"Тригонометрийн илэрхийлэл ба тэдгээрийн хувиргалт" сэдвээр хичээлийн хураангуй. "Тригонометрийн илэрхийллийг хялбарчлах" хичээл Тригонометрийн илэрхийллийг хэрхэн хялбарчлах вэ

“Тригонометрийн илэрхийлэлийг хялбарчлах нь” видео хичээл нь тригонометрийн үндсэн шинж чанаруудыг ашиглан тригонометрийн асуудлыг шийдвэрлэх чадварыг хөгжүүлэх зорилготой юм. Видео хичээлийн үеэр тригонометрийн ижил төстэй байдлын төрлүүд, тэдгээрийг ашиглан асуудлыг шийдвэрлэх жишээг авч үзсэн болно. Харааны хэрэглүүрийг ашигласнаар багш хичээлийн зорилгодоо хүрэхэд хялбар байдаг. Материалын тод танилцуулга нь цээжлэх чадварыг дэмждэг чухал цэгүүд. Хөдөлгөөнт эффект, дуу хоолойг ашиглах нь материалыг тайлбарлах үе шатанд багшийг бүрэн солих боломжийг олгодог. Тиймээс багш математикийн хичээлд энэхүү үзүүлэнг ашигласнаар сургалтын үр нөлөөг нэмэгдүүлэх боломжтой.

Видео хичээлийн эхэнд түүний сэдвийг зарласан. Дараа нь бид өмнө нь судалж байсан тригонометрийн ижил төстэй байдлыг эргэн санав. Дэлгэц нь sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, энд kϵZ-ийн хувьд t≠π/2+πk, ctg t=cos t/sin t, t≠πk-ийн зөв, Энд kϵZ, tg t· ctg t=1, t≠πk/2-ын хувьд, kϵZ нь үндсэн тригонометрийн адилтгалууд гэж нэрлэгддэг. Эдгээр таних тэмдэг нь тэгш байдлыг нотлох эсвэл илэрхийлэлийг хялбарчлах шаардлагатай асуудлыг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн ашиглагддаг болохыг тэмдэглэв.

Асуудлыг шийдвэрлэхэд эдгээр таних тэмдгийг ашиглах жишээг доор авч үзье. Нэгдүгээрт, илэрхийлэлийг хялбаршуулах асуудлыг шийдвэрлэх талаар авч үзэхийг санал болгож байна. Жишээ 1-д cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t илэрхийллийг хялбарчлах шаардлагатай. Жишээг шийдэхийн тулд эхлээд хаалтнаас cos 2 t нийтлэг хүчин зүйлийг авна. Хаалтанд хийсэн энэхүү хувиргалтын үр дүнд 1- cos 2 t илэрхийлэл гарч ирэх бөгөөд тригонометрийн үндсэн шинж чанараас авсан утга нь sin 2 t-тэй тэнцүү байна. Илэрхийлэлийг хувиргасны дараа хаалтнаас өөр нэг нийтлэг хүчин зүйл sin 2 t-ийг гаргаж болох нь ойлгомжтой бөгөөд үүний дараа илэрхийлэл sin 2 t (sin 2 t+cos 2 t) хэлбэртэй болно. Ижил үндсэн ижилсвэрээс бид 1-тэй тэнцүү хаалтанд байгаа илэрхийллийн утгыг гаргана. Хялбаршуулсаны үр дүнд бид cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t-ийг олж авна.

Жишээ 2-т өртөг/(1- sint)+ зардал/(1+ sint) илэрхийлэлийг хялбарчлах шаардлагатай. Хоёр бутархайн тоологч нь илэрхийллийн зардлыг агуулж байгаа тул үүнийг нийтлэг хүчин зүйл болгон хаалтнаас гаргаж болно. Дараа нь хаалтанд байгаа бутархайг (1- sint) (1+ sint) үржүүлж нийтлэг хуваагч болгон бууруулна. Ижил нэр томъёог авчирсны дараа тоологч нь 2, хуваагч нь 1 - нүгэл 2 т. Дэлгэцийн баруун талд sin 2 t+cos 2 t=1 гэсэн үндсэн тригонометрийн адилтгалуудыг эргэн санав. Үүнийг ашиглан cos 2 t бутархайн хуваагчийг олно. Бутархайг бууруулсны дараа бид зардал/(1- sint)+ зардал/(1+ sint)=2/зардлын илэрхийллийн хялбаршуулсан хэлбэрийг олж авна.

Дараа нь бид тригонометрийн үндсэн таних тэмдгүүдийн талаархи олж авсан мэдлэгийг ашигладаг таних тэмдгүүдийн жишээг авч үзэх болно. 3-р жишээнд (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t гэдгийг батлах шаардлагатай. Дэлгэцийн баруун талд нотлоход шаардлагатай гурван таних тэмдэг харагдана - tg t·ctg t=1, ctg t=cos t/sin t ба tg t=sin t/cos t хязгаарлалттай. Тодорхойлолтыг батлахын тулд эхлээд хаалтуудыг онгойлгож, дараа нь tg t·ctg t=1 гэсэн үндсэн тригонометрийн адилтгалын илэрхийллийг тусгасан бүтээгдэхүүн үүснэ. Дараа нь котангенсийн тодорхойлолтын дагуу ctg 2 t хувирна. Өөрчлөлтийн үр дүнд 1-cos 2 t илэрхийлэл гарна. Үндсэн таних тэмдгийг ашиглан бид илэрхийллийн утгыг олдог. Ийнхүү (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t болох нь батлагдсан.

Жишээ 4-д tg t+ctg t=6 бол tg 2 t+ctg 2 t илэрхийллийн утгыг олох хэрэгтэй. Илэрхийллийг тооцоолохын тулд эхлээд тэгшитгэлийн баруун ба зүүн талыг квадрат болгоно (tg t+ctg t) 2 =6 2. Дэлгэцийн баруун талд товчилсон үржүүлгийн томъёог эргүүлэн татна. Илэрхийллийн зүүн талын хаалтуудыг нээсний дараа tg 2 t+2· tg t·ctg t+ctg 2 t нийлбэр үүсэх бөгөөд үүнийг хувиргахын тулд тригонометрийн ижил төстэй байдлын аль нэгийг ашиглаж болно tg t·ctg t=1. , хэлбэр нь дэлгэцийн баруун талд эргэн дурсагдсан байна. Хувиргасны дараа tg 2 t+ctg 2 t=34 тэгшитгэл гарна. Тэгш байдлын зүүн тал нь бодлогын нөхцөлтэй давхцаж байгаа тул хариулт нь 34. Бодлого шийдэгдсэн.

"Тригонометрийн илэрхийлэлийг хялбарчлах" видео хичээлийг уламжлалт байдлаар ашиглахыг зөвлөж байна сургуулийн хичээлматематик. Энэ материал нь хэрэгжүүлэх багшид бас хэрэг болно алсын зайн сургалт. Тригонометрийн асуудлыг шийдвэрлэх чадварыг хөгжүүлэх зорилгоор.

Текстийг тайлах:

"Тригонометрийн илэрхийлэлийг хялбарчлах."

Тэнцүү байдал

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (синус квадрат te нэмэх косинусын квадрат te нэгтэй тэнцүү)

2)tgt =, t ≠ + πk-ийн хувьд kϵZ (шүргэх te нь синус те ба косинус te харьцаатай тэнцүү, te нь pi-тэй тэнцүү биш хоёрыг нэмсэн пи ка, ка нь zet-д хамаарна)

3)ctgt =, t ≠ πk-ийн хувьд kϵZ (котангенс te нь косинусын te ба синусын харьцаатай тэнцүү бөгөөд te pi ka-тай тэнцүү биш, ka нь zet-д хамаарна).

4) t ≠ , kϵZ-ийн хувьд tgt ∙ ctgt = 1 (te нь котангентын котангентын үржвэр нь нэгтэй тэнцүү байх үед te нь дээд ка-тай тэнцүү биш, хоёр хуваагдах, ka нь zet-д хамаарна)

үндсэн тригонометрийн ижилсэлтүүд гэж нэрлэдэг.

Тэдгээрийг ихэвчлэн тригонометрийн илэрхийллийг хялбарчлах, нотлоход ашигладаг.

Тригонометрийн илэрхийллийг хялбарчлахын тулд эдгээр томъёог ашиглах жишээг харцгаая.

ЖИШЭЭ 1. Илэрхийллийг хялбарчлах: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (илэрхийлэл косинусын квадрат te хасах дөрөв дэх зэрэгтэй косинус te нэмэх дөрөвдүгээр зэрэглэлийн синус).

Шийдэл. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t =cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2) t) = нүгэл 2 т 1= нүгэл 2 т

(бид косинусын квадрат te нийтлэг хүчин зүйлийг гаргаж, хаалтанд бид нэгдмэл байдал ба квадрат косинус te хоёрын ялгааг авна. Энэ нь эхний таних тэмдэгээр квадрат синус тетэй тэнцүү байна. Бид 4 дэх түвшний синус тегийн нийлбэрийг авна. косинусын квадрат te ба синус квадрат te үржвэр.Бид хаалтны гадна талд синус квадрат te нийтлэг хүчин зүйлийг гаргаж аваад хаалтанд косинус ба синусын квадратуудын нийлбэрийг авдаг бөгөөд энэ нь үндсэн тригонометрийн ижил төстэй байдлын дагуу 1-тэй тэнцүү байна. Үүний үр дүнд бид синусын квадратыг авна).

ЖИШЭЭ 2. Илэрхийлэлийг хялбарчлах: + .

(be илэрхийлэл нь хуваагч дахь эхний косинусын те-ийн хуваарьт нэг хасах синус те, хоёр дахь косинусын хуваарьт синус те нэмэх хоёр бутархайн нийлбэр юм).

(Косинус te нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргаж аваад, хаалтанд нэг хасах синусын нэг нэмэх синусын үржвэр болох нийтлэг хуваагч руу авъя.

Тоолуур дээр бид: нэг нэмэх синус те нэмэх нэг хасах синус тэ, бид ижил төстэй зүйлийг өгдөг, ижил төстэй зүйлийг авчирсны дараа тоологч хоёртой тэнцүү байна.

Хуваарийн хэсэгт та үржүүлэх товчилсон томъёог (квадратуудын ялгаа) хэрэглэж, тригонометрийн үндсэн шинж чанарын дагуу нэгдэл ба синус тегийн квадратын зөрүүг олж авах боломжтой.

косинусын квадраттай тэнцүү te. Косинус те-ээр багасгасны дараа бид эцсийн хариултыг авна: хоёрыг косинус те-д хуваана).

Тригонометрийн илэрхийллийг батлахдаа эдгээр томъёог ашиглах жишээг харцгаая.

ЖИШЭЭ 3. Идэвхжүүлэх (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = sin 2 t (te ба синус те-ийн квадратуудын котангентын квадратаар үржвэрлэх үржвэр нь -ийн квадраттай тэнцүү байна) sine te).

Баталгаа.

Тэгш байдлын зүүн талыг өөрчилье:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t ∙ = 1 - 2 т = нүгэл 2 т

(Хаалтуудыг нээцгээе. Өмнө нь олж авсан хамаарлаас те котангентын квадратуудын үржвэр нь нэгтэй тэнцүү байна. Котангенс te нь косинусын те-ийн синус те-ийн харьцаатай тэнцүү гэдгийг эргэн санацгаая. котангентын квадрат нь косинусын квадратыг синус тегийн квадраттай харьцуулсан харьцаа гэсэн үг юм.

Синусын квадрат te) -ээр багасгасны дараа бид нэгдэл ба косинусын квадрат te хоорондын зөрүүг олж авна, энэ нь синус квадрат te). Q.E.D.

ЖИШЭЭ 4. tgt + ctgt = 6 бол tg 2 t + ctg 2 t илэрхийллийн утгыг ол.

(хэрэв шүргэгч ба котангенсийн нийлбэр зургаа бол шүргэгч te ба котангенсийн квадратуудын нийлбэр).

Шийдэл. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Анхны тэгш байдлын хоёр талыг квадрат болгоё:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (те ба котангенсийн нийлбэрийн квадрат нь зургаан квадраттай тэнцүү). Товчилсон үржүүлэх томъёог эргэн санацгаая: Хоёр хэмжигдэхүүний нийлбэрийн квадрат нь эхнийх нь квадрат дээр нэмэх нь эхнийх нь хоёр дахь үржвэрийг хоёр дахин нэмсэн хоёр дахь үржвэрийн квадраттай тэнцүү юм. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Бид tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 (тангенсийн квадрат te нэмэх котангенс te-ийн хоёр дахин үржвэрийг котангенс te нэмэх котангенсын квадрат te тэнцүү байна. гучин зургаан) .

te ба котангенсийн үржвэр нь нэгтэй тэнцүү тул tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36 (te ба котангенс te ба хоёрын квадратуудын нийлбэр гучин зургаатай тэнцүү) болно.

IN таниулах өөрчлөлтүүд тригонометрийн илэрхийллүүдДараах алгебрийн аргуудыг ашиглаж болно: ижил нэр томъёог нэмэх, хасах; нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргах; ижил хэмжигдэхүүнээр үржүүлэх, хуваах; үржүүлэх товчилсон томъёоны хэрэглээ; бүрэн квадратыг сонгох; квадрат гурвалсан тоог хүчинжүүлэх; хувиргалтыг хялбарчлах шинэ хувьсагчдыг нэвтрүүлэх.

Бутархайг агуулсан тригонометрийн илэрхийллийг хөрвүүлэхдээ пропорциональ, бутархайг багасгах, бутархайг нийтлэг хуваагч болгон багасгах шинж чанаруудыг ашиглаж болно. Нэмж дурдахад, та бутархайн бүхэл хэсгийг сонгож, бутархайн хуваагч ба хуваагчийг ижил хэмжээгээр үржүүлж, мөн боломжтой бол тоологч эсвэл хуваагчийн нэгэн төрлийн байдлыг харгалзан үзэх боломжтой. Шаардлагатай бол та бутархайг хэд хэдэн энгийн бутархайн нийлбэр эсвэл зөрүүгээр илэрхийлж болно.

Нэмж дурдахад тригонометрийн илэрхийлэлийг хөрвүүлэхэд шаардлагатай бүх аргыг ашиглахдаа хөрвүүлж буй илэрхийллийн зөвшөөрөгдөх утгын хүрээг байнга анхаарч үзэх шаардлагатай.

Хэд хэдэн жишээг харцгаая.

Жишээ 1.

A = (sin (2x – π) cos (3π – x) + sin (2x – 9π/2) cos (x + π/2)) 2 + (cos (x – π/2) cos ( 2x – 7π) -ийг тооцоол. /2) +
+ нүгэл (3π/2 – x) нүгэл (2х –5π/2)) 2

Шийдэл.

Бууруулах томъёоноос дараах байдалтай байна.

нүгэл (2x – π) = -sin 2x; cos (3π – x) = -cos x;

нүгэл (2x – 9π/2) = -cos 2x; cos (x + π/2) = -sin x;

cos (x – π/2) = sin x; cos (2x – 7π/2) = -sin 2x;

нүгэл (3π/2 – x) = -cos x; нүгэл (2x – 5π/2) = -cos 2x.

Эндээс аргумент нэмэх томъёо, үндсэн тригонометрийн ижил төстэй байдлын ачаар бид олж авдаг.

A = (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 = sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) =
= sin 2 3x + cos 2 3x = 1

Хариулт: 1.

Жишээ 2.

M = cos α + cos (α + β) · cos γ + cos β – sin (α + β) · sin γ + cos γ илэрхийллийг үржвэр болгон хувирга.

Шийдэл.

Тригонометрийн функцүүдийн нийлбэрийг зохих бүлэгт оруулсны дараа бүтээгдэхүүн болгон хувиргах аргумент, томъёог нэмэх томъёоноос бид

M = (cos (α + β) cos γ – sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) cos ((β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) (cos ((β – γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) 2cos ((β – γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) cos ((β – γ)/2) – (α + ( β +) γ)/2)/2) =

4cos ((β + γ)/2) cos ((α +β)/2) cos ((α + γ)/2).

Хариулт: M = 4cos ((α + β)/2) · cos ((α + γ)/2) · cos ((β + γ)/2).

Жишээ 3.

A = cos 2 (x + π/6) – cos (x + π/6) cos (x – π/6) + cos 2 (x – π/6) илэрхийлэл нь R ба бүх x-д нэгийг авч байгааг харуул. ижил утгатай. Энэ утгыг ол.

Шийдэл.

Энэ асуудлыг шийдэх хоёр арга зам энд байна. Эхний аргыг хэрэглэснээр бүтэн квадратыг тусгаарлаж, харгалзах үндсэн тригонометрийн томъёог ашиглан бид олж авна.

A = (cos (x + π/6) – cos (x – π/6)) 2 + cos (x – π/6) cos (x – π/6) =

4sin 2 x sin 2 π/6 + 1/2(cos 2x + cos π/3) =

Нүгэл 2 x + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 1/2 · (1 – cos 2x) + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 3/4.

Асуудлыг хоёр дахь аргаар шийдэж, A-г R-ээс х-ийн функц гэж үзээд деривативыг тооцоол. Өөрчлөлтийн дараа бид олж авдаг

А´ = -2cos (x + π/6) sin (x + π/6) + (sin (x + π/6) cos (x – π/6) + cos (x + π/6) sin (x) + π/6)) – 2cos (x – π/6) sin (x – π/6) =

Нүгэл 2(x + π/6) + нүгэл ((x + π/6) + (x – π/6)) – нүгэл 2(x – π/6) =

Нүгэл 2х – (нүгэл (2х + π/3) + нүгэл (2х – π/3)) =

Sin 2x – 2sin 2x · cos π/3 = sin 2x – sin 2x ≡ 0.

Эндээс интервал дээр дифференциалагдах функцийн тогтмол байдлын шалгуурын дагуу бид дүгнэж байна.

A(x) ≡ (0) = cos 2 π/6 - cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x € R.

Хариулт: x € R-ийн хувьд A = 3/4.

Тригонометрийн ижил төстэй байдлыг батлах үндсэн аргууд нь:

A)зохих хувиргалтын тусламжтайгаар таних тэмдгийн зүүн талыг баруун тийш нь багасгах;
б)таних тэмдгийн баруун талыг зүүн тийш нь багасгах;
V)таних тэмдгийн баруун ба зүүн талыг ижил хэлбэрт оруулах;
G)нотлогдож буй таних тэмдгийн зүүн ба баруун талын ялгааг тэг болгож бууруулна.

Жишээ 4.

cos 3x = -4cos x · cos (x + π/3) · cos (x + 2π/3) эсэхийг шалгана уу.

Шийдэл.

Харгалзах тригонометрийн томъёог ашиглан энэ таних тэмдгийн баруун талыг хувиргаснаар бид дараах байдалтай байна.

4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3) =

2cos x (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) – (x + 2π/3)))) =

2cos x (cos (2x + π) + cos π/3) =

2cos x · cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) – cos x = cos 3x.

Баримт бичгийн баруун талыг зүүн тийш нь багасгасан.

Жишээ 5.

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ = 2, хэрэв α, β, γ нь зарим гурвалжны дотоод өнцөг гэдгийг батал.

Шийдэл.

α, β, γ нь зарим гурвалжны дотоод өнцөг гэдгийг харгалзан үзвэл бид үүнийг олж авна

α + β + γ = π, тиймээс γ = π – α – β.

нүгэл 2 α + нүгэл 2 β + нүгэл 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ =

Нүгэл 2 α + нүгэл 2 β + нүгэл 2 (π – α – β) – 2cos α · cos β · cos (π – α – β) =

Нүгэл 2 α + нүгэл 2 β + нүгэл 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α – β)) · (cos (α + β) =

Нүгэл 2 α + нүгэл 2 β + (нүгэл 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α – β) (cos (α + β)) =

1/2 · (1 – cos 2α) + ½ · (1 – cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) = 2.

Анхны тэгш байдал нь батлагдсан.

Жишээ 6.

Гурвалжны α, β, γ өнцгүүдийн аль нэг нь 60°-тай тэнцүү байхын тулд sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0 байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай гэдгийг батал.

Шийдэл.

Энэ асуудлын нөхцөл нь хэрэгцээ ба хангалттай эсэхийг нотлох явдал юм.

Эхлээд баталъя хэрэгцээ.

Үүнийг харуулж болно

нүгэл 3α + нүгэл 3β + нүгэл 3γ = -4cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2).

Эндээс cos (3/2 60°) = cos 90° = 0 гэдгийг харгалзан үзвэл α, β эсвэл γ өнцгүүдийн аль нэг нь 60°-тай тэнцүү байвал бид олж авна.

cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0, тиймээс нүгэл 3α + нүгэл 3β + нүгэл 3γ = 0.

Одоо баталъя хангалттай байдалзаасан нөхцөл.

Хэрэв sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0 бол cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0, тиймээс

cos (3α/2) = 0, эсвэл cos (3β/2) = 0, эсвэл cos (3γ/2) = 0 байна.

Тиймээс,

эсвэл 3α/2 = π/2 + πk, i.e. α = π/3 + 2πk/3,

эсвэл 3β/2 = π/2 + πk, i.e. β = π/3 + 2πk/3,

эсвэл 3γ/2 = π/2 + πk,

тэдгээр. γ = π/3 + 2πk/3, энд k ϵ Z.

α, β, γ нь гурвалжны өнцгөөс бид байна

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Иймд α = π/3 + 2πk/3 эсвэл β = π/3 + 2πk/3 эсвэл

Бүх kϵZ-ийн γ = π/3 + 2πk/3 нь зөвхөн k = 0 тохиромжтой.

Эндээс α = π/3 = 60°, β = π/3 = 60°, γ = π/3 = 60° байна.

Энэ мэдэгдэл нь нотлогдсон.

Асуулт хэвээр байна уу? Тригонометрийн илэрхийллийг хэрхэн хялбарчлахаа мэдэхгүй байна уу?
Багшаас тусламж авахын тулд бүртгүүлнэ үү.
Эхний хичээл үнэ төлбөргүй!

вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.

Хэсэгүүд: Математик

Анги: 11

Хичээл 1

Сэдэв: 11-р анги (Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх)

Тригонометрийн илэрхийллийг хялбарчлах.

Энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. (2 цаг)

Зорилго:

Тригонометрийн томьёо ашиглах, энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх талаархи оюутнуудын мэдлэг, чадварыг системчлэх, нэгтгэх, өргөжүүлэх.

Хичээлийн хэрэгсэл:

Хичээлийн бүтэц:

Зохион байгуулалтын мөч
Зөөврийн компьютер дээр туршилт хийх. Үр дүнгийн хэлэлцүүлэг.
Тригонометрийн илэрхийллийг хялбарчлах
Энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх
Бие даасан ажил.
Хичээлийн хураангуй. Гэрийн даалгаврын тайлбар.

1. Зохион байгуулалтын мөч. (2 минут.)

Багш сонсогчтой мэндчилж, хичээлийн сэдвийг зарлаж, өмнө нь тригонометрийн томьёог давтах даалгаврыг тэдэнд сануулж, сурагчдыг сорилтод бэлтгэнэ.

2. Туршилт. (15 мин + 3 мин хэлэлцүүлэг)

Зорилго нь тригонометрийн томъёоны мэдлэг, тэдгээрийг хэрэглэх чадварыг шалгах явдал юм. Оюутан бүрийн ширээн дээр тестийн хувилбар бүхий зөөврийн компьютер байдаг.

Олон тооны сонголт байж болно, би тэдгээрийн аль нэгнийх нь жишээг өгөх болно.

би сонголт.

Илэрхийллийг хялбарчлах:

a) үндсэн тригонометрийн ижилсэлтүүд

1. нүгэл 2 3y + cos 2 3y + 1;

б) нэмэх томъёо

3. sin5x - sin3x;

в) бүтээгдэхүүнийг нийлбэр болгон хувиргах

6. 2sin8y cos3y;

г) давхар өнцгийн томьёо

7. 2sin5x cos5x;

e) хагас өнцгийн томьёо

е) гурвалсан өнцгийн томьёо

g) бүх нийтийн орлуулалт

h) зэрэглэлийн бууралт

16. cos 2 (3x/7);

Оюутнууд томъёо бүрийн хажууд байгаа зөөврийн компьютер дээр хариултаа хардаг.

Ажлыг компьютер шууд шалгадаг. Үр дүн нь хүн бүрт харагдахуйц том дэлгэц дээр гарч ирдэг.

Мөн ажил дууссаны дараа зөв хариултыг оюутнуудын зөөврийн компьютер дээр харуулав. Оюутан бүр хаана алдаа гаргасан, ямар томьёог давтах шаардлагатайг хардаг.

3. Тригонометрийн илэрхийллийг хялбарчлах. (25 мин.)

Зорилго нь тригонометрийн үндсэн томъёог давтаж, дадлагажуулж, нэгтгэх явдал юм. Улсын нэгдсэн шалгалтын В7 асуудлыг шийдвэрлэх.

Асаалттай энэ үе шатандАнгиудыг хүчирхэг сурагчид (дараагийн шалгалтаар бие даан ажиллах) болон багштай хамтран ажилладаг сул сурагчдын бүлэгт хуваахыг зөвлөж байна.

Хүчтэй оюутнуудад зориулсан даалгавар (хэвлэмэл хэлбэрээр урьдчилан бэлтгэсэн). 2011 оны Улсын нэгдсэн шалгалтын дагуу бууралт ба давхар өнцгийн томъёонд гол анхаарал хандуулдаг.

Илэрхийлэлийг хялбарчлах (хүчтэй оюутнуудад):

Үүний зэрэгцээ багш сул сурагчидтай ажиллаж, оюутнуудын диктант дор дэлгэцэн дээр даалгавруудыг ярилцаж, шийддэг.

Тооцоолох:

5) нүгэл(270º - α) + cos (270º + α)

Хялбарчлах:

Хүчтэй бүлгийн ажлын үр дүнг хэлэлцэх цаг болсон.

Хариултууд дэлгэцэн дээр гарч ирэх бөгөөд видео камер ашиглан 5 өөр оюутны ажлыг (тус бүрд нэг даалгавар) харуулдаг.

Сул бүлэг нь нөхцөл байдал, шийдлийн аргыг хардаг. Хэлэлцүүлэг, дүн шинжилгээ хийж байна. Ашиглаж байна техникийн хэрэгсэлхурдан болдог.

4. Энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. (30 мин.)

Гол зорилго нь хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдлийг давтаж, системчилж, ерөнхийд нь бичиж, үндсийг нь бичих явдал юм. B3 асуудлын шийдэл.

Аливаа тригонометрийн тэгшитгэл нь бид үүнийг хэрхэн шийдэж байгаагаас үл хамааран хамгийн энгийн зүйлд хүргэдэг.

Даалгаврыг гүйцэтгэхдээ оюутнууд онцгой тохиолдлын тэгшитгэлийн үндсийг бичихэд анхаарлаа хандуулах хэрэгтэй ерөнхий үзэлмөн сүүлчийн тэгшитгэлийн үндэс сонгох тухай.

Тэгшитгэлийг шийдэх:

Хариултынхаа хамгийн бага эерэг язгуурыг бичнэ үү.

5. Бие даасан ажил (10 мин.)

Зорилго нь олж авсан ур чадвараа шалгах, асуудал, алдаа, тэдгээрийг арилгах арга замыг тодорхойлох явдал юм.

Оюутны сонголтоор олон түвшний ажлыг санал болгодог.

Сонголт "3"

1) Илэрхийллийн утгыг ол

2) 1 - sin 2 3α - cos 2 3α илэрхийллийг хялбарчлах

3) Тэгшитгэлийг шийд

"4" сонголт

1) Илэрхийллийн утгыг ол

2) Тэгшитгэлийг шийд Хариултынхаа хамгийн бага эерэг язгуурыг бич.

Сонголт "5"

1) Хэрэв tanα-г ол

2) Тэгшитгэлийн язгуурыг ол Хариултынхаа хамгийн бага эерэг язгуурыг бичнэ үү.

6. Хичээлийн хураангуй (5 мин.)

Багш хичээл дээр давтаж, бататгасан зүйлээ нэгтгэн дүгнэдэг тригонометрийн томъёо, энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Гэрийн даалгаврыг (урьдчилан хэвлэмэл хэлбэрээр бэлтгэсэн) дараагийн хичээл дээр санамсаргүй шалгалтаар өгдөг.

Тэгшитгэлийг шийдэх:

10) Хариултдаа хамгийн бага эерэг язгуурыг заана уу.

Хичээл 2

Сэдэв: 11-р анги (Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх)

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга. Үндэс сонголт. (2 цаг)

Зорилго:

Төрөл бүрийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх талаархи мэдлэгийг нэгтгэх, системчлэх.
Сурагчдын математик сэтгэлгээг хөгжүүлэх, ажиглах, харьцуулах, нэгтгэх, ангилах чадварыг хөгжүүлэх.
Оюутнуудыг сэтгэцийн үйл ажиллагааны явцад тулгарч буй бэрхшээлийг даван туулах, өөрийгөө хянах, тэдний үйл ажиллагааг судлахад нь урамшуулах.

Хичээлийн хэрэгсэл: KRMu, оюутан бүрийн зөөврийн компьютер.

Хичээлийн бүтэц:

Зохион байгуулалтын мөч
d/z болон өөрийн тухай хэлэлцүүлэг. Өнгөрсөн хичээлийн ажил
Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудын тойм.
Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх
Тригонометрийн тэгшитгэлийн үндэс сонгох.
Бие даасан ажил.
Хичээлийн хураангуй. Гэрийн даалгавар.

1. Зохион байгуулалтын үе (2 мин.)

Багш үзэгчидтэй мэндчилж, хичээлийн сэдэв, ажлын төлөвлөгөөг зарлана.

2. a) Шинжилгээ гэрийн даалгавар(5 минут.)

Зорилго нь гүйцэтгэлийг шалгах явдал юм. Нэг бүтээлийг видео камер ашиглан дэлгэцэн дээр гаргаж, үлдсэнийг нь багшийн шалгалтаар сонгон цуглуулдаг.

б) шинжилгээ бие даасан ажил(3 мин.)

Зорилго нь алдааг шинжлэх, түүнийг даван туулах арга замыг зааж өгөх явдал юм.

Хариултууд болон шийдлүүд дэлгэцэн дээр гарч, оюутнууд ажлаа урьдчилж өгнө. Шинжилгээ хурдан явагддаг.

3. Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудын тойм (5 мин.)

Зорилго нь тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг эргэн санах явдал юм.

Суралцагчдаас тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх ямар аргуудыг мэддэгийг асуу. Үндсэн (байнга хэрэглэгддэг) аргууд байдаг гэдгийг онцлон тэмдэглэ.

хувьсах солих,
хүчин зүйлчлэл,
нэгэн төрлийн тэгшитгэл,

мөн ашигласан аргууд байдаг:

нийлбэрийг бүтээгдэхүүн болгон, бүтээгдэхүүнийг нийлбэр болгон хувиргах томъёог ашиглах;
зэргийг бууруулах томъёоны дагуу,
бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалт
туслах өнцгийг нэвтрүүлэх,
заримаар үржүүлэх тригонометрийн функц.

Нэг тэгшитгэлийг янз бүрийн аргаар шийдэж болно гэдгийг санах нь зүйтэй.

4. Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх (30 мин.)

Зорилго нь энэ сэдвээр мэдлэг, ур чадварыг нэгтгэх, нэгтгэх, Улсын нэгдсэн шалгалтаас C1 шийдэлд бэлтгэх явдал юм.

Арга тус бүрийн тэгшитгэлийг оюутнуудтай хамт шийдэх нь зүйтэй гэж би бодож байна.

Оюутан шийдлийг зааж, багш үүнийг таблет дээр бичиж, бүх процессыг дэлгэцэн дээр харуулна. Энэ нь таны санах ойд урьд нь хамрагдсан материалыг хурдан бөгөөд үр дүнтэй санах боломжийг олгоно.

Тэгшитгэлийг шийдэх:

1) 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0 хувьсагчийг солих

2) үржүүлэх 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) нэгэн төрлийн тэгшитгэл sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) нийлбэрийг cos5x + cos7x = cos(π + 6x) бүтээгдэхүүн болгон хувиргах

5) үржвэрийг 2sinx sin2x + cos3x = 0 нийлбэр болгон хувиргах

6) sin2x зэрэглэлийн бууралт - sin 2 2x + sin 2 3x = 0.5

7) бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалт sinx + 5cosx + 5 = 0.

Энэ тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ ашиглаж байгааг анхаарах хэрэгтэй энэ аргасинус болон косинусыг tg(x/2)-ээр сольдог тул тодорхойлолтын хүрээг нарийсгахад хүргэдэг. Тиймээс хариултыг бичихээсээ өмнө π + 2πn, n Z олонлогийн тоонууд энэ тэгшитгэлийн морь мөн эсэхийг шалгах хэрэгтэй.

8) туслах өнцгийг √3sinx + cosx - √2 = 0 оруулах

9) зарим тригонометрийн функцээр үржүүлэх cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Тригонометрийн тэгшитгэлийн үндэс сонгох (20 мин.)

Их, дээд сургуульд элсэх үед ширүүн өрсөлдөөний нөхцөлд шалгалтын эхний хэсгийг дангаар нь шийдэх нь хангалтгүй тул ихэнх оюутнууд хоёрдугаар хэсгийн даалгавруудад (C1, C2, C3) анхаарлаа хандуулах хэрэгтэй.

Тиймээс хичээлийн энэ үе шатны зорилго нь өмнө нь судалсан материалыг санаж, 2011 оны Улсын нэгдсэн шалгалтаас C1 асуудлыг шийдвэрлэхэд бэлтгэх явдал юм.

Орших тригонометрийн тэгшитгэл, хариултыг бичихдээ үндэс сонгох шаардлагатай. Энэ нь зарим хязгаарлалттай холбоотой, жишээлбэл: бутархайн хуваагч тэгтэй тэнцүү биш, тэгш язгуурын доорх илэрхийлэл сөрөг биш, логарифмын тэмдгийн доорх илэрхийлэл эерэг гэх мэт.

Ийм тэгшитгэлийг нэмэгдсэн нарийн төвөгтэй тэгшитгэл гэж үздэг Улсын нэгдсэн шалгалтын хувилбархоёр дахь хэсэгт, тухайлбал C1 байна.

Тэгшитгэлийг шийд:

Хэрэв тийм бол бутархай нь тэгтэй тэнцүү байна ашиглах замаар нэгж тойрогүндсийг нь сонгоцгооё (1-р зургийг үз)

Зураг 1.

бид x = π + 2πn, n Z-г авна

Хариулт: π + 2πn, n Z

Дэлгэц дээр үндэс сонгох нь өнгөт зураг дээр тойрог дээр харагдаж байна.

Наад зах нь нэг хүчин зүйл нь тэгтэй тэнцүү байх үед бүтээгдэхүүн нь тэгтэй тэнцүү бөгөөд нум нь утгаа алддаггүй. Дараа нь

Нэгж тойргийг ашиглан бид үндсийг нь сонгоно (Зураг 2-ыг үз)

Зураг 2.

Систем рүү орцгооё:

Системийн эхний тэгшитгэлд бид солих log 2 (sinx) = y-г хийж, тэгшитгэлийг олж авна. , систем рүүгээ буцъя

нэгж тойргийг ашиглан бид үндсийг сонгоно (5-р зургийг үз),

Зураг 5.

6. Бие даасан ажил (15 мин.)

Зорилго нь материалын шингээлтийг нэгтгэх, шалгах, алдааг олж илрүүлэх, тэдгээрийг засах арга замыг тоймлох явдал юм.

Уг бүтээлийг гурван хувилбараар хэвлэн бэлтгэсэн бөгөөд оюутнуудаас сонгох боломжтой.

Та тэгшитгэлийг ямар ч аргаар шийдэж болно.

Сонголт "3"

Тэгшитгэлийг шийдэх:

1) 2sin 2 x + sinx - 1 = 0

2) sin2x = √3cosx

"4" сонголт

Тэгшитгэлийг шийдэх:

1) cos2x = 11sinx - 5

2) (2sinx + √3)log 8 (cosx) = 0

Сонголт "5"

Тэгшитгэлийг шийдэх:

1) 2sinx - 3cosx = 2

7. Хичээлийн хураангуй, гэрийн даалгавар (5 мин.)

Багш хичээлээ дүгнэж, тригонометрийн тэгшитгэлийг хэд хэдэн аргаар шийдэж болохыг дахин нэг удаа анхаарна. Ихэнх Хамгийн зөв замхурдан үр дүнд хүрэхийн тулд энэ нь тухайн оюутны хамгийн сайн сурсан зүйл юм.

Шалгалтанд бэлдэхдээ томъёо, тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг системтэйгээр давтах хэрэгтэй.

Гэрийн даалгаврыг (хэвлэмэл хэлбэрээр урьдчилан бэлтгэсэн) тарааж, зарим тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг тайлбарлав.

Тэгшитгэлийг шийдэх:

1) cosx + cos5x = cos3x + cos7x

2) 5sin(x/6) - cos(x/3) + 3 = 0

3) 4sin 2 x + sin2x = 3

4) нүгэл 2 х + нүгэл 2 2х - нүгэл 2 3х - нүгэл 2 4х = 0

5) cos3x cos6x = cos4x cos7x

6) 4sinx - 6cosx = 1

7) 3sin2x + 4 cos2x = 5

8) cosx cos2x cos4x cos8x = (1/8) cos15x

9) (2sin 2 x - sinx)log 3 (2cos 2 x + cosx) = 0

10) (2cos 2 x - √3cosx)log 7 (-tgx) = 0

11)

Воронкова Ольга Ивановна

MBOU "Дунд сургууль"

№18"

Энгельс, Саратов муж.

Математикийн багш.

"Тригонометрийн илэрхийлэл ба тэдгээрийн хувиргалт"

Introduction…………………………………………………………………………………......3

1-р бүлэг Тригонометрийн илэрхийллийн хувиргалтыг ашиглах даалгаврын ангилал ………………………………………………5

1.1. Тооцооллын даалгавар тригонометрийн илэрхийллийн утгууд……….5

1.2.Тригонометрийн илэрхийллийг хялбарчлах даалгавар.... 7

1.3. Тоон тригонометрийн илэрхийллийг хувиргах даалгавар.....7

1.4 Холимог төрлийн даалгавар…………………………………………………9

Бүлэг 2. “Тригонометрийн илэрхийллийн хувиргалт” сэдвийн эцсийн давталтыг зохион байгуулах арга зүйн асуудлууд………………………………11

2.1 10-р ангид сэдэвчилсэн давталт …………………………………………………………11

Тест 1………………………………………………………………………………..12

Тест 2………………………………………………………………………………..13

Тест 3…………………………………………………………………………………..14

2.2 Final repetition in 11th grade………………………………………………………...15

Тест 1………………………………………………………………………………..17

Тест 2………………………………………………………………………………..17

Тест 3………………………………………………………………………………..18

Дүгнэлт.………………………………………………………………………………19

Ашигласан материалын жагсаалт………………………………………………………………….20

Оршил.

Өнөөгийн нөхцөлд хамгийн чухал асуулт бол "Бид оюутнуудын мэдлэгийн зарим цоорхойг арилгахад хэрхэн тусалж, улсын нэгдсэн шалгалтанд гарч болзошгүй алдаанаас сэрэмжлүүлэх вэ?" Энэ асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд оюутнуудаас програмын материалыг албан ёсоор эзэмшүүлэх биш, харин түүнийг гүнзгий, ухамсартай ойлгох, аман тооцоолол, хувиргалт хийх хурдыг хөгжүүлэх, түүнчлэн энгийн асуудлыг шийдвэрлэх чадварыг хөгжүүлэх шаардлагатай. оюун ухаан." Зөвхөн байгаа тохиолдолд л оюутнуудад итгүүлэх шаардлагатай идэвхтэй байрлал, Математикийн чиглэлээр суралцахдаа эзэмших ёстой практик ур чадвар, ур чадвар, тэдгээрийн хэрэглээ, та жинхэнэ амжилтанд найдаж болно. Улсын нэгдсэн шалгалт, тэр дундаа 10-11 дүгээр ангийн сонгон шалгаруулах хичээлийг бэлтгэх, оюутнуудтай нарийн төвөгтэй даалгавруудыг тогтмол хянаж, хичээл, нэмэлт ангиудад шийдвэрлэх хамгийн оновчтой аргыг сонгох бүх боломжийг ашиглах шаардлагатай байна.Эерэг үр дүнМатематикийн багш нар бий болгосноор стандарт асуудлыг шийдвэрлэх талбарт хүрч болнооюутнуудын үндсэн сургалт сайн, бидэнд нээгдсэн асуудлыг шийдвэрлэх шинэ арга замыг эрэлхийлж, идэвхтэй туршилт хийж, орчин үеийн хэрэглээ боловсролын технологи, нийгмийн шинэ нөхцөлд оюутнуудын өөрийгөө үр дүнтэй ухамсарлах, өөрийгөө тодорхойлох таатай нөхцлийг бүрдүүлдэг арга, арга техник.

Тригонометр бол сургуулийн математикийн хичээлийн салшгүй хэсэг юм. Тригонометрийн сайн мэдлэг, хүчтэй ур чадвар нь математикийн соёлын хангалттай түвшний нотолгоо юм. зайлшгүй нөхцөлматематик, физик, техникийн хэд хэдэн чиглэлээр амжилттай суралцахсалбарууд.

Ажлын хамаарал. Сургууль төгсөгчдийн нэлээд хэсэг нь математикийн энэ чухал хэсэгт жилээс жилд маш муу бэлтгэлтэй байгааг харуулж байгаа нь өнгөрсөн жилүүдийн үр дүнгээс (2011 онд төгсөлтийн хувь - 48.41%, 2012 онд - 51.05%), тэнцсэн дүн шинжилгээнээс харагдаж байна. Улсын нэгдсэн шалгалт нь оюутнууд энэ хэсгийн даалгаврыг гүйцэтгэхдээ олон алдаа гаргадаг эсвэл ийм даалгавар огт авдаггүйг харуулсан. Нэг дотор Улсын шалгалтанд тригонометрийн асуултууд бараг гурван төрлийн даалгаварт байдаг. Үүнд B5 даалгаврын хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэл, В7 даалгаврын тригонометрийн илэрхийллүүдтэй ажиллах, В14 даалгаврын тригонометрийн функцийг судлах, мөн B12 даалгаврыг тайлбарлах томъёонууд багтана. физик үзэгдлүүдба тригонометрийн функцуудыг агуулсан. Энэ бол B даалгаврын зөвхөн нэг хэсэг юм! Гэхдээ C1 үндэс сонгох дуртай тригонометрийн тэгшитгэлүүд бас байдаг бөгөөд "тийм ч дуртай биш" геометрийн даалгавар C2 ба C4.

Ажлын зорилго. Шинжилгээ хийх Улсын нэгдсэн шалгалтын материалтригонометрийн илэрхийлэлийг хувиргахад зориулагдсан B7 даалгавар, даалгавруудыг тестэнд үзүүлэх хэлбэрийн дагуу ангилах.

Уг ажил нь оршил, дүгнэлт гэсэн хоёр бүлэгтэй. Танилцуулга нь ажлын хамаарлыг онцлон тэмдэглэв. Эхний бүлэгт тригонометрийн илэрхийлэл болгон хувиргах даалгаврын ангиллыг өгсөн болно тестийн даалгаварУлсын нэгдсэн шалгалт (2012).

Хоёрдугаар бүлэгт 10, 11-р ангийн "Тригонометрийн илэрхийллийн хувиргалт" сэдвийн давталтын зохион байгуулалтын талаар ярилцаж, энэ сэдвээр тест боловсруулсан болно.

Ашигласан материалын жагсаалтад 17 эх сурвалж багтсан болно.

Бүлэг 1. Тригонометрийн илэрхийллийн хувиргалтыг ашиглан даалгаврын ангилал.

Дунд (бүрэн) боловсролын стандарт, оюутнуудын бэлтгэлийн түвшинд тавигдах шаардлагын дагуу шаардлага кодлогч нь тригонометрийн үндсийг мэдэх даалгавруудыг багтаасан болно.

Тригонометрийн үндсийг сурах нь дараах тохиолдолд хамгийн үр дүнтэй байх болно.

оюутнуудад өмнө нь сурсан материалыг давтах эерэг сэдэл бий болно;

боловсролын үйл явцад хувь хүнд чиглэсэн хандлагыг хэрэгжүүлнэ;

оюутнуудын мэдлэгийг өргөжүүлэх, гүнзгийрүүлэх, системчлахад туслах даалгаврын системийг ашиглана;

Сурган хүмүүжүүлэх дэвшилтэт технологийг ашиглана.

Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх талаархи уран зохиол, интернетийн эх сурвалжид дүн шинжилгээ хийсний дараа бид нэгийг санал болгов. боломжит ангилал B7 даалгавар (KIM Улсын нэгдсэн шалгалт 2012-тригонометр): тооцооллын даалгавартригонометрийн илэрхийллийн утгууд; зориулсан даалгавартоон тригонометрийн илэрхийллийг хөрвүүлэх; тригонометрийн шууд илэрхийллийг хөрвүүлэх даалгавар; холимог төрлийн даалгавар.

1.1. Тооцооллын даалгавар тригонометрийн илэрхийллийн утга.

Энгийн тригонометрийн асуудлын хамгийн түгээмэл төрлүүдийн нэг бол тригонометрийн функцүүдийн утгыг тэдгээрийн аль нэгнийх нь утгаас тооцоолох явдал юм.

a) Тригонометрийн үндсэн шинж чанарыг ашиглах, түүний үр дагавар.

Жишээ 1 . Хэрвээ олоорой
Тэгээд
.

Шийдэл.
,
,

Учир нь , Тэр
.

Хариулт.

Жишээ 2 . Хай
, Хэрэв
Мөн .

Шийдэл.
,
,
.

Учир нь , Тэр
.

Хариулт. .

б) Давхар өнцгийн томьёог ашиглах.

Жишээ 3 . Хай
, Хэрэв
.

Шийдэл. , .

Хариулт.
.

Жишээ 4 . Илэрхийллийн утгыг ол
.

Шийдэл. .

Хариулт.
.

1. Хай , Хэрэв

Тэгээд

. Хариулт. -0.2

2. Хай , Хэрэв
Тэгээд
. Хариулт. 0.4

3. Хай

, Хэрэв . Хариулт. -12.884. Хай

, Хэрэв

. Хариулт. -0.845. Илэрхийллийн утгыг ол:

. Хариулт. 66. Илэрхийллийн утгыг ол

.Хариулт. -19

1.2.Тригонометрийн илэрхийллийг хялбарчлах даалгавар. Багасгах томъёог оюутнууд сайн ойлгох ёстой, учир нь тэд геометр, физик болон бусад холбогдох салбаруудад цаашдын хэрэглээг олох болно.

Жишээ 5 . Илэрхийлэлийг хялбарчлах
.

Шийдэл. .

Хариулт.
.

Бие даасан шийдлийн даалгавар:

1. Илэрхийлэлийг хялбарчлах

. Хариулт. 0.62. Хай

, Хэрэв

Тэгээд. Хариулт. 10.563. Илэрхийллийн утгыг ол

, Хэрэв

. Хариулт. 2

1.3. Тоон тригонометрийн илэрхийллийг хөрвүүлэх даалгавар.

Тоон тригонометрийн илэрхийллийг хөрвүүлэх даалгаврын ур чадварыг дадлагажуулахдаа тригонометрийн функцүүдийн утгын хүснэгт, паритетийн шинж чанар, тригонометрийн функцүүдийн үечилсэн байдлын талаархи мэдлэгт анхаарлаа хандуулах хэрэгтэй.

a) Зарим өнцгийн хувьд тригонометрийн функцүүдийн яг утгыг ашиглах.

Жишээ 6 . Тооцоол
.

Шийдэл.
.

Хариулт.
.

b) Паритын шинж чанарыг ашиглах тригонометрийн функцууд.

Жишээ 7 . Тооцоол
.

Шийдэл. .

Хариулт.

V) Тогтмол шинж чанарыг ашиглахтригонометрийн функцууд.

Жишээ 8 . Илэрхийллийн утгыг ол
.

Шийдэл. .

Хариулт.
.

Бие даасан шийдлийн даалгавар:

1. Илэрхийллийн утгыг ол

. Хариулт. -40.52. Илэрхийллийн утгыг ол

. Хариулт. 17

3. Илэрхийллийн утгыг ол
. Хариулт. 6

. Хариулт. -24

Хариулт. -64

1.4 Холимог төрлийн даалгавар.

Баталгаажуулалтын тестийн маягт нь маш чухал шинж чанартай байдаг тул хэд хэдэн тригонометрийн томъёог нэгэн зэрэг ашиглахтай холбоотой ажлуудад анхаарлаа хандуулах нь чухал юм.

Жишээ 9. Хай
, Хэрэв
.

Шийдэл.
.

Хариулт.
.

Жишээ 10 . Хай
, Хэрэв
Тэгээд
.

Шийдэл. .

Учир нь , Тэр
.

Хариулт.
.

Жишээ 11. Хай
, Хэрэв .

Шийдэл. , ,
,
,
,
,
.

Хариулт.

Жишээ 12. Тооцоол
.

Шийдэл. .

Хариулт.
.

Жишээ 13. Илэрхийллийн утгыг ол
, Хэрэв
.

Шийдэл. .

Хариулт.
.

Бие даасан шийдлийн даалгавар:

1. Хай

, Хэрэв

. Хариулт. -1.75
2. Хай

, Хэрэв

. Хариулт. 33. Хай

, Хэрэв .Хариулт. 0.254. Илэрхийллийн утгыг ол

, Хэрэв

. Хариулт. 0.35. Илэрхийллийн утгыг ол

, Хэрэв

. Хариулт. 5

Бүлэг 2. “Тригонометрийн илэрхийллийн хувиргалт” сэдвийн эцсийн давталтыг зохион байгуулах арга зүйн асуудал.

Оюутнуудын сурлагын амжилтыг цаашид сайжруулах, гүнзгий, бат бөх мэдлэг олж авахад хувь нэмэр оруулдаг хамгийн чухал асуудлын нэг бол өмнө нь авч үзсэн материалыг давтах асуудал юм. Дадлагаас харахад 10-р ангид сэдэвчилсэн давталтыг зохион байгуулах нь илүү тохиромжтой байдаг; 11-р ангид - эцсийн давталт.

2.1. 10-р ангид сэдэвчилсэн засвар.

Математикийн материал дээр ажиллах явцад, ялангуяа их ач холбогдолДууссан сэдэв бүрийн давталтыг эсвэл курсын бүх хэсгийг олж авдаг.

Сэдвийн давталтаар оюутнуудын тухайн сэдвийн талаархи мэдлэгийг дуусгах эцсийн шатанд эсвэл тодорхой завсарлага авсны дараа системчилсэн байдаг.

Сэдэвчилсэн давталтын хувьд тусгай хичээлүүдийг хуваарилдаг бөгөөд үүнд нэг сэдвийн материалыг төвлөрүүлж, нэгтгэдэг.

Хичээл дэх давталт нь энэ ярианд оюутнуудыг өргөнөөр оролцуулах замаар харилцан яриагаар явагддаг. Үүний дараа оюутнуудад тодорхой сэдвийг давтах даалгавар өгч, шалгалтын ажил явуулахыг анхааруулдаг.

Сэдвийн тест нь түүний бүх үндсэн асуултуудыг багтаасан байх ёстой. Ажил дууссаны дараа шинж чанарын алдааг шинжилж, тэдгээрийг арилгахын тулд давталтыг зохион байгуулдаг.

Сэдэвчилсэн давталтын хичээлүүдийн хувьд бид боловсруулсан хичээлүүдийг санал болгож байна шалгалтын хэлбэрээр үнэлгээний ажил"Тригонометрийн илэрхийллийн хувиргалт" сэдвээр.

Туршилтын дугаар 1

Туршилтын дугаар 2

Туршилтын дугаар 3

Хариултын хүснэгт

Туршилт

2.2. 11-р ангийн эцсийн дүгнэлт.

Эцсийн давталт нь математикийн хичээлийн үндсэн асуудлуудыг судлах эцсийн шатанд хийгддэг бөгөөд судалгаатай логик уялдаа холбоотой явагддаг. боловсролын материалЭнэ хэсэг эсвэл бүхэлд нь курсын хувьд.

Боловсролын материалын эцсийн давталт нь дараахь зорилгыг агуулна.

1. Материалыг бүхэлд нь идэвхжүүлэх сургалтын курстүүний логик бүтцийг тодорхой болгох, субьект болон субьект хоорондын холболтын хүрээнд системийг бий болгох.

2. Давталтын явцад хичээлийн үндсэн асуудлын талаархи оюутнуудын мэдлэгийг гүнзгийрүүлэх, боломжтой бол өргөжүүлэх.

Бүх төгсөгчдийн математикийн шалгалтыг заавал өгөх хүрээнд Улсын нэгдсэн шалгалтыг үе шаттайгаар нэвтрүүлж байгаа нь бүх сургуулийн сурагчид боловсролын хичээлийг бүрэн эзэмшсэн байх шаардлагатайг харгалзан багш нарыг хичээл бэлтгэх, явуулахад шинэ арга барилыг шаардаж байна. материал дээр үндсэн түвшин, түүнчлэн их дээд сургуульд элсэн орохын тулд өндөр оноо авах сонирхолтой оюутнууд материалыг ахисан, өндөр түвшинд эзэмшихэд динамикаар ахих боломжийг олгодог.

Төгсгөлийн давталтын хичээлийн үеэр та дараах ажлуудыг авч үзэж болно.

Жишээ 1 . Илэрхийллийн утгыг тооцоол.Шийдэл. =

= =

=0,5. Хариулт. 0.5. Жишээ 2. Илэрхийллийн хүлээн зөвшөөрч чадах хамгийн том бүхэл тоон утгыг зааж өгнө үү

Шийдэл. Учир нь
сегментэд хамаарах дурын утгыг авч болно [–1; 1], дараа нь
сегментийн дурын утгыг авна [–0.4; 0.4] тул . Илэрхийлэл нь нэг бүхэл утгатай - 4 тоо.

Хариулт: 4 Жишээ 3 . Илэрхийлэлийг хялбарчлах

Шийдэл: Кубуудын нийлбэрийг хүчин зүйлээр тооцох томьёог ашиглая: . Бидэнд байгаа

Бидэнд байгаа:
.

Хариулт: 1

Жишээ 4. Тооцоол
.

Шийдэл. .

Хариулт: 0.28

Төгсгөлийн давталтын хичээлүүдэд бид "Тригонометрийн илэрхийллийн хувиргалт" сэдвээр боловсруулсан тестүүдийг санал болгож байна.

1-ээс хэтрэхгүй хамгийн том бүхэл тоог оруулна уу

Дүгнэлт.

Тохиромжтойгоор дамжуулан ажилласан арга зүйн уран зохиолЭнэ сэдвээр бид холбоотой асуудлыг шийдвэрлэх чадвар, ур чадвар гэж дүгнэж болно тригонометрийн хувиргалтсургуулийн математикийн хичээл маш чухал.

Хийсэн ажлын явцад B7 даалгаврын ангиллыг хийсэн. 2012 онд НУМ-д ихэвчлэн хэрэглэгддэг тригонометрийн томъёог авч үзсэн. Шийдэл бүхий даалгаврын жишээг өгөв. Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэхдээ давталтыг зохион байгуулах, мэдлэгийг системчлэх зорилгоор ялгасан тестүүдийг боловсруулсан.

Бодож эхэлсэн ажлаа үргэлжлүүлэх нь зүйтэй В5 даалгаврын хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх, В14 даалгаварт тригонометрийн функцуудыг судлах, физик үзэгдлийг дүрсэлсэн томьёо агуулсан, тригонометрийн функцуудыг агуулсан В12 даалгавар.

Эцэст нь хэлэхэд үр дүнтэй гэдгийг тэмдэглэхийг хүсч байна Улсын нэгдсэн шалгалтанд тэнцсэнБоловсролын бүх түвшинд, бүх ангиллын оюутнуудтай сургалтын үйл явц хэр үр дүнтэй зохион байгуулагдаж байгаагаас ихээхэн шалтгаална. Хэрэв бид оюутнуудад бие даасан байдал, хариуцлага, амьдралынхаа туршид үргэлжлүүлэн суралцах бэлэн байдлыг бий болгож чадвал бид төр, нийгмийн захиалгыг биелүүлэхээс гадна өөрийгөө үнэлэх үнэлэмжийг нэмэгдүүлэх болно.

Боловсролын материалыг давтах нь багшаас шаарддаг бүтээлч ажил. Тэрээр давталтын төрлүүдийн хооронд тодорхой холболтыг хангаж, гүнзгий бодож боловсруулсан давталтын системийг хэрэгжүүлэх ёстой. Давталтыг зохион байгуулах урлагийг эзэмших нь багшийн үүрэг юм. Оюутны мэдлэгийн бат бөх байдал нь түүний шийдлээс ихээхэн хамаардаг.

Уран зохиол.

Выгодский Я.Я., Анхан шатны математикийн гарын авлага. -М.: Наука, 1970.

Алгебр, үндсэн анализын хүндрэл ихэссэн асуудлууд: 10-11-р ангийн сурах бичиг ахлах сургууль/ B.M. Ивлев, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын, С.И. Шварцбурд. – М.: Боловсрол, 1990 он.

Тригонометрийн үндсэн томьёог илэрхийлэл хувиргахад хэрэглэх нь (10-р анги) // Сурган хүмүүжүүлэх санааны наадам. 2012-2013 он.

Корьянов А.Г. , Прокофьев А.А. Улсын нэгдсэн шалгалтанд сайн, онц сурдаг хүүхдүүдийг бэлтгэдэг. - М.: Багшийн их сургууль“9-р сарын нэгэн”, 2012.- 103 х.

Кузнецова Е.Н.Тригонометрийн илэрхийллийг хялбарчлах. Төрөл бүрийн аргуудыг ашиглан тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх (Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх). 11-р анги. 2012-2013 он.

Куланин Е.Д. Математикийн 3000 өрсөлдөөнт бодлого. 4 дэх хэвлэл, зөв. болон нэмэлт - М.: Рольф, 2000 он.

Мордкович А.Г. Ерөнхий боловсролын сургуульд тригонометрийг судлах арга зүйн асуудлууд // Сургуулийн математик. 2002. № 6.

Пичурин Л.Ф. Тригонометрийн тухай төдийгүй түүний тухай: -М. Гэгээрэл, 1985 он

Решетников Н.Н. Сургуулийн тригонометр: -М. : Багшийн их сургууль "9-р сарын нэг", 2006, lx 1.

Шабунин М.И., Прокофьев А.А. Математик. Алгебр. Математикийн анализын эхлэл Профайл түвшин: 10-р ангийн сурах бичиг - М.: БИНОМ. Мэдлэгийн лаборатори, 2007 он.

Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх боловсролын портал.

Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлдэж байна “Өө, энэ тригонометр! http://festival.1september.ru/articles/621971/

Төсөл "Математик? Хялбар!!!" http://www.resolventa.ru/

Хэсэгүүд: Математик

Анги: 11

Хичээл 1

Сэдэв: 11-р анги (Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх)

Тригонометрийн илэрхийллийг хялбарчлах.

Энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. (2 цаг)

Зорилго:

Тригонометрийн томьёо ашиглах, энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх талаархи оюутнуудын мэдлэг, чадварыг системчлэх, нэгтгэх, өргөжүүлэх.

Хичээлийн хэрэгсэл:

Хичээлийн бүтэц:

Зохион байгуулалтын мөч
Зөөврийн компьютер дээр туршилт хийх. Үр дүнгийн хэлэлцүүлэг.
Тригонометрийн илэрхийллийг хялбарчлах
Энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх
Бие даасан ажил.
Хичээлийн хураангуй. Гэрийн даалгаврын тайлбар.

1. Зохион байгуулалтын мөч. (2 минут.)

2. Туршилт. (15 мин + 3 мин хэлэлцүүлэг)

Олон тооны сонголт байж болно, би тэдгээрийн аль нэгнийх нь жишээг өгөх болно.

би сонголт.

Илэрхийллийг хялбарчлах:

a) үндсэн тригонометрийн ижилсэлтүүд

1. нүгэл 2 3y + cos 2 3y + 1;

б) нэмэх томъёо

3. sin5x - sin3x;

в) бүтээгдэхүүнийг нийлбэр болгон хувиргах

6. 2sin8y cos3y;

г) давхар өнцгийн томьёо

7. 2sin5x cos5x;

e) хагас өнцгийн томьёо

е) гурвалсан өнцгийн томьёо

g) бүх нийтийн орлуулалт

h) зэрэглэлийн бууралт

16. cos 2 (3x/7);

Оюутнууд томъёо бүрийн хажууд байгаа зөөврийн компьютер дээр хариултаа хардаг.

Ажлыг компьютер шууд шалгадаг. Үр дүн нь хүн бүрт харагдахуйц том дэлгэц дээр гарч ирдэг.

3. Тригонометрийн илэрхийллийг хялбарчлах. (25 мин.)

Энэ үе шатанд ангиудыг хүчирхэг сурагчид (дараагийн шалгалтаар бие даан ажиллах) болон багштай хамтран ажилладаг сул сурагчдын бүлэгт хуваахыг зөвлөж байна.

Илэрхийлэлийг хялбарчлах (хүчтэй оюутнуудад):

Тооцоолох:

5) нүгэл(270º - α) + cos (270º + α)

Хялбарчлах:

Хүчтэй бүлгийн ажлын үр дүнг хэлэлцэх цаг болсон.

Сул бүлэг нь нөхцөл байдал, шийдлийн аргыг хардаг. Хэлэлцүүлэг, дүн шинжилгээ хийж байна. Техникийн хэрэгслийг ашигласнаар энэ нь хурдан хийгддэг.

4. Энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. (30 мин.)

Даалгаврыг гүйцэтгэхдээ оюутнууд онцгой тохиолдлууд ба ерөнхий хэлбэрийн тэгшитгэлийн язгуурыг бичих, сүүлчийн тэгшитгэлийн үндэсийг сонгоход анхаарлаа хандуулах хэрэгтэй.

Тэгшитгэлийг шийдэх:

Хариултынхаа хамгийн бага эерэг язгуурыг бичнэ үү.

5. Бие даасан ажил (10 мин.)

Зорилго нь олж авсан ур чадвараа шалгах, асуудал, алдаа, тэдгээрийг арилгах арга замыг тодорхойлох явдал юм.

Оюутны сонголтоор олон түвшний ажлыг санал болгодог.

Сонголт "3"

1) Илэрхийллийн утгыг ол

2) 1 - sin 2 3α - cos 2 3α илэрхийллийг хялбарчлах

3) Тэгшитгэлийг шийд

"4" сонголт

1) Илэрхийллийн утгыг ол

2) Тэгшитгэлийг шийд Хариултынхаа хамгийн бага эерэг язгуурыг бич.

Сонголт "5"

1) Хэрэв tanα-г ол

2) Тэгшитгэлийн язгуурыг ол Хариултынхаа хамгийн бага эерэг язгуурыг бичнэ үү.

6. Хичээлийн хураангуй (5 мин.)

Хичээлийн явцад тэд тригонометрийн томьёо, хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэж, давтаж, бататгасан тухай багш дүгнэв.

Тэгшитгэлийг шийдэх:

10) Хариултдаа хамгийн бага эерэг язгуурыг заана уу.

Хичээл 2

Сэдэв: 11-р анги (Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх)

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга. Үндэс сонголт. (2 цаг)

Зорилго:

Төрөл бүрийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх талаархи мэдлэгийг нэгтгэх, системчлэх.
Сурагчдын математик сэтгэлгээг хөгжүүлэх, ажиглах, харьцуулах, нэгтгэх, ангилах чадварыг хөгжүүлэх.
Оюутнуудыг сэтгэцийн үйл ажиллагааны явцад тулгарч буй бэрхшээлийг даван туулах, өөрийгөө хянах, тэдний үйл ажиллагааг судлахад нь урамшуулах.

Хичээлийн хэрэгсэл: KRMu, оюутан бүрийн зөөврийн компьютер.

Хичээлийн бүтэц:

Зохион байгуулалтын мөч
d/z болон өөрийн тухай хэлэлцүүлэг. Өнгөрсөн хичээлийн ажил
Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудын тойм.
Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх
Тригонометрийн тэгшитгэлийн үндэс сонгох.
Бие даасан ажил.
Хичээлийн хураангуй. Гэрийн даалгавар.

1. Зохион байгуулалтын үе (2 мин.)

Багш үзэгчидтэй мэндчилж, хичээлийн сэдэв, ажлын төлөвлөгөөг зарлана.

2. а) Гэрийн даалгаварт дүн шинжилгээ хийх (5 мин.)

б) Бие даасан ажилд дүн шинжилгээ хийх (3 мин.)

Зорилго нь алдааг шинжлэх, түүнийг даван туулах арга замыг зааж өгөх явдал юм.

Хариултууд болон шийдлүүд дэлгэцэн дээр гарч, оюутнууд ажлаа урьдчилж өгнө. Шинжилгээ хурдан явагддаг.

3. Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудын тойм (5 мин.)

Зорилго нь тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг эргэн санах явдал юм.

хувьсах солих,
хүчин зүйлчлэл,
нэгэн төрлийн тэгшитгэл,

мөн ашигласан аргууд байдаг:

нийлбэрийг бүтээгдэхүүн болгон, бүтээгдэхүүнийг нийлбэр болгон хувиргах томъёог ашиглах;
зэргийг бууруулах томъёоны дагуу,
бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалт
туслах өнцгийг нэвтрүүлэх,
зарим тригонометрийн функцээр үржүүлэх.

Нэг тэгшитгэлийг янз бүрийн аргаар шийдэж болно гэдгийг санах нь зүйтэй.

4. Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх (30 мин.)

Арга тус бүрийн тэгшитгэлийг оюутнуудтай хамт шийдэх нь зүйтэй гэж би бодож байна.

Тэгшитгэлийг шийдэх:

1) 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0 хувьсагчийг солих

2) үржүүлэх 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) нэгэн төрлийн тэгшитгэл sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) нийлбэрийг cos5x + cos7x = cos(π + 6x) бүтээгдэхүүн болгон хувиргах

5) үржвэрийг 2sinx sin2x + cos3x = 0 нийлбэр болгон хувиргах

6) sin2x зэрэглэлийн бууралт - sin 2 2x + sin 2 3x = 0.5

7) бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалт sinx + 5cosx + 5 = 0.

Энэ тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ синус ба косинусыг tg(x/2) -ээр сольдог тул энэ аргыг ашиглах нь тодорхойлолтын хүрээг нарийсгахад хүргэдэг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Тиймээс хариултыг бичихээсээ өмнө π + 2πn, n Z олонлогийн тоонууд энэ тэгшитгэлийн морь мөн эсэхийг шалгах хэрэгтэй.

8) туслах өнцгийг √3sinx + cosx - √2 = 0 оруулах

9) зарим тригонометрийн функцээр үржүүлэх cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Тригонометрийн тэгшитгэлийн үндэс сонгох (20 мин.)

Хариултыг бичихдээ үндсийг нь сонгох шаардлагатай тригонометрийн тэгшитгэлүүд байдаг. Энэ нь зарим хязгаарлалттай холбоотой, жишээлбэл: бутархайн хуваагч тэгтэй тэнцүү биш, тэгш язгуурын доорх илэрхийлэл сөрөг биш, логарифмын тэмдгийн доорх илэрхийлэл эерэг гэх мэт.

Ийм тэгшитгэлийг нарийн төвөгтэй тэгшитгэл гэж үздэг бөгөөд Улсын нэгдсэн шалгалтын хувилбарт тэдгээрийг хоёрдугаар хэсэгт, тухайлбал C1-ээс олж болно.

Тэгшитгэлийг шийд:

Хэрэв тийм бол бутархай нь тэгтэй тэнцүү байна нэгж тойргийг ашиглан бид үндсийг сонгоно (Зураг 1-ийг үзнэ үү)

Зураг 1.

бид x = π + 2πn, n Z-г авна

Хариулт: π + 2πn, n Z

Дэлгэц дээр үндэс сонгох нь өнгөт зураг дээр тойрог дээр харагдаж байна.

Нэгж тойргийг ашиглан бид үндсийг нь сонгоно (Зураг 2-ыг үз)