0-тэй тригонометр. Тригонометр

Нэгэн цагт сургуульд тригонометрийн хичээлийн тусдаа курс байдаг байв. Энэхүү гэрчилгээнд алгебр, геометр, тригонометр гэсэн гурван математикийн хичээлийн дүнг оруулсан.

Дараа нь шинэчлэлийн хүрээнд сургуулийн боловсролтригонометр нь тусдаа сэдэв байхаа больсон. IN орчин үеийн сургуульТригонометртэй анхны танилцах нь 8-р ангийн геометрийн хичээлд тохиолддог. 10-р ангийн алгебрийн хичээл дээр уг сэдвийг илүү гүнзгийрүүлэн судлах ажил үргэлжилж байна.

Синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолтыг эхлээд геометрт тэгш өнцөгт гурвалжны талуудын хамаарлаар өгсөн болно.

Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцөг нь эсрэг талын гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.

КосинусТэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцөг нь зэргэлдээх хөлний гипотенузын харьцаа юм.

ТангенсТэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцөг нь эсрэг талынх нь зэргэлдээх талтай харьцуулсан харьцаа юм.

КотангенсТэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцөг нь зэргэлдээ талын эсрэг талын харьцаа юм.

Эдгээр тодорхойлолтууд нь зөвхөн хурц өнцөгт (0º-ээс 90°) хамаарна.

Жишээлбэл,

ABC гурвалжинд ∠C=90°, BC нь А өнцгийн эсрэг талын хөл, AC нь А өнцгийн зэргэлдээх хөл, AB нь гипотенуз юм.

10-р ангийн алгебрийн хичээл нь аль ч өнцгийн (сөрөг гэх мэт) синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолтыг танилцуулна.

О(0;0) цэг - цэг дээр төв нь R радиустай тойргийг авч үзье. Абсцисса тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй тойргийн огтлолцох цэгийг P 0 гэж тэмдэглэе.

Геометрийн хувьд өнцгийг хоёр цацрагаар хязгаарлагдсан хавтгайн хэсэг гэж үздэг. Энэ тодорхойлолтоор өнцөг нь 0 ° -аас 180 ° хооронд хэлбэлздэг.

Тригонометрийн хувьд өнцгийг OP 0 цацрагийн эхлэлийн О цэгийг тойруулан эргүүлсний үр дүн гэж үздэг.

Үүний зэрэгцээ тэд туяаг цагийн зүүний эсрэг эргүүлэх нь эерэг чиглэлд, харин цагийн зүүний дагуу эргэхийг сөрөг гэж үзэхээр тохиролцов (энэ гэрээ нь дэлхийг тойрон Нарны жинхэнэ хөдөлгөөнтэй холбоотой).

Жишээлбэл, OP 0 цацрагийг О цэгийн эргэн тойронд цагийн зүүний эсрэг α өнцгөөр эргүүлэхэд P 0 цэг нь P α цэг рүү очно.

цагийн зүүний дагуу α өнцгөөр эргэх үед - F цэг хүртэл.

Энэ тодорхойлолтоор өнцөг нь ямар ч утгыг авч болно.

Хэрэв бид OP 0 цацрагийг цагийн зүүний эсрэг үргэлжлүүлэн эргүүлэх юм бол α°+360°, α°+360°·2,...,α°+360°·n өнцгөөр эргэх үед n нь бүхэл тоо (n∈) байна. Ζ), дахин P α цэг рүү орцгооё:

Өнцгийг градус, радианаар хэмждэг.

1° нь боловсруулсан өнцгийн хэмжүүрийн 1/180-тай тэнцүү өнцөг юм.

1 радиан нь нумын урт нь тойргийн радиустай тэнцүү төв өнцөг юм.

∠AOB=1 рад.

Радиан тэмдэглэгээг ихэвчлэн бичдэггүй. Зэрэглэлийн тэмдэглэгээг оруулгад орхиж болохгүй.

Жишээлбэл,

OP 0 туяаг О цэгийн эргэн тойронд цагийн зүүний эсрэг α өнцгөөр эргүүлснээр P 0 цэгээс авсан P α цэг нь P α (x;y) координаттай байна.

P α цэгээс абсцисса тэнхлэг рүү перпендикуляр P α A буулгая.

OP α A тэгш өнцөгт гурвалжинд:

P α A - α өнцгийн эсрэг хөл,

OA - α өнцөгтэй зэргэлдээх хөл,

OP α нь гипотенуз юм.

P α A=y, OA=x, OP α =R.

Тэгш өнцөгт гурвалжин дахь синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолтоор бид:

Тиймээс дурын радиусын гарал үүсэл дээр төвтэй тойргийн хувьд синусөнцөг α нь P α цэгийн ординатыг радиусын урттай харьцуулсан харьцаа юм.

Косинусөнцөг α нь P α цэгийн абсциссыг радиусын урттай харьцуулсан харьцаа юм.

Тангенсөнцөг α нь P α цэгийн ординатыг абсциссатай харьцуулсан харьцаа юм.

Котангенсөнцөг α нь P α цэгийн абсциссыг ординаттай харьцуулсан харьцаа юм.

Синус, косинус, тангенс ба котангенсийн утгууд нь зөвхөн α-ийн утгаас хамаардаг бөгөөд R радиусын уртаас хамаардаггүй (энэ нь тойргийн ижил төстэй байдлаас хамаарна).

Тиймээс R=1 сонгох нь тохиромжтой.

Эх цэг дээр төвтэй, R=1 радиустай тойргийг нэгж тойрог гэнэ.

Тодорхойлолт

1) Синусα өнцгийг нэгж тойргийн P α (x;y) цэгийн ординат гэнэ.

2) Косинусα өнцгийг нэгж тойргийн P α (x;y) цэгийн абсцисса гэнэ.

3) Тангенсөнцөг α нь P α (x;y) цэгийн ординатын түүний абсциссатай харьцуулсан харьцаа, өөрөөр хэлбэл sinα ба cosα харьцаа (энэ нь cosα≠0):

4) Котангенсөнцөг α нь P α (x;y) цэгийн абсциссыг түүний ординаттай харьцуулсан харьцаа, өөрөөр хэлбэл cosα ба sinα (энд sinα≠0):

Ийм байдлаар танилцуулсан тодорхойлолтууд нь өнцгийн тригонометрийн функцийг төдийгүй тоон аргументуудын тригонометрийн функцуудыг авч үзэх боломжийг олгодог (хэрэв бид sinα, cosα, tanα, ctgα-г α радиан дахь өнцгийн харгалзах тригонометрийн функц гэж үзвэл, өөрөөр хэлбэл, α тооны синус нь α радиан дахь өнцгийн синус, α тооны косинус нь α радиан дахь өнцгийн косинус гэх мэт).

Тригонометрийн функцүүдийн шинж чанарыг 10, 11-р ангийн алгебрийн хичээлээр тусдаа сэдэв болгон судалдаг. Тригонометрийн функцийг физикт өргөн ашигладаг.

Ангилал: |

"А-г авах" видео хичээл нь танд хэрэгтэй бүх сэдвүүдийг багтаасан болно амжилттай дуусгахМатематикийн улсын нэгдсэн шалгалт 60-65 оноо. 1-13 бүх асуудлыг бүрэн гүйцэд Профайл Улсын нэгдсэн шалгалтматематик. Мөн математикийн улсын нэгдсэн шалгалтыг өгөхөд тохиромжтой. Улсын нэгдсэн шалгалтыг 90-100 оноотой өгөхийг хүсвэл 1-р хэсгийг 30 минутад алдаагүй шийдэх хэрэгтэй!

10-11-р анги, багш нарт зориулсан Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх курс. Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын 1-р хэсгийг (эхний 12 бодлого) болон 13-р бодлого (тригонометр) шийдвэрлэхэд шаардлагатай бүх зүйл. Энэ бол Улсын нэгдсэн шалгалтын 70-аас дээш оноо бөгөөд 100 оноотой оюутан ч, хүмүүнлэгийн ухааны оюутан ч тэдэнгүйгээр хийж чадахгүй.

Шаардлагатай бүх онол. Улсын нэгдсэн шалгалтын шуурхай шийдэл, бэрхшээл, нууц. FIPI Даалгаврын Банкны 1-р хэсгийн одоогийн бүх ажлуудад дүн шинжилгээ хийсэн. Хичээл нь 2018 оны Улсын нэгдсэн шалгалтын шаардлагыг бүрэн хангасан.

Хичээл нь тус бүр 2.5 цагийн 5 том сэдэвтэй. Сэдэв бүрийг эхнээс нь энгийн бөгөөд ойлгомжтойгоор өгсөн болно.

Улсын нэгдсэн шалгалтын олон зуун даалгавар. Үгийн бодлого ба магадлалын онол. Асуудлыг шийдвэрлэх энгийн бөгөөд санахад хялбар алгоритмууд. Геометр. онол, лавлах материал, Улсын нэгдсэн шалгалтын бүх төрлийн даалгаварт дүн шинжилгээ хийх. Стереометр. Нарийн төвөгтэй шийдэл, ашигтай хууран мэхлэлт, орон зайн төсөөллийг хөгжүүлэх. Тригонометрийг эхнээс нь асуудал хүртэл 13. Шатаж байхын оронд ойлгох. Нарийн төвөгтэй ойлголтуудын тодорхой тайлбар. Алгебр. Үндэс, хүч ба логарифм, функц ба дериватив. Улсын нэгдсэн шалгалтын 2-р хэсгийн нарийн төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэх үндэс.

Энэ хичээлээр бид тригонометрийн функцийг нэвтрүүлэх хэрэгцээ хэрхэн үүсч, яагаад тэдгээрийг судалж байгаа, энэ сэдвээр юу ойлгох хэрэгтэй, хаана илүү сайн сурах хэрэгтэй (техник гэж юу вэ) талаар ярилцах болно. Техник, ойлголт хоёр өөр зүйл гэдгийг анхаарна уу. Зөвшөөрч байна, ялгаа бий: унадаг дугуй унаж сурах, өөрөөр хэлбэл үүнийг хэрхэн хийхийг ойлгох эсвэл мэргэжлийн дугуйчин болох. Тригонометрийн функцууд яагаад хэрэгтэйг ойлгох талаар бид тусгайлан ярих болно.

Дөрвөн тригонометрийн функц байдаг боловч тэдгээрийг бүгдийг нь таних тэмдэг (тэдгээртэй холбоотой тэгшитгэл) ашиглан нэгээр илэрхийлж болно.

Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн тригонометрийн функцүүдийн албан ёсны тодорхойлолтууд (Зураг 1).

СинусТэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцөг нь эсрэг талын гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.

КосинусТэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцөг нь зэргэлдээх хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.

ТангенсТэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцөг нь эсрэг талын хажуугийн хажуугийн харьцаа юм.

КотангенсТэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцөг нь зэргэлдээ талын эсрэг талын харьцаа юм.

Цагаан будаа. 1. Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн тригонометрийн функцийг тодорхойлох

Эдгээр тодорхойлолтууд нь албан ёсны шинж чанартай байдаг. Зөвхөн нэг функц байдаг, тухайлбал синус гэж хэлэх нь илүү зөв юм. Хэрэв тэдгээр нь технологид тийм ч их хэрэгцээгүй байсан бол (тийм ч олон удаа ашиглагддаггүй) ийм олон янзын тригонометрийн функцүүдийг нэвтрүүлэхгүй байх байсан.

Жишээлбэл, өнцгийн косинус нь () -ийг нэмснээр ижил өнцгийн синустай тэнцүү байна. Нэмж дурдахад, өнцгийн косинусыг үндсэн тригонометрийн таних тэмдэг () ашиглан тэмдэг хүртэл ижил өнцгийн синусаар үргэлж илэрхийлж болно. Өнцгийн тангенс нь синус ба косинусын харьцаа эсвэл урвуу котангенс юм (Зураг 2). Зарим нь котангенсыг огт ашигладаггүй, үүнийг . Тиймээс нэг тригонометрийн функцийг ойлгож, ажиллах чадвартай байх нь чухал юм.

Цагаан будаа. 2. Төрөл бүрийн тригонометрийн функцүүдийн хоорондын хамаарал

Гэхдээ яагаад ийм функц хэрэгтэй байсан бэ? Тэд ямар практик асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг вэ? Хэд хэдэн жишээг харцгаая.

Хоёр хүн ( АТэгээд IN) машиныг шалбаагнаас түлхэх (Зураг 3). Хүн INмашиныг хажуу тийш нь түлхэж болно, гэхдээ энэ нь туслах боломжгүй юм А. Нөгөөтэйгүүр, түүний хүчин чармайлтын чиглэл аажмаар өөрчлөгдөж болно (Зураг 4).

Цагаан будаа. 3. INмашиныг хажуу тийш нь түлхдэг

Цагаан будаа. 4. INхүчин чармайлтынхаа чиглэлийг өөрчилж эхэлдэг

Машиныг нэг чиглэлд түлхэх үед тэдний хүчин чармайлт хамгийн үр дүнтэй байх нь тодорхой байна (Зураг 5).

Цагаан будаа. 5. Хүчин чармайлтын хамгийн үр дүнтэй хамтарсан чиглэл

Хэр их INхүчний чиглэл нь түүний ажиллаж буй хүчний чиглэлтэй ойролцоо байх хэмжээгээр машиныг түлхэхэд тусалдаг. А, өнцгийн функц бөгөөд түүний косинусаар илэрхийлэгдэнэ (Зураг 6).

Цагаан будаа. 6. Косинус нь хүчин чармайлтын үр ашгийн шинж чанар IN

Хэрэв бид ямар хүчний хэмжээг үржүүлбэл IN, өнцгийн косинус дээр бид түүний үйлчилж буй хүчний чиглэл рүү түүний хүчний проекцийг олж авна. А. Хүчний чиглэл хоорондын өнцөг нь -тэй ойр байх тусам хамтарсан үйл ажиллагааны үр дүн илүү үр дүнтэй байх болно. АТэгээд IN(Зураг 7). Хэрэв тэд ижил хүчээр машиныг эсрэг чиглэлд түлхэж байвал машин байрандаа үлдэнэ (Зураг 8).

Цагаан будаа. 7. Хамтарсан хүчин чармайлтын үр дүнтэй байдал АТэгээд IN

Цагаан будаа. 8. Эсрэг чиглэлхүчний үйлдэл АТэгээд IN

Бид яагаад өнцгийг (эцсийн үр дүнд үзүүлэх хувь нэмэр) косинусаар (эсвэл өнцгийн бусад тригонометрийн функцээр) сольж болохыг ойлгох нь чухал юм. Үнэн хэрэгтээ энэ нь ижил төстэй гурвалжны шинж чанараас үүдэлтэй юм. Үнэн хэрэгтээ бид дараах зүйлийг хэлж байна: өнцгийг хоёр тооны харьцаагаар (хажуугийн гипотенуз эсвэл хажуу тал) сольж болно. Жишээлбэл, өөр өөр тэгш өнцөгт гурвалжны ижил өнцгийн хувьд эдгээр харьцаа өөр байсан бол энэ нь боломжгүй юм (Зураг 9).

Цагаан будаа. 9. Ижил төстэй гурвалжин дахь тэгш талуудын харьцаа

Жишээлбэл, хэрэв харьцаа ба харьцаа өөр байсан бол өөр өөр тэгш өнцөгт гурвалжны ижил өнцгийн хувьд шүргэгч нь өөр байх тул шүргэгч функцийг нэвтрүүлэх боломжгүй болно. Гэхдээ ижил төстэй тэгш өнцөгт гурвалжны хөлүүдийн уртын харьцаа ижил байдаг тул функцийн утга нь гурвалжингаас хамаарахгүй бөгөөд энэ нь хурц өнцөг ба түүний тригонометрийн функцүүдийн утгууд гэсэн үг юм. Нэгийг харьцах нэгийн.

Бид тодорхой модны өндрийг мэддэг гэж бодъё (Зураг 10). Ойролцоох барилгын өндрийг хэрхэн хэмжих вэ?

Цагаан будаа. 10. 2-р жишээний нөхцөл байдлын дүрслэл

Энэ цэг болон байшингийн оройг дундуур нь татсан шугам нь модны оройгоор дамжин өнгөрөх цэгийг бид олдог (Зураг 11).

Цагаан будаа. 11. Жишээ 2-ын асуудлын шийдлийн зураг

Бид энэ цэгээс мод хүртэлх зай, түүнээс байшин хүртэлх зайг хэмжиж, модны өндрийг мэддэг. Пропорцоос байшингийн өндрийг олж болно: .

Пропорцнь хоёр тооны харьцааны тэгш байдал юм. Энэ тохиолдолд ижил төстэй тэгш өнцөгт гурвалжны хөлний уртын харьцааны тэгш байдал. Түүнээс гадна эдгээр харьцаа нь тригонометрийн функцээр илэрхийлэгддэг өнцгийн тодорхой хэмжигдэхүүнтэй тэнцүү байна (тодорхойлолтоор энэ нь шүргэгч юм). Хурц өнцөг бүрийн хувьд тригонометрийн функцын утга нь өвөрмөц байдгийг бид олж мэдсэн. Өөрөөр хэлбэл, синус, косинус, тангенс, котангенс нь үнэхээр функцууд юм, учир нь хурц өнцөг бүр нь тус бүрийн яг нэг утгатай тохирч байна. Тиймээс тэдгээрийг цаашид судалж, шинж чанарыг нь ашиглах боломжтой. Бүх өнцгийн тригонометрийн функцүүдийн утгыг аль хэдийн тооцоолсон бөгөөд ашиглах боломжтой (тэдгээрийг Брадисын хүснэгтээс олж болно эсвэл дурын утгыг ашиглаж болно. инженерийн тооцоолуур). Гэхдээ бид урвуу асуудлыг үргэлж шийдэж чадахгүй (жишээлбэл, синусын утгыг ашиглан түүнд тохирох өнцгийн хэмжүүрийг сэргээх).

Зарим өнцгийн синус нь тэнцүү буюу ойролцоо байг (Зураг 12). Энэ синусын утгатай ямар өнцөг тохирох вэ? Мэдээжийн хэрэг, бид Bradis хүснэгтийг дахин ашиглаж, ямар нэгэн үнэ цэнийг олох боломжтой, гэхдээ энэ нь цорын ганц биш байх болно (Зураг 13).

Цагаан будаа. 12. Өнцгийг синусын утгаар нь олох

Цагаан будаа. 13. Урвуу тригонометрийн функцүүдийн полисеми

Үүний үр дүнд өнцгийн тригонометрийн функцийн утгыг сэргээх үед урвуу тригонометрийн функцүүдийн олон утгатай шинж чанар үүсдэг. Энэ нь хэцүү мэт санагдаж болох ч бодит байдал дээр бид өдөр бүр ижил төстэй нөхцөл байдалтай тулгардаг.

Хэрэв та цонхоо хөшиглөөд гадаа гэрэлтэй, харанхуй байна уу гэдгийг мэдэхгүй, эсвэл агуйд байгаа бол сэрэхдээ үдээс хойш нэг цаг байна уу, шөнө байна уу гэдгийг хэлэхэд хэцүү байдаг. дараагийн өдөр (Зураг 14). Үнэн хэрэгтээ, хэрэв та биднээс "Цаг хэд болж байна?" гэж асуувал бид "Цаг нэмэх нь хаана үржүүлсэн" гэж шударгаар хариулах ёстой.

Цагаан будаа. 14. Цагийн жишээг ашиглан полисемийн дүрслэл

Энэ бол үе (цаг нь одоогийнхтой ижил цагийг харуулах интервал) гэж бид дүгнэж болно. Тригонометрийн функцууд нь мөн үетэй байдаг: синус, косинус гэх мэт. Өөрөөр хэлбэл, аргументийн зарим өөрчлөлтийн дараа тэдний үнэ цэнэ давтагдана.

Хэрэв манай гариг ​​дээр өдөр шөнөгүй, улирал солигдоогүй бол бид үечилсэн цагийг ашиглах боломжгүй байсан. Эцсийн эцэст бид жилүүдийг зөвхөн өсөх дарааллаар тоолдог, гэхдээ өдөр нь цагтай, шинэ өдөр бүр шинэ тоолол эхэлдэг. Нөхцөл байдал саруудын хувьд адилхан: хэрэв одоо 1-р сар бол хэдхэн сарын дараа 1-р сар дахин ирнэ гэх мэт. Гадны лавлах цэгүүд нь цаг хугацаа (цаг, сар), жишээлбэл, дэлхийг тэнхлэгээ тойрон эргэдэг, нар, сарны тэнгэр дэх байрлалын өөрчлөлт зэргийг үе үе тоолоход тусалдаг. Хэрэв нар үргэлж ижил байрлалд өлгөөтэй байсан бол цагийг тооцоолохын тулд бид яг энэ тооцоолол эхэлснээс хойш хэдэн секундын (минут) тоолох болно. Дараа нь огноо, цагийг ингэж уншиж болно: тэрбум секунд.

Дүгнэлт: тодорхой бус байдлын хувьд хүндрэл байхгүй урвуу функцуудҮгүй Үнэн хэрэгтээ, ижил синусанд өөр өөр өнцгийн утгууд байх сонголтууд байж болно (Зураг 15).

Цагаан будаа. 15. Өнцгийг синусын утгаас нь сэргээх

Ихэвчлэн практик асуудлыг шийдвэрлэхдээ бид үргэлж стандартын хүрээнд ажилладаг. Энэ мужид тригонометрийн функцын утга бүрийн хувьд өнцгийн хэмжүүрийн зөвхөн хоёр харгалзах утга байдаг.

Элс асгардаг нүхтэй хувин хэлбэртэй хөдөлгөөнт бүс, дүүжин зэргийг авч үзье. Савлуур дүүжин, соронзон хальс хөдөлдөг (Зураг 16). Үүний үр дүнд элс нь синусын долгион гэж нэрлэгддэг синус (эсвэл косинус) функцын график хэлбэрээр ул мөр үлдээх болно.

Үнэн хэрэгтээ синус ба косинусын графикууд бие биенээсээ зөвхөн лавлах цэгээр ялгаатай байдаг (хэрэв та тэдгээрийн аль нэгийг нь зурж, дараа нь координатын тэнхлэгүүдийг арилгавал аль графикийг зурсныг тодорхойлох боломжгүй болно). Тиймээс косинусын графикийг график гэж нэрлэх нь утгагүй юм (Яагаад ижил графикийг тусдаа нэрээр бодож олов)?

Цагаан будаа. 16. 4-р жишээн дээрх асуудлын тайлбарын дүрслэл

Функцийн график нь урвуу функц яагаад олон утгатай болохыг ойлгоход тусална. Хэрэв синусын утга тогтмол байвал i.e. абсцисса тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам зурж, уулзвар дээр өнцгийн синус нь өгөгдсөнтэй тэнцүү байх бүх цэгүүдийг авна. Ийм цэгүүд хязгааргүй олон байх нь тодорхой. Цагийн утга нь -аар ялгаатай байсан жишээн дээрх шиг зөвхөн энд өнцгийн утга нь хэмжээгээр ялгаатай байх болно (Зураг 17).

Цагаан будаа. 17. Синусын полисемийн дүрслэл

Хэрэв бид цагийн жишээг авч үзвэл цэг (цагийн зүүний дагуу төгсгөл) тойрог тойрон хөдөлдөг. Тригонометрийн функцийг ижил аргаар тодорхойлж болно - тэгш өнцөгт гурвалжин дахь өнцгийг биш, харин тойргийн радиус ба тэнхлэгийн эерэг чиглэлийн хоорондох өнцгийг анхаарч үзээрэй. Цэг дамжин өнгөрөх тойргийн тоо (бид хөдөлгөөнийг цагийн зүүний дагуу хасах тэмдгээр, цагийн зүүний эсрэг нэмэх тэмдгээр тоолохоор тохиролцсон), энэ нь цэг юм (Зураг 18).

Цагаан будаа. 18. Тойрог дээрх синусын утга

Тиймээс урвуу функц нь тодорхой интервал дээр өвөрмөц байдлаар тодорхойлогддог. Энэ интервалын хувьд бид түүний утгыг тооцоолж, функцийн үеийг нэмж, хасах замаар олсон утгуудаас үлдсэн бүх зүйлийг авах боломжтой.

Нэг үеийн өөр нэг жишээг авч үзье. Машин зам дагуу явж байна. Түүний дугуй нь будаг эсвэл шалбааг руу унасан гэж төсөөлөөд үз дээ. Зам дээрх будаг, шалбаагнаас үе үе ул мөр ажиглагдаж болно (Зураг 19).

Цагаан будаа. 19. Үеийн дүрслэл

Сургуулийн хичээл дээр маш олон тригонометрийн томъёо байдаг, гэхдээ ерөнхийдөө зөвхөн нэгийг нь санахад хангалттай (Зураг 20).

Цагаан будаа. 20. Тригонометрийн томьёо

Давхар өнцгийн томьёог мөн орлуулах замаар нийлбэрийн синусаас амархан гаргаж болно (косинустай адил). Та мөн бүтээгдэхүүний томъёог гаргаж авах боломжтой.

Үнэн хэрэгтээ та маш бага санах хэрэгтэй, учир нь асуудлыг шийдвэрлэхэд эдгээр томъёог өөрөө санах болно. Мэдээжийн хэрэг, хэн нэгэн нь маш их зүйлийг шийдэхээс залхуурах болно, гэхдээ дараа нь түүнд энэ техник хэрэггүй болно, тиймээс томъёонууд өөрсдөө.

Томъёо шаардлагагүй тул тэдгээрийг цээжлэх шаардлагагүй болно. Тригонометрийн функцууд нь жишээлбэл, гүүрийг тооцоолоход ашигладаг функцууд гэсэн санааг ойлгох хэрэгтэй. Тэдний хэрэглээ, тооцоололгүйгээр бараг ямар ч механизм хийж чадахгүй.

1. Утаснууд газартай туйлын параллель байж чадах уу гэсэн асуулт ихэвчлэн гарч ирдэг. Хариулт: үгүй, тэд чадахгүй, учир нь нэг хүч доошоо үйлчилж, бусад нь зэрэгцэн ажилладаг - тэд хэзээ ч тэнцвэржүүлэхгүй (Зураг 21).

2. Хун, хавч, цурхай нэг хавтгайд тэрэг чирдэг. Хун нэг чиглэлд нисдэг, хавч нь нөгөө талдаа, цурхай гурав дахь нь (Зураг 22). Тэдний эрх мэдлийг тэнцвэржүүлж болно. Энэ тэнцвэрийг тригонометрийн функцийг ашиглан тооцоолж болно.

3. Кабелийн гүүр (Зураг 23). Тригонометрийн функцууд нь кабелийн тоо, тэдгээрийг хэрхэн чиглүүлэх, чангалахыг тооцоолоход тусалдаг.

Цагаан будаа. 23. Кабелийн гүүр

Цагаан будаа. 24. “Утастай гүүр”

Цагаан будаа. 25. Большой Обуховскийн гүүр

Ma-te-ri-a-ly сайтын холбоосуудInternetUrok

Математикийн 6-р анги:

Геометр 8-р анги:

- -
Ер нь тэд АЙМШИГТАЙ МАТЕМАТИК-тэй хүнийг айлгах гэхээр янз бүрийн синус, косинусуудыг жишээ болгон, маш ээдрээтэй, жигшүүртэй зүйлээр хэлдэг. Гэхдээ үнэндээ энэ бол ойлгож, шийдэж болохуйц сайхан, сонирхолтой хэсэг юм.
Энэ сэдэв нь 9-р ангиас эхэлдэг бөгөөд бүх зүйл анх удаагаа үргэлж тодорхой байдаггүй, олон нарийн мэдрэмж, заль мэх байдаг. Би энэ сэдвээр ямар нэг зүйл хэлэхийг оролдсон.

Тригонометрийн ертөнцийн танилцуулга:
Томъёо руу яарахаасаа өмнө геометрээс синус, косинус гэх мэтийг ойлгох хэрэгтэй.
Өнцгийн синус- эсрэг талын (өнцгийн) гипотенузын харьцаа.
Косинус- зэргэлдээх болон гипотенузын харьцаа.
Тангенс- зэргэлдээ талын эсрэг тал
Котангенс- эсрэг талын зэргэлдээ.

Одоо координатын хавтгайд нэгж радиустай тойргийг авч үзээд альфа өнцгийг тэмдэглэнэ үү: (зураг дээр дарж болно, ядаж заримыг нь)
-
-
Нимгэн улаан шугамууд нь тойргийн огтлолцлын цэгээс перпендикуляр, үхэр ба ой тэнхлэг дээрх зөв өнцгийг хэлнэ. Улаан x ба y нь тэнхлэг дээрх x ба y координатын утга (саарал x ба y нь эдгээр нь зөвхөн шугам биш координатын тэнхлэг гэдгийг илтгэх зорилготой).
Үхрийн тэнхлэгийн эерэг чиглэлээс цагийн зүүний эсрэг өнцгийг тооцоолсон гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.
Үүний синус, косинус гэх мэтийг олъё.
sin a: эсрэг тал нь у, гипотенуз нь 1-тэй тэнцүү.
sin a = y / 1 = y
y ба 1-ийг хаанаас авснаа бүрэн тодорхой болгохын тулд үсгүүдийг цэгцэлж гурвалжинг харцгаая.
- -
AF = AE = 1 - тойргийн радиус.
Тиймээс радиус нь AB = 1 байна. AB - гипотенуз.
BD = CA = y - oh утгын хувьд.
AD = CB = x - oh-ийн дагуу утгын хувьд.
sin a = BD / AB = y / 1 = y
Дараа нь косинус:
cos a: зэргэлдээ тал - AD = x
cos a = AD / AB = x / 1 = x

Бид бас гаргана тангенс ба котангенс.
tg a = y / x = sin a / cos a
cot a = x / y = cos a / sin a
Гэнэт бид тангенс ба котангенсын томъёог гаргаж ирэв.

За, үүнийг хэрхэн шийдэж байгааг тодорхой харцгаая.
Жишээлбэл, a = 45 градус.
Бид авдаг зөв гурвалжиннэг өнцгөөр 45 градус. Энэ нь тэгш талт гурвалжин гэдэг нь зарим хүмүүст шууд ойлгомжтой боловч би үүнийг ямар ч байсан тайлбарлах болно.
Гурвалжны гурав дахь өнцгийг олъё (эхнийх нь 90, хоёр дахь нь 5): b = 180 - 90 - 45 = 45
Хэрэв хоёр өнцөг тэнцүү бол талууд нь тэнцүү байна, энэ нь иймэрхүү сонсогдож байв.
Тэгэхээр ийм хоёр гурвалжныг давхарлан нэмбэл диагональ нь радиус = 1-тэй тэнцэх дөрвөлжин гарна. Пифагорын теоремоор бид а талтай квадратын диагональ нь тэнцүү гэдгийг мэднэ. хоёр үндэс.
Одоо бид бодож байна. Хэрэв 1 (гипотенуз буюу диагональ) нь квадратын талыг хоёрын язгууртай тэнцүү бол квадратын тал нь 1/sqrt(2)-тэй тэнцүү байх ёстой бөгөөд хэрэв бид энэ бутархайн хуваагч ба хуваагчийг үржүүлбэл. хоёрын язгуураар бид sqrt(2)/2-г авна. Гурвалжин нь ижил өнцөгт тул AD = AC => x = y болно
Бидний тригонометрийн функцуудыг олох нь:
sin 45 = sqrt(2)/2/1 = sqrt(2)/2
cos 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
tg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
ctg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
Та өнцгийн үлдсэн утгуудтай ижил аргаар ажиллах хэрэгтэй. Зөвхөн гурвалжин нь ижил өнцөгт биш, харин талуудыг Пифагорын теоремыг ашиглан хялбархан олох боломжтой.
Ингэснээр бид өөр өөр өнцгөөс тригонометрийн функцүүдийн утгын хүснэгтийг олж авна.
-
-
Түүнээс гадна, энэ хүснэгт нь хууран мэхлэх бөгөөд маш тохиромжтой.
Ямар ч төвөггүйгээр өөрөө хэрхэн зохиох вэ:Ийм хүснэгтийг зурж, нүднүүдэд 1 2 3 тоог бич.
-
-
Одоо эдгээр 1 2 3-аас үндсийг нь аваад 2-т хуваана. Энэ нь дараах байдалтай байна.
-
-
Одоо бид синусыг гаталж, косинусыг бичнэ. Үүний утга нь толин тусгалтай синус юм:
-
-
Шүргэгчийг гаргахад хялбар байдаг - та синус шугамын утгыг косинусын шугамын утгад хуваах хэрэгтэй.
-
-
Котангентын утга нь шүргэгчийн урвуу утга юм. Үүний үр дүнд бид дараах зүйлийг олж авна.
- -

тэмдэглэлжишээ нь P/2-д тэр шүргэгч байхгүй. Яагаад гэдгийг нь бод. (Та тэгээр хувааж болохгүй.)

Энд та юу санах хэрэгтэй вэ:синус нь y утга, косинус нь x утга юм. Тангенс нь у ба х харьцаа, котангенс нь эсрэгээрээ. Тиймээс синус/косинусын утгыг тодорхойлохын тулд дээр дурдсан хүснэгт болон координатын тэнхлэг бүхий тойрог зурахад хангалттай (0, 90 өнцгөөр утгыг харахад тохиромжтой, 180, 360).
- -

За, та ялгаж чадна гэж найдаж байна улирал:
- -
Түүний синус, косинус гэх мэтийн тэмдэг нь аль дөрөвний нэг өнцөгт байгаагаас хамаарна. Гэсэн хэдий ч, хэрэв та хоёр, гуравдугаар улиралд x сөрөг, y нь гурав, дөрөвдүгээр улиралд сөрөг байгааг харгалзан үзвэл туйлын анхдагч логик сэтгэлгээ таныг зөв хариулт руу хөтөлнө. Аймшигтай, аймшигтай зүйл байхгүй.

Үүнийг дурдахад буруудахгүй байх гэж бодож байна бууруулах томъёохүн бүр сонсдог ала сүнснүүд үнэний ширхэгтэй. Шаардлагагүй тул ийм томьёо байдаггүй. Энэ бүх үйл ажиллагааны утга нь: Бид зөвхөн эхний улиралд (30 градус, 45, 60) өнцгийн утгыг амархан олдог. Тригонометрийн функцууд нь үе үе байдаг тул бид ямар ч том өнцгийг эхний улиралд чирж болно. Дараа нь бид түүний утгыг шууд олох болно. Гэхдээ зүгээр л чирэх нь хангалтгүй - та тэмдгийн талаар санах хэрэгтэй. Үүнийг багасгах томъёо нь үүнд зориулагдсан юм.
Тиймээс бид том өнцөгтэй, эсвэл 90 градусаас илүү: a = 120. Мөн бид түүний синус ба косинусыг олох хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд бид 120 өнцгөөр ажиллах боломжтой дараах өнцгүүдийг задлах болно.
нүгэл а = нүгэл 120 = нүгэл (90 + 30)
Энэ өнцөг нь хоёрдугаар улиралд оршдог, синус эерэг байдаг тул синусын урд байрлах + тэмдэг хадгалагдаж байгааг бид харж байна.
90 градусаас салахын тулд бид синусыг косинус болгон өөрчилдөг. За, энэ бол та санаж байх ёстой дүрэм юм:
нүгэл (90 + 30) = cos 30 = sqrt (3) / 2
Эсвэл та үүнийг өөр байдлаар төсөөлж болно:
нүгэл 120 = нүгэл (180 - 60)
180 градусаас салахын тулд бид функцийг өөрчилдөггүй.
нүгэл (180 - 60) = нүгэл 60 = sqrt (3) / 2
Бид ижил утгыг авсан тул бүх зүйл зөв байна. Одоо косинус:
cos 120 = cos (90 + 30)
Хоёрдугаар улиралд косинус сөрөг байна, тиймээс бид хасах тэмдэг тавьдаг. Мөн бид 90 градусыг арилгах шаардлагатай тул функцийг эсрэгээр нь өөрчилдөг.
cos (90 + 30) = - нүгэл 30 = - 1/2
Эсвэл:
cos 120 = cos (180 - 60) = - cos 60 = - 1/2

Эхний улирал руу өнцгүүдийг шилжүүлэхийн тулд юу мэдэх, хийх, хийх чадвартай байх шаардлагатай:
- өнцгийг шингэцтэй нэр томъёонд задлах;
-өнцөг аль улиралд байгааг харгалзан үзэж, энэ улирлын функц сөрөг эсвэл эерэг байвал тохирох тэмдгийг тавих;
- шаардлагагүй зүйлсээс салах:
*хэрэв та 90, 270, 450 болон үлдсэн 90+180n-ээс салах шаардлагатай бол n нь дурын бүхэл тоо бол функц нь эсрэгээрээ (синус косинус, тангенс котангенс ба эсрэгээр);
*хэрэв та 180, үлдсэн 180+180n-ийг арилгах шаардлагатай бол n нь дурын бүхэл тоо бол функц өөрчлөгдөхгүй. (Энд нэг онцлог байна, гэхдээ үүнийг үгээр тайлбарлахад хэцүү, гэхдээ өө).
Тэгээд л болоо. Хэд хэдэн дүрмийг санаж, амархан ашиглах боломжтой бол томъёог өөрөө цээжлэх шаардлагагүй гэж би бодож байна. Дашрамд хэлэхэд эдгээр томъёог батлахад маш хялбар байдаг:
-
-
Тэд бас төвөгтэй хүснэгтүүдийг эмхэтгэдэг, тэгвэл бид мэднэ:
-
-

Тригонометрийн үндсэн тэгшитгэлүүд:чи тэднийг маш сайн, цээжээр мэдэх хэрэгтэй.
Үндсэн тригонометрийн ижилсэл(тэгш байдал):
sin^2(a) + cos^2(a) = 1
Хэрэв та итгэхгүй байгаа бол өөрөө шалгаж үзээд үзсэн нь дээр. Янз бүрийн өнцгийн утгыг орлуулах.
Энэ томъёо нь маш их хэрэгтэй, үргэлж санаж байх хэрэгтэй. Үүнийг ашигласнаар та синусыг косинусаар болон эсрэгээр илэрхийлэх боломжтой бөгөөд энэ нь заримдаа маш хэрэгтэй байдаг. Гэхдээ бусад томъёоны нэгэн адил та үүнийг хэрхэн зохицуулахаа мэдэх хэрэгтэй. Тригонометрийн функцийн тэмдэг нь өнцөг байрлах квадратаас хамаарна гэдгийг үргэлж санаарай. Тийм ч учраас үндсийг задлахдаа дөрөвний нэгийг мэдэх хэрэгтэй.

Тангенс ба котангенс:Бид эдгээр томъёог эхэндээ аль хэдийн гаргаж авсан.
tg a = sin a / cos a
cot a = cos a / sin a

Тангенс ба котангенсын бүтээгдэхүүн:
tg a * ctg a = 1
Учир нь:
tg a * ctg a = (sin a / cos a) * (cos a / sin a) = 1 - бутархайг цуцалсан.

Таны харж байгаагаар бүх томъёо нь тоглоом ба хослол юм.
Эхний томъёоны косинусын квадрат ба синусын квадратад хуваах замаар олж авсан өөр хоёрыг энд харуулав.
-
-
Сүүлийн хоёр томьёог тэгээр хуваах боломжгүй тул a өнцгийн утгыг хязгаарлаж ашиглаж болно гэдгийг анхаарна уу.

Нэмэлт томъёо:вектор алгебр ашиглан батлагдсан.
- -
Ховор хэрэглэгддэг, гэхдээ үнэн зөв. Сканнерт томьёо байдаг, гэхдээ тэдгээр нь унших боломжгүй эсвэл дижитал хэлбэрийг ойлгоход хялбар байдаг:
- -

Давхар өнцгийн томъёо:
Тэдгээрийг нэмэлт томъёонд үндэслэн олж авдаг, жишээлбэл: давхар өнцгийн косинус нь cos 2a = cos (a + a) - энэ нь танд ямар нэгэн зүйлийг сануулж байна уу? Тэд зүгээр л беттаг альфагаар сольсон.
- -
Дараагийн хоёр томьёо нь sin^2(a) = 1 - cos^2(a) ба cos^2(a) = 1 - sin^2(a) гэсэн эхний орлуулалтаас үүсэлтэй.
Давхар өнцгийн синус нь илүү энгийн бөгөөд ихэвчлэн ашиглагддаг:
- -
Мөн тусгай гажуудлууд tan a = sin a / cos a гэх мэтийг харгалзан давхар өнцгийн тангенс ба котангенсыг гаргаж авах боломжтой.
-
-

Дээр дурдсан хүмүүсийн хувьд Гурвалсан өнцгийн томъёо:Бид давхар өнцгийн томьёог аль хэдийн мэддэг тул тэдгээр нь 2а ба а өнцгийг нэмэх замаар гаргаж авдаг.
-
-

Хагас өнцгийн томъёо:
- -
Тэдгээрийг хэрхэн гаргаж авсан, эсвэл илүү нарийвчлалтай тайлбарлахыг мэдэхгүй байна ... Хэрэв бид эдгээр томьёог тригонометрийн үндсэн ижилтүүлэгчийг a/2-оор орлуулж бичвэл хариулт нийлэх болно.

Тригонометрийн функцийг нэмэх, хасах томъёо:
-
-
Тэдгээрийг нэмэлт томъёоноос олж авдаг боловч хэн ч тоодоггүй. Тэд ихэвчлэн тохиолддоггүй.

Таны ойлгож байгаагаар олон тооны томъёо байсаар байгаа бөгөөд жагсаах нь утгагүй юм, учир нь би тэдгээрийн талаар хангалттай зүйл бичиж чадахгүй, хуурай томъёог хаанаас ч олж болно, тэдгээр нь өмнөх томьёотой тоглоом юм. Бүх зүйл аймшигтай логик бөгөөд нарийн юм. Би чамд хамгийн сүүлд хэлье Туслах өнцгийн аргын тухай:
a cosx + b sinx илэрхийллийг Acos(x+) эсвэл Asin(x+) хэлбэрт шилжүүлэхийг туслах өнцөг (эсвэл нэмэлт аргумент) оруулах арга гэж нэрлэдэг. Энэ аргыг шийдвэрлэхэд ашигладаг тригонометрийн тэгшитгэл, Функцийн утгыг тооцоолохдоо экстремум асуудлуудад анхаарах ёстой зүйл бол зарим асуудлыг туслах өнцөг оруулахгүйгээр шийдвэрлэх боломжгүй юм.
Та энэ аргыг хэрхэн тайлбарлахыг оролдсон ч үр дүнд хүрээгүй тул та үүнийг өөрөө хийх хэрэгтэй болно.
-
-
Аймшигтай зүйл, гэхдээ ашигтай. Хэрэв та асуудлаа шийдвэл бүтэх ёстой.
Эндээс, жишээ нь: mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/trigonom/metod/metod2/met2/met2.htm

Хичээлийн дараагийнх нь тригонометрийн функцүүдийн графикууд юм. Гэхдээ энэ нь нэг хичээлд хангалттай. Сургуульд зургаан сарын турш үүнийг заадаг гэдгийг харгалзан үздэг.

Асуултаа бичиж, асуудлыг шийдэж, зарим даалгаврын сканнерийг асууж, олж мэд, туршаад үзээрэй.
Үргэлж чинийх, Дэн Фарадей.

1905 онд Оросын уншигчид Уильям Жеймсийн "Сэтгэл судлал" номноос "Яагаад сургах нь ийм муу сурах арга байдаг вэ?" гэсэн үндэслэлийг уншиж байсан.

“Энгийн энгийн сургамжаар олж авсан мэдлэг нь ор мөргүй мартагдах нь гарцаагүй. Эсрэгээр, санах ойд аажмаар, өдөр бүр, янз бүрийн нөхцөл байдалтай уялдуулан олж авсан, бусад гадаад үйл явдлуудтай холбоотой, дахин дахин хэлэлцүүлэгт өртдөг оюун санааны материал нь ийм тогтолцоог бүрдүүлдэг бөгөөд бидний амьдралын бусад талуудтай ийм холбоонд ордог. оюун ухаан нь гадны олон тохиолдлоор санах ойд амархан сэргээгддэг бөгөөд энэ нь удаан хугацааны туршид удаан эдэлгээтэй хэвээр үлддэг.

Түүнээс хойш 100 гаруй жил өнгөрсөн бөгөөд эдгээр үгс гайхалтай сэдэв хэвээр байна. Та сургуулийн сурагчидтай ажиллахдаа өдөр бүр үүнд итгэлтэй байдаг. Мэдлэгийн асар их цоорхой нь маш их тул үүнийг маргаж болно: дидактик болон сэтгэлзүйн хувьд сургуулийн математикийн хичээл нь систем биш, харин богино хугацааны санах ойг дэмждэг нэг төрлийн төхөөрөмж бөгөөд урт хугацааны ой санамжийг огт тоодоггүй. .

Сургуулийн математикийн хичээлийг мэдэх нь математикийн чиглэл бүрийн материалыг эзэмшиж, аль нэгийг нь хүссэн үедээ шинэчлэх боломжтой гэсэн үг юм. Үүнд хүрэхийн тулд та тэдэнтэй системтэйгээр холбоо барих хэрэгтэй бөгөөд энэ нь хичээлийн ачаалал ихтэй байдаг тул заримдаа боломжгүй байдаг.

Баримт, томъёог удаан хугацаанд цээжлэх өөр нэг арга бий - эдгээр нь лавлагаа дохио юм.

Тригонометр бол сургуулийн математикийн томоохон хэсгүүдийн нэг бөгөөд 8, 9-р ангид геометрийн хичээлээр, 9-р ангид алгебр, 10-р ангид алгебр, анхан шатны анализын хичээлээр судалдаг.

Тригонометрээр судлагдсан материалын хамгийн том хэмжээ нь 10-р ангид ордог. Эдгээр тригонометрийн ихэнх материалыг сурч, цээжлэх боломжтой тригонометрийн тойрог(тэгш өнцөгт координатын системийн эхэнд төв нь байгаа нэгж радиустай тойрог). Хавсралт1.ppt

Эдгээр нь тригонометрийн дараах ойлголтууд юм.

• өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолт;
• радиан өнцгийн хэмжилт;
• тригонометрийн функцүүдийн утгын хүрээ ба тодорхойлолтын хүрээ
• тоон болон өнцгийн аргументуудын зарим утгуудын тригонометрийн функцүүдийн утгууд;
• тригонометрийн функцүүдийн үечилсэн байдал;
• тригонометрийн функцүүдийн тэгш ба сондгой байдал;
• тригонометрийн функцийг нэмэгдүүлэх, багасгах;
• бууруулах томъёо;
• урвуу тригонометрийн функцүүдийн утгууд;
• энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх;
• энгийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх;
• тригонометрийн үндсэн томъёо.

Эдгээр ойлголтуудыг тригонометрийн тойрог дээр судалж үзье.

1) Синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолт.

Тригонометрийн тойрог (эх цэг дээр төвтэй нэгж радиустай тойрог), анхны радиус (Ох тэнхлэгийн чиглэл дэх тойргийн радиус), эргэлтийн өнцгийн тухай ойлголтыг танилцуулсны дараа оюутнууд бие даан тодорхойлолтыг олж авдаг. тригонометрийн тойрог дээрх синус, косинус, тангенс, котангенсийн хувьд курс геометрийн тодорхойлолтыг ашиглан, өөрөөр хэлбэл гипотенуз нь 1-тэй тэнцүү тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье.

Анхны радиусыг өгөгдсөн өнцгөөр эргүүлэх үед тойрог дээрх цэгийн абсцисса хэмжээг өнцгийн косинус гэнэ.

Анхны радиусыг өгөгдсөн өнцгөөр эргүүлэх үед тойрог дээрх цэгийн ординатыг өнцгийн синус гэнэ.

2) Тригонометрийн тойрог дээрх өнцгийн радиан хэмжилт.

Өнцгийн радиан хэмжигдэхүүнийг танилцуулсны дараа (1 радиан нь төвийн өнцөг бөгөөд энэ нь тойргийн радиусын урттай тэнцүү нумын урттай тохирч байна) өнцгийн радиан хэмжигдэхүүн гэж дүгнэдэг. тоон утгатойрог дээр эргэх өнцөг, урттай тэнцүүанхны радиусыг өгөгдсөн өнцгөөр эргүүлэх үед харгалзах нум. .

Тригонометрийн тойрог нь тойргийн диаметрээр 12 тэнцүү хэсэгт хуваагдана. Өнцөг нь радианаар хэмжигддэг гэдгийг мэдэж байгаа тул -ийн үржвэртэй өнцгийн радианы хэмжилтийг тодорхойлж болно.

Мөн өнцгийн радиан хэмжилт, үржвэрийг ижил төстэй байдлаар олж авна.

3) Тригонометрийн функцүүдийн утгын хүрээ ба тодорхойлолтын муж.

Тойрог дээрх цэгийн эргэлтийн өнцөг ба координатын утгуудын хоорондын хамаарал нь функц байх уу?

Эргэлтийн өнцөг бүр нь тойргийн нэг цэгтэй тохирч байгаа нь энэ захидал харилцаа нь функц гэсэн үг юм.

Функцуудыг авч байна

Тригонометрийн тойрог дээр та функцийг тодорхойлох домэйн нь бүх бодит тоонуудын багц, утгын хүрээ нь .

Тригонометрийн тойрог дээрх шүргэгч ба котангентын шугамын тухай ойлголтуудыг танилцуулъя.

1) Болъё Ой тэнхлэгтэй параллель туслах шулуун шугамыг оруулъя, үүн дээр шүргэгч нь тоон аргументуудад тодорхойлогддог.

2) Үүний нэгэн адил бид котангентын шугамыг олж авдаг. y=1, тэгвэл . Энэ нь котангентын утгыг Ox тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамаар тодорхойлно гэсэн үг юм.

Тригонометрийн тойрог дээр та тригонометрийн функцүүдийн утгын хүрээ ба тодорхойлолтын мужийг хялбархан тодорхойлж болно.

шүргэгчийн хувьд -

котангентын хувьд -

4) Тригонометрийн тойрог дээрх тригонометрийн функцүүдийн утгууд.

Өнцгийн эсрэг талын хөл нь гипотенузын хагастай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл Пифагорын теоремын дагуу нөгөө хөл нь:

Энэ нь синус, косинус, тангенс, котангенсыг тодорхойлох замаар олон буюу радиан өнцгийн утгыг тодорхойлох боломжтой гэсэн үг юм. Синусын утгыг Oy тэнхлэгийн дагуу, косинусыг Ox тэнхлэгийн дагуу тодорхойлж, шүргэгч ба котангенсын утгыг Oy болон Ox тэнхлэгтэй параллель нэмэлт тэнхлэгүүдийг ашиглан тус тус тодорхойлж болно.

Синус ба косинусын хүснэгтэн утгууд нь харгалзах тэнхлэгүүд дээр дараах байдлаар байрлана.

Тангенс ба котангенсийн хүснэгтийн утгууд -

5) Тригонометрийн функцүүдийн үечлэл.

Тригонометрийн тойрог дээр синус ба косинусын утгууд нь радиан бүрт, тангенс ба котангенс - радиан бүр давтагдаж байгааг харж болно.

6) Тригонометрийн функцүүдийн тэгш ба сондгой байдал.

Энэ шинж чанарыг тригонометрийн функцүүдийн эргэлтийн эерэг ба эсрэг өнцгийн утгыг харьцуулах замаар олж авч болно. Бид үүнийг ойлгодог

Энэ нь косинус нь тэгш функц, бусад бүх функц нь сондгой гэсэн үг юм.

7) Тригонометрийн функцүүдийн өсөлт ба бууралт.

Тригонометрийн тойрог нь синусын функц нэмэгдэж байгааг харуулж байна ба буурдаг

Үүнтэй адил үндэслэлээр бид косинус, тангенс, котангенсийн өсөлт ба буурах функцүүдийн интервалыг олж авдаг.

8) Бууруулах томъёо.

Өнцгийн хувьд бид тригонометрийн тойрог дээрх өнцгийн бага утгыг авна. Сонгосон гурвалжны хөл дээрх тригонометрийн функцүүдийн утгыг харьцуулах замаар бүх томъёог олж авна.

Бууруулах томъёог ашиглах алгоритм:

1) Өгөгдсөн өнцгөөр эргэх үед функцийн тэмдгийг тодорхойлно.

Булан эргэх үед функц хадгалагдана, өнцгөөр эргүүлэхэд бүхэл тоо, сондгой тоо, кофункц (

9) Урвуу тригонометрийн функцүүдийн утгууд.

Функцийн тодорхойлолтыг ашиглан тригонометрийн функцүүдийн урвуу функцийг танилцуулъя.

Тригонометрийн тойрог дээрх синус, косинус, тангенс, котангенсын утга бүр нь эргэлтийн өнцгийн зөвхөн нэг утгатай тохирч байна. Энэ нь функцийн хувьд тодорхойлолтын муж нь , утгын муж нь - Функцийн хувьд тодорхойлолтын хүрээ нь , утгын муж нь . Үүний нэгэн адил бид косинус ба котангентын урвуу функцүүдийн утгын хүрээ ба тодорхойлолтын мужийг олж авдаг.

Урвуу тригонометрийн функцүүдийн утгыг олох алгоритм:

1) харгалзах тэнхлэг дээрх урвуу тригонометрийн функцийн аргументийн утгыг олох;

2) урвуу тригонометрийн функцийн утгын хүрээг харгалзан анхны радиусын эргэлтийн өнцгийг олох.

Жишээлбэл:

10) Тригонометрийн тойрог дээр энгийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Маягтын тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд тойрог дээрх ординатууд нь тэнцүү цэгүүдийг олж, функцийн үеийг харгалзан харгалзах өнцгийг бичнэ.

Тэгшитгэлийн хувьд бид тойрог дээрх абсциссууд нь тэнцүү цэгүүдийг олж, функцийн үеийг харгалзан харгалзах өнцгийг бичнэ.

Маягтын тэгшитгэлийн хувьд мөн адил Тангенс ба котангентын шугам дээр утгыг тодорхойлж, эргэлтийн харгалзах өнцгийг тэмдэглэнэ.

Тригонометрийн бүх ойлголт, томьёог оюутнууд багшийн тодорхой удирдлаган дор тригонометрийн тойрог ашиглан өөрсдөө сурдаг. Ирээдүйд энэ "тойрог" нь тэдний хувьд лавлах дохио болно гадаад хүчин зүйлсанах ойд тригонометрийн ойлголт, томъёог хуулбарлах.

Тригонометрийн тойрог дээр тригонометрийг судлах нь дараахь зүйлийг хийхэд тусална.

• тухайн хичээлийн харилцааны оновчтой хэв маягийг сонгох, боловсролын хамтын ажиллагааг зохион байгуулах;
• зорилтуудхичээл нь оюутан бүрийн хувьд чухал ач холбогдолтой болдог;
• шинэ материалдээр суурилсан хувийн туршлагаоюутны үйлдэл, сэтгэлгээ, мэдрэмж;
• хичээл нь янз бүрийн ажлын хэлбэр, мэдлэг олж авах, өөртөө шингээх аргуудыг багтаасан болно; харилцан болон бие даан суралцах элементүүд байдаг; өөрийгөө болон харилцан хяналт;
• үл ойлголцол, алдаа (хамтарсан хэлэлцүүлэг, дэмжлэг үзүүлэх зөвлөмж, харилцан зөвлөлдөх) хурдан хариу үйлдэл үзүүлдэг.