Магадлалын онолд p a гэж юу вэ. Магадлалын онол, математик статистикийн үндэс

Ээж жаазыг угаав

Удаан хугацааны эцэст зуны амралтДээд математик руу аажим аажмаар буцаж, Вердовын хоосон файлыг нээж, шинэ хэсэг үүсгэж эхлэх цаг болжээ. Би хүлээн зөвшөөрч байна, эхний мөрүүд нь тийм ч хялбар биш, гэхдээ эхний алхам бол замын хагас нь тул би хүн бүрд танилцуулах нийтлэлийг сайтар судлахыг зөвлөж байна, үүний дараа сэдвийг эзэмших нь 2 дахин хялбар болно! Би ерөөсөө хэтрүүлсэнгүй. …Ирэх есдүгээр сарын 1-ний өмнөх өдөр би нэгдүгээр анги, анхан шатны хичээлийг санаж байна…. Үсэг нь үе, үе нь үг, үг нь богино өгүүлбэр үүсгэдэг - Ээж нь жаазыг угаав. Турвер болон математикийн статистикийг эзэмших нь уншиж сурахтай адил хялбар юм! Гэсэн хэдий ч үүний тулд та энэ хичээлийн сэдэв болох үндсэн нэр томъёо, ойлголт, тэмдэглэгээ, түүнчлэн зарим тодорхой дүрмийг мэдэх хэрэгтэй.

Гэхдээ эхлээд миний баяр хүргэж байгааг хүлээн авна уу (үргэлжлэл, дуусгах, зохих ёсоор тэмдэглэнэ үү) хичээлийн жилмөн бэлгийг хүлээн авна уу. Хамгийн сайхан бэлэг бол ном юм бие даасан ажилБи дараах уран зохиолыг санал болгож байна.

1) Гмурман В.Е. Магадлалын онол ба математик статистик

Домогт заавар, энэ нь арав гаруй дахин хэвлэгдсэн. Энэ нь ойлгомжтой, материалын маш энгийн танилцуулгагаараа ялгагддаг бөгөөд эхний бүлгүүдийг 6-7-р ангийн сурагчдад аль хэдийн бүрэн ашиглах боломжтой гэж бодож байна.

2) Гмурман В.Е. Магадлалын онол, математик статистикийн асуудлыг шийдвэрлэх гарын авлага

Дэлгэрэнгүй жишээ, асуудлуудтай ижил Владимир Ефимовичийн шийдлийн ном.

ЗААВАЛХоёр номыг интернетээс татаж авах эсвэл цаасан эх хувийг нь аваарай! 60-70-аад оны хувилбарууд бас ажиллах болно, энэ нь даммигийн хувьд илүү дээр юм. Хэдийгээр "даммигийн магадлалын онол" гэсэн хэллэг нь нэлээд инээдтэй сонсогдож байгаа ч бараг бүх зүйл анхан шатны мэдлэгээр хязгаарлагддаг. арифметик үйлдлүүд. Гэсэн хэдий ч тэд зарим газраа алгасдаг деривативуудТэгээд интеграл, гэхдээ энэ нь зөвхөн зарим газарт байдаг.

Би илтгэлийнхээ ижил тодорхой байдалд хүрэхийг хичээх болно, гэхдээ миний курс үүнд чиглэж байгааг анхааруулах ёстой асуудал шийдэхмөн онолын тооцоог хамгийн бага хэмжээнд байлгадаг. Тиймээс, хэрэв танд теоремын нарийвчилсан онол, нотолгоо (теорем-теорем!) хэрэгтэй бол сурах бичигт хандана уу. За, хэн хүсэх вэ асуудлыг шийдэж сурахмагадлалын онол, математик статистикийн чиглэлээр аль болох богино хугацаанд, намайг дага!

Энэ нь эхлэхэд хангалттай =)

Нийтлэлүүдийг уншиж байхдаа авч үзсэн төрлийн нэмэлт ажлуудтай (ядаж товчхон) танилцахыг зөвлөж байна. Хуудас дээр Дээд математикийн бэлэн шийдлүүдШийдлийн жишээ бүхий холбогдох pdf файлуудыг нийтлэх болно. Мөн дорвитой тусламж үзүүлнэ IDZ 18.1 Рябушко(илүү энгийн) ба Чудесенкогийн цуглуулгын дагуу IDZ-ийг шийдсэн(илүү төвөгтэй).

1) Дүнхоёр үйл явдал бөгөөд үйл явдлыг энэ нь болох гэж нэрлэдэг эсвэлүйл явдал эсвэлүйл явдал эсвэлхоёр үйл явдал нэгэн зэрэг. Үйл явдал болсон тохиолдолд нийцэхгүй, сүүлчийн сонголт алга болно, өөрөөр хэлбэл энэ нь тохиолдож болно эсвэлүйл явдал эсвэлүйл явдал.

Дүрэм нь олон тооны нэр томъёонд, ​​жишээлбэл, үйл явдалд хамаарна юу болох вэ ядаж нэгүйл явдлуудаас , А үйл явдлууд хоорондоо нийцэхгүй байвал – дараа нь нэг зүйл, зөвхөн нэг зүйлэнэ дүнгээс гарсан үйл явдал: эсвэлүйл явдал, эсвэлүйл явдал, эсвэлүйл явдал, эсвэлүйл явдал, эсвэлүйл явдал.

Маш олон жишээ байна:

Үйл явдал (шоо шидэх үед 5 оноо гарахгүй) гарч ирнэ эсвэл 1, эсвэл 2, эсвэл 3, эсвэл 4, эсвэл 6 оноо.

Үйл явдал (унана дахиад байхгүйхоёр цэг) 1 гарч ирнэ эсвэл 2оноо.

Үйл явдал (тэгш тооны оноо байх болно) гарч ирнэ эсвэл 2 эсвэл 4 эсвэл 6 оноо.

Үйл явдал бол тавцангаас улаан карт (зүрх) авах явдал юм эсвэлхэнгэрэг), үйл явдал - "зураг" гарч ирнэ (жак эсвэлхатагтай эсвэлхаан эсвэлхөзрийн тамга).

Хамтарсан арга хэмжээний тухайд арай илүү сонирхолтой юм:

Үйл явдал бол тавцангаас клуб сугалах явдал юм эсвэлДолоо эсвэлдолоон клуб Дээр дурдсан тодорхойлолтын дагуу ядаж ямар нэг зүйл- эсвэл аль нэг клуб эсвэл аль нэг долоо эсвэл тэдгээрийн "уулзвар" - долоон клуб. Энэ үйл явдал нь 12 үндсэн үр дүнд (9 клубын карт + үлдсэн 3 долоо) тохирч байгааг тооцоолоход хялбар байдаг.

Үйл явдал нь маргааш 12.00 цагт ирнэ Хамтарсан арга хэмжээнүүдийн НААДДАЖ НЭГ, тухайлбал:

– эсвэл зөвхөн бороо орно / аянга цахилгаантай / зөвхөн нар орно;
– эсвэл зөвхөн зарим хос үйл явдал тохиолдох болно (бороо + аянга цахилгаан / бороо + нар / аадар бороо + нар);
– эсвэл бүх гурван үйл явдал нэгэн зэрэг гарч ирнэ.

Өөрөөр хэлбэл, үйл явдал нь 7 боломжит үр дүнг багтаасан болно.

Үйл явдлын алгебрын хоёр дахь багана:

2) Ажилхоёр үйл явдал бөгөөд эдгээр үйл явдлуудын хамтарсан тохиолдлоос бүрдэх үйл явдлыг нэрлэх, өөрөөр хэлбэл үржүүлэх гэдэг нь зарим нөхцөл байдалд байх болно гэсэн үг юм. Тэгээдүйл явдал, Тэгээдүйл явдал. Үүнтэй төстэй мэдэгдэл нь олон тооны үйл явдлын хувьд үнэн байдаг, жишээлбэл, ажил нь тодорхой нөхцөлд ийм зүйл болно гэсэн үг юм Тэгээдүйл явдал, Тэгээдүйл явдал, Тэгээдүйл явдал, …, Тэгээдүйл явдал.

Хоёр зоос шидсэн тестийг авч үзье болон дараах үйл явдлууд:

– 1-р зоос дээр толгойнууд гарч ирнэ;
– 1-р зоос толгой дээр бууна;
– 2 дахь зоос дээр толгойнууд гарч ирнэ;
– 2-р зоос толгой дээр бууна.

Дараа нь:
Тэгээд 2-р) толгойнууд гарч ирнэ;
– үйл явдал нь хоёр зоос дээр (1-р Тэгээд 2-нд) энэ нь толгой байх болно;
– үйл явдал нь 1-р зоос толгой буух болно Тэгээд 2 дахь зоос нь сүүл;
– үйл явдал нь 1-р зоос толгой буух болно Тэгээд 2 дахь зоосон дээр бүргэд байдаг.

Тэр үйл явдлуудыг харахад хялбар байдаг нийцэхгүй (Учир нь энэ нь нэгэн зэрэг 2 толгой, 2 сүүл байж болохгүй)болон хэлбэр бүтэн бүлэг (харгалзаж авснаас хойш Бүгдхоёр зоос шидэх боломжтой үр дүн). Эдгээр үйл явдлуудыг тоймлон хүргэе: . Энэ оруулгыг хэрхэн тайлбарлах вэ? Маш энгийн - үржүүлэх гэдэг нь логик холболтыг хэлнэ БА, мөн нэмэх - ЭСВЭЛ. Ийнхүү хүний ​​ойлгомжтой хэлээр уг хэмжээг уншихад хялбар байдаг: “Хоёр толгой гарч ирнэ эсвэлхоёр толгой эсвэл 1-р зоос толгой дээр буух болно Тэгээд 2-р сүүл дээр эсвэл 1-р зоос толгой дээр буух болно Тэгээд 2 дахь зоосон дээр бүргэд байгаа"

Энэ бол нэг жишээ юм нэг туршилтандхэд хэдэн объект оролцдог, энэ тохиолдолд хоёр зоос. Практик асуудлын өөр нэг нийтлэг схем бол дахин туршилт хийх , жишээ нь, ижил үхрийг 3 удаа дараалан өнхрүүлэх үед. Жагсаалтын хувьд дараах үйл явдлуудыг авч үзье.

- 1-р шидэлтэнд та 4 оноо авах болно;
– 2 дахь шидэлтэнд та 5 оноо авна;
– 3 дахь шидэлтэнд та 6 оноо авна.

Дараа нь үйл явдал 1-р шидэлтэнд та 4 оноо авах болно Тэгээд 2 дахь шидэлтэд та 5 оноо авах болно Тэгээд 3 дахь өнхрөхөд та 6 оноо авах болно. Мэдээжийн хэрэг, шоо дөрвөлжингийн хувьд бид зоос шидэж байснаас хамаагүй илүү олон хослол (үр дүн) гарах болно.

...Тэд сайн ойлгохгүй байж магадгүй гэдгийг би ойлгож байна сонирхолтой жишээнүүд, гэхдээ эдгээр нь асуудалд ихэвчлэн тулгардаг зүйлүүд бөгөөд тэдгээрээс зугтах боломжгүй байдаг. Зоос, шоо, хөзрийн тавцангаас гадна олон өнгийн бөмбөлөг бүхий савнууд, хэд хэдэн нэргүй хүмүүс бай руу буудаж, зарим нарийн ширийн зүйлийг байнга нунтаглаж байдаг уйгагүй ажилчин таныг хүлээж байна =)

Үйл явдлын магадлал

Үйл явдлын магадлал магадлалын онолын гол ойлголт юм. ...Алууртай логик зүйл, гэхдээ бид хаа нэгтээ эхлэх ёстой байсан =) Үүнийг тодорхойлох хэд хэдэн хандлага байдаг:

;
Магадлалын геометрийн тодорхойлолт ;
Магадлалын статистик тодорхойлолт .

Энэ нийтлэлд би боловсролын даалгаварт хамгийн өргөн хэрэглэгддэг магадлалын сонгодог тодорхойлолтод анхаарлаа хандуулах болно.

Тэмдэглэлүүд. Тодорхой үйл явдлын магадлалыг латин үсгээр том үсгээр тэмдэглэсэн бөгөөд үйл явдлыг өөрөө хаалтанд авч, аргументийн үүрэг гүйцэтгэдэг. Жишээлбэл:

Мөн жижиг үсэг нь магадлалыг илэрхийлэхэд өргөн хэрэглэгддэг. Ялангуяа та үйл явдлын төвөгтэй тэмдэглэгээ, тэдгээрийн магадлалыг орхиж болно дараах хэв маягийг дэмжинэ:

– зоос шидэхэд толгой гарах магадлал;
– шоо шидэхэд 5 оноо гарах магадлал;
– клубын костюмны картыг тавцангаас гаргах магадлал.

Энэ сонголт нь практик асуудлыг шийдвэрлэхэд түгээмэл байдаг, учир нь энэ нь шийдлийн бичлэгийг мэдэгдэхүйц багасгах боломжийг олгодог. Эхний тохиолдлын нэгэн адил энд "ярьдаг" доод үсэг/давуу бичгийг ашиглах нь тохиромжтой.

Миний дээр бичсэн тоонуудыг хүн бүр эртнээс таамаглаж байсан бөгөөд одоо тэд хэрхэн болсныг олж мэдэх болно.

Магадлалын сонгодог тодорхойлолт:

Тодорхой туршилтанд тохиолдох үйл явдлын магадлалыг харьцаа гэж нэрлэдэг бөгөөд үүнд:

– нийт тоохүн бүр адил боломжтой, анхан шатныэнэ туршилтын үр дүн, ямар хэлбэр үйл явдлын бүрэн бүлэг;

- тоо хэмжээ анхан шатныүр дүн, таатай үйл явдал.

Зоос шидэх үед толгой эсвэл сүүл нь унаж болно - эдгээр үйл явдлууд үүсдэг бүтэн бүлэг, ингэснээр үр дүнгийн нийт тоо; Үүний зэрэгцээ тус бүр нь анхан шатныТэгээд адил боломжтой. Үйл явдал нь үр дүн (толгой) -д таатай байна. Магадлалын сонгодог тодорхойлолтын дагуу: .

Үүний нэгэн адил үхэл шидсэний үр дүнд ижил төстэй боломжит энгийн үр дүн гарч ирэх бөгөөд энэ нь бүхэл бүтэн бүлгийг бүрдүүлж, үйл явдал нь нэг үр дүнд (тавыг эргэлдүүлэх) давуу тал болно. Тийм учраас: ЭНЭ ХИЙХИЙГ ХҮЛЭЭН АВАХГҮЙ (хэдийгээр таны толгойд хэдэн хувийг тооцохыг хориглодоггүй).

Нэгжийн бутархайг ашиглах нь заншилтай байдаг, мөн магадлал нь дотор өөр байж болох нь ойлгомжтой. Түүнээс гадна хэрэв , дараа нь үйл явдал болно боломжгүй, Хэрэв - найдвартай, хэрэв , дараа нь бид ярьж байна Санамсаргүйүйл явдал.

! Хэрэв та аливаа асуудлыг шийдэж байхдаа өөр магадлалын утгыг олж авбал алдааг хайж олоорой!

Магадлалыг тодорхойлох сонгодог аргад туйлын утгыг (тэг ба нэг) яг ижил үндэслэлээр олж авдаг. 10 улаан бөмбөг агуулсан тодорхой савнаас санамсаргүй байдлаар 1 бөмбөг сугалж ав. Дараах үйл явдлуудыг авч үзье.

нэг удаагийн туршилтаар бага магадлалтай үйл явдал гарахгүй.

Ийм учраас энэ үйл явдлын магадлал 0.00000001 байвал та сугалаанд азтан хожихгүй. Тийм ээ, тийм ээ, энэ бол та тодорхой эргэлтэд байгаа цорын ганц тасалбартай. Гэсэн хэдий ч илүү олон тооны тасалбар, олон тооны зураг танд тийм ч их тус болохгүй. ...Би бусдад энэ тухай ярихдаа “гэхдээ хэн нэгэн ялдаг” гэсэн хариуг бараг үргэлж сонсдог. За, тэгвэл дараах туршилтыг хийцгээе: өнөөдөр эсвэл маргааш ямар нэгэн сугалааны тасалбар худалдаж аваарай (битгий хойшлуул!). Хэрэв та ялах юм бол ... ядаж 10 кг-аас дээш бол бүртгүүлэхээ мартуузай - яагаад ийм зүйл болсныг би тайлбарлах болно. Мэдээж тодорхой хувиар =) =)

Гэхдээ гуниглах шаардлагагүй, учир нь эсрэг зарчим байдаг: хэрэв ямар нэгэн үйл явдлын магадлал нэгтэй маш ойрхон байвал нэг удаагийн туршилтаар энэ нь тийм болно. бараг л тодорхойтохиолдох болно. Тиймээс шүхрээр үсрэхээсээ өмнө айх шаардлагагүй, харин эсрэгээрээ инээмсэглээрэй! Эцсийн эцэст, шүхэр хоёулаа амжилтгүй болохын тулд огт төсөөлшгүй, гайхалтай нөхцөл байдал үүсэх ёстой.

Хэдийгээр энэ бүхэн уянгын шинж чанартай байдаг тул үйл явдлын агуулгаас хамааран эхний зарчим нь хөгжилтэй, хоёр дахь нь гунигтай байж болно; эсвэл бүр хоёулаа зэрэгцээ байна.

Магадгүй энэ нь одоохондоо хичээл дээр хангалттай байх Сонгодог магадлалын асуудлуудБид томъёоноос хамгийн их ашиг хүртэх болно. Энэ өгүүллийн төгсгөлд бид нэг чухал теоремыг авч үзэх болно.

Бүтэн бүлгийг бүрдүүлэх үйл явдлын магадлалын нийлбэр нь нэгтэй тэнцүү байна. Ойролцоогоор, хэрэв үйл явдлууд бүрэн бүтэн бүлгийг бүрдүүлж байвал тэдгээрийн аль нэг нь болох 100% магадлалтай. Хамгийн энгийн тохиолдолд бүрэн бүлэг нь эсрэг үйл явдлуудаар үүсдэг, жишээлбэл:

– зоос шидсэний үр дүнд толгойнууд гарч ирнэ;
– зоос шидэлтийн үр дүн нь толгой болно.

Теоремын дагуу:

Эдгээр үйл явдлууд адилхан боломжтой бөгөөд магадлал нь ижил байх нь туйлын тодорхой юм .

Магадлалын тэгш байдлаас шалтгаалан адил боломжтой үйл явдлуудыг ихэвчлэн дууддаг адил магадлалтай . Мөн энд хордлогын зэргийг тодорхойлох хэл эргүүлэх хэрэгсэл байна =)

Шоотой жишээ: үйл явдлууд эсрэгээрээ байна .

Харж буй теорем нь эсрэг үйл явдлын магадлалыг хурдан олох боломжийг олгодог тул тохиромжтой. Тиймээс, хэрэв тав өнхрөх магадлал мэдэгдэж байгаа бол өнхрөхгүй байх магадлалыг тооцоолоход хялбар байдаг.

Энэ нь таван үндсэн үр дүнгийн магадлалыг нэгтгэн дүгнэхээс хамаагүй хялбар юм. Анхан шатны үр дүнгийн хувьд энэ теорем нь бас үнэн юм.
. Жишээлбэл, хэрэв буудагч нь бай онох магадлал бол түүнийг алдах магадлал юм.

! Магадлалын онолын хувьд үсгийг бусад зорилгоор ашиглах нь зохисгүй юм.

Мэдлэгийн өдрийг тохиолдуулан би асуухгүй гэрийн даалгавар=), гэхдээ та дараах асуултуудад хариулах нь маш чухал юм.

-Ямар төрлийн арга хэмжээ болдог вэ?
– Аливаа үйл явдлын боломж ба тэгш боломж гэж юу вэ?
– Үйл явдлын нийцтэй/үл нийцэхгүй гэдэг ойлголтыг та хэрхэн ойлгож байна вэ?
– Үйл явдлын бүрэн бүлэг, эсрэг үйл явдлууд гэж юу вэ?
– Үйл явдлыг нэмэх, үржүүлэх гэдэг нь юу гэсэн үг вэ?
– Магадлалын сонгодог тодорхойлолтын мөн чанар юу вэ?
– Бүтэн бүлэг үүсгэх үйл явдлын магадлалыг нэмэх теорем яагаад хэрэгтэй вэ?

Үгүй ээ, та юу ч шахах шаардлагагүй, эдгээр нь магадлалын онолын үндэс суурь юм - таны толгойд хурдан багтах нэг төрлийн праймер. Үүнийг аль болох хурдан хийхийн тулд би хичээлүүдтэй танилцахыг санал болгож байна

Бодит байдал эсвэл бидний төсөөлөлд тохиолддог үйл явдлуудыг 3 бүлэгт хувааж болно. Эдгээр нь гарцаагүй тохиолдох тодорхой үйл явдлууд, боломжгүй, санамсаргүй үйл явдлууд юм. Магадлалын онол нь санамсаргүй үйл явдлуудыг судалдаг, өөрөөр хэлбэл. тохиолдож болох эсвэл болохгүй үйл явдал. Энэ нийтлэлийг танилцуулах болно ТовчхондооМатематикийн улсын нэгдсэн шалгалтын 4-р даалгаварт байх магадлалын онолын томъёо, магадлалын онолын асуудлыг шийдвэрлэх жишээ (профайлын түвшин).

Яагаад бидэнд магадлалын онол хэрэгтэй байна вэ?

Түүхээс харахад эдгээр асуудлуудыг судлах шаардлага 17-р зуунд мөрийтэй тоглоомын хөгжил, мэргэшсэн байдал, казино бий болсонтой холбогдуулан үүссэн. Энэ бол өөрийн гэсэн судалгаа, судалгаа шаарддаг бодит үзэгдэл байв.

Хөзөр, шоо, рулет тоглох нь хязгаарлагдмал тооны ижил боломжит үйл явдлууд тохиолдох нөхцөл байдлыг бий болгосон. Тодорхой үйл явдал тохиолдох боломжийн талаархи тоон тооцоог өгөх шаардлагатай байв.

20-р зуунд энэхүү хөнгөн мэт санагдах шинжлэх ухаан нь бичил ертөнц дэх үндсэн үйл явцыг ойлгоход чухал үүрэг гүйцэтгэдэг нь тодорхой болсон. Үүсгэгдсэн орчин үеийн онолмагадлал.

Магадлалын онолын үндсэн ойлголтууд

Магадлалын онолын судалгааны объект нь үйл явдал, тэдгээрийн магадлал юм. Хэрэв үйл явдал нарийн төвөгтэй бол түүнийг магадлалыг нь олоход хялбар энгийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд хувааж болно.

А ба В үйл явдлуудын нийлбэрийг С үйл явдал гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь А үйл явдал, В үйл явдал, эсвэл А ба В үйл явдлууд нэгэн зэрэг явагдсанаас бүрддэг.

А ба В үйл явдлын үржвэр нь С үйл явдал бөгөөд энэ нь А үйл явдал болон В үйл явдал хоёулаа тохиолдсон гэсэн үг юм.

А ба В үйл явдлууд нэгэн зэрэг тохиолдох боломжгүй бол тэдгээрийг үл нийцэх гэж нэрлэдэг.

А үйл явдал болохгүй бол боломжгүй гэж нэрлэдэг. Ийм үйл явдлыг тэмдгээр илэрхийлнэ.

А үйл явдал болох нь гарцаагүй бол түүнийг тодорхой гэж нэрлэдэг. Ийм үйл явдлыг тэмдгээр илэрхийлнэ.

А үйл явдал бүрийг P(A) тоотой холбоно. Хэрэв дараах нөхцлүүд энэ захидалд нийцэж байвал энэ P(A) тоог А үйл явдлын магадлал гэнэ.

Чухал онцгой тохиолдол бол ижил магадлалтай анхан шатны үр дүн байгаа нөхцөл байдал бөгөөд эдгээр үр дүнгийн дур зоргоороо А үйл явдлуудыг үүсгэдэг. Энэ тохиолдолд магадлалыг томъёогоор оруулж болно. Ийм байдлаар оруулсан магадлалыг сонгодог магадлал гэж нэрлэдэг. Энэ тохиолдолд 1-4 шинж чанар хангагдсан болохыг баталж болно.

Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтанд гарч буй магадлалын онолын асуудлууд нь ихэвчлэн сонгодог магадлалтай холбоотой байдаг. Ийм даалгавар нь маш энгийн байж болно. Магадлалын онолын асуудлууд ялангуяа энгийн демо сонголтууд. Тааламжтай үр дүнгийн тоог тооцоолоход хялбар байдаг; бүх үр дүнгийн тоог тухайн нөхцөл байдалд зөв бичсэн байдаг.

Бид томъёог ашиглан хариултыг авдаг.

Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын магадлалыг тодорхойлох асуудлын жишээ

Ширээн дээр 20 бялуу байна - 5 нь байцаатай, 7 нь алимтай, 8 нь будаатай. Марина бялуу авахыг хүсч байна. Тэр будаатай бялуу авах магадлал хэд вэ?

Шийдэл.

20 ижил магадлалтай энгийн үр дүн байдаг, өөрөөр хэлбэл Марина 20 бялууны аль нэгийг нь авч болно. Гэхдээ бид Марина будааны бялууг авах магадлалыг тооцоолох хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл А нь будааны бялууг сонгох явдал юм. Энэ нь таатай үр дүнгийн тоо (цагаан будаатай бялууг сонгох) ердөө 8 байна гэсэн үг юм. Дараа нь магадлалыг дараах томъёогоор тодорхойлно.

Бие даасан, эсрэг тэсрэг, дур зоргоороо үйл явдал

Гэсэн хэдий ч, онд задгай савИлүү нарийн төвөгтэй ажлууд тулгарч эхлэв. Тиймээс магадлалын онолоор судлагдсан бусад асуудалд уншигчдын анхаарлыг хандуулъя.

Хэрэв тус бүрийн магадлал нь нөгөө үйл явдал болох эсэхээс хамаарахгүй бол А ба В үйл явдлуудыг бие даасан гэж нэрлэдэг.

В үйл явдал бол А үйл явдал болоогүй, өөрөөр хэлбэл. В үйл явдал нь А үйл явдлын эсрэг байна. Эсрэг үйл явдлын магадлал нь шууд үйл явдлын магадлалыг хассантай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. .

Магадлалын нэмэх ба үржүүлэх теорем, томьёо

А, В дурын үйл явдлын хувьд эдгээр үйл явдлын нийлбэрийн магадлал нь тэдгээрийн хамтарсан үйл явдлын магадлалгүйгээр тэдгээрийн магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна, i.e. .

А ба В бие даасан үйл явдлуудын хувьд эдгээр үйл явдлуудын тохиолдох магадлал нь тэдгээрийн магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл. энэ тохиолдолд .

Сүүлийн 2 мэдэгдлийг магадлалыг нэмэх ба үржүүлэх теоремууд гэж нэрлэдэг.

Үр дүнгийн тоог тоолох нь үргэлж тийм ч хялбар байдаггүй. Зарим тохиолдолд комбинаторик томъёог ашиглах шаардлагатай байдаг. Хамгийн чухал зүйл бол тодорхой нөхцлийг хангасан үйл явдлын тоог тоолох явдал юм. Заримдаа ийм төрлийн тооцоолол нь бие даасан ажил болж чаддаг.

6 хоосон суудалд 6 сурагчийг хэдэн янзаар суулгах вэ? Эхний сурагч 6 байрын аль нэгийг авна. Эдгээр сонголт тус бүр нь хоёр дахь оюутны байранд орох 5 аргатай тохирч байна. 3-р байранд 4, 4-т 3, 5-д 2, 6-д үлдсэн ганц байрыг эзэлнэ. Бүх сонголтуудын тоог олохын тулд та 6 тэмдэгтээр тэмдэглэгдсэн бүтээгдэхүүнийг олох хэрэгтэй! мөн "зургаан хүчин зүйл" гэж уншина.

Ерөнхий тохиолдолд энэ асуултын хариултыг n элементийн сэлгэлтийн тооны томъёогоор өгнө.Манай тохиолдолд.

Одоо оюутнуудтайгаа өөр нэг тохиолдлыг авч үзье. 2 сурагчийг 6 хоосон суудалд хэдэн янзаар суулгах вэ? Эхний сурагч 6 байрын аль нэгийг авна. Эдгээр сонголт тус бүр нь хоёр дахь оюутны байранд орох 5 аргатай тохирч байна. Бүх сонголтуудын тоог олохын тулд та бүтээгдэхүүнийг олох хэрэгтэй.

Ерөнхийдөө энэ асуултын хариултыг k элемент дээр n элементийг байрлуулах тоог томъёогоор өгдөг.

Манай тохиолдолд .

Мөн энэ цувралын сүүлчийн тохиолдол. Та 6 сурагчаас гурвыг нь хэдэн аргаар сонгож болох вэ? Эхний сурагчийг 6 аргаар, хоёрдугаарт - 5 аргаар, гурав дахь нь - дөрвөн аргаар сонгож болно. Гэхдээ эдгээр сонголтуудын дунд ижил гурван оюутан 6 удаа гарч ирдэг. Бүх сонголтуудын тоог олохын тулд та утгыг тооцоолох хэрэгтэй: . Ерөнхийдөө энэ асуултын хариултыг элементийн элементүүдийн хослолын тоог томъёогоор өгдөг.

Манай тохиолдолд .

Магадлалыг тодорхойлох математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын асуудлыг шийдвэрлэх жишээ

Даалгавар 1. Эрхэлсэн түүвэрээс. Ященко.

Тавган дээр 30 бялуу байна: 3 махтай, 18 байцаатай, 9 интоортой. Саша санамсаргүй байдлаар нэг бялуу сонгов. Тэр интоортой болох магадлалыг ол.

.

Хариулт: 0.3.

Даалгавар 2. Эрхэлсэн түүвэрээс. Ященко.

1000 гэрлийн чийдэнгийн багц бүрт дунджаар 20 нь гэмтэлтэй байдаг. Багцаас санамсаргүй байдлаар авсан чийдэн ажиллах магадлалыг ол.

Шийдэл: Ажиллаж байгаа чийдэнгийн тоо 1000-20=980 байна. Дараа нь багцаас санамсаргүй байдлаар авсан чийдэн ажиллах магадлал:

Хариулт: 0.98.

Математикийн шалгалтын явцад У сурагч 9-өөс дээш бодлогыг зөв шийдэх магадлал 0.67 байна. U. 8-аас дээш бодлогыг зөв шийдэх магадлал 0.73 байна. U яг 9 бодлогыг зөв шийдэх магадлалыг ол.

Хэрэв бид тооны шулууныг төсөөлж, түүн дээр 8 ба 9-р цэгүүдийг тэмдэглэвэл "U. яг 9 асуудлыг зөв шийднэ” гэсэн болзолд “У. 8-аас дээш асуудлыг зөв шийднэ” гэсэн боловч “У. 9 гаруй асуудлыг зөв шийднэ” гэсэн юм.

Гэвч “У. 9-өөс дээш асуудлыг зөв шийднэ” гэсэн нөхцөлт “У. 8 гаруй асуудлыг зөв шийдвэрлэнэ” гэсэн юм. Тиймээс, хэрэв бид үйл явдлуудыг тэмдэглэвэл: "У. яг 9 асуудлыг зөв шийднэ" - А, "У. 8-аас дээш асуудлыг зөв шийднэ" - Б, "У. 9-ээс дээш асуудлыг зөв шийдвэрлэнэ” гэж C-ээр дамжуулна. Тэр шийдэл нь дараах байдалтай байна.

Хариулт: 0.06.

Геометрийн шалгалтанд оюутан шалгалтын асуултуудын жагсаалтаас нэг асуултад хариулдаг. Энэ нь тригонометрийн асуулт байх магадлал 0.2 байна. Энэ нь гадаад өнцгийн асуулт байх магадлал 0.15 байна. Энэ хоёр сэдэвтэй нэгэн зэрэг холбогдох асуулт байхгүй. Оюутан шалгалтанд дээрх хоёр сэдвийн аль нэгээр нь асуулт авах магадлалыг ол.

Бидэнд ямар үйл явдлууд тохиолдох талаар бодож үзье. Бидэнд үл нийцэх хоёр үйл явдал өгсөн. Өөрөөр хэлбэл, асуулт нь "Тригонометр" эсвэл "Гадаад өнцөг" сэдэвтэй холбоотой байх болно. Магадлалын теоремын дагуу үл нийцэх үйл явдлын магадлал нь үйл явдал бүрийн магадлалын нийлбэртэй тэнцүү тул бид эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэрийг олох ёстой, өөрөөр хэлбэл:

Хариулт: 0.35.

Өрөө нь гурван чийдэн бүхий дэнлүүгээр гэрэлтдэг. Жилийн дотор нэг чийдэнг шатаах магадлал 0.29 байна. Жилд ядаж нэг чийдэн асахгүй байх магадлалыг ол.

Боломжит үйл явдлуудыг авч үзье. Бидэнд гурван чийдэн байгаа бөгөөд тэдгээр нь өөр гэрлийн чийдэнгээс үл хамааран шатаж магадгүй юм. Эдгээр нь бие даасан үйл явдал юм.

Дараа нь бид ийм арга хэмжээний сонголтыг зааж өгөх болно. Дараах тэмдэглэгээг ашиглая: - чийдэн асаалттай байна, - чийдэн шатсан байна. Үүний хажууд бид үйл явдлын магадлалыг тооцоолох болно. Жишээ нь: "Чийдэн шатсан", "Чийдэн ассан", "Чийдэн ассан" гэсэн бие даасан гурван үйл явдлын магадлал: , "гэрлийн чийдэн" гэсэн үйл явдлын магадлал. асаалттай байна” нь “гэрлийн чийдэн асаагүй” үйл явдлын эсрэг үйл явдлын магадлалаар тооцогдоно.

ОРШИЛ

Бидний ойлголт сул учраас олон зүйл бидэнд ойлгомжгүй байдаг;
гэхдээ эдгээр зүйлс бидний ойлголтын хүрээнд ороогүй учраас.
Козьма Прутков

Хоёрдогч мэргэжлээр математикийн чиглэлээр суралцах гол зорилго боловсролын байгууллагуудМатематикийг тодорхой хэмжээгээр ашигладаг бусад хөтөлбөрийн хичээлүүдийг судлах, практик тооцоо хийх чадвар, логик сэтгэлгээг төлөвшүүлэх, хөгжүүлэхэд шаардлагатай математикийн цогц мэдлэг, чадварыг оюутнуудад олгох явдал юм.

Энэхүү бүтээлд хөтөлбөрт тусгагдсан математикийн "Магадлалын онол ба математикийн статистикийн үндэс" хэсгийн бүх үндсэн ойлголтыг ерөнхий боловсролын дунд боловсролын улсын боловсролын стандартад тусгасан болно (ОХУ-ын Боловсролын яам. М., 2002). ), тууштай танилцуулж, үндсэн теоремуудыг томъёолсон бөгөөд ихэнх нь нотлогдоогүй байна. Үндсэн асуудал, тэдгээрийг шийдвэрлэх арга зам, эдгээр аргыг практик асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглах технологийг авч үзсэн. Танилцуулгад нарийвчилсан тайлбар, олон жишээ дагалддаг.

Арга зүйн зааврыг судалж буй материалтай анхан шатны танилцах, лекцийн тэмдэглэл хөтлөх, практик хичээлд бэлтгэх, олж авсан мэдлэг, ур чадвар, чадварыг нэгтгэхэд ашиглаж болно. Нэмж дурдахад уг гарын авлага нь бакалаврын ангийн оюутнуудад өмнө нь судалж байсан зүйлийг хурдан эргэн санах боломжийг олгох лавлах хэрэгсэл болгон ашиглах болно.

Ажлын төгсгөлд сурагчдын өөрийгөө хянах горимд хийж болох жишээ, даалгавар байна.

Удирдамж нь цагийн болон бүтэн цагийн оюутнуудад зориулагдсан болно.

ҮНДСЭН ОЙЛГОЛТ

Магадлалын онол нь массын санамсаргүй үйл явдлын объектив зүй тогтлыг судалдаг. Энэ нь ажиглалтын үр дүнг цуглуулах, дүрслэх, боловсруулах аргуудыг боловсруулахтай холбоотой математик статистикийн онолын үндэс юм. Ажиглалтаар (туршилт, туршилт), i.e. үгийн өргөн утгаараа туршлага, бодит ертөнцийн үзэгдлийн талаархи мэдлэг үүсдэг.

Түүний дотор практик үйл ажиллагааҮр дагавар нь урьдчилан таамаглах боломжгүй, тохиолдлын байдлаас шалтгаалдаг үзэгдэлтэй бид байнга тулгардаг.

Санамсаргүй үзэгдлийг түүний тохиолдлын тоог туршилтын тоонд харьцуулсан харьцаагаар тодорхойлж болно, тэдгээр нь тус бүрт бүх туршилтын ижил нөхцөлд тохиолдож болох эсвэл тохиолдохгүй.

Магадлалын онол нь санамсаргүй үзэгдэл (үйл явдал)-ыг судалж, бөөнөөр нь давтагдах үед зүй тогтлыг тодорхойлдог математикийн салбар юм.

Математикийн статистик нь шинжлэх ухааны үндэслэлтэй дүгнэлт гаргах, шийдвэр гаргахад статистикийн мэдээллийг цуглуулах, системчлэх, боловсруулах, ашиглах аргуудыг судалдаг математикийн салбар юм.

Энэ тохиолдолд статистикийн өгөгдөл нь бидний сонирхож буй судалж буй объектуудын шинж чанарын тоон шинж чанарыг илэрхийлсэн тооны багц гэж ойлгогддог. Статистик мэдээллийг тусгайлан боловсруулсан туршилт, ажиглалтын үр дүнд олж авдаг.

Статистикийн өгөгдөл нь мөн чанараараа санамсаргүй олон хүчин зүйлээс хамаардаг тул математик статистик нь түүний онолын үндэс болох магадлалын онолтой нягт холбоотой байдаг.

I. МАГАДЛАЛ. МАГАДЛЫГ НЭМЭХ, ҮРЖҮҮЛЭХ ТЕОРЕМ

1.1. Комбинаторикийн үндсэн ойлголтууд

Комбинаторик гэж нэрлэгддэг математикийн салбарт олонлогийг авч үзэх, эдгээр олонлогийн элементүүдийн янз бүрийн хослолуудын найрлагатай холбоотой зарим асуудлыг шийддэг. Жишээ нь: 0, 1, 2, 3,: , 9 гэсэн 10 өөр тоог аваад тэдгээрийн хослолыг хийвэл өөр өөр тоо гарна, жишээ нь 143, 431, 5671, 1207, 43 гэх мэт.

Эдгээр хослолуудын зарим нь зөвхөн цифрүүдийн дарааллаар (жишээлбэл, 143 ба 431), бусад нь тэдгээрт багтсан цифрүүдээр (жишээлбэл, 5671 ба 1207), бусад нь цифрүүдийн тоогоор ялгаатай байгааг бид харж байна. (жишээлбэл, 143 ба 43).

Тиймээс үүссэн хослолууд нь янз бүрийн нөхцлийг хангадаг.

Бүтцийн дүрмээс хамааран гурван төрлийн хослолыг ялгаж болно. сэлгэлт, байршил, хослол.

Эхлээд ойлголттой танилцъя хүчин зүйл.

Бүгдийн бүтээгдэхүүн натурал тоонууд 1-ээс n-ийг багтаасан гэж нэрлэдэг n-фактор мөн бичих.

Тооцоолох: a) ; б) ; V) .

Шийдэл. A) .

б) Түүнээс хойш , дараа нь бид үүнийг хаалтнаас гаргаж болно

Дараа нь бид авна

V) .

Дахин зохион байгуулалт.

Зөвхөн элементүүдийн дарааллаар бие биенээсээ ялгаатай n элементийн хослолыг солих гэж нэрлэдэг.

Сэлгээг тэмдгээр тэмдэглэнэ П н , энд n нь сэлгэлт бүрт орсон элементүүдийн тоо юм. ( Р- франц үгийн эхний үсэг солих- дахин зохион байгуулалт).

Сэлгээний тоог томъёогоор тооцоолж болно

эсвэл факториал ашиглан:

Үүнийг санацгаая 0!=1 ба 1!=1.

Жишээ 2. Нэг тавиур дээр зургаан өөр номыг хэдэн янзаар байрлуулж болох вэ?

Шийдэл. Шаардлагатай тооны арга нь 6 элементийн сэлгэцийн тоотой тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл.

Байршлуулалт.

Нийтлэлүүд мдоторх элементүүд nТус бүрд ийм нэгдлүүдийг бие биенээсээ элементүүдээр (дор хаяж нэг) эсвэл тэдгээрийн зохион байгуулалтын дарааллаар ялгаатай гэж нэрлэдэг.

Байршлыг хаана гэсэн тэмдгээр заана м- боломжтой бүх элементүүдийн тоо, n- хослол бүрийн элементийн тоо. ( А-франц үгийн эхний үсэг зохицуулалт, энэ нь "байруулах, эмх цэгцтэй болгох" гэсэн утгатай).

Үүний зэрэгцээ энэ нь гэж үздэг nm.

Байршлын тоог томъёогоор тооцоолж болно

,

тэдгээр. -аас бүх боломжит байршлын тоо мэлементүүд nбүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна nдараалсан бүхэл тоонуудын хамгийн том нь м.

Энэ томъёог хүчин зүйлийн хэлбэрээр бичье.

Жишээ 3. Таван өргөдөл гаргагчийн хувьд янз бүрийн профайлтай сувиллын газруудад гурван эрхийн бичгийг хуваарилах хэдэн хувилбарыг нэгтгэж болох вэ?

Шийдэл. Шаардлагатай тооны сонголт нь 3 элементийн 5 элементийн байршлын тоотой тэнцүү байна, i.e.

.

Хослолууд.

Хослолууд нь бүх боломжит хослолууд юм мэлементүүд n, бие биенээсээ дор хаяж нэг элементээр ялгаатай (энд мТэгээд n-натурал тоо, ба н м).

-ийн хослолын тоо мэлементүүд n(-ээр тэмдэглэсэн) ХАМТ-Франц үгийн эхний үсэг хослол- хослол).

Ерөнхийдөө тоо мэлементүүд n-аас байршуулсан тоотой тэнцүү байна мэлементүүд n, -аас солих тоонд хуваагдана nэлементүүд:

Байршил, сэлгэцийн тоог факториал томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

Жишээ 4. 25 хүний ​​бүрэлдэхүүнтэй багт тодорхой газар нутагт ажиллахын тулд дөрвийг хуваарилах хэрэгтэй. Үүнийг хэдэн аргаар хийж болох вэ?

Шийдэл. Сонгосон дөрвөн хүний ​​дараалал хамаагүй тул үүнийг хийх арга замууд бий.

Бид эхний томъёог ашиглан олдог

.

Үүнээс гадна асуудлыг шийдвэрлэхдээ хослолын үндсэн шинж чанарыг илэрхийлсэн дараах томъёог ашигладаг.

(тодорхойлолтоор тэд гэж үздэг ба);

.

1.2. Комбинаторын асуудлыг шийдвэрлэх

Даалгавар 1. Тус факультетэд 16 хичээл судалдаг. Даваа гаригийн хуваарьт 3 хичээл оруулах шаардлагатай. Үүнийг хэдэн аргаар хийж болох вэ?

Шийдэл. Та 16 зүйлийн байршлыг 3-аар зохицуулж чадах шиг 16 зүйлээс 3 зүйлийг төлөвлөх олон арга бий.

Даалгавар 2. 15 объектоос 10 объектыг сонгох шаардлагатай. Үүнийг хэдэн аргаар хийж болох вэ?

Даалгавар 3. Тэмцээнд 4 баг оролцов. Тэдний хооронд суудал хуваарилах хэдэн хувилбар байж болох вэ?

.

Бодлого 4. 80 цэрэг, 3 офицертой бол гурван цэрэг, нэг офицерийн эргүүлийг хэдэн аргаар байгуулж болох вэ?

Шийдэл. Та эргүүлийн цэрэг сонгож болно

арга замууд, офицерууд арга замаар. Ямар ч офицер цэрэг бүртэй хамт явах боломжтой тул маш олон арга зам бий.

Даалгавар 5. Хэрэв энэ нь мэдэгдэж байгаа бол ол.

Түүнээс хойш бид авдаг

,

,

Хослолын тодорхойлолтоор , . Тэр. .

1.3. Санамсаргүй үйл явдлын тухай ойлголт. Үйл явдлын төрлүүд. Үйл явдлын магадлал

Өгөгдсөн нөхцлөөр хийгдсэн аливаа үйлдэл, үзэгдэл, хэд хэдэн өөр үр дүн бүхий ажиглалтыг нэрлэх болно. тест.

Энэ үйлдэл эсвэл ажиглалтын үр дүнг гэж нэрлэдэг үйл явдал .

Хэрэв өгөгдсөн нөхцөлд үйл явдал тохиолдож болох эсвэл болохгүй бол түүнийг дуудна Санамсаргүй . Үйл явдал болох нь тодорхой бол түүнийг дууддаг найдвартай , мөн энэ нь илт тохиолдох боломжгүй тохиолдолд, - боломжгүй.

Үйл явдал гэж нэрлэдэг нийцэхгүй , хэрэв тэдгээрийн зөвхөн нэг нь л гарч ирэх боломжтой бол.

Үйл явдал гэж нэрлэдэг хамтарсан , хэрэв өгөгдсөн нөхцөлд эдгээр үзэгдлүүдийн аль нэг нь тохиолдсон нь ижил туршилтын явцад нөгөө нь тохиолдохыг үгүйсгэхгүй.

Үйл явдал гэж нэрлэдэг эсрэг , хэрэв туршилтын нөхцөлд тэдгээр нь үл нийцэх цорын ганц үр дүн юм.

Үйл явдлыг ихэвчлэн латин цагаан толгойн том үсгээр тэмдэглэдэг. A B C D, : .

A 1 , A 2 , A 3 , : , A n үйл явдлын бүрэн систем нь өгөгдсөн туршилтын явцад дор хаяж нэг нь заавал тохиолдох үл нийцэх үйл явдлын багц юм.

Хэрэв бүрэн систем нь хоёр үл нийцэх үйл явдлаас бүрддэг бол ийм үйл явдлуудыг эсрэг гэж нэрлэдэг ба A ба .

Жишээ. Хайрцагт дугаарласан 30 бөмбөг байна. Дараах үйл явдлуудын аль нь боломжгүй, найдвартай эсвэл эсрэгээр болохыг тодорхойл.

дугаарласан бөмбөг гаргав (A);

тэгш тоотой бөмбөг авсан (IN);

сондгой тоотой бөмбөг авсан (WITH);

дугааргүй бөмбөг авсан (D).

Тэдгээрийн аль нь бүрэн бүлгийг бүрдүүлдэг вэ?

Шийдэл . А- найдвартай үйл явдал; Д- боломжгүй үйл явдал;

болон ХАМТ- эсрэг үйл явдлууд.

үйл явдлын бүрэн бүлэг бүрдэнэ АТэгээд Д, ВТэгээд ХАМТ.

Үйл явдлын магадлалыг санамсаргүй тохиолдлын объектив боломжийн хэмжүүр гэж үздэг.

1.4. Магадлалын сонгодог тодорхойлолт

Үйл явдал тохиолдох объектив боломжийн хэмжүүрийг илэрхийлсэн тоог нэрлэнэ магадлал энэ үйл явдал бөгөөд тэмдэгтээр тэмдэглэгдсэн байна R(A).

Тодорхойлолт. Үйл явдлын магадлал Аөгөгдсөн үйл явдал тохиолдохыг дэмжсэн үр дүнгийн тооны харьцаа m А, дугаар руу nбүх үр дүн (тогтворгүй, зөвхөн боломжтой, адил боломжтой), i.e. .

Тиймээс аливаа үйл явдлын магадлалыг олохын тулд туршилтын янз бүрийн үр дүнг харгалзан үзэж, бүх боломжит үл нийцэх үр дүнг тооцоолох шаардлагатай. n,Бидний сонирхож буй үр дүнгийн тоог m сонгож, харьцааг тооцоол мруу n.

Энэ тодорхойлолтоос дараахь шинж чанарууд гарч ирнэ.

Аливаа тестийн магадлал нь нэгээс хэтрэхгүй сөрөг бус тоо юм.

Үнэхээр шаардлагатай үйл явдлын тоо m дотор байна. Хоёр хэсэг болгон хуваах n, бид авдаг

2. Найдвартай үйл явдлын магадлал нэгтэй тэнцүү, учир нь .

3. Боломжгүй үйл явдлын магадлал 0, учир нь .

Бодлого 1. 1000 тасалбарын сугалааны тохиролд 200 нь хожсон байна. Нэг тасалбарыг санамсаргүй байдлаар авдаг. Энэ тасалбар ялагч болох магадлал хэд вэ?

Шийдэл. Төрөл бүрийн үр дүнгийн нийт тоо n=1000. Ялах таатай үр дүнгийн тоо m=200 байна. Томъёоны дагуу бид авдаг

.

Бодлого 2. 18 хэсгээс бүрдсэн багцад 4 гэмтэлтэй байна. 5 хэсгийг санамсаргүй байдлаар сонгосон. Эдгээр 5 хэсгийн хоёр нь гэмтэлтэй байх магадлалыг ол.

Шийдэл. Бүх адил боломжтой бие даасан үр дүнгийн тоо n 18-аас 5-ын хослолын тоотой тэнцүү, өөрөөр хэлбэл.

А үйл явдлыг илүүд үздэг m тоог тоолъё. Санамсаргүй байдлаар авсан 5 хэсгээс 3 сайн, 2 гэмтэлтэй хэсэг байх ёстой. Одоо байгаа 4 согогоос хоёр гэмтэлтэй хэсгийг сонгох аргын тоо нь 4-ийн 2-ын хослолын тоотой тэнцүү байна.

Боломжтой 14 чанарын хэсгээс гурван чанарын хэсгийг сонгох аргын тоо тэнцүү байна

.

Ямар ч бүлэг сайн хэсгүүдийг ямар ч бүлэг гэмтэлтэй хэсгүүдтэй нэгтгэж болох тул нийт хослолын тоо мхэмжээтэй тэнцэнэ

А үйл явдлын шаардлагатай магадлал нь энэ үйл явдалд таатай үр дүнгийн m-ийн тоог бүх ижил боломжтой бие даасан үр дүнгийн n тоотой харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна.

.

Хязгаарлагдмал тооны үйл явдлын нийлбэр нь тэдгээрийн дор хаяж нэг нь тохиолдсоноос бүрдсэн үйл явдал юм.

Хоёр үйл явдлын нийлбэрийг A+B тэмдэг, нийлбэрээр тэмдэглэнэ n A 1 +A 2 + тэмдэгтэй үйл явдлууд: +A n.

Магадлалын нэмэх теорем.

Хоёр үл нийцэх үйл явдлын нийлбэрийн магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Дүгнэлт 1. Хэрэв А 1, А 2, :,А n үйл явдал нь бүтэн системийг бүрдүүлж байвал эдгээр үзэгдлийн магадлалын нийлбэр нэгтэй тэнцүү байна.

Үр дүн 2. Эсрэг үйл явдлын магадлалын нийлбэр ба нэгтэй тэнцүү.

.

Бодлого 1. Сугалааны 100 тасалбар байна. 5 тасалбар тус бүр 20,000 рубль, 10 тасалбар 15,000 рубль, 15 тасалбар 10,000 рубль, 25 тасалбар 2000 рубль хожсон нь мэдэгдэж байна. үлдсэн нь юу ч биш. Худалдан авсан тасалбар дор хаяж 10,000 рублийн ялалт авах магадлалыг ол.

Шийдэл. Худалдан авсан тасалбар нь тус бүр 20,000, 15,000, 10,000 рубльтэй тэнцэх хэмжээний хожил авахаас бүрдсэн үйл явдлуудыг A, B, C гэж үзье. A, B, C үйл явдлууд хоорондоо нийцэхгүй байгаа тул

Даалгавар 2. Асаалттай гадуурхТехникийн сургууль хотуудаас математикийн шалгалт авдаг А, БТэгээд ХАМТ. Хотоос шинжилгээ авах магадлал А 0.6-тай тэнцүү, хотоос IN- 0.1. Дараагийнх болох магадлалыг ол тестхотоос ирнэ ХАМТ.

Хоёр үйл явдлын хоорондын холболтын хамгийн энгийн жишээ бол нэг үйл явдал тохиолдоход нөгөө нь зайлшгүй гарахад хүргэдэг, эсвэл эсрэгээр нэг нь тохиолдох нь нөгөө нь тохиолдох боломжийг үгүйсгэдэг учир шалтгааны холбоо юм.

Зарим үйл явдлын бусдаас хамааралтай байдлыг тодорхойлохын тулд уг ойлголтыг нэвтрүүлсэн нөхцөлт магадлал.

Тодорхойлолт. Болъё АТэгээд IN- нэг тестийн санамсаргүй хоёр үйл явдал. Дараа нь үйл явдлын нөхцөлт магадлал Аэсвэл В үйл явдал тохиолдсон тохиолдолд А үйл явдлын магадлалыг тоо гэнэ.

Нөхцөлт магадлалыг тэмдэглэснээр бид томъёог олж авна

, .

Даалгавар 1. Нэг хүүхэдтэй айлд хүү, хоёр дахь хүү төрөх магадлалыг тооцоол.

Шийдэл. Үйл явдал болъё Ань гэр бүлд хоёр хүү байдаг бөгөөд үйл явдал IN- тэр нэг хүү.

Бүх боломжит үр дүнг авч үзье: хүү, хүү; хүү, охин; охин, хүү; охин, охин.

Дараа нь томъёог ашиглан бид олдог

.

Үйл явдал Адуудсан бие даасан арга хэмжээнээс IN, хэрэв үйл явдал тохиолдсон бол INүйл явдлын магадлалд ямар ч нөлөө үзүүлэхгүй А.

Магадлалын үржүүлэх теорем

Хоёр бие даасан үйл явдлын нэгэн зэрэг тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.

Нийтдээ бие даасан хэд хэдэн үйл явдал тохиолдох магадлалыг томъёогоор тооцоолно

Бодлого 2. Эхний саванд 6 хар, 4 цагаан бөмбөлөг, хоёр дахь саванд 5 хар, 7 цагаан бөмбөг байна. Цүнх бүрээс нэг бөмбөг сугалж авдаг. Хоёр бөмбөг цагаан өнгөтэй байх магадлал хэд вэ?

А ба INүйл явдал байна AB. Тиймээс,

б) Хэрэв эхний элемент ажиллаж байвал үйл явдал тохиолдоно (үйл явдлын эсрэг талд). А- энэ элементийн эвдрэл); хоёр дахь элемент ажиллаж байгаа бол - үйл явдал IN.Үйл явдлын магадлалыг олцгооё:

Дараа нь энэ хоёр элемент хоёулаа ажиллах болно, тиймээс,

Магадлалын сонгодог тодорхойлолт нь үзэл баримтлал дээр суурилдаг магадлалын туршлага,эсвэл магадлалын туршилт. Үүний үр дүн нь хэд хэдэн боломжит үр дагаврын нэг юм үндсэн үр дүн, мөн магадлалын туршилтыг давтах үед аливаа энгийн үр дүн бусдаас илүү олон удаа гарч ирнэ гэж хүлээх шалтгаан байхгүй. Жишээлбэл, шоо шидэх магадлалын туршилтыг авч үзье. Энэ туршилтын үр дүн нь кубын хажуу тал дээр зурсан 6 цэгийн аль нэг нь алдагдсан явдал юм.

Тиймээс энэ туршилтанд 6 үндсэн үр дүн гарч байна.

мөн тус бүр нь адилхан хүлээгдэж байна.

Үйл явдалмагадлалын сонгодог туршилтын хувьд анхан шатны үр дүнгийн дурын дэд олонлог юм. Талийгаач шидэх тухай авч үзсэн жишээнд энэ үйл явдал нь жишээлбэл, энгийн үр дүнгээс бүрдэх тэгш тооны оноо алдах явдал юм.

Үйл явдлын магадлал нь дараах тоо юм.

Энэ нь үйл явдлыг бүрдүүлдэг анхан шатны үр дүнгийн тоо хаана байна (заримдаа энэ нь үйл явдал тохиолдохыг дэмждэг энгийн үр дүнгийн тоо гэж хэлдэг) бөгөөд бүх үндсэн үр дүнгийн тоо юм.

Бидний жишээнд:

Комбинаторикийн элементүүд.

Олон магадлалын туршилтуудыг тайлбарлахдаа үндсэн үр дүнг комбинаторикийн (хязгаарлагдмал олонлогуудын шинжлэх ухаан) дараах объектуудын аль нэгээр нь тодорхойлж болно.

Дахин зохион байгуулалттоонуудын тоо гэдэг нь эдгээр тоог давталгүйгээр дур зоргоороо эрэмбэлсэн дүрслэл юм. Жишээлбэл, гурван тооны багцын хувьд 6 өөр солилт байдаг:

, , , , , .

Учир нь дурын тооны сэлгэлт тэнцүү байна

(1-ээс эхлэн натурал цувралын дараалсан тоонуудын үржвэр).

-ийн хослололонлогийн дурын элементээс бүрдсэн дурын эрэмблэгдээгүй олонлог юм. Жишээлбэл, гурван тооны багцын хувьд 3-аас 2-ын 3 өөр хослол байдаг:

Дурын хосын хувьд , -ээс хослолын тоо тэнцүү байна

Жишээлбэл,

Гипергеометрийн тархалт.

Дараах магадлалын туршилтыг авч үзье. Цагаан, хар бөмбөг агуулсан хар хайрцаг байдаг. Бөмбөлгүүд нь ижил хэмжээтэй, хүрэхэд ялгагдахгүй. Туршилт нь санамсаргүй байдлаар бөмбөг зурахаас бүрдэнэ. Магадлалыг олох шаардлагатай үйл явдал бол эдгээр бөмбөлгүүдийн зарим нь цагаан, үлдсэн хэсэг нь хар өнгөтэй байна.

Бүх бөмбөгийг 1-ээс - хүртэлх тоогоор дахин дугаарлацгаая. 1, ¼ тоонууд нь цагаан бөмбөлөгтэй, ¼ тоонууд нь хар бөмбөлөгтэй тохирч байг. Энэхүү туршилтын үндсэн үр дүн нь олонлогийн дараалалгүй элементүүдийн багц, өөрөөр хэлбэл by-ийн хослол юм. Тиймээс бүх үндсэн үр дүн бий.

Үйл явдал тохиолдоход таатай анхан шатны үр дүнгийн тоог олцгооё. Холбогдох багцууд нь "цагаан" ба "хар" тооноос бүрдэнэ. Та "цагаан" тооноос тоог гурван аргаар, "хар" тооноос тоог ¾ аргаар сонгож болно. Цагаан ба хар багцыг дур зоргоороо холбож болох тул үйл явдалд таатай үр дүн нь зөвхөн энгийн үр дүн юм.

Үйл явдлын магадлал нь

Үүссэн томъёог гипергеометрийн тархалт гэж нэрлэдэг.

Асуудал 5.1.Хайрцаг нь стандартын 55, ижил төрлийн 6 гэмтэлтэй эд ангитай. Санамсаргүй байдлаар сонгосон гурван хэсгээс ядаж нэг нь гэмтэлтэй байх магадлал хэд вэ?

Шийдэл.Нийт 61 хэсэгтэй, бид 3-ыг авдаг. Анхан шатны үр дүн нь 61-ийн 3-ын хослол юм. Бүх үндсэн үр дүнгийн тоо нь -тэй тэнцүү байна. Тааламжтай үр дүнг гурван бүлэгт хуваадаг: 1) эдгээр нь 1 хэсэг нь гэмтэлтэй, 2 нь сайн үр дүн юм; 2) 2 хэсэг нь гэмтэлтэй, 1 нь сайн; 3) бүх 3 хэсэг нь гэмтэлтэй. Эхний төрлийн багцын тоо нь тэнцүү, хоёр дахь төрлийн багцын тоо нь тэнцүү, гурав дахь төрлийн багцын тоо нь тэнцүү байна. Иймээс аливаа үйл явдал тохиолдох нь энгийн үр дагаварт таатай байдаг. Үйл явдлын магадлал нь

Үйл явдлын алгебр

Энгийн үйл явдлын орон зай өгөгдсөн туршлагатай холбоотой бүх үндсэн үр дүнгийн багц юм.

Дүнхоёр үйл явдлыг тухайн үйл явдал, үйл явдалд хамаарах анхан шатны үр дүнгээс бүрдэх үйл явдал гэнэ.

Ажилхоёр үйл явдлыг тухайн үйл явдалд нэгэн зэрэг хамаарах анхан шатны үр дүнгээс бүрдэх үйл явдал гэнэ.

Үйл явдал ба хэрэв нийцэхгүй гэж нэрлэдэг.

Үйл явдал гэж нэрлэдэг эсрэгүйл явдал, хэрэв тухайн үйл явдалд хамааралгүй бүх энгийн үр дүн нь үйл явдалд таалагдсан бол. Тухайлбал, , .

НИЙТЛЭГИЙН ТЕОРЕМ.

Тухайлбал, .

Нөхцөлт магадлалүйл явдал болсон тохиолдолд тухайн уулзварт хамаарах анхан шатны үр дагаврын тоог . Өөрөөр хэлбэл, нөхцөлт магадлалүйл явдал магадлалын сонгодог томъёогоор тодорхойлогддог бөгөөд үүнд магадлалын шинэ орон зай нь . Үйл явдлын нөхцөлт магадлалыг -ээр тэмдэглэнэ.

Бүтээгдэхүүний ТЕОРЕМ. .

Үйл явдал гэж нэрлэдэг бие даасан, Хэрэв . Бие даасан үйл явдлын хувьд бүтээгдэхүүний теорем нь хамаарлыг өгдөг.

Нийлбэр ба бүтээгдэхүүний теоремуудын үр дагавар нь дараах хоёр томьёо юм.

Нийт магадлалын томъёо. Таамаглалын бүрэн бүлэг нь , ¼, , , ¼, , нийлээд магадлалын бүх орон зайг бүрдүүлдэг үл нийцэх үйл явдлын дурын багц юм.

Энэ тохиолдолд дурын үйл явдлын хувьд нийт магадлалын томъёо гэж нэрлэгддэг томъёо хүчинтэй байна.

функц хаана байна Лаплас... Лапласын функцийг хүснэгтээр харуулсан бөгөөд өгөгдсөн утгыг нь магадлалын онол, математик статистикийн ямар ч сурах бичгээс олж болно.

Асуудал 5.3.Их хэмжээний хэсгүүдэд 11% гэмтэлтэй байдаг нь мэдэгдэж байна. Туршилтанд зориулж 100 хэсгийг сонгосон. Тэдний дунд 14-өөс илүүгүй доголдолтой байх магадлал хэд вэ? Мойвр-Лаплас теоремыг ашиглан хариултыг тооцоол.

Шийдэл.Бид шалгалт хийж байна Бернулли, Хаана , , . Амжилтыг алдаатай хэсгийг олж илрүүлэх гэж үздэг бөгөөд амжилтын тоо нь тэгш бус байдлыг хангадаг. Тиймээс,

Шууд тооцоолол нь:

, , , , , , , , , , , , , , .

Тиймээс, . Одоо Мойвр-Лапласын интеграл теоремыг хэрэгжүүлье. Бид авах:

Функцийн утгуудын хүснэгтийг ашиглан функцийн сондгой байдлыг харгалзан бид олж авна

Ойролцоо тооцооны алдаа нь -ээс хэтрэхгүй.

Санамсаргүй хувьсагч

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь магадлалын туршилтын тоон шинж чанар бөгөөд анхан шатны үр дүнгийн функц юм. Хэрэв , , ¼ нь анхан шатны үр дүнгийн багц бол санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь -ийн функц болно. Гэхдээ санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг түүний бүх боломжит утгууд болон энэ утгыг авах магадлалыг жагсаах замаар тодорхойлох нь илүү тохиромжтой.

Ийм хүснэгтийг санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль гэж нэрлэдэг. Үйл явдлууд нь бүрэн бүтэн бүлгийг бүрдүүлдэг тул магадлалын хэвийн байдлын хууль хангагдсан байдаг

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт буюу дундаж утга нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний утга ба харгалзах магадлалын үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү тоо юм.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт (математикийн хүлээлтийн эргэн тойронд утгуудын тархалтын түвшин) нь хүлээгдэж буй үнэ цэнэсанамсаргүй хэмжигдэхүүн,

Үүнийг харуулж болно

Хэмжээ

санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж квадрат хазайлт гэнэ.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц нь олонлогт унах магадлал, өөрөөр хэлбэл

Энэ нь 0-ээс 1 хүртэлх утгыг авдаг сөрөг бус, буурахгүй функц юм. Төгсгөлийн багц утгатай санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд энэ нь төлөвийн цэгүүдэд хоёр дахь төрлийн тасалдалтай хэсэгчилсэн тогтмол функц юм. Түүнээс гадна, зүүн талдаа үргэлжилдэг.

Асуудал 5.4.Хоёр шоо дараалан шиддэг. Хэрэв нэг шоо дээр нэг, гурав, таван оноо гарч ирвэл тоглогч 5 рубль алддаг. Хэрэв хоёр эсвэл дөрвөн оноо эргэвэл тоглогч 7 рубль авна. Хэрэв зургаан оноо авсан бол тоглогч 12 рубль алддаг. Санамсаргүй утга xЭнэ нь хоёр шоо шидэхэд тоглогчийн ашиг юм. Хуваарилалтын хуулийг ол x, тархалтын функцийг зурж, математикийн хүлээлт ба дисперсийг ол x.

Шийдэл.Эхлээд үхэл шидэх үед тоглогчийн ялалт ямар хэмжээтэй тэнцэхийг авч үзье. 1, 3 эсвэл 5 оноо эргэлдэж байгаа үйл явдал байг. Дараа нь ялалт нь рубль болно. 2 эсвэл 4 оноо өнхрөх үйл явдал байг. Дараа нь ялалт нь рубль болно. Эцэст нь хэлэхэд, үйл явдал нь 6-г өнхрүүлээрэй. Дараа нь ялалт рубльтэй тэнцэнэ.

Одоо хоёр шоо шидэлттэй бүх боломжит үйл явдлын хослолуудыг авч үзээд ийм хослол бүрийн ялалтын утгыг тодорхойлно уу.

Хэрэв ямар нэгэн үйл явдал болсон бол тэр үед.

Хэрэв ямар нэгэн үйл явдал болсон бол тэр үед.

Үүнтэй адилаар бид , .

Бид бүх олдсон төлөвүүд болон эдгээр төлөвүүдийн нийт магадлалыг хүснэгтэд бичнэ.

Бид магадлалын хэвийн байдлын хуулийн биелэлтийг шалгадаг: бодит шугам дээр та санамсаргүй хэмжигдэхүүн энэ интервалд орох магадлалыг тодорхойлох боломжтой байх ёстой 1) ба ¼-д хурдан буурч байна.