Нэг цэг хүртэлх зайг хэрхэн олох вэ. Хавтгай дээрх хоёр цэгийн хоорондох зай

Сайн уу,

Ашигласан PHP:

Хүндэтгэсэн, Александр.

Сайн уу,

Би нэг асуудалтай нэлээд удаан тэмцэж байна: Би бие биенээсээ 30-1500 метрийн зайд байрлах дурын хоёр цэгийн хоорондох зайг тооцоолохыг оролдож байна.

Ашигласан PHP:

$cx=31.319738; //x эхний цэгийн координат
$cy=60.901638; //y эхний цэгийн координат

$x=31.333312; //x хоёр дахь цэгийн координат
$y=60.933981; //y хоёр дахь цэгийн координат

$mx=abs($cx-$x); //X-ийн зөрүүг тооцоол (эхний хөл зөв гурвалжин), функц abs(x) - x x тооны модулийг буцаана
$my=abs($cy-$y); //тоглогчдын ялгааг тооцоолох (баруун гурвалжны хоёр дахь хөл)

$ dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($my,2)); //Метро хүртэлх зайг авна (Дүрмийн дагуу гипотенузын урт нь хөлийн квадратуудын нийлбэрийн үндэстэй тэнцүү байна)

Хэрэв энэ нь тодорхойгүй бол тайлбарлая: Би хоёр цэгийн хоорондох зайг тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз гэж төсөөлж байна. Дараа нь хоёр цэг бүрийн X-ийн зөрүү нь хөлүүдийн нэг байх ба нөгөө хөл нь ижил хоёр цэгийн I-ийн зөрүү болно. Дараа нь X ба Y-ийн хоорондох ялгааг тооцоолсноор гипотенузын уртыг (өөрөөр хэлбэл хоёр цэгийн хоорондох зай) томъёогоор тооцоолж болно.

Энэ дүрэм нь декартын координатын системд сайн ажилладаг гэдгийг би мэднэ, гэхдээ энэ нь урт координатаар их бага хэмжээгээр ажиллах ёстой, учир нь хоёр цэгийн хоорондох хэмжсэн зай нь ач холбогдолгүй (30-аас 1500 метр хүртэл).

Гэвч энэ алгоритмын дагуу зайг буруу тооцсон (жишээлбэл, энэ алгоритмаар тооцсон 1-р зай нь 2-р зайнаас ердөө 13%-иар хэтэрсэн байхад бодит байдал дээр 1-р зай 1450 метр, 2-р зай 970 метртэй тэнцүү байна. Энэ нь үнэндээ ялгаа бараг 50% хүрдэг).

Хэрэв хэн нэгэн тусалж чадвал би маш их талархах болно.

Хүндэтгэсэн, Александр.

","contentType":"text/html"),"proposedBody":("эх сурвалж":"

Сайн уу,

Би нэг асуудалтай нэлээд удаан тэмцэж байна: Би бие биенээсээ 30-1500 метрийн зайд байрлах дурын хоёр цэгийн хоорондох зайг тооцоолохыг оролдож байна.

Ашигласан PHP:

$cx=31.319738; //x эхний цэгийн координат
$cy=60.901638; //y эхний цэгийн координат

$x=31.333312; //x хоёр дахь цэгийн координат
$y=60.933981; //y хоёр дахь цэгийн координат

$mx=abs($cx-$x); //х (тэгш өнцөгт гурвалжны эхний өнцөг)-ийн зөрүүг тооцоолох, abs(x) функц - x x тооны модулийг буцаана.
$my=abs($cy-$y); //тоглогчдын ялгааг тооцоолох (баруун гурвалжны хоёр дахь хөл)

$ dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($my,2)); //Метро хүртэлх зайг авна (Дүрмийн дагуу гипотенузын урт нь хөлийн квадратуудын нийлбэрийн үндэстэй тэнцүү байна)

Хэрэв энэ нь тодорхойгүй бол тайлбарлая: Би хоёр цэгийн хоорондох зайг тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз гэж төсөөлж байна. Дараа нь хоёр цэг бүрийн X-ийн зөрүү нь хөлүүдийн нэг байх ба нөгөө хөл нь ижил хоёр цэгийн I-ийн зөрүү болно. Дараа нь X ба Y-ийн хоорондох ялгааг тооцоолсноор гипотенузын уртыг (өөрөөр хэлбэл хоёр цэгийн хоорондох зай) томъёогоор тооцоолж болно.

Энэ дүрэм нь декартын координатын системд сайн ажилладаг гэдгийг би мэднэ, гэхдээ энэ нь урт координатаар их бага хэмжээгээр ажиллах ёстой, учир нь хоёр цэгийн хоорондох хэмжсэн зай нь ач холбогдолгүй (30-аас 1500 метр хүртэл).

Гэвч энэ алгоритмын дагуу зайг буруу тооцсон (жишээлбэл, энэ алгоритмаар тооцсон 1-р зай нь 2-р зайнаас ердөө 13%-иар хэтэрсэн байхад бодит байдал дээр 1-р зай 1450 метр, 2-р зай 970 метртэй тэнцүү байна. Энэ нь үнэндээ ялгаа бараг 50% хүрдэг).

Хэрэв хэн нэгэн тусалж чадвал би маш их талархах болно.

Хүндэтгэсэн, Александр.

Сайн уу,

Би нэг асуудалтай нэлээд удаан тэмцэж байна: Би бие биенээсээ 30-1500 метрийн зайд байрлах дурын хоёр цэгийн хоорондох зайг тооцоолохыг оролдож байна.

Ашигласан PHP:

$cx=31.319738; //x эхний цэгийн координат
$cy=60.901638; //y эхний цэгийн координат

$x=31.333312; //x хоёр дахь цэгийн координат
$y=60.933981; //y хоёр дахь цэгийн координат

$mx=abs($cx-$x); //х (тэгш өнцөгт гурвалжны эхний өнцөг)-ийн зөрүүг тооцоолох, abs(x) функц - x x тооны модулийг буцаана.
$my=abs($cy-$y); //тоглогчдын ялгааг тооцоолох (баруун гурвалжны хоёр дахь хөл)

$ dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($my,2)); //Метро хүртэлх зайг авна (Дүрмийн дагуу гипотенузын урт нь хөлийн квадратуудын нийлбэрийн үндэстэй тэнцүү байна)

Хэрэв энэ нь тодорхойгүй бол тайлбарлая: Би хоёр цэгийн хоорондох зайг тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз гэж төсөөлж байна. Дараа нь хоёр цэг бүрийн X-ийн зөрүү нь хөлүүдийн нэг байх ба нөгөө хөл нь ижил хоёр цэгийн I-ийн зөрүү болно. Дараа нь X ба Y-ийн хоорондох ялгааг тооцоолсноор гипотенузын уртыг (өөрөөр хэлбэл хоёр цэгийн хоорондох зай) томъёогоор тооцоолж болно.

Энэ дүрэм нь декартын координатын системд сайн ажилладаг гэдгийг би мэднэ, гэхдээ энэ нь урт координатаар их бага хэмжээгээр ажиллах ёстой, учир нь хоёр цэгийн хоорондох хэмжсэн зай нь ач холбогдолгүй (30-аас 1500 метр хүртэл).

Гэвч энэ алгоритмын дагуу зайг буруу тооцсон (жишээлбэл, энэ алгоритмаар тооцсон 1-р зай нь 2-р зайнаас ердөө 13%-иар хэтэрсэн байхад бодит байдал дээр 1-р зай 1450 метр, 2-р зай 970 метртэй тэнцүү байна. Энэ нь үнэндээ ялгаа бараг 50% хүрдэг).

Хэрэв хэн нэгэн тусалж чадвал би маш их талархах болно.

Хүндэтгэсэн, Александр.

","contentType":"text/html"),"authorId":"108613929","slug":"15001","canEdit":false,"canComment":false,"isBanned":false,"canPublish" :false,"viewType":"old","isDraft":false,"isOnModeration":false,"isSubscriber":false,"commentsCount":14,"modificationDate":"2012 оны 6-р сарын 27-ны Лхагва 20:07:00 GMT +0000 (Зохицуулсан бүх нийтийн цаг)","showPreview":true,"approvedPreview":("эх":"

Сайн уу,

Би нэг асуудалтай нэлээд удаан тэмцэж байна: Би бие биенээсээ 30-1500 метрийн зайд байрлах дурын хоёр цэгийн хоорондох зайг тооцоолохыг оролдож байна.

Ашигласан PHP:

$cx=31.319738; //x эхний цэгийн координат
$cy=60.901638; //y эхний цэгийн координат

$x=31.333312; //x хоёр дахь цэгийн координат
$y=60.933981; //y хоёр дахь цэгийн координат

$mx=abs($cx-$x); //х (тэгш өнцөгт гурвалжны эхний өнцөг)-ийн зөрүүг тооцоолох, abs(x) функц - x x тооны модулийг буцаана.
$my=abs($cy-$y); //тоглогчдын ялгааг тооцоолох (баруун гурвалжны хоёр дахь хөл)

$ dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($my,2)); //Метро хүртэлх зайг авна (Дүрмийн дагуу гипотенузын урт нь хөлийн квадратуудын нийлбэрийн үндэстэй тэнцүү байна)

Хэрэв энэ нь тодорхойгүй бол тайлбарлая: Би хоёр цэгийн хоорондох зайг тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз гэж төсөөлж байна. Дараа нь хоёр цэг бүрийн X-ийн зөрүү нь хөлүүдийн нэг байх ба нөгөө хөл нь ижил хоёр цэгийн I-ийн зөрүү болно. Дараа нь X ба Y-ийн хоорондох ялгааг тооцоолсноор гипотенузын уртыг (өөрөөр хэлбэл хоёр цэгийн хоорондох зай) томъёогоор тооцоолж болно.

Энэ дүрэм нь декартын координатын системд сайн ажилладаг гэдгийг би мэднэ, гэхдээ энэ нь урт координатаар их бага хэмжээгээр ажиллах ёстой, учир нь хоёр цэгийн хоорондох хэмжсэн зай нь ач холбогдолгүй (30-аас 1500 метр хүртэл).

Гэвч энэ алгоритмын дагуу зайг буруу тооцсон (жишээлбэл, энэ алгоритмаар тооцсон 1-р зай нь 2-р зайнаас ердөө 13%-иар хэтэрсэн байхад бодит байдал дээр 1-р зай 1450 метр, 2-р зай 970 метртэй тэнцүү байна. Энэ нь үнэндээ ялгаа бараг 50% хүрдэг).

Хэрэв хэн нэгэн тусалж чадвал би маш их талархах болно.

Хүндэтгэсэн, Александр.

","html":"Сайн уу,","contentType":"text/html"),"proposedPreview":("эх":"

Сайн уу,

Би нэг асуудалтай нэлээд удаан тэмцэж байна: Би бие биенээсээ 30-1500 метрийн зайд байрлах дурын хоёр цэгийн хоорондох зайг тооцоолохыг оролдож байна.

Ашигласан PHP:

$cx=31.319738; //x эхний цэгийн координат
$cy=60.901638; //y эхний цэгийн координат

$x=31.333312; //x хоёр дахь цэгийн координат
$y=60.933981; //y хоёр дахь цэгийн координат

$mx=abs($cx-$x); //х (тэгш өнцөгт гурвалжны эхний өнцөг)-ийн зөрүүг тооцоолох, abs(x) функц - x x тооны модулийг буцаана.
$my=abs($cy-$y); //тоглогчдын ялгааг тооцоолох (баруун гурвалжны хоёр дахь хөл)

$ dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($my,2)); //Метро хүртэлх зайг авна (Дүрмийн дагуу гипотенузын урт нь хөлийн квадратуудын нийлбэрийн үндэстэй тэнцүү байна)

Хэрэв энэ нь тодорхойгүй бол тайлбарлая: Би хоёр цэгийн хоорондох зайг тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз гэж төсөөлж байна. Дараа нь хоёр цэг бүрийн X-ийн зөрүү нь хөлүүдийн нэг байх ба нөгөө хөл нь ижил хоёр цэгийн I-ийн зөрүү болно. Дараа нь X ба Y-ийн хоорондох ялгааг тооцоолсноор гипотенузын уртыг (өөрөөр хэлбэл хоёр цэгийн хоорондох зай) томъёогоор тооцоолж болно.

Энэ дүрэм нь декартын координатын системд сайн ажилладаг гэдгийг би мэднэ, гэхдээ энэ нь урт координатаар их бага хэмжээгээр ажиллах ёстой, учир нь хоёр цэгийн хоорондох хэмжсэн зай нь ач холбогдолгүй (30-аас 1500 метр хүртэл).

Гэвч энэ алгоритмын дагуу зайг буруу тооцсон (жишээлбэл, энэ алгоритмаар тооцсон 1-р зай нь 2-р зайнаас ердөө 13%-иар хэтэрсэн байхад бодит байдал дээр 1-р зай 1450 метр, 2-р зай 970 метртэй тэнцүү байна. Энэ нь үнэндээ ялгаа бараг 50% хүрдэг).

Хэрэв хэн нэгэн тусалж чадвал би маш их талархах болно.

Хүндэтгэсэн, Александр.

","html":"Сайн уу,","contentType":"text/html"),"titleImage":null,"tags":[("displayName":"зайны хэмжилт","slug":"izmerenie- rasstoyaniy","categoryId":"10615601","url":"/blog/mapsapi??tag=izmerenie-rasstoyaniy"),("displayName":"API 1.x","slug":"api-1 -x","categoryId":"150000131","url":"/blog/mapsapi??tag=api-1-x")],"isModerator":false,"publishCount":1,"commentsEnabled": үнэн,"url":"/blog/mapsapi/15001","urlTemplate":"/blog/mapsapi/%slug%","fullBlogUrl":"https://yandex.ru/blog/mapsapi","addCommentUrl ":"/blog/createComment/mapsapi/15001","updateCommentUrl":"/blog/updateComment/mapsapi/15001","addCommentWithCaptcha":"/blog/createWithCaptcha/mapsapi/150001:"rchange"r:"b /api/captcha/new","putImageUrl":"/blog/image/put","urlBlog":"/blog/mapsapi","urlEditPost":"/blog/56a98d48b15b79e31e0d54c8/edit","urlSlug":" /blog/post/generateSlug","urlPublishPost":"/blog/56a98d48b15b79e31e0d54c8/publish","urlUnpublishPost":"/blog/56a98d48b15b79e31e0d548b15b79e31e0d54move",/RespublishPost":"/blog/blog/56a98d48b15b79e31e0d54c8 48b15b 79e31e0d54c8/removePost","urlDraft " :"/blog/mapsapi/15001/draft","urlDraftTemplate":"/blog/mapsapi/%slug%/draft","urlRemoveDraft":"/blog/56a98d48b15b79e31e0d54c8/removeDrafturl:/"Tapsapi" / api/suggest/mapsapi","urlAfterDelete":"/blog/mapsapi","isAuthor":false,"subscribeUrl":"/blog/api/subscribe/56a98d48b15b79e31e0d54c8",""unsubscribe/ul" бүртгэлээ цуцлах /56a98d48b15b79e31e0d54c8","urlEditPostPage":"/blog/mapsapi/56a98d48b15b79e31e0d54c8/edit","urlForTranslate":"/blog/post",/Respubte"/blog/posturl/posturl Асуудал","urlUpdateTranslate ": " /blog/post/updateTranslate","urlLoadTranslate":"/blog/post/loadTranslate","urlTranslationStatus":"/blog/mapsapi/15001/translationInfo","urlRelatedArticles":"/blog/api/mapsapi / 15001","author":("id":"108613929","uid":("утга":"108613929","lite":false,"hosted":false),"алиас":(), " login":"mrdds","display_name":("нэр":"mrdds","avatar":("өгөгдмөл":"0/0-0","хоосон":үнэн)),"хаяг" :" [имэйлээр хамгаалагдсан]","defaultAvatar":"0/0-0","imageSrc":"https://avatars.mds.yandex.net/get-yapic/0/0-0/islands-middle","isYandexStaff": false),"originalModificationDate":"2012-06-27T16:07:49.000Z","socialImage":("orig":("fullPath":"https://avatars.mds.yandex.net/get-yablogs /47421/file_1456488726678/orig"))))">

Математикийн асуудлыг шийдвэрлэх нь ихэвчлэн оюутнуудад олон бэрхшээл дагалддаг. Оюутнуудад эдгээр бэрхшээлийг даван туулахад нь туслах, мөн "Математик" хичээлийн хичээлийн бүх хэсэгт тодорхой асуудлуудыг шийдвэрлэхдээ одоо байгаа онолын мэдлэгээ ашиглахыг заах нь манай сайтын гол зорилго юм.

Сэдвийн дагуу асуудлыг шийдэж эхлэхдээ оюутнууд хавтгай дээр цэгийг түүний координатаар барьж байгуулахаас гадна тухайн цэгийн координатыг олох чадвартай байх ёстой.

Хавтгай дээр авсан A(x A; y A) ба B(x B; y B) хоёр цэгийн хоорондох зайг томъёогоор тооцоолно. d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), энд d нь хавтгай дээрх эдгээр цэгүүдийг холбосон сегментийн урт юм.

Хэрвээ сегментийн төгсгөлүүдийн аль нэг нь координатын гарал үүсэлтэй давхцаж, нөгөө нь M(x M; y M) координаттай бол d-г тооцоолох томъёо нь OM = √(x M 2 + y M 2) хэлбэртэй болно. ).

1. Эдгээр цэгүүдийн өгөгдсөн координатыг үндэслэн хоёр цэгийн хоорондох зайг тооцоолох

Жишээ 1.

Координатын хавтгай дээрх A(2; -5) ба B(-4; 3) цэгүүдийг холбосон хэрчмийн уртыг ол (Зураг 1).

Шийдэл.

Асуудлын мэдэгдэлд: x A = 2; x B = -4; y A = -5 ба y B = 3. d-г ол.

d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) томъёог ашигласнаар бид дараахийг олж авна.

d = AB = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.

2. Өгөгдсөн гурван цэгээс ижил зайд орших цэгийн координатыг тооцоолох

Жишээ 2.

А(7; -1) ба В(-2; 2) ба С(-1; -5) гурван цэгээс ижил зайд орших О 1 цэгийн координатыг ол.

Шийдэл.

Асуудлын нөхцлийн томьёоллоос үзэхэд O 1 A = O 1 B = O 1 C. Хүссэн O 1 цэгийг координаттай болгоё (a; b). d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) томъёог ашиглан бид дараахийг олно.

O 1 A = √((a – 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 B = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2);

O 1 C = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Хоёр тэгшитгэлийн системийг байгуулъя:

(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b - 2) 2),
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг квадрат болгосны дараа бид бичнэ.

((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 2) 2 + (b – 2) 2,
((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2.

Хялбаршуулж бичье

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a – b + 3 = 0.

Системийг шийдсэний дараа бид дараахь зүйлийг авна: a = 2; b = -1.

О 1 (2; -1) цэг нь нэг шулуун дээр хэвтэхгүй байх нөхцөлд заасан гурван цэгээс ижил зайд байна. Энэ цэг нь өгөгдсөн гурван цэгийг дайран өнгөрөх тойргийн төв юм (Зураг 2).

3. Абсцисса (ординат) тэнхлэг дээр байрлах цэгийн абсцисса (ординат)-ын тооцоо. өгөгдсөн зайэнэ цэгээс

Жишээ 3.

B(-5; 6) цэгээс Үхрийн тэнхлэгт байрлах А цэг хүртэлх зай 10. А цэгийг ол.

Шийдэл.

Асуудлын нөхцөлийг томъёолсноор А цэгийн ординат тэгтэй тэнцүү ба AB = 10 байна.

А цэгийн абсциссыг а-аар тэмдэглээд A(a; 0) гэж бичнэ.

AB = √((a + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((a + 5) 2 + 36).

Бид тэгшитгэлийг олж авна √((a + 5) 2 + 36) = 10. Үүнийг хялбарчлахад бид байна.

a 2 + 10a – 39 = 0.

Энэ тэгшитгэлийн үндэс нь 1 = -13; ба 2 = 3.

Бид A 1 (-13; 0) ба A 2 (3; 0) гэсэн хоёр оноо авдаг.

Шалгалт:

A 1 B = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

A 2 B = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

Олж авсан оноо хоёулаа асуудлын нөхцөлийн дагуу тохиромжтой (Зураг 3).

4. Абсцисса (ординат) тэнхлэг дээр байрлах ба өгөгдсөн хоёр цэгээс ижил зайд орших цэгийн абсцисса (ординат)-ын тооцоо.

Жишээ 4.

Ой тэнхлэг дээрх А (6, 12) ба В (-8, 10) цэгүүдээс ижил зайд байгаа цэгийг ол.

Шийдэл.

Бодлогын нөхцлөөр шаардагдах Ой тэнхлэгт байрлах цэгийн координатыг O 1 (0; b) (Ой тэнхлэг дээр байрлах цэгт абсцисса тэг байна) гэж үзье. Энэ нь O 1 A = O 1 B гэсэн нөхцлөөс гарна.

d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) томъёог ашиглан бид дараахийг олно.

O 1 A = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);

O 1 B = √((a + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).

Бид √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) эсвэл 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2 тэгшитгэлтэй байна.

Хялбаршуулсаны дараа бид дараахийг авна: b – 4 = 0, b = 4.

Бодлогын нөхцлөөр шаардлагатай O 1 (0; 4) цэг (Зураг 4).

5. Координатын тэнхлэгүүд болон өгөгдсөн зарим цэгээс ижил зайд байрлах цэгийн координатыг тооцоолох

Жишээ 5.

Координатын тэнхлэгүүд болон А(-2; 1) цэгээс ижил зайд координатын хавтгай дээр байрлах М цэгийг ол.

Шийдэл.

Шаардлагатай M цэг нь A(-2; 1) цэгтэй адил A, P 1, P 2 цэгүүдээс ижил зайд байрладаг тул хоёр дахь координатын өнцөгт байрладаг. (Зураг 5). М цэгийн координатын тэнхлэгээс хол зай нь ижил тул координат нь (-a; a) байх бөгөөд энд a > 0 байна.

Асуудлын нөхцлөөс MA = MR 1 = MR 2, MR 1 = a; MP 2 = |-a|,

тэдгээр. |-a| = a.

d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) томъёог ашиглан бид дараахийг олно.

MA = √((-a + 2) 2 + (a – 1) 2).

Тэгшитгэл хийцгээе:

√((-а + 2) 2 + (а – 1) 2) = а.

Квадрат болон хялбаршуулсаны дараа бид: a 2 – 6a + 5 = 0. Тэгшитгэлийг шийдэж, 1 = 1-ийг ол; ба 2 = 5.

Бид асуудлын нөхцлийг хангасан M 1 (-1; 1) ба M 2 (-5; 5) хоёр цэгийг олж авдаг.

6. Абсцисс (ординат) тэнхлэг болон өгөгдсөн цэгээс тодорхой заасан зайд байрлах цэгийн координатыг тооцоолох.

Жишээ 6.

Ординатын тэнхлэгээс А(8; 6) цэгээс зай нь 5-тай тэнцүү байхаар M цэгийг ол.

Шийдэл.

Бодлогын нөхцлөөс харахад MA = 5 ба М цэгийн абсцисса нь 5-тай тэнцүү байна. М цэгийн ординат b-тэй тэнцүү байвал M(5; b) (Зураг 6).

d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) томъёоны дагуу бид дараах байдалтай байна:

MA = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).

Тэгшитгэл хийцгээе:

√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. Үүнийг хялбарчилж үзвэл: b 2 – 12b + 20 = 0. Энэ тэгшитгэлийн үндэс нь b 1 = 2; b 2 = 10. Иймээс бодлогын нөхцөлийг хангасан хоёр цэг байна: M 1 (5; 2) ба M 2 (5; 10).

Олон оюутнууд мэддэг бие даасан шийдвэрАсуудлыг шийдвэрлэх арга техник, аргуудын талаар байнга зөвлөлдөх шаардлагатай байдаг. Ихэнхдээ оюутан багшийн тусламжгүйгээр асуудлыг шийдэх арга замыг олж чадахгүй. Оюутан манай вэбсайтаас асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай зөвлөгөөг авах боломжтой.

Асуулт хэвээр байна уу? Та хавтгай дээрх хоёр цэгийн хоорондох зайг хэрхэн олохоо мэдэхгүй байна уу?
Багшаас тусламж авахын тулд бүртгүүлнэ үү.
Эхний хичээл үнэ төлбөргүй!

вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.

Хавтгайн А цэг бүр нь координатаараа (x, y) тодорхойлогддог. Тэдгээр нь координатын гарал үүсэл - 0 цэгээс гарч буй 0А векторын координатуудтай давхцдаг.

А ба В нь тус тус (x 1 y 1) ба (x 2, y 2) координаттай хавтгайн дурын цэгүүд байг.

Тэгвэл AB вектор координаттай байх нь ойлгомжтой (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Векторын уртын квадрат нь координатын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү гэдгийг мэддэг. Иймээс А ба В цэгүүдийн хоорондох d зай, эсвэл ижил байх нь AB векторын уртыг нөхцөлөөс тодорхойлно.

d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

$$ d = \sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2) $$

Үүссэн томъёо нь зөвхөн эдгээр цэгүүдийн координатыг мэддэг бол хавтгай дээрх дурын хоёр цэгийн хоорондох зайг олох боломжийг олгоно.

Хавтгай дээрх тодорхой цэгийн координатын тухай ярих болгондоо бид нарийн тодорхойлогдсон координатын систем x0y гэсэн үг юм. Ерөнхийдөө хавтгай дээрх координатын системийг янз бүрийн аргаар сонгож болно. Тиймээс x0y координатын системийн оронд хуучин координатын тэнхлэгүүдийг 0 эхлэлийн цэгийн эргэн тойронд эргүүлсний үр дүнд олж авсан xִy координатын системийг авч үзэж болно. цагийн зүүний эсрэгбуланд байгаа сумнууд α .

Хэрэв x0y координатын систем дэх хавтгайн тодорхой цэг нь координаттай (x, y) байсан бол шинэ координатын систем xִy дээр өөр өөр координат (x, y) байх болно.

Жишээ болгон 0х тэнхлэгт байрлах, 0 цэгээс 1-ийн зайд тусгаарлагдсан М цэгийг авч үзье.

Мэдээжийн хэрэг, x0y координатын системд энэ цэг нь координаттай (cos α ,нүгэл α ), xִy координатын системд координатууд нь (1,0) байна.

А ба В хавтгай дээрх дурын хоёр цэгийн координат нь энэ хавтгайд координатын системийг хэрхэн зааж байгаагаас хамаарна. Бас энд эдгээр цэгүүдийн хоорондох зай нь координатын системийг тодорхойлох аргаас хамаарахгүй .

Бусад материал

Лекц: Хоёр цэгийн хоорондох зайны томъёо; бөмбөрцгийн тэгшитгэл

Хоёр цэгийн хоорондох зай

Өмнөх асуултанд шулуун дээрх хоёр цэгийн хоорондох зайг олохын тулд бид d = x 2 – x 1 томъёог ашигласан.

Гэхдээ онгоцны хувьд бүх зүйл өөр байна. Зөвхөн координатын зөрүүг олох нь хангалтгүй юм. Цэгүүдийн хоорондох зайг тэдгээрийн координатыг ашиглан олохын тулд дараах томъёог ашиглана уу.

Жишээлбэл, хэрэв танд тодорхой координат бүхий хоёр цэг байгаа бол тэдгээрийн хоорондын зайг дараах байдлаар олж болно.

A (4;-1), B (-4;6):

AB = ((4 + 4) 2 + (-1 – 6) 2) 1/2 ≈ 10.6.

Өөрөөр хэлбэл, хавтгай дээрх хоёр цэгийн хоорондох зайг тооцоолохын тулд координатын зөрүүний квадратуудын нийлбэрийн үндсийг олох шаардлагатай.

Хэрэв та хавтгай дээрх хоёр цэгийн хоорондох зайг олох шаардлагатай бол нэмэлт координат бүхий ижил төстэй томъёог ашиглах хэрэгтэй.

Бөмбөрцгийн тэгшитгэл

Орон зай дахь бөмбөрцгийг тодорхойлохын тулд та дараах томьёог ашиглахын тулд түүний төвийн координат, мөн радиусыг мэдэх хэрэгтэй.

Энэ тэгшитгэл нь төв нь эх дээр байгаа бөмбөрцөгтэй тохирч байна.

Хэрэв бөмбөрцгийн төвийг тэнхлэгийн дагуу тодорхой тооны нэгжээр шилжүүлсэн бол дараах томъёог ашиглана.

Энэ нийтлэлд бид цэгээс цэг хүртэлх зайг онолын хувьд тодорхойлох арга замыг авч үзэх бөгөөд тодорхой даалгаврын жишээг ашиглах болно. Эхлэхийн тулд зарим тодорхойлолтыг танилцуулъя.

Тодорхойлолт 1

Цэгүүдийн хоорондох зайодоо байгаа масштабаар тэдгээрийг холбосон сегментийн урт юм. Хэмжих уртын нэгжтэй байхын тулд масштабыг тогтоох шаардлагатай. Иймд цэгийн хоорондох зайг олох асуудлыг үндсэндээ координатын шулуун дээр, координатын хавтгайд эсвэл гурван хэмжээст орон зайд координатуудыг ашиглан шийддэг.

Анхны өгөгдөл: координатын O x шулуун ба түүн дээр байрлах дурын А цэг. Шугамын аль ч цэг нэг шинж чанартай байдаг. бодит тоо: А цэгийн хувьд энэ нь тодорхой тоо байя x A,Энэ нь мөн А цэгийн координат юм.

Ерөнхийдөө тодорхой сегментийн уртыг тухайн хуваарийн дагуу уртын нэгж болгон авсан сегменттэй харьцуулахад үнэлдэг гэж хэлж болно.

Хэрэв А цэг нь бүхэл тоон бодит тоотой тохирч байвал О цэгээс шулуун шугамын дагуу О А сегментийг - уртын нэгжээр дараалан буулгаснаар бид О А сегментийн уртыг хойш тавьсан нэгжийн сегментүүдийн нийт тооноос тодорхойлж болно.

Жишээлбэл, А цэг нь 3-р тоотой тохирч байна - О цэгээс түүнд хүрэхийн тулд та гурван нэгж сегментийг таслах хэрэгтэй болно. Хэрэв А цэг нь координат - 4 байвал нэгж хэсгүүдийг ижил төстэй байдлаар байрлуулсан боловч өөр, сөрөг чиглэлд байрлуулна. Тиймээс эхний тохиолдолд O A зай нь 3-тай тэнцүү байна; хоёр дахь тохиолдолд O A = 4.

Хэрэв А цэг нь координатын хувьд оновчтой тоотой бол эх үүсвэрээс (О цэг) бүхэл тооны нэгж сегментийг зурж, дараа нь түүний шаардлагатай хэсгийг зурна. Гэхдээ геометрийн хувьд хэмжилт хийх нь үргэлж боломжгүй байдаг. Жишээлбэл, 4 111-ийн бутархайг координатын шулуун дээр зурахад хэцүү мэт санагдаж байна.

Дээрх аргыг ашигласнаар иррационал тоог шулуун дээр зурах нь огт боломжгүй юм. Жишээлбэл, А цэгийн координат 11 байх үед. Энэ тохиолдолд хийсвэрлэл рүү шилжих боломжтой: хэрэв А цэгийн өгөгдсөн координат тэгээс их байвал O A = x A (тоог зай гэж авна); хэрэв координат тэгээс бага бол O A = - x A . Ерөнхийдөө эдгээр мэдэгдэл нь ямар ч бодит тоо x A-ийн хувьд үнэн юм.

Дүгнэж хэлэхэд: гарал үүслийн цэгээс координатын шулуун дээрх бодит тоотой тохирох цэг хүртэлх зай нь:

• Хэрэв цэг нь гарал үүсэлтэй давхцаж байвал 0;

• x A, хэрэв x A > 0;

• - x A бол x A< 0 .

Энэ тохиолдолд сегментийн урт нь өөрөө сөрөг байж болохгүй нь ойлгомжтой тул модулийн тэмдгийг ашиглан бид О цэгээс А цэг хүртэлх зайг координатаар бичнэ. х А: O A = x A

Дараах мэдэгдэл үнэн байх болно. нэг цэгээс нөгөө цэг хүртэлх зай нь координатын зөрүүний модультай тэнцүү байх болно.Тэдгээр. аль ч байршлын хувьд ижил координатын шулуун дээр байрлах, харгалзах координаттай А ба В цэгүүдийн хувьд х АТэгээд x B: A B = x B - x A.

Анхны өгөгдөл: өгөгдсөн координаттай тэгш өнцөгт координатын систем O x y хавтгай дээр хэвтэж буй A ба B цэгүүд: A (x A, y A) ба B (x B, y B).

А ба В цэгүүдээр дамжуулан О х ба О у координатын тэнхлэгт перпендикуляр зурж, үр дүнд нь A x, A y, B x, B y проекцын цэгүүдийг олж авцгаая. А ба В цэгүүдийн байршилд үндэслэн дараах сонголтуудыг хийх боломжтой.

Хэрэв А ба В цэгүүд давхцаж байвал тэдгээрийн хоорондох зай тэг болно;

Хэрэв A ба В цэгүүд нь O x тэнхлэгт перпендикуляр шулуун шулуун дээр (абсцисса тэнхлэг) байвал цэгүүд давхцаж, | A B | = | A y B y | . Цэгүүдийн хоорондох зай нь тэдгээрийн координатын зөрүүний модультай тэнцүү тул A y B y = y B - y A, тэгэхээр A B = A y B y = y B - y A болно.

Хэрэв A ба В цэгүүд нь O y тэнхлэгт перпендикуляр шулуун шугам дээр (ординатын тэнхлэг) байвал - өмнөх догол мөртэй адилтгаж үзвэл: A B = A x B x = x B - x A

Хэрэв А ба В цэгүүд нь координатын тэнхлэгүүдийн аль нэгэнд перпендикуляр шулуун шугам дээр оршдоггүй бол тэдгээрийн хоорондох зайг тооцоолох томъёог гарган олно.

A B C гурвалжин нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй болохыг бид харж байна. Энэ тохиолдолд A C = A x B x ба B C = A y B y болно. Пифагорын теоремыг ашиглан бид тэгшитгэлийг үүсгэнэ: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2, дараа нь үүнийг хувиргана: A B = A x B x 2 + A y B. y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Хүлээн авсан үр дүнгээс дүгнэлт хийцгээе: хавтгай дээрх А цэгээс В цэг хүртэлх зайг эдгээр цэгүүдийн координатыг ашиглан томъёогоор тооцоолно.

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Үүссэн томьёо нь цэгүүд тэнхлэгт перпендикуляр шулуун шугамууд дээр байрлах цэгүүд эсвэл нөхцөл байдлын давхцлын талаар өмнө нь бий болгосон мэдэгдлийг баталгаажуулдаг. Тэгэхээр, хэрэв A ба B цэгүүд давхцвал дараахь тэгшитгэл үнэн болно: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

А ба В цэгүүд x тэнхлэгт перпендикуляр шулуун шугам дээр байрлах нөхцөл байдлын хувьд:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

А ба В цэгүүд ординатын тэнхлэгт перпендикуляр шулуун дээр байрлах тохиолдолд:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Анхны өгөгдөл: өгөгдсөн A (x A, y A, z A) ба B (x B, y B, z B) координатуудтай дурын цэгүүдтэй тэгш өнцөгт координатын систем O x y z. Эдгээр цэгүүдийн хоорондох зайг тодорхойлох шаардлагатай.

А ба В цэгүүд координатын аль нэг хавтгайтай параллель хавтгайд хэвтэхгүй байх ерөнхий тохиолдлыг авч үзье. А ба В цэгүүдээр дамжуулан координатын тэнхлэгт перпендикуляр хавтгайг зурж, харгалзах проекцын цэгүүдийг олъё: A x, A y, A z, B x, B y, B z.

А ба В цэгүүдийн хоорондох зай нь үүссэн параллелепипедийн диагональ юм. Энэхүү параллелепипедийн хэмжилтийн барилгын дагуу: A x B x , A y B y and A z B z.

Геометрийн хичээлээс бид параллелепипедийн диагональ квадрат нь түүний хэмжээсийн квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү гэдгийг мэддэг. Энэ мэдэгдэлд үндэслэн бид тэгш байдлыг олж авна: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Өмнө нь олж авсан дүгнэлтийг ашиглан бид дараахь зүйлийг бичнэ.

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

Илэрхийлэлийг өөрчилье:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Финал орон зайн цэгүүдийн хоорондох зайг тодорхойлох томъёоиймэрхүү харагдах болно:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Үүссэн томъёо нь дараахь тохиолдолд хүчинтэй байна.

Цэгүүд давхцаж байна;

Тэдгээр нь нэг координатын тэнхлэг эсвэл координатын аль нэг тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам дээр байрладаг.

Цэгүүдийн хоорондох зайг олох асуудлыг шийдвэрлэх жишээ

Жишээ 1

Анхны өгөгдөл: координатын шугам ба түүн дээр байрлах цэгүүдийг өгөгдсөн координат A (1 - 2) ба B (11 + 2) өгсөн болно. О цэгээс А цэг хүртэл, А ба В цэгүүдийн хоорондох зайг олох шаардлагатай.

Шийдэл

1. Лавлах цэгээс цэг хүртэлх зай нь энэ цэгийн координатын модультай тэнцүү O A = 1 - 2 = 2 - 1 байна.
2. Бид A ба B цэгүүдийн хоорондох зайг эдгээр цэгүүдийн координатын зөрүүний модуль гэж тодорхойлдог: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Хариулт: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

Жишээ 2

Анхны өгөгдөл: тэгш өнцөгт координатын систем ба үүн дээр байрлах A (1, - 1) ба B (λ + 1, 3) хоёр цэгийг өгсөн болно. λ нь бодит тоо юм. А В зай нь 5-тай тэнцүү байх энэ тооны бүх утгыг олох шаардлагатай.

Шийдэл

А ба В цэгүүдийн хоорондох зайг олохын тулд A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2 томъёог ашиглах ёстой.

Бодит координатын утгыг орлуулснаар бид дараахийг авна: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

Мөн бид одоо байгаа нөхцөлийг ашигладаг A B = 5, тэгвэл тэгш байдал нь үнэн болно:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Хариулт: λ = ± 3 бол A B = 5.

Жишээ 3

Анхны өгөгдөл: гурван хэмжээст орон зайг тэгш өнцөгт координатын систем O x y z ба түүн дотор байрлах A (1, 2, 3) ба B - 7, - 2, 4 цэгүүдэд зааж өгсөн болно.

Шийдэл

Асуудлыг шийдэхийн тулд бид A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2 томъёог ашиглана.

Бодит утгыг орлуулснаар бид дараахийг авна: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Хариулт: | A B | = 9

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу