Механик системийн тэнцвэрт байдалд зайлшгүй шаардлагатай нөхцөл. Статик

Механик тэнцвэр

Механик тэнцвэр- механик системийн төлөв нь түүний бөөмс тус бүрд үйлчлэх бүх хүчний нийлбэр тэгтэй тэнцүү ба дурын эргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад биед үзүүлэх бүх хүчний моментуудын нийлбэр мөн тэгтэй тэнцүү байна.

Тэнцвэрийн төлөвт бие нь сонгосон жишиг хүрээн дэх тайван байдалд байна (хурдны вектор нь тэг) шулуун шугамаар жигд хөдөлдөг эсвэл шүргэгч хурдатгалгүйгээр эргэдэг.

Системийн энергийн тодорхойлолт

Эрчим хүч ба хүч нь үндсэн харилцаатай байдаг тул энэ тодорхойлолт нь эхнийхтэй тэнцүү юм. Гэсэн хэдий ч энергийн талаархи тодорхойлолтыг тэнцвэрийн байрлалын тогтвортой байдлын талаар мэдээлэл өгөхийн тулд сунгаж болно.

Тэнцвэрийн төрлүүд

Нэг зэрэглэлийн эрх чөлөө бүхий системийн жишээг өгье. Энэ тохиолдолд тэнцвэрийн байрлалд хангалттай нөхцөл нь судалж буй цэг дээр орон нутгийн экстремум байх болно. Мэдэгдэж байгаагаар дифференциалагдах функцийн орон нутгийн экстремумын нөхцөл нь түүний анхны дериватив нь тэгтэй тэнцүү байх явдал юм. Энэ цэг нь хамгийн бага эсвэл хамгийн их байх хугацааг тодорхойлохын тулд түүний хоёр дахь деривативыг шинжлэх хэрэгтэй. Тэнцвэрийн байрлалын тогтвортой байдал нь дараах сонголтуудаар тодорхойлогддог.

• тогтворгүй тэнцвэр;
• тогтвортой тэнцвэр;
• хайхрамжгүй тэнцвэр.

Тогтворгүй тэнцвэр

Хоёрдахь дериватив нь сөрөг байх тохиолдолд системийн боломжит энерги нь орон нутгийн хамгийн их төлөвт байна. Энэ нь тэнцвэрийн байрлал гэсэн үг юм тогтворгүй. Хэрэв систем бага зайд шилжсэн бол системд үйлчилж буй хүчний улмаас хөдөлгөөнөө үргэлжлүүлнэ.

Тогтвортой тэнцвэр

Хоёр дахь дериватив > 0: орон нутгийн минимум дахь боломжит энерги, тэнцвэрийн байрлал тогтвортой(Тэнцвэрийн тогтвортой байдлын тухай Лагранжийн теоремыг үзнэ үү). Хэрэв системийг бага зайд нүүлгэн шилжүүлбэл тэнцвэрт байдалдаа буцаж ирнэ. Биеийн хүндийн төв нь хөрш зэргэлдээх бүх байрлалтай харьцуулахад хамгийн бага байрлалыг эзэлдэг бол тэнцвэр тогтвортой байна.

хайхрамжгүй тэнцвэр

Хоёрдахь дериватив = 0: энэ мужид энерги өөрчлөгдөөгүй, тэнцвэрийн байрлал байна хайхрамжгүй. Хэрэв системийг бага зайд шилжүүлсэн бол энэ нь шинэ байрлалд үлдэх болно.

Олон тооны эрх чөлөөний зэрэгтэй системүүдийн тогтвортой байдал

Хэрэв систем нь хэд хэдэн зэрэглэлийн эрх чөлөөтэй бол зарим чиглэлд шилжихэд тэнцвэр тогтвортой, харин заримд нь тогтворгүй байдаг. Ийм нөхцөл байдлын хамгийн энгийн жишээ бол "эмээл" эсвэл "дамжуулах" (энэ газарт зураг байрлуулах нь зүйтэй юм).

Хэд хэдэн зэрэгтэй эрх чөлөөний тогтолцооны тэнцвэр тогтвортой байж л тогтвортой байх болно бүх чиглэлд.

Викимедиа сан. 2010 он.

Бусад толь бичгүүдээс "Механик баланс" гэж юу болохыг харна уу.

механик тэнцвэр- mechaninė pusiausvyra statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. механик тэнцвэрт байдал vok. механикч Глейхгевихт, n rus. механик тэнцвэрт байдал, n pranc. équilibre mécanique, m … Физикос терминų žodynas

- ... Википедиа

Фазын шилжилт I зүйл ... Википедиа

Термодинамик системээс тусгаарлагдсан нөхцөлд хангалттай их хугацааны дараа аяндаа ирдэг төлөв байдал. орчин, үүний дараа системийн төлөвийн параметрүүд цаг хугацааны явцад өөрчлөгдөхгүй. Тусгаарлалт... ... Зөвлөлтийн агуу нэвтэрхий толь бичиг

ТЭНЦВЭР- (1) биенд үйлчлэх R. хүчний үр дагавар болох биеийн хөдөлгөөнгүй байдлын механик төлөв (биед үйлчлэх бүх хүчний нийлбэр тэгтэй тэнцүү байх үед, өөрөөр хэлбэл энэ нь хурдатгал үүсгэдэггүй) . R. нь дараахь байдлаар ялгагдана: а) тогтвортой, ... ...-аас хазайх үед. Том Политехникийн нэвтэрхий толь бичиг

Механик нөхцөл өгөгдсөн лавлагааны системтэй харьцуулахад түүний бүх цэгүүд хөдөлгөөнгүй байдаг систем. Хэрэв энэ лавлагааны систем инерциал байвал R.M-г дуудна. үнэмлэхүй, өөрөөр хэлбэл харьцангуй. Дараа нь бие махбодийн зан үйлээс хамааран... Том нэвтэрхий толь бичиг Политехникийн толь бичиг

Термодинамик тэнцвэр гэдэг нь бүх химийн, тархалт, цөмийн болон бусад процессуудын цэг бүрт урагшлах урвалын хурд нь урвуу урвалын хурдтай тэнцүү байдаг тусгаарлагдсан термодинамик системийн төлөв юм. Термодинамик... ... Википедиа

Тэнцвэр- сонголтоос үл хамааран хувьсагч нь системийн бүрэн тайлбартай тогтмол хэвээр байх үед бодисын хамгийн их магадлалтай макро төлөв. Тэнцвэрийг ялгадаг: механик, термодинамик, химийн, фаз гэх мэт: Хараач... ... нэвтэрхий толь бичигметаллургийн салбарт

Агуулга 1 Сонгодог тодорхойлолт 2 Системийн энергиээр дамжуулан тодорхойлох 3 Тэнцвэрийн төрлүүд ... Википедиа

Фазын шилжилт Энэ нийтлэл нь Термодинамикийн цувралын нэг хэсэг юм. Фазын тухай ойлголт Фазын тэнцвэрт байдал Квантын фазын шилжилт Термодинамикийн хэсгүүд Термодинамикийн зарчмууд Төлөвийн тэгшитгэл ... Википедиа

Механик системийн тэнцвэр- энэ нь механик системийн бүх цэгүүд авч үзэж буй лавлах системтэй харьцуулахад тайван байх төлөв юм. Хэрэв лавлагаа систем инерциал байвал тэнцвэрт байдал гэж нэрлэдэг үнэмлэхүй, хэрэв инерциал бус бол - хамаатан садан.

Тэнцвэрийн нөхцлийг туйлын олох хатууүүнийг оюун санааны хувьд маш олон тооны жижиг элементүүдэд хуваах шаардлагатай бөгөөд тэдгээр нь тус бүрийг материаллаг цэгээр илэрхийлж болно. Эдгээр бүх элементүүд бие биетэйгээ харилцан үйлчилдэг - эдгээр харилцан үйлчлэлийн хүчийг нэрлэдэг дотоод. Үүнээс гадна гадны хүч нь биеийн хэд хэдэн цэг дээр үйлчилж болно.

Ньютоны хоёр дахь хуулийн дагуу цэгийн хурдатгал тэг байхын тулд (мөн тайван байдалд байгаа цэгийн хурдатгал тэг байх) энэ цэгт үйлчлэх хүчний геометрийн нийлбэр тэг байх ёстой. Хэрэв бие тайван байдалд байгаа бол түүний бүх цэгүүд (элементүүд) мөн амарч байна. Тиймээс биеийн аль ч цэгийн хувьд бид дараахь зүйлийг бичиж болно.

үйлчилж буй бүх гадаад ба дотоод хүчний геометрийн нийлбэр хаана байна бибиеийн th элемент.

Тэгшитгэл нь бие тэнцвэрт байдалд байхын тулд энэ биеийн аль ч элементэд үйлчлэх бүх хүчний геометрийн нийлбэр тэгтэй тэнцүү байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай гэсэн үг юм.

Эндээс биеийн (биеийн систем) тэнцвэрийн эхний нөхцөлийг олж авахад хялбар байдаг. Үүнийг хийхийн тулд биеийн бүх элементүүдийн тэгшитгэлийг нэгтгэн дүгнэхэд хангалттай.

.

Ньютоны гурав дахь хуулийн дагуу хоёр дахь нийлбэр нь тэгтэй тэнцүү байна: системийн бүх дотоод хүчний векторын нийлбэр нь тэгтэй тэнцүү байна, учир нь аливаа дотоод хүч нь хэмжээтэй тэнцүү, чиглэлийн эсрэг хүчтэй тохирч байна.

Тиймээс,

.

Хатуу биеийн тэнцвэрт байдлын эхний нөхцөл(биеийн системүүд)Энэ нь биед үзүүлэх бүх гадны хүчний геометрийн нийлбэрийн тэгтэй тэнцүү байна.

Энэ нөхцөл шаардлагатай боловч хангалттай биш юм. Геометрийн нийлбэр нь тэгтэй тэнцүү хос хүчний эргэлтийн үйлдлийг санаж үүнийг шалгахад хялбар байдаг.

Хатуу биеийн тэнцвэрт байдлын хоёр дахь нөхцөлЭнэ нь аливаа тэнхлэгтэй харьцуулахад биед үйлчлэх бүх гадны хүчний моментуудын нийлбэрийн тэгтэй тэнцүү байна.

Тиймээс, дурын тооны гадны хүчний хувьд хатуу биетийн тэнцвэрийн нөхцөл дараах байдалтай байна.

.

Би авч үзэх болно материаллаг цэг, хөдөлгөөн нь зөвхөн нэг зэрэглэлийн эрх чөлөөтэй байхаар хязгаарлагддаг.

Энэ нь түүний байрлалыг х координат гэх мэт нэг хэмжигдэхүүнийг ашиглан тодорхойлж болно гэсэн үг юм. Жишээ нь босоо хавтгайд нугалсан тогтмол утсан дагуу үрэлтгүйгээр гулсаж буй бөмбөг юм (Зураг 26.1а).

Өөр нэг жишээ бол пүршний төгсгөлд бэхлэгдсэн бөмбөг, хэвтээ чиглүүлэгч рүү үрэлтгүйгээр гулсдаг (Зураг 26.2, а).

Бөмбөг дээр консерватив хүч үйлчилдэг: эхний тохиолдолд энэ нь таталцлын хүч, хоёр дахь тохиолдолд энэ нь гажигтай пүршний уян харимхай хүч юм. Боломжит энергийн графикийг Зураг дээр үзүүлэв. 26.1, b ба 26.2, b.

Бөмбөлгүүд утсан дагуу үрэлтгүйгээр хөдөлдөг тул утас нь бөмбөгөнд үйлчлэх хүч нь хоёр тохиолдолд бөмбөгний хурдтай перпендикуляр байдаг тул бөмбөг дээр ямар ч ажил хийдэггүй. Тиймээс эрчим хүчний хэмнэлт явагдана:

(26.1)-ээс үзвэл, кинетик энергиХөгжилтэй энергийн бууралтаас болж л нэмэгдэх боломжтой. Тиймээс хэрэв бөмбөг нь хурд нь тэг, боломжит энерги нь хамгийн бага утгатай байвал гадны нөлөөлөлгүйгээр тэр хөдөлж чадахгүй, өөрөөр хэлбэл тэнцвэрт байдалд байх болно.

U-ийн минимум нь график дээрх ижил утгатай тохирч байна (Зураг 26.2-т хэв гажилтгүй багийн урт байна) Хамгийн бага боломжит энергийн нөхцөл нь дараах хэлбэртэй байна.

t (22.4)-ийн дагуу нөхцөл (26.2) нь дараах байдалтай тэнцүү байна

(U нь зөвхөн нэг хувьсагчийн функц байх тохиолдолд). Тиймээс хамгийн бага боломжит энергитэй тохирох байрлал нь биед үйлчлэх хүч нь тэг байх шинж чанартай байдаг.

Зурагт үзүүлсэн тохиолдолд. 26.1, (26.2) ба (26.3) нөхцөлүүд нь x-тэй тэнцүү (өөрөөр хэлбэл, U-ийн хамгийн их хувьд) хувьд бас хангагдана. Энэ үнэ цэнээр тодорхойлсон бөмбөгний байрлал нь мөн тэнцвэртэй байх болно. Гэсэн хэдий ч энэ тэнцвэр нь тэнцвэртэй байдлаас ялгаатай нь тогтворгүй байх болно: бөмбөгийг энэ байрлалаас бага зэрэг арилгахад хангалттай бөгөөд бөмбөгийг байрлалаас холдуулах хүч гарч ирнэ. Бөмбөгийг тогтвортой тэнцвэрийн байрлалаас нүүлгэн шилжүүлэх үед үүсэх хүчнүүд нь бөмбөгийг тэнцвэрийн байрлал руу буцаах хандлагатай байхаар чиглэгддэг.

Боломжит энергийг илэрхийлдэг t функцийн төрлийг мэдсэнээр бид бөөмийн хөдөлгөөний мөн чанарын талаар хэд хэдэн дүгнэлт хийж болно. Үүнийг Зураг дээр үзүүлсэн графикаар тайлбарлая. 26.1, б. Хэрэв нийт энерги нь зурагт заасан утгатай байвал бөөмс нь хязгаараас хязгаар хүртэл, эсвэл хязгаарт шилжих боломжтой. Боломжит энерги нь нийт энергиэс их байх боломжгүй (хэрэв ийм зүйл тохиолдвол кинетик энерги сөрөг болно) тул бөөмс нь бүс нутагт нэвтэрч чадахгүй. Тиймээс тухайн бүс нутаг нь нийт энергийн өгөгдсөн хэмжээгээр бөөмс нэвтэрч чадахгүй болзошгүй саадыг илэрхийлдэг. Энэ газрыг боломжит худаг гэж нэрлэдэг.

Хэрэв бөөмс хөдөлгөөний явцад хязгааргүйд хүрч чадахгүй бол хөдөлгөөнийг төгсгөлтэй гэж нэрлэдэг. Хэрэв бөөмс хүссэн хэмжээгээрээ явж чадвал хөдөлгөөнийг хязгааргүй гэж нэрлэдэг. Боломжит худгийн бөөмс хязгаарлагдмал хөдөлгөөнд ордог. Сөрөгтэй бөөмийн хөдөлгөөн бүрэн энергитатах хүчний төв талбарт (энэ нь боломжит энерги хязгааргүйд алга болдог гэж үздэг).

Тохиромжтой холболттой системийг тэнцвэржүүлэхийн тулд шаардлагатай бөгөөд хангалттай буюу. (7)

Ерөнхий координатын хэлбэлзэл нь бие биенээсээ хамааралгүй бөгөөд ерөнхийдөө тэгтэй тэнцүү биш тул дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай.
,
,…,
.

Голономик хязгаарлалттай, хөдөлгөөнгүй, хамгийн тохиромжтой хязгаарлалттай системийн тэнцвэрт байдлын хувьд сонгосон ерөнхий координатад тохирох бүх ерөнхий хүч тэгтэй тэнцүү байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

Боломжит хүчний тохиолдол:

Хэрэв систем нь боломжит хүчний талбарт байгаа бол

,
,…,

,
,…,

Өөрөөр хэлбэл, системийн тэнцвэрийн байрлал нь зөвхөн ерөнхий координатын утгуудын хувьд л хүчин чадалтай байж болно. Уба боломжит энерги Пхэт үнэ цэнэтэй ( хамгийн ихэсвэл мин).

Тэнцвэрийн тогтвортой байдлын тухай ойлголт.

Системийн тэнцвэрт байдалд байж болох байрлалуудыг тодорхойлсны дараа эдгээр байрлалуудын аль нь хэрэгжих боломжтой, аль нь боломжгүй болохыг тодорхойлох боломжтой, өөрөөр хэлбэл аль байрлал тогтвортой, аль нь тогтворгүй болохыг тодорхойлох боломжтой.

Ерөнхийдөө шаардлагатай тэнцвэрийн тогтвортой байдлын шинж тэмдэг Ляпуновын хэлснээр дараах байдлаар томъёолж болно.

Ерөнхий координат ба тэдгээрийн хурдны модулийн жижиг утгыг өгөх замаар системийг тэнцвэрийн байрлалаас гаргацгаая. Хэрэв системийг цаашид авч үзэхэд ерөнхий координатууд болон тэдгээрийн хурдууд нь жижиг хэмжээтэй хэвээр байвал, өөрөөр хэлбэл систем тэнцвэрийн байрлалаас хол зөрөхгүй бол ийм тэнцвэрийн байрлал тогтвортой байна.

Тэнцвэрийн тогтвортой байдлын хангалттай нөхцөл систем тодорхойлогддог Лагранж-Дирихлетийн теорем :

Хэрэв хамгийн тохиромжтой холболттой механик системийн тэнцвэрт байдалд потенциал энерги нь хамгийн бага утгатай байвал ийм тэнцвэрийн байрлал тогтвортой байна.

,
- тогтвортой.

§ 107 ба (35) эсвэл (38)-аас (16) тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр үзүүлье.

§ 74-т заасан хуулиудын үр дагавар болох эдгээр тэгшитгэлээс статикийн бүх анхны үр дүнг олж авсныг харуулъя.

1. Хэрэв механик систем тайван байдалд байгаа бол түүний бүх цэгүүдийн хурд 0-тэй тэнцүү байх тул О нь дурын цэг юм. Дараа нь (40) тэгшитгэл нь:

Тиймээс (40) нөхцөл нь аливаа механик системийн тэнцвэрт байдалд зайлшгүй шаардлагатай нөхцөл юм. Энэ үр дүн нь ялангуяа § 2-т тодорхойлсон хатуурах зарчмыг агуулдаг.

Гэхдээ аливаа системийн хувьд нөхцөл (40) нь тэнцвэрийн нөхцөл хангалтгүй байх нь ойлгомжтой. Жишээлбэл, Зураг дээр үзүүлсэн бол. 274 цэг нь чөлөөтэй, дараа нь хүчний нөлөөн дор тэд бие бие рүүгээ хөдөлж чадна, гэхдээ эдгээр хүчний нөхцөл (40) хангагдана.

Механик системийн тэнцвэрт байдалд зайлшгүй шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцлийг § 139, 144-т үзүүлнэ.

2. Нөхцөл (40) нь туйлын хатуу биет үйлчилж байгаа хүчний хувьд зайлшгүй шаардлагатай төдийгүй хангалттай тэнцвэрийн нөхцөл гэдгийг баталъя. Чөлөөт хатуу биет тайван байдалд байгаа нөхцөлд (40) нөхцөлийг хангасан хүчний системээр үйлчилж эхлэе, энд O нь дурын цэг, тухайлбал, С цэг юм. Дараа нь (40) тэгшитгэлүүд өгөгддөг ба бие нь Эхлээд тайван байдалд байсан, дараа нь С цэг дээр хөдөлгөөнгүй, бие нь зөвхөн тодорхой агшин зуурын тэнхлэгийн эргэн тойронд c өнцгийн хурдтайгаар эргэлдэж чадна (§ 60-ыг үз). Дараа нь (33) томъёоны дагуу бие нь . Гэхдээ векторын тэнхлэг рүү чиглэсэн проекц байдаг бөгөөд үүнээс хойш, хаанаас ч энэ нь дагах бөгөөд өөрөөр хэлбэл (40) нөхцөл хангагдсан үед бие тайван хэвээр байна.

3. Өмнөх үр дүнгээс, тухайлбал, § 2-т заасан 1 ба 2-р заалтуудыг дагаж мөрддөг, учир нь Зураг дээр дүрсэлсэн хоёр хүч нь тодорхой байна. 2, нөхцөл (40)-ийг хангаж, тэнцвэртэй байх ба хэрэв бид биед үйлчлэх хүчнүүдэд тэнцвэртэй хүчний системийг нэмж (эсвэл тэдгээрээс хасах) бол нөхцөлийг (40) хангаж байвал эдгээр нөхцөлүүд ч, тэгшитгэлүүд ч байхгүй болно. 40), биеийн хөдөлгөөнийг тодорхойлох нь өөрчлөгдөхгүй.