Системд ганцхан шийдэл байхад. Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх

Эндээс тодорхой харагдаж байна Крамерын теорем, системийг шийдвэрлэх үед шугаман тэгшитгэлГурван тохиолдол гарч болно:

Эхний тохиолдол: шугаман тэгшитгэлийн систем нь өвөрмөц шийдэлтэй байдаг

(систем нь тууштай, тодорхой)

Хоёр дахь тохиолдол: шугаман тэгшитгэлийн систем нь хязгааргүй тооны шийдтэй байдаг

(систем нь тогтвортой бөгөөд тодорхойгүй)

** ,

тэдгээр. үл мэдэгдэх болон чөлөөт гишүүний коэффициентүүд пропорциональ байна.

Гурав дахь тохиолдол: шугаман тэгшитгэлийн системд шийдэл байхгүй

(систем нь нийцэхгүй байна)

Тиймээс систем мшугаман тэгшитгэлүүд nхувьсагч гэж нэрлэдэг хамтарсан бус, хэрэв түүнд ганц шийдэл байхгүй бол, мөн хамтарсан, хэрэв энэ нь дор хаяж нэг шийдэлтэй бол. Зөвхөн нэг шийдэлтэй тэгшитгэлийн нэгэн зэрэг системийг гэнэ тодорхой, мөн нэгээс илүү - тодорхойгүй.

Крамерын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэх жишээ

Системийг нь өгье

.

Крамерын теорем дээр үндэслэсэн

………….
,

Хаана
-

системийн тодорхойлогч. Бид үлдэгдэл тодорхойлогчдыг баганыг харгалзах хувьсагчийн коэффициентүүдээр (үл мэдэгдэх) чөлөөт нэр томъёогоор сольж авна.

Жишээ 2.

.

Тиймээс тогтолцоо нь тодорхой байна. Үүний шийдлийг олохын тулд бид тодорхойлогчдыг тооцоолно

Крамерын томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг олно.

Тиймээс (1; 0; -1) нь системийн цорын ганц шийдэл юм.

3 X 3 ба 4 X 4 тэгшитгэлийн системийн шийдлүүдийг шалгахын тулд та Крамерын шийдвэрлэх аргыг ашиглан онлайн тооны машин ашиглаж болно.

Хэрэв шугаман тэгшитгэлийн системд нэг буюу хэд хэдэн тэгшитгэлд хувьсагч байхгүй бол тодорхойлогч дахь харгалзах элементүүд тэгтэй тэнцүү байна! Энэ бол дараагийн жишээ юм.

Жишээ 3.Крамерын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд.

.

Шийдэл. Бид системийн тодорхойлогчийг олдог:

Тэгшитгэлийн систем болон системийн тодорхойлогчийг анхааралтай ажиглаж, тодорхойлогчийн нэг буюу хэд хэдэн элемент тэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд асуултын хариултыг давт. Тэгэхээр тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш тул систем нь тодорхой байна. Үүний шийдлийг олохын тулд бид үл мэдэгдэх тодорхойлогчдыг тооцдог

Крамерын томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг олно.

Тиймээс системийн шийдэл нь (2; -1; 1) байна.

6. Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн ерөнхий систем. Гауссын арга.

Бидний санаж байгаагаар Крамерын дүрэм ба матрицын арга нь систем нь хязгааргүй олон шийдэлтэй эсвэл нийцэхгүй байгаа тохиолдолд тохиромжгүй байдаг. Гауссын арга – шугаман тэгшитгэлийн аливаа системийн шийдлийг олох хамгийн хүчирхэг, олон талын хэрэгсэл, аль бүх тохиолдолдбиднийг хариулт руу хөтөлнө! Аргын алгоритм нь өөрөө бүх гурван тохиолдолд адилхан ажилладаг. Хэрэв Крамер ба матрицын аргууд нь тодорхойлогчдын мэдлэгийг шаарддаг бол Гауссын аргыг ашиглахын тулд зөвхөн арифметик үйлдлийн талаархи мэдлэг хэрэгтэй бөгөөд энэ нь сургуулийн хүүхдүүдэд ч хүртээмжтэй болгодог. анхан шатны ангиуд.

Нэгдүгээрт, шугаман тэгшитгэлийн системийн талаархи бага зэрэг мэдлэгийг системчилье. Шугаман тэгшитгэлийн систем нь:

1) Өвөрмөц шийдэлтэй байх.
2) Хязгааргүй олон шийдэлтэй байх.
3) Ямар ч шийдэл байхгүй (байх хамтарсан бус).

Гауссын арга бол шийдлийг олох хамгийн хүчирхэг, бүх нийтийн хэрэгсэл юм ямар чшугаман тэгшитгэлийн системүүд. Бидний санаж байгаагаар, Крамерын дүрэм ба матрицын аргаСистем нь хязгааргүй олон шийдэлтэй эсвэл нийцэхгүй байгаа тохиолдолд тохиромжгүй. Мөн үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан арилгах арга Ямар ч байсанбиднийг хариулт руу хөтөлнө! Энэ хичээл дээр бид 1-р тохиолдлын хувьд Гауссын аргыг дахин авч үзэх болно (системийн цорын ганц шийдэл), нийтлэл нь 2-3-р цэгүүдийн нөхцөл байдалд зориулагдсан болно. Аргын алгоритм нь бүх гурван тохиолдолд адилхан ажилладаг гэдгийг би тэмдэглэж байна.

-руу буцаж орцгооё хамгийн энгийн системангиасаа Шугаман тэгшитгэлийн системийг хэрхэн шийдэх вэ?
Гауссын аргыг ашиглан шийднэ.

Эхний алхам бол бичих явдал юм Өргөтгөсөн системийн матриц:
. Коэффициент ямар зарчмаар бичигдсэнийг хүн бүр харж байгаа байх гэж бодож байна. Матрицын доторх босоо шугам нь ямар ч математик утгагүй - энэ нь дизайныг хялбар болгох үүднээс зураас юм.

Лавлагаа:Би санаж байхыг зөвлөж байна нөхцөлшугаман алгебр. Системийн матрицнь зөвхөн үл мэдэгдэх коэффициентуудаас бүрдэх матриц бөгөөд энэ жишээнд системийн матриц: . Өргөтгөсөн системийн матриц– энэ нь системийн ижил матриц ба чөлөөт нөхцлийн багана, энэ тохиолдолд: . Товчхондоо аль ч матрицыг матриц гэж нэрлэж болно.

Өргөтгөсөн системийн матрицыг бичсэний дараа түүнтэй хамт зарим үйлдлүүдийг хийх шаардлагатай бөгөөд үүнийг бас нэрлэдэг. анхан шатны өөрчлөлтүүд.

Дараах үндсэн өөрчлөлтүүд байдаг.

1) Мөрматрицууд дахин зохион байгуулж болнозарим газар. Жишээлбэл, авч үзэж буй матрицад та эхний болон хоёр дахь эгнээг өвдөлтгүйгээр дахин зохион байгуулж болно.

2) Хэрэв матрицад пропорциональ (тусгай тохиолдол - ижил) мөрүүд байгаа бол (эсвэл гарч ирсэн) байвал та үүнийг хийх хэрэгтэй. устгахНэгээс бусад бүх мөр матрицаас авсан. Жишээлбэл, матрицыг авч үзье . Энэ матрицад сүүлийн гурван эгнээ пропорциональ байгаа тул тэдгээрийн зөвхөн нэгийг нь үлдээхэд хангалттай. .

3) Хэрэв хувиргах үед матрицад тэг мөр гарч ирвэл энэ нь бас байх ёстой устгах. Мэдээжийн хэрэг би зурахгүй, тэг шугам нь тухайн шугам юм бүх тэг.

4) Матрицын мөр байж болно үржүүлэх (хуваах)дурын дугаар руу тэг биш. Жишээлбэл, матрицыг авч үзье. Энд эхний мөрийг -3-аар хувааж, хоёр дахь мөрийг 2-оор үржүүлэхийг зөвлөж байна. . Энэ үйлдэл нь матрицын цаашдын хувиргалтыг хялбаршуулдаг тул маш хэрэгтэй.

5) Энэ өөрчлөлт нь хамгийн их хүндрэл учруулдаг боловч үнэндээ тийм ч төвөгтэй зүйл байхгүй. Матрицын эгнээ рүү та чадна тоогоор үржүүлсэн өөр мөр нэмнэ, тэгээс ялгаатай. Практик жишээнээс матрицаа харцгаая: . Эхлээд би өөрчлөлтийг нарийвчлан тайлбарлах болно. Эхний мөрийг -2-оор үржүүлнэ: , Мөн Хоёр дахь мөрөнд бид эхний мөрийг -2-оор үржүүлнэ: . Одоо эхний мөрийг "буцаж" -2-т хувааж болно: . Таны харж байгаагаар НЭМЭГДСЭН мөр Л.И – өөрчлөгдөөгүй. ҮргэлжНЭМЭГДСЭН гэсэн мөр өөрчлөгдөнө UT.

Практикт мэдээжийн хэрэг тэд үүнийг нарийвчлан бичдэггүй, гэхдээ товчхон бичдэг.

Дахин нэг удаа: хоёр дахь мөрөнд -2-оор үржүүлсэн эхний мөрийг нэмсэн. Мөрийг ихэвчлэн амаар эсвэл ноорог дээр үржүүлдэг бөгөөд оюун санааны тооцооллын үйл явц нь дараах байдалтай байна.

“Би матрицыг дахин бичиж, эхний мөрийг дахин бичнэ: »

“Эхний багана. Доод талд нь би тэг авах хэрэгтэй. Тиймээс би дээд талд байгаа нэгийг –2: -ээр үржүүлж, эхнийхийг хоёр дахь мөрөнд нэмнэ: 2 + (–2) = 0. Би үр дүнг хоёр дахь мөрөнд бичнэ. »

"Одоо хоёр дахь багана. Дээд талд би -1-ийг -2-оор үржүүлнэ: . Би эхний мөрийг хоёр дахь мөрөнд нэмнэ: 1 + 2 = 3. Үр дүнг хоёр дахь мөрөнд бичнэ: »

"Ба гурав дахь багана. Дээд талд би -5-ыг -2-оор үржүүлнэ: . Би хоёр дахь мөрөнд эхнийхийг нэмнэ: –7 + 10 = 3. Би үр дүнг хоёр дахь мөрөнд бичнэ: »

Энэ жишээг сайтар ойлгож, дараалсан тооцооллын алгоритмыг ойлгоорой, хэрэв та үүнийг ойлгож байгаа бол Гауссын арга таны халаасанд байгаа болно. Гэхдээ мэдээжийн хэрэг, бид энэ өөрчлөлт дээр ажиллах болно.

Элементар хувиргалт нь тэгшитгэлийн системийн шийдийг өөрчилдөггүй

! АНХААР: заль мэх гэж үздэг ашиглаж чадахгүй, хэрэв танд матрицуудыг "өөрөө" өгдөг даалгавар санал болговол. Жишээлбэл, "сонгодог" матрицтай үйлдлүүдЯмар ч тохиолдолд та матриц доторх зүйлийг дахин цэгцлэх ёсгүй!

Систем рүүгээ буцаж орцгооё. Үүнийг бараг хэсэг болгон авдаг.

Системийн өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтуудыг ашиглан үүнийг багасгая шаталсан харах:

(1) Эхний мөрийг хоёр дахь мөрөнд нэмж, -2-оор үржүүлсэн. Дахин хэлэхэд: яагаад бид эхний мөрийг -2-оор үржүүлдэг вэ? Доод талд нь тэг авахын тулд, энэ нь хоёр дахь мөрөнд нэг хувьсагчаас салах гэсэн үг юм.

(2) Хоёр дахь мөрийг 3-т хуваа.

Анхан шатны өөрчлөлтүүдийн зорилго – Матрицыг алхам алхмаар хэлбэрт оруулах: . Даалгаврын дизайн хийхэд тэд зүгээр л "шат" -ыг энгийн харандаагаар тэмдэглэж, "алхам" дээр байрлах тоонуудыг дугуйлна. "Шаталсан үзэл" гэсэн нэр томъёо нь шинжлэх ухааны хувьд бүхэлдээ онолын шинж чанартай биш юм боловсролын уран зохиолихэвчлэн гэж нэрлэдэг трапец хэлбэрийн харагдацэсвэл гурвалжин үзэмж.

Энгийн өөрчлөлтүүдийн үр дүнд бид олж авсан тэнцүүАнхны тэгшитгэлийн систем:

Одоо системийг эсрэг чиглэлд "тайлах" хэрэгтэй - доороос дээш, энэ үйл явц гэж нэрлэгддэг Гауссын аргын урвуу.

Доод тэгшитгэлд бид аль хэдийн бэлэн үр дүнтэй байна: .

Системийн эхний тэгшитгэлийг авч үзээд аль хэдийн мэдэгдэж байсан "y" утгыг түүнд орлъё.

Гауссын арга нь гурван үл мэдэгдэх гурван шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэхийг шаарддаг хамгийн нийтлэг нөхцөл байдлыг авч үзье.

Жишээ 1

Гауссын аргыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг шийд.

Системийн өргөтгөсөн матрицыг бичье:

Одоо би шийдлийн явцад гарах үр дүнг нэн даруй зурах болно.

Дахин хэлэхэд, бидний зорилго бол энгийн хувиргалтуудыг ашиглан матрицыг алхам алхмаар хэлбэрт оруулах явдал юм. Хаанаас эхлэх вэ?

Эхлээд зүүн дээд талын дугаарыг харна уу:

Бараг үргэлж энд байх ёстой нэгж. Ерөнхийдөө, -1 (заримдаа бусад тоонууд) хийх болно, гэхдээ ямар нэгэн байдлаар нэгийг нь ихэвчлэн тэнд байрлуулдаг уламжлалтай. Хэрхэн нэгжийг зохион байгуулах вэ? Бид эхний баганыг хардаг - бид бэлэн нэгжтэй байна! Нэгдүгээр өөрчлөлт: эхний болон гурав дахь мөрийг солих:

Одоо эхний мөр нь шийдлийн төгсгөл хүртэл өөрчлөгдөхгүй хэвээр байх болно. Одоо зүгээр.

Зүүн дээд буланд байгаа нэгж нь зохион байгуулалттай. Одоо та эдгээр газруудад тэг авах хэрэгтэй:

Бид "хэцүү" хувиргалтыг ашиглан тэг авдаг. Эхлээд бид хоёр дахь мөрөнд (2, –1, 3, 13) хандана. Эхний байрлалд тэг авахын тулд юу хийх хэрэгтэй вэ? Хэрэгтэй хоёр дахь мөрөнд эхний мөрийг -2-оор үржүүлнэ. Оюун санааны хувьд эсвэл ноорог дээр эхний мөрийг –2-оор үржүүлнэ: (–2, –4, 2, –18). Мөн бид байнга (дахин оюун ухаанаар эсвэл ноорог дээр) нэмэлт, Хоёр дахь мөрөнд бид аль хэдийн -2-оор үржүүлсэн эхний мөрийг нэмнэ:

Бид үр дүнг хоёр дахь мөрөнд бичнэ:

Бид гурав дахь мөрийг ижил аргаар (3, 2, –5, –1) харьцдаг. Эхний байрлалд тэг авахын тулд танд хэрэгтэй Гурав дахь мөрөнд эхний мөрийг -3-аар үржүүлнэ. Оюун санааны хувьд эсвэл ноорог дээр эхний мөрийг –3-аар үржүүлнэ: (–3, –6, 3, –27). БА Гурав дахь мөрөнд бид эхний мөрийг -3-аар үржүүлнэ:

Бид үр дүнг гурав дахь мөрөнд бичнэ.

Практикт эдгээр үйлдлүүдийг ихэвчлэн амаар хийж, нэг алхамаар бичдэг.

Бүх зүйлийг нэг дор, нэгэн зэрэг тоолох шаардлагагүй. Тооцооллын дараалал, үр дүнг "бичих" тууштайихэвчлэн ийм байдаг: эхлээд бид эхний мөрийг дахин бичээд, аажуухан өөрсөддөө хийснэ - ТУСГАЙ болон АНХААРАЛТАЙ:


Дээр дурдсан тооцооллын сэтгэцийн үйл явцыг би аль хэдийн хэлэлцсэн.

Энэ жишээнд үүнийг хийхэд хялбар, бид хоёр дахь мөрийг -5-т хуваадаг (бүх тоонууд 5-д үлдэгдэлгүйгээр хуваагддаг тул). Үүний зэрэгцээ бид гурав дахь мөрийг -2-т хуваадаг, учир нь тоо бага байх тусам илүү энгийн шийдэл:

Асаалттай эцсийн шатэнгийн хувиргалтыг эндээс өөр тэг авах хэрэгтэй:

Үүний төлөө Гурав дахь мөрөнд бид хоёр дахь мөрийг -2-оор үржүүлнэ:


Энэ үйлдлийг өөрөө тодорхойлохыг хичээ - хоёр дахь мөрийг оюун ухаанаар -2-оор үржүүлж, нэмэлтийг гүйцэтгээрэй.

Гүйцэтгэсэн хамгийн сүүлийн үйлдэл бол үр дүнгийн үс засалт бөгөөд гурав дахь мөрийг 3-аар хуваана.

Энгийн хувиргалтуудын үр дүнд шугаман тэгшитгэлийн эквивалент системийг олж авав.

Сайхан байна.

Одоо Гауссын аргын урвуу арга хэрэгжиж байна. Тэгшитгэлүүд нь доороос дээшээ "тайлагддаг".

Гурав дахь тэгшитгэлд бид аль хэдийн бэлэн үр дүнтэй байна:

Хоёр дахь тэгшитгэлийг авч үзье: . "Zet" гэдэг үгийн утгыг аль хэдийн мэддэг болсон тул:

Эцэст нь эхний тэгшитгэл: . "Игрек" ба "зэт" нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд энэ нь зөвхөн жижиг зүйл юм.

Хариулт:

Хэд хэдэн удаа дурьдсанчлан тэгшитгэлийн аливаа системийн хувьд олсон шийдлийг шалгах боломжтой бөгөөд зайлшгүй шаардлагатай бөгөөд аз болоход энэ нь хялбар бөгөөд хурдан юм.

Жишээ 2

Энэ бол бие даасан шийдлийн жишээ, эцсийн дизайны дээж, хичээлийн төгсгөлд хариулт юм.

Таны шийдвэрийн явцМиний шийдвэр гаргах үйл явцтай давхцахгүй байж магадгүй, бөгөөд энэ нь Гауссын аргын онцлог юм. Гэхдээ хариултууд нь адилхан байх ёстой!

Жишээ 3

Шугаман тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргыг ашиглан шийд

Системийн өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтуудыг ашиглан үүнийг алхам алхмаар хэлбэрт оруулъя.

Бид зүүн дээд талын "алхам" -ыг хардаг. Бид тэнд нэг байх ёстой. Асуудал нь эхний баганад огт нэгж байхгүй тул мөрүүдийг дахин байрлуулах нь юу ч шийдэхгүй. Ийм тохиолдолд нэгжийг энгийн өөрчлөлтийг ашиглан зохион байгуулах ёстой. Үүнийг ихэвчлэн хэд хэдэн аргаар хийж болно. Би үүнийг хийсэн:
(1) Эхний мөрөнд бид хоёр дахь мөрийг нэмж, -1-ээр үржүүлнэ. Өөрөөр хэлбэл, бид оюун ухаанаараа хоёр дахь мөрийг -1-ээр үржүүлж, эхний ба хоёр дахь мөрийг нэмсэн бол хоёр дахь мөр өөрчлөгдөөгүй.

Одоо зүүн дээд талд "хасах нэг" байгаа нь бидэнд маш сайн тохирдог. +1 авахыг хүссэн хүн бүр нэмэлт хөдөлгөөн хийж болно: эхний мөрийг -1-ээр үржүүлнэ (тэмдэгээ өөрчлөх).

(2) 5-аар үржүүлсэн эхний мөрийг хоёр дахь мөрөнд, 3-аар үржүүлсэн эхний мөрийг гурав дахь мөрөнд нэмж оруулав.

(3) Эхний мөрийг -1-ээр үржүүлсэн, зарчмын хувьд энэ нь гоо сайхны төлөө юм. Гурав дахь эгнээний тэмдгийг мөн өөрчилж, хоёрдугаар байр руу шилжүүлсэн тул хоёр дахь "алхам" дээр бид шаардлагатай нэгжтэй болсон.

(4) Гурав дахь мөрөнд хоёр дахь мөрийг нэмж, 2-оор үржүүлсэн.

(5) Гурав дахь мөрийг 3-т хуваасан.

Тооцооллын алдааг илтгэдэг муу тэмдэг (ховор тохиолдолд үсгийн алдаа) нь "муу" дүгнэлт юм. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв бид доор, мөн үүний дагуу ямар нэг зүйл авсан бол, , дараа нь өндөр магадлалтайгаар бид энгийн хувиргалтуудын үед алдаа гарсан гэж хэлж болно.

Бид эсрэгээр тооцдог, жишээний загварт тэд системийг өөрөө дахин бичдэггүй, гэхдээ тэгшитгэлийг "өгөгдсөн матрицаас шууд авдаг". Урвуу цус харвалт нь доороос дээш ажилладаг гэдгийг би танд сануулж байна. Тийм ээ, энд бэлэг байна:

Хариулт: .

Жишээ 4

Шугаман тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргыг ашиглан шийд

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм, энэ нь арай илүү төвөгтэй юм. Хэрэв хэн нэгэн андуурвал зүгээр. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, загвар дизайн. Таны шийдэл миний шийдлээс өөр байж магадгүй.

Сүүлийн хэсэгт бид Гауссын алгоритмын зарим шинж чанаруудыг авч үзэх болно.
Эхний онцлог нь заримдаа системийн тэгшитгэлд зарим хувьсагч дутуу байдаг, жишээлбэл:

Өргөтгөсөн системийн матрицыг хэрхэн зөв бичих вэ? Би энэ талаар аль хэдийн анги дээр ярьсан. Крамерын дүрэм. Матрицын арга. Системийн өргөтгөсөн матрицад бид алга болсон хувьсагчдын оронд тэгийг тавьдаг.

Дашрамд хэлэхэд, энэ нь нэлээд хялбар жишээ юм, учир нь эхний баганад аль хэдийн нэг тэг байгаа бөгөөд цөөн тооны энгийн хувиргалт хийх болно.

Хоёр дахь онцлог нь энэ юм. Бид авч үзсэн бүх жишээн дээр "алхам" дээр -1 эсвэл +1-ийн аль нэгийг тавьсан. Тэнд өөр тоо байж болох уу? Зарим тохиолдолд тэд чадна. Системийг авч үзье: .

Энд зүүн дээд "алхам" дээр бид хоёр байна. Гэхдээ эхний баганад байгаа бүх тоо 2-т үлдэгдэлгүй хуваагддаг, нөгөө нь хоёр ба зургаа байна гэдгийг бид анзаарч байна. Мөн зүүн дээд талд байгаа хоёр нь бидэнд тохирох болно! Эхний алхамд та дараах хувиргалтыг хийх хэрэгтэй: эхний мөрийг -1-ээр үржүүлсэн хоёр дахь мөрөнд нэмнэ; Гурав дахь мөрөнд эхний мөрийг -3-аар үржүүлнэ. Ингэснээр бид эхний баганад шаардлагатай тэгүүдийг авах болно.

Эсвэл өөр нэг уламжлалт жишээ: . 12 (бидний тэг авах шаардлагатай газар) нь үлдэгдэлгүйгээр 3-т хуваагддаг тул хоёр дахь "алхам" дээрх гурав нь бидэнд тохирно. Дараахь өөрчлөлтийг хийх шаардлагатай: хоёр дахь мөрийг гурав дахь мөрөнд нэмж, -4-ээр үржүүлснээр бидэнд хэрэгтэй тэгийг авах болно.

Гауссын арга нь бүх нийтийнх боловч нэг онцлог шинж чанартай байдаг. Та бусад аргуудыг (Крамерын арга, матрицын арга) ашиглан анх удаагаа системийг шийдэж сурах боломжтой - тэдгээр нь маш хатуу алгоритмтай. Гэхдээ Гауссын аргад итгэлтэй байхын тулд та үүнийг сайн эзэмшиж, дор хаяж 5-10 системийг шийдэх хэрэгтэй. Тиймээс эхлээд тооцоололд төөрөгдөл, алдаа гарч болзошгүй бөгөөд үүнд ер бусын, эмгэнэлтэй зүйл байхгүй.

Цонхны гадаа бороотой намрын цаг агаар.... Тиймээс илүү ихийг хүсдэг хүн бүрт зориулав нарийн төвөгтэй жишээбие даасан шийдлийн хувьд:

Жишээ 5

Дөрвөн үл мэдэгдэх дөрвөн шугаман тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргыг ашиглан шийд.

Практикт ийм даалгавар тийм ч ховор байдаггүй. Энэ хуудсыг сайтар судалсан цайны хүн ч гэсэн ийм системийг зөн совингоор шийдэх алгоритмыг ойлгоно гэж бодож байна. Үндсэндээ бүх зүйл ижил байна - илүү олон үйлдлүүд байна.

Системд шийдэл байхгүй (зөрчил) эсвэл хязгааргүй олон шийдэлтэй тохиолдлуудыг хичээл дээр авч үзнэ. Тохиромжгүй систем ба системүүд нийтлэг шийдэлтэй. Тэнд та Гауссын аргын авч үзсэн алгоритмыг засах боломжтой.

Чамд амжилт хүсье!

Шийдэл ба хариултууд:

Жишээ 2: Шийдэл: Системийн өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтуудыг ашиглан алхам алхмаар хэлбэрт оруулъя.


Гүйцэтгэсэн үндсэн өөрчлөлтүүд:
(1) Эхний мөрийг хоёр дахь мөрөнд нэмж, -2-оор үржүүлсэн. Гурав дахь мөрөнд эхний мөрийг нэмж, -1-ээр үржүүлсэн. Анхаар!Энд та гурав дахь мөрөөс эхнийхийг хасахыг хүсч магадгүй тул би үүнийг хасахгүй байхыг зөвлөж байна - алдаа гарах эрсдэл эрс нэмэгддэг. Зүгээр л эвхээрэй!
(2) Хоёр дахь мөрийн тэмдгийг өөрчилсөн (-1-ээр үржүүлсэн). Хоёр, гурав дахь мөрийг сольсон. тэмдэглэл, "алхам" дээр бид зөвхөн нэгд төдийгүй -1-д сэтгэл хангалуун байдаг бөгөөд энэ нь илүү тохиромжтой юм.
(3) Гурав дахь мөрөнд хоёр дахь мөрийг нэмж, 5-аар үржүүлсэн.
(4) Хоёр дахь мөрийн тэмдгийг өөрчилсөн (-1-ээр үржүүлсэн). Гурав дахь мөрийг 14-т хуваасан.

Урвуу:

Хариулт: .

Жишээ 4: Шийдэл: Системийн өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтуудыг ашиглан алхам алхмаар хэлбэрт оруулъя.

Гүйцэтгэсэн хөрвүүлэлт:
(1) Эхний мөрөнд хоёр дахь мөр нэмэгдсэн. Тиймээс хүссэн нэгжийг зүүн дээд "алхам" дээр зохион байгуулав.
(2) 7-оор үржүүлсэн эхний мөрийг хоёр дахь мөрөнд, 6-аар үржүүлсэн эхний мөрийг гурав дахь мөрөнд нэмж оруулав.

Хоёр дахь "алхам" -аар бүх зүйл улам дордох болно, "нэр дэвшигчид" нь 17 ба 23 тоо бөгөөд бидэнд нэг эсвэл -1 хэрэгтэй. Өөрчлөлт (3) ба (4) нь хүссэн нэгжийг авахад чиглэгдэх болно

(3) Гурав дахь мөрөнд хоёр дахь мөрийг нэмж, -1-ээр үржүүлсэн.
(4) Гурав дахь мөрийг хоёр дахь мөрөнд нэмж, -3-аар үржүүлсэн.
Хоёр дахь шатанд шаардлагатай зүйлийг хүлээн авлаа. .
(5) Гурав дахь мөрөнд хоёр дахь мөрийг нэмж, 6-аар үржүүлсэн.

Хичээлийн нэг хэсэг болгон Гауссын аргаТэгээд Нийтлэг шийдэл бүхий үл нийцэх систем/систембид авч үзсэн шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн бус систем, Хаана чөлөөт гишүүн(энэ нь ихэвчлэн баруун талд байдаг) ядаж нэгтэгшитгэлээс тэгээс ялгаатай байв.
Тэгээд одоо сайн халаалт хийсний дараа матрицын зэрэглэл, бид техникийг үргэлжлүүлэн өнгөлөх болно анхан шатны өөрчлөлтүүддээр шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем.
Эхний догол мөрөнд үндэслэн материал нь уйтгартай, дунд зэргийн мэт санагдаж болох ч энэ сэтгэгдэл нь хуурамч юм. Техникийн техникийг цаашид хөгжүүлэхээс гадна олон зүйл байх болно шинэ мэдээлэл, тиймээс энэ нийтлэл дэх жишээнүүдийг үл тоомсорлохгүй байхыг хичээгээрэй.

Шийдэл. A= . r(A)-г олъё. Учир нь матрицТэгээд 3х4 захиалгатай хамгийн дээд тушаалнасанд хүрээгүй хүүхдүүд 3-тай тэнцүү байна. Түүнээс гадна гурав дахь зэрэглэлийн бүх насанд хүрээгүй хүүхдүүд тэгтэй тэнцүү байна (өөрийгөө шалгаарай). гэсэн үг, r(A)< 3. Возьмем главный үндсэн бага = -5-4 = -9 ≠ 0. Иймд r(A) =2.

Ингээд авч үзье матриц ХАМТ = .

Бага гурав дахь захиалга ≠ 0. Тэгэхээр r(C) = 3 байна.

r(A)-аас хойш ≠ r(C) , тэгвэл систем нь нийцэхгүй байна.

Жишээ 2.Тэгшитгэлийн системийн нийцтэй байдлыг тодорхойлох

Хэрэв энэ систем тогтвортой байвал шийднэ үү.

Шийдэл.

A =, C = . r(A) ≤ 3, r(C) ≤ 4 гэдэг нь ойлгомжтой. detC = 0 тул r(C) болно.< 4. Ингээд авч үзье бага гурав дахь захиалга, А ба С матрицын зүүн дээд буланд байрладаг: = -23 ≠ 0. Тэгэхээр r(A) = r(C) = 3 байна.

Тоо үл мэдэгдэх системд n=3. Энэ нь систем нь өвөрмөц шийдэлтэй гэсэн үг юм. Энэ тохиолдолд дөрөв дэх тэгшитгэл нь эхний гурвын нийлбэрийг илэрхийлэх бөгөөд үүнийг үл тоомсорлож болно.

Крамерын томъёоны дагуубид x 1 = -98/23, x 2 = -47/23, x 3 = -123/23 болно.

2.4. Матрицын арга. Гауссын арга

систем nшугаман тэгшитгэл-тай nүл мэдэгдэх асуудлыг шийдэж болно матрицын аргатомъёоны дагуу X = A -1 B (Δ үед ≠ 0), энэ нь (2)-аас хоёр хэсгийг A -1-ээр үржүүлснээр гарна.

Жишээ 1. Тэгшитгэлийн системийг шийд

матрицын арга (2.2-р хэсэгт энэ системийг Крамерын томъёогоор шийдсэн)

Шийдэл. Δ = 10 ≠ 0 A = - доройтдоггүй матриц.

= (шаардлагатай тооцоог хийх замаар үүнийг өөрөө шалгана уу).

A -1 = (1/Δ)х= .

X = A -1 V = x= .

Хариулт: .

Практик талаас нь авч үзвэлматрицын арга ба томъёо Крамерих хэмжээний тооцоололтой холбоотой тул давуу эрх олгодог Гауссын арга, энэ нь үл мэдэгдэх зүйлсийг дараалан арилгахаас бүрддэг. Үүнийг хийхийн тулд тэгшитгэлийн системийг гурвалжин өргөтгөсөн матриц бүхий эквивалент систем болгон бууруулсан (үндсэн диагональаас доош байгаа бүх элементүүд тэгтэй тэнцүү). Эдгээр үйлдлийг урагшлах хөдөлгөөн гэж нэрлэдэг. Үүссэн гурвалжин системээс хувьсагчдыг дараалсан орлуулалтыг (урвуу) ашиглан олно.

Жишээ 2. Гауссын аргыг ашиглан системийг шийд

(Дээрх нь энэ системийг Крамерын томъёо болон матрицын аргыг ашиглан шийдсэн).

Шийдэл.

Шууд шилжих. Өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтуудыг ашиглан гурвалжин хэлбэрт оруулцгаая.

~ ~ ~ ~ .

Бид авдаг систем

Урвуу хөдөлгөөн.Сүүлийн тэгшитгэлээс бид олдог X 3 = -6 ба энэ утгыг хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна уу:

X 2 = - 11/2 - 1/4X 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

X 1 = 2 -X 2 + X 3 = 2+4-6 = 0.

Хариулт: .

2.5. Шугаман тэгшитгэлийн системийн ерөнхий шийдэл

Шугаман тэгшитгэлийн системийг өгье = б би(би=). r(A) = r(C) = r, i.e. систем нь хамтын ажиллагаа юм. r-ийн тэгээс бусад бага зэрэг нь үндсэн бага.Ерөнхий байдлыг алдагдуулахгүйгээр суурь минор нь А матрицын эхний r (1 ≤ r ≤ min(m,n)) мөр, баганад байрлана гэж үзнэ. Сүүлийнхийг хаях. m-r тэгшитгэлсистемүүдийн хувьд бид товчилсон системийг бичнэ:

Энэ нь анхныхтай тэнцүү юм. Үл мэдэгдэх хүмүүсийг нэрлэе x 1 ,….x rүндсэн, ба x r +1 ,…, x rчөлөөтэй ба чөлөөт үл мэдэгдэх нэр томъёог таслагдсан системийн тэгшитгэлийн баруун талд шилжүүлнэ. Бид үндсэн үл мэдэгдэх системийг олж авдаг.

чөлөөт үл мэдэгдэх утгын багц бүрийн хувьд x r +1 = С 1 ,…, x n = С n-rганцхан шийдэлтэй x 1 (C 1 ,…, C n-r),…, x r (C 1 ,…, C n-r),Крамерын дүрмээр олдсон.

Холбогдох шийдэлбогиносгосон тул анхны систем нь дараах хэлбэртэй байна.

X(C 1 ,…, C n-r) = - системийн ерөнхий шийдэл.

Хэрэв ерөнхий шийдэлд бид зарим үнэгүй үл мэдэгдэх зүйлийг өгдөг тоон утгууд, дараа нь бид хэсэгчилсэн гэж нэрлэгддэг шугаман системийн шийдлийг олж авна.

Жишээ. Тохиромжтой байдлыг бий болгож, системийн ерөнхий шийдлийг олох

Шийдэл. A = , C = .

Тэгэхээр Хэрхэн r(A)= r(C) = 2 (үүнийг өөрөө харна уу), тэгвэл анхны систем нь тууштай бөгөөд хязгааргүй тооны шийдэлтэй (r-ээс хойш)< 4).

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх нь шугаман алгебрийн үндсэн асуудлын нэг юм. Энэ даалгавар нь чухал үүрэг гүйцэтгэдэг ашигласан утгаШинжлэх ухаан, техникийн асуудлыг шийдвэрлэхэд энэ нь тооцооллын математик, математик физикийн олон алгоритмыг хэрэгжүүлэх, туршилтын судалгааны үр дүнг боловсруулахад туслах болно.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системдараах хэлбэрийн тэгшитгэлийн систем гэж нэрлэдэг: (1)

Хаана – үл мэдэгдэх; - чөлөөт гишүүд.

Тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх(1) системд (1) үл мэдэгдэхийн оронд байрлуулсан дурын тооны багцыг дуудна системийн бүх тэгшитгэлийг зөв тоон тэгшитгэл болгон хувиргадаг.

Тэгшитгэлийн системийг нэрлэдэг хамтарсан, хэрэв энэ нь ядаж нэг шийдэлтэй бол, ба хамтарсан бус, хэрэв шийдэл байхгүй бол.

нэгэн зэрэг тэгшитгэлийн систем гэж нэрлэдэг тодорхой, хэрэв энэ нь нэг өвөрмөц шийдэлтэй бол, ба тодорхойгүй, хэрэв энэ нь дор хаяж хоёр өөр шийдэлтэй бол.

Хоёр тэгшитгэлийн системийг нэрлэдэг тэнцүүэсвэл тэнцүү, хэрэв тэдгээр нь ижил шийдэлтэй бол.

Системийг (1) гэж нэрлэдэг нэгэн төрлийн, хэрэв үнэ төлбөргүй нөхцөл тэг байвал:

Нэг төрлийн систем нь үргэлж тогтвортой байдаг - энэ нь шийдэлтэй байдаг (магадгүй цорын ганц биш).

Хэрэв систем (1) байгаа бол бидэнд систем байна nшугаман тэгшитгэлүүд nүл мэдэгдэх: Хаана – үл мэдэгдэх; - үл мэдэгдэх коэффициентүүд, - чөлөөт гишүүд.

Шугаман систем нь нэг шийдэлтэй, хязгааргүй олон шийдэлтэй эсвэл огт шийдэлгүй байж болно.

Хоёр үл мэдэгдэх хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийг авч үзье

Хэрэв систем нь өвөрмөц шийдэлтэй бол;

Хэрэв дараа нь системд шийдэл байхгүй;

Хэрэв тэгвэл систем нь хязгааргүй олон шийдэлтэй болно.

Жишээ.Систем нь хос тооны өвөрмөц шийдэлтэй

Систем нь хязгааргүй олон тооны шийдэлтэй. Жишээлбэл, өгөгдсөн системийн шийдэл нь хос тоо гэх мэт.

Хоёр тооны зөрүү нь хоёр өөр утгыг авч чадахгүй тул системд шийдэл байхгүй.

Тодорхойлолт. Хоёрдахь эрэмбийн тодорхойлогчхэлбэрийн илэрхийлэл гэж нэрлэдэг:

.

Тодорхойлогчийг D тэмдгээр тэмдэглэнэ.

Тоонууд А 11, …, А 22-ыг тодорхойлогчийн элементүүд гэж нэрлэдэг.

Элементүүдээс үүссэн диагональ А 11 ; А 22 гэж нэрлэдэг голэлементүүдээс үүссэн диагональ А 12 ; А 21 − тал

Ийнхүү хоёр дахь эрэмбийн тодорхойлогч нь үндсэн ба хоёрдогч диагональуудын элементүүдийн үржвэрийн зөрүүтэй тэнцүү байна.

Хариулт нь тоо гэдгийг анхаарна уу.

Жишээ.Тодорхойлогчдыг тооцоолъё:

Хоёр үл мэдэгдэх хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийг авч үзье. Хаана X 1, X 2 – үл мэдэгдэх; А 11 , …, А 22 - үл мэдэгдэх коэффициентүүд, б 1 ,б 2 - чөлөөт гишүүд.

Хэрэв хоёр үл мэдэгдэх хоёр тэгшитгэлийн систем нь өвөрмөц шийдэлтэй бол түүнийг хоёрдугаар эрэмбийн тодорхойлогч ашиглан олж болно.

Тодорхойлолт.Үл мэдэгдэхийн коэффициентуудаас бүрдэх тодорхойлогчийг нэрлэнэ системийн тодорхойлогч: D=.

Тодорхойлогч D-ийн баганууд нь тус тусын коэффициентуудыг агуулна X 1 ба цагт , X 2. Хоёрыг танилцуулъя нэмэлт шалгуур үзүүлэлт,аль нэг баганыг чөлөөт гишүүн баганаар солих замаар системийн тодорхойлогчоос гаргаж авдаг: D 1 = D 2 =.

Теорем 14(Крамер, n=2 тохиолдолд).Хэрэв системийн тодорхойлогч D тэгээс ялгаатай (D¹0), систем нь дараах томъёог ашиглан олддог өвөрмөц шийдэлтэй болно.

Эдгээр томъёог гэж нэрлэдэг Крамерын томъёо.

Жишээ.Крамерын дүрмийг ашиглан системийг шийдье.

Шийдэл.Тоонуудыг олцгооё

Хариулах.

Тодорхойлолт. Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчхэлбэрийн илэрхийлэл гэж нэрлэдэг:

Элементүүд А 11; А 22 ; А 33 - үндсэн диагональ үүсгэдэг.

Тоонууд А 13; А 22 ; А 31 - хажуугийн диагональ үүсгэдэг.

Нэмэх тэмдэгтэй оруулгад дараахь зүйлс орно: үндсэн диагональ дээрх элементүүдийн үржвэр, үлдсэн хоёр гишүүн нь үндсэн диагональтай параллель суурьтай гурвалжны оройд байрлах элементүүдийн үржвэр юм. Хасах нэр томъёог хоёрдогч диагональтай ижил схемийн дагуу үүсгэнэ.

Жишээ.Тодорхойлогчдыг тооцоолъё:

Хаана – үл мэдэгдэх; - үл мэдэгдэх коэффициентүүд, - чөлөөт гишүүд.

Өвөрмөц шийдийн хувьд гурван үл мэдэгдэх 3 шугаман тэгшитгэлийн системийг 3-р эрэмбийн тодорхойлогч ашиглан шийдэж болно.

D системийн тодорхойлогч нь дараах хэлбэртэй байна.

Гурван нэмэлт тодорхойлогчийг танилцуулъя:

Теорем 15(Крамер, n=3 тохиолдолд).Хэрэв системийн тодорхойлогч D тэгээс ялгаатай бол систем нь Крамерын томъёог ашиглан олддог өвөрмөц шийдэлтэй болно.

Жишээ.Системээ шийдье Крамерын дүрмийн дагуу.

Шийдэл.Тоонуудыг олцгооё

Крамерын томьёог ашиглаж анхны системийн шийдлийг олцгооё.

Хариулах.

Тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тоотой тэнцүү, D системийн тодорхойлогч нь тэгээс өөр байх үед Крамерын теорем хэрэгжих боломжтой гэдгийг анхаарна уу.

Хэрэв системийн тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү бол энэ тохиолдолд систем нь шийдэлгүй эсвэл хязгааргүй тооны шийдтэй байж болно. Эдгээр тохиолдлуудыг тусад нь судалдаг.

Ганцхан тохиолдлыг тэмдэглэе. Хэрэв системийн тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү (D=0), нэмэлт тодорхойлогчдын ядаж нэг нь тэгээс өөр байвал системд шийдэл байхгүй, өөрөөр хэлбэл энэ нь нийцэхгүй байна.

Крамерын теоремыг системд нэгтгэж болно nшугаман тэгшитгэлүүд nүл мэдэгдэх: Хаана – үл мэдэгдэх; - үл мэдэгдэх коэффициентүүд, - чөлөөт гишүүд.

Мэдэгдэхгүй шугаман тэгшитгэлийн системийн тодорхойлогч бол Дараа нь Крамерын томъёог ашиглан системийн цорын ганц шийдлийг олно.

Нэмэлт шалгуур үзүүлэлт Хэрэв тодорхойгүй байдлын коэффициентийн багана агуулсан бол D тодорхойлогчоос авна x iчөлөөт гишүүдийн баганаар солих.

Тодорхойлогч D, D 1 , … , D гэдгийг анхаарна уу nзахиалгатай байна n.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх Гауссын арга

Шугаман алгебр тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх хамгийн түгээмэл аргуудын нэг бол үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан арилгах арга юм. -Гауссын арга. Энэ арга нь орлуулах аргын ерөнхий ойлголт бөгөөд нэг үл мэдэгдэх нэг тэгшитгэл үлдэх хүртэл үл мэдэгдэх зүйлсийг дараалан арилгахаас бүрдэнэ.

Энэ арга нь шугаман тэгшитгэлийн системийн зарим өөрчлөлт дээр суурилдаг бөгөөд үүний үр дүнд анхны системтэй дүйцэхүйц системийг бий болгодог. Аргын алгоритм нь хоёр үе шатаас бүрдэнэ.

Эхний үе шат гэж нэрлэдэг шууд урагшааГауссын арга. Энэ нь тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан арилгахаас бүрдэнэ. Үүнийг хийхийн тулд эхний алхамд системийн эхний тэгшитгэлийг хуваана (өөрөөр бол системийн тэгшитгэлийг дахин зохион байгуул). Тэд үүссэн бууруулсан тэгшитгэлийн коэффициентийг тэмдэглэж, үүнийг коэффициентээр үржүүлж, системийн хоёр дахь тэгшитгэлээс хасч, улмаар хоёр дахь тэгшитгэлээс хасдаг (коэффицентийг тэглэх).

Үлдсэн тэгшитгэлүүдтэй ижил зүйлийг хийж, бүх тэгшитгэлийн хоёр дахь хэсгээс эхлэн коэффициентүүд нь зөвхөн тэг агуулсан шинэ системийг олж аваарай. Үүний үр дүнд бий болсон шинэ систем нь анхны системтэй дүйцэх нь ойлгомжтой.

Хэрэв шинэ коэффициентүүд нь бүгд тэгтэй тэнцүү биш бол тэдгээрийг гурав дахь болон дараагийн тэгшитгэлээс мөн адил хасаж болно. Дараах үл мэдэгдэх зүйлсийн хувьд энэ үйлдлийг үргэлжлүүлснээр системийг гурвалжин гэж нэрлэгддэг хэлбэрт оруулав.

Энд тэмдэгтүүд нь хувиргалтын үр дүнд өөрчлөгдсөн тоон коэффициент ба чөлөөт нэр томъёог заана.

Системийн сүүлчийн тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх үлдэгдлийг өвөрмөц аргаар, дараа нь дараалсан орлуулалтаар тодорхойлно.

Сэтгэгдэл.Заримдаа хувиргалтын үр дүнд тэгшитгэлийн аль нэгэнд бүх коэффициент ба баруун тал нь тэг болж хувирдаг, өөрөөр хэлбэл тэгшитгэл нь 0=0 ижил утгатай болж хувирдаг. Ийм тэгшитгэлийг системээс хассанаар үл мэдэгдэх тоотой харьцуулахад тэгшитгэлийн тоог бууруулна. Ийм системд ганц шийдэл байж болохгүй.

Хэрэв Гауссын аргыг хэрэглэх явцад аливаа тэгшитгэл нь 0 = 1 хэлбэрийн тэгшитгэл болж хувирвал (үл мэдэгдэхгүй байдлын коэффициентүүд 0 болж, баруун тал нь тэгээс өөр утгыг авна) Анхны системд ямар ч шийдэл байхгүй, учир нь ийм тэгш байдал нь үл мэдэгдэх утгын хувьд худал байдаг.

Гурван үл мэдэгдэх шугаман тэгшитгэлийн системийг авч үзье.

(2)

Хаана – үл мэдэгдэх; - үл мэдэгдэх коэффициентүүд, - чөлөөт гишүүд.

Эдийн засгийн салбарт янз бүрийн үйл явцыг математик загварчлахад тэгшитгэлийн системийг өргөн ашигладаг. Жишээлбэл, үйлдвэрлэлийн менежмент, төлөвлөлт, логистикийн маршрут (тээврийн асуудал) эсвэл тоног төхөөрөмжийг байрлуулах асуудлыг шийдвэрлэхэд.

Тэгшитгэлийн системийг зөвхөн математикт төдийгүй физик, хими, биологи, хүн амын тоог олох асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг.

Шугаман тэгшитгэлийн систем гэдэг нь нийтлэг шийдлийг олох шаардлагатай хэд хэдэн хувьсагчтай хоёр ба түүнээс дээш тэгшитгэл юм. Бүх тэгшитгэл нь жинхэнэ тэгшитгэл болох эсвэл дараалал байхгүй гэдгийг нотлох тоонуудын ийм дараалал.

Шугаман тэгшитгэл

ax+by=c хэлбэрийн тэгшитгэлийг шугаман гэнэ. x, y тэмдэглэгээ нь утгыг нь олох ёстой үл мэдэгдэх зүйлс, b, a нь хувьсагчдын коэффициент, в нь тэгшитгэлийн чөлөөт гишүүн юм.
Тэгшитгэлийг зурах замаар шийдэх нь бүх цэгүүд нь олон гишүүнтийн шийдэл болох шулуун шугам шиг харагдана.

Шугаман тэгшитгэлийн системийн төрлүүд

Хамгийн энгийн жишээ бол X ба Y гэсэн хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системүүд юм.

F1(x, y) = 0 ба F2(x, y) = 0, энд F1,2 нь функц, (x, y) нь функцын хувьсагч юм.

Тэгшитгэлийн системийг шийдэх - Энэ нь систем жинхэнэ тэгш байдал болж хувирах утгуудыг (x, y) олох эсвэл x ба y-ийн тохирох утгууд байхгүй болохыг тогтооно гэсэн үг юм.

Цэгийн координат хэлбэрээр бичигдсэн хос утгыг (x, y) шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдэл гэж нэрлэдэг.

Хэрэв системүүд нэг нийтлэг шийдэлтэй эсвэл шийдэл байхгүй бол тэдгээрийг эквивалент гэж нэрлэдэг.

Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системүүд нь баруун тал нь тэгтэй тэнцүү систем юм. Хэрэв тэнцүү тэмдгийн дараа баруун хэсэг нь утгатай эсвэл функцээр илэрхийлэгддэг бол ийм систем нь гетероген байна.

Хувьсагчийн тоо хоёроос хамаагүй их байж болно, тэгвэл бид гурав ба түүнээс дээш хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээг ярих хэрэгтэй.

Системтэй тулгарах үед сургуулийн сурагчид тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тоотой заавал давхцах ёстой гэж үздэг боловч энэ нь тийм биш юм. Систем дэх тэгшитгэлийн тоо нь хувьсагчдаас хамаардаггүй бөгөөд тэдгээрийн тоо хүссэн хэмжээгээр байж болно.

Тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх энгийн бөгөөд төвөгтэй аргууд

Ийм системийг шийдэх ерөнхий аналитик арга байхгүй, бүх аргууд нь тоон шийдэл дээр суурилдаг. Сургуулийн математикийн хичээлд орлуулах, алгебрийн нэмэх, орлуулах аргууд, түүнчлэн график, матрицын аргууд, Гауссын аргаар шийдвэрлэх аргуудыг нарийвчлан тайлбарласан болно.

Шийдлийн аргуудыг заах гол ажил бол системд хэрхэн зөв дүн шинжилгээ хийх, жишээ тус бүрийн оновчтой шийдлийн алгоритмыг олоход сургах явдал юм. Хамгийн гол нь арга тус бүрийн дүрэм, үйлдлийн системийг цээжлэх биш, харин тодорхой аргыг ашиглах зарчмуудыг ойлгох явдал юм.

Ерөнхий боловсролын 7-р ангийн сургалтын хөтөлбөрт шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээг шийдвэрлэх нь маш энгийн бөгөөд нарийвчлан тайлбарласан болно. Аливаа математикийн сурах бичигт энэ хэсэгт хангалттай анхаарал хандуулдаг. Гаусс ба Крамерын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх жишээг дээд боловсролын эхний жилүүдэд илүү нарийвчлан судалдаг.

Орлуулах аргыг ашиглан системийг шийдвэрлэх

Орлуулах аргын үйлдэл нь нэг хувьсагчийн утгыг хоёр дахь хувьсагчаар илэрхийлэхэд чиглэгддэг. Илэрхийлэлийг үлдсэн тэгшитгэлд орлуулж, дараа нь нэг хувьсагчтай хэлбэрт буулгана. Үйлдэл нь систем дэх үл мэдэгдэх тооноос хамаарч давтагдана

Орлуулах аргыг ашиглан 7-р ангийн шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээний шийдлийг өгье.

Жишээнээс харахад х хувьсагчийг F(X) = 7 + Y-ээр илэрхийлсэн. Үр дүнгийн илэрхийлэл нь X-ийн оронд системийн 2-р тэгшитгэлд орлуулсан нь 2-р тэгшитгэлд нэг Y хувьсагчийг авахад тусалсан. . Энэ жишээг шийдэх нь хялбар бөгөөд Y утгыг авах боломжийг олгодог.Сүүлийн алхам бол олж авсан утгуудыг шалгах явдал юм.

Шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээг орлуулах замаар шийдэх нь үргэлж боломжгүй байдаг. Тэгшитгэлүүд нь төвөгтэй байж болох ба хувьсагчийг хоёр дахь үл мэдэгдэх байдлаар илэрхийлэх нь цаашдын тооцоололд хэтэрхий төвөгтэй байх болно. Системд 3-аас дээш үл мэдэгдэх зүйл байвал орлуулах замаар шийдвэрлэх нь бас тохиромжгүй.

Шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн системийн жишээний шийдэл:

Алгебрийн нэмэлтийг ашиглан шийдэл

Нэмэх аргыг ашиглан системийн шийдлүүдийг хайхдаа тэгшитгэлийг гишүүнээр нь нэмж, янз бүрийн тоогоор үржүүлнэ. Эцсийн зорилгоМатематик үйлдлүүд нь нэг хувьсагчтай тэгшитгэл юм.

Хэрэглээний хувьд энэ аргададлага, ажиглалт шаардлагатай. 3 ба түүнээс дээш хувьсагчтай үед шугаман тэгшитгэлийн системийг нэмэх аргыг ашиглан шийдвэрлэх нь тийм ч хялбар биш юм. Тэгшитгэл нь бутархай ба аравтын бутархайг агуулсан үед алгебрийн нэмэлтийг ашиглахад тохиромжтой.

Шийдлийн алгоритм:

1. Тэгшитгэлийн хоёр талыг тодорхой тоогоор үржүүлнэ. Үр дүнд нь арифметик үйлдэлхувьсагчийн коэффициентүүдийн аль нэг нь 1-тэй тэнцүү байх ёстой.
2. Үүссэн илэрхийллийн гишүүнийг гишүүнээр нэмээд үл мэдэгдэх нэгийг ол.
3. Үүссэн утгыг системийн 2-р тэгшитгэлд орлуулж, үлдсэн хувьсагчийг ол.

Шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх замаар шийдвэрлэх арга

Хэрэв систем нь хоёроос илүүгүй тэгшитгэлийн шийдлийг олох шаардлагатай бол шинэ хувьсагчийг оруулж болно; үл мэдэгдэх тоо хоёроос илүүгүй байх ёстой.

Энэ аргыг шинэ хувьсагч оруулах замаар нэг тэгшитгэлийг хялбарчлахад ашигладаг. Шинэ тэгшитгэлийг танилцуулсан үл мэдэгдэх зүйлийг шийдэж, үр дүнгийн утгыг анхны хувьсагчийг тодорхойлоход ашиглана.

Шинэ хувьсагч t-г оруулснаар системийн 1-р тэгшитгэлийг стандарт квадрат гурвалжин болгон бууруулах боломжтой байсныг жишээ харуулж байна. Дискриминантыг олох замаар олон гишүүнтийг шийдэж болно.

Мэдэгдэж буй томьёог ашиглан ялгаварлагчийн утгыг олох шаардлагатай: D = b2 - 4*a*c, энд D нь хүссэн дискриминант, b, a, c нь олон гишүүнтийн хүчин зүйлүүд юм. Өгөгдсөн жишээнд a=1, b=16, c=39, тиймээс D=100. Хэрэв ялгаварлагч нь тэгээс их бол хоёр шийдэл байна: t = -b±√D / 2*a, хэрэв ялгаварлагч нь тэгээс бага бол нэг шийдэл байна: x = -b / 2*a.

Үүссэн системүүдийн шийдлийг нэмэх аргаар олно.

Системийг шийдвэрлэх харааны арга

3 тэгшитгэлийн системд тохиромжтой. Энэ арга нь координатын тэнхлэг дээр системд багтсан тэгшитгэл бүрийн графикийг байгуулахаас бүрдэнэ. Муруйнуудын огтлолцох цэгүүдийн координатууд нь системийн ерөнхий шийдэл болно.

График арга нь хэд хэдэн нюанстай байдаг. Шугаман тэгшитгэлийн системийг визуал аргаар шийдвэрлэх хэд хэдэн жишээг авч үзье.

Жишээнээс харахад мөр бүрт хоёр цэгийг байгуулж, x хувьсагчийн утгыг дур мэдэн сонгосон: 0 ба 3. x-ийн утгуудад үндэслэн y-ийн утгыг олов: 3 ба 0. График дээр (0, 3) ба (3, 0) координаттай цэгүүдийг тэмдэглэж, шугамаар холбосон.

Хоёр дахь тэгшитгэлийн хувьд алхамуудыг давтах ёстой. Шугамануудын огтлолцох цэг нь системийн шийдэл юм.

Дараах жишээнд шугаман тэгшитгэлийн системийн график шийдийг олох шаардлагатай: 0.5x-y+2=0 ба 0.5x-y-1=0.

Графикууд нь параллель бөгөөд бүхэл бүтэн уртаараа огтлолцдоггүй тул жишээнээс харахад системд шийдэл байхгүй.

2 ба 3-р жишээн дээрх системүүд нь ижил төстэй боловч бүтээгдсэн үед тэдгээрийн шийдэл нь өөр болох нь тодорхой болно. Системд шийдэл байгаа эсэхийг хэлэх нь үргэлж боломжгүй байдаг тул график байгуулах шаардлагатай байдаг гэдгийг санах нь зүйтэй.

Матриц ба түүний сортууд

Матрицыг шугаман тэгшитгэлийн системийг товч бичихэд ашигладаг. Матриц бол тоогоор дүүргэсэн тусгай төрлийн хүснэгт юм. n*m нь n - мөр, m - баганатай.

Матриц нь багана, мөрийн тоо тэнцүү байх үед квадрат болно. Матриц-вектор гэдэг нь хязгааргүй тооны мөр бүхий нэг баганын матриц юм. Диагональ ба бусад тэг элементүүдийн дагуу нэг нь бүхий матрицыг ижил төстэй байдал гэж нэрлэдэг.

Урвуу матриц нь матрицыг үржүүлбэл анхных нь нэгж матриц болж хувирдаг бөгөөд ийм матриц нь зөвхөн анхны квадратын хувьд л байдаг.

Тэгшитгэлийн системийг матриц руу хөрвүүлэх дүрэм

Тэгшитгэлийн системтэй холбоотойгоор тэгшитгэлийн коэффициент ба чөлөөт гишүүдийг матрицын тоогоор бичдэг бөгөөд нэг тэгшитгэл нь матрицын нэг эгнээ юм.

Хэрэв мөрийн ядаж нэг элемент тэг биш байвал матрицын мөрийг тэгээс өөр гэж нэрлэдэг. Тиймээс, хэрэв тэгшитгэлийн аль нэгэнд хувьсагчийн тоо өөр байвал алга болсон үл мэдэгдэхийн оронд тэг оруулах шаардлагатай.

Матрицын баганууд нь хувьсагчидтай яг тохирч байх ёстой. Энэ нь х хувьсагчийн коэффициентийг зөвхөн нэг баганад, жишээлбэл, эхнийх нь үл мэдэгдэх у-ийн коэффициентийг зөвхөн хоёр дахь хэсэгт бичиж болно гэсэн үг юм.

Матрицыг үржүүлэхдээ матрицын бүх элементүүдийг тоогоор дараалан үржүүлнэ.

Урвуу матрицыг олох сонголтууд

Урвуу матрицыг олох томьёо нь маш энгийн: K -1 = 1 / |K|, K -1 нь урвуу матриц ба |K| матрицын тодорхойлогч юм. |K| тэгтэй тэнцүү байж болохгүй, тэгвэл систем шийдэлтэй болно.

Тодорхойлогчийг хоёроос хоёр матрицад хялбархан тооцдог тул та диагональ элементүүдийг бие биенээр нь үржүүлэхэд л хангалттай. “Гурав гурваар” гэсэн хувилбарын хувьд |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 томъёо байна. + a 3 b 2 c 1 . Та томьёог ашиглаж болно, эсвэл ажил дээр багана, мөрийн элементийн тоо давтагдахгүйн тулд мөр, багана бүрээс нэг элемент авах хэрэгтэй гэдгийг санаж болно.

Матрицын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээг шийдвэрлэх

Шийдвэр олох матрицын арга нь олон тооны хувьсагч, тэгшитгэл бүхий системийг шийдвэрлэхэд төвөгтэй оруулгуудыг багасгах боломжийг олгодог.

Жишээн дээр a nm нь тэгшитгэлийн коэффициентууд, матриц нь вектор x n хувьсагч, b n нь чөлөөт нэр томъёо юм.

Гауссын аргыг ашиглан системийг шийдвэрлэх

Дээд математикт Гауссын аргыг Крамерын аргатай хамт судалдаг бөгөөд системийн шийдлийг олох үйл явцыг Гаусс-Крамерын шийдлийн арга гэж нэрлэдэг. Эдгээр аргуудыг олон тооны шугаман тэгшитгэл бүхий системийн хувьсагчдыг олоход ашигладаг.

Гауссын арга нь орлуулалт болон алгебрийн нэмэлтээр шийдлүүдтэй маш төстэй боловч илүү системтэй байдаг. Сургуулийн хичээл дээр Гауссын аргын шийдлийг 3 ба 4 тэгшитгэлийн системд ашигладаг. Аргын зорилго нь системийг урвуу трапец хэлбэрийн хэлбэрт оруулах явдал юм. Алгебрийн хувиргалт ба орлуулалтын тусламжтайгаар нэг хувьсагчийн утгыг системийн тэгшитгэлийн аль нэгэнд олно. Хоёр дахь тэгшитгэл нь 2 үл мэдэгдэх илэрхийлэл бөгөөд 3 ба 4 нь 3 ба 4 хувьсагчтай байна.

Системийг тодорхойлсон хэлбэрт оруулсны дараа дараагийн шийдлийг системийн тэгшитгэлд мэдэгдэж буй хувьсагчдыг дараалан орлуулах хүртэл бууруулна.

7-р ангийн сургуулийн сурах бичигт Гауссын аргын шийдлийн жишээг дараах байдлаар дүрсэлсэн болно.

Жишээнээс харахад (3) алхам дээр 3х 3 -2х 4 =11 ба 3х 3 +2х 4 =7 гэсэн хоёр тэгшитгэл гарсан. Аливаа тэгшитгэлийг шийдэх нь x n хувьсагчийн аль нэгийг олох боломжийг олгоно.

Бичвэрт дурдсан теорем 5-д хэрэв системийн тэгшитгэлийн аль нэгийг ижил тэгшитгэлээр сольсон тохиолдолд үүссэн систем нь анхныхтай тэнцүү байх болно гэж заасан.

Гауссын аргыг оюутнууд ойлгоход хэцүү байдаг ахлах сургууль, гэхдээ математик, физикийн ангиудад гүнзгийрүүлсэн сургалтын хөтөлбөрт хамрагдаж буй хүүхдүүдийн оюун ухааныг хөгжүүлэх хамгийн сонирхолтой арга замуудын нэг юм.

Бичлэг хийхэд хялбар байх үүднээс тооцооллыг ихэвчлэн дараах байдлаар хийдэг.

Тэгшитгэлийн коэффициент ба чөлөөт нэр томъёог матрицын хэлбэрээр бичсэн бөгөөд матрицын мөр бүр нь системийн тэгшитгэлүүдийн аль нэгэнд тохирч байна. тэгшитгэлийн зүүн талыг баруун талаас нь тусгаарлана. Ромын тоо нь систем дэх тэгшитгэлийн тоог заана.

Эхлээд ажиллах матрицыг бичээд дараа нь аль нэг мөрийг ашиглан хийсэн бүх үйлдлийг бичнэ үү. Үүссэн матрицыг "сум" тэмдгийн дараа бичиж, үр дүнд хүрэх хүртэл шаардлагатай алгебрийн үйлдлүүдийг үргэлжлүүлнэ.

Үр дүн нь диагональуудын аль нэг нь 1, бусад бүх коэффициентүүд нь тэгтэй тэнцүү байх матриц байх ёстой, өөрөөр хэлбэл матрицыг нэгж хэлбэрээр бууруулна. Бид тэгшитгэлийн хоёр талд тоогоор тооцоо хийхээ мартаж болохгүй.

Энэхүү бичлэг хийх арга нь илүү төвөгтэй бөгөөд олон тооны үл мэдэгдэх зүйлсийг жагсаахад анхаарлаа сарниулахгүй байх боломжийг олгодог.

Аливаа шийдлийн аргыг үнэ төлбөргүй ашиглах нь анхаарал халамж, зарим туршлага шаарддаг. Бүх аргууд нь хэрэглээний шинж чанартай байдаггүй. Шийдэл олох зарим аргууд нь хүний ​​​​үйл ажиллагааны тодорхой салбарт илүү тохиромжтой байдаг бол зарим нь боловсролын зорилгоор байдаг.

Шугаман системийн шийдлийг олох
Bodrenko.com дээрх зөөврийн Windows програмууд

§2. Шугаман системийн шийдлийг олох

Кронекер-Капелли теорем нь шугаман системийн нийцтэй байдлын зайлшгүй бөгөөд хангалттай нөхцөлийг бий болгодог боловч энэ системийн шийдлийг олох арга замыг өгдөггүй.
Энэ хэсэгт бид шугаман системийн шийдлүүдийг олох болно (3.1). Эхлээд бид үндсэн матрицын тэгээс өөр тодорхойлогчтой шугаман тэгшитгэлийн квадрат системийн хамгийн энгийн тохиолдлыг авч үзэх ба дараа нь (3.1) хэлбэрийн ерөнхий шугаман системийн бүх шийдлийн багцыг олоход шилжинэ.
1. Үндсэн матрицын тэгээс өөр тодорхойлогчтой шугаман тэгшитгэлийн квадрат систем.Шугаман тэгшитгэлийн квадрат системийг өгье

үндсэн матрицын Δ тэгээс өөр тодорхойлогчтой

Ийм систем нь өвөрмөц шийдэлтэй гэдгийг баталцгаая, бид энэ шийдлийг олох болно. Нэгдүгээрт, бид (3.10) систем нь зөвхөн нэг шийдэлтэй байж болохыг нотлох болно (өөрөөр хэлбэл, бид (3.10) системийн оршин тогтнох таамаглалын дагуу шийдлийн өвөрмөц байдлыг нотлох болно).
Эдгээр тоонуудыг (3.10) системд орлуулахад энэ системийн бүх тэгшитгэлүүд адилтгал болох (өөрөөр хэлбэл, системд ямар нэгэн шийдэл байгаа) байхаар x 1, x 2,..., x n ямар ч n тоо байна гэж бодъё. 3.10) x 1, x 2,..., x n). Дараа нь (3.10) адилтгалуудыг (3.11) матрицын тодорхойлогч Δ-ийн j-ro баганын A 1j , A 2j ,..., A nj алгебрийн нэмэлтүүдээр тус тус үржүүлээд үр дүнгийн адилтгалуудыг нэмбэл ( 1, 2,..., n-тэй тэнцүү ямар ч j тооны хувьд)

j-ro баганын элементүүдийн харгалзах алгебрийн нэмэлтүүдээр i-р баганын элементүүдийн үржвэрийн нийлбэр нь i ≠ j-ийн хувьд тэгтэй тэнцүү ба (3.11) матрицын тодорхойлогч Δ-тэй тэнцүү байна гэж үзвэл. i = j (1-р бүлгийн §2-ын 4-р догол мөрний 4° өмчийг үзнэ үү), бид сүүлчийн тэгшитгэлээс олж авна.

x j Δ = b 1 A 1j + b 2 A 2j + ... + b n A nj. (3.12)

Тэмдгээр тэмдэглэеΔ j (б би ) (эсвэл илүү товчоор бол тэмдэгΔ j ) тодорхойлогчоос олж авсан тодорхойлогчΔ үндсэн матриц (3.11)-ийг j-р баганыг чөлөөт гишүүн баганаар сольж b 1 ,б 2 ,...,б n (бусад бүх баганыг өөрчлөхгүй Δ ).
(3.12)-ын баруун талд яг тодорхойлогч Δ j (b i) байгааг анхаарна уу (үүнийг шалгахын тулд Δ j (b i) тодорхойлогчийн тэлэлтийг i-р хэсгийн элементүүдээр бичихэд хангалттай. багана), энэ тэгш байдал хэлбэрийг авна

Δ x j = Δ j (3.13)

(3.11) матрицын тодорхойлогч Δ нь тэгээс ялгаатай тул (3.13) тэгшитгэлүүд нь харьцаатай тэнцүү байна.

Тиймээс бид үүнийг нотолсон Хэрэв x шийдэл бол 1 , x 2 ,...,X n систем (3.10) тодорхойлогчтойΔ Тэгээс ялгаатай үндсэн матриц (3.11) байгаа бол энэ шийдлийг (3.14) томъёогоор тодорхойлогдоно..
Томъёо (3.14) гэж нэрлэдэг Крамерын томъёо.
Крамерын томъёоллыг шийдэл байгаа гэсэн таамаглалаар олж авсан бөгөөд түүний өвөрмөц байдлыг нотолж байгааг дахин нэг удаа онцолж хэлье.
Системийн шийдэл байгаа эсэхийг нотлох нь хэвээр байна (3.10). Үүнийг хийхийн тулд Кронекер-Капелли теоремын дагуу үндсэн матрицын зэрэглэл (3.11) нь өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй тэнцүү гэдгийг батлахад хангалттай (шийдвэр байгаа эсэхийг батлах өөр арга бий. систем (3.10) бөгөөд энэ нь Крамерын томъёогоор (3.14) тодорхойлсон x 1, x 2,...,x n тоонууд (3.10) системийн бүх тэгшитгэлийг таних тэмдэг болгон хувиргаж байгаа эсэхийг шалгахаас бүрддэг)

гэхдээ энэ нь ойлгомжтой, учир нь Δ ≠ 0 хамаарлын улмаас үндсэн матрицын зэрэглэл нь n-тэй тэнцүү бөгөөд n мөр агуулсан өргөтгөсөн матрицын зэрэглэл (3.15) нь n тооноос их байж болохгүй тул ийм байна. үндсэн матрицын зэрэгтэй тэнцүү байна.
Энэ нь үүнийг бүрэн нотолж байна Үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай шугаман тэгшитгэлийн квадрат систем (3.10) нь Крамерын томъёогоор (3.14) тодорхойлогддог өвөрмөц шийдэлтэй байдаг.

Бидний нотолсон мэдэгдлийг матрицын аргыг ашиглан бүр хялбархан тогтоож болно. Үүнийг хийхийн тулд (§ 1-ийн 1 дэх хэсэгт дурдсанчлан) системийг (3.10) түүний эквивалент матрицын тэгшитгэлээр солино.

AX = B, (3.16)

Энд А нь системийн үндсэн матриц (3.11), X ба В баганууд,

эхнийх нь тодорхойлогдох бөгөөд хоёр дахь нь өгөгдсөн.
А матрицын тодорхойлогч Δ нь тэгээс ялгаатай тул урвуу матриц A -1 байна (7-р догол мөр, §2, 1-р бүлгийг үз).
(3.10) системд шийдэл байгаа гэж үзье, өөрөөр хэлбэл. (3.16) матрицын тэгшитгэлийг таних тэмдэг болгон хувиргадаг X багана байна. Зүүн талд заасан таних тэмдгийг урвуу матриц A -1-ээр үржүүлэхэд бид гарч ирнэ

A -1 (AX) = A -1 V. (3.17)

Гурван матрицын үржвэрийн хосолсон шинж чанараас (2-р догол мөр, § 1, 1-р бүлгийг үзнэ үү) болон A -1 A = E хамаарлаас шалтгаалан E нь таних матриц (догол мөрийг үзнэ үү) гэдгийг одоо анхаарч үзье. 7, §2, Бүлэг 1 ), A -1 (AX) = (A -1 A)X = EX = X, тэгэхээр бид (3.17) -аас авна.

X = A -1 V. (3.18)

Тэгш байдлыг (3.18) өргөтгөж, урвуу матрицын хэлбэрийг харгалзан үзэх (А.41 томъёог үзнэ үү) Ч-ийн §2-ын 7-р догол мөр. 1), бид X баганын элементүүдийн Крамерын томъёог олж авдаг.
Тиймээс, хэрэв (3.16) матрицын тэгшитгэлийн шийдэл байгаа бол энэ нь Крамерын томъёотой дүйцэхүйц (3.18) хамаарлаар тодорхойлогддог болохыг бид нотолсон.
(3.18) хамаарлаар тодорхойлсон X багана нь (3.16) матрицын тэгшитгэлийн шийдэл мөн эсэхийг шалгахад хялбар байдаг.
өөрөөр хэлбэл, энэ тэгшитгэлд орлуулах үед энэ нь түүнийг таних тэмдэг болгон хувиргадаг. Үнэн хэрэгтээ X багана нь тэгшитгэлээр (3.18) тодорхойлогдвол AX = A(A -1 B) = (AA -1)B = EB = B болно.
Тиймээс, хэрэв А матрицын тодорхойлогч Δ нь тэгээс ялгаатай бол (өөрөөр хэлбэл энэ матриц нь ганц биш бол) матрицын тэгшитгэлийн (3.16) өвөрмөц шийдэл байдаг бөгөөд энэ нь хамаарлаар тодорхойлогддог. 3.18), Крамерын томъёотой тэнцүү.
Жишээ. Шугаман тэгшитгэлийн квадрат системийн шийдийг олъё

үндсэн матрицын тэгээс өөр тодорхойлогчтой

Учир нь

Крамерын томъёоны дагуу авч үзэж буй системийн цорын ганц шийдэл нь x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3, x 4 = 4 хэлбэртэй байна.
Крамерын томъёоны гол ач холбогдол нь тэдгээр нь тэгшитгэлийн коэффициент ба чөлөөт гишүүний хувьд шугаман тэгшитгэлийн квадрат системийг (тэгээс тодорхойлогчтой) шийдвэрлэх тодорхой илэрхийлэл болдогт оршино. Крамерын томьёог практикт ашиглах нь нэлээд төвөгтэй тооцоолол (n үл мэдэгдэх n тэгшитгэлийн системийг шийдэхийн тулд (n + 1) n-р эрэмбийн тодорхойлогчийг тооцоолох шаардлагатай). Хэрэв тэгшитгэл ба чөлөөт нөхцлийн коэффициентүүд нь хэмжсэн физик хэмжигдэхүүний зөвхөн ойролцоо утгатай эсвэл тооцооллын явцад дугуйрсан бол Крамерын томъёог ашиглах нь том алдаа, зарим тохиолдолд алдаа гаргахад хүргэдэг гэдгийг нэмж хэлэх хэрэгтэй. тохиромжгүй байна.
4-р бүлгийн §4-д А.Н-ээс үүдэлтэй зохицуулалтын аргыг танилцуулах болно. Тихонов нь тэгшитгэлийн коэффициентийн матриц ба чөлөөт нөхцлийн баганыг тодорхойлох нарийвчлалд тохирсон нарийвчлалтай шугаман системийн шийдлийг олох боломжийг олгодог. 6-д шугаман системийг шийдвэрлэх давталтын аргууд гэж нэрлэгддэг санааг өгдөг бөгөөд энэ нь үл мэдэгдэх утгыг дараалан тооцоолох замаар эдгээр системийг шийдвэрлэх боломжийг олгодог.
Эцэст нь хэлэхэд, энэ хэсэгт системийн үндсэн матрицын тодорхойлогч Δ (3.10) алга болсон тохиолдлыг авч үзэхээс хассан болохыг бид тэмдэглэж байна. Энэ хэргийг багтаасан болно ерөнхий онол n үл мэдэгдэх m шугаман тэгшитгэлийн системүүдийг дараагийн догол мөрөнд үзүүлэв.
2. Ерөнхий шугаман системийн бүх шийдлийг олох.Одоо n үл мэдэгдэх m шугаман тэгшитгэлийн ерөнхий системийг авч үзье (3.1). Энэ систем тууштай, түүний үндсэн болон өргөтгөсөн матрицуудын зэрэглэл нь r тоотой тэнцүү байна гэж үзье. Ерөнхий байдлыг алдагдуулахгүйгээр үндсэн матрицын суурь минор (3.2) нь энэ матрицын зүүн дээд буланд байна (3.1) систем дэх тэгшитгэл болон үл мэдэгдэх зүйлсийг дахин цэгцлэх замаар ерөнхий тохиолдлыг энэ тохиолдолд багасгасан гэж үзэж болно.
Дараа нь үндсэн матриц (3.2) ба өргөтгөсөн матриц (3.8) хоёулангийнх нь эхний r мөрүүд нь эдгээр матрицуудын суурь мөрүүд болно (үндсэн болон өргөтгөсөн матрицын зэрэглэл нь үндсэн матрицын суурь минор болох r-тэй тэнцүү тул нэгэн зэрэг өргөтгөсөн матрицын суурь минор байх болно) ба теорем 1.6-д минорын үндсэн дээр өргөтгөсөн матрицын (1.8) мөр бүр (r + 1)-р эгнээнээс эхлэн шугаман хослол болно. энэ матрицын эхний r мөрүүд.
Системийн хувьд (3.1) энэ нь (r + 1)-р тэгшитгэлээс эхлэн энэ системийн тэгшитгэл бүр нь энэ системийн эхний r тэгшитгэлийн шугаман хослол (өөрөөр хэлбэл үр дагавар) гэсэн үг юм. өөрөөр хэлбэл (3.1) системийн эхний r тэгшитгэлийн аливаа шийдэл нь энэ системийн дараагийн бүх тэгшитгэлүүдийн адилтгал болж хувирдаг.).
Тиймээс (3.1) системийн зөвхөн эхний r тэгшитгэлийн бүх шийдлийг олоход хангалттай. (3.1) системийн эхний r тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичиж авч үзье

Хэрэв бид үл мэдэгдэх x r+1 ,...,x n бүрэн дурын утгуудыг c r+1 ,...,c n гэж өгвөл (1.19) систем нь r үл мэдэгдэх х-ийн r шугаман тэгшитгэлийн квадрат систем болж хувирна. 1 , x 2 , ..., x r ба энэ системийн үндсэн матрицын тодорхойлогч нь (3.2) матрицын тэгээс өөр суурь минор юм. Өмнөх догол мөрийн үр дүнгээс үзэхэд энэ систем (3.19) нь Крамерын томъёогоор тодорхойлогддог өвөрмөц шийдэлтэй, өөрөөр хэлбэл дур мэдэн сонгосон c r+1 ,...,c n хувьд r тооны c 1 ,.. гэсэн өвөрмөц цуглуулгатай байна. .,c r , системийн бүх тэгшитгэлийг (3.19) адилтгал болгон хувиргаж, Крамерын томьёогоор тодорхойлно.
Энэхүү өвөрмөц шийдлийг бичихийн тулд (3.2) матрицын үндсэн минор М-ээс олж авсан тодорхойлогчийг j-ro баганыг d 1, d 2, ...,d i,..., d r (М-ийн бусад бүх баганыг өөрчлөхгүйгээр хадгалсан). Дараа нь (3.19) системийн шийдийг Крамерийн томьёог ашиглан тодорхойлогчийн шугаман шинж чанарыг ашиглан бичвэл бид олж авна.

Томъёо (3.20) нь үл мэдэгдэх х j = c j (j = 1, 2,......, r) утгыг үл мэдэгдэх, чөлөөт гишүүний коэффициент, r+1, дур мэдэн тодорхойлсон параметрүүдээр илэрхийлнэ. ..., n-тэй хамт.
Үүнийг баталцгаая (3.20) томъёонд (3.1) системийн аливаа шийдлийг агуулна.. Үнэн хэрэгтээ c (0) 1 , c (0) 2 ,...,c (0) r , c (0) r+1 , ...,c (0) n нь заасан системийн дурын шийдэл байг. . Дараа нь энэ нь системийн шийдэл юм (3.19). Харин (3.19) системээс c (0) 1 , c (0) 2 ,...,c (0) r хэмжигдэхүүнүүд нь c (0) r+1 , ...,c (0) хэмжигдэхүүнээр тодорхойлогддог. ) n ба яг нарийн Крамерийн томъёоны дагуу (3.20). Тиймээс, хамт r+1 = в (0) r+1, ..., Хамт n = в (0) n Томъёо (3.20) нь авч үзэж буй шийдлийг яг өгнө c (0) 1 , в (0) 2 ,...,c (0) r , в (0) r+1, ..., в (0) n .
Сэтгэгдэл.Хэрэв (3.1) системийн үндсэн ба өргөтгөсөн матрицын r зэрэг нь үл мэдэгдэх n-ийн тоотой тэнцүү бол энэ тохиолдолд (3.20) хамаарал нь томьёо болж хувирдаг.

системийн өвөрмөц шийдлийг тодорхойлох (3.1). Тиймээс (3.1) систем нь түүний үндсэн ба өргөтгөсөн матрицуудын r зэрэг нь үл мэдэгдэх n тоотой тэнцүү (мөн тэгшитгэлийн тоо m-ээс бага эсвэл тэнцүү) байх тохиолдолд өвөрмөц шийдэлтэй (өөрөөр хэлбэл энэ нь тодорхой) байна.
Жишээ. Шугаман системийн бүх шийдлийг олъё

Энэ системийн үндсэн болон өргөтгөсөн матрицын зэрэглэл нь хоёртой тэнцүү (жишээ нь, энэ систем нийцтэй) гэдгийг шалгахад хялбар бөгөөд үндсэн жижиг M нь үндсэн матрицын зүүн дээд буланд байна гэж бид үзэж болно. , өөрөөр хэлбэл . Харин дараа нь сүүлийн хоёр тэгшитгэлээс татгалзаж, 3 ба 4-ээр дур мэдэн тохируулснаар бид системийг олж авна.

x 1 - x 2 = 4 - c 3 + c 4,

x 1 + x 2 = 8 - 2c 3 - 3c 4,

Крамерын томъёоны тусламжтайгаар бид утгыг олж авдаг

x 1 = c 1 = 6 - 3/2 c 3 - c 4, x 2 = c 2 = 2 - 1/2 c 3 - 2c 4. (3.22)

Тэгэхээр дөрвөн тоо

(6 - 3/2 в 3 - в 4,2 - 1/2 в 3 - 2в 4,в 3, в 4) (3.23)

c 3 ба c 4-ийн дур мэдэн өгөгдсөн утгуудын хувьд тэдгээр нь (3.21) системийн шийдлийг үүсгэдэг бөгөөд (3.23) мөрөнд энэ системийн бүх шийдлүүдийг агуулна.

3. Шийдлийн багцын шинж чанарууд нэгэн төрлийн систем. Дээр дурдсанчлан (3.2) матриц нь r-тэй тэнцүү зэрэглэлтэй, мөн M үндсэн суурь нь үүний зүүн дээд буланд байрлана гэж үзээд n үл мэдэгдэх (3.7) бүхий m шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийг авч үзье. матриц. Энэ үед бүх b i нь тэгтэй тэнцүү тул (3.20) томъёоны оронд бид дараах томъёог авна.

үл мэдэгдэх утгуудын утгыг x j = c j (j = 1, 2,..., r) үл мэдэгдэх болон дур мэдэн өгөгдсөн утгуудын коэффициентээр илэрхийлэх c r+1 ,...,c n. Өмнөх догол мөрөнд нотлогдсон зүйлээс болж томъёо (3.24) нь нэгэн төрлийн системийн (3.7) аливаа уусмалыг агуулна..
Одоо багц байгаа эсэхийг шалгацгаая нэгэн төрлийн системийн бүх шийдлүүдийн (3.7) нь шугаман орон зайг үүсгэдэг.
X 1 = (x (1) 1, x (1) 2,...,x (1) n) ба X 2 = (x (2) 1, x (2) 2,...,x ( 2) n) нь нэгэн төрлийн системийн дурын хоёр шийд (3.7), λ нь дурын бодит тоо юм. Нэг төрлийн системийн шийдэл бүр (3.7) нь n тооны дараалсан бүх цуглуулгын шугаман орон зайн A n элемент байдаг тул хоёр цуглуулга тус бүр нь

X 1 + X 2 = (x (1) 1 + x (2) 1 ,..., x (1) n + x (2) n)

λ X 1 = (λ x (1) 1 ,...,λ x (1) n)

нь нэгэн төрлийн системийн (3.7) шийдэл юм.
(3.7) системийн аливаа тэгшитгэл, жишээлбэл, i-р тэгшитгэлийг авч үзээд энэ тэгшитгэлд заасан олонлогуудын элементүүдийг үл мэдэгдэхийн оронд орлъё. X 1 ба X 2 нь нэгэн төрлийн системийн шийдлүүд гэдгийг харгалзан үзвэл бид ийм шийдэлтэй болно

ба энэ нь X 1 + X 2 ба λ X 1 олонлогууд нь нэгэн төрлийн системийн (3.7) шийдлүүд гэсэн үг юм.
Тиймээс нэгэн төрлийн системийн бүх шийдлүүдийн багц (3.7) нь шугаман орон зайг бүрдүүлдэг бөгөөд үүнийг бид R тэмдэгээр тэмдэглэдэг.
Энэ R орон зайн хэмжээсийг олоод түүнд суурь байгуулъя.
Нэг төрлийн системийн матрицын зэрэглэл (3.7) нь r-тэй тэнцүү гэдгийг баталъя. Нэг төрлийн системийн (3.7) бүх шийдлийн шугаман орон зай R нь шугаман орон зайд изоморф байна. n-r (n - r) тооны дараалсан бүх цуглуулгууд(А m зайг жишээ 3, 1-р хэсэг, 1-р хэсэг, 2-р бүлэгт оруулсан).

Нэг төрлийн (3.7) системийн (c 1 ,...,c r , c r+1 ,...,c n) уусмал бүрийг (c r+1 ,...,c n) элементтэй холбож үзье. зай А n-r c r+1 ,...,c n тоонуудыг дур зоргоороо, сонголт болгондоо (3.24) томъёог ашиглан сонгож болох тул тэдгээр нь (3.7) системийн шийдийг өвөрмөц байдлаар тодорхойлдог тул бидний тогтоосон захидал харилцааг дараах байдлаар илэрхийлнэ. Нэгийг харьцах нэгийн. Дараа нь, хэрэв орон зайн c (1) r+1 ,...,c (1) n ба c (2) r+1 ,...,c (2) n элементүүд байвал бид анхаарна. А n-r(c (1) 1 ,...,c (1) r , c (1) r+1 ,...,c (1) n) ба (c (2) 1 ,...) элементүүдтэй тохирно. ,c (2) r , c (2) r+1 ,...,c (2) n) орон зайн R, дараа нь (3.24) томъёоноос нэн даруй (c (1) r+1) элемент гарч ирнэ. + c (2 ) r+1 ,...,c (1) n +c (2) n) нь (c (1) 1 + c (2) 1 ,...,c (1) элементтэй тохирч байна. r + c (2) r , c (1) r+1 + c (2) r+1 ,...,c (1) n +c (2) n), элемент (λ c (1) r+1 ,... ,λ c (1) n) ямар ч бодит λ элементтэй тохирч байна (λ c (1) 1 ,...,λ c (1) r , λ c (1) r+1 , ...,λ c (1 ) n). Энэ нь бидний тогтоосон захидал харилцаа нь изоморфизм гэдгийг баталж байна.
Ийнхүү n үл мэдэгдэх, үндсэн матрицын зэрэглэл нь r-тэй тэнцүү нэгэн төрлийн системийн (3.7) бүх шийдлийн шугаман R орон зай нь орон зайд изоморф байна. А n-rтиймээс n - r хэмжээстэй байна.
Нэг төрлийн системийн (3.7) шугаман бие даасан шийдлүүдийн аливаа багц (2.5 теоремын дагуу) бүх шийдлийн R орон зайд суурь болж, нэгэн төрлийн системийн (3.7) шийдлийн үндсэн багц гэж нэрлэдэг. .
Суурь шийдлүүдийг бий болгохын тулд та сансар огторгуйн аль ч үндэслэлээс эхэлж болно А n-r. Энэхүү үндэслэлд тохирох (3.7) системийн шийдлийн багц нь изоморфизмын улмаас шугаман бие даасан байх тул шийдлийн үндсэн багц болно.
(3.7) системийн шийдлүүдийн үндсэн багцад онцгой анхаарал хандуулдаг бөгөөд энэ нь хамгийн энгийн суурьтай тохирч байна e 1 = (1, 0, 0,..., 0), e 2 = (1, 1, 0,. .., 0), ... , e n-r = (0, 0, 0,..., 1) зай А n-rба нэгэн төрлийн системийн ердийн суурь шийдлүүдийн багц гэж нэрлэдэг (3.7).
Бага суурийн зэрэглэл, байршлын талаар дээр дурдсан таамаглалуудын дагуу (3.24) томъёоны дагуу нэгэн төрлийн системийн (3.7) ердийн үндсэн шийдлүүд дараах хэлбэртэй байна.

Суурийн тодорхойлолтоор нэгэн төрлийн системийн (3.7) дурын X шийдлийг хэлбэрээр илэрхийлж болно.

X= C 1 X 1 + C 2 X 2 + ... + C n-r X n-r , (3.26)

Энд C 1, C 2, ..., C n-r нь зарим тогтмолууд юм. Томъёо (3.26) нь нэгэн төрлийн (3.7) системийн аливаа шийдлийг агуулж байгаа тул энэ томьёо нь авч үзэж буй нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийдлийг өгнө.
Жишээ. Нэг төрлийн тэгшитгэлийн системийг авч үзье.

өмнөх догол мөрийн төгсгөлд байгаа жишээнд дүн шинжилгээ хийсэн нэгэн төрлийн бус системд (3.21) харгалзах. Тэнд бид энэ системийн матрицын r зэрэг нь хоёртой тэнцүү болохыг олж мэдээд заасан матрицын зүүн дээд буланд байгаа минорыг үндэс болгон авсан.
Өмнөх догол мөрний төгсгөлд хийсэн үндэслэлийг давтаж, бид (3.22) томъёоны оронд хамаарлыг олж авна.

c 1 = - 3/2 c 3 - c 4, c 2 = - 1/2 c 3 - 2c 4,

дур мэдэн сонгосон c 3 ба c 4-д хүчинтэй. Эдгээр хамаарлыг ашиглан (эхлээд c 3 =1,c 4 =0, дараа нь c 3 = 0,c 4 = 1 гэж үзвэл) (3.27) системийн хоёр шийдлийн ердийн суурь багцыг олж авна.

X 1 = (-3/2,-1/2,1,0), X 2 = (-1,-2, 0.1). (3.28)

Энд C 1 ба C 2 нь дурын тогтмолууд юм.
Энэ хэсгийг дуусгахын тулд бид нэгэн төрлийн бус шугаман систем (3.1) ба харгалзах нэгэн төрлийн систем (3.7) (үл мэдэгдэхгүй ижил коэффициенттэй) -ийн шийдлүүдийн хооронд холболтыг тогтооно. Дараах хоёр мэдэгдлийг баталъя.
1°. Нэг төрлийн бус систем (3.1)-ийн аль нэг шийдэлтэй харгалзах нэгэн төрлийн систем (3.7)-ийн аль нэг шийдлийн нийлбэр нь (3.1) системийн шийдэл юм.
Үнэн хэрэгтээ хэрэв c 1 ,...,c n нь (3.1) системийн шийдэл бол a d 1 ,...,d n нь харгалзах нэгэн төрлийн системийн (3.7) шийдэл юм бол аль нэгэнд нь орлуулах (жишээлбэл, i-р ) системийн тэгшитгэл (3.1) үл мэдэгдэх тоонуудын оронд c 1 + d 1 ,...,c n + d n, бид олж авна.

Q.E.D.
2°. Нэг төрлийн бус системийн дурын хоёр шийдлийн зөрүү (3.1) нь харгалзах нэгэн төрлийн системийн (3.7) шийдэл юм.
Үнэн хэрэгтээ, хэрэв c" 1 ,...,c" n ба c" 1 ,...,c" n нь (3.1) системийн дурын хоёр шийдэл юм бол, аль нэгэнд (жишээлбэл, i-д) орлуулна. th) үл мэдэгдэх тоонуудын оронд (3.7) системийн тэгшитгэл c" 1 - c" 1 ,...,c" n - c" n бид олж авна.

Q.E.D.
Батлагдсан мэдэгдлүүдээс үзэхэд, Нэг төрлийн бус системийн (3.1) нэг шийдлийг олж харгалзах нэгэн төрлийн системийн (3.7) уусмал бүрт нэмснээр нэгэн төрлийн бус системийн (3.1) бүх шийдлийг олж авна.
Өөрөөр хэлбэл, нэгэн төрлийн бус системийн тодорхой уусмал (3.1) ба харгалзах нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийдэл (3.7)-ийн нийлбэр нь нэгэн төрлийн бус системийн (3.1) ерөнхий шийдийг өгнө.
Нэг төрлийн бус системийн (3.1) тодорхой шийдлийн хувьд уг шийдлийг авах нь зүйн хэрэг юм (дээр дурдсанчлан системийн (3.1) үндсэн ба өргөтгөсөн матрицуудын зэрэглэл r-тэй тэнцүү ба үндсэн минор нь эдгээр матрицын зүүн дээд буланд байна)

(3.20) томъёонд бид бүх c r+1 ,...,c n тоог тэгтэй тэнцүү болговол гарна. Энэ тодорхой шийдлийг харгалзах нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийдэлд (3.26) нэмснээр нэгэн төрлийн бус системийн ерөнхий шийдлийн (3.1) дараах илэрхийлэлийг олж авна.

X= X 0 + C 1 X 1 + C 2 X 2 + ... + C n-r X n-r . (3.30)

Энэ илэрхийлэлд X 0 нь тодорхой шийдийг (3.29) илэрхийлдэг, C 1 , C 2 , ... , C n-r нь дурын тогтмолууд, X 1 , X 2 ,... , X n-r нь ердийн суурь олонлогийн элементүүд юм. уусмалын (3.25) харгалзах нэгэн төрлийн систем.
Тиймээс өмнөх догол мөрийн төгсгөлд авч үзсэн нэгэн төрлийн бус системийн (3.21) хувьд (3.29) хэлбэрийн тодорхой шийдэл нь X 0 = (6,2,0, 0) тэнцүү байна.
Энэ тодорхой шийдлийг харгалзах нэгэн төрлийн системийн (3.27) ерөнхий шийдэлд (3.28) нэмснээр нэгэн төрлийн бус системийн (3.21) дараах ерөнхий шийдлийг олж авна.

X = (6,2,0, 0) + C 1 (-3/2,-1/2,1,0) + C 2 (-1,-2, 0.1). (3.31)

Энд C 1 ба C 2 нь дурын тогтмолууд юм.
4. Шугаман системийг шийдвэрлэх тухай дүгнэлт.Өмнөх догол мөрөнд боловсруулсан шугаман системийг шийдвэрлэх аргууд
матрицын зэрэглэлийг тооцоолж, түүний суурь минорыг олох хэрэгцээнд тулгуурладаг. Минорын үндэслэлийг олсны дараа тодорхойлогчийг тооцоолох арга техник, Крамерын томьёог ашиглах шийдэлд хүрнэ.
Матрицын зэрэглэлийг тооцоолохын тулд та дараах дүрмийг ашиглаж болно. матрицын зэрэглэлийг тооцоолохдоо доод зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдээс дээд зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүд рүү шилжих ёстой; Түүгээр ч зогсохгүй хэрэв k зэрэглэлийн тэгээс өөр жижиг М аль хэдийн олдсон бол зөвхөн бага зэрэг (k + 1) хиллэдэг.(өөрөөр хэлбэл, тэд дотроо жижиг М-г агуулдаг) энэ насанд хүрээгүй хүн бол М; хэрвээ бүх хил залгаа бага зэрэг (k + 1) тэгтэй тэнцүү бол матрицын зэрэглэл k-тэй тэнцүү байна.(үнэндээ заасан тохиолдолд матрицын бүх мөр (багана) нь түүний k эгнээний (баганын) шугаман их биенд хамаарах бөгөөд тэдгээрийн огтлолцол дээр бага зэргийн M байгаа бөгөөд заасан шугаман их биеийн хэмжээс нь байна. k-тэй тэнцүү).
Матрицын зэрэглэлийг тооцоолох өөр нэг дүрмийг зааж өгье. Матрицын мөрүүд (баганууд) -аар гүйцэтгэх боломжтой гэдгийг анхаарна уу гурван үндсэн үйлдэл, энэ матрицын зэрэглэлийг өөрчлөхгүй: 1) хоёр мөр (эсвэл хоёр багана) солих, 2) мөрийг (эсвэл багана) ямар ч тэгээс өөр хүчин зүйлээр үржүүлэх, 3) нэг мөр (багана) дээр нэмэх. бусад мөрүүдийн (баганын) дурын шугаман хослол (1 ба 2) үйлдлүүд матрицын шугаман бие даасан мөрүүдийн (баганын) хамгийн их тоог өөрчлөхгүй тул эдгээр гурван үйлдэл нь матрицын зэрэглэлийг өөрчлөхгүй, болон үйл ажиллагаа 3) энэ үйлдлийг гүйцэтгэхээс өмнө байгаа бүх эгнээний (баганын) шугаман хүрээ нь энэ үйлдлийг гүйцэтгэсний дараа олж авсан бүх мөрийн (баганын) шугаман дугтуйтай давхцах шинж чанартай байна).
m мөр, n багана агуулсан ||a ij || матриц нь дараах байдалтай байна гэж бид хэлэх болно. диагональхэлбэр, хэрэв 11, a 22,.., a rr-аас бусад бүх элементүүд нь тэгтэй тэнцүү бол r = min(m, n). Ийм матрицын зэрэглэл нь r-тэй тэнцүү байх нь ойлгомжтой.
Үүнийг баталгаажуулцгаая ямар ч матрицын гурван үндсэн үйлдлийг ашиглан

диагональ хэлбэрээр багасгаж болно(энэ нь түүний зэрэглэлийг тооцоолох боломжийг бидэнд олгодог).

Үнэн хэрэгтээ (3.31) матрицын бүх элементүүд тэгтэй тэнцүү бол энэ матриц аль хэдийн диагональ хэлбэрт буурсан байна. Хэрэв ээж бол
хавирга (3.31) нь тэг биш элементүүдтэй бол хоёр мөр, хоёр баганыг дахин байрлуулснаар a 11 элемент нь тэг биш эсэхийг баталгаажуулах боломжтой. Матрицын эхний мөрийг 11 -1-ээр үржүүлсний дараа бид a 11 элементийг нэг болгон хувиргана. Матрицын j-ro баганаас (j = 2, 3,..., n-ийн хувьд) эхний баганыг i1-ээр үржүүлж, дараа нь дараахаас хасна. i-р мөр(i = 2, 3,..., n-ийн хувьд) эхний мөрийг i1-ээр үржүүлбэл (3.31)-ийн оронд дараах хэлбэрийн матрицыг авна.

Хүрээнд авсан матрицтай өмнө нь тайлбарласан үйлдлүүдийг хийж, үүнтэй төстэй байдлаар үргэлжлүүлэн хийснээр хязгаарлагдмал тооны алхмуудын дараа бид диагональ матрицыг олж авна.
Өмнөх догол мөрөнд дурдсан шугаман системийг шийдвэрлэх аргууд, эцэст нь Крамерын томъёоны төхөөрөмжийг ашигладаг нь тэгшитгэл ба чөлөөт нөхцлийн коэффициентүүдийн утгыг ойролцоогоор өгсөн эсвэл эдгээр утгыг өгсөн тохиолдолд их хэмжээний алдаа гаргахад хүргэдэг. Тооцооллын явцад дугуйрсан байна.
Юуны өмнө, энэ нь үндсэн тодорхойлогч (эсвэл суурь бага) -д харгалзах матриц байх тохиолдолд хамаарна. муу нөхцөлтэй(өөрөөр хэлбэл, энэ матрицын элементүүдийн "жижиг" өөрчлөлт нь урвуу матрицын элементүүдийн "их" өөрчлөлттэй тохирч байвал). Мэдээжийн хэрэг, энэ тохиолдолд шугаман системийн шийдэл байх болно тогтворгүй(өөрөөр хэлбэл тэгшитгэл ба чөлөөт нөхцлийн коэффициентүүдийн утгын "жижиг" өөрчлөлт нь шийдлийн "их" өөрчлөлттэй тохирч байх болно).
Тайлбарласан нөхцөл байдал нь шийдлийг олох бусад (Крамерын томъёоноос ялгаатай) онолын алгоритмууд болон шугаман системийг шийдвэрлэх тоон аргуудыг хоёуланг нь боловсруулах хэрэгцээг бий болгож байна.
§4-ийн 4-р бүлэгт бид танилцах болно Зохицуулалтын арга A.N. Тихоновагэж нэрлэгддэг зүйлийг олох хэвийн(өөрөөр хэлбэл гарал үүсэлтэй хамгийн ойр) шугаман системийн шийдэл.
6-р бүлэгт гэж нэрлэгддэг зүйлийн талаархи үндсэн мэдээллийг өгөх болно давтагдах аргуудҮл мэдэгдэх утгын дараалсан ойролцоо тооцоог ашиглан эдгээр системийг шийдвэрлэх боломжийг олгодог шугаман системийн шийдлүүд.