Функцийн график хэдэн асимптоттой байж болох вэ?

Нэг, нэг, хоёр, гурав,... эсвэл хязгааргүй олон биш. Бид жишээн дээр хол явахгүй, энгийн функцуудыг санацгаая. Парабол, куб парабол, синусын долгионд асимптот огт байдаггүй. Экспоненциал, логарифм функцийн график нь нэг асимптоттой. Арктангенс ба арккотангенс нь хоёртой, тангенс ба котангенс нь хязгааргүй олонтой. График нь хэвтээ ба босоо асимптоттой байх нь ердийн зүйл биш юм. Гипербол, чамайг үргэлж хайрлах болно.

Функцийн графикийн асимптотуудыг олно гэдэг нь юу гэсэн үг вэ?

Энэ нь тэдгээрийн тэгшитгэлийг олох, хэрэв асуудал шаардлагатай бол шулуун шугам зурах гэсэн үг юм. Үйл явц нь функцийн хязгаарыг олох явдал юм.

Функцийн графикийн босоо асимптотууд

Графикийн босоо асимптот нь дүрмээр бол функцийн хязгааргүй тасалдлын цэг дээр байрладаг. Энэ нь энгийн: хэрэв тухайн цэг дээр функц хязгааргүй тасалдалтай байвал тэгшитгэлээр тодорхойлсон шулуун шугам нь графикийн босоо асимптот болно.

Жич: Энэ оруулга нь огт өөр хоёр ойлголтыг илэрхийлэхэд ашиглагдаж байгааг анхаарна уу. Цэг нь далдлагдсан эсвэл шулууны тэгшитгэл байх нь контекстээс хамаарна.

Тиймээс нэг цэгт босоо асимптот байгаа эсэхийг тогтоохын тулд ядаж нэг талт хязгаар нь хязгааргүй гэдгийг харуулахад хангалттай. Ихэнхдээ энэ нь функцийн хуваагч тэг байх цэг юм. Үндсэндээ бид функцийн тасралтгүй байдлын тухай хичээлийн сүүлийн жишээнүүдээс босоо асимптотуудыг аль хэдийн олсон. Гэхдээ зарим тохиолдолд зөвхөн нэг талын хязгаар байдаг бөгөөд хэрэв энэ нь хязгааргүй бол дахин босоо асимптотыг хайрлаж, илүүд үздэг. Хамгийн энгийн дүрслэл: ординатын тэнхлэг.

Дээрхээс харахад тодорхой баримт гарч ирнэ: хэрэв функц тасралтгүй ажиллаж байвал босоо асимптот байхгүй болно. Яагаад ч юм парабола санаанд орж ирэв. Үнэхээр энд шулуун шугамыг хаана “наалдуулж” чадах вэ? ...тиймээ... би ойлголоо... Фрейдийн авга дагалдагчид гистерик болсон =)

Эсрэг заалт нь ерөнхийдөө худал байдаг: жишээлбэл, функц нь бүх тооны мөрөнд тодорхойлогдоогүй, харин асимптотоос бүрэн хасагдсан байдаг.

Функцийн графикийн налуу асимптотууд

Хэрэв функцийн аргумент нь "нэмэх хязгааргүй" эсвэл "хасах хязгааргүй" хандлагатай байвал ташуу (тусгай тохиолдолд - хэвтээ) асимптотуудыг зурж болно. Иймд функцийн график нь 2-оос илүү налуу асимптоттой байж болохгүй. Жишээлбэл, экспоненциал функцийн график нь нэг хэвтээ асимптоттой, at арктангенсын график нь хоёр ийм асимптоттой, өөр өөр байдаг.

Хоёр газрын график нь нэг ташуу асимптот руу ойртох үед "хязгааргүй" -ийг нэг оруулгын дор нэгтгэдэг заншилтай байдаг. Жишээлбэл, ... та зөв таасан: .

Функцийн графикийн асимптот y = f(x) нь графикийн цэг эх цэгээс тодорхойгүй хугацаагаар шилжих үед (x, f(x)) цэгээс энэ шулуун хүртэлх зай тэг рүү чиглэх шинж чанартай шулуун шугам юм.

Зураг 3.10-д. график жишээг үзүүлэв босоо, хэвтээТэгээд налууасимптот.

Графикийн асимптотуудыг олох нь дараах гурван теорем дээр суурилдаг.

Босоо асимптотын теорем. y = f(x) функцийг x 0 цэгийн тодорхой ойролцоо (энэ цэгийг өөрөө хасч магадгүй) тодорхойлогдох ба функцийн нэг талт хязгаарын ядаж нэг нь хязгааргүйтэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл. Тэгвэл x = x 0 шулуун нь y = f(x) функцийн графикийн босоо асимптот болно.

Хэрэв функц x 0 цэг дээр тасралтгүй байвал x = x 0 шулуун шугам нь босоо асимптот болж чадахгүй нь ойлгомжтой, учир нь энэ тохиолдолд . Иймээс босоо асимптотуудыг функцийн тасалдал эсвэл түүний тодорхойлолтын хүрээний төгсгөлд хайх хэрэгтэй.

Хэвтээ асимптотын теорем. Хангалттай том х-ийн хувьд y = f(x) функцийг тодорхойлъё, функцийн хязгаарлагдмал хязгаар байна. Тэгвэл y = b шугам нь функцийн графикийн хэвтээ асимптот болно.

Сэтгэгдэл. Хэрэв хязгааруудын зөвхөн нэг нь хязгаарлагдмал бол функц нь зохих ёсоор: солгойэсвэл баруун талтайхэвтээ асимптот.

Энэ тохиолдолд функц нь ташуу асимптоттой байж болно.

Ташуу асимптот теорем. Хангалттай том х-ийн хувьд y = f(x) функцийг тодорхойлж, хязгаарлагдмал хязгаартай байг . Дараа нь y = kx + b шулуун шугам нь функцийн графикийн налуу асимптот болно.

Нотлох баримт байхгүй.

Хэрэв харгалзах хязгаарын үндэс нь тодорхой тэмдгийн хязгааргүй бол ташуу асимптот нь хэвтээ шиг баруун эсвэл зүүн гартай байж болно.

Функцуудыг судлах, тэдгээрийн графикийг бүтээх нь ихэвчлэн дараах алхмуудыг агуулна.

1. Функцийн тодорхойлолтын мужийг ол.

2. Функцийг тэгш сондгой паритетыг шалгана уу.

3. Хэрэв хязгаарлагдмал бол тасархайн цэгүүд болон тодорхойлолтын мужын хил дэх функцийн зан төлөвийг судалж босоо асимптотуудыг ол.

4. Хязгааргүй үед функцийн зан төлөвийг судалж хэвтээ эсвэл ташуу асимптотуудыг ол.

5. Функцийн монотон байдлын экстремум ба интервалыг ол.

6. Функцийн гүдгэр ба гулзайлтын цэгийн интервалыг ол.

7. Координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүд болон магадгүй графикийг тодруулах нэмэлт цэгүүдийг ол.

Функцийн дифференциал

Хэрэв функц нь тодорхой суурийн хувьд хязгаарлагдмал тоотой тэнцүү хязгаартай бол түүнийг энэ тооны нийлбэр ба ижил суурийн хувьд хязгааргүй бага утгатай (болон эсрэгээр) илэрхийлж болно гэдгийг баталж болно: .

Энэ теоремыг дифференциалагдах функцэд хэрэглэе: .

Тиймээс Dу функцийн өсөлт нь хоёр гишүүнээс бүрдэнэ: 1) Dx-тэй харьцуулахад шугаман, i.e. f `(x)Dх; 2) Dx-ийн хувьд шугаман бус, i.e. a(Dx)Dx. Үүний зэрэгцээ, тэр цагаас хойш , энэ хоёр дахь нэр томъёо нь хязгааргүй ихийг илэрхийлдэг өндөр захиалга Dx-ээс (Dx тэглэх хандлагатай байдаг тул илүү хурдан тэглэх хандлагатай байдаг).

Дифференциалфункц нь dy = f `(x)Dx бие даасан хувьсагчийн үүсмэл болон нэмэгдлийн үржвэртэй тэнцүү, функцийн өсөлтийн Dx-тэй харьцуулахад үндсэн шугаман хэсэг юм.

y = x функцийн дифференциалыг олъё.

dy = f `(x)Dх = x`Dх = Dх тул dx = Dх, i.e. бие даасан хувьсагчийн дифференциал нь энэ хувьсагчийн өсөлттэй тэнцүү байна.

Иймд функцийн дифференциалын томьёог dy = f `(x)dх гэж бичиж болно. Ийм учраас деривативын тэмдэглэгээний нэг нь dy/dx бутархай юм.

Дифференциалын геометрийн утгыг дүрсэлсэн болно
Зураг 3.11. y = f(x) функцийн график дээр дурын M(x, y) цэгийг авъя. Аргумент x-д Dx өсөлтийг өгье. Дараа нь y = f(x) функц нь Dy = f(x + Dx) - f(x) өсөлтийг хүлээн авна. Абсцисса тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй а өнцгийг үүсгэдэг M цэг дээрх функцийн график руу шүргэгч зуръя, өөрөөр хэлбэл. f `(x) = бор а. -аас зөв гурвалжин MKN
KN = MN*tg a = Dх*tg a = f `(x)Dх = dy.

Ийнхүү функцийн дифференциал нь x нь Dx өсөлтийг хүлээн авах үед тухайн цэг дэх функцийн графикт татсан шүргэгчийн ординатын өсөлт юм.

Дифференциалын шинж чанарууд нь деривативын шинж чанаруудтай үндсэндээ ижил байна:

3. d(u ± v) = du ± dv.

4. d(uv) = v du + u dv.

5. d(u/v) = (v du - u dv)/v 2.

Гэсэн хэдий ч байдаг чухал өмчДериватив байхгүй функцийн дифференциал нь байна дифференциал хэлбэрийн инвариант байдал.

y = f(x) функцийн дифференциалын тодорхойлолтоос dy = f `(x)dх дифференциал. Хэрэв энэ функц y нь нарийн төвөгтэй бол i.e. y = f(u), энд u = j(x), дараа нь y = f ба f `(x) = f `(u)*u` болно. Дараа нь dy = f `(u)*u`dх. Гэхдээ функцийн хувьд
u = j(x) дифференциал du = u`dх. Эндээс dy = f `(u)*du байна.

dy = f `(x)dх ба dy = f `(u)*du тэгшитгэлүүдийг харьцуулж үзвэл бид бие даасан хувьсагчийн функцийн оронд x-ийн функцийг авч үзвэл дифференциал томъёо өөрчлөгдөхгүй эсэхийг шалгана. хамааралтай хувьсагч u. Дифференциалын энэ шинж чанарыг дифференциал хэлбэрийн (эсвэл томьёоны) инвариант байдал (өөрөөр хэлбэл өөрчлөгддөггүй) гэж нэрлэдэг.

Гэсэн хэдий ч эдгээр хоёр томъёонд ялгаа байсаар байна: тэдгээрийн эхнийх нь бие даасан хувьсагчийн дифференциал нь энэ хувьсагчийн өсөлттэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл. dx = Dx, хоёрдугаарт, du функцийн дифференциал нь зөвхөн энэ Du функцийн өсөлтийн шугаман хэсэг бөгөөд зөвхөн жижиг Dx du » Du.

Мөн хийх даалгавар байх болно бие даасан шийдвэр, үүний хариултыг харж болно.

Асимптотын тухай ойлголт

Хэрэв та эхлээд муруйн асимптотуудыг байгуулвал олон тохиолдолд функцийн графикийг бүтээх нь илүү хялбар болно.

Асимптотын хувь заяа эмгэнэлээр дүүрэн байдаг. Энэ нь юу болохыг төсөөлөөд үз дээ: таны бүх амьдрал нандин зорилго руугаа чиглэн, түүндээ аль болох ойртсон боловч хэзээ ч хүрч чадахгүй. Жишээлбэл, амьдралынхаа зам мөрийг хүссэн хүнийхээ замтай холбохыг хичээж, хэзээ нэгэн цагт түүнд бараг ойртсон ч түүнд хүрэхгүй байх. Эсвэл тэрбум олохыг хичээ, гэхдээ энэ зорилгодоо хүрч, Гиннесийн амжилтын номонд орохоос өмнө хэдэн зуун цент дутуу байна. гэх мэт. Энэ нь асимптоттой адил юм: энэ нь функцийн графикийн муруйд хүрэхийг байнга эрмэлздэг, хамгийн бага боломжит зайд ойртдог боловч хэзээ ч хүрдэггүй.

Тодорхойлолт 1. Хувьсагч нь хязгааргүй нэмэх эсвэл хасах хязгаартай байх үед функцийн график дур мэдэн ойртож буй шулуун шугамуудыг асимптот гэнэ.

Тодорхойлолт 2. Хувьсах цэгээс хол зайтай бол шулуун шугамыг функцийн графикийн асимптот гэнэ. МЭнэ шугам хүртэлх функцийн график цэг тодорхойгүй хугацаагаар холдох тусам тэг рүү чиглэдэг Мфункцийн графикийн аль нэг салааны дагуух эх үүсвэрээс.

Босоо, хэвтээ, ташуу гэсэн гурван төрлийн асимптот байдаг.

Босоо асимптотууд

Босоо асимптотуудын талаар хамгийн түрүүнд мэдэх ёстой зүйл бол тэдгээр нь тэнхлэгтэй параллель байх явдал юм Өө .

Тодорхойлолт. Чигээрээ x = абайна функцийн графикийн босоо асимптот , хэрэв цэг x = абайна хоёр дахь төрлийн тасалдалын цэгэнэ функцийн хувьд.

Тодорхойлолтоос харахад шулуун шугам x = ань функцийн графикийн босоо асимптот юм е(x) дор хаяж нэг нөхцөл хангагдсан бол:

Энэ тохиолдолд функц е(x) ямар ч үед тус тус тодорхойлогдоогүй байж болно x ≥ аТэгээд x ≤ а .

Сэтгэгдэл:

Жишээ 1.Функцийн график y=ln xбосоо асимптоттой x= 0 (өөрөөр хэлбэл тэнхлэгтэй давхцаж байна Өө) тодорхойлолтын домайн хил дээр, учир нь функцийн хязгаар нь баруун талаас тэг рүү чиглэж байгаа х нь хязгааргүйтэй тэнцүү байна:

(дээрх зураг).

өөрөө, дараа нь шийдлүүдийг хар

Жишээ 2.Функцийн графикийн асимптотуудыг ол.

Жишээ 3.Функцийн графикийн асимптотуудыг ол

Хэвтээ асимптотууд

Хэвтээ асимптотуудын талаар мэдэх ёстой хамгийн эхний зүйл бол тэдгээр нь тэнхлэгтэй параллель байх явдал юм Үхэр .

Хэрэв (аргумент нэмэх эсвэл хасах хязгааргүй байх хандлагатай функцийн хязгаар нь тодорхой утгатай тэнцүү бол) б), Тэр y = б – хэвтээ асимптот муруй y = е(x ) (X нэмэх хязгааргүй байх хандлагатай үед баруун талд, X хасах хязгааргүй байх хандлагатай үед зүүн талд, хэрэв X нэмэх эсвэл хасах хязгаар нь тэнцүү бол хоёр талт).

Жишээ 5.Функцийн график

цагт а> 1 нь хэвтээ ассимпототыг орхисон y= 0 (өөрөөр хэлбэл тэнхлэгтэй давхцаж байна Үхэр), "x" гэсэн функцийн хязгаар нь хасах хязгааргүй байх хандлагатай тул тэг болно:

"x" гэсэн функцийн хязгаар нь хязгааргүй нэмэх хандлагатай байдаг тул муруй нь зөв хэвтээ асимптотгүй:

Ташуу асимптотууд

Бидний дээр судалсан босоо болон хэвтээ асимптотууд нь координатын тэнхлэгүүдтэй параллель байдаг тул тэдгээрийг бүтээхэд зөвхөн тодорхой тоо буюу асимптот дамждаг абсцисса эсвэл ординатын тэнхлэг дээрх цэг хэрэгтэй болно. Ташуу асимптотын хувьд илүү том налуу хэрэгтэй к, энэ нь шугамын налуу өнцөг, чөлөөт нэр томъёог харуулж байна б, энэ нь шугам нь эх үүсвэрээс хэр их эсвэл доор байгааг харуулдаг. Аналитик геометр, түүнээс шулуун шугамын тэгшитгэлийг мартаагүй хүмүүс ташуу асимптотын хувьд олж болохыг анзаарах болно. налуутай шулууны тэгшитгэл. Ташуу асимптот байгаа эсэхийг дараах теоремоор тодорхойлж, үүний үндсэн дээр сая дурдсан коэффициентүүдийг олно.

Теорем.Муруй болгохын тулд y = е(x) асимптоттой байсан y = kx + б , хязгаарлагдмал хязгаар байх нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм кТэгээд бхувьсагч хандлагаар авч үзэж буй функцийн xнэмэх хязгаар ба хасах хязгаар:

(1)

(2)

Ийм байдлаар олдсон тоонууд кТэгээд бба ташуу асимптот коэффициентууд.

Эхний тохиолдолд (х нь хязгааргүй нэмэх хандлагатай байдаг тул) баруун налуу асимптот, хоёр дахь тохиолдолд (х хасах хязгааргүй байх хандлагатай байдаг тул) зүүн ташуу асимптотыг олж авна. Баруун ташуу асимптотыг Зураг дээр үзүүлэв. доор.

Ташуу асимптотын тэгшитгэлийг олохдоо X-ийн нэмэх хязгааргүй ба хасах хязгааргүйд хандах хандлагыг харгалзан үзэх шаардлагатай. Зарим функцүүдийн хувьд, жишээлбэл, бутархай оновчтой функцүүдийн хувьд эдгээр хязгаарууд давхцдаг боловч олон функцүүдийн хувьд эдгээр хязгаарууд өөр бөгөөд тэдгээрийн зөвхөн нэг нь байж болно.

Хэрвээ хязгаарууд давхцаж, x нь хязгааргүй, хасах хязгааргүй байх хандлагатай байвал шулуун шугам y = kx + б нь муруйн хоёр талт асимптот юм.

Хэрэв асимптотыг тодорхойлох хязгаарын нэгээс доошгүй бол y = kx + б , байхгүй бол функцийн графикт ташуу асимптот байхгүй (гэхдээ босоо байрлалтай байж болно).

Хэвтээ асимптот байгааг харахад хялбар байдаг y = бташуу онцгой тохиолдол юм y = kx + бцагт к = 0 .

Тиймээс хэрэв аль нэг чиглэлд муруй нь хэвтээ асимптоттой бол энэ чиглэлд налуу байхгүй ба эсрэгээр.

Жишээ 6.Функцийн графикийн асимптотуудыг ол

Шийдэл. Функц нь бүхэл тоон мөрөнд тодорхойлогддог x= 0, өөрөөр хэлбэл.

Тиймээс эвдрэх цэг дээр x= 0 муруй нь босоо асимптоттой байж болно. Үнэн хэрэгтээ, x нь зүүнээс тэг рүү чиглэж байгаа функцийн хязгаар нь нэмэх хязгаартай тэнцүү байна:

Тиймээс, x= 0 – энэ функцийн графикийн босоо асимптот.

Энэ функцийн график нь хэвтээ асимптотгүй, учир нь функцийн хязгаарыг нэмэх нь хязгааргүйд нэмэх хандлагатай тэнцүү байна:

Ташуу асимптот байгаа эсэхийг олж мэдье.

Хязгаарлагдмал хязгаартай к= 2 ба б= 0. Чигээрээ y = 2xнь энэ функцийн графикийн хоёр талын налуу асимптот юм (жишээний доторх зураг).

Жишээ 7.Функцийн графикийн асимптотуудыг ол

Шийдэл. Функц нь нэг таслах цэгтэй x= −1. Нэг талын хязгаарыг тооцоолж, тасалдлын төрлийг тодорхойлъё.

Дүгнэлт: x= −1 нь хоёр дахь төрлийн тасархай цэг тул шулуун шугам x= −1 нь энэ функцийн графикийн босоо асимптот юм.

Бид ташуу асимптотуудыг хайж байна. Энэ функц нь бутархай-рациональ шинж чанартай тул at болон at хязгаарууд давхцдаг. Тиймээс бид тэгшитгэлд шулуун шугам - ташуу асимптотыг орлуулах коэффициентийг олно.

Олдсон коэффициентүүдийг налуугийн коэффициент бүхий шулуун шугамын тэгшитгэлд орлуулснаар ташуу асимптотын тэгшитгэлийг олж авна.

y = −3x + 5 .

Зураг дээр функцийн графикийг burgundy өнгөөр, асимптотуудыг хараар зааж өгсөн болно.

Жишээ 8.Функцийн графикийн асимптотуудыг ол

Шийдэл. Энэ функц тасралтгүй байдаг тул түүний график нь босоо асимптотгүй. Бид ташуу асимптотуудыг хайж байна:

.

Тиймээс энэ функцийн график нь асимптоттой байна y= 0 үед ба асиптот байхгүй байна.

Жишээ 9.Функцийн графикийн асимптотуудыг ол

Шийдэл. Эхлээд бид босоо асимптотуудыг хайдаг. Үүнийг хийхийн тулд функцийн тодорхойлолтын мужийг олно. Функц нь тэгш бус байх үед тодорхойлогдоно. Хувьсагчийн тэмдэг xтэмдэгтэй таарч байна. Тиймээс эквивалент тэгш бус байдлыг авч үзье. Үүнээс бид функцийн тодорхойлолтын мужийг олж авна. . Босоо асимптот нь зөвхөн функцийн тодорхойлолтын домэйны хил дээр байж болно. Гэхдээ x= 0 нь босоо асимптот байж болохгүй, учир нь функц нь дээр тодорхойлогддог x = 0 .

Баруун гар талын хязгаарыг (зүүн гар талын хязгаарлалт байхгүй) авч үзье.

.

Цэг x= 2 нь хоёр дахь төрлийн тасархай цэг тул шулуун шугам x= 2 - энэ функцийн графикийн босоо асимптот.

Бид ташуу асимптотуудыг хайж байна:

Тэгэхээр, y = x+ 1 - энэ функцийн графикийн ташуу асимптот. Бид ташуу асимптотыг хайж байна:

Тэгэхээр, y = −x − 1 - үед ташуу асимптот .

Жишээ 10.Функцийн графикийн асимптотуудыг ол

Шийдэл. Функц нь тодорхойлолтын мужтай байдаг . Энэ функцийн графикийн босоо асимптот нь зөвхөн тодорхойлолтын мужын хил дээр байж болох тул функцийн нэг талт хязгаарыг -ээс олно.

Функцийн графикийн асимптотууд

Асимптотын сүнс эцэст нь тусдаа нийтлэлд тусгагдахын тулд сайтаар удаан хугацаанд тэнүүчилж, гайхширсан уншигчдад онцгой таашаал авчрах болно. функцийг бүрэн судлах. Графикийн асимптотуудыг олох нь үйл явдал нь тооцооллын эргэн тойронд эргэлддэг тул сургуулийн хичээлд зөвхөн тоймоор тусгагдсан энэ даалгаврын цөөн хэсгүүдийн нэг юм. функцийн хязгаарлалт, гэхдээ тэдгээр нь дээд математикт харьяалагддаг хэвээр байна. Математик анализын талаар багахан ойлголттой зочдод зориулсан зөвлөгөө нь ойлгомжтой гэж бодож байна ;-) ...зогс, зогсоо, хаашаа явах гэж байна? Хязгаарлалт- Энэ нь амар хялбар юм!

Асимптотуудын жишээг анхны хичээл дээр шууд олж мэдсэн энгийн функцүүдийн графикууд, мөн уг сэдвийг одоо нарийвчлан авч үзэж байна.

Тэгэхээр асимптот гэж юу вэ?

Төсөөлөөд үз дээ хувьсах цэг, энэ нь функцийн графикийн дагуу "аялж" байна. Асимптот нь Чигээрээ, хэнд хязгааргүй ойрхонХувьсах цэг нь хязгааргүй рүү шилжих үед функцийн график ойртож байна.

Анхаарна уу : Тодорхойлолт нь утга учиртай тул хэрэв танд тооцооллын тэмдэглэгээний томъёолол хэрэгтэй бол сурах бичигт хандана уу.

Онгоцонд асимптотуудыг байгалийн байршлаар нь ангилдаг.

1) Босоо асимптотууд, "альфа" нь хэлбэрийн тэгшитгэлээр өгөгдсөн бодит тоо. Алдартай төлөөлөгч нь ордны тэнхлэгийг өөрөө тодорхойлдог.
бага зэрэг дотор муухайрах мэдрэмжээр бид гиперболыг санаж байна.

2) Ташуу асимптотуудуламжлал ёсоор бичсэн шулуун шугамын тэгшитгэлөнцгийн коэффициенттэй. Заримдаа онцгой тохиолдлыг тусдаа бүлэг болгон тодорхойлдог. хэвтээ асимптотууд. Жишээлбэл, асимптоттой ижил гипербол.

Хурдан явцгаая, пулемётын богино цохилтоор сэдвийг цохицгооё:

Функцийн график хэдэн асимптоттой байж болох вэ?

Нэг, нэг, хоёр, гурав,... эсвэл хязгааргүй олон биш. Бид жишээ авах гэж хол явахгүй, санацгаая үндсэн функцууд. Парабол, куб парабол, синусын долгионд асимптот огт байдаггүй. Экспоненциал, логарифм функцийн график нь нэг асимптоттой. Арктангенс ба арккотангенс нь хоёртой, тангенс ба котангенс нь хязгааргүй олонтой. График нь хэвтээ ба босоо асимптоттой байх нь ердийн зүйл биш юм. Гипербол, чамайг үргэлж хайрлах болно.

Юу гэж байгаан ?

Функцийн графикийн босоо асимптотууд

Графикийн босоо асимптот нь ихэвчлэн байрладаг хязгааргүй тасрах цэг дээрфункцууд. Энэ нь энгийн: хэрэв тухайн цэг дээр функц хязгааргүй тасалдалтай байвал тэгшитгэлээр тодорхойлсон шулуун шугам нь графикийн босоо асимптот болно.

Анхаарна уу : Бичлэг нь огт өөр хоёр ойлголтыг илэрхийлэхэд ашиглагдаж байгааг анхаарна уу. Цэг нь далдлагдсан эсвэл шулууны тэгшитгэл байх нь контекстээс хамаарна.

Тиймээс нэг цэгт босоо асимптот байгаа эсэхийг тогтоохын тулд үүнийг харуулахад хангалттай ядаж нэгнэг талын хязгаараас хязгааргүй. Ихэнхдээ энэ нь функцийн хуваагч тэг байх цэг юм. Үндсэндээ бид хичээлийн сүүлийн жишээн дээр босоо асимптотуудыг аль хэдийн олсон функцийн тасралтгүй байдлын тухай. Гэхдээ зарим тохиолдолд зөвхөн нэг талын хязгаар байдаг бөгөөд хэрэв энэ нь хязгааргүй бол дахин босоо асимптотыг хайрлаж, илүүд үздэг. Хамгийн энгийн дүрслэл: ординатын тэнхлэг (харна уу. График ба энгийн функцүүдийн шинж чанарууд).

Дээр дурдсанаас харахад тодорхой баримт дараах байдалтай байна. хэрэв функц тасралтгүй асаалттай байвал, тэгвэл босоо асимптот байхгүй болно. Яагаад ч юм парабола санаанд орж ирэв. Үнэхээр энд шулуун шугамыг хаана “наалдуулж” чадах вэ? ...тиймээ... би ойлголоо... Фрейдийн авга дагалдагчид гистерик болсон =)

Эсрэг заалт нь ерөнхийдөө худал байдаг: жишээлбэл, функц нь бүх тооны мөрөнд тодорхойлогдоогүй, харин асимптотоос бүрэн хасагдсан байдаг.

Функцийн графикийн налуу асимптотууд

Хэрэв функцийн аргумент нь "нэмэх хязгааргүй" эсвэл "хасах хязгааргүй" хандлагатай байвал ташуу (тусгай тохиолдолд - хэвтээ) асимптотуудыг зурж болно. Тийм ч учраас Функцийн график нь хоёроос илүү налуу асимптоттой байж болохгүй. Жишээ нь, экспоненциал функцийн график нь -д нэг хэвтээ асимптоттой, харин арктангенсын график нь хоёр ийм асимптоттой, өөр өөр байдаг.

Хоёр газрын график нь нэг ташуу асимптот руу ойртох үед "хязгааргүй" нь ихэвчлэн нэг бичилт дор нэгтгэгддэг. Жишээлбэл, ... та зөв таасан: .

Ерөнхий дүрэм:

Хэрэв хоёр байвал эцсийнхязгаар , тэгвэл шулуун шугам нь функцийн графикийн ташуу асимптот болно. Хэрэв ядаж нэгжагсаасан хязгаарын хязгаар нь хязгааргүй, тэгвэл ташуу асимптот байхгүй болно.

Анхаарна уу : "x" нь зөвхөн "нэмэх хязгааргүй" эсвэл зөвхөн "хасах хязгааргүй" хандлагатай байвал томъёонууд хүчинтэй хэвээр байна.

Параболд ташуу асимптот байхгүй гэдгийг харуулъя.

Хязгаар нь хязгааргүй бөгөөд энэ нь ташуу асимптот байхгүй гэсэн үг юм. Хязгаарыг олохдоо үүнийг анхаарна уу Хариулт нь аль хэдийн ирсэн тул хэрэгцээ алга болсон.

Анхаарна уу : Хэрэв танд нэмэх-хасах, хасах-нэмэх тэмдгийг ойлгоход бэрхшээлтэй байгаа бол (эсвэл тулгарах болно) хичээлийн эхэнд байгаа тусламжийг үзнэ үү.
хязгааргүй жижиг функцууд дээр, Би эдгээр тэмдгүүдийг хэрхэн зөв тайлбарлахыг танд хэлсэн.

Мэдээжийн хэрэг, аливаа квадратын хувьд, куб функц, 4 ба түүнээс дээш зэрэгтэй олон гишүүнт ташуу асимптот байдаггүй.

Одоо графикт ташуу асимптот байхгүй эсэхийг шалгацгаая. Тодорхой бус байдлыг илрүүлэхийн тулд бид ашигладаг Л'Хопиталын дүрэм:
, үүнийг шалгах шаардлагатай байсан.

Функц нь хязгааргүй өсөхөд түүний график ойртох шулуун шугам байхгүй хязгааргүй ойрхон.

Хичээлийн практик хэсэг рүү шилжье:

Функцийн графикийн асимптотуудыг хэрхэн олох вэ?

Ердийн даалгаврыг яг ингэж томъёолдог бөгөөд энэ нь графикийн БҮХ асимптотуудыг (босоо, налуу/хэвтээ) олох явдал юм. Хэдийгээр асуулт тавихдаа илүү нарийвчлалтай байхын тулд бид асимптот байгаа эсэхийг судлах талаар ярьж байна (эцсийн эцэст огт байхгүй байж магадгүй). Энгийн зүйлээс эхэлцгээе:

Жишээ 1

Функцийн графикийн асимптотуудыг ол

ШийдэлҮүнийг хоёр зүйлд хуваахад тохиромжтой:

1) Эхлээд бид босоо асимптот байгаа эсэхийг шалгана. -д хуваагч тэг болж, энэ үед функц хохирч байгаа нь шууд тодорхой болно төгсгөлгүй цоорхой, тэгшитгэлээр өгөгдсөн шулуун шугам нь функцийн графикийн босоо асимптот болно. Гэхдээ ийм дүгнэлт гаргахын өмнө нэг талын хязгаарлалтыг олох шаардлагатай.

Би өгүүлэлд яг адилхан анхаарч байсан тооцооллын техникийг танд сануулж байна Функцийн тасралтгүй байдал. Хагарлын цэгүүд. Хязгаарын тэмдгийн доорх илэрхийлэлд бид . Тоолуурт сонирхолтой зүйл алга:
.

Гэхдээ хуваагч дээр энэ нь гарч ирдэг хязгааргүй бага сөрөг тоо:
, энэ нь хязгаарын хувь заяаг тодорхойлдог.

Зүүн гар талын хязгаар нь хязгааргүй бөгөөд зарчмын хувьд босоо асимптот байгаа эсэх талаар дүгнэлт гаргах боломжтой болсон. Гэхдээ нэг талын хязгаарлалт нь зөвхөн үүнд шаардагдахгүй - тэд ойлгоход тусалдаг ХЭРХЭНФункцийн графикийг олоод түүнийг байгуул ЗӨВ. Тиймээс бид баруун гар талын хязгаарыг тооцоолох ёстой.

Дүгнэлт: нэг талт хязгаар нь хязгааргүй бөгөөд энэ нь шулуун шугам нь функцийн графикийн босоо асимптот гэсэн үг юм.

Эхний хязгаар хязгаарлагдмал, энэ нь "яриагаа үргэлжлүүлэх" шаардлагатай бөгөөд хоёр дахь хязгаарыг олох шаардлагатай гэсэн үг юм.

Хоёр дахь хязгаар нь бас хязгаарлагдмал.

Тиймээс бидний асимптот нь:

Дүгнэлт: тэгшитгэлээр өгөгдсөн шулуун шугам нь функцийн графикийн хэвтээ асимптот болно.

Хэвтээ асимптотыг олохын тулд
Та хялбаршуулсан томъёог ашиглаж болно:

Хэрэв байгаа бол хязгаарлагдмалхязгаар, тэгвэл шулуун шугам нь функцийн графикийн хэвтээ асимптот болно.

Функцийн тоологч ба хуваагч гэдгийг харахад хялбар байдаг өсөлтийн ижил дараалал, энэ нь хайж буй хязгаар нь хязгаарлагдмал байх болно гэсэн үг юм:

Хариулт:

Нөхцөлийн дагуу та зургийг дуусгах шаардлагагүй, гэхдээ бүрэн дүүрэн байгаа бол функциональ судалгаа, дараа нь бид ноорог дээр тэр даруй ноорог зурна.

Гурван олсон хязгаар дээр үндэслэн функцийн график хэрхэн байрлаж болохыг олж мэдэхийг хичээ. Ер нь хэцүү юу? 5-6-7-8 цэгүүдийг олоод зурган дээр тэмдэглэ. Гэхдээ энэ функцын графикийг ашиглан бүтээгдсэн энгийн функцийн графикийн хувиргалт, мөн дээрх нийтлэлийн 21-р жишээг анхааралтай судалж үзсэн уншигчид энэ нь ямар төрлийн муруй болохыг амархан таах боломжтой.

Жишээ 2

Функцийн графикийн асимптотуудыг ол

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Процессыг босоо асимптот ба ташуу асимптот гэсэн хоёр цэгт хуваахад тохиромжтой гэдгийг танд сануулъя. Түүврийн шийдэлд хэвтээ асимптотыг хялбаршуулсан схем ашиглан олно.

Практикт бутархай-рационал функцүүд ихэвчлэн тулгардаг бөгөөд гиперболын талаар сургасны дараа бид даалгаврыг хүндрүүлнэ.

Жишээ 3

Функцийн графикийн асимптотуудыг ол

Шийдэл: Нэг, хоёр, дууссан:

1) Босоо асимптотууд байрладаг хязгааргүй тасалдалтай цэгүүдэд, тиймээс та хуваагч тэг болж байгаа эсэхийг шалгах хэрэгтэй. Ингээд шийдье квадрат тэгшитгэл:

Дискриминант эерэг тул тэгшитгэл нь хоёр бодит язгууртай бөгөөд ажил нь мэдэгдэхүйц нэмэгдсэн =)

Цаашид нэг талт хязгаарыг олохын тулд дөрвөлжин гурвалсан тоог үржүүлэх нь тохиромжтой:
(авсаархан тэмдэглэгээний хувьд "хасах" хэсгийг эхний хаалтанд оруулсан болно). Аюулгүй байхын тулд хаалтуудыг оюун ухаанаар эсвэл ноорог дээр нээх замаар шалгацгаая.

Функцийг хэлбэрээр дахин бичье

Нэг талт хязгаарыг олъё:

Тэгээд цэг дээр:

Тиймээс шулуун шугамууд нь тухайн функцийн графикийн босоо асимптотууд юм.

2) Хэрэв та функцийг харвал , тэгвэл хязгаар нь хязгаарлагдмал байх нь тодорхой бөгөөд бид хэвтээ асимптоттой болно. Түүний оршихуйг товчхон харуулъя:

Тиймээс шулуун шугам (абсцисса тэнхлэг) нь энэ функцийн графикийн хэвтээ асимптот юм.

Хариулт:

Олдсон хязгаар ба асимптотууд нь функцийн графикийн талаар маш их мэдээлэл өгдөг. Дараахь баримтуудыг харгалзан зургийг төсөөлөхийг хичээ.

Графикийн хувилбарыг ноорог дээрээ зур.

Мэдээжийн хэрэг, олсон хязгаарлалтууд нь графикийн харагдах байдлыг тодорхой тодорхойлдоггүй бөгөөд та алдаа гаргаж магадгүй ч дасгал нь өөрөө дасгал хийх явцад үнэлж баршгүй тусламж үзүүлэх болно. бүрэн функциональ судалгаа. Зөв зураг нь хичээлийн төгсгөлд байна.

Жишээ 4

Функцийн графикийн асимптотуудыг ол

Жишээ 5

Функцийн графикийн асимптотуудыг ол

Эдгээр нь бие даасан шийдэлд зориулагдсан ажлууд юм. График хоёулаа дахин хэвтээ асимптотуудтай бөгөөд тэдгээрийг дараах шинж чанаруудаар шууд илрүүлдэг: Жишээ 4-т өсөлтийн дараалалхуваагч илүү, тоологчийн өсөлтийн дарааллаас илүү, жишээ 5-д тоологч ба хуваагч өсөлтийн ижил дараалал. Түүврийн шийдэлд эхний функцийг ташуу асимптотууд байгаа эсэхийг бүрэн, хоёр дахь нь хязгаараар шалгана.

Миний субьектив сэтгэгдэлээр хэвтээ асимптотууд нь "үнэхээр хазайсан"-аас илт илүү түгээмэл байдаг. Удаан хүлээгдэж буй ерөнхий тохиолдол:

Жишээ 6

Функцийн графикийн асимптотуудыг ол

Шийдэл: жанрын сонгодог бүтээлүүд:

1) хуваагч эерэг байх тул функц Үргэлжилсэнбүх тооны шугамын дагуу байх ба босоо асимптот байхгүй. …Сайн байна уу? Зөв үг биш - маш сайн! 1-р цэг хаалттай байна.

2) Ташуу асимптот байгаа эсэхийг шалгая:

Эхний хязгаар хязгаарлагдмал, тэгээд цаашаа явцгаая. Тооцооллын явцад хоёр дахь хязгаарыг арилгах тодорхойгүй байдал "хязгааргүй хасах хязгаар"Бид илэрхийллийг нийтлэг хуваагч руу авчирдаг:

Хоёр дахь хязгаар нь бас хязгаарлагдмалТиймээс тухайн функцийн график нь ташуу асимптоттой байна:

Дүгнэлт:

Ийнхүү функцийн график үед хязгааргүй ойрхоншулуун шугам руу ойртоно:

Энэ нь ташуу асимптотыг гарал үүслээр огтолж байгааг анхаарна уу, ийм огтлолцлын цэгүүд нь хүлээн зөвшөөрөгдөхүйц байдаг - хязгааргүйд "бүх зүйл хэвийн" байх нь чухал (үнэндээ энд бид асимптотуудын тухай ярьж байна).

Жишээ 7

Функцийн графикийн асимптотуудыг ол

Шийдэл: Тайлбарлах онцгой зүйл байхгүй тул би цэвэр шийдлийн ойролцоо жишээг зурах болно:

1) Босоо асимптотууд. Гол санааг нь судалцгаая.

Шулуун шугам нь графын босоо асимптот юм.

2) Ташуу асимптотууд:

Шулуун шугам нь графын налуу асимптот юм.

Хариулт:

Олдсон нэг талын хязгаар ба асимптотууд нь энэ функцийн график ямар харагдахыг маш итгэлтэйгээр таамаглах боломжийг олгодог. Хичээлийн төгсгөлд зөв зурах.

Жишээ 8

Функцийн графикийн асимптотуудыг ол

Энэ бол бие даасан шийдлийн жишээ бөгөөд зарим хязгаарыг тооцоолоход хялбар байхын тулд тоологчийг хуваагч гишүүнээр хувааж болно. Дахин хэлэхэд, үр дүндээ дүн шинжилгээ хийхдээ энэ функцийн графикийг зурж үзээрэй.

Мэдээжийн хэрэг, "жинхэнэ" ташуу асимптотуудын эзэд нь эдгээрийн графикууд юм. бутархай рационал функцууд, тоологчийн өндөр зэрэгтэй дахиад нэгхуваагчийн хамгийн дээд зэрэг. Хэрэв энэ нь илүү байвал ташуу асимптот байхгүй болно (жишээлбэл, ).

Гэхдээ амьдралд бусад гайхамшгууд тохиолддог:

Жишээ 9

Жишээ 11

Асимптот байгаа эсэхийг функцийн графикийг шалгана уу

Шийдэл: Энэ нь ойлгомжтой , тиймээс бид функцийн график байгаа баруун хагас хавтгайг л авч үзнэ.

Тиймээс шулуун шугам (ординатын тэнхлэг) нь функцийн графикийн босоо асимптот болно.

2) Ташуу асимптотын судалгааг бүрэн схемийн дагуу хийж болно, гэхдээ нийтлэлд L'Hopital-ийн дүрэмбид үүнийг олж мэдсэн шугаман функцлогарифмээс илүү өсөлтийн дараалал, тиймээс: (Ижил хичээлийн 1-р жишээг үзнэ үү).

Дүгнэлт: x тэнхлэг нь функцийн графикийн хэвтээ асимптот юм.

Хариулт:
, Хэрэв ;
, Хэрэв .

Тодорхой болгохын тулд зурах:

Ижил төстэй функц нь огт асимптотгүй байдаг нь сонирхолтой юм (хүссэн хүмүүс үүнийг шалгаж болно).

Сүүлийн хоёр жишээ бие даан суралцах:

Жишээ 12

Асимптот байгаа эсэхийг функцийн графикийг шалгана уу

Шийдлийг хоёр цэгт хялбархан хувааж болно:

1) Эхлээд бид босоо асимптот байгаа эсэхийг шалгана. Хуваагч нь тэг рүү очих бөгөөд энэ үед функц хязгааргүй тасалдлыг амсах бөгөөд тэгшитгэлээр тодорхойлсон шулуун шугам нь функцийн графикийн босоо асимптот болох нь шууд тодорхой болно. Гэхдээ ийм дүгнэлт гаргахын өмнө нэг талын хязгаарлалтыг олох шаардлагатай.

"Функцийн тасралтгүй байдал" гэсэн өгүүлэлд мөн адил онцолсон тооцооллын техникийг би танд сануулж байна. Хагарлын цэгүүд. Хязгаарын тэмдгийн доорх илэрхийлэлд "X"-ийг орлуулна. Тоолуурт сонирхолтой зүйл алга:

Гэхдээ хуваагч нь хязгааргүй бага сөрөг тоог үүсгэдэг:

Энэ нь хязгаарын хувь заяаг тодорхойлдог.

Зүүн гар талын хязгаар нь хязгааргүй бөгөөд зарчмын хувьд босоо асимптот байгаа эсэх талаар дүгнэлт гаргах боломжтой болсон. Гэхдээ нэг талт хязгаарлалтууд нь зөвхөн үүнд шаардлагатай биш бөгөөд тэдгээр нь функцийн график хэрхэн байрлаж байгааг ОЙЛГОХ, ЗӨВ бүтээхэд туслана. Тиймээс бид баруун гар талын хязгаарыг тооцоолох ёстой.

Дүгнэлт: нэг талт хязгаар нь хязгааргүй бөгөөд энэ нь шулуун шугам нь at функцийн графикийн босоо асимптот гэсэн үг юм.

Эхний хязгаар нь хязгаарлагдмал бөгөөд энэ нь бид "яриагаа үргэлжлүүлж" хоёр дахь хязгаарыг олох хэрэгтэй гэсэн үг юм.

Хоёр дахь хязгаар нь бас хязгаартай.

Тиймээс бидний асимптот нь:

Дүгнэлт: тэгшитгэлээр тодорхойлсон шулуун шугам нь функцийн графикийн хэвтээ асимптот юм.

Хэвтээ асимптотыг олохын тулд та хялбаршуулсан томъёог ашиглаж болно.

Хэрэв хязгаарлагдмал хязгаар байгаа бол шулуун шугам нь at функцийн графикийн хэвтээ асимптот болно.

Функцийн тоологч ба хуваагч нь ижил өсөлтийн дарааллаар байгааг анзаарахад хялбар байдаг бөгөөд энэ нь хайж буй хязгаар нь төгсгөлтэй байна гэсэн үг юм.

Нөхцөлийн дагуу зураг зурах шаардлагагүй, гэхдээ хэрэв бид функцийг судалж байгаа бол тэр даруй ноорог дээр ноорог зурна.

Олдсон гурван хязгаар дээр үндэслэн функцийн график хэрхэн байрлаж болохыг өөрөө олж мэдээрэй. Ер нь хэцүү юу? 5-6-7-8 цэгүүдийг олоод зурган дээр тэмдэглэ. Гэсэн хэдий ч, энэ функцийн графикийг энгийн функцийн графикийн хувиргалтуудыг ашиглан бүтээсэн бөгөөд энэ өгүүллийн 21-р жишээг анхааралтай судалж үзсэн уншигчид энэ нь ямар төрлийн муруй болохыг хялбархан тааж чадна.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Процесс нь босоо асимптот ба ташуу асимптот гэсэн хоёр цэгт хуваагддаг гэдгийг танд сануулъя. Түүврийн шийдэлд хэвтээ асимптотыг хялбаршуулсан схем ашиглан олно.

Практикт бутархай-рационал функцүүд ихэвчлэн тулгардаг бөгөөд гиперболын талаар сургасны дараа бид даалгаврыг хүндрүүлнэ.

Функцийн графикийн асимптотуудыг ол

Шийдэл: Нэг, хоёр, дууссан:

1) Босоо асимптотууд нь хязгааргүй тасархай цэгүүд дээр байдаг тул хуваагч тэг болж байгаа эсэхийг шалгах хэрэгтэй. Квадрат тэгшитгэлийг шийдье:

Ялгаварлан гадуурхагч нь эерэг тул тэгшитгэл нь хоёр бодит үндэстэй бөгөөд ажил нь мэдэгдэхүйц нэмэгддэг

Цаашид нэг талт хязгаарыг олохын тулд дөрвөлжин гурвалсан тоог үржүүлэх нь тохиромжтой.

(авсаархан тэмдэглэгээний хувьд "хасах" хэсгийг эхний хаалтанд оруулсан болно). Аюулгүй байхын тулд хаалтуудыг оюун ухаанаар эсвэл ноорог дээр нээх замаар шалгацгаая.

Функцийг хэлбэрээр дахин бичье

Нэг талт хязгаарыг олъё:

асимптот график функцийн хязгаар

Тэгээд цэг дээр:

Тиймээс шулуун шугамууд нь тухайн функцийн графикийн босоо асимптотууд юм.

2) Хэрэв та функцийг харвал хязгаар нь хязгаарлагдмал байх нь тодорхой бөгөөд бид хэвтээ асимптоттой болно. Түүний оршихуйг товчхон харуулъя:

Тиймээс шулуун шугам (абсцисса тэнхлэг) нь энэ функцийн графикийн хэвтээ асимптот юм.

Олдсон хязгаар ба асимптотууд нь функцийн графикийн талаар маш их мэдээлэл өгдөг. Дараахь баримтуудыг харгалзан зургийг төсөөлөхийг хичээ.

Графикийн хувилбарыг ноорог дээрээ зур.

Мэдээжийн хэрэг, олсон хязгаарууд нь графикийн харагдах байдлыг тодорхой тодорхойлдоггүй бөгөөд та алдаа гаргаж магадгүй ч дасгал нь өөрөө функцийг бүрэн судлах явцад үнэлж баршгүй тусламж үзүүлэх болно. Зөв зураг нь хичээлийн төгсгөлд байна.

Функцийн графикийн асимптотуудыг ол

Функцийн графикийн асимптотуудыг ол

Эдгээр нь бие даасан шийдэлд зориулагдсан ажлууд юм. Хоёр график дахин хэвтээ асимптотуудтай бөгөөд эдгээрийг дараах шинж чанаруудаар шууд илрүүлдэг: Жишээ 4-т хувагчийн өсөлтийн дараалал нь тоологчийн өсөлтийн дарааллаас их, жишээ 5-д хуваагч ба хуваагч нь өсөлтийн ижил дараалал. Түүврийн шийдэлд эхний функцийг ташуу асимптотуудыг бүрэн хэмжээгээр, хоёрдугаарт - хязгаараар шалгана.

Миний субьектив сэтгэгдэлээр хэвтээ асимптотууд нь "үнэхээр хазайсан"-аас илт илүү түгээмэл байдаг. Удаан хүлээгдэж буй ерөнхий тохиолдол:

Функцийн графикийн асимптотуудыг ол

Шийдэл: жанрын сонгодог:

• 1) Хуваагч эерэг тул функц нь бүх тооны шугамын дагуу тасралтгүй байх ба босоо асимптот байхгүй. …Сайн байна уу? Зөв үг биш - маш сайн! 1-р цэг хаалттай байна.
• 2) Ташуу асимптот байгаа эсэхийг шалгая:

Хоёрдахь хязгаар нь мөн төгсгөлтэй тул тухайн функцийн график нь ташуу асимптоттой байна:

Ийнхүү функцийн график хязгааргүй ойрхон шулуун шугамд ойртох үед.

Энэ нь ташуу асимптотыг гарал үүслээр огтолж байгааг анхаарна уу, ийм огтлолцлын цэгүүд нь хүлээн зөвшөөрөгдөхүйц байдаг - хязгааргүйд "бүх зүйл хэвийн" байх нь чухал (үнэндээ энд бид асимптотуудын тухай ярьж байна).

Функцийн графикийн асимптотуудыг ол

Шийдэл: тайлбар хийх онцгой зүйл байхгүй тул би эцсийн шийдлийн ойролцоо жишээг гаргая:

1) Босоо асимптотууд. Гол санааг нь судалцгаая.

Шулуун шугам нь графын босоо асимптот юм.

2) Ташуу асимптотууд:

Шулуун шугам нь графын налуу асимптот юм.

Олдсон нэг талын хязгаар ба асимптотууд нь энэ функцийн график ямар харагдахыг маш итгэлтэйгээр таамаглах боломжийг олгодог.

Функцийн графикийн асимптотуудыг ол

Энэ бол бие даасан шийдлийн жишээ бөгөөд зарим хязгаарыг тооцоолоход хялбар байхын тулд тоологчийг хуваагч гишүүнээр хувааж болно. Дахин хэлэхэд, үр дүндээ дүн шинжилгээ хийхдээ энэ функцийн графикийг зурж үзээрэй.

Мэдээжийн хэрэг, "бодит" ташуу асимптотуудын эзэд нь тоологчийн тэргүүлэх зэрэг нь хуваарийн тэргүүлэх зэрэгтэй харьцуулахад нэг их байдаг бутархай рационал функцуудын графикууд юм. Хэрэв энэ нь илүү байвал ташуу асимптот байхгүй болно (жишээлбэл).

Гэхдээ амьдралд бусад гайхамшгууд тохиолддог.