Интегралын төрөл ба шийдлийн арга. Хувьсагчийн аргыг өөрчлөх замаар нэгтгэх

Өгөгдсөн X интервалд дифференциалагдах F(x) функцийг дуудна функцийн эсрэг дериватив f(x), эсвэл f(x)-ийн интеграл, хэрэв дурын x ∈X-ийн хувьд тэгш байдал хангагдвал:

F "(x) = f(x). (8.1)

Өгөгдсөн функцийн бүх эсрэг деривативыг олохыг түүний гэнэ интеграци. Функцийн тодорхойгүй интегралӨгөгдсөн X интервал дээрх f(x) нь f(x) функцийн бүх эсрэг деривативуудын олонлог юм; тэмдэглэгээ -

Хэрэв F(x) нь f(x) функцийн эсрэг дериватив бол ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

Энд C нь дурын тогтмол юм.

Интегралын хүснэгт

Тодорхойлолтоос шууд бид тодорхойгүй интегралын үндсэн шинж чанарууд ба хүснэгтийн интегралуудын жагсаалтыг олж авдаг.

1) d∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

Хүснэгтийн интегралуудын жагсаалт

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (м ≠ -1)

3.∫a x dx = a x / ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = arctg x + C

8.=arcsin x + C

10.=-ctg x + C

Хувьсах орлуулалт

Олон функцийг нэгтгэхийн тулд хувьсагчийг өөрчлөх аргыг ашигладаг орлуулалт,интегралыг хүснэгтийн хэлбэрт оруулах боломжийг олгодог.

Хэрэв f(z) функц нь [α,β] дээр тасралтгүй байвал z =g(x) функц нь тасралтгүй дериватив ба α ≤ g(x) ≤ β байна.

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

Түүнээс гадна баруун талд интеграцчилсны дараа z=g(x) орлуулалт хийх хэрэгтэй.

Үүнийг батлахын тулд анхны интегралыг дараах хэлбэрээр бичихэд хангалттай.

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

Жишээлбэл:

Хэсэгээр нь нэгтгэх арга

u = f(x) ба v = g(x) функцуудыг тасралтгүй . Дараа нь, ажлын дагуу,

d(uv))= udv + vdu эсвэл udv = d(uv) - vdu.

d(uv) илэрхийллийн хувьд эсрэг дериватив нь uv байх нь ойлгомжтой тул томъёо нь дараах байдалтай байна.

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Энэ томъёо нь дүрмийг илэрхийлдэг хэсгүүдээр нэгтгэх. Энэ нь udv=uv"dx илэрхийллийн интеграцийг vdu=vu"dx илэрхийллийн интегралд авчирдаг.

Жишээлбэл, ∫xcosx dx-г олох шаардлагатай. u = x, dv = cosxdx, тэгэхээр du=dx, v=sinx. Дараа нь

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Хэсэгээр нь нэгтгэх дүрэм нь хувьсагчийн өөрчлөлтөөс илүү хязгаарлагдмал хамрах хүрээтэй байдаг. Гэхдээ интегралын бүхэл бүтэн анги байдаг, жишээлбэл,

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax болон бусад нь хэсгүүдээр интегралчлалыг ашиглан яг тооцогдоно.

Тодорхой интеграл

Тодорхой интеграл гэдэг ойлголтыг дараах байдлаар оруулав. f(x) функцийг интервал дээр тодорхойлъё. [a,b] сегментийг хувааж үзье n a= x 0 цэгээр хэсгүүд< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i \u003d x i - x i-1. f(ξ i)Δ x i хэлбэрийн нийлбэрийг гэнэ интеграл нийлбэр, ба түүний хязгаарыг λ = maxΔx i → 0, хэрэв байгаа бөгөөд төгсгөлтэй бол гэж нэрлэдэг. тодорхой интеграл-ийн f(x) функцууд аөмнө бба тэмдэглэсэн байна:

F(ξ i)Δx i (8.5).

Энэ тохиолдолд f(x) функцийг дуудна сегмент дээр нэгтгэх боломжтой, a ба b тоонуудыг дуудна интегралын доод ба дээд хязгаар.

Дараах шинж чанарууд нь тодорхой интегралд хамаарна.

4), (k = const, k∈R);

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

Сүүлийн үл хөдлөх хөрөнгө гэж нэрлэдэг дундаж утгын теорем.

f(x) дээр үргэлжилсэн байг. Тэгвэл энэ сегмент дээр тодорхойгүй интеграл бий

∫f(x)dx = F(x) + C

ба явагддаг Ньютон-Лейбницийн томъёо, тодорхой интегралыг тодорхойгүй нэгтэй холбодог:

F(b) - F(a). (8.6)

Геометрийн тайлбар: тодорхой интеграл гэдэг нь дээрээс y=f(x) муруй, x = a ба x = b шулуун шугамууд ба тэнхлэгийн сегментээр хязгаарлагдсан муруйн трапецын талбай юм. Үхэр.

Буруу интеграл

Хязгааргүй хязгаартай интеграл ба тасалдалгүй (хязгааргүй) функцүүдийн интегралуудыг гэнэ. зохисгүй. Эхний төрлийн буруу интегралууд -Эдгээр нь хязгааргүй интервалын интеграл бөгөөд дараах байдлаар тодорхойлогддог.

(8.7)

Хэрэв энэ хязгаар байгаа бөгөөд төгсгөлтэй бол түүнийг дуудна f(x)-ийн нийлсэн буруу интеграл[а,+ ∞) интервал дээр байх ба f(x) функц дуудагдана хязгааргүй интервал дээр интегралдах боломжтой[a,+ ∞). Үгүй бол интеграл нь байх болно байхгүй эсвэл зөрөөд байна.

(-∞,b] ба (-∞, + ∞) интервалууд дээрх зохисгүй интегралууд ижил төстэй байдлаар тодорхойлогддог.

Хязгааргүй функцийн интеграл гэсэн ойлголтыг тодорхойлъё. Хэрэв f(x) бүх утгын хувьд тасралтгүй байвал x f(x) төгсгөлгүй тасалдалтай c цэгээс бусад сегмент хоёр дахь төрлийн буруу интеграл f(x) а-аас б хүртэлнийлбэр гэж нэрлэдэг:

хэрэв эдгээр хязгаарууд байгаа бөгөөд хязгаарлагдмал бол. Зориулалт:

Интегралыг тооцоолох жишээ

Жишээ 3.30.∫dx/(x+2)-ийг тооцоол.

Шийдэл. t = x+2, дараа нь dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

Жишээ 3.31. ∫ tgxdx-г ол.

Шийдэл.∫tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. t=cosx, тэгвэл ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Жишээ3.32 . ∫dx/sinx-г ол

Шийдэл.

Жишээ3.33. олох.

Шийдэл. = .

Жишээ3.34 . ∫arctgxdx-г ол.

Шийдэл. Бид хэсгүүдээр нь нэгтгэдэг. u=arctgx, dv=dx гэж тэмдэглэнэ. Дараа нь du = dx/(x 2 +1), v=x, эндээс ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; учир нь
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Жишээ3.35 . ∫lnxdx-г тооцоол.

Шийдэл.Хэсэг тус бүрээр нь нэгтгэх томъёог ашигласнаар бид дараахь зүйлийг авна.
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Дараа нь ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Жишээ3.36 . ∫e x sinxdx-ийг тооцоол.

Шийдэл. u = e x , dv = sinxdx, дараа нь du = e x dx, v =∫sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx гэж тэмдэглэнэ. ∫e x cosxdx интеграл нь мөн хэсгүүдээр интегралдах боломжтой: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Бидэнд байгаа:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Бид ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, үүнээс 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C гэсэн хамаарлыг олж авлаа.

Жишээ 3.37. J = ∫cos(lnx)dx/x-ийг тооцоол.

Шийдэл. dx/x = dlnx тул J= ∫cos(lnx)d(lnx) болно. lnx-г t-ээр сольсноор бид J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C интеграл хүснэгтэд хүрнэ.

Жишээ 3.38 . J =-г тооцоол.

Шийдэл.= d(lnx) гэдгийг харгалзан lnx = t орлуулалтыг хийнэ. Дараа нь J = .

Жишээ 3.39 . J = интегралыг тооцоол .

Шийдэл.Бидэнд байгаа: . Тиймээс =
=
=. sqrt(tan(x/2)) гэж оруулсан.

Хэрэв та үр дүнгийн цонхны баруун дээд буланд байрлах Show алхамуудыг дарвал дэлгэрэнгүй шийдлийг авах болно.

Интегралыг шийдэх нь хялбар ажил боловч зөвхөн элитүүдэд л зориулагдсан. Энэ нийтлэл нь интегралыг ойлгож сурахыг хүсдэг боловч тэдгээрийн талаар бага эсвэл огт мэддэггүй хүмүүст зориулагдсан болно. Интеграл... Яагаад хэрэгтэй байна вэ? Үүнийг хэрхэн тооцоолох вэ? Тодорхой ба тодорхойгүй интеграл гэж юу вэ? Хэрэв таны мэддэг интегралын цорын ганц хэрэглээ бол интеграл дүрс хэлбэртэй дэгээгээр хүрэхэд хэцүү газраас хэрэгтэй зүйл авах явдал юм бол тавтай морилно уу! Интегралыг хэрхэн шийдвэрлэх, яагаад үүнгүйгээр хийх боломжгүйг олж мэдээрэй.

Бид "интеграл" гэсэн ойлголтыг судалдаг.

Интеграци нь эртний Египетэд мэдэгдэж байсан. Мэдээжийн хэрэг, орчин үеийн хэлбэрээр биш, гэхдээ одоо ч гэсэн. Түүнээс хойш математикчид энэ сэдвээр маш олон ном бичсэн. Ялангуяа ялгардаг Ньютон болон Лейбниц гэхдээ юмсын мөн чанар өөрчлөгдөөгүй. Интегралыг эхнээс нь хэрхэн ойлгох вэ? Арга ч үгүй! Энэ сэдвийг ойлгохын тулд танд математик анализын үндсэн суурь мэдлэг хэрэгтэй хэвээр байх болно. -ийн тухай мэдээлэл, интегралыг ойлгоход зайлшгүй шаардлагатай мэдээлэл манай блогт аль хэдийн орсон байна.

Тодорхой бус интеграл

Зарим функцтэй болцгооё f(x) .

Функцийн тодорхойгүй интеграл f(x) ийм функц гэж нэрлэдэг F(x) , түүний дериватив нь функцтэй тэнцүү байна f(x) .

Өөрөөр хэлбэл интеграл нь урвуу дериватив эсвэл эсрэг дериватив юм. Дашрамд хэлэхэд, манай нийтлэлээс хэрхэн унших талаар.

Бүх тасралтгүй функцүүдэд эсрэг дериватив байдаг. Мөн тогтмол тэмдэгтээр ялгаатай функцүүдийн деривативууд давхцдаг тул эсрэг дериватив дээр тогтмол тэмдэг нэмж өгдөг. Интеграл олох үйл явцыг интеграл гэнэ.

Энгийн жишээ:

Энгийн функцүүдийн эсрэг деривативуудыг байнга тооцоолохгүйн тулд тэдгээрийг хүснэгтэд оруулж, бэлэн утгыг ашиглах нь тохиромжтой.

Оюутнуудад зориулсан интегралын бүрэн хүснэгт

Тодорхой интеграл

Интеграл гэдэг ойлголттой харьцахдаа бид хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүнтэй харьцаж байна. Интеграл нь зургийн талбай, нэг төрлийн бус биеийн масс, жигд бус хөдөлгөөний үед туулсан зам болон бусад олон зүйлийг тооцоолоход тусална. Интеграл нь хязгааргүй олон тооны хязгааргүй жижиг гишүүдийн нийлбэр гэдгийг санах нь зүйтэй.

Жишээ болгон зарим функцийн графикийг төсөөлөөд үз дээ. Функцийн графикаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг хэрхэн олох вэ?

Интегралын тусламжтайгаар! Координатын тэнхлэгүүд болон функцийн графикаар хязгаарлагдах муруй шугаман трапецийг хязгааргүй жижиг хэрчмүүд болгон задалъя. Тиймээс зургийг нимгэн багана болгон хуваах болно. Баганын талбайн нийлбэр нь трапецын талбай болно. Гэхдээ ийм тооцоолол нь ойролцоогоор үр дүнг өгөх болно гэдгийг санаарай. Гэсэн хэдий ч сегментүүд нь жижиг, нарийхан байх тусам тооцоолол илүү нарийвчлалтай болно. Хэрэв бид тэдгээрийг урт нь тэг рүү чиглүүлэхээр багасгах юм бол сегментүүдийн талбайн нийлбэр нь зургийн талбай руу чиглэх болно. Энэ нь дараах байдлаар бичигдсэн тодорхой интеграл юм.

a ба b цэгүүдийг интегралын хязгаар гэж нэрлэдэг.

Бари Алибасов ба "Интеграл" хамтлаг

Дашрамд хэлэхэд! Уншигчиддаа зориулж 10% хямдралтай байгаа

Даммигийн интегралыг тооцоолох дүрэм

Тодорхойгүй интегралын шинж чанарууд

Тодорхой бус интегралыг хэрхэн шийдэх вэ? Энд бид тодорхойгүй интегралын шинж чанарыг авч үзэх бөгөөд энэ нь жишээг шийдвэрлэхэд хэрэг болно.

Интегралын дериватив нь интегралтай тэнцүү байна:

Тогтмолыг интеграл тэмдгийн доороос гаргаж болно.

Нийлбэрийн интеграл нь интегралын нийлбэртэй тэнцүү байна. Мөн ялгаа нь үнэн:

Тодорхой интегралын шинж чанарууд

Шугаман чанар:

Интегралын хязгаарыг өөрчилсөн тохиолдолд интегралын тэмдэг өөрчлөгдөнө.

At ямар чоноо а, бболон -тай:

Тодорхой интеграл нь нийлбэрийн хязгаар гэдгийг бид аль хэдийн олж мэдсэн. Гэхдээ жишээг шийдэхдээ тодорхой утгыг хэрхэн авах вэ? Үүний тулд Ньютон-Лейбницийн томъёо байдаг:

Интегралыг шийдвэрлэх жишээ

Доор бид тодорхойгүй интеграл олох хэд хэдэн жишээг авч үзье. Бид танд шийдлийн нарийн ширийнийг бие даан ойлгохыг санал болгож байна, хэрэв ямар нэг зүйл тодорхойгүй байвал тайлбар дээр асуулт асуугаарай.

Материалыг нэгтгэхийн тулд интегралыг практикт хэрхэн шийдэж байгаа тухай видеог үзээрэй. Хэрэв интеграл нэн даруй өгөгдөөгүй бол цөхрөл бүү зов. Мэргэжлийн оюутны үйлчилгээнд хандаарай, битүү гадаргуу дээрх аливаа гурвалсан эсвэл муруй шугаман интеграл таны хүч чадалд багтах болно.

Шууд нэгтгэх

Интеграцийн үндсэн томъёо

1. С нь тогтмол байна	1*.
2. , n ≠ -1
3. +C
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.

Хамгийн энгийн интеграл, тодорхойгүй интегралын үндсэн шинж чанаруудын хүснэгтийг шууд ашиглан интегралыг тооцоолохыг гэнэ. шууд интеграци.

Жишээ 1

Жишээ 2

Жишээ 3

Энэ нь интегралыг өөр интеграцийн хувьсагч руу шилжүүлэх замаар хувиргахаас бүрдэх цогц функцийг нэгтгэх хамгийн түгээмэл арга юм.

Хэрэв үндсэн хувиргалтыг ашиглан интегралыг хүснэгт болгон бууруулахад хэцүү бол энэ тохиолдолд орлуулах аргыг хэрэглэнэ. Энэ аргын мөн чанар нь шинэ хувьсагчийг оруулснаар өгөгдсөн интегралыг шинэ интеграл болгон бууруулах боломжтой бөгөөд үүнийг шууд авахад харьцангуй хялбар байдагт оршино.

Орлуулах аргаар нэгтгэхийн тулд шийдлийн схемийг ашиглана.

2) орлуулалтын хоёр хэсгээс ялгахыг олох;

3) Интегралыг бүхэлд нь шинэ хувьсагчаар илэрхийлэх (дараа нь хүснэгтийн интеграл авах ёстой);

4) үүссэн хүснэгтийн интегралыг олох;

5) урвуу солих ажлыг гүйцэтгэнэ.

Интегралыг ол:

Жишээ 1 . Сэлгээ:cosx=t,-sinxdx=dt,

Шийдэл:

Жишээ 2∫e -x3 x 2 dx Сэлгээ:-x 3 =t, -3x 2 dx=dt, Шийдэл:∫e -x3 x 2 dx=∫e t (-1/3)dt=-1/3e t +C=-1/3e -x3 +C

Жишээ 3Сэлгээ: 1+sinx=t , cosxdx=dt ,

Шийдэл: .

БҮЛЭГ 1.5. Тодорхой интеграл, түүнийг тооцоолох арга.

х.1 Тодорхой интегралын тухай ойлголт

Даалгавар.Функцийн эсрэг дериватив функцийн өсөлтийг ол f(x), аргументыг дамжуулах үед xүнэ цэнээс аүнэлэх б.

Шийдэл. Интеграцчлал нь дараахь зүйлийг олсон гэж үзье. ∫ (x)dx = F(x)+C.

Дараа нь F(x)+C1, хаана 1-ээс- өгөгдсөн аливаа тоо нь тухайн функцийн эсрэг деривативуудын нэг байх болно f(x). Аргумент утгаас гарах үед түүний өсөлтийг ол аүнэлэх б. Бид авах:

x=b - x=a =F(b) +C 1 - F(a) -C 1 =F(b)-F(a)

Бидний харж байгаагаар антидериватив функцийн өсөлтийн илэрхийлэлд байна F(x)+C1тогтмол утга байхгүй C1. Тэгээд доороос нь C1ямар ч өгөгдсөн тоог илэрхийлсэн бол олж авсан үр дүн нь дараахь дүгнэлтэд хүргэдэг. маргаан дамжуулах үед x үнэ цэнээс x=aүнэлэх x=bбүх функцууд F(x)+C, өгөгдсөн функцийн эсрэг деривативууд f(x), ижил өсөлттэй тэнцүү байна F(b)-F(a).

Энэ өсөлтийг тодорхой интеграл гэж нэрлэдэг.ба тэмдгээр тэмдэглэнэ: мөн уншина уу: интеграл аөмнө б f(x) функцийн dx дээр эсвэл товчхондоо интеграл аөмнө б f(x)dx-аас.

Тоо адуудсан доод хязгааринтеграл, тоо б - дээд; a ≤ x ≤ b сегмент интеграцийн интервал.Мөн интеграл гэж таамаглаж байна f(x)бүх утгын хувьд тасралтгүй xнөхцөлийг хангасан: а x б

Тодорхойлолт. Эсрэг үүсмэл функцүүдийн өсөлт F(x)+Cмаргаан дамжуулах үед xүнэ цэнээс x=aүнэлэх x=b, зөрүүтэй тэнцүү байна F(b)-F(a), тодорхой интеграл гэж нэрлэгдэх ба тэмдгээр тэмдэглэнэ: тэгэхээр if ∫ (x)dx = F(x)+C, тэгвэл = F(b)-F(a) -өгсөн тэгш байдлыг Ньютон-Лейбницийн томъёо гэж нэрлэдэг.

х.2 Тодорхой интегралын үндсэн шинж чанарууд

Бүх шинж чанаруудыг харгалзан үзсэн функцуудыг харгалзах интервалд нэгтгэх боломжтой гэсэн саналд томъёолсон болно.

х 3 Тодорхой интегралын шууд тооцоо

Тодорхой интегралыг тооцоолохын тулд харгалзах тодорхойгүй интегралыг олоход Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглана.

тэдгээр. тодорхой интеграл нь интегралын дээд ба доод хязгаарт байгаа аливаа эсрэг дериватив функцын утгуудын зөрүүтэй тэнцүү байна.

Энэ томъёоноос та тодорхой интегралыг тооцоолох дарааллыг харж болно.

1) өгөгдсөн функцийн тодорхойгүй интегралыг олох;

2) үүссэн эсрэг деривативт аргументийн оронд эхлээд дээд, дараа нь интегралын доод хязгаарыг орлуулах;

3) дээд хязгаарыг орлуулсны үр дүнгээс доод хязгаарыг орлуулсны үр дүнг хасна.

Жишээ 1:Интегралыг тооцоолох:

Жишээ 2:Интегралыг тооцоолох:

х.4 Орлуулах аргаар тодорхой интегралыг тооцоолох

Орлуулах аргаар тодорхой интегралыг тооцоолох нь дараах байдалтай байна.

1) интегралын хэсгийг шинэ хувьсагчаар солих;

2) тодорхой интегралын шинэ хязгаарыг олох;

3) орлуулалтын хоёр хэсгээс ялгахыг олох;

4) бүхэл бүтэн интегралыг шинэ хувьсагчаар илэрхийлэх (дараа нь хүснэгтийн интеграл авах ёстой); 5) үүссэн тодорхой интегралыг тооцоол.

Жишээ 1:Интегралыг тооцоолох:

Сэлгээ: 1+cosx=t,-sinxdx=dt,

БҮЛЭГ 1.6. Тодорхой интегралын геометрийн утга.

Муруй шугаман трапецын талбай:

Сегмент дээрх тодорхой интеграл нь f(x) функцийн графикаар хязгаарлагдсан муруйн трапецын талбай гэдгийг мэддэг.

Зарим шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг эдгээр шугамын тэгшитгэл нь мэдэгдэж байгаа бол тодорхой интеграл ашиглан олж болно.

[a; b] y = ƒ(x) ≥ 0 тасралтгүй функц өгөгдсөн.Энэ трапецын талбайг ол.

0 тэнхлэгээр хязгаарлагдсан зургийн талбай x, хоёр босоо шугам x=a, x=b y \u003d ƒ (x) (зураг) функцийн графикийг дараах томъёогоор тодорхойлно.

Энэ нь тодорхой интегралын геометрийн утга юм.

Жишээ 1: Шугамаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоолно уу: y \u003d x 2. + 2, y \u003d 0, x \u003d -2, x \u003d 1.

Шийдэл: Зураг хийцгээе (y=0 тэгшитгэл нь х тэнхлэгийг тодорхойлно гэдгийг анхаарна уу).

Хариулт: S = 9 нэгж 2

Жишээ 2: y \u003d - e x, x \u003d 1 ба координатын тэнхлэгүүдээр хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоол.

Шийдэл: Зураг зурцгаая.
Хэрэв муруй шугаман трапец бүрэн х тэнхлэгийн доор, дараа нь түүний талбайг дараах томъёогоор олж болно.

Энэ тохиолдолд:

Анхаар! Хэрэв та тодорхой интеграл ашиглан дүрсийн талбайг олохыг хүсэх юм бол талбай үргэлж эерэг байна! Тийм ч учраас сая авч үзсэн томъёонд хасах зүйл гарч ирдэг.

БҮЛЭГ 1.7. Тодорхой интегралыг хэрэглэх

х.1 Хувьсгалт биеийн эзэлхүүний тооцоо

Хэрэв муруйн трапец нь Ox тэнхлэгтэй зэргэлдээ байвал шулуун шугамууд y \u003d a, y \u003d b ба функцийн графиктай байна. у= F(x) (Зураг 1), дараа нь эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг интеграл агуулсан томъёогоор тодорхойлно.

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүн нь:

Жишээ:

0 ≤ x ≤ 4 үед x тэнхлэгийг тойрсон шугамын эргэлтийн гадаргуугаар хязгаарлагдсан биеийн эзэлхүүнийг ол.

Шийдэл:В

нэгж 3. Хариулт: нэгж 3.

БҮЛЭГ 3.1. Энгийн дифференциал тэгшитгэл

х.1 Дифференциал тэгшитгэлийн тухай ойлголт

Тодорхойлолт. дифференциал тэгшитгэлхувьсах хэмжигдэхүүн ба тэдгээрийн деривативын функцийг агуулсан тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Ийм тэгшитгэлийн ерөнхий хэлбэр =0, энд F нь түүний аргументуудын мэдэгдэж буй функц, тогтмол талбайд өгөгдсөн; x - бие даасан хувьсагч (түүнийг ялгах хувьсагч); y - хамааралтай хувьсагч (үүсмэл хэлбэрийг авсан ба тодорхойлох шаардлагатай хувьсагч); нь хамааралгүй хувьсагч у-ийн бие даасан х хувьсагчтай холбоотой дериватив юм.

зүйл 2 Дифференциал тэгшитгэлийн үндсэн ойлголтууд

захиалгадифференциал тэгшитгэлийг түүнд орсон хамгийн дээд деривативын дараалал гэж нэрлэдэг.

Жишээлбэл:

Хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэл, - нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэл.

Хувьсагчдыг хооронд нь холбож, дифференциал тэгшитгэлийг жинхэнэ тэгшитгэлд хөрвүүлдэг аливаа функцийг нэрлэдэг шийдвэрдифференциал тэгшитгэл.

Ерөнхий шийдэл 1-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн функц ба дурын тогтмол C нь энэ тэгшитгэлийг -д адилтгал болгон хувиргадаг.

=0 далд хэлбэрээр бичигдсэн ерөнхий шийдийг дуудна нийтлэг интеграл.

Хувийн шийдвэр=0 тэгшитгэлийг ерөнхий шийдээс тогтсон утга-тогтмол тоогоор олж авсан шийдэл гэнэ.

Хэлбэрийн анхны нөхцлийг хангасан n-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг олох бодлого (n= 1,2,3,…)

дуудсан Кошигийн асуудал.

х.3 Салгаж болох хувьсагчтай нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл

Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг -ээр төлөөлөх боломжтой бол салгах хувьсагчтай тэгшитгэл гэнэ. Хэрвээ . нэгтгэх: .

Ийм төрлийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд:

1. Хувьсагчдыг салгах;

2. Тусгаарлагдсан хувьсагчтай тэгшитгэлийг интегралчилж, энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олох;

3. Анхны нөхцлүүдийг (хэрэв өгөгдсөн бол) хангасан тодорхой шийдлийг ол.

Жишээ 1Тэгшитгэлийг шийд. x=-2-ын хувьд y=4 нөхцөлийг хангасан тодорхой шийдлийг ол.

Шийдэл:Энэ нь тусдаа хувьсах тэгшитгэл юм. Интеграцчилснаар бид тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олно: . Илүү энгийн ерөнхий шийдлийг олж авахын тулд бид баруун гар талын тогтмол гишүүнийг C/2 хэлбэрээр илэрхийлнэ. Бидэнд ерөнхий шийдэл байгаа эсвэл байна. y=4 ба x=-2 утгыг ерөнхий шийдэлд орлуулснаар 16=4+С, үүнээс С=12 болно.

Тиймээс энэ нөхцлийг хангасан тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл нь хэлбэртэй байна

Жишээ 2Хэрэв тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг ол .

Шийдэл:, , , , , нийтлэг шийдвэр.

Бид тодорхой шийдэлд x ба y-ийн утгыг орлуулна: , , тодорхой шийдэл.

Жишээ 3Тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол . Шийдэл: ,, , - нийтлэг шийдвэр.

х.4 Эхнийхээс өндөр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл

буюу хэлбэрийн тэгшитгэлийг давхар интегралчлалаар шийддэг: , , хаанаас . Энэ функцийг нэгтгэсний дараа бид f(x)-ийн шинэ функцийг олж авах бөгөөд үүнийг бид F(x) гэж тэмдэглэнэ. Энэ замаар, ; . Дахин интегралдая: эсвэл y=Ф(х) . Бид хоёр дурын тогтмол ба .

Жишээ 1Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл:, , ,

Жишээ 2тэгшитгэлийг шийд . Шийдэл: , , .

БҮЛЭГ 3.2. Тооны цуврал, түүний гишүүд

Тодорхойлолт 1.Тоон цуврал++…++… хэлбэрийн илэрхийлэл гэж нэрлэдэг. (1)

хаана , , …, , … - тодорхой тооны системд хамаарах тоонууд.

Тиймээс жинхэнэ цувралуудын тухай ярьж болно R,Үүнд зориулсан цогц цувралын тухай C, i= 1, 2, …, n, … = =.

3.3-р хэсэг. Магадлалын онол ба математикийн статистикийн үндэс

4.1. ИНТЕГРАЛАХ ЭНГИЙН АРГУУД 4.1.1. Тодорхойгүй интегралын тухай ойлголт

Дифференциал тооцоололд өгөгдсөн функцийн дериватив буюу дифференциалыг олох асуудлыг авч үзсэн. y= F(x),өөрөөр хэлбэл олох шаардлагатай байсан f(x)= F"(x)эсвэл dF(x)= F "(x) dx= f(x)dx.Бид урвуу асуудлыг тавьдаг: ялгаатай функцийг сэргээх, өөрөөр хэлбэл деривативыг мэдэх. f(x)(эсвэл дифференциал f(x)dx),ийм функцийг олоорой F(x),руу F"(x)= f(x).Энэ асуудал нь ялгах асуудлаас хамаагүй хэцүү болж хувирдаг. Жишээлбэл, цэгийг хөдөлгөх хурд тодорхой байг, гэхдээ бид хуулийг олох хэрэгтэй

түүний хөдөлгөөн С= S(t),болон Үүнийг шийдэхийн тулд

даалгавар, шинэ үзэл баримтлал, үйлдлүүдийг танилцуулж байна.

Тодорхойлолт.Ялгах функц F(x)дуудсан Балар эртнийфункцийн хувьд f(x)дээр (a;b),хэрэв F"(x)= f(x)дээр (а; б).

Жишээ нь, төлөө е(x) = x 2 эсрэг дериватив учир нь

төлөө е(x) = cos xэсрэг дериватив нь F(x) = sin x байх болно, учир нь F"(x) = (sin x)" = cos x, энэ нь ижил байна. е(x).

Өгөгдсөн функцийн эсрэг дериватив үргэлж байдаг уу? f(x)?Тийм, хэрэв энэ функц (a; b) дээр тасралтгүй байвал. Үүнээс гадна тоо томшгүй олон командууд байдаг бөгөөд тэдгээр нь бие биенээсээ зөвхөн тогтмол нэр томъёогоор ялгаатай байдаг. Нээрээ нүгэл x+ 2 нүгэл x-2, нүгэл x+ в- эдгээр бүх функцууд cos-ийн хувьд энгийн байх болно x(тогтмол утгын дериватив нь 0) - зураг. 4.1.

Тодорхойлолт.Илэрхийлэл F(x)+ в,хаана FROM- функцийн эсрэг деривативуудын багцыг тодорхойлдог дурын тогтмол утга f(x),дуудсан тодорхойгүй интегралба тэмдгээр тэмдэглэнэ , өөрөөр хэлбэл , энд тэмдэг нь тодорхойгүй байдлын тэмдэг юм

интеграл, f(x)- дуудсан интеграл, f (x)dx- интеграл, x- интеграцийн хувьсагч.

Цагаан будаа. 4.1.Интеграл муруйн гэр бүлийн жишээ

Тодорхойлолт.Өгөгдсөн дериватив буюу дифференциалын эсрэг деривативыг олох үйлдлийг гэнэ интеграциэнэ функц.

Интеграци нь ялгахын урвуу бөгөөд үүнийг ялгах замаар шалгаж болно, ялгах нь өвөрмөц бөгөөд интеграл нь тогтмол хүртэл хариултыг өгдөг. Тогтмол утга өгөх FROMтодорхой утгууд дээр-

янз бүрийн функцүүдийг авах

гэж нэрлэгддэг координатын хавтгай дээрх муруйг тодорхойлдог интеграл.Интеграл муруйнуудын бүх графикууд тэнхлэгийн дагуу бие биедээ параллель шилждэг Өө.Тиймээс геометрийн тодорхойгүй интеграл нь интеграл муруйн гэр бүл юм.

Тиймээс шинэ ойлголтууд (эсрэг үүсмэл ба тодорхойгүй интеграл) болон шинэ үйлдэл (интеграл) гарч ирсэн боловч эсрэг деривативыг яаж олох вэ? Энэ асуултад хялбархан хариулахын тулд бид юуны түрүүнд үндсэн энгийн функцүүдийн тодорхойгүй интегралуудын хүснэгтийг эмхэтгэж, цээжлэх ёстой. Үүнийг харгалзах дифференциалын томьёог эргүүлэх замаар олж авна. Жишээлбэл, хэрэв

Ихэвчлэн хүснэгтэд хамгийн энгийн интеграцийн аргыг хэрэглэсний дараа олж авсан зарим интегралууд багтдаг. Эдгээр томъёог Хүснэгтэнд тэмдэглэв. 4.1 "*" тэмдэгтэй бөгөөд материалын цаашдын танилцуулгад нотлогдсон.

Хүснэгт 4.1.Үндсэн тодорхойгүй интегралын хүснэгт

Формула 11 Хүснэгтээс. 4.1 шиг харагдаж болно
,

учир нь. Маягтын талаархи ижил төстэй тайлбар

луус 13:

4.1.2. Тодорхойгүй интегралын шинж чанарууд

Тодорхой бус интегралын хамгийн энгийн шинж чанаруудыг авч үзье, энэ нь зөвхөн үндсэн үндсэн функцуудыг нэгтгэх боломжийг бидэнд олгоно.

1. Тодорхой бус интегралын дериватив нь интегралтай тэнцүү байна.

2. Тодорхой бус интегралаас ялгах нь интегралтай тэнцүү байна.

3. Функцийн дифференциалын тодорхойгүй интеграл нь дурын тогтмол дээр нэмсэн энэ функцтэй тэнцүү байна.

Жишээ 1 Жишээ 2

4. Тогтмол коэффициентийг интеграл тэмдэгээс гаргаж болно. Жишээ 3

5. Хоёр функцийн нийлбэр буюу зөрүүний интеграл нь эдгээр функцүүдийн интегралуудын нийлбэр буюу зөрүүтэй тэнцүү байна.

Жишээ 4

Интеграцийн хувьсагч нь функц байвал интеграцийн томъёо хүчинтэй хэвээр байна: if тэгээд

Үргэлжилсэн деривативтай дурын функц. Энэ өмчийг нэрлэдэг хувирамтгай байдал.

Жишээ 5 , ийм учраас

-тай харьцуул

Бүх нийтийн интеграцийн арга байхгүй. Дараа нь 1-5-р шинж чанарууд болон Хүснэгтийг ашиглан өгөгдсөн интегралыг тооцоолох боломжийг олгодог зарим аргыг өгөх болно. 4.1.

4.1.3 Шууд нэгтгэх

Энэ арга нь хүснэгтийн интеграл болон 4 ба 5-р шинж чанарыг шууд ашиглахаас бүрдэнэ. Жишээ.

4.1.4 Задрах арга

Энэ арга нь интегралыг аль хэдийн мэдэгдэж байгаа интеграл бүхий функцүүдийн шугаман хослол болгон өргөжүүлэхэд оршино.

Жишээ.

4.1.5. Дифференциалын тэмдгийн дор нэгтгэх арга

Энэхүү интегралыг хүснэгтийн хэлбэрт оруулахын тулд дифференциалыг хувиргах нь тохиромжтой.

1. Дифференциал тэмдгийн дор шугаман функцийг авчрах

эндээс
Тухайлбал, dx= d(x + б)

хувьсагч дээр нэмбэл дифференциал өөрчлөгдөхгүй

эсвэл тогтмол утгыг хасах. Хэрэв хувьсагч хэд хэдэн удаа нэмэгдсэн бол дифференциал нь харилцан адилгүй үржүүлнэ. Шийдэл бүхий жишээнүүд.

Хүснэгтээс 9*, 12*, 14* томъёог шалгая. 4.1 Дифференциалын тэмдгийн доор оруулах аргыг ашиглан:

Q.E.D.

2. Үндсэн үндсэн функцүүдийн дифференциалын тэмдгийн дор оруулах:

Сэтгэгдэл.Формула 15* ба 16*-ийг ялгах замаар шалгаж болно (1-р шинж чанарыг харна уу). Жишээлбэл,

бөгөөд энэ нь 16* томъёоны интеграл юм.

4.1.6. Квадрат гурвалсан гишүүнээс бүтэн квадратыг гаргаж авах арга

гэх мэт илэрхийллийг нэгтгэх үед эсвэл

дөрвөлжин гурвалсанаас бүтэн квадратыг гаргаж авах

ax2+ bx+ втэдгээрийг хүснэгтийн 12*, 14*, 15* эсвэл 16* болгон багасгах боломжтой (Хүснэгт 4.1-ийг үз).

Ерөнхийдөө энэ үйл ажиллагаа нь бодит байдлаас илүү төвөгтэй мэт санагдаж байгаа тул бид жишээгээр хязгаарлагдах болно.

Жишээ.

Шийдэл.Энд бид дөрвөлжин гурвалсан хэсгээс бүтэн квадратыг гаргаж авдаг x 2 + 6x + 9 = (x 2 + 6x + 9) - 9 + 5 = (x + 3) 2 - 4 , дараа нь бид дифференциал тэмдгийн доор оруулах аргыг ашигладаг.

Үүнтэй адилаар бид дараах интегралуудыг тооцоолж болно.

2. 3.

Интеграцийн эцсийн шатанд 16* томъёог ашигласан.

4.1.7. Интеграцийн үндсэн аргууд

Ийм хоёр арга байдаг: хувьсах аргыг өөрчлөх, орлуулах, хэсэгчлэн нэгтгэх.

Хувьсах солих арга

Тодорхой бус интеграл дахь хувьсагчийг өөрчлөх хоёр томьёо байдаг:

1) 2)

Энд монотон ялгах функцууд байна.

тэдгээрийн хувьсагчдын хамаарал.

Энэ аргыг хэрэглэх урлаг нь голчлон шинэ интегралуудыг хүснэгт хэлбэрээр эсвэл тэдгээрийг багасгахын тулд функцийг сонгоход оршино. Эцсийн хариулт нь хуучин хувьсагч руу буцах ёстой.

Дифференциалын тэмдгийн доор оруулах нь хувьсагчийн өөрчлөлтийн онцгой тохиолдол гэдгийг анхаарна уу.

Жишээ.

Шийдэл.Энд та шинэ хувьсагчийг оруулах хэрэгтэйтязгуураас салахын тулд. тавьяx+ 1 = т,тэгээд x= t2+ 1 ба dx = 2 tdt:

Шийдэл.Солих x- 2 ширхэг т, Бид хуваагчдаа мономиал авах ба гишүүнчлэлээр хуваасны дараа интеграл нь чадлын функцээс хүснэгтэн хэлбэртэй болж буурна.

Хувьсагч руу шилжих үед xашигласан томъёо:

Хэсэгээр нь нэгтгэх арга

Хоёр функцийн үржвэрийн дифференциалыг томъёогоор тодорхойлно

Энэ тэгш байдлыг нэгтгэж (3-р өмчийг үзнэ үү) бид дараахь зүйлийг олж авна.

Эндээс Энэ бол томъёо юм интеграци дууссан

хэсгүүд.

Хэсэгчилсэн интеграц нь интегралын субъектив дүрслэлийг хэлбэрээр илэрхийлдэг у . dV,мөн үүний зэрэгцээ интеграл -аас хялбар байх ёстой Үгүй бол програм