1-р эрэмбийн энгийн дифференциал тэгшитгэлийн бүхэл бүтэн цувралд x ба y хувьсагчдыг тэгшитгэлийн баруун ба зүүн талд салгаж болох тэгшитгэлүүд байдаг. f(y)d y = g(x)dx тэгшитгэлээс харж байгаачлан хувьсагчдыг аль хэдийн салгаж болно. Та ODE-ийн хувьсагчдыг хувиргах замаар салгаж болно f 1 (y) · g 1 (x) d y = f 2 (y) · g 2 (x) d x. Ихэнхдээ салангид хувьсагчтай тэгшитгэлийг олж авахын тулд шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх аргыг ашигладаг.

Энэ сэдвээр бид тусгаарлагдсан хувьсагчтай тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргыг нарийвчлан судлах болно. Салгаж болох хувьсагчтай тэгшитгэл ба дифференциал тэгшитгэлийг авч үзье. Энэ хэсэгт бид асуудлын шийдлийн нарийвчилсан дүн шинжилгээ бүхий сэдэвтэй холбоотой олон тооны асуудлыг шинжилсэн.

Сэдвийг эзэмшихэд хялбар болгох үүднээс "Дифференциал тэгшитгэлийн онолын үндсэн тодорхойлолт ба ойлголтууд" хуудсанд тавигдсан мэдээлэлтэй танилцахыг зөвлөж байна.

Тусгаарлагдсан дифференциал тэгшитгэл f (y) d y = g (x) d x

Тодорхойлолт 1

Тусгаарлагдсан хувьсагчтай тэгшитгэлийг f (y) d y = g (x) d x хэлбэрийн дифференциал тэгшитгэл гэнэ. Нэрнээс нь харахад илэрхийлэл бүрдүүлэгч хувьсагч нь тэнцүү тэмдгийн хоёр талд байрлана.

f (y) ба функцүүдтэй санал нийлэе g(x)Бид тасралтгүй гэж таамаглах болно.

Тусгаарлагдсан хувьсагчтай тэгшитгэлийн хувьд ерөнхий интеграл нь ∫ f (y) d y = ∫ g (x) d x болно. Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг бид дээрх тэгшитгэлийн интегралуудыг элементар функцээр илэрхийлсэн тохиолдолд далд заасан Ф (х, у) = 0 функц хэлбэрээр олж авч болно. Зарим тохиолдолд y функцийг тодорхой хэлбэрээр илэрхийлэх боломжтой.

Жишээ 1

y 2 3 d y = sin x d x тусгаарлагдсан дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол.

Шийдэл

Тэгш байдлын хоёр талыг нэгтгэцгээе:

∫ y 2 3 d y = ∫ sin x d x

Энэ нь үнэндээ энэ хяналтын системийн ерөнхий шийдэл юм. Уг нь бид дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олох асуудлыг тодорхойгүй интеграл олох асуудал руу багасгасан.

Одоо бид үндсэн функцээр илэрхийлэгдсэн интегралуудыг авахын тулд эсрэг деривативуудын хүснэгтийг ашиглаж болно.

∫ y 2 3 d y = 3 5 y 5 3 + C 1 ∫ sin x d x = - cos x + C 2 ⇒ ∫ y 2 3 d y = ∫ sin x d x ⇔ 3 5 y 3 5 + C 1 = - cos x + C2
Энд C 1 ба C 2 нь дурын тогтмолууд юм.

3 5 y 3 5 + C 1 = - cos x + C 2 функц нь далд байдлаар тодорхойлогддог. Энэ нь анхны тусгаарлагдсан хувьсагчийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл юм. Бид хариу хүлээн авсан тул шийдвэрээ үргэлжлүүлэхгүй байж магадгүй. Гэхдээ авч үзэж буй жишээн дээр хүссэн функцийг х аргументаар тодорхой илэрхийлж болно.

Бид авах:

3 5 y 5 3 + C 1 ⇒ y = - 5 3 cos x + C 3 5, энд C = 5 3 (C 2 - C 1)

Энэ DE-ийн ерөнхий шийдэл нь y = - 5 3 cos x + C 3 5 функц юм

Хариулт:

Бид хариултыг хэд хэдэн аргаар бичиж болно: ∫ y 2 3 d y = ∫ sin x d x эсвэл 3 5 y 5 3 + C 1 = - cos x + C 2, эсвэл y = - 5 3 cos x + C 3 5

Дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ур чадвараас гадна илэрхийлэлийг хувиргах, интеграл авах чадвартай гэдгийг багшид үргэлж ойлгуулах нь зүйтэй. Үүнийг хийхэд амархан. Эцсийн хариултыг тодорхой функц эсвэл далд заасан функц Ф (х, у) = 0 хэлбэрээр өгөхөд хангалттай.

Салгаж болох хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэл f 1 (y) g 1 (x) d y = f 2 (y) g 2 (x) d x

y нь х аргументын функц болох тохиолдолд y " = d y d x.

DE-д f 1 (y) g 1 (x) d y = f 2 (y) g 2 (x) d x or f 1 (y) g 1 (x) y " = f 2 (y) g 2 (x) d x бид хувьсагчдыг салгах хэлбэрээр хувиргах боломжтой. Энэ төрлийн DE-ийг салгаж болох хувьсагчтай DE гэж нэрлэдэг. Тусгаарлагдсан хувьсагчтай харгалзах DE-г f 1 (y) f 2 (y) гэж бичнэ. d y = g 2 ( x) g 1 (x) d x .

Хувьсагчдыг салгахдаа алдаа гаргахгүйн тулд бүх хувиргалтыг сайтар хийх шаардлагатай. Үүссэн болон анхны тэгшитгэл нь бие биетэйгээ тэнцүү байх ёстой. Шалгалтын хувьд та f 2 (y) ба нөхцөлийг ашиглаж болно g 1 (x)интеграцийн интервал дээр алга болохгүй. Хэрэв энэ нөхцөл хангагдаагүй бол зарим шийдлүүдийг алдах магадлалтай.

Жишээ 2

Дифференциал тэгшитгэлийн бүх шийдийг ол y " = y · (x 2 + e x) .

Шийдэл

Бид x ба у-г салгаж болох тул салгаж болох хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэлийг авч үзэж байна.

y " = y · (x 2 + e x) ⇔ d y d x = y · (x 2 + e x) ⇔ d y y = (x 2 + e x) d x pr ба y ≠ 0

y = 0 үед анхны тэгшитгэл нь ижил утгатай болно: 0 " = 0 · (x 2 + e x) ⇔ 0 ≡ 0. Энэ нь y = 0 нь DE-ийн шийдэл гэдгийг хэлэх боломжийг бидэнд олгоно. Бид үүнийг авч чадаагүй. өөрчлөлтийг хийхдээ анхаарч үзэх шийдэл.

d y y = (x 2 + e x) d x гэсэн тусгаарлагдсан хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэлийн интегралыг хийцгээе.
∫ d y y = ∫ (x 2 + e x) d x ∫ d y y = ln y + C 1 ∫ (x 2 + e x) d x = x 3 3 + e x + C 2 ⇒ ln y + C 1 = x 3 3 + e x + C 2 ⇒ ln y = x 3 3 + e x + C

Өөрчлөлтийг хийхдээ бид солих ажлыг хийсэн C 2 - C 1дээр ХАМТ. DE-ийн шийдэл нь далд заасан функцийн хэлбэртэй байна ln y = x 3 3 + e x + C . Бид энэ функцийг тодорхой илэрхийлэх боломжтой. Үүнийг хийхийн тулд үүссэн тэгш байдлыг хүчирхэгжүүлье:

ln y = x 3 3 + e x + C ⇔ e ln y = e x 3 3 + e x + C ⇔ y = e x 3 3 + e x + C

Хариулт: y = e x 3 3 + e x + C , y = 0

y " = f (a x + b y), салангид хувьсагчтай тэгшитгэл болгон бууруулсан дифференциал тэгшитгэлүүд a ≠ 0, b ≠ 0

Энгийн 1-р эрэмбийг багасгахын тулд DE y " = f (a x + b y) , a ≠ 0, b ≠ 0, салангид хувьсагчтай тэгшитгэлд z = a x + b y шинэ хувьсагчийг оруулах шаардлагатай бөгөөд z нь аргументийн функц юм. x.

Бид авах:

z = a x + b y ⇔ y = 1 b (z - a x) ⇒ y " = 1 b (z " - a) f (a x + b y) = f (z)

Бид орлуулалт, шаардлагатай өөрчлөлтүүдийг хийдэг.

y " = f (a x + b y) ⇔ 1 b (z " - a) = f (z) ⇔ z " = b f (z) + a ⇔ d z b f (z) + a = d x , b f (z) + a ≠ 0

Жишээ 3

y " = 1 ln (2 x + y) - 2 дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийд ба y (0) = e анхны нөхцлийг хангасан тодорхой шийдийг ол.

Шийдэл

Нэг хувьсагчийг танилцуулъя z = 2 x + y, бид авах:

y = z - 2 x ⇒ y " = z " - 2 ln (2 x + y) = ln z

Бид олж авсан үр дүнг анхны илэрхийлэлд орлуулж, салгаж болох хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэл болгон хувиргана.

y " = 1 ln (2 x + y) - 2 ⇔ z " - 2 = 1 ln z - 2 ⇔ d z d x = 1 ln z

Хувьсагчдыг салгасны дараа тэгшитгэлийн хоёр талыг нэгтгэж үзье.

d z d z = 1 ln z ⇔ ln z d z = d x ⇔ ∫ ln z d z = ∫ d x

Тэгшитгэлийн зүүн талд байрлах интегралыг олохын тулд хэсгүүдээр интегралдах аргыг ашиглая. Хүснэгтийн баруун талд байгаа интегралыг харцгаая.

∫ ln z d z = u = ln z , d v = d z d u = d z z , v = z = z ln z - ∫ z d z z = = z ln z - z + C 1 = z (ln z - 1) + C 1 = ∫ d + C 2

Бид z · (ln z - 1) + C 1 = x + C 2 гэж хэлж болно. Одоо бид үүнийг хүлээн зөвшөөрвөл C = C 2 - C 1мөн бид урвуу орлуулалт хийх болно z = 2 x + y, дараа нь бид далд заасан функц хэлбэрээр дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олж авна.

(2 x + y) · (ln (2 x + y) - 1) = x + C

Одоо анхны нөхцөлийг хангасан тодорхой шийдлийг хайж эхэлцгээе y(0)=e. Сэлгээ хийцгээе x = 0ба y (0) = e-г DE-ийн ерөнхий шийдэлд оруулж С тогтмолын утгыг ол.

(2 0 + e) ​​(ln (2 0 + e) ​​- 1) = 0 + C e (ln e - 1) = C C = 0

Бид тодорхой шийдлийг олж авдаг:

(2 x + y) · (ln (2 x + y) - 1) = x

Асуудлын мэдэгдэлд DE-ийн ерөнхий шийдлийг олоход шаардлагатай интервалыг заагаагүй тул бид анхны DE утга учиртай х аргументийн бүх утгуудад тохирох шийдлийг хайж байна.

Манай тохиолдолд DE нь ln (2 x + y) ≠ 0, 2 x + y > 0-д утга учиртай.

y " = f x y эсвэл y " = f y x салангид хувьсагчтай тэгшитгэл болгон бууруулсан дифференциал тэгшитгэлүүд

Бид y " = f x y эсвэл y " = f y x хэлбэрийн дифференциал тэгшитгэлийг z = x y эсвэл z = y x орлуулах замаар салгаж болох дифференциал тэгшитгэл болгон бууруулж болно. z– х аргументийн функц.

z = x y бол y = x z ба бутархайн ялгах дүрмийн дагуу:

y " = x y " = x " z - x z " z 2 = z - x z " z 2

Энэ тохиолдолд тэгшитгэл нь z - x · z "z 2 = f (z) эсвэл z - x · z " z 2 = f 1 z хэлбэртэй байна.

Хэрэв бид z = y x гэж авбал y = x ⋅ z ба y " = (x z) " = x " z + x z " = z + x z " бүтээгдэхүүний деривативын дүрмээр. Энэ тохиолдолд тэгшитгэлүүд нь буурдаг. z + x z " = f 1 z эсвэл z + x z " = f (z) .

Жишээ 4

y " = 1 e y x - y x + y x дифференциал тэгшитгэлийг шийд

Шийдэл

z = y x, дараа нь y = x z ⇒ y " = z + x z " гэж үзье. Анхны тэгшитгэлд орлуулъя:

y " = 1 e y x - y x + y x ⇔ z + x z " = 1 e z - z + z ⇔ x d z d x = 1 e z - z ⇔ (e z - z) d z = d x x

Өөрчлөлтийг хийхдээ олж авсан салангид хувьсагчтай тэгшитгэлийг нэгтгэж үзье.

∫ (e z - z) d z = ∫ d x x e z - z 2 2 + C 1 = ln x + C 2 e z - z 2 2 = ln x + C , C = C 2 - C 1

Анхны DE-ийн ерөнхий шийдлийг далд заасан функц хэлбэрээр авахын тулд урвуу орлуулалтыг хийцгээе.

e y x - 1 2 y 2 x 2 = ln x + C

Одоо дараах хэлбэртэй алсын удирдлагыг харцгаая.

y " = a 0 y n + a 1 y n - 1 x + a 2 y n - 2 x 2 + ... + a n x n b 0 y n + b 1 y n - 1 x + b 2 y n - 2 x 2 + ... + b n x n

Бичлэгийн баруун талд байрлах бутархайн хуваагч ба хуваагч у нэсвэл x n, бид y " = f x y эсвэл y " = f y x гэсэн анхны DE-г санаж чадна.

Жишээ 5

y " = y 2 - x 2 2 x y дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол.

Шийдэл

Энэ тэгшитгэлд x ба y нь 0-ээс ялгаатай байна. Энэ нь тэмдэглэгээний баруун талд байрлах бутархайн хуваагч ба хуваагчийг дараах байдлаар хуваах боломжийг олгодог. x 2:

y " = y 2 - x 2 2 x y ⇒ y " = y 2 x 2 - 1 2 y x

Хэрэв бид z = y x гэсэн шинэ хувьсагчийг оруулбал y = x z ⇒ y " = z + x z " болно.

Одоо бид анхны тэгшитгэлд орлуулах хэрэгтэй:

y " = y 2 x 2 - 1 2 y x ⇔ z " x + z = z 2 - 1 2 z ⇔ z " x = z 2 - 1 2 z - z ⇔ z " x = z 2 - 1 - 2 z 2 2 z ⇔ d z d x x = - z 2 + 1 2 z ⇔ 2 z d z z 2 + 1 = - d x x

Ингэж бид салангид хувьсагчтай DE-д ирлээ. Үүний шийдлийг олцгооё:

∫ 2 z d z z 2 + 1 = - ∫ d x x ∫ 2 z d z z 2 + 1 = ∫ d (z 2 + 1) z 2 + 1 = ln z 2 + 1 + C 1 - ∫ d x x = - ln ⇒ n z 2 + 1 + C 1 = - ln x + C 2

Энэ тэгшитгэлийн хувьд бид тодорхой шийдлийг олж авах боломжтой. Үүнийг хийхийн тулд - ln C = C 2 - C 1 гэж аваад логарифмын шинж чанарыг хэрэгжүүлье.

ln z 2 + 1 = - ln x + C 2 - C 1 ⇔ ln z 2 + 1 = - ln x - ln C ⇔ ln z 2 + 1 = - ln C x ⇔ ln z 2 + 1 = ln C x - 1 ⇔ e ln z 2 + 1 = e ln 1 C x ⇔ z 2 + 1 = 1 C x ⇔ z ± 1 C x - 1

Одоо бид урвуу орлуулалтыг y = x ⋅ z хийж, анхны дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг бичнэ.

y = ± x 1 C x - 1

Энэ тохиолдолд хоёр дахь шийдэл нь бас зөв байх болно. Бид z = x y орлуулалтыг ашиглаж болно. Энэ сонголтыг илүү нарийвчлан авч үзье.

Тэгшитгэлийн баруун талд байрлах бутархайн хуваагч ба хуваагч y 2:

y " = y 2 - x 2 2 x y ⇔ y " = 1 - x 2 y 2 2 x y

z = x y гэж үзье

Дараа нь y " = 1 - x 2 y 2 2 x y ⇔ z - z " x z 2 = 1 - z 2 2 z

Салгаж болох хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэлийг олж авахын тулд анхны тэгшитгэлд орлуулъя.

y " = 1 - x 2 y 2 2 x y ⇔ z - z " x z 2 = 1 - z 2 2 z

Хувьсагчдыг хувааснаар бид d z z (z 2 + 1) = d x 2 x тэгшитгэлийг олж авах бөгөөд үүнийг нэгтгэж болно.

∫ d z z (z 2 + 1) = ∫ d x 2 x

Хэрэв бид ∫ d z z (z 2 + 1) интеграл функцийн интегралыг энгийн бутархай болгон өргөжүүлбэл бид дараахь зүйлийг авна.

∫ 1 z - z z 2 + 1 d z

Энгийн бутархайн интеграцийг хийцгээе.

∫ 1 z - z z 2 + 1 d z = ∫ z d z z 2 + 1 = ∫ d t z - 1 2 ∫ d (z 2 + 1) z 2 + 1 = = ln z - 1 2 ln z 21 + 1 Cn z z 2 + 1 + C 1

Одоо ∫ d x 2 x интегралыг олъё:

∫ d x 2 x = 1 2 ln x + C 2 = ln x + C 2

Үүний үр дүнд бид ln z z 2 + 1 + C 1 = ln x + C 2 эсвэл ln z z 2 + 1 = ln C x, ln C = C 2 - C 1 болно.

Урвуу орлуулалт z = x y ба шаардлагатай хувиргалтыг хийцгээе, бид дараахь зүйлийг авна.

y = ± x 1 C x - 1

Бидний z = x y-г сольсон шийдлийн хувилбар нь z = y x-ийг солихтой харьцуулахад илүү их хөдөлмөр шаарддаг. Энэ дүгнэлт нь y " = f x y эсвэл y " = f y x хэлбэрийн олон тооны тэгшитгэлийн хувьд хүчинтэй байх болно. Хэрэв ийм тэгшитгэлийг шийдэх сонгосон хувилбар нь хөдөлмөр их шаарддаг бол z = x y-г орлуулахын оронд z = y x хувьсагчийг оруулж болно. Энэ нь үр дүнд ямар ч байдлаар нөлөөлөхгүй.

y " = f a 1 x + b 1 y + c 1 a 2 x + b 2 y + c 2, a 1, b 1, c 1, a 2, b 2, c 2 ∈ гэсэн салангид хувьсагчтай тэгшитгэл болгон бууруулсан дифференциал тэгшитгэлүүд Р

Дифференциал тэгшитгэл y " = f a 1 x + b 1 y + c 1 a 2 x + b 2 y + c 2 нь y " = f x y эсвэл y " = f y x тэгшитгэлүүд болж, салгаж болох хувьсагчтай тэгшитгэл болгон бууруулж болно. Үүнийг хийхийн тулд (x 0 , y 0) - хоёр шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн системийн шийдийг a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 = 0, шинэ хувьсагчдыг ол. танилцуулсан u = x - x 0 v = y - y 0. Энэ орлуулалтын дараа тэгшитгэл нь d v d u = a 1 u + b 1 v a 2 u + b 2 v хэлбэртэй болно.

Жишээ 6

y " = x + 2 y - 3 x - 1 дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол.

Шийдэл

Бид шугаман тэгшитгэлийн системийг зохиож, шийддэг.

x + 2 y - 3 = 0 x - 1 = 0 ⇔ x = 1 y = 1

Хувьсагчдыг өөрчилье:

u = x - 1 v = y - 1 ⇔ x = u + 1 y = v + 1 ⇒ d x = d u d y = d v

Анхны тэгшитгэлд орлуулсны дараа бид d y d x = x + 2 y - 3 x - 1 ⇔ d v d u = u + 2 v u утгыг авна. Хуваасаны дараа убаруун талын хүртэгч ба хуваагч нь бид d v d u = 1 + 2 v u байна.

Бид z = v u ⇒ v = z · y ⇒ d v d u = d z d u · u + z шинэ хувьсагчийг танилцуулж байна.

d v d u = 1 + 2 v u ⇔ d z d u · u + z = 1 + 2 z ⇔ d z 1 + z = d u u ⇒ ∫ d z 1 + z = ∫ d u u ⇔ ln 1 + z + C 1 = ln u C1 = ln u C1 + z = ln u + ln C , ln C = C 2 - C 1 ln 1 + z = ln C u 1 + z = C u ⇔ z = C u - 1 ⇔ v u = C u - 1 ⇔ v = u ( C u - 1)

Бид анхны хувьсагчид руу буцаж, урвуу орлуулалтыг u = x - 1 v = y - 1 болгоно.
v = u (C u - 1) ⇔ y - 1 = (x - 1) (C (x - 1) - 1) ⇔ y = C x 2 - (2 C + 1) x + C + 2

Энэ бол дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл юм.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Дифференциал тэгшитгэл.

Энгийн дифференциал тэгшитгэлийн тухай үндсэн ойлголтууд.

Тодорхойлолт 1.Ердийн дифференциал тэгшитгэл n– функцийн дараалал y маргаан x хэлбэрийн хамаарал гэж нэрлэдэг

Хаана Ф – түүний аргументуудын өгөгдсөн функц. Математикийн тэгшитгэлийн энэ ангийн нэрээр "дифференциал" гэсэн нэр томъёо нь тэдгээрт дериватив орно гэдгийг онцолдог. (Ялгаварлалтын үр дүнд үүссэн функцууд); "ердийн" гэсэн нэр томъёо нь хүссэн функц нь зөвхөн нэг бодит аргументаас хамаарна гэдгийг харуулж байна.

Энгийн дифференциал тэгшитгэл нь тодорхой аргумент агуулаагүй байж болно x, хүссэн функц ба түүний аливаа дериватив, гэхдээ хамгийн өндөр деривативыг тэгшитгэлд оруулах ёстой n-р захиалга. Жишээлбэл

a) - нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэл;

б) - гурав дахь эрэмбийн тэгшитгэл.

Энгийн дифференциал тэгшитгэлийг бичихдээ үүсмэлийг дифференциалаар тэмдэглэхийг ихэвчлэн ашигладаг.

V) - хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэл;

d) - нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэл,

-ээр хуваагдсаны дараа генератор dxтэгшитгэлийг тодорхойлох эквивалент хэлбэр: .

Функцийг ердийн дифференциал тэгшитгэлд орлуулснаар ижил төстэй байдал болж хувирвал түүнийг шийд гэж нэрлэдэг.

Жишээлбэл, 3-р эрэмбийн тэгшитгэл

Шийдэл бий .

Нэг буюу өөр аргаар, жишээлбэл сонгох, тэгшитгэлийг хангасан нэг функцийг олох нь үүнийг шийдэх гэсэн үг биш юм. Энгийн дифференциал тэгшитгэлийг шийднэ гэдэг нь олох гэсэн үг Бүгдтэгшитгэлд орлуулах үед ижил төстэй байдлыг үүсгэдэг функцууд. (1.1) тэгшитгэлийн хувьд дурын тогтмолуудыг ашиглан ийм функцүүдийн бүлгийг үүсгэсэн бөгөөд үүнийг энгийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл гэж нэрлэдэг. n--р дараалал, тогтмолуудын тоо нь тэгшитгэлийн дараалалтай давхцаж байна: Ерөнхий шийдэл нь байж болох боловч тодорхой шийдэгдээгүй байна. у(х): Энэ тохиолдолд шийдлийг ихэвчлэн (1.1) тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл гэж нэрлэдэг.

Жишээлбэл, дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь дараах илэрхийлэл юм: , 2-т хуваагдсан дурын тогтмолыг шинэ дурын тогтмолоор сольж болох тул хоёр дахь гишүүнийг - гэж бичиж болно.

Ерөнхий шийдэл эсвэл ерөнхий интеграл дахь бүх дурын тогтмолуудад зарим зөвшөөрөгдөх утгыг оноож өгснөөр бид дурын тогтмолыг агуулаагүй тодорхой функцийг олж авдаг. Энэ функцийг (1.1) тэгшитгэлийн хэсэгчилсэн шийдэл эсвэл хэсэгчилсэн интеграл гэж нэрлэдэг. Дурын тогтмолуудын утгыг олохын тулд (1.1) тэгшитгэлийн янз бүрийн нэмэлт нөхцлийг ашигладаг. Жишээлбэл, анхны нөхцөл гэж нэрлэгддэг нөхцөлийг (1.2)-д зааж өгч болно.

Эхний нөхцлийн баруун талд (1.2) функц ба деривативын тоон утгыг зааж өгсөн бөгөөд эхний нөхцлийн нийт тоо нь тодорхойлсон дурын тогтмолуудын тоотой тэнцүү байна.

Анхны нөхцлөөр (1.1) тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг олох бодлогыг Коши бодлого гэнэ.

§ 2. 1-р эрэмбийн ердийн дифференциал тэгшитгэл - үндсэн ойлголтууд.

1-р эрэмбийн ердийн дифференциал тэгшитгэл ( n=1) дараах хэлбэртэй байна: эсвэл деривативын хувьд шийдвэрлэх боломжтой бол: . Нийтлэг шийдвэр y=y(x,С) эсвэл 1-р эрэмбийн тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл нь нэг дурын тогтмолыг агуулна. 1-р эрэмбийн тэгшитгэлийн цорын ганц анхны нөхцөл нь ерөнхий шийдэл эсвэл ерөнхий интегралаас тогтмол утгыг тодорхойлох боломжийг олгодог. Тиймээс тодорхой шийдэл олдох болно, эсвэл Кошигийн асуудал ч шийдэгдэх болно. Кошигийн асуудлын шийдлийн оршин тогтнол ба өвөрмөц байдлын тухай асуудал нь энгийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий онолын гол асуудлын нэг юм. 1-р эрэмбийн тэгшитгэлийн хувьд, тухайлбал теорем нь хүчинтэй бөгөөд үүнийг нотлох баримтгүйгээр хүлээн зөвшөөрдөг.

Теорем 2.1.Хэрэв тэгшитгэлд функц ба түүний хэсэгчилсэн дериватив нь зарим мужид тасралтгүй байвал Д онгоц XOY , мөн энэ хэсэгт цэг өгвөл тэгшитгэл болон анхны нөхцөл хоёуланг нь хангасан өвөрмөц шийдэл байна.

Геометрийн хувьд 1-р эрэмбийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хавтгай дээрх муруйн гэр бүл юм XOY, нийтлэг цэггүй, нэг параметрээр бие биенээсээ ялгаатай - тогтмолын утга C. Эдгээр муруйг өгөгдсөн тэгшитгэлийн интеграл муруй гэж нэрлэдэг. Интеграл тэгшитгэлийн муруй нь тодорхой геометрийн шинж чанартай байдаг: цэг бүрт муруй руу шүргэгч шүргэгч нь энэ цэг дэх тэгшитгэлийн баруун талын утгатай тэнцүү байна: . Өөрөөр хэлбэл тэгшитгэлийг хавтгайд өгсөн болно XOYинтеграл муруй руу шүргэгчийн чиглэлийн талбар. Сэтгэгдэл: Eq гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. тэгшитгэл ба тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг тэгш хэмтэй хэлбэрээр өгөгдсөн .

Салгаж болох хувьсагчтай 1-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл.

Тодорхойлолт.Салгаж болох хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэл нь хэлбэрийн тэгшитгэл юм (3.1)

эсвэл (3.2) хэлбэрийн тэгшитгэл

(3.1) тэгшитгэлийн хувьсагчдыг салгахын тулд, i.e. Энэ тэгшитгэлийг салангид хувьсагчийн тэгшитгэл гэж нэрлэхэд дараах зүйлийг хийнэ үү.

;

Одоо бид тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй g(y)= 0. Хэрэв энэ нь бодит шийдэлтэй бол у=а, Тэр у=амөн (3.1) тэгшитгэлийн шийдэл болно.

(3.2) тэгшитгэлийг бүтээгдэхүүнд хуваах замаар салангид тэгшитгэл болгон бууруулна.

, энэ нь (3.2) тэгшитгэлийн ерөнхий интегралыг олж авах боломжийг олгодог: . (3.3)

Хэрэв ийм шийдэл байгаа бол интеграл муруй (3.3) нь шийдлээр нэмэгдэнэ.

Тэгшитгэлийг шийд: .

Бид хувьсагчдыг ялгадаг:

.

Интеграцчилснаар бид олж авдаг

Тусгаарлагдсан хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичнэ. (1). Энэ тэгшитгэлийн нэг гишүүн зөвхөн х-ээс, нөгөө гишүүн нь зөвхөн у-аас хамаарна. Энэ тэгшитгэлийг гишүүнээр нь нэгтгэснээр бид дараахь зүйлийг олж авна.
нь түүний ерөнхий интеграл юм.

Жишээ: тэгшитгэлийн ерөнхий интегралыг ол:
.

Шийдэл: Энэ тэгшитгэл нь тусгаарлагдсан дифференциал тэгшитгэл юм. Тийм ч учраас
эсвэл
гэж тэмдэглэе
. Дараа нь
– дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл.

Салгаж болох тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна (2). (2) тэгшитгэлийг гишүүнээр хуваах замаар (1) тэгшитгэл рүү амархан буулгаж болно
. Бид авах:

- ерөнхий интеграл.

Жишээ:Тэгшитгэлийг шийд .

Шийдэл: тэгшитгэлийн зүүн талыг хувирга: . Тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваа


Үүний шийдэл нь дараах илэрхийлэл юм.
тэдгээр.

Нэг төрлийн дифференциал тэгшитгэл. Бернуллигийн тэгшитгэл. Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл.

Маягтын тэгшитгэл гэж нэрлэдэг нэгэн төрлийн, Хэрэв
Тэгээд
– ижил дарааллын нэгэн төрлийн функцууд (хэмжээ). Чиг үүрэг
Хэрэв аргумент бүрийг дурын хүчин зүйлээр үржүүлбэл эхний эрэмбийн нэгэн төрлийн функц (хэмжилт) гэж нэрлэгддэг. функцийг бүхэлд нь үржүүлнэ , өөрөөр хэлбэл
=
.

Нэг төрлийн тэгшитгэлийг хэлбэрт оруулж болно
. Орлуулах ашиглах
(
) нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг шинэ функцийн хувьд салгаж болох хувьсагчтай тэгшитгэл болгон бууруулна. .

Эхний эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг шугаман, маягтаар бичих боломжтой бол
.

Бернулли арга

Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх
нь өөр хоёр функцын бүтээгдэхүүн гэж эрэлхийлдэг, өөрөөр хэлбэл. орлуулах ашиглах
(
).

Жишээ:тэгшитгэлийг нэгтгэх
.

Бид итгэж байна
. Дараа нь, өөрөөр хэлбэл. . Эхлээд бид тэгшитгэлийг шийднэ
=0:


.

Одоо бид тэгшитгэлийг шийднэ
тэдгээр.


. Тэгэхээр энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь байна
тэдгээр.

Ж.Бернуллигийн тэгшитгэл

Хэлбэрийн тэгшитгэл, хаана
дуудсан Бернуллигийн тэгшитгэл. Энэ тэгшитгэлийг Бернуллигийн аргыг ашиглан шийддэг.

Тогтмол коэффициент бүхий нэгэн төрлийн хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл

Хоёр дахь эрэмбийн нэгэн төрлийн шугаман дифференциал тэгшитгэл нь хэлбэрийн тэгшитгэл юм (1) , Хаана Тэгээд байнгын.

Бид (1) тэгшитгэлийн хэсэгчилсэн шийдлийг хэлбэрээр хайх болно
, Хаана руу- тодорхой тоо. Энэ функцийг хоёр удаа ялгаж, илэрхийллийг орлуулах
(1) тэгшитгэлд бид үүнийг олж авна, эсвэл
(2) (
).

2-р тэгшитгэлийг дифференциал тэгшитгэлийн шинж чанарын тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Онцлогийн тэгшитгэлийг (2) шийдвэрлэхдээ гурван тохиолдол боломжтой.

Тохиолдол 1.Үндэс Тэгээд тэгшитгэл (2) нь бодит ба ялгаатай:

Тэгээд

.

Тохиолдол 2.Үндэс Тэгээд тэгшитгэл (2) нь бодит ба тэнцүү байна:
. Энэ тохиолдолд (1) тэгшитгэлийн хэсэгчилсэн шийдлүүд нь функцууд болно
Тэгээд
. Тиймээс (1) тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна
.

Тохиолдол 3.Үндэс Тэгээд тэгшитгэл (2) нь нарийн төвөгтэй:
,
. Энэ тохиолдолд (1) тэгшитгэлийн хэсэгчилсэн шийдлүүд нь функцууд болно
Тэгээд
. Тиймээс (1) тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна

Жишээ.Тэгшитгэлийг шийд
.

Шийдэл:Онцлог тэгшитгэлийг байгуулъя:
. Дараа нь
. Энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл
.

Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн экстремум. Нөхцөлт экстремум.

Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн экстремум

Тодорхойлолт.М цэг (x О ,y О ) гэж нэрлэдэгхамгийн их (хамгийн бага) цэг функцуудz= е(x, y), хэрэв М цэгийн хөрш байгаа бол энэ хөршөөс (x, y) бүх цэгүүдэд тэгш бус байдал бий болно.
(
)

Зураг дээр. 1 оноо А
- хамгийн бага оноо, оноо байдаг IN
- хамгийн дээд цэг.

Шаардлагатайэкстремум нөхцөл нь Фермагийн теоремын олон хэмжээст аналог юм.

Теорем.Гол нь байя
– нь дифференциалагдах функцийн экстремум цэг юмz= е(x, у). Дараа нь хэсэгчилсэн деривативууд
Тэгээд
Вэнэ үед тэгтэй тэнцүү байна.

Функцийн экстремумд шаардлагатай нөхцөл хангагдсан цэгүүд z= е(x, у),тэдгээр. хэсэгчилсэн деривативууд z" x Тэгээд z" y тэгтэй тэнцүү гэж нэрлэдэг шүүмжлэлтэйэсвэл суурин.

Хэсэгчилсэн деривативуудын тэгтэй тэнцүү байх нь зөвхөн шаардлагатай, гэхдээ хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн экстремумын хувьд хангалтгүй нөхцөлийг илэрхийлдэг.

Зураг дээр. гэж нэрлэгддэг эмээлийн цэг M (x О ,y О ). Хэсэгчилсэн дериватив
Тэгээд
тэгтэй тэнцүү боловч цэг дээр экстремум байхгүй нь тодорхой М(х О ,y О ) Үгүй

Ийм эмээлийн цэгүүд нь нэг хувьсагчийн функцүүдийн нугалах цэгүүдийн хоёр хэмжээст аналог юм. Гол бэрхшээл нь тэдгээрийг туйлын цэгүүдээс салгах явдал юм. Өөрөөр хэлбэл та мэдэх хэрэгтэй хангалттайэкстремум нөхцөл.

Теорем (хоёр хувьсагчийн функцийн экстремумын хангалттай нөхцөл).Функцийг зөвшөөрz= е(x, у): A) эгзэгтэй цэгийн зарим ойролцоо тодорхойлогдсон (x О ,y О ), үүнд
=0 ба
=0 ;

б) энэ цэгт хоёр дахь эрэмбийн тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативуудтай
;

;
Дараа нь хэрэв ∆=AC-B бол 2 >0, дараа нь (x О ,y О ) функцz= е(x, y) экстремумтай ба хэрэвА<0 - хамгийн их бол A>0 - хамгийн бага. ∆=AC-B тохиолдолд 2 <0, функция z= е(x, у) экстремумгүй. Хэрэв ∆=AC-B бол 2 =0, тэгвэл экстремум байгаа эсэх асуудал нээлттэй хэвээр байна.

Экстремум дахь хоёр хувьсагчийн функцийг судлахдараах зүйлийг хийхийг зөвлөж байна диаграм:

Функцийн хэсэгчилсэн деривативуудыг ол z" x Тэгээд z" y .

Тэгшитгэлийн системийг шийдэх z" x =0, z" y =0 функцийн эгзэгтэй цэгүүдийг ол.

Хоёрдахь эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олж, эгзэгтэй цэг бүрийн утгыг тооцоолж, хангалттай нөхцөлийг ашиглан экстремум байгаа эсэх талаар дүгнэлт гарга.

Функцийн экстремумыг (хэт утгыг) ол.

Жишээ.Функцийн экстремумыг ол

Шийдэл. 1. Хэсэгчилсэн деривативыг олох

2. Бид тэгшитгэлийн системээс функцийн эгзэгтэй цэгүүдийг олно.

дөрвөн шийдэлтэй (1; 1), (1; -1), (-1; 1) ба (-1; -1).

3. Хоёр дахь эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг ол:

;
;
, бид эгзэгтэй цэг бүрт тэдгээрийн утгыг тооцоолж, хангалттай экстремум нөхцөлийн биелэлтийг шалгадаг.

Жишээлбэл, (1; 1) цэг дээр А= z"(1; 1)= -1; B=0; C= -1. Учир нь ∆ =AC-B 2 = (-1) 2 -0=1 >0 ба A=-1<0, тэгвэл (1; 1) цэг нь хамгийн их цэг болно.

Үүний нэгэн адил бид (-1; -1) нь хамгийн бага цэг бөгөөд (1; -1) ба (-1; 1) цэгүүд гэдгийг тогтооно. ∆ =AC-B 2 <0, - экстремума нет. Эти точки являются седловыми.

4. z max = z(l; 1) = 2, z min = z(-l; -1) = -2, функцийн экстремумыг ол.

Нөхцөлт экстремум. Лагранж үржүүлэгчийн арга.

Хэд хэдэн хувьсагчийн функцэд хамаарах асуудлыг авч үзье, түүний экстремумыг тодорхойлолтын бүх хүрээнээс биш, харин тодорхой нөхцөлийг хангасан олонлогоос хайж байна.

z = функцийг авч үзье е(x, y), аргументууд XТэгээд цагтнөхцөлийг хангадаг g(x,y)= ХАМТ,дуудсан холболтын тэгшитгэл.

Тодорхойлолт.Цэг
цэг гэж нэрлэдэгнөхцөлт дээд хэмжээ (хамгийн бага), хэрэв энэ цэгийн хөрш байгаа бол энэ хөршийн бүх цэгүүдэд (x,y) нөхцөлийг хангасан байх болно.g (x, y) = C, тэгш бус байдал биелнэ

(
).

Зураг дээр. нөхцөлт дээд цэгийг үзүүлэв
. Энэ нь z = функцийн болзолгүй экстремум цэг биш нь ойлгомжтой е(x, y) (зураг дээр энэ нь цэг юм
).

Хоёр хувьсагчийн функцийн нөхцөлт экстремумыг олох хамгийн энгийн арга бол нэг хувьсагчийн функцийн экстремумыг олох асуудлыг багасгах явдал юм. Холболтын тэгшитгэлийг авч үзье g (x, y) = ХАМТнэг хувьсагчийн талаар шийдэж чадсан, жишээ нь илэрхийлэх цагтдамжуулан X:
. Үүссэн илэрхийллийг хоёр хувьсагчийн функц болгон орлуулснаар z = болно е(x, y) =
, тэдгээр. нэг хувьсагчийн функц. Үүний экстремум нь функцийн нөхцөлт экстремум байх болно z = е(x, y).

Жишээ. X 2 + y 2 үүнийг өгсөн 3x +2y = 11.

Шийдэл. 3x + 2y = 11 тэгшитгэлээс бид y хувьсагчийг х хувьсагчаар илэрхийлж, үр дүнг нь орлуулна.
функцийг гүйцэтгэх z. Бид авдаг z= x 2 +2
эсвэл z =
. Энэ функц нь өвөрмөц минимумтай = 3. Харгалзах функцийн утга
Тиймээс (3; 1) нь нөхцөлт экстремум (хамгийн бага) цэг юм.

Харгалзан үзэх жишээнд холболтын тэгшитгэл g(x, y) = Cшугаман болж хувирсан тул аль нэг хувьсагчийн хувьд амархан шийдэгдсэн. Гэсэн хэдий ч илүү төвөгтэй тохиолдолд үүнийг хийх боломжгүй юм.

Ерөнхий тохиолдолд нөхцөлт экстремумыг олохын тулд бид ашигладаг Лагранж үржүүлэгчийн арга.

Гурван хувьсагчийн функцийг авч үзье

Энэ функцийг нэрлэдэг Лагранж функц,А - Лагранжийн үржүүлэгч.Дараах теорем үнэн.

Теорем.Хэрэв цэг бол
функцийн нөхцөлт экстремум цэг юмz = е(x, y) үүнийг өгсөнg (x, y) = C, тэгвэл утга байна ийм цэг
функцийн экстремум цэг юмЛ{ x, y, ).

Тиймээс функцийн нөхцөлт экстремумыг олох z = е(x,y)үүнийг өгсөн g(x, y) = Cсистемийн шийдлийг олох хэрэгтэй

Зураг дээр. Лагранжийн нөхцлийн геометрийн утгыг харуулав. Шугам g(x,y)= C цэгтэй, түвшний шугам g(x, y) = Q z = функцууд е(x, y) хатуу.

Зураг дээрээс. үүнийг дагадаг нөхцөлт экстремум цэг дээр функцын түвшний шугам z = е(x, y) шугамд хүрнэg(x, y) = С.

Жишээ. z = функцийн хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүдийг ол X 2 + y 2 үүнийг өгсөн 3x +2y = 11 Лагранжийн үржүүлэгчийн аргыг ашиглан.

Шийдэл. Лагранж функцийг эмхэтгэх Л= x 2 + 2у 2 +

Түүний хэсэгчилсэн деривативуудыг тэгтэй тэнцүүлснээр бид тэгшитгэлийн системийг олж авна

Үүний цорын ганц шийдэл (x=3, y=1, =-2). Тиймээс нөхцөлт экстремум цэг нь зөвхөн (3;1) цэг байж болно. Энэ үед функц ажиллаж байгаа эсэхийг шалгахад хялбар байдаг z= е(x, y) болзолт доод хэмжээтэй байна.

Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл. Шийдлийн жишээ.
Салгаж болох хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэл

Дифференциал тэгшитгэл (DE). Энэ хоёр үг ихэвчлэн энгийн хүнийг айлгадаг. Дифференциал тэгшитгэл нь олон оюутнуудын хувьд хэцүү бөгөөд эзэмшихэд хэцүү зүйл юм шиг санагддаг. Ууууууу... дифференциал тэгшитгэл, би энэ бүхнийг яаж давах вэ?!

Энэ үзэл бодол, энэ хандлага үндсэндээ буруу, учир нь үнэндээ Дифференциал тэгшитгэлүүд - ЭНГИЙН ЭНГИЙН, БҮР ХӨГЖИЛТЭЙ. Дифференциал тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэж сурахын тулд та юу мэдэж, чадвартай байх ёстой вэ? Тархалтыг амжилттай судлахын тулд та нэгтгэх, ялгах чадвар сайтай байх ёстой. Сэдвүүдийг илүү сайн судалдаг Нэг хувьсагчийн функцийн деривативТэгээд Тодорхой бус интеграл, дифференциал тэгшитгэлийг ойлгоход хялбар байх болно. Би илүү ихийг хэлэх болно, хэрэв та илүү их эсвэл бага хэмжээний интеграцийн ур чадвартай бол энэ сэдвийг бараг эзэмшсэн байна! Төрөл бүрийн интегралыг шийдэх тусам илүү сайн. Яагаад? Та маш их нэгтгэх хэрэгтэй болно. Мөн ялгах. Мөн маш их зөвлөж байнаолж сур.

Тохиолдлын 95% -д туршилтын баримт бичигт 3 төрлийн нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл агуулагддаг. салгаж болох тэгшитгэлүүдҮүнийг бид энэ хичээл дээр авч үзэх болно; нэгэн төрлийн тэгшитгэлТэгээд шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэл. Диффузорыг судалж эхэлж буй хүмүүст би хичээлүүдийг яг энэ дарааллаар уншихыг зөвлөж байна, эхний хоёр өгүүллийг судалсны дараа нэмэлт семинарт ур чадвараа нэгтгэх нь гэмтэхгүй. нэгэн төрлийн болгон бууруулж буй тэгшитгэлүүд.

Илүү ховор дифференциал тэгшитгэлүүд байдаг: нийт дифференциал тэгшитгэл, Бернулли тэгшитгэл болон бусад. Сүүлийн хоёр төрлөөс хамгийн чухал нь нийт дифференциал дахь тэгшитгэлүүд юм, учир нь энэ дифференциал тэгшитгэлээс гадна би шинэ материалыг авч үзэх болно - хэсэгчилсэн интеграци.

Хэрэв танд ганц хоёр хоног үлдсэн бол, Тэр хэт хурдан бэлтгэх зориулалттайБайна блиц курс pdf форматаар.

Тиймээс, тэмдэглэгээг тогтоосон - явцгаая:

Эхлээд ердийн алгебрийн тэгшитгэлийг санацгаая. Эдгээр нь хувьсагч, тоонуудыг агуулдаг. Хамгийн энгийн жишээ: . Энгийн тэгшитгэлийг шийднэ гэдэг нь юу гэсэн үг вэ? Энэ нь олох гэсэн үг юм тооны багц, энэ тэгшитгэлийг хангадаг. Хүүхдүүдийн тэгшитгэл нь нэг үндэстэй болохыг анзаарахад хялбар байдаг: . Хөгжилтэй байхын тулд олсон үндсийг шалгаад тэгшитгэлдээ орлъё:

– зөв тэгш байдлыг олж авсан нь шийдлийг зөв олсон гэсэн үг.

Диффузорууд нь ижил аргаар хийгдсэн байдаг!

Дифференциал тэгшитгэл эхний захиалгаерөнхийдөө агуулсан:
1) бие даасан хувьсагч;
2) хамааралтай хувьсагч (функц);
3) функцийн эхний дериватив: .

Зарим 1-р эрэмбийн тэгшитгэлд "x" ба/эсвэл "y" байхгүй байж болох ч энэ нь тийм ч чухал биш юм. чухалхяналтын өрөө рүү явах байсананхны дериватив, ба байхгүй байсандээд эрэмбийн дериватив – гэх мэт.

Юу гэж байгаан ?Дифференциал тэгшитгэлийг шийднэ гэдэг нь олно гэсэн үг бүх функцийн багц, энэ тэгшитгэлийг хангадаг. Ийм функцүүдийн багц нь ихэвчлэн хэлбэртэй байдаг (- дурын тогтмол) гэж нэрлэдэг дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл.

Жишээ 1

Дифференциал тэгшитгэлийг шийд

Бүрэн сум. Хаанаас эхлэх вэ шийдэл?

Юуны өмнө та деривативыг арай өөр хэлбэрээр дахин бичих хэрэгтэй. Та нарын ихэнх нь инээдтэй, шаардлагагүй мэт санагдаж байсан нүсэр тэмдэглэгээг бид санаж байна. Диффузоруудад ийм дүрэм журам байдаг!

Хоёр дахь шатанд энэ нь боломжтой эсэхийг харцгаая тусдаа хувьсагч?Хувьсагчдыг салгах нь юу гэсэн үг вэ? Бүдүүлэг хэлэхэд, зүүн талдбид явах хэрэгтэй зөвхөн "Грекүүд", А баруун талдзохион байгуулах зөвхөн "X". Хувьсагчдыг хуваах нь "сургуулийн" заль мэхийг ашиглан хийгддэг: тэдгээрийг хаалтанд оруулах, тэмдэгтийн өөрчлөлтөөр нэр томъёог хэсгээс хэсэг рүү шилжүүлэх, пропорциональ дүрмийн дагуу хүчин зүйлийг хэсгээс хэсэг рүү шилжүүлэх гэх мэт.

Дифференциалууд нь бүрэн үржүүлэгч, дайны ажиллагаанд идэвхтэй оролцогчид юм. Харж буй жишээн дээр хувьсагчдыг пропорциональ дүрмийн дагуу хүчин зүйлсийг шидэх замаар хялбархан салгаж болно.

Хувьсагчдыг тусгаарласан. Зүүн талд зөвхөн "Y", баруун талд нь зөвхөн "X" байна.

Дараагийн шат - дифференциал тэгшитгэлийн интеграл. Энэ нь энгийн, бид хоёр талдаа интеграл тавьдаг:

Мэдээжийн хэрэг, бид интеграл авах хэрэгтэй. Энэ тохиолдолд тэдгээр нь хүснэгт хэлбэртэй байна:

Бидний санаж байгаагаар аливаа антидеривативт тогтмолыг оноодог. Энд хоёр интеграл байгаа боловч тогтмолыг нэг удаа бичихэд хангалттай (тогтмол + тогтмол нь өөр тогтмолтой тэнцүү хэвээр байгаа тул). Ихэнх тохиолдолд энэ нь баруун талд байрладаг.

Хатуухан хэлэхэд интегралуудыг авсны дараа дифференциал тэгшитгэлийг шийдсэн гэж үзнэ. Ганц зүйл бол бидний "y" нь "x" -ээр илэрхийлэгдээгүй, өөрөөр хэлбэл шийдлийг танилцуулсан явдал юм далд хэлбэрээрхэлбэр. Далд хэлбэрийн дифференциал тэгшитгэлийн шийдийг гэнэ дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл. Өөрөөр хэлбэл, энэ бол ерөнхий интеграл юм.

Энэ маягтын хариултыг хүлээн зөвшөөрөх боломжтой, гэхдээ илүү сайн сонголт байна уу? Авахыг хичээцгээе нийтлэг шийдвэр.

Гуйя, Эхний техникийг санаарай, энэ нь маш түгээмэл бөгөөд практик даалгаварт ихэвчлэн ашиглагддаг: хэрэв интеграл хийсний дараа баруун талд логарифм гарч ирвэл олон тохиолдолд (гэхдээ үргэлж биш!) тогтмолыг логарифмын доор бичихийг зөвлөж байна. Үр дүн нь зөвхөн логарифм байвал (харгалзаж буй жишээн дээрх шиг) бичих нь гарцаагүй..

Тэр бол, ОРОНДоруулгууд нь ихэвчлэн бичигдсэн байдаг .

Энэ яагаад хэрэгтэй вэ? Мөн "тоглоом" -ыг илэрхийлэхэд хялбар болгохын тулд. Логарифмын шинж чанарыг ашиглах . Энэ тохиолдолд:

Одоо логарифм болон модулиудыг устгаж болно:

Функцийг тодорхой харуулсан. Энэ бол ерөнхий шийдэл юм.

Хариулт: нийтлэг шийдвэр: .

Олон дифференциал тэгшитгэлийн хариултыг шалгахад маш хялбар байдаг. Манай тохиолдолд үүнийг маш энгийнээр хийдэг, бид олсон шийдлийг авч, ялгадаг.

Дараа нь бид деривативыг анхны тэгшитгэлд орлуулна.

– зөв тэгш байдлыг олж авсан бөгөөд энэ нь ерөнхий шийдэл нь тэгшитгэлийг хангасан гэсэн үг бөгөөд үүнийг шалгах шаардлагатай байна.

Тогтмол өөр утгыг өгснөөр та хязгааргүй тоог авч болно хувийн шийдлүүддифференциал тэгшитгэл. , гэх мэт функцүүдийн аль нэг нь тодорхой байна. дифференциал тэгшитгэлийг хангана.

Заримдаа ерөнхий шийдлийг дууддаг функцүүдийн гэр бүл. Энэ жишээнд ерөнхий шийдэл нь шугаман функцүүдийн гэр бүл, эсвэл илүү нарийвчлалтайгаар шууд пропорциональ гэр бүл юм.

Эхний жишээг сайтар судалсны дараа дифференциал тэгшитгэлийн талаархи хэд хэдэн гэнэн асуултанд хариулах нь зүйтэй юм.

1)Энэ жишээн дээр бид хувьсагчдыг салгаж чадсан. Үүнийг үргэлж хийх боломжтой юу?Үгүй ээ, үргэлж биш. Бүр илүү олон удаа хувьсагчдыг салгах боломжгүй байдаг. Жишээлбэл, in Нэг төрлийн нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлүүд, та эхлээд үүнийг солих хэрэгтэй. Бусад төрлийн тэгшитгэлд, жишээлбэл, нэгдүгээр эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлд ерөнхий шийдлийг олохын тулд янз бүрийн техник, аргуудыг ашиглах хэрэгтэй. Эхний хичээл дээр авч үзэх салж болох хувьсагчтай тэгшитгэлүүд нь дифференциал тэгшитгэлийн хамгийн энгийн төрөл юм.

2) Дифференциал тэгшитгэлийг үргэлж интегралдах боломжтой юу?Үгүй ээ, үргэлж биш. Интегралд оруулах боломжгүй "сайхан" тэгшитгэлийг гаргах нь маш амархан бөгөөд үүнээс гадна авах боломжгүй интегралууд байдаг. Гэхдээ ийм DE-ийг тусгай аргыг ашиглан ойролцоогоор шийдэж болно. Д’Аламберт, Коши хоёр баталгаатай... ...Өө, lurkmore.Дөнгөж сая их уншихын тулд би бараг л “нөгөө ертөнцөөс” гэж нэмсэн.

3) Энэ жишээн дээр бид ерөнхий интеграл хэлбэрээр шийдлийг олж авсан . Ерөнхий интегралаас ерөнхий шийдийг олох, өөрөөр хэлбэл “y”-г тодорхой илэрхийлэх боломжтой юу?Үгүй ээ, үргэлж биш. Жишээлбэл: . "Грек хэл"-ийг энд яаж илэрхийлж чадаж байна аа?! Ийм тохиолдолд хариултыг ерөнхий интеграл хэлбэрээр бичих хэрэгтэй. Нэмж хэлэхэд, заримдаа ерөнхий шийдлийг олох боломжтой байдаг, гэхдээ энэ нь маш төвөгтэй, болхи бичсэн тул хариултыг ерөнхий интеграл хэлбэрээр үлдээсэн нь дээр.

4) ... магадгүй энэ нь одоохондоо хангалттай байх. Эхний жишээн дээр бид тааралдсан өөр нэг чухал зүйл, гэхдээ "дамми" -ыг шинэ мэдээллээр халхлахгүйн тулд би дараагийн хичээл хүртэл үлдээх болно.

Бид яарахгүй. Өөр нэг энгийн алсын удирдлага ба өөр нэг ердийн шийдэл:

Жишээ 2

Анхны нөхцөлийг хангасан дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг ол

Шийдэл: нөхцөлийн дагуу та олох хэрэгтэй хувийн шийдэлӨгөгдсөн анхны нөхцөлийг хангасан DE. Асуултын ийм томъёоллыг бас нэрлэдэг Кошигийн асуудал.

Эхлээд бид ерөнхий шийдлийг олдог. Тэгшитгэлд "x" хувьсагч байхгүй, гэхдээ энэ нь андуурч болохгүй, гол зүйл бол эхний деривативтай байх явдал юм.

Бид деривативыг шаардлагатай хэлбэрээр дахин бичнэ.

Мэдээжийн хэрэг, хувьсагчдыг ялгаж болно, хөвгүүд зүүн талд, охид баруун талд:

Тэгшитгэлийг нэгтгэж үзье:

Ерөнхий интегралыг олж авна. Энд би одоор тэмдэглэгдсэн тогтмолыг зурсан бөгөөд энэ нь тун удахгүй өөр тогтмол болж хувирах болно.

Одоо бид ерөнхий интегралыг ерөнхий шийдэл болгон хувиргахыг хичээж байна ("y"-г тодорхой илэрхийлнэ үү). Сургуулийн өмнөх сайхан зүйлсийг санацгаая: . Энэ тохиолдолд:

Индикатор дахь тогтмол нь ямар нэгэн байдлаар эвгүй харагддаг тул ихэвчлэн дэлхий дээр буулгадаг. Нарийвчилсан байдлаар ийм зүйл тохиолддог. Зэрэглэлийн шинж чанарыг ашиглан функцийг дараах байдлаар дахин бичнэ.

Хэрэв тогтмол бол зарим нэг тогтмол бол үүнийг үсгээр дахин тэмдэглэе:
- энэ тохиолдолд бид модулийг устгадаг бөгөөд үүний дараа "ce" тогтмол нь эерэг ба сөрөг утгыг авч болно

Тогтмолыг "нураах" гэдгийг санаарай хоёр дахь техник, энэ нь дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн хэрэглэгддэг. Цэвэр хувилбар дээр та нэн даруй очиж болно тулд, гэхдээ энэ шилжилтийг тайлбарлахад үргэлж бэлэн байгаарай.

Тэгэхээр ерөнхий шийдэл нь: . Энэ бол экспоненциал функцүүдийн сайхан гэр бүл юм.

Эцсийн шатанд та өгөгдсөн анхны нөхцөлийг хангасан тодорхой шийдлийг олох хэрэгтэй. Энэ бас энгийн.

Даалгавар юу вэ? Татаж авах хэрэгтэй иймнөхцөл хангагдахын тулд тогтмолын утга.

Үүнийг янз бүрийн хэлбэрээр форматлаж болох боловч энэ нь магадгүй хамгийн ойлгомжтой арга байх болно. Ерөнхий шийдэлд "X"-ийн оронд тэгийг, "Y"-ийн оронд хоёрыг орлуулна.



Тэр бол,

Стандарт дизайны хувилбар:

Одоо бид тогтмолын олсон утгыг ерөнхий шийдэлд орлуулна.
- Энэ бол бидэнд хэрэгтэй тодорхой шийдэл юм.

Хариулт: хувийн шийдэл:

Шалгацгаая. Хувийн шийдлийг шалгах нь хоёр үе шаттай:

Эхлээд та тодорхой шийдэл нь анхны нөхцөлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгах хэрэгтэй. "X"-ийн оронд бид тэгийг орлуулж, юу болохыг харна уу:
- тийм ээ, үнэхээр хоёрыг авсан нь эхний нөхцөл хангагдсан гэсэн үг.

Хоёр дахь шат нь аль хэдийн танил болсон. Бид тодорхой шийдлийг гаргаж, деривативыг олно.

Бид анхны тэгшитгэлд орлуулна:

- зөв тэгш байдал бий болсон.

Дүгнэлт: тодорхой шийдлийг зөв олсон.

Илүү утга учиртай жишээнүүд рүү шилжье.

Жишээ 3

Дифференциал тэгшитгэлийг шийд

Шийдэл:Бид деривативыг шаардлагатай хэлбэрээр дахин бичнэ.

Хувьсагчдыг салгах боломжтой эсэхийг бид үнэлдэг үү? Чадах. Бид хоёр дахь нэр томъёог тэмдгийн өөрчлөлтөөр баруун тийш шилжүүлнэ.

Мөн бид үржүүлэгчийг пропорциональ дүрмийн дагуу шилжүүлдэг.

Хувьсагчдыг тусгаарласан тул хоёр хэсгийг нэгтгэж үзье:

Би танд анхааруулах ёстой, шүүлтийн өдөр ойртож байна. Хэрэв та сайн сураагүй бол тодорхойгүй интегралууд, цөөн хэдэн жишээг шийдсэн бол явах газар байхгүй - та одоо тэдгээрийг эзэмших хэрэгтэй болно.

Зүүн талын интегралыг олоход хялбар, бид хичээл дээр үзсэн стандарт техникийг ашиглан котангентын интегралыг авч үздэг. Тригонометрийн функцуудыг нэгтгэхөнгөрсөн жил:

Үүний үр дүнд бид зөвхөн логарифмыг авсан бөгөөд миний анхны техникийн зөвлөмжийн дагуу бид тогтмолыг логарифм гэж тодорхойлдог.

Одоо бид ерөнхий интегралыг хялбарчлахыг хичээж байна. Бидэнд зөвхөн логарифм байдаг тул тэднээс салах бүрэн боломжтой (мөн шаардлагатай). Ашиглах замаар мэдэгдэж байгаа шинж чанаруудБид логарифмуудыг аль болох "баглаа". Би үүнийг нарийвчлан бичих болно:

Сав баглаа боодол нь харгис хэрцгий урагдаж дууссан:
, мөн бид даруй танилцуулж байна ерөнхий интегралДашрамд хэлэхэд, энэ нь боломжтой бол:

Ерөнхийдөө үүнийг хийх шаардлагагүй, гэхдээ профессорыг баярлуулах нь үргэлж ашигтай байдаг ;-)

Зарчмын хувьд энэ бүтээлийг хариулт болгон бичиж болно, гэхдээ энд хоёр хэсгийг дөрвөлжин болгож, тогтмолыг дахин тодорхойлох нь зүйтэй.

Хариулт:ерөнхий интеграл:

! Жич: Ерөнхий интегралыг ихэвчлэн нэгээс олон аргаар бичиж болно. Тиймээс, хэрэв таны үр дүн өмнө нь мэдэгдэж байсан хариулттай давхцахгүй бол энэ нь тэгшитгэлийг буруу шийдсэн гэсэн үг биш юм.

"Тоглоом"-ыг илэрхийлэх боломжтой юу? Чадах. Ерөнхий шийдлийг илэрхийлье:

Мэдээжийн хэрэг, олж авсан үр дүн нь хариултанд тохиромжтой боловч ерөнхий интеграл нь илүү нягт, шийдэл нь богино байгааг анхаарна уу.

Гурав дахь техникийн зөвлөгөө:хэрэв ерөнхий шийдлийг олж авахын тулд олон тооны үйлдэл хийх шаардлагатай бол ихэнх тохиолдолд эдгээр үйлдлээс татгалзаж, хариултыг ерөнхий интеграл хэлбэрээр үлдээх нь дээр. Урвуу функцийг илэрхийлэх, хүчийг нэмэгдүүлэх, үндсийг задлах гэх мэт "муу" үйлдэлд мөн адил хамаарна.Баримт нь ерөнхий шийдэл нь мадаггүй зөв, төвөгтэй харагдах болно - том үндэс, тэмдэг болон бусад математикийн хогийн савтай.

Хэрхэн шалгах вэ? Шалгалтыг хоёр аргаар хийж болно. Нэгдүгээр арга: ерөнхий шийдлийг авна уу , бид деривативыг олдог мөн тэдгээрийг анхны тэгшитгэлд орлуулна. Та өөрөө туршаад үзээрэй!

Хоёр дахь арга нь ерөнхий интегралыг ялгах явдал юм. Энэ нь маш амархан, гол зүйл бол олох боломжтой байх явдал юм далд хэлбэрээр заасан функцийн дериватив:

нэр томъёо бүрийг дараахь байдлаар хуваана.

болон дээр:

Анхны дифференциал тэгшитгэлийг яг олж авсан нь ерөнхий интегралыг зөв олсон гэсэн үг.

Жишээ 4

Анхны нөхцөлийг хангасан дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг ол. Шалгалт хийх.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм.

Алгоритм нь хоёр үе шатаас бүрддэг гэдгийг танд сануулъя.
1) ерөнхий шийдлийг олох;
2) шаардлагатай тодорхой шийдлийг олох.

Шалгалт нь мөн хоёр үе шаттайгаар явагдана (Жишээ № 2-ын жишээг үзнэ үү), та дараахь зүйлийг хийх хэрэгтэй.
1) олсон тодорхой шийдэл нь анхны нөхцөлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгах;
2) тодорхой шийдэл нь дифференциал тэгшитгэлийг ерөнхийд нь хангаж байгаа эсэхийг шалгана.

Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Жишээ 5

Дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг ол , анхны нөхцөлийг хангаж байна. Шалгалт хийх.

Шийдэл:Эхлээд ерөнхий шийдлийг олъё.Энэ тэгшитгэл нь аль хэдийн бэлэн дифференциалуудыг агуулж байгаа тул шийдлийг хялбаршуулсан болно. Бид хувьсагчдыг ялгадаг:

Тэгшитгэлийг нэгтгэж үзье:

Зүүн талын интеграл нь хүснэгт хэлбэртэй, баруун талын интегралыг авсан функцийг дифференциал тэмдгийн доор оруулах арга:

Ерөнхий интегралыг олж авлаа, ерөнхий шийдийг амжилттай илэрхийлэх боломжтой юу? Чадах. Бид хоёр талдаа логарифмуудыг өлгөдөг. Тэдгээр нь эерэг тул модулийн тэмдгүүд шаардлагагүй:

(Хүн бүр өөрчлөлтийг ойлгосон байх гэж найдаж байна, ийм зүйлийг аль хэдийн мэддэг байх ёстой)

Тиймээс ерөнхий шийдэл нь:

Өгөгдсөн анхны нөхцөлд тохирох тодорхой шийдлийг олъё.
Ерөнхий шийдэлд "X"-ийн оронд бид тэгийг, "Y"-ийн оронд хоёр логарифмыг орлуулна.

Илүү танил дизайн:

Тогтмолын олсон утгыг ерөнхий шийдэлд орлуулна.

Хариулт:хувийн шийдэл:

Шалгах: Эхлээд эхний нөхцөл хангагдсан эсэхийг шалгая:
- бүх зүйл сайн байна.

Одоо олдсон тодорхой шийдэл нь дифференциал тэгшитгэлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгацгаая. Деривативыг олох нь:

Анхны тэгшитгэлийг харцгаая: - энэ нь дифференциал хэлбэрээр харагдаж байна. Шалгах хоёр арга бий. Олдсон деривативаас ялгахыг дараах байдлаар илэрхийлж болно.

Олдсон тодорхой шийдэл ба үр дүнгийн дифференциалыг анхны тэгшитгэлд орлуулъя :

Бид үндсэн логарифмын таних тэмдгийг ашигладаг:

Зөв тэгш байдлыг олж авсан бөгөөд энэ нь тодорхой шийдлийг зөв олсон гэсэн үг юм.

Шалгалтын хоёр дахь арга нь толин тусгал бөгөөд илүү танил юм: тэгшитгэлээс Деривативыг илэрхийлье, үүний тулд бид бүх хэсгүүдийг дараахь байдлаар хуваана.

Мөн хувиргасан DE-д бид олж авсан хэсэгчилсэн уусмал ба олсон деривативыг орлуулна. Хялбаршуулсаны үр дүнд зөв тэгш байдлыг олж авах ёстой.

Жишээ 6

Тэгшитгэлийн ерөнхий интегралыг олоод хариултыг хэлбэрээр үзүүл.

Энэ бол та өөрөө шийдэх, бүрэн шийдэл, хичээлийн төгсгөлд хариулах жишээ юм.

Салгаж болох хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ямар бэрхшээл тулгардаг вэ?

1) Хувьсагчдыг салгах боломжтой гэдэг нь үргэлж тодорхой байдаггүй (ялангуяа "цайны" хувьд). Болзолт жишээг авч үзье: . Энд та хүчин зүйлсийг хаалтнаас гаргаж, үндсийг нь салгах хэрэгтэй: . Цаашид юу хийх нь тодорхой.

2) Интеграцчлалын хүндрэлүүд. Интеграл нь ихэвчлэн хамгийн энгийн зүйл биш бөгөөд хэрэв олох ур чадварт дутагдалтай байвал тодорхойгүй интеграл, дараа нь олон диффузортой бол хэцүү байх болно. Нэмж дурдахад, "дифференциал тэгшитгэл нь энгийн тул ядаж интегралуудыг илүү төвөгтэй болго" гэсэн логик нь цуглуулга, сургалтын гарын авлагыг эмхэтгэгчдийн дунд түгээмэл байдаг.

3) Тогтмол тоо бүхий хувиргалтууд. Хүн бүр анзаарсанчлан дифференциал тэгшитгэлийн тогтмолыг маш чөлөөтэй зохицуулж болох бөгөөд зарим хувиргалтыг эхлэгчдэд тэр бүр ойлгодоггүй. Өөр нэг нөхцөлт жишээг харцгаая: . Бүх нэр томъёог 2-оор үржүүлэхийг зөвлөж байна. . Үүссэн тогтмол нь мөн нэг төрлийн тогтмол бөгөөд үүнийг дараах байдлаар тэмдэглэж болно. . Тийм ээ, бидэнд зөвхөн логаримууд байгаа тул тогтмолыг өөр тогтмол хэлбэрээр дахин бичихийг зөвлөж байна. .

Асуудал нь тэд ихэвчлэн индекст санаа зовдоггүй бөгөөд ижил үсгийг ашигладаг. Үүний үр дүнд шийдвэрийн тэмдэглэл дараах хэлбэртэй байна.

Юу вэ?! Энд алдаа байна! Хатуухан хэлэхэд тийм ээ. Гэсэн хэдий ч бодит байдлын үүднээс авч үзвэл алдаа байхгүй, учир нь хувьсагчийн тогтмолыг хувиргасны үр дүнд эквивалент хувьсагчийн тогтмолыг олж авдаг.

Эсвэл өөр нэг жишээ, тэгшитгэлийг шийдвэрлэх явцад ерөнхий интеграл олдлоо гэж бодъё. Энэ хариулт нь муухай харагдаж байгаа тул нэр томъёо бүрийн тэмдгийг өөрчлөхийг зөвлөж байна. . Албан ёсоор энд өөр нэг алдаа байна - үүнийг баруун талд бичих ёстой. Гэхдээ албан бусаар "хасах ce" нь тогтмол хэвээр байгаа бөгөөд энэ нь ижил утгыг авдаг тул "хасах" гэж хэлэх нь утгагүй юм.

Би хайхрамжгүй хандлагаас зайлсхийхийг хичээх болно, мөн тэдгээрийг хөрвүүлэхдээ тогтмол үзүүлэлтүүдэд өөр өөр индекс оноох болно. Үүнийг би танд хийхийг зөвлөж байна.

Жишээ 7

Дифференциал тэгшитгэлийг шийд. Шалгалт хийх.

Шийдэл:Энэ тэгшитгэл нь хувьсагчдыг салгах боломжийг олгодог. Бид хувьсагчдыг ялгадаг:

Нэгтгэцгээе:

Энд тогтмолыг логарифм гэж тодорхойлох шаардлагагүй, учир нь үүнээс ашигтай зүйл гарахгүй.

Хариулт:ерөнхий интеграл:

Мэдээжийн хэрэг, энд "y" гэж тодорхой илэрхийлэх шаардлагагүй, учир нь энэ нь хог болж хувирах болно (гурав дахь техникийн зөвлөмжийг санаарай).

Шалгалт: Хариултыг ялгах (далд функц):

Хоёр гишүүнийг дараах байдлаар үржүүлснээр бид бутархайг арилгадаг.

Анхны дифференциал тэгшитгэлийг авсан нь ерөнхий интегралыг зөв олсон гэсэн үг.

Жишээ 8

DE-ийн тодорхой шийдлийг ол.
,

Салгаж болох хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргыг авч үзсэн. Салгаж болох хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэлийн нарийвчилсан шийдлийн жишээг өгөв.

Агуулга

Тодорхойлолт

Болъё (x), q (x)- х хувьсагчийн функцууд;
х (y), r (y)- y хувьсагчийн функцууд.

Салгаж болох хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэл нь хэлбэрийн тэгшитгэл юм

Салгаж болох хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга

Тэгшитгэлийг авч үзье:
(i) .
y′ деривативыг дифференциалаар илэрхийлье.
;
.
dx-ээр үржүүлье.
(ii)
Тэгшитгэлийг s-д хуваа (x)r(y). Хэрэв s бол үүнийг хийж болно (x) r(y) ≠ 0. Хэзээ с (x) r(y) ≠ 0бидэнд байгаа
.
Интеграл хийснээр бид квадратуудын ерөнхий интегралыг олж авдаг
(iii) .

Бид s-д хуваагдсан тул (x)r(y), дараа нь бид s-ийн тэгшитгэлийн интегралыг олж авсан (x) ≠ 0болон r (y) ≠ 0. Дараа нь та тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй
r (y) = 0.
Хэрэв энэ тэгшитгэл нь үндэстэй бол (i) тэгшитгэлийн шийдэл болно. Тэгшитгэлийг r гэж үзье (y) = 0. n үндэстэй a i, r (a i ) = 0, i = 1, 2, ... , n. Тэгвэл y = a i тогтмолууд нь (i) тэгшитгэлийн шийдэл болно. Эдгээр шийдлүүдийн зарим нь ерөнхий интегралд (iii) орсон байж болно.

Хэрэв анхны тэгшитгэл (ii) хэлбэрээр өгөгдсөн бол бид мөн тэгшитгэлийг шийдэх ёстой гэдгийг анхаарна уу
с (x) = 0.
Үүний үндэс нь b j, s (b j ) = 0, j = 1, 2, ... , м. x = b j шийдлүүдийг өг.

Салгаж болох хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээ

Тэгшитгэлийг шийд

Деривативыг дифференциалаар илэрхийлье.


dx-ээр үржүүлж, хуваана. y ≠ 0-ийн хувьд бидэнд:

Интеграцид орцгооё.

Бид томьёог ашиглан интегралуудыг тооцоолно.



Орлуулснаар бид тэгшитгэлийн ерөнхий интегралыг олж авна
.

Одоо тохиолдлыг авч үзье, y = 0 .
Мэдээж y = 0 нь анхны тэгшитгэлийн шийдэл юм. Энэ нь ерөнхий интегралд ороогүй болно.
Тиймээс бид эцсийн үр дүнд нэмэх болно.

; у = 0 .

Лавлагаа:
Н.М. Гүнтер, Р.О. Кузьмин, Дээд математикийн асуудлын цуглуулга, "Лан", 2003 он.