Тригонометрийн тэгшитгэл - томъёо, шийдэл, жишээ. Тригонометрийн тэгшитгэлүүд - томьёо, шийдэл, жишээнүүд. USE даалгаварт тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

A) 2(\sin x-\cos x)=tgx-1 тэгшитгэлийг шийд.

б) \left[ \frac(3\pi )2;\,3\pi \right].

Шийдлийг харуулах

Шийдэл

A)Хаалтуудыг нээж, бүх гишүүнийг зүүн тал руу шилжүүлснээр 1+2 \sin x-2 \cos x-tg x=0 тэгшитгэл гарч ирнэ. \cos x \neq 0, 2 \sin x гэсэн нэр томъёог 2 tan x \cos x-ээр сольж болохыг харгалзан бид тэгшитгэлийг олж авна. 1+2 tg x \cos x-2 \cos x-tg x=0,бүлэглэх замаар (1-tg x)(1-2 \cos x)=0 хэлбэрт оруулж болно.

1) 1-тг x=0, бор х=1, x=\frac\pi 4+\pi n, n \in \mathbb Z;

2) 1-2 \cos x=0, \cos x=\frac12, x=\pm \frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z.

б)Ашиглах замаар тооны тойрогинтервалд хамаарах үндсийг сонгох \left[ \frac(3\pi )2;\, 3\pi \right].

x_1=\frac\pi 4+2\pi =\frac(9\pi )4,

x_2=\frac\pi 3+2\pi =\frac(7\pi )3,

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

Хариулт

A) \frac\pi 4+\pi n, \pm\frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z;

б) \frac(5\pi )3, \frac(7\pi )3, \frac(9\pi )4.

Нөхцөл байдал

A)Тэгшитгэлийг шийд (2\sin ^24x-3\cos 4x)\cdot \sqrt (tgx)=0.

б)Энэ тэгшитгэлийн интервалд хамаарах язгуурыг заана уу \left(0;\,\frac(3\pi )2\right] ;

Шийдлийг харуулах

Шийдэл

A)ОДЗ: \begin(тохиолдол) tgx\geqslant 0\\x\neq \frac\pi 2+\pi k,k \in \mathbb Z. \end(тохиолдол)

ODZ дээрх анхны тэгшитгэл нь тэгшитгэлийн багцтай тэнцүү байна

\left[\!\!\begin(array)(l) 2 \sin ^2 4x-3 \cos 4x=0,\\tg x=0. \төгсгөл(массив)\баруун.

Эхний тэгшитгэлийг шийдье. Үүнийг хийхийн тулд бид солих болно \cos 4x=t, t \in [-1; 1].Дараа нь \sin^24x=1-t^2. Бид авах:

2(1-t^2)-3t=0,

2т^2+3т-2=0,

t_1=\frac12, t_2=-2, t_2\биш [-1; 1].

\cos 4x=\frac12,

4x=\pm\frac\pi 3+2\pi n,

x=\pm \frac\pi (12)+\frac(\pi n)2, n \in \mathbb Z.

Хоёр дахь тэгшитгэлийг шийдье.

tg x=0,\, x=\pi k, k \in \mathbb Z.

Нэгж тойргийг ашиглан бид ODZ-ийг хангасан шийдлүүдийг олдог.

“+” тэмдэг нь tg x>0 гэсэн 1 ба 3-р улирлыг тэмдэглэнэ.

Бид дараахыг авна: x=\pi k, k \in \mathbb Z; x=\frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z; x=\frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z.

б)Интервалд хамаарах үндсийг олъё \left(0;\,\frac(3\pi )2\right].

x=\frac\pi (12), x=\frac(5\pi )(12); x=\pi ; x=\frac(13\pi )(12); x=\frac(17\pi )(12).

Хариулт

A) \pi k, k \in \mathbb Z; \frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z; \frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z.

б) \pi; \frac\pi (12); \frac(5\pi )(12); \frac(13\pi )(12); \frac(17\pi )(12).

Эх сурвалж: “Математик. 2017 оны улсын нэгдсэн шалгалтын бэлтгэл. Профайлын түвшин" Эд. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова.

Нөхцөл байдал

A)Тэгшитгэлийг шийд: \cos ^2x+\cos ^2\frac\pi 6=\cos ^22x+\sin ^2\frac\pi 3;

б)Интервалд хамаарах бүх үндэсийг жагсаа \left(\frac(7\pi )2;\,\frac(9\pi )2\баруун].

Шийдлийг харуулах

Шийдэл

A)Учир нь \sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6,Тэр \sin ^2\frac\pi 3=\cos ^2\frac\pi 6,Энэ нь өгөгдсөн тэгшитгэл нь \cos^2x=\cos ^22x тэгшитгэлтэй тэнцэх бөгөөд энэ нь эргээд \cos^2x-\cos ^2 2x=0 тэгшитгэлтэй тэнцүү байна гэсэн үг.

Гэхдээ \cos ^2x-\cos ^22x= (\cos x-\cos 2x)\cdot (\cos x+\cos 2x)Тэгээд

\cos 2x=2 \cos ^2 x-1 тул тэгшитгэл болно

(\cos x-(2 \cos ^2 x-1))\,\cdot(\cos x+(2 \cos ^2 x-1))=0,

(2 \cos ^2 x-\cos x-1)\,\cdot (2 \cos ^2 x+\cos x-1)=0.

Дараа нь 2 \cos ^2 x-\cos x-1=0, эсвэл 2 \cos ^2 x+\cos x-1=0 байна.

Эхний тэгшитгэлийг \cos x-ийн квадрат тэгшитгэл болгон шийдвэл бид дараахь зүйлийг авна.

(\cos x)_(1,2)=\frac(1\pm\sqrt 9)4=\frac(1\pm3)4.Тиймээс \cos x=1 эсвэл \cos x=-\frac12.Хэрэв \cos x=1 бол x=2k\pi , k \in \mathbb Z. Хэрэв \cos x=-\frac12,Тэр x=\pm \frac(2\pi )3+2s\pi , s \in \mathbb Z.

Үүнтэй адилаар, хоёр дахь тэгшитгэлийг шийдэж, бид \cos x=-1 эсвэл авна \cos x=\frac12.Хэрэв \cos x=-1 бол үндэс болно x=\pi +2m\pi , m \in \mathbb Z.Хэрэв \cos x=\frac12,Тэр x=\pm \frac\pi 3+2n\pi , n \in \mathbb Z.

Хүлээн авсан шийдлүүдийг нэгтгэж үзье:

x=m\pi , m \in \mathbb Z; x=\pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z.

б)Тооны тойрог ашиглан өгөгдсөн интервалд багтах язгууруудыг сонгоцгооё.

Бид авах: x_1 =\frac(11\pi )3, x_2=4\pi , x_3 =\frac(13\pi )3.

Хариулт

A) m\pi, m\in \mathbb Z; \pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z;

б) \frac(11\pi )3, 4\pi , \frac(13\pi )3.

Эх сурвалж: “Математик. 2017 оны улсын нэгдсэн шалгалтын бэлтгэл. Профайлын түвшин." Эд. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова.

Нөхцөл байдал

A)Тэгшитгэлийг шийд 10\cos ^2\frac x2=\frac(11+5ctg\left(\dfrac(3\pi )2-x\right) )(1+tgx).

б)Энэ тэгшитгэлийн интервалд хамаарах язгуурыг заана уу \left(-2\pi ; -\frac(3\pi )2\right).

Шийдлийг харуулах

Шийдэл

A) 1. Бууруулах томъёоны дагуу, ctg\left(\frac(3\pi )2-x\баруун) =tgx.Тэгшитгэлийг тодорхойлох талбар нь \cos x \neq 0 ба tan x \neq -1 байхаар x-ийн утгууд байх болно. Давхар өнцгийн косинусын томъёог ашиглан тэгшитгэлийг хувиргая 2 \cos ^2 \frac x2=1+\cos x.Бид тэгшитгэлийг авна: 5(1+\cos x) =\frac(11+5tgx)(1+tgx).

анзаараарай, тэр \frac(11+5tgx)(1+tgx)= \frac(5(1+tgx)+6)(1+tgx)= 5+\frac(6)(1+tgx),тэгэхээр тэгшитгэл нь: 5+5 \cos x=5 +\frac(6)(1+tgx).Эндээс \cos x =\frac(\dfrac65)(1+tgx), \cos x+\sin x =\frac65.

2. Багасгах томьёо болон косинусын нийлбэрийн томъёог ашиглан \sin x+\cos x-ийг хувиргана. \sin x=\cos \left(\frac\pi 2-x\баруун), \cos x+\sin x= \cos x+\cos \left(\frac\pi 2-x\right)= 2\cos \frac\pi 4\cos \left(x-\frac\pi 4\баруун)= \sqrt 2\cos \left(x-\frac\pi 4\баруун) = \frac65.

Эндээс \cos \left(x-\frac\pi 4\right) =\frac(3\sqrt 2)5.гэсэн үг, x-\frac\pi 4= arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k, k \in \mathbb Z,

эсвэл x-\frac\pi 4= -arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t, t \in \mathbb Z.

Тийм ч учраас x=\frac\pi 4+arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k,k \in \mathbb Z,

эсвэл x =\frac\pi 4-arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t,t \in \mathbb Z.

Олдсон x утгууд нь тодорхойлолтын домэйнд хамаарна.

б)Эхлээд k=0 ба t=0 үед тэгшитгэлийн язгуур хаана унадаг болохыг олж мэдье. Эдгээр нь зохих тоо байх болно a=\frac\pi 4+arccos \frac(3\sqrt 2)5Тэгээд b=\frac\pi 4-arccos \frac(3\sqrt 2)5.

1. Туслах тэгш бус байдлыг баталъя:

\frac(\sqrt 2)(2)<\frac{3\sqrt 2}2<1.

Үнэхээр, \frac(\sqrt 2)(2)=\frac(5\sqrt 2)(10)<\frac{6\sqrt2}{10}=\frac{3\sqrt2}{5}.

Үүнийг бас анхаар \left(\frac(3\sqrt 2)5\right) ^2=\frac(18)(25)<1^2=1, гэсэн үг \frac(3\sqrt 2)5<1.

2. Тэгш бус байдлаас (1) Нумын косинусын шинж чанараар бид дараахь зүйлийг олж авна.

arccos 1

Эндээс \frac\pi 4+0<\frac\pi 4+arc\cos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 4+\frac\pi 4,

0<\frac\pi 4+arccos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 2,

Үүний нэгэн адил, -\frac\pi 4

0=\frac\pi 4-\frac\pi 4<\frac\pi 4-arccos \frac{3\sqrt 2}5< \frac\pi 4<\frac\pi 2,

k=-1 ба t=-1 хувьд a-2\pi ба b-2\pi тэгшитгэлийн язгуурыг олж авна.

\Bigg(a-2\pi =-\frac74\pi +arccos \frac(3\sqrt 2)5,\, b-2\pi =-\frac74\pi -arccos \frac(3\sqrt 2)5\Bigg).Хаана -2\pi

2\pi Энэ нь эдгээр үндэс нь өгөгдсөн интервалд хамаарна гэсэн үг юм \left(-2\pi , -\frac(3\pi )2\right).

k ба t-ийн бусад утгуудын хувьд тэгшитгэлийн үндэс нь өгөгдсөн интервалд хамаарахгүй.

Үнэхээр k\geqslant 1 ба t\geqslant 1 бол үндэс нь 2\pi-ээс их байна. Хэрэв k\leqslant -2 ба t\leqslant -2 бол үндэс нь бага байна. -\frac(7\pi )2.

Хариулт

A) \frac\pi4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5+2\pi k, k\in\mathbb Z;

б) -\frac(7\pi)4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5.

Нөхцөл байдал

A)Тэгшитгэлийг шийд \sin \left(\frac\pi 2+x\right) =\sin (-2x).

б)Энэ тэгшитгэлийн интервалд хамаарах бүх язгуурыг ол;

Шийдлийг харуулах

Шийдэл

A)Тэгшитгэлийг өөрчилье:

\cos x =-\sin 2x,

\cos x+2 \sin x \cos x=0,

\cos x(1+2 \sin x)=0,

\cos x=0,

x =\frac\pi 2+\pi n, n\in \mathbb Z;

1+2 \sin x=0,

\sin x=-\frac12,

x=(-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z.

б)Бид нэгж тойрог ашиглан сегментэд хамаарах үндсийг олдог.

Заасан интервал нь нэг тоог агуулна \frac\pi 2.

Хариулт

A) \frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z; (-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z;

б) \frac\pi 2.

Нөхцөл байдал

DZ-д ороогүй болно.

гэсэн үг, \sin x \neq 1.

Тэгшитгэлийн хоёр талыг хүчин зүйлээр хуваа (\sin x-1),тэгээс ялгаатай. Бид тэгшитгэлийг авдаг \frac 1(1+\cos 2x)=\frac 1(1+\cos (\pi +x)),эсвэл тэгшитгэл 1+\cos 2x=1+\cos (\pi +x).Зүүн талд нь багасгах томъёо, баруун талд нь багасгах томъёог хэрэглэснээр бид тэгшитгэлийг олж авна. 2 \cos ^2 x=1-\cos x.Энэ тэгшитгэл нь орлуулалт юм \cos x=t,Хаана -1 \leqslant t \leqslant 1квадрат болгон багасгах: 2т^2+t-1=0,хэний үндэс t_1=-1Тэгээд t_2=\frac12. x хувьсагч руу буцаж очоод бид олж авна \cos x = \frac12эсвэл \cos x=-1,хаана x=\frac \pi 3+2\pi м, m \in \mathbb Z, x=-\frac \pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z, x=\pi +2\pi k, k \in \mathbb Z.

б)Тэгш бус байдлыг шийдье

1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 ,

2) -\frac(3\pi )2 \leqslant -\frac \pi 3+2\pi n \leqslant -\frac \pi (2,)

3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi+2\pi k \leqslant -\frac \pi 2 , м, n, k \in \mathbb Z.

1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 , -\frac32\leqslant \frac13+2m \leqslant -\frac12 -\frac(11)6 \leqslant 2м\leqslant -\frac56, -\frac(11)(12) \leqslant m \leqslant -\frac5(12).

\left [-\frac(11)(12);-\frac5(12)\баруун].

2) -\frac (3\pi) 2 \leqslant -\frac(\pi )3+2\pi n \leqslant -\frac(\pi )(2), -\frac32 \leqslant -\frac13 +2n \leqslant -\frac12, -\frac76 \leqslant 2n \leqslant -\frac1(6), -\frac7(12) \leqslant n \leqslant -\frac1(12).

Мужид бүхэл тоо байхгүй байна \left[-\frac7(12) ; -\frac1(12)\баруун].

3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi +2\pi k\leqslant -\frac(\pi )2, -\frac32 \leqslant 1+2k\leqslant -\frac12, -\frac52 \leqslant 2k \leqslant -\frac32, -\frac54 \leqslant k \leqslant -\frac34.

Энэ тэгш бус байдал k=-1, тэгвэл x=-\pi хангагдана.

Хариулт

A) \frac \pi 3+2\pi m; -\frac \pi 3+2\pi n; \pi +2\pi k, м, n, k \in \mathbb Z;

б) -\pi .

Та асуудлаа шийдэх нарийн шийдлийг захиалах боломжтой!!!

Тригонометрийн функцийн тэмдгийн дор үл мэдэгдэх зүйлийг агуулсан тэгшитгэлийг (`sin x, cos x, tan x` эсвэл `ctg x`) тригонометрийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг бөгөөд бид цаашид авч үзэх болно.

Хамгийн энгийн тэгшитгэлүүд нь `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a` бөгөөд энд `x` нь олох өнцөг, `a` нь дурын тоо юм. Тэд тус бүрийн үндсэн томъёог бичье.

1. `sin x=a` тэгшитгэл.

`|a|>1`-ийн хувьд ямар ч шийдэл байхгүй.

Хэзээ `|a| \leq 1` нь хязгааргүй олон шийдэлтэй.

Үндэс томьёо: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. `cos x=a` тэгшитгэл

`|a|>1`-ийн хувьд - синусын хувьд бодит тоонуудын дунд шийдэл байхгүй.

Хэзээ `|a| \leq 1` нь хязгааргүй олон шийдэлтэй.

Үндсэн томъёо: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

График дахь синус ба косинусын тусгай тохиолдлууд.

3. `tg x=a` тэгшитгэл

`a`-ын дурын утгын хувьд хязгааргүй олон тооны шийдэлтэй.

Үндэс томъёо: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. `ctg x=a` тэгшитгэл

Мөн `a`-ын аль ч утгын хувьд хязгааргүй олон тооны шийдэлтэй.

Үндэс томъёо: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Хүснэгт дэх тригонометрийн тэгшитгэлийн үндэсийн томъёо

Синусын хувьд:
Косинусын хувьд:
Тангенс ба котангенсийн хувьд:
Урвуу тригонометрийн функц агуулсан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх томъёо:

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга

Аливаа тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь хоёр үе шатаас бүрдэнэ.

үүнийг хамгийн энгийн болгон хувиргах тусламжтайгаар;
дээр бичсэн язгуур томъёо, хүснэгтийг ашиглан олж авсан хамгийн энгийн тэгшитгэлийг шийд.

Жишээнүүдийг ашиглан шийдвэрлэх үндсэн аргуудыг авч үзье.

Алгебрийн арга.

Энэ арга нь хувьсагчийг сольж, тэгш байдал болгон орлуулахыг хэлнэ.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

орлуулах: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, дараа нь `2y^2-3y+1=0`,

Бид язгуурыг олно: `y_1=1, y_2=1/2`, үүнээс дараах хоёр тохиолдол гарна:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Хариулт: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Factorization.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд: `sin x+cos x=1`.

Шийдэл. Тэгш байдлын бүх нөхцөлийг зүүн тийш шилжүүлье: `sin x+cos x-1=0`. -ийг ашиглан бид зүүн талыг хувиргаж, хүчин зүйл болгон хуваана:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

`sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
`cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Хариулт: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Нэг төрлийн тэгшитгэлд буулгах

Эхлээд та энэ тригонометрийн тэгшитгэлийг хоёр хэлбэрийн аль нэг болгон багасгах хэрэгтэй.

`a sin x+b cos x=0` (эхний зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл) эсвэл `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл).

Дараа нь хоёр хэсгийг эхний тохиолдолд `cos x \ne 0', хоёр дахь тохиолдолд `cos^2 x \ne 0' гэж хуваана. Бид мэдэгдэж буй аргуудыг ашиглан шийдвэрлэх шаардлагатай `tg x`: `a tg x+b=0` ба `a tg^2 x + b tg x +c =0`-ийн тэгшитгэлийг олж авдаг.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Шийдэл. Баруун талыг `1=sin^2 x+cos^2 x` гэж бичье:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Энэ бол хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл бөгөөд бид түүний зүүн ба баруун талыг `cos ^ 2 x \ne 0' гэж хуваавал бид дараахь зүйлийг авна.

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. `t^2 + t - 2=0` болох `tg x=t` орлуулалтыг танилцуулъя. Энэ тэгшитгэлийн үндэс нь `t_1=-2` ба `t_2=1` байна. Дараа нь:

`tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
`tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \Z`-д.

Хариулах. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \Z-д`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \Z-д`.

Хагас өнцөг рүү шилжих

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Шийдэл. Давхар өнцгийн томьёог ашиглая: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 тг^2 х/2 — 11 тг х/2 +6=0`

Дээр дурдсан алгебрийн аргыг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

`tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
`tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Хариулах. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Туслах өнцгийн танилцуулга

`a sin x + b cos x =c` тригонометрийн тэгшитгэлд a,b,c нь коэффициент, x нь хувьсагч бөгөөд хоёр талыг `sqrt (a^2+b^2)`-д хуваана:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

Зүүн талд байгаа коэффициентүүд нь синус ба косинусын шинж чанартай, тухайлбал тэдгээрийн квадратуудын нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү, модулиуд нь 1-ээс ихгүй байна. Тэдгээрийг дараах байдлаар тэмдэглэе: `\frac a(sqrt (a^2). +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, тэгвэл:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Дараах жишээг нарийвчлан авч үзье.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд: `3 sin x+4 cos x=2`.

Шийдэл. Тэгш байдлын хоёр талыг `sqrt (3^2+4^2)`-д хуваавал бид дараахь зүйлийг авна.

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt) (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

`3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi` гэж тэмдэглэе. `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0` тул бид `\varphi=arcsin 4/5`-ийг туслах өнцөг болгон авна. Дараа нь бид тэгш байдлыг дараах хэлбэрээр бичнэ.

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Синусын өнцгийн нийлбэрийн томъёог ашигласнаар бид тэгшитгэлээ дараах хэлбэрээр бичнэ.

`нүгэл (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Хариулах. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Бутархай рационал тригонометрийн тэгшитгэлүүд

Эдгээр нь тоологч ба хуваагч нь тригонометрийн функц агуулсан бутархайтай тэнцүү юм.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Шийдэл. Тэгш байдлын баруун талыг `(1+cos x)`-аар үржүүлж хуваа. Үүний үр дүнд бид:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Хуваагч нь 0-тэй тэнцүү байж болохгүй гэж үзвэл Z-д `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \ гэсэн утгыг авна.

Бутархайн тоог 0-тэй тэнцүү болгоё: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Дараа нь `sin x=0` эсвэл `1-sin x=0`.

`sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
`1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

` x \ne \pi+2\pi n, n \Z`-д шийдлүүд нь `x=2\pi n, n \in Z` ба `x=\pi /2+2\pi n` байна. , `n \in Z`.

Хариулах. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Тригонометр, ялангуяа тригонометрийн тэгшитгэлийг геометр, физик, инженерийн бараг бүх салбарт ашигладаг. Хичээл нь 10-р ангиас эхэлдэг, улсын нэгдсэн шалгалтын даалгавар үргэлж байдаг тул тригонометрийн тэгшитгэлийн бүх томъёог санаж байхыг хичээгээрэй - тэдгээр нь танд ашигтай байх болно!

Гэсэн хэдий ч та тэдгээрийг цээжлэх шаардлагагүй, гол зүйл бол мөн чанарыг ойлгож, түүнийг гаргаж авах чадвартай байх явдал юм. Энэ нь санагдаж байгаа шиг хэцүү биш юм. Видеог үзэж өөрөө үзээрэй.

Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын профайлын түвшний бэлтгэл. Тригонометрийн талаар хэрэгтэй материалууд, том онолын видео лекцүүд, асуудлын видео шинжилгээ, өмнөх жилүүдийн даалгаврын сонголт.

Ашигтай материал

Видео цуглуулга, онлайн курсууд

Тригонометрийн томъёо

Тригонометрийн томъёоны геометрийн дүрслэл

Нуман функцууд. Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлүүд

Тригонометрийн тэгшитгэл

Асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай онол.
a) $7\cos^2 x - \cos x - 8 = 0$ тэгшитгэлийг шийд.
b) $\left[ -\dfrac(7\pi)(2) интервалд хамаарах энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; -\dfrac(3\pi)(2) \right]$.
a) $\dfrac(6)(\cos^2 x) - \dfrac(7)(\cos x) + 1 = 0$ тэгшитгэлийг шийд.
b) $\left[ -3\pi интервалд хамаарах энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; -\pi \right]$.
$\sin\sqrt(16 - x^2) = \dfrac12$ тэгшитгэлийг шийд.
a) $2\cos 2x - 12\cos x + 7 = 0$ тэгшитгэлийг шийд.
b) $\left[ -\pi интервалд хамаарах энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; \dfrac(5\pi)(2) \right]$.
a) $\dfrac(5)(\mathrm(tg)^2 x) - \dfrac(19)(\sin x) + 17 = 0$ тэгшитгэлийг шийд.
$\dfrac(2\cos^3 x + 3 \cos^2 x + \cos x)(\sqrt(\mathrm(ctg)x)) = 0$ тэгшитгэлийг шийд.
$\dfrac(\mathrm(tg)^3x - \mathrm(tg)x)(\sqrt(-\sin x)) = 0$ тэгшитгэлийг шийд.
b) $\left[ -\dfrac(5\pi)(2) интервалд хамаарах энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; -\pi \right)$.
a) $\cos 2x = \sin\left(\dfrac(3\pi)(2) - x\right)$ тэгшитгэлийг шийд.
b) $\left[ \dfrac(3\pi)(2) интервалд хамаарах энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; \dfrac(5\pi)(2) \right]$.
a) $2\sin^2\left(\dfrac(3\pi)(2) + x\right) = \sqrt3\cos x$ тэгшитгэлийг шийд.
b) $\left[ -\dfrac(7\pi)(2) интервалд хамаарах энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; -2\pi \right]$.

Даалгаврын видео шинжилгээ

b) $\left[ \sqrt(3) сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; \sqrt(20) \right]$.

b) $\left[ -\dfrac(9\pi)(2) сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; -3\pi \right]$.

b) $\left[ -\sqrt(3) сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; \sqrt(30) \right]$.

a) $\cos 2x = 1 - \cos\left(\dfrac(\pi)(2) - x\right)$ тэгшитгэлийг шийд.
b) $\left[ -\dfrac(5\pi)(2) интервалд хамаарах энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; -\pi \right)$.

a) $\cos^2 (\pi - x) - \sin \left(x + \dfrac(3\pi)(2) \right) = 0$ тэгшитгэлийг шийд.
b) $\left[\dfrac(5\pi)(2) интервалд хамаарах энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; 4\pi \right]$.

b) $\left[\log_5 2 интервалд хамаарах тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; \log_5 20 \right]$.

a) $8 \sin^2 x + 2\sqrt(3) \cos \left(\dfrac(3\pi)(2) - x\right) = 9$ тэгшитгэлийг шийд.
b) $\left[- \dfrac(5\pi)(2) интервалд хамаарах энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; -\pi \right]$.

a) $2\log_3^2 (2 \cos x) - 5\log_3 (2 \cos x) + 2 = 0$ тэгшитгэлийг шийд.
b) $\left[\pi интервалд хамаарах энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; \dfrac(5\pi)(2) \right]$.

a) $\left(\dfrac(1)(49) \right)^(\sin x) = 7^(2 \sin 2x)$ тэгшитгэлийг шийд.
b) $\left[\dfrac(3\pi)(2) интервалд хамаарах энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; 3\pi \right]$.

a) $\sin x + \left(\cos \dfrac(x)(2) - \sin \dfrac(x)(2)\right)\left(\cos \dfrac(x)(2) тэгшитгэлийг шийд. + \sin \dfrac(x)(2)\right) = 0$.
b) $\left[\pi интервалд хамаарах энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; \dfrac(5\pi)(2)\right]$.

a) $\log_4 (\sin x + \sin 2x + 16) = 2$ тэгшитгэлийг шийд.
b) $\left[ -4\pi интервалд хамаарах энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; -\dfrac(5\pi)(2) \right]$.

Өмнөх жилүүдийн даалгаврын сонголт

a) $\dfrac(\sin x)(\sin^2\dfrac(x)(2)) = 4\cos^2\dfrac(x)(2)$ тэгшитгэлийг шийд.
b) $\left[ -\dfrac(9\pi)(2) сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; -3\pi \right]$. (Улсын нэгдсэн шалгалт 2018. Эрт давалгаа)
a) $\sqrt(x^3 - 4x^2 - 10x + 29) = 3 - x$ тэгшитгэлийг шийд.
b) $\left[ -\sqrt(3) сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; \sqrt(30) \right]$. (АШИГЛАЛТ 2018. Эрт давалгаа, нөөцийн өдөр)
a) $2 \sin^2 x + \sqrt2 \sin \left(x + \dfrac(\pi)(4)\right) = \cos x $ тэгшитгэлийг шийд.
b) $\left[ -2\pi сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; -\dfrac(\pi)(2) \right]$. (USE-2018. Үндсэн долгион)
a) $\sqrt6 \sin^2 x + \cos x = 2\sin\left(x + \dfrac(\pi)(6) \right)$ тэгшитгэлийг шийд.
b) $\left[ 3\pi сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; \dfrac(9\pi)(2) \right]$. (USE-2018. Үндсэн долгион)
a) $\sin x + 2\sin\left(2x + \dfrac(\pi)(6) \right) = \sqrt3 \sin 2x + 1$ тэгшитгэлийг шийд.
b) $\left[ -\dfrac(7\pi)(2) сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; -2\pi \right]$. (USE-2018. Үндсэн долгион)
a) $\cos^2 x + \sin x = \sqrt2 \sin\left(x + \dfrac(\pi)(4) \right)$ тэгшитгэлийг шийд.
b) $\left[ -4\pi сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; -\dfrac(5\pi)(2) \right]$. (USE-2018. Үндсэн долгион)
a) $2 \sin\left(2x + \dfrac(\pi)(3) \right) - \sqrt(3) \sin x = \sin 2x + \sqrt3$ тэгшитгэлийг шийд.
a) $2\sqrt3 \sin\left(x + \dfrac(\pi)(3) \right) - \cos 2x = 3\cos x - 1$ тэгшитгэлийг шийд.
b) $\left[ 2\pi сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; \dfrac(7\pi)(2) \right]$. (USE-2018. Үндсэн долгион)
a) $2\sin\left(2x + \dfrac(\pi)(6) \right) - \cos x = \sqrt3\sin 2x - 1$ тэгшитгэлийг шийд.
b) $\left[ \dfrac(5\pi)(2) сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; 4\pi \right]$. (USE-2018. Үндсэн долгион)
a) $\sqrt2\sin\left(\dfrac(\pi)(4) + x \right) + \cos 2x = \sin x - 1$ тэгшитгэлийг шийд.
b) $\left[ \dfrac(7\pi)(2) сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; 5\pi \right]$. (USE-2018. Үндсэн долгион)
a) $\sqrt2\sin\left(2x + \dfrac(\pi)(4) \right) + \sqrt2\cos x = \sin 2x - 1$ тэгшитгэлийг шийд.
b) $\left[ -\dfrac(5\pi)(2) хэсэгт хамаарах энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; -\pi \right]$. (USE-2018. Үндсэн долгион)
a) $2\sin\left(x + \dfrac(\pi)(3) \right) + \cos 2x = \sqrt3\cos x + 1$ тэгшитгэлийг шийд.
b) $\left[ -3\pi сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; -\dfrac(3\pi)(2) \right]$. (USE-2018. Үндсэн долгион)
b) $\left[ \pi сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; \dfrac(5\pi)(2) \right]$. (USE-2018. Үндсэн долгион)
a) $2\sin\left(x + \dfrac(\pi)(4) \right) + \cos 2x = \sqrt2\cos x + 1$ тэгшитгэлийг шийд.
b) $\left[ \pi сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; \dfrac(5\pi)(2) \right]$. (АШИГЛАЛТ-2018. Үндсэн давалгаа, нөөцийн өдөр)
a) $2\cos x - \sqrt3 \sin^2 x = 2\cos^3 x$ тэгшитгэлийг шийд.
b) $\left[ -\dfrac(7\pi)(2) сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; -2\pi \right]$. (АШИГЛАЛТ-2018. Үндсэн давалгаа, нөөцийн өдөр)
a) $2\cos x + \sin^2 x = 2\cos^3 x$ тэгшитгэлийг шийд.
b) $\left[ -\dfrac(9\pi)(2) сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; -3\pi \right]$. (АШИГЛАЛТ-2018. Үндсэн давалгаа, нөөцийн өдөр)
a) $2\sqrt2\sin \left(x + \dfrac(\pi)(3)\right) + 2\cos^2 x = 2 + \sqrt6 \cos x$ тэгшитгэлийг шийд.
b) $\left[ -3\pi сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; -\dfrac(3\pi)(2) \right]$. (АШИГЛАЛТ-2018. Үндсэн давалгаа, нөөцийн өдөр)
a) $x - 3\sqrt(x - 1) + 1 = 0$ тэгшитгэлийг шийд.
b) $\left[ \sqrt(3) сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; \sqrt(20) \right]$. (АШИГЛАЛТ-2018. Үндсэн давалгаа, нөөцийн өдөр)
a) $2x\cos x - 8\cos x + x - 4 = 0$ тэгшитгэлийг шийд.
b) $\left[ -\dfrac(\pi)(2);\ \pi \right]$ сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу. (ХЭРЭГЛЭЭ 2017, үндсэн давалгаа, нөөцийн өдөр)
a) $\log_3 (x^2 - 2x) = 1$ тэгшитгэлийг шийд.
b) $\left[ \log_2 0(,)2;\ \log_2 5 \right]$ сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу. (ХЭРЭГЛЭЭ 2017, үндсэн давалгаа, нөөцийн өдөр)
a) $\log_3 (x^2 - 24x) = 4$ тэгшитгэлийг шийд.
b) $\left[ \log_2 0(,)1;\ 12\sqrt(5) \right]$ сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу. (ХЭРЭГЛЭЭ 2017, үндсэн давалгаа, нөөцийн өдөр)
a) $0(,)4^(\sin x) + 2(,)5^(\sin x) = 2$ тэгшитгэлийг шийд.
b) $\left[ 2\pi;\ \dfrac(7\pi)(2) \right]$ сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу. (USE-2017, үндсэн долгион)
a) $\log_8 \left(7\sqrt(3) \sin x - \cos 2x - 10\right) = 0$ тэгшитгэлийг шийд.
b) $\left[ \dfrac(3\pi)(2);\ 3\pi \right]$ сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу. (USE-2017, үндсэн долгион)
a) $\log_4 \left(2^(2x) - \sqrt(3) \cos x - 6\sin^2 x\right) = x$ тэгшитгэлийг шийд.
b) $\left[ \dfrac(5\pi)(2);\ 4\pi \right]$ сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу. (USE-2017, үндсэн долгион)
a) $2\log_2^2 \left(\sin x\right) - 5 \log_2 \left(\sin x\right) - 3 = 0$ тэгшитгэлийг шийд.
b) $\left[ - 3\pi;\ - \dfrac(3\pi)(2) \right]$ сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу. (USE-2017, үндсэн долгион)
a) $81^(\cos x) - 12\cdot 9^(\cos x) + 27 = 0$ тэгшитгэлийг шийд.
b) $\left[ - 4\pi;\ - \dfrac(5\pi)(2) \right]$ сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу. (USE-2017, үндсэн долгион)
a) $8^x - 9 \cdot 2^(x + 1) + 2^(5 - x) = 0$ тэгшитгэлийг шийд.
b) $\left[ \log_5 2;\ \log_5 20 \right]$ сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу. (ХЭРЭГЛЭЭ 2017, эрт давалгаа)
a) $2\log^2_9 x - 3 \log_9 x + 1 = 0$ тэгшитгэлийг шийд.
b) $\left[ \sqrt(10);\ \sqrt(99) \right]$ сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу. (АШИГЛАЛТ 2016, үндсэн давалгаа, нөөцийн өдөр)
a) $6\log^2_8 x - 5 \log_8 x + 1 = 0$ тэгшитгэлийг шийд.
b) $\left[ 2;\ 2(,)5 \right]$ сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу. (АШИГЛАЛТ 2016, үндсэн давалгаа, нөөцийн өдөр)
a) $\sin 2x = 2\sin x + \sin \left(x + \dfrac(3\pi)(2) \right) + 1$ тэгшитгэлийг шийд.
b) $\left[ -4\pi;\ -\dfrac(5\pi)(2) \right]$ сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу. (АШИГЛАЛТ 2016, үндсэн давалгаа, нөөцийн өдөр)
a) $2\cos^2 x + 1 = 2\sqrt(2) \cos \left(\dfrac(3\pi)(2) - x \right)$ тэгшитгэлийг шийд.
b) $\left[ \dfrac(3\pi)(2);\ 3\pi \right]$ сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу. (USE-2016, үндсэн долгион)
a) $2\log^2_2 (2\cos x) - 9 \log_2 (2\cos x) + 4 = 0$ тэгшитгэлийг шийд.
b) $\left[ -2\pi;\ -\dfrac(\pi)(2) \right]$ сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу. (USE-2016, үндсэн долгион)
a) $8^x - 7 \cdot 4^x - 2^(x + 4) + 112 = 0$ тэгшитгэлийг шийд.
b) $\left[ \log_2 5;\ \log_2 11 \right]$ сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу. (Улсын нэгдсэн шалгалт 2016, эрт давалгаа)
a) $\cos 2x + \cos^2 \left(\dfrac(3\pi)(2) - x \right) = 0.25$ тэгшитгэлийг шийд.
b) $\left[ -4\pi;\ -\dfrac(5\pi)(2) \right]$ сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу. (Улсын нэгдсэн шалгалт 2016, эрт давалгаа)
a) $\dfrac(13\sin^2 x - 5\sin x)(13\cos x + 12) = 0$ тэгшитгэлийг шийд.
b) $\left[ -3\pi;\ -\dfrac(3\pi)(2) \right]$ сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу. (Улсын нэгдсэн шалгалт 2016, эрт давалгаа)
a) $\dfrac(\sin2x)(\sin\left(\dfrac(7\pi)(2) - x \right)) = \sqrt(2)$ тэгшитгэлийг шийд.
b) $\left$ сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу. (USE-2015, үндсэн долгион)
a) $4 \sin^2 x = \mathrm(tg) x$ тэгшитгэлийг шийд.
b) $\left[ - \pi;\ 0\right]$ сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу. (USE-2015, үндсэн долгион)
a) $3\cos 2x - 5\sin x + 1 = 0$ тэгшитгэлийг шийд.
b) $\left[ \pi;\ \dfrac(5\pi)(2)\right]$ сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу. (USE-2015, үндсэн долгион)
a) $\cos 2x - 5\sqrt(2)\cos x - 5 = 0$ тэгшитгэлийг шийд.
b) $\left[ -3\pi;\ -\dfrac(3\pi)(2)\right]$ сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу. (USE-2015, үндсэн долгион)
a) $\sin 2x + \sqrt(2) \sin x = 2\cos x + \sqrt(2)$ тэгшитгэлийг шийд.
b) $\left[ \pi;\ \dfrac(5\pi)(2)\right]$ сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу. (Улсын нэгдсэн шалгалт 2015, эрт давалгаа)
a) $2\cos^3 x - \cos^2 x + 2\cos x - 1 = 0$ тэгшитгэлийг шийд.
b) $\left[ 2\pi;\ \dfrac(7\pi)(2)\right]$ сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу. (Улсын нэгдсэн шалгалт 2015, эрт давалгаа)
a) $\mathrm(tg)^2 x + (1 + \sqrt(3)) \mathrm(tg) x + \sqrt(3) = 0$ тэгшитгэлийг шийд.
b) $\left[ \dfrac(5\pi)(2) сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу; \4\pi\баруун]$. (USE-2014, үндсэн долгион)
a) $2\sqrt(3) \cos^2\left(\dfrac(3\pi)(2) + x\right) - \sin 2x = 0$ тэгшитгэлийг шийд.
b) $\left[ \dfrac(3\pi)(2) сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу; \3\pi\баруун]$. (USE-2014, үндсэн долгион)
a) $\cos 2x + \sqrt(2) \sin\left(\dfrac(\pi)(2) + x\right) + 1 = 0$ тэгшитгэлийг шийд.
b) $\left[ -3\pi сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу; \ -\dfrac(3\pi)(2)\баруун]$. (USE-2014, үндсэн долгион)
a) $-\sqrt(2) \sin\left(-\dfrac(5\pi)(2) + x\right) \cdot \sin x = \cos x$ тэгшитгэлийг шийд.
b) $\left[ \dfrac(9\pi)(2) сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу; \6\pi\баруун]$. (Улсын нэгдсэн шалгалт 2014, эрт давалгаа)
a) $\sin 2x = \sin\left(\dfrac(\pi)(2) + x\right)$ тэгшитгэлийг шийд.
b) $\left[ -\dfrac(7\pi)(2) сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу; \ -\dfrac(5\pi)(2)\баруун]$. (USE-2013, үндсэн долгион)
a) $6\sin^2 x + 5\sin\left(\dfrac(\pi)(2) - x\right) - 2 = 0$ тэгшитгэлийг шийд.
b) $\left[ -5\pi сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу; \ - \dfrac(7\pi)(2)\баруун]$. (USE-2012, хоёр дахь давалгаа)

Даалгавар №1

Логик нь энгийн: одоо тригонометрийн функцууд илүү төвөгтэй аргументтай байгаагаас үл хамааран бид өмнөх шигээ хийх болно!

Хэрэв бид хэлбэрийн тэгшитгэлийг шийдвэл:

Дараа нь бид дараах хариултыг бичнэ.

Эсвэл (түүнээс хойш)

Харин одоо бидний үүргийг дараах илэрхийллээр гүйцэтгэж байна.

Дараа нь бид бичиж болно:

Та бүхэнтэй хийх бидний зорилго бол зүүн тал нь ямар ч "бохирдолгүй" байх явдал юм!

Тэднээс аажмаар салцгаая!

Эхлээд хуваагчийг хасъя: Үүнийг хийхийн тулд тэгш байдлыг дараах байдлаар үржүүлнэ.

Одоо үүнийг хоёр хэсэгт хуваах замаар салцгаая.

Одоо наймаас салцгаая:

Үүссэн илэрхийлэлийг 2 цуврал шийд хэлбэрээр бичиж болно (квадрат тэгшитгэлийн аналогоор бид ялгаварлагчийг нэмэх эсвэл хасах)

Бид хамгийн том сөрөг үндсийг олох хэрэгтэй! Бид цэгцлэх шаардлагатай нь тодорхой байна.

Эхлээд эхний ангийг харцгаая:

Хэрэв бид авбал үр дүнд нь эерэг тоо хүлээн авах нь тодорхой боловч тэд биднийг сонирхохгүй байна.

Тиймээс та үүнийг сөрөг хүлээж авах хэрэгтэй. Байцгаая.

Үндэс нь нарийссан үед:

Мөн бид хамгийн том сөрөг талыг олох хэрэгтэй!! Энэ нь сөрөг чиглэлд явах нь энд утгагүй болсон гэсэн үг юм. Мөн энэ цувралын хамгийн том сөрөг үндэс нь тэнцүү байх болно.

Одоо хоёр дахь цувралыг харцгаая:

Мөн бид дахин орлуулна: , дараа нь:

Сонирхолгүй!

Дараа нь цаашид нэмэгдүүлэх нь утгагүй болно! Үүнийг багасгацгаая! Дараа нь зөвшөөр:

Тохиромжтой!

Байцгаая. Дараа нь

Дараа нь - хамгийн том сөрөг үндэс!

Хариулт:

Даалгавар №2

Нарийн төвөгтэй косинусын аргументаас үл хамааран бид дахин шийддэг.

Одоо бид зүүн талд дахин илэрхийлж байна:

Хоёр талыг үржүүлнэ

Хоёр талыг нь хуваа

Үлдсэн зүйл бол тэмдэгийг хасахаас нэмэх болгон өөрчлөх замаар баруун тийш шилжүүлэх явдал юм.

Бид дахин 2 цуврал үндсийг авдаг, нэг нь, нөгөө нь хамт.

Бид хамгийн том сөрөг үндсийг олох хэрэгтэй. Эхний ангийг харцгаая:

Бид эхний сөрөг язгуурыг авах нь тодорхой бөгөөд энэ нь 1 цувралын хамгийн том сөрөг язгууртай тэнцүү байх болно.

Хоёр дахь цувралын хувьд

Эхний сөрөг язгуурыг мөн үед авах ба тэнцүү байх болно. Энэ нь тэгшитгэлийн хамгийн том сөрөг язгуур юм.

Хариулт: .

Даалгавар №3

Нарийн төвөгтэй шүргэгч аргументаас үл хамааран бид шийддэг.

Одоо энэ нь төвөгтэй биш юм шиг санагдаж байна, тийм ээ?

Өмнөх шигээ бид зүүн талд дараахь зүйлийг илэрхийлнэ.

Гайхалтай, энд зөвхөн нэг цуврал үндэс бий! Хамгийн том сөрөгийг дахин олъё.

Тавьчихвал гарах нь ойлгомжтой. Мөн энэ үндэс нь тэнцүү юм.

Хариулт:

Одоо дараах асуудлуудыг өөрөө шийдэж үзээрэй.

Гэрийн даалгавар эсвэл бие даан шийдвэрлэх 3 даалгавар.

Тэгшитгэлийг шийд.
Тэгшитгэлийг шийд.
Пи-ши-хамгийн бага-боломжтой язгуурын хариултанд.
Тэгшитгэлийг шийд.
Пи-ши-хамгийн бага-боломжтой язгуурын хариултанд.

Бэлэн үү? Шалгацгаая. Би бүхэл бүтэн шийдлийн алгоритмыг нарийвчлан тайлбарлахгүй, энэ нь дээр дурдсан хангалттай анхаарал татсан байх шиг байна.

За, бүх зүйл зөв үү? Өө, эдгээр муухай синусууд, тэдэнд үргэлж ямар нэгэн асуудал байдаг!

За, одоо та энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэж чадна!

Шийдэл, хариултыг шалгана уу:

Даалгавар №1

илэрхийлье

Хэрэв бид, оноос хойш, дараа нь тавьсан бол хамгийн бага эерэг язгуурыг олж авна

Хариулт:

Даалгавар №2

Хамгийн бага эерэг үндсийг -д авна.

Энэ нь тэнцүү байх болно.

Хариулт: .

Даалгавар №3

Авахдаа, авах үед.

Хариулт: .

Энэхүү мэдлэг нь танд шалгалтанд тулгарах олон асуудлыг шийдвэрлэхэд тусална.

Хэрэв та "5" үнэлгээ авахаар өргөдөл гаргаж байгаа бол нийтлэлийг уншихад л хангалттай дунд түвшинЭнэ нь илүү төвөгтэй тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд зориулагдсан болно (даалгавар С1).

ДУНДАЖ ТҮВШИН

Энэ нийтлэлд би тайлбарлах болно илүү төвөгтэй тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхмөн тэдний үндсийг хэрхэн сонгох вэ. Энд би дараахь сэдвээр зурах болно.

Анхан шатны тригонометрийн тэгшитгэл (дээрхийг үзнэ үү).

Илүү төвөгтэй тригонометрийн тэгшитгэлүүд нь дэвшилтэт асуудлуудын үндэс болдог. Тэд тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрээр шийдэх, тодорхой интервалд хамаарах энэ тэгшитгэлийн үндсийг олохыг шаарддаг.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь дараах хоёр дэд даалгавраас бүрдэнэ.

Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх
Үндэс сонголт

Хоёрдахь нь үргэлж шаардлагагүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй, гэхдээ ихэнх жишээн дээр сонгох шаардлагатай хэвээр байна. Гэхдээ хэрэв энэ нь шаардлагагүй бол бид таныг өрөвдөж чадна - энэ нь тэгшитгэл нь өөрөө нэлээд төвөгтэй гэсэн үг юм.

С1 асуудлуудад дүн шинжилгээ хийсэн миний туршлагаас харахад тэдгээр нь ихэвчлэн дараах ангилалд хуваагддаг.

Нарийн төвөгтэй байдлын дөрвөн ангиллын даалгавар (хуучин C1)

Үржүүлэгдэхүүн болгон бууруулсан тэгшитгэл.
Тэгшитгэлийг хэлбэр болгон бууруулсан.
Хувьсагчийг өөрчлөх замаар шийддэг тэгшитгэл.
Иррационал буюу хуваарийн улмаас язгуур нэмэлт сонгох шаардлагатай тэгшитгэл.

Энгийнээр хэлэхэд, хэрэв та баригдвал эхний гурван төрлийн тэгшитгэлийн нэг, тэгвэл өөрийгөө азтай гэж бод. Тэдний хувьд дүрмээр бол та тодорхой интервалд хамаарах үндсийг сонгох хэрэгтэй.

Хэрэв та 4-р төрлийн тэгшитгэлтэй тулгарвал та азтай байх болно: та үүнийг илүү урт, болгоомжтой хийх хэрэгтэй, гэхдээ энэ нь ихэвчлэн үндсийг сонгох шаардлагагүй байдаг. Гэсэн хэдий ч би дараагийн өгүүллээр энэ төрлийн тэгшитгэлд дүн шинжилгээ хийх бөгөөд үүнийг эхний гурван төрлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд зориулах болно.

Үржүүлэгдэхүүн болгон бууруулсан тэгшитгэл

Энэ төрлийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд та санаж байх ёстой хамгийн чухал зүйл юм

Практикаас харахад энэ мэдлэг нь дүрмээр бол хангалттай юм. Зарим жишээг харцгаая:

Жишээ 1. Багасгах ба давхар өнцгийн синусын томьёог ашиглан үржвэрлэх болгон бууруулсан тэгшитгэл

Тэгшитгэлийг шийд
Энэ тэгшитгэлийн зүсэлтийн дээрх бүх язгуурыг ол

Энд миний амласанчлан бууруулах томъёонууд ажилладаг:

Дараа нь миний тэгшитгэл дараах байдлаар харагдах болно.

Дараа нь миний тэгшитгэл дараах хэлбэрийг авна.

Богино хараатай оюутан хэлэхдээ: Одоо би хоёр талыг багасгаж, хамгийн энгийн тэгшитгэлийг олж, амьдралаас таашаал авах болно! Тэгээд тэр маш их алдаа гаргах болно!

САНААРАЙ: ТА ТРИГОНОМЕТРИЙН тэгшитгэлийн хоёр талыг хэзээ ч үл мэдэгдэх функцээр багасгаж болохгүй! ТЭГЭЭД ЧИ ҮНДЭСЭЭ АЛДАГДЛАА!

Тэгэхээр юу хийх вэ? Тийм ээ, энэ нь энгийн, бүгдийг нэг тал руу шилжүүлж, нийтлэг хүчин зүйлийг хас.

За, бид үүнийг хүчин зүйлд тооцсон, яараарай! Одоо шийдье:

Эхний тэгшитгэл нь үндэстэй:

Мөн хоёр дахь нь:

Энэ нь асуудлын эхний хэсгийг дуусгаж байна. Одоо та үндсийг сонгох хэрэгтэй:

Цоорхой нь дараах байдалтай байна.

Эсвэл үүнийг дараах байдлаар бичиж болно.

За, үндсийг нь авч үзье:

Эхлээд эхний ангитай ажиллацгаая (багаар бодоход энэ нь илүү энгийн!)

Бидний интервал бүхэлдээ сөрөг байдаг тул сөрөг бусыг авах шаардлагагүй, тэд сөрөг бус үндсийг өгөх болно.

Үүнийг авъя, тэгвэл - энэ нь хэтэрхий их байна, энэ нь цохихгүй.

Байг, тэгвэл би дахиж цохисонгүй.

Дахиад нэг оролдлого - тэгвэл - тийм ээ, би ойлголоо! Эхний үндэс олдлоо!

Би дахиад буудлаа: дараа нь би дахин цохилоо!

За дахиад нэг удаа: : - энэ бол аль хэдийн нислэг.

Тэгэхээр эхний цувралаас интервалд хамаарах 2 үндэс байна: .

Бид хоёр дахь цувралтай ажиллаж байна (бид барьж байна дүрмийн дагуу эрх мэдэлд):

Дутуу буулга!

Ахиад л үгүйлж байна!

Авчихсан!

Нислэг!

Тиймээс миний интервал дараах үндэстэй байна.

Энэ нь бидний бусад бүх жишээг шийдвэрлэх алгоритмыг ашиглах болно. Дахин нэг жишээгээр хамтдаа дадлага хийцгээе.

Жишээ 2. Бууруулах томьёог ашиглан үржвэрлэх болгон бууруулсан тэгшитгэл

Тэгшитгэлийг шийд

Шийдэл:

Дахин алдартай бууруулах томъёо:

Дахиж багасгах гэж бүү оролдоорой!

Эхний тэгшитгэл нь үндэстэй:

Мөн хоёр дахь нь:

Одоо дахин үндэс хайх.

Би хоёр дахь ангиас эхэлье, би өмнөх жишээнээс энэ талаар бүгдийг мэддэг болсон! Интервалд хамаарах үндэс нь дараах байдалтай байгаа эсэхийг шалгаарай.

Одоо эхний анги бөгөөд энэ нь илүү хялбар болсон:

Хэрэв - тохиромжтой

Хэрэв энэ нь бас зүгээр юм бол

Хэрэв энэ нь аль хэдийн нислэг болсон бол.

Дараа нь үндэс нь дараах байдалтай байна.

Бие даасан ажил. 3 тэгшитгэл.

За, техник нь танд ойлгомжтой байна уу? Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх нь тийм ч хэцүү биш юм шиг санагдаж байна уу? Дараа нь дараах асуудлуудыг өөрөө хурдан шийд, дараа нь бид бусад жишээнүүдийг шийдвэрлэх болно.

Тэгшитгэлийг шийд
Энэ тэгшитгэлийн интервалаас дээгүүр байгаа бүх язгуурыг ол.
Тэгшитгэлийг шийд
Зүссэн хэсгийн дээгүүр байрлах тэгшитгэлийн үндсийг заана уу
Тэгшитгэлийг шийд
Тэдгээрийн хооронд байгаа тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол.

Тэгшитгэл 1.

Мөн дахин бууруулах томъёо:

Эхний цуврал үндэс:

Хоёр дахь цуврал үндэс:

Бид цоорхойг сонгож эхэлнэ

Хариулт: , .

Тэгшитгэл 2. Бие даасан ажлыг шалгах.

Хүчин зүйлийн хувьд нэлээд төвөгтэй бүлэглэл (би давхар өнцгийн синусын томъёог ашиглах болно):

дараа нь эсвэл

Энэ бол ерөнхий шийдэл юм. Одоо бид үндсийг нь сонгох хэрэгтэй. Асуудал нь бид косинус нь дөрөвний нэгтэй тэнцэх өнцгийн яг утгыг хэлж чадахгүй байгаа явдал юм. Тиймээс, би нумын косинусаас салж чадахгүй - үнэхээр ичмээр юм!

Миний хийж чадах зүйл бол тийм, тийм, тэгвэл гэдгийг ойлгох явдал юм.

Хүснэгт үүсгэцгээе: интервал:

За, зовлонтой хайлтуудын үр дүнд бидний тэгшитгэл нь заасан интервал дээр нэг үндэстэй гэсэн сэтгэл дундуур дүгнэлтэд хүрсэн. \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi

Тэгшитгэл 3: Бие даасан ажлын тест.

Аймшигтай харагдах тэгшитгэл. Гэсэн хэдий ч давхар өнцгийн синусын томъёог ашиглан үүнийг маш энгийнээр шийдэж болно:

Үүнийг 2-оор бууруулъя:

Эхний гишүүнийг хоёр дахь, гурав дахь нь дөрөв дэх гишүүнтэй бүлэглэж, нийтлэг хүчин зүйлсийг авч үзье.

Эхний тэгшитгэл нь үндэсгүй нь тодорхой бөгөөд одоо хоёр дахь тэгшитгэлийг авч үзье.

Ерөнхийдөө би ийм тэгшитгэлийг шийдэх талаар бага зэрэг ярих болно, гэхдээ энэ нь гарч ирсэн тул хийх зүйл алга, би үүнийг шийдэх ёстой ...

Маягтын тэгшитгэл:

Энэ тэгшитгэлийг хоёр талыг дараахь байдлаар хуваах замаар шийднэ.

Тиймээс бидний тэгшитгэл нь нэг цуврал үндэстэй байна:

Бид интервалд хамаарах хүмүүсийг олох хэрэгтэй: .

Өмнө нь хийсэн шигээ дахин ширээ бүтээцгээе.

Хариулт: .

Тэгшитгэлийг дараах хэлбэрт оруулав.

За, одоо тэгшитгэлийн хоёр дахь хэсэг рүү шилжих цаг болжээ, ялангуяа би шинэ төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэл юунаас бүрдэх талаар шошгоо асгасан тул. Гэхдээ тэгшитгэл нь хэлбэртэй гэдгийг давтах нь зүйтэй

Хоёр талыг косинусаар хуваах замаар шийднэ.

Тэгшитгэлийг шийд
Зүссэн хэсгийн дээгүүр байрлах тэгшитгэлийн үндсийг заана уу.
Тэгшитгэлийг шийд
Тэдний хооронд байгаа тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу.

Жишээ 1.

Эхнийх нь маш энгийн. Баруун тийш шилжиж, давхар өнцгийн косинусын томъёог хэрэглэнэ.

Тиймээ! Маягтын тэгшитгэл: . Би хоёр хэсгийг нь хуваадаг

Бид root скрининг хийдэг:

Цоорхой:

Хариулт:

Жишээ 2.

Бүх зүйл маш энгийн: баруун талд байгаа хаалтуудыг нээцгээе:

Үндсэн тригонометрийн таних тэмдэг:

Давхар өнцгийн синус:

Эцэст нь бид:

Үндэс скрининг: интервал.

Хариулт: .

За, техник танд хэр таалагдаж байна, энэ нь хэтэрхий төвөгтэй биш гэж үү? Үгүй гэж найдаж байна. Бид нэн даруй тайлбар хийж болно: цэвэр хэлбэрээр нь шууд шүргэгчийн тэгшитгэлд хүргэдэг тэгшитгэлүүд маш ховор байдаг. Ерөнхийдөө энэ шилжилт (косинусаар хуваагдах) нь илүү төвөгтэй асуудлын зөвхөн нэг хэсэг юм. Танд дадлага хийх жишээ энд байна:

Тэгшитгэлийг шийд
Энэ тэгшитгэлийн зүсэлтийн дээрх бүх язгуурыг ол.

Шалгацгаая:

Тэгшитгэлийг нэн даруй шийдэж болно, хоёр талыг дараахь байдлаар хуваахад хангалттай.

Үндэс скрининг:

Хариулт: .

Ямар нэг байдлаар, бид саяхан судалж үзсэн төрлийн тэгшитгэлтэй тулгараагүй байна. Гэсэн хэдий ч, бид үүнийг өдөр гэж нэрлэхэд эрт байна: бидний цэгцэлж амжаагүй өөр нэг "давхарга" үлдсэн байна. Тэгэхээр:

Хувьсагчдыг өөрчлөх замаар тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Энд бүх зүйл ил тод байна: бид тэгшитгэлийг анхааралтай ажиглаж, аль болох хялбарчилж, орлуулалт хийж, шийдэж, урвуу орлуулалт хийдэг! Нэг үгээр хэлбэл бүх зүйл маш амархан. Үйлдлээр нь харцгаая:

Жишээ.

Тэгшитгэлийг шийд: .
Энэ тэгшитгэлийн зүсэлтийн дээрх бүх язгуурыг ол.

За, энд орлуулах нь өөрөө бидэнд санал болгож байна!

Дараа нь бидний тэгшитгэл дараах болж хувирна.

Эхний тэгшитгэл нь үндэстэй:

Хоёр дахь нь иймэрхүү байна:

Одоо интервалд хамаарах үндсийг олъё

Хариулт: .

Хамтдаа арай илүү төвөгтэй жишээг харцгаая:

Тэгшитгэлийг шийд
Өгөгдсөн тэгшитгэлийн язгуурыг тэдгээрийн дээр байрлахыг заана уу.

Энд орлуулах нь шууд харагдахгүй, үүнээс гадна энэ нь тийм ч тодорхой биш юм. Эхлээд бодоцгооё: бид юу хийж чадах вэ?

Жишээлбэл, бид төсөөлж чадна

Мөн тэр үед

Дараа нь миний тэгшитгэл дараах хэлбэртэй болно.

Одоо анхаарлаа хандуулаарай:

Тэгшитгэлийн хоёр талыг дараахь байдлаар хуваая.

Гэнэт та бид хоёр квадрат тэгшитгэлийн хамаатан садантай болсон! Орлуулъя, тэгвэл бид дараахыг авна.

Тэгшитгэл нь дараах үндэстэй.

Үндэс нь тааламжгүй хоёр дахь цуврал, гэхдээ юу ч хийж чадахгүй! Бид интервал дахь үндсийг сонгодог.

Үүнийг бид бас анхаарч үзэх хэрэгтэй

Түүнээс хойш, тэгээд

Хариулт:

Асуудлыг өөрөө шийдэхээсээ өмнө үүнийг бататгахын тулд танд өөр нэг дасгал байна:

Тэгшитгэлийг шийд
Тэдгээрийн хооронд байгаа тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол.

Энд та нүдээ нээлттэй байлгах хэрэгтэй: одоо бид тэг байж болох хуваагчтай боллоо! Тиймээс, та үндэст онцгой анхаарал хандуулах хэрэгтэй!

Юуны өмнө би тохирох орлуулалт хийх боломжтой тэгшитгэлийг өөрчлөх хэрэгтэй. Би одоо шүргэгчийг синус ба косинусын хувьд дахин бичихээс илүү сайн зүйл бодож чадахгүй байна.

Одоо би тригонометрийн үндсэн шинж чанарыг ашиглан косинусаас синус руу шилжих болно.

Эцэст нь би бүх зүйлийг нийтлэг зүйлд хүргэх болно:

Одоо би тэгшитгэл рүү шилжиж болно:

Гэхдээ цагт (өөрөөр хэлбэл, цагт).

Одоо бүх зүйл солиход бэлэн боллоо:

Дараа нь эсвэл

Гэсэн хэдий ч, хэрэв тийм бол, дараа нь нэгэн зэрэг гэдгийг анхаарна уу!

Үүнээс хэн зовж байна вэ? Шүргэгчийн асуудал нь косинус тэгтэй тэнцүү байх үед (тэгээр хуваагдах тохиолдол гардаг) тодорхойлогдоогүйд оршино.

Тиймээс тэгшитгэлийн үндэс нь:

Одоо бид интервал дахь үндсийг нь шүүж авна:


	- тохирно
	- хэтрүүлсэн

Тиймээс бидний тэгшитгэл интервал дээр нэг язгууртай бөгөөд энэ нь тэнцүү байна.

Та харж байна: хуваагчийн дүр төрх (яг шүргэгч шиг, үндэс нь тодорхой хүндрэлд хүргэдэг! Энд та илүү болгоомжтой байх хэрэгтэй!).

За, та бид хоёр тригонометрийн тэгшитгэлд дүн шинжилгээ хийж бараг дууслаа; хоёр асуудлыг бие даан шийдвэрлэхэд маш бага зүйл үлдсэн. Тэд энд байна.

Тэгшитгэлийг шийд
Энэ тэгшитгэлийн зүсэлтийн дээрх бүх язгуурыг ол.
Тэгшитгэлийг шийд
Зүссэн хэсгийн дээр байрлах энэ тэгшитгэлийн үндсийг заана уу.

Шийдсэн үү? Энэ их хэцүү биш гэж үү? Шалгацгаая:

Бид бууруулах томъёоны дагуу ажилладаг:
Тэгшитгэлд орлуулах:
Орлуулахад хялбар болгохын тулд бүгдийг косинусаар дахин бичье.
Одоо солиход хялбар боллоо:
Тэгшитгэлд шийдэл байхгүй тул энэ нь гадны үндэс болох нь тодорхой байна. Дараа нь:
Бид интервалд хэрэгтэй үндсийг хайж байна
Хариулт: .
Энд орлуулалт нэн даруй харагдана:
Дараа нь эсвэл

- тохирно! - тохирно!
- тохирно! - тохирно!
- маш их! - бас маш их!
Хариулт:

За, ингээд л боллоо! Гэхдээ тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх нь үүгээр дуусдаггүй; тэгшитгэлд иррациональ эсвэл янз бүрийн "нийлмэл хуваагч" агуулагдах үед бид хамгийн хэцүү тохиолдолд хоцордог. Ийм даалгаврыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар бид ахисан түвшний нийтлэлээс авч үзэх болно.

АХИСАН ТҮВШИН

Өмнөх хоёр нийтлэлд авч үзсэн тригонометрийн тэгшитгэлээс гадна бид илүү нарийн дүн шинжилгээ хийх шаардлагатай өөр ангиллын тэгшитгэлийг авч үзэх болно. Эдгээр тригонометрийн жишээнүүд нь үндэслэлгүй байдал эсвэл хуваагчийг агуулсан байдаг бөгөөд энэ нь тэдний шинжилгээг илүү төвөгтэй болгодог. Гэсэн хэдий ч та эдгээр тэгшитгэлтэй шалгалтын хуудасны С хэсэгт таарч магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч үүл бүр мөнгөн бүрхүүлтэй байдаг: ийм тэгшитгэлийн хувьд, дүрмээр бол түүний аль үндэс нь өгөгдсөн интервалд хамаарах вэ гэсэн асуулт гарч ирэхээ больсон. Бутны эргэн тойронд зодохгүй, харин тригонометрийн жишээнүүд рүү шууд орцгооё.

Жишээ 1.

Тэгшитгэлийг шийдэж, сегментэд хамаарах үндсийг ол.

Шийдэл:

Бид тэгтэй тэнцүү байх ёсгүй хуваагчтай! Тэгвэл энэ тэгшитгэлийг шийдэх нь системийг шийдэхтэй адил юм

Тэгшитгэл бүрийг шийдье:

Одоо хоёр дахь нь:

Одоо цувралыг харцгаая:

Энэ сонголт нь бидэнд тохирохгүй нь тодорхой байна, учир нь энэ тохиолдолд бидний хуваагч тэг болж өөрчлөгдөнө (хоёр дахь тэгшитгэлийн үндэсийн томъёог үзнэ үү)

Хэрэв бүх зүйл эмх цэгцтэй байгаа бөгөөд хуваагч нь тэг биш юм! Тэгвэл тэгшитгэлийн үндэс нь дараах байдалтай байна: , .

Одоо бид интервалд хамаарах үндсийг сонгоно.


	- тохиромжгүй	- тохирно
	- тохирно	- тохирно
	хэтрүүлэх	хэтрүүлэх

Дараа нь үндэс нь дараах байдалтай байна.

Та харж байна уу, хуваарийн хэлбэрээр бага зэргийн эвдрэл гарч ирсэн нь тэгшитгэлийн шийдэлд ихээхэн нөлөөлсөн: бид хуваагчийг хүчингүй болгосон хэд хэдэн үндэсийг устгасан. Хэрэв та үндэслэлгүй тригонометрийн жишээнүүдийг олж харвал бүх зүйл бүр ч төвөгтэй болно.

Жишээ 2.

Тэгшитгэлийг шийд:

Шийдэл:

Ядаж үндсийг нь авах шаардлагагүй, энэ нь сайн хэрэг! Эхлээд тэгшитгэлийг иррациональ байдлаас үл хамааран шийдье.

Тэгэхээр энэ бүгд мөн үү? Үгүй ээ, харамсалтай нь, энэ нь хэтэрхий хялбар байх болно! Үндэс дор зөвхөн сөрөг бус тоо гарч болно гэдгийг бид санах ёстой. Дараа нь:

Энэ тэгш бус байдлын шийдэл нь:

Одоо эхний тэгшитгэлийн язгуурын нэг хэсэг нь тэгш бус байдал хангаагүй газар санамсаргүйгээр дууссан эсэхийг олж мэдэх л үлдлээ.

Үүнийг хийхийн тулд та хүснэгтийг дахин ашиглаж болно:


	: , Гэхдээ	Үгүй!
		Тийм ээ!
		Тийм ээ!

Тиймээс миний нэг үндэс "унасан"! Хэрэв та үүнийг тавиад байвал энэ нь гарч ирнэ. Дараа нь хариултыг дараах байдлаар бичиж болно.

Хариулт:

Та харж байна уу, үндэс нь илүү их анхаарал шаарддаг! Үүнийг илүү төвөгтэй болгоё: одоо миний үндэс дор тригонометрийн функцтэй байцгаая.

Жишээ 3.

Өмнөх шигээ: эхлээд тус бүрийг тусад нь шийдэж, дараа нь бид юу хийснээ бодох болно.

Одоо хоёр дахь тэгшитгэл:

Одоо хамгийн хэцүү зүйл бол эхний тэгшитгэлийн үндсийг орлуулах юм бол арифметик язгуур дор сөрөг утгууд гарч байгаа эсэхийг олж мэдэх явдал юм.

Энэ тоог радиан гэж ойлгох ёстой. Радиан нь ойролцоогоор градус тул радианууд градусын дарааллаар байна. Энэ бол хоёрдугаар улирлын булан юм. Хоёрдугаар улирлын косинусын тэмдэг юу вэ? Хасах. Синус яах вэ? Дээрээс нь. Тэгэхээр бид илэрхийллийн талаар юу хэлж чадах вэ:

Энэ нь тэгээс бага байна!

Энэ нь тэгшитгэлийн үндэс биш гэсэн үг юм.

Одоо цаг нь болсон.

Энэ тоог тэгтэй харьцуулж үзье.

Котангенс нь дөрөвний нэгээр буурч буй функц юм (аргумент бага байх тусам котангенс их болно). Радианууд нь ойролцоогоор градус юм. Нэг цагт

оноос хойш, дараа нь, тиймээс
,

Хариулт: .

Энэ нь илүү төвөгтэй болж болох уу? Гуйя! Хэрэв үндэс нь тригонометрийн функц хэвээр байгаа бол тэгшитгэлийн хоёр дахь хэсэг нь дахин тригонометрийн функц байвал илүү хэцүү байх болно.

Тригонометрийн жишээ олон байх тусмаа сайн, доороос үзнэ үү.

Жишээ 4.

Хязгаарлагдмал косинусын улмаас үндэс нь тохирохгүй

Одоо хоёр дахь нь:

Үүний зэрэгцээ язгуурын тодорхойлолтоор:

Бид нэгжийн тойргийг санах хэрэгтэй: тухайлбал, синус нь тэгээс бага байдаг хэсгүүд. Эдгээр хороолол юу вэ? Гурав, дөрөв дэх. Дараа нь бид гурав, дөрөвдүгээр улиралд орших эхний тэгшитгэлийн шийдлүүдийг сонирхох болно.

Эхний цуврал нь гурав, дөрөвдүгээр улирлын уулзвар дээр хэвтэж буй үндсийг өгдөг. Хоёрдахь цуврал нь түүний эсрэг талд байрладаг - эхний ба хоёрдугаар улирлын хил дээр үндэс суурь үүсгэдэг. Тиймээс энэ цуврал бидэнд тохирохгүй байна.

Хариулт: ,

Бас дахин "Хэцүү үндэслэлгүй" тригонометрийн жишээнүүд. Бид язгуурын доор тригонометрийн функцийг дахин оруулаад зогсохгүй, энэ нь хуваагч дээр байна!

Жишээ 5.

За, юу ч хийж чадахгүй - бид өмнөх шигээ хийдэг.

Одоо бид хуваагчтай ажиллаж байна:

Би тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдэхийг хүсэхгүй байгаа тул би ухаалаг зүйл хийх болно: Би язгуурын цувааг авч, тэгш бус байдалд орлуулах болно.

Хэрэв - тэгш байвал бидэнд:

Учир нь бүх өнцгүүд дөрөвдүгээр улиралд оршдог. Мөн дахин ариун асуулт: 4-р улиралд синусын шинж тэмдэг юу вэ? Сөрөг. Дараа нь тэгш бус байдал

Хэрэв -сондгой бол:

Өнцөг аль улиралд байрлах вэ? Энэ бол хоёрдугаар улирлын булан юм. Дараа нь бүх булангууд нь дахин хоёрдугаар улирлын булангууд юм. Тэндхийн синус эерэг байна. Зөвхөн танд хэрэгтэй зүйл! Тиймээс цуврал:

Тохиромжтой!

Бид хоёр дахь цуврал үндэстэй ижил аргаар харьцдаг.

Бид тэгш бус байдлыг орлуулна:

Хэрэв - тэгш, тэгвэл

Эхний улирлын булангууд. Тэнд байгаа синус эерэг, энэ нь цуврал тохиромжтой гэсэн үг юм. Одоо - сондгой бол:

бас таарч байна!

За, одоо бид хариултаа бичнэ үү!

Хариулт:

Энэ нь магадгүй хамгийн их хөдөлмөр шаардсан тохиолдол байсан байх. Одоо би танд бие даан шийдвэрлэх асуудлуудыг санал болгож байна.

Сургалт

Хэсэгт хамаарах тэгшитгэлийн бүх язгуурыг шийдэж ол.

Шийдэл:

Эхний тэгшитгэл:
эсвэл
Үндэсний ODZ:
Хоёр дахь тэгшитгэл:
Интервалд хамаарах үндсийг сонгох
Хариулт:

Эсвэл
эсвэл
Гэхдээ

авч үзье: . Хэрэв - тэгш, тэгвэл
- тохирохгүй байна!
Хэрэв - сондгой бол: - тохиромжтой!
Энэ нь бидний тэгшитгэл дараахь үндэстэй гэсэн үг юм.
эсвэл
Интервал дахь үндэс сонгох:


	- тохиромжгүй	- тохирно
	- тохирно	- маш их
	- тохирно	маш их

Хариулт: , .

Эсвэл
Үүнээс хойш шүргэгч тодорхойлогдоогүй байна. Бид энэ цуврал үндэсийг нэн даруй устгана!

Хоёр дахь хэсэг:

Үүний зэрэгцээ, DZ-ийн дагуу үүнийг шаарддаг

Бид эхний тэгшитгэлээс олдсон үндсийг шалгана.

Хэрэв тэмдэг нь:

Тангенс эерэг байх эхний дөрөвний өнцөг. Тохирохгүй байна!
Хэрэв тэмдэг нь:

Дөрөвдүгээр үеийн булан. Тэнд шүргэгч сөрөг байна. Тохиромжтой. Бид хариултыг бичнэ:

Хариулт: , .

Энэ өгүүлэлд бид тригонометрийн нарийн төвөгтэй жишээнүүдийг хамтдаа үзсэн боловч та тэгшитгэлийг өөрөө шийдэх хэрэгтэй.

ХУРААНГУЙ БА ҮНДСЭН Формулууд

Тригонометрийн тэгшитгэл гэдэг нь үл мэдэгдэх нь тригонометрийн функцийн тэмдгийн дор байдаг тэгшитгэл юм.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх хоёр арга байдаг.

Эхний арга бол томъёог ашиглах явдал юм.

Хоёр дахь арга нь тригонометрийн тойрог юм.

Энэ нь өнцгийг хэмжих, тэдгээрийн синус, косинус гэх мэтийг олох боломжийг олгоно.


	- тохирно!	- тохирно!
	- тохирно!	- тохирно!
	- маш их!	- бас маш их!