тэгшитгэл, тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх алгоритмуудыг эзэмшиж, тэдний нээлтийн түүхтэй нэгэн зэрэг танилцаж эхлэв.
Александрын Диофант - эртний Грекийн математикч. Шастируудад энэ эрдэмтний талаар бараг ямар ч мэдээлэл хадгалагдаагүй байна. Диофант математикийн түүхэн дэх хамгийн зугаатай нууцуудын нэгийг толилуулж байна. Түүнийг хэн байсныг, амьдралынх нь он жилүүдийг бид мэдэхгүй, Диофанттай ижил салбарт ажиллаж байсан түүний өмнөх хүмүүсийг бид мэдэхгүй.
Диофант Александрийн Hypsicles (МЭӨ 2-р зуунд амьдарч байсан эртний Грекийн математикч, одон орон судлаач) -аас иш татсан;
Александрийн Теон (Эллинизмын сүүл үеийн Грекийн математикч, МЭ 3-р зуунд амьдарч байсан гүн ухаантан, одон орон судлаач) Диофантийн тухай бичдэг;
Диофант өөрийн бүтээлээ Александрийн Дионисиус (МЭ 3-р зууны дунд үед амьдарч байсан бишоп)-д зориулжээ. Тиймээс эрдэмтэд энэ математикчийг МЭ 3-р зуунд амьдарч байсан гэж таамаглаж байна.
Максуим Плануда (МЭ 14-р зууны Грек лам) антологи нь "Диофантусын эпитаф" эпиграм-даалгаврыг агуулдаг.
Диофантийн үнс булшинд үлдсэн; түүнийг гайхшруулж - мөн чулуу
Талийгаачийн нас мэргэн урлагаар нь ярина.
Тэрээр бурхдын хүслээр хүүхэд байхдаа амьдралынхаа зургаагийн нэгийг өнгөрөөжээ.
Тэгээд би хацар дээр хөвсгөр 5 цаг хагастай уулзсан.
Долоо дахь өдөр өнгөрч байхад тэр найз охинтойгоо сүй тавьсан.
Түүнтэй таван жилийг өнгөрөөсний дараа мэргэн хүүтэй болжээ;
Аавынх нь хайртай хүү амьдралынхаа хагасыг л туулсан.
Түүнийг эцгээсээ эрт булшны дэргэд авав.
Хоёр жилийн турш эцэг эх нь маш их уй гашуугаар гашуудаж байв.
Энд би гунигтай амьдралынхаа хязгаарыг олж харлаа.
(Орчуулсан: С. Н. Бобров).
Энэ даалгавар нь энгийн шугаман тэгшитгэл зохиож, шийдвэрлэхэд чиглэгддэг.
(1/6)x+(1/12)x+(1/7)x+5+(1/2)x+4=x,
Энд x нь Диофантын амьдарсан жилийн тоо юм.
x+7x+12x+42x+9*84=84x;
x=84 - Диофант хэдэн жил амьдарсан.
Олон жилийн турш Диофант эссе бичсэн Гадаргууг хэмжих, үржүүлэх талаар , зохиол Олон өнцөгт тоонуудын тухай . Диофантийн гол ажил бол 13 номонд арифметик.
Харамсалтай нь түүний бүх бүтээл хадгалагдаагүй байна. Бидэнд хүрч ирсэн асуудлууд нь эхний болон хоёрдугаар зэргийн тодорхой тэгшитгэл, тодорхой бус тэгшитгэл болгон бууруулж болох шийдлүүдтэй 189 асуудлыг агуулдаг. Математикийн хөгжилд энэ эрдэмтний оруулсан хувь нэмэр асар их.
Диофант нь хасах үйлдлүүдийн тусгай тэмдэг, хувь хүний тодорхойлолт, үйлдлүүдийн товчилсон үгсийг танилцуулж байна. Тэр бол анхны алгебрийн хэлний зохиогч юм.
Саран дээрх тогоог Диофантын нэрээр нэрлэжээ.
Гэсэн хэдий ч Диофант ерөнхий шийдлүүдийг эрэлхийлээгүй, харин тодорхойгүй тэгшитгэлийн нэг, ихэвчлэн эерэг шийдэлд сэтгэл хангалуун байв.
Диофантийн тэгшитгэл нь амьдралын нөхцөл байдлын математик загвар юм
Математикаас хязгааргүй хол байгаа хүмүүс ч гэсэн хамгийн энгийн диофант тэгшитгэлтэй танилцаж, түүнийгээ мэдэлгүйгээр шийдэж байсан. Үнэн хэрэгтээ тэд өдөр тутмын түвшинд гарч ирдэг олон асуудлын математик загвар болж өгдөг.
Даалгавар №1
Агуулахад 16, 17, 40 кг жинтэй хайрцаг хадаастай. Хадгалагч 100 кг хадаасыг хайрцгийг нь нээхгүйгээр өгч чадах болов уу?
17 кг + 17 кг + 16 кг = 50 кг гэдгийг харахад хялбар байдаг. Дараа нь 100 кг (2 дахин их) өгөхийн тулд 17 кг жинтэй 4 хайрцаг, 16 кг жинтэй 2 хайрцаг авах шаардлагатай.
Хариулт: Тиймээ, чадна.
Энд бид азтай байсан: шийдэл нь энгийн хайлтаар ирсэн бөгөөд хариулт нь тодорхой болсон. Өөр нэг асуудлыг авч үзье:
Асуудал №2
Үзгэн дотор нэг толгойтой зуун хөлт, гурван толгойтой могой байдаг. Тэд нийтдээ 298 хөл, 26 толгойтой. Гурван толгойтой могой хэдэн хөлтэй вэ?
Үзэгэнд х зуун наст, у Горынычууд байг, могой бүр p хөлтэй байг. Эдгээр хувьсагч бүр бүхэл тоо, эерэг байх ёстой гэдгийг нэн даруй хэлье. Дараа нь:
3y=26x=26-3yx=26-3yx=26-3y
x+py=29840x+py=298120y-742=py p=120-742/y
x>026-3y>0y?8 y?8
y>0 p>0p>0 120-742/y>0>0y>0y>0y>0
p=120-742/yТэгвэл: x=5
p нь бүхэл тоо учраас p=27.25 нь бидэнд тохирохгүй.
Энэ асуудал нь эхнийхээсээ арай илүү хэцүү байсан ч хувьсагчдад хязгаарлалт оруулснаар бид хайлтыг хоёрхон тохиолдол болгон багасгаж чадсан. Цаашаа явцгаая:
Асуудал №3
Та 20.5 литр шүүсийг 0.7 литр, 0.9 литрийн багтаамжтай саванд хийнэ, ингэснээр бүх лонх дүүрэн байна. Би хэдэн лааз бэлтгэх ёстой вэ? Хамгийн бага хэдэн лааз хэрэгтэй байж болох вэ?
0.7 литрийн лаазны тоог x, y - 0.9 литр гэж үзье. Дараа нь тэгшитгэл байгуулъя:
Мэдээжийн хэрэг, тоонуудыг шууд тоолох духан дээр маш их цаг хугацаа шаардах болно. А Дэлхий дээр муухай математикт газар байхгүй © Г. Харди.
Ийм тэгшитгэлийг шийдэх аргыг авч үзье, дараа нь шууд бодлого руугаа буцаж очоод дуусгая.
Тархалтын арга
Диофантийн тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна: (x1,x2…xn)=0, P нь бүхэл тоон функц, xi хувьсагч нь бүхэл тоон утгыг авна. 2-р асуудлыг шийдвэрлэх явцад бид ax+by=c хэлбэрийн тэгшитгэлтэй тулгарсан бөгөөд a,b,c нь бүхэл тоон коэффициент, x,y нь зөвхөн бүхэл тоон утгыг авдаг хувьсагч юм. Энэ бол хоёр үл мэдэгдэх шугаман диофантийн тэгшитгэл юм.
Ийм тэгшитгэлийг шийдэх ерөнхий арга нь 12-р зуунд Энэтхэгт бий болсон. Түүний гадаад төрх нь одон орны хүсэлт, хуанлиас үүдэлтэй юм
тооцоолол. Эхлээд зөвлөмжүүд Арьябхатт Диофантийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг хийсэн. Энэ аргыг Бхаскара, Брахмагупта нар өөрөө бүтээжээ. Одоо үүнийг тараах арга гэж нэрлэдэг. Үүнийг жишээгээр харцгаая:
Жишээ No1: 19x-8y=13 тэгшитгэлийн бүх бүхэл шийдийг ол.
y-ээс x хүртэл илэрхийлье (y-ийн коэффициент хамгийн бага учраас) бүхэл тоог сонгоно уу:
у= (19х-13)/8 = (3х-13)/8 +2х
(3x-13)/8 илэрхийлэл нь бүхэл тоо байх ёстой. Үүнийг k гэж тэмдэглэе.
Дараа нь 8к=3х-13. Дээрх үйлдлийг давтан хийцгээе:
x=(8к+13)/3=2к+(2к+13)/3= (2к+13)/3. Тэгвэл 3ц=2к+13,=(3ц-13)/2=(ц-13)/2+ц= (ц-13)/2. Дараа нь 2p= h-13. h=13+2p
Тэгш байдлаас (4) h нь p-ийн бүхэл тоон утгын хувьд бүхэл тоон утгыг авдаг нь тодорхой байна.
Дараалсан орлуулалтаар (4) бид үл мэдэгдэх илэрхийллүүдийг олно: k=13+3p, x= 39+8p, эцэст нь y=91+18p.
Хариулт: (39+8х;91+18х).
Одоо хангалттай мэдлэгтэй бол 3-р даалгавар руугаа буцъя.
x=29+(2-9y)/7; let t=(2-9у)/7, энд t нь бүхэл тоо;
t=2-9y; t=(2-2ж)/7-y; let (2-2y)/7=p, энд p нь бүхэл тоо;
Y=7k, энд k нь бүхэл тоо y=1-7k, энд k нь бүхэл тоо; Дараа нь x=28+9k.
x>0; 28+9к>0;к?-3.
y>0; 1-7к>0;к?0.
Өөрөөр хэлбэл k нь дараах утгыг авч болно: -3, -2, -1.0.
x+y=1-7k+28+9k; x+y=29+2к.
Өөрөөр хэлбэл, хамгийн бага тооны лааз нь хамгийн бага k-тэй тохирч байна.
(x+y)хамгийн бага=29-6=23.
Хариулт: (28+9к;1-7к), энд k нь -3,-2,-1.0 утгыг авна. Хамгийн бага лааз 23 ширхэг байна.
Тооны өргөтгөлийн асуудал
Тоо олох, түүний хуваагч, үлдэгдлийг мэдэхэд хүргэдэг үгийн бодлого нь энэ сэдвээр үгийн бодлого дотроо онцгой, нэр хүндтэй байр суурийг эзэлдэг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Тэд бас хамгийн төвөгтэй, тиймээс сонирхолтой байдаг. Тэдгээрийн заримыг нь харцгаая.
Нэг тариачин эмэгтэй сагстай өндөг бариад зах руу явж байв. Нэг эмэгтэйг гүйцэж түрүүлсэн хайхрамжгүй морьтон сагсанд хүрч, бүх өндөг хагарчээ. Хохирлоо барагдуулахыг хүссэн тэрээр тариачин эмэгтэйгээс сагсанд хэдэн өндөг байгааг асуув. Өндөгнийхөө тоог мэдэхгүй ч 2, 3, 4, 5, 6 секундээр тавихад нэг өндөг илүү үлдэж, 7 секундээр тавихад илүүдэхгүй гэж хариулав. зүүн. Тариачин эмэгтэй зах зээлд авч явахад хамгийн бага өндөг хэд вэ?
Шийдэл: Шаардлагатай өндөгний тоог n-ээр тэмдэглээд тэгшитгэлийн системийг байгуулна.
2a+1 n-1=2a (1)=3b+1 n-1=3b (2)=4c+1 n-1=2*2c (3)=5d+1 n-1=5d (4)= 6e+1 n-1=2*3e (5)=7fn=7f
(1), (2), (3), (4), (5) тэгшитгэлээс n-1=2*3*2*5k тоо, энд k нь бүхэл тоо;
n-1=60k;n=60k+1.
Үүссэн n-ийг (7)-д орлуулахдаа 60k+1=7f тэгшитгэл гарна.
f= (60k+1)/7 = (4к+1)/7 + 8к;=(4к+1)/7, энд r нь бүхэл тоо, (1)
7r=4k+1; 4k=7r-1; k=(3r-1)/4+r;=(3r-1)/4, энд s нь бүхэл тоо
3r-1=4с; 3r=4s+1;r= (s+1)/3+r;= (s+1)/3, энд u нь бүхэл тоо, тэгвэл
s+1=3u; s= 3u-1,
өөрөөр хэлбэл, s нь бүхэл тоонд үргэлж бүхэл утгыг авдаг. Дараалсан орлуулалтаар бид дараахь зүйлийг олж авна.
r=4u-1; k=7u-2; f=420u -119.
Мэдээжийн хэрэг, u=1 үед f хамгийн бага эерэг утгыг авна, тухайлбал 301.
Хариулт: 301.
* Энэ алгоритмыг эцэс хүртэл сохроор дагаж мөрдөх шаардлагагүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Үнэн хэрэгтээ, асуудлын хүрээнд бид k-ийн бүх бүхэл утгыг олох шаардлагагүй: зөвхөн нэг буюу хамгийн жижиг нь хангалттай. Мөн (1) хувиргасны дараа бидний хайж буй k нь 5-тай тэнцүү байх нь тодорхой бөгөөд энэ нь f=60*5+1=301 гэсэн үг юм.
Хэдэн жуулчин байна гэж бодъё. Тэднийг гурваар хуваавал бид 2-ын үлдэгдэлтэй, тав болгон хуваавал - 3, долоод хуваавал - 2. Хэрэв тэдний нийт тоо 100 хүнээс хэтрэхгүй бол бүлэгт хэдэн жуулчин байна вэ.
Нийтдээ к жуулчин байх болтугай. Дараа нь:
3a+2 k=3a+2=5b+3 5b+3=3a+2=7c+2 7c+2=3a+2
Эндээс бидний шийдлийн тодорхой хэсэг мухардалд орж байна. Үүнээс гарахын тулд та дараахь зүйлийг санах хэрэгтэй.
1) a*b+c?c (мода) ? c (modb). Жишээлбэл, 15? 1 (mod 7), өөрөөр хэлбэл 15-ын тоо 7-д хуваагдахад 1-ийн үлдэгдэл үлдэнэ.
2) a*b+d? c (modr) ó a*b? c-d (modr) ó б? a(c-d) (modr) óa? b(c-d) (modr). Дараа нь:
3a+2 k=3a+2 k=3a+2
a+2? 3 (mod 5) 3a= 1 (mod 5) a ? 3 (mod 5)
a+2? 2 (mod 7) 3a= 0 (mod 7) 3a ? 0 (mod7)
3a+2 k=3a+2= 3 +5p, энд пинтегера=3 + 5p
15p? 0 (mod 7) p= -135 (mod 7)
3a+2 k=3a+2k=105d-2014=3 + 5pa=35d-672 a=35d-672=-135 + 7d, энд dinteger=-135 + 7dp= -135 + 7d
Тэгэхээр k=105d-2014. Хэрэв d=20 бол k = 86, хэрэв d бол<20 , то k<0, если d>20, дараа нь k>100. Хариулт: 86.
Үүнийг практик ач холбогдолтой болгохыг хичээцгээе, жишээлбэл, жуулчдыг тоолох гарын авлагын ерөнхий томъёог гаргаж авах болно. Нийт жуулчдын тоог 3, 5,7 гэсэн бүлэгт хуваахад r1, r2, r3 нь үлдэгдэл байх ба нийт жуулчдын тоо 100 хүнээс хэтрэхгүй хэвээр байна. Үүнтэй адил маргаж, бид дараахь зүйлийг олж авна.
3a+r1 3a? (r2-r1) (mod 5)a=3(r2-r1) + 5d, энд dinteger=5b+r2 3a+r1=7c+r39r2-8r1+15d?r3 (mod 7)=7c+r3k=3a+ 1 k=3a+1
a=3(r2-r1) + 5d d = 15(r3-9r2+8r1)+7p, энд p нь бүхэл тоо
d?15(r3-9r2+8r1) (mod 7) a = 3(r2-r1) + 5d
k=9r2-8r1+15d k = 225r3-1792r1-2016r2+105p
Хариултууд: 86; k=225r3-1792r1-2016r2+105p.
Тиймээс бид k-ийн томъёог олж авлаа. Гэхдээ r1,r2,r3-аас гадна d бүхэл тоо агуулна. Логик асуулт гарч ирнэ: k тоо нь 100-аас бага бол үргэлж өвөрмөц байдлаар тодорхойлогддог уу? 150-аас бага уу? 43? гэх мэт.
Хятадын үлдэгдэл теорем
Хятадын үлдэгдлийн теорем (CRT) - Хятадын математикч Сун Цзугийн (МЭ III зуун) зохиолд томъёолсон, Цинь Жиушао (МЭ XVIII зуун) "9 бүлэгт математикийн үндэслэл" номондоо нэгтгэсэн хэд хэдэн холбогдох мэдэгдлүүд. Энэ нь иймэрхүү сонсогдож байна:
M1, M2, …, Mk тоонууд харьцангуй анхдагч байх ба M= M1*M2*…*Mk
x?B1 (modM1)? B2 (modM2)
тоонуудын дунд өвөрмөц шийдэлтэй (0,1,…,M-1).
Энгийнээр хэлбэл, шаардлагатай жуулчдын тоо нь хуваагдсан хуваагчдын үржвэрээс бага байвал хариулт нь үргэлж хоёрдмол утгатай байх болно. 4-р асуудалд эргэн ороход нийт тоо нь 104-өөс хэтрэхгүй бол тоолох боломжтой гэж бид хэлж байна.(М-1=3*5*7-1=104). Тэгэхээр хүнийг тоолохын тулд бидний томьёогоор 225r3-1792r1-2016r2-ыг тооцоод, 105-аас бага, гэхдээ 0-ээс их тоо гарах хүртэл 105-ыг хасах хэрэгтэй. Энэ нь урт бөгөөд эвгүй. Ний нуугүй хэлэхэд ийм нарийн төвөгтэй алгоритмыг ашиглахгүйгээр зуу орчим хүний тоог тоолж болно.
Хамгийн энгийн шугаман бус диофантийн тэгшитгэлүүд
Диофант хоёр үл мэдэгдэх хоёр дахь зэрэглэлийн тодорхойгүй тэгшитгэлийг бүрэн шинжилсэн. Өндөр зэрэглэлийн тэгшитгэл, системийг шийдэхийн тулд тэрээр шинэ үеийн Европын олон математикчдын анхаарлыг татсан илүү нарийн, нарийн төвөгтэй аргуудыг боловсруулсан. Гэхдээ сургуулийн хичээл дээрх энэ төрлийн бараг бүх тэгшитгэлийг хүчин зүйлчлэлээр шийддэг.
Жишээ No2: x2-3xy+2y2=7 тэгшитгэлийг бүхэл тоогоор шийд.
x2-xy-2xy+2y2=7;
x(x-y) -2y(x-y)=7;
1*7=7;7*1=7;-1*(-7)=7;-7*(-1) гэсэн аргаар 7-ын тоог гаргаж болох нь ойлгомжтой.
Дараа нь бид тэгшитгэлийн системийг зохиож, шийднэ.
x-2y=1 x=13y=7y=6y=7 x=-5y=1 y=-6y=-1 x=-13y=-7 y=-6y=-7 x=5y=-1 y=6
Хариулт: (13;6), (-5;-6), (-13;-6), (5,6).
Жишээ No3: x5+3x4y- 5x3y2-15x2y3 + 4xy4+12y5=33 тэгшитгэлд бүхэл язгуур байхгүй гэдгийг батал.
x4(x+3y)-5x2y2 (x+3y)+4y4(x+3y)=33;
(x4- 4x2y2+4y4-x2y2)(x+3y)=33;
(x2(x2-y2)-4y2(x2-y2))(x+3y)=33;
(x-y)(x+y)(x+2y)(x-2y)(x+3y)=33;
Хэрэв y=0 бол анхны тэгшитгэл нь x5=33 хэлбэртэй болно. Тэгвэл x нь бүхэл тоо биш юм. Энэ нь y=0 хувьд энэ тэгшитгэлд бүхэл тоон шийдэл байхгүй гэсэн үг. Хэрэв y?0 бол тэгшитгэлийн зүүн талын таван хүчин зүйл бүгд өөр байна. Нөгөө талаас, 33-ын тоог дээд тал нь дөрвөн өөр хүчин зүйлийн үржвэрээр (33=1·3·11 эсвэл 33=-1·3·(-11)·(-1) гэх мэт) илэрхийлж болно. . Иймээс y?0-ийн хувьд энэ тэгшитгэлд бүхэл тоон шийд байхгүй.
Хилбертийн арав дахь асуудал
Ямар ч тохиолдолд асуулт гарч ирнэ: ямар ч диофантийн тэгшитгэлийг шийдэж болох уу, өөрөөр хэлбэл түүний үндсийг олох эсвэл байхгүй эсэхийг нотлох боломжтой юу.
1900 оны 8-р сард Олон улсын математикчдийн II их хурал болов. Үүн дээр Дэвид Гилберт 23 асуудал дэвшүүлсэн. Арав дахь нь ингэж сонсогдов.
Дурын үл мэдэгдэх болон бүхэл тоон рационал тоон коэффициент бүхий диофантийн тэгшитгэлийг өгье. Хязгаарлагдмал тооны үйлдлүүдийн дараа энэ тэгшитгэлийг рационал бүхэл тоонд шийдвэрлэх боломжтой эсэхийг тодорхойлох аргыг зааж өгнө үү.
20-р зууны олон гэгээлэг оюун ухаантнууд энэ даалгавартай тэмцэж байсан: Аксел Ту, Туралф Сколем, Эмил Пост, Жулиа Робинсон, Мартин Дэвис, Хилари Путнам, Мартина Дэвис болон бусад. Зөвхөн 1970 онд Юрий Матиясевич энэ асуудлыг алгоритмаар шийдвэрлэх боломжгүй гэсэн нотолгоог хийж гүйцэтгэсэн.
Давид Хилберт (1862 оны 1-р сарын 23 - 1943 оны 2-р сарын 14) нь математикийн олон салбарыг хөгжүүлэхэд чухал хувь нэмэр оруулсан Германы универсал математикч юм. 1910-1920-иод онд (Анри Пуанкаре нас барсны дараа) тэрээр математикчдаараа дэлхийд хүлээн зөвшөөрөгдсөн удирдагч байсан. 1970 онд Олон улсын одон орон судлалын холбоо Гилберт хэмээх нэрийг Сарны алслагдсан хэсэгт байрлах тогоонд өгчээ.
Юрий Владимирович Матиясевич (1947 оны 3-р сарын 2-нд Ленинград хотод төрсөн) - Зөвлөлт ба Оросын математикч, Математикийн хүрээлэнгийн Санкт-Петербург дахь салбарын судлаач. В.А.Стеклова РАС, ОХУ-ын Математикийн дунд сургуулийн шинжээчдийн комиссын гишүүн, Оросын ШУА-ийн академич, физик-математикийн шинжлэх ухааны доктор
diophantus тэгшитгэл математик
Дүгнэлт
Энэ сэдэв нь олон талт бөгөөд бараг асар том юм. Математикийн хөгжлийн бүхий л түүхийн туршид дэлхийд алдартай эрдэмтэд үүнийг эргэлзэж байсан нь үндэслэлгүй юм. Энэ нь математикийн үндсэн ойлголтууд болон диофантийн тэгшитгэлийн мэдлэгийг хөндсөн нь миний бодлоор хэзээ ч бүрэн гүйцэд биш юм.
Энэхүү эссэ бичих явцад би дисперсийн аргыг эзэмшиж, үлдэгдлийн талаархи бодлогуудын тэгшитгэлийн системийг шийдэж сурсан бөгөөд диофант тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг эзэмшсэн түүхтэй танилцсан.
Эрт дээр үеэс ухаалаг, сүр жавхлантай байсан математикийн ертөнцөд бид зам мөрийг дагаж байна.
Гэхдээ хүн бүр анхдагч болж чадна: эхлээд өөртөө, ирээдүйд, магадгүй бусдад ...
Би тодорхойгүй тэгшитгэлийг шийдвэрлэх мэдлэгээ өргөжүүлэн энэ сэдвээр үргэлжлүүлэн ажиллах бодолтой байна. Шинэ шийдлийн аргуудыг судлах нь аливаа хүний мэдлэгийг баяжуулдаг, ялангуяа Улсын нэгдсэн шалгалтанд (C6) хамааралтай болж магадгүй юм.
Ашигласан уран зохиолын жагсаалт
1. “Квант” сэтгүүл 1970 он №7
.“Залуу математикчийн нэвтэрхий толь” 520 х.
Http://ilib.mirror1.mccme.ru/djvu/serp-int_eq.htm
Пичугин Л.Ф. “Алгебрийн сурах бичгийн хуудасны ард”, М., 1990, 224 х.
Глэйзер Г.И. “10-11 дүгээр сургуулийн математикийн түүх”, 351с
Петраков I.A. "Сониуч хүмүүст зориулсан математик", М., 2000 он. 256с.
Http://bars-minsk.narod.ru/teachers/diofant.html
Багшлах
Сэдвийг судлахад тусламж хэрэгтэй байна уу?
Манай мэргэжилтнүүд таны сонирхсон сэдвээр зөвлөгөө өгөх эсвэл сургалтын үйлчилгээ үзүүлэх болно.
Өргөдлөө илгээнэ үүзөвлөгөө авах боломжийн талаар олж мэдэхийн тулд яг одоо сэдвийг зааж байна.
Алгебрийн тэгш бус байдал эсвэл тэдгээрийн шийдлийг интеграл эсвэл бүхэл тоогоор хайж буй рационал коэффициент бүхий системүүд. Дүрмээр бол Диофантийн тэгшитгэлийн үл мэдэгдэх тоо илүү их байдаг. Тиймээс тэдгээрийг тодорхойгүй тэгш бус байдал гэж нэрлэдэг. Орчин үеийн математикт дээрх ойлголтыг алгебрийн тэгшитгэлд ашигладаг бөгөөд тэдгээрийн шийдлийг Q-рациональ хувьсагчдын талбар, p-адик хувьсагчийн талбар гэх мэт зарим өргөтгөлийн алгебрийн бүхэл тоогоор хайдаг.
Эдгээр тэгш бус байдлын гарал үүсэл
Диофантын тэгшитгэлийн судалгаа нь тооны онол ба алгебрийн геометрийн зааг дээр оршдог. Бүхэл тоон хувьсагчдаас шийдлийг олох нь математикийн хамгийн эртний асуудлуудын нэг юм. МЭӨ 2-р мянганы эхээр аль хэдийн. Эртний Вавилончууд хоёр үл мэдэгдэх тэгшитгэлийн системийг шийдэж чадсан. Математикийн энэ салбар Эртний Грекд хамгийн их хөгжсөн. Диофантийн арифметик (МЭ 3-р зуун) нь янз бүрийн төрөл, тэгшитгэлийн системийг агуулсан чухал бөгөөд томоохон эх сурвалж юм.
Энэ номонд Диофант 19-р зуунд бүрэн боловсруулсан хоёр ба гуравдугаар зэргийн тэгш бус байдлыг судлах хэд хэдэн аргыг урьдчилан харсан. Эртний Грекийн энэ судлаач оновчтой тооны онолыг бий болгосноор тодорхойгүй системүүдийн логик шийдлүүдийн дүн шинжилгээ хийхэд хүргэсэн бөгөөд үүнийг номондоо системтэйгээр мөрддөг. Хэдийгээр түүний ажил нь тодорхой Диофантины тэгшитгэлийн шийдлүүдийг агуулдаг боловч тэрээр хэд хэдэн ерөнхий аргуудыг мэддэг байсан гэж үзэх үндэслэл бий.
Эдгээр тэгш бус байдлыг судлах нь ихэвчлэн ноцтой бэрхшээлтэй тулгардаг. Эдгээр нь бүхэл тооны коэффициент F (x,y1,…, y n) бүхий олон гишүүнтүүдийг агуулдаг тул. Үүний үндсэн дээр F (x, y 1 ,…., y n) тэгшитгэл хангагдаж байгаа эсэхийг ямар ч өгөгдсөн x-ийн хувьд тодорхойлох боломжтой ганц алгоритм байхгүй гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн. Нөхцөл байдал y 1, ..., y n үед шийдэгдэх боломжтой. Ийм олон гишүүнтийн жишээг бичиж болно.
Хамгийн энгийн тэгш бус байдал
ax + by = 1, энд a ба b нь харьцангуй бүхэл ба анхны тоонууд бол түүнд зориулсан маш олон тооны гүйцэтгэл байдаг (хэрэв x 0, y 0 бол үр дүн үүссэн бол x = x 0 + b n хос хувьсагч ба y = y 0 -an, энд n нь дур зоргоороо байвал тэгш бус байдлыг хангасан гэж үзнэ). Диофантийн тэгшитгэлийн өөр нэг жишээ бол x 2 + y 2 = z 2 юм. Энэ тэгш бус байдлын эерэг интеграл шийдлүүд нь жижиг талуудын уртууд юм x, y ба тэгш өнцөгт гурвалжнууд, түүнчлэн бүхэл талын хэмжээс бүхий гипотенуз z. Эдгээр тоонуудыг Пифагорын тоо гэж нэрлэдэг. Дээр дурдсан энгийн хувьсагчтай холбоотой бүх гурвалсан тоонуудыг x=m 2 - n 2, y = 2mn, z = m 2 + n 2 томъёогоор өгөгдсөн бөгөөд энд m ба n нь бүхэл тоо, анхны тоо (m>n>0) байна. ).
Диофант "Арифметик"-дээ өөрийн тэгш бус байдлын тусгай төрлүүдийн оновчтой (интеграл байх албагүй) шийдлийг эрэлхийлдэг. Нэгдүгээр зэргийн диофант тэгшитгэлийг шийдэх ерөнхий онолыг 17-р зуунд C. G. Bachet боловсруулсан. 19-р зууны эхэн үеийн бусад эрдэмтэд ax 2 +bxy + cy 2 + dx +ey +f = 0 төрлийн ижил төстэй тэгш бус байдлыг голчлон судалж, a, b, c, d, e, f нь ерөнхий, нэг төрлийн бус, Хоёрдугаар зэргийн үл мэдэгдэх хоёр . Лагранж судалгаандаа үргэлжилсэн бутархайг ашигласан. Гаусс тодорхой төрлийн шийдлийн үндэс суурь болох квадрат хэлбэрийн ерөнхий онолыг боловсруулсан.
Эдгээр хоёрдугаар зэргийн тэгш бус байдлыг судлахад зөвхөн 20-р зуунд мэдэгдэхүйц ахиц дэвшил гарсан. A. Thue Диофантийн тэгшитгэл нь a 0 x n + a 1 x n-1 y +…+a n y n =c, энд n≥3, a 0 ,…,a n,c нь бүхэл тоо, 0 t n + … + a n болохыг тогтоожээ. хязгааргүй тооны бүхэл тооны шийдтэй байж болохгүй. Гэсэн хэдий ч Thue-ийн аргыг зохих ёсоор хөгжүүлээгүй. А.Бейкер ийм төрлийн тодорхой тэгшитгэлийн гүйцэтгэлийн тооцоог өгдөг үр дүнтэй теоремуудыг бүтээжээ. B. N. Delaunay эдгээр тэгш бус байдлын нарийвчилсан ангилалд хамаарах судалгааны өөр аргыг санал болгосон. Ялангуяа ax 3 + y 3 = 1 хэлбэр нь ийм байдлаар бүрэн шийдэгддэг.
Диофатины тэгшитгэл: шийдлийн аргууд
Диофантийн онол олон чиглэлтэй. Иймд энэ системийн нэгэн сайн мэдэх асуудал бол n ≥ 3 байвал диофантийн тэгшитгэлийн x n + y n = z n гэсэн өчүүхэн бус шийдэл байхгүй гэсэн таамаглал юм (Фермагийн асуулт). Бүхэл тооны тэгш бус байдлын биелэлтийг судлах нь Пифагорын гурвалсан асуудлын жам ёсны ерөнхий дүгнэлт юм. Эйлер n = 4-ийн хувьд Фермагийн асуудлын эерэг шийдлийг олж авсан. Энэ үр дүнгийн ачаар n нь сондгой анхны тоо бол бүхэл тоо байхгүй, тэг биш тэгшитгэлийн судалгаатай холбоотой.
Шийдвэртэй холбоотой судалгаа дуусаагүй байна. Үүнийг хэрэгжүүлэхэд тулгарч буй бэрхшээл нь алгебрийн бүхэл тоонуудын цагираг дахь энгийн хүчин зүйлчлэл нь өвөрмөц биш байдагтай холбоотой юм. Энэ систем дэх n анхны илтгэгчийн олон ангиллын хуваагчийн онол нь Фермагийн теоремын үнэн зөвийг батлах боломжийг олгодог. Тиймээс одоо байгаа арга, техникийг ашиглан хоёр үл мэдэгдэх шугаман диофантийн тэгшитгэлийг гүйцэтгэдэг.
Тодорхойлсон даалгаврын төрөл, төрлүүд
Алгебрийн бүхэл тоон цагирагийн арифметикийг бусад олон асуудал, диофант тэгшитгэлийн шийдлүүдэд ашигладаг. Жишээлбэл, N(a 1 x 1 +…+ a n x n) = m хэлбэрийн тэгш бус байдлыг хангахад ийм аргыг ашигласан бөгөөд N(a) нь a-ийн норм бөгөөд x 1 , …, x n интеграл рационал хувьсагчдыг олсон. . Энэ ангид Pell-ийн тэгшитгэл x 2- dy 2 =1 багтана.
1, ..., a n гэсэн утгууд гарч ирэх бөгөөд эдгээр тэгшитгэлийг хоёр төрөлд хуваана. Эхний төрөл буюу бүрэн хэлбэр гэж нэрлэгддэг тэгшитгэлүүд нь Q (a1,. ., a n) гаруй Q. Бүрэн бус зүйл гэж a i-ийн хамгийн их тоо нь m-ээс бага байдаг.
Урт хэлбэрүүд нь илүү энгийн, судалгаа бүрэн хийгдсэн, бүх шийдлүүдийг тайлбарлаж болно. Хоёр дахь төрөл - бүрэн бус төрөл зүйл нь илүү төвөгтэй бөгөөд ийм онолыг боловсруулах ажил хараахан дуусаагүй байна. Ийм тэгшитгэлийг F(x,y)=C тэгш бус байдлыг багтаасан диофантийн ойролцоо тооцоолол ашиглан судалдаг ба F (x,y) нь n≥3 зэрэглэлийн олон гишүүнт бөгөөд бууруулж болохгүй, нэгэн төрлийн байна. Тиймээс бид y i → ∞ гэж үзэж болно. Үүний дагуу хэрэв y i хангалттай том бол тэгш бус байдал нь Thue, Siegel, Roth-ийн теоремтой зөрчилдөх бөгөөд үүнээс F(x,y)=C, F нь 3-р зэрэг буюу түүнээс дээш зэрэглэлийн хэлбэр, бууруулж болохгүй гэж гарна. хязгааргүй олон шийдэлтэй.
Энэ жишээ нь бүх хүмүүсийн дунд нэлээд явцуу ангиллыг бүрдүүлдэг. Жишээлбэл, энгийн байдлаас үл хамааран x 3 + y 3 + z 3 = N, түүнчлэн x 2 + y 2 + z 2 + u 2 = N нь энэ ангилалд хамаарахгүй. Шийдлийн судалгаа нь Диофантийн тэгшитгэлийн нэлээд сайтар судлагдсан салбар бөгөөд үндэс нь тоонуудыг квадрат хэлбэрээр дүрслэх явдал юм. Лагранж бүх натурал N-д сэтгэл ханамж байдаг гэсэн теоремыг бүтээжээ. Аливаа натурал тоог гурван квадратын нийлбэрээр (Гауссын теорем) төлөөлж болох боловч энэ нь 4 a (8K-1) хэлбэртэй байж болохгүй, энд a ба k нь сөрөг бус бүхэл үзүүлэлт юм.
F (x 1, ..., x n) = a төрлийн диофант тэгшитгэлийн системийн рационал буюу интеграл шийдлүүд, энд F (x 1, ..., x n) нь бүхэл тооны коэффициент бүхий квадрат хэлбэр юм. Ийнхүү Минковски-Хассе теоремын дагуу a ij ба b нь рациональ байх ∑a ij x i x j = b тэгш бус байдал нь зөвхөн энэ бүтцээр шийдэгдэх боломжтой тохиолдолд p анхны p бүрийн хувьд бодит ба p-адик тоонуудын интеграл шийдтэй байна.
Төрөлхийн хүндрэлтэй учраас гуравдугаар зэрэг болон түүнээс дээш зэрэг дурын хэлбэртэй тоонуудыг судлах нь бага хэмжээгээр судлагдсан. Хэрэгжүүлэх гол арга бол тригонометрийн нийлбэрийн арга юм. Энэ тохиолдолд тэгшитгэлийн шийдүүдийн тоог Фурье интегралаар тодорхой бичнэ. Үүний дараа харгалзах тохирлын тэгш бус байдлын биелэлтийн тоог илэрхийлэхийн тулд хүрээлэх аргыг ашиглана. Тригонометрийн нийлбэрийн арга нь тэгш бус байдлын алгебрийн шинж чанараас хамаарна. Шугаман диофантийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх олон тооны энгийн аргууд байдаг.
Диофантийн шинжилгээ
Геометрийн аргыг ашиглан алгебрийн тэгшитгэлийн системийн интеграл ба рационал шийдлүүдийг судалдаг математикийн нэг салбар. 19-р зууны хоёрдугаар хагаст энэхүү тооны онол гарч ирснээр коэффициент бүхий дурын талбараас диофантийн тэгшитгэлийг судлахад хүргэсэн бөгөөд шийдлүүдийг түүний дотор эсвэл цагирагт нь авч үзсэн. Алгебрийн функцүүдийн систем нь тоонуудтай зэрэгцэн хөгжсөн. Д.Хилберт, тэр дундаа Л.Кронекерийн онцлон тэмдэглэсэн энэ хоёрын үндсэн зүйрлэл нь ихэвчлэн глобал гэж нэрлэгддэг янз бүрийн арифметик ухагдахууныг нэгэн жигд бүтээхэд хүргэсэн.
Хэрэв судалж буй тогтмолуудын хязгаарлагдмал талбар дээрх алгебрийн функцууд нэг хувьсагчтай байвал энэ нь ялангуяа мэдэгдэхүйц юм. Ангийн талбайн онол, хуваагч, салаалах, үр дүн гэх мэт ойлголтууд нь дээр дурдсан сайн жишээ юм. Энэхүү үзэл бодлыг диофантийн тэгш бус байдлын системд хожим нь хүлээн зөвшөөрсөн бөгөөд зөвхөн тоон үзүүлэлтээр төдийгүй функц болох коэффициент бүхий системчилсэн судалгаа зөвхөн 1950-иад оноос эхэлсэн. Энэ хандлагын шийдвэрлэх хүчин зүйлүүдийн нэг нь алгебрийн геометрийн хөгжил байв. Нэг сэдвийн адил чухал хоёр тал болох тооны талбар, функцийг нэгэн зэрэг судлах нь гоёмсог бөгөөд үнэмшилтэй үр дүнг гаргаад зогсохгүй, хоёр сэдвийг хөндлөн огтлолцоход хүргэсэн.
Алгебрийн геометрийн хувьд олон янзын тухай ойлголтыг өгөгдсөн K талбар дээрх хувьсах бус тэгш бус байдлын багцаар сольж, тэдгээрийн шийдлийг K утгууд эсвэл түүний хязгаарлагдмал өргөтгөлтэй оновчтой цэгүүдээр сольдог. Үүний дагуу бид диофантийн геометрийн үндсэн ажил бол X (K) алгебрийн олонлогийн оновчтой цэгүүдийг судлах явдал юм гэж хэлж болно, X нь K талбарт тодорхой тоонууд байна. Бүхэл тоон гүйцэтгэл нь шугаман диофантийн тэгшитгэлд геометрийн утгатай байдаг.
Тэгш бус байдлын судалгаа ба хэрэгжүүлэх хувилбарууд
Алгебрийн сортуудын оновчтой (эсвэл интеграл) цэгүүдийг судлахдаа хамгийн түрүүнд үүсэх асуудал бол тэдгээрийн оршин тогтнох явдал юм. Гильбертийн арав дахь асуудлыг энэ асуултыг шийдвэрлэх ерөнхий аргыг олох асуудал гэж томъёолсон болно. Алгоритмын нарийн тодорхойлолтыг бий болгох явцад олон тооны асуудалд ийм хэрэгжилт байхгүй нь батлагдсаны дараа асуудал нь илт сөрөг үр дүнд хүрсэн бөгөөд хамгийн сонирхолтой асуулт бол Диофантийн ангиллын тодорхойлолт юм. Дээрх систем байгаа тэгшитгэлүүд. Алгебрийн үүднээс авч үзвэл хамгийн жам ёсны арга бол Хассе зарчим гэж нэрлэгддэг: анхны K талбарыг бүх боломжит тооцооллын дагуу K v төгсгөлийн хамт судалдаг. X(K) = X(K v) нь оршин байх зайлшгүй нөхцөл бөгөөд K цэг нь X(K v) олонлогууд бүх v хувьд хоосон биш гэдгийг харгалзан үздэг.
Үүний ач холбогдол нь хоёр асуудлыг хамтад нь авчирдагт оршино. Хоёр дахь нь илүү энгийн бөгөөд үүнийг сайн мэддэг алгоритмаар шийдэж болно. X нь проекктив байх онцгой тохиолдолд Хенселийн лемма ба түүний ерөнхий дүгнэлтүүд нь цаашдын бууралтыг боломжтой болгодог: асуудлыг хязгаарлагдмал талбар дээрх оновчтой цэгүүдийг судлах хүртэл багасгаж болно. Дараа нь тэрээр тууштай судалгаа эсвэл илүү үр дүнтэй аргуудын тусламжтайгаар үзэл баримтлалыг бий болгохоор шийддэг.
Хамгийн сүүлд анхаарах зүйл бол X(K v) олонлогууд нь хязгаарлагдмал тооноос бусад бүх v-ийн хувьд хоосон биш байдаг тул нөхцлийн тоо үргэлж хязгаарлагдмал байдаг бөгөөд үүнийг үр дүнтэйгээр шалгаж болно. Гэсэн хэдий ч Хассегийн зарчим градусын муруйд хамаарахгүй. Жишээлбэл, 3x 3 + 4y 3 =5 нь бүх p-adic тооны талбарууд болон системд оноотой боловч оновчтой цэггүй.
Энэ арга нь Хассегийн зарчмаас "газайлт" хийх Абелийн сортуудын үндсэн нэгэн төрлийн орон зайн ангиллыг тодорхойлсон үзэл баримтлалыг бий болгох эхлэлийн цэг болсон юм. Энэ нь олон талт бүртэй (Тэйт-Шафаревичийн бүлэг) холбоотой байж болох тусгай бүтцийн хувьд тодорхойлогддог. Онолын гол бэрхшээл нь бүлгүүдийг тооцоолох аргуудыг олж авахад хэцүү байдаг. Энэ ойлголт нь алгебрийн сортуудын бусад ангиудад бас өргөжсөн.
Тэгш бус байдлыг хангах алгоритмыг хайх
Диофантийн тэгшитгэлийг судлахад ашигладаг өөр нэг эвристик санаа бол хэрэв тэгш бус байдлын багцад хамаарах хувьсагчдын тоо их байвал систем нь ихэвчлэн шийдэлтэй байдаг. Гэсэн хэдий ч энэ нь ямар нэгэн тодорхой тохиолдолд нотлоход маш хэцүү байдаг. Энэ төрлийн асуудалд ерөнхий хандлага нь аналитик тооны онолыг ашигладаг бөгөөд тригонометрийн нийлбэрүүдийн тооцоонд суурилдаг. Энэ аргыг анх тусгай төрлийн тэгшитгэлд хэрэглэж байсан.
Гэсэн хэдий ч, хэрэв сондгой зэрэглэлийн хэлбэр нь d ба n хувьсагчтай, рационал коэффициент бүхий F байвал d-тэй харьцуулахад n нь хангалттай том, тиймээс хэтийн хэт гадаргуу F = 0 нь оновчтой цэгтэй болох нь түүний тусламжтайгаар батлагдсан. Артина таамаглалын дагуу энэ үр дүн n > d 2 байсан ч үнэн болно. Энэ нь зөвхөн квадрат хэлбэрийн хувьд батлагдсан. Үүнтэй төстэй асуудлуудыг бусад салбарт асууж болно. Диофантийн геометрийн гол асуудал бол бүхэл тоо буюу рационал цэгүүдийн олонлогын бүтэц, тэдгээрийг судлах явдал бөгөөд хамгийн түрүүнд тодруулах асуулт бол энэ олонлог төгсгөлтэй эсэх юм. Энэ асуудлын хувьд системийн зэрэг нь хувьсагчийн тооноос хамаагүй их байвал нөхцөл байдал нь ихэвчлэн хязгаарлагдмал тооны гүйцэтгэлтэй байдаг. Энэ бол үндсэн таамаглал юм.
Шугаман ба муруй дээрх тэгш бус байдал
X(K) бүлгийг r зэрэглэлийн чөлөөт бүтэц ба n эрэмбийн төгсгөлөг бүлгийн шууд нийлбэрээр илэрхийлж болно. 1930-аад оноос хойш эдгээр тоонууд нь өгөгдсөн K талбар дээрх бүх зууван муруйнуудын олонлогт хязгаарлагдсан эсэх тухай асуултыг n-ийн мушгиралтын хязгаарлагдмал байдлыг 70-аад онд харуулсан. Функциональ тохиолдолд дурын өндөр зэрэглэлийн муруйнууд байдаг. Тоон тохиолдолд энэ асуултын хариулт одоог хүртэл алга байна.
Эцэст нь, Морделлийн таамаглалд g>1 төрлийн муруйн хувьд интеграл цэгийн тоо хязгаарлагдмал байна гэж заасан. Функциональ тохиолдолд энэ үзэл баримтлалыг 1963 онд Ю. Диофантийн геометрийн төгсгөлийн теоремуудыг батлахад ашигладаг гол хэрэгсэл бол өндөр юм. Нэгээс дээш хэмжээсийн алгебрийн сортуудаас зууван муруйны өндөр хэмжээст аналог болох Абелийн сортууд хамгийн нарийн судлагдсан байдаг.
А.Вейл рационал цэгүүдийн бүлгийн генераторын тооны хязгаарлагдмал байдлын тухай теоремыг дурын хэмжээст Абелийн сортуудад (Морделл-Вейлийн үзэл баримтлал) ерөнхийлж, өргөтгөсөн. 1960-аад онд Хусан ба Свиннертон-Дайерын таамаглал гарч ирснээр энэ болон олон талт хэсгийн бүлэг, зета функцүүд сайжирсан. Энэ таамаглалыг тоон баримт нотолж байна.
Шийдвэрлэх чадварын асуудал
Асуудал нь аливаа Диофантийн тэгшитгэлийн шийдэлтэй эсэхийг тодорхойлох алгоритмыг олох явдал юм. Асуудлын чухал шинж чанар бол аливаа тэгш бус байдалд тохирсон бүх нийтийн аргыг хайх явдал юм. Ийм арга нь P21+⋯+P2k=0.п1= 0,..., PK= 0п = 0,...,пК = 0 эсвэл р21+ ⋯ + P2К=-тэй тэнцэх тул дээрх системийг шийдвэрлэх боломж олгоно. 0. p12+⋯+pK2=0. Бүхэл тоон дахь шугаман тэгш бус байдлын шийдлийг олох ийм түгээмэл аргыг олох асуудлыг Д. Гилберт.
1950-иад оны эхээр Диофантины тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритм байхгүй гэдгийг нотлох зорилготой анхны судалгаанууд гарч ирэв. Энэ үед Дэвисийн таамаглал гарч ирсэн бөгөөд энэ нь ямар ч тоолж болох олонлог нь Грекийн эрдэмтэнд хамаарна гэсэн үг юм. Учир нь алгоритмын хувьд шийдэгдээгүй олонлогуудын жишээнүүд мэдэгдэж байгаа боловч рекурсив тоолох боломжтой байдаг. Үүнээс үзэхэд Дэвисийн таамаг үнэн бөгөөд эдгээр тэгшитгэлийн шийдвэрлэх чадварын асуудал сөрөг шийдэлтэй байна.
Үүний дараа Дэвисийн таамаглалын хувьд нэгэн зэрэг шийдэлтэй (эсвэл үгүй) тэгш бус байдлыг хувиргах арга байдаг гэдгийг батлахад л үлдэж байна. Диофантийн тэгшитгэлийн ийм өөрчлөлт нь заасан хоёр шинж чанартай бол боломжтой болохыг харуулсан: 1) энэ төрлийн аливаа шийдэлд. v≤уу; 2) хэнд ч кэкспоненциал өсөлттэй гүйцэтгэл байдаг.
Энэ ангиллын шугаман диофантийн тэгшитгэлийн жишээ нь нотолгоог гүйцэтгэсэн. Эдгээр тэгш бус байдлыг оновчтой тоогоор шийдвэрлэх, хүлээн зөвшөөрөх алгоритм байгаа эсэх асуудал нь хангалттай судлагдаагүй чухал бөгөөд нээлттэй асуулт хэвээр байна.
Люминесценц: төрөл, арга, хэрэглээ
Органик химийн үндсэн зарчим Органик урвалын ангилал
Багш, багш хоёрын ялгаа Багш, багш хоёрын ялгаа юу вэ