Олон өнцөгт. Харааны гарын авлага (2019)

Олон өнцөгтийн орой ба сегментүүд нь олон өнцөгтийн талууд юм. Олон өнцөгтийн оройнууд - хуудас No1/1

Геометр 8-р анги К.К.Кургинян 1-р хэсэг* (одтой).
Олон өнцөгт.

Тодорхойлолт:Олон өнцөгт нь өөрөө огтлолцоогүй хавтгай, битүү тасархай шугамаас тогтсон геометрийн дүрс юм. Эвдэрсэн шугамын оройг дуудна оргилуудолон өнцөгт, сегментүүд нь байна намуудолон өнцөгт.

Олон өнцөгтийн оройг нэрлэдэг хөрш, хэрэв тэдгээр нь түүний аль нэг талын төгсгөл бол. Олон өнцөгтийн зэргэлдээ бус оройг холбосон шугамын сегментүүдийг нэрлэдэг диагональ .

Гадаад буланӨгөгдсөн орой дээрх гүдгэр олон өнцөгт нь энэ орой дээрх олон өнцөгтийн дотоод өнцөгтэй зэргэлдээх өнцөг юм. Ерөнхийдөө гадаад өнцөг нь 180 ° ба дотоод өнцгийн хоорондох ялгаа бөгөөд -180 ° -аас 180 ° хүртэл утгыг авч болно. Олон өнцөгтийн гадаад өнцгийн нийлбэр нь 360° байна.

Гүдгэр олон өнцөгт.
Олон өнцөгтгүдгэр гэж нэрлэдэг бол:
ТодорхойлолтI - доторх дурын хоёр цэгийн хувьд тэдгээрийг холбосон хэсэг нь бүхэлдээ дотор нь оршдог.

ТодорхойлолтII - дотоод өнцөг бүр нь 180 ° -аас бага байна.

ТодорхойлолтIII - түүний бүх диагональ нь түүний дотор бүрэн оршдог.

ТодорхойлолтIV – энэ нь хоёр хөршийн оройг дайран өнгөрөх шулуун шугам бүрийн нэг талд байрладаг.
Өнцгийн нийлбэр n -гон.
Гүдгэр n өнцөгтийн өнцгийн нийлбэр (n-2)∙180° байна.
Гүдгэр бус n өнцөгтийн өнцгийн нийлбэр нь мөн (n-2)∙180°-тай тэнцүү байна. (Баталгаа нь ижил төстэй боловч ямар ч олон өнцөгтийг диагональ байдлаар гурвалжин болгон хайчилж болно гэсэн леммыг нэмж ашигладаг).
Диагональуудын тоо n -гон.*

Теорем:Аливаа n өнцөгтийн диагональуудын тоо n(n-3)2 байна.

Нотолгоо:Олон өнцөгтийн оройн тоог n, боломжит ялгаатай диагональуудын тоог p гэж бодъё. Орой бүр нь хоёр хөршөөс бусад бүх оройтой диагональуудаар холбогддог бөгөөд мэдээжийн хэрэг өөрөө. Тиймээс нэг оройноос n-3 диагональ зурж болно; Үүнийг оройнуудын тоогоор (n-3)∙n үржүүлье, гэхдээ бид диагональ бүрийг хоёр удаа тоолсон (төгсгөл тус бүрийг нэг удаа, тиймээс бид 2-т хуваах ёстой) - иймээс p= n(n-3)2.

Бодлого*: Аль гүдгэр олон өнцөгт талуудаас 25 илүү диагональтай вэ?

25+n = nn-32

50 + 2n = n 2 - 3n

n 2 - 5n - 50 = 0

Хүчин зүйлд тооцъё

n 2 -25-5n -25 = 0

n=-5 хангадаггүй,

Учир нь энэ нь байхгүй

ийм олон өнцөгт

n = 10 хангана

Хариулт: Арван өнцөгт.

Ижил диагональтай дүрсүүд.*

Гадаргуу дээр -тэй хоёр энгийн олон өнцөгт байдаг бүх диагональууд тэнцүү байнаөөр хоорондоо - энэ дөрвөлжинТэгээд энгийн таван өнцөгт (пентагон). Квадрат нь төвд тэгш өнцөгт огтлолцсон хоёр ижил диагональтай. Энгийн таван өнцөгт нь таван хошуут одны (пентаграм) хээг бүрдүүлдэг таван ижил диагональтай байдаг.

Сансарт нэг л зөв байдаг олон өнцөгт (олон өнцөгт биш), аль нь бүх диагональууд тэнцүү байнаөөр хоорондоо - энэ ердийн октаэдрон (октаэдр). Октаэдрон дээртөвд перпендикуляр хос хосоор огтлолцсон гурван диагональ. Октаэдрийн бүх диагональууд нь орон зайн шинж чанартай байдаг (найман тал нь гурвалжин нүүртэй тул нүүрний диагональгүй).

Октаэдрээс гадна өөр нэг ердийн олон өнцөгт байдаг бүх орон зайн диагональууд тэнцүү байнаөөр хоорондоо - энэ шоо (гексаэдрон), Орон зайнхаас гадна шоо нь нүүрний диагональтай байдаг. Шоо нь төв хэсэгт огтлолцдог дөрвөн ижил орон зайн диагональтай. Кубын диагональуудын хоорондох өнцөг нь arccos (1/3) ≈ 70.5° (хөрш зэргэлдээ орой руу татсан диагональ хосын хувьд) эсвэл арккос (–1/3) ≈ 109.5° (хос диагональуудын хувьд биш) байна. -зэргэлдээх оройнууд).

Дөрвөн өнцөгт.
Дөрвөн өнцөгт бүр нь дөрвөн орой, дөрвөн тал, хоёр диагональтай.

Зэргэлдээгүй хоёр талыг эсрэг тал гэж нэрлэдэг.

Зэргэлдээгүй хоёр оройг эсрэг гэж нэрлэдэг.
1. Параллелограмм нь эсрэг талууд нь хос хосоороо параллель байдаг дөрвөн өнцөгт юм.
Параллелограммын шинж чанарууд:
1) Параллелограммын эсрэг талууд тэнцүү байна. AB=DC, AD=BC.

2) Параллелограммын эсрэг талын өнцөг нь тэнцүү байна. A=C, B=D.

3) Параллелограммын диагональууд огтлолцож, огтлолцох цэгээр хагасаар хуваагдана. AO=OC, BO=OD.

4) Нэг талтай зэргэлдээх өнцгүүдийн нийлбэр нь 180° байна. A+D=180, A+B=180, B+C=180, D+C=180.

5) Бүх өнцгийн нийлбэр нь 360° байна. A+B+C+D=360°.

6)* Параллелограммын диагональуудын квадратуудын нийлбэр нь түүний зэргэлдээх хоёр талын квадратуудын нийлбэрээс хоёр дахин их байна: AC 2 +BD 2 =2∙(AB 2 +AD 2).

Асуудал 1*:Параллелограммын урт нь AC = 9 см, талууд нь AD = 7 см, AB = 4 см гэдгийг мэддэг бол параллелограммын диагональыг ол.

Шийдэл:Томъёонд утгыг орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.

81+BD 2 =2∙(49+16),

BD 2 =49, тэгэхээр хоёр дахь диагональ нь BD = 7 см.Хариулт: 7 см.
Асуудал 2*:Параллелограммын урт нь BD=10см, талууд нь AD=8см, AB=2см гэдгийг мэдэж байвал параллелограммын диагональыг ол.

Шийдэл:Гурвалжны хоёр талын нийлбэр нь гурав дахь талаас нь үргэлж их байдаг тул асуудлын нөхцөл нь үнэн биш юм. Хариулт: асуудалд шийдэл байхгүй (утга).

Асуудал 3*: a) Диагональуудын урт нь BD = 6 см, АС = 8, нэг тал нь АВ = 5 см байх нь мэдэгдэж байвал параллелограммын талыг ол.b) Энэ параллелограммыг юу гэж нэрлэдэг вэ?
Асуудал 4**:Параллелограммын диагональуудын уртын нийлбэр нь 12 см бөгөөд 32-ын үржвэр нь түүний бүх талуудын квадратуудын нийлбэрийн утгыг ол.
Асуудал 5**:Диагональ нь 6 см ба 8 см параллелограммын хамгийн том периметрийг ол.

Шийдэл:Үүнийг баталцгаая Өгөгдсөн диагональ урттай бүх параллелограммуудын дунд ромб хамгийн том периметртэй байна .

Нээрээ л байя аТэгээд бпараллелограммын зэргэлдээ талуудын урт ба түүний диагональуудын урт (2-р зургийг үз). Дараа нь параллелограммын периметр нь: П = 2(а + б).

Параллелограммын диагональуудын квадратуудын нийлбэр дээрх теоремыг илэрхийлсэн тэгш байдлаас үзэхэд өгөгдсөн диагональ бүхий бүх параллелограммын хувьд талуудын квадратуудын нийлбэр нь тогтмол утгатай байна.

Арифметик дундаж ба дундаж квадратын хоорондох тэгш бус байдлын дагуу:  , тэгш байдал t. ба t. t. үед хүрнэ. а = б. Энэ нь хамгийн том периметртэй параллелограмм нь ромб гэсэн үг юм. Энэ ромбын талыг ол: =5(см). Хариулт: 20 см.

2. Тэгш өнцөгт бүх өнцөг нь зөв байх параллелограмм юм.
Тодорхойлолт 2: Энэ бол бүх өнцөгтэй дөрвөн өнцөгт юм.

Тодорхойлолт 3: Энэ нь нэг тэгш өнцөгтэй параллелограмм юм.

Тодорхойлолт 4: Энэ нь өнцөг нь тэнцүү параллелограмм юм.
Тэгш өнцөгтийн шинж чанарууд: +
1) Тэгш өнцөгтийн диагональууд тэнцүү байна.

2)* Диагоналын квадрат нь талуудын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна. AC 2 =AB 2 + DC 2

Даалгавар 1:Тэгш өнцөгтийн хамгийн богино тал нь 5 см, диагональууд нь 60 ° өнцгөөр огтлолцдог. Тэгш өнцөгтийн диагональуудыг ол.
Даалгавар 2:Тэгш өнцөгтийн хамгийн богино тал нь 24, диагональууд нь 120 ° өнцгөөр огтлолцдог. Тэгш өнцөгтийн диагональ ба хамгийн урт талыг ол.
Асуудал 3*:Тэгш өнцөгтийн тал нь 3 см, диагональ нь 5 см.Тэгш өнцөгтийн нөгөө талыг ол.
Асуудал 4*:Тэгш өнцөгтийн тал нь 6 см, диагональ нь 10 см, тэгш өнцөгтийн талбайг ол.

3. Ромб бүх талууд тэнцүү байх параллелограмм юм.
Тодорхойлолт 2: Энэ бол бүх талууд тэнцүү дөрвөн өнцөгт юм.
Ромбын шинж чанарууд: параллелограммтай ижил шинж чанарууд +
1) Ромбын диагональууд нь харилцан перпендикуляр (AC ⊥ BD).

2) Ромбын диагональууд нь түүний өнцгийг хагасаар хуваадаг (өөрөөр хэлбэл ромбын диагональууд нь түүний өнцгийн биссектрис юм - ∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD, ∠BAC = ∠DAC, ∠ADB = ∠ADB = ∠DCA = ∠BCA. CDB).

3)*Диагональуудын квадратуудын нийлбэр нь хажуугийн квадратыг 4-р үржүүлсэнтэй тэнцүү байна (параллелограммыг тодорхойлох үр дагавар). AC 2 +BD 2 =4 AB 2
Даалгавар 1:Ромбын диагональууд 6 ба 8 см.Ромбусын талыг ол.
Даалгавар 2:Ромбын тал нь 10 см, нэг өнцөг нь 60 байна. Ромбын жижиг диагональыг ол.
4.Дөрвөлжин бүх өнцөг нь 90, бүх талууд нь тэнцүү параллелограмм юм.
Тодорхойлолт 2: Энэ нь бүх өнцөг ба талууд хоорондоо тэнцүү байх параллелограмм юм.

Тодорхойлолт 3: Энэ бол бүх өнцөг ба талууд нь хоорондоо тэнцүү дөрвөн өнцөгт юм.

Тодорхойлолт 4: Энэ бол нэг тэгш өнцөгтэй ромб юм.

Тодорхойлолт 5: Энэ бол өнцөг нь тэнцүү ромб юм.

Тодорхойлолт 6: Энэ нь бүх тал нь тэнцүү тэгш өнцөгт юм.
Дөрвөлжингийн шинж чанарууд: параллелограммтай ижил шинж чанарууд +
1) Квадрат диагональууд тэнцүү байна.

2) Талбайн диагональууд харилцан перпендикуляр (AC ⊥ BD).

3) Квадратын диагональууд нь түүний өнцгийг хагасаар хуваадаг (өөрөөр хэлбэл квадратын диагональ нь түүний өнцгийн биссектрис юм - ∠DCA = ∠BCA= ∠ABD = ∠CBD= ∠BAC = ∠DAC= ∠ADB = ∠ CDB=45).

4)* Диагоналын квадрат нь хажуугийн квадратаас хоёр дахин их байна. AC 2 =2 AB 2

5. Трапец нь хоёр тал нь зэрэгцээ, нөгөө хоёр нь зэрэгцээ биш дөрвөн өнцөгт юм.
Зэрэгцээ талуудыг суурь, нөгөө хоёрыг хажуу тал гэж нэрлэдэг.

Хэрэв талууд нь тэнцүү бол трапецийг ижил өнцөгт гэж нэрлэдэг.

Нэг өнцөг нь зөв байвал трапецийг тэгш өнцөгт гэж нэрлэдэг.
Даалгавар:Трапец нь тэгш өнцөгт ба тэгш өнцөгт байж болохгүй гэдгийг батал.

Олон өнцөгтийн шинж чанарууд

Олон өнцөгт нь геометрийн дүрс бөгөөд ихэвчлэн өөрөө огтлолцоогүй хаалттай эвдэрсэн шугамаар тодорхойлогддог (энгийн олон өнцөгт (Зураг 1а)), гэхдээ заримдаа өөрөө огтлолцохыг зөвшөөрдөг (тэгвэл олон өнцөгт нь энгийн биш).

Олон өнцөгтийн оройг олон өнцөгтийн орой, хэрчмүүдийг олон өнцөгтийн талууд гэнэ. Олон өнцөгтийн оройнууд нь түүний аль нэг талын төгсгөл бол түүнийг зэргэлдээ гэж нэрлэдэг. Олон өнцөгтийн зэргэлдээ бус оройг холбосон сегментүүдийг диагональ гэж нэрлэдэг.

Өгөгдсөн орой дээрх гүдгэр олон өнцөгтийн өнцөг (эсвэл дотоод өнцөг) нь түүний талууд нь энэ оройд нийлэхээс үүссэн өнцөг бөгөөд өнцгийг олон өнцөгтийн талаас тооцоолно. Ялангуяа олон өнцөгт нь гүдгэр биш бол өнцөг нь 180 ° -аас хэтрэх боломжтой.

Өгөгдсөн орой дээрх гүдгэр олон өнцөгтийн гадаад өнцөг нь энэ орой дээрх олон өнцөгтийн дотоод өнцөгтэй зэргэлдээх өнцөг юм. Ерөнхийдөө гаднах өнцөг нь 180 ° ба дотоод өнцгийн хоорондох зөрүү юм. >3-ийн хувьд -gon-ийн орой бүр 3 диагональтай тул -gon-ийн диагональуудын нийт тоо тэнцүү байна.

Гурван оройтой олон өнцөгтийг гурвалжин гэж нэрлэдэг бөгөөд дөрөв нь дөрвөн өнцөгт, таван өнцөгт нь таван өнцөгт гэх мэт.

-тэй олон өнцөгт nорой гэж нэрлэдэг n-дөрвөлжин.

Хавтгай олон өнцөгт нь олон өнцөгт ба түүгээр хязгаарлагдсан талбайн хязгаарлагдмал хэсгээс бүрдэх дүрс юм.

Дараах (тэнцэх) нөхцлүүдийн аль нэг нь хангагдсан тохиолдолд олон өнцөгтийг гүдгэр гэж нэрлэдэг.

• 1. зэргэлдээх оройг нь холбосон дурын шулуун шугамын нэг талд оршдог. (өөрөөр хэлбэл, олон өнцөгтийн талуудын өргөтгөлүүд нь түүний бусад талуудтай огтлолцдоггүй);
• 2. энэ нь хэд хэдэн хагас хавтгайн огтлолцол (өөрөөр хэлбэл нийтлэг хэсэг);
• 3. олон өнцөгт хамаарах цэгүүдэд төгсгөлтэй аль ч сегмент бүхэлдээ түүнд хамаарна.

Бүх талууд тэнцүү, бүх өнцөг нь тэнцүү бол гүдгэр олон өнцөгтийг тогтмол гэж нэрлэдэг, жишээлбэл, тэгш талт гурвалжин, дөрвөлжин, таван өнцөгт.

Гүдгэр олон өнцөгт нь бүх талууд нь ямар нэгэн тойрогт хүрвэл тойргийн эргэн тойронд хүрээлэгдсэн гэж нэрлэдэг

Энгийн олон өнцөгт нь бүх өнцөг ба бүх талууд тэнцүү олон өнцөгт юм.

Олон өнцөгтийн шинж чанарууд:

1 Гүдгэр -гоны диагональ бүр нь >3 нь түүнийг хоёр гүдгэр олон өнцөгт задалдаг.

2 Гүдгэр гурвалжны бүх өнцгийн нийлбэр тэнцүү байна.

D-vo: Бид математик индукцийн аргыг ашиглан теоремыг батлах болно. = 3 үед энэ нь тодорхой байна. Теорем нь -gon, хаана нь үнэн гэж үзье <, мөн үүнийг -gon-ийн хувьд нотлох.

Өгөгдсөн олон өнцөгт байг. Энэ олон өнцөгтийн диагональ зуръя. Теорем 3-ын дагуу олон өнцөгт гурвалжин болон гүдгэр гурвалжинд задардаг (Зураг 5). Индукцийн таамаглалаар. Нөгөө талаар, . Эдгээр тэгш байдлыг нэмж, үүнийг харгалзан үзэх (- дотоод өнцгийн цацраг ) Тэгээд (- дотоод өнцгийн цацраг ), бид авах.Бид авах үед: .

3 Ердийн олон өнцөгтийн эргэн тойронд та зөвхөн нэг тойрог дүрсэлж болно.

D-vo: Энгийн олон өнцөгт байх ба өнцгүүдийн биссектриса байх ба (Зураг 150). Түүнээс хойш * 180 °< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке ТУХАЙ.Үүнийг баталцгаая О = О.А 2 = ТУХАЙ =… = О.А П . Гурвалжин ТУХАЙтиймээс хоёр талт ТУХАЙ= ТУХАЙ. Гурвалжны тэгш байдлын хоёр дахь шалгуурын дагуу, ТУХАЙ = ТУХАЙ. Үүний нэгэн адил энэ нь батлагдсан ТУХАЙ = ТУХАЙгэх мэт. Тэгэхээр гол нь ТУХАЙолон өнцөгтийн бүх оройноос ижил зайд байрладаг тул төвтэй тойрог ТУХАЙрадиус ТУХАЙолон өнцөгтийг тойрсон байна.

Зөвхөн нэг тойргийн тойрог байдгийг одоо баталцгаая. Жишээлбэл, олон өнцөгтийн гурван оройг авч үзье. А 2 , . Эдгээр цэгүүдээр зөвхөн нэг тойрог өнгөрдөг тул олон өнцөгтийг тойрон өнгөрдөг … Та нэгээс илүү тойргийг дүрслэх боломжгүй.

• 4 Та ямар ч энгийн олон өнцөгт тойрог бичиж болно, зөвхөн нэг.
• 5 Энгийн олон өнцөгт дотор бичээстэй тойрог нь олон өнцөгтийн хажуу талуудад тэдгээрийн дунд цэгүүдэд хүрдэг.
• 6 Энгийн олон өнцөгтийг тойруулан хүрээлэгдсэн тойргийн төв нь ижил олон өнцөгт дотор бичигдсэн тойргийн төвтэй давхцаж байна.
• 7 тэгш хэм:

Хэрэв энэ дүрсийг өөртөө хөрвүүлдэг ийм хөдөлгөөн (ижил биш) байвал дүрс нь тэгш хэмтэй (тэгш хэмтэй) байдаг гэж тэд хэлдэг.

• 7.1. Ерөнхий гурвалжин нь тэнхлэг эсвэл тэгш хэмийн төвгүй бөгөөд тэгш хэмтэй бус байдаг. Тэгш өнцөгт (гэхдээ тэгш өнцөгт биш) гурвалжин нь тэгш хэмийн нэг тэнхлэгтэй: суурьтай перпендикуляр биссектрис.
• 7.2. Тэгш талт гурвалжин нь гурван тэгш хэмийн тэнхлэгтэй (хажуугийн перпендикуляр биссектрис) ба төвийн эргэн тойронд 120 ° эргэлтийн өнцөгтэй эргэлтийн тэгш хэмтэй байна.

7.3 Аливаа энгийн n-gon нь n тэгш хэмийн тэнхлэгтэй бөгөөд тэдгээр нь бүгд төвийг нь дайран өнгөрдөг. Энэ нь мөн эргэлтийн өнцөг бүхий төвийн эргэн тойронд эргэх тэгш хэмтэй байдаг.

Тэгсэн үед nЗарим тэгш хэмийн тэнхлэгүүд эсрэг талын оройгоор, зарим нь эсрэг талын дунд цэгүүдээр дамждаг.

Хачирхалтай нь nтэнхлэг бүр нь эсрэг талын дээд ба дунд хэсгийг дайран өнгөрдөг.

Талууд нь тэгш тоотой жирийн олон өнцөгтийн төв нь түүний тэгш хэмийн төв юм. Хажуу тал нь сондгой тоотой жирийн олон өнцөгт тэгш хэмийн төв байдаггүй.

8 Ижил төстэй байдал:

Ижил төстэй ба -gon нь -gon руу, хагас хавтгай нь хагас хавтгайд ордог тул гүдгэр n- өнцөг нь гүдгэр болно n-гон.

Теорем: Гүдгэр олон өнцөгтийн талууд ба өнцөг нь тэгшитгэлийг хангавал:

индэрийн коэффициент хаана байна

Дараа нь эдгээр олон өнцөгтүүд ижил төстэй байна.

• 8.1 Ижил төстэй хоёр олон өнцөгтийн периметрийн харьцаа нь ижил төстэй байдлын коэффициенттэй тэнцүү байна.
• 8.2. Хоёр гүдгэр ижил төстэй олон өнцөгтийн талбайн харьцаа нь ижил төстэй байдлын коэффициентийн квадраттай тэнцүү байна.

олон өнцөгт гурвалжны периметрийн теорем

Сэдэв: олон өнцөгт - 8-р анги:

Нэг шулуун дээр оршдоггүй зэргэлдээх хэрчмүүдийн шугамыг нэрлэдэг эвдэрсэн шугам.

Сегментүүдийн төгсгөлүүд нь оргилууд.

Сегмент бүр нь холбоос.

Мөн сегментүүдийн уртын бүх нийлбэр нь нийт дүнг бүрдүүлдэг уртэвдэрсэн шугам Жишээлбэл, AM + ME + EK + KO = тасархай шугамын урт

Хэрэв сегментүүд хаалттай бол энэ нь олон өнцөгт(дээрээс үзнэ үү) .

Олон өнцөгт дэх холбоосуудыг дууддаг намууд.

Хажуугийн уртын нийлбэр - периметролон өнцөгт.

Нэг талд байрлах оройнууд нь байдаг хөрш.

Зэргэлдээ бус оройнуудыг холбосон сегментийг дуудна диагональ.

Олон өнцөгт дуудсан талуудын тоогоор: таван өнцөгт, зургаан өнцөгт гэх мэт.

Олон өнцөгт доторх бүх зүйл байна онгоцны дотоод хэсэг, мөн гаднах бүх зүйл - онгоцны гадна хэсэг.

Анхаар! Доорх зурган дээр- энэ нь олон өнцөгт БИШ, учир нь зэргэлдээ бус сегментүүдэд нэг шулуун шугам дээр нэмэлт нийтлэг цэгүүд байдаг.

Гүдгэр олон өнцөгтшулуун шугам бүрийн нэг талд байрладаг. Үүнийг оюун санааны хувьд (эсвэл зургаар) тодорхойлохын тулд бид тал бүрийг үргэлжлүүлнэ.

Олон өнцөгт хэлбэрээр талуудтай адил олон өнцөг.

Гүдгэр олон өнцөгт хэлбэрээр бүх дотоод өнцгүүдийн нийлбэртэнцүү (n-2)*180°. n нь өнцгийн тоо юм.

олон өнцөгт гэж нэрлэдэг зөв, хэрэв түүний бүх талууд ба өнцөг нь тэнцүү бол. Тиймээс түүний дотоод өнцгийн тооцоог томъёогоор гүйцэтгэнэ (n нь өнцгийн тоо): 180° * (n-2) / n

Доорх нь олон өнцөгтүүд, тэдгээрийн өнцгийн нийлбэр ба нэг өнцөг нь хэдтэй тэнцүү байна.

Гүдгэр олон өнцөгтүүдийн гадаад өнцгийг дараах байдлаар тооцоолно.

​​​​​​​

Олон өнцөгт гэж тооцогддог зүйлийг өөр өөр үзэл бодолтой байдаг. Сургуулийн геометрийн хичээлд дараах тодорхойлолтуудын аль нэгийг ашигладаг.

Тодорхойлолт 1

Олон өнцөгт

сегментүүдээс бүрдсэн дүрс юм

Ингэснээр зэргэлдээ сегментүүд(өөрөөр хэлбэл нийтлэг оройтой зэргэлдээ сегментүүд, жишээлбэл, A1A2 ба A2A3) нэг шулуун дээр хэвтэж болохгүй, зэргэлдээ бус сегментүүд нийтлэг цэгүүдтэй байдаггүй.

Тодорхойлолт 2

Энгийн битүү олон өнцөгтийг олон өнцөгт гэж нэрлэдэг.

Оноо

гэж нэрлэдэг олон өнцөгтийн оройнууд, сегментүүд

— олон өнцөгтийн талууд.

Бүх талуудын уртын нийлбэрийг нэрлэдэг олон өнцөгтийн периметр.

n оройтой (тиймээс n талтай) олон өнцөгтийг дуудна n - дөрвөлжин.

Нэг хавтгайд байрлах олон өнцөгтийг нэрлэдэг хавтгай. Хүмүүс олон өнцөгтийн тухай ярихдаа өөрөөр заагаагүй бол хавтгай олон өнцөгтийг хэлдэг.

Олон өнцөгтийн нэг талд хамаарах хоёр оройг нэрлэдэг хөрш. Жишээлбэл, A1 ба A2, A5 ба A6 нь хөрш зэргэлдээ оройнууд юм.

Зэргэлдээгүй хоёр оройг холбосон сегментийг дуудна олон өнцөгт диагональ.

Олон өнцөгт хэдэн диагональтай болохыг олж мэдье.

Олон өнцөгтийн n орой бүрээс n-3 диагональ байна

(нийт n орой байна. Бид оройг өөрөө болон энэ оройтой диагональ үүсгэдэггүй хоёр зэргэлдээх оройг тооцохгүй. Жишээлбэл, А1 оройн хувьд бид A1 өөрөө болон хөрш зэргэлдээх A2 болон оройнуудыг тооцохгүй. A3).

Тиймээс n орой бүр нь n-3 диагональтай тохирч байна. Нэг диагональ гэдэг нь хоёр оройг зэрэг илэрхийлдэг тул олон өнцөгтийн диагональуудын тоог олохын тулд n(n-3) үржвэрийг хагасаар хуваах шаардлагатай.

Тиймээс n - гурвалжин байна

диагональ.

Аливаа олон өнцөгт нь хавтгайг хоёр хэсэгт хуваадаг - олон өнцөгтийн дотоод ба гадаад мужууд. Олон өнцөгт ба түүний дотоод мужаас бүрдсэн дүрсийг мөн олон өнцөгт гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт

Дээд булан

Өнцгийн орой нь хоёр туяа үүсэх цэг юм.

Өнцгийн орой нь хоёр туяа үүсэх цэг юм; хоёр сегмент уулздаг газар; хоёр шугам огтлолцох газар; Энэ нь нэг цэгт нийлдэг хоёр (шулуун) "тал" үүсгэдэг туяа, сегмент, шугамын аль нэг хослол юм.

Олон өнцөгтийн олон өнцөгт орой

Олон өнцөгтийн дотоод өнцөг нь π радианаас бага байвал оройг "гүдгэр" гэж нэрлэдэг (180° нь хоёр тэгш өнцөг). Үгүй бол оройг "хүнх" гэж нэрлэдэг.

Илүү ерөнхийдөө, хэрэв олон талт орой нь түүний төв нь хангалттай жижиг бөмбөрцөгтэй огтлолцол нь гүдгэр дүрс байвал олон талт орой нь гүдгэр байна; эс бөгөөс орой нь хонхойсон байна.

Олон өнцөгтийн орой нь графын оройтой холбоотой, учир нь олон өнцөгт нь оройнууд нь олон өнцөгтийн оройтой тохирч байгаа граф тул олон өнцөгтийн графикийг орой нь нэг хэмжээст энгийн цогцолбор гэж үзэж болно. графикийн оройнууд. Гэсэн хэдий ч графын онолд оройнууд нь 2-оос цөөн тохиолдлын ирмэгтэй байж болох бөгөөд үүнийг геометрийн оройд ихэвчлэн зөвшөөрдөггүй. Мөн геометрийн орой ба муруйн орой, түүний муруйлтын туйлын цэгүүдийн хооронд холбоо байдаг - олон өнцөгтийн оройнууд нь утгаараа хязгааргүй муруйлтын цэгүүд бөгөөд хэрэв олон өнцөгтийг гөлгөр муруйгаар ойролцоолсон бол цэгүүд хэт муруйлт нь олон өнцөгтийн оройн ойролцоо байх болно. Гэхдээ гөлгөр муруй ашиглан олон өнцөгтийг ойртуулах нь хамгийн бага муруйлтын цэгүүдэд нэмэлт оройг өгдөг.

Хавтгай мозайкуудын орой

"чих"

"Ам"

Гол оргил x i (\displaystyle x_(i))энгийн олон өнцөгт P (\displaystyle P)диагональ бол "ам" гэж нэрлэдэг [ x i − 1 , x i + 1 ] (\displaystyle )гадаа хэвтэж байна P (\displaystyle P).

Олон өнцөгтийн оройн тоо

Гурван хэмжээст гүдгэр олон талт гадаргуу нь Эйлерийн шинж чанартай байдаг.

V − E + F = 2 , (\displaystyle V-E+F=2,)

Хаана V (\displaystyle V)- оройн тоо, E (\displaystyle E)- ирмэгийн тоо, ба F (\displaystyle F)- нүүрний тоо. Энэ тэгшитгэлийг Эйлерийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, шоо нь 12 ирмэг, 6 нүүртэй тул 8 оройтой байдаг. 8 − 12 + 6 = 2 (\displaystyle 8-12+6=2) .

Компьютер графикийн оргил үе

Компьютерийн графикт объектыг гурвалжин хэлбэртэй олон талт хэлбэрээр дүрсэлдэг бөгөөд үүнд объектын оройг зөвхөн орон зайн гурван координатаас гадна объектын дүрсийг зөв бүтээхэд шаардлагатай бусад график мэдээлэл, тухайлбал өнгө, тусгал, бүтэц, оройн норм. Эдгээр шинж чанаруудыг ашиглан зураг бүтээхэд ашигладаг