Олон гишүүнтийн хуваагдал. Олон гишүүнийг үлдэгдэлтэй олон гишүүнт хуваах Олон гишүүнт хоёр гишүүнийг хуваах жишээнүүд

Олон гишүүнтээс бүрдэх буруу бутархайг олон гишүүнт ба зөв бутархайн нийлбэрээр илэрхийлж болохыг нотолсон. Олон гишүүнтийг булангаар хуваах, баганаар үржүүлэх жишээг нарийвчлан шинжилнэ.

Агуулга

Теорем

P k (x),Qn (x)- k ба n зэрэглэлийн х хувьсагчийн олон гишүүнт, k ≥ n. Дараа нь олон гишүүнт P k (x)дараах хэлбэрээр цорын ганц хэлбэрээр төлөөлж болно.
(1) Pk (x) = S k-n (x) Q n (x) + U n-1 (x),
хаана S k-n (x)- k-n зэрэгтэй олон гишүүнт, U n- 1(x)- n-ээс ихгүй зэрэгтэй олон гишүүнт 1 , эсвэл тэг.

Баталгаа

Олон гишүүнтийн тодорхойлолтоор:
;
;
;
,
Энд p i, q i нь мэдэгдэж байгаа коэффициентүүд, s i, u i нь үл мэдэгдэх коэффициентүүд юм.

Тэмдэглэгээг танилцуулъя:
.
Орлуулж орцгооё (1) :
;
(2) .
Баруун талын эхний гишүүн нь k зэрэгтэй олон гишүүнт юм. Хоёр ба гурав дахь гишүүний нийлбэр нь k -ээс ихгүй олон гишүүнт юм. 1 . x k-ийн коэффициентүүдийг тэгшитгэе.
p k = s k-n q n .
Эндээс s k-n = p k / q n болно.

Тэгшитгэлийг өөрчилье (2) :
.
Тэмдэглэгээг танилцуулъя: .
s k-n = p k / q n тул x k-ийн коэффициент тэгтэй тэнцүү байна. Тиймээс - энэ нь k-ээс ихгүй олон гишүүнт юм. 1 , . Дараа нь өмнөх тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичиж болно.
(3) .

Энэ тэгшитгэл нь тэгшитгэлтэй ижил хэлбэртэй байна (1) , зөвхөн k-ийн утга болсон 1 бага. Энэ процедурыг k-n удаа давтаж, бид тэгшитгэлийг олж авна.
,
үүнээс бид олон гишүүнт U n-ийн коэффициентүүдийг тодорхойлно. 1(x).

Тиймээс бид бүх үл мэдэгдэх коэффициентүүдийг тодорхойлсон s i, ul. Үүнээс гадна, s k-n ≠ 0 . Лемма нь батлагдсан.

Олон гишүүнтийн хуваагдал

Тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваах (1) Qn дээр (x), бид авах:
(4) .
Аравтын тоотой зүйрлэвэл S k-n (x)бутархай буюу хэсгийн бүхэл хэсэг гэж нэрлэдэг U n- 1(x)- хэлтсийн үлдсэн хэсэг. Тоолуур дахь олон гишүүнтийн зэрэг нь хуваагч дахь олон гишүүнтийн зэрэгээс бага олон гишүүнтийн бутархайг зөв бутархай гэнэ. Тоолуур дахь олон гишүүнтийн зэрэг нь хуваагч дахь олон гишүүнтийн зэрэгтэй тэнцүү буюу түүнээс их олон гишүүнтийн бутархайг буруу бутархай гэнэ.

Тэгшитгэл (4) олон гишүүнтийн аливаа буруу бутархайг бүхэл хэсэг ба зохих бутархайн нийлбэрээр дүрслэн хялбарчилж болохыг харуулж байна.

Үндсэндээ аравтын бүхэл тоо нь хувьсагч нь тоотой тэнцүү олон гишүүнт юм 10 . Жишээлбэл, 265847 дугаарыг авна уу. Үүнийг дараах байдлаар илэрхийлж болно.
.
Энэ нь тав дахь зэрэглэлийн олон гишүүнт юм 10 . 2, 6, 5, 8, 4, 7 тоонууд нь тоог 10-ын зэрэгт шилжүүлэх коэффициент юм.

Иймээс тоо хуваахад хамаарах хуваах дүрмийг (заримдаа урт хуваах гэж нэрлэдэг) олон гишүүнтэд хэрэглэж болно. Цорын ганц ялгаа нь олон гишүүнтийг хуваахдаа есөөс их тоог хамгийн дээд цифр рүү хөрвүүлэх шаардлагагүй юм. Тодорхой жишээнүүдийг ашиглан олон гишүүнтийг булангаар хуваах үйл явцыг авч үзье.

Олон гишүүнтийг булангаар хуваах жишээ

.

Энд тоологч нь дөрөвдүгээр зэргийн олон гишүүнтийг агуулна. Хуваагч нь хоёрдугаар зэргийн олон гишүүнт юм. Учир нь 4 ≥ 2 , тэгвэл бутархай буруу байна. Олон гишүүнтийг булангаар (багананд) салгаж бүх хэсгийг нь сонгоцгооё:

өгье Дэлгэрэнгүй тодорхойлолтхуваах үйл явц. Бид эх олон гишүүнтүүдийг зүүн ба баруун баганад бичдэг. Хуваарийн олон гишүүнтийн доор баруун баганад хэвтээ шугам (булан) зурна. Энэ шугамын доор, булангийн доор, бутархайн бүхэл бүтэн хэсэг байх болно.

1.1 Бид бүхэл хэсгийн эхний гишүүнийг (булангийн доор) олдог. Үүний тулд тоологчийн тэргүүн гишүүнийг хуваагчийн тэргүүн гишүүнд хуваана: .

1.2 Үржүүлэх 2 х 2х 2 - 3 x + 5:
. Бид үр дүнг зүүн баганад бичнэ:

1.3 Бид зүүн баганад байгаа олон гишүүнтүүдийн ялгааг авна.

.

Тиймээс бид завсрын үр дүнд хүрсэн:
.

Баруун талын бутархай нь буруу байна, учир нь тоологч дахь олон гишүүнтийн зэрэг ( 3 ) нь хуваагч дахь олон гишүүнтийн зэрэгтэй тэнцүү буюу их байна ( 2 ). Бид тооцооллыг давтана. Зөвхөн одоо бутархайн тоологч зүүн баганын сүүлчийн мөрөнд байна.
2.1 Тоологчийн тэргүүн гишүүнийг хуваагчийн тэргүүн гишүүнд хуваая: ;

2.2 Хугацаагаар үржүүлэх: ;

2.3 Мөн зүүн баганын сүүлчийн мөрөөс хасна: ;


Завсрын үр дүн:
.

Баруун талд буруу бутархай байгаа тул бид тооцооллыг дахин давтана.
3.1 ;
3.2 ;
3.3 ;


Тиймээс бид авсан:
.
Баруун бутархай дахь олон гишүүнтийн зэрэг нь хуваагч дахь олон гишүүнтийн зэргээс бага, 1 < 2 . Тиймээс бутархай зөв байна.

;
2 x 2 - 4 x + 1- энэ бол бүхэл бүтэн хэсэг;
х- 8 - хэсгийн үлдэгдэл.

Жишээ 2

Бутархайн хэсгийг бүхэлд нь сонгоод, хуваагдлын үлдэгдлийг ол.
.

Бид өмнөх жишээн дээрхтэй ижил үйлдлүүдийг гүйцэтгэдэг.

Энд хуваалтын үлдэгдэл тэг байна:
.

Олон гишүүнтийг баганаар үржүүлэх

Та бүхэл тоог үржүүлэхтэй адил багананд олон гишүүнтүүдийг үржүүлж болно. Тодорхой жишээнүүдийг харцгаая.

Олон гишүүнтийг баганаар үржүүлэх жишээ

Олон гишүүнтийн үржвэрийг ол:
.

1

2.1
.

2.2
.

2.3
.
Бид үр дүнг баганад бичиж, х градусыг тэгшлэв.

3
;
;
;
.

Зөвхөн коэффициентийг бичиж, x хувьсагчийн хүчийг орхигдуулж болохыг анхаарна уу. Дараа нь олон гишүүнт баганаар үржүүлэх нь иймэрхүү харагдах болно.

Жишээ 2

Багананд олон гишүүнтийн үржвэрийг ол:
.

Багананд олон гишүүнтийг үржүүлэхдээ х хувьсагчийн ижил хүчийг нэг дор бичих нь чухал. Хэрэв х-ийн зарим зэрэглэл байхгүй бол тэдгээрийг тодорхой бичиж, тэгээр үржүүлж эсвэл хоосон зай үлдээнэ.

Энэ жишээнд зарим градус дутуу байна. Тиймээс бид тэдгээрийг тэгээр үржүүлж тодорхой бичнэ.
.
Багананд олон гишүүнтүүдийг үржүүлэх.

1 Бид анхны олон гишүүнтүүдийг нэг багананд нэг нэгнийхээ доор бичээд шугам зурна.

2.1 Хоёрдахь олон гишүүнтийн хамгийн бага гишүүнийг эхний олон гишүүнтээр үржүүлнэ.
.
Бид үр дүнг баганад бичнэ.

2.2 Хоёрдахь олон гишүүнтийн дараагийн гишүүн нь тэг байна. Тиймээс түүний эхний олон гишүүнт үржвэр нь мөн тэг болно. Тэг мөрийг бичихгүй байж болно.

2.3 Хоёрдахь олон гишүүнтийн дараагийн гишүүнийг эхний олон гишүүнтээр үржүүлнэ.
.
Бид үр дүнг баганад бичиж, х градусыг тэгшлэв.

2.3 Бид хоёр дахь олон гишүүнтийн дараагийн (хамгийн өндөр) гишүүнийг эхний олон гишүүнтээр үржүүлнэ.
.
Бид үр дүнг баганад бичиж, х градусыг тэгшлэв.

3 Хоёрдахь олон гишүүнтийн бүх гишүүнийг эхнийхтэй нь үржүүлсний дараа шугам зурж, ижил х чадвартай нөхцлүүдийг нэмнэ:
.

Ерөнхий хэлбэрмономиал

f(x)=ax n, Хаана:

-а- аль ч олонлогт хамаарах коэффициент N, Z, Q, R, C

-x- хувьсагч

-nолонлогт хамаарах илтгэгч Н

Хоёр мономиал нь ижил хувьсагчтай, ижил үзүүлэлттэй байвал ижил байна.

Жишээ нь: 3х2Тэгээд -5х2; ½x 4Тэгээд 2√3x4

Өөр хоорондоо төстэй биш мономиалуудын нийлбэрийг олон гишүүнт (эсвэл олон гишүүнт) гэж нэрлэдэг. Энэ тохиолдолд мономиалууд нь олон гишүүнтийн гишүүд юм. Хоёр гишүүнийг агуулсан олон гишүүнтийг бином (эсвэл бином) гэж нэрлэдэг.
Жишээ: p(x)=3x 2 -5; h(x)=5x-1
Гурван гишүүнтэй олон гишүүнтийг гурвалсан гишүүн гэнэ.

Нэг хувьсагчтай олон гишүүнтийн ерөнхий дүр төрх

Хаана:

• a n ,a n-1 ,a n-2 ,...,a 1 ,a 0- олон гишүүнт коэффициент. Эдгээр нь натурал, бүхэл тоо, рационал, бодит эсвэл нийлмэл тоо байж болно.
• a n- хамгийн том экспоненттай нэр томъёоны коэффициент (тэргүүлэх коэффициент)
• a 0- хамгийн бага илтгэгчтэй нэр томъёоны коэффициент (чөлөөт гишүүн эсвэл тогтмол)
• n- олон гишүүнтийн зэрэг

Жишээ 1
p(x)=5x 3 -2x 2 +7x-1

• коэффициент бүхий гуравдугаар зэргийн олон гишүүнт 5, -2, 7 Тэгээд -1
• 5 - тэргүүлэх коэффициент
• -1 - чөлөөт гишүүн
• x- хувьсагч

Жишээ 2
h(x)=-2√3x 4 +½x-4

• коэффициент бүхий дөрөвдүгээр зэргийн олон гишүүнт -2√3.½Тэгээд -4
• -2√3 - тэргүүлэх коэффициент
• -4 - чөлөөт гишүүн
• x- хувьсагч

Олон гишүүнтийн хуваагдал

p(x)Тэгээд q(x)- хоёр олон гишүүнт:
p(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +...+a 1 x 1 +a 0
q(x)=a p x p +a p-1 x p-1 +...+a 1 x 1 +a 0

Хуваалтын хэсэг ба үлдэгдлийг олох p(x)дээр q(x), та дараах алгоритмыг ашиглах хэрэгтэй.

1. Зэрэг p(x)-аас их буюу тэнцүү байх ёстой q(x).
2. Бид хоёр олон гишүүнтийг зэрэг буурах дарааллаар бичих ёстой. Хэрэв орвол p(x)ямар ч зэрэгтэй нэр томъёо байхгүй, үүнийг 0 коэффициентээр нэмэх шаардлагатай.
3. Тэргүүлэх гишүүн p(x)тэргүүлэх нэр томъёонд хуваагдана q(x), мөн үр дүн нь хуваах шугамын доор бичигдэнэ (хүлээн авагчид).
4. Үр дүнг бүх нөхцөлөөр үржүүлнэ q(x)ба үр дүнг эсрэг тэмдгээр нэр томъёоны доор бичнэ p(x)холбогдох зэрэгтэй.
5. Ижил эрх бүхий нэр томъёог нэр томъёогоор нэмнэ.
6. Бид үр дүнд нь үлдсэн нөхцлүүдийг оноож өгдөг p(x).
7. Үүссэн олон гишүүнтийн тэргүүн гишүүнийг олон гишүүнтийн эхний гишүүнд хуваа q(x) 3-6-р алхамуудыг давтана.
8. Шинээр олж авсан олон гишүүнтээс бага зэрэгтэй болтол энэ процедурыг давтана q(x). Энэ олон гишүүнт нь хуваагдлын үлдэгдэл болно.
9. Хуваах шугамын доор бичигдсэн олон гишүүнт нь хуваагдлын үр дүн юм.

Жишээ 1
1 ба 2-р алхам) $p(x)=x^5-3x^4+2x^3+7x^2-3x+5 \\ q(x)=x^2-x+1$

3) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

4) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

5) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

6) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

/ -2х 4 -х 3 +7х 2 -3х+5

7) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

/ -2х 4 +х 3 +7х 2 -3х+5

2х 4 -2х 3 +2х 2

/ -х 3 +9х 2 -3х+5

8) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

/ -2х 4 -х 3 +7х 2 -3х+5

2х 4 -2х 3 +2х 2

/ -х 3 +9х 2 -3х+5

/ 6х-3 ЗОГСООХ

x 3 -2x 2 -x+8 --> C(x) Хувийн

Хариулт: p(x) = x 5 - 3x 4 + 2x 3 + 7x 2 - 3x + 5 = (x 2 - x + 1)(x 3 - 2x 2 - x + 8) + 6x - 3

Жишээ 2
p(x)=x 4 +3x 2 +2x-8
q(x)=x 2 -3x

X 4 +0x 3 +3x 2 +2x-8

/ 3х 3 +3х 2 +2х-8

/ 38х-8 r(x) ЗОГСООХ

x 2 +3x+12 --> C(x) Хэмжигдэхүүн

Хариулт: x 4 + 3x 2 + 2x - 8 = (x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 12) + 38x - 8

Нэгдүгээр зэргийн олон гишүүнт хуваагдах

Энэ хуваалтыг дээрх алгоритмаар эсвэл Хорнерын аргыг ашиглан илүү хурдан хийж болно.
Хэрэв f(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +...+a 1 x+a 0, олон гишүүнтийг гэж дахин бичиж болно f(x)=a 0 +x(a 1 +x(a 2 +...+x(a n-1 +a n x)...))

q(x)- нэгдүгээр зэргийн олон гишүүнт ⇒ q(x)=mx+n
Дараа нь категори дахь олон гишүүнт зэрэгтэй болно n-1.

Хорнерын аргын дагуу $x_0=-\frac(n)(m)$.
b n-1 =a n
b n-2 =x 0 .b n-1 +a n-1
b n-3 =x 0 .b n-2 +a n-2
...
b 1 =x 0 .b 2 +a 2
b 0 =x 0 .b 1 +a 1
r=x 0 .b 0 +a 0
Хаана b n-1 x n-1 +b n-2 x n-2 +...+b 1 x+b 0- хувийн. Үлдсэн хэсэг дэх олон гишүүнтийн зэрэг нь хуваагчийн зэргээс бага байх ёстой тул үлдэгдэл нь тэг зэрэгтэй олон гишүүнт байх болно.
Үлдэгдэлтэй хуваах ⇒ p(x)=q(x).c(x)+r ⇒ p(x)=(mx+n).c(x)+rхэрэв $x_0=-\frac(n)(m)$
Тэрийг тэмдэглэ p(x 0)=0.c(x 0)+r ⇒ p(x 0)=r

Жишээ 3
p(x)=5x 4 -2x 3 +4x 2 -6x-7
q(x)=x-3
p(x)=-7+x(-6+x(4+x(-2+5x)))
x 0 =3

b 3 =5
b 2 =3.5-2=13
b 1 =3.13+4=43 ⇒ c(x)=5x 3 +13x 2 +43x+123; r=362
b 0 =3.43-6=123
r=3.123-7=362
5x 4 -2x 3 +4x 2 -6x-7=(x-3)(5x 3 +13x 2 +43x+123)+362

Жишээ 4
p(x)=-2x 5 +3x 4 +x 2 -4x+1
q(x)=x+2
p(x)=-2x 5 +3x 4 +0x 3 +x 2 -4x+1
q(x)=x+2
x 0 =-2
p(x)=1+x(-4+x(1+x(0+x(3-2x))))

b 4 =-2          b 1 =(-2).(-14)+1=29
b 3 =(-2).(-2)+3=7     b 0 =(-2).29-4=-62
b 2 =(-2).7+0=-14     r=(-2).(-62)+1=125
⇒ c(x)=-2x 4 +7x 3 -14x 2 +29x-62; r=125
-2x 5 +3x 4 +x 2 -4x+1=(x+2)(-2x 4 +7x 3 -14x 2 +29x-62)+125

Жишээ 5
p(x)=3x 3 -5x 2 +2x+3
q(x)=2x-1
$x_0=\frac(1)(2)$
p(x)=3+x(2+x(-5+3x))
b 2 =3
$b_1=\frac(1)(2)\cdot 3-5=-\frac(7)(2)$
$b_0=\frac(1)(2)\cdot \left(-\frac(7)(2)\баруун)+2=-\frac(7)(4)+2=\frac(1)(4) )$
$r=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(4)+3=\frac(1)(8)+3=\frac(25)(8) \Баруун сум c(x)= 3x^2-\frac(7)(2)x+\frac(1)(4)$
$\Rightarrow 3x^3-5x^2+2x+3=(2x-1)(3x^2--\frac(7)(2)x+\frac(1)(4))+\frac(25) (8) доллар
Дүгнэлт
Хэрэв бид нэгээс өндөр зэрэгтэй олон гишүүнт хуваах юм бол бид алгоритмыг ашиглан коэффициент ба үлдэгдлийг олох хэрэгтэй. 1-9 .
Хэрэв бид нэгдүгээр зэргийн олон гишүүнт хуваагдвал mx+n, дараа нь категори болон үлдэгдлийг олохын тулд та Хорнерын аргыг $x_0=-\frac(n)(m)$-тай ашиглах хэрэгтэй.
Хэрэв бид зөвхөн хэлтсийн үлдсэн хэсгийг сонирхож байгаа бол олоход хангалттай p(x 0).
Жишээ 6
p(x)=-4x 4 +3x 3 +5x 2 -x+2
q(x)=x-1
x 0 =1
r=p(1)=-4.1+3.1+5.1-1+2=5
r=5

Өнөөдөр бид олон гишүүнтүүдийг бие биенээсээ хэрхэн хуваахыг сурч, энгийн тоонуудтай адилтгаж булангаар хуваах болно. Энэ бол харамсалтай нь ихэнх сургуулиудад заадаггүй маш хэрэгтэй техник юм. Тиймээс энэ видео хичээлийг анхааралтай сонсоорой. Ийм хуваагдалд төвөгтэй зүйл байхгүй.

Эхлээд хоёр тоог бие биендээ хуваая:

Үүнийг яаж хийх вэ? Юуны өмнө бид маш олон битийг таслав, ингэснээр үр дүн гарна тоон утгабидний хуваахаас илүү байсан. Хэрэв бид нэг оронтой тоог хасвал тав болно. Арван долоо нь тавд багтахгүй нь ойлгомжтой, тиймээс энэ нь хангалтгүй. Бид хоёр оронтой тоо авдаг - бид 59-ийг авдаг - энэ нь аль хэдийн арван долоогоос дээш байгаа тул үйлдлийг гүйцэтгэх боломжтой. Тэгэхээр арван долоо нь 59-д хэдэн удаа багтах вэ? Гурвыг нь авъя. Бид үржүүлж, 59-ийн доор үр дүнг бичнэ. Нийтдээ 51-ийг авна. Хасаад "найм"-ыг авна. Одоо бид дараагийн цифрийг буулгана - тав. 85-ыг арван долоод хуваа. Тавыг авъя. Арван долоог таваар үржүүлбэл 85 гарна. Хасаад тэг болно.

Бодит жишээнүүдийг шийдвэрлэх

Даалгавар №1

Одоо ижил алхмуудыг хийцгээе, гэхдээ тоогоор биш, харин олон гишүүнтийн тусламжтайгаар. Жишээлбэл, үүнийг авч үзье:

\[\frac(((x)^(2))+8x+15)(x+5)=x+3\]

Хэрэв бид тоонуудыг хооронд нь хуваахдаа ногдол ашиг нь хуваагчаас үргэлж их байна гэж үзсэн бол олон гишүүнтийг булангаар хуваах тохиолдолд ногдол ашгийн зэрэг нь хуваагчаас их байх шаардлагатай гэдгийг анхаарна уу. Манай тохиолдолд бүх зүйл эмх цэгцтэй байна - бид хоёр, нэгдүгээр зэрэглэлийн барилга байгууламжтай ажиллаж байна.

Тиймээс, эхний алхам: эхний элементүүдийг харьцуул. Асуулт: $((x)^(2))$ авахын тулд $x$-г хэдээр үржүүлэх ёстой вэ? Дахиад $x$ авах нь ойлгомжтой. Бидний сая олсон $x$ тоогоор $x+5$ үржүүл. Бид ногдол ашгаас хасдаг $((x)^(2))+5$ байна. Энэ нь 3х доллар үлдэнэ. Одоо бид дараагийн нэр томъёог хасч байна - арван таван. Эхний элементүүдийг дахин харцгаая: $3x$ ба $x$. $3x$ авахын тулд $x$-ийг хэдээр үржүүлэх вэ? Мэдээжийн хэрэг, гурав. Бид $x+5$ гишүүнийг гурваар үржүүлнэ. Бид хасах үед тэг болно.

Таны харж байгаагаар буланд хуваах бүх үйлдлийг ногдол ашиг ба хуваагчийн хамгийн өндөр коэффициентийг харьцуулах хүртэл багасгасан. Энэ нь тоог хуваахаас ч хялбар юм. Тодорхой тооны битийг сонгох шаардлагагүй - бид алхам бүрт хамгийн өндөр элементүүдийг харьцуулж үздэг. Энэ бол бүхэл бүтэн алгоритм юм.

Асуудал №2

Дахин оролдоод үзье:

\[\frac(((x)^(2))+x-2)(x-1)=x+2\]

Эхний алхам: тэргүүлэх магадлалыг хар. $((x)^(2))$ бичихийн тулд $x$-г хэр их үржүүлэх шаардлагатай вэ? Бид нэр томъёогоор үржүүлдэг. Хасах үед бид яг $2x$ авдаг гэдгийг анхаарна уу, учир нь

Бид -2-ыг хасаад эхний коэффициентийг хуваагчийн хамгийн өндөр элементтэй дахин харьцуулна. Нийтдээ бид "сайхан" хариултыг олж авлаа.

Хоёр дахь жишээ рүү шилжье:

\[\frac(((x)^(3))+2((x)^(2))-9x-18)(x+3)=(x)^(2))-x-6\ ]

Энэ удаагийн ногдол ашиг нь 3-р зэргийн олон гишүүнт юм. Эхний элементүүдийг бие биетэйгээ харьцуулж үзье. $((x)^(3))$ авахын тулд $x$-г $((x)^(2))$-оор үржүүлэх шаардлагатай. Хасгасны дараа бид 9x$-ыг авна. Хуваагчийг $-x$-оор үржүүлээд хасна. Үүний үр дүнд бидний илэрхийлэл бүрэн хуваагдсан. Бид хариултаа бичнэ.

Даалгавар №3

Сүүлийн даалгавар руу шилжье:

\[\frac(((x)^(3))+3((x)^(2))+50)(x+5)=((x)^(2))-2x+10\]

$((x)^(3))$ болон $x$-г харьцуулж үзье. Мэдээжийн хэрэг, та $((x)^(2))$-аар үржүүлэх хэрэгтэй. Үүний үр дүнд бид маш “сайхан” хариулт авсныг харж байна. Үүнийг бичээд үзье.

Энэ бол бүхэл бүтэн алгоритм юм. Энд хоёр гол зүйл байна:

1. Ногдол ашиг ба хуваагчийн эхний хүчийг үргэлж харьцуулж үзээрэй - бид үүнийг алхам тутамд давтана;
2. Хэрэв анхны илэрхийлэлд ямар нэг градус дутуу байвал тэдгээрийг булангаар хуваахдаа нэмэх ёстой, гэхдээ тэг коэффициенттэй, эс тэгвээс хариулт буруу болно.

Энэ хэлтэст мэргэн ухаан, заль мэх байхгүй болсон.

Өнөөдрийн хичээлийн материалыг "цэвэр" хэлбэрээр хаанаас ч олохгүй. Сургуулиудад ховорхон заадаг. Гэсэн хэдий ч олон гишүүнтүүдийг хооронд нь хуваах чадвар нь өндөр зэрэглэлийн тэгшитгэл, түүнчлэн бүх төрлийн "хүндрэлийн" асуудлыг шийдвэрлэхэд ихээхэн тус болно. Энэ техникгүйгээр та олон гишүүнт хүчин зүйл хийх, коэффициент сонгох хэрэгтэй болно - үр дүн нь ямар ч баталгаатай биш юм. Гэсэн хэдий ч олон гишүүнтийг мөн булангаар хувааж болно - энгийн тоонууд шиг! Харамсалтай нь энэ техникийг сургуулиудад заадаггүй. Олон тооны багш нар олон гишүүнтийг булангаар хуваах нь дээд математикийн салбараас харахад үнэхээр төвөгтэй зүйл гэж үздэг. Би танд батлах гэж яарч байна: энэ нь тийм биш юм. Үнэндээ олон гишүүнтийг хуваах нь ердийн тоог хуваахаас ч хялбар юм! Хичээлээ үз, өөрөө үзээрэй. :) Ер нь энэ техникийг заавал хэрэгжүүлээрэй. Олон гишүүнтүүдийг хооронд нь хуваах чадвар нь өндөр зэрэгтэй тэгшитгэлүүд болон бусад стандарт бус бодлогыг шийдвэрлэхэд танд маш их хэрэгтэй болно.

Энэ видео олон гишүүнт, ялангуяа өндөр зэрэгтэй ажилладаг хүмүүст тусална гэж найдаж байна. Энэ нь ахлах болон их сургуулийн оюутнуудад хамаатай. Энэ бол миний хувьд. Баяртай!

Зарим тодорхойлолтоор эхэлье. Олон гишүүнт n-р зэрэг(эсвэл n-р дараалал) бид $P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n) хэлбэрийн илэрхийлэл гэж нэрлэнэ. )+ a_(1)x^(n-1)+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$. Жишээлбэл, $4x^(14)+87x^2+4x-11$ илэрхийлэл нь зэрэг нь $14$ олон гишүүнт юм. Үүнийг дараах байдлаар тэмдэглэж болно: $P_(14)(x)=4x^(14)+87x^2+4x-11$.

$a_0$ коэффициентийг $P_n(x)$ олон гишүүнтийн тэргүүлэх коэффициент гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, $4x^(14)+87x^2+4x-11$ олон гишүүнтийн тэргүүлэх коэффициент нь $4$ байна ($x^(14)$-ийн өмнөх тоо). $a_n$ тоог $P_n(x)$ олон гишүүнтийн чөлөөт гишүүн гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, $4x^(14)+87x^2+4x-11$-ийн үнэ төлбөргүй нөхцөл нь $(-11)$ байна. Одоо энэ хуудсан дээрх материалын танилцуулгад үндэслэсэн теорем руу орцгооё.

$P_n(x)$ ба $G_m(x)$ дурын хоёр олон гишүүнтийн хувьд $Q_p(x)$ ба $R_k(x)$ олон гишүүнтүүдийг олж болно.

\begin(тэгшитгэл) P_n(x)=G_m(x)\cdot Q_p(x)+R_k(x) \төгсгөл(тэгшитгэл)

ба $k< m$.

“$P_n(x)$ олон гишүүнтийг $G_m(x)$ олон гишүүнт хуваах” хэллэг нь “$P_n(x)$ олон гишүүнтийг (1) хэлбэрээр төлөөлөх” гэсэн утгатай. Бид $P_n(x)$ олон гишүүнт хуваагдах, $G_m(x)$ олон гишүүнтийг хуваагч, $Q_p(x)$ олон гишүүнтийг $P_n(x)$-ийг $G_m(x)$-д хуваах коэффициент гэж нэрлэнэ. , ба олон гишүүнт $ R_k(x)$ - $P_n(x)$-г $G_m(x)$-д хуваасны үлдэгдэл. Жишээлбэл, олон гишүүнтийн хувьд $P_6(x)=12x^6+3x^5+16x^4+6x^3+8x^2+2x+1$ ба $G_4(x)=3x^4+4x^2 +2 $ та дараах тэгш байдлыг авч болно:

$$ 12x^6+3x^5+16x^4+6x^3+8x^2+2x+1=(3x^4+4x^2+2)(4x^2+x)+2x^3+1 $$

Энд $P_6(x)$ олон гишүүнт хуваагдах, $G_4(x)$ олон гишүүнт хуваагч, $Q_2(x)=4x^2+x$ олон гишүүнт нь $P_6(x)$-ийн хуваагдал юм. $G_4(x) $ ба $R_3(x)=2x^3+1$ олон гишүүнт нь $P_6(x)$-г $G_4(x)$-д хуваасны үлдэгдэл юм. Үлдэгдэлийн зэрэг (жишээ нь 3) нь хуваагчийн зэргээс бага (жишээ нь 4) тул тэгш байдлын нөхцөл хангагдсан болохыг анхаарна уу.

Хэрэв $R_k(x)\0$ тэнцэх бол $P_n(x)$ олон гишүүнт $G_m(x)$ олон гишүүнт үлдэгдэлгүй хуваагдана гэж хэлнэ. Жишээлбэл, $21x^6+6x^5+105x^2+30x$ олон гишүүнт $3x^4+15$ олон гишүүнт үлдэгдэлгүйгээр хуваагдана, учир нь тэгш байдал хангагдана.

$$ 21x^6+6x^5+105x^2+30x=(3x^4+15)\cdot(7x^2+2x) $$

Энд $P_6(x)=21x^6+6x^5+105x^2+30x$ олон гишүүнт хуваагдах боломжтой; олон гишүүнт $G_4(x)=3x^4+15$ - хуваагч; $Q_2(x)=7x^2+2x$ олон гишүүнт нь $P_6(x)$-ийн $G_4(x)$-д хуваагдсан хэсэг юм. Үлдсэн нь тэг байна.

Олон гишүүнтийг олон гишүүнт хуваахын тулд ихэвчлэн "баганаар" хуваах буюу "булан" гэж нэрлэдэг. Энэ аргын хэрэгжилтийг жишээн дээр авч үзье.

Жишээнүүд рүү шилжихээсээ өмнө би өөр нэг нэр томъёог танилцуулъя. Тэр ерөнхийдөө хүлээн зөвшөөрдөггүй, мөн бид үүнийг зөвхөн материалыг танилцуулахад хялбар болгох үүднээс ашиглах болно. Энэ хуудасны үлдсэн хэсэгт бид $P_n(x)$ олон гишүүнтийн хамгийн өндөр элементийг $a_(0)x^(n)$ илэрхийлэл гэж нэрлэх болно. Жишээлбэл, $4x^(14)+87x^2+4x-11$ олон гишүүнтийн тэргүүлэх элемент нь $4x^(14)$ байх болно.

Жишээ №1

$10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$-г $5x^2-x+2$-д урт хуваах замаар хуваа.

Тэгэхээр бидэнд $P_5(x)=10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$ ба $G_2(x)=5x^2-x+2$ гэсэн хоёр олон гишүүнт байна. Эхнийх нь 5 доллар, хоёр дахь зэрэг нь 2 доллар байна. $P_5(x)$ олон гишүүнт нь ногдол ашиг, $G_2(x)$ олон гишүүнт нь хуваагч юм. Бидний даалгавар бол хуваалт ба үлдэгдлийг олох явдал юм. Бид асуудлыг үе шаттайгаар шийдэх болно. Бид тоо хуваахтай ижил тэмдэглэгээг ашиглана:

Эхний алхам

$P_5(x)$ олон гишүүнтийн хамгийн өндөр элементийг (жишээ нь $10x^5$) $Q_2(x)$ олон гишүүнтийн хамгийн өндөр элементэд (өөрөөр хэлбэл $5x^2$) хуваая:

$$ \frac(10х^5)(5х^2)=2х^(5-2)=2х^3. $$

Үр дүнд нь $2x^3$ илэрхийлэл нь хэсгийн эхний элемент юм:

$5x^2-x+2$ олон гишүүнтийг $2x^3$-оор үржүүлээд:

$$ 2x^3\cdot (5x^2-x+2)=10x^5-2x^4+4x^3 $$

Үр дүнг бичье:

Одоо $10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$ олон гишүүнтээс $10x^5-2x^4+4x^3$ олон гишүүнтийг хас.

$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5-(10x^5-2x^4+4x^3)=5x^4-16x^3+25x^2-2x+ 5 $$

Энэ нь эхний алхамыг дуусгаж байна. Бидний олж авсан үр дүнг өргөтгөсөн хэлбэрээр бичиж болно:

$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot 2x^3+5x^4-16x^3+25x^2-2x +5 доллар

$5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$ (жишээ нь 4) олон гишүүнтийн зэрэг нь $5x^2-x+2$ (жишээ нь 2) олон гишүүнтийн зэргээс их байх тул үйл явцын хуваагдлыг үргэлжлүүлэх ёстой. Хоёр дахь алхам руугаа явцгаая.

Хоёр дахь алхам

Одоо бид $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$ ба $5x^2-x+2$ олон гишүүнтүүдтэй ажиллах болно. Эхний алхамтай яг ижил аргаар бид эхний олон гишүүнтийн хамгийн өндөр элементийг (жишээ нь $5x^4$) хоёр дахь олон гишүүнтийн хамгийн өндөр элементэд (өөрөөр хэлбэл $5x^2$) хуваана.

$$ \frac(5x^4)(5x^2)=x^(4-2)=x^2. $$

Үүссэн илэрхийлэл $x^2$ нь хэсгийн хоёр дахь элемент юм. Хэмжигдэхүүн дээр $x^2$ нэмье

$5x^2-x+2$ олон гишүүнтийг $x^2$-оор үржүүлээд:

$$ x^2\cdot (5x^2-x+2)=5x^4-x^3+2x^2 $$

Үр дүнг бичье:

Одоо $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$ олон гишүүнтээс $5x^4-x^3+2x^2$ олон гишүүнтийг хас.

$$ 5x^4-16x^3+25x^2-2x+5-(5x^4-x^3+2x^2)=-15x^3+23x^2-2x+5 $$

Энэ олон гишүүнтийг шугамын доор нэмье.

Ингэснээр хоёр дахь алхам дуусна. Хүлээн авсан үр дүнг өргөтгөсөн хэлбэрээр бичиж болно:

$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot (2x^3+x^2)-15x^3+23x^2 -2х+5 доллар

$-15x^3+23x^2-2x+5$ (өөрөөр хэлбэл 3) олон гишүүнтийн зэрэг нь $5x^2-x+2$ (жишээ нь 2) олон гишүүнтийн зэргээс их байх тул бид хуваалтыг үргэлжлүүлнэ. үйл явц. Гурав дахь алхам руугаа явцгаая.

Гурав дахь алхам

Одоо бид $-15x^3+23x^2-2x+5$ ба $5x^2-x+2$ олон гишүүнтүүдтэй ажиллах болно. Өмнөх алхмуудын нэгэн адил бид эхний олон гишүүнтийн хамгийн өндөр элементийг (жишээ нь $-15x^3$) хоёр дахь олон гишүүнтийн хамгийн өндөр элементэд (өөрөөр хэлбэл $5x^2$) хуваана.

$$ \frac(-15х^3)(5х^2)=-3х^(2-1)=-3х^1=-3х. $$

Үүссэн илэрхийлэл $(-3x)$ нь хэсгийн гурав дахь элемент юм. Хэмжигдэхүүн дээр $-3x$ нэмье

$5x^2-x+2$ олон гишүүнтийг $(-3x)$-р үржүүлээд:

$$ -3x\cdot (5x^2-x+2)=-15x^3+3x^2-6x $$

Үр дүнг бичье:

Одоо $-15x^3+23x^2-2x+5$ олон гишүүнтээс $-15x^3+3x^2-6x$ олон гишүүнтийг хасна:

$$ -15х^3+23х^2-2х+5-(-15х^3+3х^2-6х)=20х^2+4х+5 $$

Энэ олон гишүүнтийг шугамын доор нэмье.

Ингэснээр гурав дахь алхам дуусна. Хүлээн авсан үр дүнг өргөтгөсөн хэлбэрээр бичиж болно:

$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot (2x^3+x^2-3x)+20x^2+4x +5 доллар

$20x^2+4x+5$ (жишээ нь 2) олон гишүүнтийн зэрэг нь $5x^2-x+2$ (жишээ нь 2) олон гишүүнтийн зэрэгтэй тэнцүү тул хуваах үйл явцыг үргэлжлүүлнэ. Дөрөв дэх алхам руу шилжье.

Дөрөв дэх алхам

Одоо бид $20x^2+4x+5$ ба $5x^2-x+2$ олон гишүүнтүүдтэй ажиллах болно. Өмнөх алхмуудын нэгэн адил бид эхний олон гишүүнтийн хамгийн өндөр элементийг (жишээ нь $20x^2$) хоёр дахь олон гишүүнтийн хамгийн өндөр элементэд (өөрөөр хэлбэл $5x^2$) хуваана.

$$ \frac(20х^2)(5х^2)=4х^(2-2)=4х^0=4. $$

Үүссэн $4$ тоо нь хуваалтын дөрөв дэх элемент юм. 4$-ын коэффициент дээр нэмье

$5x^2-x+2$ олон гишүүнтийг $4$-оор үржүүлж дараахийг гаргана:

$$ 4\cdot (5х^2-х+2)=20х^2-4х+8 $$

Үр дүнг бичье:

Одоо $20x^2+4x+5$ олон гишүүнтээс $20x^2-4x+8$ олон гишүүнтийг хасъя.