Эхний деривативын геометрийн болон механик утга. Деривативын механик утга Хоёр дахь деривативын физик эсвэл механик утга

Зааварчилгааны карт №20

Такырбы/Сэдэв: « Хоёр дахь дериватив ба түүний физик утга».

Максаты/ Зорилго:

Шүргэгчийн тэгшитгэл, мөн шүргэгчийн OX тэнхлэгт налуу өнцгийн тангенсыг олох чадвартай байх. Функцийн өөрчлөлтийн хурд, хурдатгал зэргийг олох чадвартай байх.

Судлагдсан баримт, үзэл баримтлалыг харьцуулах, ангилах чадварыг бий болгох нөхцлийг бүрдүүлэх.

Боловсролын ажилд хариуцлагатай хандлагыг төлөвшүүлэх, шүргэгч тэгшитгэлийг олох, түүнчлэн функц, хурдатгалын өөрчлөлтийн хурдыг олох эцсийн үр дүнд хүрэх хүсэл эрмэлзэл, тэсвэр тэвчээрийг төлөвшүүлэх.

Онолын материал:

(Геометрийн утгыг авсан)

Функцийн графикт шүргэгч тэгшитгэл нь:

Жишээ 1: Садар самуун 2-той цэг дээрх функцийн графиктай шүргэгчийн тэгшитгэлийг олъё.

Хариулт: y = 4x-7

Абсцисса х o цэг дэх функцийн графикт шүргэгчийн өнцгийн коэффициент k нь f / (x o) (k= f / (x o)) -тай тэнцүү байна. Өгөгдсөн цэг дэх функцийн графикт шүргэгчийн налуу өнцөг нь тэнцүү байна

arctg k = arctg f / (x o), i.e. k= f / (x o)= tg

Жишээ 2: Синусын долгион ямар өнцөгт байна эх дээр x тэнхлэгтэй огтлолцох уу?

Өгөгдсөн функцийн график х тэнхлэгтэй огтлолцох өнцөг нь энэ цэг дэх f(x) функцийн графикт татсан шүргэгчийн налуу а-тай тэнцүү байна. Деривативыг олъё: Деривативын геометрийн утгыг харгалзан үзвэл: ба a = 60° байна. Хариулт: =60 0 .

Хэрэв функц нь өөрийн тодорхойлолтын муж бүрт деривативтай бол түүний дериватив нь -ийн функц болно. Функц нь эргээд деривативтай байж болох бөгөөд үүнийг гэж нэрлэдэг хоёрдугаар эрэмбийн деривативфункцууд (эсвэл хоёр дахь дериватив) ба тэмдгээр тэмдэглэгдсэн байна.

Жишээ 3: Функцийн хоёр дахь уламжлалыг ол: f(x)=x 3 -4x 2 +2x-7.

Эхлээд f"(x)=(x 3 -4x 2 +2x-7)’=3x 2 -8x+2 функцийн эхний деривативыг олъё.

Дараа нь олж авсан эхний деривативын хоёр дахь деривативыг олно

f""x)=(3x 2 -8x+2)’’=6x-8. Хариулт: f""x) = 6x-8.

(Хоёр дахь деривативын механик утга)

Хэрэв цэг шулуун шугамаар хөдөлж, түүний хөдөлгөөний хууль өгөгдсөн бол цэгийн хурдатгал нь цаг хугацааны хувьд замын хоёр дахь деривативтай тэнцүү байна.

Материаллаг биеийн хурд нь замын эхний деривативтай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл:

Материаллаг биеийн хурдатгал нь хурдны эхний деривативтай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл:

Жишээ 4: Бие нь s (t) = 3 + 2t + t 2 (m) хуулийн дагуу шулуун шугамаар хөдөлдөг. t = 3 секундын үед түүний хурд ба хурдатгалыг тодорхойл. (Зайг метрээр, хугацааг секундээр хэмждэг).
Шийдэл
v (т) = s΄ (т) =(3+2t+t 2)’= 2 + 2т
а (т) = v΄ (т) =(2+2т)’= 2 (м/с 2)
v(3) = 2 + 2∙3 = 8 (м/с). Хариулт: 8 м/с; 2 м/с 2 .

Практик хэсэг:

1 сонголт	Сонголт 2	Сонголт 3	Сонголт 4	Сонголт 5
Өгөгдсөн М цэгийг дайран өнгөрөх шүргэгчийн х тэнхлэгт налуу өнцгийн тангенсыг ол. функцийн график f.
f(x)=x 2 , M(-3;9)	f(x)=x 3 , M(-1;-1)
Абсцисса х 0 цэг дээрх f функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич.
f(x)=x 3 -1, x 0 =2	f(x)=x 2 +1, x 0 =1	f(x)= 2x-x 2, x 0 = -1	f(x)=3sinx, x 0 =	f(x)= x 0 = -1
Абсцисса х 0 цэг дээрх f функцтэй шүргэгчийн налууг ол.
Функцийн хоёр дахь деривативыг ол:
			f(x)= 2cosx-x 2	f(x)= -2sinx+x 3
Бие нь x (t) хуулийн дагуу шулуун шугамаар хөдөлдөг. Одоогийн байдлаар түүний хурд, хурдатгалыг тодорхойл цаг t. (Шилжилтийг метрээр, хугацааг секундээр хэмждэг).
x(t)=t 2 -3t, t=4	x(t)=t 3 +2t, t=1	x(t)=2t 3 -t 2 , t=3	x(t)=t 3 -2t 2 +1,t=2	x(t)=t 4 -0.5t 2 =2, t=0.5

Хяналтын асуултууд:

Деривативын физик утгыг та юу гэж үздэг вэ - энэ нь агшин зуурын хурд эсвэл дундаж хурд уу?

Функцийн графикт дурын цэгээр татсан шүргэгч ба дериватив ойлголтын хооронд ямар холбоотой вэ?

M(x 0 ;f(x 0)) цэг дээрх функцийн графикт шүргэгчийг юу гэж тодорхойлох вэ?

Хоёрдахь деривативын механик утга нь юу вэ?

Дериватив(цэг дэх функцууд) - функцийн өөрчлөлтийн хурдыг (өгөгдсөн цэг дээр) тодорхойлдог дифференциал тооцооллын үндсэн ойлголт. Хэрэв ийм хязгаар байгаа бол аргументийн өсөлт тэг болох хандлагатай байдаг тул функцийн өсөлтийг түүний аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцааны хязгаар гэж тодорхойлдог. Хязгаарлагдмал деривативтай (зарим цэгт) функцийг дифференциал (тухайн цэг) гэж нэрлэдэг.

Дериватив. Зарим функцийг авч үзье y = е (x ) хоёр цэг дээр x 0 ба x 0 + : е (x 0) ба е (x 0 +). Энд дамжуулан аргумент дахь зарим нэг жижиг өөрчлөлтийг илэрхийлдэг аргументийн өсөлт; Үүний дагуу хоёр функцийн утгын ялгаа: е (x 0 + )  е (x 0 ) гэж нэрлэдэг функцийн өсөлт.Деривативфункцууд y = е (x ) цэг дээр x 0 хязгаар гэж нэрлэдэг:

Хэрэв энэ хязгаар байгаа бол функц е (x ) гэж нэрлэдэг ялгах боломжтойцэг дээр x 0 . Функцийн дериватив е (x ) дараах байдлаар тэмдэглэнэ.

Деривативын геометрийн утга. Функцийн графикийг авч үзье y = е (x ):

Зураг 1-ээс харахад функцийн графикийн А ба В дурын хоёр цэгийн хувьд:

АВ секантын хазайлтын өнцөг хаана байна.

Тиймээс ялгааны харьцаа нь секантын налуутай тэнцүү байна. Хэрэв та А цэгийг засаж, В цэгийг түүн рүү чиглүүлбэл энэ нь хязгааргүй буурч 0-д ойртож, AB секанс нь шүргэгч AC-д ойртоно. Тиймээс ялгааны харьцааны хязгаар нь А цэг дээрх шүргэгчийн налуутай тэнцүү байна. Энэ нь дараах байдалтай байна. Тухайн цэг дэх функцийн дериватив нь тухайн цэг дэх энэ функцийн графиктай шүргэгчийн налуу юм.Энэ юу вэ геометрийн утга дериватив.

Тангенсийн тэгшитгэл. А цэг дээрх функцийн графиктай шүргэгчийн тэгшитгэлийг гаргая. x 0 , е (x 0 )). Ерөнхийдөө налуугийн коэффициент бүхий шулуун шугамын тэгшитгэл е ’(x 0 ) дараах хэлбэртэй байна.

y = е ’(x 0 ) · x + b .

Олох б, Шүргэх нь А цэгийг дайран өнгөрдөг давуу талыг ашиглацгаая.

е (x 0 ) = е ’(x 0 ) · x 0 + б ,

эндээс, б = е (x 0 ) – е ’(x 0 ) · x 0 , оронд нь энэ илэрхийлэлийг орлуулна б, бид авах болно шүргэгч тэгшитгэл:

y =е (x 0 ) + е ’(x 0 ) · ( x - x 0 ) .

Деривативын механик утга. Хамгийн энгийн тохиолдлыг авч үзье: координатын тэнхлэгийн дагуух материаллаг цэгийн хөдөлгөөн, хөдөлгөөний хууль өгөгдсөн: координат xхөдлөх цэг - мэдэгдэж буй функц x (т) цаг т. -аас хойшхи хугацааны интервалд т 0 хүртэл т 0 + цэг хол хөдөлдөг: x (т 0 + )  x (т 0) =, мөн түүний дундаж хурд тэнцүү байна: v а =  . 0-д дундаж хурд нь тодорхой утга руу чиглэдэг бөгөөд үүнийг нэрлэдэг агшин зуурын хурд v ( т 0 ) цаг хугацааны материаллаг цэг т 0 . Гэхдээ деривативын тодорхойлолтоор бид:

эндээс, v (т 0 ) = x' (т 0 ), i.e. хурд нь координатын дериватив юм By цаг. Энэ юу вэ механик мэдрэмждериватив . Үүний нэгэн адил, хурдатгал нь цаг хугацааны хувьд хурдны дериватив юм: а = v' (т).

8. Дериватив ба ялгах дүрмийн хүснэгт

Дериватив гэж юу болох талаар бид "Үүсмэлийн геометрийн утга" нийтлэлд ярьсан. Хэрэв функцийг графикаар өгөгдсөн бол түүний цэг бүр дэх уламжлал нь функцийн графикт шүргэгч шүргэгчтэй тэнцүү байна. Хэрэв функц нь томьёогоор өгөгдсөн бол деривативын хүснэгт, ялгах дүрэм, өөрөөр хэлбэл дериватив олох дүрмүүд танд тусална.

Хавтгай дээрх материаллаг цэгийг өгье. Координатын тэнхлэгийн дагуух түүний хөдөлгөөний хуулийг $ x(t) $ хуулиар тодорхойлсон бөгөөд $ t $ нь цаг хугацааг зааж өгдөг. Дараа нь $ t_0 $ -аас $ t_0 + \Delta t $ хүртэлх хугацаанд цэг нь $ \Delta x = x(t_0+\Delta t) - x(t_0) $ замыг дамжуулдаг. Энэ нь харагдаж байна дундаж хурдийм цэгийг дараах томъёогоор олно: $$ v_(cp) = \frac(\Delta x)(\Delta t) $$

Хэрэв $ \Delta t $ тэг болох хандлагатай бол дундаж хурдны утга нь дараах утга руу чиглэнэ. агшин зуурын хурд$t_0$ цэг дээр:

$$ \lim_(\Delta t \to 0) \frac(\Delta x)(\Delta t) = v(t_0) $$

Хязгаар дамжуулан деривативыг тодорхойлсноор бид материаллаг цэгийн хөдөлгөөний хурд ба хөдөлгөөний хуулийн хоорондын холбоог олж авна.

$$ v(t_0) = \lim_(\Delta \to 0) \frac(\Delta x)(\Delta t) = x"(t_0) $$

Шийдлийн жишээ

Жишээ 1

$ t_0 = 1 $, $ x(t) = t^2+3t-1 $ хуулийн дагуу хөдөлж буй материаллаг цэгийн агшин зуурын хурдыг тооцоол.

Шийдэл

Деривативын механик утгыг тодорхойлсноор бид материаллаг цэгийн хурдны хуулийг олж авна. $$ v(t) = x"(t) = (t^2+3t-1)" = 2т + 3 $$ Асуудлын нөхцлөөс цаг хугацааны агшинг $ t_0 = 1 $ мэдэж байгаа тул бид цаг хугацааны энэ агшин дахь хурдыг олно. $$ v(t_0) = 2\cdot 1 + 3 = 2 + 3 = 5 $$ $ t_0 = 1 $ цэгийн агшин зуурын хурд нь $ v = 5 $ -тай тэнцүү болохыг бид олж мэдсэн. Хэрэв та асуудлаа шийдэж чадахгүй бол бидэнд илгээнэ үү. Бид нарийвчилсан шийдлийг өгөх болно. Та тооцооллын явцыг харж, мэдээлэл авах боломжтой болно. Энэ нь таныг багшаасаа цаг тухайд нь дүнгээ авахад тусална!

Хариулт

$$ v(t_0) = 5 $$

Жишээ 2

Материаллаг цэгийн хөдөлгөөнийг $ x(t)=t^2-t+3 $ хуулиар өгөгдсөн. $ t_0 $ ямар үед энэ цэгийн хурд тэг болохыг ол.

Шийдэл

Хурд нь хөдөлгөөний хөдөлгөөний хуулийн дериватив учраас:

Деривативын механик утга

Деривативын механик тайлбарыг анх И.Ньютон өгсөн. Энэ нь дараах байдалтай байна: тухайн агшин дахь материаллаг цэгийн хөдөлгөөний хурд нь цаг хугацааны хувьд замын деривативтай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. Хэрэв материаллаг цэгийн хөдөлгөөний хууль тэгшитгэлээр өгөгдсөн бол тухайн цэгийн агшин зуурын хурдыг цаг хугацааны аль ч үед олохын тулд деривативыг олж, түүнд харгалзах утгыг t орлуулах хэрэгтэй.

Хоёрдахь эрэмбийн дериватив ба түүний механик утга

Бид (Лисичкин В.Т. Соловейчик И.Л. “математик” 240-р хуудасны сурах бичигт хийсэн тэгшитгэл) авна.

Тиймээс, Тухайн агшин дахь биеийн шулуун хөдөлгөөний хурдатгал нь тухайн агшинд тооцоолсон хугацааны хоёр дахь деривативтай тэнцүү байна.Энэ бол хоёр дахь деривативын механик утга юм.

Дифференциалын тодорхойлолт ба геометрийн утга

Тодорхойлолт 4.Функцийн өсөлтийн үндсэн хэсгийг функцийн өсөлттэй харьцуулахад шугаман, бие даасан хувьсагчийн өсөлтийн хувьд шугаман гэж нэрлэдэг. дифференциалфункц ба d-ээр тэмдэглэгдсэн, i.e. .

Функцийн дифференциал нь өгөгдсөн x ба?x утгуудын хувьд M (x; y) цэг дээр зурсан шүргэгчийн ординатын өсөлтөөр геометрийн хэлбэрээр илэрхийлэгдэнэ.

Тооцоолол дифференциал - .

Ойролцоогоор тооцоололд дифференциал хэрэглэх - , функцийн өсөлтийн ойролцоо утга нь түүний дифференциалтай давхцаж байна.

Теорем 1.Хэрэв өгөгдсөн интервалд дифференциалагдах функц нэмэгдэж (багарах) байвал энэ функцийн дериватив нь энэ интервалд сөрөг биш (эерэг биш) байна.

Теорем 2.Хэрэв дериватив функц тодорхой интервалд эерэг (сөрөг) байвал энэ интервал дахь функц монотоноор нэмэгддэг (монотоник буурдаг).

Одоо функцийн монотон байдлын интервалыг олох дүрмийг томъёолъё

1. Энэ функцийн деривативыг тооцоол.

2. Тэг эсвэл байхгүй цэгүүдийг ол. Эдгээр цэгүүдийг нэрлэдэг шүүмжлэлтэйфункцийн хувьд

3. Олдсон цэгүүдийг ашиглан функцийн тодорхойлолтын мужийг интервалд хувааж, тус бүрд дериватив тэмдэгээ хадгална. Эдгээр интервалууд нь монотон байдлын интервалууд юм.

4. Олдсон интервал бүр дээрх тэмдгийг шалгана уу. Хэрэв авч үзэж буй интервал дээр байвал энэ интервал дээр нэмэгдэнэ; хэрэв, дараа нь энэ нь ийм интервал дээр буурдаг.

Асуудлын нөхцлөөс хамааран монотон байдлын интервалыг олох дүрмийг хялбаршуулж болно.

Тодорхойлолт 5.Тухайн цэгийн аль нэг орчимд байгаа х-д тэгш бус байдал биелдэг бол тухайн цэгийг функцийн хамгийн их (хамгийн бага) цэг гэнэ.

Хэрэв функцийн хамгийн их (хамгийн бага) цэг бол тэд ингэж хэлдэг (хамгийн бага)цэг дээр. Хамгийн их ба хамгийн бага функцууд нь нэрийг нэгтгэдэг экстремумфункцууд ба хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүдийг дууддаг туйлын цэгүүд (хэт цэгүүд).

Теорем 3.(экстремумын зайлшгүй шинж тэмдэг). Хэрэв функцийн экстремум цэг бөгөөд дериватив нь энэ цэгт байгаа бол тэгтэй тэнцүү байна: .

Теорем 4.(экстремумын хангалттай шинж тэмдэг). Хэрэв x нь а-г дайрах үед дериватив тэмдэг өөрчлөгдвөл а нь функцийн экстремум цэг болно.

Дериватив судалгааны гол цэгүүд:

1. Деривативыг ол.

2. Функцийн тодорхойлолтын мужаас бүх чухал цэгүүдийг ол.

3. Критик цэгүүдээр дамжин өнгөрөхөд функцийн деривативын тэмдгүүдийг тавьж, экстремум цэгүүдийг бич.

4. Функцийн утгыг туйлын цэг бүрт тооцоол.

Материалыг цэгцлэх болтугай Мхуулийн дагуу шулуун шугамаар хөдөлдөг S = f(t).Өмнө нь мэдэгдэж байгаачлан дериватив S t 'тухайн үеийн цэгийн хурдтай тэнцүү: S t '= V.

Хэсэг хугацааны дараа зөвшөөр тцэгийн хурд нь V-тэй тэнцүү бөгөөд одоогийн байдлаар t +Dt -хурд юм V+DV, өөрөөр хэлбэл тодорхой хугацааны туршид Дтхурдыг хэмжээгээр өөрчилсөн Д.В..

Харьцаа нь цаг хугацааны туршид цэгийн хөдөлгөөний дундаж хурдатгалыг илэрхийлдэг Дт. Энэ харьцааны хязгаар нь Dt®0цэгийн хурдатгал гэж нэрлэдэг МОдоогоор тмөн үсгээр тодорхойлогддог Х: Тэгэхээр, Цаг хугацааны хувьд замын хоёр дахь дериватив нь цэгийн шулуун хөдөлгөөний хурдатгалын хэмжээ юм.өөрөөр хэлбэл .

Дээд зэрэглэлийн дифференциалууд

Болъё y=f(x)ялгах функц ба түүний аргумент X- бие даасан хувьсагч. Тэгвэл түүний эхний дифференциал нь мөн функц юм X, та энэ функцийн дифференциалыг олох боломжтой.

Функцийн дифференциалын дифференциалыг түүний хоёр дахь дифференциал (эсвэл хоёрдугаар эрэмбийн дифференциал) гэж нэрлэх ба дараах байдлаар тэмдэглэнэ.

Өгөгдсөн функцийн хоёр дахь эрэмбийн дифференциал нь бие даасан хувьсагчийн дифференциалын квадратаар энэ функцийн хоёрдугаар эрэмбийн үржвэртэй тэнцүү байна. .

Дифференциал тооцооллын хэрэглээ

Функцийг дууддаг нэмэгдэх (буурах)) интервал дээр ( a; б), хэрэв аль нэг хоёр цэгийн хувьдx 1 Тэгээдx 2 тэгш бус байдлыг хангах заасан интервалаас тэгш бус байдал хангагдана ().

Өсөх (буурах) зайлшгүй нөхцөл: Хэрэв интервал дээр ялгагдах функц ( а, б) өсөх (багарах), дараа нь энэ функцийн дериватив нь энэ интервалд сөрөг биш (эерэг биш) байна.() .

Өсөх (буурах) хангалттай нөхцөл:Хэрэв дифференциалагдах функцийн дериватив нь тодорхой интервалд эерэг (сөрөг) байвал энэ интервалд функц өснө (буурна).

Чиг үүрэг f(x)цэг дээр x 1Байгаа дээд тал нь, хэрэв байгаа бол X f(x 1)>f(x), цагт x ¹x 1 .

Чиг үүрэг f(x)цэг дээр x 1Байгаа хамгийн бага, хэрэв байгаа бол XТухайн цэгийн зарим хөршөөс дараахь тэгш бус байдал үүсдэг. f(x 1) , цагт x ¹x 1 .

Функцийн экстремумыг орон нутгийн экстремум гэж нэрлэдэг, учир нь экстремум гэсэн ойлголт нь зөвхөн x 1 цэгийн хангалттай жижиг хөрштэй холбоотой байдаг. Тиймээс нэг интервал дээр функц нь хэд хэдэн экстремумтай байж болох бөгөөд нэг цэгийн хамгийн бага нь нөгөө цэгийн хамгийн дээд хэмжээнээс их байж болно. Интервалын тодорхой цэг дээр хамгийн их эсвэл хамгийн бага хэмжээ байгаа нь энэ үед функцийг гүйцэтгэдэг гэсэн үг биш юм f(x) энэ интервал дээр хамгийн том эсвэл хамгийн бага утгыг авна.

Экстремумын зайлшгүй нөхцөл: Дифференциалагдах функцийн экстремум цэг дээр түүний дериватив нь тэгтэй тэнцүү байна.

Экстремумын хангалттай нөхцөл: Хэрэв ямар нэгэн x 0 цэг дэх дифференциалагдах функцийн дериватив тэгтэй тэнцүү бөгөөд энэ утгыг дамжин өнгөрөхдөө тэмдэгээ өөрчилдөг бол f (x 0) тоо нь функцийн экстремум бөгөөд хэрэв тэмдэг нэмэхээс хасах руу, дараа нь хасахаас нэмэх бол дээд тал нь, хамгийн бага нь өөрчлөгдөнө.

Үргэлжилсэн функцийн дериватив нь тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй цэгүүдийг критик гэж нэрлэдэг.

Функцийг экстремум байгаа эсэхийг шалгах нь түүний бүх экстремумыг олох гэсэн үг юм. Экстремумын функцийг судлах дүрэм:

1). Функцийн чухал цэгүүдийг ол у = f(x)мөн тэдгээрээс зөвхөн функцийг тодорхойлох домэйны дотоод цэгүүдийг сонгох;

2). Деривативын тэмдгийг судал f"(x)сонгосон чухал цэг бүрийн зүүн ба баруун талд;

3). Экстремумын хангалттай нөхцөл дээр үндэслэн экстремум цэгүүдийг (хэрэв байгаа бол) бичиж, тэдгээрийн функцийн утгыг тооцоолно.

олохын тулд хамгийн дээд ба хамгийн бага утгасегмент дэх функцийг хэд хэдэн үе шаттайгаар гүйцэтгэх шаардлагатай.

1). f’(x)=0 тэгшитгэлийг шийдэж функцийн критик гүйдлийг ол.

2). Хэрэв эгзэгтэй цэгүүд сегмент дээр унасан бол эгзэгтэй цэгүүд болон интервалын хил дээрх утгыг олох шаардлагатай. Хэрэв эгзэгтэй цэгүүд сегмент дээр унахгүй (эсвэл байхгүй бол) функцын утгууд нь зөвхөн сегментийн хил дээр олддог.

3). Хүлээн авсан функцийн утгуудаас хамгийн том, хамгийн жижигийг сонгоод хариултыг, жишээлбэл, дараах хэлбэрээр бичнэ үү. ; .

Асуудал шийдэх

Жишээ 2.1. Функцийн дифференциалыг ол: .

Шийдэл.Функцийн дифференциал болон дифференциалын тодорхойлолтын 2-р шинж чанарт үндэслэн бид:

Жишээ 2.2. Функцийн дифференциалыг ол:

Шийдэл. Функцийг дараах байдлаар бичиж болно: , . Дараа нь бидэнд байна:

Жишээ 2.3. Функцийн хоёр дахь деривативыг ол:

Шийдэл. Функцийг өөрчилье.

Эхний деривативыг олъё:

хоёр дахь деривативыг олъё:

.

Жишээ 2.4. Функцийн хоёр дахь эрэмбийн дифференциалыг ол .

Шийдэл.Тооцоолох илэрхийлэлд үндэслэн хоёр дахь эрэмбийн дифференциалыг олъё.

Эхлээд анхны деривативыг олъё:

; хоёр дахь деривативыг олъё: .

Жишээ 2.5. Абсциссатай цэг дээр зурсан муруйтай шүргэгчийн өнцгийн коэффициентийг ол x=2 .

Шийдэл. Деривативын геометрийн утга дээр үндэслэн бид налуу нь абсцисса нь тэнцүү цэгийн функцын деривативтай тэнцүү байна. X . Бид олох болно .

Функцийн графикт шүргэгчийн өнцгийн коэффициентийг тооцоолъё.

Жишээ 2.6. Цаг хугацааны явцад бактерийн популяци т (тцагаар хэмжигддэг) нийлбэр хувь хүмүүс. Бактерийн өсөлтийн хурдыг ол. Тухайн үед бактерийн өсөлтийн хурдыг ол t=5цаг.

Шийдэл.Бактерийн популяцийн өсөлтийн хурд нь цаг хугацааны хувьд анхны дериватив юм. т: .

Хэрэв t=5цаг, дараа нь. Тиймээс бактерийн өсөлтийн хурд цагт 1000 хүн байх болно.

Жишээ 2.7. Эмийн бэлдмэлийн биед үзүүлэх хариу үйлдэл нь цусны даралт ихсэх, биеийн температур буурах, зүрхний цохилтын өөрчлөлт эсвэл бусад физиологийн үзүүлэлтүүдээр илэрхийлэгдэж болно. Урвалын зэрэг нь тогтоосон эмийн тунгаас хамаарна. Хэрэв Xзаасан эмийн тун ба урвалын зэргийг заана цагтфункцээр тодорхойлогддог . Ямар үнээр Xхамгийн их хариу үйлдэл?

Шийдэл. Деривативыг олцгооё .

Чухал цэгүүдийг олцгооё: ⇒ . ⇒ Тиймээс бидэнд хоёр чухал зүйл байна: . Утга нь ажлын нөхцлийг хангахгүй байна.

Хоёрдахь деривативыг олъё . -ийн хоёр дахь деривативын утгыг тооцоолъё. . Энэ нь хамгийн их хариу өгөх тунгийн түвшин гэсэн үг юм.

Өөрийгөө шийдэх жишээ

Функцийн дифференциалыг ол:

1. .

2. .

3. .

4.

Дараах функцүүдийн хоёр дахь деривативыг ол.

6. .

Хоёрдахь эрэмбийн деривативуудыг олж, дараах функцүүдийн хоёрдугаар эрэмбийн дифференциалуудыг бич.

9. .

11. Экстремумын функцийг судал.

12. Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол сегмент дээр.

13. Функцийн өсөлт ба бууралтын интервал, тэнхлэгтэй огтлолцох хамгийн их ба хамгийн бага цэг, цэгүүдийг ол.

14. Цэгийн хөдөлгөөний хууль нь хэлбэртэй . Энэ цэгийн хурд ба хурдатгалын хуулийг тодорхойл.

15. Цэгийн хөдөлгөөний тэгшитгэл (m) хэлбэртэй байна. 1) s ба s үед цэгийн байрлалыг ол; 2) эдгээр цэгүүдийн хоорондох хугацааны дундаж хурд; 3) тогтоосон хугацаанд агшин зуурын хурд; 4) тодорхой хугацааны дундаж хурдатгал; 5) заасан хугацаанд агшин зуурын хурдатгал.

Гэрийн даалгавар.

Дадлага хийх:

Функцийн дифференциалыг ол:

1. ;

2. ;

Функцийн хоёрдугаар эрэмбийн деривативуудыг ол:

4.

5.

Хоёрдахь эрэмбийн дифференциалуудыг ол

6. .

7. Хуулийн дагуу цэг нь шулуун шулуунаар хөдөлдөг. Хурд ба хурдатгалыг үе үе тооцоолох ба .

Өсөх ба буурах функцүүдийн интервалыг ол:

9. .

10. Глюкозыг дусаах үед хүний ​​цусан дахь агууламжийг зохих нэгжээр илэрхийлсэний дараа тцаг байх болно . Цусан дахь глюкозын өөрчлөлтийн хурдыг ол: a) t =1 h; б) t =2 h.

Онол.

1. “Хэд хэдэн аргументуудын функцын дериватив ба дифференциал” сэдвээр лекц уншина. Хэд хэдэн аргументуудын дифференциал функцийг ашиглах."

2. Энэхүү гарын авлагын 3-р хичээл.

3. Павлушков И.В. болон бусад хуудас 101-113, 118-121.

Хичээл 3. Хэд хэдэн аргументын функцийн дериватив ба дифференциал

Сэдвийн хамаарал: Физик, биологи, химийн олон үзэгдлүүд нь нэг биш, харин хэд хэдэн хувьсагч (хүчин зүйл) -ээс хамааралтай байдаг тул математикийн энэ хэсгийг олон тооны хэрэглээний асуудлыг шийдвэрлэхэд өргөн ашигладаг.

Хичээлийн зорилго: Хэд хэдэн хувьсагчийн функцүүдийн хэсэгчилсэн дериватив ба дифференциалыг олж сурах.

Зорилтот ажлууд:

мэдэх: хоёр хувьсагчийн функцийн тухай ойлголт; хоёр хувьсагчийн функцийн хэсэгчилсэн деривативын тухай ойлголт; хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн бүрэн ба хэсэгчилсэн дифференциалын тухай ойлголт;

чадвартай байх: хэд хэдэн хувьсагчийн функцүүдийн дериватив ба дифференциалыг олох.

Онолын хичээлийн товч мэдээлэл

Үндсэн ойлголтууд

Зарим дүрэм эсвэл хуулийн дагуу зарим хос утгуудад z тодорхой утгыг өгсөн бол z хувьсагчийг x ба y хоёр аргументын функц гэж нэрлэдэг. Хоёр аргументын функцийг -ээр тэмдэглэнэ.

Функц нь орон зай дахь тэгш өнцөгт координатын систем дэх гадаргуу гэж тодорхойлогддог. Хоёр хувьсагчийн функцийн график нь гурван хэмжээст х орон зайн цэгүүдийн багц юм

ажил гэж нэрлэдэг хэсэгчилсэн дифференциал z=f(x,y) функцээр Xболон томилогдсон.

Бүрэн дифференциал функц

Функцийн дифференциал нь энэ функцийн хэсэгчилсэн деривативуудын үржвэрийн нийлбэр ба харгалзах бие даасан хувьсагчдын өсөлт, өөрөөр хэлбэл. . Учир нь Тэгээд Дараа нь бид бичиж болно: эсвэл .