Арифметик прогрессийн нийлбэрийг тодорхойлох томъёо. Арифметик прогрессийн нийлбэр

Ингээд суугаад хэдэн тоо бичиж эхэлцгээе. Жишээлбэл:
Та ямар ч тоо бичиж болно, тэдгээрийн аль нь ч байж болно (манай тохиолдолд тэдгээр нь байдаг). Хичнээн тоо бичсэн ч аль нь нэгдүгээрт, аль нь хоёрдугаарт байна гэх мэтээр сүүлчийнх хүртэл хэлж чадна, өөрөөр хэлбэл дугаарлах боломжтой. Энэ бол тооны дарааллын жишээ юм:

Тооны дараалал
Жишээлбэл, бидний дарааллын хувьд:

Өгөгдсөн дугаар нь дарааллын зөвхөн нэг дугаарт зориулагдсан болно. Өөрөөр хэлбэл, дараалалд хоёр дахь гурван тоо байдаггүй. Хоёрдахь тоо (дахь дугаар шиг) үргэлж ижил байдаг.
Тоотой тоог дарааллын 3-р гишүүн гэж нэрлэдэг.

Бид ихэвчлэн дарааллыг бүхэлд нь ямар нэг үсгээр (жишээ нь,) дууддаг бөгөөд энэ дарааллын гишүүн бүр нь энэ гишүүний тоотой тэнцүү индекстэй ижил үсэг байна: .

Манай тохиолдолд:

Бидэнд зэргэлдээх тоонуудын ялгаа нь ижил ба тэнцүү байх тооны дараалал байна гэж бодъё.
Жишээлбэл:

гэх мэт.
Энэ тооны дарааллыг арифметик прогресс гэж нэрлэдэг.
"Прогресс" гэсэн нэр томъёог 6-р зуунд Ромын зохиолч Боэтиус нэвтрүүлсэн бөгөөд өргөн утгаар нь хязгааргүй тооны дараалал гэж ойлгож байжээ. "Арифметик" гэдэг нэр нь эртний Грекчүүдийн судалж байсан тасралтгүй харьцааны онолоос шилжсэн.

Энэ бол гишүүн бүр нь өмнөх тоон дээр нэмсэнтэй тэнцүү тооны дараалал юм. Энэ тоог арифметик прогрессийн ялгавар гэж нэрлэдэг бөгөөд тодорхойлогддог.

Аль тооны дараалал нь арифметик прогресс, аль нь биш болохыг тодорхойлохыг хичээ.

а)
б)
в)
г)

Авчихсан? Хариултаа харьцуулж үзье:
байнаарифметик прогресс - b, c.
Бишарифметик прогресс - a, d.

Өгөгдсөн прогресс () руу буцаж очоод түүний 3-р гишүүний утгыг олохыг хичээцгээе. Байгаа хоёролох арга.

1. Арга

Прогрессийн 3-р гишүүнд хүрэх хүртэл бид прогрессийн тоог өмнөх утгад нэмж болно. Бидэнд нэгтгэн дүгнэх зүйл байхгүй байгаа нь сайн хэрэг - ердөө гурван утга:

Тэгэхээр тайлбарласан арифметик прогрессийн 3-р гишүүн тэнцүү байна.

2. Арга

Прогрессийн гишүүний утгыг олох шаардлагатай бол яах вэ? Дүгнэлт хийхэд нэг цаг гаруй хугацаа шаардагдах бөгөөд бид тоо нэмэхэд алдаа гаргахгүй байх нь үнэн биш юм.
Мэдээжийн хэрэг математикчид арифметик прогрессийн зөрүүг өмнөх утгад нэмэх шаардлагагүй гэсэн аргыг бодож олжээ. Зурсан зургийг сайтар ажиглаарай... Та тодорхой хэв маягийг аль хэдийн анзаарсан байх, тухайлбал:

Жишээлбэл, энэ арифметик прогрессийн 3-р гишүүний утга юунаас бүрдэхийг харцгаая.


Өөрөөр хэлбэл:

Өгөгдсөн арифметик прогрессийн гишүүний утгыг өөрөө ингэж олохыг хичээгээрэй.

Та тооцоолсон уу? Тэмдэглэлээ хариулттай харьцуул.

Өмнөх утга дээр арифметик прогрессийн нөхцөлүүдийг дараалан нэмэх үед та өмнөх аргатай яг ижил тоог авсан болохыг анхаарна уу.
Энэ томъёог "хувь хүнгүй болгох" оролдлого хийцгээе - үүнийг ерөнхий хэлбэрт оруулаад дараахь зүйлийг олж авцгаая.

Арифметик прогрессийн тэгшитгэл.

Арифметик прогресс нь нэмэгдэж эсвэл буурч болно.

Нэмэгдэх- нэр томъёоны дараагийн утга бүр өмнөхөөсөө их байх прогрессууд.
Жишээлбэл:

Бууж байна- нэр томъёоны дараагийн утга бүр өмнөхөөсөө бага байх прогрессууд.
Жишээлбэл:

Гарсан томъёог арифметик прогрессийн өсөлт ба буурах гишүүний аль алиных нь нэр томъёог тооцоолоход ашигладаг.
Үүнийг практик дээр шалгаж үзье.
Бидэнд дараах тоонуудаас бүрдэх арифметик прогресс өгөгдсөн: Хэрэв бид үүнийг тооцоолохдоо томъёогоо ашиглавал энэ арифметик прогрессийн 3-р тоо хэд болохыг шалгая:

Түүнээс хойш:

Тиймээс, томъёо нь арифметик прогрессийн бууралт, өсөлтийн аль алинд нь ажилладаг гэдэгт бид итгэлтэй байна.
Энэ арифметик прогрессийн 3 ба дах гишүүнийг өөрөө олохыг хичээ.

Үр дүнг харьцуулж үзье:

Арифметик прогрессийн шинж чанар

Асуудлыг төвөгтэй болгоё - бид арифметик прогрессийн шинж чанарыг гаргаж авах болно.
Бидэнд дараах нөхцөл өгөгдсөн гэж бодъё.
- арифметик прогресс, утгыг ол.
Хялбар, та аль хэдийн мэддэг томъёоныхоо дагуу тоолж эхэлнэ үү.

За, тэгвэл:

Туйлын зөв. Бид эхлээд олоод, дараа нь эхний тоон дээр нэмээд хайж байгаа зүйлээ олж авдаг. Хэрэв прогрессийг жижиг утгуудаар илэрхийлсэн бол энэ талаар ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй, гэхдээ нөхцөл байдалд тоо өгвөл яах вэ? Зөвшөөрч байна, тооцоололд алдаа гаргах магадлалтай.
Одоо бодоод үз дээ, энэ асуудлыг ямар нэг томъёогоор нэг алхамаар шийдэх боломжтой юу? Мэдээжийн хэрэг тийм, бид үүнийг одоо гаргахыг хичээх болно.

Арифметик прогрессийн шаардлагатай нэр томъёог олох томъёо нь бидэнд мэдэгдэж байгаа гэж тэмдэглэе - энэ бол бидний эхэнд гаргасан томъёо юм.
, Дараа нь:

• Прогрессийн өмнөх хугацаа нь:
• явцын дараагийн хугацаа нь:

Прогрессийн өмнөх болон дараагийн нөхцлүүдийг нэгтгэн дүгнэж үзье:

Прогрессийн өмнөх ба дараагийн нөхцлүүдийн нийлбэр нь тэдгээрийн хооронд байрлах прогрессийн гишүүний давхар утга болох нь харагдаж байна. Өөрөөр хэлбэл, мэдэгдэж буй өмнөх болон дараалсан утгатай прогрессийн гишүүний утгыг олохын тулд тэдгээрийг нэмж, хуваах хэрэгтэй.

Тийм ээ, бид ижил дугаарыг авсан. Материалыг хамгаалцгаая. Хөгжил дэвшлийн үнэ цэнийг өөрөө тооцоол, энэ нь тийм ч хэцүү биш юм.

Сайн хийлээ! Та ахиц дэвшлийн талаар бараг бүгдийг мэддэг! Домогт өгүүлснээр бүх цаг үеийн хамгийн агуу математикчдын нэг, "математикчдын хаан" Карл Гаусс амархан гаргаж ирсэн нэг томьёог олж мэдэх л үлдлээ...

Карл Гауссыг 9 настай байхад бусад ангийн сурагчдын ажлыг шалгах завгүй нэгэн багш ангидаа дараах бодлогыг асуув: "Бүх дүнгийн нийлбэрийг тооцоол. натурал тоонууд-аас (бусад эх сурвалжийн мэдээлснээр) хүртэл." Түүний шавь нарын нэг нь (энэ нь Карл Гаусс байсан) нэг минутын дараа даалгаварт зөв хариулт өгөхөд багшийн гайхшралыг төсөөлөөд үз дээ, ангийн ихэнх хүүхдүүд удаан тооцоолсны эцэст буруу үр дүн авсан ...

Залуу Карл Гаусс та амархан анзаарч болох тодорхой хэв маягийг анзаарсан.
Бидэнд --р гишүүнчлэлээс бүрдэх арифметик прогресс байна гэж бодъё: Бид арифметик прогрессийн эдгээр гишүүний нийлбэрийг олох хэрэгтэй. Мэдээжийн хэрэг, бид бүх утгыг гараар нэгтгэж болно, гэхдээ хэрэв даалгавар нь Гауссын хайж байсан шиг түүний нөхцлийн нийлбэрийг олох шаардлагатай бол яах вэ?

Бидэнд өгөгдсөн дэвшлийг дүрсэлцгээе. Тодруулсан тоонуудыг сайтар ажиглаж, тэдэнтэй янз бүрийн математикийн үйлдлүүдийг хийхийг хичээ.


Та туршиж үзсэн үү? Та юу анзаарсан бэ? Зөв! Тэдний нийлбэр тэнцүү байна

Одоо надад хэлээч, бидэнд өгсөн прогрессод нийт хэдэн ийм хос байдаг вэ? Мэдээжийн хэрэг, бүх тооны яг тэн хагас нь, тэр нь.
Арифметик прогрессийн хоёр гишүүний нийлбэр тэнцүү, ижил төстэй хосууд тэнцүү байгааг үндэслэн бид нийт нийлбэр нь дараахтай тэнцүү байна.
.
Тиймээс аливаа арифметик прогрессийн эхний гишүүдийн нийлбэрийн томъёо нь:

Зарим асуудлын хувьд бид 2-р нэр томъёог мэдэхгүй ч дэвшлийн ялгааг мэддэг. Нийлбэрийн томъёонд 3-р гишүүний томьёог орлуулахыг хичээ.
Та юу авсан бэ?

Сайн хийлээ! Одоо Карл Гауссаас асуусан бодлого руугаа буцъя: th-ээс эхэлсэн тоонуудын нийлбэр хэдтэй тэнцүү, th-ээс эхэлсэн тоонуудын нийлбэр хэдтэй тэнцүү болохыг өөрөө тооцоол.

Та хэд авсан бэ?
Гаусс нэр томъёоны нийлбэр нь тэнцүү, гишүүний нийлбэр нь тэнцүү болохыг олж мэдэв. Чи ингэж шийдсэн юм уу?

Чухамдаа арифметик прогрессийн гишүүний нийлбэрийн томьёог эртний Грекийн эрдэмтэн Диофант 3-р зуунд нотолсон бөгөөд энэ хугацаанд сэргэлэн хүмүүс арифметик прогрессийн шинж чанарыг бүрэн ашиглаж байжээ.
Жишээлбэл, төсөөлөөд үз дээ Эртний Египетмөн тэр үеийн хамгийн том бүтээн байгуулалт - пирамид барих... Зурагт нэг талыг нь харуулжээ.

Энд ахиц дэвшил хаана байна гэж та хэлж байна уу? Анхааралтай ажиглаж, пирамидын хананы эгнээ тус бүрийн элс блокуудын тоог олоорой.


Яагаад арифметик прогресс байж болохгүй гэж? Суурь дээр блок тоосго тавьсан бол нэг ханыг барихад хичнээн блок шаардлагатайг тооцоол. Та хуруугаа дэлгэцэн дээр хөдөлгөж байхдаа тоолохгүй байх гэж найдаж байна, та сүүлийн томъёо болон арифметик прогрессийн талаар бидний хэлсэн бүх зүйлийг санаж байна уу?

Энэ тохиолдолд явц нь дараах байдлаар харагдана.
Арифметик прогрессийн ялгаа.
Арифметик прогрессийн гишүүний тоо.
Өгөгдлөө сүүлийн томъёонд орлъё (блокуудын тоог 2 аргаар тооцоол).

Арга 1.

Арга 2.

Одоо та монитор дээр тооцоолж болно: олж авсан утгыг манай пирамид дахь блокуудын тоотой харьцуулна уу. Авчихсан? Сайн байна, та арифметик прогрессийн n-р гишүүний нийлбэрийг эзэмшсэн байна.
Мэдээжийн хэрэг, та суурин дээрх блокуудаас пирамид барьж чадахгүй, гэхдээ юу? Ийм нөхцөлд хана барихад хичнээн элс тоосго хэрэгтэйг тооцоолохыг хичээ.
Та удирдаж чадсан уу?
Зөв хариулт нь блокууд юм:

Сургалт

Даалгаварууд:

1. Маша зуны улиралд бие галбиртай болж байна. Өдөр бүр тэр squat хийх тоог нэмэгдүүлнэ. Хэрэв Маша эхний бэлтгэл дээр суулт хийсэн бол долоо хоногт хэдэн удаа суулт хийх вэ?
2. Бүх сондгой тоонуудын нийлбэр хэд вэ?
3. Бүртгэлийг хадгалахдаа мод бэлтгэгчид дээд давхарга бүр өмнөхөөсөө нэг гуалин багатай байхаар тэдгээрийг давхарлана. Хэрэв өрлөгийн суурь нь гуалин байвал нэг өрлөгт хэдэн лог байдаг вэ?

Хариултууд:

1. Арифметик прогрессийн параметрүүдийг тодорхойлъё. Энэ тохиолдолд
   (долоо хоног = хоног).

   Хариулт:Хоёр долоо хоногийн дотор Маша өдөрт нэг удаа squat хийх ёстой.

2. Эхний сондгой тоо, сүүлчийн тоо.
   Арифметик прогрессийн ялгаа.
   Сондгой тооны тоо нь тал хувь боловч арифметик прогрессийн 3-р гишүүнийг олох томъёогоор энэ баримтыг шалгая.

   Тоонууд нь сондгой тоог агуулдаг.
   Боломжтой өгөгдлийг томъёонд орлъё:

   Хариулт:Үүнд агуулагдах бүх сондгой тоонуудын нийлбэр тэнцүү байна.

3. Пирамидын тухай асуудлыг санацгаая. Манай тохиолдолд, a , дээд давхарга бүр нэг гуалинаар багасдаг тул нийтдээ олон тооны давхарга байдаг, өөрөөр хэлбэл.
   Өгөгдлийг томъёонд орлъё:

   Хариулт:Өрлөгт логууд байдаг.

Үүнийг нэгтгэн дүгнэе

1. - зэргэлдээх тоонуудын ялгаа нь ижил ба тэнцүү байх тооны дараалал. Энэ нь нэмэгдэж эсвэл буурч болно.
2. Томъёо олохАрифметик прогрессийн 3-р гишүүнийг - томьёогоор бичнэ, энд прогресс дахь тооны тоо байна.
3. Арифметик прогрессийн гишүүдийн өмч- - явц дахь тоонуудын тоо хаана байна.
4. Арифметик прогрессийн гишүүний нийлбэрхоёр аргаар олж болно:
   
   , утгын тоо хаана байна.

АРИФМЕТИК ПРОГРЕСС. ДУНДАЖ ТҮВШИН

Тооны дараалал

Суугаад хэдэн тоо бичиж эхэлцгээе. Жишээлбэл:

Та ямар ч тоо бичиж болно, тэдгээрийн тоо нь таны хүссэнээр байж болно. Гэхдээ бид аль нь нэгдүгээрт, аль нь хоёрдугаарт байна гэх мэтээр үргэлж хэлж чадна, өөрөөр хэлбэл бид тэдгээрийг дугаарлаж болно. Энэ бол тооны дарааллын жишээ юм.

Тооны дараалалнь тоонуудын багц бөгөөд тус бүрд нь өвөрмөц дугаар өгч болно.

Өөрөөр хэлбэл, тоо бүрийг тодорхой натурал тоо, өвөрмөц тоотой холбож болно. Мөн бид энэ дугаарыг энэ багцаас өөр ямар ч дугаарт өгөхгүй.

Тоотой тоог дарааллын 3-р гишүүн гэнэ.

Бид ихэвчлэн дарааллыг бүхэлд нь ямар нэг үсгээр (жишээ нь,) дууддаг бөгөөд энэ дарааллын гишүүн бүр нь энэ гишүүний тоотой тэнцүү индекстэй ижил үсэг байна: .

Хэрэв дарааллын 3-р гишүүнийг ямар нэг томъёогоор зааж өгөх нь маш тохиромжтой. Жишээлбэл, томъёо

дарааллыг тогтооно:

Мөн томъёо нь дараах дараалалтай байна.

Жишээлбэл, арифметик прогресс нь дараалал юм (энд эхний гишүүн нь тэнцүү, ялгаа нь). Эсвэл (, ялгаа).

n-р хугацааны томъёо

Бид давтагдах томьёог гэж нэрлэдэг бөгөөд 2-р гишүүнийг олохын тулд өмнөх эсвэл хэд хэдэн өмнөхийг мэдэх шаардлагатай.

Жишээлбэл, энэ томъёог ашиглан прогрессийн 3-р гишүүнийг олохын тулд бид өмнөх есийг тооцоолох хэрэгтэй болно. Жишээлбэл, үүнийг зөвшөөр. Дараа нь:

За, одоо ямар томъёолол байгаа нь тодорхой болов уу?

Мөр бүрт бид нэмж, зарим тоогоор үржүүлнэ. Аль нь? Маш энгийн: энэ нь одоогийн гишүүний тоо хасагдсан:

Одоо хамаагүй илүү тохиромжтой, тийм үү? Бид шалгаж байна:

Өөрийнхөө төлөө шийд:

Арифметик прогрессийн n-р гишүүний томьёог олоод зуу дахь гишүүнийг ол.

Шийдэл:

Эхний гишүүн нь тэнцүү байна. Ялгаа нь юу вэ? Энд юу вэ:

(Ийм учраас энэ нь прогрессийн дараалсан нөхцлүүдийн зөрүүтэй тэнцүү учраас ялгаа гэж нэрлэдэг).

Тиймээс, томъёо:

Дараа нь зуу дахь гишүүн нь:

-аас хүртэлх бүх натурал тоонуудын нийлбэр хэд вэ?

Домогт өгүүлснээр агуу математикч Карл Гаусс 9 настай байхдаа хэдхэн минутын дотор энэ хэмжээг тооцоолжээ. Тэрээр эхний болон сүүлчийн тооны нийлбэр тэнцүү, хоёр дахь болон эцсийн өмнөх тоонуудын нийлбэр ижил, төгсгөлөөс гурав, гурав дахь тоонуудын нийлбэр ижил байна гэх мэтийг анзаарсан. Нийт хэдэн ийм хос байдаг вэ? Энэ нь зөв, бүх тоонуудын яг хагас нь, өөрөөр хэлбэл. Тэгэхээр,

Аливаа арифметик прогрессийн эхний гишүүдийн нийлбэрийн ерөнхий томъёо нь:

Жишээ:
Бүх хоёр оронтой үржвэрийн нийлбэрийг ол.

Шийдэл:

Эхний ийм тоо бол энэ юм. Дараагийн дугаар бүрийг өмнөх тоон дээр нэмэх замаар олж авна. Ийнхүү бидний сонирхож буй тоонууд эхний гишүүн болон зөрүүтэй арифметик прогресс үүсгэдэг.

Энэ прогрессийн 3-р гишүүний томъёо:

Хэрэв бүгд хоёр оронтой байх ёстой бол дэвшилд хэдэн гишүүн байх вэ?

Маш амархан: .

Прогрессийн сүүлчийн хугацаа тэнцүү байх болно. Дараа нь нийлбэр:

Хариулт: .

Одоо өөрөө шийд:

1. Тамирчин өдөр бүр өмнөх өдрөөсөө илүү метр гүйдэг. Тэр эхний өдөр км м гүйсэн бол долоо хоногт нийт хэдэн км гүйх вэ?
2. Дугуйчин өдөр бүр өмнөх өдрөөсөө илүү олон км замыг туулдаг. Эхний өдөр тэр км замыг туулсан. Тэр км замыг туулахын тулд хэдэн өдөр явах ёстой вэ? Тэрээр аяллынхаа сүүлчийн өдөр хэдэн км замыг туулах вэ?
3. Дэлгүүрт байгаа хөргөгчний үнэ жил бүр ижил хэмжээгээр буурдаг. Зургаан жилийн дараа рублиэр зарагдсан хөргөгчний үнэ жил бүр хэдэн төгрөгөөр буурч байсныг тодорхойл.

Хариултууд:

1. Энд хамгийн чухал зүйл бол арифметик прогрессийг таньж, түүний параметрүүдийг тодорхойлох явдал юм. Энэ тохиолдолд (долоо хоног = хоног). Та энэ прогрессийн эхний нөхцлийн нийлбэрийг тодорхойлох хэрэгтэй.
   .
   Хариулт:
2. Энд өгөгдсөн: , заавал олдох ёстой.
   Мэдээжийн хэрэг, та өмнөх бодлоготой ижил нийлбэрийн томъёог ашиглах хэрэгтэй:
   .
   Утгыг орлуулах:

   Үндэс нь тохирохгүй нь ойлгомжтой тул хариулт нь ийм байна.
   Сүүлийн өдрийн туулсан замыг 2-р гишүүний томъёогоор тооцоолъё.
   (км).
   Хариулт:

3. Өгөгдсөн: . олох: .
   Энэ нь илүү энгийн байж болохгүй:
   (үрэх).
   Хариулт:

АРИФМЕТИК ПРОГРЕСС. ГОЛ ЗҮЙЛИЙН ТУХАЙ ТОВЧХОН

Энэ нь зэргэлдээх тоонуудын ялгаа нь ижил бөгөөд тэнцүү байх тооны дараалал юм.

Арифметик прогресснэмэгдэж () ба буурах () байж болно.

Жишээлбэл:

Арифметик прогрессийн n-р гишүүнийг олох томъёо

томьёогоор бичигдэнэ, энд прогресс дахь тооны тоо байна.

Арифметик прогрессийн гишүүдийн өмч

Энэ нь хөрш зэргэлдээх нөхцлүүд нь мэдэгдэж байгаа бол прогрессийн гишүүнийг хялбархан олох боломжийг олгодог - прогресс дахь тооны тоо хаана байна.

Арифметик прогрессийн гишүүний нийлбэр

Хэмжээг олох хоёр арга бий:

Утгын тоо хаана байна.

Утгын тоо хаана байна.

ҮЛДСЭН 2/3 НИЙТЛЭЛИЙГ ЗӨВХӨН ЗӨВХӨН ЗӨВХӨН ОЮУТНУУД ТАНД ХИЙХ БОЛОМЖТОЙ!

YouClever оюутан болоорой,

Улсын нэгдсэн шалгалт эсвэл математикийн улсын нэгдсэн шалгалтанд "сард нэг аяга кофе" -ны үнээр бэлдээрэй.

Мөн "YouClever" сурах бичиг, "100gia" Бэлтгэл хөтөлбөр (ажлын дэвтэр) -ийг хязгааргүй авах боломжтой. шүүх Улсын нэгдсэн шалгалтболон OGE, шийдэл болон бусад үйлчилгээ YouClever болон 100gia дүн шинжилгээ хийх 6000 асуудал.

Анхаар!
Нэмэлт байдаг
Тусгай хэсгийн 555 дахь материал.
Маш "их биш..." хүмүүст зориулав.
Мөн "маш их ..." гэсэн хүмүүст)

Арифметик прогресс гэдэг нь тоо тус бүр өмнөхөөсөө ижил хэмжээгээр их (эсвэл бага) тоонуудын цуваа юм.

Энэ сэдэв нь ихэвчлэн төвөгтэй, ойлгомжгүй мэт санагддаг. Үсгийн индексүүд n-р улиралпрогресс, прогрессийн ялгаа - энэ бүхэн ямар нэгэн байдлаар будлиантай байна, тийм ээ... Арифметик прогрессийн утгыг олж мэдье, тэгвэл бүх зүйл тэр дороо сайжирна.)

Арифметик прогрессийн тухай ойлголт.

Арифметик прогресс бол маш энгийн бөгөөд ойлгомжтой ойлголт юм. Танд эргэлзээ байна уу? дэмий л.) Өөрөө хараарай.

Би дуусаагүй цуврал тоо бичнэ:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Та энэ цувралыг сунгаж чадах уу? Тавын дараа ямар тоо гарах вэ? Хүн бүр... өө..., товчхондоо 6, 7, 8, 9 гэх мэт тоонууд дараа нь ирнэ гэдгийг бүгд ойлгох болно.

Даалгаврыг хүндрүүлье. Би танд дуусаагүй цуврал тоонуудыг өгч байна:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Та загварыг барьж, цувралыг сунгаж, нэрлэх боломжтой болно долоо дахьэгнээний дугаар?

Хэрэв та энэ тоо 20 гэдгийг ойлгосон бол баяр хүргэе! Та зөвхөн мэдэрсэнгүй арифметик прогрессийн гол цэгүүд,гэхдээ тэдгээрийг бизнест амжилттай ашигласан! Хэрэв та үүнийг ойлгоогүй бол үргэлжлүүлэн уншина уу.

Одоо мэдрэмжээс үндсэн санааг математикт хөрвүүлцгээе.)

Эхний гол цэг.

Арифметик прогресс нь тоонуудын цувааг хэлнэ.Энэ нь эхэндээ төөрөгдөлд ордог. Бид тэгшитгэлийг шийдэж, график зурж, энэ бүхэнд дассан ... Гэхдээ энд бид цувралыг сунгаж, цувралын дугаарыг олоорой ...

Зүгээр дээ. Прогресс нь математикийн шинэ салбартай анхны танилцах явдал юм. Хэсгийг "Цуврал" гэж нэрлэдэг бөгөөд тусгайлан тоо, илэрхийллийн цувралаар ажилладаг. Үүнд дас.)

Хоёр дахь гол цэг.

Арифметик прогрессийн хувьд дурын тоо өмнөх тооноос өөр байна ижил хэмжээгээр.

Эхний жишээнд энэ ялгаа нь нэг юм. Ямар ч тоог авсан өмнөхөөсөө нэгээр илүү байна. Хоёр дахь нь - гурав. Аль ч тоо өмнөхөөсөө гурваар их байна. Чухамдаа яг энэ мөч нь бидэнд загварыг ойлгож, дараагийн тоог тооцоолох боломжийг олгодог.

Гурав дахь гол цэг.

Энэ мөч гайхалтай биш, тиймээ ... Гэхдээ энэ нь маш чухал юм. Тэр энд байна: Прогрессийн тоо бүр өөрийн байранд байна.Эхний тоо байдаг, долоо дахь нь байдаг, дөчин тав дахь нь байдаг гэх мэт. Хэрэв та тэдгээрийг санамсаргүй байдлаар холивол загвар алга болно. Арифметик прогресс мөн алга болно. Үлдсэн зүйл нь зөвхөн цуваа тоо юм.

Энэ бол бүх зүйл.

Мэдээжийн хэрэг, in шинэ сэдэвшинэ нэр томъёо, нэр томъёо гарч ирэв. Та тэднийг мэдэх хэрэгтэй. Үгүй бол та даалгаврыг ойлгохгүй. Жишээлбэл, та дараахь зүйлийг шийдэх хэрэгтэй болно.

Арифметик прогрессийн (a n) эхний зургаан гишүүнийг бичнэ үү, хэрэв a 2 = 5, d = -2.5.

Урам зориг өгч байна уу?) Захидал, зарим индекс ... Мөн даалгавар нь илүү хялбар байж чадахгүй. Та зүгээр л нэр томъёо, тэмдэглэгээний утгыг ойлгох хэрэгтэй. Одоо бид энэ асуудлыг эзэмшиж, даалгавар руугаа буцах болно.

Нэр томъёо, нэр томъёо.

Арифметик прогрессЭнэ нь тоо бүр өмнөхөөсөө ялгаатай тоонуудын цуваа юм ижил хэмжээгээр.

Энэ хэмжээг гэж нэрлэдэг . Энэ ойлголтыг илүү нарийвчлан авч үзье.

Арифметик прогрессийн ялгаа.

Арифметик прогрессийн ялгаагэдэг нь аливаа прогрессийн тоо юм илүүөмнөх нэг.

Нэг чухал цэг. Үгэнд анхаарлаа хандуулна уу "илүү".Математикийн хувьд энэ нь прогрессийн тоо бүр байна гэсэн үг юм нэмэх замаарөмнөх тооноос арифметик прогрессийн зөрүү.

Тооцоолохын тулд хэлье хоёрдугаартцувралын дугаар, та хэрэгтэй эхлээдтоо нэмэхэнэ нь арифметик прогрессийн ялгаа юм. Тооцооллын хувьд тав дахь- ялгаа зайлшгүй шаардлагатай нэмэхруу дөрөв дэх,сайн гэх мэт.

Арифметик прогрессийн ялгааБайж магадгүй эерэг,дараа нь цувралын тоо бүр бодит болж хувирна өмнөхөөсөө илүү.Энэ дэвшил гэж нэрлэдэг нэмэгдэх.Жишээлбэл:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Энд тоо бүрийг олж авна нэмэх замаарэерэг тоо, өмнөх нэг рүү +5.

Ялгаатай байж болно сөрөг,Дараа нь цувралын тоо бүр байх болно өмнөхөөсөө бага.Энэ дэвшил гэж нэрлэгддэг (та үүнд итгэхгүй байх болно!) буурч байна.

Жишээлбэл:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Эндээс тоо бүрийг бас авдаг нэмэх замаарөмнөх, гэхдээ аль хэдийн сөрөг тоо, -5.

Дашрамд хэлэхэд, дэвшилттэй ажиллахдаа түүний мөн чанарыг нэн даруй тодорхойлох нь маш ашигтай байдаг - энэ нь нэмэгдэж байгаа эсвэл буурч байгаа эсэх. Энэ нь шийдвэр гаргах, алдаагаа олж илрүүлэх, хэтэрхий оройтохоос өмнө засахад маш их тусалдаг.

Арифметик прогрессийн ялгааихэвчлэн үсгээр тэмдэглэдэг г.

Яаж олох вэ г? Маш энгийн. Цувралын аль ч тооноос хасах шаардлагатай өмнөхтоо. Хасах. Дашрамд хэлэхэд, хасах үр дүнг "ялгаа" гэж нэрлэдэг.)

Жишээлбэл, тодорхойлъё. гАрифметик прогрессийг нэмэгдүүлэхийн тулд:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Бид хүссэн цувралынхаа аль ч тоог авдаг, жишээ нь 11. Бид үүнээс хасдаг өмнөх дугаартэдгээр. 8:

Энэ бол зөв хариулт юм. Энэхүү арифметик прогрессийн хувьд ялгаа нь гурав байна.

Та авч болно аливаа дэвшлийн тоо,учир нь тодорхой дэвшлийн хувьд d-үргэлж ижил.Ядаж хаа нэгтээ эгнээний эхэнд, ядаж дунд нь, ядаж хаа нэгтээ. Та зөвхөн эхний тоог авч болохгүй. Зүгээр л эхний тоо учраас өмнөх байхгүй.)

Дашрамд хэлэхэд үүнийг мэдэж байгаа d=3, энэ прогрессийн долоо дахь тоог олох нь маш энгийн. Тав дахь тоо дээр 3-ыг нэмье - бид зургаа дахь тоог авна, энэ нь 17 болно. Зургаа дахь тоо дээр гурвыг нэмье, бид долоо дахь тоо - хориныг авна.

Тодорхойлъё гбуурах арифметик прогрессийн хувьд:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Шинж тэмдгүүдээс үл хамааран тодорхойлохыг танд сануулж байна гямар ч дугаараас хэрэгтэй өмнөхийг нь ав.Дурын прогрессийн тоог сонгоно уу, жишээ нь -7. Түүний өмнөх тоо -2. Дараа нь:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Арифметик прогрессийн ялгаа нь ямар ч тоо байж болно: бүхэл тоо, бутархай, иррационал, дурын тоо.

Бусад нэр томъёо, тэмдэглэгээ.

Цуврал дахь дугаар бүрийг дууддаг арифметик прогрессийн гишүүн.

Прогрессийн гишүүн бүр өөрийн гэсэн дугаартай.Тоонууд нь ямар ч заль мэхгүйгээр хатуу дарааллаар байна. Эхний, хоёр, гурав, дөрөв гэх мэт. Жишээлбэл, 2, 5, 8, 11, 14, ... хоёр нь эхний гишүүн, тав нь хоёрдугаарт, арван нэг нь дөрөв дэх, за, та ойлгож байна ...) Тодорхой ойлгоно уу - тоонууд өөрсдөөтуйлын юу ч байж болно, бүхэл, бутархай, сөрөг, юу ч байж болно, гэхдээ тоонуудын дугаарлалт- хатуу дарааллаар!

Прогрессийг хэрхэн бичих вэ ерөнхий үзэл? Асуудалгүй! Цувралын тоо бүр үсэг хэлбэрээр бичигдсэн байдаг. Арифметик прогрессийг илэрхийлэхийн тулд үсгийг ихэвчлэн ашигладаг а. Гишүүний дугаарыг баруун доод талд байгаа индексээр заана. Бид нэр томъёог таслалаар (эсвэл цэг таслалаар) дараах байдлаар бичдэг.

1, 2, 3, 4, 5, .....

a 1- энэ бол эхний тоо, a 3- гурав дахь гэх мэт. Гоёмсог зүйл байхгүй. Энэ цувралыг дараах байдлаар товчхон бичиж болно. (а н).

Хөгжил дэвшил гардаг хязгаарлагдмал ба хязгааргүй.

Эцсийндэвшил нь цөөн тооны гишүүдтэй. Тав, гучин найм, юу ч байсан. Гэхдээ энэ бол хязгаартай тоо.

Хязгааргүйдэвшил - таны таамаглаж байгаачлан хязгааргүй тооны гишүүдтэй.)

Та бүх нэр томьёо болон төгсгөлд нь цэг тавьж дараах байдлаар эцсийн явцыг бичиж болно.

1, 2, 3, 4, 5.

Эсвэл ийм олон гишүүн байвал:

a 1, a 2, ... a 14, a 15.

Богино бичлэгт та гишүүдийн тоог нэмж оруулах шаардлагатай болно. Жишээлбэл (хорин гишүүний хувьд) дараах байдалтай байна.

(a n), n = 20

Хязгааргүй прогрессийг энэ хичээлийн жишээнүүдийн адил эгнээний төгсгөлд байгаа эллипсээр таньж болно.

Одоо та даалгавруудыг шийдэж чадна. Даалгаврууд нь энгийн бөгөөд зөвхөн арифметик прогрессийн утгыг ойлгоход зориулагдсан.

Арифметик прогрессийн даалгаврын жишээ.

Дээр өгөгдсөн даалгаврыг нарийвчлан авч үзье.

1. Арифметик прогрессийн (a n) эхний зургаан гишүүнийг бичнэ үү, хэрэв a 2 = 5, d = -2.5.

Бид даалгаврыг ойлгомжтой хэлээр орчуулдаг. Хязгааргүй арифметик прогресс өгөгдсөн. Энэ дэвшлийн хоёр дахь тоо мэдэгдэж байна: a 2 = 5.Явцын ялгаа нь мэдэгдэж байна: d = -2.5.Бид энэ дэвшлийн эхний, гурав, дөрөв, тав, зургаа дахь гишүүнийг олох хэрэгтэй.

Тодорхой болгохын тулд би асуудлын нөхцлийн дагуу цуврал бичих болно. Эхний зургаан нэр томъёо, хоёр дахь хугацаа нь тав байна:

1, 5, 3, 4, 5, 6,....

a 3 = a 2 + г

Илэрхийлэлд орлуулах a 2 = 5Тэгээд d = -2.5. Хасах талаар бүү мартаарай!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Гурав дахь хугацаа нь хоёр дахь хугацаанаас бага болсон. Бүх зүйл логиктой. Хэрэв энэ тоо өмнөхөөсөө их байвал сөрөгутга, энэ нь тоо нь өмнөхөөсөө бага байх болно гэсэн үг юм. Ахиц дэвшил буурч байна. За, үүнийг анхаарч үзье.) Бид цувралынхаа дөрөв дэх гишүүнийг тоолно:

a 4 = a 3 + г

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

а 5 = a 4 + г

а 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = а 5 + г

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Ингээд гурав, зургаа хүртэлх хугацааг тооцсон. Үр дүн нь дараах цуврал юм.

a 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....

Эхний нэр томъёог олоход л үлдлээ a 1сайн мэдэх хоёр дахь дагуу. Энэ нь нөгөө чиглэлд, зүүн тийшээ алхам юм.) Тэгэхээр арифметик прогрессийн зөрүү г-д нэмж болохгүй a 2, А авч явах:

a 1 = a 2 - г

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Ингээд л болоо. Даалгаврын хариулт:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Энэ даалгаврыг бид шийдэж чадсан гэдгийг энд тэмдэглэхийг хүсч байна давтагдахарга зам. Энэ аймшигт үг нь зөвхөн дэвшилтийн гишүүнийг хайх гэсэн үг юм өмнөх (зэргэлдээх) дугаарын дагуу.Доор бид ахиц дэвшилтэй ажиллах бусад аргуудыг авч үзэх болно.

Энэхүү энгийн даалгавраас нэг чухал дүгнэлт хийж болно.

Санаж байна уу:

Хэрэв бид ядаж нэг гишүүн ба арифметик прогрессийн зөрүүг мэддэг бол энэ прогрессийн аль ч гишүүнийг олж чадна.

Чи санаж байна уу? Энэхүү энгийн дүгнэлт нь энэ сэдвээр сургуулийн хичээлийн ихэнх асуудлыг шийдвэрлэх боломжийг танд олгоно. Бүх ажил гурван үндсэн параметрийг тойрон эргэлддэг: арифметик прогрессийн гишүүн, прогрессийн ялгавар, прогрессийн гишүүний тоо.Бүгд.

Мэдээжийн хэрэг, өмнөх бүх алгебрыг хүчингүй болгохгүй.) Тэгш бус байдал, тэгшитгэл болон бусад зүйлсийг прогрессид хавсаргасан. Гэхдээ явцынх нь дагуу- бүх зүйл гурван параметрийн эргэн тойронд эргэлддэг.

Жишээлбэл, энэ сэдвээр алдартай зарим даалгавруудыг авч үзье.

2. n=5, d = 0.4, a 1 = 3.6 бол төгсгөлтэй арифметик прогрессийг цуваа хэлбэрээр бич.

Энд бүх зүйл энгийн. Бүх зүйлийг аль хэдийн өгсөн. Та арифметик прогрессийн гишүүдийг хэрхэн тоолж, тоолж, бичихийг санаж байх хэрэгтэй. Даалгаврын нөхцөлд "эцсийн" ба "" гэсэн үгсийг алдахгүй байхыг зөвлөж байна. n=5". Нүүрээ бүрэн хөхрөх хүртэл тоолохгүйн тулд.) Энэ дэвшилд ердөө 5 (таван) гишүүн байна:

a 2 = a 1 + d = 3.6 + 0.4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0.4 = 4.4

a 4 = a 3 + d = 4.4 + 0.4 = 4.8

а 5 = a 4 + d = 4.8 + 0.4 = 5.2

Хариултыг бичихэд л үлдлээ.

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Өөр нэг даалгавар:

3. 7 тоо нь арифметик прогрессийн (a n) гишүүн байх эсэхийг тодорхойл. a 1 = 4.1; d = 1.2.

Хмм... Хэн мэдэх вэ? Ямар нэг зүйлийг хэрхэн тодорхойлох вэ?

Хэрхэн-хэрхэн... Прогрессийг цуврал хэлбэрээр бичээд тэнд долоо байх уу үгүй ​​юу гэдгийг хараарай! Бид тоолно:

a 2 = a 1 + d = 4.1 + 1.2 = 5.3

a 3 = a 2 + d = 5.3 + 1.2 = 6.5

a 4 = a 3 + d = 6.5 + 1.2 = 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Одоо бид долоотой байгаа нь тодорхой харагдаж байна хальтирсан 6.5-аас 7.7 хооронд! Долоо нь бидний цуврал тоонд ороогүй тул долоо нь өгөгдсөн прогрессийн гишүүн болохгүй.

Хариулт: үгүй.

ТЕГ-ын бодит хувилбар дээр үндэслэсэн асуудал энд байна:

4. Арифметик прогрессийн хэд хэдэн дараалсан гишүүнийг бичнэ.

...; 15; X; 9; 6; ...

Энд төгсгөлгүй, эхлэлгүй бичсэн цуврал байна. Гишүүдийн дугаар ч ялгаагүй г. Зүгээр дээ. Асуудлыг шийдэхийн тулд арифметик прогрессийн утгыг ойлгоход хангалттай. Юу боломжтойг харцгаая мэдэхэнэ цувралаас? Гурван үндсэн үзүүлэлт юу вэ?

Гишүүдийн дугаар? Энд нэг ч тоо байхгүй.

Гэхдээ гурван тоо байдаг ба - анхаарлаа хандуулаарай! - үг "тогтвортой"нөхцөлд. Энэ нь тоонууд нь цоорхойгүй, хатуу дараалалтай байна гэсэн үг юм. Энэ эгнээнд хоёр байна уу? хөршмэдэгдэж байгаа тоо? Тиймээ, надад байгаа! Эдгээр нь 9 ба 6. Тиймээс бид арифметик прогрессийн зөрүүг тооцоолж болно! Зургаагаас хас өмнөхтоо, өөрөөр хэлбэл. ес:

Өчүүхэн төдий зүйл үлдлээ. X-ийн өмнөх тоо хэд байх вэ? Арван тав. Энэ нь X-ийг энгийн нэмэх замаар амархан олох боломжтой гэсэн үг юм. Арифметик прогрессийн зөрүүг 15 дээр нэмнэ.

Тэгээд л болоо. Хариулт: x=12

Дараах асуудлуудыг бид өөрсдөө шийддэг. Анхаар: Эдгээр асуудлууд нь томьёо дээр үндэслээгүй болно. Зөвхөн арифметик прогрессийн утгыг ойлгохын тулд.) Бид зүгээр л тоо, үсгийн цуваа бичээд, харж, тооцоолдог.

5. a 5 = -3 бол арифметик прогрессийн эхний эерэг гишүүнийг ол; d = 1.1.

6. 5.5 тоо нь арифметик прогрессийн (a n) гишүүн гэдгийг мэддэг бөгөөд a 1 = 1.6; d = 1.3. Энэ гишүүний n тоог тодорхойл.

7. Арифметик прогрессод a 2 = 4 гэдгийг мэддэг; a 5 = 15.1. 3-ыг ол.

8. Арифметик прогрессийн хэд хэдэн дараалсан гишүүнийг бичнэ.

...; 15.6; X; 3.4; ...

Х үсгээр заасан прогрессийн гишүүнийг ол.

9. Галт тэрэг буудлаас хөдөлж, хурдыг минутанд 30 метрээр жигд нэмэгдүүлэв. Таван минутын дараа галт тэрэгний хурд ямар байх вэ? Хариултаа км/цагаар хэлнэ үү.

10. Арифметик прогрессод a 2 = 5 гэдгийг мэддэг; a 6 = -5. 1-ийг олоорой.

Хариултууд (эмх замбараагүй): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; 4.

Бүх зүйл болсон уу? Гайхалтай! Та арифметик прогрессийг илүү сайн эзэмшиж чадна өндөр түвшин, дараагийн хичээлүүдэд.

Бүх зүйл болсонгүй гэж үү? Асуудалгүй. Тусгай 555-р хэсэгт эдгээр бүх асуудлыг хэсэг хэсгээр нь ангилсан болно.) Мэдээжийн хэрэг, ийм даалгаврын шийдлийг нэг дороос тодорхой, ойлгомжтойгоор онцлон харуулах энгийн практик аргыг тайлбарласан болно!

Дашрамд хэлэхэд, галт тэрэгний тааварт хүмүүс ихэвчлэн бүдэрдэг хоёр асуудал байдаг. Нэг нь зөвхөн дэвшлийн хувьд, хоёр дахь нь математик, физикийн аливаа асуудлын хувьд ерөнхий юм. Энэ бол хэмжээсүүдийг нэгээс нөгөө рүү орчуулах явдал юм. Эдгээр асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх ёстойг харуулж байна.

Энэ хичээлээр бид арифметик прогрессийн үндсэн утга ба түүний үндсэн параметрүүдийг авч үзсэн. Энэ нь энэ сэдвээр бараг бүх асуудлыг шийдвэрлэхэд хангалттай юм. Нэмэх гтоонууд руу, цуврал бичвэл бүх зүйл шийдэгдэх болно.

Хурууны шийдэл нь энэ хичээлийн жишээнүүдийн адил маш богино эгнээний хэсгүүдэд сайн ажилладаг. Хэрэв цуврал нь илүү урт байвал тооцоолол илүү төвөгтэй болно. Жишээлбэл, асуултын 9-р асуудалд бид солино "таван минут"дээр "гучин таван минут"асуудал улам дордох болно.)

Мөн мөн чанартаа энгийн боловч тооцооллын хувьд утгагүй ажлууд байдаг, жишээлбэл:

Арифметик прогресс (a n) өгөгдсөн. a 1 =3 ба d=1/6 бол 121-ийг ол.

Тэгээд яахав, бид 1/6-г олон, олон удаа нэмэх гэж байна уу?! Та өөрийгөө алж чадна!?

Та чадна.) Хэрэв та мэдэхгүй бол энгийн томъёо, энэ нь танд ийм ажлуудыг нэг минутын дотор шийдвэрлэх боломжийг олгодог. Энэ томъёо нь дараагийн хичээл дээр байх болно. Тэгээд энэ асуудал тэнд шийдэгддэг. Нэг минутын дотор.)

Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...

Дашрамд хэлэхэд, би танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)

Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурцгаая - сонирхолтой!)

Та функц, деривативтай танилцах боломжтой.

Математик нь уран зураг, яруу найргийн нэгэн адил өөрийн гэсэн гоо сайхантай.

Оросын эрдэмтэн, механикч Н.Е. Жуковский

Математикийн элсэлтийн шалгалтын маш нийтлэг асуудал бол арифметик прогрессийн тухай ойлголттой холбоотой асуудлууд юм. Ийм асуудлыг амжилттай шийдвэрлэхийн тулд та арифметик прогрессийн шинж чанаруудын талаар сайн мэдлэгтэй байх ёстой бөгөөд тэдгээрийг хэрэглэх тодорхой ур чадвартай байх ёстой.

Эхлээд арифметик прогрессийн үндсэн шинж чанаруудыг эргэн санаж, хамгийн чухал томьёог танилцуулъя, энэ үзэл баримтлалтай холбоотой.

Тодорхойлолт. Тооны дараалал, дараагийн нэр томъёо бүр өмнөхөөсөө ижил тоогоор ялгаатай байна, арифметик прогресс гэж нэрлэдэг. Энэ тохиолдолд тооявцын зөрүү гэж нэрлэдэг.

Арифметик прогрессийн хувьд дараах томъёонууд хүчинтэй байна.

, (1)

Хаана. Томъёо (1)-ийг арифметик прогрессийн ерөнхий гишүүний томьёо гэж нэрлэдэг бөгөөд (2) томъёо нь арифметик прогрессийн үндсэн шинж чанарыг илэрхийлдэг: прогрессийн гишүүн бүр нь түүний хөрш гишүүдийн арифметик дундажтай давхцдаг ба .

Чухам энэ шинж чанараараа авч үзэж буй прогрессийг "арифметик" гэж нэрлэдэг болохыг анхаарна уу.

Дээрх (1) ба (2) томъёог дараах байдлаар ерөнхийлсөн болно.

(3)

Хэмжээг тооцоолохын тулдэхлээд арифметик прогрессийн нөхцлүүдтомъёог ихэвчлэн ашигладаг

(5) хаана ба .

Хэрэв бид томъёог харгалзан үзвэл (1), дараа нь (5) томъёоноос энэ нь дараах болно

Хэрэв бид тэмдэглэвэл, тэгвэл

Хаана. Учир нь (7) ба (8) томъёо нь харгалзах (5) ба (6) томъёоны ерөнхий дүгнэлт юм.

Тухайлбал , томъёо (5)-аас дараах болно, Юу

Дараах теоремоор томъёолсон арифметик прогрессийн шинж чанарыг ихэнх оюутнууд бараг мэддэггүй.

Теорем.Хэрэв бол

Баталгаа.Хэрэв бол

Теорем нь батлагдсан.

Жишээлбэл , теоремыг ашиглан, гэдгийг харуулж болно

"Арифметик прогресс" сэдвээр асуудлыг шийдвэрлэх ердийн жишээг авч үзье.

Жишээ 1.Байгаа. олох.

Шийдэл.(6) томъёог хэрэглэснээр бид . Түүнээс хойш ба , дараа нь эсвэл .

Жишээ 2.Гурав дахин их байх ба хуваахад үр дүн нь 2, үлдэгдэл нь 8. ба -ийг тодорхойлно.

Шийдэл.Жишээнүүдийн нөхцлөөс харахад тэгшитгэлийн систем дараах байдалтай байна

, , ба , тэгвэл (10) тэгшитгэлийн системээс олж авна

Энэ тэгшитгэлийн системийн шийдэл нь ба .

Жишээ 3.Хэрэв болон -г ол.

Шийдэл.(5) томъёоны дагуу бид эсвэл . Гэсэн хэдий ч (9) өмчийг ашигласнаар бид .

Үүнээс хойш ба , дараа нь тэгшитгэлээс тэгшитгэл дараах байдалтай байнаэсвэл .

Жишээ 4.Хэрвээ олоорой.

Шийдэл.(5) томъёоны дагуу бид байна

Гэсэн хэдий ч теоремыг ашиглан бид бичиж болно

Эндээс болон (11) томъёоноос бид .

Жишээ 5. Өгөгдсөн: . олох.

Шийдэл.Түүнээс хойш. Гэсэн хэдий ч, тиймээс.

Жишээ 6. Let , and . олох.

Шийдэл.Томъёо (9) ашиглан бид . Иймд хэрэв , тэгвэл эсвэл .

Түүнээс хойш ба тэгвэл энд тэгшитгэлийн систем байна

Аль нь болохыг шийдэхэд бид ба .

Тэгшитгэлийн байгалийн язгуурнь .

Жишээ 7.Хэрэв болон -г ол.

Шийдэл.Томъёо (3)-ын дагуу бид ийм байгаа тул асуудлын нөхцлөөс тэгшитгэлийн систем гарч ирнэ

Хэрэв бид илэрхийллийг орлуулах юм болсистемийн хоёр дахь тэгшитгэлд оруулна, дараа нь бид эсвэл авна.

Квадрат тэгшитгэлийн үндэс нь байнаМөн .

Хоёр тохиолдлыг авч үзье.

1. За тэгвэл . Түүнээс хойш ба , дараа нь .

Энэ тохиолдолд (6) томъёоны дагуу бид байна

2. Хэрэв , тэгвэл , ба

Хариулт: ба.

Жишээ 8.Энэ нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд. олох.

Шийдэл.Томъёо (5) болон жишээний нөхцөлийг харгалзан бид бичнэ.

Энэ нь тэгшитгэлийн системийг хэлнэ

Хэрэв бид системийн эхний тэгшитгэлийг 2-оор үржүүлж, дараа нь хоёр дахь тэгшитгэлд нэмбэл бид дараахь зүйлийг авна.

(9) томъёоны дагуу бид байна. Үүнтэй холбогдуулан (12)эсвэл .

Түүнээс хойш ба , дараа нь .

Хариулт: .

Жишээ 9.Хэрэв болон -г ол.

Шийдэл.Түүнээс хойш , ба нөхцөлөөр , дараа нь эсвэл .

Томъёогоор (5) мэдэгдэж байна, Юу . Түүнээс хойш.

Тиймээс, энд шугаман тэгшитгэлийн систем байна

Эндээс бид ба . Томьёог (8) харгалзан бид бичнэ.

Жишээ 10.Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.Өгөгдсөн тэгшитгэлээс үзэхэд . , , ба гэж үзье. Энэ тохиолдолд .

Томъёоны дагуу (1) бид бичиж болно.

-ээс хойш тэгшитгэл (13) нь цорын ганц тохиромжтой язгууртай байна.

Жишээ 11.гэсэн тохиолдолд хамгийн их утгыг ол.

Шийдэл.-ээс хойш авч үзэж буй арифметик прогресс буурч байна. Үүнтэй холбогдуулан илэрхийлэл нь прогрессийн хамгийн бага эерэг гишүүний тоо байх үед хамгийн их утгыг авдаг.

Томъёо (1) ба баримтыг ашиглацгаая, тэр болон . Дараа нь бид үүнийг эсвэл .

Түүнээс хойш, дараа нь эсвэл . Гэсэн хэдий ч энэ тэгш бус байдалдхамгийн том натурал тоо, Тийм учраас .

Хэрэв -ийн утгыг (6) томъёонд орлуулсан бол бид .

Хариулт: .

Жишээ 12.Бүх хоёр оронтой натурал тоонуудын нийлбэрийг 6-д хуваахад 5-ын үлдэгдлийг тодорхойл.

Шийдэл.Бүх хоёр оронтой натурал тооны олонлогоор тэмдэглэе, өөрөөр хэлбэл. . Дараа нь бид олонлогийн элементүүдээс (тоо) бүрдэх дэд олонлогийг байгуулах бөгөөд үүнийг 6-д хуваахад 5-ын үлдэгдэл гарах болно.

Суулгахад хялбар, Юу . Мэдээжийн хэрэг, олонлогийн элементүүдарифметик прогресс үүсгэнэ, аль нь болон .

Олонлогийн үндсэн байдлыг (элементүүдийн тоо) тогтоохын тулд бид . ба учраас (1) буюу томъёоноос үүснэ. Томъёо (5)-ыг харгалзан бид .

Асуудлыг шийдвэрлэх дээрх жишээнүүд нь бүрэн гүйцэд гэж хэлж болохгүй. Энэхүү нийтлэлийг дүн шинжилгээнд үндэслэн бичсэн болно орчин үеийн аргуудтухайн сэдвээр ердийн асуудлыг шийдвэрлэх. Арифметик прогресстой холбоотой асуудлыг шийдвэрлэх аргуудыг илүү гүнзгий судлахын тулд санал болгож буй уран зохиолын жагсаалтад хандахыг зөвлөж байна.

1. Коллежид элсэгчдэд зориулсан математикийн асуудлын цуглуулга / Ed. М.И. Сканави. – М.: Энх тайван ба боловсрол, 2013. – 608 х.

2. Супрун В.П. Ахлах ангийн сурагчдад зориулсан математик: сургуулийн сургалтын хөтөлбөрийн нэмэлт хэсгүүд. – М .: Ленанд / URSS, 2014. – 216 х.

3. Медынский М.М. Бодлого, дасгалын анхан шатны математикийн бүрэн курс. 2-р дэвтэр: Тооны дараалал ба дэвшил. - М .: Эдитус, 2015. – 208 х.

Асуулт хэвээр байна уу?

Багшаас тусламж авахын тулд бүртгүүлнэ үү.

вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.

Зарим хүмүүс "хөгжил" гэдэг үгийг дээд математикийн салбаруудаас маш нарийн төвөгтэй нэр томъёо гэж болгоомжтой ханддаг. Үүний зэрэгцээ хамгийн энгийн арифметик прогресс бол такси тоолуурын ажил юм (тэдгээр нь одоо ч байгаа). Мөн арифметик дарааллын мөн чанарыг (мөн математикт "мөн чанарыг ойлгохоос өөр чухал зүйл гэж байдаггүй) ойлгох нь тийм ч хэцүү биш бөгөөд цөөн хэдэн энгийн ойлголтуудыг шинжилдэг.

Математик тооны дараалал

Тоон дарааллыг ихэвчлэн тоонуудын цуваа гэж нэрлэдэг бөгөөд тус бүр нь өөрийн гэсэн дугаартай байдаг.

a 1 нь дарааллын эхний гишүүн юм;

ба 2 нь дарааллын хоёр дахь гишүүн юм;

ба 7 нь дарааллын долоо дахь гишүүн юм;

ба n нь дарааллын n дэх гишүүн;

Гэсэн хэдий ч дур зоргоороо тогтсон тоо, тоо биднийг сонирхдоггүй. Бид n-р гишүүний утга нь түүний дарааллын тоотой математикийн хувьд тодорхой томьёолж болох хамаарлаар холбогдох тоон дараалалд анхаарлаа хандуулах болно. Өөрөөр хэлбэл: n-р тооны тоон утга нь n-ийн зарим функц юм.

a нь тоон дарааллын гишүүний утга;

n - түүний серийн дугаар;

f(n) нь функц бөгөөд n тоон дарааллын дарааллын тоо нь аргумент юм.

Тодорхойлолт

Арифметик прогрессийг ихэвчлэн дараагийн гишүүн бүр өмнөхөөсөө ижил тоогоор их (бага) байх тоон дараалал гэж нэрлэдэг. Арифметик дарааллын n-р гишүүний томъёо дараах байдалтай байна.

a n - арифметик прогрессийн одоогийн гишүүний утга;

a n+1 - дараагийн тооны томъёо;

d - ялгаа (тодорхой тоо).

Хэрэв зөрүү эерэг (d>0) байвал авч үзэж буй цувралын дараагийн гишүүн бүр өмнөхөөсөө их байх ба ийм арифметик прогресс нэмэгдэхийг тодорхойлоход хялбар байдаг.

Доорх графикаас тооны дарааллыг яагаад "өсгөх" гэж нэрлэснийг ойлгоход хялбар болно.

Зөрүү сөрөг гарсан тохиолдолд (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Заасан гишүүний үнэ цэнэ

Заримдаа арифметик прогрессийн дурын a n гишүүний утгыг тодорхойлох шаардлагатай болдог. Үүнийг арифметик прогрессийн бүх гишүүдийн утгыг эхнийхээс хүссэн хүртэл нь дараалан тооцоолох замаар хийж болно. Гэсэн хэдий ч, жишээлбэл, таван мянга, найман сая дахь нэр томъёоны утгыг олох шаардлагатай бол энэ замыг үргэлж хүлээн зөвшөөрдөггүй. Уламжлалт тооцоо хийхэд маш их цаг хугацаа шаардагдана. Гэхдээ тодорхой арифметик прогрессийг тодорхой томъёогоор судалж болно. Мөн n-р гишүүний томьёо байдаг: арифметик прогрессийн аль ч гишүүний утгыг прогрессийн эхний гишүүний нийлбэр, хүссэн гишүүний тоогоор үржүүлж, бууруулсан прогрессийн зөрүүгээр тодорхойлж болно. нэг.

Томъёо нь ахиц дэвшлийг нэмэгдүүлэх, бууруулах бүх нийтийн шинж чанартай байдаг.

Өгөгдсөн нэр томъёоны утгыг тооцоолох жишээ

Арифметик прогрессийн n-р гишүүний утгыг олох дараах бодлогыг бодъё.

Нөхцөл: параметртэй арифметик прогресс байна:

Дарааллын эхний гишүүн нь 3;

Тооны цувааны зөрүү 1.2 байна.

Даалгавар: та 214 нэр томъёоны утгыг олох хэрэгтэй

Шийдэл: Өгөгдсөн нэр томъёоны утгыг тодорхойлохын тулд бид дараах томъёог ашиглана.

a(n) = a1 + d(n-1)

Асуудлын мэдэгдлийн өгөгдлийг илэрхийлэлд орлуулснаар бид дараах байдалтай байна:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

Хариулт: Дарааллын 214 дэх гишүүн 258.6-тай тэнцүү.

Тооцооллын энэ аргын давуу тал нь тодорхой юм - бүх шийдэл нь 2-оос илүүгүй мөр авдаг.

Өгөгдсөн тооны нэр томъёоны нийлбэр

Ихэнх тохиолдолд өгөгдсөн арифметик цувралд түүний зарим сегментийн утгын нийлбэрийг тодорхойлох шаардлагатай байдаг. Үүнийг хийхийн тулд нэр томъёо бүрийн утгыг тооцоолж, дараа нь нэмэх шаардлагагүй. Хэрэв нийлбэрийг олох шаардлагатай нэр томъёоны тоо бага байвал энэ аргыг хэрэглэнэ. Бусад тохиолдолд дараах томъёог ашиглах нь илүү тохиромжтой.

1-ээс n хүртэлх арифметик прогрессийн гишүүний нийлбэр нь эхний болон n-р гишүүний нийлбэрийг n гишүүний тоогоор үржүүлж, хоёрт хуваасантай тэнцүү байна. Хэрэв томьёоны n-р гишүүний утгыг өгүүллийн өмнөх догол мөрийн илэрхийллээр сольсон бол бид дараахь зүйлийг авна.

Тооцооллын жишээ

Жишээлбэл, дараах нөхцлөөр асуудлыг шийдье.

Дарааллын эхний гишүүн нь тэг;

Энэ ялгаа нь 0.5 байна.

Асуудал нь 56-аас 101 хүртэлх цувралын нөхцлийн нийлбэрийг тодорхойлохыг шаарддаг.

Шийдэл. Прогрессийн хэмжээг тодорхойлох томъёог ашиглана уу.

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Нэгдүгээрт, бид асуудлынхаа өгөгдсөн нөхцөлийг томъёонд орлуулах замаар прогрессийн 101 гишүүний утгын нийлбэрийг тодорхойлно.

s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2,525

Мэдээжийн хэрэг, 56-аас 101 хүртэлх прогрессийн нөхцлийн нийлбэрийг олохын тулд S 101-ээс S 55-ыг хасах шаардлагатай.

s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

Тиймээс энэ жишээний арифметик прогрессийн нийлбэр нь:

s 101 - s 55 = 2,525 - 742,5 = 1,782,5

Арифметик прогрессийн практик хэрэглээний жишээ

Өгүүллийн төгсгөлд эхний догол мөрөнд өгөгдсөн арифметик дарааллын жишээ рүү буцъя - таксиметр (таксины машины тоолуур). Энэ жишээг авч үзье.

Таксинд суух (3 км замыг багтаасан) 50 рубль болно. Дараагийн км тутамд 22 рубль / км-ийн төлбөр төлдөг. Аяллын зай нь 30 км. Аяллын зардлыг тооцоол.

1. Буух зардалд үнэ нь багтсан эхний 3 км-ийг хасъя.

30 - 3 = 27 км.

2. Цаашид тооцоолох нь арифметик тооны цувааг задлан шинжлэхээс өөр зүйл биш юм.

Гишүүний дугаар - аялсан километрийн тоо (эхний гурвыг хассан).

Гишүүний үнэ цэнэ нь нийлбэр юм.

Энэ асуудлын эхний нэр томъёо нь 1 = 50 рубльтэй тэнцүү байх болно.

Прогрессийн зөрүү d = 22 r.

бидний сонирхож буй тоо бол арифметик прогрессийн (27+1)-р гишүүний утга - 27-р километрийн төгсгөлд тоолуурын заалт 27.999... = 28 км.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Дурын урт хугацааны хуанлийн өгөгдлийн тооцоолол нь тодорхой тоон дарааллыг тодорхойлсон томьёонд суурилдаг. Одон орон судлалд тойрог замын урт нь геометрийн хувьд огторгуйн биетээс од хүртэлх зайнаас хамаардаг. Үүнээс гадна янз бүрийн тооны цувралуудыг статистик болон математикийн бусад хэрэглээний салбарт амжилттай ашиглаж байна.

Тоон дарааллын өөр нэг төрөл нь геометр юм

Геометрийн прогресс нь арифметик прогресстой харьцуулахад илүү их өөрчлөлтийн хурдаар тодорхойлогддог. Улс төр, социологи, анагаах ухаанд тодорхой үзэгдлийн тархалтын өндөр хурдыг харуулахын тулд жишээлбэл, тахал өвчний үед энэ үйл явц геометрийн прогрессоор хөгждөг гэж хэлдэг нь санамсаргүй хэрэг биш юм.

Геометрийн тооны цувралын N-р гишүүн нь өмнөхөөсөө ялгаатай бөгөөд үүнийг зарим тогтмол тоогоор үржүүлдэг - хуваагч, жишээлбэл, эхний гишүүн нь 1, хуваагч нь 2-той тэнцүү, дараа нь:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - геометр прогрессийн одоогийн гишүүний утга;

b n+1 - геометр прогрессийн дараагийн гишүүний томъёо;

q нь геометр прогрессийн хуваагч (тогтмол тоо).

Хэрэв арифметик прогрессийн график шулуун шугам байвал геометр прогресс нь арай өөр дүр зургийг зурна.

Арифметикийн нэгэн адил геометрийн прогресс нь дурын гишүүний утгын томъёотой байдаг. Геометр прогрессийн дурын n-р гишүүн нь эхний гишүүний үржвэр ба n-ийн зэрэглэлийн прогрессийн хуваагчийг нэгээр багасгасантай тэнцүү байна.

Жишээ. Бидэнд эхний гишүүн нь 3-тай тэнцүү, прогрессийн хуваагч нь 1.5-тай тэнцүү геометр прогресс байна. Прогрессийн 5-р гишүүнийг олъё

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1.5 4 = 15.1875

Өгөгдсөн тооны нэр томъёоны нийлбэрийг мөн тусгай томъёогоор тооцоолно. Геометр прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэр нь прогрессийн n-р гишүүн ба хуваагч ба прогрессийн эхний гишүүний үржвэрийн зөрүүг нэгээр бууруулсан хуваалттай тэнцүү байна.

Хэрэв b n-ийг дээр дурдсан томъёогоор сольсон бол авч үзэж буй тооны цувралын эхний n гишүүний нийлбэрийн утга дараах хэлбэртэй болно.

Жишээ. Геометр прогресс нь 1-тэй тэнцэх эхний гишүүнээс эхэлнэ. Хусагч нь 3. Эхний найман гишүүний нийлбэрийг олъё.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Ерөнхий боловсролын сургуульд (9-р анги) алгебр судлахдаа чухал сэдвүүдийн нэг бол геометрийн болон арифметикийн прогрессийг багтаасан тоон дарааллыг судлах явдал юм. Энэ нийтлэлд бид арифметик прогресс болон шийдлийн жишээг авч үзэх болно.

Арифметик прогресс гэж юу вэ?

Үүнийг ойлгохын тулд асуудлын явцыг тодорхойлох, мөн асуудлыг шийдвэрлэхэд дараа нь ашиглах үндсэн томъёог өгөх шаардлагатай.

Арифметик эсвэл алгебрийн прогресс гэдэг нь гишүүн бүр нь өмнөхөөсөө тодорхой тогтмол утгаараа ялгаатай эрэмблэгдсэн рационал тоонуудын багц юм. Энэ утгыг зөрүү гэж нэрлэдэг. Өөрөөр хэлбэл, эрэмбэлэгдсэн цуврал тоонуудын аль нэг гишүүн ба ялгааг мэдсэнээр та арифметик прогрессийг бүхэлд нь сэргээж чадна.

Нэг жишээ хэлье. Дараах тоонуудын дараалал нь арифметик прогресс байх болно: 4, 8, 12, 16, ..., учир нь энэ тохиолдолд ялгаа нь 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Гэхдээ 3, 5, 8, 12, 17 тоонуудын багцыг авч үзэж буй прогрессийн төрөлд хамааруулах боломжгүй, учир нь түүний ялгаа нь тогтмол утга биш (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠) 17 - 12).

Чухал томъёонууд

Одоо арифметик прогресс ашиглан асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардагдах үндсэн томъёог танилцуулъя. Дарааллын n-р гишүүнийг a n тэмдгээр тэмдэглэе, энд n нь бүхэл тоо. Бид ялгааг латин d үсгээр тэмдэглэдэг. Дараа нь дараах илэрхийллүүд хүчинтэй байна.

1. n-р гишүүний утгыг тодорхойлохын тулд дараах томьёо тохиромжтой: a n = (n-1)*d+a 1 .
2. Эхний n гишүүний нийлбэрийг тодорхойлохдоо: S n = (a n +a 1)*n/2.

9-р ангид арифметик прогрессийн аливаа жишээг ойлгохын тулд эдгээр хоёр томьёог санахад хангалттай, учир нь авч үзэж буй төрлийн аливаа асуудал нь тэдгээрийн хэрэглээнд суурилдаг. Прогрессийн зөрүүг d = a n - a n-1 томъёогоор тодорхойлно гэдгийг санах нь зүйтэй.

Жишээ №1: үл мэдэгдэх нэр томъёог олох

Арифметик прогресс болон түүнийг шийдвэрлэхэд хэрэглэгдэх томъёоны энгийн жишээг өгье.

10, 8, 6, 4, ... дарааллыг өгье, үүнээс таван гишүүнийг олох хэрэгтэй.

Асуудлын нөхцлөөс харахад эхний 4 нэр томъёо нь мэдэгдэж байна. Тав дахь нь хоёр янзаар тодорхойлогддог.

1. Эхлээд ялгааг тооцоолъё. Бидэнд: d = 8 - 10 = -2 байна. Үүний нэгэн адил та өөр хоёр гишүүнийг хажуудаа зогсоож болно. Жишээлбэл, d = 4 - 6 = -2. d = a n - a n-1 гэж мэдэгдэж байгаа тул d = a 5 - a 4, үүнээс бид дараахь зүйлийг авна: a 5 = a 4 + d. Бид мэдэгдэж буй утгуудыг орлуулна: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Хоёрдахь арга нь тухайн явцын ялгааг мэдэхийг шаарддаг тул та эхлээд дээр үзүүлсэн шиг үүнийг тодорхойлох хэрэгтэй (d = -2). Эхний гишүүн a 1 = 10 гэдгийг мэдэж, бид дарааллын n тооны томъёог ашигладаг. Бидэнд: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2 * n. Сүүлийн илэрхийлэлд n = 5-ыг орлуулснаар бид: a 5 = 12-2 * 5 = 2 болно.

Таны харж байгаагаар хоёр шийдэл нь ижил үр дүнд хүргэсэн. Энэ жишээн дэх прогрессийн зөрүү d нь сөрөг утгатай болохыг анхаарна уу. Дараагийн нэр томъёо бүр өмнөхөөсөө бага байдаг тул ийм дарааллыг буурах гэж нэрлэдэг.

Жишээ №2: явцын зөрүү

Одоо даалгавраа бага зэрэг хүндрүүлье, яаж хийх жишээг өгье

Зарим үед 1-р гишүүн 6-тай тэнцүү, 7-р гишүүн 18-тай тэнцүү байдаг нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд ялгааг олж, энэ дарааллыг 7-р гишүүн рүү сэргээх шаардлагатай.

Үл мэдэгдэх нэр томъёог тодорхойлохын тулд томъёог ашиглая: a n = (n - 1) * d + a 1 . Нөхцөлөөс мэдэгдэж буй өгөгдлийг, өөрөөр хэлбэл a 1 ба 7 тоонуудыг орлуулъя, бидэнд: 18 = 6 + 6 * d байна. Энэ илэрхийллээс та ялгааг хялбархан тооцоолж болно: d = (18 - 6) /6 = 2. Ингээд бид асуудлын эхний хэсэгт хариуллаа.

7-р гишүүний дарааллыг сэргээхийн тулд та алгебрийн прогрессийн тодорхойлолтыг ашиглах хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d гэх мэт. Үүний үр дүнд бид бүх дарааллыг сэргээдэг: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Жишээ №3: Прогресс зурах

Асуудлыг улам хүндрүүлье. Одоо бид арифметик прогрессийг хэрхэн олох вэ гэсэн асуултанд хариулах хэрэгтэй. Дараах жишээг өгч болно: хоёр тоо өгөгдсөн, жишээлбэл - 4 ба 5. Эдгээрийн хооронд өөр гурван гишүүнийг байрлуулахын тулд алгебрийн прогрессийг үүсгэх шаардлагатай.

Энэ асуудлыг шийдэж эхлэхээсээ өмнө өгөгдсөн тоонууд цаашдын хөгжилд ямар байр суурь эзлэхийг ойлгох хэрэгтэй. Тэдний хооронд дахин гурван гишүүн байх тул 1 = -4 ба 5 = 5 болно. Үүнийг тогтоосны дараа бид өмнөхтэй төстэй асуудал руу шилждэг. Дахин хэлэхэд, n-р гишүүний хувьд бид томъёог ашиглана: a 5 = a 1 + 4 * d. Эндээс: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25. Эндээс олж авсан зүйл бол ялгааны бүхэл тоо биш, харин рационал тоо учраас алгебрийн прогрессийн томьёо ижил хэвээр байна.

Одоо олсон зөрүүг 1 дээр нэмээд прогрессийн алга болсон нөхцлүүдийг сэргээе. Бид дараахийг авна: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 = 2.75 + 2.25 = 5, энэ нь давхцсан. асуудлын нөхцөлтэй хамт.

Жишээ №4: Прогрессийн эхний хугацаа

Шийдэл бүхий арифметик прогрессийн жишээг үргэлжлүүлье. Өмнөх бүх бодлогод алгебрийн прогрессийн эхний тоог мэддэг байсан. Одоо өөр төрлийн бодлогыг авч үзье: 15 = 50 ба 43 = 37 гэсэн хоёр тоог өгье. Энэ дараалал аль тооноос эхэлж байгааг олох шаардлагатай.

Өнөөг хүртэл ашигласан томьёо нь 1 ба d-ийн талаархи мэдлэгтэй гэж үздэг. Асуудлын мэдэгдэлд эдгээр тоонуудын талаар юу ч мэдэгддэггүй. Гэсэн хэдий ч бид мэдээлэл байгаа нэр томъёо бүрийн илэрхийлэлүүдийг бичих болно: a 15 = a 1 + 14 * d, a 43 = a 1 + 42 * d. Бид 2 үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнтэй (a 1 ба d) хоёр тэгшитгэлийг хүлээн авсан. Энэ нь шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэхэд асуудлыг багасгасан гэсэн үг юм.

Энэ системийг шийдэх хамгийн хялбар арга бол тэгшитгэл бүрт 1-ийг илэрхийлж, дараа нь үүссэн илэрхийллүүдийг харьцуулах явдал юм. Эхний тэгшитгэл: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; хоёр дахь тэгшитгэл: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Эдгээр илэрхийлэлийг тэгшитгэснээр бид дараахь зүйлийг олж авна: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, ялгаа нь d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0.464 (зөвхөн 3 аравтын бутархай өгөгдсөн).

d-г мэдэж байгаа тул дээрх 2 илэрхийллийн аль нэгийг 1-д ашиглаж болно. Жишээлбэл, эхлээд: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0.464) = 56.496.

Хэрэв та олж авсан үр дүнгийн талаар эргэлзэж байгаа бол үүнийг шалгаж болно, жишээлбэл, нөхцөл байдалд заасан дэвшлийн 43-р хугацааг тодорхойлж болно. Бид авна: a 43 = a 1 + 42 * d = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008. Жижиг алдаа нь тооцоололд мянганы нэг хүртэл бөөрөнхийлсөнтэй холбоотой юм.

Жишээ №5: хэмжээ

Одоо арифметик прогрессийн нийлбэрийн шийдэл бүхий хэд хэдэн жишээг харцгаая.

Дараах хэлбэрийн тоон прогрессийг өгье: 1, 2, 3, 4, ...,. Эдгээр тооны 100-ийн нийлбэрийг хэрхэн тооцоолох вэ?

Компьютерийн технологийн хөгжлийн ачаар энэ асуудлыг шийдэх боломжтой, өөрөөр хэлбэл хүн Enter товчийг дармагц компьютер хийх бүх тоог дарааллаар нь нэмэх боломжтой болсон. Гэсэн хэдий ч, хэрэв та танилцуулсан тоон цуваа нь алгебрийн прогресс бөгөөд түүний зөрүү нь 1-тэй тэнцүү гэдгийг анхаарч үзвэл асуудлыг оюун ухаанаар шийдэж болно. Нийлбэрийн томъёог ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

18-р зууны эхээр 10-хан настай Германы алдарт хүн хэдхэн секундын дотор энэ асуудлыг толгой дотроо шийдэж чадсан тул энэ асуудлыг "гаусс" гэж нэрлэсэн нь сонирхолтой юм. Хүү алгебрийн прогрессийн нийлбэрийн томьёог мэдэхгүй ч дарааллын төгсгөлд байгаа тоонуудыг хосоор нь нэмбэл үргэлж ижил үр дүн, өөрөөр хэлбэл 1 + 100 = 2 + 99 гарна гэдгийг анзаарчээ. = 3 + 98 = ..., эдгээр нийлбэрүүд яг 50 (100/2) байх тул зөв хариултыг авахын тулд 50-г 101-ээр үржүүлэхэд хангалттай.

Жишээ №6: n-ээс m хүртэлх гишүүний нийлбэр

Арифметик прогрессийн нийлбэрийн өөр нэг ердийн жишээ бол: 3, 7, 11, 15, ... гэсэн цуврал тоонуудыг өгвөл 8-аас 14 хүртэлх гишүүний нийлбэр нь хэдтэй тэнцүү болохыг олох хэрэгтэй. .

Асуудлыг хоёр аргаар шийддэг. Тэдгээрийн эхнийх нь 8-аас 14 хүртэлх үл мэдэгдэх нэр томъёог олох, дараа нь тэдгээрийг дараалан нэгтгэх явдал юм. Цөөн нэр томъёо байдаг тул энэ арга нь маш их хөдөлмөр шаарддаггүй. Гэсэн хэдий ч энэ асуудлыг илүү түгээмэл хоёрдахь аргыг ашиглан шийдвэрлэхийг санал болгож байна.

Гол санаа нь n > m нь бүхэл тоо болох m ба n гишүүний хоорондох алгебрийн прогрессийн нийлбэрийн томъёог олж авах явдал юм. Хоёр тохиолдолд бид нийлбэрийн хоёр илэрхийлэл бичнэ.

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

n > m тул 2-р нийлбэрт эхнийх нь багтах нь ойлгомжтой. Сүүлийн дүгнэлт нь эдгээр нийлбэрүүдийн зөрүүг авч, түүнд a m нэр томъёог нэмбэл (ялгааг авах тохиолдолд S n нийлбэрээс хасна) бид асуудлын шаардлагатай хариултыг авна гэсэн үг юм. Бидэнд: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a м * (1- м/2). Энэ илэрхийлэлд n ба m-ийн томъёог орлуулах шаардлагатай. Дараа нь бид дараахь зүйлийг авна: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1) - м / 2) = a 1 * (n - м + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * м - м 2 - 2) / 2.

Үүссэн томъёо нь бага зэрэг төвөгтэй боловч S mn нийлбэр нь зөвхөн n, m, a 1, d-ээс хамаарна. Манай тохиолдолд a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Эдгээр тоог орлуулснаар бид: S mn = 301 болно.

Дээрх шийдлүүдээс харахад бүх бодлого нь n-р гишүүний илэрхийлэл ба эхний гишүүний олонлогийн нийлбэрийн томъёоны мэдлэг дээр суурилдаг. Эдгээр асуудлын аль нэгийг шийдэж эхлэхээсээ өмнө нөхцөл байдлыг анхааралтай уншиж, юу олох хэрэгтэйг тодорхой ойлгож, дараа нь шийдлийг үргэлжлүүлэхийг зөвлөж байна.

Өөр нэг зөвлөгөө бол энгийн байхыг хичээх явдал юм, өөрөөр хэлбэл та нарийн төвөгтэй математик тооцоололгүйгээр асуултанд хариулж чадвал үүнийг хийх хэрэгтэй, учир нь энэ тохиолдолд алдаа гаргах магадлал бага байдаг. Жишээлбэл, 6-р шийдэлтэй арифметик прогрессийн жишээн дээр S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m томъёогоор зогсоож болно. ерөнхий асуудлыг тусдаа дэд даалгаварт хуваах (энэ тохиолдолд эхлээд a n ба a m нэр томъёог олоорой).

Хэрэв та олж авсан үр дүндээ эргэлзэж байвал зарим жишээн дээр дурдсанчлан үүнийг шалгахыг зөвлөж байна. Бид арифметик прогрессийг хэрхэн олохыг олж мэдсэн. Хэрэв та үүнийг ойлговол энэ нь тийм ч хэцүү биш юм.