Функц буурч байгааг батал. Хичээлийн сэдэв: "Үйлчилгээг нэмэгдүүлэх, багасгах"

Одоогийн байдлаар ахлах сургуулийн сурагчдын бүтээлч байдал, идэвхтэй байдал, бие даасан байдал, өөрийгөө ухамсарлах чадварыг харуулах хэрэгцээ, математикийн хичээлд цаг хугацаа хязгаарлагдмал байгаа нь зөрчилдөөнтэй байна. Би 2006 оноос хойш математикийн ангийн сурагчдад зориулан Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков нарын математикийн гүнзгийрүүлсэн судалгаа бүхий “Алгебр 7, 8, 9” сурах бичгийг оюутнуудад оновчтой сонголт хийх зорилгоор ашиглаж байна. Оюутнуудад математикийн шаардлага өндөр түвшинд ажиллах боломжийг олгож, тэдний сурах сэдлийг хөгжүүлж, боловсролын профайлыг бий болгох.
Оюутнуудыг бие даасан судалгааны ажилд хэрхэн хамруулах вэ, ингэснээр тэд өөрсдөө шинэ шинж чанар, харилцаа холбоог "нээж", багшаас бэлэн хэлбэрээр хүлээж авахгүй байх вэ? Олон жилийн ажлын туршлага, багшлах уламжлалт санаагаа өөрчлөх хүсэл намайг математикийн хичээлдээ судалгааны үйл ажиллагааг ашиглахад түлхэц өгсөн. Мэдээжийн хэрэг, ажлын арга барил, хичээлийн бүтцийг өөрчилж, сургалтын үйл явцыг зохион байгуулагчийн үүргийг гүйцэтгэж, оюуны түвшингээс үл хамааран оюутан бүрийг үндсэн үйл ажиллагаанд системтэй хамруулах боломжийг надад олгосон нь мэдээжийн хэрэг. тодорхой мэдлэгтэй, өөрийгөө хөгжүүлэхэд бэлэн байх.
Оюутны үйл ажиллагаанд оролцох нь тэдний мэдлэгийн гүн гүнзгий, бат бөх чанар, түүний үнэт зүйлсийн тогтолцоо, өөрөөр хэлбэл өөрийгөө боловсрол эзэмшихэд нөлөөлдөг гэж би боддог. Оюутны өөрийгөө хөгжүүлэх, бие даан суралцах чадвар нь тэднийг нийгэмтэй зөрчилдөхгүйгээр байнга өөрчлөгдөж байдаг гадаад нөхцөл байдалд амжилттай дасан зохицох боломжийг олгоно.

Хэсгийн сэдэв:"Функцийн шинж чанарууд".

Хичээлийн сэдэв:"Өсөх, багасгах функцууд."

Хичээлийн төрөл:шинэ материалыг судлах, анхлан хэрэгжүүлэх хичээл.

Үндсэн зорилго:

Оюутнуудад монотон функцийн тухай шинэ ойлголтыг төлөвшүүлэх;
Мэдлэгт эерэг хандлага, хосоороо ажиллах чадварыг төлөвшүүлэх;
Аналитик сэтгэлгээг хөгжүүлэх, танин мэдэхүйн үйл ажиллагааны хэсэгчилсэн хайлтын чадварыг хөгжүүлэх.

ХИЧЭЭЛИЙН ҮЕД

I. Лавлах мэдлэгийг шинэчлэх

- Функцийг тодорхойлох.
– Зураг дээр графикийг харуулсан функцуудыг ямар томьёогоор тодорхойлно. (Хавсралт 2)

II. Шинэ мэдлэгийг бий болгох

Чиг үүрэг f(x)Хэрэв аргументийн аль нэг хоёр утгын хувьд X олонлог дээр нэмэгдэх гэж нэрлэдэг X 1 ба X 2 багц X ийм байна X 2 > X f(x 2 ) > f(x 1 ) .
Чиг үүрэг (X)Хэрэв аргументийн аль нэг хоёр утгын хувьд X олонлогийн бууралт гэж нэрлэгддэг X 1 ба X 2 багц X ийм байна X 2 > X 1, тэгш бус байдал хэвээр байна f(x 2 ) <f(x 1 ) .
X олонлог дээр өсөх, Х олонлогт буурах функцийг X олонлог дээр монотон гэж нэрлэдэг.

Зарим төрлийн функцүүдийн монотон байдлын мөн чанарыг олж мэдье: (Хавсралт 4)
Чиг үүрэг f(x)= – нэмэгдэж байна. Үүнийг баталъя.
Энэ илэрхийлэл нь зөвхөн үед л утга учиртай болно X > 0. Иймд Д (е)= . сондгой n функцийн хувьд f(x) = x nТодорхойлолтын бүх домэйн дээр, өөрөөр хэлбэл (– ; +) интервалаар нэмэгддэг. (Хавсралт 7)
Урвуу пропорциональ, өөрөөр хэлбэл функц f(x)= интервал тус бүрт (– ; 0) ба (0; + ) үед к> 0 буурах ба хэзээ к < 0 возрастает. (Приложение 8)

Монотон функцүүдийн зарим шинж чанарыг авч үзье (Хавсралт 9):

IV. Практик ур чадварыг бий болгох

Монотон функцүүдийн шинж чанарыг ашиглах жишээ энд байна.

Шулуун шугам хэдэн цэг дээр байгааг олж мэдье цагт= 9 нь функцийн графикийг огтолж байна f(x) = + + .

Шийдэл:

Функцүүд цагт= , у = ба у = өсөн нэмэгдэж буй функцууд (хөрөнгө 4). Өсөн нэмэгдэж буй функцүүдийн нийлбэр нь нэмэгдэж буй функц юм (3-р өмч). Өсөн нэмэгдэж буй функц нь түүний утга тус бүрийг зөвхөн нэг аргументын утгыг авдаг (өмч 1). Иймд y = 9 шулуун шугам нь функцийн графиктай нийтлэг цэгүүдтэй бол f(x)= + +, дараа нь зөвхөн нэг цэг.
Сонголтоор хүн үүнийг олж чадна f(x)= 9 цагт X= 3. Тэгэхээр энэ нь шулуун байна цагт= 9 нь функцийн графикийг огтолж байна f(x)= + + цэг дээр M(3; 9).

Тэгшитгэлээ шийдье X 3 – + = 0.

Шийдэл:

Үүнийг харахад амархан X= 1 – тэгшитгэлийн үндэс. Энэ тэгшитгэлд өөр үндэс байхгүй гэдгийг харуулъя. Үнэн хэрэгтээ функцийг тодорхойлох домэйн у = x 3 – + – эерэг тоонуудын багц. Энэ багц дээр функц бүр нэмэгддэг тул функц бүр нэмэгддэг цагт = X 3 , цагт= – ба цагт= интервал дээр нэмэгддэг (0; +). Тиймээс энэ тэгшитгэл нь өөр үндэстэй X= 1, байхгүй.

Өсөх, буурах функц

функц y = е(x) интервал дээр нэмэгдэх гэж нэрлэдэг [ а, б], хэрэв ямар нэг хос оноотой бол XТэгээд X", a ≤ x тэгш бус байдал биелнэ е(x) ≤ е (x"), мөн хатуу нэмэгдүүлэх - хэрэв тэгш бус байдал е (x) f(x"). Буурах ба хатуу буурах функцийг ижил төстэй байдлаар тодорхойлдог. Жишээлбэл, функц цагт = X 2 (будаа. , a) сегмент дээр хатуу нэмэгддэг , ба

(будаа. , б) энэ сегмент дээр хатуу буурдаг. Өсөн нэмэгдэж буй функцуудыг тодорхойлсон е (x), буурч байна е (x)↓. Дифференциалагдах функцтэй байхын тулд е (x) сегмент дээр нэмэгдэж байв [ А, б], түүний дериватив нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм е"(x) сөрөг биш байсан [ А, б].

Хэсэг дээрх функцийн өсөлт, бууралтын зэрэгцээ бид тухайн цэг дэх функцийн өсөлт, бууралтыг авч үздэг. Чиг үүрэг цагт = е (x) цэг дээр нэмэгдэж байгаа гэж нэрлэдэг xХэрэв цэгийг агуулсан интервал (α, β) байвал 0 x 0, аль ч цэгийн хувьд X-аас (α, β), x> x 0, тэгш бус байдал нь биелнэ е (x 0) ≤ е (x) болон аль ч цэгийн хувьд X-аас (α, β), x 0, тэгш бус байдал биелнэ е (x) ≤ f (x 0). Цэг дэх функцийн хатуу өсөлтийг ижил төстэй байдлаар тодорхойлно x 0 . Хэрэв е"(x 0) > 0, дараа нь функц е(x) цэг дээр хатуу нэмэгддэг x 0 . Хэрэв е (x) интервалын цэг бүрт нэмэгддэг ( а, б), дараа нь энэ интервалд нэмэгдэнэ.

С.Б.Стечкин.

Зөвлөлтийн агуу нэвтэрхий толь бичиг. - М .: Зөвлөлтийн нэвтэрхий толь бичиг. 1969-1978 .

Бусад толь бичгүүдээс "Өсөх, бууруулах функцүүд" гэж юу болохыг харна уу.

Математик анализын тухай ойлголтууд. f(x) функцийг ХҮН АМЫН НАСНЫ БҮТЭЦ сегмент дээр нэмэгдэж буй хүн амын янз бүрийн насны бүлгийн тооны харьцаа гэж нэрлэдэг. Төрөлт, нас баралтын түвшин, хүмүүсийн дундаж насл... Том нэвтэрхий толь бичиг

Математик анализын тухай ойлголтууд. Хэрэв x1 ба x2 хос цэгүүдийн хувьд a≤x1 ... байвал f(x) функц хэрчм дээр нэмэгдэж байна гэж хэлнэ. нэвтэрхий толь бичиг

Математикийн тухай ойлголтууд. шинжилгээ. f(x) функцийг дуудна. [a, b] сегмент дээр нэмэгдэх, хэрэв x1 ба x2 цэгүүдийн аль нэг хосын хувьд, мөн<или=х1 <х<или=b, выполняется неравенство f(x1)Байгалийн шинжлэх ухаан. нэвтэрхий толь бичиг

Функцийн дериватив ба дифференциал, тэдгээрийн функцийг судлахад хэрэглэхийг судалдаг математикийн салбар. Дизайн Д. ба. Математикийн бие даасан салбар болох нь И.Ньютон, Г.Лейбниц нарын нэрстэй холбоотой (17 оны хоёрдугаар хагас ... Зөвлөлтийн агуу нэвтэрхий толь бичиг

Дериватив ба дифференциал гэсэн ойлголт, тэдгээрийг функцийг судлахад хэрхэн ашигладаг талаар судалдаг математикийн салбар. D.-ийн хөгжил ба. интеграл тооцооллын хөгжилтэй нягт холбоотой. Тэдний агуулга нь бас салшгүй юм. Тэд хамтдаа үндэс суурийг бүрдүүлдэг ... ... Математик нэвтэрхий толь бичиг

Энэ нэр томъёо нь өөр утгатай, функцийг үзнэ үү. "Дэлгэц" хүсэлтийг энд дахин чиглүүлсэн; бусад утгыг бас үзнэ үү... Википедиа

Аристотель ба перипатетикууд- Аристотелийн асуулт Аристотель Аристотель 384/383 онд төрсөн. МЭӨ д. Македонтой хиллэдэг Стагира хотод. Түүний эцэг Никомахус нь Филипийн эцэг Македонийн хаан Аминтасын үйлчлэлийн эмч байжээ. Залуу Аристотель гэр бүлийнхээ хамт...... Барууны философи үүссэнээс өнөөг хүртэл

- (QCD), квантын дүр төрхөөр бүтээгдсэн кварк ба глюонуудын хүчтэй харилцан үйлчлэлийн квант талбайн онол. "өнгөт" хэмжигч тэгш хэм дээр суурилсан электродинамик (QED). QED-ээс ялгаатай нь QCD дахь фермионууд нэмэлт шинж чанартай байдаг. эрх чөлөөний квант зэрэг тоо, …… Физик нэвтэрхий толь бичиг

Би зүрх Зүрх (Латин кор, Грекийн кардиа) нь шахуургын үүрэг гүйцэтгэдэг, цусны эргэлтийн систем дэх цусны хөдөлгөөнийг хангадаг хөндий фибромускуляр эрхтэн юм. Анатоми Зүрх нь перикардийн урд дунд гэдэсний (Mediastinum) ... ... хооронд байрладаг. Анагаах ухааны нэвтэрхий толь бичиг

Ургамлын амьдрал нь бусад амьд организмын нэгэн адил харилцан уялдаатай үйл явцын цогц цогц юм; Тэдгээрийн хамгийн чухал нь хүрээлэн буй орчинтой бодис солилцох явдал юм. Хүрээлэн буй орчин нь эх сурвалж юм....... Биологийн нэвтэрхий толь бичиг

Өсөн нэмэгдэж буй функцийн тодорхойлолт.

Чиг үүрэг y=f(x)интервалаар нэмэгддэг X, хэрэв байгаа бол болон тэгш бус байдал бий. Өөрөөр хэлбэл, аргументийн том утга нь функцийн том утгатай тохирч байна.

Буурах функцийн тодорхойлолт.

Чиг үүрэг y=f(x)интервал дээр буурдаг X, хэрэв байгаа бол болон тэгш бус байдал бий . Өөрөөр хэлбэл, аргументийн том утга нь функцийн бага утгатай тохирч байна.

ТАЙЛБАР: хэрэв функц нь нэмэгдэж, буурах интервалын төгсгөлд тодорхой бөгөөд тасралтгүй байвал (а;б), өөрөөр хэлбэл хэзээ x=aТэгээд x=b, дараа нь эдгээр цэгүүдийг нэмэгдүүлэх эсвэл буурах интервалд оруулна. Энэ нь интервал дээр нэмэгдэж, буурах функцийн тодорхойлолттой зөрчилддөггүй X.

Жишээлбэл, үндсэн үндсэн функцүүдийн шинж чанараас бид үүнийг мэддэг y=sinxаргументийн бүх бодит утгуудын хувьд тодорхойлогдсон бөгөөд тасралтгүй. Тиймээс интервал дээрх синус функцийн өсөлтөөс бид интервал дээр нэмэгддэг гэж баталж болно.

Функцийн экстремум цэг, экстремум.

цэг гэж нэрлэдэг хамгийн дээд цэгфункцууд y=f(x), хэрэв хүн бүрт xтүүний хөршөөс тэгш бус байдал хүчинтэй байна. Хамгийн их цэг дээрх функцийн утгыг дуудна функцийн дээд хэмжээболон тэмдэглэнэ.

цэг гэж нэрлэдэг хамгийн бага цэгфункцууд y=f(x), хэрэв хүн бүрт xтүүний хөршөөс тэгш бус байдал хүчинтэй байна. Функцийн хамгийн бага цэг дэх утгыг дуудна хамгийн бага функцболон тэмдэглэнэ.

Цэгийн хөршийг интервал гэж ойлгодог , энд хангалттай бага эерэг тоо байна.

Хамгийн бага ба дээд цэгүүдийг дуудна экстремум цэгүүд, мөн экстремум цэгүүдэд харгалзах функцийн утгуудыг дуудна функцийн экстремум.

Функцийн экстремумыг функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгатай андуурч болохгүй.

Эхний зураг дээр сегмент дээрх функцийн хамгийн том утга нь хамгийн их цэг дээр хүрч, функцийн хамгийн их утгатай тэнцүү бөгөөд хоёр дахь зураг дээр - функцийн хамгийн дээд утга нь цэг дээр хүрдэг. x=b, энэ нь дээд цэг биш юм.

Функцийг нэмэгдүүлэх, багасгах хангалттай нөхцөл.

Функцийн өсөлт, бууралтын хангалттай нөхцөл (тэмдэг) дээр үндэслэн функцийн өсөлт, бууралтын интервалыг олно.

Интервал дахь функцүүдийн өсөлт ба буурах шинж тэмдгүүдийн томъёоллыг энд харуулав.

Хэрэв функцийн дериватив бол y=f(x)хэнд ч эерэг xинтервалаас X, дараа нь функц нь -ээр нэмэгдэнэ X;

Хэрэв функцийн дериватив бол y=f(x)хэнд ч сөрөг xинтервалаас X, дараа нь функц нь буурна X.

Тиймээс функцийн өсөлт, бууралтын интервалыг тодорхойлохын тулд дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай.

Алгоритмыг тайлбарлах функцүүдийн өсөлт ба буурах интервалыг олох жишээг авч үзье.

Жишээ.

Өсөх ба буурах функцийн интервалыг ол.

Шийдэл.

Эхний алхам бол функцийн тодорхойлолтыг олох явдал юм. Бидний жишээн дээр хуваагч дахь илэрхийлэл тэг рүү явах ёсгүй тул .

Функцийн деривативыг олохын тулд үргэлжлүүлье.

Хангалттай шалгуур дээр үндэслэн функцийн өсөлт ба бууралтын интервалыг тодорхойлохын тулд бид тодорхойлолтын муж дээрх тэгш бус байдлыг шийддэг. Интервалын аргын ерөнхий ойлголтыг ашиглая. Тоолуурын цорын ганц жинхэнэ үндэс нь юм x = 2, мөн хуваагч нь тэг рүү очно x=0. Эдгээр цэгүүд нь тодорхойлолтын мужийг функцийн дериватив тэмдэгээ хадгалах интервалд хуваадаг. Эдгээр цэгүүдийг тоон шулуун дээр тэмдэглэе. Бид уламжлал ёсоор дериватив эерэг эсвэл сөрөг байх интервалуудыг нэмэх ба хасахаар тэмдэглэдэг. Доорх сумнууд нь харгалзах интервал дээрх функцийн өсөлт, бууралтыг схемээр харуулав.

Тиймээс, Тэгээд .

Яг цэг дээр x=2Функц нь тодорхой бөгөөд тасралтгүй байдаг тул үүнийг нэмэгдүүлэх ба буурах интервалд хоёуланд нь нэмэх хэрэгтэй. Яг цэг дээр x=0функц тодорхойлогдоогүй тул бид энэ цэгийг шаардлагатай интервалд оруулаагүй болно.

Бид олж авсан үр дүнг харьцуулахын тулд функцийн графикийг толилуулж байна.

Хариулт:

функц нь нэмэгддэг , интервал дээр буурдаг (0;2] .

Функцийн үйл ажиллагааны талаарх маш чухал мэдээллийг нэмэгдүүлэх ба буурах интервалуудаар хангадаг. Тэдгээрийг олох нь функцийг шалгах, график зурах үйл явцын нэг хэсэг юм. Нэмж дурдахад, тодорхой интервал дахь функцийн хамгийн том, хамгийн бага утгыг олохдоо өсөлтөөс буурах эсвэл буурахаас нэмэгдэх рүү шилжих туйлын цэгүүдэд онцгой анхаарал хандуулдаг.

Энэ өгүүлэлд бид шаардлагатай тодорхойлолтуудыг өгч, интервал дахь функцийг нэмэгдүүлэх, багасгах хангалттай шалгуур, экстремум байх хангалттай нөхцөлийг томъёолж, жишээ, асуудлыг шийдвэрлэхэд энэ онолыг бүхэлд нь ашиглах болно.

Хуудасны навигаци.

Интервал дээр нэмэгдэх ба буурах функц.

Өсөн нэмэгдэж буй функцийн тодорхойлолт.

y=f(x) функц нь хэрэв байгаа бол X интервал дээр нэмэгдэнэ тэгш бус байдал бий. Өөрөөр хэлбэл, аргументийн том утга нь функцийн том утгатай тохирч байна.

Буурах функцийн тодорхойлолт.

y=f(x) функц нь хэрэв байгаа бол X интервал дээр буурна тэгш бус байдал бий . Өөрөөр хэлбэл, аргументийн том утга нь функцийн бага утгатай тохирч байна.

ТАЙЛБАР: хэрэв функц нь (a;b) нэмэгдэж, буурах интервалын төгсгөлд, өөрөөр хэлбэл x=a ба x=b-ийн төгсгөлд тодорхойлогдсон бөгөөд тасралтгүй байвал эдгээр цэгүүд нэмэгдэх эсвэл буурах интервалд орно. Энэ нь X интервал дахь өсөлт ба буурах функцийн тодорхойлолттой зөрчилддөггүй.

Жишээлбэл, үндсэн үндсэн функцүүдийн шинж чанаруудаас бид y = sinx нь аргументийн бүх бодит утгуудын хувьд тодорхойлогддог бөгөөд үргэлжилдэг гэдгийг мэддэг. Тиймээс интервал дээрх синус функцийн өсөлтөөс бид интервал дээр нэмэгддэг гэж баталж болно.

Функцийн экстремум цэг, экстремум.

цэг гэж нэрлэдэг хамгийн дээд цэгХэрэв ойролцоох бүх x-ийн хувьд тэгш бус байдал үнэн бол y=f(x) функц. Хамгийн их цэг дээрх функцийн утгыг дуудна функцийн дээд хэмжээболон тэмдэглэнэ.

цэг гэж нэрлэдэг хамгийн бага цэгХэрэв ойролцоох бүх x-ийн хувьд тэгш бус байдал үнэн бол y=f(x) функц. Функцийн хамгийн бага цэг дэх утгыг дуудна хамгийн бага функцболон тэмдэглэнэ.

Цэгийн хөршийг интервал гэж ойлгодог , энд хангалттай бага эерэг тоо байна.

Функцийн экстремумыг функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгатай андуурч болохгүй.

Эхний зурагт сегмент дээрх функцын хамгийн их утга нь хамгийн их цэг дээр хүрч, функцийн хамгийн их утгатай тэнцүү, хоёр дахь зурагт функцийн хамгийн их утга нь x=b цэг дээр хүрнэ. , энэ нь хамгийн дээд цэг биш юм.

Функцийг нэмэгдүүлэх, багасгах хангалттай нөхцөл.

Интервал дахь функцүүдийн өсөлт ба буурах шинж тэмдгүүдийн томъёоллыг энд харуулав.

хэрэв y=f(x) функцийн дериватив нь X интервалаас аль ч х-д эерэг байвал функц X-ээр нэмэгдэнэ;
хэрэв y=f(x) функцийн дериватив нь X интервалаас аль ч х-д сөрөг байвал функц X дээр буурна.

Тиймээс функцийн өсөлт, бууралтын интервалыг тодорхойлохын тулд дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай.

Алгоритмыг тайлбарлах функцүүдийн өсөлт ба буурах интервалыг олох жишээг авч үзье.

Жишээ.

Өсөх ба буурах функцийн интервалыг ол.

Шийдэл.

Эхний алхам бол функцийн тодорхойлолтын мужийг олох явдал юм. Бидний жишээн дээр хуваагч дахь илэрхийлэл тэг рүү явах ёсгүй тул .

Функцийн деривативыг олохын тулд үргэлжлүүлье.

Хангалттай шалгуур дээр үндэслэн функцийн өсөлт ба бууралтын интервалыг тодорхойлохын тулд бид тодорхойлолтын муж дээрх тэгш бус байдлыг шийддэг. Интервалын аргын ерөнхий ойлголтыг ашиглая. Тоолуурын цорын ганц жинхэнэ язгуур нь x = 2 бөгөөд хуваагч нь x=0 үед тэг болно. Эдгээр цэгүүд нь тодорхойлолтын мужийг функцийн дериватив тэмдэгээ хадгалах интервалд хуваадаг. Эдгээр цэгүүдийг тоон шулуун дээр тэмдэглэе. Бид уламжлал ёсоор дериватив эерэг эсвэл сөрөг байх интервалуудыг нэмэх ба хасахаар тэмдэглэдэг. Доорх сумнууд нь харгалзах интервал дээрх функцийн өсөлт, бууралтыг схемээр харуулав.

Тиймээс, Тэгээд .

Яг цэг дээр x=2 функц нь тодорхойлогддог бөгөөд үргэлжилдэг тул нэмэгдэх ба буурах интервалд хоёуланд нь нэмэх шаардлагатай. x=0 цэг дээр функц тодорхойлогдоогүй тул шаардлагатай интервалд энэ цэгийг оруулаагүй болно.

Бид олж авсан үр дүнг харьцуулахын тулд функцийн графикийг толилуулж байна.

Хариулт:

Функц нь нэмэгддэг , интервал дээр буурна (0;2] .

Функцийн экстремумын хангалттай нөхцөл.

Функцийн максимум ба минимумыг олохын тулд экстремумын гурван тэмдгийн аль нэгийг нь ашиглаж болно, хэрэв функц тэдгээрийн нөхцөлийг хангаж байвал мэдээж хэрэг. Хамгийн түгээмэл бөгөөд тохиромжтой нь тэдний эхнийх юм.

Экстремумын эхний хангалттай нөхцөл.

y=f(x) функц нь цэгийн -хүрш хэсэгт дифференциал болох ба цэг дээр үргэлжилсэн байна.

Өөрөөр хэлбэл:

Функцийн экстремумын эхний шинж тэмдэг дээр үндэслэн экстремум цэгийг олох алгоритм.

Бид функцийн тодорхойлолтын мужийг олдог.
Тодорхойлолтын мужаас функцийн деривативыг олно.
Бид тоологчийн тэг, деривативын хуваагчийн тэг ба дериватив байхгүй тодорхойлолтын домэйны цэгүүдийг тодорхойлно (бүх жагсаасан цэгүүдийг гэж нэрлэдэг) болзошгүй экстремумын цэгүүд, эдгээр цэгүүдийг дайран өнгөрөхөд дериватив нь зүгээр л тэмдэгээ өөрчилж болно).
Эдгээр цэгүүд функцийн тодорхойлолтын мужийг үүсмэл шинж тэмдэгээ хадгалах интервалд хуваадаг. Бид интервал тус бүр дээр деривативын шинж тэмдгийг тодорхойлдог (жишээлбэл, тодорхой интервалын аль ч цэг дэх функцийн деривативын утгыг тооцоолох замаар).
Бид функц тасралтгүй үргэлжлэх цэгүүдийг сонгож, үүсмэл шинж тэмдэг нь өөрчлөгддөг - эдгээр нь экстремум цэгүүд юм.

Хэт олон үг байгаа тул функцийн экстремумын эхний хангалттай нөхцөлийг ашиглан функцийн экстремум ба экстремумыг олох хэд хэдэн жишээг илүү сайн харцгаая.

Жишээ.

Функцийн экстремумыг ол.

Шийдэл.

Функцийн муж нь x=2-оос бусад бодит тоонуудын бүхэл бүтэн багц юм.

Деривативыг олох нь:

Тоолуурын тэг нь x=-1 ба x=5 цэгүүд бөгөөд хуваагч нь x=2 үед тэг болно. Эдгээр цэгүүдийг тооны тэнхлэг дээр тэмдэглэ

Бид интервал бүр дээр деривативын шинж тэмдгийг тодорхойлдог бөгөөд үүнийг хийхийн тулд интервал бүрийн аль ч цэг дээр, жишээлбэл, x=-2, x=0, x=3 цэгүүдэд деривативын утгыг тооцдог. x=6.

Тиймээс интервал дээр дериватив эерэг байна (зураг дээр бид энэ интервал дээр нэмэх тэмдэг тавьсан). Үүний нэгэн адил

Тиймээс бид хоёр дахь интервалаас дээш хасах, гурав дахь нь хасах, дөрөв дэх дээр нэмэх нь дээр тавьдаг.

Функц тасралтгүй үргэлжлэх цэгүүд ба түүний дериватив тэмдэг өөрчлөгдөхийг сонгоход л үлддэг. Эдгээр нь туйлын цэгүүд юм.

Яг цэг дээр x=-1 функц тасралтгүй бөгөөд дериватив тэмдэг нэмэхээс хасах руу шилждэг тул экстремумын эхний тэмдгийн дагуу x=-1 нь хамгийн их цэг, функцийн хамгийн их нь түүнд тохирч байна. .

Яг цэг дээр x=5 функц тасралтгүй бөгөөд үүсмэл тэмдэг нь хасахаас нэмэх рүү өөрчлөгддөг тул x=-1 нь хамгийн бага цэг, функцийн хамгийн бага нь түүнд тохирч байна. .

График дүрслэл.

Хариулт:

Анхаарна уу: экстремумын эхний шалгуур нь тухайн цэг дээрх функцийг ялгахыг шаарддаггүй.

Жишээ.

Функцийн экстремум ба экстремумыг ол .

Шийдэл.

Функцийн домэйн нь бодит тоонуудын бүхэл бүтэн багц юм. Функцийг өөрөө дараах байдлаар бичиж болно.

Функцийн деривативыг олъё:

Яг цэг дээр Аргумент тэг болох хандлагатай үед нэг талын хязгаарын утгууд давхцдаггүй тул x=0 дериватив байхгүй.

Үүний зэрэгцээ анхны функц нь x=0 цэг дээр тасралтгүй байна (тасралтгүй байдлын функцийг судлах хэсгийг үзнэ үү):

Дериватив тэг болох аргументийн утгыг олцгооё.

Олж авсан бүх цэгүүдийг тоон шулуун дээр тэмдэглэж, интервал бүр дээр деривативын тэмдгийг тодорхойлъё. Үүнийг хийхийн тулд бид интервал бүрийн дурын цэгүүдэд деривативын утгыг тооцоолно, жишээлбэл, x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.