Програмистуудад зориулсан математик: магадлалын онол. Магадлалын онол

Мөн хийх даалгавар байх болно бие даасан шийдвэр, үүний хариултыг харж болно.

Үйл явдлын төрөл ба тэдгээрийн үүсэх магадлалын талаархи магадлалын онол

Магадлалын онол нь үйл явдлын төрөл, тэдгээрийн үүсэх магадлалыг судалдаг. Магадлалын онол үүссэн нь 17-р зууны дунд үеэс математикчид мөрийтэй тоглоомчдын тавьсан асуудлыг сонирхож, хожлын харагдах байдал зэрэг үйл явдлуудыг судалж эхэлсэн. Эдгээр асуудлыг шийдвэрлэх явцад магадлал болон хүлээгдэж буй үнэ цэнэ. Тухайн үеийн эрдэмтэд болох Гюйгенс (1629-1695), Паскаль (1623-1662), Ферма (1601-1665), Бернулли (1654-1705) нар асар их санамсаргүй үйл явдлуудын үндсэн дээр тодорхой хэв маяг бий болно гэдэгт итгэлтэй байв. Үүний зэрэгцээ анхан шатны арифметик болон комбинатор үйлдлүүд судалгаа хийхэд хангалттай байсан.

Тиймээс магадлалын онол нь санамсаргүй үйл явдал, санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд хамаарах янз бүрийн хэв маягийг тайлбарлаж, судалдаг. Үйл явдал ажиглалт, туршлагын үр дүнд хэлж болох аливаа баримт юм. Ажиглалт буюу туршлага гэдэг нь ямар нэгэн үйл явдал тохиолдож болох тодорхой нөхцөл байдлыг ухамсарлах явдал юм.

Үйл явдал болох магадлалыг тодорхойлохын тулд юу мэдэх хэрэгтэй вэ

Хүмүүсийн ажиглаж, өөрсдөө бий болгодог бүх үйл явдлыг дараахь байдлаар хуваадаг.

• найдвартай үйл явдлууд;
• боломжгүй үйл явдлууд;
• санамсаргүй үйл явдал.

Найдвартай үйл явдлууд тодорхой нөхцөл байдал үүссэн үед үргэлж тохиолддог. Жишээлбэл, бид ажил хийвэл урамшуулал авдаг, шалгалт өгч, уралдаанд тэнцсэн бол оюутны тоонд багтана гэдэгт итгэлтэй байж болно. Найдвартай үйл явдлуудыг физик, химийн чиглэлээр ажиглаж болно. Эдийн засгийн хувьд найдвартай үйл явдлууд нь одоо байгаа нийгмийн бүтэц, хууль тогтоомжтой холбоотой байдаг. Жишээлбэл, бид банкинд мөнгө байршуулж, тодорхой хугацаанд мөнгөө авах хүсэлтэй байгаагаа илэрхийлсэн бол бид мөнгөө авна. Үүнийг найдвартай үйл явдал гэж үзэж болно.

Боломжгүй үйл явдлууд тодорхой нөхцөл бүрдүүлсэн бол мэдээж үүсэхгүй. Жишээлбэл, 15 хэмээс дээш температуртай бол ус хөлддөггүй, цахилгаангүйгээр үйлдвэрлэл явуулдаггүй.

Санамсаргүй үйл явдлууд Тодорхой нөхцөл байдал хэрэгжсэн тохиолдолд тэдгээр нь тохиолдож болно, үгүй ​​ч байж болно. Жишээлбэл, бид нэг удаа зоос шидэхэд сүлд унах, унах, сугалааны тасалбар авах, хожих, үйлдвэрлэсэн бүтээгдэхүүн гэмтэлтэй, доголдолтой байж болно. Гэмтэлтэй бүтээгдэхүүн гарч ирэх нь тохиромжтой бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэхээс илүү ховор тохиолддог санамсаргүй үзэгдэл юм.

Санамсаргүй тохиолдлын хүлээгдэж буй давтамж нь магадлалын тухай ойлголттой нягт холбоотой байдаг. Санамсаргүй тохиолдлын тохиолдох, үүсэхгүй байх зүй тогтлыг магадлалын онолоор судалдаг.

Шаардлагатай нөхцлүүдийн багцыг зөвхөн нэг удаа биелүүлсэн тохиолдолд санамсаргүй үйл явдлын талаар хангалтгүй мэдээлэл хүлээн авдаг, учир нь энэ нь тохиолдож магадгүй юм. Нөхцөлүүдийн багцыг олон удаа хэрэгжүүлбэл мэдэгдэж буй хэв маяг гарч ирнэ. Жишээлбэл, дараагийн үйлчлүүлэгчид дэлгүүрт аль кофены машин шаардагдахыг хэзээ ч мэдэхгүй, гэхдээ удаан хугацааны туршид хамгийн их эрэлт хэрэгцээтэй байсан кофены машинуудын брэндийг мэддэг бол эдгээр мэдээлэлд үндэслэн кофены машиныг сонгох боломжтой. эрэлт хэрэгцээг хангах үйлдвэрлэл буюу нийлүүлэлтийг зохион байгуулах.

Массын санамсаргүй үйл явдлуудыг удирддаг хэв маягийн талаархи мэдлэг нь эдгээр үйл явдал хэзээ тохиолдохыг урьдчилан таамаглах боломжийг бидэнд олгодог. Жишээ нь, өмнө дурдсанчлан, зоос шидсэний үр дүнг урьдчилан таамаглах боломжгүй, гэхдээ зоосыг олон удаа шидсэн тохиолдолд сүлд нь унана гэж таамаглах боломжтой. Алдаа нь бага байж болно.

Магадлалын онолын аргуудыг байгалийн шинжлэх ухаан, онолын физик, геодези, одон орон судлал, автомат удирдлагын онол, алдааны ажиглалтын онол болон бусад олон онол практикийн шинжлэх ухаанд өргөнөөр ашигладаг. Магадлалын онол нь үйлдвэрлэлийн төлөвлөлт, зохион байгуулалт, бүтээгдэхүүний чанарын шинжилгээ, технологийн процессын шинжилгээ, даатгал, хүн амын статистик, биологи, баллистик болон бусад салбарт өргөн хэрэглэгддэг.

Санамсаргүй тохиолдлуудыг ихэвчлэн латин цагаан толгойн A, B, C гэх мэт том үсгээр тэмдэглэдэг.

Санамсаргүй үйл явдал байж болно:

• нийцэхгүй;
• хамтарсан.

A, B, C... үйл явдлуудыг дуудна нийцэхгүй , хэрэв нэг туршилтын үр дүнд эдгээр үйл явдлын аль нэг нь тохиолдож болох боловч хоёр буюу түүнээс дээш үйл явдал тохиолдох боломжгүй.

Хэрэв нэг санамсаргүй үйл явдал тохиолдсон нь өөр үйл явдал тохиолдохыг үгүйсгэхгүй бол ийм үйл явдлыг дуудна хамтарсан . Жишээлбэл, туузан дамжуургаас өөр хэсгийг салгаж, А үйл явдал нь "хэсэг нь стандартад нийцэж байна" гэсэн утгатай бол B үйл явдал нь "хэсэг нь стандартын шаардлага хангаагүй" гэсэн утгатай бол А ба В нь үл нийцэх үйл явдал болно. Хэрэв С үйл явдал нь "II ангийн нэг хэсгийг авсан" гэсэн утгатай бол энэ үйл явдал А үйл явдалтай холбоотой боловч В үйл явдалтай нийцэхгүй байна.

Хэрэв ажиглалт (туршилт) бүрт таарахгүй санамсаргүй тохиолдлын нэг нь л тохиолдвол эдгээр үйл явдлуудыг бүрдүүлнэ. үйл явдлын бүрэн багц (систем). .

Найдвартай үйл явдал иж бүрэн үйл явдлуудаас дор хаяж нэг үйл явдал тохиолдохыг хэлнэ.

Хэрэв үйл явдлын бүрэн цогцыг бүрдүүлдэг үйл явдлууд хосоороо нийцэхгүй , тэгвэл ажиглалтын үр дүнд эдгээр үйл явдлын зөвхөн нэг нь тохиолдож болно. Жишээлбэл, оюутан хоёр асуудлыг шийдэх ёстой туршилтын ажил. Дараах үйл явдлуудын зөвхөн нэг нь гарцаагүй тохиолдох болно.

• эхний асуудал шийдэгдэж, хоёр дахь асуудал шийдэгдэхгүй;
• хоёр дахь асуудал шийдэгдэж, эхний асуудал шийдэгдэхгүй;
• асуудал хоёулаа шийдэгдэх болно;
• асуудлуудын аль нь ч шийдэгдэхгүй.

Эдгээр үйл явдлууд үүсдэг үл нийцэх үйл явдлуудын бүрэн багц .

Хэрэв үйл явдлын бүрэн багц нь зөвхөн хоёр үл нийцэх үйл явдлаас бүрдсэн бол тэдгээрийг дуудна харилцан эсрэг эсвэл хувилбар үйл явдал.

Үйл явдлын эсрэг талын үйл явдлыг -ээр тэмдэглэнэ. Жишээлбэл, нэг зоос шидсэн тохиолдолд мөнгөн тэмдэгт () эсвэл төрийн сүлд () гарч ирж болно.

Үйл явдал гэж нэрлэдэг адил боломжтой , хэрэв тэдгээрийн аль нь ч объектив давуу талгүй бол. Ийм үйл явдлууд нь мөн үйл явдлын цогцыг бүрдүүлдэг. Энэ нь ажиглалт эсвэл туршилтын үр дүнд ижил боломжит үйл явдлуудын дор хаяж нэг нь гарцаагүй тохиолдох ёстой гэсэн үг юм.

Жишээлбэл, зоосыг нэг шидэх үед нэрийн тэмдэг, эмблем алдагдах, хэвлэсэн нэг хуудсанд 0, 1, 2, 3, 3-аас дээш алдаа гарсан тохиолдолд үйл явдлын бүрэн бүлэг үүсдэг.

Сонгодог ба статистик магадлал. Магадлалын томъёо: сонгодог ба статистик

Магадлалын сонгодог тодорхойлолт.Боломж эсвэл таатай тохиолдол гэдэг нь тодорхой нөхцөл байдлын хэрэгжилтийн явцад тохиолдсон үйл явдал юм Атохиолдох. Магадлалын сонгодог тодорхойлолт нь таатай тохиолдол эсвэл боломжуудын тоог шууд тооцоолох явдал юм.

Үйл явдлын магадлал АЭнэ үйл явдалд таатай боломжуудын тоог тэнцүү байж болох үл нийцэх үйл явдлын тоонд харьцуулна Ннэг удаагийн туршилт эсвэл ажиглалтын үр дүнд үүсч болно. Магадлалын томъёо үйл явдал А:

Хэрэв бидний ярьж байгаа үйл явдлын магадлал нь бүрэн тодорхой бол магадлалыг жижиг үсгээр тэмдэглэнэ. х, үйл явдлын тэмдэглэгээг заахгүйгээр.

Сонгодог тодорхойлолтын дагуу магадлалыг тооцоолохын тулд ижил тэгш боломжит үл нийцэх үйл явдлын тоог олж, тэдгээрийн хэд нь тухайн үйл явдлын тодорхойлолтод таатай байгааг тодорхойлох шаардлагатай. А.

Жишээ 1.Шүд шидэх үед 5-ын тоо гарах магадлалыг ол.

Шийдэл. Зургаан царай бүгдээрээ оргилд гарах боломж ижил байдаг нь мэдэгдэж байна. 5-ын тоог зөвхөн нэг талд нь тэмдэглэсэн. Бүх ижил байж болох үл нийцэх үйл явдлын тоо нь 6 бөгөөд үүнээс зөвхөн нэг таатай боломж нь 5 тоо юм ( М= 1). Энэ нь 5 дугаарыг эргүүлэх магадлалыг хүссэн гэсэн үг юм

Жишээ 2.Нэг хайрцагт ижил хэмжээтэй 3 улаан, 12 цагаан бөмбөг байна. Нэг бөмбөгийг харалгүй авав. Улаан бөмбөг авах магадлалыг ол.

Шийдэл. Шаардлагатай магадлал

Магадлалыг өөрөө олж, дараа нь шийдлийг хар

Жишээ 3.Шоо шидэж байна. Үйл явдал Б- тэгш тоогоор эргэлддэг. Энэ үйл явдлын магадлалыг тооцоол.

Жишээ 5.Нэг саванд 5 цагаан, 7 хар бөмбөг байна. 1 бөмбөгийг санамсаргүй байдлаар зурсан. Үйл явдал А- цагаан бөмбөг сугалж байна. Үйл явдал Б- хар бөмбөг сугалж байна. Эдгээр үйл явдлын магадлалыг тооцоол.

Сонгодог магадлалыг туршилт эсвэл ажиглалт эхлэхээс өмнө тооцдог тул өмнөх магадлал гэж нэрлэдэг. Сонгодог магадлалын априори шинж чанараас харахад түүний гол сул тал нь: зөвхөн ховор тохиолдолд ажиглалт эхлэхээс өмнө бүх боломжит үл нийцэх үйл явдлууд, түүний дотор таатай үйл явдлуудыг тооцоолж болно. Ийм боломжууд ихэвчлэн тоглоомтой төстэй нөхцөл байдалд үүсдэг.

Хослолууд.Хэрэв үйл явдлын дараалал чухал биш бол боломжит үйл явдлын тоог хослолын тоогоор тооцоолно.

Жишээ 6.Тус бүлэгт 30 оюутан суралцдаг. Гурван оюутан компьютерийн тэнхимд очиж, компьютер, проектор аваад ирээрэй. Тодорхой гурван оюутан үүнийг хийх магадлалыг тооцоол.

Шийдэл. Бид (2) томъёог ашиглан боломжит үйл явдлын тоог тооцоолно.

Тодорхой гурван оюутан тус тэнхимд орох магадлал:

Жишээ 7. 10 зарагдсан гар утас. Үүний 3 нь гэмтэлтэй. Худалдан авагч 2 утас сонгосон. Сонгосон утас хоёулаа гэмтэлтэй байх магадлалыг тооцоол.

Шийдэл. Бүх ижил боломжтой үйл явдлын тоог (2) томъёог ашиглан олно.

Үүнтэй ижил томъёог ашиглан бид үйл явдалд таатай боломжуудын тоог олдог.

Сонгосон утас хоёуланд нь согогтой байх магадлал:

Магадлалыг өөрөө олж, дараа нь шийдлийг хар

Жишээ 8.Шалгалтын хуудсанд давтагддаггүй 40 асуулт байна. Оюутан 30-д нь хариулт бэлдсэн. Тасалбар бүр 2 асуулттай. Оюутан билет дээрх хоёр асуултын хариултыг мэдэх магадлал хэд вэ?

Ээж жаазыг угаав

Удаан хугацааны эцэст зуны амралтДээд математик руу аажим аажмаар буцаж, Вердовын хоосон файлыг нээж, шинэ хэсэг үүсгэж эхлэх цаг болжээ. Би хүлээн зөвшөөрч байна, эхний мөрүүд нь тийм ч хялбар биш, гэхдээ эхний алхам бол замын хагас нь тул би хүн бүрд танилцуулах нийтлэлийг сайтар судлахыг зөвлөж байна, үүний дараа сэдвийг эзэмших нь 2 дахин хялбар болно! Би ерөөсөө хэтрүүлсэнгүй. …Ирэх есдүгээр сарын 1-ний өмнөх өдөр би нэгдүгээр анги, анхан шатны хичээлийг санаж байна…. Үсэг нь үе, үе нь үг, үг нь богино өгүүлбэр үүсгэдэг - Ээж нь жаазыг угаав. Турвер болон математикийн статистикийг эзэмших нь уншиж сурахтай адил хялбар юм! Гэсэн хэдий ч үүний тулд та энэ хичээлийн сэдэв болох үндсэн нэр томъёо, ойлголт, тэмдэглэгээ, түүнчлэн зарим тодорхой дүрмийг мэдэх хэрэгтэй.

Гэхдээ эхлээд миний баяр хүргэж байгааг хүлээн авна уу (үргэлжлэл, дуусгах, зохих ёсоор тэмдэглэнэ үү) хичээлийн жилмөн бэлгийг хүлээн авна уу. Хамгийн сайхан бэлэг бол ном юм бие даасан ажилБи дараах уран зохиолыг санал болгож байна.

1) Гмурман В.Е. Магадлалын онол ба математик статистик

Домогт заавар, энэ нь арав гаруй дахин хэвлэгдсэн. Энэ нь ойлгомжтой, материалын маш энгийн танилцуулгагаараа ялгагддаг бөгөөд эхний бүлгүүдийг 6-7-р ангийн сурагчдад аль хэдийн бүрэн ашиглах боломжтой гэж бодож байна.

2) Гмурман В.Е. Магадлалын онолын асуудлыг шийдвэрлэх гарын авлага ба математик статистик

Дэлгэрэнгүй жишээ, асуудлуудтай ижил Владимир Ефимовичийн шийдлийн ном.

ЗААВАЛХоёр номыг интернетээс татаж авах эсвэл цаасан эх хувийг нь аваарай! 60-70-аад оны хувилбарууд бас ажиллах болно, энэ нь даммигийн хувьд илүү дээр юм. Хэдийгээр бараг бүх зүйл энгийн арифметик үйлдлээр хязгаарлагддаг тул "даммигийн магадлалын онол" гэсэн хэллэг нь нэлээд инээдтэй сонсогдож байна. Гэсэн хэдий ч тэд зарим газраа алгасдаг деривативуудТэгээд интеграл, гэхдээ энэ нь зөвхөн зарим газарт байдаг.

Би илтгэлийнхээ ижил тодорхой байдалд хүрэхийг хичээх болно, гэхдээ миний курс үүнд чиглэж байгааг анхааруулах ёстой асуудал шийдэхмөн онолын тооцоог хамгийн бага хэмжээнд байлгадаг. Тиймээс, хэрэв танд теоремын нарийвчилсан онол, нотолгоо (тиймээ, теорем!) хэрэгтэй бол сурах бичгийг үзнэ үү.

Хүссэн хүмүүст зориулав асуудлыг шийдэж сурах хэдхэн хоногийн дотор бий болсон pdf форматаар осолдох курс (сайтын материал дээр үндэслэсэн). За, яг одоо, удаан хугацаагаар хойшлуулалгүйгээр бид terver, matstat судалж эхэлж байна - намайг дага!

Энэ нь эхлэхэд хангалттай =)

Нийтлэлүүдийг уншиж байхдаа авч үзсэн төрлүүдийн нэмэлт даалгавруудтай (ядаж товчхон) танилцах нь ашигтай байх болно. Хуудас дээр Дээд математикийн бэлэн шийдлүүдШийдлийн жишээ бүхий харгалзах pdf файлуудыг байрлуулсан болно. Мөн дорвитой тусламж үзүүлнэ IDZ 18.1-18.2 Рябушко(илүү энгийн) ба Чудесенкогийн цуглуулгын дагуу IDZ-ийг шийдсэн(илүү төвөгтэй).

1) Дүнхоёр үйл явдал бөгөөд үйл явдлыг энэ нь болох гэж нэрлэдэг эсвэлүйл явдал эсвэлүйл явдал эсвэлхоёр үйл явдал нэгэн зэрэг. Үйл явдал болсон тохиолдолд нийцэхгүй, сүүлчийн сонголт алга болно, өөрөөр хэлбэл энэ нь тохиолдож болно эсвэлүйл явдал эсвэлүйл явдал.

Дүрэм нь олон тооны нэр томъёонд, ​​жишээлбэл, үйл явдалд хамаарна юу болох вэ ядаж нэгүйл явдлуудаас , А үйл явдлууд хоорондоо нийцэхгүй байвал – дараа нь нэг зүйл, зөвхөн нэг зүйлэнэ дүнгээс гарсан үйл явдал: эсвэлүйл явдал, эсвэлүйл явдал, эсвэлүйл явдал, эсвэлүйл явдал, эсвэлүйл явдал.

Маш олон жишээ байна:

Үйл явдал (шоо шидэх үед 5 оноо гарахгүй) гарч ирнэ эсвэл 1, эсвэл 2, эсвэл 3, эсвэл 4, эсвэл 6 оноо.

Үйл явдал (унана дахиад байхгүйхоёр цэг) 1 гарч ирнэ эсвэл 2оноо.

Үйл явдал (тэгш тооны оноо байх болно) гарч ирнэ эсвэл 2 эсвэл 4 эсвэл 6 оноо.

Үйл явдал бол тавцангаас улаан карт (зүрх) авах явдал юм эсвэлхэнгэрэг), үйл явдал - "зураг" гарч ирнэ (жак эсвэлхатагтай эсвэлхаан эсвэлхөзрийн тамга).

Хамтарсан арга хэмжээний тухайд арай илүү сонирхолтой юм:

Үйл явдал бол тавцангаас клуб сугалах явдал юм эсвэлДолоо эсвэлдолоон клуб Дээр дурдсан тодорхойлолтын дагуу ядаж ямар нэг зүйл- эсвэл аль нэг клуб эсвэл аль нэг долоо эсвэл тэдгээрийн "уулзвар" - долоон клуб. Энэ үйл явдал нь 12 үндсэн үр дүнд (9 клубын карт + үлдсэн 3 долоо) тохирч байгааг тооцоолоход хялбар байдаг.

Үйл явдал нь маргааш 12.00 цагт ирнэ Хамтарсан арга хэмжээнүүдийн НААДДАЖ НЭГ, тухайлбал:

– эсвэл зөвхөн бороо орно / аянга цахилгаантай / зөвхөн нар орно;
– эсвэл зөвхөн зарим хос үйл явдал тохиолдох болно (бороо + аянга цахилгаан / бороо + нар / аадар бороо + нар);
– эсвэл бүх гурван үйл явдал нэгэн зэрэг гарч ирнэ.

Өөрөөр хэлбэл, үйл явдал нь 7 боломжит үр дүнг багтаасан болно.

Үйл явдлын алгебрын хоёр дахь багана:

2) Ажилхоёр үйл явдал бөгөөд эдгээр үйл явдлуудын хамтарсан тохиолдлоос бүрдэх үйл явдлыг нэрлэх, өөрөөр хэлбэл үржүүлэх гэдэг нь зарим нөхцөл байдалд байх болно гэсэн үг юм. Тэгээдүйл явдал, Тэгээдүйл явдал. Үүнтэй төстэй мэдэгдэл нь олон тооны үйл явдлын хувьд үнэн байдаг, жишээлбэл, ажил нь тодорхой нөхцөлд ийм зүйл болно гэсэн үг юм Тэгээдүйл явдал, Тэгээдүйл явдал, Тэгээдүйл явдал, …, Тэгээдүйл явдал.

Хоёр зоос шидсэн тестийг авч үзье болон дараах үйл явдлууд:

– 1-р зоос дээр толгойнууд гарч ирнэ;
– 1-р зоос толгой дээр бууна;
– 2 дахь зоос дээр толгойнууд гарч ирнэ;
– 2-р зоос толгой дээр бууна.

Дараа нь:
Тэгээд 2-р) толгойнууд гарч ирнэ;
– үйл явдал нь хоёр зоос дээр (1-р Тэгээд 2-нд) энэ нь толгой байх болно;
– үйл явдал нь 1-р зоос толгой буух болно Тэгээд 2 дахь зоос нь сүүл;
– үйл явдал нь 1-р зоос толгой буух болно Тэгээд 2 дахь зоосон дээр бүргэд байдаг.

Тэр үйл явдлуудыг харахад хялбар байдаг нийцэхгүй (Учир нь энэ нь нэгэн зэрэг 2 толгой, 2 сүүл байж болохгүй)болон хэлбэр бүтэн бүлэг (харгалзаж авснаас хойш Бүгдхоёр зоос шидэх боломжтой үр дүн). Эдгээр үйл явдлуудыг тоймлон хүргэе: . Энэ оруулгыг хэрхэн тайлбарлах вэ? Маш энгийн - үржүүлэх гэдэг нь логик холболтыг хэлнэ БА, мөн нэмэх - ЭСВЭЛ. Ийнхүү хүний ​​ойлгомжтой хэлээр уг хэмжээг уншихад хялбар байдаг: “Хоёр толгой гарч ирнэ эсвэлхоёр толгой эсвэл 1-р зоос толгой дээр буух болно Тэгээд 2-р сүүл дээр эсвэл 1-р зоос толгой дээр буух болно Тэгээд 2 дахь зоосон дээр бүргэд байгаа"

Энэ бол нэг жишээ юм нэг туршилтандхэд хэдэн объект оролцдог, энэ тохиолдолд хоёр зоос. Практик асуудлын өөр нэг нийтлэг схем бол дахин туршилт хийх , жишээ нь, ижил үхрийг 3 удаа дараалан өнхрүүлэх үед. Жагсаалтын хувьд дараах үйл явдлуудыг авч үзье.

- 1-р шидэлтэнд та 4 оноо авах болно;
– 2 дахь шидэлтэнд та 5 оноо авна;
– 3 дахь шидэлтэнд та 6 оноо авна.

Дараа нь үйл явдал 1-р шидэлтэнд та 4 оноо авах болно Тэгээд 2 дахь шидэлтэд та 5 оноо авах болно Тэгээд 3 дахь өнхрөхөд та 6 оноо авах болно. Мэдээжийн хэрэг, шоо дөрвөлжингийн хувьд бид зоос шидэж байснаас хамаагүй илүү олон хослол (үр дүн) гарах болно.

...Тэд сайн ойлгохгүй байж магадгүй гэдгийг би ойлгож байна сонирхолтой жишээнүүд, гэхдээ эдгээр нь асуудалд ихэвчлэн тулгардаг зүйлүүд бөгөөд тэдгээрээс зугтах боломжгүй байдаг. Зоос, шоо, хөзрийн тавцангаас гадна олон өнгийн бөмбөлөг бүхий савнууд, хэд хэдэн нэргүй хүмүүс бай руу буудаж, зарим нарийн ширийн зүйлийг байнга нунтаглаж байдаг уйгагүй ажилчин таныг хүлээж байна =)

Үйл явдлын магадлал

Үйл явдлын магадлал магадлалын онолын гол ойлголт юм. ...Алууртай логик зүйл, гэхдээ бид хаа нэгтээ эхлэх ёстой байсан =) Үүнийг тодорхойлох хэд хэдэн хандлага байдаг:

;
Магадлалын геометрийн тодорхойлолт ;
Магадлалын статистик тодорхойлолт .

Энэ нийтлэлд би боловсролын даалгаварт хамгийн өргөн хэрэглэгддэг магадлалын сонгодог тодорхойлолтод анхаарлаа хандуулах болно.

Тэмдэглэл. Тодорхой үйл явдлын магадлалыг латин үсгээр том үсгээр тэмдэглэсэн бөгөөд үйл явдлыг өөрөө хаалтанд авч, нэг төрлийн аргумент болж өгдөг. Жишээлбэл:

Мөн жижиг үсэг нь магадлалыг илэрхийлэхэд өргөн хэрэглэгддэг. Ялангуяа та үйл явдлын төвөгтэй тэмдэглэгээ, тэдгээрийн магадлалыг орхиж болно дараах хэв маягийг дэмжинэ:

– зоос шидэхэд толгой гарах магадлал;
– шоо шидэхэд 5 оноо гарах магадлал;
– клубын костюмны картыг тавцангаас гаргах магадлал.

Энэ сонголт нь практик асуудлыг шийдвэрлэхэд түгээмэл байдаг, учир нь энэ нь шийдлийн бичлэгийг мэдэгдэхүйц багасгах боломжийг олгодог. Эхний тохиолдлын нэгэн адил энд "ярьдаг" доод үсэг/давуу бичгийг ашиглах нь тохиромжтой.

Миний дээр бичсэн тоонуудыг хүн бүр эртнээс таамаглаж байсан бөгөөд одоо тэд хэрхэн болсныг олж мэдэх болно.

Магадлалын сонгодог тодорхойлолт:

Тодорхой туршилтанд тохиолдох үйл явдлын магадлалыг харьцаа гэж нэрлэдэг бөгөөд үүнд:

– нийт тоохүн бүр адил боломжтой, анхан шатныэнэ туршилтын үр дүн, ямар хэлбэр үйл явдлын бүрэн бүлэг;

- тоо хэмжээ анхан шатныүр дүн, таатай үйл явдал.

Зоос шидэх үед толгой эсвэл сүүл нь унаж болно - эдгээр үйл явдлууд үүсдэг бүтэн бүлэг, ингэснээр үр дүнгийн нийт тоо; Үүний зэрэгцээ тус бүр нь анхан шатныТэгээд адил боломжтой. Үйл явдал нь үр дүн (толгой) -д таатай байна. Магадлалын сонгодог тодорхойлолтын дагуу: .

Үүний нэгэн адил үхэл шидсэний үр дүнд энгийн ижил боломжтой үр дүн гарч ирж, бүрэн бүтэн бүлгийг бүрдүүлж, үйл явдал нь нэг үр дүнгээр (тавыг өнхрүүлэх) давуу тал болно. Тийм учраас: ЭНЭ ХИЙХИЙГ ХҮЛЭЭН АВАХГҮЙ (хэдийгээр таны толгойд хэдэн хувийг тооцохыг хориглодоггүй).

Нэгжийн бутархайг ашиглах нь заншилтай байдаг, мөн магадлал нь дотор өөр байж болох нь ойлгомжтой. Түүнээс гадна хэрэв , дараа нь үйл явдал болно боломжгүй, Хэрэв - найдвартай, хэрэв , дараа нь бид ярьж байна Санамсаргүйүйл явдал.

! Хэрэв та аливаа асуудлыг шийдэж байхдаа өөр магадлалын утгыг олж авбал алдааг хайж олоорой!

Магадлалыг тодорхойлох сонгодог аргад туйлын утгыг (тэг ба нэг) яг ижил үндэслэлээр олж авдаг. 10 улаан бөмбөг агуулсан тодорхой савнаас санамсаргүй байдлаар 1 бөмбөг сугалж ав. Дараах үйл явдлуудыг авч үзье.

нэг удаагийн туршилтаар бага магадлалтай үйл явдал гарахгүй.

Ийм учраас энэ үйл явдлын магадлал 0.00000001 байвал та сугалаанд азтан хожихгүй. Тийм ээ, тийм ээ, энэ бол та тодорхой эргэлтэд байгаа цорын ганц тасалбартай. Гэсэн хэдий ч илүү олон тооны тасалбар, олон тооны зураг танд тийм ч их тус болохгүй. ...Би бусдад энэ тухай ярихдаа “гэхдээ хэн нэгэн ялдаг” гэсэн хариуг бараг үргэлж сонсдог. За, тэгвэл дараах туршилтыг хийцгээе: өнөөдөр эсвэл маргааш ямар нэгэн сугалааны тасалбар худалдаж аваарай (битгий хойшлуул!). Хэрэв та ялах юм бол ... ядаж 10 кг-аас дээш бол бүртгүүлэхээ мартуузай - яагаад ийм зүйл болсныг би тайлбарлах болно. Мэдээж тодорхой хувиар =) =)

Гэхдээ гуниглах шаардлагагүй, учир нь эсрэг зарчим байдаг: хэрэв ямар нэгэн үйл явдлын магадлал нэгтэй маш ойрхон байвал нэг удаагийн туршилтаар тэр бараг л тодорхойтохиолдох болно. Тиймээс шүхрээр үсрэхээсээ өмнө айх шаардлагагүй, харин эсрэгээрээ инээмсэглээрэй! Эцсийн эцэст, шүхэр хоёулаа амжилтгүй болохын тулд огт төсөөлшгүй, гайхалтай нөхцөл байдал үүсэх ёстой.

Хэдийгээр энэ бүхэн уянгын шинж чанартай боловч үйл явдлын агуулгаас хамааран эхний зарчим нь хөгжилтэй, хоёр дахь нь гунигтай байж болно; эсвэл бүр хоёулаа зэрэгцээ байна.

Магадгүй энэ нь одоохондоо хичээл дээр хангалттай байх Сонгодог магадлалын асуудлуудБид томъёоноос хамгийн их ашиг хүртэх болно. Энэ өгүүллийн төгсгөлд бид нэг чухал теоремыг авч үзэх болно.

Бүтэн бүлгийг бүрдүүлэх үйл явдлын магадлалын нийлбэр нь нэгтэй тэнцүү байна. Ойролцоогоор, хэрэв үйл явдлууд бүрэн бүтэн бүлгийг бүрдүүлж байвал тэдгээрийн аль нэг нь болох 100% магадлалтай. Хамгийн энгийн тохиолдолд бүрэн бүлэг нь эсрэг үйл явдлуудаар үүсдэг, жишээлбэл:

– зоос шидсэний үр дүнд толгойнууд гарч ирнэ;
– зоос шидэлтийн үр дүн нь толгой болно.

Теоремын дагуу:

Эдгээр үйл явдлууд адилхан боломжтой бөгөөд магадлал нь ижил байх нь туйлын тодорхой юм .

Магадлалын тэгш байдлаас шалтгаалан адил боломжтой үйл явдлуудыг ихэвчлэн дууддаг адил магадлалтай . Мөн энд хордлогын зэргийг тодорхойлох хэл эргүүлэх хэрэгсэл байна =)

Шоотой жишээ: үйл явдлууд эсрэгээрээ байна .

Харж буй теорем нь эсрэг үйл явдлын магадлалыг хурдан олох боломжийг олгодог тул тохиромжтой. Тиймээс, хэрэв тав өнхрөх магадлал мэдэгдэж байгаа бол өнхрөхгүй байх магадлалыг тооцоолоход хялбар байдаг.

Энэ нь таван үндсэн үр дүнгийн магадлалыг нэгтгэн дүгнэхээс хамаагүй хялбар юм. Анхан шатны үр дүнгийн хувьд энэ теорем нь бас үнэн юм.
. Жишээлбэл, хэрэв буудагч нь бай онох магадлал бол түүнийг алдах магадлал юм.

! Магадлалын онолын хувьд үсгийг бусад зорилгоор ашиглах нь зохисгүй юм.

Мэдлэгийн өдрийг тохиолдуулан би асуухгүй гэрийн даалгавар=), гэхдээ та дараах асуултуудад хариулах нь маш чухал юм.

-Ямар төрлийн арга хэмжээ болдог вэ?
– Аливаа үйл явдлын боломж ба тэгш боломж гэж юу вэ?
– Үйл явдлын нийцтэй/үл нийцэхгүй гэдэг ойлголтыг та хэрхэн ойлгож байна вэ?
– Үйл явдлын бүрэн бүлэг, эсрэг үйл явдлууд гэж юу вэ?
– Үйл явдлыг нэмэх, үржүүлэх гэдэг нь юу гэсэн үг вэ?
– Магадлалын сонгодог тодорхойлолтын мөн чанар юу вэ?
– Бүтэн бүлэг үүсгэх үйл явдлын магадлалыг нэмэх теорем яагаад хэрэгтэй вэ?

Үгүй ээ, та юу ч шахах шаардлагагүй, эдгээр нь магадлалын онолын үндэс суурь юм - таны толгойд хурдан багтах нэг төрлийн праймер. Үүнийг аль болох хурдан хийхийн тулд би хичээлүүдтэй танилцахыг санал болгож байна

Магадлал гэж юу вэ?

Би энэ нэр томьёотой анх удаа тааралдсан ч энэ нь юу болохыг ойлгохгүй байх байсан. Тиймээс би тодорхой тайлбарлахыг хичээх болно.

Магадлал гэдэг нь бидний хүсч буй үйл явдал болох магадлал юм.

Жишээлбэл, та найзынхаа гэрт очихоор шийдсэн бол орц, тэр ч байтугай түүний амьдардаг шалыг санаж байна. Гэтэл байрны дугаар, байршлыг мартчихаж. Одоо та шатан дээр зогсож байгаа бөгөөд таны өмнө сонгох боломжтой хаалганууд байна.

Хэрэв та анхны хаалганы хонхыг дарвал таны найз таны өмнөөс хаалга онгойлгох магадлал (магадлал) хэд вэ? Байр л байдаг, нэгнийх нь ард найз нь амьдардаг. Тэнцүү боломжоор бид ямар ч хаалгыг сонгох боломжтой.

Гэхдээ энэ ямар боломж вэ?

Хаалга, баруун хаалга. Эхний хаалганы хонхыг дарснаар таамаглах магадлал: . Өөрөөр хэлбэл, гурваас нэг удаа та нарийн таамаглах болно.

Бид нэг удаа залгаад хаалгыг хэр олон удаа таахыг мэдэхийг хүсч байна вэ? Бүх сонголтыг авч үзье:

1. Та дуудсан 1-рхаалга
2. Та дуудсан 2 дахьхаалга
3. Та дуудсан 3 дахьхаалга

Одоо найз байж болох бүх сонголтыг харцгаая:

А. Ард нь 1-рхаалга
б. Ард нь 2 дахьхаалга
В. Ард нь 3 дахьхаалга

Бүх сонголтуудыг хүснэгт хэлбэрээр харьцуулж үзье. Шалгалтын тэмдэг нь таны сонголт найзынхаа байршилтай давхцах үед сонголтуудыг, таарахгүй бол загалмайг заана.

Та бүх зүйлийг яаж харж байна Магадгүй сонголтуудтаны найзын байршил, аль хаалгыг дуугаргах нь таны сонголт.

А бүхний таатай үр дүн . Өөрөөр хэлбэл та хаалганы хонхыг нэг удаа дарснаар та нэг удаа таах болно, өөрөөр хэлбэл. .

Энэ нь магадлал юм - таатай үр дүнгийн харьцаа (таны сонголт таны найзын байршилтай давхцах үед) боломжит үйл явдлын тоонд.

Тодорхойлолт нь томъёо юм. Магадлалыг ихэвчлэн p-ээр тэмдэглэдэг тул:

Ийм томьёог бичих нь тийм ч тохиромжтой биш тул бид эерэг үр дүнгийн тоо, нийт үр дүнгийн тоог авна.

Магадлалыг хувиар бичиж болно, үүнийг хийхийн тулд үр дүнг дараах байдлаар үржүүлэх хэрэгтэй.

"Үр дүн" гэдэг үг таны анхаарлыг татсан байх. Математикчид янз бүрийн үйлдлүүдийг (манай тохиолдолд ийм үйлдэл нь хаалганы хонх юм) туршилт гэж нэрлэдэг тул ийм туршилтын үр дүнг ихэвчлэн үр дүн гэж нэрлэдэг.

Сайн, таагүй үр дүн гарч байна.

Өөрийнхөө жишээ рүү буцъя. Бид нэг хаалгыг дуугаргасан ч танихгүй хүн хаалга онгойлгосон гэж бодъё. Бид зөв таамаглаагүй. Үлдсэн хаалганы аль нэгийг нь дарвал манай найз хаалга онгойлгох магадлал хэд вэ?

Хэрэв та тэгж бодож байсан бол энэ бол алдаа юм. Үүнийг олж мэдье.

Бидэнд хоёр хаалга үлдлээ. Тиймээс бидэнд боломжит алхамууд байна:

1) Дуудлага хийх 1-рхаалга
2) Дуудлага хийх 2 дахьхаалга

Найз нь энэ бүхнээс үл хамааран тэдний нэгний ард байгаа нь гарцаагүй (эцсийн эцэст тэр бидний дуудсан хүний ​​ард байгаагүй):

a) Найз 1-рхаалга
б) Найз 2 дахьхаалга

Хүснэгтийг дахин зурцгаая:

Таны харж байгаагаар зөвхөн таатай сонголтууд байдаг. Энэ нь магадлал тэнцүү гэсэн үг юм.

Яагаад үгүй ​​гэж?

Бидний авч үзсэн нөхцөл байдал хамааралтай үйл явдлын жишээ.Эхний үйл явдал бол эхний хаалганы хонх, хоёр дахь үйл явдал бол хоёр дахь хаалганы хонх юм.

Мөн тэдгээр нь дараах үйлдлүүдэд нөлөөлдөг учраас хамааралтай гэж нэрлэдэг. Эцсийн эцэст, хэрэв эхний дуугарсны дараа хаалганы хонхыг найз нь дарсан бол тэр хоёрын аль нэгнийх нь ард байх магадлал хэд вэ? Зөв,.

Гэхдээ хамааралтай үйл явдлууд байгаа бол бас байх ёстой бие даасан? Энэ нь зөв, тэд тохиолддог.

Сурах бичгийн жишээ бол зоос шидэх явдал юм.

1. Нэг удаа зоос шид. Жишээлбэл, толгойгоо авах магадлал хэд вэ? Энэ нь зөв - учир нь бүх сонголтууд байдаг (толгой эсвэл сүүлний аль алинд нь зоос түүний ирмэг дээр буух магадлалыг үл тоомсорлох болно), гэхдээ энэ нь зөвхөн бидэнд тохирсон.
2. Гэхдээ энэ нь олны анхаарлыг татсан. За, дахин шидье. Одоо толгой цохих магадлал хэд вэ? Юу ч өөрчлөгдөөгүй, бүх зүйл адилхан. Хэдэн сонголт байна вэ? Хоёр. Бид хэдтэй нь аз жаргалтай байна вэ? Нэг.

Энэ нь дор хаяж мянган удаа дараалан гарч ирэх болтугай. Нэг дор толгойгоо авах магадлал ижил байх болно. Үргэлж сонголтууд байдаг бөгөөд тааламжтай байдаг.

Хараат үйл явдлуудыг бие даасан үйл явдлуудаас ялгахад хялбар байдаг.

1. Хэрэв туршилтыг нэг удаа хийвэл (тэд нэг удаа зоос шидэж, хаалганы хонхыг нэг удаа дарах гэх мэт) үйл явдлууд үргэлж бие даасан байдаг.
2. Хэрэв туршилтыг хэд хэдэн удаа хийвэл (зоосыг нэг удаа шидэж, хаалганы хонхыг хэд хэдэн удаа дардаг) эхний үйл явдал үргэлж бие даасан байдаг. Дараа нь, хэрэв таатай үр дүнгийн тоо эсвэл бүх үр дүнгийн тоо өөрчлөгдвөл үйл явдлууд нь хамааралтай, хэрэв үгүй ​​бол тэдгээр нь бие даасан байна.

Магадлал тодорхойлох дадлага хийцгээе.

Жишээ 1.

Зоосыг хоёр удаа шидэв. Хоёр дараалан толгой цохих магадлал хэд вэ?

Шийдэл:

Бүгдийг нь авч үзье боломжит сонголтууд:

1. Бүргэд-бүргэд
2. Толгой-сүүл
3. Сүүл - Толгой
4. Сүүл-сүүл

Таны харж байгаагаар зөвхөн сонголтууд байдаг. Эдгээрээс бид зөвхөн сэтгэл хангалуун байдаг. Энэ нь магадлал:

Хэрэв нөхцөл нь магадлалыг олохыг хүссэн бол хариултыг аравтын бутархай хэлбэрээр өгөх ёстой. Хариултыг хувиар өгөх ёстой гэж заасан бол бид үржүүлнэ.

Хариулт:

Жишээ 2.

Шоколадны хайрцагт бүх шоколадыг нэг цаасан дээр савласан байдаг. Гэсэн хэдий ч амттанаас - самар, коньяк, интоор, карамель, нугатай.

Нэг чихэр аваад самартай чихэр авах магадлал хэд вэ? Хариултаа хувиар илэрхийлнэ үү.

Шийдэл:

Боломжит үр дүн хэр их байна вэ? .

Өөрөөр хэлбэл, хэрэв та нэг чихэр авбал энэ нь хайрцагт байгаа зүйлсийн нэг болно.

Хэчнээн таатай үр дүн гарсан бэ?

Учир нь хайрцагт зөвхөн самартай шоколад л байдаг.

Хариулт:

Жишээ 3.

Бөмбөлөгний хайрцагт. үүнээс цагаан, хар.

1. Цагаан бөмбөг зурах магадлал хэд вэ?
2. Бид хайрцагт илүү олон хар бөмбөг нэмсэн. Одоо цагаан бөмбөг зурах магадлал хэд вэ?

Шийдэл:

a) Хайрцагт зөвхөн бөмбөг байна. Тэдний дунд цагаан өнгөтэй.

магадлал нь:

б) Одоо хайрцагт илүү олон бөмбөг байна. Мөн тэр хэмжээгээр цагаан арьстнууд үлдсэн - .

Хариулт:

Нийт магадлал

Бүх боломжит үйл явдлын магадлал () -тэй тэнцүү байна.

Хайрцагт улаан, ногоон бөмбөг байна гэж бодъё. Улаан бөмбөг зурах магадлал хэд вэ? Ногоон бөмбөг? Улаан эсвэл ногоон бөмбөг үү?

Улаан бөмбөг зурах магадлал

Ногоон бөмбөг:

Улаан эсвэл ногоон бөмбөг:

Таны харж байгаагаар бүх боломжит үйл явдлын нийлбэр нь () -тэй тэнцүү байна. Энэ зүйлийг ойлгох нь олон асуудлыг шийдвэрлэхэд тусална.

Жишээ 4.

Хайрцагт тэмдэглэгээ байдаг: ногоон, улаан, цэнхэр, шар, хар.

Улаан тэмдэглэгээ БИШ зурах магадлал хэд вэ?

Шийдэл:

Тоогоо тоолъё таатай үр дүн.

Улаан тэмдэглэгээ БИШ, энэ нь ногоон, цэнхэр, шар, хар гэсэн утгатай.

Бүх үйл явдлын магадлал. Мөн бидний таагүй гэж үздэг үйл явдлын магадлал (бид улаан тэмдэглэгээг гаргах үед) байна.

Тиймээс улаан эсгий үзэг гаргахгүй байх магадлал нь .

Хариулт:

Үйл явдал тохиолдохгүй байх магадлал нь тухайн үйл явдал болох магадлалыг хассантай тэнцүү байна.

Бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх дүрэм

Бие даасан үйл явдлууд гэж юу болохыг та аль хэдийн мэддэг болсон.

Хоёр (эсвэл түүнээс дээш) бие даасан үйл явдал дараалан тохиолдох магадлалыг олох шаардлагатай бол яах вэ?

Бид зоосыг нэг удаа эргүүлэхэд хоёр удаа толгой харах магадлал хэд болохыг мэдэхийг хүсч байна гэж бодъё?

Бид аль хэдийн авч үзсэн - .

Хэрэв бид нэг удаа зоос шидвэл яах вэ? Бүргэдийг хоёр дараалан харах магадлал хэд вэ?

Нийт боломжит сонголтууд:

1. Бүргэд-бүргэд-бүргэд
2. Толгой-толгой-сүүл
3. Толгой-сүүл-толгой
4. Толгой-сүүл-сүүл
5. Сүүл-толгой-толгой
6. Сүүл-толгой-сүүл
7. Сүүл-сүүл-толгой
8. сүүл-сүүл-сүүл

Би чамайг мэдэхгүй ч энэ жагсаалтыг гаргахдаа хэд хэдэн удаа алдаа гаргасан. Хөөх! Зөвхөн сонголт (эхний) бидэнд тохирно.

5 шидэлтийн хувьд та боломжит үр дүнгийн жагсаалтыг өөрөө гаргаж болно. Гэхдээ математикчид чам шиг хөдөлмөрч биш.

Тиймээс тэд эхлээд анзаарч, дараа нь бие даасан үйл явдлын тодорхой дарааллын магадлал нь нэг үйл явдлын магадлалаар буурдаг гэдгийг нотолсон.

Өөрөөр хэлбэл,

Ижил золгүй зоосны жишээг харцгаая.

Бэрхшээлд орох магадлал? . Одоо бид зоосыг нэг удаа эргүүлнэ.

Толгой дараалан гарах магадлал хэд вэ?

Энэ дүрэм нь биднээс нэг үйл явдал дараалан хэд хэдэн удаа тохиолдох магадлалыг олохыг хүсэхэд л ажиллахгүй.

Хэрэв бид дараалсан шидэлтийн СҮҮЛ-ТОЛГОЙ-СҮҮЛ гэсэн дарааллыг олохыг хүсвэл мөн адил хийх болно.

Сүүлтэй болох магадлал нь , толгой - .

СҮҮЛ-ТОЛГОЙ-СҮҮЛ-СҮҮЛ гэсэн дарааллыг авах магадлал:

Хүснэгт хийж өөрөө шалгаж болно.

Тохиромжгүй үйл явдлын магадлалыг нэмэх дүрэм.

Тиймээс боль! Шинэ тодорхойлолт.

Үүнийг олж мэдье. Элэгдсэн зоосоо аваад нэг удаа шидчихье.
Боломжит сонголтууд:

1. Бүргэд-бүргэд-бүргэд
2. Толгой-толгой-сүүл
3. Толгой-сүүл-толгой
4. Толгой-сүүл-сүүл
5. Сүүл-толгой-толгой
6. Сүүл-толгой-сүүл
7. Сүүл-сүүл-толгой
8. сүүл-сүүл-сүүл

Тиймээс үл нийцэх үйл явдлууд нь тодорхой, өгөгдсөн үйл явдлын дараалал юм. - Эдгээр нь үл нийцэх үйл явдал юм.

Хэрэв бид хоёр (эсвэл түүнээс дээш) үл нийцэх үйл явдлын магадлалыг тодорхойлохыг хүсвэл эдгээр үйл явдлын магадлалыг нэмнэ.

Толгой эсвэл сүүл нь бие даасан хоёр үйл явдал гэдгийг ойлгох хэрэгтэй.

Хэрэв бид дараалал (эсвэл бусад) тохиолдох магадлалыг тодорхойлохыг хүсвэл магадлалыг үржүүлэх дүрмийг ашиглана.
Эхний шидэлтэд толгой, хоёр, гурав дахь шидэлтэд сүүл гарах магадлал хэд вэ?

Гэхдээ хэрэв бид хэд хэдэн дарааллын аль нэгийг авах магадлал ямар байхыг мэдэхийг хүсвэл, жишээ нь, толгой яг нэг удаа гарч ирэхэд, i.e. сонголтууд ба дараа нь бид эдгээр дарааллын магадлалыг нэмэх ёстой.

Нийт сонголтууд бидэнд тохирсон.

Дараалал бүрийн тохиолдох магадлалыг нэмснээр бид ижил зүйлийг олж авах боломжтой.

Тиймээс бид тодорхой, үл нийцэх, үйл явдлын дарааллын магадлалыг тодорхойлохыг хүсвэл магадлалыг нэмнэ.

Хэзээ үржүүлэх, хэзээ нэмэх талаар эргэлзэхгүй байх маш сайн дүрэм байдаг:

Бид нэг удаа зоос шидэж, толгойг нэг удаа харах магадлалыг мэдэхийг хүссэн жишээ рүү буцъя.
Юу болох гэж байна?

Унах ёстой:
(толгой, сүүл, сүүл) ЭСВЭЛ (сүүл, толгой ба сүүл) OR (сүүл, сүүл, толгой).
Энэ нь дараах байдалтай байна.

Хэд хэдэн жишээг харцгаая.

Жишээ 5.

Хайрцагт харандаанууд байна. улаан, ногоон, улбар шар, шар, хар. Улаан эсвэл ногоон өнгийн харандаагаар зурах магадлал хэд вэ?

Шийдэл:

Юу болох гэж байна? Бид татах ёстой (улаан эсвэл ногоон).

Одоо тодорхой байна, эдгээр үйл явдлын магадлалыг нэмье:

Хариулт:

Жишээ 6.

Хэрэв үхрийг хоёр удаа шидвэл нийт 8-ыг авах магадлал хэд вэ?

Шийдэл.

Бид яаж оноо авах вэ?

(ба) эсвэл (ба) эсвэл (ба) эсвэл (ба) эсвэл (ба).

Нэг (ямар ч) нүүртэй болох магадлал нь .

Бид магадлалыг тооцоолно:

Хариулт:

Сургалт.

Магадлалыг хэзээ тооцоолох, хэзээ нэмэх, хэзээ үржүүлэх хэрэгтэйг одоо ойлгосон байх гэж бодож байна. Биш гэж үү? Жаахан дасгал хийцгээе.

Даалгаварууд:

Хүз, зүрх, 13 дугуй, 13 очир алмааз зэрэг картуудыг агуулсан картын тавцан авцгаая. Костюм бүрээс Эйс хүртэл.

1. Бөмбөг дараалан зурах магадлал хэд вэ (бид эхний картыг тавцан руу буцааж тавиад холино)?
2. Хар карт (хүрз эсвэл дугуй) зурах магадлал хэд вэ?
3. Зураг зурах магадлал хэд вэ (жак, хатан, хаан эсвэл хөзрийн тамга)?
4. Хоёр зураг дараалан зурах магадлал хэд вэ (бид тавцангаас зурсан эхний картыг хасдаг)?
5. Хоёр хөзрөө аваад (жак, хатан эсвэл хаан) болон хөзрийн хөзрийг хослуулан цуглуулах магадлал хэд вэ? Картуудыг зурах дараалал хамаагүй.

Хариултууд:

1. Үнэ цэнэ тус бүрийн картуудын тавцанд энэ нь:
2. Эхний картыг гаргасны дараа тавцан дахь хөзрийн тоо багассан ("зураг"-ын тоо) буурсан тул үйл явдлууд хамаарна. Тавцан дээр эхлээд нийт үүр, хатан, хаад, хөзрийн тамганууд байдаг бөгөөд энэ нь эхний картаар "зураг" зурах магадлалыг илэрхийлнэ.

   Нэгэнт бид тавцангаас эхний картыг авч хаясан тул энэ нь тавцан дээр аль хэдийн картууд, түүний дотор зургууд үлдсэн гэсэн үг юм. Хоёрдахь картаар зураг зурах магадлал:

   Бид тавцангаас "зураг" болон "зураг" авах нөхцөл байдлыг сонирхож байгаа тул магадлалыг үржүүлэх хэрэгтэй.

   Хариулт:

3. Эхний картыг гаргасны дараа тавцан дахь картуудын тоо багасна.Иймээс бидэнд хоёр сонголт тохиромжтой:
   1) Эхний карт нь Ace, хоёр дахь нь Жак, Хатан хаан эсвэл Хаан юм
   2) Бид эхний карттай үүр, хатан эсвэл хаан, хоёр дахь хөзрийн хөзрийг гаргаж авдаг. (акс ба (жак эсвэл хатан эсвэл хаан)) эсвэл ((жак эсвэл хатан эсвэл хаан) болон хөзрийн тамга). Тавцангийн картын тоог багасгах талаар бүү мартаарай!

Хэрэв та бүх асуудлыг өөрөө шийдэж чадсан бол чи үнэхээр мундаг байна! Одоо та Улсын нэгдсэн шалгалтанд магадлалын онолын асуудлуудыг самар шиг хагалах болно!

МАГАДЛЫН ОНОЛ. ДУНДАЖ ТҮВШИН

Нэг жишээ авч үзье. Бид үхэл хаялаа гэж бодъё. Энэ ямар яс вэ, чи мэдэх үү? Үүнийг нүүрэн дээрээ тоотой шоо гэж нэрлэдэг. Хэдэн нүүр царай, тийм олон тоо: хэдээс хэд хүртэл? Өмнө нь.

Тиймээс бид шоо гүйлгэж, энэ нь гарч ирэхийг хүсч байна, эсвэл. Тэгээд бид үүнийг авдаг.

Магадлалын онолоор тэд юу болсныг хэлдэг азтай үйл явдал(хөгжилтэй гэж андуурч болохгүй).

Хэрэв ийм зүйл тохиолдвол үйл явдал ч таатай байх болно. Нийтдээ зөвхөн хоёр таатай үйл явдал тохиолдож болно.

Хэчнээн нь тааламжгүй вэ? Нийт боломжит үйл явдлууд байгаа тул тааламжгүй үйл явдлууд нь үйл явдал юм (энэ нь хэрэв эсвэл унасан бол).

Тодорхойлолт:

Магадлал гэдэг нь таатай үйл явдлын тоог боломжит бүх үйл явдлын тоонд харьцуулсан харьцаа юм. Өөрөөр хэлбэл, магадлал нь бүх боломжит үйл явдлын хэдэн хувь нь таатай байгааг харуулдаг.

Магадлалыг латин үсгээр тэмдэглэсэн байдаг (мэдэгдэл Англи үгмагадлал - магадлал).

Магадлалыг хувиар хэмждэг заншилтай (сэдвийг үзнэ үү). Үүнийг хийхийн тулд магадлалын утгыг үржүүлэх шаардлагатай. Шооны жишээнд магадлал.

Мөн хувиар: .

Жишээ (өөрөө шийднэ үү):

1. Зоос шидэх үед толгой гарах магадлал хэд вэ? Толгойн буух магадлал хэд вэ?
2. Шүд шидэх үед тэгш тоо гарах магадлал хэд вэ? Аль нь хачирхалтай вэ?
3. Энгийн, цэнхэр, улаан өнгийн харандааны хайрцагт. Бид санамсаргүй байдлаар нэг харандаа зурдаг. Энгийн нэгийг авах магадлал хэд вэ?

Шийдэл:

1. Хэдэн сонголт байна вэ? Толгой ба сүүл - ердөө хоёр. Тэдгээрийн хэд нь таатай байна вэ? Зөвхөн нэг нь бүргэд. Тэгэхээр магадлал

   Энэ нь сүүлтэй адилхан: .

2. Нийт сонголтууд: (шоо нь хэдэн талтай, маш олон янзын сонголтууд). Тааламжтай тоонууд: (эдгээр нь бүгд тэгш тоонууд :).
   Магадлал. Мэдээжийн хэрэг, сондгой тоотой адилхан.
3. Нийт: . Таатай: . Магадлал: .

Нийт магадлал

Хайрцаг дахь бүх харандаа ногоон өнгөтэй байна. Улаан харандаа зурах магадлал хэд вэ? Ямар ч боломж байхгүй: магадлал (эцсийн эцэст таатай үйл явдлууд -).

Ийм үйл явдлыг боломжгүй гэж нэрлэдэг.

Ногоон харандаа зурах магадлал хэд вэ? Нийт үйл явдлуудтай яг ижил тооны таатай үйл явдлууд байдаг (бүх үйл явдлууд таатай байдаг). Тэгэхээр магадлал нь эсвэл тэнцүү байна.

Ийм үйл явдлыг найдвартай гэж нэрлэдэг.

Хэрэв хайрцагт ногоон, улаан өнгийн харандаа байгаа бол ногоон эсвэл улаан өнгийн зурах магадлал хэд вэ? Ахиад л. Үүнийг тэмдэглэе: ногоон сугалж авах магадлал тэнцүү, улаан нь тэнцүү байна.

Дүгнэж хэлэхэд эдгээр магадлалууд яг тэнцүү байна. Тэр бол, бүх боломжит үйл явдлын магадлалын нийлбэр нь тэнцүү буюу.

Жишээ:

Харандааны хайрцагт цэнхэр, улаан, ногоон, энгийн, шар, бусад нь улбар шар өнгөтэй байна. Ногоон зурахгүй байх магадлал хэд вэ?

Шийдэл:

Бүх магадлалууд нийлдэг гэдгийг бид санаж байна. Мөн ногоон болох магадлал тэнцүү байна. Энэ нь ногооноор зурахгүй байх магадлал тэнцүү гэсэн үг юм.

Энэ заль мэхийг санаарай:Үйл явдал тохиолдохгүй байх магадлал нь тухайн үйл явдал болох магадлалыг хассантай тэнцүү байна.

Бие даасан үйл явдлууд ба үржүүлэх дүрэм

Та зоосыг нэг удаа эргүүлж, хоёр удаад ч толгой дээр гарахыг хүсдэг. Үүний магадлал ямар байна вэ?

Бүх боломжит хувилбаруудыг судалж үзээд хэд нь байгааг тодорхойлъё.

Толгой-толгой, сүүл-толгой, толгой-сүүл, сүүл-сүүл. Өөр юу гэж?

Нийт сонголтууд. Эдгээрээс зөвхөн нэг нь л бидэнд тохирсон: Бүргэд-Бүргэд. Нийтдээ магадлал тэнцүү байна.

Сайн байна. Одоо нэг удаа зоос эргүүлье. Тооцоогоо өөрөө хий. Болсон уу? (хариулт).

Дараагийн шидэлт бүрийг нэмэхэд магадлал хоёр дахин буурч байгааг та анзаарсан байх. Ерөнхий дүрмийг гэж нэрлэдэг үржүүлэх дүрэм:

Бие даасан үйл явдлын магадлал өөрчлөгддөг.

Бие даасан үйл явдлууд юу вэ? Бүх зүйл логиктой: эдгээр нь бие биенээсээ хамаардаггүй зүйлүүд юм. Жишээлбэл, бид зоосыг хэд хэдэн удаа шидэх үед шинэ шидэлт хийх бүрт үр дүн нь өмнөх бүх шидэлтээс хамаардаггүй. Бид хоёр өөр зоос зэрэг амархан шидэж чадна.

Илүү олон жишээ:

1. Шоог хоёр удаа шиддэг. Хоёр удаа авах магадлал хэд вэ?
2. Зоосыг нэг удаа шиддэг. Энэ нь эхний удаад толгой дээр гарч, дараа нь хоёр удаа сүүлтэй байх магадлал хэд вэ?
3. Тоглогч хоёр шоо шиднэ. Тэдгээрийн тоонуудын нийлбэр тэнцүү байх магадлал хэд вэ?

Хариултууд:

1. Үйл явдал нь бие даасан бөгөөд үржүүлэх дүрэм ажилладаг гэсэн үг: .
2. Толгойн магадлал тэнцүү байна. Сүүлний магадлал ижил байна. Үржүүлэх:
3. Хоёр -ki өнхрүүлсэн тохиолдолд л 12-ыг авах боломжтой: .

Тохиромжгүй үйл явдал ба нэмэх дүрэм

Бүрэн магадлалын хэмжээнд бие биенээ нөхөж байгаа үйл явдлуудыг үл нийцэх гэж нэрлэдэг. Нэрнээс нь харахад тэд нэгэн зэрэг тохиолдох боломжгүй. Жишээлбэл, хэрэв бид зоос эргүүлбэл энэ нь толгой эсвэл сүүлтэй байж болно.

Жишээ.

Харандааны хайрцагт цэнхэр, улаан, ногоон, энгийн, шар, бусад нь улбар шар өнгөтэй байна. Ногоон эсвэл улаан зурах магадлал хэд вэ?

Шийдэл.

Ногоон харандаа зурах магадлал тэнцүү байна. Улаан -.

Бүх таатай үйл явдлууд: ногоон + улаан. Энэ нь ногоон эсвэл улаан зурах магадлал тэнцүү гэсэн үг юм.

Үүнтэй ижил магадлалыг дараах хэлбэрээр илэрхийлж болно: .

Энэ бол нэмэлт дүрэм юм:үл нийцэх үйл явдлын магадлалыг нэмнэ.

Холимог төрлийн асуудлууд

Жишээ.

Зоосыг хоёр удаа шидэв. Оролтын үр дүн өөр байх магадлал хэд вэ?

Шийдэл.

Энэ нь хэрэв эхний үр дүн нь толгой байвал хоёр дахь нь сүүл байх ёстой, мөн эсрэгээр гэсэн үг юм. Үүнээс харахад бие даасан хоёр хос үйл явдал байдаг бөгөөд эдгээр хосууд нь хоорондоо нийцэхгүй байна. Хаана үржүүлж, хаана нэмэхээ яаж андуурахгүй байх вэ.

Ийм нөхцөл байдалд зориулсан энгийн дүрэм байдаг. "AND" эсвэл "OR" гэсэн холбоосыг ашиглан юу болохыг тайлбарлахыг хичээ. Жишээлбэл, энэ тохиолдолд:

Энэ нь (толгой ба сүүл) эсвэл (сүүл ба толгой) гарч ирэх ёстой.

"ба" гэсэн холбоос байвал үржүүлэх, "эсвэл" байвал нэмэх нь:

Та өөрөө туршаад үзээрэй:

1. Зоосыг хоёр удаа шидэхэд зоос хоёр удаа нэг талдаа буух магадлал хэд вэ?
2. Шоог хоёр удаа шиддэг. Нийт оноо авах магадлал хэд вэ?

Шийдэл:

1. (Толгой унаж, сүүл унасан) эсвэл (сүүл унаж, сүүл нь унав): .
2. Ямар сонголтууд байна вэ? Тэгээд. Дараа нь:
   Унасан (ба) эсвэл (ба) эсвэл (ба): .

Өөр нэг жишээ:

Нэг удаа зоос шид. Толгойнууд дор хаяж нэг удаа гарч ирэх магадлал хэд вэ?

Шийдэл:

Өө, би ямар сонголтоор явахыг хүсэхгүй байна вэ ... Толгой-сүүл-сүүл, Бүргэд-толгой-сүүл, ... Гэхдээ шаардлагагүй! Нийт магадлалын талаар санацгаая. Чи санаж байна уу? Бүргэд байх магадлал хэд вэ хэзээ ч унахгүй? Энэ нь маш энгийн: толгой байнга нисдэг, ийм учраас л.

МАГАДЛЫН ОНОЛ. ГОЛ ЗҮЙЛИЙН ТУХАЙ ТОВЧХОН

Магадлал гэдэг нь таатай үйл явдлын тоог боломжит бүх үйл явдлын тоонд харьцуулсан харьцаа юм.

Бие даасан үйл явдлууд

Хэрэв нэг нь тохиолдсон нь нөгөө нь тохиолдох магадлалыг өөрчлөхгүй бол хоёр үйл явдал бие даасан байна.

Нийт магадлал

Бүх боломжит үйл явдлын магадлал () -тэй тэнцүү байна.

Үйл явдал тохиолдохгүй байх магадлал нь тухайн үйл явдал болох магадлалыг хассантай тэнцүү байна.

Бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх дүрэм

Тодорхой дарааллын бие даасан үйл явдлын магадлал нь үйл явдал бүрийн магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна

Тохиромжгүй үйл явдлууд

Туршилтын үр дүнд нэгэн зэрэг тохиолдох боломжгүй үйл явдлуудыг үл нийцэх үйл явдлууд гэнэ. Тохиромжгүй хэд хэдэн үйл явдлууд нь үйл явдлын бүрэн бүлгийг бүрдүүлдэг.

Тохиромжгүй үйл явдлын магадлалыг нэмдэг.

Юу болох ёстойг тайлбарласны дараа "AND" эсвэл "OR" холбоосыг ашиглан "AND"-ын оронд үржүүлэх тэмдэг, "OR"-ын оронд бид нэмэх тэмдэг тавина.

ҮЛДСЭН 2/3 НИЙТЛЭЛИЙГ ЗӨВХӨН ЗӨВХӨН ЗӨВХӨН ОЮУТНУУД ТАНД ХИЙХ БОЛОМЖТОЙ!

YouClever оюутан болоорой,

Улсын нэгдсэн шалгалт эсвэл математикийн улсын нэгдсэн шалгалтанд "сард нэг аяга кофе" -ны үнээр бэлдээрэй.

Мөн "YouClever" сурах бичиг, "100gia" Бэлтгэл хөтөлбөр (ажлын дэвтэр) -ийг хязгааргүй авах боломжтой. шүүх Улсын нэгдсэн шалгалтболон OGE, шийдэл болон бусад үйлчилгээ YouClever болон 100gia дүн шинжилгээ хийх 6000 асуудал.

Зоос шидэх үед бид үүнийг толгой дээр нь газардах болно гэж хэлж болно, эсвэл магадлал энэ нь 1/2. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь зоосыг 10 удаа шидэхэд заавал 5 удаа толгой дээр бууна гэсэн үг биш юм. Хэрэв зоос нь "шударга" бөгөөд хэрэв олон удаа шидсэн бол толгойнууд хагас цагаар маш ойрхон газардах болно. Тиймээс хоёр төрлийн магадлал байдаг: туршилтын Тэгээд онолын .

Туршилтын болон онолын магадлал

Хэрэв та зоос шидвэл олон тооныудаа - 1000 гэж хэлэх - мөн толгойг хэдэн удаа шидэхийг тоолбол бид толгой шидэх магадлалыг тодорхойлж чадна. Хэрэв толгойг 503 удаа шидсэн бол түүний буух магадлалыг тооцоолж болно.
503/1000 буюу 0.503.

Энэ туршилтын магадлалын тодорхойлолт. Магадлалын энэхүү тодорхойлолт нь өгөгдлийг ажиглах, судлахаас үүдэлтэй бөгөөд нэлээд түгээмэл бөгөөд маш хэрэгтэй байдаг. Жишээлбэл, туршилтаар тодорхойлсон зарим магадлалууд энд байна:

1. Эмэгтэй хүн хөхний хорт хавдар тусах магадлал 1/11 байна.

2. Ханиад хүрсэн хүнийг үнсвэл бас ханиад хүрэх магадлал 0.07 байна.

3. Шоронгоос дөнгөж суллагдсан хүн шорондоо эргэн орох магадлал 80% байдаг.

Хэрэв бид зоос шидэж, энэ нь толгой эсвэл сүүлээр гарч ирэх магадлалыг харгалзан үзвэл толгой гарах магадлалыг тооцоолж болно: 1/2. Энэ бол магадлалын онолын тодорхойлолт юм. Математик ашиглан онолын хувьд тодорхойлсон бусад магадлалыг энд оруулав.

1. Нэг өрөөнд 30 хүн байвал хоёрынх нь төрсөн он сар өдөртэй байх магадлал (оныг оруулаагүй) 0.706 байна.

2. Аялалын үеэр та хэн нэгэнтэй танилцаж, харилцан ярианы явцад харилцан найзтай гэдгээ олж мэдсэн. Ердийн хариу үйлдэл: "Энэ байж болохгүй!" Үнэн хэрэгтээ энэ хэллэг тохиромжгүй, учир нь ийм үйл явдлын магадлал нэлээд өндөр байдаг - ердөө 22%.

Тиймээс туршилтын магадлалыг ажиглалт, мэдээлэл цуглуулах замаар тодорхойлдог. Онолын магадлалыг математик үндэслэлээр тодорхойлно. Туршилтын болон онолын магадлалын жишээнүүд, тухайлбал дээр дурьдсан, ялангуяа бидний төсөөлөөгүй зүйлүүд нь магадлалыг судлахын ач холбогдлыг бидэнд хүргэдэг. Та "Бодит магадлал гэж юу вэ?" гэж асууж магадгүй. Ер нь тийм юм байхгүй. Тодорхой хязгаар доторх магадлалыг туршилтаар тодорхойлж болно. Эдгээр нь бидний онолын хувьд олж авсан магадлалтай давхцаж магадгүй эсвэл давхцахгүй байж болно. Нэг төрлийн магадлалыг тодорхойлох нь нөгөөгөөсөө хамаагүй хялбар байдаг нөхцөл байдал байдаг. Жишээлбэл, онолын магадлалыг ашиглан ханиад хүрэх магадлалыг олоход хангалттай.

Туршилтын магадлалын тооцоо

Эхлээд магадлалын туршилтын тодорхойлолтыг авч үзье. Ийм магадлалыг тооцоолоход бидний ашигладаг үндсэн зарчим нь дараах байдалтай байна.

P зарчим (туршилтын)

Хэрэв n ажиглалт хийсэн туршилтанд n удаагийн ажиглалтаар нөхцөл байдал, Е үйл явдал m удаа тохиолдвол тухайн үзэгдлийн туршилтын магадлалыг P (E) = m/n гэнэ.

Жишээ 1 Социологийн судалгаа. зохион байгуулсан туршилтын судалгаазүүн гарт, баруун гарт болон хоёр гар нь ижил хөгжсөн хүмүүсийн тоог тодорхойлох.Үр дүнг графикт үзүүлэв.

a) Тухайн хүн баруун гартай байх магадлалыг тодорхойл.

б) Тухайн хүн солгой байх магадлалыг тодорхойл.

в) Хүн хоёр гартаа адилхан чөлөөтэй байх магадлалыг тодорхойл.

г) Мэргэжлийн боулингийн холбооны ихэнх тэмцээнүүд 120 тоглогчоор хязгаарлагддаг. Энэ туршилтын өгөгдөл дээр үндэслэн хэдэн тоглогч солгой байж болох вэ?

Шийдэл

a)Баруун гартай хүмүүсийн тоо 82, зүүн гартай хүний ​​тоо 17, хоёр гараараа адил чөлөөтэй ярьдаг хүмүүсийн тоо 1. Нийт ажиглалтын тоо 100. Иймд магадлал хүн баруун гартай гэдгийг П
P = 82/100 буюу 0.82 буюу 82%.

б) Хүн солгой байх магадлал нь P, энд
P = 17/100, эсвэл 0.17, эсвэл 17%.

в) Хүн хоёр гараараа адилхан чөлөөтэй байх магадлал P, энд
P = 1/100, эсвэл 0.01, эсвэл 1%.

г) 120 боулин тоглогч, (б) -аас бид 17% нь солгой байна гэж найдаж болно. Эндээс
120-ийн 17% = 0.17.120 = 20.4,
өөрөөр хэлбэл, бид 20 орчим тоглогч зүүн гартай байх болно гэж найдаж болно.

Жишээ 2 Чанарын шалгалт . Үйлдвэрлэгчийн хувьд бүтээгдэхүүнийхээ чанарыг хадгалах нь маш чухал юм өндөр түвшин. Уг нь компаниуд энэ үйл явцыг баталгаажуулахын тулд чанарын хяналтын байцаагч хөлсөлж авдаг. Зорилго нь боломжит хамгийн бага тооны гэмтэлтэй бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэх явдал юм. Гэвч тус компани өдөр бүр олон мянган бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэдэг тул бүтээгдэхүүн бүрийг шалгаж, доголдолтой эсэхийг тодорхойлох боломжгүй юм. Бүтээгдэхүүний хэдэн хувь нь гэмтэлтэй байгааг мэдэхийн тулд компани хамаагүй цөөн тооны бүтээгдэхүүнийг туршиж үздэг.
яам Хөдөө аж ахуйАНУ-д тариалагчдын борлуулсан үрийн 80% нь соёолж байх ёстой. Газар тариалангийн компанийн үйлдвэрлэж буй үрийн чанарыг тодорхойлохын тулд үйлдвэрлэсэн үрээс 500 үрийг тарьдаг. Үүний дараа 417 үр соёолсон гэж тооцсон.

а) Үр соёолох магадлал хэд вэ?

б) Үр нь төрийн стандартад нийцэж байна уу?

Шийдэл a) Тарьсан 500 үрээс 417 нь соёолсон гэдгийг бид мэднэ. Үрийн соёололт P, ба
P = 417/500 = 0.834 буюу 83.4%.

б) Соёолсон үрийн хувь шаардлагын дагуу 80%-иас давсан тул үр нь төрийн стандартад нийцсэн байна.

Жишээ 3 Телевизийн үнэлгээ. Статистикийн мэдээгээр АНУ-д 105 сая 500 мянган айл өрх телевизортой байдаг. Долоо хоног бүр нэвтрүүлэг үзэх талаарх мэдээллийг цуглуулж боловсруулдаг. Нэг долоо хоногийн дотор 7,815,000 өрх CBS сувгаар "Бүгд Рэймонд хайртай" инээдмийн цувралыг, 8,302,000 өрх NBC сувгаар "Хууль ба дэг журам" цувралыг үзжээ (Эх сурвалж: Nielsen Media Research). Тухайн долоо хоногт нэг айлын зурагт "Хүн бүр Рэймонд хайртай" дууг "Хууль ба дэг журам"-д тааруулах магадлал хэд вэ?

ШийдэлНэг айлын зурагт "Бүгд Рэймонд хайртай"-д тааруулсан байх магадлал нь P, ба
P = 7,815,000/105,500,000 ≈ 0.074 ≈ 7.4%.
Тухайн айлын телевизорыг хууль & дэг журамд тохируулсан боломж нь P, and
P = 8,302,000/105,500,000 ≈ 0.079 ≈ 7.9%.
Эдгээр хувийг үнэлгээ гэж нэрлэдэг.

Онолын магадлал

Бид зоос, сум шидэх, тавцангаас карт зурах, угсрах шугам дээр бүтээгдэхүүний чанарыг шалгах гэх мэт туршилт хийж байна гэж бодъё. Ийм туршилтын боломжит үр дүн бүрийг нэрлэдэг Египетээс гарсан . Бүх боломжит үр дүнгийн багцыг дуудна үр дүнгийн орон зай . Үйл явдал энэ нь үр дүнгийн багц, өөрөөр хэлбэл үр дүнгийн орон зайн дэд хэсэг юм.

Жишээ 4 Сум шидэх. Сум шидэлтийн туршилтанд сум нь байг оносон гэж бодъё. Дараах зүйл бүрийг ол.

б) Үр дүнгийн орон зай

Шийдэл
a) Үр дүн нь: хар (B), улаан (R) цохих, цагаан (B) цохих.

b) Үр дүнгийн орон зай нь (хараар цохих, улаанаар цохих, цагаанаар цохих) бөгөөд үүнийг энгийн байдлаар (H, K, B) гэж бичиж болно.

Жишээ 5 Шоо шидэх. Шөрмөс нь зургаан талтай, тус бүр дээр нэгээс зургаан цэгтэй шоо юм.


Бид үхэл шидэж байна гэж бодъё. Хай
a) Үр дүн
б) Үр дүнгийн орон зай

Шийдэл
a) Үр дүн: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Үр дүнгийн орон зай (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Бид E үйл явдал тохиолдох магадлалыг P(E) гэж тэмдэглэнэ. Жишээлбэл, "зоос толгой дээр буух болно" гэж H гэж тэмдэглэж болно. Дараа нь P(H) нь зоос толгой дээр буух магадлалыг илэрхийлнэ. Туршилтын бүх үр дүн гарах магадлал ижил байвал тэдгээрийг ижил магадлалтай гэж нэрлэдэг. Ижил магадлалтай үйл явдлууд болон үл хамаарах үйл явдлуудын ялгааг харахын тулд доор үзүүлсэн зорилтыг анхаарч үзээрэй.

Зорилтот А-ын хувьд хар, улаан, цагаан секторууд ижил тул хар, улаан, цагааныг онох үйл явдлууд ижил магадлалтай. Гэсэн хэдий ч, зорилтот В-ийн хувьд эдгээр өнгө бүхий бүсүүд ижил биш, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийг цохих магадлал ижил биш юм.

P зарчим (онолын)

Хэрэв E үйл явдал S үр дагаврын орон зайд ижил магадлалтай n үр дүнгээс m-т тохиолдож болох юм бол онолын магадлал үйл явдал, P(E) байна
P(E) = м/н.

Жишээ 6 3-ыг авахын тулд үхрийг өнхрүүлэх магадлал хэд вэ?

ШийдэлШоо дээр 6 ижил магадлалтай үр дүн байх ба 3-ын тоог өнхрүүлэх ганц л боломж байна. Тэгвэл P магадлал P(3) = 1/6 болно.

Жишээ 7Талх дээр тэгш тоо эргэлдэх магадлал хэд вэ?

ШийдэлҮйл явдал нь тэгш тоо шидэх явдал юм. Энэ нь 3 аргаар тохиолдож болно (хэрэв та 2, 4 эсвэл 6 өнхрүүлбэл). Ижил магадлалтай үр дүнгийн тоо нь 6. Дараа нь магадлал P(тэгш) = 3/6 буюу 1/2.

Бид стандарт 52 картын тавцантай холбоотой хэд хэдэн жишээг ашиглах болно. Энэ тавцан нь доорх зурагт үзүүлсэн картуудаас бүрдэнэ.

Жишээ 8Сайн холилдсон хөзрөөс Ace зурах магадлал хэд вэ?

Шийдэл 52 үр дүн (давцан дахь хөзрийн тоо), тэдгээр нь ижил магадлалтай (хэрэв тавцанг сайтар хольсон бол), Ace зурах 4 арга байдаг тул P зарчмын дагуу магадлал
P (хүзээ зурах) = 4/52, эсвэл 1/13.

Жишээ 9Бид 3 улаан, 4 ногоон бөмбөлөг бүхий уутнаас нэг бөмбөгийг хайхгүйгээр сонгосон гэж бодъё. Улаан бөмбөг сонгох магадлал хэд вэ?

ШийдэлАливаа бөмбөг зурахад ижил магадлалтай 7 үр дүн байдаг бөгөөд улаан бөмбөг зурах аргын тоо 3 байдаг тул бид үүнийг олж авна.
P (улаан бөмбөг сонгох) = 3/7.

Дараах мэдэгдлүүд нь P зарчмын үр дүн юм.

Магадлалын шинж чанарууд

a) Хэрэв Е үйл явдал тохиолдох боломжгүй бол P(E) = 0.
b) Хэрэв Е үйл явдал болох нь тодорхой бол P(E) = 1.
в) Е үйл явдал болох магадлал нь 0-ээс 1 хүртэлх тоо: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Жишээлбэл, зоос шидэх үед зоос түүний ирмэг дээр буух магадлал 0 байна. Зоос нь толгой эсвэл сүүл байх магадлал нь 1-ийн магадлалтай.

Жишээ 10 52 карттай тавцангаас 2 хөзөр сугалсан гэж бодъё. Аль аль нь оргил байх магадлал хэд вэ?

Шийдэл 52 хөзрийг сайтар хольсон тавцангаас 2 хөзрийг татах аргын n тоо 52 C 2 байна. 52 хөзрийн 13 нь хүрз тул 2 хүрз зурах m аргын тоо 13 С 2 байна. Дараа нь,
P(2 оргилыг татах) = m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

Жишээ 11 6 эрэгтэй, 4 эмэгтэйгээс 3 хүнийг санамсаргүй байдлаар сонгосон гэж бодъё. 1 эрэгтэй, 2 эмэгтэй сонгогдох магадлал хэд вэ?

Шийдэл 10 хүнтэй бүлгээс гурван хүнийг сонгох аргын тоо 10 С 3 байна. Нэг эрэгтэйг 6 С 1 аргаар, 2 эмэгтэйг 4 С 2 аргаар сонгож болно. Тоолох үндсэн зарчмын дагуу 1 эрэгтэй, 2 эмэгтэйг сонгох аргын тоо 6 C 1 байна. 4 C 2. Дараа нь 1 эрэгтэй, 2 эмэгтэй сонгогдох магадлал
P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.

Жишээ 12 Шоо шидэх. Хоёр шоо дээр нийт 8-ыг өнхрүүлэх магадлал хэд вэ?

ШийдэлШоо болгонд 6 боломжит үр дүн бий. Үр дүн нь хоёр дахин нэмэгддэг бөгөөд энэ нь хоёр шоо дээрх тоо гарч ирэх 6.6 эсвэл 36 боломжит арга байдаг гэсэн үг юм. (Хэрэв шоо нь өөр бол нэг нь улаан, нөгөө нь цэнхэр байвал илүү дээр - энэ нь үр дүнг төсөөлөхөд тусална.)

Доорх зурагт нийлбэр нь 8 хүртэлх тооны хосыг харуулав. 8-тай тэнцэх нийлбэрийг авах 5 боломжит арга байдаг тул магадлал нь 5/36 байна.