Цуврал ашиглан ойролцоогоор тооцоолол. Тейлорын цувралын өргөтгөл Энгийн хувьд Кошигийн асуудлын ойролцоо шийдэл

Хэрэв f(x) функц нь а цэгийг агуулсан тодорхой интервал дахь бүх эрэмбийн деривативтай бол түүнд Тейлорын томъёог хэрэглэж болно.
,
Хаана r n– цувралын үлдэгдэл буюу үлдэгдэл гэж нэрлэгддэг бөгөөд үүнийг Лагранжийн томъёогоор тооцоолж болно.
, энд x тоо нь x ба a хооронд байна.

Функцийг оруулах дүрэм:

Хэрэв ямар нэг үнэ цэнийн хувьд X r n→ 0 цагт n→∞, тэгвэл хязгаарт Тейлорын томьёо энэ утгад нийлнэ Тейлорын цуврал:
,
Иймд f(x) функцийг авч үзэж буй x цэг дээрх Тейлорын цуврал болгон өргөжүүлж болно, хэрэв:
1) бүх захиалгын деривативтай;
2) баригдсан цуваа энэ цэг дээр нийлнэ.

a = 0 үед бид нэртэй цувралыг авна Маклаурины ойролцоо:
,
Маклаурин цувралын хамгийн энгийн (анхны) функцүүдийн өргөтгөл:
Экспоненциал функцууд
, R=∞
Тригонометрийн функцууд
, R=∞
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
actgx функц нь х-ийн зэрэглэлээр тэлэхгүй, учир нь ctg0=∞
Гиперболын функцууд


Логарифм функцууд
, -1
Бином цуврал
.

Жишээ №1. Функцийг чадлын цуврал болгон өргөжүүлнэ үү f(x)= 2x.
Шийдэл. Функцийн утгууд ба түүний деривативуудыг олъё X=0
f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;
f"(x) = 2x ln2, f"( 0) = 2 0 ln2= ln2;
f""(x) = 2x ln 2 2, f""( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;
…
f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.
Деривативын олж авсан утгыг Тейлорын цуврал томъёонд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

Энэ цувралын нэгдэх радиус нь хязгааргүйтэй тэнцүү тул энэ өргөтгөл нь -∞-д хүчинтэй байна.<x<+∞.

Жишээ №2. Тейлорын цувралыг хүчээр бичнэ үү ( X+4) функцийн хувьд f(x)=д x.
Шийдэл. Функцийн деривативыг олох e xболон тэдний үнэ цэнэ X=-4.
f(x)= e x, f(-4) = e -4 ;
f"(x)= e x, f"(-4) = e -4 ;
f""(x)= e x, f""(-4) = e -4 ;
…
f(n)(x)= e x, f(n)( -4) = e -4 .
Тиймээс функцийн шаардлагатай Тейлор цуврал дараах хэлбэртэй байна.

Энэ өргөтгөл нь -∞-д мөн хүчинтэй<x<+∞.

Жишээ №3. Функцийг өргөжүүлэх f(x)=ln xэрх мэдлийн цувралд ( X- 1),
(өөрөөр хэлбэл, цэгийн ойролцоох Тейлорын цувралд X=1).
Шийдэл. Энэ функцийн деривативуудыг ол.
f(x)=lnx , , , ,

f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(- 1) n-1 (n-1)!
Эдгээр утгыг томъёонд орлуулснаар бид хүссэн Тейлорын цувралыг олж авна.

d'Alembert-ийн тестийг ашиглан цувралууд ½x-1½-д нийлдэг эсэхийг шалгаж болно.<1 . Действительно,

½ бол цуваа нийлнэ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 Бид Лейбницийн шалгуурын нөхцлийг хангасан ээлжлэн цуваа олж авна. x=0 үед функц тодорхойлогдоогүй болно. Ийнхүү Тейлорын цувралын нийлэх муж нь хагас задгай интервал (0;2] байна.

Жишээ № 4. Функцийг чадлын цуврал болгон өргөжүүлнэ үү.
Шийдэл. Өргөтгөх (1) -д бид x-г -x 2-оор сольж, бид дараахыг авна.
, -∞

Жишээ №5. Маклаурин цуврал дахь функцийг өргөжүүлэх .
Шийдэл. Бидэнд байгаа
Томъёо (4) ашиглан бид дараахь зүйлийг бичиж болно.

Томъёонд x-ийн оронд -x-г орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.

Эндээс бид олдог: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Хаалтуудыг нээж, цувралын нөхцлүүдийг дахин цэгцэлж, ижил төстэй нэр томъёог авчрахад бид олж авна
. Энэ цуваа нь (-1;1) интервалд нийлдэг, учир нь энэ интервалд нийлдэг хоёр цувралаас авсан.

Сэтгэгдэл .
Формула (1)-(5) нь харгалзах функцуудыг Тейлорын цуврал болгон өргөжүүлэхэд ашиглаж болно, жишээлбэл. эерэг бүхэл тоонд функцийг өргөтгөхөд ( Ха). Үүнийг хийхийн тулд (1)-(5) функцүүдийн аль нэгийг авахын тулд өгөгдсөн функц дээр ижил төстэй хувиргалтыг хийх шаардлагатай. Xзардал k( Ха) m , k нь тогтмол тоо, m нь эерэг бүхэл тоо юм. Хувьсагчийн өөрчлөлт хийх нь ихэвчлэн тохиромжтой байдаг т=Хамөн Маклаурины цуврал дахь t-тэй холбоотой үүссэн функцийг өргөжүүлнэ.

Энэ арга нь чадлын цуваа дахь функцийн тэлэлтийн өвөрмөц байдлын тухай теорем дээр суурилдаг. Энэ теоремын мөн чанар нь нэг цэгийн ойролцоо түүний тэлэлт хэрхэн хийгдсэнээс үл хамааран ижил функцэд нийлэх хоёр өөр чадлын цуваа олж авах боломжгүй юм.

Жишээ № 5a. Маклаурины цуврал дахь функцийг өргөжүүлж, нийлэх мужийг заана уу.
Шийдэл. Эхлээд бид 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
бага ангид:

3/(1-3x) бутархайг 3х хуваарьтай хязгааргүй буурах геометр прогрессийн нийлбэр гэж үзэж болно, хэрэв |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

нийлэх мужтай |x|< 1/3.

Жишээ № 6. Функцийг x = 3 цэгийн ойролцоо Тейлорын цуврал болгон өргөжүүл.
Шийдэл. Энэ асуудлыг өмнөх шигээ Тейлорын цувралын тодорхойлолтыг ашиглан шийдэж болох бөгөөд үүний тулд функцийн дериватив ба тэдгээрийн утгыг олох хэрэгтэй. X=3. Гэсэн хэдий ч одоо байгаа өргөтгөлийг ашиглах нь илүү хялбар байх болно (5):
=
Үүссэн цуваа нь -3-т нийлдэг

Жишээ № 7. Тейлорын цувралыг ln(x+2) функцийн (x -1) зэрэглэлээр бич.
Шийдэл.


Цуврал нь , эсвэл -2-д нийлдэг< x < 5.

Жишээ № 8. f(x)=sin(πx/4) функцийг x =2 цэгийн ойролцоо Тейлорын цуваа болгон өргөжүүл.
Шийдэл. t=x-2 орлуулалтыг хийцгээе:

X-ийн оронд π / 4 t-ийг орлуулах (3) өргөтгөлийг ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

Үүссэн цуваа нь өгөгдсөн функцэд -∞ дээр нийлдэг< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞Тиймээс,
, (-∞

Хүчний цуваа ашиглан ойролцоогоор тооцоолол

Эрчим хүчний цувааг ойролцоогоор тооцоололд өргөн ашигладаг. Тэдгээрийн тусламжтайгаар та үндэс, тригонометрийн функц, тоон логарифм, тодорхой интегралын утгыг өгөгдсөн нарийвчлалтайгаар тооцоолж болно. Цувралыг дифференциал тэгшитгэлийг интегралчлахад бас ашигладаг.
Хүч чадлын цуваа дахь функцийн өргөтгөлийг авч үзье.

Өгөгдсөн цэг дэх функцийн ойролцоо утгыг тооцоолохын тулд X, заасан цувралын нэгдэх бүсэд хамаарах эхнийх нь түүний өргөтгөлийн хэсэгт үлддэг. nгишүүд ( n- хязгаарлагдмал тоо), үлдсэн нэр томъёог хасна:

Олж авсан ойролцоо утгын алдааг тооцоолохын тулд хаясан үлдэгдлийг тооцоолох шаардлагатай rn (x) . Үүнийг хийхийн тулд дараах техникийг ашиглана уу.

• Хэрэв үр дүнгийн цуваа ээлжлэн байгаа бол дараах шинж чанарыг ашиглана. Лейбницийн нөхцөлийг хангасан ээлжлэн цувааны хувьд үнэмлэхүй утгын цувралын үлдсэн хэсэг нь хасагдсан эхний гишүүнээс хэтрэхгүй байна..
• хэрэв өгөгдсөн цуваа тогтмол тэмдэгтэй бол хасагдсан гишүүнчлээс бүрдсэн цувааг хязгааргүй багасах геометр прогресстой харьцуулна.
• ерөнхий тохиолдолд, Тейлорын цувралын үлдэгдлийг тооцоолохын тулд та Лагранжийн томъёог ашиглаж болно: a x ).

Жишээ №1. ln(3)-ийг 0.01-ийн нарийвчлалтайгаар тооцоол.
Шийдэл. x=1/2 гэсэн өргөтгөлийг ашиглая (өмнөх сэдэв дэх жишээ 5-ыг үзнэ үү):

Үүнийг хийхийн тулд өргөтгөлийн эхний гурван гишүүний дараа үлдэгдлийг хаяж чадах эсэхийг шалгая, бид үүнийг хязгааргүй буурдаг геометрийн прогрессийн нийлбэрээр үнэлэх болно.

Тиймээс бид энэ үлдэгдлийг хаяж, авах боломжтой

Жишээ №2. 0.0001-ийн нарийвчлалтайгаар тооцоол.
Шийдэл. Хоёр гишүүний цувааг ашиглая. 5 3 нь 130-тай хамгийн ойр бүхэл тооны шоо учраас 130-ын тоог 130 = 5 3 +5 гэж илэрхийлэх нь зүйтэй.



Учир нь Лейбницийн шалгуурыг хангасан ээлжит цувралын дөрөв дэх гишүүн нь шаардлагатай нарийвчлалаас бага байна:
, тиймээс үүнийг болон түүний дараах нэр томъёог хаяж болно.
Практикт шаардлагатай олон тодорхой буюу буруу интегралыг Ньютон-Лейбницийн томьёог ашиглан тооцоолох боломжгүй, учир нь түүний хэрэглээ нь үндсэн функцүүдэд илэрхийлэлгүй эсрэг деривативыг олохтой холбоотой байдаг. Эсрэг дериватив олох боломжтой боловч энэ нь шаардлагагүй хөдөлмөр шаарддаг. Харин интеграл функцийг зэрэглэлийн цуваа болгон өргөтгөж, интегралын хязгаар нь энэ цувралын нийлэх интервалд хамаарах бол урьдчилан тодорхойлсон нарийвчлалтайгаар интегралын ойролцоо тооцоолол хийх боломжтой.

Жишээ №3. ∫ 0 1 4 sin (x) x интегралыг 10 -5 дотор тооцоол.
Шийдэл. Харгалзах тодорхой бус интегралыг энгийн функцээр илэрхийлэх боломжгүй, өөрөөр хэлбэл. "байнгын бус интеграл"-ыг илэрхийлнэ. Ньютон-Лейбницийн томъёог энд хэрэглэх боломжгүй. Интегралыг ойролцоогоор тооцоолъё.
Нүглийн цувралыг нэр томъёогоор хуваах xдээр x, бид авах:

Энэ цувралыг нэр томъёогоор нэгтгэж (интеграцийн хязгаар нь энэ цувралын нийлэх интервалд хамаарах тул энэ нь боломжтой) бид дараахь зүйлийг олж авна.

Үүссэн цуваа нь Лейбницийн нөхцлийг хангаж байгаа тул өгөгдсөн нарийвчлалтайгаар хүссэн утгыг авахын тулд эхний хоёр гишүүний нийлбэрийг авахад хангалттай.
Тиймээс бид олдог
.

Жишээ № 4. ∫ 0 1 4 e x 2 интегралыг 0.001 нарийвчлалтайгаар тооцоол.
Шийдэл.
. Үр дүнгийн цувралын хоёр дахь гишүүний дараа үлдэгдлийг хаяж чадах эсэхийг шалгацгаая.
0.0001<0.001. Следовательно, .

Y 2.35104-ийг (сул талтай) нарийвчлалтайгаар олох шаардлагатай. Тооцооллыг дараах байдлаар хийцгээе.

Бид эхлээд 1-ийн нарийвчлалтай ойролцоо язгуурыг зөвхөн бүхэл тоо 2-оос олно. Бид 1-ийг авна (мөн үлдсэн нь 1). Бид 1-ийн тоог үндэс дээр бичиж, түүний ард таслал тавьдаг. Одоо бид аравны тоог оллоо. Үүнийг хийхийн тулд бид үлдсэн 1 дээр аравтын бутархайн баруун талд байрлах 3 ба 5-ын тоог нэмээд 235 бүхэл тооны үндсийг гаргаж байгаа мэт задлах үйлдлийг үргэлжлүүлнэ. Үр дүнд нь 5-ын тоог язгуурт бичнэ. аравны оронд. Бидэнд радикал тооны (104) үлдсэн цифрүүд хэрэггүй. Үүний үр дүнд 1.5 тоо нь залгамжлагч хүртэлх нарийвчлалтай ойролцоо үндэс болно; хэрэв

Бид 1-ийн нарийвчлалтай 235-ын хамгийн том бүхэл язгуурыг олсон бол 15-ыг авна гэсэн үг.

Эдгээр тоо тус бүрийг 100-д ​​хуваахад бид үүнийг олж авна;

эцэст нь

Та сул талтай, үнэн зөвийг нь олохыг хүсч байна гэж бодъё. Бүхэл тоог, дараа нь аравны тоог, дараа нь зуутын тоог олъё. Бүхэл тооны үндэс нь 15 бүхэл тоо юм. Аравны оронг авахын тулд аравтын бутархайн баруун талд байгаа үлдсэн 23-т хоёр цифр нэмэх шаардлагатай.

Бидний жишээнд эдгээр тоо огт байхгүй; оронд нь тэг тавь. Үлдэгдэл дээр нэмээд 24800 бүхэл тооны язгуурыг олж байгаа мэт үргэлжлүүлбэл аравны нэг дэх 7-г олох болно. Зууны тоог олоход л үлдлээ. Үүний тулд бид үлдсэн 151 дээр хоёр тэг нэмээд 2 480000 бүхэл тооны язгуурыг олж байгаа мэт олборлолтыг үргэлжлүүлнэ. Бид 15.74-ийг авна. Энэ тоо нь үнэхээр 248-ийн ойролцоо язгуур бөгөөд сул тал хүртэл нарийвчлалтай гэдгийг дараахаас харж болно. Хэрэв бид 2,480,000 бүхэл тооны хамгийн том бүхэл язгуурыг олвол 1574 болно.

Эдгээр тоо бүрийг 10,000 (100^2)-д хуваахад бид дараахийг олж авна.

Энэ нь 15.74 нь 248 хүртэлх нарийвчлалтай сул талтай ойролцоо язгуур гэж нэрлэдэг аравтын бутархай гэсэн үг юм.

Дүрэм. Өгөгдсөн бүхэл тоо эсвэл өгөгдсөн аравтын бутархайгаас хүртэл нарийвчлалтай дутагдалтай ойролцоо язгуурыг гаргаж авахын тулд эхлээд бүхэл тооноос язгуурыг гаргаж авах замаар 1 хүртэлх нарийвчлалтай дутуу язгуурыг олох хэрэгтэй (хэрэв тийм биш бол). тэнд язгуурт 0 бүхэл тоо бичнэ үү).

Дараа нь тэд аравны тоог олно. Үүнийг хийхийн тулд аравтын бутархайн баруун талд байгаа радикал тооны хоёр цифрийг үлдэгдэл дээр нэмж (хэрэв тэдгээр нь байхгүй бол үлдэгдэл дээр хоёр тэг нэмнэ), бүхэл тооноос үндсийг гаргаж авах үед хийдэг шиг олборлолтыг үргэлжлүүлнэ. Үр дүнгийн тоог аравны оронд үндэс дээр бичнэ.

Дараа нь зуутын тоог ол. Үүнийг хийхийн тулд дөнгөж хасагдсан хүмүүсийн баруун талд байгаа хоёр тоог үлдсэн хэсэгт нэмнэ гэх мэт.

Тиймээс аравтын бутархай бүхий бүхэл тооны язгуурыг гаргаж авахдаа тоог аравтын бутархайгаас эхлэн зүүн тийш (тооны бүхэл хэсэгт) болон баруун талд (тооны бүхэл хэсэгт) тус бүр хоёр оронтой ирмэг болгон хуваах ёстой. бутархай хэсэгт).

1. Үндэс хүртэл нь яг гаргаж авна:

2. Нарийвчлалтай хандлах

Сүүлийн жишээнд бид аравтын найман бутархайг тооцоолж y бутархайг аравтын бутархай болгон хөрвүүлснээр язгуурын дөрвөн бутархайг олоход шаардлагатай дөрвөн нүүрийг бүрдүүлсэн.

Walter A. Aue / flickr.com

Америкийн физикчид таталцлын долгионы сулрал, цахилгаан соронзон цацрагийн улаан шилжилтээр тооцсон эх үүсвэр хүртэлх зайг харьцуулан орон-цаг хугацааны хэмжигдэхүүнийг тодруулсан. Эрдэмтэд GW170817 үйл явдалд зориулж ийм тооцоо хийж, бидний орон зайн цаг хугацааны хэмжээ ойролцоогоор тэнцүү болохыг олж мэдэв. Д≈ 4.0 ± 0.1. Нэмж дурдахад тэд гравитоны амьдралын доод хязгаарыг тогтоосон бөгөөд энэ нь 450 сая жил байв. Өгүүллийн урьдчилсан хэвлэлийг arXiv.org сайтад нийтэлсэн.

Шинэчлэгдсэн: 2018 оны 7-р сард нийтлэл байсанхэвлэгдсэн Сансар судлал ба астро бөөмийн физикийн сэтгүүлд.

Харьцангуйн ерөнхий онол ба Стандарт загвар нь бид дөрвөн хэмжээст орон-цагт амьдардаг гэсэн таамаглал дээр суурилдаг. Илүү нарийн, (3+1)-хэмжээст: 3 орон зайн хэмжээс ба нэг цаг хугацааны хэмжээс. Нөгөөтэйгүүр, эрдэмтэд хамгийн энгийн мэдэгдлүүдэд эргэлзэх хандлагатай байдаг. Магадгүй бидний орон зай-цаг хугацааны хэмжээ яг дөрөвтэй тэнцүү биш ч энэ утгад тун ойрхон байгаа болов уу? Үнэн хэрэгтээ бидний орон зай-цаг хугацаа илүү өндөр хэмжээстэй орон зайд шингэсэн онолууд байдаг. Тиймээс, ерөнхийдөө бидний ертөнцийн дөрвөн хэмжээст байдлыг батлах шаардлагатай бөгөөд үүнийг энгийн зүйл гэж үзэх ёсгүй.

Дэвид Шпэргэлээр ахлуулсан физикчдийн баг хоёр нейтрон од нийлэх явцад ялгардаг дэлхийн таталцлын болон цахилгаан соронзон долгионд бараг нэгэн зэрэг ирж буйг шинжлэн судалснаар манай орон-цаг хугацааны хэмжигдэхүүнийг нарийн тогтоожээ. Нэг талаас долгионы эх үүсвэр хүртэлх зайг цахилгаан соронзон бүрэлдэхүүнээр тодорхойлж болно. Нөгөөтэйгүүр, таталцлын долгионы сулралаас тооцоолж болно. Мэдээжийн хэрэг, эдгээр зай хоёулаа давхцах ёстой бөгөөд энэ нь харьцангуйн ерөнхий онолоор таамагласан задралын хурд ба хурдны хоорондох зөрүүнд хязгаарлалт тавьдаг. Галактикуудын ухрах хурд, сансрын бичил долгионы арын цацрагийн хэлбэлзлээс хэмжигдэх Хаббл тогтмолын утгууд нь улаан шилжилтээс тодорхойлогдсон зайд нэмэлт алдаа гаргаж байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй. бие биенээ. Энэ нийтлэлд эрдэмтэд хоёр утгын хувьд тооцоолол хийсэн боловч туршилтын өгөгдлийн алдаа энэ ялгаанаас давсан хэвээр байна.

Харьцангуйн ерөнхий онолд таталцлын долгионы эрч хүч нь эх үүсвэрээс зайны эхний хүчин чадалтай урвуу харьцаагаар буурдаг. h ~ 1/r. Гэсэн хэдий ч илүү хэмжигдэхүүнтэй онолуудад энэ хуулийг өөрчилдөг бөгөөд задрал нь илүү хурдан явагддаг. h ~ 1/rγ, энд γ = ( Д− 2)/2, ба Д- хэмжилтийн тоо. Долгионы энерги нэмэлт хэмжээс рүү "нэвчиж" байгаа бололтой. Нейтрон од хүртэлх "цахилгаан соронзон" ба "таталцлын" зайг тооцоолохдоо физикчид хамаарлын зэрэг нь γ ≈ 1.00 ± 0.03, өөрөөр хэлбэл бидний орон зайн хэмжээс болохыг тогтоожээ. Д≈ 4.0 ± 0.1.

Бидний амьдарч буй магадлалын хуваарилалт Д- хэмжээст орон зай. Өөр өөр өнгийн шугамууд нь тооцоололд ашигласан Хаббл тогтмолын өөр өөр утгатай тохирч байна

Нөгөөтэйгүүр, өөр төрлийн өөр онолуудад таталцлыг шалгадаг - жижиг зайд энэ нь дөрвөн хэмжээст онолын адил ажилладаг бөгөөд хол зайд энэ нь адилхан байдаг. Д- хэмжээст. GW170817 үйл явдлын хязгаарлалтыг харгалзан физикчид ийм онолын хамгийн бага скрининг радиусыг тодорхойлсон - энэ нь ойролцоогоор хорин мегапарсек байв. Энэ тохиолдолд долгионы эх үүсвэр нь 40 орчим мегапарсекийн зайд NGC 4993 галактикт байрладаг.

Эцэст нь, гравитонууд нь тогтворгүй тоосонцор бөгөөд эх үүсвэрээс детектор руу шилжих явцад ялзардаг тул таталцлын долгионы нэмэлт сулрал үүсч болно. Энэ таамаглал дээр үндэслэн физикчид гравитоны ашиглалтын хугацааны доод хязгаарыг тооцоолжээ. Энэ нь 4.5 × 10 8 жилээс бага байж болохгүй нь тогтоогдсон.

Таталцлын болон цахилгаан соронзон бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг нэгэн зэрэг илрүүлэх нь таталцлын өөр онолуудад ихээхэн нөлөөлсөн. Тухайлбал, өнгөрсөн оны арванхоёрдугаар сарын сүүлчээр Физик тойм захидалҮүний зэрэгцээ GW170817 үйл явдал, таталцлын янз бүрийн квант онолын хязгаарлалтад зориулсан дөрвөн нийтлэл хэвлэгджээ. Нэмж дурдахад энэ үйл явдал нь таталцлын хурдад маш хатуу хязгаарлалт тавьдаг - одоо таталцлын хурд ба гэрлийн хурдны харьцаа нь нэгдмэл байдлаас 3 × 10 -15-аас ихгүй ялгаатай байж болно.

Дмитрий Трунин

(сул талтай) хүртэл нарийвчлалтай олохыг шаарддаг. Тооцооллыг дараах байдлаар хийцгээе.

Бид эхлээд 1 хүртэлх үнэн зөв язгуурыг зөвхөн бүхэл тоо 2-оос олно. Бид 1 (мөн үлдсэн нь 1) авна. Бид 1-ийн тоог үндэс дээр бичиж, түүний ард таслал тавьдаг. Одоо бид аравны тоог оллоо. Үүнийг хийхийн тулд бид үлдсэн 1 дээр аравтын бутархайн баруун талд байрлах 3 ба 5-ын тоог нэмээд 235 бүхэл тооны үндсийг гаргаж байгаа мэт задлах үйлдлийг үргэлжлүүлнэ. Үр дүнд нь 5-ын тоог язгуурт бичнэ. аравны оронд. Бидэнд радикал тооны (104) үлдсэн цифрүүд хэрэггүй. Үүссэн 1.5 тоо нь үнэндээ доторх язгуур байх болно гэдгийг дараахаас харж болно; Хэрэв бид 1-ийн нарийвчлалтай 235-ын хамгийн том бүхэл язгуурыг олох юм бол 15-ыг авах болно.

Эдгээр тоо бүрийг 100-д ​​хуваахад бид дараахь зүйлийг олж авна.

(0.00104 тоог нэмснээр давхар тэмдэг ≤ тэмдэг рүү шилжих нь ойлгомжтой.<, а знак >хэвээр байна (0.00104 оноос хойш< 0,01).)

Бид сул талтай, үнэн зөвийг нь олохыг хүсч байна гэж бодъё. Бүхэл тоог, дараа нь аравны тоог, дараа нь зуутын тоог олъё. Бүхэл тооны үндэс нь 15 бүхэл тоо юм. Аравны оронг авахын тулд аравтын бутархайн баруун талд байгаа үлдсэн 23-т хоёр цифр нэмэх шаардлагатай.

Бидний жишээнд эдгээр тоо огт байхгүй; оронд нь тэг тавь. Үлдэгдэл дээр нэмээд 24800 бүхэл тооны язгуурыг олж байгаа мэт үргэлжлүүлбэл аравны нэг дэх 7-ыг олох болно. Зууны тоог олоход л үлдлээ. Үүний тулд бид үлдсэн 151 дээр хоёр тэг нэмээд 2480000 бүхэл тооны язгуурыг олж байгаа мэт олборлолтыг үргэлжлүүлнэ. Бид 15.74-ийг авна. Энэ тоо нь үнэхээр 248-ийн ойролцоо язгуур бөгөөд сул тал хүртэл нарийвчлалтай гэдгийг дараахаас харж болно. Хэрэв бид 2480000 бүхэл тооны хамгийн том квадрат язгуурыг олвол 1574 болно.

Эдгээр тоо тус бүрийг 10000 (1002)-д хуваахад бид дараахь зүйлийг авна.

15,74 2 ≤ 248; 15,75 2 > 248.

Энэ нь 15.74 нь 248 хүртэлх нарийвчлалтай сул талтай ойролцоо язгуур гэж нэрлэдэг аравтын бутархай гэсэн үг юм.

Дүрэм. Өгөгдсөн бүхэл тоо эсвэл өгөгдсөн аравтын бутархайгаас гаргаж авахын тулд язгуурын нарийвчлалтай дутагдалтай ойролцоо үндэс нь 0 бүхэл тоотой байна).

Дараа нь тэд аравны тоог олно. Үүнийг хийхийн тулд аравтын бутархайн баруун талд байрласан тооны хоёр цифрийг үлдэгдэл дээр нэмж (хэрэв тэдгээр нь байхгүй бол үлдэгдэл дээр хоёр тэг нэмнэ), бүхэл тооны үндсийг задлах үед хийдэг шиг олборлолтыг үргэлжлүүлнэ. Үр дүнгийн тоог аравны оронд үндэс дээр бичнэ.

Дараа нь зуутын тоог ол. Үүнийг хийхийн тулд дөнгөж хасагдсан хүмүүсийн баруун талд байгаа хоёр тоог үлдсэн хэсэгт нэмнэ гэх мэт.

Тиймээс аравтын бутархай бүхий бүхэл тооны үндсийг задлахдаа тоог аравтын бутархайгаас эхлэн зүүн тийш (тооны бүхэл хэсэгт), баруун тийш (бутархай хэсэгт) тус бүр хоёр оронтой ирмэг болгон хуваах ёстой..

Жишээ.

Сүүлийн жишээнд бид язгуурын дөрвөн бутархайг олоход шаардлагатай дөрвөн нүүрийг бүрдүүлэхийн тулд найман бутархайг тооцоолж бутархайг аравтын бутархай руу хөрвүүлсэн.

2007 оны 9-р сарын 9-нд жолооч Логан Гомез IRL Indy Pro цувралын Чикаголанд 100 тэмцээнд түрүүлэв. Тэрээр хоёрдугаар байрт шалгарсан тамирчинг 0.0005 секундээр хожиж, дэлхийн мотоспортын барианы дээд амжилтыг тогтоов. Ямар төхөөрөмж цагийг ийм нарийвчлалтай хэмжих боломжийг олгодог вэ?

Гэрэлт цамхагийн давалгаан дээр Орчин үеийн уралдааны үед цаг нь бүрэн автомат байдаг. Машин бүр өвөрмөц давтамжтайгаар радио долгион ялгаруулдаг радио дохиогоор тоноглогдсон байдаг. Зам дээрх нарийн тодорхой газруудад байрладаг антенууд түүний дохиог хүлээн авч, ямар машин өнгөрснийг давтамжаар тодорхойлдог. Антеннуудыг хоёр зэрэгцүүлэн байрлуулсан: нэг антеннаас нөгөө антен хүртэлх зайг туулахад шаардагдах хугацааг хэмжиж, компьютер нь тээврийн хэрэгслийн хурдыг тодорхойлдог. Зам дээр 20 хүртэлх антен байрлуулах боломжтой. Пит лейн дэх хурдыг хянахын тулд тусгай антеннуудыг ашигладаг. Радио хүлээн авагчийн мэдээлэл цаг хугацааны төвд очдог бөгөөд 20 гаруй инженер компьютерийн ажиллагааг тасралтгүй хянаж байдаг. Цагийн системийг барианы шугам дээр суурилуулсан хос хэт улаан туяаны фотоэлелээр хуулбарласан тохиолдолд л

Тим Скоренко

Индикар цувралд цаг хугацааны шаардлага хамгийн хатуу байдаг. Өөр ямар ч аварга шалгаруулах тэмцээн секундын арван мянганы нарийвчлалтай цагийг хэмждэг гэдгээрээ сайрхаж чадахгүй. Цувралын дийлэнх тоо нь 0.001 секундээр хязгаарлагддаг бөгөөд энэ нь ихэвчлэн нөөцөд хангалттай байдаг, гэхдээ бас тохиолдлууд байдаг: жишээлбэл, Формула 1 ангиллын 1997 оны Европын Гран При уралдаанд гурван нисгэгч оролцсон. секундын мянганы нэгтэй давхцсан цагийг харуулж чадсан, - 1.21.072. Улмаар хамгийн хурдан тойргоо бусдаасаа түрүүлж дуусгасан Жак Вильнёв полын байрыг эзэлсэн.

Формула 1-д цаг хугацааны нарийвчлал цаг хугацааны явцад мэдэгдэхүйц өөрчлөгддөг. 1950 онд болсон анхны аварга шалгаруулах тэмцээнд нисгэгчдийн бариаг бүрэн тэмдэглэхэд 0.1 секунд хангалттай байв. Аваргуудын жагсаалтад жолооч нарын хоорондын зөрүү нэг секунд хүрэхгүй байсан нэг ч уралдаан байгаагүй. 0.1-ийн нарийвчлал нь мото уралдааны түүхэн дэх хамгийн анхны Гран-при буюу 1906 оны Францын Гран При уралдаанаас эхлэлтэй бөгөөд ялагч Ференц Шиз Renault машинд 12 цаг 14 минут 7.4 секунд (хүрээгүй) хурдалж байжээ. богино бөгөөд хялбар өнөөдрийн уралдаанууд, тийм үү?). Дэлхийн нэгдүгээр дайны өмнө зохиогдсон ихэнх уралдаанд нарийвчлал 1 секундээс хэтрэхгүй байв.

Орчин үеийн уралдааны үед цаг нь бүрэн автомат байдаг. Машин бүр өвөрмөц давтамжтайгаар радио долгион ялгаруулдаг радио дохиогоор тоноглогдсон байдаг. Зам дээрх нарийн тодорхой газруудад байрладаг антенууд түүний дохиог хүлээн авч, ямар машин өнгөрснийг давтамжаар тодорхойлдог. Антеннуудыг хоёр зэрэгцүүлэн байрлуулсан: нэг антеннаас нөгөө антен хүртэлх зайг туулахад шаардагдах хугацааг хэмжиж, компьютер нь тээврийн хэрэгслийн хурдыг тодорхойлдог. Зам дээр 20 хүртэлх антен байрлуулах боломжтой. Пит лейн дэх хурдыг хянахын тулд тусгай антеннуудыг ашигладаг. Радио хүлээн авагчийн мэдээлэл цаг хугацааны төвд очдог бөгөөд 20 гаруй инженер компьютерийн ажиллагааг тасралтгүй хянаж байдаг. Цагийн системийг барианы шугам дээр суурилуулсан хос хэт улаан туяаны фотоэлсээр хуулбарласан тохиолдолд л.

Америкт цаг хэмжигчид илүү дэвшилттэй байсан. Дайны дараах AAA уралдаан (дараа CART) нь ихэвчлэн 0.01 хэмжилтийн нарийвчлал шаарддаг. Энэ нь юуны түрүүнд замын тохируулга, жолооч нарын хоорондох зай маш бага байдаг зууван хэлбэрийн элбэг дэлбэг байдалтай холбоотой байв. Орчин үеийн IRL-ийн цаг хугацааны гайхалтай нарийвчлал нь ижил хүчин зүйлээс үүдэлтэй: 2010 оны аварга шалгаруулах тэмцээний арван долоон тойргийн найм нь зууван дээр явагддаг.

Осол, бүтэлгүйтэл

Автомашины уралдааны цаг нь дэлхийн тэргүүлэгч цаг, электроникийн үйлдвэрлэгчидтэй салшгүй холбоотой: TAG Heuer, Tissot, Omega, Longines... Тэд бараг бүгдээрээ спортын төрөл бүрийн төрөлд албан ёсны цаг хэмжигчээр оролцож байна. Цагийн хэмжилтийн алдаа, алдааг өнөөдөр бараг хасч байна. 1992 оноос өнөөдрийг хүртэл дээр дурьдсан Европын Гран При '97 нь Формула 1-ийн цорын ганц хронометрийн сониуч зүйл болсон бөгөөд IRL-д ийм тохиолдол бүр огт боломжгүй юм.

Өнөөдөр Indycar болон NASCAR цаг хугацааны системийг дэлхийн хамгийн шилдэгүүдийн нэг гэж үздэг. Зам бүр нь Европын зохион байгуулагчид зөвхөн атаархаж чадахаар тоноглогдсон байдаг. Тооцоолол нь 0.0001 секундээр (Indycar-ийн хувьд) явагддаг бөгөөд шууд үзэгчид хүссэн үедээ зам дээрх машин бүрийн хурд, тойргийн хугацаа болон тойргийн аль ч сектор, пелатон дахь цоорхойг салбарын нарийвчлалтайгаар авах боломжтой. гэх мэт d - ерөнхийдөө хамгийн их мэдээлэл. Улирлын хагас нь зууван дээр явагддаг уралдаанд цагийг нарийн тогтоох нь асар их үүрэг гүйцэтгэдэг. Ялагчийг ихэвчлэн гэрэл зургийн төгсгөлд тодруулдаг.

Хачирхалтай нь "албан ёсны цаг хэмжигч" гэсэн ойлголт саяхан гарч ирсэн. Өнөөдөр Tissot мотоциклийн уралдааны дэлхийн аварга шалгаруулах тэмцээнийг "тэргүүлж" байгаа бөгөөд өөр ямар ч компани хөндлөнгөөс оролцох эрхгүй. Одоогоос 30-аад жилийн өмнө уралдаан бүр өөрийн гэсэн цаг хэмжигчтэй байсан бөгөөд зохион байгуулагчдын худалдаж авч болох тоног төхөөрөмжөөр "зэвсэглэсэн" байв.

Дэлхийн 2-р дайны өмнө бараг бүх уралдааны цуврал, ангиудад цагийг гараар хийдэг байсан: тусгайлан бэлтгэгдсэн секундомертой хүмүүс зам дээр зогсож байв. Тэд дараагийн машины эргэлтийн цагийг тэмдэглэж, өгөгдлийг бүртгэсэн. Гэсэн хэдий ч "ололт амжилт" бас байсан. 1911 онд анхны Индианаполис 500 онгоцонд инженер Чарли Уорнер түүхэн дэх анхны хагас автомат цагийн системийг зохион бүтээж, хэрэгжүүлжээ. Эхлэл дуусах шугамын дагуу нимгэн утсыг сул сунгаж, тоосгоны гадаргуугаас бага зэрэг дээш өргөв. Машин бүр утсыг газарт шахаж, түүний хурцадмал байдлыг нэмэгдүүлэв. Утсанд тамга дарах алх бэхлэгдсэн бөгөөд түүнийг татах үед аажмаар мөлхөж буй төгссөн туузан дээр бэхний тэмдэг тавьсан байв. Хэмжилтийн нарийвчлал 0.01 секундэд хүрэв! Цаг хэмжигч цэг бүрийн эсрэг талын машины дугаарыг гараар тохируулна. Энэ систем инээдтэй шалтгаанаар үндсийг нь аваагүй: уралдааны дундуур жолооч Херб Литлийн машин утас таслав. Тэд шинийг татах үед (хурдтай машинуудын урдуур гүйж) дор хаяж 20 тойрог өнгөрч, энэ хугацаанд ойролцоогоор цагийг барьжээ. Уралдааны ялалтыг Мармонд Рэй Харроун хүртсэн боловч өөр нэг алдартай нисгэгч Ральф Малфорд анх удаагаа Инди 500-д түрүүлсэн гэдэгт нас барах хүртлээ итгэлтэй байсан.

Хагас автомат системийг амжилттай ашиглах нь 1930-аад онд цэцэглэн хөгжсөн. Инди 500 тэр үед Стюарт-Уорнер эсвэл Лофборо-Хэйсийн асар том хронографуудыг ашигладаг байсан.

NASCAR цувралын эхний жилүүдэд цаг хугацаа үнэхээр аймшигтай байсан. Зарим уралдаанд нэг хүн цаас харандаа бариад барианы шугам дээр суугаад: ийм ийм нь нэгдүгээрт, тийм ийм нь хоёрдугаарт ордог. Энэ нь зөвхөн хайрга, шавар замд хамаарах нь үнэн. Уралдааны зам дээр байдал илүү дээр байсан. Тодруулбал, 1951 онд болсон Элхарт нуурын уралдааны үеэр тухайн хүний ​​ажлын цагийг цаасан туузан дээр дараалан (секундийн аравны нэгээр) хэвлэсэн Streeter-Amet хронографыг ашигласан тоо бүрийн эсрэг талд байгаа тоонууд.

Бүрэн автомат цагны системийг анх 1970 онд Онтариогийн хурдны замд болсон USAC Championship уралдаанд ашиглаж байжээ. Машин бүр өөрийн гэсэн давтагдашгүй давтамжтайгаар долгион ялгаруулдаг дамжуулагчаар тоноглогдсон байв. Дамжуулагч бүрийн хэлбэлзлийн давтамжийг авдаг антенныг эхлүүлэх шугам дээр суурилуулсан бөгөөд бусад ажлыг компьютер гүйцэтгэдэг.

1960-аад онд Австрали, Шинэ Зеландад янз бүрийн уралдаанд ажиллаж байсан мэргэжлийн цаг хэмжигч Дэвид МакКинни бидэнд сонирхолтой мэдээлэл өгсөн: “Хэрэв хамгийн сайн хронометртэй, хамгийн чадварлаг цаг хэмжигч секундын аравны нэгийг яг “барьж” чаддаг бол тэр үнэхээр азтай хүн. ” Уралдааны үеэр авсан бүх гарын авлагын хэмжилтийг ойролцоо гэж үзэж болно.

"Формула 1"

Европт автомат системүүд Америктай харьцуулахад нэлээд хожуу гарч ирэв. Формула 1 гэх мэт олон улсын цувралуудад төөрөгдөл, төөрөгдөл ноёрхож байв. 1970-аад оны сүүл хүртэл Гран При тэмцээний цагийг огт өөр хүмүүс өөр өөр техник хэрэгсэл, арга ашиглан зохицуулдаг байв. Чөлөөт уралдааны үеэр цаг баригчийн үүргийг ихэвчлэн уралдаанчдын эхнэр гүйцэтгэдэг байв. Тухайлбал, дэлхийн хошой аварга Грэм Хиллийн эхнэр Норма Хилл нөхрийнхөө хамт гранпри болгонд очиж, түүний тойргийн цагийг биечлэн тогтоож, маршалуудын ажлыг давхар шалгадаг байжээ.

1970-аад оны дундуур байнгын төөрөгдөл, алдаанаас залхсан Феррари баг Америкт худалдаж авсан өндөр нарийвчлалтай төхөөрөмжөө Гран При тэмцээнд авчирч эхлэв. Ферраригийн мөнхийн өрсөлдөгч Бадамлянхуа компанийн механикуудын нэг нь өөрийн босс Колин Чапманаас "Бид яагаад ийм зүйл хийж болохгүй гэж?" "Энэ нь манай машиныг хурдасгана гэж та үнэхээр бодож байна уу?" - гэж Чапман хариулав. Энэхүү хариулт нь тухайн жилүүдэд цаг хэмжүүрийн нарийвчлалд хандах Европын хандлагыг маш нарийн тодорхойлдог. Гэсэн хэдий ч 1970-аад оны эцэс гэхэд бараг бүх томоохон багууд цаг үйлдвэрлэгчидтэй гэрээ байгуулж, өөрсдийн цаг хугацааны системийг тэдэнтэй хамт авч явдаг байв. Нэг уралдааны дараа Autosport сэтгүүл: "Багууд Гран Приг зохион байгуулагчдын албан ёсны тоо нь Микки Маусын бугуйн цаг ашиглан хийсэн юм шиг харагдаж байна гэж албан ёсны мэдээнд цагийг маш нарийн нийтэлдэг!"

Цагийн алдаанаас болж гайхалтай тохиолдлууд байнга гардаг байсан. Жишээлбэл, 1973 оны бороотой Канадын Гран При тэмцээний үеэр хамгаалалтын машин анх удаа зам дээр гарч ирэв. Цаг хэмжигчид эргэлзэж, тойргийн цагийг андуурч, хурдны машины өмнөх болон дараах цагийг буруу нэмсэн. Ингэснээр “Лотус”-ын Эмерсон Фиттипалди, “Сүүдэр”-ийн Жеки Оливер, “Макларены” багийн Питер Ревсон нар ялалтыг дараалан тэмдэглэв. Хэдэн цагийн хэрүүл маргааны дараа ялалт сүүлчийнх нь хүрэв.

Үүнтэй адил сонирхолтой түүх 1975 оны Шведийн Гран Прид тохиолдсон. Гуравдугаар сарын мотоцикль Витторио Брамбилла пелатонд хамгийн хурдан байсангүй, гэхдээ тэр уралдаанд полын байрлалд түрүүлсэн юм. Учир нь гуравдугаар сарын дизайнер Робин Херд Брамбилла барианд орохоос хагас секундын өмнө дуу бичлэгийн хэрэгслийн фотоэлэйлийн урдуур чимээгүйхэн өнгөрчээ. Ямар нэгэн гайхамшгаар үүнийг хэн ч хараагүй бөгөөд төхөөрөмж нь уралдаанчийг огт биш харин Хердын явган явах цагийг тэмдэглэжээ.

Технологийн ялалт

Өнөөдрийн уралдаан бол өндөр технологийн баяр юм. Жишээлбэл, NASCAR цуврал нь уламжлалыг аль болох дагаж мөрдөж, орчин үеийн цаг хугацааны аргад шилжсэн бараг сүүлчийнх байв. Гэвч өнөөдөр NASCAR-ийн цаг хугацааны системийг дэлхийн хамгийн шилдэг нь гэж үздэг. Сүүлийн дөрвөн жилийн хугацаанд хилийн чанад дахь цувралын албан ёсны цаг хэмжигч Tissot зам бүрийг Европын зохион байгуулагчдын атаархаж чадахаар тоноглосон. Улирлын 36 тойргийн 34 нь зууван дугуй дээр явагддаг уралдаанд цагийг нарийн тогтоох нь асар их үүрэг гүйцэтгэдэг.

Мотоциклийн уралдааны дэлхийн аварга шалгаруулах тэмцээнд тийм ч ноцтой системийг ашигладаггүй (Тиссот бол түүний цаг хэмжигч юм). NASCAR-аас ялгаатай нь хэн түрүүлж байгааг тодорхойлохын тулд нарийн төвөгтэй хяналтын систем шаардлагагүй: мотоцикльчид тийм ч нягт талбарт байдаггүй. Гэхдээ MotoGP замууд нь зууван биш, Европын уламжлалт загвартай тул олон бэрхшээл тулгардаг. Маршрутын тодорхой газруудад цагийг хязгаарлах нь анхааралтай бодохыг шаарддаг (зууван нь геометрийн хувьд 4-8 хэсэгт хуваагддаг).

Өнөөгийн компьютерийн технологи нь авто болон мотоциклийн уралдаанд цаг хугацааны алдаа гаргах магадлалыг бараг арилгадаг. Гран-при тэмцээнийг зохион байгуулагчдын оюун ухаанд аюулгүй байдал, экологи гэх мэт шал өөр асуудлууд эртнээс олддог. Мөн цаг тогтоогчид өөрсдийнхөө төлөө ажиллаж, ажилладаг. Та цаг шиг хэлж болно.