Эйлерийн тойрог нь ямар харьцааг харуулахад ашиглагддаг. Эйлерийн тойрог нь олонлогийг илэрхийлдэг дүрсүүд юм

Леонхард Эйлер - хамгийн агуу математикч 850 гаруй эрдэм шинжилгээний өгүүлэл бичсэн.Тэдний нэгэнд эдгээр тойрог гарч ирэв.

Эрдэмтэн ингэж бичжээ"Тэд бидний тусгалыг хөнгөвчлөхөд маш тохиромжтой."

Эйлерийн тойрог нь геометрийн диаграмм бөгөөд энэ нь үзэгдэл ба ойлголтуудын хоорондын логик холболтыг олох ба/эсвэл илүү тодорхой болгоход тусалдаг. Энэ нь багц болон түүний хэсэг хоорондын харилцааг дүрслэн харуулахад тусалдаг.

Асуудал 1

Аялалд явах гэж буй 90 жуулчдын 30 нь герман, 28 нь англи, 42 нь франц хэлээр ярьдаг.Англи, герман хэлээр зэрэг 8 хүн, англи, франц хэлээр 10 хүн, герман, франц хэлээр 5 хүн, гурван хэлээр 3 хүн ярьдаг. Ямар ч хэлээр ярьдаггүй жуулчид хэр их байдаг вэ?

Шийдэл:

Асуудлын нөхцөлийг графикаар үзүүлье - гурван тойрог ашиглан

Хариулт: 10 хүн.

Асуудал 2

Манай ангийн олон хүүхэд хөлбөмбөг, сагсан бөмбөг, волейболд дуртай. Зарим нь бүр хоёр, гурван ийм спорттой. Ангийн 6 хүн зөвхөн гар бөмбөг, 2 нь зөвхөн хөл бөмбөг, 5 нь зөвхөн сагсан бөмбөг тоглодог нь мэдэгдэж байна. Гар бөмбөг, хөл бөмбөг тоглох боломжтой 3 хүн, хөл бөмбөг, сагсан бөмбөг тоглох боломжтой 4, волейбол, сагсан бөмбөг тоглох боломжтой 2. Ангиас нэг хүн бүх тоглоом тоглох боломжтой, 7 хүн тоглох боломжгүй. олох хэрэгтэй:

Ангид хэдэн хүн байдаг вэ?

Хэдэн хүн хөл бөмбөг тоглож чадах вэ?

Хэдэн хүн волейбол тоглох боломжтой вэ?

Асуудал 3

Хүүхдийн зусланд 70 хүүхэд байсан. Үүнээс 20 нь драмын дугуйланд хичээллэдэг, 32 нь найрал дуунд дуулдаг, 22 нь спортод дуртай. Драмын дугуйланд найрал дууны 10 хүүхэд, найрал дууны дугуйланд 6 тамирчин, драмын дугуйланд 8 тамирчин, 3 тамирчин драмын дугуйлан болон найрал дууны аль алинд нь суралцдаг. Найрал дуунд дуулаагүй, спорт сонирхдоггүй, драмын дугуйланд хичээллэдэггүй хүүхэд хэр олон байдаг вэ? Хэдэн залуус зөвхөн спортоор хичээллэдэг вэ?

Асуудал 4

Тус компанийн ажилчдын 16 нь Франц, 10 нь Итали, 6 нь Англид очсон байна. Англи, Италид - тав, Англи, Францад - 6, гурван улсад - 5 ажилтан. Тус компанид нийтдээ 19 хүн ажилладаг бөгөөд тус бүр нь эдгээр улсуудаас ядаж нэгээр нь очсон бол Итали, Францад хичнээн хүн очсон бэ?

Асуудал 5

Зургадугаар ангийн сурагчид дуртай хүүхэлдэйн киноныхоо талаар асуусан анкет бөглөв. Тэдний ихэнх нь “Цасан цагаан ба долоон одой”, “Хөвөн бобын дөрвөлжин өмд”, “Чоно ба тугал” кинонд дуртай байсан нь тогтоогдсон. Ангид 38 хүүхэд суралцдаг. 21 сурагч цасан цагаан ба долоон одой шиг. Түүнээс гадна тэдний гурав нь "Чоно ба тугал"-д, зургаа нь "Хөвөн Бобын дөрвөлжин өмд"-д дуртай, нэг хүүхэд гурван хүүхэлдэйн кинонд адилхан дуртай. “Чоно ба тугал” 13 шүтэн бишрэгчтэй бөгөөд тэдний тав нь асуулгад хоёр хүүхэлдэйн киног нэрлэсэн байна. Бид 6-р ангийн хэдэн хүүхэд Хөвөн Бобд дуртай болохыг тодорхойлох хэрэгтэй.

Оюутнуудад шийдвэрлэх асуудлууд

1. Ангид 35 хүүхэд суралцдаг. Бүгд сургууль, дүүргийн номын сангийн уншигчид. Үүнээс 25 нь ном зээлдэг сургуулийн номын сангуудд, 20 - дүүрэгт. Тэдний хэд нь:

а) сургуулийн номын сангийн уншигч биш;

б) дүүргийн номын сангийн уншигч биш;

в) зөвхөн сургуулийн номын сангийн уншигчид;

г) зөвхөн бүсийн номын сангийн уншигчид;

д) хоёр номын сангийн уншигчид мөн үү?

2.Ангийн сурагч бүр англи хэл эсвэл Герман, эсвэл эдгээр хоёр хэл. Англи хэл 25 хүн герман хэл, 27 хүн герман хэл, 18 хүн хоёуланг нь сурдаг. Ангид хэдэн сурагч байдаг вэ?

3. Цаасан хуудсан дээр 78 см2 талбайтай тойрог, 55 см2 талбайтай дөрвөлжин зур. Тойрог ба квадратын огтлолцлын талбай 30 см2 байна. Хуудасны тойрог ба дөрвөлжин талбай эзэлдэггүй хэсэг нь 150 см2 талбайтай. Хуудасны талбайг ол.

4. Жуулчдын бүлэгт 25 хүн байна. Үүнээс 30 хүртэлх насны 20, 20-иос дээш насны 15 хүн байна. Энэ үнэн байж болох уу? Хэрэв тийм бол ямар тохиолдолд?

5. Б цэцэрлэг 52 хүүхэд. Тэд бүгд бялуу, зайрмаг эсвэл хоёуланд нь дуртай. Хүүхдүүдийн тал хувь нь бялуунд дуртай, 20 хүн бялуу, зайрмагт дуртай. Зайрмагт дуртай хүүхэд хэр их байдаг вэ?

6. Ангид 36 хүн байна. Энэ ангийн сурагчид математик, физик, химийн дугуйланд 18 хүн, математикийн дугуйланд 14, физикийн дугуйланд 10, химийн дугуйланд 10 хүн, мөн гурван дугуйланд 2 хүн, математик, физик, 8 хүн хичээллэдэг нь мэдэгдэж байна. 5 - математик ба химийн аль аль нь, 3 - физик ба химийн тойрог. Ангийн хэдэн сурагч ямар ч дугуйланд явдаггүй вэ?

7. Амралтын дараа ангийн багш хүүхдүүдийн аль нь театр, кино, циркт явсан бэ гэж асуув. 36 оюутны хоёр нь кино, театр, циркт огт очиж үзээгүй нь тогтоогджээ. Кино театрт 25 хүн оролцсон; театрт - 11; циркт - 17; кино театр, театрт хоёуланд нь - 6; кино театр, циркт хоёуланд нь - 10; театрт ч, циркт ч - 4. Театр, кино театр, циркт нэгэн зэрэг хэдэн хүн очсон бэ?

Шийдэл Улсын нэгдсэн шалгалтын асуудалЭйлерийн тойрог ашиглан

Асуудал 1

Хайлтын системийн асуулгын хэлэнд "|" тэмдгийг логик "OR" үйлдлийг, "&" тэмдгийг логик "AND" үйлдлийг илэрхийлэхэд ашигладаг.

Крейсер ба байлдааны хөлөг онгоц? Асуултуудыг гүйцэтгэх явцад хайсан бүх үгсийг агуулсан хуудасны багц өөрчлөгдөхгүйн тулд бүх асуултыг бараг нэгэн зэрэг гүйцэтгэдэг гэж үздэг.

Хүсэлт	Олдсон хуудсууд (мянганаар)
Cruiser \| Байлдааны хөлөг онгоц	7000
Крейсер	4800
Байлдааны хөлөг онгоц	4500

Шийдэл:

Эйлерийн тойргийг ашиглан бид асуудлын нөхцөлийг дүрсэлдэг. Энэ тохиолдолд бид 1, 2, 3-ын тоог ашиглан үүссэн хэсгүүдийг тодорхойлно.

Асуудлын нөхцөл дээр үндэслэн бид тэгшитгэлийг үүсгэдэг.

Cruiser | Байлдааны хөлөг: 1 + 2 + 3 = 7000
Крейсер: 1 + 2 = 4800
Байлдааны хөлөг: 2 + 3 = 4500

Олох Крейсер ба байлдааны хөлөг онгоц(зураг дээр 2-р талбар гэж заасан) тэгшитгэл (2)-ыг (1) тэгшитгэлд орлуулж, дараахыг олно уу.

4800 + 3 = 7000, үүнээс бид 3 = 2200 болно.

Одоо бид энэ үр дүнг (3) тэгшитгэлд орлуулж, дараахийг олж мэдэж болно.

2 + 2200 = 4500, үүнээс 2 = 2300.

Хариулт: 2300 - хүсэлтээр олдсон хуудасны тооКрейсер ба байлдааны хөлөг онгоц.

Асуудал 2

Хайлтын системийн хайлтын хэлээр тэмдэглэнэ

Хүснэгтэд интернетийн тодорхой сегментийн хайлт, хуудасны тоог харуулав.

Хүсэлт	Олдсон хуудсууд (мянганаар)
Бялуу \| Бялуу	12000
Бялуу, бялуу	6500
Бялуу	7700

Асуулгад хэдэн хуудас (мянганаар) олдох вэ? Бялуу?

Шийдэл

Асуудлыг шийдэхийн тулд "Бялуу" болон "Бялуу" багцыг Эйлерийн дугуйлан хэлбэрээр харуулъя.

A B C).

Асуудлын мэдэгдлээс дараах байдалтай байна.

Бялуу │Бялуу = A + B + C = 12000

Бялуу ба бялуу = B = 6500

Бялуу = B + C = 7700

Бялууны тоог олохын тулд (Бялуу = A + B ), бид салбарыг олох хэрэгтэйБялуу│Бялуу ) Pies багцыг хасна.

Бялуу│Бялуу – Бялуу = A + B + C -(B + C) = A = 1200 – 7700 = 4300

Салбар А 4300-тай тэнцэнэ

Бялуу = A + B = 4300+6500 = 10800

Асуудал 3

|", мөн логик үйлдлийн хувьд "AND" - тэмдэг "&".

Хүснэгтэд интернетийн тодорхой сегментийн хайлт, хуудасны тоог харуулав.

Хүсэлт	Олдсон хуудсууд (мянганаар)
Бялуу ба жигнэх	5100
Бялуу	9700
Бялуу \| Талх нарийн боов	14200

Асуулгад хэдэн хуудас (мянганаар) олдох вэ? Талх нарийн боов?

Бүх асуулга бараг нэгэн зэрэг хийгдсэн гэж үздэг тул хайсан бүх үгсийг агуулсан хуудасны багц нь асуулга гүйцэтгэх явцад өөрчлөгдөөгүй.

Шийдэл

Асуудлыг шийдэхийн тулд бид багцуудыг харуулдагБялуу болон Эйлер дугуйлан хэлбэрээр жигнэх.

Салбар бүрийг тусдаа үсгээр тэмдэглэе ( A B C).

Асуудлын мэдэгдлээс дараах байдалтай байна.

Бялуу ба нарийн боов = B = 5100

Бялуу = A + B = 9700

Бялуу │ нарийн боов = A + B + C = 14200

Жигнэх хэмжээг олохын тулд (Baking = B + C ), бид салбарыг олох хэрэгтэй IN , үүний тулд ерөнхий багцаас (Бялуу │ Baking) багцыг хаснаБялуу.

Бялуу │ Жигнэх – Бялуу = A + B + C -(A + B) = C = 14200–9700 = 4500

Б салбар 4500-тай тэнцүү тул Baking = B + C = 4500+5100 = 9600

Асуудал 4
уруудаж байна
Илэрхийлэх"OR" логик үйлдэл нь " тэмдэгтийг ашигладаг.|", мөн логик үйлдлийн хувьд "AND" - тэмдэг "&".
Шийдэл

Салбаруудыг үсгээр тэмдэглэсэн Эйлерийн тойрог хэлбэрээр хоньчин нохой, терьер, спаниелуудын багцыг төсөөлөөд үз дээ ( A B C D ).

-тай paniels │(терьер ба хоньчид) = G + B

-тай paniel│хоньч нохой= G + B + C

спаниелс│терьер│хоньчид= A + B + C + D

терьер ба хоньчид =Б

Хүсэлтийн дугаарыг хуудасны тооноос буурах дарааллаар эрэмбэлье.3 2 1 4

Асуудал 5

Хүснэгт нь хайлтын серверт илгээсэн асуултуудыг харуулж байна. Хүсэлтийн дугааруудыг дарааллаар нь байрлуул нэмэгдэххайлтын систем хүсэлт тус бүрээр олох хуудасны тоо.
Илэрхийлэх"OR" логик үйлдэл нь " тэмдэгтийг ашигладаг.|", мөн логик үйлдлийн хувьд "AND" - тэмдэг "&".

1	барокко \| сонгодогизм \| эзэнт гүрний хэв маяг
2	барокко \| (сонгодог үзэл ба эзэнт гүрний хэв маяг)
3	классикизм ба эзэнт гүрний хэв маяг
4	барокко \| сонгодог үзэл

Шийдэл

Классицизм, эзэнт гүрний хэв маяг, классикизмыг салбаруудыг үсгээр тэмдэглэсэн Эйлерийн тойрог хэлбэрээр төсөөлөөд үз дээ ( A B C D ).

Асуудлын нөхцөлийг салбаруудын нийлбэр хэлбэрээр хувиргацгаая.

барокко│ классикизм│эзэнт гүрэн = A + B + C + D
Барокко │(сонгодог үзэл ба эзэнт гүрэн) = G + B
классикизм ба эзэнт гүрний хэв маяг = B
барокко│классикизм = G + B + A

Салбарын нийлбэрээс аль хүсэлт илүү олон хуудас үүсгэсэн болохыг бид харж байна.

Хүсэлтийн дугаарыг хуудасны тоогоор өсөх дарааллаар эрэмбэлье.3 2 4 1

Асуудал 6
Хүснэгт нь хайлтын серверт илгээсэн асуултуудыг харуулж байна. Хүсэлтийн дугааруудыг дарааллаар нь байрлуул нэмэгдэххайлтын систем хүсэлт тус бүрээр олох хуудасны тоо.
Илэрхийлэх"OR" логик үйлдэл нь " тэмдэгтийг ашигладаг.|", мөн логик үйлдлийн хувьд "AND" - тэмдэг "&".

1	канар \| алтан шувуу \| агуулга
2	канар ба контент
3	канар, алтан шувуу ба контент
4	үржүүлэг, тэжээвэр амьтад, канар, алтан шувуу

Шийдэл

Асуудлыг шийдэхийн тулд асуултуудыг Эйлерийн тойрог хэлбэрээр төсөөлье.

K - канар,

Ш - алтны шувууд,

R - үржлийн.

канар \| терьер \| агуулга	канар ба контент	канар, алтан шувуу ба контент	үржүүлэг, тэжээвэр амьтад, канар, алтан шувуу

Эхний хүсэлт нь сүүдэртэй салбаруудын хамгийн том талбайтай, дараа нь хоёр дахь, дараа нь гурав дахь, дөрөв дэх хүсэлт нь хамгийн бага хэмжээтэй байна.

Хуудасны тоогоор өсөх дарааллаар хүсэлтийг дараах дарааллаар танилцуулна. 4 3 2 1

Эхний хүсэлтэд Эйлерийн тойргийн дүүргэсэн секторууд нь хоёр дахь хүсэлтийн дүүргэсэн секторуудыг агуулж байгааг анхаарна уу, хоёр дахь хүсэлтийн дүүргэсэн секторууд нь гурав дахь хүсэлтийн дүүргэсэн секторуудыг агуулна. дөрөв дэх хүсэлтийн дүүргэсэн салбар.

Зөвхөн ийм нөхцөлд л бид асуудлыг зөв шийдсэн гэдэгт итгэлтэй байж болно.

Бодлого 7 (Улсын нэгдсэн шалгалт 2013)

Хүснэгтэд интернетийн тодорхой сегментийн хайлт, хуудасны тоог харуулав.

Хүсэлт	Хуудсууд олдсон (мянганаар)
Фрегат \| Устгагч	3400
Фрегат ба устгагч	900
Фрегат	2100

Асуулгад хэдэн хуудас (мянганаар) олдох вэ? Устгагч?
Бүх асуулга бараг нэгэн зэрэг хийгдсэн гэж үздэг тул хайсан бүх үгсийг агуулсан хуудасны багц нь асуулга гүйцэтгэх явцад өөрчлөгдөөгүй.

Эйлерийн тойрог нь олонлогийг уламжлалт байдлаар илэрхийлж, олонлог дээрх үйлдлүүдийн зарим шинж чанарыг нүдээр харуулсан дүрсүүд юм. Уран зохиолд Эйлерийн тойргийг заримдаа Венн диаграм (эсвэл Эйлер-Венн диаграм) гэж нэрлэдэг. Олонлог дээрх үндсэн үйлдлүүдийг харуулсан Эйлерийн тойргийг Зураг дээр үзүүлэв. 1.2 (эдгээр үйлдлүүдийн үр дүнд олж авсан багцыг сүүдэрлэж тэмдэглэсэн). AR 00 ABV Зураг. 1.2 Жишээ 1.8. Эйлерийн тойргийг ашиглан бид эхлээд олонлогуудын нэгдэл ба огтлолцлын үйлдлүүдийн тархалтын шинж чанарыг илэрхийлдэг анхны харилцааны үнэн зөвийг тогтооно. 1.3, мөн А олонлогийг төлөөлж буй тойрог нь босоо сүүдэртэй, В ба С олонлогийн огтлолцолтой харгалзах талбай нь хэвтээ сүүдэртэй байна.Үүний үр дүнд A U (BPS) олонлогийг төлөөлж буй хэсэг нь ямар нэг байдлаар сүүдэрлэдэг. Зураг дээр. 1.3.5, А ба В олонлогуудын нэгдэлд харгалзах талбай нь босоо сүүдэртэй, хэвтээ - А ба С олонлогуудын нэгдэл, ингэснээр хоёр талаараа олонлогийг төлөөлөх талбай (A U B) P (A U C) ба Зураг дээрх аль ч аргаар сүүдэрлэсэн талбайтай давхцаж байна. 1.3,а. Тиймээс Эйлерийн тойрог нь (1.10) -ын үнэн зөвийг тогтоох боломжийг олгодог. Одоо Зураг дээр сүүдэрлэсэн Де Морганы хоёр дахь хуулийг (1.7) авч үзье. 1.4, мөн талбай нь LIV-ийн багцыг дүрсэлсэн бөгөөд Q тэгш өнцөгтийн сүүдэргүй хэсэг (сүүдэрлэсэн хэсгийн гадна) нь LIV-ийн багцтай тохирч байна. Зураг дээр. 12-р тэгш өнцөгтийн босоо болон хэвтээ байдлаар сүүдэрлэсэн 1.4,5 хэсэг нь A ба B-д тус тус тохирно.Дараа нь B Lie багц нь заасан аргуудын дор хаяж нэгээр сүүдэрлэсэн хэсэгт тохирно. Энэ нь Зураг дээр сүүдэрлээгүй талбайтай давхцаж байна. 1.4,a ба (1.11)-ийн хүчинтэй байдлыг тогтоосон LPB-ийн багцад харгалзах. Асуулт, даалгавар 1.1. m,n € Z гэсэн m|n тэмдэглэгээ нь m тоо нь n тоог бүрэн хуваана гэсэн үг (тэгвэл энэ нь n-ийн хуваагч болно). Өгөгдсөн багцуудыг x € N: 1.2 гэж тайлбарлана уу. Дараах хамаарлыг нотолж, Эйлерийн тойргоор дүрслэн харуул: . 1.3. X болон Y олонлогууд ямар хамааралтай (X C Y, X E Y эсвэл X = Y) байрлаж байгааг тогтооно уу: a Дүрслэхийн тулд Эйлерийн тойргийг ашигла. 1.4. Өгөгдсөн тойрогт бичээстэй зарим гурвалжны талуудыг үүсгэсэн цэгүүдийн багцыг Aj гэж үзье. Гурвалжингууд нь: a) дур зоргоороо; б) зөв; в) тэгш өнцөгт. Өгөгдсөн багц бүлгүүдийн хувьд IK ба flAi ieN i en-ийг ол: 1.6. Дараах харилцаануудын аль нь буруу болохыг тодорхойлж, шалтгааныг тайлбарлана уу: 1. 7. Аль олонлогууд хоорондоо тэнцүү болохыг заана уу: . 1.8. B, AG\B, A\B, BA\A худал олонлогуудыг олоод A = (1.0) бол тооны шулуун дээр дүрсэл. Хэсэг нь универсал олонлог гэж үзээд тоон шулуун дээр нөхөж байгаа олонлогуудыг олж дүрсэл. иж бүрдэл: 1.10.Доорх хүмүүсийн багцын тайлбарын дагуу оруулга тус бүрээр багцын хэлээр хэллэг сонгоно уу. тохиромжтой зүйр үгэсвэл үг. Энэ нь ардын үгийн утгыг дахин шинжлэх боломжийг бидэнд олгоно гэж найдаж байна. Жишээлбэл, хэрэв Z нь юу ярьж байгаагаа сайн мэддэггүй хүмүүсийн багц юм бол x £ Z гэсэн оруулгыг "Тэр дуугарах чимээ сонссон боловч хаана байгааг мэдэхгүй байна" гэсэн зүйр үгтэй холбож болно. заасан эд хөрөнгөтэй хүний тухай яг юу гэж хэлдэг вэ (энэ тохиолдолд Z багцын шинж чанар, 1.1-ийг үзнэ үү). Хүмүүсийн багц ft - бүх хүмүүсийн бүх нийтийн багц, L - эелдэг, 5e B - ер бусын, агуу чадвартай, S - тэнэг, D - ухаалаг, Е - өөрийн гэсэн арга барилаар ажилладаг, зөвлөгөө сонсохгүй, F - холбогдсон. хувиа хичээсэн харилцаа, G - маш их амлалт өгөх, би - амлалтаа биелүүлдэггүй, J - албан тушаалын байдлаа урвуулан ашигласан хүмүүс, K - өөрийгөө хэт чухалчилдаг, өөрийгөө чухалчилдаг хүмүүс, L - аливаа зүйлд хөндлөнгөөс оролцдог хүмүүс өөрийн бизнесээс бусад, М - санаачлагатай, авхаалжтай, хэрхэн зохион байгуулалтад орохыг мэддэг хүмүүс, P - хэд хэдэн зүйлийг нэг дор хийдэг хүмүүс, Q - үр бүтээлтэй ажилладаг, S - алдаа гаргадаг, T - буруутай мэт мэдрэмж, боломж. шийтгэлийн, U - үр дүнд хүрэхгүй байх, V - зан авираараа өөрсдийгөө урвах, W - богино хараатай, X - хамтран ажиллах, бие биенээсээ урвахгүй байх, U - туршлагатай, туршлагатай хүмүүс. HeK багцын хэлээр мэдэгдлийг бүртгэх; xeGnH; xCBCiQ; x£jr\U; xeJ; hemM; heSPE; xCTnV; xEPDU; xGE; x € FnX; xeYnS; xeDOW. Сургаалт үгс - Амьд үхэрт бурхан эвэр өгдөггүй. - Том хөлөг онгоцны хувьд урт аялал. - Чөлөөтэйгээр хүсэх. - Хэрээ хэрээний нүдийг гөвдөггүй. -Тэнэгүүдэд зориулсан хууль гэж байдаггүй. -Хоёр туулай хөөвөл бас барихгүй. - Муур хэний мах идсэнийг мэддэг. - Крикет таны үүрийг мэддэг. - Мөн хөгшин эмэгтэй асуудалд орж болно. - Тахиа бол авга эгч биш, гахай бол эгч биш. - Зоригтой хүн идсэн. - Ухаантай хүн болгонд энгийн байдал хангалттай. - Тит хулгана нэрээ гаргасан ч далайд гал тавьсангүй. -Дэлхий ертөнц сайн хүмүүсгүй байдаггүй. 1.11. Харилцааны үнэн зөвийг нотлох (1.2). 1.12. Нэгдлийн болон огтлолцлын үйлдлүүдийн хуваарилалтын шинж чанарын харилцааны хоёр дахь үнэн зөвийг шууд ба зөрчилдөөнөөр нотлох. 1.13. Математик индукцийн аргыг ашиглан бид үүнийг аль ч тохиолдолд баталж чадна натурал тоо n n^2n~1 ба (l + :r)n ^ 1 + ns, Vs>-1 (Бернуллигийн тэгш бус байдал) тэгш бус байдал хүчинтэй байна. 1.14. n тооны арифметик дундаж эерэг болохыг батал бодит тоотэдний геометрийн дундажаас багагүй, өөрөөр хэлбэл. 1.15-р зүйл. Браун, Жонс, Смит нарыг банк дээрэмдэх хэрэгт хамсаатан гэж буруутгаж байгаа юм. Хулгайч нар тэднийг хүлээж байсан машинд суугаад зугтсан байна. Мөрдөн байцаалтын явцад Браун цэнхэр өнгийн Buick, Жонс цэнхэр Chrysler, Smith Ford Mustang байсан ч цэнхэр биш гэж мэдүүлсэн байна.Мөрдөн байцаалтын явцад будлиантуулахыг хүссэн машин нь ямар өнгөтэй, ямар үйлдвэр байсан нь мэдэгдэж байгаа бол тус бүр нь Эдгээрээс зөвхөн машины марк, эсвэл зөвхөн өнгийг нь зөв зааж өгсөн үү? биологич, ус судлаач, цаг уурын мэдээлэгч, радио оператор, механик, эмч Биологийн ажлыг Э, Г, ус судлаач - Б ба Ф, цаг агаарын мэдээлэгч - Ф ба Г, радио оператор - С гүйцэтгэж болно. болон механикч Д - Ц, З, эмч - А, Д, гэхдээ тэд экспедицид байгаа бол тус бүр зөвхөн нэг үүрэг гүйцэтгэх боломжтой. Хэрэв Ф явж чадахгүй бол экспедицид хэн, хэнийг авч явах ёстой. D-гүйгээр - Би-гүй, С-гүй бол С G-тэй, D-тэй хамт явж чадахгүй гэж үү?

Логик. ЗааварГусев Дмитрий Алексеевич

1.6. Эйлерийн тойргийн диаграм

Бидний мэдэж байгаагаар логикт ойлголт хоорондын харилцааны зургаан хувилбар байдаг. Харьцуулж болох аливаа хоёр ойлголт нь эдгээр харилцааны аль нэгэнд заавал байх ёстой. Жишээлбэл, үзэл баримтлал зохиолчТэгээд оросуулзвартай холбоотой, зохиолчТэгээд Хүн- өргөн мэдүүлэх, МоскваТэгээд Оросын нийслэл- эквивалент, МоскваТэгээд Петербург- захирагдах байдал, нойтон замТэгээд хуурай зам- эсрэг тал, АнтарктидТэгээд эх газар- өргөн мэдүүлэх, АнтарктидТэгээд Африк– захирагдах байдал гэх мэт.

Жишээлбэл, хэрэв хоёр ойлголт нь нэг хэсэг ба бүхэл бүтэн зүйлийг илэрхийлдэг гэдгийг бид анхаарах ёстой сарТэгээд жил, дараа нь тухайн сарыг жилд багтаасан тул тэдний хооронд захирагдах харилцаа байгаа мэт санагдаж болох ч тэд захирагдах харилцаатай байдаг. Гэсэн хэдий ч, хэрэв үзэл баримтлал сарТэгээд жилДэд албан тушаалтнууд байсан бол сар бол заавал жил, жил бол заавал сар биш гэдгийг батлах шаардлагатай болно (үзэл баримтлалын жишээн дээр захирагдах харилцааг санаарай. crucian carpТэгээд загас: crucian carp нь загас байх ёстой, гэхдээ загас нь загалмай загас байх албагүй). Сар бол жил биш, жил бол сар биш, гэхдээ хоёулаа цаг хугацаа, тиймээс сар, жилийн тухай ойлголтууд, мөн ойлголтууд номТэгээд номын хуудас, машинТэгээд машины дугуй, молекулТэгээд атомгэх мэт хэсэг ба бүхэл зүйл нь төрөл зүйл, төрөл зүйлтэй адилгүй тул захирагдах харилцаанд ордог.

Үзэл баримтлалыг харьцуулж болохуйц, харьцуулшгүй байж болно гэж эхэндээ хэлсэн. Зургаан харилцааны хувилбарууд нь зөвхөн хамааралтай гэж үздэг харьцуулж болохуйц ойлголтууд. Гэсэн хэдий ч зүйрлэшгүй бүх ухагдахуунууд нь захирагдах харилцаанд өөр хоорондоо холбоотой байдаг гэдгийг батлах боломжтой. Жишээлбэл, ийм зүйрлэшгүй ойлголтууд оцон шувууТэгээд тэнгэрлэг биеОцон шувуу нь селестиел биет биш, харин эсрэгээр нь ойлголтын хамрах хүрээ учраас түүнийг захирагдах гэж үзэж болно. оцон шувууТэгээд тэнгэрлэг биеГуравдагч ойлголтын өргөн хүрээнд багтсан бөгөөд тэдгээртэй холбоотой ерөнхий: энэ нь ойлголт байж магадгүй юм. хүрээлэн буй ертөнцийн объектэсвэл материйн хэлбэр(эцэст нь оцон шувуу ба селестиел биет хоёулаа хүрээлэн буй ертөнцийн өөр өөр объект юмуу материйн янз бүрийн хэлбэрүүд юм). Хэрэв нэг ойлголт нь материаллаг, нөгөө нь материаллаг бус зүйлийг илэрхийлдэг бол (жишээлбэл, модТэгээд бодлоо), дараа нь эдгээр (маргах боломжтой) дэд ойлголтуудын ерөнхий ойлголт нь юм оршихуйн хэлбэр, учир нь мод, бодол болон бусад зүйл бол оршихуйн өөр өөр хэлбэр юм.

Бидний мэдэж байгаагаар ухагдахууны хоорондын хамаарлыг Эйлерийн дугуй диаграмаар дүрсэлсэн байдаг. Түүгээр ч барахгүй, өнөөг хүртэл бид хоёр ойлголтын хоорондын хамаарлыг бүдүүвчээр дүрсэлж ирсэн бөгөөд үүнийг олон тооны ойлголтоор хийж болно. Жишээлбэл, үзэл баримтлал хоорондын харилцаа боксчин, харТэгээд Хүн

Харилцан зохицуулалттойрог нь ойлголтуудыг харуулж байна боксчинТэгээд хар хүнуулзвартай холбоотой байдаг (боксчин нь хар арьстан байж болно, биш байж болно, хар хүн боксчин байж болно, нэг биш байж болно) болон ойлголтууд боксчинТэгээд Хүн,яг л ойлголтууд шиг хар хүнТэгээд Хүнзахирагдах харилцаатай байдаг (эцэст нь ямар ч боксчин, ямар ч негр хүн заавал хүн байх ёстой, гэхдээ хүн боксчин эсвэл негр биш байж болно).

Үзэл баримтлал хоорондын хамаарлыг авч үзье өвөө, аав, эрэгтэй, хүндугуй диаграм ашиглан:

Бидний харж байгаагаар эдгээр дөрвөн ухагдахуун нь дараалсан захирагдах харилцаанд оршдог: өвөө бол заавал эцэг, аав бол өвөө байх албагүй; ямар ч эцэг нь эрэгтэй хүн байх ёстой, гэхдээ эрэгтэй хүн бүр эцэг биш; эцэст нь эр хүн бол хүн байх ёстой, гэхдээ зөвхөн хүн хүн байж чаддаггүй. Үзэл баримтлал хоорондын хамаарал махчин, загас, акул, пиранха, цурхай, амьд амьтандараах диаграмаар дүрсэлсэн болно.

Энэ диаграмм дээр байгаа ойлголтуудын хоорондын бүх төрлийн харилцааг бий болгож, өөрөө тайлбар хийхийг хичээ.

Дүгнэж хэлэхэд үзэл баримтлалын хоорондын хамаарал нь тэдгээрийн эзлэхүүний хоорондын хамаарал гэдгийг бид тэмдэглэж байна. Энэ нь үзэл баримтлал хоорондын харилцааг бий болгохын тулд тэдгээрийн хэмжээ нь хурц, агуулга нь тодорхой, өөрөөр хэлбэл эдгээр ойлголтууд тодорхой байх ёстой гэсэн үг юм. Дээр дурдсан тодорхойгүй ойлголтуудын хувьд тэдгээрийн хооронд яг тодорхой харилцаа тогтоох нь нэлээд хэцүү, үнэндээ боломжгүй юм, учир нь тэдгээрийн агуулгын тодорхой бус хэмжээ, бүдэг бадаг зэргээс шалтгаалан аливаа хоёр тодорхойгүй ойлголтыг ижил төстэй эсвэл огтлолцсон, эсвэл ижил төстэй байдлаар тодорхойлж болно. захирагдах гэх мэт.Тухайлбал, тодорхой бус ойлголтуудын хооронд харилцаа тогтоох боломжтой юу хайнга байдалТэгээд хайхрамжгүй байдал? Энэ нь тэнцүү байх уу, эсвэл захирагдах уу гэдгийг тодорхой хэлэх боломжгүй. Тиймээс тодорхойгүй ойлголтуудын хоорондын харилцаа мөн адил тодорхойгүй байдаг. Иймд ойлголт хоорондын харилцааг тодорхойлохдоо үнэн зөв, хоёрдмол утгагүй байх шаардлагатай оюуны болон ярианы практикт тодорхой бус ойлголтыг ашиглах нь зохисгүй болох нь тодорхой байна.

Epiphany номноос зохиолч Ефимов Виктор Алексеевич

Шинжлэх ухаан, технологийн философи номноос зохиолч Степин Вячеслав Семенович

Техникийн онолын онолын схем ба хийсвэр объектууд Онолын схемүүд нь нэг талаас харгалзах математикийн аппаратыг ашиглахад чиглэсэн хийсвэр объектуудын цогц юм. бодлын туршилт,

"Домгийн диалектик" номноос зохиолч Лосев Алексей Федорович

2. Схем, зүйрлэл, тэмдгийн диалектик Энэ харилцааны ямар төрлүүд ерөнхийдөө боломжтой вэ? Тэд маш олон байдаг. Гэхдээ Шеллингийг дагаж гурван үндсэн төрлийг тодорхойлж болно. Үүний зэрэгцээ, бидний "дотоод" болон "гадаад" гэсэн нэр томъёо нь маш ерөнхий нэр томъёо бөгөөд эдгээр нь байж болно гэдгийг бид санаж байх болно.

Aquarius эриний курс номноос. Апокалипсис эсвэл дахин төрөлт зохиолч Ефимов Виктор Алексеевич

Номоос Сонгосон бүтээлүүд зохиолч Щедровицкий Георгий Петрович

Сургаал дундах хүн номноос зохиолч Кротов Виктор Гаврилович

Тайлбар ба диаграмм Хувь хүний дотоод ажил дээр суурилдаг сургаал нь шинэ хувь хүний дотоод шинэ бүтээлийн урсгалгүйгээр энэ хувийн шинж чанарыг даван туулж чадахгүй. Энэ сургаалаас өөрсдөдөө онцгой утга учрыг олж харсан хүмүүс. Орших нөхцөл нь өөрчлөгддөг, ирдэг

"Зөв сэтгэх урлаг" номноос зохиолч Ивин Александр Архипович

ЗӨВ ҮНДЭСЛЭЛТИЙН БҮТЭЭЛҮҮД Зууны эхэн үеийн Оросын хошин шогийн зохиолч В.Билибиний түүхээс гарсан дедуктив дүгнэлтийн хоёр жишээ энд байна. “Хэрвээ дэлхий дээр нар байхгүй байсан бол бид байнга лаа, керосин асааж байх байсан. Хэрэв бид байнга лаа, керосин шатааж байх ёстой байсан бол албан тушаалтнууд

Хайрын ёс зүй ба өөрийн хүсэл зоригийн метафизик: Ёс суртахууны философийн асуудлууд номноос. зохиолч Давыдов Юрий Николаевич

Нигилизмийн Ницшегийн схемийн хүрээнд Толстой ба Достоевскийн ёс суртахууны философи Өнгөрсөн зууны сүүлийн улирлаас эхлэн нигилизмийн асуудал Баруун Европын философийн хамгийн чухал асуудлуудын эхний байруудын нэг болжээ. Тэр "статус"-аараа юуны түрүүнд

Хэлний орон зай дахь хэм хэмжээ номноос зохиолч Федяева Наталья Дмитриевна

2.1.1. Ярианы харилцааны хэм хэмжээ, схем: ярианы ёс зүй Анхны асуудлын талбар болох ярианы ёс зүйг сонгох нь дараахь зүйлээс шалтгаална. Нормативын үндсэн шинж чанарыг тодорхойлохдоо бид үүнээс хөдөлж эхэлсэн нийгмийн хэм хэмжээ, тэдний оршин тогтнол бүрэн дүүрэн байгааг анзаарч байхад

Спираль динамик номноос [21-р зуунд үнэт зүйлс, манлайлал ба өөрчлөлтийг удирдах нь] Бэк Дон

2.1.2. Семиотик тогтсон хэм хэмжээ-схем: төрөл зүйл Нийгэм, семиотик тогтсон хэм хэмжээг эсэргүүцэх үндэс нь I бүлэгт дурдсанчлан тэдгээрийг нийгэм соёлын практикт нэгтгэх арга зам юм. Эхнийх нь бичигдээгүй хуулиуд нь хөтөлбөр, схем болж хувирдаг

Логик ба аргументаци номноос: Сурах бичиг. их дээд сургуулиудад зориулсан гарын авлага. зохиолч Рузавин Георгий Иванович

Архитектур ба дүрс зүй номноос. Сонгодог арга зүйн толинд “Бэлгэ тэмдгийн бие” зохиолч Ванеян Степан С.

9.1. Аргументийн бүтцийн график диаграмм Аливаа маргаан нь тодорхой баримтуудыг тогтоож, хэлэлцэхээс эхэлдэг бөгөөд үүнийг цаашид өгөгдөл гэж нэрлэх бөгөөд тэдгээрийн тусламжтайгаар тодорхой дүгнэлтийг гаргаж, үндэслэлтэй болгодог. Үүнээс гадна, -аас шилжих

Зохиогчийн номноос

Иконографи нь аргын систем болох: схем ба аюул заналхийлэл Иконографийн шинжилгээний практик нь дараалсан судалгааны үйл ажиллагааны "туршсан схем" -ийг бүрдүүлсэн. Диаграмм нь: - тодруулга түүхэн ач холбогдолсэдэл - цаг хугацааны үүднээс (хором

Хэсэгүүд: Компьютерийн шинжлэх ухаан

1. Танилцуулга

Суурь болон ахлах сургуулийн Компьютерийн шинжлэх ухаан, МХХТ-ийн хичээлд дараахь зүйлийг хэлэлцэнэ. чухал сэдвүүд"Логикийн үндэс", "Интернэтээс мэдээлэл хайх" гэх мэт. Тодорхой төрлийн асуудлыг шийдвэрлэхдээ Эйлерийн тойрог (Эйлер-Венн диаграм) ашиглах нь тохиромжтой.

Математикийн лавлагаа. Эйлер-Венн диаграммыг олонлогийн онолд үндсэндээ хэд хэдэн багцын бүх боломжит огтлолцлын бүдүүвч дүрслэл болгон ашигладаг. Ерөнхийдөө тэдгээр нь n шинж чанарын бүх 2 n хослолыг төлөөлдөг. Жишээлбэл, n=3 байхад Эйлер-Венн диаграммыг ихэвчлэн ижил талт гурвалжны орой дээр төвүүдтэй, ижил радиустай гурвалжны хажуугийн урттай тэнцүү гурван тойрог хэлбэрээр дүрсэлдэг.

2. Хайлтын асуулгад логик холболтын төлөөлөл

"Интернэтээс мэдээлэл хайх" сэдвийг судлахдаа орос хэлний "ба", "эсвэл" холболттой төстэй логик холболтыг ашиглан хайлтын асуулгын жишээг авч үзнэ. Хэрэв та тэдгээрийг Эйлерийн тойрог (Эйлер-Венн диаграм) график диаграмм ашиглан дүрслэн үзүүлбэл логик холболтын утга илүү тодорхой болно.

Логик холболт	Жишээ хүсэлт	Тайлбар	Эйлерийн тойрог
& - "БА"	Парис & их сургууль	Парис, их сургууль гэсэн хоёр үгийг дурдсан бүх хуудсыг сонгоно	Зураг 1
\| - "ЭСВЭЛ"	Парис \| их сургууль	Парис болон/эсвэл их сургууль гэсэн үгсийг дурдсан бүх хуудсыг сонгоно	Зураг 2

3. Логик үйлдлүүдийг олонлогын онолтой холбох

Эйлер-Венн диаграммыг логик үйлдлүүд болон олонлогын онолын хоорондох холбоог дүрслэн харуулахад ашиглаж болно. Үзүүлэн харуулахын тулд та слайдыг ашиглаж болно Хавсралт 1.

Логик үйлдлүүд нь тэдгээрийн үнэний хүснэгтээр тодорхойлогддог. IN Хавсралт 2Логик үйлдлүүдийн график дүрслэлийг үнэний хүснэгтийн хамт дэлгэрэнгүй авч үзсэн болно. Ерөнхий тохиолдолд диаграмм байгуулах зарчмыг тайлбарлая. Диаграммд А нэртэй тойргийн талбай нь А мэдэгдлийн үнэнийг харуулдаг (олонлогийн онолд А тойрог нь өгөгдсөн багцад багтсан бүх элементүүдийн тэмдэглэгээ юм). Үүний дагуу тойргийн гаднах хэсэг нь харгалзах мэдэгдлийн "худал" утгыг харуулна. Диаграммын аль хэсэгт логик үйлдлийг харуулахыг ойлгохын тулд зөвхөн A ба B багц дээрх логик үйлдлийн утгууд нь "үнэн" гэсэн утгатай тэнцүү хэсгийг сүүдэрлэх хэрэгтэй.

Жишээлбэл, далд утга нь гурван тохиолдолд (00, 01, 11) үнэн байна. Дараалан сүүдэрлэж үзье: 1) A=0, B=0 утгатай тохирч буй хоёр огтлолцох тойргийн гаднах талбай; 2) зөвхөн B тойрог (хавирган сар) -тай холбоотой талбай нь A=0, B=1 гэсэн утгатай тохирч байна; 3) А тойрог ба В тойрог (уулзвар) хоёуланд нь хамаарах талбай нь A = 1, B = 1 утгатай тохирч байна. Эдгээр гурван талбайн хослол нь далдлалын логик үйлдлийн график дүрслэл байх болно.

4. Логик тэгш байдлыг батлахад Эйлерийн тойргийг ашиглах (хууль)

Логик тэгш байдлыг батлахын тулд та Эйлер-Венн диаграмын аргыг ашиглаж болно. Дараах ¬(АvВ) = ¬А&¬В (де Морганы хууль) тэгш байдлыг баталъя.

Тэгш байдлын зүүн талыг нүдээр харуулахын тулд үүнийг дарааллаар хийцгээе: хоёр тойргийг саарал өнгөөр сүүдэрлэж (дизюнкцийг хэрэглэнэ) дараа нь урвуу байдлыг харуулахын тулд тойргийн гаднах хэсгийг хар өнгөөр сүүдэрлэнэ үү.

Зураг 3 Зураг 4

Тэгш тэгш байдлын баруун талыг нүдээр харуулахын тулд үүнийг дарааллаар хийцгээе: урвуу (¬A)-г харуулах хэсгийг сааралаар, ¬B хэсгийг мөн саарал өнгөөр будна; Дараа нь холболтыг харуулахын тулд та эдгээр саарал хэсгүүдийн огтлолцлыг авах хэрэгтэй (давхцлын үр дүнг хараар дүрсэлсэн):

Зураг 5 Зураг 6 Зураг 7

Зүүн ба баруун хэсгийг харуулах талбайнууд тэнцүү байгааг бид харж байна. Q.E.D.

5. "Интернэтээс мэдээлэл хайх" сэдвээр Улсын шалгалт ба улсын нэгдсэн шалгалтын форматын асуудал.

ТЕГ 2013 оны демо хувилбарын 18-р асуудал.

Хүснэгт нь хайлтын серверт илгээсэн асуултуудыг харуулж байна. Хүсэлт бүрийн хувьд түүний кодыг зааж өгсөн болно - А-аас G хүртэлх үсэг. Хүсэлтийн кодыг зүүнээс баруун тийш дарааллаар байрлуул. уруудаж байнахайлтын систем хүсэлт тус бүрээр олох хуудасны тоо.

Код	Хүсэлт
А	(Fly & Money) \| Самовар
Б	Fly & Money & Bazaar & Samovar
IN	Нисдэг \| Мөнгө \| Самовар
Г	Fly & Money & Самовар

Асуулга бүрийн хувьд бид Эйлер-Венн диаграммыг байгуулна.

Хүсэлт А

Б хүсэлт

Г хүсэлт гаргах

Хариулт: VAGB.

2013 оны Улсын нэгдсэн шалгалтын демо хувилбарын В12 асуудал.

Хүснэгтэд интернетийн тодорхой сегментийн хайлт, хуудасны тоог харуулав.

Хүсэлт	Олдсон хуудсууд (мянганаар)
Фрегат \| Устгагч	3400
Фрегат ба устгагч	900
Фрегат	2100

Асуулгад хэдэн хуудас (мянганаар) олдох вэ? Устгагч?

Ф – хүсэлтийн дагуу хуудасны тоо (мянганаар). Фрегат;

E – хүсэлтийн дагуу хуудасны тоо (мянганаар). Устгагч;

X – дурдсан асуултын хуудасны тоо (мянганаар). ФрегатТэгээд Үгүй ээдурдсан Устгагч;

Y – дурдсан асуултын хуудасны тоо (мянганаар). УстгагчТэгээд Үгүй ээдурдсан Фрегат.

Асуулга бүрийн хувьд Эйлер-Венн диаграммыг байгуулъя.

Хүсэлт	Эйлер-Венн диаграм	Хуудасны тоо
Фрегат \| Устгагч	Зураг.12	3400
Фрегат ба устгагч	Зураг.13	900
Фрегат	Зураг.14	2100
Устгагч	Зураг.15	?

Диаграмын дагуу бид дараах байдалтай байна.

X + 900 + Y = F + Y = 2100 + Y = 3400. Эндээс бид Y = 3400-2100 = 1300-г олно.
E = 900+U = 900+1300= 2200.

Хариулт: 2200.

6. Эйлер-Венн диаграмын аргыг ашиглан логик ач холбогдолтой асуудлыг шийдвэрлэх

Ангид 36 хүн байна. Тус ангийн сурагчид математик, физик, химийн дугуйланд 18 хүн, математикийн дугуйланд 14 хүн, физикийн дугуйланд 14 хүн, химийн дугуйланд 10 хүн хамрагддаг.Түүнчлэн гурван дугуйланд 2 хүн, 8 хүн хичээллэдэг нь тодорхой. Математик ба физикийн, 5 ба математик-химийн, 3 - физик ба химийн аль алинд нь оролцоно.

Ангийн хэдэн сурагч ямар ч дугуйланд явдаггүй вэ?

Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд Эйлерийн тойргийг ашиглах нь маш тохиромжтой бөгөөд ойлгомжтой юм.

Хамгийн том тойрог бол ангийн бүх сурагчдын багц юм. Тойрог дотор огтлолцсон гурван багц байдаг: математикийн гишүүд ( М), физик ( Ф), химийн ( X) тойрог.

Болъё MFC- маш олон залуус, бүгд гурван клубт оролцдог. MF¬X- маш олон хүүхэд, тэд бүгд математик, физикийн дугуйланд явдаг Үгүй ээхимийн бодисоор зочилдог. ¬M¬FH- Химийн дугуйланд явдаг, физик, математикийн дугуйланд явдаггүй олон залуус.

Үүний нэгэн адил бид багцуудыг танилцуулж байна: ¬МФХ, М¬ФХ, М¬Ф¬Х, ¬МФ¬Х, ¬М¬Ф¬Х.

Бүх гурван дугуйланд 2 хүн оролцдог тул бүс нутагтаа мэдэгдэж байна MFC 2 гэсэн тоог оруулъя.Учир нь Математикийн болон физикийн дугуйланд 8 хүн хамрагддаг бөгөөд тэдний дунд гурван дугуйланд аль хэдийн 2 хүн хамрагдаж байна, дараа нь бүс нутагт MF¬X 6 хүн оруулъя (8-2). Үлдсэн багц дахь оюутны тоог ижил төстэй байдлаар тодорхойлъё.

Бүх бүс нутагт байгаа хүмүүсийн тоог нэгтгэн дүгнэж үзье: 7+6+3+2+4+1+5=28. Улмаар тус ангийн 28 хүн дугуйланд явдаг.

Энэ нь 36-28 = 8 оюутан дугуйланд явдаггүй гэсэн үг.

Өвлийн амралтын дараа ангийн багшЗалуусаас хэн нь театр, кино театр эсвэл циркт очсоныг асуув. Ангийн 36 сурагчийн хоёр нь кино театрт очиж үзээгүй нь тогтоогджээ. театрт ч, циркт ч биш. 25 хүн кино театрт, 11 хүн театрт, 17 хүн циркт; кино театр, театрт хоёуланд нь - 6; кино театр, циркт хоёуланд нь - 10; театр, циркт - 4.

Хичнээн хүн кино театр, театр, циркт явсан бэ?

Кино, театр, циркт үзсэн хүүхдийн тоог x гэж үзье.

Дараа нь та дараах диаграммыг бүтээж, бүс тус бүрийн залуусын тоог тоолж болно.

Кино театрт 6 хүн очсон гэхээр ердөө 6 хүн л кино театрт очсон гэсэн үг.

Үүнтэй адилаар зөвхөн кино театр, циркт (10-р) хүмүүс байдаг.

Зөвхөн театр, циркт (4) хүн.

25 хүн кино театрт очсон нь тэдний 25 нь зөвхөн кино театрт очсон гэсэн үг - (10's) - (6's) - x = (9+x).

Үүний нэгэн адил зөвхөн театрт (1+х) хүн байсан.

Циркт зөвхөн (3+х) хүн байсан.

Театр, кино театр, циркт очиж үзээгүй - 2 хүн.

Энэ нь 36-2=34 хүн гэсэн үг. арга хэмжээнд оролцсон.

Нөгөөтэйгүүр, театр, кино театр, циркт байсан хүмүүсийн тоог нэгтгэн дүгнэж болно.

(9+x)+(1+x)+(3+x)+(10)+(6)+(4)+x = 34

Гурван арга хэмжээнд нэг л хүн оролцсон гэсэн үг.

Тиймээс Эйлерийн тойрог (Эйлер-Венн диаграммууд) нь Улсын нэгдсэн шалгалт, улсын шалгалтын формат дахь асуудлыг шийдвэрлэх, утга учиртай логик асуудлыг шийдвэрлэхэд практик хэрэглээг олж авдаг.

Уран зохиол

В.Ю. Лыскова, Е.А. Ракитина. Компьютерийн шинжлэх ухаан дахь логик. М.: Мэдээлэл зүй, боловсрол, 2006. 155 х.
Л.Л. Босова. Компьютерийн арифметик ба логик үндэс. М.: Мэдээлэл зүй, боловсрол, 2000. 207 х.
Л.Л. Босова, А.Ю. Босова. Сурах бичиг. 8-р ангийн компьютерийн шинжлэх ухаан, МХТ: BINOM. Мэдлэгийн лаборатори, 2012. 220 х.
Л.Л. Босова, А.Ю. Босова. Сурах бичиг. 9-р ангийн компьютерийн шинжлэх ухаан, МХТ: BINOM. Мэдлэгийн лаборатори, 2012. 244 х.
FIPI вэбсайт: http://www.fipi.ru/

Хичээлийн зорилго:Тойргийн аргыг ашиглан энгийн логик асуудлыг шийдвэрлэхэд оюутнуудад танилцуулах

Хичээлийн зорилго

Боловсролын: оюутнуудад Эйлер тойргийн аргын талаар ойлголт өгөх;
Хөгжлийн: логик болон аналитик сэтгэлгээг хөгжүүлэх;
Боловсролын: бусад оюутнуудын санаа бодлыг сонсож, тэдний үзэл бодлыг хамгаалах чадварыг хөгжүүлэх.

Хичээлийн материал:даалгаврын картууд, Л.Эйлерийн хөрөг, самбар.

Хичээлийн үеэр

Зохион байгуулалтын үе (3 мин)
Халаалт (5 мин)
Шинэ материал сурах (5 мин)
Уусмалын аргын анхны туршилт (30 мин)
Хичээлийг дүгнэх (2 мин)
Зохион байгуулах цаг.

Багш аа: Сайн уу залуусаа! Өнөөдөр хичээл дээр бид логик асуудлыг шийдвэрлэх шинэ арга болох Эйлерийн тойрогтой танилцах болно. Тэмцээний болон олимпиадын асуудлын бүлэгт багтсан эдгээр асуудлуудын заримыг шийдэж сурах болно. Бидний хичээлийн зорилго: тойрог аргыг ашиглан хамгийн энгийн логик асуудлыг шийдвэрлэхтэй танилцах явдал юм.

Халаалт

Оюутнуудын сэтгэхүйг идэвхжүүлэхэд чиглэсэн хэд хэдэн хошин логик даалгавруудыг оюутнуудад санал болгодог.

Нэг галуу нь 20 рубль, бодит зардлынхаа тал хувийг авдаг. Галуу хэдэн төгрөгийн үнэтэй байсан бэ?
Тэмцээнд хоёр тамирчин цэнгэлдэх хүрээлэнгийн эргэн тойронд 8 тойрог гүйсэн. Хүн бүр хэдэн тойрог гүйсэн бэ?
Ялгаа нь нийлбэртэй тэнцүү хоёр тоог нэрлэ.
Хоёрыг нэмбэл хоёрыг хоёр дахин нэмэх вэ?

Шинэ материал сурах

Багш: Математикт олонлогийг дүрсэлсэн дугуй хэлбэртэй зургийг маш эртнээс хэрэглэж ирсэн. Энэ аргыг анх хэрэглэсэн хүмүүсийн нэг бол Германы нэрт математикч, философич Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716) юм. Түүний бүдүүлэг зурган дээр ийм тойрог бүхий зургууд олджээ. Дараа нь энэ аргыг Леонхард Эйлер маш нарийн боловсруулсан. Тэрээр Санкт-Петербургийн ШУА-д олон жил ажилласан.

Үзэл баримтлал ба тэдгээрийн хоорондын харилцааны геометрийн дүрслэлийг дүрслэхийн тулд Эйлер-Венн диаграммыг (Эйлерийн тойрог) ашигладаг. Хэрэв A, B, C гэх мэт ойлголтууд байгаа бол үзэл баримтлал (багц) бүрийн эзлэхүүнийг тойрог хэлбэрээр, эдгээр объектуудын (багц) хоорондын хамаарлыг огтлолцсон тойрог хэлбэрээр дүрсэлж болно.

Асуудлыг шийдэхийн өмнө дараах асуултуудад хариулна уу.

Энэ асуудалд бид хэдэн багцын тухай ярьж байна вэ?
Асуудалд жагсаасан өгөгдлүүдийн аль нь өөр өөр багцад нэгэн зэрэг хамаарах вэ?

Шийдлийн аргын анхны боловсруулалт. Оюутнуудад дараах даалгавруудыг санал болгож байна. Эхний ажлыг нарийвчлан авч үзсэн болно. Дараа дараагийн асуудлуудыг оюутнууд самбар дээр шийддэг.

Даалгавар 1. Гэрийн тэжээмэл амьтад. Миний найзууд бүгд тэжээвэр амьтантай. Тэдний зургаа нь мууранд, тав нь нохойд хайртай. Зөвхөн хоёрт хоёулаа байдаг. Би хэдэн найз охинтойг таагаарай?

Шийдэл: Бид хоёр төрлийн тэжээвэр амьтантай тул хоёр тойрог зурцгаая. Нэгд нь бид муурны эзэд, нөгөөд нь нохойны эздийг бүртгэх болно. Зарим найзууд хоёулаа хоёулаа амьтантай байдаг тул бид тойрог зурж, тэд нийтлэг хэсэгтэй болно. Энэ ерөнхий хэсэгт бид 2-ын тоог тавьсан тул хоёулаа муур, нохойтой. "Муур" тойргийн үлдсэн хэсэгт бид 4 (6 - 2 = 4) тоог тавьдаг. "Нохой" тойргийн чөлөөт хэсэгт бид 3-ын тоог тавьдаг (5 - 2 = 3). Одоо зураг нь өөрөө намайг нийтдээ 4 + 2 + 3 = 9 найз охинтой болохыг харуулж байна.

Хариулах. 9 найз охин.

Даалгавар 2. Номын сангууд. Ангид 30 сурагч байдаг. Бүгд сургууль, дүүргийн номын сангийн уншигчид. Үүнээс 20 хүүхэд сургуулийн номын сангаас, 15 хүүхэд дүүргийн номын сангаас ном авч байна. Сургуулийн номын сангийн уншигч биш оюутнууд хэр их байдаг вэ?

Шийдэл: W тойрог нь зөвхөн сургуулийн номын сангийн уншигчдыг, Р тойрог нь зөвхөн нэг дүүргийн уншигчдыг төлөөлнө. Тэгвэл ШР гэдэг нь дүүргийн болон сургуулийн номын сангийн уншигчдын нэгэн зэрэг дүр төрх юм. Сургуулийн номын сангийн уншигч биш оюутнуудын тоо дараахь байдалтай тэнцүү байна.

(Ш биш) = R - ШР. Нийт 30 оюутан, W = 20 хүн, P = 15 хүн. Дараа нь ШР-ийн утгыг дараах байдлаар олж болно (зураг харна уу): ШР = (Ш + Р) - 30 = (20 + 15) - 30 = = 5, өөрөөр хэлбэл. 5 сурагч нэгэн зэрэг сургууль, дүүргийн номын сангийн уншигч. Дараа нь (Ш биш) = = Р - ШР= 15 - 5= 10.

Хариулт: 10 сурагч сургуулийн номын сангийн уншигч биш.

Даалгавар 3. Дуртай хүүхэлдэйн кино. Сургуулийн тавдугаар ангийн хүүхдүүдийн дунд дуртай хүүхэлдэйн киноны талаар санал асуулга явуулжээ. Хамгийн алдартай нь "Цасан цагаан ба долоон одой", "Винни Пух", "Микки Маус" гэсэн гурван хүүхэлдэйн кино байв. Нэг ангид нийт 28 хүн байна. "Цасан цагаан ба долоон одой"-г 16 сурагч сонгосон бөгөөд тэдний гурав нь "Микки хулгана", зургаа нь "Винни Пух" нэртэй, нэг нь гурван хүүхэлдэйн киног бичсэн байна. “Микки хулгана” хүүхэлдэйн киног 9 хүүхэд нэрлэсэн бөгөөд тэдний тав нь тус бүр хоёр хүүхэлдэйн киног сонгосон байна. "Винни Пүүх" хүүхэлдэйн киног хэр олон хүн сонгосон бэ?

Шийдэл: Энэ бодлогод 3 багц байгаа бөгөөд бодлогын нөхцлөөс харахад бүгд хоорондоо огтлолцдог нь тодорхой байна. Зөвхөн Цасан цагааныг 16-6-3-1=6 хүн сонгосон. Зөвхөн "Микки Маус"-ыг 9-3-2-1=3 хүн сонгосон.

Зөвхөн “Винни Пүүх”-ийг 28-(6+3+3+2+6+1)=7 хүн сонгосон. Дараа нь зарим хүмүүс хэд хэдэн хүүхэлдэйн киног сонгосон гэдгийг харгалзан үзвэл "Винни Пүүх"-ийг 7+6+1+2=16 хүн сонгосон байна.

Даалгавар 4. Хобби. 5-р ангийн 24 сурагчаас хөгжмийн сургуульд 10 хүн, урлагийн сургуульд 8 хүн, спортын сургуульд 12 хүн, хөгжим, урлагийн сургуульд 3 хүн, урлаг, спортын сургуульд 2 хүн, хөгжим, спортын сургуульд 2 хүн, Гурван сургуульд 1 хүн суралцдаг. Хэдэн оюутан зөвхөн нэг сургуульд сурдаг вэ? Ямар ч зүйлд өөрийгөө хөгжүүлдэггүй оюутнууд хэр олон байдаг вэ?

Шийдэл: Энэ бодлогод 3 багц байгаа бөгөөд бодлогын нөхцлөөс харахад бүгд хоорондоо огтлолцдог нь тодорхой байна. Зөвхөн хөгжмийн сургуульд 10-3-2-1=4 хүүхэд суралцдаг. Зөвхөн урлагийн сургуульд 8-3-2-1=2 хүүхэд суралцдаг. Зөвхөн спортын сургуульд 12-2-2-1=7 хүүхэд суралцдаг.

Зөвхөн нэг сургуульд 4+2+7=13 сурагч суралцдаг.

24-(4+2+7+3+2+2+1)=3 оюутан юунд ч өөрийгөө хөгжүүлдэггүй.

Хариулах. 13 хүүхэд ганц сургуульд сурдаг, 3 хүүхэд өөрийгөө хөгжүүлдэггүй.

Даалгавар 5. Оньсого тоглоомын тухай. 26 өөр байсан математикийн тоглоомууд- оньсого. Гриша, Саша хоёр хоёулаа 4-т нь тоглосон. Игорь Гриша ч, Саша ч хүрч чадаагүй 7 тоглоом, Гришагийн тоглосон хоёр оньсого тоглохыг оролдсон. Гриша нийтдээ 11 математикийн тоглоом тоглосон - таавар. Саша хэдэн оньсого тоглосон бэ?

Шийдэл: Гриша нийт 11 тоглоом хожигдсоноос 4 оньсого Саша, 2 тааварыг Игорь шийдсэн тул 11 - 4 - 2 = 5 - тоглоомыг зөвхөн Гриша хожигдсон. Тиймээс 26 - 7 - 2 - 5 - 4 = 8 - тааварыг Саша ганцаараа шийдсэн. Гэхдээ Сашагийн тоглосон бүх зүйл тоглоом байсан.

Хариулах. 12 тоглолтыг Саша шийджээ.

Зорилт 7. Хүн бүрт зориулсан спорт. Ангид 38 хүн байна. Үүнээс 16 нь сагсан бөмбөг, 17 нь хоккей, 18 нь хөл бөмбөг тоглодог. Дөрөв нь сагсан бөмбөг, хоккей, гурав нь сагсан бөмбөг, хөл бөмбөг, тав нь хөл бөмбөг, хоккей гэсэн хоёр спортод дуртай. Гурав нь сагсан бөмбөг, хоккей, хөлбөмбөг сонирхдоггүй. Хэдэн хүүхэд нэг дор гурван спортоор хичээллэдэг вэ? Хэдэн хүүхэд энэ төрлийн спортоор хичээллэдэг вэ?

Шийдэл. Эйлерийн тойргийг ашиглая.

Том тойрог нь ангийн бүх сурагчдыг, B, X, F гэсэн гурван жижиг тойрог нь сагсан бөмбөг, хоккей, хөл бөмбөгийн тоглогчдыг төлөөлнө. Дараа нь B, X, F дугуйнуудын нийтлэг хэсэг болох Z дүрс нь спортын гурван төрөлд дуртай хүүхдүүдийг дүрсэлсэн байна. Эйлерийн тойргийг шалгаж үзэхэд зөвхөн нэг спорт болох сагсан бөмбөгийг 16 - (4 + z + 3) = 9 - z тоглодог нь тодорхой байна; хоккей ганцаараа 17 - (4 + z + 5) = 8 - z; зүгээр л хөлбөмбөг

18 - (3 + z + 5) = 10 - z. Анги нь тусдаа хүүхдүүдэд хуваагддаг тул бид тэгшитгэл хийдэг; бүлэг тус бүрийн залуусын тоог дугуйлсан зураг: 3 + (9 - z) + (8 - z) + (10 - z) + 4 + 3 + 5 + z = 38,z = 2. Тиймээс хоёр Залуус 3 спортоор хичээллэдэг. z = 2 гэсэн 9 - z, 8 - z ба 10 - z тоог нэмбэл бид зөвхөн нэг спортоор хичээллэдэг хүүхдүүдийн тоог олно: 21 хүн.

Хариулт: Хоёр залуу хүний гурван спортод дуртай. Ганцхан спорт сонирхдог хүмүүс: 21 хүн.

Гэрийн даалгавар. Даалгавар 6. Спортын анги. Ангид 35 хүүхэд суралцдаг. Тэдний 24 нь хөл бөмбөг, 18 нь гар бөмбөг, 12 нь сагсан бөмбөг тоглодог. Хөл бөмбөг, гар бөмбөг зэрэг 10 сурагч, хөл бөмбөг, сагсан бөмбөгөөр 8, гар бөмбөг, сагсан бөмбөгөөр 5 сурагч хичээллэдэг. Хэдэн оюутан зэрэг хөлбөмбөг, гар бөмбөг, сагсан бөмбөг тоглодог вэ?

Хичээлийг дүгнэж байна

Оюутнууд хичээлээ бие даан эсвэл удирдан чиглүүлэх асуултуудад хариулж дүгнэдэг.

Бид ангидаа юу сурсан бэ?
Энэ ямар арга вэ? Энэ юу вэ?
Өнөөдөр бид ангид юу сурсан бэ?
Асуудлыг шийдэхийн тулд хаанаас эхлэх хэрэгтэй вэ?
Ямар даалгавар танд хамгийн хэцүү байсан бэ? Яагаад?

1	барокко \| сонгодогизм \| эзэнт гүрний хэв маяг
2	барокко \| (сонгодог үзэл ба эзэнт гүрний хэв маяг)
3	классикизм ба эзэнт гүрний хэв маяг
4	барокко \| сонгодог үзэл