Сэдвийн хичээл: "Зэрэг, түүний шинж чанар."

Хичээлийн зорилго:

"Байгалийн үзүүлэлттэй зэрэг" сэдвээр оюутнуудын мэдлэгийг нэгтгэн дүгнэх.

Оюутнуудаас зэрэг, шинж чанаруудын тодорхойлолт, тэдгээрийг хэрэгжүүлэх чадварыг ухамсартайгаар ойлгох.

Мэдлэг, ур чадвараа янз бүрийн нарийн төвөгтэй даалгаварт хэрхэн ашиглахыг заах.

Бие даасан байдал, тууштай байдал, оюуны идэвхжил, математикийн хайрыг бий болгох нөхцлийг бүрдүүлэх.

Тоног төхөөрөмж: цоолтуурын карт, карт, тест, хүснэгт.

Хичээл нь натурал илтгэгчтэй зэрэглэлийн шинж чанарын талаархи оюутнуудын мэдлэгийг системчлэх, нэгтгэх зорилготой юм. Хичээлийн материал нь хүүхдийн математикийн мэдлэгийг бүрдүүлж, тухайн сэдвийн сонирхол, түүхийн талаархи үзэл бодлыг хөгжүүлдэг.

Ахиц дэвшил.

Хичээлийн сэдэв, зорилгыг илэрхийлэх.

Өнөөдөр бид "Натурал илтгэгчтэй илтгэгч ба түүний шинж чанарууд" сэдвээр ерөнхий хичээлтэй.

Бидний хичээлийн зорилго бол хамрагдсан бүх материалыг хянаж, шалгалтанд бэлтгэх явдал юм.

Гэрийн даалгавраа шалгаж байна.

(Зорилго: экспоненциал, бүтээгдэхүүн, зэрэг эзэмшсэн эсэхийг шалгах).

№ 238 (б) No 220 (a; d) No 216.

Самбар дээр тусдаа карттай 2 хүн байна.

a 4 ∙ a 15 a 12 ∙ a 4 a 12: a 4 a 18: a 9 (a 2) 5 (a 4) 8 (а 2 b 3) 6 (a 6 bв 4) 3 0-ээс 0

Аман ажил.

(Зорилго: хүчийг үржүүлэх, хуваах, хүчийг нэмэгдүүлэх алгоритмыг бэхжүүлэх гол санааг давтах).

Натурал илтгэгчтэй тооны чадлын тодорхойлолтыг томъёол.

Алхам алхмуудыг дагана уу.

a ∙ a 3 ; a 4: a 2; (a 6) 2 ; (2a 3) 3 ; a 0.

x-ийн ямар утгад тэгш байдал биелнэ.

5 6 ∙5 x = 5 10 10 x: 10 2 = 10 (a 4) x = a 8 (a x b 2) = a 35 b 10

Тооцоолол хийхгүйгээр илэрхийллийн тэмдгийг тодорхойл.

(-3) 5 , -19 2 , -(-15) 2 , (-8) 6 , - (-17) 7

Хялбаршуулах.

A)
; b) (a 4) 6: (a 3) 3

Оюуны шуурга.

(Зорилтот : оюутнуудын үндсэн мэдлэг, зэрэглэлийн шинж чанарыг шалгах).

Хурдны хувьд цоолбортой карттай ажиллах.

a 6: a 4; a 10: a 3 (a 2) 2 ; (a 3) 3 ; (a 4) 5 ; (a 0) 2 .

(2a 2) 2 ; (-2a 3) 3 ; (3a 4) 2 ; (-2а 2 б) 4 .

Дасгал: Илэрхийллийг хялбарчлах (бид хосоороо ажилладаг, анги нь a, b, c даалгаврыг шийддэг, бид хамтдаа шалгадаг).

(Зорилго: байгалийн илтгэгчтэй зэрэглэлийн шинж чанарыг дадлагажуулах.)

A)
; б)
; V)

6. Тооцоолох:

A)
(хамтдаа )

б)
(өөрийнхөөрөө )

V)
(өөрийнхөөрөө )

G)
(хамтдаа )

г)
(өөрийнхөөрөө ).

7 . Өөрийгөө шалгаарай!

(Зорилго: оюутнуудын бүтээлч үйл ажиллагааны элементүүдийг хөгжүүлэх, тэдний үйлдлийг хянах чадварыг хөгжүүлэх).

Тесттэй ажиллах, Самбар дээр 2 сурагч, өөрийгөө шалгах.

би - в.

Илэрхийлэлийг үнэлэх.

║ - В.

Илэрхийлэлээ хялбарчлаарай.

Тооцоол.

Илэрхийлэлийг үнэлэх.

D/z home k/r (картаар).

Хичээлийг дүгнэх, дүн тавих.

(Зорилго: Оюутнууд ажлынхаа үр дүнг тодорхой харж, танин мэдэхүйн сонирхлыг хөгжүүлэх).

Хэн анх эрдмийн зэрэг хамгаалж эхэлсэн бэ?

N-ийг хэрхэн бүтээх вэ ?

Тиймээс бид n-р зэрэг болноАбосгосон

Бид n-ийг үржүүлэх хэрэгтэй нэг удаа

Хэрэв n нэг - хэзээ ч

Хэрэв илүү бол үржүүлнэмөн дээр,

Би давтан, n удаа.

3) Бид тоог өсгөж болох уу n зэрэгтэй, маш хурдан?

Хэрэв та бичил тооцоолуур авбал

Дугаар a та зөвхөн нэг удаа залгах болно

Дараа нь үржүүлэх тэмдэг - бас нэг удаа,

Та "амжилттай" гэсэн тэмдгийг олон удаа дарж болно

Хэдэн ширхэгнэгжгүй n бидэнд харуулах болно

Сургуулийн үзэггүйгээр хариулт нь бэлэн байнаТЭГЭЭД .

4) Байгалийн илтгэгчтэй зэрэглэлийн шинж чанарыг жагсаа.

Хичээлийн үеэр хариулсан оюутнуудын хариултыг харгалзан цоолбортой карт, тестээр хийсэн ажлыг шалгасны дараа бид хичээлийн дүнг өгнө.

Та өнөөдөр сайн ажилласан, баярлалаа.

Уран зохиол:

1. А.Г.Мордкович Алгебр-7-р анги.

2.Дидактик материал - 7-р анги.

3. A.G. Mordkovich Tests - 7-р анги.

Хичээлийн сэдэв: Байгалийн үзүүлэлттэй зэрэг

Хичээлийн төрөл: мэдлэгийг нэгтгэх, системчлэх хичээл

Хичээлийн төрөл: нэгтгэсэн

Ажлын хэлбэрүүд: ганцаарчилсан, урд талын, хосоор ажиллах

Тоног төхөөрөмж: компьютер, медиа бүтээгдэхүүн (програм дахь танилцуулгаMicrosoftОффисPower Point 2007); бие даасан ажилд зориулсан даалгавар бүхий картууд

Хичээлийн зорилго:

Боловсролын : Байгалийн илтгэгчтэй градусын талаархи мэдлэгийг системчлэх, нэгтгэх, натурал илтгэгчтэй градус агуулсан илэрхийллийг энгийн хувиргах чадварыг нэгтгэх, сайжруулах чадварыг хөгжүүлэх.

- хөгжүүлж байна: ерөнхийлөлт, харьцуулах, гол зүйлийг тодруулах, математикийн алсын хараа, сэтгэлгээ, яриа, анхаарал, ой санамжийг хөгжүүлэх арга техникийг ашиглах чадварыг бий болгоход хувь нэмэр оруулна.

- боловсролын: Математикийн сонирхол, үйл ажиллагаа, зохион байгуулалт, суралцах эерэг сэдлийг бий болгох, боловсролын болон танин мэдэхүйн үйл ажиллагааны ур чадварыг хөгжүүлэх

Тайлбар тэмдэглэл.

Энэ хичээлийг математикийн дундаж түвшний ерөнхий боловсролын ангид заадаг. Хичээлийн гол зорилго нь төрөл бүрийн дасгал хийх явцад хэрэгждэг байгалийн үзүүлэлт бүхий зэрэглэлийн талаархи мэдлэгийг системчлэх, нэгтгэх чадварыг хөгжүүлэх явдал юм.

Хөгжлийн шинж чанар нь дасгалуудыг сонгоход илэрдэг. Мультимедиа бүтээгдэхүүн ашиглах нь цаг хугацаа хэмнэх, материалыг илүү үзэмжтэй болгох, шийдлийн жишээг харуулах боломжийг олгодог.Хүүхдийн ядаргааг тайлах олон төрлийн ажлыг хичээлд ашигладаг.

Хичээлийн бүтэц:

1. Зохион байгуулах цаг.

2. Сэдвийг мэдээлэх, хичээлийн зорилгоо тодорхойлох.

4. Аман ажил.

5. Дэмжих мэдлэгийг системчлэх.

6. Эрүүл мэндийг хэмнэх технологийн элементүүд.

7. Туршилтын даалгавар гүйцэтгэж байна

9. Хичээлийн хураангуй.

10. Гэрийн даалгавар.

Хичээлийн үеэр:

I.Зохион байгуулах цаг

Багш: Сайн байна уу залуусаа! Өнөөдөр та бүхнийг манай хичээлд урьж байгаадаа баяртай байна. Суух. Өнөөдрийн хичээл дээр амжилт, баяр баясгалан хоёулаа биднийг хүлээж байгаа гэдэгт найдаж байна. Мөн бид нэг баг болж, авьяас чадвараа харуулах болно.

Хичээлийн үеэр анхаарлаа хандуулаарай. Бод, асуу, санал болго - учир нь бид үнэнд хүрэх замаар хамтдаа алхах болно.

Тэмдэглэлийн дэвтэрээ нээгээд тоог бич Ангийн ажил

II. Сэдвийг дамжуулах, хичээлийн зорилгоо тодорхойлох

1) Хичээлийн сэдэв. Хичээлийн эпиграф.(Слайд 2,3)

“Хэн нэгэн нь математикийн хичээлээс устгахыг оролдохыг зөвшөөр

зэрэгтэй, тэгвэл та тэдэнгүйгээр хол явахгүй гэдгийг харах болно." M.V. Ломоносов

2) Хичээлийн зорилгоо тодорхойлох.

Багш: Тиймээс бид хичээлийн явцад судалсан материалаа давтаж, нэгтгэж, системчилнэ. Таны даалгавар бол байгалийн илтгэгчтэй зэрэглэлийн шинж чанаруудын талаархи мэдлэг, янз бүрийн даалгавруудыг гүйцэтгэхдээ тэдгээрийг ашиглах чадварыг харуулах явдал юм.

III. Сэдвийн үндсэн ойлголт, зэрэглэлийн шинж чанарыг байгалийн илтгэгчтэй давтах

1) анаграмыг шийдэх: (слайд 4)

Нспете (зэрэг)

Хореоз (сегмент)

Хованиосне (суурь)

Casapotel (заагч)

Үржүүлэх (үржүүлэх)

2) Байгалийн илтгэгчтэй зэрэг гэж юу вэ?(Слайд 5)

(Тооны хүч а байгалийн үзүүлэлттэй n 1-ээс их байвал илэрхийлэл гэж нэрлэдэг а n , бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна n хүчин зүйлүүд, тус бүр нь тэнцүү байна а а-суурь, n -индекс)

3) Илэрхийлэлийг уншиж, суурь ба илтгэгчийг нэрлэнэ үү: (Слайд 6)

4) Зэрэглэлийн үндсэн шинж чанарууд (тэгш байдлын баруун талыг нэмнэ)(Слайд 7)

• а n а м =

• а n :a м =

• (а n ) м =

• (ab) n =

• ( а / б ) n =

• а 0 =

• а 1 =

IV У сайхан Ажил

1) аман тооллого (слайд 8)

Багш: Одоо та эдгээр томъёог шийдвэрлэхдээ хэрхэн ашиглаж болохыг шалгацгаая.

1) x 5 X 7 ; 2) а 4 А 0 ;

3) руу 9 : руу 7 ; 4) r n : r ;

5)5 5 2 ; 6) (- б )(- б ) 3 (- б );

7) хамт 4 : хамт; 8) 7 3 : 49;

9) ж 4 цагт 6 y 10) 7 4 49 7 3 ;

11) 16: 4 2 ; 12) 64: 8 2 ;

13)sss 3 ; 14) а 2 n а n ;

15) x 9 : X м ; 16) ж n : y

2) "Шаардлагагүй зүйлийг арилгах" тоглоом ((-1) 2 )(слайд9)

-1

Сайн хийлээ. Сайн ажилласан. Дараа нь бид дараах жишээнүүдийг шийднэ.

ВЛавлах мэдлэгийг системчлэх

1. Бие биедээ тохирох илэрхийллүүдийг шугамаар холбоно уу.(слайд 10)

4 ⁶ 4 2 3 6 4 6

4 6 : 4 2 4 6 /5 6

(3 4) 6 4 ⁶ +2

(4 2 ) 6 4 6-2

(4/5) 6 4 12

2. Тоонуудыг өсөх дарааллаар байрлуул:(слайд 11)

3 2 (-0.5) 3 (½) 3 35 0 (-10) 3

3.Өөрийгөө шалгах даалгаврыг гүйцэтгэх(слайд 12)

• A1, бүтээгдэхүүнийг хүч болгон танилцуулна уу:

a) a) x 5 X 4 ; б) 3 7 3 9 ; 4 цагт) 3 (-4) 8 .

• Мөн 2 илэрхийллийг хялбарчлах:

a) x 3 X 7 X 8 ; б) 2 21 :2 19 2 3

• Мөн 3 нь экспентацийг хийнэ:

а) (а 5 ) 3 ; б) (-в 7 ) 2

VIЭрүүл мэндийг хэмнэх технологийн элементүүд (слайд 13)

Биеийн тамирын хичээл: 2 ба 3-ын тооны хүчийг давтах

VIIТуршилтын даалгавар (слайд 14)

Тестийн хариултыг самбар дээр бичсэн: 1 d 2 o 3b 4y 5 цаг 6а (олз)

VIII Карт ашиглан бие даасан ажил

Ширээ бүр дээр сонголтуудын дагуу даалгавар бүхий картууд байдаг бөгөөд ажил дууссаны дараа тэдгээрийг баталгаажуулалтад оруулна.

Сонголт 1

1) Илэрхийллийг хялбарчлах:

A) б)

V) G)

A) б)

V) G)

Сонголт 2

1) Илэрхийллийг хялбарчлах:

A) б)

V) G)

2) Илэрхийллийн утгыг ол:

A)б)

V) G)

3) Сумыг ашиглан илэрхийллийн утга нь тэг, эерэг эсвэл сөрөг тоо эсэхийг харуулна:

IX хичээлийн үр дүн

Үгүй

Ажлын төрөл

өөрийгөө хүндэтгэх

Багшийн үнэлгээ

1

Анаграм

2

Илэрхийлэлийг уншина уу

3

Дүрэм

4

Амаар тоолох

5

Шугамуудаар холбоно уу

6

Өсөх дарааллаар байрлуул

7

Өөрийгөө шалгах даалгавар

8

Туршилт

9

Карт ашиглан бие даасан ажил

X Гэрийн даалгавар

Туршилтын картууд

A1. Илэрхийллийн утгыг ол: .

алгебр 7-р анги

математикийн багш

салбар MBOUTSOSH No1

Полетаево тосгонд Зуева I.P.

Полетаево 2016 он

Сэдэв: « Байгалийн илтгэгчтэй зэрэглэлийн шинж чанарууд»

ЗОРИЛТ

1. "Байгалийн илтгэгчтэй зэрэглэлийн шинж чанарууд" сэдвээр судалсан материалыг давтах, нэгтгэх, системчлэх.
2. Энэ сэдвээр оюутнуудын мэдлэгийг шалгах.
3. Төрөл бүрийн ажлыг гүйцэтгэхдээ олж авсан мэдлэгээ ашиглах.

ДААЛГАВАР

сэдэв :

сэдвийн талаархи мэдлэгийг давтах, нэгтгэх, системчлэх; мэдлэг, ур чадварыг эзэмшихэд хяналт тавих (харилцан хяналт) нөхцлийг бүрдүүлэх;оюутнуудын сэдвийг судлах сэдлийг үргэлжлүүлэн бий болгох;

мета сэдэв:

үйл ажиллагааны сэтгэлгээний хэв маягийг хөгжүүлэх; хамтран ажиллахдаа оюутнуудын харилцааны ур чадварыг эзэмшихэд нь дэмжлэг үзүүлэх; тэдний бүтээлч сэтгэлгээг идэвхжүүлэх; Поюутнуудын үр дүнтэй нийгэмшихэд хувь нэмэр оруулах тодорхой чадамжийг үргэлжлүүлэн хөгжүүлэх;өөрийгөө сургах, өөрийгөө сургах ур чадвар.

хувийн:

соёлыг төлөвшүүлэх, төлөвшүүлэхэд хувь нэмэр оруулах Хувийн шинж чанарбие биедээ, хүмүүс, амьдралд ээлтэй, хүлээцтэй хандахад чиглэсэн; үйл ажиллагаанд санаачилга, бие даасан байдлыг төлөвшүүлэх; улсын эцсийн баталгаажуулалтад амжилттай бэлтгэхийн тулд судалж буй сэдвийн хэрэгцээг ойлгоход хүргэдэг.

ХИЧЭЭЛИЙН ТӨРӨЛ

ерөнхийлэх, системчлэх хичээлЗУН.

Тоног төхөөрөмж: компьютер, проектор,проекцын дэлгэц,самбар, тараах материал.

Програм хангамж: Windows 7 үйлдлийн систем: MS Office 2007 (шаардлагатай өргөдөл - PowerPoint).

Бэлтгэл үе шат:

"Натурал илтгэгчтэй зэрэглэлийн шинж чанарууд" танилцуулга;

Тараах материал;

онооны хуудас.

Бүтэц

Зохион байгуулах цаг. Хичээлийн зорилго, зорилтыг тодорхойлох - 3 минут.

Үндсэн мэдлэгийг шинэчлэх, системчлэх - 8 минут.

Практик хэсэг - 28 минут.

Ерөнхий дүгнэлт, гаралт -3 минут.

Гэрийн даалгавар- 1 минут.

Тусгал - 2 минут.

Хичээлийн санаа

Энэ сэдвээр оюутнуудын мэдлэгийг сонирхолтой, үр дүнтэй хэлбэрээр шалгах.

Хичээлийн зохион байгуулалт Хичээлийг 7-р ангид заадаг. Хүүхдүүд хосоороо, бие даан ажилладаг, багш нь зөвлөх-ажиглагчаар ажилладаг.

Хичээлийн үеэр

Зохион байгуулах цаг:

Сайн уу залуусаа! Өнөөдөр бид ер бусын тоглоомын хичээлтэй. Та бүгдэд өөрийгөө нотлох, мэдлэгээ харуулах гайхалтай боломжийг олгож байна. Магадгүй хичээлийн үеэр та ирээдүйд танд хэрэг болох далд чадварыг олж мэдэх болно.

Та бүгдийн ширээн дээр үнэлгээний хуудас, даалгавраа биелүүлэх картууд байгаа. Туршилтын хуудсыг гартаа аваарай, танд хичээлийн үеэр мэдлэгээ үнэлэхийн тулд танд хэрэгтэй болно. Гарын үсэг зурна уу.

Тиймээс би таныг хичээлдээ урьж байна!

Залуус аа, дэлгэцийг хараад шүлэг сонсоорой.

Слайд №1

Үржүүлэх, хуваах

Зэрэглэлээ зэрэг ахиулах...

Эдгээр шинж чанарууд нь бидэнд танил болсон

Мөн тэд шинэ байхаа больсон.

Эдгээрийн таван энгийн дүрэм

Ангийн бүх хүмүүс аль хэдийн хариулсан

Гэхдээ хэрэв та үл хөдлөх хөрөнгөө мартсан бол

Та жишээгээ шийдээгүй гэж бодоорой!

Сургууль дээрээ төвөггүй амьдрах

Би танд хэдэн практик зөвлөгөө өгөх болно:

Та дүрмийг мартахыг хүсэхгүй байна уу?

Зүгээр л цээжлэхийг хичээ!

Асуултанд хариул:

1) Энэ нь ямар үйлдлүүдийг дурддаг вэ?

2) Өнөөдөр бид хичээл дээр юу ярих болно гэж та бодож байна вэ?

Тиймээс бидний хичээлийн сэдэв:

"Байгалийн илтгэгчтэй зэрэглэлийн шинж чанарууд" (Слайд 3).

Хичээлийн зорилго, зорилтыг тодорхойлох

Хичээл дээр бид "Байгалийн илтгэгчтэй зэрэглэлийн шинж чанарууд" сэдвээр судалсан материалыг давтаж, нэгтгэж, системчилнэ.

Та хэрхэн ижил үндэслэлээр хүчийг үржүүлж, хувааж сурсныг харцгаая

Үндсэн мэдлэгийг шинэчлэх. Онолын материалыг системчлэх.

1) Аман ажил

Амаар ажиллая

1) Байгалийн илтгэгчтэй зэрэглэлийн шинж чанарыг томъёол.

2) Хоосон зайг бөглөнө үү: (Слайд 4)

1)5 12 : 5 5 =5 7 2) 5 7 ∙ 5 17 = 5 24 3) 5 24 : 125= 5 21 4)(5 0 ) 2 ∙5 24 =5 24

5)5 12 ∙ 5 12 = (5 8 ) 3 6)(3 12 ) 2 = 3 24 7) 13 0 ∙ 13 64 = 13 64

3) Илэрхийллийн утга хэд вэ:(Слайд 5-9)

a m ∙ a n; (a m+n ) a m : a n (a m-n ) ; (a m ) n ; a 1; a 0.

2) Онолын хэсгийг шалгах (Картын дугаар 1)

Одоо гартаа 1-р картыг аваарайхоосон зайг дүүргэ

1) Хэрэв илтгэгч нь тэгш тоо бол зэрэглэлийн утга нь үргэлж _______________ байна.

2) Хэрэв илтгэгч нь сондгой тоо бол зэрэглэлийн утга нь ____ тэмдэгтэй давхцаж байна.

3) Эрх мэдлийн бүтээгдэхүүн a n · a k = a n + k
Ижил суурьтай хүчийг үржүүлэхдээ суурь нь ____________, илтгэгч нь ________ байх ёстой.

4) Хэсэгчилсэн зэрэг a n : a k = a n - k
Ижил үндэслэлээр хүчийг хуваахдаа суурь нь _____, ногдол ашгийн илтгэгчээс ____________________________ байх ёстой.

5) Эрх мэдлийг хүчирхэг болгох ( a n ) k = a nk
Хүчин чадлыг өсгөхдөө суурь нь _______, илтгэгч нь _____ байх ёстой.

Хариултуудыг шалгаж байна. (Слайд 10-13)

Гол хэсэг

3) Одоо дэвтэрээ нээгээд 28.01.14 гэсэн тоог бичээрэй, сайхан ажил

Тоглоом "Clapperboard" » (Слайд 14)

Дэвтэр дээрх даалгавруудыг өөрөө гүйцэтгээрэй

Дараах алхмуудыг дагана уу: a)X11 ∙x∙x2 б)X14 : X5 в) (а4 ) 3 d) (-for)2 .

Илэрхийллийн утгыг тэгтэй харьцуулах: a)(- 5)7 , б)(-6)18 ,

4 цагт)11 . ( -4) 8 G)(- 5) 18 ∙ (- 5) 6 , d)-(- 4)8 .

Илэрхийллийн утгыг тооцоолох:

a)-1∙ 3 2, b)(-1 ∙ 3) 2 c)1∙(-3) 2, d) - (2 ∙ 3) 2, д)1 2 ∙ (-3) 2

Бид шалгана, хэрэв хариулт буруу байвал алгаа нэг удаа алгадана.

Онооны тоог тооцоолж, онооны хуудсанд оруулна уу.

4) Одоо нүдний дасгал хийж, стрессээ тайлж, цаашаа явцгаая. Бид объектуудын хөдөлгөөнийг сайтар хянаж байдаг

Эхлэх! (Слайд 15,16,17,18).

5) Одоо дараагийн төрлийн ажил руу шилжье. (карт2)

Хариултыг суурьтай хүч гэж бичнэ үү ХАМТ мөн тооны чадлын тухай ойлголтыг анх гаргасан Францын агуу математикчийн нэр, овог нэрийг та мэдэх болно.

Эрдэмтний математикчийн нэрийг тааварлаарай.

1.	ХАМТ 5 ∙C 3	6.	ХАМТ 7 : ХАМТ 5
2.	ХАМТ 8 : ХАМТ 6	7.	(ХАМТ 4 ) 3 ∙C
3,	(ХАМТ 4 ) 3	8.	ХАМТ 4 ∙ ХАМТ 5 ∙ C 0
4.	ХАМТ 5 ∙C 3 : ХАМТ 6	9.	ХАМТ 16 : ХАМТ 8
5.	ХАМТ 14 ∙ C 8	10.	(ХАМТ 3 ) 5

ТУХАЙ Хариулт: РЕНЕ ДЕСКАРТ

Р

Ш

М

Ю.У

TO

Н

А

Т

Э

Д

ХАМТ 8

ХАМТ 5

ХАМТ 1

ХАМТ 40

ХАМТ 13

ХАМТ 12

ХАМТ 9

ХАМТ 15

ХАМТ 2

ХАМТ 22

Одоо "Рене Декарт"-ын тухай оюутны захиасыг сонсоцгооё.

Рене Декарт 1596 оны 3-р сарын 21-нд Турайн дахь Ла Гайе хэмээх жижиг хотод төржээ. Декартын гэр бүл нь хүнд сурталтай язгууртнуудад харьяалагддаг байв. Рене бага насаа Турейн хотод өнгөрөөсөн. 1612 онд Декарт сургуулиа төгссөн. Тэр тэнд найман жил хагасыг өнгөрөөсөн. Декарт амьдрал дахь байр сууриа тэр даруй олж чадаагүй. Төрөлхийн язгууртан, Ла Флече хотод коллеж төгссөн тэрээр Парисын нийгмийн амьдралд толгойгоо гашилгаж, дараа нь шинжлэх ухааны төлөө бүхнээ орхижээ. Декарт математикийг өөрийн системд онцгой байр суурь эзэлдэг байсан бөгөөд түүний үнэнийг тогтоох зарчмуудыг бусад шинжлэх ухаанд үлгэр жишээ гэж үздэг байв. Декартын ихээхэн гавьяа нь өнөөг хүртэл хадгалагдан үлдсэн тохиромжтой тэмдэглэгээг нэвтрүүлсэн явдал юм: үл мэдэгдэх латин үсэг x, y, z; a, b, c - коэффициент, градусын хувьд. Декартын сонирхол нь зөвхөн математик төдийгүй механик, оптик, биологи юм. 1649 онд Декарт маш их эргэлзсэний эцэст Швед рүү нүүжээ. Энэ шийдвэр нь түүний эрүүл мэндэд аюултай болсон. Зургаан сарын дараа Декарт уушгины хатгалгаа өвчнөөр нас барав.

6) Удирдах зөвлөлд ажиллах:

1. Тэгшитгэлийг шийд

A) x 4 ∙ (x 5) 2 / x 20: x 8 = 49

B) (t 7 ∙ t 17 ): (t 0 ∙ t 21 )= -125

2.Илэрхийллийн утгыг тооцоолно уу:

(5-х) 2 -2х 3 +3х 2 -4х+х-х 0

a) x=-1 үед

b) x=2 үед бие даан

7) 3-р картыг аваад шалгалт өгнө

Сонголт 1	Сонголт 2.
1. Эрчим хүчний 2 хуваагдлыг гүйцэтгэнэ 17 : 2 5 2 12 2 45 2. (x+y)(x+y)= зэрэгт бичнэ x 2 +y 2 (x+y) 2 2(x+y) 3. Солих * зэрэг нь тэгш байхын тулд a 5 · * =a 15 а 10 a 3 (а 7) 5? a) a 12 б) 5 в) 35 3 = 8 15 8 12 6.Бутархайн утгыг ол	1. 9-ийн эрх мэдлийн хуваарилалтыг гүйцэтгэнэ 9 : 9 7 9 16 9 63 2. Үүнийг (x-y)(x-y)=... зэрэгт бичнэ. x 2 -y 2 (х-у) 2 2(x-y) 3. Солих * зэрэг нь тэгш байдал хадгалагдана b 9 · * = b 18 б 17 b 1 1 4. Илэрхийллийн утга нь юу вэ(6-тай) 4? a) 10-аас б) 6-аас в) 24-өөс 5. Санал болгож буй хувилбаруудаас *-г тэгш (*) орлуулах хувилбарыг сонго. 3 = 5 24 5 21 6.Бутархайн утгыг ол

Бие биенийхээ ажлыг шалгаж, нөхдөө үнэлгээний хуудсан дээр үнэл.

1 сонголт	А	б	б	-тай	б	3
Сонголт 2	А	б	-тай	-тай	А	4

Хүчтэй оюутнуудад зориулсан нэмэлт даалгавар

Даалгавар бүрийг тусад нь үнэлдэг.

Илэрхийллийн утгыг ол:

8) Одоо хичээлийнхээ үр нөлөөг харцгаая ( Слайд 19)

Үүнийг хийхийн тулд даалгавраа гүйцэтгэж байхдаа хариултанд тохирох үсгүүдийг хайчилж ав.

AOWSTLKRICHGNMO

Илэрхийлэлийг хялбарчлах:

1.	С 4 ∙С 3	5.	(ХАМТ 2 ) 3 ∙ ХАМТ 5
2.	(C 5 ) 3	6.	ХАМТ 6 ∙ ХАМТ 5 : ХАМТ 10
3.	11-ээс: 6-аас	7.	(ХАМТ 4 ) 3 ∙C 2
4.	С 5 ∙С 5 : С

Шифр: А - C 7 IN- 15-аас G -ХАМТ БА - 30-аас ТО - 9-ээс М - 14-өөс N - 13-аас ТУХАЙ - 12-оос R - 11-ээс ХАМТ - C 5 Т - 8-аас H - C 3

Та ямар үг бодож олов? ХАРИУЛТ: САЙХАН! (Слайд 20)

Дүгнэлт, үнэлгээ, тэмдэглэгээ (Слайд 21)

Хичээлээ нэгтгэн дүгнэж, "Байгалийн илтгэгчтэй зэрэглэлийн шинж чанарууд" сэдвээр мэдлэгээ хэр амжилттай давтаж, нэгтгэж, системчилсэн бэ?

Бид шалгалтын хуудсыг авч, нийт онооны тоог тооцоолж, эцсийн дүнгийн мөрөнд бичнэ

29-32 оноо авсан нь босоод: онц

25-28 оноо: үнэлгээ - сайн

20-24 оноо: үнэлгээ - хангалттай

Би карт дээрх даалгавруудыг зөв гүйцэтгэсэн эсэхийг дахин шалгаж, үр дүнг онооны хуудсан дээр өгсөн оноотой харьцуулах болно. Би дүнг дэвтэрт бичнэ

Үнэлгээний хичээлд идэвхтэй ажиллахын тулд:

Залуус аа, би та нараас хичээл дээрх үйл ажиллагаагаа дүгнэхийг хүсч байна. Сэтгэл санааны хуудсан дээр тэмдэглээрэй.

Бичлэгийн хуудас
Овог Нэр		Зэрэг
1. Онолын хэсэг
2. Тоглоом "Clapperboard"
3. Туршилт
4. "Шифр"
Нэмэлт хэсэг
Эцсийн дүн:
Сэтгэл хөдлөлийн үнэлгээ	Миний тухай	Хичээлийн тухай
Сэтгэл хангалуун
Сэтгэл хангалуун бус байна

Гэрийн даалгавар (Слайд 22)

-ээр кроссворд хий түлхүүр үгЗЭРЭГ. Дараагийн хичээлээр бид хамгийн сонирхолтой бүтээлүүдийг үзэх болно.

№ 567

Ашигласан эх сурвалжуудын жагсаалт

1. "Алгебр 7-р анги" сурах бичиг.
2. Шүлэг. http://yandex.ru/yandsearch
3. ҮГҮЙ. Щуркова. Соёл орчин үеийн хичээл. М .: Оросын сурган хүмүүжүүлэх агентлаг, 1997 он.
4. А.В. Петров. Арга зүйн болон арга зүйн үндэсхувь хүний ​​хөгжлийн компьютерийн боловсрол. Волгоград. "Өөрчлөлт", 2001.
5. А.С. Белкин. Амжилтанд хүрэх нөхцөл байдал. Үүнийг хэрхэн бий болгох вэ. М.: "Гэгээрэл", 1991 он.
6. Компьютерийн шинжлэх ухаан, боловсрол No3. Үйл ажиллагааны сэтгэлгээний хэв маяг, 2003 он

Тооны хүч гэж юу болох талаар бид өмнө нь ярьсан. Тэр эмэгтэйд байгаа тодорхой шинж чанарууд, асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрэгтэй: бид энэ нийтлэлд тэдгээрийг болон бүх боломжит экспонентуудыг шинжлэх болно. Тэдгээрийг хэрхэн баталж, практикт зөв хэрэглэж болохыг бид жишээгээр тодорхой харуулах болно.

Байгалийн илтгэгчтэй градусын тухай өмнө нь томъёолсон ойлголтыг эргэн санацгаая: энэ нь тус бүр нь a-тай тэнцүү n-р тооны хүчин зүйлийн үржвэр юм. Мөн бид бодит тоог хэрхэн зөв үржүүлэхээ санах хэрэгтэй болно. Энэ бүхэн нь байгалийн илтгэгчтэй зэрэглэлийн дараах шинж чанаруудыг томъёолоход тусална.

Тодорхойлолт 1

1. Зэрэглэлийн үндсэн шинж чанар: a m · a n = a m + n

Үүнд: a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k гэж ерөнхийд нь хэлж болно.

2. Ижил суурьтай градусын хуваалтын шинж чанар: a m: a n = a m − n

3. Бүтээгдэхүүний чадлын шинж чанар: (a · b) n = a n · b n

Тэгш байдлыг дараах байдлаар өргөжүүлж болно: (a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n

4. Натурал зэрэгт хуваах шинж чанар: (a: b) n = a n: b n

5. Хүч чадлыг өсгөх: (a m) n = a m n ,

Дараах байдлаар ерөнхийлж болно: (((a n 1) n 2) …) n k = a n 1 · n 2 · … · n k

6. Зэрэгийг тэгтэй харьцуул.

• хэрэв a > 0 бол аль ч натурал n тооны хувьд a n нь тэгээс их байх болно;
• 0-тэй тэнцүү бол n нь тэгтэй тэнцүү байх болно;
• a< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
• a< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

7. Тэгш байдал a n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. a m > a n тэгш бус байдал нь m ба n байвал үнэн болно бүхэл тоо, m нь n-ээс их, a нь тэгээс их, нэгээс багагүй байна.

Үүний үр дүнд бид хэд хэдэн тэгш эрхтэй болсон; Хэрэв дээр дурдсан бүх нөхцөл хангагдсан бол тэдгээр нь ижил байх болно. Тэнцүү байдал бүрийн хувьд, жишээлбэл, үндсэн өмчийн хувьд та баруун болон зүүн талыг сольж болно: a m · a n = a m + n - ижил m + n = a m · a n. Энэ хэлбэрээр ихэвчлэн хэллэгийг хялбарчлахад ашигладаг.

1. Зэрэглэлийн үндсэн шинж чанараас эхэлье: a m · a n = a m + n тэгшитгэл нь ямар ч натурал m ба n ба бодит а-д үнэн байх болно. Энэ мэдэгдлийг хэрхэн батлах вэ?

Байгалийн илтгэгчтэй эрх мэдлийн үндсэн тодорхойлолт нь тэгш байдлыг хүчин зүйлийн бүтээгдэхүүн болгон хувиргах боломжийг бидэнд олгоно. Бид дараах бичлэгийг авах болно.

Үүнийг богиносгож болно (үржүүлэх үндсэн шинж чанаруудыг санаарай). Үүний үр дүнд бид m + n натурал илтгэгчтэй a тооны хүчийг авсан. Ийнхүү зэрэглэлийн үндсэн шинж чанар нь батлагдсан m + n гэсэн үг.

Үүнийг батлах тодорхой жишээг авч үзье.

Жишээ 1

Тэгэхээр бид 2 суурьтай хоёр эрх мэдэлтэй байна. Тэдний байгалийн үзүүлэлтүүд нь 2 ба 3 байна. Бидэнд тэгш байдал бий: 2 2 · 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 Энэ тэгш байдлын үнэн зөвийг шалгахын тулд утгуудыг тооцоолъё.

Шаардлагатай математик үйлдлүүдийг хийцгээе: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 ба 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32

Үүний үр дүнд бид: 2 2 · 2 3 = 2 5 болсон. Эд хөрөнгө нь батлагдсан.

Үржүүлэх шинж чанаруудын улмаас бид гурав ба түүнээс дээш зэрэглэлийн хэлбэрээр томьёолох замаар шинж чанарыг ерөнхийд нь илэрхийлэх боломжтой бөгөөд илтгэгч нь натурал тоо, суурь нь ижил байна. n 1, n 2 гэх мэт натурал тооны тоог k үсгээр тэмдэглэвэл зөв тэгшитгэл гарна.

a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

Жишээ 2

2. Дараа нь бид хуваах шинж чанар гэж нэрлэгддэг, ижил суурьтай зэрэглэлд хамаарах дараах шинж чанарыг нотлох хэрэгтэй: энэ нь a m тэгшитгэл юм: a n = a m - n, ямар ч натурал m ба n (мөн m) -д хүчинтэй. нь n))-ээс их ба ямар ч тэг биш бодит a .

Эхлэхийн тулд томъёонд дурдсан нөхцлүүдийн утга нь яг юу болохыг тодруулцгаая. Хэрэв бид тэгтэй тэнцүү гэж үзвэл бид тэгээр хуваагдах бөгөөд үүнийг хийж чадахгүй (эцсийн эцэст 0 n = 0). Натурал илтгэгчийн хязгаарт үлдэхийн тулд m тоо n-ээс их байх нөхцөл зайлшгүй шаардлагатай: m-ээс n-ийг хасвал натурал тоо гарна. Хэрэв нөхцөл хангагдаагүй бол бид сөрөг тоо эсвэл тэгтэй тэнцэх бөгөөд дахин натурал илтгэгчтэй зэрэг судлахаас цааш явах болно.

Одоо бид нотлох баримт руу шилжиж болно. Өмнө нь судалсан зүйлээсээ бутархайн үндсэн шинж чанаруудыг эргэн санаж, тэгш байдлыг дараах байдлаар томъёолъё.

a m − n · a n = a (m − n) + n = a m

Үүнээс бид дараах дүгнэлтийг гаргаж болно: a m − n · a n = a m

Хуваах, үржүүлэх хоёрын уялдаа холбоог санацгаая. Үүнээс үзэхэд a m − n нь a m ба a n зэрэглэлийн коэффициент юм. Энэ бол зэрэглэлийн хоёр дахь шинж чанарын баталгаа юм.

Жишээ 3

Тодорхой болгохын тулд тодорхой тоонуудыг илтгэгчд орлуулж, зэрэглэлийн суурийг π : π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3 гэж тэмдэглэе.

3. Дараа нь бид бүтээгдэхүүний чадлын шинж чанарыг шинжлэх болно: (a · b) n = a n · b n аливаа бодит a ба b ба натурал n.

Байгалийн илтгэгчтэй чадлын үндсэн тодорхойлолтын дагуу бид тэгш байдлыг дараах байдлаар өөрчилж болно.

Үржүүлэх шинж чанарыг эргэн дурсаж, бид бичнэ: . Энэ нь n · b n -тэй ижил утгатай.

Жишээ 4

2 3 · - 4 2 5 4 = 2 3 4 · - 4 2 5 4

Хэрэв бид гурав ба түүнээс дээш хүчин зүйлтэй бол энэ өмч нь энэ тохиолдолд хамаарна. Хүчин зүйлийн тоог k тэмдэглэгээг оруулаад бичье.

(a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n

Жишээ 5

Тодорхой тоонуудын тусламжтайгаар бид дараах зөв тэгшитгэлийг авна: (2 · (- 2, 3) · a) 7 = 2 7 · (- 2, 3) · 7 · a

4. Үүний дараа бид хуваалтын шинж чанарыг нотлохыг хичээх болно: (a: b) n = a n: b n ямар ч бодит a ба b хувьд, хэрэв b нь 0-тэй тэнцүү биш бөгөөд n нь натурал тоо юм.

Үүнийг батлахын тулд та өмнөх зэрэглэлийн шинж чанарыг ашиглаж болно. Хэрэв (a: b) n · b n = ((a: b) · b) n = a n , and (a: b) n · b n = a n бол (a: b) n нь хуваах коэффициент болно. a n by b n.

Жишээ 6

Жишээ тооцоолъё: 3 1 2: - 0. 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3

Жишээ 7

Одоо жишээгээр эхэлцгээе: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6

Одоо тэгш байдал зөв гэдгийг батлах тэгш байдлын хэлхээг томъёолъё:

Хэрэв бид жишээн дээр градусын зэрэгтэй бол энэ өмч нь тэдний хувьд бас үнэн юм. Хэрэв бидэнд p, q, r, s натурал тоонууд байгаа бол энэ нь үнэн байх болно.

a p q y s = a p q y s

Жишээ 8

Зарим онцлогийг нэмье: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 2 5 = (5 , 2) 30

6. Бидний батлах шаардлагатай байгалийн илтгэгчтэй гүрнүүдийн өөр нэг шинж чанар бол харьцуулах шинж чанар юм.

Эхлээд зэрэглэлийг тэгтэй харьцуулъя. a нь 0-ээс их байвал яагаад a n > 0 байна вэ?

Хэрэв бид нэг эерэг тоог нөгөө тоогоор үржүүлбэл эерэг тоо гарч ирнэ. Энэ баримтыг мэдсэнээр энэ нь хүчин зүйлийн тооноос хамаардаггүй гэж хэлж болно - ямар ч тооны эерэг тоог үржүүлсний үр дүн нь эерэг тоо юм. Тоонуудыг үржүүлсний үр дүн биш бол ямар зэрэгтэй байх вэ? Дараа нь эерэг суурьтай, натурал илтгэгчтэй a n зэрэглэлийн хувьд энэ нь үнэн байх болно.

Жишээ 9

3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 ба 34 9 13 51 > 0

Суурь нь 0-тэй тэнцүү хүч нь өөрөө тэг болох нь ойлгомжтой. Бид ямар ч хүчийг тэг рүү өсгөсөн ч тэг хэвээр үлдэнэ.

Жишээ 10

0 3 = 0 ба 0 762 = 0

Хэрэв зэрэглэлийн суурь нь сөрөг тоо байвал тэгш/сондгой илтгэгчийн тухай ойлголт чухал болж байгаа тул нотолгоо нь арай илүү төвөгтэй болно. Эхлээд илтгэгч тэгш байх тохиолдлыг авч үзээд 2 · m гэж тэмдэглэе, энд m нь натурал тоо юм.

Сөрөг тоог хэрхэн зөв үржүүлэхийг санацгаая: a · a үржвэр нь модулийн үржвэртэй тэнцүү тул эерэг тоо байх болно. Дараа нь ба 2 м-ийн зэрэг нь эерэг байна.

Жишээ 11

Жишээлбэл, (− 6) 4 > 0, (− 2, 2) 12 > 0 ба - 2 9 6 > 0

Сөрөг суурьтай экспонент сондгой тоо байвал яах вэ? Үүнийг 2 · m − 1 гэж тэмдэглэе.

Дараа нь

Үржүүлгийн шинж чанарын дагуу бүх бүтээгдэхүүн a · a нь эерэг, тэдгээрийн үржвэр нь эерэг байдаг. Гэхдээ хэрэв бид үүнийг үлдсэн цорын ганц a тоогоор үржүүлбэл эцсийн үр дүн сөрөг байх болно.

Дараа нь бид дараахийг авна: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

Үүнийг хэрхэн батлах вэ?

a n< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

Жишээ 12

Жишээлбэл, дараах тэгш бус байдал нь үнэн: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

8. Бид зөвхөн сүүлчийн шинж чанарыг батлах хэрэгтэй: хэрэв бид суурь нь ижил ба эерэг, илтгэгч нь натурал тоо гэсэн хоёр эрх мэдэлтэй бол илтгэгч нь бага байх нь илүү их байх болно; мөн нэгээс их байгалийн илтгэгч ба ижил суурьтай хоёр зэрэглэлийн илтгэгч нь их байх нь илүү байна.

Эдгээр мэдэгдлийг баталцгаая.

Эхлээд бид эсэхийг шалгах хэрэгтэй a m< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

Хаалтнаас n-ийг авч үзье, үүний дараа бидний ялгаа a n · (a m − n − 1) хэлбэртэй болно. Үүний үр дүн сөрөг байх болно (учир нь эерэг тоог сөрөг тоогоор үржүүлсний үр дүн сөрөг байна). Эцсийн эцэст, анхны нөхцлүүдийн дагуу m − n > 0, дараа нь a m − n − 1 сөрөг, эхний хүчин зүйл нь эерэг суурьтай аливаа байгалийн хүчний нэгэн адил эерэг байна.

Энэ нь a m − a n болох нь тогтоогдсон< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

Дээр томъёолсон мэдэгдлийн хоёр дахь хэсгийг батлахад л үлдлээ: a m > a нь m > n ба a > 1-ийн хувьд үнэн юм. Ялгааг зааж, хаалтанд n-ийг гаргая: (a m − n − 1) Нэгээс их бол n-ийн чадал эерэг үр дүнг өгнө; мөн анхны нөхцлөөс шалтгаалан ялгаа нь өөрөө эерэг болж хувирах ба a > 1-ийн хувьд a m − n зэрэг нь нэгээс их байна. a m − a n > 0 ба a m > a n гэсэн нь бидэнд нотлох шаардлагатай болсон.

Жишээ 13

Тодорхой тоо бүхий жишээ: 3 7 > 3 2

Бүхэл тоон үзүүлэлттэй градусын үндсэн шинж чанарууд

Эерэг бүхэл илтгэгчтэй зэрэглэлийн хувьд шинж чанарууд нь ижил байх болно, учир нь эерэг бүхэл тоонууд нь натурал тоо бөгөөд энэ нь дээр нотлогдсон бүх тэгшитгэлүүд нь тэдний хувьд үнэн гэсэн үг юм. Эдгээр нь экспонентууд нь сөрөг эсвэл тэгтэй тэнцүү (зэргийн суурь нь өөрөө тэг биш байх тохиолдолд) тохиолдолд тохиромжтой.

Иймд зэрэглэлийн шинж чанарууд нь аливаа суурь a ба b (эдгээр тоонууд нь бодит бөгөөд 0-тэй тэнцүү биш) болон m ба n илтгэгчийн хувьд (тэдгээр нь бүхэл тоо байх тохиолдолд) ижил байна. Тэдгээрийг томъёо хэлбэрээр товчхон бичье.

Тодорхойлолт 2

1. a m · a n = a m + n

2. a m: a n = a m − n

3. (a · b) n = a n · b n

4. (a: b) n = a n: b n

5. (a m) n = a m n

6. a n< b n и a − n >b − n эерэг бүхэл тоонд хамаарах n, эерэг a ба b, a< b

өглөөний 7< a n , при условии целых m и n , m >n ба 0< a < 1 , при a >1 a m > a n .

Хэрэв градусын суурь нь тэг байвал a m ба a n оруулгууд нь зөвхөн байгалийн ба эерэг m ба n тохиолдолд л утга учиртай болно. Үүний үр дүнд, хэрэв бусад бүх нөхцөл хангагдсан бол дээрх найрлага нь тэг суурьтай хүчин чадалтай тохиолдолд тохиромжтой болохыг бид олж мэдэв.

Энэ тохиолдолд эдгээр шинж чанаруудын нотолгоо нь энгийн байдаг. Бид натурал болон бүхэл тоон үзүүлэлттэй зэрэг гэж юу болох, мөн бодит тоонуудтай үйлдлийн шинж чанаруудыг санах хэрэгтэй болно.

Хүчин чадлын шинж чанарыг харцгаая, эерэг ба эерэг бус бүхэл тоонуудын аль алинд нь үнэн болохыг баталъя. (a p) q = a p · q, (a − p) q = a (− p) · q, (a p) − q = a p · (− q) ба (a − p) − q тэнцүүг баталж эхэлцгээе. = a (− p) · (− q)

Нөхцөл: p = 0 буюу натурал тоо; q - төстэй.

Хэрэв p ба q-ийн утга 0-ээс их байвал бид (a p) q = a p · q болно. Үүнтэй төстэй тэгш байдлыг бид өмнө нь нотолсон. Хэрэв p = 0 бол:

(a 0) q = 1 q = 1 a 0 q = a 0 = 1

Тиймээс (a 0) q = a 0 q байна

q = 0-ийн хувьд бүх зүйл яг ижил байна:

(a p) 0 = 1 a p 0 = a 0 = 1

Үр дүн: (a p) 0 = a p · 0.

Хэрэв хоёр үзүүлэлт хоёулаа тэг байвал (a 0) 0 = 1 0 = 1 ба 0 · 0 = a 0 = 1, энэ нь (a 0) 0 = a 0 · 0 гэсэн үг юм.

Дээр нотлогдсон хэмжээгээр хуваалтын шинж чанарыг эргэн санаад бичье.

1 a p q = 1 q a p q

Хэрэв 1 p = 1 1 … 1 = 1 ба a p q = a p q бол 1 q a p q = 1 a p q болно.

Бид үржүүлэх үндсэн дүрмийн дагуу энэ тэмдэглэгээг a (− p) · q болгон хувиргаж чадна.

Мөн: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p · q = a - (p · q) = a p · (- q) .

Мөн (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)

Зэрэглэлийн үлдсэн шинж чанаруудыг одоо байгаа тэгш бус байдлыг өөрчлөх замаар ижил төстэй байдлаар баталж болно. Бид энэ талаар дэлгэрэнгүй ярихгүй, зөвхөн хэцүү цэгүүдийг зааж өгөх болно.

Эцсийн өмнөх шинж чанарын баталгаа: a − n > b − n нь сөрөг бүхэл тоо n болон эерэг a ба b-ийн хувьд үнэн гэдгийг санаарай, хэрэв a b-ээс бага байвал.

Дараа нь тэгш бус байдлыг дараах байдлаар өөрчилж болно.

1 a n > 1 b n

Баруун болон зүүн талыг ялгаа болгон бичээд шаардлагатай хувиргалтыг хийцгээе.

1 a n - 1 b n = b n - a n a n · b n

Сануулахад, а нөхцөл нь b-ээс бага байвал байгалийн илтгэгчтэй зэрэглэлийн тодорхойлолтын дагуу: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .

a n · b n нь эерэг тоо болж төгсдөг, учир нь түүний хүчин зүйлүүд эерэг байдаг. Үүний үр дүнд бид b n - a n a n · b n фракцтай болсон бөгөөд энэ нь эцсийн эцэст эерэг үр дүнг өгдөг. Эндээс 1 a n > 1 b n эндээс a − n > b − n болох нь бидэнд нотлох шаардлагатай байсан юм.

Бүхэл тоон илтгэгчтэй зэрэглэлийн сүүлийн шинж чанар нь натурал илтгэгчтэй зэрэглэлийн шинж чанартай адил нотлогддог.

Рационал илтгэгчтэй зэрэглэлийн үндсэн шинж чанарууд

Рационал (бутархай) илтгэгчтэй зэрэг гэж юу болохыг өмнөх нийтлэлүүддээ авч үзсэн. Тэдний шинж чанар нь бүхэл тоон үзүүлэлттэй зэрэгтэй ижил байна. Ингээд бичье:

Тодорхойлолт 3

1. a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 хувьд a > 0, хэрэв m 1 n 1 > 0 ба m 2 n 2 > 0 бол a ≥ 0 (бүтээгдэхүүний шинж чанар) ижил суурьтай градус).

2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2, хэрэв a > 0 (хувийн шинж чанар).

3. a > 0 ба b > 0 бол a · b m n = a m n · b m n, хэрэв m 1 n 1 > 0 ба m 2 n 2 > 0 бол a ≥ 0 ба (эсвэл) b ≥ 0 (бүтээгдэхүүн дэх бүтээгдэхүүний шинж чанар) бутархай зэрэг).

4. a: b m n = a m n: a > 0 ба b > 0 бол b m n, хэрэв m n > 0 бол a ≥ 0 ба b > 0 (бутархай зэрэгт хамаарах хуваалтын шинж чанар).

5. a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 · m 2 n 2 хувьд a > 0, хэрэв m 1 n 1 > 0 ба m 2 n 2 > 0 бол a ≥ 0 (зэрэглэлийн шинж чанар) градусаар).

6.a х< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0 ; хэрэв х< 0 - a p >b p (тэнцүү оновчтой илтгэгчтэй хүчийг харьцуулах шинж чанар).

7.a х< a q при условии рациональных чисел p и q , p >q 0-д< a < 1 ; если a >0 – a p > a q

Эдгээр заалтыг батлахын тулд бутархай илтгэгчтэй зэрэг гэж юу болох, n-р зэргийн арифметик язгуур ямар шинж чанартай, бүхэл тоон үзүүлэлттэй зэрэг нь ямар шинж чанартай болохыг санах хэрэгтэй. Үл хөдлөх хөрөнгө тус бүрийг авч үзье.

Бутархай илтгэгчтэй зэрэглэлээс хамааран бид дараахь зүйлийг авна.

a m 1 n 1 = a m 1 n 1 and a m 2 n 2 = a m 2 n 2, тиймээс a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 · a m 2 n 2

Үндэсний шинж чанарууд нь тэгш байдлыг олж авах боломжийг бидэнд олгоно.

а м 1 м 2 н 1 н 2 а м 2 м 1 н 2 н 1 = а м 1 н 2 а м 2 н 1 н 1 н 2

Үүнээс бид: a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2 болно.

Өөрчилье:

a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

Экспонентийг дараах байдлаар бичиж болно.

m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2

Энэ бол нотолгоо. Хоёрдахь өмч нь яг ижил аргаар нотлогддог. Тэгш байдлын гинж бичье:

a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 2: a m 2 n 1 n 1 n 2 = = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2

Үлдсэн тэгш байдлын нотолгоо:

a · b m n = (a · b) m n = a m · b m n = a m n · b m n = a m n · b m n ; (a: b) m n = (a: b) m n = a m: b m n = = a m n: b m n = a m n: b m n ; a m 1 n 1 м 2 n 2 = a m 1 n 1 м 2 n 2 = a m 1 n 1 м 2 n 2 = = a м 1 м 2 n 1 n 2 = a м 1 м 2 n 1 n 2 = = a м 1 2 n 2 n 1 = a m 1 м 2 n 2 n 1 = a m 1 n 1 м 2 n 2

Дараагийн шинж чанар: a ба b-ийн 0-ээс их утгуудын хувьд, хэрэв a нь b-ээс бага бол p нь хангагдана гэдгийг баталцгаая.< b p , а для p больше 0 - a p >b p

р рационал тоог m n гэж илэрхийлье. Энэ тохиолдолд m нь бүхэл тоо, n нь натурал тоо юм. Дараа нь нөхцөл p< 0 и p >0 нь м хүртэл үргэлжилнэ< 0 и m >0 . m > 0 ба a< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

Бид үндэс ба гаралтын шинж чанарыг ашигладаг: a m n< b m n

a ба b-ийн эерэг утгыг харгалзан бид тэгш бус байдлыг m n гэж дахин бичнэ.< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

Үүнтэй адилаар м< 0 имеем a a m >b m , бид a m n > b m n-ийг авдаг бөгөөд энэ нь a m n > b m n, a p > b p гэсэн утгатай.

Сүүлчийн үл хөдлөх хөрөнгийн нотлох баримтыг гаргаж өгөх нь бидэнд үлдлээ. p ба q рационал тоонуудын хувьд p > q байдгийг 0-д баталъя< a < 1 a p < a q , а при a >0 нь үнэн байх болно a p > a q .

p ба q рационал тоонуудыг нийтлэг хуваагч болгон бууруулж m 1 n ба m 2 n бутархайг авч болно.

Энд m 1 ба m 2 нь бүхэл тоо, n нь натурал тоо юм. Хэрэв p > q бол m 1 > m 2 (бутархайг харьцуулах дүрмийг харгалзан үзнэ). Дараа нь 0-д< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – тэгш бус байдал a 1 м > a 2 м.

Тэдгээрийг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Дараа нь та өөрчлөлтүүдийг хийж, эцэст нь:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Дүгнэж хэлэхэд: p > q ба 0-ийн хувьд< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – a p > a q .

Иррационал илтгэгчтэй зэрэглэлийн үндсэн шинж чанарууд

Рационал илтгэгчтэй зэрэгтэй дээр дурдсан бүх шинж чанарыг ийм хэмжээнд хүртэл өргөжүүлж болно. Энэ нь өмнөх нийтлэлүүдийн аль нэгэнд өгсөн тодорхойлолтоос үүдэлтэй юм. Эдгээр шинж чанарыг товч томъёолъё (нөхцөл: a > 0, b > 0, p ба q илтгэгч нь иррационал тоо):

Тодорхойлолт 4

1. a p · a q = a p + q

2. a p: a q = a p − q

3. (a · b) p = a p · b p

4. (a: b) p = a p: b p

5. (a p) q = a p · q

6.a х< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >b p

7.a х< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0, дараа нь a p > a q.

Иймд a > 0 тохиолдолд илтгэгч p ба q нь бодит тоо болох бүх хүч ижил шинж чанартай байна.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Тооны хүчийг тодорхойлсны дараа ярих нь логик юм зэрэглэлийн шинж чанарууд. Энэ өгүүлэлд бид бүх боломжит илтгэгчийг хөндөж, тооны чадлын үндсэн шинж чанарыг өгөх болно. Энд бид градусын бүх шинж чанаруудын нотолгоог өгөх бөгөөд жишээг шийдвэрлэхэд эдгээр шинж чанаруудыг хэрхэн ашиглахыг харуулах болно.

Хуудасны навигаци.

Байгалийн илтгэгчтэй зэрэглэлийн шинж чанарууд

Байгалийн илтгэгчтэй чадлын тодорхойлолтоор a n хүч нь n хүчин зүйлийн үржвэр бөгөөд тус бүр нь a-тай тэнцүү байна. Энэ тодорхойлолтыг үндэслэн, мөн ашиглаж байна үржүүлэх шинж чанарууд бодит тоо , бид дараахь зүйлийг олж авч, зөвтгөж чадна натурал илтгэгчтэй зэрэглэлийн шинж чанарууд:

1. a m ·a n =a m+n зэрэглэлийн үндсэн шинж чанар, түүний ерөнхий байдал;
2. Ижил сууриудтай хуваарийн зэрэглэлийн шинж чанар a m:a n =a m−n ;
3. бүтээгдэхүүний чадлын шинж чанар (a·b) n =a n ·b n , түүний өргөтгөл;
4. натурал зэрэг (a:b) хүртэлх хуваалтын шинж чанар n =a n:b n ;
5. зэрэглэлийг (a m) зэрэгт хүргэх n =a m·n, түүний ерөнхий байдал (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
6. зэргийг тэгтэй харьцуулах:
   • хэрэв a>0 бол дурын натурал n тооны хувьд a n>0;
   • хэрэв a=0 бол a n =0;
   • Хэрвээ<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 бол a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
7. хэрэв a ба b нь эерэг тоо ба a
8. хэрвээ m ба n нь m>n байх натурал тоо бол 0 байна 0 a m >a n тэгш бус байдал үнэн.

Бүх бичигдсэн тэгш байдал гэдгийг нэн даруй тэмдэглэе адилханзаасан нөхцлийн дагуу тэдгээрийн баруун болон зүүн хэсгийг сольж болно. Жишээлбэл, a m ·a n =a m+n бүхий бутархайн үндсэн шинж чанар илэрхийллийг хялбарчлахихэвчлэн a m+n =a m ·a n хэлбэрээр ашиглагддаг.

Одоо тус бүрийг нарийвчлан авч үзье.

гэж нэрлэгддэг ижил суурьтай хоёр зэрэглэлийн үржвэрийн шинж чанараас эхэлье зэрэглэлийн үндсэн өмч: дурын бодит а тоо болон аль ч натурал m ба n тоонуудын хувьд a m ·a n =a m+n тэгшитгэл үнэн байна.

Зэрэглэлийн үндсэн шинж чанарыг баталъя. Байгалийн илтгэгчтэй чадлын тодорхойлолтоор a m ·a n хэлбэрийн ижил суурьтай зэрэглэлийн үржвэрийг үржвэр болгон бичиж болно. Үржүүлгийн шинж чанараас шалтгаалан үүссэн илэрхийллийг дараах байдлаар бичиж болно , мөн энэ үржвэр нь m+n натурал илтгэгчтэй, өөрөөр хэлбэл a m+n бүхий a тооны зэрэглэл юм. Энэ нь нотлох баримтыг гүйцээнэ.

Зэрэглэлийн үндсэн шинж чанарыг баталгаажуулсан жишээг өгье. Суурь 2, натурал 2 ба 3 зэрэгтэй ижил градусуудыг авч үзье, градусын үндсэн шинж чанарыг ашиглан 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 тэгшитгэлийг бичиж болно. 2 2 · 2 3 ба 2 5 илэрхийллийн утгыг тооцоолох замаар түүний хүчинтэй эсэхийг шалгацгаая. Экспонентацийг хийж байна 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32ба 2 5 =2·2·2·2·2=32, тэнцүү утгууд гарсан тул 2 2 ·2 3 =2 5 тэгш байдал зөв байх ба энэ нь зэрэглэлийн үндсэн шинж чанарыг баталгаажуулна.

Үржүүлэх шинж чанарт суурилсан зэрэглэлийн үндсэн шинж чанарыг ижил суурь ба байгалийн илтгэгчтэй гурав ба түүнээс дээш тооны үржвэрт нэгтгэж болно. n 1, n 2, …, n k натурал тоонуудын дурын k тооны хувьд дараах тэгшитгэл үнэн байна. a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Жишээлбэл, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Бид байгалийн экспонент бүхий эрх мэдлийн дараагийн өмч рүү шилжиж болно - ижил суурьтай хуваалтын зэрэглэлийн шинж чанар: m>n нөхцөлийг хангасан тэгээс өөр ямар ч бодит тоо a болон дурын натурал m ба n тоонуудын хувьд a m:a n =a m−n тэгшитгэл үнэн болно.

Энэ өмчийн нотолгоог танилцуулахын өмнө томъёолол дахь нэмэлт нөхцлийн утгыг авч үзье. 0 n =0 учраас тэгээр хуваахаас зайлсхийхийн тулд a≠0 нөхцөл зайлшгүй шаардлагатай бөгөөд бид хуваахтай танилцахдаа тэгээр хувааж болохгүй гэдэгтэй санал нэгдэв. Байгалийн илтгэгчээс цааш гарахгүйн тулд m>n нөхцөлийг оруулав. Үнэн хэрэгтээ, m>n-ийн хувьд a m−n илтгэгч нь натурал тоо, эс тэгвээс энэ нь тэг (m−n-д тохиолддог) эсвэл сөрөг тоо (m-д тохиолддог) байх болно.

Баталгаа. Бутархайн үндсэн шинж чанар нь тэгш байдлыг бичих боломжийг олгодог a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. Үүссэн тэгшитгэлээс a m−n ·a n =a m байх ба m−n нь a m ба a n зэрэглэлийн категори юм. Энэ нь ижил суурьтай хуваалтын хүчийг нотолж байна.

Нэг жишээ хэлье. Ижил суурьтай π ба натурал илтгэгч 5 ба 2-той хоёр градусыг авъя, π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 тэгшитгэл нь тухайн зэргийн авч үзсэн шинж чанартай тохирч байна.

Одоо авч үзье бүтээгдэхүүний эрчим хүчний шинж чанар: дурын хоёр бодит тоо a ба b үржвэрийн натурал n хүч нь a n ба b n зэрэглэлийн үржвэртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл (a·b) n =a n ·b n .

Үнэхээр байгалийн илтгэгчтэй зэрэглэлийн тодорхойлолтоор бид байна . Үржүүлэх шинж чанарт үндэслэн сүүлийн бүтээгдэхүүнийг дахин бичиж болно , энэ нь a n · b n -тэй тэнцүү байна.

Энд нэг жишээ байна: .

Энэ өмч нь гурав ба түүнээс дээш хүчин зүйлийн бүтээгдэхүүний хүчийг хамардаг. Өөрөөр хэлбэл, k хүчин зүйлийн үржвэрийн n-ийн натурал зэрэглэлийн шинж чанарыг дараах байдлаар бичнэ (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n.

Тодорхой болгохын тулд бид энэ өмчийг жишээгээр харуулах болно. Гурван хүчин зүйлийн үржвэрийн хувьд 7-ийн зэрэглэлд .

Дараахь өмч нь эд хөрөнгө: a ба b, b≠0 бодит тоонуудын натурал n зэрэгт хуваах нь a n ба b n зэрэглэлийн хуваарьтай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл (a:b) n =a n:b n байна.

Нотлох баримтыг өмнөх өмчийг ашиглан хийж болно. Тэгэхээр (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, мөн (a:b) n ·b n =a n тэгшитгэлээс (a:b) n нь a n-ийн b n-д хуваагдсан хэсэг юм.

Жишээ болгон тодорхой тоонуудыг ашиглан энэ өмчийг бичье: .

Одоо дуугарцгаая хүчийг хүчирхэг болгох өмч: дурын бодит а тоо болон аливаа натурал m ба n тоонуудын хувьд a m-ийн n-ийн зэрэглэл нь m·n илтгэгчтэй а тооны чадалтай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл (a m) n =a m·n байна.

Жишээлбэл, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.

Эрх мэдэл хоорондын өмчийн нотолгоо нь дараахь тэгш байдлын хэлхээ юм. .

Үзэж буй эд хөрөнгийг зэрэг, зэрэг хүртэл сунгаж болно. Жишээлбэл, p, q, r, s аль ч натурал тоонуудын хувьд тэгш байдал . Илүү тодорхой болгохын тулд тодорхой тоо бүхий жишээ энд байна: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Зэрэгцээг байгалийн илтгэгчтэй харьцуулах шинж чанарууд дээр анхаарлаа хандуулах хэвээр байна.

Тэг ба хүчийг байгалийн илтгэгчтэй харьцуулах шинж чанарыг нотлоод эхэлцгээе.

Эхлээд дурын a>0-д a n >0 гэдгийг баталъя.

Хоёр эерэг тооны үржвэр нь үржүүлгийн тодорхойлолтоос дараах байдлаар эерэг тоо юм. Энэ баримт болон үржүүлгийн шинж чанарууд нь аль ч тооны эерэг тоог үржүүлсний үр дүн нь эерэг тоо байх болно гэдгийг харуулж байна. Мөн n натурал илтгэгчтэй a тооны хүчин чадал нь n хүчин зүйлийн үржвэр бөгөөд тус бүр нь а-тай тэнцүү байна. Эдгээр аргументууд нь аливаа эерэг суурийн хувьд a n зэрэг нь эерэг тоо гэдгийг батлах боломжийг бидэнд олгодог. Батлагдсан өмчийн улмаас 3 5 >0, (0.00201) 2 >0 болон .

a=0 ямар ч натурал n тооны хувьд n-ийн зэрэг нь тэг байх нь ойлгомжтой. Үнэхээр 0 n =0·0·…·0=0 . Жишээлбэл, 0 3 =0 ба 0 762 =0.

Зэрэглэлийн сөрөг суурь руу шилжье.

Экспонент нь тэгш тоо байх тохиолдлоос эхэлье, үүнийг 2·m гэж тэмдэглэе, m нь натурал тоо. Дараа нь . a·a хэлбэрийн бүтээгдэхүүн бүрийн хувьд a ба a тоонуудын модулиудын үржвэртэй тэнцүү бөгөөд энэ нь эерэг тоо гэсэн үг юм. Тиймээс бүтээгдэхүүн нь эерэг байх болно ба 2·м зэрэгтэй. Жишээ өгье: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 ба .

Эцэст нь, а суурь сөрөг тоо, илтгэгч нь сондгой тоо 2 m−1 байвал . Бүх бүтээгдэхүүн a·a эерэг тоо бөгөөд эдгээр эерэг тоонуудын үржвэр нь мөн эерэг бөгөөд үлдсэн сөрөг тоогоор үржүүлснээр сөрөг тоо гарч ирнэ. Энэ өмчийн улмаас (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Дараах томьёотой ижил натурал илтгэгчтэй хүчийг харьцуулах шинж чанар руу орцгооё: ижил натурал илтгэгчтэй хоёр зэрэглэлийн n нь суурь нь бага байхаас бага, суурь нь том байх нь их байна. . Үүнийг баталъя.

Тэгш бус байдал a n тэгш бус байдлын шинж чанарууд a n хэлбэрийн нотлогдох тэгш бус байдал мөн үнэн (2.2) 7 ба .

Байгалийн илтгэгчтэй хүчнүүдийн жагсаалтын сүүлчийн шинж чанарыг батлахад л үлдлээ. Үүнийг томъёолъё. Байгалийн илтгэгч ба ижил эерэг суурь нь нэгээс бага хоёр зэрэглэлийн илтгэгч нь бага нь их байна; мөн нэгээс их байгалийн илтгэгч ба ижил суурьтай хоёр зэрэглэлийн илтгэгч нь их байх нь илүү байна. Энэ үл хөдлөх хөрөнгийн нотолгоог үргэлжлүүлье.

Үүнийг m>n ба 0-ийн хувьд баталъя m>n анхны нөхцлөөс шалтгаалсан 0, энэ нь 0-д гэсэн үг

Үл хөдлөх хөрөнгийн хоёр дахь хэсгийг нотлох хэвээр байна. m>n ба a>1 a m >a n-ийн хувьд үнэн болохыг баталъя. Хаалтнаас n-ийг авсны дараа a m −a n-ийн ялгаа нь a n ·(a m−n −1) хэлбэртэй байна. Энэ үржвэр нь эерэг, учир нь a>1-ийн хувьд a n нь эерэг тоо, a m−n −1 ялгаа нь эерэг тоо, учир нь эхний нөхцлийн улмаас m−n>0, a>1-ийн хувьд градус байна. a m−n нь нэгээс их. Үүний үр дүнд a m −a n >0 ба a m >a n байх нь нотлох шаардлагатай зүйл юм. Энэ шинж чанарыг 3 7 >3 2 тэгш бус байдлаар дүрсэлсэн.

Бүхэл тоон үзүүлэлттэй зэрэглэлийн шинж чанарууд

Эерэг бүхэл тоо нь натурал тоо тул эерэг бүхэл илтгэгчтэй зэрэглэлийн бүх шинж чанарууд нь өмнөх догол мөрөнд жагсаасан, батлагдсан натурал илтгэгчтэй зэрэглэлийн шинж чанаруудтай яг таарч байна.

Бид бүхэл сөрөг илтгэгчтэй зэрэг, мөн тэг үзүүлэлттэй зэрэглэлийг тэгшитгэлээр илэрхийлсэн натурал илтгэгчтэй градусын бүх шинж чанар хүчинтэй хэвээр байхаар тодорхойлсон. Тиймээс эдгээр бүх шинж чанарууд нь тэг үзүүлэлт ба сөрөг илтгэгчийн аль алинд нь хүчинтэй байдаг бол мэдээжийн хэрэг, зэрэглэлийн суурь нь тэгээс өөр байна.

Тэгэхээр аливаа бодит ба тэг биш a ба b тоо, түүнчлэн m ба n бүхэл тоонуудын хувьд дараах зүйлс үнэн болно. бүхэл тоон илтгэгчтэй зэрэглэлийн шинж чанарууд:

1. a m ·a n =a m+n ;
2. a m:a n =a m−n ;
3. (a·b) n =a n ·b n ;
4. (a:b) n =a n:b n ;
5. (a m) n =a m·n ;
6. хэрэв n нь эерэг бүхэл тоо бол a, b нь эерэг тоо, а b−n ;
7. хэрэв m ба n нь бүхэл тоо, m>n бол 0 байна 1 a m >a n тэгш бус байдал.

a=0 үед a m ба a n зэрэг нь m ба n хоёулаа эерэг бүхэл тоо, өөрөөр хэлбэл натурал тоо байх үед л утга учиртай болно. Иймд сая бичсэн шинж чанарууд нь a=0, m ба n тоонууд эерэг бүхэл тоо байх тохиолдолд мөн хүчинтэй байна.

Эдгээр шинж чанар бүрийг нотлох нь тийм ч хэцүү биш бөгөөд үүнийг хийхийн тулд натурал болон бүхэл тоон үзүүлэлт бүхий градусын тодорхойлолт, мөн бодит тоонуудтай үйлдлийн шинж чанаруудыг ашиглахад хангалттай. Жишээ болгон, хүч чадлын шинж чанар нь эерэг бүхэл ба эерэг бус бүхэл тоонуудын аль алинд нь тохирч байгааг баталцгаая. Үүнийг хийхийн тулд хэрэв p нь тэг эсвэл натурал тоо, q нь тэг эсвэл натурал тоо бол тэгшитгэлүүд (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) болохыг харуулах хэрэгтэй. ·q, (a p ) −q =a p·(−q) ба (a −p) −q =a (−p)·(−q). Энийг хийцгээе.

Эерэг p ба q-ийн хувьд (a p) q =a p·q тэгш байдал өмнөх догол мөрөнд батлагдсан. Хэрэв p=0 бол бид (a 0) q =1 q =1 ба 0·q =a 0 =1, үүнээс (a 0) q =a 0·q байна. Үүний нэгэн адил хэрэв q=0 бол (a p) 0 =1 ба p·0 =a 0 =1, үүнээс (a p) 0 =a p·0 байна. Хэрэв p=0 ба q=0 хоёулаа байвал (a 0) 0 =1 0 =1 ба 0·0 =a 0 =1, үүнээс (a 0) 0 =a 0·0 болно.

Одоо бид (a −p) q =a (−p)·q гэдгийг баталж байна. Сөрөг бүхэл илтгэгчтэй чадлын тодорхойлолтоор бол . Эрх мэдлийн хуваарийн шинж чанараар бид байна . 1 p =1·1·…·1=1 байх тул , тэгвэл . Сүүлийн илэрхийлэл нь тодорхойлолтоор бол a −(p·q) хэлбэрийн хүч бөгөөд үржүүлэх дүрмийн дагуу үүнийг (−p)·q гэж бичиж болно.

Үүний нэгэн адил .

БА .

Үүнтэй ижил зарчмыг ашиглан та зэрэглэлийн бусад бүх шинж чанарыг тэгш байдлын хэлбэрээр бичсэн бүхэл тоон үзүүлэлтээр нотолж болно.

Бүртгэгдсэн шинж чанаруудын төгсгөлд a -n >b -n тэгш бус байдлын нотолгоонд анхаарлаа хандуулах нь зүйтэй бөгөөд энэ нь а нөхцөл хангагдсан аливаа сөрөг бүхэл тоо -n болон эерэг a, b-д хүчинтэй. . Учир нь нөхцөлөөр a 0 . a n · b n үржвэр нь мөн эерэг тоо a n ба b n үржвэртэй адил эерэг байна. Дараа нь үүссэн бутархай нь b n −a n ба a n ·b n эерэг тоонуудын хэсэг болох эерэг байна. Иймээс a −n >b −n хаанаас гарсан нь нотлох шаардлагатай зүйл юм.

Бүхэл илтгэгчтэй зэрэглэлийн сүүлийн шинж чанар нь натурал илтгэгчтэй зэрэглэлийн ижил төстэй шинж чанартай адил нотлогддог.

Рационал илтгэгчтэй зэрэглэлийн шинж чанарууд

Бид бутархай илтгэгчтэй зэрэглэлийг бүхэл тоон үзүүлэлттэй зэрэглэлийн шинж чанарыг өргөтгөх замаар тодорхойлсон. Өөрөөр хэлбэл бутархай илтгэгчтэй зэрэглэлүүд нь бүхэл илтгэгчтэй зэрэгтэй ижил шинж чанартай байдаг. Тухайлбал:

Бутархай илтгэгчтэй градусын шинж чанарын баталгаа нь бутархай илтгэгчтэй градусын тодорхойлолт, бүхэл тоон үзүүлэлттэй градусын шинж чанарууд дээр суурилдаг. Нотлох баримт гаргаж өгье.

Бутархай илтгэгчтэй зэрэглэлийн тодорхойлолтоор ба , дараа нь . Арифметик язгуурын шинж чанарууд нь дараах тэгшитгэлүүдийг бичих боломжийг бидэнд олгодог. Цаашилбал, бүхэл тоон илтгэгчтэй зэрэглэлийн шинж чанарыг ашиглан бид бутархай илтгэгчтэй градусын тодорхойлолтыг олж авна. , мөн олж авсан зэрэглэлийн үзүүлэлтийг дараах байдлаар хувиргаж болно: . Энэ нь нотлох баримтыг гүйцээнэ.

Бутархай илтгэгчтэй зэрэглэлийн хоёрдахь шинж чанарыг үүнтэй төстэй байдлаар нотолж байна.

Үлдсэн тэгш байдлыг ижил төстэй зарчмуудыг ашиглан нотолсон болно.

Дараагийн өмчийг нотлох ажлыг үргэлжлүүлье. Ямар ч эерэг a, b, a гэдгийг баталцгаая b p . m нь бүхэл тоо, n нь натурал тоо p рационал тоог m/n гэж бичье. Нөхцөл х<0 и p>0 энэ тохиолдолд нөхцөл m<0 и m>Үүний дагуу 0. m>0 ба a-ийн хувьд

Үүний нэгэн адил, m<0 имеем a m >b m , хаанаас, өөрөөр хэлбэл, a p >b p .

Жагсаалтад орсон үл хөдлөх хөрөнгийн сүүлчийнх нь нотлогдох хэвээр байна. p ба q рационал тоонуудын хувьд p>q гэдгийг 0 дээр баталъя 0 – тэгш бус байдал a p >a q . Энгийн бутархай ба , энд m 1 ба m 2 нь бүхэл тоо, n нь натурал тоо байсан ч бид p ба q рационал тоог үргэлж нийтлэг хуваагч болгон бууруулж чадна. Энэ тохиолдолд p>q нөхцөл нь дараах m 1 >m 2 нөхцөлтэй тохирно. Дараа нь 0-д ижил суурьтай, натурал илтгэгчтэй хүчийг харьцуулах шинж чанараар 1 – тэгш бус байдал a m 1 >a m 2 . Үндэсний шинж чанаруудын эдгээр тэгш бус байдлыг дараах байдлаар дахин бичиж болно Тэгээд . Рационал экспонент бүхий зэрэглэлийн тодорхойлолт нь тэгш бус байдал руу шилжих боломжийг олгодог. Эндээс бид эцсийн дүгнэлтийг гаргаж байна: p>q ба 0-ийн хувьд 0 – тэгш бус байдал a p >a q .

Иррационал илтгэгчтэй зэрэглэлийн шинж чанарууд

Иррационал илтгэгчтэй зэрэглэлийг тодорхойлсон аргаас харахад энэ нь рационал илтгэгчтэй зэрэглэлийн бүх шинж чанарыг агуулж байна гэж дүгнэж болно. Тэгэхээр дурын a>0, b>0 ба иррациональ p ба q тоонуудын хувьд дараах үнэн байна иррационал илтгэгчтэй хүчнүүдийн шинж чанарууд:

1. a p ·a q =a p+q ;
2. a p:a q =a p−q ;
3. (a·b) p =a p ·b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q =a p·q ;
6. аливаа эерэг тоонуудын хувьд a ба b, a 0 тэгш бус байдал a p b p ;
7. p ба q иррационал тоонуудын хувьд 0-д p>q 0 – тэгш бус байдал a p >a q .

Эндээс a>0-ийн хувьд ямар ч бодит илтгэгч p ба q-тай зэрэглэлүүд ижил шинж чанартай байна гэж дүгнэж болно.

Ном зүй.

• Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. 5-р ангийн математикийн сурах бичиг. боловсролын байгууллагууд.
• Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебр: 7-р ангийн сурах бичиг. боловсролын байгууллагууд.
• Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебр: 8-р ангийн сурах бичиг. боловсролын байгууллагууд.
• Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебр: 9-р ангийн сурах бичиг. боловсролын байгууллагууд.
• Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. болон бусад Алгебр ба шинжилгээний эхлэл: Ерөнхий боловсролын сургуулийн 10-11 дүгээр ангийн сурах бичиг.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математик (техникийн сургуульд элсэгчдэд зориулсан гарын авлага).