Хялбаршуулсан үржүүлэх томъёо. Жишээнүүдийн хамт үржүүлэх товчилсон томъёо

Үржүүлэх товчилсон томъёо.

Үржүүлэх товчилсон томъёог судлах: нийлбэрийн квадрат ба хоёр илэрхийллийн зөрүүний квадрат; хоёр илэрхийллийн квадратуудын ялгаа; хоёр илэрхийллийн нийлбэрийн шоо ба зөрүүний шоо; хоёр илэрхийллийн шоо нийлбэр ба ялгаа.

Жишээг шийдвэрлэхдээ үржүүлэх товчилсон томъёог ашиглах.

Илэрхийллийг хялбарчлах, олон гишүүнтийг хүчинжүүлэх, олон гишүүнтийг стандарт хэлбэрт оруулахын тулд товчилсон үржүүлэх томъёог ашигладаг. Үржүүлэх товчилсон томъёог цээжээр мэддэг байх шаардлагатай.

a, b R гэж үзье. Дараа нь:

1. Хоёр илэрхийллийн нийлбэрийн квадрат нь тэнцүү байнаэхний илэрхийллийн квадрат дээр нэмэх нь эхний илэрхийллийн үржвэрийн хоёр дахин үржвэр, хоёр дахь нь хоёр дахь илэрхийллийн квадратыг нэмнэ.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Хоёр илэрхийллийн зөрүүний квадрат нь тэнцүү байнаэхний илэрхийллийн квадратаас эхний илэрхийллийн үржвэрийг хоёр дахин, хоёр дахь нь хоёр дахь илэрхийллийн квадратыг хасна.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. Квадратуудын ялгаахоёр илэрхийлэл нь эдгээр илэрхийллийн зөрүү ба тэдгээрийн нийлбэрийн үржвэртэй тэнцүү байна.

a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)

4. Нийлбэрийн шоохоёр илэрхийлэл нь эхний илэрхийллийн шоо дээр нэмэх нь эхний илэрхийллийн квадратын үржвэрийг гурав дахин, хоёр дахь нь эхний илэрхийллийн үржвэр ба хоёр дахь илэрхийллийн квадратыг гурав дахин нэмсэн хоёр дахь илэрхийллийн шоотой тэнцүү байна.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Ялгаатай шоохоёр илэрхийлэл нь эхний илэрхийллийн шоо, эхний илэрхийллийн квадратын үржвэрийг гурав дахин, хоёр дахь нь эхний илэрхийллийн үржвэр ба хоёр дахь илэрхийллийн квадратыг хоёр дахь илэрхийллийн шоо үржвэрийг гурав дахин нэмэгдүүлснийг хассантай тэнцүү байна.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Кубуудын нийлбэрхоёр илэрхийлэл нь эхний ба хоёр дахь илэрхийллийн нийлбэр ба эдгээр илэрхийллийн зөрүүний бүрэн бус квадратын үржвэртэй тэнцүү байна.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. Кубуудын ялгаахоёр илэрхийлэл нь эхний ба хоёр дахь илэрхийллийн зөрүүг эдгээр илэрхийллийн нийлбэрийн бүрэн бус квадратаар үржүүлсэнтэй тэнцүү байна.

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Жишээг шийдвэрлэхдээ үржүүлэх товчилсон томъёог ашиглах.

Жишээ 1.

Тооцоол

a) Хоёр илэрхийллийн нийлбэрийн квадратын томъёог ашиглан бид байна

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

б) Хоёр илэрхийллийн зөрүүний квадратын томъёог ашиглан бид олж авна

98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604

Жишээ 2.

Тооцоол

Хоёр илэрхийллийн квадратуудын зөрүүг томъёог ашиглан бид олж авна

Жишээ 3.

Илэрхийлэлийг хялбарчлах

(x - y) 2 + (x + y) 2

Хоёр илэрхийллийн нийлбэрийн квадрат ба ялгаварын квадратын томъёог ашиглая

(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2

Нэг хүснэгтэд үржүүлэх товчилсон томъёо:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Хэзээ гэх мэт. Доор бид хамгийн алдартай томъёог авч үзээд тэдгээрийг хэрхэн олж авсан талаар дүн шинжилгээ хийх болно.

Нийлбэрийн квадрат

Хоёр мономиалын нийлбэрийг квадрат болгоцгооё: \((a+b)^2\). Квадратлах гэдэг нь тоо эсвэл илэрхийллийг өөрөө үржүүлэх, өөрөөр хэлбэл \((a+b)^2=(a+b)(a+b)\). Одоо бид зүгээр л хаалтуудыг нээж, хийсэн шигээ үржүүлж, ижил төстэй нэр томъёог авчирч болно. Бид авах:

Хэрэв бид завсрын тооцоог орхиж, зөвхөн эхний болон эцсийн илэрхийлэлийг бичвэл эцсийн томъёог авна.

Квадрат нийлбэр:\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

Ихэнх оюутнууд үүнийг цээжээр сурдаг. Одоо та энэ томъёог хэрхэн гаргаж авахаа мэддэг бөгөөд хэрэв та гэнэт мартвал үүнийг үргэлж хийж чадна.
За, гэхдээ үүнийг хэрхэн ашиглах вэ, яагаад энэ томъёо хэрэгтэй вэ? Нийлбэрийн квадрат нь хоёр гишүүний нийлбэрийг квадрат болгох үр дүнг хурдан бичих боломжийг олгодог. Нэг жишээ авч үзье.

Жишээ . Хаалтуудыг дэлгэх: \((x+5)^2\)
Шийдэл :

Хоёр дахь тохиолдолд үр дүн нь хэр хурдан бөгөөд бага хүчин чармайлтаар гарсныг анзаараарай. Та энэ болон бусад томьёог автоматжуулах хэмжээнд эзэмшвэл илүү хурдан болно: та хариултаа шууд бичиж болно. Тийм ч учраас тэдгээрийг БАГАССАН үржүүлэх томъёо гэж нэрлэдэг. Тиймээс тэдгээрийг мэдэж, хэрэгжүүлж сурах нь үнэ цэнэтэй зүйл юм.

Зөвхөн тохиолдолд бид үүнийг тэмдэглэж байна \(a\)Тэгээд \(b\)Ямар ч илэрхийлэл байж болно - зарчим нь хэвээр байна. Жишээлбэл:

Хэрэв та сүүлийн хоёр жишээн дээрх зарим өөрчлөлтийг гэнэт ойлгоогүй бол сэдвийг давтана уу.

Жишээ . \((1+5x)^2-12x-1 \) илэрхийллийг стандарт хэлбэрт хөрвүүлнэ.

Шийдэл :

Хариулт: \(25x^2-2x\).

Чухал!Томьёог зөвхөн "урагш" чиглэлд төдийгүй "урвуу" чиглэлд ашиглаж сурах шаардлагатай.

Жишээ . \((368)^2+2·368·132+(132)^2\) илэрхийллийн утгыг тооцоолуургүйгээр тооцоол.

Шийдэл :

Хариулт: \(250 000\).

Квадрат ялгаа

Дээрхээс бид мономиалуудын нийлбэрийн томъёог олов. Одоо ялгааны томъёог олъё, өөрөөр хэлбэл \((a-b)^2\):

Илүү товч хэлбэрээр бидэнд байна:

Квадрат ялгаа: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

Үүнийг өмнөхтэй ижил аргаар ашигладаг.

Жишээ . \((2a-3)^2-4(a^2-a)\) илэрхийллийг хялбарчлаад \(a=\frac(17)(8)\) гэсэн утгыг олоорой.

Шийдэл :

Хариулт: \(8\).

Квадратуудын ялгаа

Тиймээс, бид нэмэх тэмдэгтэй хоёр хаалт, хасах тэмдэгтэй хоёр хаалтны үржвэрийн нөхцөл байдлыг авч үзсэн. Үлдсэн тохиолдол нь өөр өөр тэмдэг бүхий ижил хаалтны үржвэр юм. Юу болсныг харцгаая:

Бид томъёог авсан:

Квадратуудын ялгаа \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)

Энэ томъёо нь ажиллахад хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг томъёо юм.

Жишээ . Бутархайг багасгах \(\frac(x^2-9)(x-3)\) .

Шийдэл :

Хариулт: \(x+3\).

Жишээ .Үзүүлэлт хийх \(25х^4-м^(10) t^6\).
Шийдэл :

Эдгээр нь таны мэдэх ёстой гурван үндсэн томъёо юм Заавал! Мөн куб бүхий томьёо байдаг (дээрхийг харна уу), тэдгээрийг санах эсвэл хурдан гаргаж авахыг зөвлөж байна. Практикт ийм хэд хэдэн томьёо нэг асуудалд нэг дор тулгардаг - энэ нь хэвийн зүйл гэдгийг анхаарна уу. Зөвхөн томъёог анзаарч, анхааралтай хэрэглэж сур, тэгвэл бүх зүйл сайхан болно.

Жишээ (дэвшилтэт!) .Бутархайг багасгах.
Шийдэл :

\(\frac(x^2-4xy-9+4y^2)(x-2y+3)\)\(=\)		Өнгөц харахад энэ бол чимээгүй аймшиг бөгөөд энэ талаар юу ч хийж чадахгүй (бид "хэвтээд үхэх" сонголтыг нухацтай авч үзэхгүй байна). Гэсэн хэдий ч, тоологчийн сүүлийн хоёр гишүүнийг сольж, хаалт нэмж (тодорхой болгох үүднээс) оролдъё.
\(\frac((x^2-4xy+4y^2)-9)(x-2y+3)\)\(=\)		Одоо хаалтанд байгаа нэр томъёог бага зэрэг өөрчилье: \(4xy\) бид \(2 x 2y\) гэж бичнэ. ба \(4y^2\) нь \((2y)^2\).
\(\frac((x^2-4xy+(2y)^2)-9)(x-2y+3)\)\(=\)		Одоо сайтар харцгаая, хаалтанд \(a=x\), \(b=2y\) гэсэн квадратын зөрүүний томьёо байгааг анзааръя. Бид түүний дагуу дөрвөлжин хэлбэртэй хаалт хэлбэрээр нураадаг. Үүний зэрэгцээ бид есийг \(3\) квадрат хэлбэрээр төлөөлдөг.
\(\frac((x-2y)^2-3^2)(x-2y+3)\)\(=\)		Дахин нэг удаа бид тоологчийг анхааралтай ажигла ... бод ... бод ... , \(a=(x-2y)\), \(b=3\) гэсэн квадратуудын ялгааны томъёог анзаар. . Бид үүнийг хоёр хаалтны бүтээгдэхүүн болгон задалдаг.
\(\frac((x-2y-3)(x-2y+3))(x-2y+3)\)\(=\)		Одоо бид тоологчийн хоёр дахь хаалт болон хуваагчийг бүхэлд нь багасгаж байна.
		Хариулт нь бэлэн байна.

Хичээлийн агуулга

Хоёр илэрхийллийн нийлбэрийн квадрат

Олон гишүүнтийг олон гишүүнтээр үржүүлэх нь маш хялбаршуулж болох хэд хэдэн тохиолдол байдаг. Жишээлбэл, ийм тохиолдол байдаг (2 x+ 3y) 2 .

Илэрхийлэл (2 x+ 3y) 2 нь тус бүр нь (2 x+ 3y)

(2x+ 3y) 2 = (2x+ 3y)(2x+ 3y)

Бид олон гишүүнтийг олон гишүүнтээр үржүүлэхийг олж авсан. Үүнийг хэрэгжүүлцгээе:

(2x+ 3y) 2 = (2x+ 3y)(2x+ 3y) = 4x 2 + 6xy + 6xy + 9y 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2

Энэ нь илэрхийлэл (2 x+ 3y) 2 тэнцүү 4x 2 + 12xy + 9y 2

(2x+ 3y) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2

Илүү энгийн ижил төстэй жишээг шийдье:

(a+b) 2

Илэрхийлэл ( a+b) 2 нь тус бүр нь (-тэй тэнцүү) хоёр олон гишүүнтийн үржвэр юм. a+b)

(a+b) 2 = (a+b)(a+b)

Энэ үржүүлгийг хийцгээе:

(a+b) 2 = (a+b)(a+b) = а 2 + ab + ab + б 2 = а 2 + 2ab + б 2

Энэ нь илэрхийлэл юм (a+b) 2 тэнцүү а 2 + 2ab + б 2

(a+b) 2 = а 2 + 2ab + б 2

Энэ хэрэг болж байна ( a+b) 2-ыг аль ч хэсэгт сунгаж болно аТэгээд б. Бидний шийдсэн эхний жишээ, тухайлбал (2 x+ 3y) 2-ыг таних тэмдэг ашиглан шийдэж болно (a+b) 2 = а 2 + 2ab + б 2 . Үүнийг хийхийн тулд та хувьсагчийн оронд орлуулах хэрэгтэй аТэгээд билэрхийллээс харгалзах нэр томъёо (2 x+ 3y) 2 . Энэ тохиолдолд хувьсагч а 2-р гишүүнтэй тохирч байна x, болон хувьсагч б 3-р гишүүнтэй тохирч байна y

а = 2x

б = 3y

Дараа нь бид таних тэмдгийг ашиглаж болно (a+b) 2 = а 2 + 2ab + б 2 , гэхдээ хувьсагчийн оронд аТэгээд б 2-р илэрхийллийг орлуулах хэрэгтэй xба 3 yтус тус:

(2x+ 3y) 2 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 3 y + (3y) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2

Өнгөрсөн удаад бид олон гишүүнт авсан шиг 4x 2 + 12xy+ 9y 2 . Шийдэл нь ихэвчлэн оюун ухаанд бүх үндсэн өөрчлөлтийг хийж товчхон бичдэг.

(2x+ 3y) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2

Баримтлал (a+b) 2 = а 2 + 2ab + б 2 хоёр илэрхийллийн нийлбэрийн квадратын томьёог нэрлэсэн. Энэ томъёог дараах байдлаар уншиж болно.

Хоёр илэрхийллийн нийлбэрийн квадрат нь эхний илэрхийллийн квадрат дээр нэмэх нь эхний илэрхийллийн үржвэрийг хоёр дахин нэмсэн, хоёр дахь илэрхийллийн квадратыг нэмсэнтэй тэнцүү байна.

(2 + 3) 2 илэрхийллийг авч үзье. Үүнийг хоёр аргаар тооцоолж болно: хаалтанд нэмэх ба үр дүнг квадрат болгох эсвэл хоёр илэрхийллийн нийлбэрийн квадратын томъёог ашиглана.

Эхний арга:

(2 + 3) 2 = 5 2 = 25

Хоёр дахь арга:

(2 + 3) 2 = 2 2 + 2 × 2 × 3 + 3 2 = 4 + 12 + 9 = 25

Жишээ 2. Илэрхийлэл хөрвүүлэх (5 а+ 3) 2-ыг олон гишүүнт рүү оруулна.

Хоёр илэрхийллийн нийлбэрийн квадратын томъёог ашиглая:

(a+b) 2 = а 2 + 2ab + б 2

(5a+ 3) 2 = (5а) 2 + 2 × 5 a × 3 + 3 2 = 25а 2 + 30а + 9

гэсэн үг, (5a+ 3) 2 = 25а 2 + 30а + 9.

Энэ жишээг нийлбэрийн томъёоны квадратыг ашиглахгүйгээр шийдэхийг хичээцгээе. Бид ижил үр дүнд хүрэх ёстой:

(5a+ 3) 2 = (5a+ 3)(5a+ 3) = 25а 2 + 15а + 15а + 9 = 25а 2 + 30а + 9

Хоёр илэрхийллийн нийлбэрийн квадратын томъёо нь геометрийн утгатай. Дөрвөлжингийн талбайг тооцоолохын тулд түүний талыг хоёр дахь зэрэгт хүргэх хэрэгтэй гэдгийг бид санаж байна.

Жишээлбэл, талтай дөрвөлжингийн талбай атэнцүү байх болно а 2. Хэрэв та квадратын хажуу талыг нэмэгдүүлбэл б, дараа нь талбай нь тэнцүү байх болно ( a+b) 2

Дараах зургийг авч үзье.

Энэ зурагт үзүүлсэн дөрвөлжингийн талыг дахин нэмэгдүүлсэн гэж төсөөлөөд үз дээ б. Квадрат бүх талууд тэнцүү байна. Хэрэв түүний талыг нэмэгдүүлсэн бол б, дараа нь үлдсэн талууд нь бас нэмэгдэнэ б

Үр дүн нь өмнөхөөсөө том хэмжээтэй шинэ дөрвөлжин юм. Үүнийг тодорхой харахын тулд дутуу талуудыг гүйцээцгээе:

Энэ квадратын талбайг тооцоолохын тулд та түүнд багтсан квадрат ба тэгш өнцөгтийг тусад нь тооцоолж, үр дүнг нэмж болно.

Эхлээд та талтай квадратыг тооцоолж болно а- түүний талбай тэнцүү байх болно а 2. Дараа нь та талуудтай тэгш өнцөгтийг тооцоолж болно аТэгээд б- тэд тэнцүү байх болно ab. Дараа нь та талтай квадратыг тооцоолж болно б

Үр дүн нь дараах талбайн нийлбэр юм.

а 2 + ab+ab + б 2

Ижил тэгш өнцөгтүүдийн талбайн нийлбэрийг 2-оор үржүүлж сольж болно ab, энэ нь шууд утгаараа гэсэн үг юм "AB тэгш өнцөгтийн талбайг хоёр удаа давт" . Алгебрийн хувьд үүнийг ижил төстэй нэр томъёог авчрах замаар олж авдаг abТэгээд ab. Үр дүн нь илэрхийлэл юм а 2 + 2ab+ б 2 , энэ нь хоёр илэрхийллийн нийлбэрийн квадратын томъёоны баруун тал юм:

(a+b) 2 = а 2 + 2ab+ б 2

Хоёр илэрхийллийн зөрүүний квадрат

Хоёр илэрхийллийн квадратын зөрүүний томъёо дараах байдалтай байна.

(a - b) 2 = а 2 − 2ab + б 2

Хоёр илэрхийллийн зөрүүний квадрат нь эхний илэрхийллийн квадратаас эхний илэрхийллийн үржвэрийг хоёр дахин нэмсэн, хоёр дахь илэрхийллийн квадратыг хассантай тэнцүү байна.

Хоёр илэрхийллийн зөрүүний квадратын томьёо нь хоёр илэрхийллийн нийлбэрийн квадратын томьёотой ижил аргаар гарна. Илэрхийлэл ( a - b) 2 нь хоёр олон гишүүнтийн үржвэр бөгөөд тус бүр нь (-тэй тэнцүү) a - b)

(a - b) 2 = (a - b)(a - b)

Хэрэв та энэ үржүүлгийг хийвэл олон гишүүнтийг авна а 2 − 2ab + б 2

(a - b) 2 = (a - b)(a - b) = а 2 − ab− ab+ б 2 = а 2 − 2ab + б 2

Жишээ 1. Илэрхийлэл хөрвүүлэх (7 x− 5) 2-ыг олон гишүүнт рүү оруулна.

Хоёр илэрхийллийн зөрүүний квадратын томъёог ашиглая:

(a - b) 2 = а 2 − 2ab + б 2

(7x− 5) 2 = (7x) 2 − 2 × 7 x × 5 + 5 2 = 49x 2 − 70x + 25

гэсэн үг, (7x− 5) 2 = 49x 2 + 70x + 25.

Энэ жишээг квадратын зөрүүний томьёог ашиглахгүйгээр шийдэхийг хичээцгээе. Бид ижил үр дүнд хүрэх ёстой:

(7x− 5) 2 = (7x− 5) (7x− 5) = 49x 2 − 35x − 35x + 25 = 49x 2 − 70x+ 25.

Хоёр илэрхийллийн зөрүүний квадратын томъёо нь бас геометрийн утгатай. Хэрэв тал нь дөрвөлжин талбайтай бол атэнцүү а 2, дараа нь тал нь багассан квадратын талбай б, тэнцүү байх болно ( a - b) 2

Дараах зургийг авч үзье.

Энэ зурагт үзүүлсэн дөрвөлжингийн талыг 1-ээр багасгасан гэж төсөөлье б. Квадрат бүх талууд тэнцүү байна. Хэрэв нэг талыг нь багасгасан бол б, дараа нь үлдсэн талууд нь бас багасах болно б

Үр дүн нь өмнөхөөсөө бага хэмжээтэй шинэ дөрвөлжин юм. Зураг дээр шар өнгөөр ​​тодруулсан байна. Түүний тал нь тэнцүү байна а− бУчир нь хуучин тал а-аар буурсан б. Энэ квадратын талбайг тооцоолохын тулд та талбайн анхны талбайгаас тооцоолж болно а 2 Хуучин квадратын талыг багасгах явцад олж авсан тэгш өнцөгтүүдийн талбайг хас. Эдгээр тэгш өнцөгтүүдийг үзүүлье:

Дараа нь та дараах илэрхийллийг бичиж болно: хуучин дөрвөлжин а 2 хасах талбай abхасах талбай ( a - b)б

а 2 − ab − (a - b)б

Илэрхийлэл дэх хашилтыг өргөжүүлье ( a - b)б

а 2 − ab−ab + б 2

Үүнтэй төстэй нэр томъёог авч үзье:

а 2 − 2ab + б 2

Үр дүн нь илэрхийлэл юм а 2 − 2ab + б 2 , энэ нь хоёр илэрхийллийн зөрүүний квадратын томъёоны баруун тал юм.

(a - b) 2 = а 2 − 2ab + б 2

Квадрат нийлбэр ба квадрат зөрүүний томъёог ерөнхийд нь нэрлэдэг үржүүлэх товчилсон томъёо. Эдгээр томьёо нь олон гишүүнтийг үржүүлэх үйл явцыг ихээхэн хялбарчилж, хурдасгах боломжтой.

Олон гишүүнт гишүүнийг тусад нь авч үзэхдээ өмнө нь байгаа тэмдгийн хамт авч үзэх ёстой гэж бид өмнө нь хэлсэн.

Гэхдээ үржүүлэх товчилсон томъёог ашиглахдаа анхны олон гишүүнтийн тэмдгийг энэ нэр томъёоны тэмдэг гэж үзэж болохгүй.

Жишээлбэл, илэрхийлэл өгсөн бол (5 x − 2y) 2 бөгөөд бид томъёог ашиглахыг хүсч байна (a - b) 2 = а 2 − 2ab + б 2 , дараа нь оронд нь б 2-оор солих хэрэгтэй y, −2 биш y. Энэ бол мартаж болохгүй томьёотой ажиллах онцлог юм.

(5x − 2y) 2
а = 5x
б = 2y
(5x − 2y) 2 = (5x) 2 − 2 × 5 x× 2 y + (2y) 2 = 25x 2 − 20xy + 4y 2

Хэрэв бид −2-г орлуулах юм бол y, тэгвэл энэ нь анхны илэрхийллийн хаалтны зөрүүг нийлбэрээр сольсон гэсэн үг юм:

(5x − 2y) 2 = (5x + (−2y)) 2

ба энэ тохиолдолд та квадратын зөрүүний томъёог биш харин квадрат нийлбэрийн томъёог ашиглах хэрэгтэй.

(5x + (−2y) 2
а = 5x
б = −2y
(5x + (−2y)) 2 = (5x) 2 + 2 × 5 x× (−2 y) + (−2y) 2 = 25x 2 − 20xy + 4y 2

Үл хамаарах зүйл нь маягтын илэрхийлэл байж болно (x− (−y)) 2 . Энэ тохиолдолд томъёог ашиглана (a - b) 2 = а 2 − 2ab + б 2 оронд нь борлуулах ёстой (- y)

(x− (−y)) 2 = x 2 − 2 × x× (− y) + (−y) 2 = x 2 + 2xy + y 2

Гэхдээ хэлбэрийн квадрат илэрхийллүүд x − (−y), хасахыг нэмэхээр солих нь илүү тохиромжтой байх болно x+y. Дараа нь анхны илэрхийлэл хэлбэрийг авна ( x+y) 2 бөгөөд ялгаанаас илүү нийлбэрийн квадратын томъёог ашиглах боломжтой болно.

(x+y) 2 = x 2 + 2xy + y 2

Нийлбэрийн шоо ба зөрүүний шоо

Хоёр илэрхийллийн нийлбэрийн куб ба хоёр илэрхийллийн зөрүүний кубын томъёо дараах байдалтай байна.

(а + б) 3 = а 3 + 3а 2 б + 3ab 2 + б 3

(a - b) 3 = а 3 − 3а 2 б + 3ab 2 − б 3

Хоёр илэрхийллийн нийлбэрийн кубын томъёог дараах байдлаар уншиж болно.

Хоёр илэрхийллийн нийлбэрийн шоо нь эхний илэрхийллийн шоо дээр нэмэх нь эхний илэрхийллийн квадратын үржвэрийг гурав дахин, хоёр дахь нь эхний илэрхийллийн үржвэр ба хоёр дахь илэрхийллийн квадратыг гурав дахин нэмсэнтэй тэнцүү байна. хоёр дахь илэрхийлэл.

Хоёр илэрхийллийн зөрүүний кубын томъёог дараах байдлаар уншиж болно.

Хоёр илэрхийллийн зөрүүний шоо нь эхний илэрхийллийн шоо, эхний илэрхийллийн квадратын үржвэрийг гурав дахин, хоёр дахь илэрхийллийн үржвэрийг гурав дахин нэмсэн, хоёр дахь илэрхийллийн квадратыг хассантай тэнцүү байна. хоёр дахь илэрхийлэл.

Асуудлыг шийдэхдээ эдгээр томъёог цээжээр мэдэхийг зөвлөж байна. Хэрэв та санахгүй байгаа бол асуудал байхгүй! Та тэдгээрийг өөрөө устгаж болно. Үүнийг хэрхэн яаж хийхийг бид аль хэдийн мэддэг болсон.

Бид өөрсдөө нийлбэрийн шоо томъёог гаргая.

(a+b) 3

Илэрхийлэл ( a+b) 3 нь тус бүр нь (-тэй тэнцүү) гурван олон гишүүнтийн үржвэр юм. а+ б)

(a+b) 3 = (а+ б)(а+ б)(а+ б)

Гэхдээ илэрхийлэл ( a+b) 3 гэж бас бичиж болно (а+ б)(а+ б) 2

(a+b) 3 = (а+ б)(а+ б) 2

Энэ тохиолдолд хүчин зүйл ( а+ б) 2 нь хоёр илэрхийллийн нийлбэрийн квадрат юм. Энэ нийлбэрийн квадрат нь илэрхийлэлтэй тэнцүү байна а 2 + 2ab + б 2 .

Дараа нь ( a+b) 3 гэж бичиж болно (а+ б)(а 2 + 2ab + б 2) .

(a+b) 3 = (а+ б)(а 2 + 2ab + б 2)

Мөн энэ нь олон гишүүнтийг олон гишүүнтээр үржүүлэх явдал юм. Үүнийг хэрэгжүүлцгээе:

(a+b) 3 = (а+ б)(а 2 + 2ab + б 2) = а 3 + 2а 2 б + ab 2 + а 2 б + 2ab 2 + б 3 = а 3 + 3а 2 б + 3ab 2 + б 3

Үүний нэгэн адил та хоёр илэрхийллийн зөрүүний кубын томъёог гаргаж болно.

(a - b) 3 = (a - б)(а 2 − 2ab + б 2) = а 3 − 2а 2 б + ab 2 − а 2 б + 2ab 2 − б 3 = а 3 − 3а 2 б+ 3ab 2 − б 3

Жишээ 1. Илэрхийлэлийг хувиргах ( x+ 1) 3-ыг олон гишүүнт болгон хувиргана.

(а + б) 3 = а 3 + 3а 2 б + 3ab 2 + б 3

(x+ 1) 3 = x 3+3× x 2 × 1 + 3 × x× 1 2 + 1 3 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1

Хоёр илэрхийллийн нийлбэрийн кубын томъёог ашиглахгүйгээр энэ жишээг шийдэхийг оролдъё

(x+ 1) 3 = (x+ 1)(x+ 1)(x+ 1) = (x+ 1)(x 2 + 2x + 1) = x 3 + 2x 2 + x + x 2 + 2x + 1 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1

Жишээ 2. Илэрхийлэл хөрвүүлэх (6а 2 + 3б 3) 3 олон гишүүнт рүү.

Хоёр илэрхийллийн нийлбэрийн кубын томъёог ашиглая.

(а + б) 3 = а 3 + 3а 2 б + 3ab 2 + б 3

(6а 2 + 3б 3) 3 = (6а 2) 3 + 3 × (6 а 2) 2×3 б 3 + 3 × 6 а 2 × (3б 3) 2 + (3б 3) 3 = 216а 6 + 3 × 36 а 4×3 б 3 + 3 × 6 а 2×9 б 6 + 27б 9

Жишээ 3. Илэрхийлэл хөрвүүлэх ( n 2 − 3) 3-ыг олон гишүүнт рүү оруулна.

(a - b) = а 3 − 3а 2 б + 3ab 2 − б 3

(n 2 − 3) 3 = (n 2) 3 − 3 × ( n 2) 2 × 3 + 3 × n 2 × 3 2 − 3 3 = n 6 − 9n 4 + 27n 2 − 27

Жишээ 4. Илэрхийлэл хөрвүүлэх (2x 2 − x 3) 3 олон гишүүнт рүү.

Хоёр илэрхийллийн зөрүүний кубын томъёог ашиглая.

(a - b) = а 3 − 3а 2 б + 3ab 2 − б 3

(2x 2 − x 3) 3 = (2x 2) 3 − 3 × (2 x 2) 2× x 3 + 3 × 2 x 2×( x 3) 2 − (x 3) 3 =
8x 6 − 3 × 4 x 4× x 3 + 3 × 2 x 2× x 6 − x 9 =
8x 6 − 12x 7 + 6x 8 − x 9

Хоёр илэрхийллийн зөрүүг тэдгээрийн нийлбэрээр үржүүлэх

Хоёр илэрхийллийн зөрүүг нийлбэрээр нь үржүүлэх шаардлагатай асуудлууд байдаг. Жишээлбэл:

(a - b)(a+b)

Энэ илэрхийлэлд хоёр илэрхийллийн ялгаа аТэгээд бижил хоёр илэрхийллийн нийлбэрээр үржүүлнэ. Энэ үржүүлгийг хийцгээе:

(a - b)(a+b) = а 2 + ab − ab − б 2 = а 2 − б 2

Энэ нь илэрхийлэл юм (a - b)(a+b) тэнцүү байна а 2 − б 2

(a - b)(a+b) = а 2 − б 2

Бид хоёр илэрхийллийн зөрүүг тэдгээрийн нийлбэрээр үржүүлэхэд эдгээр илэрхийллийн квадратуудын зөрүү гарч байгааг бид харж байна.

Хоёр илэрхийллийн зөрүү ба тэдгээрийн нийлбэрийн үржвэр нь эдгээр илэрхийллийн квадратуудын зөрүүтэй тэнцүү байна.

Болж байна (a - b)(a+b) хэнд ч тарааж болно аТэгээд б. Энгийнээр хэлэхэд, хэрэв та асуудлыг шийдэхдээ хоёр илэрхийллийн зөрүүг тэдгээрийн нийлбэрээр үржүүлэх шаардлагатай бол энэ үржүүлгийг эдгээр илэрхийллийн квадратуудын зөрүүгээр сольж болно.

Жишээ 1. Үржүүлэх үйлдлийг гүйцэтгэнэ (2x − 5)(2x + 5)

Энэ жишээнд илэрхийллийн зөрүү 2 байна x 5-ыг ижил илэрхийллийн нийлбэрээр үржүүлнэ. Дараа нь томъёоны дагуу (a - b)(a+b) = а 2 − б 2 бидэнд байгаа:

(2x − 5)(2x + 5) = (2x) 2 − 5 2

Баруун талыг нь тооцоолъё, бид 4-ийг авна x 2 − 25

(2x − 5)(2x + 5) = (2x) 2 − 5 2 = 4x 2 − 25

Томьёог ашиглахгүйгээр энэ жишээг шийдэхийг хичээцгээе (a - b)(a+b) = а 2 − б 2 . Бид ижил үр дүнд хүрэх болно 4 x 2 − 25

(2x − 5)(2x + 5) = 4x 2 − 10x + 10x − 25 = 4x 2 − 25

Жишээ 2. Үржүүлэх үйлдлийг гүйцэтгэнэ (4x − 5y)(4x + 5y)

(a - b)(a+b) = а 2 − б 2

(4x − 5y)(4x + 5y) = (4x) 2 − (5y) 2 = 16x 2 − 25y 2

Жишээ 3. Үржүүлэх үйлдлийг гүйцэтгэнэ (2а+ 3б)(2а− 3б)

Хоёр илэрхийллийн зөрүүг тэдгээрийн нийлбэрээр үржүүлэх томъёог ашиглая.

(a - b)(a+b) = а 2 − б 2

(2a+ 3б)(2a - 3б) = (2а) 2 − (3б) 2 = 4а 2 − 9б 2

Энэ жишээнд нэр томъёоны нийлбэр нь 2 байна аба 3 бЭдгээр нэр томъёоны зөрүүгээс өмнө байрлаж байсан. Мөн томъёонд (a - b)(a+b) = а 2 − б 2 ялгаа нь эрт дээр байрладаг.

Хүчин зүйлсийг хэрхэн зохион байгуулах нь хамаагүй ( a - b) V ( a+b) томъёонд. Тэдгээрийг ингэж бичиж болно (a - b)(a+b) , тийм (a+b)(a - b) . Үр дүн нь тэнцүү хэвээр байх болно а 2 − б 2, хүчин зүйлүүдийг дахин зохицуулахаас бүтээгдэхүүн өөрчлөгддөггүй тул.

Тиймээс энэ жишээнд хүчин зүйлүүд (2 a+ 3б) ба 2 a - 3б) гэж бичиж болно (2a+ 3б)(2a - 3б) , тийм (2a - 3б)(2a+ 3б) . Үр дүн нь 4 хэвээр байх болно а 2 − 9б 2 .

Жишээ 3. Үржүүлэх үйлдлийг гүйцэтгэнэ (7 + 3x)(3x − 7)

Хоёр илэрхийллийн зөрүүг тэдгээрийн нийлбэрээр үржүүлэх томъёог ашиглая.

(a - b)(a+b) = а 2 − б 2

(7 + 3x)(3x − 7) = (3x) 2 − 7 2 = 9x 2 − 49

Жишээ 4. Үржүүлэх үйлдлийг гүйцэтгэнэ (x 2 − y 3)(x 2 + y 3)

(a - b)(a+b) = а 2 − б 2

(x 2 − y 3)(x 2 + y 3) = (x 2) 2 − (y 3) 2 = x 4 − y 6

Жишээ 5. Үржүүлэх үйлдлийг гүйцэтгэнэ (−5x− 3y)(5x− 3y)

Илэрхийлэлд (−5 x− 3y) бид хаалтанд −1-ийг оруулбал анхны илэрхийлэл дараах хэлбэрийг авна.

(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y)

Ажил (5x + 3y)(5x − 3y) квадратын зөрүүгээр солино:

(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x) 2 − (3y) 2)

Квадратуудын зөрүүг хаалтанд оруулсан. Хэрэв үүнийг хийгээгүй бол −1-ийг зөвхөн (5) үржүүлнэ x) 2 . Энэ нь алдаа гаргах, анхны илэрхийллийн утгыг өөрчлөхөд хүргэнэ.

(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x) 2 − (3y) 2) = −1(25x 2 − 9x 2)

Одоо −1-ийг хаалтанд байгаа илэрхийллээр үржүүлээд эцсийн үр дүнг гарга.

(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x) 2 − (3y) 2) =
−1(25x 2 − 9y 2) = −25x 2 + 9y 2

Хоёр илэрхийллийн зөрүүг тэдгээрийн нийлбэрийн хэсэгчилсэн квадратаар үржүүлэх

Хоёр илэрхийллийн зөрүүг тэдгээрийн нийлбэрийн хэсэгчилсэн квадратаар үржүүлэх шаардлагатай асуудлууд байдаг. Энэ хэсэг нь иймэрхүү харагдаж байна:

(a - b)(а 2 + ab + б 2)

Эхний олон гишүүнт ( a - b) нь хоёр илэрхийллийн ялгаа, хоёр дахь нь олон гишүүнт юм (а 2 + ab + б 2) нь эдгээр хоёр илэрхийллийн нийлбэрийн хэсэгчилсэн квадрат юм.

Нийлбэрийн хэсэгчилсэн квадрат нь хэлбэрийн олон гишүүнт юм а 2 + ab + б 2 . Энэ нь нийлбэрийн ердийн квадраттай төстэй юм а 2 + 2ab + б 2

Жишээлбэл, илэрхийлэл 4x 2 + 6xy + 9y 2 илэрхийллийн нийлбэрийн бүрэн бус квадрат нь 2 xба 3 y .

Үнэн хэрэгтээ, илэрхийллийн эхний нэр томъёо 4x 2 + 6xy + 9y 2 , тухайлбал 4 x 2 нь 2 илэрхийллийн квадрат юм x, оноос хойш (2 x) 2 = 4x 2. Гурав дахь илэрхийлэл 4x 2 + 6xy + 9y 2 , тухайлбал 9 y 2 нь 3 илэрхийллийн квадрат юм y, оноос хойш (3 y) 2 = 9y 2. Дунд гишүүн 6 xy, 2 илэрхийллийн үржвэр юм xба 3 y.

Тэгэхээр зөрүүг үржүүлье ( a - b) нийлбэрийн бүрэн бус квадратаар а 2 + ab + б 2

(a - b)(а 2 + ab + б 2) = а(а 2 + ab + b 2) − б(а 2 + ab + б 2) =
а 3 + а 2 б + ab 2 − а 2 б − ab 2 − б 3 = а 3 − б 3

Энэ нь илэрхийлэл юм (a - b)(а 2 + ab + б 2) тэнцүү байна а 3 − б 3

(a - b)(а 2 + ab + б 2) = а 3 − б 3

Энэ ижил төстэй байдлыг хоёр илэрхийллийн зөрүүг тэдгээрийн нийлбэрийн хэсэгчилсэн квадратаар үржүүлэх томъёо гэж нэрлэдэг. Энэ томъёог дараах байдлаар уншиж болно.

Хоёр илэрхийллийн зөрүү ба тэдгээрийн нийлбэрийн хэсэгчилсэн квадратын үржвэр нь эдгээр илэрхийллийн шоо дөрвөлжингийн зөрүүтэй тэнцүү байна.

Жишээ 1. Үржүүлэх үйлдлийг гүйцэтгэнэ (2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2)

Эхний олон гишүүнт (2 x − 3y) нь хоёр илэрхийллийн зөрүү 2 xба 3 y. Хоёрдахь олон гишүүнт 4x 2 + 6xy + 9y 2 энэ нь хоёр илэрхийллийн нийлбэрийн хэсэгчилсэн квадрат 2 xба 3 y. Энэ нь урт тооцоолол хийхгүйгээр томъёог ашиглах боломжийг олгодог (a - b)(а 2 + ab + б 2) = а 3 − б 3 . Манай тохиолдолд үржүүлэх (2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2) шоо 2-ын зөрүүгээр сольж болно xба 3 y

(2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2) = (2x) 3 − (3y) 3 = 8x 3 − 27y 3

(a - b)(а 2 + ab+ б 2) = а 3 − б 3 . Бид ижил үр дүнд хүрэх болно, гэхдээ шийдэл нь илүү урт байх болно:

(2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2) = 2x(4x 2 + 6xy + 9y 2) − 3y(4x 2 + 6xy + 9y 2) =
8x 3 + 12x 2 y + 18xy 2 − 12x 2 y − 18xy 2 − 27y 3 = 8x 3 − 27y 3

Жишээ 2. Үржүүлэх үйлдлийг гүйцэтгэнэ (3 − x)(9 + 3x + x 2)

Эхний олон гишүүнт (3 − x) нь хоёр илэрхийллийн зөрүү бөгөөд хоёр дахь олон гишүүнт нь эдгээр хоёр илэрхийллийн нийлбэрийн хэсэгчилсэн квадрат юм. Энэ нь томъёог ашиглах боломжийг бидэнд олгодог (a - b)(а 2 + ab + б 2) = а 3 − б 3

(3 − x)(9 + 3x + x 2) = 3 3 − x 3 = 27 − x 3

Хоёр илэрхийллийн нийлбэрийг тэдгээрийн зөрүүний хэсэгчилсэн квадратаар үржүүлэх

Хоёр илэрхийллийн нийлбэрийг тэдгээрийн зөрүүний хэсэгчилсэн квадратаар үржүүлэх шаардлагатай асуудлууд байдаг. Энэ хэсэг нь иймэрхүү харагдаж байна:

(a+b)(а 2 − ab + б 2)

Эхний олон гишүүнт ( a+b (а 2 − ab + б 2) нь эдгээр хоёр илэрхийллийн зөрүүний бүрэн бус квадрат юм.

Ялгааны хэсэгчилсэн квадрат нь хэлбэрийн олон гишүүнт юм а 2 − ab + б 2 . Энэ нь ердийн ялгааны квадрат шиг харагдаж байна а 2 − 2ab + б 2 Үүнээс бусад тохиолдолд эхний ба хоёр дахь илэрхийллийн үржвэр хоёр дахин нэмэгддэггүй.

Жишээлбэл, илэрхийлэл 4x 2 − 6xy + 9y 2 нь 2 илэрхийллийн зөрүүний бүрэн бус квадрат юм xба 3 y.

(2x) 2 − 2x× 3 y + (3y) 2 = 4x 2 − 6xy + 9y 2

Анхны жишээ рүү буцъя. Нийлбэрийг үржүүлье a+bзөрүүний хэсэгчилсэн квадратаар а 2 − ab + б 2

(a+b)(а 2 − ab + б 2) = а(а 2 − ab + b 2) + б(а 2 − ab + б 2) =
а 3 − а 2 б + ab 2 + а 2 б − ab 2 + б 3 = а 3 + б 3

Энэ нь илэрхийлэл юм (a+b)(а 2 − ab + б 2) тэнцүү байна а 3 + б 3

(a+b)(а 2 − ab + б 2) = а 3 + б 3

Энэ ижил төстэй байдлыг хоёр илэрхийллийн нийлбэрийг тэдгээрийн зөрүүний бүрэн бус квадратаар үржүүлэх томъёо гэж нэрлэдэг. Энэ томъёог дараах байдлаар уншиж болно.

Хоёр илэрхийллийн нийлбэр ба тэдгээрийн зөрүүний хэсэгчилсэн квадратын үржвэр нь эдгээр илэрхийллийн шоо нийлбэртэй тэнцүү байна.

Жишээ 1. Үржүүлэх үйлдлийг гүйцэтгэнэ (2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2)

Эхний олон гишүүнт (2 x + 3y) нь хоёр илэрхийллийн нийлбэр 2 xба 3 y, мөн хоёр дахь олон гишүүнт 4x 2 − 6xy + 9y 2 Энэ бол эдгээр илэрхийллийн зөрүүний бүрэн бус квадрат юм. Энэ нь урт тооцоолол хийхгүйгээр томъёог ашиглах боломжийг олгодог (a+b)(а 2 − ab + б 2) = а 3 + б 3 . Манай тохиолдолд үржүүлэх (2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2) шоо 2-ын нийлбэрээр сольж болно xба 3 y

(2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2) = (2x) 3 + (3y) 3 = 8x 3 + 27y 3

Томьёог ашиглахгүйгээр ижил жишээг шийдэхийг хичээцгээе (a+b)(а 2 − ab+ б 2) = а 3 + б 3 . Бид ижил үр дүнд хүрэх болно, гэхдээ шийдэл нь илүү урт байх болно:

(2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2) = 2x(4x 2 − 6xy + 9y 2) + 3y(4x 2 − 6xy + 9y 2) =
8x 3 − 12x 2 y + 18xy 2 + 12x 2 y − 18xy 2 + 27y 3 = 8x 3 + 27y 3

Жишээ 2. Үржүүлэх үйлдлийг гүйцэтгэнэ (2x+ y)(4x 2 − 2xy + y 2)

Эхний олон гишүүнт (2 x+ y) нь хоёр илэрхийллийн нийлбэр ба хоёр дахь олон гишүүнт юм (4x 2 − 2xy + y 2) нь эдгээр илэрхийллийн зөрүүний бүрэн бус квадрат юм. Энэ нь томъёог ашиглах боломжийг бидэнд олгодог (a+b)(а 2 − ab+ б 2) = а 3 + б 3

(2x+ y)(4x 2 − 2xy + y 2) = (2x) 3 + y 3 = 8x 3 + y 3

Томьёог ашиглахгүйгээр ижил жишээг шийдэхийг хичээцгээе (a+b)(а 2 − ab+ б 2) = а 3 + б 3 . Бид ижил үр дүнд хүрэх болно, гэхдээ шийдэл нь илүү урт байх болно:

(2x+ y)(4x 2 − 2xy + y 2) = 2x(4x 2 − 2xy + y 2) + y(4x 2 − 2xy + y 2) =
8x 3 − 4x 2 y + 2xy 2 + 4x 2 y − 2xy 2 + y 3 = 8x 3 + y 3

Бие даасан шийдлийн даалгавар

Хичээл таалагдсан уу?
Манайд нэгдээрэй шинэ бүлэг VKontakte болон шинэ хичээлүүдийн талаар мэдэгдэл хүлээн авч эхлээрэй

Тоон болон илэрхийлэлийг экспонентацилах, үржүүлэхэд товчилсон үржүүлэх томъёог (FMF) ашигладаг. Ихэнхдээ эдгээр томъёо нь тооцооллыг илүү нягт, хурдан хийх боломжийг олгодог.

Энэ нийтлэлд бид товчилсон үржүүлэх үндсэн томъёог жагсааж, тэдгээрийг хүснэгтэд бүлэглэж, эдгээр томъёог ашиглах жишээг авч үзэх, мөн товчилсон үржүүлэх томъёог батлах зарчмуудыг авч үзэх болно.

7-р ангийн алгебрийн хичээлийн хүрээнд FSU-ийн сэдвийг анх удаа авч үзэж байна. 7 үндсэн томъёог доор харуулав.

Үржүүлэх товчилсон томъёо

1. нийлбэрийн квадратын томъёо: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. квадрат ялгааны томъёо: a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2
3. нийлбэр шоо томъёо: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. ялгаа шоо томъёо: a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
5. квадрат ялгааны томъёо: a 2 - b 2 = a - b a + b
6. Кубуудын нийлбэрийн томъёо: a 3 + b 3 = a + b a 2 - a b + b 2
7. кубын ялгаварын томъёо: a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

Эдгээр илэрхийлэл дэх a, b, c үсэг нь ямар ч тоо, хувьсагч эсвэл илэрхийлэл байж болно. Хэрэглэхэд хялбар болгохын тулд үндсэн долоон томъёог цээжээр сурах нь дээр. Хүснэгтэнд оруулаад хүрээгээр хүрээлж доор үзүүлье.

Эхний дөрвөн томьёо нь хоёр илэрхийллийн нийлбэр эсвэл зөрүүний квадрат эсвэл кубыг тус тус тооцоолох боломжийг танд олгоно.

Тав дахь томьёо нь илэрхийллийн квадратуудын зөрүүг тэдгээрийн нийлбэр ба зөрүүг үржүүлэх замаар тооцоолно.

Зургаа ба долоо дахь томьёо нь илэрхийллийн нийлбэр ба зөрүүг зөрүүгийн бүрэн бус квадрат болон нийлбэрийн бүрэн бус квадратаар үржүүлнэ.

Үржүүлэх товчилсон томъёог заримдаа товчилсон үржүүлгийн таних тэмдэг гэж нэрлэдэг. Энэ нь гайхах зүйл биш юм, учир нь тэгш байдал бүр ижил төстэй шинж чанартай байдаг.

Практик жишээг шийдвэрлэхдээ зүүн ба баруун талыг сольсон товчилсон үржүүлэх томъёог ихэвчлэн ашигладаг. Энэ нь олон гишүүнтийг хүчин зүйл болгоход ялангуяа тохиромжтой.

Нэмэлт товчилсон үржүүлэх томъёо

7-р ангийн алгебрийн хичээлээр хязгаарлагдахгүй, FSU-ийн хүснэгтэд хэдэн томьёо нэмье.

Эхлээд Ньютоны бином томъёог авч үзье.

a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n - 1 · b + C n 2 · a n - 2 · b 2 + . . + C n n - 1 · a · b n - 1 + C n n · b n

Энд C n k нь Паскалийн гурвалжны n-р мөрөнд гарч буй бином коэффициентүүд юм. Бином коэффициентийг дараахь томъёогоор тооцоолно.

C n k = n! к! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !

Бидний харж байгаагаар зөрүү ба нийлбэрийн квадрат ба кубын FSF нь n=2 ба n=3 тус тус Ньютоны бином томъёоны онцгой тохиолдол юм.

Гэхдээ нийлбэрт хоёроос илүү нэр томъёо байгаа бол эрх мэдэлтэй болгох шаардлагатай бол яах вэ? Гурав, дөрөв ба түүнээс дээш гишүүний нийлбэрийн квадратын томъёо нь ашигтай байх болно.

a 1 + a 2 +. . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

Хэрэгтэй байж болох өөр нэг томьёо бол хоёр гишүүний n-р зэрэглэлийн ялгааны томъёо юм.

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1

Энэ томъёог ихэвчлэн хоёр томьёонд хуваадаг - тэгш ба сондгой хүчний хувьд.

Бүр 2м үзүүлэлтийн хувьд:

a 2 м - b 2 м = a 2 - b 2 a 2 м - 2 + a 2 м - 4 б 2 + а 2 м - 6 б 4 +. . + b 2 м - 2

2м+1 сондгой илтгэгчийн хувьд:

a 2 м + 1 - б 2 м + 1 = а 2 - б 2 а 2 м + а 2 м - 1 б + а 2 м - 2 б 2 +. . + b 2 м

Таны таамаглаж байгаагаар квадратуудын зөрүү ба шоо дөрвөлжингийн зөрүү нь n = 2 ба n = 3-ын хувьд энэ томьёоны онцгой тохиолдлууд юм. Кубын зөрүүний хувьд b-г мөн - b-ээр солино.

Үржүүлэхийн товчилсон томъёог хэрхэн унших вэ?

Бид томьёо тус бүрт тохирох томъёолол өгөх боловч эхлээд томъёог унших зарчмыг ойлгох болно. Үүнийг хийх хамгийн тохиромжтой арга бол жишээ юм. Хоёр тооны нийлбэрийн квадратын хамгийн эхний томъёог авч үзье.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2.

Тэд хэлэхдээ: a ба b хоёр илэрхийллийн нийлбэрийн квадрат нь эхний илэрхийллийн квадратын нийлбэр, илэрхийллийн үржвэр ба хоёр дахь илэрхийллийн квадратын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Бусад бүх томъёог ижил төстэй байдлаар уншина. a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 ялгааны квадратын хувьд бид бичнэ:

a ба b хоёр илэрхийллийн ялгааны квадрат нь эдгээр илэрхийллийн квадратуудын нийлбэрээс эхний ба хоёр дахь илэрхийллийн үржвэрийг хоёр дахин хассантай тэнцүү байна.

a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 томъёог уншъя. a ба b хоёр илэрхийллийн нийлбэрийн шоо нь эдгээр илэрхийллийн шоо нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд эхний илэрхийллийн квадратын үржвэрийг хоёр дахь, хоёр дахь илэрхийллийн квадратын үржвэрийг гурав дахин нэмэгдүүлнэ. анхны илэрхийлэл.

a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3 шоо дөрвөлжингийн ялгаварын томъёог уншиж эхэлцгээе. a ба b хоёр илэрхийллийн хоорондох зөрүүний шоо нь эхний илэрхийллийн квадратаас эхний ба хоёр дахь илэрхийллийн квадратын гурвалсан үржвэрийг хасч, хоёр дахь илэрхийлэл ба эхний илэрхийллийн квадратын гурвалсан үржвэрийг хассантай тэнцүү байна. , хоёр дахь илэрхийллийн кубыг хасна.

Тав дахь томьёо a 2 - b 2 = a - b a + b (квадратуудын ялгаа) дараах байдлаар уншина: хоёр илэрхийллийн квадратуудын зөрүү нь ялгааны үржвэр ба хоёр илэрхийллийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Тохиромжтой болгох үүднээс a 2 + a b + b 2 ба a 2 - a b + b 2 гэх мэт илэрхийллийг нийлбэрийн бүрэн бус квадрат ба зөрүүний бүрэн бус квадрат гэж нэрлэдэг.

Үүнийг харгалзан үзэхэд кубуудын нийлбэр ба зөрүүний томъёог дараах байдлаар уншиж болно.

Хоёр илэрхийллийн шоо нийлбэр нь эдгээр илэрхийллийн нийлбэр ба тэдгээрийн зөрүүний хэсэгчилсэн квадратын үржвэртэй тэнцүү байна.

Хоёр илэрхийллийн шоо хоорондын зөрүү нь эдгээр илэрхийллийн зөрүү ба тэдгээрийн нийлбэрийн хэсэгчилсэн квадратын үржвэртэй тэнцүү байна.

FSU-ийн нотолгоо

FSU-г нотлох нь маш энгийн. Үржүүлэх шинж чанарт үндэслэн бид томъёоны хэсгүүдийг хаалтанд үржүүлнэ.

Жишээлбэл, квадратын зөрүүний томъёог авч үзье.

a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2.

Илэрхийлэлийг хоёр дахь зэрэгт хүргэхийн тулд та энэ илэрхийллийг өөрөө үржүүлэх хэрэгтэй.

a - b 2 = a - b a - b .

Хаалтуудыг өргөжүүлье:

a - b a - b = a 2 - a b - b a + b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

Томъёо нь батлагдсан. Үлдсэн FSU нь ижил төстэй байдлаар нотлогдсон.

FSU програмын жишээ

Үржүүлэх товчилсон томъёог ашиглах зорилго нь илэрхийлэлийг хурдан бөгөөд товчоор үржүүлэх, өсгөх явдал юм. Гэсэн хэдий ч энэ нь FSU-ийн хэрэглээний бүх хүрээ биш юм. Эдгээрийг илэрхийлэлийг багасгах, бутархайг багасгах, олон гишүүнтийг хүчин зүйлд ялгахад өргөн хэрэглэгддэг. Жишээ хэлье.

Жишээ 1. FSU

9 y - (1 + 3 y) 2 илэрхийллийг хялбарчилж үзье.

Квадратуудын нийлбэрийн томьёог хэрэглээд:

9 ж - (1 + 3 ж) 2 = 9 ж - (1 + 6 ж + 9 ө 2) = 9 ж - 1 - 6 ж - 9 ж 2 = 3 ж - 1 - 9 ж 2

Жишээ 2. FSU

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 бутархайг багасгая.

Тоолуур дахь илэрхийлэл нь шоо дөрвөлжингийн зөрүү, хуваагч нь квадратуудын зөрүү гэдгийг бид тэмдэглэж байна.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z .

Бид багасгаж, авдаг:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSU нь илэрхийллийн утгыг тооцоолоход тусалдаг. Хамгийн гол нь томъёог хаана хэрэглэхээ анзаарч чаддаг байх явдал юм. Үүнийг жишээгээр харуулъя.

79-ийн тоог квадрат болгоё. Хэцүү тооцооллын оронд дараахь зүйлийг бичье.

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Энэ нь бололтой, нарийн төвөгтэй тооцоозүгээр л товчилсон үржүүлэх томъёо, үржүүлэх хүснэгтийг ашиглан хурдан гүйцэтгэнэ.

Өөр чухал цэг- биномийн квадратыг тодорхойлох. 4 x 2 + 4 x - 3 илэрхийллийг 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 болгон хувиргаж болно. Ийм хувиргалтыг интеграцид өргөн ашигладаг.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Олон гишүүнтийг олон гишүүнтээр үржүүлэх

! руу олон гишүүнтийг олон гишүүнтээр үржүүлэх, та нэг олон гишүүнт гишүүн бүрийг нөгөө олон гишүүний гишүүн бүрээр үржүүлж, үр дүнг нэмэх хэрэгтэй.

Болгоомжтой байгаарай! Нэр томъёо бүр өөрийн гэсэн тэмдэгтэй байдаг.

Үржүүлэх товчилсон томъёоОлон гишүүнт нь ерөнхийдөө олон гишүүнтийг үржүүлэх 7 (долоо) нийтлэг тохиолдол юм.

Тодорхойлолт баҮржүүлэх товчилсон томъёо. Хүснэгт

Хүснэгт 2. Үржүүлэх товчилсон томъёоны тодорхойлолт (томруулахын тулд дарна уу)

Квадратыг үржүүлэх гурван товчилсон томъёо

1. Квадрат нийлбэрийн томъёо.

Нийлбэрийн квадратхоёр илэрхийлэл нь эхний илэрхийллийн квадрат дээр нэмэх нь эхний илэрхийллийн хоёр дахин үржвэр, хоёр дахь нь хоёр дахь илэрхийллийн квадраттай тэнцүү байна.

Томьёог илүү сайн ойлгохын тулд эхлээд илэрхийллийг хялбарчъя (нийлбэрийн квадратын томьёог өргөжүүлнэ үү)

Одоо хүчин зүйл ангилъя (томьёог нураах)

Факторинг хийх үед хийх үйлдлүүдийн дараалал:

1. аль мономиалууд квадрат болохыг тодорхойлох ( 5 Тэгээд 3м);
2. Тэдний давхар үржвэр томьёоны дунд байгаа эсэхийг шалгана уу (2 5 3м = 30м);
3. хариултыг бичнэ үү (5 + 3м) 2.

2. Квадрат ялгааны томъёо

Квадрат ялгаахоёр илэрхийлэл нь эхний илэрхийллийн квадратаас эхний илэрхийллийн үржвэрийг хоёр дахин, хоёр дахь нь хоёр дахь илэрхийллийн квадратыг хассантай тэнцүү байна.

Эхлээд илэрхийллийг хялбаршуулж үзье (томъёог өргөжүүлнэ үү):

Дараа нь эсрэгээр үүнийг хүчин зүйлээр ангилъя (томъёог нураая):

3. Квадрат ялгааны томъёо

Хоёр илэрхийлэл ба тэдгээрийн зөрүүний нийлбэрийн үржвэр нь эдгээр илэрхийллийн квадратуудын зөрүүтэй тэнцүү байна.

Томьёог нураацгаая (үржүүлэх үйлдлийг гүйцэтгэнэ)

Одоо томъёогоо өргөжүүлье (үүнийг хүчин зүйлээр тооцно)

Кубыг үржүүлэх дөрвөн товчилсон томъёо

4. Хоёр тооны нийлбэрийн кубын томъёо

Хоёр илэрхийллийн нийлбэрийн шоо нь эхний илэрхийллийн шоо дээр нэмэх нь эхний илэрхийллийн квадратын үржвэрийг гурав дахин, хоёр дахь нь эхний илэрхийллийн үржвэр ба хоёр дахь илэрхийллийн квадратыг гурав дахин нэмсэнтэй тэнцүү байна. хоёр дахь илэрхийлэл.

Томьёог "нурах" үед хийх үйлдлүүдийн дараалал:

1. куб болсон мономиалуудыг олоорой (энд 4xТэгээд 1 );
2. томъёонд нийцэж байгаа дундаж нөхцөлийг шалгах;
3. хариултыг бичнэ үү.

5. Хоёр тооны зөрүүний кубын томъёо

Хоёр илэрхийллийн зөрүүний шоо нь эхний илэрхийллийн шоо, эхний илэрхийллийн квадратын үржвэрийг гурав дахин, хоёр дахь илэрхийллийн үржвэрийг гурав дахин нэмсэн, хоёр дахь илэрхийллийн квадратыг хассантай тэнцүү байна. хоёр дахь илэрхийлэл.

6. Шоо нийлбэрийн томъёо

Хоёр илэрхийллийн шоо нийлбэр нь эхний ба хоёр дахь илэрхийллийн нийлбэр ба эдгээр илэрхийллийн зөрүүний бүрэн бус квадратын үржвэртэй тэнцүү байна.

Тэгээд буцаж:

7. Кубуудын томьёоны ялгаа

Хоёр илэрхийллийн шоо хоорондын зөрүү нь эхний ба хоёр дахь илэрхийллийн зөрүү ба эдгээр илэрхийллийн нийлбэрийн хэсэгчилсэн квадратын үржвэртэй тэнцүү байна.

Үржүүлэх товчилсон томъёоны хэрэглээ. Хүснэгт

Томьёог практикт ашиглах жишээ (амаар тооцоолох).

Даалгавар: a = 71 см талтай квадратын талбайг ол.

Шийдэл: S = a 2. Квадрат нийлбэрийн томъёог ашиглан бид байна

71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2*70*1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041 см 2

Хариулт: 5041 см 2