Эхлэгчдэд зориулсан тригонометр. Тригонометр бол энгийн бөгөөд ойлгомжтой

Энэ хичээлээр бид тодорхойлолтуудыг сурах болно тригонометрийн функцууд ба тэдгээрийн үндсэн шинж чанарууд, хэрхэн ажиллах талаар сурах тригонометрийн тойрог, юу болохыг олж мэдээрэй функциональ хугацаамөн янз бүрийн зүйлийг санаарай өнцгийг хэмжих арга. Үүнээс гадна, ашиглах талаар авч үзье бууруулах томъёо.

Энэ хичээл нь даалгаврын нэг хэлбэрт бэлтгэхэд тань туслах болно. AT 7.

Математикийн шалгалтанд бэлтгэх

Туршилт

Хичээл 7Тригонометрийн танилцуулга.

Онол

Хичээлийн хураангуй

Өнөөдөр бид "Тригонометр" хэмээх олон хүнд айдас төрүүлдэг хэсгийг эхлүүлж байна. Энэ нь зарим хүмүүсийн бодож байгаа шиг геометртэй төстэй тусдаа биет биш гэдгийг нэн даруй олж мэдье. Грек хэлнээс орчуулагдсан ч "тригонометр" гэдэг үг нь "гурвалжингийн хэмжилт" гэсэн утгатай бөгөөд геометртэй шууд холбоотой. Үүнээс гадна тригонометрийн тооцоог физик, технологид өргөн ашигладаг. Гэхдээ бид тригонометрийн үндсэн функцуудыг тэгш өнцөгт гурвалжны тусламжтайгаар геометрт хэрхэн нэвтрүүлдэг талаар нарийвчлан авч үзэх болно.

Бид дөнгөж сая "тригонометрийн функц" гэсэн нэр томъёог ашигласан - энэ нь бид нэг хувьсагчийн нөгөө хувьсагчийн харгалзах тодорхой хуулиудын бүхэл бүтэн ангийг нэвтрүүлнэ гэсэн үг юм.

Үүнийг хийхийн тулд тэгш өнцөгт гурвалжинг анхаарч үзээрэй, үүнд тохиромжтой байхын тулд тал ба өнцгийн стандарт тэмдэглэгээг зураг дээрээс харж болно.

Жишээлбэл, өнцгийг авч үзьеүүний тулд дараах үйлдлүүдийг оруулна уу:

Эсрэг хөлний гипотенузын харьцааг синус гэж нэрлэдэг, i.e.

Зэргэлдээх хөлний гипотенузын харьцааг косинус гэж нэрлэдэг, i.e. ;

Эсрэг хөлний зэргэлдээх хөлийн харьцааг шүргэгч гэж нэрлэдэг, i.e. ;

Зэргэлдээх хөлийн эсрэг талын хөлний харьцааг котангенс гэж нэрлэнэ, i.e. .

Өнцөг бүхий эдгээр бүх үйлдлүүд гэж нэрлэгддэг тригонометрийн функцууд. Өнцөг өөрөө нэгэн зэрэг ихэвчлэн дуудагддаг тригонометрийн функцийн аргументмөн үүнийг жишээ нь, алгебрийн заншлын дагуу х-ээр тэмдэглэж болно.

Тригонометрийн функцууд нь өнцгөөс яг хамаардаг гэдгийг нэн даруй ойлгох нь чухал юм зөв гурвалжин, хажуу талаас нь биш. Хэрэв бид үүнтэй төстэй гурвалжинг авч үзвэл талуудын урт нь өөр байх бөгөөд талуудын бүх өнцөг, харьцаа өөрчлөгдөхгүй, өөрөөр хэлбэл үүнийг батлахад хялбар болно. өнцгийн тригонометрийн функцууд мөн өөрчлөгдөхгүй хэвээр байх болно.

Тригонометрийн функцүүдийн ийм тодорхойлолтын дараа асуулт гарч ирж магадгүй юм. "Жишээ нь, тэнд байна уу?? Эцсийн эцэст, булантэгш өнцөгт гурвалжинд байж болохгүй» . Хачирхалтай нь, энэ асуултын хариулт нь тийм бөгөөд энэ илэрхийллийн утга нь бүр ч гайхалтай юм, учир нь бүх тригонометрийн функцууд нь тэгш өнцөгт гурвалжны талуудын харьцаа бөгөөд талуудын урт нь эерэг тоо юм.

Гэхдээ үүнд парадокс байхгүй. Жишээлбэл, физикийн хувьд зарим үйл явцыг тайлбарлахдаа өнцгийн тригонометрийн функцийг зөвхөн том төдийгүй том, тэгш өнцөгтийг ашиглах шаардлагатай байдаг. Үүнийг хийхийн тулд тригонометрийн функцийг тооцоолох илүү ерөнхий дүрмийг нэвтрүүлэх шаардлагатай. "Нэгж тригонометрийн тойрог".

Энэ нь нэгж радиустай тойрог бөгөөд түүний төв нь декартын хавтгайн эхэн дээр байна.

Энэ тойрог дахь өнцгийг дүрслэхийн тулд тэдгээрийг хаана байрлуулахаа тохиролцох шаардлагатай. Өнцгийн лавлах цацраг нь абсцисса тэнхлэгийн эерэг чиглэлийг авахыг хүлээн зөвшөөрдөг, өөрөөр хэлбэл. x тэнхлэг. Булангийн тунадасжилтын чиглэлийг цагийн зүүний эсрэг чиглэл гэж үзнэ.Эдгээр гэрээнүүд дээр үндэслэн бид эхлээд хурц өнцөгийг хойш тавьсан. Ийм хурц өнцгүүдийн хувьд бид тэгш өнцөгт гурвалжин дахь тригонометрийн функцүүдийн утгыг хэрхэн тооцоолохыг аль хэдийн мэддэг болсон. Дүрслэгдсэн тойргийн тусламжтайгаар тригонометрийн функцийг тооцоолох боломжтой болох нь илүү тохиромжтой юм.

Цочмог өнцгийн синус ба косинусын утгууд нь энэ өнцгийн хажуугийн нэгж тойрогтой огтлолцох цэгийн координатууд юм.

Үүнийг дараах хэлбэрээр бичиж болно.

Үүний үндсэн дээр абсцисса дээрх координатууд нь косинусын утгыг, ординат дээрх координатууд нь өнцгийн синусын утгыг харуулдаг., координатын систем дэх тэнхлэгүүдийн нэрийг зурагт үзүүлсэн шиг нэгж тойрог хэлбэрээр өөрчлөх нь тохиромжтой.

Абсцисса тэнхлэгийг косинусын тэнхлэг, ордны тэнхлэгийг синусын тэнхлэг болгон өөрчилсөн.

Синус ба косинусыг тодорхойлох заасан дүрмийг мохоо өнцөгт болон хооронд хэлбэлзэж байгаа өнцгүүдийн аль алинд нь нэгтгэсэн болно. Энэ тохиолдолд синус ба косинус эерэг ба сөрөг утгыг хоёуланг нь авч болно. Төрөл бүрийн эдгээр тригонометрийн функцүүдийн утгын шинж тэмдэгТухайн өнцөг нь аль улиралд багтаж байгаагаас хамааран үүнийг дараах байдлаар дүрслэх нь заншилтай байдаг.

Таны харж байгаагаар тригонометрийн функцүүдийн шинж тэмдгүүд нь тус тусын тэнхлэгүүдийн эерэг ба сөрөг чиглэлд тодорхойлогддог.

Үүнээс гадна цэгийн хамгийн том координатаас хойш гэдгийг анхаарах нь зүйтэй нэгж тойрогба абсцисс ба ординатын дагуух нь нэгтэй тэнцүү ба хамгийн бага нь хасах нэг байна синус ба косинусын утгуудэдгээр тоогоор хязгаарлагдсан:

Эдгээр бүртгэлийг ихэвчлэн дараах хэлбэрээр бичдэг.

Тригонометрийн тойрог дээр тангенс ба котангенсийн функцийг нэвтрүүлэхийн тулд нэмэлт элементүүдийг дүрслэх шаардлагатай: А цэг дээрх тойрог руу шүргэгч - өнцгийн тангенсийн утгыг үүнээс тодорхойлж, шүргэгчийг тодорхойлно. B цэг - өнцгийн котангентын утгыг үүнээс тодорхойлно.

Гэсэн хэдий ч бид тригонометрийн тойргийн дагуу шүргэгч ба котангентын тодорхойлолтыг судлахгүй, учир нь. Өгөгдсөн өнцгийн синус ба косинусын утгыг мэддэг тул тэдгээрийг хялбархан тооцоолох боломжтой бөгөөд үүнийг бид хэрхэн хийхийг аль хэдийн мэддэг. Хэрэв та тригонометрийн тойрогт тангенс ба котангенсыг хэрхэн тооцоолох талаар сурах сонирхолтой байгаа бол 10-р ангийн алгебрийн хичээлийн хөтөлбөрийг давтан уншина уу.

Зөвхөн тойрог дээрх зургийг зааж өгнө үү шүргэгч ба котангентын шинж тэмдэгөнцгөөс хамааран:

Синус болон косинусын утгуудын мужтай адил тангенс ба котангенсийн утгын мужийг зааж өгч болохыг анхаарна уу. Тригонометрийн тойрог дээрх тэдгээрийн тодорхойлолтод үндэслэн, Эдгээр функцүүдийн утгууд хязгаарлагдахгүй:

Өөр юу ингэж бичиж болох вэ:

Тригонометрийн тойрог нь -аас хүртэлх өнцөгөөс гадна илүү том, бүр сөрөг өнцөгтэй ажиллах боломжийг олгодог. Ийм өнцгийн утгууд нь хэдийгээр геометрийн хувьд утгагүй мэт боловч зарим физик процессыг тодорхойлоход ашиглагддаг. Жишээлбэл, та асуултанд хэрхэн хариулах вэ: Өдөрт цагийн зүү ямар өнцгөөр эргэх вэ?Энэ хугацаанд тэрээр хоёрыг дуусгах болно бүрэн эргэлт, мөн нэг хувьсгалд энэ нь өнгөрөх болно, i.e. нэг өдрийн дотор эргэх болно. Таны харж байгаагаар ийм үнэт зүйлс нь нэлээд практик утгатай байдаг. Эргэлтийн чиглэлийг зааж өгөхийн тулд өнцгийн тэмдгийг ашигладаг - нэг чиглэлийг эерэг өнцгөөр, нөгөөг нь сөрөг өнцгөөр хэмжихээр тохиролцсон. Үүнийг тригонометрийн тойрогт хэрхэн тооцож болох вэ?

Ийм өнцөг бүхий тойрог дээр тэд дараах байдлаар ажиллана.

1) -ээс их өнцгийг цагийн зүүний эсрэг, шаардлагатай бол олон удаа жишиг цэгийг дамжуулж зурна. Жишээлбэл, өнцөг үүсгэхийн тулд та хоёр бүтэн эргэлт ба түүнээс дээш эргэлтийг туулах хэрэгтэй. Эцсийн байрлал болон бүх тригонометрийн функцийг тооцоолно. For болон for бүх тригонометрийн функцүүдийн утга ижил байх болно гэдгийг харахад хялбар байдаг.

2) Сөрөг өнцгүүдийг зөвхөн цагийн зүүний дагуу эерэг өнцөгтэй яг ижил зарчмын дагуу зурна.

Том өнцгийг бүтээх аргын хувьд аль хэдийн ялгаатай өнцгийн синус ба косинусын утгууд ижил байна гэж дүгнэж болно. Хэрэв бид тангенс ба котангентын утгыг задлан шинжилж үзвэл тэдгээр нь өөр өөр өнцгүүдийн хувьд ижил байх болно.

Аргумент дээр нэмэхэд функцийн утга өөрчлөгддөггүй ийм хамгийн бага тэг биш тоог гэж нэрлэдэг. хугацааэнэ функц.

Энэ замаар, хугацаасинус ба косинус байна, ба тангенс ба котангенс. Энэ нь эдгээр үеийг авч үзэж буй өнцгөөс хэр их нэмэх, хасахаас үл хамааран тригонометрийн функцүүдийн утга өөрчлөгдөхгүй гэсэн үг юм.

Жишээлбэл, , гэх мэт.

Дараа нь бид тригонометрийн функцүүдийн энэ шинж чанарыг илүү нарийвчилсан тайлбар, хэрэглээнд эргэн харах болно.

Ижил аргументын тригонометрийн функцуудын хооронд тодорхой хамаарал байдаг бөгөөд тэдгээрийг ихэвчлэн ашигладаг бөгөөд үүнийг нэрлэдэг. үндсэн тригонометрийн таних тэмдэг.

Тэд дараах байдлаар харагдаж байна.

1) , "тригонометрийн нэгж" гэж нэрлэгддэг

Жишээлбэл, тэмдэглэгээ нь тригонометрийн функцийг бүхэлд нь квадрат гэсэн үг гэдгийг анхаарна уу. Тэдгээр. Үүнийг дараах хэлбэрээр илэрхийлж болно. . Энэ нь гэсэн тэмдэглэгээтэй тэнцүү биш гэдгийг ойлгох нь чухал бөгөөд энэ тохиолдолд зөвхөн аргумент нь квадрат хэлбэртэй байх ба функцийг бүхэлд нь биш, үүнээс гадна ийм төрлийн илэрхийлэл маш ховор байдаг.

Олон төрлийн асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрэг болохуйц эхний тодорхойлолтод хэрэгтэй хоёр үр дүн байдаг. Энгийн хувиргалт хийсний дараа та синусыг ижил өнцгийн косинусаар эсвэл эсрэгээр илэрхийлж болно.

Илэрхийллийн хоёр боломжит шинж тэмдэг гарч ирдэг, учир нь арифметик квадрат язгуурыг задлах нь зөвхөн сөрөг бус утгыг өгдөг бөгөөд бидний өмнө үзсэнчлэн синус ба косинус нь сөрөг утгатай байж болно. Түүгээр ч барахгүй эдгээр функцүүдийн шинж тэмдгүүд нь тэдгээрийн аль өнцгөөс хамаарч тригонометрийн тойргийн тусламжтайгаар хамгийн тохиромжтой байдлаар тодорхойлогддог.

Одоо өнцгийн хэмжилтийг градус, радиан гэсэн хоёр аргаар хийж болно гэдгийг санацгаая. Нэг градус ба нэг радианы тодорхойлолтыг зааж өгье.

нэг зэрэг- энэ нь тойрогтой тэнцүү нумыг хамарсан хоёр радиусаас үүссэн өнцөг юм.

Нэг радиан- энэ нь радиустай тэнцүү урттай нумаар татагдах хоёр радиусаас үүссэн өнцөг юм.

Тэдгээр. Эдгээр нь туйлын тэнцүү өнцгийг хэмжих хоёр өөр арга юм. Тригонометрийн функцээр тодорхойлогддог физик процессыг тайлбарлахдаа өнцгийн радиан хэмжигдэхүүнийг ашиглах нь заншилтай байдаг тул бид үүнд дасах хэрэгтэй болно.

Радиан дахь өнцгийг "pi" тооны бутархайгаар хэмжих нь заншилтай байдаг, жишээлбэл, эсвэл. Энэ тохиолдолд 3.14 гэсэн "pi" тооны утгыг орлуулж болох боловч үүнийг хийх нь ховор байдаг.

Өнцгийн хэмжүүрийг радиан болгон хувиргахОрчуулгын ерөнхий томъёог олж авахад хялбар өнцгийг ашигла.

Жишээлбэл, радиан руу хөрвүүлье: .

Үүний эсрэг тал бас бий томъёорадианаас градус руу хөрвүүлэх:

Жишээлбэл, градус руу хөрвүүлье: .

Бид энэ сэдвээр өнцгийн радиан хэмжигдэхүүнийг ихэвчлэн ашиглах болно.

Одоо янз бүрийн өнцгийн тригонометрийн функцууд ямар тодорхой утгыг өгч болохыг санах цаг болжээ. -ийн үржвэртэй зарим өнцгийн хувьд байна тригонометрийн функцүүдийн утгын хүснэгт. Тохиромжтой болгох үүднээс өнцгийг градус болон радиан хэмжүүрээр өгсөн болно.

Эдгээр өнцгүүд нь олон асуудалд ихэвчлэн тулгардаг бөгөөд энэ хүснэгтэд итгэлтэйгээр шилжих боломжтой байх нь зүйтэй юм. Зарим өнцгийн тангенс ба котангенсийн утгууд нь утгагүй бөгөөд үүнийг хүснэгтэд зураасаар зааж өгсөн болно. Яагаад ийм болсныг өөрөө бодоод үзээрэй, эсвэл хичээлийн хавсралтаас илүү дэлгэрэнгүй уншина уу.

Бидний эхний тригонометрийн хичээл дээр мэддэг байх ёстой хамгийн сүүлийн зүйл бол бууруулах томьёоны дагуу тригонометрийн функцийг хувиргах.

Байгаа нь харагдаж байна тодорхой төрөлтригонометрийн функцүүдийн илэрхийллүүд нь нэлээд түгээмэл бөгөөд хялбаршуулсан байдаг. Жишээлбэл, эдгээр нь ийм илэрхийлэл юм: гэх мэт.

Тэдгээр. Бид аргумент болгон дурын өнцөгтэй, бүхэлд нь эсвэл хагас хэсэг болгон өөрчилсөн функцүүдийн талаар ярих болно. Ийм функцууд нь хэсгүүдийг нэмэх эсвэл хасах дурын өнцөгтэй тэнцүү аргумент болгон хялбаршуулсан байдаг. Жишээлбэл, , a . Бидний харж байгаагаар эсрэг функц нь үр дүн болж, функц нь тэмдгийг өөрчилж болно.

Тиймээс ийм функцийг өөрчлөх дүрмийг хоёр үе шатанд хувааж болно. Эхлээд хувиргасны дараа ямар функцийг олж авахыг тодорхойлох шаардлагатай.

1) Хэрэв дурын аргументыг бүхэл тоо болгон өөрчилсөн бол функц өөрчлөгдөхгүй. Энэ нь бүхэл тоо бүхий төрлийн функцүүдийн хувьд үнэн юм;

- -
Ихэвчлэн АЙМШИГТАЙ МАТЕМАТИК-тэй хэн нэгнийг айлгах гэж байхад бүх төрлийн синус, косинусуудыг жишээ болгон, маш нарийн төвөгтэй, муухай зүйл болгон гаргадаг. Гэхдээ үнэндээ энэ бол ойлгож, шийдэж болохуйц сайхан, сонирхолтой хэсэг юм.
Энэ сэдэв 9-р ангиас эхэлж, бүх зүйл анх удаагаа үргэлж тодорхой байдаггүй, олон нарийн, заль мэх байдаг. Би энэ сэдвээр ямар нэг зүйл хэлэхийг оролдсон.

Тригонометрийн ертөнцийн танилцуулга:
Томъёо руу толгойгоо гашилгахаасаа өмнө геометрээс синус, косинус гэх мэтийг ойлгох хэрэгтэй.
Өнцгийн синус- эсрэг талын (өнцгийн) гипотенузын харьцаа.
Косинусзэргэлдээх нь гипотенузын харьцаа юм.
Тангенс- зэргэлдээ талд эсрэг тал
Котангенс- эсрэг талын зэргэлдээ.

Одоо координатын хавтгай дээр нэгж радиустай тойргийг авч үзээд альфа өнцгийг тэмдэглэнэ үү: (зураг дээр дарж болно, ядаж заримыг нь)
-
-
Нимгэн улаан шугамууд нь тойргийн огтлолцлын цэгээс перпендикуляр ба x ба у тэнхлэг дээрх зөв өнцгийг хэлнэ. Улаан x ба y нь тэнхлэг дээрх x ба y координатын утга (саарал x ба y нь эдгээр нь зөвхөн шугам биш координатын тэнхлэг гэдгийг илтгэх зорилготой).
Өнцгийг х тэнхлэгийн эерэг чиглэлээс цагийн зүүний эсрэг тоолж байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй.
Бид үүний төлөө синус, косинус гэх мэтийг олдог.
sin a: эсрэг тал нь у, гипотенуз нь 1.
sin a = y / 1 = y
Би y ба 1-ийг хаанаас авдагийг бүрэн тодорхой болгохын тулд үсгүүдийг цэгцэлж, гурвалжингуудыг авч үзье.
- -
AF = AE = 1 - тойргийн радиус.
Тиймээс AB = 1, радиус гэж. AB нь гипотенуз юм.
BD = CA = y - oh утгын хувьд.
AD \u003d CB \u003d x - oh-ийн утга болгон.
sin a = BD / AB = y / 1 = y
Цаашид косинус:
cos a: зэргэлдээ тал - AD = x
cos a = AD / AB = x / 1 = x

Бид бас дүгнэлт хийдэг тангенс ба котангенс.
tg a = y / x = sin a / cos a
ctg a = x / y = cos a / sin a
Бид аль хэдийн гэнэт тангенс ба котангенсийн томъёог гаргаж авсан.

За, тодорхой өнцгөөр хэрхэн шийдэгдэж байгааг харцгаая.
Жишээлбэл, a = 45 градус.
Бид нэг өнцөг нь 45 градусын тэгш өнцөгт гурвалжинг олж авдаг. Энэ бол өөр өөр талтай гурвалжин гэдэг нь хэн нэгэнд шууд ойлгомжтой боловч би ямар ч байсан гарын үсэг зурах болно.
Гурвалжны гурав дахь буланг ол (эхний 90, хоёр дахь 5): b = 180 - 90 - 45 = 45
Хэрэв хоёр өнцөг тэнцүү бол талууд нь адилхан сонсогдож байсан шиг тэнцүү байна.
Тэгэхээр, хэрэв бид ийм хоёр гурвалжныг бие биенийхээ дээр нэмбэл бид радиус \u003d 1-тэй тэнцүү диагональтай дөрвөлжин болно. Пифагорын теоремоор бид а талтай квадратын диагональ тэнцүү гэдгийг мэддэг. хоёрын үндэс рүү.
Одоо бид бодож байна. Хэрэв 1 (гипотенуз буюу диагональ) нь квадратын тал нь 2-ын квадрат язгууртай тэнцүү бол квадратын тал нь 1/sqrt(2)-тэй тэнцүү байх ёстой бөгөөд хэрэв бид энэ бутархайн хуваагч ба хуваагчийг үржүүлбэл. 2-ын үндэсээр бид sqrt(2)/2-г авна. Гурвалжин нь ижил өнцөгт тул AD = AC => x = y болно
Бидний тригонометрийн функцуудыг олох нь:
sin 45 = sqrt(2)/2/1 = sqrt(2)/2
cos 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
tg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
ctg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
Үлдсэн өнцгүүдийн хувьд та ижил аргаар ажиллах хэрэгтэй. Зөвхөн гурвалжин нь ижил өнцөгт биш, харин талууд нь Пифагорын теоремыг ашиглан олоход хялбар байдаг.
Ийм байдлаар бид тригонометрийн функцүүдийн утгын хүснэгтийг янз бүрийн өнцгөөс авдаг.
-
-
Түүнээс гадна, энэ хүснэгт нь хууран мэхлэх бөгөөд маш тохиромжтой.
Үүнийг ямар ч асуудалгүйгээр өөрөө хэрхэн хийх вэ:Та ийм хүснэгт зураад нүдэнд 1 2 3 тоог бичээрэй.
-
-
Одоо эдгээр 1 2 3-аас үндсийг гаргаж аваад 2-т хуваана. Энэ нь дараах байдалтай байна.
-
-
Одоо бид синусыг гаталж, косинусыг бичнэ. Үүний утга нь толин тусгалтай синус юм:
-
-
Шүргэгчийг гаргахад хялбар байдаг - та синусын шугамын утгыг косинусын шугамын утгад хуваах хэрэгтэй.
-
-
Котангентын утга нь шүргэгчийн урвуу утга юм. Үүний үр дүнд бид дараах зүйлийг олж авна.
- -

тэмдэглэлжишээ нь P/2-д шүргэгч байхгүй. Яагаад гэдгийг бод. (Та тэгээр хувааж болохгүй.)

Энд юу санах хэрэгтэй вэ:синус нь y утга, косинус нь x утга юм. Тангенс нь у ба х харьцаа бөгөөд котангенс нь эсрэгээрээ байна. Тиймээс, синус / косинусын утгыг тодорхойлохын тулд дээр дурдсан хавтан ба координатын тэнхлэг бүхий тойрог зурахад хангалттай (энэ нь утгыг харахад тохиромжтой юм). өнцөг 0, 90, 180, 360).
- -

За, та хэлж чадна гэж найдаж байна улирал:
- -
Түүний синус, косинус гэх мэтийн тэмдэг нь аль дөрөвний нэг өнцөгт байгаагаас хамаарна. Хэдийгээр 2, 3-р улиралд x сөрөг, y нь 3, 4-р улиралд сөрөг байгааг харгалзан үзвэл туйлын анхдагч логик сэтгэлгээ таныг зөв хариулт руу хөтөлнө. Аймшигтай, аймшигтай зүйл байхгүй.

Үүнийг дурдахад илүүдэхгүй байх гэж бодож байна бууруулах томъёохүн бүр сонсдог ала сүнснүүд үнэний ширхэгтэй. Ашиггүй байдлын хувьд ийм томьёо байдаггүй. Энэ бүх үйлдлийн утга нь: Бид өнцгийн утгыг зөвхөн эхний улиралд (30 градус, 45, 60) амархан олдог. Тригонометрийн функцуудүе үе байдаг тул бид ямар ч том өнцгийг эхний улиралд чирж болно. Дараа нь бид түүний утгыг шууд олох болно. Гэхдээ зүгээр л чирэх нь хангалтгүй - та тэмдгийн талаар санах хэрэгтэй. Цутгах томъёо нь үүнд зориулагдсан юм.
Тиймээс бид том өнцөгтэй, эсвэл 90 градусаас илүү байна: a \u003d 120. Мөн та түүний синус ба косинусыг олох хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд бид 120 өнцгийг задалж, ажиллах боломжтой.
нүгэл а = нүгэл 120 = нүгэл (90 + 30)
Энэ өнцөг нь хоёрдугаар улиралд оршдог, синус нь эерэг байдаг тул синусын урд + тэмдэг хадгалагдаж байгааг бид харж байна.
90 градусаас салахын тулд бид синусыг косинус болгон өөрчилдөг. За, энд нэг дүрмийг санаж байх хэрэгтэй:
нүгэл (90 + 30) = cos 30 = sqrt (3) / 2
Та үүнийг өөр байдлаар төсөөлж болно:
нүгэл 120 = нүгэл (180 - 60)
180 градусаас салахын тулд бид функцийг өөрчилдөггүй.
нүгэл (180 - 60) = нүгэл 60 = sqrt (3) / 2
Бид ижил утгыг авсан тул бүх зүйл зөв байна. Одоо косинус:
cos 120 = cos (90 + 30)
Хоёрдугаар улиралд косинус сөрөг байна, тиймээс бид хасах тэмдэг тавьдаг. Мөн бид функцийг эсрэгээр нь өөрчилдөг, учир нь бид 90 градусыг арилгах хэрэгтэй.
cos (90 + 30) = - нүгэл 30 = - 1/2
Эсвэл:
cos 120 = cos (180 - 60) = - cos 60 = - 1/2

Эхний улиралд булангуудыг орчуулахын тулд юу мэдэх, хийх, хийх чадвартай байх шаардлагатай:
-өнцгийг шингэцтэй нэр томъёонд задлах;
- өнцөг нь аль улиралд байрлаж байгааг харгалзан үзэх, хэрэв энэ улирлын функц нь сөрөг эсвэл эерэг байвал зохих тэмдгийг тавих;
- илүүдлийг арилгах
*хэрэв та 90, 270, 450, үлдсэн 90+180n-ээс салах шаардлагатай бол n нь дурын бүхэл тоо бол функц нь эсрэгээрээ (синус косинус, тангенс котангенс ба эсрэгээр);
*хэрэв та 180, үлдсэн 180+180n-ийг арилгах шаардлагатай бол n нь дурын бүхэл тоо бол функц өөрчлөгдөхгүй. (Энд нэг онцлог байна, гэхдээ үүнийг үгээр тайлбарлахад хэцүү, за за).
Тэгээд л болоо. Хэд хэдэн дүрмийг санаж, тэдгээрийг хялбархан ашиглах боломжтой үед томъёог өөрөө цээжлэх шаардлагагүй гэж би бодож байна. Дашрамд хэлэхэд эдгээр томъёог батлахад маш хялбар байдаг:
-
-
Тэд том ширээг бүрдүүлдэг, тэгвэл бид дараахь зүйлийг мэднэ.
-
-

Тригонометрийн үндсэн тэгшитгэлүүд:тэднийг маш, маш сайн, цээжээр мэддэг байх хэрэгтэй.
Үндсэн тригонометрийн таних тэмдэг(тэгш байдал):
sin^2(a) + cos^2(a) = 1
Надад итгэхгүй байгаа бол өөрөө шалгаж үзээд үзээрэй. Өөр өөр өнцгийн утгыг орлуулна уу.
Энэ томъёо нь маш их хэрэгтэй, үргэлж санаж байх хэрэгтэй. Үүний тусламжтайгаар та синусыг косинусаар эсвэл эсрэгээр илэрхийлж болно, энэ нь заримдаа маш хэрэгтэй байдаг. Гэхдээ бусад томъёоны нэгэн адил та үүнийг зохицуулах чадвартай байх хэрэгтэй. Тригонометрийн функцийн тэмдэг нь өнцөг байрлах дөрөвний нэгээс хамаарна гэдгийг үргэлж санаарай. Тийм ч учраас үндсийг нь гаргаж авахдаа дөрөвний нэгийг нь мэдэх хэрэгтэй.

Тангенс ба котангенс:Бид хамгийн эхэнд эдгээр томъёог гаргаж авсан.
tg a = sin a / cos a
ctg a = cos a / sin a

Тангенс ба котангенсын бүтээгдэхүүн:
tg a * ctg a = 1
Учир нь:
tg a * ctg a = (sin a / cos a) * (cos a / sin a) = 1 - бутархайг цуцлах.

Таны харж байгаагаар бүх томъёо нь тоглоом ба хослол юм.
Эхний томъёоны косинусын квадрат ба синусын квадратад хуваах замаар олж авсан өөр хоёрыг энд харуулав.
-
-
Сүүлийн хоёр томьёог тэгээр хуваах боломжгүй тул a өнцгийн утгыг хязгаарлаж ашиглаж болно гэдгийг анхаарна уу.

Нэмэлт томъёо:вектор алгебр ашиглан нотлогдсон.
- -
Тэдгээрийг ховор хэрэглэдэг, гэхдээ тохиромжтой. Сканнер дээр томъёо байдаг, гэхдээ энэ нь унших боломжгүй эсвэл дижитал хэлбэрийг ойлгоход хялбар байдаг:
- -

Давхар өнцгийн томъёо:
Тэдгээрийг нэмэлт томъёонд үндэслэн олж авдаг, жишээлбэл: давхар өнцгийн косинус нь cos 2a = cos (a + a) - энэ нь танд ямар нэгэн зүйлийг сануулж байна уу? Тэд зүгээр л бета хувилбарыг альфагаар сольсон.
- -
Дараах хоёр томьёо нь sin^2(a) = 1 - cos^2(a) ба cos^2(a) = 1 - sin^2(a) гэсэн эхний орлуулалтаас үүсэлтэй.
Давхар өнцгийн синустай бол энэ нь илүү хялбар бөгөөд илүү олон удаа ашиглагддаг.
- -
Мөн tg a \u003d sin a / cos a гэх мэтийг харгалзан тусгай гажуудалд давхар өнцгийн тангенс ба котангенсыг гаргаж авах боломжтой.
-
-

Дээрх хүмүүсийн хувьд Гурвалсан өнцгийн томъёо:Давхар өнцгийн томъёог бид аль хэдийн мэддэг тул тэдгээрийг 2a ба a өнцгүүдийг нэмснээр гаргаж авдаг.
-
-

Хагас өнцгийн томъёо:
- -
Тэдгээрийг хэрхэн гаргаж авсан, эс тэгвээс яаж тайлбарлахаа мэдэхгүй байна ... Хэрэв та эдгээр томьёог бичвэл үндсэн тригонометрийн таних тэмдгийг a / 2-оор орлуулж байвал хариулт нь нэгдэх болно.

Тригонометрийн функцийг нэмэх, хасах томъёо:
-
-
Тэдгээрийг нэмэлт томъёоноос олж авдаг боловч хэн ч тоодоггүй. Байнга уулздаггүй.

Таны ойлгож байгаагаар олон тооны томъёо байсаар байгаа бөгөөд жагсаалт нь зүгээр л утгагүй, учир нь би тэдгээрийн талаар хангалттай зүйл бичиж чадахгүй, хуурай томъёог хаанаас ч олж болно, тэдгээр нь өмнөх томьёотой тоглоом юм. . Бүх зүйл үнэхээр логик бөгөөд үнэн зөв юм. Би чамд хамгийн сүүлд хэлье Туслах өнцгийн аргын тухай:
a cosx + b sinx илэрхийллийг Acos(x+) эсвэл Asin(x+) хэлбэрт шилжүүлэхийг туслах өнцөг (эсвэл нэмэлт аргумент) оруулах арга гэж нэрлэдэг. Энэ аргыг шийдвэрлэх үед хэрэглэнэ тригонометрийн тэгшитгэл, Функцийн утгыг тооцоолохдоо экстремумын асуудлууд, анхаарах зүйл бол туслах өнцөг оруулахгүйгээр зарим асуудлыг шийдвэрлэх боломжгүй юм.
Таны хувьд би энэ аргыг тайлбарлах гэж оролдоогүй, юу ч болоогүй тул та өөрөө хийх хэрэгтэй.
-
-
Энэ нь аймшигтай, гэхдээ ашигтай. Хэрэв та асуудлыг шийдэж байгаа бол энэ нь ажиллах ёстой.
Эндээс жишээ нь: mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/trigonom/metod/metod2/met2/met2.htm

Дараах нь тригонометрийн функцүүдийн графикууд юм. Гэхдээ нэг хичээл хангалттай. Үүнийг сургуульд зургаан сар заадаг гэдгийг бодоход.

Асуултаа бичиж, асуудлыг шийдэж, зарим даалгаврын сканнерийг асууж, олж мэд, туршаад үзээрэй.
Үргэлж чинийх, Дэн Фарадей.

Энэ хичээлээр бид тригонометрийн функцийг нэвтрүүлэх хэрэгцээ хэрхэн үүсч, яагаад тэдгээрийг судалж байгаа, энэ сэдвээр юу ойлгох хэрэгтэй, гараа хаана дүүргэх хэрэгтэй (энэ нь техник юм) талаар ярих болно. Техник, ойлголт хоёр өөр зүйл гэдгийг анхаарна уу. Зөвшөөрч байна, ялгаа бий: дугуй унаж сурах, өөрөөр хэлбэл үүнийг хэрхэн яаж хийхийг ойлгох, эсвэл мэргэжлийн дугуйчин болох. Бид тригонометрийн функцууд яагаад хэрэгтэйг ойлгох талаар ярилцах болно.

Дөрвөн тригонометрийн функц байдаг боловч тэдгээрийг бүгдийг нь таних тэмдэг (тэдгээрийг холбосон тэгшитгэл) ашиглан нэг хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн тригонометрийн функцүүдийн албан ёсны тодорхойлолтууд (Зураг 1).

синусТэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийг эсрэг талын хөлийн гипотенузын харьцаа гэж нэрлэдэг.

косинусТэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийг зэргэлдээх хөлийн гипотенузын харьцаа гэж нэрлэдэг.

шүргэгчТэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийг эсрэг талын хөлийг зэргэлдээх хөлтэй харьцуулсан харьцаа гэж нэрлэдэг.

КотангенсТэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийг зэргэлдээх хөлийн эсрэг талын хөлтэй харьцуулсан харьцаа гэж нэрлэдэг.

Цагаан будаа. 1. Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн тригонометрийн функцүүдийн тодорхойлолт

Эдгээр тодорхойлолтууд нь албан ёсны шинж чанартай байдаг. Зөвхөн нэг функц байдаг, тухайлбал синус гэж хэлэх нь илүү зөв юм. Хэрэв тэдгээр нь технологид тийм ч их хэрэгцээгүй байсан бол (тийм ч олон удаа ашиглагддаггүй) ийм олон янзын тригонометрийн функцүүдийг нэвтрүүлэхгүй байх байсан.

Жишээлбэл, өнцгийн косинус нь () -ийг нэмснээр ижил өнцгийн синустай тэнцүү байна. Нэмж дурдахад, өнцгийн косинусыг үндсэн тригонометрийн таних тэмдэг () ашиглан тэмдэг хүртэл ижил өнцгийн синусаар илэрхийлж болно. Өнцгийн шүргэгч нь синус ба косинус буюу урвуу котангентын харьцаа юм (Зураг 2). Зарим нь котангенсыг огт ашигладаггүй, үүнийг . Тиймээс нэг тригонометрийн функцийг ойлгож, ажиллах чадвартай байх нь чухал юм.

Цагаан будаа. 2. Төрөл бүрийн тригонометрийн функцүүдийн холболт

Гэхдээ яагаад ийм функц хэрэгтэй байна вэ? Тэдгээрийг ямар практик асуудлуудад ашигладаг вэ? Хэд хэдэн жишээг харцгаая.

Хоёр хүн ( ГЭХДЭЭболон AT) машиныг шалбаагнаас түлхэх (Зураг 3). Хүн ATмашиныг хажуу тийш нь түлхэж болно, гэхдээ энэ нь туслах боломжгүй юм ГЭХДЭЭ. Нөгөөтэйгүүр, түүний хүчин чармайлтын чиглэл аажмаар өөрчлөгдөж болно (Зураг 4).

Цагаан будаа. 3. ATмашиныг хажуу тийш нь түлхдэг

Цагаан будаа. дөрөв. ATчиглэлээ өөрчилж эхэлдэг

Машиныг нэг чиглэлд түлхэх үед тэдний хүчин чармайлт хамгийн үр дүнтэй байх нь тодорхой байна (Зураг 5).

Цагаан будаа. 5. Хамтарсан хүчин чармайлтын хамгийн үр дүнтэй чиглэл

Хэр их ATЭнэ нь машиныг түлхэхэд тусалдаг, учир нь түүний хүчний чиглэл нь түүний ажиллаж буй хүчний чиглэлтэй ойролцоо байна ГЭХДЭЭ, өнцгийн функц бөгөөд түүний косинусаар илэрхийлэгдэнэ (Зураг 6).

Цагаан будаа. 6. Косинус нь хүчин чармайлтын үр дүнтэй байдлын шинж чанар юм AT

Хэрэв бид ямар хүчний хэмжээг үржүүлбэл AT, өнцгийн косинус дээр бид түүний үйлчилж буй хүчний чиглэлд түүний хүчний проекцийг авна. ГЭХДЭЭ. Хүчний чиглэл хоорондын өнцөг нь -тэй ойр байх тусам хамтарсан үйл ажиллагааны үр дүн илүү үр дүнтэй байх болно ГЭХДЭЭболон AT(Зураг 7). Хэрэв тэд ижил хүчээр машиныг эсрэг чиглэлд түлхэж байвал машин байрандаа үлдэнэ (Зураг 8).

Цагаан будаа. 7. Хамтарсан хүчин чармайлтын үр дүн ГЭХДЭЭболон AT

Цагаан будаа. найм. эсрэг чиглэлхүч ГЭХДЭЭболон AT

Бид яагаад өнцгийг (эцсийн үр дүнд оруулах хувь нэмэр) косинус (эсвэл өнцгийн бусад тригонометрийн функц) -ээр сольж болохыг ойлгох нь чухал юм. Үнэн хэрэгтээ энэ нь ижил төстэй гурвалжны ийм шинж чанараас үүдэлтэй юм. Үнэн хэрэгтээ бид дараахь зүйлийг хэлж байна: өнцгийг хоёр тооны харьцаагаар (хөл-гипотенуз эсвэл хөл-хөл) сольж болно. Хэрэв жишээлбэл, өөр өөр тэгш өнцөгт гурвалжны ижил өнцгийн хувьд эдгээр харьцаа өөр байвал энэ нь боломжгүй юм (Зураг 9).

Цагаан будаа. 9. Ижил төстэй гурвалжны талуудын тэнцүү харьцаа

Жишээлбэл, хэрэв харьцаа ба харьцаа өөр байсан бол өөр өөр тэгш өнцөгт гурвалжны ижил өнцгийн хувьд шүргэгч өөр өөр байх тул шүргэгч функцийг нэвтрүүлэх боломжгүй болно. Гэхдээ ижил төстэй тэгш өнцөгт гурвалжны хөлний уртын харьцаа ижил байдаг тул функцийн утга нь гурвалжингаас хамаарахгүй бөгөөд энэ нь хурц өнцөг ба түүний тригонометрийн утгууд гэсэн үг юм. функцууд нь нэгийг харьцдаг.

Бид тодорхой модны өндрийг мэддэг гэж бодъё (Зураг 10). Ойролцоох барилгын өндрийг хэрхэн хэмжих вэ?

Цагаан будаа. 10. 2-р жишээний нөхцөл байдлын дүрслэл

Энэ цэг болон байшингийн оройг дундуур нь татсан шугам нь модны оройгоор дамжин өнгөрөх цэгийг бид олдог (Зураг 11).

Цагаан будаа. 11. Жишээ 2-ын асуудлын шийдлийн зураг

Бид энэ цэгээс мод хүртэлх зай, түүнээс байшин хүртэлх зайг хэмжиж, модны өндрийг мэддэг. Пропорцоос та байшингийн өндрийг олж болно:.

Пропорцнь хоёр тооны харьцаа юм. Энэ тохиолдолд ижил төстэй тэгш өнцөгт гурвалжны хөлний уртын харьцааны тэгш байдал. Түүнээс гадна эдгээр харьцаа нь тригонометрийн функцээр илэрхийлэгддэг өнцгийн зарим хэмжигдэхүүнтэй тэнцүү байна (тодорхойлолтоор энэ нь шүргэгч юм). Хурц өнцөг бүрийн хувьд тригонометрийн функцийн утга нь өвөрмөц гэдгийг бид олж мэднэ. Өөрөөр хэлбэл, синус, косинус, тангенс, котангенс нь үнэхээр функцууд юм, учир нь хурц өнцөг бүр нь тус бүрийн яг нэг утгатай тохирч байна. Тиймээс тэдгээрийг цаашид судалж, шинж чанарыг нь ашиглаж болно. Бүх өнцгийн тригонометрийн функцүүдийн утгыг аль хэдийн тооцоолсон тул тэдгээрийг ашиглаж болно (тэдгээрийг Bradis хүснэгтээс олж болно эсвэл дурын утгыг ашиглаж болно. инженерийн тооцоолуур). Гэхдээ урвуу асуудлыг шийдэхийн тулд (жишээлбэл, синусын утгаар түүнд тохирох өнцгийн хэмжүүрийг сэргээх) бид үргэлж чадахгүй.

Зарим өнцгийн синус нь тэнцүү буюу ойролцоо байг (Зураг 12). Синусын энэ утгатай ямар өнцөг тохирох вэ? Мэдээжийн хэрэг, бид Bradis хүснэгтийг дахин ашиглаж, ямар нэгэн үнэ цэнийг олох боломжтой, гэхдээ энэ нь цорын ганц биш байх болно (Зураг 13).

Цагаан будаа. 12. Өнцгийг синусын утгаар нь олох

Цагаан будаа. 13. Урвуу тригонометрийн функцүүдийн поливалент байдал

Тиймээс өнцгийн тригонометрийн функцийн утгыг сэргээхэд урвуу тригонометрийн функцүүдийн полисеми үүсдэг. Энэ нь төвөгтэй мэт санагдаж болох ч үнэндээ бид өдөр бүр ижил төстэй нөхцөл байдалтай тулгардаг.

Хэрэв та цонхоо хөшиглөж, гадаа гэрэлтэй эсвэл харанхуй байгаа эсэхийг мэдэхгүй, эсвэл агуйд байгаа бол сэрэхдээ одоо өдөр, шөнө, эсвэл шөнийн цаг болсон эсэхийг хэлэхэд хэцүү байдаг. дараагийн өдөр (Зураг 14). Үнэн хэрэгтээ, хэрэв та биднээс "Цаг хэд болж байна вэ?" гэж асуувал бид "Цаг нэмэх нь хаана үржүүлнэ" гэж шударгаар хариулах ёстой.

Цагаан будаа. 14. Цагны жишээн дээр полисемийн дүрслэл

Бид дүгнэж болно - энэ бол үе юм (цаг нь одоогийнхтой ижил цагийг харуулах интервал). Тригонометрийн функцууд нь мөн үетэй байдаг: синус, косинус гэх мэт. Өөрөөр хэлбэл, аргументийн зарим өөрчлөлтийн дараа тэдний үнэ цэнэ давтагдана.

Хэрэв гариг дээр өдөр шөнөгүй, улирал солигддоггүй байсан бол бид үечилсэн цагийг ашиглах боломжгүй байсан. Эцсийн эцэст бид жилүүдийг зөвхөн өсөх дарааллаар тоолдог бөгөөд өдөрт цаг байдаг, шинэ өдөр бүр шинэ тоолол эхэлдэг. Нөхцөл байдал саруудын хувьд адилхан: хэрэв одоо 1-р сар бол 1-р сар дахин ирэх болно гэх мэт. Гадны лавлах цэгүүд нь цаг хугацаа (цаг, сар), жишээлбэл, дэлхийг тэнхлэгээ тойрон эргэдэг, нар, сарны тэнгэр дэх байрлалын өөрчлөлт зэргийг ашиглахад тусалдаг. Хэрэв нар үргэлж ижил байрлалд өлгөөтэй байсан бол цагийг тооцоолохын тулд бид яг ийм тооцоо хийснээс хойшхи хэдэн секундыг (минут) тоолох болно. Дараа нь огноо, цаг ингэж сонсогдож болно: тэрбум секунд.

Дүгнэлт: урвуу функцүүдийн тодорхой бус байдлын хувьд хүндрэл байхгүй. Үнэн хэрэгтээ, ижил синусанд өөр өөр өнцгийн утгууд байх сонголтууд байж болно (Зураг 15).

Цагаан будаа. 15. Өнцгийг синусын утгаар сэргээх

Ихэвчлэн практик асуудлыг шийдвэрлэхдээ бид үргэлж стандартын хүрээнд ажилладаг. Энэ мужид тригонометрийн функцын утга бүрийн хувьд өнцгийн хэмжүүрийн зөвхөн хоёр харгалзах утга байдаг.

Элс унадаг нүхтэй хувин хэлбэртэй хөдөлгөөнт бүс, дүүжин зэргийг авч үзье. Савлуур дүүжин, соронзон хальс хөдөлдөг (Зураг 16). Үүний үр дүнд элс нь синусын долгион гэж нэрлэгддэг синус (эсвэл косинус) функцын график хэлбэрээр ул мөр үлдээх болно.

Үнэн хэрэгтээ синус ба косинусын графикууд бие биенээсээ зөвхөн лавлах цэгээр ялгаатай байдаг (хэрэв та тэдгээрийн аль нэгийг зурж, координатын тэнхлэгүүдийг арилгавал аль график зурсан болохыг тодорхойлох боломжгүй болно). Тиймээс косинусын график гэж нэрлэх нь утгагүй юм (яагаад ижил графикийг тусдаа нэрээр гаргаж ирсэн бэ)?

Цагаан будаа. 16. 4-р жишээн дээрх асуудлын тайлбарын дүрслэл

Функцийн графикаас урвуу функцууд яагаад олон утгатай болохыг бас ойлгож болно. Хэрэв синусын утга тогтмол байвал i.e. x тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам зурж, уулзвар дээр өнцгийн синус нь өгөгдсөнтэй тэнцүү байх бүх цэгүүдийг авна. Ийм цэгүүд хязгааргүй олон байх нь тодорхой. Цагийн утга нь -аар ялгаатай байсан жишээн дээрх шиг зөвхөн энд өнцгийн утга тодорхой хэмжээгээр ялгаатай байх болно (Зураг 17).

Цагаан будаа. 17. Синусын полисемийн дүрслэл

Хэрэв бид цагийн жишээг авч үзвэл цэг (цагийн зүүний төгсгөл) тойргийг тойрон хөдөлдөг. Үүнтэй адилаар тригонометрийн функцуудыг тодорхойлж болно - тэгш өнцөгт гурвалжин дахь өнцгийг биш, харин тойргийн радиус ба тэнхлэгийн эерэг чиглэлийн хоорондох өнцгийг анхаарч үзээрэй. Цэг өнгөрөх тойргийн тоо (бид хөдөлгөөнийг цагийн зүүний дагуу хасах тэмдгээр, цагийн зүүний эсрэг нэмэх тэмдгээр тоолохоор тохиролцсон), энэ нь үе юм (Зураг 18).

Цагаан будаа. 18. Тойрог дээрх синусын утга

Тэгэхээр, урвуу функцтодорхой интервалд өвөрмөц байдлаар тодорхойлогддог. Энэ интервалын хувьд бид түүний утгыг тооцоолж, функцийн үеийг нэмж, хасах замаар олсон утгуудаас үлдсэн бүх зүйлийг авах боломжтой.

Үеийн өөр нэг жишээг авч үзье. Машин зам дагуу явж байна. Түүний дугуй будаг руу эсвэл шалбааг руу унасан гэж төсөөлөөд үз дээ. Зам дээр үе үе будгийн ул мөр, шалбааг байгааг харж болно (Зураг 19).

Цагаан будаа. 19. Үеийн дүрслэл

Сургуулийн хичээл дээр маш олон тригонометрийн томъёо байдаг, гэхдээ ерөнхийдөө зөвхөн нэгийг нь санахад хангалттай (Зураг 20).

Цагаан будаа. 20. Тригонометрийн томьёо

Давхар өнцгийн томьёо нь нийлбэрийн синусыг орлуулах замаар (косинустай адил) гаргаж авахад хялбар байдаг. Та мөн бүтээгдэхүүний томъёог гаргаж авах боломжтой.

Бодит байдал дээр та маш бага санах хэрэгтэй, учир нь асуудлыг шийдэх явцад эдгээр томъёог өөрөө санах болно. Мэдээжийн хэрэг, хэн нэгэн нь маш их зүйлийг шийдэхээс залхуурах болно, гэхдээ дараа нь түүнд энэ техник хэрэггүй болно, улмаар томъёонууд өөрсдөө.

Томъёо шаардлагагүй тул тэдгээрийг цээжлэх шаардлагагүй болно. Тригонометрийн функцууд нь жишээлбэл, гүүрийг тооцоолох функцууд гэсэн санааг ойлгох хэрэгтэй. Тэдний хэрэглээ, тооцоололгүйгээр бараг ямар ч механизм хийж чадахгүй.

1. Утаснууд газартай туйлын параллель байж чадах уу гэсэн асуулт ихэвчлэн гарч ирдэг. Хариулт: үгүй, тэд чадахгүй, учир нь нэг хүч нь доошоо үйлчилдэг бол бусад нь зэрэгцэн ажилладаг - тэд хэзээ ч тэнцвэржүүлэхгүй (Зураг 21).

2. Хун, хавч, цурхай тэргийг нэг хавтгайд татна. Хун нэг чиглэлд нисдэг, хавч нь нөгөө талдаа, цурхай гурав дахь нь (Зураг 22). Тэдний хүчийг тэнцвэржүүлж чадна. Та энэ тэнцвэрийг зөвхөн тригонометрийн функцүүдийн тусламжтайгаар тооцоолж болно.

3. Кабелийн гүүр (Зураг 23). Тригонометрийн функцууд нь бүрээсний тоо, тэдгээрийг хэрхэн чиглүүлэх, чангалахыг тооцоолоход тусалдаг.

Цагаан будаа. 23. Кабелийн гүүр

Цагаан будаа. 24. "Утастай гүүр"

Цагаан будаа. 25. Том Обуховскийн гүүр

Ma-te-ri-a-ly сайтын холбоосуудInternetUrok

Математикийн 6-р анги:

Геометрийн 8-р анги:

Таны хувийн нууц бидэнд чухал. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын бодлогыг уншаад асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.

Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах

Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.

Та бидэнтэй холбоо барихдаа хүссэн үедээ хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.

Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.

Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг:

Таныг сайт дээр өргөдөл гаргах үед бид таны нэр, утасны дугаар, имэйл хаяг гэх мэт янз бүрийн мэдээллийг цуглуулж болно.

Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:

Бидний цуглуулсан хувийн мэдээлэл нь тантай холбоо барьж, онцгой санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар танд мэдээлэх боломжийг олгодог.
Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан танд чухал мэдэгдэл, мессеж илгээж болно.
Мөн бид үзүүлж буй үйлчилгээгээ сайжруулах, танд үйлчилгээнийхээ талаар зөвлөмж өгөх зорилгоор аудит хийх, мэдээллийн дүн шинжилгээ хийх, төрөл бүрийн судалгаа хийх зэрэг хувийн мэдээллийг дотоод зорилгоор ашиглаж болно.
Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй урамшуулалд оролцох юм бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.

Гуравдагч этгээдэд мэдээлэл өгөх

Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.

Үл хамаарах зүйл:

Шаардлагатай бол - хууль тогтоомжийн дагуу, шүүхийн журмаар, шүүхийн журмаар болон / эсвэл олон нийтийн хүсэлт, хүсэлтийг үндэслэн төрийн байгууллагуудОХУ-ын нутаг дэвсгэр дээр - хувийн мэдээллээ задруулах. Аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон нийтийн ашиг сонирхлын бусад шалтгаанаар ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой.
Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх эсвэл худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох гуравдагч этгээдийн өв залгамжлагчид шилжүүлж болно.

Хувийн мэдээллийг хамгаалах

Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, буруугаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.

Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хадгалах

Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын талаар ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.

Сургуульд байхдаа тригонометрийн судалгаанд зориулж тусдаа курс хуваарилсан. Энэхүү гэрчилгээг алгебр, геометр, тригонометр гэсэн гурван математикийн хичээлээр үнэлэв.

Дараа нь шинэчлэлийн хүрээнд сургуулийн боловсролтригонометр нь тусдаа сэдэв байхаа больсон. AT орчин үеийн сургуультригонометртэй анхны танилцах нь 8-р ангийн геометрийн хичээлд тохиолддог. 10-р ангийн алгебрийн хичээлээр уг сэдвийг гүнзгийрүүлэн судлах ажил үргэлжилж байна.

Синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолтыг эхлээд геометрт тэгш өнцөгт гурвалжны талуудын хамаарлаар өгсөн болно.

Тэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцөг нь эсрэг талын хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.

косинустэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцөг нь зэргэлдээх хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.

шүргэгчтэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцөг нь эсрэг талын хөлийг зэргэлдээх хөлтэй харьцуулсан харьцаа юм.

Котангенстэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцгийг зэргэлдээх хөлийн эсрэг талын харьцаа гэж нэрлэдэг.

Эдгээр тодорхойлолтууд нь зөвхөн хурц өнцөгт (0º-ээс 90° хүртэл) хамаарна.

Жишээлбэл,

ABC гурвалжинд ∠C=90°, BC нь А өнцгийн эсрэг талын хөл, AC нь А өнцгийн зэргэлдээх хөл, AB нь гипотенуз юм.

10-р ангийн алгебрийн хичээлд дурын өнцгийн (сөрөг өнцгүүдийг оруулаад) синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолтыг оруулсан болно.

О(0;0) цэг болох эх цэг дээр төвлөрсөн R радиустай тойргийг авч үзье. Х тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй тойргийн огтлолцлын цэгийг P 0 гэж тэмдэглэнэ.

Геометрийн хувьд өнцгийг хоёр цацрагаар хязгаарлагдсан хавтгайн хэсэг гэж үздэг. Энэ тодорхойлолтоор өнцгийн утга нь 0 ° -аас 180 ° хооронд хэлбэлздэг.

Тригонометрийн хувьд өнцгийг OP 0 цацрагийн эхлэлийн О цэгийг тойруулан эргүүлсний үр дүн гэж үздэг.

Үүний зэрэгцээ тэд цацрагийг цагийн зүүний эсрэг эргүүлэх нь тойрч гарах эерэг чиглэл, цагийн зүүний дагуу сөрөг гэж үзэхээр тохиролцов (энэ гэрээ нь Нарны дэлхийг тойрон жинхэнэ хөдөлгөөнтэй холбоотой).

Жишээлбэл, OP 0 цацраг нь О цэгийг тойрон цагийн зүүний эсрэг α өнцгөөр эргэх үед P 0 цэг нь P α цэг рүү очно.

α өнцгийг цагийн зүүний дагуу эргүүлэх үед - F цэг хүртэл.

Энэ тодорхойлолтоор өнцөг нь ямар ч утгыг авч болно.

Хэрэв бид OP 0 цацрагийг цагийн зүүний эсрэг үргэлжлүүлэн эргүүлбэл α°+360°, α°+360° 2,…,α°+360° n өнцгөөр эргэх үед n нь бүхэл тоо (n∈Ζ), дахин Бид P α цэг рүү хүрнэ:

Өнцгийг градус, радианаар хэмждэг.

1° нь шулуун өнцгийн хэмжүүрийн 1/180-тай тэнцэх өнцөг юм.

1 радиан нь нумын урт нь тойргийн радиустай тэнцүү төв өнцөг юм.

∠AOB=1 рад.

Радиан тэмдэглэгээг ихэвчлэн бичдэггүй. Тэмдэглэлд зэрэглэлийн тэмдэглэгээг орхигдуулж болохгүй.

Жишээлбэл,

О цэгийн эргэн тойронд OP 0 цацрагийг цагийн зүүний эсрэг α өнцгөөр эргүүлснээр P 0 цэгээс олж авсан P α цэг нь P α (x;y) координаттай байна.

P α цэгээс x тэнхлэг рүү перпендикуляр P α A-г буулгая.

OP α A тэгш өнцөгт гурвалжинд:

P α A нь α өнцгийн эсрэг талын хөл,

OA нь α өнцөгтэй зэргэлдээх хөл,

OP α нь гипотенуз юм.

P α A=y, OA=x, OP α =R.

Тэгш өнцөгт гурвалжин дахь синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолтоор бид:

Тиймээс дурын радиусын эхэнд төвлөрсөн тойргийн хувьд синусөнцөг α нь P α цэгийн ординатыг радиусын урттай харьцуулсан харьцаа юм.

косинусөнцөг α нь P α цэгийн абсциссыг радиусын урттай харьцуулсан харьцаа юм.

шүргэгчөнцөг α нь P α цэгийн ординатыг абсциссатай харьцуулсан харьцаа юм.

Котангенсөнцөг α нь P α цэгийн абсциссыг ординаттай харьцуулсан харьцаа юм.

Синус, косинус, тангенс ба котангенсийн утгууд нь зөвхөн α-ийн утгаас хамаардаг бөгөөд R радиусын уртаас хамаардаггүй (энэ нь тойргийн ижил төстэй байдлаас хамаарна).

Тиймээс R=1 сонгох нь тохиромжтой.

Эх цэгт төвтэй, R=1 радиустай тойргийг нэгж тойрог гэнэ.

Тодорхойлолт

1) синусα өнцөг нь нэгж тойргийн P α (x; y) цэгийн ординат юм.

2) косинусα өнцгийг нэгж тойргийн P α (x; y) цэгийн абсцисса гэнэ.

3) шүргэгчөнцөг α нь P α (x; y) цэгийн ординатын түүний абсциссатай харьцуулсан харьцаа, өөрөөр хэлбэл sin α ба cos α (энд cos α≠ 0) харьцаа юм.

4) Котангенсөнцөг α нь P α (x; y) цэгийн абсциссыг түүний ординаттай харьцуулсан харьцаа, өөрөөр хэлбэл cosα ба sinα (үүнд sinα≠0):

Ийм байдлаар танилцуулсан тодорхойлолтууд нь өнцгийн тригонометрийн функцийг төдийгүй тоон аргументуудын тригонометрийн функцийг (хэрэв бид sinα, cosα, tgα, ctgα-г α радиан дахь өнцгийн харгалзах тригонометрийн функцууд гэж үзвэл) авч үзэх боломжийг олгодог. нь, α тооны синус нь α радиан дахь өнцгийн синус, α-ийн косинус нь α радиан дахь өнцгийн косинус гэх мэт).

Тригонометрийн функцүүдийн шинж чанарыг 10-11-р ангид алгебрийн хичээлээр тусдаа сэдэв болгон судалдаг. Тригонометрийн функцийг физикт өргөн ашигладаг.

Тайлбар: |