Гурвалжны талбайн теорем, синус ба косинусын теоремууд. Гурвалжны талбай Гурвалжны синусын талбай тэдгээрийн хоорондох өнцгийн талбай

Суурь болон өндрийг мэдэж байж олж болно. Диаграммын бүх энгийн байдал нь өндөр нь а суурийг 1 ба 2 гэсэн хоёр хэсэгт, гурвалжинг өөрөө хоёр тэгш өнцөгт гурвалжин болгон хуваадагт оршино. Дараа нь бүхэл гурвалжны талбай нь заасан хоёр талбайн нийлбэр байх бөгөөд хэрэв бид хаалтаас өндрийн нэг секундийг авбал нийлбэрээр бид суурийг буцааж авна.

Тооцоолоход илүү төвөгтэй арга бол Хероны томъёо бөгөөд үүний тулд та гурван талыг нь мэдэх хэрэгтэй. Энэ томьёоны хувьд та эхлээд гурвалжны хагас периметрийг тооцоолох хэрэгтэй. Хэроны томьёо нь хагас периметрийн квадрат язгуурыг тус тусад нь тус бүрээр нь зөрүүгээр нь үржүүлдэг.

Аливаа гурвалжинд хамааралтай дараах арга нь гурвалжны талбайг хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг олох боломжийг олгоно. Үүний нотолгоо нь өндөртэй томьёо юм - бид аль ч мэдэгдэж буй талуудын өндрийг зурж, α өнцгийн синусаар дамжуулан h=a⋅sinα-г олж авна. Талбайг тооцоолохын тулд өндрийн хагасыг хоёр дахь талаас нь үржүүлнэ.

Өөр нэг арга бол гурвалжны талбайг олох, 2 өнцөг ба тэдгээрийн хоорондох талыг мэдэх явдал юм. Энэ томьёоны баталгаа нь маш энгийн бөгөөд диаграмаас тодорхой харагдаж байна.

Гурав дахь өнцгийн оройноос өндрийг мэдэгдэж буй тал руу нь буулгаж, үүссэн хэсгүүдийг х гэж нэрлэнэ. -аас зөв гурвалжинЭхний х сегмент нь бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байх нь тодорхой байна

Энгийнээр хэлэхэд эдгээр нь тусгай жорын дагуу усанд чанаж болгосон хүнсний ногоо юм. Би эхний хоёр бүрэлдэхүүн хэсэг (хүнсний ногооны салат ба ус) болон эцсийн үр дүн - borscht-ийг авч үзэх болно. Геометрийн хувьд нэг тал нь шанцайны ургамал, нөгөө тал нь усыг төлөөлдөг тэгш өнцөгт гэж үзэж болно. Эдгээр хоёр талын нийлбэр нь борцыг заана. Ийм "борщ" тэгш өнцөгтийн диагональ ба талбай нь цэвэр математикийн ойлголт бөгөөд борщны жоронд хэзээ ч ашиглагддаггүй.

Математикийн үүднээс шанцайны ургамал, ус хэрхэн борщ болж хувирдаг вэ? Хоёр шугамын сегментийн нийлбэр хэрхэн тригонометр болох вэ? Үүнийг ойлгохын тулд шугаман өнцгийн функц хэрэгтэй.

Математикийн сурах бичгүүдээс шугаман өнцгийн функцийн талаар юу ч олж харахгүй. Гэхдээ тэдэнгүйгээр математик байж чадахгүй. Математикийн хуулиуд нь байгалийн хуулиудтай адил бидний оршин тогтнох эсэхээс үл хамааран ажилладаг.

Шугаман өнцгийн функцууд нь нэмэх хууль юм.Алгебр хэрхэн геометр, геометр нь тригонометр болж хувирахыг хараарай.

Шугаман өнцгийн функцгүйгээр хийх боломжтой юу? Энэ нь боломжтой, учир нь математикчид тэдэнгүйгээр удирддаг. Математикчдын заль мэх нь тэд өөрсдөө хэрхэн шийдэхээ мэддэг асуудлуудаа л бидэнд хэлдэг бөгөөд шийдэж чадахгүй байгаа асуудлынхаа талаар хэзээ ч бидэнд хэлдэггүй. Хараач. Хэрэв бид нэмэх болон нэг гишүүний үр дүнг мэддэг бол нөгөө гишүүнийг олохын тулд хасах аргыг ашигладаг. Бүгд. Бид бусад асуудлуудыг мэдэхгүй бөгөөд тэдгээрийг хэрхэн шийдвэрлэхээ мэдэхгүй байна. Хэрэв бид зөвхөн нэмэлтийн үр дүнг мэдэж, хоёр нэр томъёог мэдэхгүй бол яах ёстой вэ? Энэ тохиолдолд нэмэлтийн үр дүнг шугаман өнцгийн функцийг ашиглан хоёр гишүүнд задлах ёстой. Дараа нь бид өөрсдөө нэг нэр томъёо байж болохыг сонгодог бөгөөд шугаман өнцгийн функцууд нь хоёр дахь гишүүн ямар байх ёстойг харуулдаг бөгөөд ингэснээр нэмэлтийн үр дүн нь бидэнд яг хэрэгтэй болно. Ийм хос нэр томъёо хязгааргүй олон байж болно. IN Өдөр тутмын амьдралБид нийлбэрийг задлахгүйгээр зүгээр л хийж чадна, хасах нь бидэнд хангалттай. Гэвч хэзээ Шинжлэх ухааны судалгаабайгалийн хуулиудын дагуу нийлбэрийг бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд нь задлах нь маш ашигтай байж болно.

Математикчдын ярих дургүй нэмэлт хууль (тэдний өөр нэг заль мэх) нь нэр томьёо нь ижил хэмжүүртэй байхыг шаарддаг. Салат, ус, борщны хувьд эдгээр нь жин, эзэлхүүн, үнэ цэнэ, хэмжих нэгж байж болно.

Зураг нь математикийн хувьд хоёр түвшний зөрүүг харуулж байна. Эхний түвшин бол заасан тоонуудын ялгаа юм а, б, в. Үүнийг математикчид хийдэг. Хоёрдахь түвшин нь дөрвөлжин хаалтанд тэмдэглэгдсэн, үсгээр тэмдэглэгдсэн хэмжлийн нэгжийн талбайн ялгаа юм. У. Үүнийг физикчид хийдэг. Гурав дахь түвшинг бид ойлгож чадна - тайлбарлаж буй объектуудын талбайн ялгаа. Өөр өөр объектууд ижил тооны ижил хэмжилтийн нэгжтэй байж болно. Энэ нь хэр чухал болохыг бид borscht тригонометрийн жишээнээс харж болно. Хэрэв бид өөр өөр объектуудын хэмжлийн нэгжийн ижил тэмдэглэгээнд доод тэмдэгтүүдийг нэмбэл яг аль нь болохыг хэлж чадна математик хэмжигдэхүүнтодорхой объект, энэ нь цаг хугацааны явцад эсвэл бидний үйлдлээс шалтгаалан хэрхэн өөрчлөгддөгийг тодорхойлдог. Захидал ВБи үсгээр усыг зааж өгнө СБи салатыг бичгээр зааж өгнө Б- борщ. Borscht-ийн шугаман өнцгийн функцүүд иймэрхүү харагдах болно.

Хэрэв бид усны зарим хэсгийг, салатны зарим хэсгийг авбал тэд хамтдаа borscht-ийн нэг хэсэг болж хувирна. Энд би борщ идэхээсээ бага зэрэг завсарлаж, алс холын бага насаа эргэн санахыг санал болгож байна. Бид туулай, нугас хоёрыг хэрхэн нийлүүлж сургасныг санаж байна уу? Хэдэн мал байхыг олох шаардлагатай байсан. Тэр үед бидэнд юу хийхийг зааж өгсөн бэ? Хэмжилтийн нэгжийг тооноос салгаж, тоо нэмэхийг бидэнд заасан. Тиймээ, дурын нэг дугаарыг өөр ямар ч дугаарт нэмж болно. Энэ бол орчин үеийн математикийн аутизмын шууд зам юм - бид үүнийг ойлгомжгүй байдлаар хийдэг, яагаад үүнийг ойлгомжгүй, энэ нь бодит байдалтай хэрхэн холбогдож байгааг маш муу ойлгодог, учир нь гурван түвшний ялгаанаас болж математикчид зөвхөн нэгээр ажилладаг. Хэмжилтийн нэг нэгжээс нөгөөд шилжихийг сурах нь илүү зөв байх болно.

Бөжин, нугас, бяцхан амьтдыг хэсэг хэсгээр нь тоолж болно. Янз бүрийн объектын хэмжүүрийн нэг нийтлэг нэгж нь тэдгээрийг нэгтгэх боломжийг бидэнд олгодог. Энэ бол асуудлын хүүхдийн хувилбар юм. Насанд хүрэгчдэд зориулсан ижил төстэй асуудлыг авч үзье. Бөжин, мөнгө нэмбэл юу авах вэ? Энд хоёр боломжит шийдэл байна.

Эхний сонголт. Бид туулайн зах зээлийн үнэ цэнийг тодорхойлж, бэлэн мөнгөний хэмжээнд нэмнэ. Бид баялгийнхаа нийт үнэ цэнийг мөнгөн дүнгээр авсан.

Хоёр дахь сонголт. Та бидэнд байгаа тоон дээр бөжингийн тоог нэмж болно мөнгөн тэмдэгт. Хөдлөх эд хөрөнгийн хэмжээг хэсэгчлэн авна.

Таны харж байгаагаар ижил нэмэлт хууль нь өөр өөр үр дүнд хүрэх боломжийг олгодог. Энэ бүхэн бидний яг юу мэдэхийг хүсч байгаагаас хамаарна.

Гэхдээ борц руугаа буцъя. Одоо бид шугаман өнцгийн функцүүдийн өөр өөр өнцгийн утгуудад юу тохиолдохыг харж болно.

Өнцөг нь тэг байна. Бид салаттай, гэхдээ усгүй. Бид борщ чанаж чаддаггүй. Борщны хэмжээ бас тэг байна. Энэ нь тэг борщ нь тэг устай тэнцүү гэсэн үг биш юм. Тэг салат (зөв өнцөг) бүхий тэг borscht байж болно.

Миний хувьд энэ бол . Тэг нэмэхэд тоог өөрчлөхгүй. Зөвхөн нэг гишүүн, хоёр дахь гишүүн байхгүй бол нэмэх боломжгүй учраас энэ нь тохиолддог. Та үүнийг хүссэнээрээ мэдэрч болно, гэхдээ санаарай - тэгтэй бүх математик үйлдлүүдийг математикчид өөрсдөө зохион бүтээсэн тул логикоо хаяж, математикчдын зохион бүтээсэн "тэгээр хуваах боломжгүй", "ямар ч тоог үржүүлбэл" гэсэн тодорхойлолтыг тэнэг байдлаар хий. тэг нь тэгтэй тэнцүү" , "цоорох цэгээс давсан" болон бусад утгагүй зүйл. Тэг бол тоо биш гэдгийг нэг удаа санахад хангалттай бөгөөд тэг нь натурал тоо мөн үү, үгүй ​​юу гэсэн асуулт танд дахин хэзээ ч төрөхгүй, учир нь ийм асуулт бүх утгыг алддаг: тоо биш зүйлийг яаж тоо гэж үзэх вэ? ? Энэ нь үл үзэгдэх өнгийг ямар өнгөөр ​​ангилах ёстойг асуухтай адил юм. Тоон дээр тэг нэмэх нь байхгүй будгаар будсантай адил юм. Бид хуурай бийрээр даллаж, бүгдэд нь "бид зурсан" гэж хэлэв. Гэхдээ би бага зэрэг ухарч байна.

Өнцөг нь тэгээс их боловч дөчин таван градусаас бага байна. Бидэнд маш их шанцайны ургамал байдаг, гэхдээ хангалттай ус байхгүй. Үүний үр дүнд бид зузаан borscht авах болно.

Өнцөг нь дөчин таван градус байна. Бид ижил хэмжээний ус, салаттай. Энэ бол төгс борщ (намайг уучлаарай, тогооч нар, энэ бол зүгээр л математик юм).

Өнцөг нь дөчин таван градусаас их, харин ерэн градусаас бага. Бидэнд ус ихтэй, салат багатай. Та шингэн борщ авах болно.

Зөв өнцөг. Бидэнд ус байна. Нэгэн цагт салатыг тэмдэглэсэн шугамаас өнцгийг хэмжсээр байгаа тул салатаас үлдсэн бүх зүйл нь дурсамж юм. Бид борщ чанаж чаддаггүй. Борщны хэмжээ тэг байна. Энэ тохиолдолд устай байхдаа барьж аваад уугаарай)))

Энд. Энэ нь иймэрхүү зүйл. Би эндээс илүү тохиромжтой бусад түүхийг энд ярьж болно.

Хоёр найз нийтлэг бизнест хувь эзэмшдэг байв. Нэгийг нь алсны дараа бүх зүйл нөгөө рүүгээ шилжсэн.

Манай гараг дээр математикийн үүсэл.

Эдгээр бүх түүхийг шугаман өнцгийн функцийг ашиглан математикийн хэлээр өгүүлдэг. Өөр нэг удаа би эдгээр функцүүдийн математикийн бүтэц дэх бодит байр суурийг харуулах болно. Энэ хооронд борщын тригонометр рүү буцаж, төсөөллийг авч үзье.

2019 оны аравдугаар сарын 26, Бямба гараг

Энэ тухай сонирхолтой бичлэг үзлээ Grundy цуврал Нэг хасах нэг нэмэх нэг хасах нэг - Numberphile. Математикчид худлаа ярьдаг. Тэд үндэслэлээ илэрхийлэхдээ тэгш байдлын шалгалт хийгээгүй.

Энэ нь миний бодолтой нийцэж байна.

Математикчид биднийг хуурч байгаа шинж тэмдгүүдийг нарийвчлан авч үзье. Маргааны эхэнд математикчид дарааллын нийлбэр нь тэгш тооны элементтэй эсэхээс ХААРАЛТАЙ гэж хэлдэг. Энэ бол ОБЪЕКТИЙН ТОДОРХОЙ БАРИМТ. Дараа нь юу болох вэ?

Дараа нь математикчид нэгдмэл байдлаас дарааллыг хасдаг. Энэ нь юунд хүргэдэг вэ? Энэ нь дарааллын элементүүдийн тоог өөрчлөхөд хүргэдэг - тэгш тоо сондгой, сондгой тоо тэгш тоо болж өөрчлөгддөг. Эцсийн эцэст бид дараалалд нэгтэй тэнцүү нэг элемент нэмсэн. Гадны бүх ижил төстэй байдлыг үл харгалзан хувиргалтын өмнөх дараалал нь хувиргасны дараах дараалалтай тэнцүү биш юм. Хэдийгээр бид хязгааргүй дарааллын тухай ярьж байгаа ч сондгой тооны элемент бүхий хязгааргүй дараалал нь тэгш тооны элемент бүхий хязгааргүй дараалалтай тэнцүү биш гэдгийг санах ёстой.

Математикчид өөр өөр тооны элемент бүхий хоёр дарааллын хооронд тэнцүү тэмдэг тавьснаар дарааллын нийлбэр нь тухайн дарааллын элементийн тооноос ХААРАЛТГҮЙ гэж үздэг нь ОБЪЕКТИВ ТОГТООГДСОН БАРИМТ-тай зөрчилдөж байна. Хязгааргүй дарааллын нийлбэрийн талаархи цаашдын үндэслэл нь худал тэгшитгэл дээр үндэслэсэн тул худал юм.

Хэрэв та математикчид нотолгооны явцад хаалт байрлуулж, математик илэрхийллийн элементүүдийг дахин цэгцэлж, ямар нэг зүйл нэмж эсвэл хасаж байгааг анзаарсан бол маш болгоомжтой байгаарай, магадгүй тэд таныг хуурах гэж оролдож байна. Хөзрийн илбэчдийн нэгэн адил математикчид таны анхаарлыг сарниулахын тулд янз бүрийн илэрхийлэлийг ашигладаг. Хэрэв та хууран мэхлэлтийн нууцыг мэдэхгүйгээр картын заль мэхийг давтаж чадахгүй бол математикийн хувьд бүх зүйл илүү хялбар байдаг: та хууран мэхлэлтийн талаар юу ч сэжиглэдэггүй, харин бүх заль мэхийг математикийн илэрхийлэлээр давтах нь бусдад зөв гэдэгт итгүүлэх боломжийг олгодог. олж авсан үр дүн, яг тэр үед - тэд чамайг итгүүлсэн.

Үзэгчдийн асуулт: Хязгааргүй байдал (S дарааллын элементүүдийн тоо) тэгш эсвэл сондгой юу? Паритетгүй зүйлийг яаж өөрчлөх вэ?

Хязгааргүй байдал нь математикчдад зориулагдсан, Тэнгэрийн хаант улс нь тахилчдад зориулагдсан байдаг - хэн ч тэнд хэзээ ч байгаагүй, гэхдээ тэнд бүх зүйл хэрхэн явагддагийг бүгд мэддэг))) Би зөвшөөрч байна, нас барсны дараа та тэгш эсвэл сондгой тоогоор амьдарч байсан эсэхээс үл хамааран огт хайхрамжгүй байх болно. өдрүүдийн тоо, гэхдээ... Амьдралынхаа эхэнд ганцхан өдрийг нэмбэл бид огт өөр хүнтэй болно: түүний овог, нэр, овог нэр нь яг адилхан, зөвхөн төрсөн он сар өдөр нь огт өөр - тэр байсан чамаас нэг өдрийн өмнө төрсөн.

Одоо гол зүйл рүүгээ орцгооё))) Паритеттэй төгсгөлтэй дараалал нь төгсгөлгүйд очихдоо энэ паритетаа алддаг гэж бодъё. Дараа нь хязгааргүй дарааллын аль ч төгсгөлтэй сегмент нь паритетаа алдах ёстой. Бид үүнийг харахгүй байна. Хязгааргүй дараалал нь тэгш эсвэл сондгой тооны элементтэй эсэхийг бид тодорхой хэлж чадахгүй байгаа нь паритет алга болсон гэсэн үг биш юм. Паритет хэрэв байгаа бол хурц ханцуйндаа байгаа мэт хязгааргүйд оршдоггүй. Энэ тохиолдолд маш сайн зүйрлэл бий.

Та цагны зүү аль зүгт эргэлддэгийг цагтаа суугаа хөхөөнөөс асууж байсан уу? Түүний хувьд сум нь бидний "цагийн зүүний дагуу" гэж нэрлэдэг зүйлийн эсрэг чиглэлд эргэлддэг. Хачирхалтай сонсогдож байгаа ч эргэлтийн чиглэл нь зөвхөн аль талаасаа эргэлтийг ажиглахаас хамаарна. Тиймээс бид эргэдэг нэг дугуйтай болсон. Эргэлтийн хавтгайн нэг талаас, нөгөө талаас нь хоёуланг нь ажиглаж болох тул эргэлт аль чиглэлд явагддагийг бид хэлж чадахгүй. Бид ротаци байгаа гэдгийг л гэрчилж чадна. Хязгааргүй дарааллын паритеттай бүрэн аналоги С.

Одоо хоёр дахь эргэдэг дугуйг нэмье, түүний эргэлтийн хавтгай нь эхний эргэдэг дугуйны эргэлтийн хавтгайтай параллель байна. Эдгээр дугуйнууд аль чиглэлд эргэлдэж байгааг бид тодорхой хэлж чадахгүй байгаа ч хоёр дугуй нь нэг чиглэлд эсвэл эсрэг чиглэлд эргэлдэж байгааг бид бүрэн хэлж чадна. Хязгааргүй хоёр дарааллыг харьцуулах СТэгээд 1-С, Би математикийн тусламжтайгаар эдгээр дараалал нь өөр өөр паритеттэй бөгөөд тэдгээрийн хооронд тэнцүү тэмдэг тавих нь алдаа гэдгийг харуулсан. Би хувьдаа математикт итгэдэг, математикчдад итгэдэггүй))) Дашрамд хэлэхэд, хязгааргүй дарааллын хувиргалтын геометрийг бүрэн ойлгохын тулд энэ ойлголтыг нэвтрүүлэх шаардлагатай. "нэгэн зэрэг". Үүнийг зурах шаардлагатай болно.

2019 оны наймдугаар сарын 7, Лхагва гараг

Яриагаа дуусгахдаа бид хязгааргүй олонлогийг авч үзэх хэрэгтэй. Гол нь “хязгааргүй” гэдэг ойлголт нь математикчдад боа туулайнд нөлөөлдөг шиг нөлөөлдөг. Хязгааргүй байдлын чичирхийлсэн аймшиг нь математикчдыг эрүүл ухаангүй болгодог. Энд нэг жишээ байна:

Анхны эх сурвалж нь байрладаг. Альфа гэсэн үг бодит тоо. Дээрх илэрхийлэл дэх тэнцүү тэмдэг нь хэрэв та хязгааргүйд тоо эсвэл хязгаарыг нэмбэл юу ч өөрчлөгдөхгүй, үр дүн нь ижил хязгааргүй болно гэдгийг харуулж байна. Хэрэв бид хязгааргүй олонлогийг жишээ болгон авбал натурал тоонууд, дараа нь авч үзсэн жишээнүүдийг дараах байдлаар танилцуулж болно.

Тэдний зөв гэдгийг тодорхой нотлохын тулд математикчид олон янзын арга бодож олжээ. Би хувьдаа энэ бүх аргыг бөө хэнгэрэг бариад бүжиглэж байгаа мэтээр хардаг. Үндсэндээ, тэд бүгд нэг бол зарим өрөөнүүд эзэнгүй, шинэ зочид нүүж ирж байгаа, эсвэл зочдод өрөө гаргахын тулд зарим зочдыг коридор руу шиддэг (маш хүнлэг байдлаар). Би ийм шийдвэрийн талаархи өөрийн үзэл бодлыг шаргал үстийн тухай уран зөгнөлт түүх хэлбэрээр танилцуулсан. Миний үндэслэл юунд үндэслэсэн бэ? Хязгааргүй тооны зочдыг нүүлгэн шилжүүлэхэд хязгааргүй их цаг зарцуулдаг. Биднийг зочдод зориулж эхний өрөөг чөлөөлсний дараа зочдын нэг нь цаг дуусах хүртэл коридороор өөрийн өрөөнөөс дараагийн өрөө рүү үргэлж алхах болно. Мэдээжийн хэрэг, цаг хугацааны хүчин зүйлийг үл тоомсорлож болох ч энэ нь "Тэнэгүүдэд зориулж хууль бичдэггүй" гэсэн ангилалд багтах болно. Энэ бүхэн бидний хийж байгаа зүйлээс хамаарна: бодит байдлыг тохируулах математикийн онолуудэсвэл эсрэгээр.

"Төгсгөлгүй зочид буудал" гэж юу вэ? Хязгааргүй зочид буудал гэдэг нь хэдэн өрөө байрлаж байгаагаас үл хамааран хэдэн ч хоосон ортой зочид буудал юм. Төгсгөлгүй "зочин" коридорын бүх өрөөг эзэлдэг бол "зочин" өрөөнүүдтэй өөр нэг төгсгөлгүй коридор байдаг. Ийм коридорууд хязгааргүй олон байх болно. Түүгээр ч барахгүй “хязгааргүй зочид буудал” нь хязгааргүй олон тооны бурхадын бүтээсэн хязгааргүй олон орчлон ертөнц дэх хязгааргүй тооны гаригууд дээрх хязгааргүй олон барилгад хязгааргүй олон давхартай байдаг. Математикчид өдөр тутмын асуудлаас холдож чаддаггүй: үргэлж ганц Бурхан-Алла-Будда байдаг, ганц зочид буудал байдаг, ганц коридор байдаг. Тиймээс математикчид зочид буудлын өрөөнүүдийн серийн дугаарыг хооронд нь тааруулахыг хичээж, биднийг "боломжгүй зүйл рүү түлхэх" боломжтой гэж итгүүлж байна.

Би хязгааргүй натурал тоонуудын жишээн дээр өөрийн үндэслэлийн логикийг харуулах болно. Эхлээд та маш энгийн асуултанд хариулах хэрэгтэй: хэдэн олон тооны натурал тоо байдаг - нэг эсвэл олон уу? Энэ асуултад зөв хариулт алга, учир нь бид тоонуудыг өөрсдөө зохион бүтээсэн; тоо нь байгальд байдаггүй. Тийм ээ, Байгаль тоолохдоо гайхалтай, гэхдээ үүний тулд тэрээр бидэнд танил бус бусад математик хэрэгслийг ашигладаг. Байгаль юу гэж бодож байгааг би өөр нэг удаа хэлье. Бид тоог зохион бүтээсэн тул хэдэн олон тооны натурал тоо байгааг бид өөрсдөө шийдэх болно. Жинхэнэ эрдэмтдэд тохирсон хоёр хувилбарыг авч үзье.

Сонголт нэг. Тавиур дээр тайван орших натурал тоонуудын нэг багц "Бидэнд өгөгдье". Бид энэ багцыг тавиур дээрээс авдаг. Ингээд л, тавиур дээр өөр натурал тоо үлдсэнгүй, тэднийг авч явах газар ч алга. Бидэнд аль хэдийн байгаа тул энэ багцад нэгийг нэмж чадахгүй. Хэрэв та үнэхээр хүсч байвал яах вэ? Асуудалгүй. Бид аль хэдийн авсан багцаасаа нэгийг нь аваад тавиур дээр буцааж өгч болно. Үүний дараа бид тавиур дээрээс нэгийг нь аваад үлдсэн зүйл дээрээ нэмж болно. Үүний үр дүнд бид дахин хязгааргүй натурал тооны багцыг авах болно. Та бидний бүх заль мэхийг дараах байдлаар бичиж болно.

Би үйлдлүүдийг алгебрийн тэмдэглэгээ болон олонлогийн онолын тэмдэглэгээгээр, олонлогийн элементүүдийн дэлгэрэнгүй жагсаалтаар бичсэн. Доод тэмдэг нь бидэнд нэг бөгөөд цорын ганц натурал тооны багц байгааг харуулж байна. Үүнээс нэгийг хасч, ижил нэгжийг нэмбэл натурал тоонуудын олонлог өөрчлөгдөхгүй байх болно.

Хоёр дахь сонголт. Бидний тавиур дээр олон янзын хязгааргүй олон тооны натурал тоонууд бий. Би онцлон тэмдэглэж байна - Хэдийгээр тэдгээр нь бараг ялгаагүй ч гэсэн ӨӨР. Эдгээр багцуудын нэгийг авч үзье. Дараа нь бид өөр натурал тооны багцаас нэгийг нь авч, аль хэдийн авсан олонлогт нэмнэ. Бид хоёр натурал тоог нэмж болно. Энэ бол бидний авах зүйл юм:

"Нэг" ба "хоёр" гэсэн дэд тэмдэгтүүд нь эдгээр элементүүд нь өөр олонлогт харьяалагддаг болохыг харуулж байна. Тиймээ, хэрэв та хязгааргүй олонлог дээр нэгийг нэмбэл үр дүн нь мөн төгсгөлгүй олонлог болох боловч энэ нь анхны олонлогтой ижил биш байх болно. Хэрэв та нэг хязгааргүй олонлог дээр өөр нэг хязгааргүй олонлог нэмбэл үр дүн нь эхний хоёр олонлогийн элементүүдээс бүрдсэн шинэ хязгааргүй олонлог болно.

Натурал тоонуудын багцыг захирагчийг хэмжихтэй адил тоолоход ашигладаг. Одоо та захирагч дээр нэг сантиметр нэмсэн гэж төсөөлөөд үз дээ. Энэ нь анхны шугамтай тэнцүү биш өөр шугам байх болно.

Та миний үндэслэлийг хүлээн зөвшөөрөх эсвэл хүлээн зөвшөөрөхгүй байж болно - энэ бол таны хувийн хэрэг. Гэхдээ та хэзээ нэгэн цагт математикийн асуудалтай тулгарвал үе үеийн математикчдийн гишгэсэн худал сэтгэх замаар явж байгаа эсэхээ бодоорой. Эцсийн эцэст, математикийг судлах нь юуны түрүүнд бидний сэтгэлгээний тогтвортой хэвшмэл ойлголтыг бий болгож, зөвхөн дараа нь бидний оюун санааны чадварыг нэмэгдүүлдэг (эсвэл эсрэгээр биднийг чөлөөт сэтгэлгээнээс чөлөөлдөг).

pozg.ru

2019 оны наймдугаар сарын 4, Ням гараг

Би энэ тухай нийтлэлийн бичлэгийг дуусгаж байгаад Википедиа дээрх гайхалтай текстийг олж харав:

Бид уншдаг: "... Вавилоны математикийн онолын баялаг үндэс нь нэгдмэл шинж чанартай байсангүй бөгөөд өөр өөр арга техник болгон бууруулсан. нийтлэг системба нотлох үндэслэл."

Хөөх! Бид ямар ухаантай, бусдын дутагдлыг хэр сайн харж чаддаг вэ. Орчин үеийн математикийг ижил нөхцөл байдалд авч үзэх нь бидэнд хэцүү байдаг уу? Дээрх текстийг бага зэрэг тайлбарлахад би хувьдаа дараахь зүйлийг олж авлаа.

Орчин үеийн математикийн онолын баялаг үндэс нь нэгдмэл шинж чанартай биш бөгөөд нийтлэг систем, нотолгооны баазгүй, ялгаатай хэсгүүдэд хуваагддаг.

Би үгээ батлахын тулд хол явахгүй - энэ нь математикийн бусад олон салбаруудын хэл, хэллэгээс ялгаатай хэл, дүрэм журамтай. Математикийн өөр өөр салбар дахь ижил нэрс өөр өөр утгатай байж болно. Би орчин үеийн математикийн хамгийн тод алдаануудад бүхэл бүтэн цуврал нийтлэлээ зориулахыг хүсч байна. Удахгүй уулзацгаая.

2019 оны наймдугаар сарын 3-ны Бямба гараг

Олонлогийг дэд олонлогт хэрхэн хуваах вэ? Үүнийг хийхийн тулд та сонгосон багцын зарим элементүүдэд байгаа шинэ хэмжилтийн нэгжийг оруулах хэрэгтэй. Нэг жишээ авч үзье.

Бидэнд элбэг дэлбэг байх болтугай Адөрвөн хүний ​​бүрэлдэхүүнтэй. Энэ олонлог нь "хүмүүс" гэсэн үндсэн дээр үүсдэг. Энэ олонлогийн элементүүдийг үсгээр тэмдэглэе. А, тоо бүхий доод тэмдэгтийг заана серийн дугаарЭнэ олны доторх хүн бүр. "Хүйс" хэмжилтийн шинэ нэгжийг нэвтрүүлж, үсгээр тэмдэглэе б. Бэлгийн шинж чанар нь бүх хүмүүст байдаг тул бид багцын элемент бүрийг үржүүлдэг Ажендэр дээр үндэслэсэн б. Манай "хүмүүс" нь одоо "хүйсийн онцлогтой хүмүүс" болж хувирсныг анзаараарай. Үүний дараа бид бэлгийн шинж чанарыг эрэгтэй гэж хувааж болно bmболон эмэгтэйчүүдийн bwбэлгийн шинж чанар. Одоо бид математик шүүлтүүр хэрэглэж болно: эрэгтэй, эмэгтэй аль нь ч хамаагүй эдгээр бэлгийн шинж чанаруудын аль нэгийг нь сонгоно. Хэрэв хүнд байгаа бол бид үүнийг нэгээр үржүүлдэг, хэрэв тийм тэмдэг байхгүй бол тэгээр үржүүлдэг. Тэгээд бид ердийн сургуулийн математикийг ашигладаг. Юу болсныг хар.

Үржүүлэх, багасгах, дахин зохион байгуулсны дараа бид хоёр дэд олонлогтой болсон: эрэгтэй дэд олонлог. Bmмөн эмэгтэйчүүдийн нэг хэсэг Bw. Математикчид олонлогын онолыг практикт хэрэгжүүлэхдээ ойролцоогоор ижил аргаар сэтгэдэг. Гэхдээ тэд бидэнд нарийн ширийн зүйлийг хэлэхгүй, харин эцсийн үр дүнг өгдөг - "маш олон хүмүүс эрэгтэйчүүдийн дэд хэсэг, эмэгтэйчүүдийн дэд хэсэгээс бүрддэг." Мэдээжийн хэрэг, танд асуулт гарч ирж магадгүй юм: дээр дурдсан өөрчлөлтүүдэд математикийг хэр зөв ашигласан бэ? Үндсэндээ өөрчлөлтүүд зөв хийгдсэн гэдгийг батлан ​​хэлье, зөвхөн арифметик, Булийн алгебр болон математикийн бусад салбаруудын математик үндсийг мэдэхэд хангалттай. Энэ юу вэ? Өөр нэг удаа би энэ тухай танд хэлэх болно.

Супер олонлогуудын хувьд та эдгээр хоёр багцын элементүүдэд байгаа хэмжих нэгжийг сонгосноор хоёр багцыг нэг супер олонлогт нэгтгэж болно.

Таны харж байгаагаар хэмжлийн нэгж ба ердийн математик нь олонлогын онолыг өнгөрсөн үеийн үлдэгдэл болгож байна. Олонлогийн онолын хувьд бүх зүйл сайн биш байгаагийн шинж тэмдэг бол математикчид олонлогийн онолын өөрийн хэл, тэмдэглэгээг гаргаж ирсэн явдал юм. Математикчид нэгэн цагт бөөгийн адил ажилладаг байсан. "Мэдлэгээ" хэрхэн "зөв" хэрэгжүүлэхийг бөө нар л мэддэг. Тэд бидэнд энэ "мэдлэг"-ийг заадаг.

Эцэст нь хэлэхэд, би математикчид хэрхэн удирддагийг харуулахыг хүсч байна
Ахиллес яст мэлхийгээс арав дахин хурдан гүйж, түүнээс мянган алхмын ард байна гэж бодъё. Ахиллес энэ зайг гүйхэд шаардагдах хугацаанд яст мэлхий нэг чиглэлд зуун алхам мөлхөх болно. Ахиллес зуун алхам гүйхэд яст мэлхий дахиад арван алхам мөлхдөг гэх мэт. Энэ үйл явц эцэс төгсгөлгүй үргэлжлэх бөгөөд Ахиллес яст мэлхийг хэзээ ч гүйцэхгүй.

Энэ үндэслэл нь дараагийн бүх үеийнхний хувьд логик цочрол болсон. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт... Тэд бүгд нэг талаараа Зеногийн апориа гэж үзсэн. Цочрол маш хүчтэй байсан тул " ... хэлэлцүүлэг өнөөдрийг хүртэл үргэлжилж, шинжлэх ухааны нийгэмлэг парадоксуудын мөн чанарын талаар нэгдсэн саналд хүрч чадаагүй байна ... уг асуудлыг судлахад математик анализ, олонлогын онол, физик, философийн шинэ хандлагуудыг оролцуулсан. ; Тэдгээрийн аль нь ч асуудлыг шийдвэрлэх нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн шийдэл болсонгүй ..."[Википедиа, "Зеногийн Апориа". Хүн бүр хууртагдаж байгааг ойлгодог, гэхдээ хууран мэхлэлт юунаас бүрддэгийг хэн ч ойлгодоггүй.

Математикийн үүднээс авч үзвэл Зено өөрийн апориадаа хэмжигдэхүүнээс . Энэ шилжилт нь байнгын бус хэрэглээг илэрхийлдэг. Миний ойлгож байгаагаар хувьсах хэмжлийн нэгжийг ашиглах математикийн аппарат хараахан боловсруулагдаагүй эсвэл Зеногийн апорид ашиглагдаагүй байна. Ердийн логикоо ашиглах нь биднийг урхинд оруулдаг. Бид сэтгэлгээний инерцийн улмаас цаг хугацааны тогтмол нэгжийг харилцан хамааралтай утгад ашигладаг. Физик талаас нь авч үзвэл, Ахиллес яст мэлхийг гүйцэх тэр мөчид цаг бүрэн зогсох хүртэл удааширч байгаа мэт харагдаж байна. Хэрэв цаг хугацаа зогсвол Ахиллес яст мэлхийг гүйцэж чадахгүй.

Хэрэв бид ердийн логикоо эргүүлбэл бүх зүйл байрандаа орно. Ахиллес тогтмол хурдтайгаар гүйдэг. Түүний замын дараагийн хэсэг бүр өмнөхөөсөө арав дахин богино байна. Үүний дагуу үүнийг даван туулахад зарцуулсан хугацаа өмнөхөөсөө арав дахин бага байна. Хэрэв бид энэ нөхцөлд "хязгааргүй" гэсэн ойлголтыг ашиглавал "Ахиллес яст мэлхийг хязгааргүй хурдан гүйцэх болно" гэж хэлэх нь зөв байх болно.

Энэ логик урхинаас хэрхэн зайлсхийх вэ? Цагийн тогтмол нэгжид үлдэж, харилцан адилгүй нэгж рүү бүү шилжинэ. Зеногийн хэлээр энэ нь дараах байдалтай байна.

Ахиллес мянган алхам гүйхэд яст мэлхий нэг зүгт зуун алхам мөлхөх болно. Эхнийхтэй тэнцэх дараагийн хугацааны интервалд Ахиллес дахиад мянган алхам гүйж, яст мэлхий зуун алхам мөлхөх болно. Одоо Ахиллес яст мэлхийнээс найман зуун алхмын өмнө байна.

Энэ хандлага нь бодит байдлыг ямар ч логик парадоксгүйгээр хангалттай дүрсэлдэг. Гэхдээ энэ нь асуудлыг шийдэх бүрэн шийдэл биш юм. Эйнштейний гэрлийн хурдыг үл тоомсорлодог тухай мэдэгдэл нь Зеногийн "Ахиллес ба яст мэлхий" апориатай тун төстэй юм. Бид энэ асуудлыг судалж, дахин бодож, шийдвэрлэх шаардлагатай хэвээр байна. Мөн шийдлийг хязгааргүй олон тоогоор бус хэмжилтийн нэгжээр хайх ёстой.

Зеногийн өөр нэг сонирхолтой апориа нь нисдэг сумны тухай өгүүлдэг.

Нисдэг сум цаг мөч бүрт амарч, цаг мөч бүрт амарч байдаг тул хөдөлгөөнгүй байдаг.

Энэ апорид логик парадоксыг маш энгийнээр даван туулдаг - цаг мөч бүрт нисдэг сум сансар огторгуйн өөр өөр цэгүүдэд амарч байгаа бөгөөд энэ нь үнэндээ хөдөлгөөн юм гэдгийг тодруулахад хангалттай. Энд бас нэг зүйлийг анхаарах хэрэгтэй. Зам дээрх машины нэг гэрэл зургаас түүний хөдөлгөөний баримт, түүнд хүрэх зайг тодорхойлох боломжгүй юм. Машин хөдөлж байгаа эсэхийг тодорхойлохын тулд цаг хугацааны өөр өөр цэгээс нэг цэгээс авсан хоёр гэрэл зураг хэрэгтэй боловч тэдгээрийн хоорондох зайг тодорхойлж чадахгүй. Машин хүртэлх зайг тодорхойлохын тулд танд сансар огторгуйн өөр өөр цэгүүдээс авсан хоёр гэрэл зураг хэрэгтэй, гэхдээ тэдгээрээс та хөдөлгөөний баримтыг тодорхойлж чадахгүй (мэдээжийн хэрэг, танд тооцоололд нэмэлт мэдээлэл хэрэгтэй, тригонометр танд туслах болно. ). Миний онцлохыг хүссэн зүйл Онцгой анхаарал, цаг хугацааны хоёр цэг, орон зайн хоёр цэг нь судалгаа хийх өөр өөр боломжийг олгодог тул андуурч болохгүй өөр зүйл юм.
Би үйл явцыг жишээгээр харуулах болно. Бид "батга дахь улаан хатуулаг" -ыг сонгодог - энэ бол бидний "бүхэл бүтэн" юм. Үүний зэрэгцээ эдгээр зүйлүүд нь нумтай, нумгүй байдаг гэдгийг бид харж байна. Үүний дараа бид "бүхэл бүтэн" хэсгийг сонгоод "нумтай" багц үүсгэдэг. Бөө нар олонлогийн онолоо бодит байдалтай уялдуулан хоол ундгаа ингэж авдаг.

Одоо жаахан заль мэх хийцгээе. "Нумтай батгатай хатуу" -ыг аваад улаан өнгийн элементүүдийг сонгон өнгөний дагуу эдгээр "бүхэл" -ийг нэгтгэж үзье. Бид маш их "улаан" авсан. Одоо эцсийн асуулт: "нумтай" ба "улаан" иж бүрдэл нь ижил эсвэл хоёр өөр багц уу? Хариултыг нь бөө нар л мэднэ. Бүр тодруулбал, тэд өөрсдөө юу ч мэдэхгүй, гэхдээ тэдний хэлснээр ийм байх болно.

Энэхүү энгийн жишээ нь олонлогийн онол бодит байдалд хүрэхэд огт хэрэггүй болохыг харуулж байна. Нууц нь юу вэ? Бид "батгатай, нумтай улаан хатуу" багцыг үүсгэсэн. Энэхүү формац нь өнгө (улаан), хүч чадал (цул), барзгар (батга), чимэглэл (нумтай) гэсэн дөрвөн өөр хэмжүүрээр явагдсан. Зөвхөн хэмжлийн нэгжийн багц нь бидэнд хангалттай дүрслэх боломжийг олгодог бодит объектуудматематикийн хэлээр. Энэ нь иймэрхүү харагдаж байна.

Өөр өөр индекс бүхий "а" үсэг нь өөр өөр хэмжлийн нэгжийг илэрхийлдэг. Урьдчилсан шатанд "бүхэл" -ийг ялгах хэмжлийн нэгжийг хаалтанд тэмдэглэв. Багц бүрдүүлэх хэмжүүрийн нэгжийг хаалтнаас гаргана. Сүүлийн мөрөнд эцсийн үр дүн - багцын элементийг харуулав. Таны харж байгаагаар хэрэв бид багц үүсгэхийн тулд хэмжлийн нэгжийг ашигладаг бол үр дүн нь бидний үйлдлийн дарааллаас хамаардаггүй. Энэ бол математик болохоос бөө нарын хэнгэрэг барин бүжиглэх биш. Хэмжилтийн нэгж нь тэдний "шинжлэх ухааны" арсеналын нэг хэсэг биш учраас бөө нар "мэдээж" ижил үр дүнд хүрч чадна.

Хэмжилтийн нэгжийг ашигласнаар нэг багцыг хуваах эсвэл хэд хэдэн багцыг нэг супер багц болгон нэгтгэхэд маш хялбар байдаг. Энэ үйл явцын алгебрийг нарийвчлан авч үзье.

Гурвалжны талбайн теорем

Теорем 1

Гурвалжны талбай нь хоёр талын үржвэрийн тал ба эдгээр талуудын хоорондох өнцгийн синустай тэнцүү байна.

Баталгаа.

$ABC$ дурын гурвалжин өгье. Энэ гурвалжны талуудын уртыг $BC=a$, $AC=b$ гэж тэмдэглэе. $C=(0,0)$ цэг, $B$ цэг нь баруун хагас тэнхлэгт $Ox$, $A$ цэг нь координатын эхний квадрантад байхаар декартын координатын системийг нэвтрүүлье. $A$ цэгээс $h$ өндрийг зуръя (Зураг 1).

Зураг 1. Теорем 1-ийн дүрслэл

$h$ өндөр нь $A$ цэгийн ординаттай тэнцүү байна

Синусын теорем

Теорем 2

Гурвалжны талууд нь эсрэг талын өнцгүүдийн синусуудтай пропорциональ байна.

Баталгаа.

$ABC$ дурын гурвалжин өгье. Энэ гурвалжны талуудын уртыг $BC=a$, $AC=b,$ $AC=c$ гэж тэмдэглэе (Зураг 2).

Зураг 2.

Үүнийг баталцгаая

Теорем 1-ийн дагуу бид байна

Тэднийг хосоор нь тэнцүүлэх нь бид үүнийг олж авдаг

Косинусын теорем

Теорем 3

Гурвалжны хажуугийн квадрат нь гурвалжны нөгөө хоёр талын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд эдгээр талуудын хоорондох өнцгийн косинусын үржвэрээс хоёр дахин ихгүй байна.

Баталгаа.

$ABC$ дурын гурвалжин өгье. Түүний талуудын уртыг $BC=a$, $AC=b,$ $AB=c$ гэж тэмдэглэе. $A=(0,0)$ цэг, $B$ цэг эерэг хагас тэнхлэгт $Ox$, $C$ цэг координатын эхний квадрантад байхаар декартын координатын системийг нэвтрүүлье (Зураг 1). 3).

Зураг 3.

Үүнийг баталцгаая

Энэ координатын системд бид үүнийг олж авдаг

Цэг хоорондын зайны томъёог ашиглан $BC$ талын уртыг ол

Эдгээр теоремуудыг ашигласан асуудлын жишээ

Жишээ 1

диаметртэй гэдгийг батал тодорхойлсон тойрогдурын гурвалжны хэмжээ нь гурвалжны аль ч талыг энэ талын эсрэг талын өнцгийн синустай харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна.

Шийдэл.

$ABC$ дурын гурвалжин өгье. $R$ нь хүрээлэгдсэн тойргийн радиус юм. $BD$ диаметрийг зуръя (Зураг 4).

Гурвалжны талбай нь талуудын үржвэрийн тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синустай тэнцүү байна.

Нотолгоо:

Дурын ABC гурвалжинг авч үзье. Энэ гурвалжны талбайг BC = a тал, CA = b тал, S тал гэж үзье. Үүнийг батлах хэрэгтэй S = (1/2)*a*b*sin(C).

Эхлэхийн тулд тэгш өнцөгт координатын системийг нэвтрүүлж, координатын эхийг С цэгт байрлуулъя. В цэг нь Cx тэнхлэгийн эерэг чиглэл дээр байхаар координатын системээ байрлуулъя, А цэг нь эерэг ординаттай байна.

Хэрэв бүх зүйл зөв хийгдсэн бол та дараах зургийг авах хэрэгтэй.

Өгөгдсөн гурвалжны талбайг дараах томъёогоор тооцоолж болно. S = (1/2)*a*h, энд h нь гурвалжны өндөр. Манай тохиолдолд h гурвалжны өндөр нь А цэгийн ординаттай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл h = b*sin(C).

Хүлээн авсан үр дүнг харгалзан гурвалжны талбайн томъёог дараах байдлаар дахин бичиж болно: S = (1/2) * a * b * sin (C). Q.E.D.

Асуудал шийдэх

Даалгавар 1. Хэрэв a) AB = 6*√8 см, АС = 4 см, өнцөг А = 60 градус b) BC = 3 см, AB = 18*√2 см, В өнцөг бол ABC гурвалжны талбайг ол. = 45 градус c ) AC = 14 см, CB = 7 см, өнцөг C = 48 градус.

Дээр батлагдсан теоремын дагуу ABC гурвалжны S талбай нь дараахтай тэнцүү байна.

S = (1/2)*AB*AC*sin(A).

Тооцооллыг хийцгээе:

a) S = ((1/2) *6*√8*4*sin(60˚)) = 12*√6 см^2.

b) S = (1/2)*BC*BA*sin(B)=((1/2)* 3*18*√2 *(√2/2)) = 27 см^2.

в) S = (1/2)*CA*CB*sin(C) = ½*14*7*sin48˚ см^2.

Бид тооцоолуур дээр өнцгийн синусын утгыг тооцоолох эсвэл тригонометрийн өнцгийн утгын хүснэгтээс утгыг ашиглана. Хариулт:

a) 12*√6 см^2.

в) ойролцоогоор 36.41 см^2.

Бодлого 2. ABC гурвалжны талбай 60 см^2. AC = 15 см, өнцөг A = 30˚ бол AB талыг ол.

ABC гурвалжны талбайг S гэж үзье. Гурвалжны талбайн теоремоор бид дараах байдалтай байна.

S = (1/2)*AB*AC*sin(A).

Бидэнд байгаа утгуудаа орлуулъя:

60 = (1/2)*AB*15*sin30˚ = (1/2)*15*(1/2)*AB=(15/4)*AB.

Эндээс AB талын уртыг илэрхийлнэ: AB = (60*4)/15 = 16.