11-ээс бутархайтай бүх үйлдлүүд. Энгийн бутархайтай үйлдлүүд

496. Хай X, Хэрэв:

497. 1) Хэрэв та үл мэдэгдэх тооны 3/10 дээр 10 1/2-ийг нэмбэл 13 1/2 болно. Үл мэдэгдэх дугаарыг олоорой.

2) Хэрэв та үл мэдэгдэх тооны 7/10-аас 10 1/2-ыг хасвал 15 2/5 болно. Үл мэдэгдэх дугаарыг олоорой.

498 *. Үл мэдэгдэх тооны 3/4-ээс 10-ыг хасаад гарсан зөрүүг 5-аар үржүүлбэл 100 гарна.Тоог ол.

499 *. Үл мэдэгдэх тоог 2/3-аар нэмэгдүүлбэл 60 болно.Энэ ямар тоо вэ?

500 *. Хэрэв та үл мэдэгдэх тоон дээр ижил дүнг нэмбэл, мөн 20 1/3 бол 105 2/5 болно. Үл мэдэгдэх дугаарыг олоорой.

501. 1) Дөрвөлжин тарьсан төмсний ургац нэг га-гаас дунджаар 150 центнер, уламжлалт тариалалтад энэ хэмжээний 3/5 хувийг эзэлдэг. Төмсийг дөрвөлжин кластерийн аргаар тарьвал 15 га талбайгаас хэр их төмс хураах боломжтой вэ?

2) Туршлагатай ажилчин 1 цагт 18 эд анги үйлдвэрлэсэн бол туршлагагүй ажилчин энэ хэмжээний 2/3-ыг үйлдвэрлэсэн. Туршлагатай ажилчин 7 цагийн дотор хэд дахин илүү эд анги үйлдвэрлэж чадах вэ?

502. 1) Дотор нь цуглуулсан анхдагчид гурван өдөр 56 кг янз бүрийн үр. Эхний өдөр нийт дүнгийн 3/14, хоёр дахь өдөр нэгээс хагас дахин их, гурав дахь өдөр үлдсэн үр тариа хураав. Гурав дахь өдөр анхдагчид хэдэн кг үр цуглуулсан бэ?

2) Улаан буудайг нунтаглах үед үр дүн нь: гурил улаан буудайн нийт хэмжээний 4/5, манна - гурилаас 40 дахин бага, үлдсэн хэсэг нь хивэг байв. Гурван тонн буудай нунтаглахад хэр их гурил, үр тариа, хивэг тус тусад нь үйлдвэрлэсэн бэ?

503. 1) Гурван гаражид 460 машин багтах боломжтой. Нэгдүгээр гаражид багтах машины тоо нь хоёрдугаарт багтах машины тооны 3/4, гуравдугаар гарааш нь эхнийхээс 1/2 дахин олон машинтай. Гараж бүрт хэдэн машин багтах вэ?

2) Гурван цехтэй үйлдвэр 6000 ажилчинтай. Хоёрдахь цехэд эхнийхээс 1/2 дахин бага ажилчид байгаа бөгөөд гуравдугаар цехийн ажилчдын тоо хоёрдугаар цехийн ажилчдын 5/6-тай тэнцэнэ. Цех бүрт хэдэн ажилчин байдаг вэ?

504. 1) Эхлээд 2/5, дараа нь нийт керосин 1/3 нь керосинтэй савнаас цутгаж, дараа нь 8 тонн керосин саванд үлджээ. Анх саванд хэр их керосин байсан бэ?

2) Унадаг дугуйчид гурван өдрийн турш уралдсан. Эхний өдөр тэд нийт аяллын 4/15, хоёр дахь өдөр 2/5, гурав дахь өдөр үлдсэн 100 км замыг туулсан. Дугуйчид гурван өдрийн дотор хэр хол явсан бэ?

505. 1) Мөс зүсэгч хөлөг гурван өдрийн турш мөсөн талбайн дундуур тулалдав. Эхний өдөр нийт зайны 1/2, хоёр дахь өдөр 3/5, гурав дахь өдөр үлдсэн 24 км замыг туулсан. Гурван өдрийн дотор мөс зүсэгч хөлгийн замын уртыг ол.

2) Сургуулийн гурван бүлэг хүүхдүүд тосгоныг ногооруулах зорилгоор мод тарьсан. Нэгдүгээр отряд нийт модны 7/20, хоёр дахь хэсэг үлдсэн модны 5/8, гуравдугаар отряд үлдсэн 195 мод тарьсан байна. Гурван баг нийт хэдэн мод тарьсан бэ?

506. 1) Комбайн гурван өдрийн дотор нэг талбайгаас улаан буудай хураав. Эхний өдөр талбайн нийт талбайн 5/18-аас, хоёр дахь өдөр үлдсэн талбайн 7/13-аас, гурав дахь өдөр 30 1/2 талбайгаас ургац хураажээ. га. Нэг га-гаас дунджаар 20 центнер буудай хураан авсан. Нийт нутгаар хэр хэмжээний улаан буудай хураасан бэ?

2) Эхний өдөр раллид оролцогчид нийт маршрутын 3/11, хоёр дахь өдөр үлдсэн замын 7/20, гурав дахь өдөр шинэ үлдсэн замын 5/13, дөрөв дэх өдөр үлдсэн замыг туулсан. 320 км. Жагсаал хэр удаан үргэлжлэх вэ?

507. 1) Эхний өдөр машин нийт замынхаа 3/8-ыг, хоёр дахь өдөр эхний замынхаа 15/17-г, гурав дахь өдөр үлдсэн 200 км замыг туулсан. Нэг машин 10 км-т 13/5 кг бензин зарцуулсан бол хэр их бензин зарцуулсан бэ?

2) Хот дөрвөн дүүргээс бүрддэг. Хотын нийт оршин суугчдын 4/13 нь нэгдүгээр хороололд, нэгдүгээр хорооллын иргэдийн 5/6 нь хоёрдугаарт, нэгдүгээр хорооллын иргэдийн 4/11 нь гуравдугаар хороололд; хоёр дүүрэг нийлээд дөрөвдүгээр хороололд 18 мянган хүн амьдардаг. Нэг хүн өдөрт дунджаар 500 гр талх хэрэглэдэг бол хотын нийт хүн амд 3 хоногийн талх хэр их хэрэгтэй вэ?

508. 1) Жуулчин эхний өдөр бүх аяллынхоо 10/31, хоёр дахь өдөр эхний өдөр алхсанынхаа 9/10, гурав дахь өдөр үлдсэн хугацаанд, гурав дахь өдөр нь 12 алхсан. км-ээр хоёр дахь өдрөөс илүү. Жуулчин гурван өдөр тус бүр хэдэн км алхсан бэ?

2) Машин А хотоос Б хот хүртэлх бүх замыг гурван өдрийн дотор туулсан. Эхний өдөр машин нийт замын 7/20, хоёр дахь өдөр үлдсэн зайны 8/13, гурав дахь өдөр эхний өдрөөс 72 км бага туулсан байна. А ба В хотуудын хооронд ямар зай байдаг вэ?

509. 1) Гүйцэтгэх хороо гурван үйлдвэрийн ажилчдад цэцэрлэгийн газар олгохоор газар олгосон. Эхний үйлдвэрт нийт талбайн 9/25-ыг, хоёр дахь үйлдвэрт эхнийхээр хуваарилсан талбайн 5/9-ийг, гурав дахь үйлдвэрт үлдсэн талбайг хуваарилсан. Нэгдүгээр үйлдвэрт гурав дахь үйлдвэрийнхээс 50-иар цөөн газар олгосон бол гурван үйлдвэрийн ажилчдад нийт хэдэн талбай олгосон бэ?

2) Онгоц гурван өдрийн дотор Москвагаас туйлын станцад өвлийн ажилчдын ээлжийг хүргэв. Эхний өдөр бүх зайны 2/5, хоёр дахь өдөр эхний өдөр туулсан зайны 5/6, гурав дахь өдөр хоёр дахь өдрөөс 500 км-ээр бага нисчээ. Онгоц гурван өдрийн дотор хэр хол ниссэн бэ?

510. 1) Үйлдвэр гурван цехтэй байсан. Эхний цехийн ажилчдын тоо нь үйлдвэрийн нийт ажилчдын 2/5; икинчи цехдэ 1-чи цехдэкисэ 1 1/2 дэфэ, учунчу сехдэ 2-чи цехдэкидэн 100 нэфэр артыг ишчи олунмушдур. Үйлдвэрт хэдэн ажилчин байдаг вэ?

2) Нэгдлийн фермд хөрш зэргэлдээх гурван тосгоны оршин суугчид багтдаг. Нэгдүгээр тосгоны гэр бүлийн тоо нь хамтын фермийн бүх гэр бүлийн 3/10; 2-р тосгонд гэр бүлийн тоо эхнийхээс 1 1/2 дахин их, гуравдугаар тосгонд хоёр дахь тосгоныхоос 420-оор бага байна. Нэгдлийн фермд хэдэн гэр бүл байдаг вэ?

511. 1) Артель эхний долоо хоногт нөөцийнхөө 1/3-ийг, үлдсэн 1/3-ийг хоёр дахь долоо хоногт ашигласан. Эхний долоо хоногт түүхий эдийн хэрэглээ хоёр дахь долоо хоногоос 3/5 тонноор илүү байсан бол артелд хэдий хэмжээний түүхий эд үлдэх вэ?

2) Импортын нүүрсний 1/6 нь эхний сард, үлдсэн 3/8 нь хоёр дахь сард байшингаа халаахад зарцуулсан. Хоёр дахь сард эхний сартай харьцуулахад 1 3/4 илүү хэрэглэсэн бол байшинг халаахад хэр их нүүрс үлдэх вэ?

512. Хамтын фермийн нийт талбайн 3/5 нь үр тариа тариалахад зориулагдсан, үлдсэн 13/36 нь ногооны талбай, нуга, үлдсэн хэсэг нь ой мод, нэгдлийн тариалангийн талбай юм. 217 га илүү их талбайой мод, үр тарианы зориулалтаар олгосон газрын 1/3 нь хөх тариа, үлдсэн хэсэг нь улаан буудай тариалсан. Нэгдэл хэдэн га талбайд улаан буудай, хэд нь хөх тариа тариалсан бэ?

513. 1) Трамвайны зам нь 14 3/8 км урт. Энэ маршрутын дагуу трамвай 18 зогсолт хийдэг бөгөөд нэг буудалд дунджаар 1 1/6 минут зарцуулдаг. Бүх маршрутын дагуух трамвайны дундаж хурд цагт 12 1/2 км байна. Трамвай нэг аялал хийхэд хэр хугацаа шаардагдах вэ?

2) Автобусны чиглэл 16 км. Энэ чиглэлийн дагуу автобус тус бүр 3/4 минутын хугацаатай 36 зогсоол хийдэг. дунджаар тус бүр. Автобусны дундаж хурд цагт 30 км. Нэг чиглэлд автобус хэр удаан явах вэ?

514*. 1) Одоо 6 цаг болж байна. орой. Өдрийн аль хэсэг нь өнгөрсөн үеэс үлдсэн бөгөөд өдрийн аль хэсэг үлдсэн бэ?

2) Уурын усан онгоц урсгалтай хоёр хотын хоорондох зайг 3 хоногийн дотор туулдаг. мөн ижил зайг 4 хоногийн дотор буцаана. Нэг хотоос нөгөө хот руу урсдаг салнууд хэдэн өдөр хөвөх вэ?

515. 1) Урт нь 6 2/3 м, өргөн нь 5 1/4 м, самбар тус бүрийн урт нь 6 2/3 м, өргөн нь 3 / бол шалыг тавихад хэдэн самбар ашиглах вэ? 80 урт уу?

2) Тэгш өнцөгт тавцангийн урт нь 45 1/2 м, өргөн нь уртынхаа 5/13 хэмжээтэй байна. Энэ талбай нь 4/5 м өргөнтэй замаар хиллэдэг. Замын талбайг ол.

516. Дундажийг ол арифметик тоо:

517. 1) Хоёр тооны арифметик дундаж нь 6 1/6 байна. Тоонуудын нэг нь 3 3/4 байна. Өөр дугаар олоорой.

2) Хоёр тооны арифметик дундаж нь 14 1/4 байна. Эдгээр тоонуудын нэг нь 15 5/6 юм. Өөр дугаар олоорой.

518. 1) Ачааны галт тэрэг гурван цагийн турш зам дээр байсан. Эхний цагт тэрээр 36 1/2 км, хоёрдугаарт 40 км, гурав дахь цагт 39 3/4 км замыг туулсан. Галт тэрэгний дундаж хурдыг ол.

2) Машин эхний хоёр цагт 81 1/2 км, дараагийн 2 1/2 цагт 95 км явсан. Тэр цагт дунджаар хэдэн км алхсан бэ?

519. 1) Тракторчин газар хагалах ажлыг гурван өдрийн дотор гүйцэтгэсэн. Эхний өдөр 12 1/2 га, хоёр дахь өдөр 15 3/4 га, гурав дахь өдөр 14 1/2 га газар хагалсан. Тракторчин өдөрт дунджаар хэдэн га газар хагалсан бэ?

2) Гурван өдрийн аялал жуулчлалын аялал хийж буй сургуулийн сурагчид эхний өдөр 6 1/3 цаг, хоёр дахь өдөр 7 цаг зам дээр байв. гурав дахь өдөр - 4 2/3 цаг. Сургуулийн хүүхдүүд өдөрт дунджаар хэдэн цаг аялдаг байсан бэ?

520. 1) Энэ байшинд гурван гэр бүл амьдардаг. Эхний айл орон сууцыг гэрэлтүүлэх 3 гэрлийн чийдэнтэй, хоёр дахь нь 4, гурав дахь нь 5 гэрлийн чийдэнтэй. Хэрэв бүх чийдэн нь ижил байсан бөгөөд нийт цахилгааны төлбөр (бүх байшинд) 7 1/5 рубль байсан бол гэр бүл бүр цахилгааны төлбөрийг хэдэн төгрөгөөр төлөх ёстой вэ?

2) Гурван айл амьдардаг орон сууцанд өнгөлөгч шал өнгөлж байв. Эхний гэр бүл 36 1/2 метр квадрат талбайтай байв. м, хоёр дахь нь 24 1/2 кв. м, гурав дахь нь - 43 кв. м.Бүх ажилд 2 рубль төлсөн. 08 коп. Айл бүр хэдэн төгрөг төлсөн бэ?

521. 1) Цэцэрлэгийн талбайд 50 бутнаас 1 1/10 кг, 70 бутнаас 4/5 кг, 80 бутнаас 9/10 кг төмс цуглуулсан. Нэг бутнаас дунджаар хэдэн кг төмс хурааж авдаг вэ?

2) Талбайн бригад 300 га талбайгаас 1 га-аас 20 1/2 цн өвлийн улаан буудай, 80 га-аас 1 га-аас 24 цн, 20 га-аас 28 1/2 цн ургац хураан авсан. 1 га. 1 га талбайтай бригадын дундаж ургац хэд вэ?

522. 1) Хоёр тооны нийлбэр нь 7 1/2 байна. Нэг тоо нөгөөгөөсөө 44/5-аар их байна. Эдгээр тоонуудыг олоорой.

2) Хэрэв бид Татар ба Керчийн хоолойн өргөнийг илэрхийлсэн тоог нэмбэл 11 7/10 км болно. Татарын хоолой нь Керчийн хоолойноос 3 1/10 км өргөн. Давхар тус бүрийн өргөн хэд вэ?

523. 1) Гурван тооны нийлбэр нь 35 2/3 байна. Эхний тоо нь хоёр дахь тооноос 5 1/3-аар, гурав дахь тооноос 3 5/6-аар их байна. Эдгээр тоонуудыг олоорой.

2) Арлууд Шинэ Дэлхий, Сахалин, Северная Земля нар хамтдаа 196 7/10 мянган хавтгай дөрвөлжин метр талбайг эзэлдэг. км. Новая Землягийн талбай нь 44 1/10 мянган хавтгай дөрвөлжин метр юм. км илүү газар нутаг Северная Земляба 5 1/5 мянган кв. км Сахалины нутаг дэвсгэрээс том. Бүртгэгдсэн арлууд тус бүрийн талбай хэд вэ?

524. 1) Орон сууц нь гурван өрөөнөөс бүрдэнэ. Эхний өрөөний талбай нь 24 3/8 кв. м бөгөөд орон сууцны нийт талбайн 13/36 хувийг эзэлдэг. Хоёр дахь өрөөний талбай нь 8 1/8 хавтгай дөрвөлжин метр юм. м-ээс гурав дахь талбайгаас их. Хоёрдахь өрөөний талбай хэд вэ?

2) Гурван өдөр үргэлжилсэн тэмцээний үеэр дугуйчин эхний өдөр 3 1/4 цаг зам дээр байсан нь нийт аяллын 13/43 цаг байжээ. Хоёр дахь өдөр тэрээр гурав дахь өдрөөс 1/2 цаг илүү давхижээ. Тэмцээний хоёр дахь өдөр дугуйчин хэдэн цаг явсан бэ?

525. Гурван ширхэг төмөр хамтдаа 17 1/4 кг жинтэй. Хэрэв эхний хэсгийн жин 1 1/2 кг, хоёр дахь нь 2 1/4 кг-аар буурсан бол гурван хэсэг нь ижил жинтэй болно. Төмөр тус бүр хэдэн жинтэй байсан бэ?

526. 1) Хоёр тооны нийлбэр нь 15 1/5 байна. Хэрэв эхний тоог 3 1/10-аар багасгаж, хоёр дахь нь 3 1/10-аар нэмэгдвэл эдгээр тоо тэнцүү болно. Тоо бүр хэдтэй тэнцүү вэ?

2) Хоёр хайрцагт 38 1/4 кг үр тариа байсан. Хэрэв та нэг хайрцагнаас нөгөө хайрцагт 4 3/4 кг үр тариа асгавал хоёр хайрцагт ижил хэмжээний үр тариа байх болно. Хайрцаг бүрт хэр их үр тариа байдаг вэ?

527 . 1) Хоёр тооны нийлбэр нь 17 17 / 30 байна. Хэрэв та эхний тооноос 5 1/2-ыг хасаад хоёр дахь тоонд нэмбэл эхнийх нь хоёр дахь тооноос 2 17/30-аар их байх болно. Хоёр тоог ол.

2) Хоёр хайрцагт 24 1/4 кг алим байна. Хэрэв та эхний хайрцгаас хоёр дахь хайрцаг руу 3 1/2 кг шилжүүлбэл эхний хайрцагт хоёр дахь хайрцагнаас 3/5 кг илүү алим байх болно. Хайрцаг бүрт хэдэн кг алим байгаа вэ?

528 *. 1) Хоёр тооны нийлбэр нь 8 11/14, тэдгээрийн зөрүү нь 2 3/7. Эдгээр тоонуудыг олоорой.

2) Завь голын дагуу цагт 15 1/2 км хурдтай, урсгалын эсрэг цагт 8 1/4 км хурдтай хөдөлсөн. Голын урсгалын хурд хэд вэ?

529. 1) Хоёр гаражид 110 машин байдаг бөгөөд тэдгээрийн нэг нь нөгөөгөөсөө 1/5 дахин их байдаг. Гараж бүрт хэдэн машин байдаг вэ?

2) Хоёр өрөөнөөс бүрдэх орон сууцны талбай нь 47 1/2 мкв. м.Нэг өрөөний талбай нь нөгөө өрөөний талбайн 8/11 байна. Өрөө бүрийн талбайг ол.

530. 1) Зэс мөнгөнөөс бүрдсэн хайлш 330 гр жинтэй.Энэ хайлш дахь зэсийн жин нь мөнгөний жингийн 5/28-тай тэнцүү байна. Хайлшинд хэр их мөнгө, хэр их зэс байдаг вэ?

2) Хоёр тооны нийлбэр нь 6 3/4, хэсэг нь 3 1/2. Эдгээр тоонуудыг олоорой.

531. Гурван тооны нийлбэр нь 22 1/2 байна. Хоёр дахь тоо нь 3 1/2 дахин, гурав дахь нь 2 1/4 дахин их байна эхнийхээс илүү. Эдгээр тоонуудыг олоорой.

532. 1) Хоёр тооны зөрүү нь 7; их тоог бага тоонд хуваах коэффициент нь 5 2/3. Эдгээр тоонуудыг олоорой.

2) Хоёр тооны зөрүү нь 29 3/8, олон тооны харьцаа нь 8 5/6. Эдгээр тоонуудыг олоорой.

533. Нэг ангид тасалсан сурагчдын тоо нь ирсэн сурагчдын 3/13 хувийг эзэлдэг. Эзгүй хүмүүсээс 20 хүнээр илүү байвал жагсаалтын дагуу ангид хэдэн сурагч байх вэ?

534. 1) Хоёр тооны зөрүү нь 3 1/5 байна. Нэг тоо нь нөгөөгийн 5/7 байна. Эдгээр тоонуудыг олоорой.

2) Эцэг нь хүүгээсээ 24 насаар ах. Хүүгийн насны тоо эцгийн жилийн 5/13-тай тэнцэнэ. Аав нь хэдэн настай, хүү нь хэдэн настай вэ?

535. Бутархайн хуваагч нь түүний хуваагчаас 11 нэгжээр их байна. Бутархай нь хуваагчаас 3 3/4 дахин их бол бутархайн утга хэд вэ?

No536 - 537 амаар.

536. 1) Эхний тоо нь секундын 1/2 байна. Хоёр дахь тоо эхнийхээс хэд дахин их вэ?

2) Эхний тоо нь секундын 3/2. Эхний тооны аль хэсэг нь хоёр дахь тоо вэ?

537. 1) Эхний тооны 1/2 нь хоёр дахь тооны 1/3-тай тэнцүү байна. Эхний тооны аль хэсэг нь хоёр дахь тоо вэ?

2) Эхний тооны 2/3 нь хоёр дахь тооны 3/4-тэй тэнцүү байна. Эхний тооны аль хэсэг нь хоёр дахь тоо вэ? Эхнийх нь хоёр дахь тооны аль хэсэг вэ?

538. 1) Хоёр тооны нийлбэр нь 16. Хоёр дахь тооны 1/3 нь эхний тооны 1/5-тай тэнцүү бол эдгээр тоог ол.

2) Хоёр тооны нийлбэр нь 38. Эхний тооны 2/3 нь хоёр дахь тооны 3/5-тай тэнцүү бол эдгээр тоог ол.

539 *. 1) Хоёр хүү хамтдаа 100 мөөг цуглуулав. Эхний хүүгийн цуглуулсан мөөгний 3/8 нь хоёр дахь хүүгийн цуглуулсан мөөгний 1/4-тэй тэнцүү байна. Хүү бүр хэдэн мөөг цуглуулсан бэ?

2) Тус байгууллагад 27 хүн ажилладаг. Нийт эрэгтэйчүүдийн 2/5 нь нийт эмэгтэйчүүдийн 3/5 нь тэнцэж байвал хэдэн эрэгтэй, хэдэн эмэгтэй ажилладаг вэ?

540 *. Гурван хүү волейбол худалдаж авав. Эхний хүүгийн оруулсан хувь нэмрийн 1/2 нь хоёр дахь хүүгийн оруулсан хувь нэмрийн 1/3 буюу гурав дахь хүүхдийн 1/4 хувьтай тэнцэж, гурав дахь хүүгийн оруулсан хувь нэмэр гэдгийг мэдэж, хүү тус бүрийн оруулсан хувь нэмрийг тодорхойл. хүү эхнийхээс 64 копейк илүү байна.

541 *. 1) Нэг тоо нөгөөгөөсөө 6-аар их.Нэг тооны 2/5 нь нөгөө тооны 2/3-тай тэнцүү бол эдгээр тоог ол.

2) Хоёр тооны зөрүү 35. Эхний тооны 1/3 нь хоёр дахь тооны 3/4-тэй тэнцүү бол эдгээр тоог ол.

542. 1) Эхний баг зарим ажлыг 36 хоногт, хоёр дахь нь 45 хоногт хийж чадна. Хоёр баг хамтраад хэд хоногийн дараа энэ ажлыг дуусгах вэ?

2) Суудлын галт тэрэг хоёр хотын хоорондох зайг 10 цагт, ачааны галт тэрэг энэ замыг 15 цагт туулдаг. Хоёр галт тэрэг хоёулаа эдгээр хотуудыг нэгэн зэрэг орхин бие бие рүүгээ чиглэв. Тэд хэдэн цагийн дараа уулзах вэ?

543. 1) Хурдан галт тэрэг хоёр хотын хоорондох зайг 6 1/4 цагт, суудлын галт тэрэг 7 1/2 цагт туулдаг. Хэрэв эдгээр галт тэрэг хоёр хотоос нэгэн зэрэг хөдөлвөл хэдэн цагийн дараа уулзах вэ? (Бөөрөнхий хариултыг хамгийн ойрын 1 цагийн дотор өгнө.)

2) Хоёр мотоцикльчин хоёр хотоос нэгэн зэрэг явав. Нэг мотоцикльчин эдгээр хотуудын хоорондох бүх замыг 6 цаг, нөгөө нь 5 цагт туулах боломжтой. Явснаас хойш хэдэн цагийн дараа мотоцикльчид уулзах вэ? (Бөөрөнхий хариултыг хамгийн ойрын 1 цагийн дотор өгнө.)

544. 1) Өөр өөр хүчин чадалтай гурван тээврийн хэрэгсэл нь зарим ачааг тусад нь тээвэрлэх боломжтой: эхнийх нь 10 цаг, хоёр дахь нь 12 цагийн дотор. Гурав дахь нь 15 цагийн дотор.Тэд хамт ажиллаад хэдэн цагт нэг ачаа тээвэрлэх вэ?

2) Хоёр галт тэрэг хоёр буудлаас нэгэн зэрэг бие бие рүүгээ хөдөлдөг: эхний галт тэрэг эдгээр буудлуудын хоорондох зайг 12 1/2 цаг, хоёр дахь галт тэрэг 18 3/4 цагт туулдаг. Галт тэрэг хөдөлснөөс хойш хэдэн цагийн дараа уулзах вэ?

545. 1) Хоёр цорго нь ваннд холбогдсон. Тэдгээрийн нэгээр дамжуулан ванныг 12 минутын дотор, нөгөөгөөр нь 1/2 дахин хурдан дүүргэх боломжтой. Хэрэв та хоёр цоргыг нэг дор нээвэл ванны 5/6-г дүүргэхэд хэдэн минут шаардагдах вэ?

2) Хоёр бичигч гар бичмэлийг дахин бичих ёстой. Эхний жолооч энэ ажлыг 3 1/3 хоногт, хоёр дахь нь 1 1/2 дахин хурдан хийж чадна. Хоёр бичгийн машин зэрэг ажиллавал хэдэн өдөр ажлаа дуусгах вэ?

546. 1) Усан сан эхний хоолойгоор 5 цагийн дотор дүүрч, хоёр дахь хоолойгоор дамжин 6 цагийн дотор хоослох боломжтой.Хоёр хоолойг зэрэг онгойлговол хэдэн цагийн дараа усан санг бүхэлд нь дүүргэх вэ?

Анхаарна уу. Нэг цагийн дотор усан сан (хүч чадлынхаа 1/5 - 1/6) хүртэл дүүрдэг.

2) Хоёр трактор талбайг 6 цагийн дотор хагалсан. Ганцаараа ажиллаж байсан анхны трактор энэ талбайг 15 цагийн дотор хагалах боломжтой байсан бол хоёр дахь трактор ганцаараа ажиллахад хэдэн цаг ажиллах вэ?

547 *. Хоёр галт тэрэг хоёр буудлаас нэгэн зэрэг хөдөлж, 18 цагийн дараа уулздаг. суллагдсаныхаа дараа. Эхний галт тэрэг энэ зайг 1 өдөр 21 цагт туулсан бол хоёр дахь галт тэрэг буудал хоорондын зайг хэр хугацаанд туулах вэ?

548 *. Усан сан нь хоёр хоолойгоор дүүрсэн. Эхлээд тэд эхний хоолойг онгойлгож, дараа нь 3 3/4 цагийн дараа усан сангийн хагасыг дүүргэх үед хоёр дахь хоолойг нээв. Хамтдаа 2 1/2 цаг ажилласны эцэст усан сан дүүрчээ. Хоёр дахь хоолойгоор цагт 200 хувин ус цутгаж байгаа бол усан сангийн багтаамжийг тодорхойлно.

549. 1) Ленинградаас Москва руу шуудангийн галт тэрэг 3/4 минутын дотор 1 км замыг туулдаг. Энэ галт тэрэг Москвагаас хөдөлснөөс хойш 1/2 цагийн дараа хурдан галт тэрэг Москвагаас Ленинград руу хөдөлсөн бөгөөд хурд нь буухиа галт тэрэгний 3/4-тэй тэнцүү байв. Москва, Ленинградын хоорондох зай 650 км бол шуудангийн галт тэрэг хөдөлсний дараа 2 1/2 цагийн дараа галт тэрэгнүүд бие биенээсээ ямар зайд байх вэ?

2) Нэгдэлээс хот хүртэл 24 км. Ачааны машин нэгдлийн фермээс гарч, 2 1/2 минутад 1 км замыг туулдаг. 15 минутын дараа. Энэ машин хотоос гарсны дараа дугуйчин ачааны машины хурднаас хагас дахин хурдтайгаар колхоз руу явав. Дугуйчин явсны дараа хэр удаан ачааны машинтай уулзах вэ?

550. 1) Нэг тосгоноос явган зорчигч гарч ирэв. Явган зорчигч явснаас хойш 4 1/2 цагийн дараа нэг дугуйчин явган хүний ​​хурдаас 2 1/2 дахин хурдтай ижил чиглэлд явжээ. Унадаг дугуйчин явган хүний ​​замаас хойш хэдэн цагийн дараа түүнийг гүйцэж түрүүлэх вэ?

2) Хурдан галт тэрэг 187 1/2 км замыг 3 цагт, ачааны галт тэрэг 288 км замыг 6 цагт туулдаг. Ачааны галт тэрэг хөдөлснөөс хойш 7 1/4 цагийн дараа түргэн тусламжийн машин нэг чиглэлд хөдөлдөг. Хурдан галт тэрэг ачааны галт тэргийг гүйцэхэд хэр хугацаа шаардагдах вэ?

551. 1) Бүсийн төв рүү чиглэсэн зам дайран өнгөрдөг хоёр колхозоос хоёр колхозчин нэгэн зэрэг морьтой дүүрэг рүү гарч ирэв. Тэдний эхнийх нь цагт 8 3/4 км хурдалсан бол хоёр дахь нь эхнийхээс 1 1/7 дахин их байв. Хоёр дахь колхозчин 3 4/5 цагийн дараа эхнийхийг гүйцэв. Хамтын аж ахуй хоорондын зайг тодорхойл.

2) Дундаж хурд нь цагт 60 км байсан Москва-Владивосток чиглэлийн галт тэрэг хөдөлснөөс хойш 26 1/3 цагийн дараа ТУ-104 онгоц ижил чиглэлд 14 1/6 дахин хурдтай хөөрөв. галт тэрэгний. Онгоц хөөрснөөс хойш хэдэн цагийн дараа галт тэргийг гүйцэх вэ?

552. 1) Голын дагуух хотуудын хоорондох зай 264 км. Уурын усан онгоц урсгалын дагуу энэ зайг 18 цагийн дотор туулж, энэ хугацааны 1/12-ыг зогссон байна. Голын хурд цагт 1 1/2 км. Уурын хөлөг хөдөлгөөнгүй усанд зогсолтгүй 87 км замыг туулахад хэр хугацаа шаардагдах вэ?

2) Моторт завь голын дагуу 207 км замыг 13 1/2 цагт туулсан бөгөөд энэ хугацааны 1/9-ийг зогсоол дээр өнгөрөөсөн. Голын хурд цагт 1 3/4 км. Энэ завь хөдөлгөөнгүй усанд 2 1/2 цагт хэдэн км явах вэ?

553. Завь усан санг гатлан ​​52 км замыг 3 цаг 15 минутын дотор зогсоолгүй туулсан. Цаашлаад голын дагуу 13/4 км/цаг хурдтай урсгалын эсрэг явж, энэ завь 21/4 цагт 28 1/2 км замыг туулж, ижил хугацаанд 3 удаа зогссон. Завь буудал бүрт хэдэн минут хүлээсэн бэ?

554. Ленинградаас Кронштадт 12 цагт. Уурын усан онгоц үдээс хойш хөдөлж, эдгээр хотуудын хоорондох бүх зайг 1/2 цагийн дотор туулсан. Замдаа тэрээр 12:18 цагт Кронштадтаас Ленинград руу хөдөлсөн өөр хөлөг онгоцтой таарав. мөн эхнийхээсээ 1 1/4 дахин хурдтай алхах. Хоёр хөлөг хэдэн цагт уулзсан бэ?

555. Галт тэрэг 14 цагийн дотор 630 км замыг туулах ёстой байв. Энэ зайн 2/3-ыг туулсан тул 1 цаг 10 минут саатууллаа. Тэр зорьсон газраа хоцролгүй хүрэхийн тулд ямар хурдтайгаар аяллаа үргэлжлүүлэх ёстой вэ?

556. 4:20 цагт Өглөө нь ачааны галт тэрэг Киевээс Одессыг чиглэн цагт дунджаар 31 1/5 км хурдтай хөдөлжээ. Хэсэг хугацааны дараа түүнийг угтахаар Одессаас шуудангийн галт тэрэг гарч ирсэн бөгөөд хурд нь ачааны галт тэрэгний хурдаас 1 17/39 дахин их байсан бөгөөд ачааны галт тэрэг хөдөлснөөс хойш 6 1/2 цагийн дараа уулзав. Киев ба Одесса хоёрын хоорондох зай 663 км бол шуудангийн галт тэрэг хэдэн цагт Одессаас гарсан бэ?

557*. Цаг нь үд дундыг харуулж байна. Цаг, минутын зүүнүүд давхцахад хэр хугацаа шаардагдах вэ?

558. 1) Үйлдвэр нь гурван цехтэй. Нэгдүгээр цехийн ажилчдын тоо үйлдвэрийн нийт ажилчдын 9/20, хоёрдугаар цехэд нэгдүгээр цехийнхээс 1/2 дахин, гуравдугаар цехэд 300 хүнээр цөөн байна. хоёрдугаарт. Үйлдвэрт хэдэн ажилчин байдаг вэ?

2) Хотод гурван дунд сургууль байдаг. Нэгдүгээр сургуулийн сурагчдын тоо нь эдгээр гурван сургуулийн нийт сурагчдын 3/10; 2-р сургуульд 1-р сургуулийнхаас 1/2 дахин их, 3-р сургуульд 2-р сургуулийнхаас 420 хүүхэд бага байна. Гурван сургуульд хэдэн оюутан суралцдаг вэ?

559. 1) Нэг талбайд хоёр комбайнчин ажилласан. Нэг комбайн нийт талбайн 9/16, хоёр дахь нь мөн талбайн 3/8-ыг хураасны дараа эхний комбайн хоёрдугаарт 97 1/2 га-аар илүү ургац хураасан нь тогтоогджээ. Нэг га-гаас дунджаар 32 1/2 центнер үр тариа хураан авсан. Комбайнчин тус бүр хэдэн центнер үр тариа буталсан бэ?

2) Хоёр ах камер худалдаж авав. Нэг нь камерын зардлын 5/8, хоёр дахь нь 4/7, эхнийх нь 2 рублийн үнэтэй байв. 25 копейк хоёр дахь нь илүү. Хүн бүр төхөөрөмжийн зардлын талыг төлсөн. Хүн бүрт хэдэн төгрөг үлдсэн бэ?

560. 1) Суудлын автомашин А хотоос В хот руу хөдөлж, тэдгээрийн хоорондох зай 215 км, цагт 50 км хурдтай байна. Яг энэ үед ачааны машин В хотоос А хот руу явсан. Ачааны машины нэг цагийн хурд нь суудлын машины хурдны 18/25 байсан бол ачааны машинтай таарахаас өмнө хэдэн км явсан бэ?

2) А ба В хотуудын хооронд 210 км. Суудлын автомашин А хотоос Б хот руу явсан. Яг энэ үед ачааны машин В хотоос А хот руу явсан. Суудлын машин цагт 48 км хурдтай явж байсан бөгөөд ачааны машины цагт хурд нь суудлын машины хурдны 3/4 нь байсан бол ачааны машин суудлын машинтай уулзахаас өмнө хэдэн км явсан бэ?

561. Нэгдэл улаан буудай, хөх тариа хурааж авсан. Улаан буудайг хөх тарианаас 20 га-аар илүү тариалсан. Улаан буудай, хөх тарианы 1 га-аас 20 ц-ийн ургац авсан нийт улаан буудайн нийт ургацын 5/6 хувийг эзэлж байна. Нэгдэл буудай, хөх тарианы нийт ургацын 7/11 хувийг улсад худалдаж, үлдсэн тариаг хэрэгцээгээ хангахын тулд үлдээжээ. Хоёр тоннын даацтай машинууд улсад зарагдсан талхыг гаргахын тулд хэдэн удаа явах шаардлагатай байсан бэ?

562. Талхны үйлдвэрт хөх тариа, улаан буудайн гурил авчирсан. Улаан буудайн гурилын жин нь хөх тарианы гурилын жингийн 3/5, улаан буудайн гурилаас 4 тонн илүү хөх тарианы гурил авчирсан. Хэрэв гурилан бүтээгдэхүүн нь нийт гурилын 2/5-ыг эзэлдэг бол энэ гурилнаас хэдэн улаан буудай, хэр хэмжээний хөх тарианы талх хийх вэ?

563. Гурван өдрийн дотор ажилчдын баг хоёр колхозын хоорондох хурдны замыг засах бүх ажлын 3/4-ийг гүйцэтгэсэн. Эхний өдөр энэ хурдны замын 2 2/5 км, хоёр дахь өдөр эхнийхээсээ 1 1/2 дахин их, гурав дахь өдөр эхний хоёр хоногт 5/8 орчим засвар хийсэн байна. Нэгдэл хоорондын хурдны замын уртыг ол.

564. Хүснэгтийн хоосон зайг бөглөнө үү, S нь тэгш өнцөгтийн талбай, А- тэгш өнцөгтийн суурь, a h-тэгш өнцөгтийн өндөр (өргөн).

565. 1) Тэгш өнцөгт талбайн урт нь 120 м, талбайн өргөн нь түүний уртын 2/5 байна. Сайтын периметр ба талбайг ол.

2) Тэгш өнцөгт хэсгийн өргөн нь 250 м, урт нь өргөнөөс 1 1/2 дахин их байна. Сайтын периметр ба талбайг ол.

566. 1) Тэгш өнцөгтийн периметр нь 6 1/2 инч, суурь нь өндрөөсөө 1/4 инч их байна. Энэ тэгш өнцөгтийн талбайг ол.

2) Тэгш өнцөгтийн периметр нь 18 см, өндөр нь суурийнхаас 2 1/2 см бага. Тэгш өнцөгтийн талбайг ол.

567. 30-р зурагт үзүүлсэн дүрсүүдийн талбайг тэгш өнцөгт болгон хувааж, хэмжилтээр тэгш өнцөгтийн хэмжээсийг олно.

568. 1) Гипс хавтангийн хэмжээ нь 2 м х л 1/2 м бол урт нь 4 1/2 м, өргөн нь 4 м хэмжээтэй өрөөний таазыг хучихад хэдэн хуудас хуурай гипс шаардагдах вэ?

2) 4 1/2 м урт, 3 1/2 м өргөнтэй шалыг тавихад 4 1/2 м урт, 1/4 м өргөнтэй хэдэн самбар шаардлагатай вэ?

569. 1) 560 м урт, 3/4 өргөнтэй тэгш өнцөгт талбайг шошоор тариалсан. 1 га-д 1 центнер тариалсан бол талбайг тарихад хэдэн үр шаардлагатай байсан бэ?

2) Тэгш өнцөгт талбайгаас нэг га-аас 25 цн улаан буудайн ургац хураав. Талбайн урт нь 800 м, өргөн нь уртынх нь 3/8 нь бол нийт талбайгаас хэр хэмжээний улаан буудай хураасан бэ?

570 . 1) 78 3/4 м урт, 56 4/5 м өргөн тэгш өнцөгт талбайг барьж, талбайн 4/5 нь барилга байгууламжийг эзэлдэг. Барилгын доорх газрын талбайг тодорхойлох.

2) Урт нь 9/20 км, өргөн нь түүний уртын 4/9 нь тэгш өнцөгт газар дээр нэгдэл цэцэрлэг байгуулахаар төлөвлөж байна. Нэг мод дунджаар 36 м.кв талбай шаардлагатай бол энэ цэцэрлэгт хэдэн мод тарих вэ?

571. 1) Өрөөний өдрийн гэрлийг хэвийн гэрэлтүүлэхийн тулд бүх цонхны талбай нь шалны талбайн 1/5-аас багагүй байх шаардлагатай. Урт нь 5 1/2 м өргөн, 4 м өргөнтэй өрөөнд хангалттай гэрэл байгаа эсэхийг тодорхойл. Өрөөнд 1 1/2 м х 2 м хэмжээтэй нэг цонх байгаа юу?

2) Өмнөх бодлогын нөхцөлийг ашиглан ангидаа хангалттай гэрэл байгаа эсэхийг олж мэд.

572. 1) Амбаар нь 5 1/2 м х 4 1/2 м х 2 1/2 м хэмжээтэй байна. Энэ амбаарыг өндрийнхөө 3/4-т дүүргэсэн бол 1 шоо метр бол хэр хэмжээний өвс (жингээр) багтах вэ? . м өвс 82 кг жинтэй вэ?

2) Мод овоолго нь хэлбэртэй байна тэгш өнцөгт параллелепипед, хэмжээсүүд нь 2 1/2 м х 3 1/2 м х 1 1/2 м.. Хэрэв 1 куб бол модны овоолгын жин хэд вэ. м түлээний мод 600 кг жинтэй юу?

573. 1) Тэгш өнцөгт аквариумыг өндрийнхөө 3/5 хүртэл усаар дүүргэдэг. Аквариумын урт нь 11/2 м, өргөн нь 4/5 м, өндөр нь 3/4 м.Аквариумд хэдэн литр ус цутгадаг вэ?

2) Тэгш өнцөгт параллелепипед хэлбэртэй усан сан нь 6 1/2 м урт, 4 м өргөн, 2 м өндөртэй усан сан нь түүний өндрийн 3/4 хүртэл усаар дүүрдэг. Усан сан руу асгасан усны хэмжээг тооцоол.

574. 75 м урт, 45 м өргөн тэгш өнцөгт талбайг тойруулан хашаа барих шаардлагатай. Самбарын зузаан нь 2 1/2 см, хашааны өндөр нь 2 1/4 м байвал барилгын ажилд хэдэн шоо метр хавтанг оруулах ёстой вэ?

575. 1) Минут ямар өнцөгтэй вэ? цагийн гар 13 цагт? 15 цагт? 17 цагт? 21 цагт? 23:30 цагт?

2) 2 цагийн дотор цагийн зүү хэдэн градусаар эргэх вэ? 5 цаг? 8 цаг? 30 мин.?

3) Хагас тойрогтой тэнцэх нум хэдэн градустай вэ? 1/4 тойрог уу? Тойргийн 1/24? 5/24 тойрог уу?

576. 1) Протектор ашиглан зур: a) тэгш өнцөг; b) 30 ° өнцөг; в) 60 градусын өнцөг; d) 150 ° өнцөг; e) 55°-ийн өнцөг.

2) Протектор ашиглан зургийн өнцгийг хэмжиж, зураг бүрийн бүх өнцгийн нийлбэрийг ол (Зураг 31).

577. Эдгээр алхмуудыг дагана уу:

578. 1) Хагас тойрог нь хоёр нуманд хуваагддаг бөгөөд тэдгээрийн нэг нь нөгөөгөөсөө 100 ° том байна. Нуман бүрийн хэмжээг ол.

2) Хагас тойрог нь хоёр нуманд хуваагддаг бөгөөд тэдгээрийн нэг нь нөгөөгөөсөө 15 ° бага байна. Нуман бүрийн хэмжээг ол.

3) Хагас тойрог нь хоёр нуманд хуваагддаг бөгөөд тэдгээрийн нэг нь нөгөөгөөсөө хоёр дахин том байна. Нуман бүрийн хэмжээг ол.

4) Хагас тойрог нь хоёр нуманд хуваагдсан бөгөөд тэдгээрийн нэг нь нөгөөгөөсөө 5 дахин бага байна. Нуман бүрийн хэмжээг ол.

579. 1) "ЗХУ-ын хүн амын бичиг үсгийн түвшин" диаграммд (Зураг 32) хүн амын зуун хүнд ногдох бичиг үсэгт тайлагдсан хүмүүсийн тоог харуулав. Диаграммын өгөгдөл болон түүний масштаб дээр үндэслэн заасан жил бүрийн бичиг үсэгт тайлагдсан эрэгтэй, эмэгтэй хүмүүсийн тоог тодорхойлно.

Үр дүнг хүснэгтэд бичнэ үү:

2) "Зөвлөлтийн элч нар сансарт" (Зураг 33) диаграмын өгөгдлийг ашиглан даалгавар үүсгэ.

580. 1) "Тавдугаар ангийн сурагчдын өдөр тутмын ажил" (Зураг 34) дугуй хүснэгтийн дагуу хүснэгтийг бөглөж, асуултанд хариулна уу: өдрийн аль хэсгийг унтахаар хуваарилдаг вэ? гэрийн даалгаврын хувьд? сургууль руу?

2) Өдөр тутмынхаа ажлын талаар дугуй диаграммыг байгуул.

Энэ хэсэгт дараах үйлдлүүд багтана энгийн бутархай. Хэрэв холимог тоогоор математикийн үйлдлийг хийх шаардлагатай бол холимог бутархайг ер бусын бутархай болгон хувиргаж, шаардлагатай үйлдлүүдийг хийж, шаардлагатай бол эцсийн үр дүнг дахин холимог тоо хэлбэрээр үзүүлэхэд хангалттай. . Энэ үйлдлийг доор тайлбарлах болно.

Бутархай хэсгийг багасгах

Математик үйлдэл. Бутархай хэсгийг багасгах

\frac(m)(n) бутархайг багасгахын тулд та түүний хуваагч ба хуваагчийн хамгийн их нийтлэг хуваагчийг олох хэрэгтэй: gcd(m,n), дараа нь бутархайн хуваагч ба хуваагчийг энэ тоонд хуваах хэрэгтэй. Хэрэв GCD(m,n)=1 бол бутархайг багасгах боломжгүй. Жишээ: \frac(20)(80)=\frac(20:20)(80:20)=\frac(1)(4)

Ихэвчлэн хамгийн их нийтлэг хуваагчийг шууд олох нь хэцүү ажил мэт санагддаг бөгөөд практикт бутархайг хэд хэдэн үе шаттайгаар багасгаж, тодорхой нийтлэг хүчин зүйлийг тоологч ба хуваагчаас алхам алхмаар тусгаарладаг. \frac(140)(315)=\frac(28\cdot5)(63\cdot5)=\frac(4\cdot7\cdot5)(9\cdot7\cdot5)=\frac(4)(9)

Бутархайг нийтлэг хуваагч болгон багасгах

Математик үйлдэл. Бутархайг нийтлэг хуваагч болгон багасгах

\frac(a)(b) ба \frac(c)(d) хоёр бутархайг нийтлэг хуваагч руу авчрахын тулд танд хэрэгтэй:

• хуваагчийн хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг ол: M=LMK(b,d);
• эхний бутархайн хуваагч ба хуваагчийг M/b-ээр үржүүлэх (дараа нь бутархайн хуваагч нь M тоотой тэнцүү болно);
• хоёр дахь бутархайн хуваагч ба хуваагчийг M/d-ээр үржүүлнэ (дараа нь бутархайн хуваагч нь M тоотой тэнцүү болно).

Тиймээс бид анхны бутархайг ижил хуваагчтай бутархай болгон хувиргадаг (энэ нь M тоотой тэнцүү байх болно).

Жишээлбэл, \frac(5)(6) ба \frac(4)(9) бутархайнууд LCM(6,9) = 18 байна. Дараа нь: \frac(5)(6)=\frac(5\cdot3) (6 \cdot3)=\frac(15)(18);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot2)(9\cdot2)=\frac(8)(18) . Тиймээс үүссэн бутархай нь нийтлэг хуваагчтай байна.

Практикт хуваагчийн хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг (LCM) олох нь үргэлж энгийн ажил биш юм. Иймд анхны бутархайн хуваагчийн үржвэртэй тэнцүү тоог нийтлэг хуваагчаар сонгоно. Жишээлбэл, \frac(5)(6) ба \frac(4)(9) бутархайг N=6\cdot9 нийтлэг хуваагч болгон бууруулна.

\frac(5)(6)=\frac(5\cdot9)(6\cdot9)=\frac(45)(54);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot6)( 9\cdot6)=\frac(24)(54)

Бутархайн харьцуулалт

Математик үйлдэл. Бутархайн харьцуулалт

Хоёр энгийн бутархайг харьцуулахын тулд танд хэрэгтэй:

• үүссэн бутархайн тоог харьцуулах; илүү том тоологчтой бутархай нь том байх болно.

Жишээ нь, \frac(9)(14)

Бутархайг харьцуулахдаа хэд хэдэн онцгой тохиолдол байдаг:

1. Хоёр бутархайгаас ижил хуваагчтайТоолуур нь их байгаа бутархай нь их байна. Жишээ нь, \frac(3)(15)
2. Хоёр бутархайгаас ижил тоологчтойИх байх нь хуваарь нь бага байх бутархай юм. Жишээ нь, \frac(4)(11)>\frac(4)(13)
3. Тэр хэсэг нь нэгэн зэрэг илүү том, бага хуваагч, илүү. Жишээлбэл, \frac(11)(3)>\frac(10)(8)

Анхаар!Дүрэм 1 аливаа бутархайн нийтлэг хуваагч нь эерэг тоо байвал хамаарна. 2 ба 3-р дүрмүүд нь эерэг бутархай (тоо ба хуваагч хоёулаа тэгээс их байдаг) хамаарна.

Бутархайг нэмэх, хасах

Математик үйлдэл. Бутархайг нэмэх, хасах

Хоёр бутархай нэмэхийн тулд танд хэрэгтэй:

• тэдгээрийг нийтлэг зүйлд хүргэх;
• тэдгээрийн тоог нэмж, хуваагчийг өөрчлөхгүй орхи.

Жишээ: \frac(7)(9)+\frac(4)(7)=\frac(7\cdot7)(9\cdot7)+\frac(4\cdot9)(7\cdot9)=\frac(49) )(63)+\frac(36)(63)=\frac(49+36)(63)=\frac(85)(63)

Нэг бутархайгаас нөгөө хэсгийг хасахын тулд танд дараахь зүйл хэрэгтэй болно.

• бутархайг нийтлэг хуваагч болгон багасгах;
• Эхний бутархайн хуваагчаас хоёр дахь бутархайг хасч, хуваагчийг өөрчлөхгүй орхино.

Жишээ: \frac(4)(15)-\frac(3)(5)=\frac(4)(15)-\frac(3\cdot3)(5\cdot3)=\frac(4)(15) -\frac(9)(15)=\frac(4-9)(15)=\frac(-5)(15)=-\frac(5)(3\cdot5)=-\frac(1)( 3)

Хэрэв анхны бутархай нь нийтлэг хуваагчтай бол 1-р алхамыг (нийтлэг хуваагч болгон бууруулах) алгасна.

Холимог тоог буруу бутархай болон эсрэгээр хөрвүүлэх

Математик үйлдэл. Холимог тоог буруу бутархай болон эсрэгээр хөрвүүлэх

Холимог бутархайг буруу бутархай болгон хувиргахын тулд холимог бутархайн бүх хэсгийг бутархай хэсэгтэй нийлэхэд л болно. Ийм нийлбэрийн үр дүн нь буруу бутархай байх бөгөөд түүний хуваагч нь бүхэл хэсгийн үржвэрийн нийлбэр нь холимог бутархайн хуваагчтай тэнцүү байх ба хуваагч нь ижил хэвээр байх болно. Жишээлбэл, 2\frac(6)(11)=2+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11)(11)+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11+ 6)(11)=\frac(28)(11)

Бутархай бутархайг холимог тоо руу хөрвүүлэхийн тулд:

• бутархайн хуваагчийг хуваагчаар нь хуваах;
• хуваалтын үлдэгдлийг тоонд бичиж, хуваагчийг хэвээр үлдээнэ;
• хуваалтын үр дүнг бүхэл тоогоор бичнэ.

Жишээ нь, бутархай \frac(23)(4) . 23:4=5.75-ыг хуваахад бүхэл хэсэг нь 5, үлдсэн хэсэг нь 23-5*4=3 болно. Дараа нь холимог тоо бичнэ: 5\frac(3)(4) . \frac(23)(4)=\frac(5\cdot4+3)(4)=5\frac(3)(4)

Аравтын тоог бутархай болгон хөрвүүлэх

Математик үйлдэл. Аравтын тоог бутархай болгон хөрвүүлэх

Аравтын бутархайг энгийн бутархай болгон хөрвүүлэхийн тулд та дараахь зүйлийг хийх хэрэгтэй.

1. аравын n-р зэрэглэлийг хуваагчаар авна (энд n нь аравтын бутархайн тоо);
2. тоологчийн хувьд аравтын бутархайн дараах тоог авна (хэрэв анхны тооны бүхэл хэсэг нь тэгтэй тэнцүү биш бол тэргүүлэгч бүх тэгийг авна);
3. тэг биш бүхэл хэсэг нь тоологчийн хамгийн эхэнд бичигдсэн; тэг бүхэл тоо хасагдсан.

Жишээ 1: 0.0089=\frac(89)(10000) (4 аравтын оронтой тул хуваагч нь 10 4 =10000 байна, бүхэл хэсэг нь 0 тул тоологч нь аравтын бутархайн дараах тоог тэгээр эхлээгүй) агуулна)

Жишээ 2: 31.0109=\frac(310109)(10000) (тоологч дээр бид аравтын бутархайн дараах тоог бүх тэгээр бичнэ: "0109", дараа нь түүний өмнө "31" анхны тооны бүхэл хэсгийг нэмнэ)

Хэрэв аравтын бутархай бүхэл хэсэг нь тэг биш бол түүнийг холимог бутархай болгон хувиргаж болно. Үүнийг хийхийн тулд бид бүхэл хэсэг нь тэгтэй тэнцүү юм шиг (1 ба 2-р цэгүүд) тоог энгийн бутархай болгон хувиргаж, бутархайн өмнө бүхэл хэсгийг дахин бичнэ - энэ нь холимог тооны бүхэл хэсэг болно. . Жишээ:

3.014=3\frac(14)(100)

Бутархайг аравтын бутархай руу хөрвүүлэхийн тулд тоологчийг хуваагчаар хуваана. Заримдаа та төгсгөлгүй аравтын бутархай болдог. Энэ тохиолдолд хүссэн аравтын бутархай руу дугуйлах шаардлагатай. Жишээ нь:

\frac(401)(5)=80.2;\quad \frac(2)(3)\ойролцоогоор 0.6667

Бутархайг үржүүлэх, хуваах

Математик үйлдэл. Бутархайг үржүүлэх, хуваах

Хоёр энгийн бутархайг үржүүлэхийн тулд та бутархайн тоо болон хуваагчийг үржүүлэх хэрэгтэй.

\frac(5)(9)\cdot\frac(7)(2)=\frac(5\cdot7)(9\cdot2)=\frac(35)(18)

Нэг энгийн бутархайг нөгөөд хуваахын тулд эхний бутархайг хоёр дахь бутархайгаар үржүүлэх хэрэгтэй ( харилцан бутархай- тоологч ба хуваагчийг сольж буй бутархай.

\frac(5)(9):\frac(7)(2)=\frac(5)(9)\cdot\frac(2)(7)=\frac(5\cdot2)(9\cdot7)= \frac(10)(63)

Хэрэв бутархайн аль нэг нь натурал тоо байвал дээрх үржүүлэх, хуваах дүрэм хүчинтэй хэвээр байна. Та бүхэл тоо нь ижил бутархай, хуваагч нь нэгтэй тэнцүү гэдгийг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Жишээ нь: 3:\frac(3)(7)=\frac(3)(1):\frac(3)(7)=\frac(3)(1)\cdot\frac(7)(3) = \frac(3\cdot7)(1\cdot3)=\frac(7)(1)=7

Хичээлийн агуулга

Ижил хуваагчтай бутархайг нэмэх

Бутархай нэмэх хоёр төрөл байдаг:

1. Ижил хуваагчтай бутархайг нэмэх
2. Өөр өөр хуваагчтай бутархайг нэмэх

Эхлээд ижил хуваагчтай бутархайг нэмэхийг сурцгаая. Энд бүх зүйл энгийн. Ижил хуваагчтай бутархайг нэмэхийн тулд тэдгээрийн тоог нэмж, хуваагчийг өөрчлөхгүй үлдээх хэрэгтэй. Жишээлбэл, бутархай ба . Тоолуурыг нэмж, хуваагчийг өөрчлөхгүй:

Хэрэв бид дөрвөн хэсэгт хуваагдсан пиццаны тухай санаж байвал энэ жишээг хялбархан ойлгож болно. Хэрэв та пицца дээр пицца нэмбэл та пицца авах болно:

Жишээ 2.Бутархай ба .

Хариулт нь буруу бутархай болж хувирав. Даалгаврын төгсгөл ирэхэд буруу бутархай хэсгүүдээс салах нь заншилтай байдаг. Буруу фракцаас салахын тулд та түүний бүх хэсгийг сонгох хэрэгтэй. Манай тохиолдолд бүхэл хэсэг нь амархан тусгаарлагддаг - хоёрыг хоёр хуваасан нь нэгтэй тэнцүү:

Хэрэв бид хоёр хэсэгт хуваагдсан пиццаны тухай санаж байвал энэ жишээг амархан ойлгож болно. Хэрэв та пиццадаа нэмж пицца нэмбэл нэг бүтэн пицца авах болно:

Жишээ 3. Бутархай ба .

Дахин хэлэхэд бид тоологчдыг нэмж, хуваагчийг өөрчлөхгүй үлдээнэ.

Гурван хэсэгт хуваагдсан пиццаны тухай санаж байвал энэ жишээг амархан ойлгож болно. Хэрэв та пиццадаа нэмж пицца нэмбэл та пицца авах болно:

Жишээ 4.Илэрхийллийн утгыг ол

Энэ жишээг өмнөх жишээнүүдийн нэгэн адил шийддэг. Тоолуурыг нэмж, хуваагчийг өөрчлөхгүй байх ёстой.

Зургийг ашиглан шийдлээ дүрслэхийг хичээцгээе. Хэрэв та пицца дээр пицца нэмээд нэмж пицца нэмбэл 1 бүхэл пицца, илүү олон пицца авах болно.

Таны харж байгаагаар ижил хуваагчтай бутархайг нэмэхэд төвөгтэй зүйл байхгүй. Дараах дүрмийг ойлгоход хангалттай.

1. Ижил хуваагчтай бутархайг нэмэхийн тулд тэдгээрийн тоог нэмж, хуваагчийг өөрчлөхгүй үлдээх хэрэгтэй;

Өөр өөр хуваагчтай бутархайг нэмэх

Одоо өөр өөр хуваагчтай бутархайг хэрхэн нэмэх талаар сурцгаая. Бутархайг нэмэхдээ бутархайн хуваагч ижил байх ёстой. Гэхдээ тэд үргэлж ижил байдаггүй.

Жишээлбэл, бутархай тоо байгаа тул нэмж болно ижил хуваагч.

Гэхдээ бутархайг шууд нэмэх боломжгүй, учир нь эдгээр бутархайнууд өөр өөр хуваагчтай байдаг. Ийм тохиолдолд бутархайг ижил (нийтлэг) хуваагч болгон бууруулах ёстой.

Бутархайг ижил хуваагч болгон бууруулах хэд хэдэн арга байдаг. Бусад аргууд нь эхлэгчдэд төвөгтэй мэт санагдаж болох тул өнөөдөр бид тэдгээрийн зөвхөн нэгийг нь авч үзэх болно.

Энэ аргын мөн чанар нь эхлээд хоёр бутархайн хуваагчийн LCM-ийг хайж олох явдал юм. Дараа нь LCM-ийг эхний нэмэлт хүчин зүйлийг олж авахын тулд эхний бутархайн хуваарьт хуваана. Тэд хоёр дахь фракцтай ижил зүйлийг хийдэг - LCM-ийг хоёр дахь фракцын хуваарьт хувааж, хоёр дахь нэмэлт хүчин зүйлийг олж авна.

Дараа нь бутархайн тоо ба хуваагчийг нэмэлт хүчин зүйлээр нь үржүүлнэ. Эдгээр үйлдлүүдийн үр дүнд өөр өөр хуваагчтай бутархайнууд ижил хуваарьтай бутархай болж хувирдаг. Ийм бутархайг хэрхэн нэмэхийг бид аль хэдийн мэддэг болсон.

Жишээ 1. ба бутархайг нэмье

Юуны өмнө бид хоёр бутархайн хуваагчийн хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олно. Эхний бутархайн хуваагч нь 3, хоёр дахь бутархайн хуваагч нь 2. Эдгээр тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь 6 байна.

LCM (2 ба 3) = 6

Одоо бутархай ба . Эхлээд LCM-ийг эхний бутархайн хуваагчаар хувааж, эхний нэмэлт хүчин зүйлийг авна. LCM нь 6-ын тоо бөгөөд эхний бутархайн хуваагч нь 3-ын тоо юм. 6-г 3-т хуваавал бид 2-ыг авна.

Үр дүнгийн тоо 2 нь эхний нэмэлт үржүүлэгч юм. Бид үүнийг эхний бутархай хүртэл бичдэг. Үүнийг хийхийн тулд бутархай дээр жижиг ташуу зураас хийж, дээр нь олдсон нэмэлт хүчин зүйлийг бичнэ үү.

Бид хоёр дахь бутархайтай ижил зүйлийг хийдэг. Бид LCM-ийг хоёр дахь бутархайн хуваагчаар хувааж, хоёр дахь нэмэлт хүчин зүйлийг авна. LCM нь 6-ын тоо, хоёр дахь бутархайн хуваагч нь 2. 6-г 2-т хуваавал бид 3-ыг авна.

Үр дүнгийн тоо 3 нь хоёр дахь нэмэлт үржүүлэгч юм. Бид үүнийг хоёр дахь бутархай хүртэл бичдэг. Дахин хэлэхэд, бид хоёр дахь бутархай дээр жижиг ташуу зураас хийж, дээр нь олдсон нэмэлт хүчин зүйлийг бичнэ.

Одоо бид нэмэлт зүйл хийхэд бэлэн байна. Бутархайн тоо ба хуваагчийг нэмэлт хүчин зүйлээр үржүүлэхэд л үлддэг.

Бидний юунд хүрснийг анхааралтай ажигла. Бид өөр хуваарьтай бутархайнууд ижил хуваарьтай бутархай болж хувирдаг гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн. Ийм бутархайг хэрхэн нэмэхийг бид аль хэдийн мэддэг болсон. Энэ жишээг эцэс хүртэл авч үзье:

Энэ нь жишээг гүйцээнэ. Энэ нь нэмэх болж байна.

Зургийг ашиглан шийдлээ дүрслэхийг хичээцгээе. Хэрэв та пиццанд пицца нэмбэл нэг бүтэн пицца, зургааны нэг пицца авна.

Бутархайг ижил (нийтлэг) хуваагч болгон багасгахыг мөн зураг ашиглан дүрсэлж болно. Бутархай болон нийтлэг хуваагчийг багасгаснаар бид бутархай ба . Эдгээр хоёр фракцыг ижил пиццаны хэсгүүдээр төлөөлөх болно. Цорын ганц ялгаа нь энэ удаад тэд тэнцүү хувьцаанд хуваагдана (ижил хуваарьт хүртэл бууруулна).

Эхний зураг нь бутархайг (зургаагаас дөрөв), хоёр дахь зураг нь бутархайг (зургаагаас гурав) илэрхийлнэ. Эдгээр хэсгүүдийг нэмснээр бид (зургаагаас долоон ширхэг) авна. Энэ хэсэг нь зохисгүй тул бид түүний бүх хэсгийг онцолсон. Үүний үр дүнд бид (нэг бүтэн пицца, өөр зургаа дахь пицца) авсан.

Бид энэ жишээг хэтэрхий дэлгэрэнгүй тайлбарласныг анхаарна уу. IN боловсролын байгууллагуудИйм дэлгэрэнгүй бичих нь заншил биш юм. Та хуваагч болон тэдгээрийн нэмэлт хүчин зүйлийн LCM-ийг хурдан олох, түүнчлэн олсон нэмэлт хүчин зүйлийг өөрийн тоо болон хуваагчаар хурдан үржүүлэх чадвартай байх хэрэгтэй. Хэрэв бид сургуульд байсан бол энэ жишээг дараах байдлаар бичих хэрэгтэй болно.

Гэхдээ бас байдаг арын талмедаль. Хэрэв та математикийн хичээлийн эхний шатанд нарийвчилсан тэмдэглэл хөтлөөгүй бол ийм төрлийн асуулт гарч ирж эхэлдэг. "Энэ тоо хаанаас гардаг вэ?", "Яагаад бутархайнууд гэнэт тэс өөр бутархай болж хувирдаг вэ? «.

Өөр өөр хуваагчтай бутархайг нэмэхэд хялбар болгохын тулд та дараах алхам алхмаар зааварчилгааг ашиглаж болно.

1. Бутархай бутархайн хуваагчийн LCM-ийг олох;
2. LCM-ийг бутархай бүрийн хуваарьт хувааж, бутархай тус бүрийн нэмэлт хүчин зүйлийг олж авах;
3. Бутархайн тоо ба хуваагчийг нэмэлт хүчин зүйлээр үржүүлэх;
4. Ижил хуваагчтай бутархайг нэмэх;
5. Хэрэв хариулт нь буруу бутархай болж хувирвал түүний бүх хэсгийг сонгоно уу;

Жишээ 2.Илэрхийллийн утгыг ол .

Дээр дурдсан зааврыг ашиглацгаая.

Алхам 1. Бутархай бутархайн хуваагчдыг ол

Хоёр бутархайн хуваагчийн LCM-ийг ол. Бутархайн хуваагч нь 2, 3, 4 гэсэн тоонууд юм

Алхам 2. LCM-ийг бутархай тус бүрийн хуваарьт хувааж, бутархай тус бүрийн нэмэлт хүчин зүйлийг авна.

LCM-ийг эхний бутархайн хуваагчаар хуваа. LCM нь 12-ын тоо бөгөөд эхний бутархайн хуваагч нь 2-ын тоо юм. 12-ыг 2-т хуваавал бид 6-г авна. Бид эхний нэмэлт хүчин зүйл 6-г авсан. Бид үүнийг эхний бутархайн дээр бичнэ.

Одоо бид LCM-ийг хоёр дахь бутархайн хуваагчаар хуваана. LCM нь 12-ын тоо бөгөөд хоёр дахь бутархайн хуваагч нь 3-ын тоо юм. 12-ыг 3-т хуваавал бид 4-ийг авна. Бид хоёр дахь нэмэлт хүчин зүйл 4-ийг авна. Бид үүнийг хоёр дахь бутархайн дээр бичнэ.

Одоо бид LCM-ийг гурав дахь бутархайн хуваагчаар хуваана. LCM нь 12-ын тоо бөгөөд гурав дахь бутархайн хуваагч нь 4-ийн тоо юм. 12-ыг 4-т хуваавал бид 3-ыг авна. Гурав дахь нэмэлт хүчин зүйл 3. Гурав дахь бутархайн дээр бид үүнийг бичнэ.

Алхам 3. Бутархайн тоо ба хуваагчийг нэмэлт хүчин зүйлээр нь үржүүл

Бид тоологч ба хуваагчийг нэмэлт хүчин зүйлээр нь үржүүлдэг.

Алхам 4. Ижил хуваагчтай бутархайг нэмнэ

Бид өөр хуваарьтай бутархайнууд ижил (нийтлэг) хуваагчтай бутархай болж хувирсан гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн. Эдгээр бутархайг нэмэх л үлдлээ. Үүнийг нэмнэ үү:

Нэмэлт нь нэг мөрөнд тохирохгүй байсан тул бид үлдсэн илэрхийлэлийг дараагийн мөрөнд шилжүүлсэн. Үүнийг математикт зөвшөөрдөг. Илэрхийлэл нэг мөрөнд багтахгүй бол дараагийн мөрөнд шилжих ба эхний мөрийн төгсгөл, шинэ мөрийн эхэнд тэнцүү (=) тэмдэг тавих шаардлагатай. Хоёр дахь мөрөнд байгаа тэнцүү тэмдэг нь эхний мөрөнд байсан илэрхийллийн үргэлжлэл гэдгийг харуулж байна.

Алхам 5. Хэрэв хариулт нь буруу бутархай гэж үзвэл түүний бүх хэсгийг сонгоно уу

Бидний хариулт буруу бутархай болж хувирав. Бид бүхэл бүтэн хэсгийг нь тодруулах ёстой. Бид онцолж байна:

Бид хариулт авсан

Ижил хуваагчтай бутархайг хасах

Бутархайг хасах хоёр төрөл байдаг:

1. Ижил хуваагчтай бутархайг хасах
2. Өөр өөр хуваагчтай бутархайг хасах

Эхлээд ижил хуваарьтай бутархайг хэрхэн хасах талаар сурцгаая. Энд бүх зүйл энгийн. Нэг бутархайгаас өөр нэгийг хасахын тулд эхний бутархайгаас хоёр дахь бутархайг хасах хэрэгтэй, харин хуваагчийг хэвээр үлдээх хэрэгтэй.

Жишээлбэл, илэрхийллийн утгыг олъё. Энэ жишээг шийдэхийн тулд эхний бутархайн хуваагчаас хоёр дахь бутархайн тоог хасч, хуваагчийг өөрчлөхгүй үлдээх хэрэгтэй. Үүнийг хийцгээе:

Хэрэв бид дөрвөн хэсэгт хуваагдсан пиццаны тухай санаж байвал энэ жишээг хялбархан ойлгож болно. Хэрэв та пиццанаас пицца хайчилж авбал та пицца авах болно:

Жишээ 2.Илэрхийллийн утгыг ол.

Дахин хэлэхэд, эхний бутархайн тоологчоос хоёр дахь бутархайг хасч, хуваагчийг хэвээр үлдээнэ үү.

Гурван хэсэгт хуваагдсан пиццаны тухай санаж байвал энэ жишээг амархан ойлгож болно. Хэрэв та пиццанаас пицца хайчилж авбал та пицца авах болно:

Жишээ 3.Илэрхийллийн утгыг ол

Энэ жишээг өмнөх жишээнүүдийн нэгэн адил шийддэг. Эхний бутархайн тоологчоос үлдсэн бутархайн тоог хасах хэрэгтэй.

Таны харж байгаагаар ижил хуваагчтай бутархайг хасахад төвөгтэй зүйл байхгүй. Дараах дүрмийг ойлгоход хангалттай.

1. Нэг бутархайгаас өөр нэгийг хасахын тулд эхний бутархайгаас хоёр дахь бутархайг хасч, хуваагчийг өөрчлөхгүй үлдээх хэрэгтэй;
2. Хэрэв хариулт нь буруу бутархай болж хувирвал та түүний бүх хэсгийг тодруулах хэрэгтэй.

Өөр өөр хуваагчтай бутархайг хасах

Жишээлбэл, бутархай нь ижил хуваагчтай тул бутархайг бутархайгаас хасаж болно. Гэхдээ та бутархайг бутархайгаас хасах боломжгүй, учир нь эдгээр бутархайнууд өөр өөр хуваагчтай байдаг. Ийм тохиолдолд бутархайг ижил (нийтлэг) хуваагч болгон бууруулах ёстой.

Өөр өөр хуваагчтай бутархайг нэмэхэд ашигладаг ижил зарчмыг ашиглан нийтлэг хуваагчийг олно. Юуны өмнө хоёр бутархайн хуваагчийн LCM-ийг ол. Дараа нь LCM-ийг эхний бутархайн хуваарьт хувааж, эхний нэмэлт хүчин зүйлийг олж авах бөгөөд энэ нь эхний бутархайн дээр бичигдэнэ. Үүний нэгэн адил LCM-ийг хоёр дахь бутархайн хуваарьт хувааж, хоёр дахь бутархайн дээр бичигдсэн хоёр дахь нэмэлт хүчин зүйлийг олж авна.

Дараа нь бутархайг нэмэлт хүчин зүйлээр нь үржүүлнэ. Эдгээр үйлдлүүдийн үр дүнд өөр өөр хуваагчтай бутархайг ижил хуваарьтай бутархай болгон хувиргадаг. Ийм бутархайг хэрхэн хасахаа бид аль хэдийн мэддэг болсон.

Жишээ 1.Илэрхийллийн утгыг ол:

Эдгээр бутархайнууд өөр өөр хуваагчтай тул тэдгээрийг ижил (нийтлэг) хуваагч болгон багасгах хэрэгтэй.

Эхлээд бид хоёр бутархайн хуваагчийн LCM-ийг олно. Эхний бутархайн хуваагч нь 3, хоёр дахь бутархайн хуваагч нь 4. Эдгээр тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь 12 байна.

LCM (3 ба 4) = 12

Одоо бутархай ба руу буцъя

Эхний бутархайн нэмэлт хүчин зүйлийг олъё. Үүнийг хийхийн тулд LCM-ийг эхний бутархайн хуваагчаар хуваана. LCM нь 12-ын тоо бөгөөд эхний бутархайн хуваагч нь 3-ын тоо юм. 12-ыг 3-т хуваавал бид 4-ийг авна. Эхний бутархайн дээр дөрөв бичнэ үү.

Бид хоёр дахь бутархайтай ижил зүйлийг хийдэг. LCM-ийг хоёр дахь бутархайн хуваагчаар хуваа. LCM нь 12-ын тоо бөгөөд хоёр дахь бутархайн хуваагч нь 4-ийн тоо юм. 12-ыг 4-т хуваавал бид 3-ыг авна. Хоёр дахь бутархай дээр гурвыг бичнэ үү.

Одоо бид хасахад бэлэн боллоо. Бутархайг нэмэлт хүчин зүйлээр нь үржүүлэхэд л үлддэг.

Бид өөр хуваарьтай бутархайнууд ижил хуваарьтай бутархай болж хувирдаг гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн. Ийм бутархайг хэрхэн хасахаа бид аль хэдийн мэддэг болсон. Энэ жишээг эцэс хүртэл авч үзье:

Бид хариулт авсан

Зургийг ашиглан шийдлээ дүрслэхийг хичээцгээе. Хэрэв та пиццанаас пицца хайчилж авбал та пицца авах болно

Энэ бол шийдлийн нарийвчилсан хувилбар юм. Хэрэв бид сургуульд байсан бол энэ жишээг арай богино хугацаанд шийдэх ёстой байсан. Ийм шийдэл нь иймэрхүү харагдах болно.

Бутархайг нийтлэг хуваагч болгон багасгахыг мөн зураг ашиглан дүрсэлж болно. Эдгээр бутархайг нийтлэг хуваагч болгон бууруулснаар бид бутархай ба . Эдгээр фракцууд нь ижил пиццаны зүсмэлүүдээр илэрхийлэгдэх боловч энэ удаад ижил хэсгүүдэд хуваагдах болно (ижил хуваагч хүртэл бууруулсан):

Эхний зураг нь бутархай (арван хоёроос найман хэсэг), хоёр дахь зураг нь бутархай (арван хоёроос гурван хэсэг) харуулж байна. Найман хэсгээс гурван ширхэгийг тасласнаар бид арван хоёроос таван ширхэгийг авдаг. Бутархай нь эдгээр таван хэсгийг дүрсэлдэг.

Жишээ 2.Илэрхийллийн утгыг ол

Эдгээр бутархайнууд өөр өөр хуваагчтай тул эхлээд ижил (нийтлэг) хуваагч болгон багасгах хэрэгтэй.

Эдгээр бутархайн хуваагчдын LCM-ийг олъё.

Бутархайн хуваагч нь 10, 3, 5 гэсэн тоонууд юм. Эдгээр тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь 30 юм.

LCM(10, 3, 5) = 30

Одоо бид бутархай тус бүрийн нэмэлт хүчин зүйлийг олдог. Үүнийг хийхийн тулд LCM-ийг бутархай тус бүрийн хуваагчаар хуваана.

Эхний бутархайн нэмэлт хүчин зүйлийг олъё. LCM нь 30-ын тоо бөгөөд эхний бутархайн хуваагч нь 10-ийн тоо юм. 30-ыг 10-д хуваавал бид эхний нэмэлт хүчин зүйл 3-ыг авна. Бид үүнийг эхний бутархайн дээр бичнэ.

Одоо бид хоёр дахь бутархайн нэмэлт хүчин зүйлийг оллоо. LCM-ийг хоёр дахь бутархайн хуваагчаар хуваа. LCM нь 30-ын тоо бөгөөд хоёр дахь бутархайн хуваагч нь 3-ын тоо юм. 30-ыг 3-т хуваавал бид хоёр дахь нэмэлт хүчин зүйл 10-ыг авна. Бид үүнийг хоёр дахь бутархайн дээр бичнэ.

Одоо бид гурав дахь бутархайн нэмэлт хүчин зүйлийг оллоо. LCM-ийг гурав дахь бутархайн хуваагчаар хуваа. LCM нь 30-ын тоо, гурав дахь бутархайн хуваагч нь 5. 30-ыг 5-д хуваавал бид гурав дахь нэмэлт хүчин зүйл 6-г авна. Гурав дахь бутархайн дээр бид үүнийг бичнэ.

Одоо бүх зүйл хасахад бэлэн боллоо. Бутархайг нэмэлт хүчин зүйлээр нь үржүүлэхэд л үлддэг.

Бид өөр хуваарьтай бутархайнууд ижил (нийтлэг) хуваагчтай бутархай болж хувирсан гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн. Ийм бутархайг хэрхэн хасахаа бид аль хэдийн мэддэг болсон. Энэ жишээг дуусгая.

Жишээний үргэлжлэл нь нэг мөрөнд багтахгүй тул бид үргэлжлэлийг дараагийн мөрөнд шилжүүлнэ. Шинэ мөрөнд тэнцүү (=) тэмдгийн талаар бүү мартаарай:

Хариулт нь ердийн бутархай болж хувирсан бөгөөд бүх зүйл бидэнд тохирсон мэт боловч энэ нь хэтэрхий төвөгтэй, муухай юм. Бид үүнийг илүү хялбар болгох ёстой. Юу хийж болох вэ? Та энэ хэсгийг богиносгож болно.

Бутархайг багасгахын тулд түүний хүртэгч ба хуваагчийг 20 ба 30 тоонуудын (GCD) тоонд хуваах хэрэгтэй.

Тиймээс бид 20 ба 30 тоонуудын gcd-г олно.

Одоо бид жишээ рүүгээ буцаж, бутархайн хуваагч ба хуваагчийг олсон gcd, өөрөөр хэлбэл 10-д хуваана.

Бид хариулт авсан

Бутархайг тоогоор үржүүлэх

Бутархайг тоогоор үржүүлэхийн тулд бутархайн тоог тэр тоогоор үржүүлж, хуваагчийг өөрчлөхгүй үлдээх хэрэгтэй.

Жишээ 1. Бутархайг 1-ээр үржүүл.

Бутархайн тоог 1-ээр үржүүлнэ

Бичлэгийг хагас 1 удаа авдаг гэж ойлгож болно. Жишээлбэл, та нэг удаа пицца авбал пицца авдаг

Үржүүлэх хуулиас бид үржүүлэгч ба хүчин зүйлийг сольсон тохиолдолд үржвэр өөрчлөгдөхгүй гэдгийг бид мэднэ. Хэрэв илэрхийлэл гэж бичсэн бол үржвэр нь -тэй тэнцүү хэвээр байх болно. Дахин хэлэхэд бүхэл тоо ба бутархайг үржүүлэх дүрэм ажиллана.

Энэ тэмдэглэгээ нь нэгийн талыг авсан гэж ойлгож болно. Жишээлбэл, хэрэв 1 бүтэн пицца байгаа бол бид хагасыг нь авбал бид пиццатай болно:

Жишээ 2. Илэрхийллийн утгыг ол

Бутархайн тоог 4-өөр үржүүлнэ

Хариулт нь буруу бутархай байв. Үүний бүх хэсгийг тодруулъя:

Энэ илэрхийлэл нь дөрөвний хоёрыг 4 удаа авна гэж ойлгож болно. Жишээлбэл, та 4 пицца авбал хоёр бүтэн пицца авах болно

Хэрэв бид үржүүлэгч ба үржүүлэгчийг солих юм бол бид илэрхийллийг авна. Энэ нь мөн 2-той тэнцүү байх болно. Энэ илэрхийлэл нь дөрвөн бүх пиццанаас хоёр пицца авах гэж ойлгож болно.

Бутархайгаар үржүүлж буй тоо болон бутархайн хуваагч нь нэгээс их нийтлэг хүчин зүйлтэй бол шийдэгдэнэ.

Жишээлбэл, илэрхийлэлийг хоёр аргаар үнэлж болно.

Эхний арга. 4-ийн тоог бутархайн хуваагчаар үржүүлж, бутархайн хуваагчийг өөрчлөхгүй орхи.

Хоёр дахь арга зам. Дөрөвийг үржүүлж, бутархайн хуваагч дахь дөрөвийг багасгаж болно. Хоёр дөрвийн хамгийн том нийтлэг хуваагч нь дөрөв өөрөө байдаг тул эдгээр дөрвийг 4-өөр багасгаж болно.

Бид ижил үр дүнд хүрсэн 3. Дөрөвийг багасгасны дараа тэдний оронд шинэ тоо бий болно: хоёр нэг. Гэхдээ нэгийг гураваар үржүүлээд дараа нь нэгээр хуваахад юу ч өөрчлөгдөхгүй. Тиймээс шийдлийг товчхон бичиж болно:

Бид эхний аргыг ашиглахаар шийдсэн ч гэсэн бууралтыг хийж болно, гэхдээ 4 тоо ба 3 дугаарыг үржүүлэх үе шатанд бид бууралтыг ашиглахаар шийдсэн.

Гэхдээ жишээ нь, илэрхийллийг зөвхөн эхний аргаар тооцоолж болно - 7-г бутархайн хуваагчаар үржүүлж, хуваагчийг өөрчлөхгүй үлдээнэ үү.

Энэ нь 7-ын тоо болон бутархайн хуваагч нь нэгээс их нийтлэг хуваагчгүй, үүний дагуу цуцлагдахгүй байгаатай холбоотой юм.

Зарим оюутнууд үржүүлж буй тоо болон бутархайн хуваагчийг андуурч богиносгодог. Та үүнийг хийж чадахгүй. Жишээлбэл, дараах оруулга буруу байна:

Бутархайг багасгах нь үүнийг хэлж байна тоологч ба хуваагч хоёулааижил тоогоор хуваагдана. Илэрхийлэлтэй нөхцөлд хуваах нь зөвхөн тоологч дээр хийгддэг, учир нь үүнийг бичих нь бичихтэй адил юм. Бид хуваах нь зөвхөн тоологч хэсэгт хийгддэг бөгөөд хуваалт нь хуваалтад тохиолддоггүй гэдгийг бид харж байна.

Бутархайг үржүүлэх

Бутархайг үржүүлэхийн тулд тэдгээрийн тоо болон хуваагчийг үржүүлэх хэрэгтэй. Хэрэв хариулт нь буруу бутархай болж хувирвал та түүний бүх хэсгийг тодруулах хэрэгтэй.

Жишээ 1.Илэрхийллийн утгыг ол.

Бид хариулт авсан. Энэ хэсгийг багасгахыг зөвлөж байна. Бутархайг 2-оор багасгаж болно. Дараа нь эцсийн шийдэл нь дараах хэлбэртэй болно.

Энэ илэрхийлэл нь хагас пиццанаас пицца авах гэж ойлгож болно. Бидэнд хагас пицца байна гэж бодъё:

Энэ хагасаас гуравны хоёрыг яаж авах вэ? Эхлээд та энэ хагасыг гурван тэнцүү хэсэгт хуваах хэрэгтэй.

Мөн эдгээр гурван хэсгээс хоёрыг аваарай:

Бид пицца хийх болно. Гурван хэсэгт хуваахад пицца ямар байдгийг санаарай.

Энэ пиццаны нэг хэсэг болон бидний авсан хоёр хэсэг ижил хэмжээтэй байна:

Өөрөөр хэлбэл, бид ижил хэмжээтэй пиццаны тухай ярьж байна. Тиймээс илэрхийллийн утга нь байна

Жишээ 2. Илэрхийллийн утгыг ол

Эхний бутархайн хуваагчийг хоёр дахь бутархайн хуваагчаар, эхний бутархайн хуваагчийг хоёр дахь бутархайн хуваагчаар үржүүлнэ.

Хариулт нь буруу бутархай байв. Үүний бүх хэсгийг тодруулъя:

Жишээ 3.Илэрхийллийн утгыг ол

Эхний бутархайн хуваагчийг хоёр дахь бутархайн хуваагчаар, эхний бутархайн хуваагчийг хоёр дахь бутархайн хуваагчаар үржүүлнэ.

Хариулт нь жирийн бутархай болж таарсан ч богиносговол зүгээр. Энэ бутархайг багасгахын тулд та энэ бутархайн хуваагч ба хуваагчийг 105 ба 450 тоонуудын хамгийн их нийтлэг хуваагч (GCD)-д хуваах хэрэгтэй.

Ингээд 105 ба 450 тоонуудын gcd-г олъё:

Одоо бид хариултынхаа тоологч ба хуваагчийг одоо олсон gcd-д, өөрөөр хэлбэл 15-д хуваана.

Бүхэл тоог бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх

Аливаа бүхэл тоог бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно. Жишээлбэл, 5-ын тоог . Энэ нь тавын утгыг өөрчлөхгүй, учир нь "тавын тоог нэгээр хуваасан" гэсэн утгатай бөгөөд энэ нь бидний мэдэж байгаагаар тавтай тэнцүү юм.

Харилцан тоо

Одоо бид маш их танилцах болно сонирхолтой сэдэвматематикт. Үүнийг "урвуу тоо" гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт. Тоо руу буцаха нь үржүүлбэл тоо юма нэгийг өгдөг.

Энэ тодорхойлолтод хувьсагчийн оронд орлуулъя адугаар 5 ба тодорхойлолтыг уншиж үзээрэй:

Тоо руу буцах 5 нь үржүүлбэл тоо юм 5 нэгийг өгдөг.

5-аар үржүүлэхэд нэгийг өгөх тоог олох боломжтой юу? Энэ нь боломжтой болж байна. Тавыг бутархай гэж төсөөлье:

Дараа нь энэ бутархайг өөрөө үржүүлж, зөвхөн тоологч ба хуваагчийг солино. Өөрөөр хэлбэл, бутархайг зөвхөн урвуугаар нь үржүүлье:

Үүний үр дүнд юу болох вэ? Хэрэв бид энэ жишээг үргэлжлүүлэн шийдвэл бид нэгийг авна.

Энэ нь 5-ын урвуу нь тоо гэсэн үг, учир нь 5-аар үржүүлснээр та нэг болно.

Тооны эсрэг тоог бусад бүхэл тоонд мөн олж болно.

Та мөн бусад бутархайн хариуг олж болно. Үүнийг хийхийн тулд зүгээр л эргүүлээрэй.

Бутархайг тоонд хуваах

Бидэнд хагас пицца байна гэж бодъё:

Хоёулаа тэнцүү хувааж авъя. Хүн бүр хэр их пицца авах вэ?

Пиццаны талыг хуваасны дараа хоёр тэнцүү хэсгийг олж авсан бөгөөд тус бүр нь пицца болж байна. Тиймээс хүн бүр пицца авдаг.

1º. Бүхэл тоо - Эдгээр нь тоолоход хэрэглэгддэг тоонууд юм. Бүх натурал тоонуудын олонлогийг N, өөрөөр хэлбэл N=(1, 2, 3, …) гэж тэмдэглэнэ.

Бутархайнь нэгжийн хэд хэдэн бутархай хэсгээс бүрдэх тоо юм. Энгийн бутархайнь натурал тоо гэсэн хэлбэрийн тоо юм nнэгж хэдэн тэнцүү хэсэгт хуваагдаж, натурал тоог харуулна мхэчнээн ийм тэнцүү хэсгийг авсныг харуулж байна. Тоонууд мТэгээд nдагуу дуудагддаг тоологчТэгээд хуваагчбутархай

Хэрэв тоологч нь хуваагчаас бага бол бутархайг дуудна зөв; хэрэв тоо нь хуваагчтай тэнцүү буюу түүнээс их бол бутархайг дуудна буруу. Бүхэл тоо ба бутархай хэсгээс бүрдсэн тоог дуудна холимог тоо.

Жишээлбэл,
- зөв энгийн бутархай,
- буруу жирийн бутархай, 1 нь холимог тоо.

2º. Энгийн бутархайтай үйлдэл хийхдээ дараах дүрмийг санах хэрэгтэй.

1)Бутархайн үндсэн шинж чанар. Бутархайн хуваагч ба хуваагчийг ижил натурал тоогоор үржүүлж эсвэл хуваавал өгөгдсөнтэй тэнцэх бутархай гарна.

Жишээлбэл, a)
; б)
.

Бутархайн хуваагч ба хуваагчийг нэгээс өөр нийтлэг хуваагчаар нь хуваахыг гэнэ. хэсгийг багасгах.

2) Холимог тоог буруу бутархай хэлбэрээр илэрхийлэхийн тулд та түүний бүхэл хэсгийг бутархай хэсгийн хуваагчаар үржүүлж, үр дүнгийн үржвэрт бутархай хэсгийн тоог нэмж, үр дүнг бутархайн тоогоор бичих хэрэгтэй. мөн хуваагчийг хэвээр үлдээнэ үү.

Үүний нэгэн адил ямар ч натурал тоог ямар ч хуваарьтай буруу бутархай хэлбэрээр бичиж болно.

Жишээлбэл, a)
, учир нь
; б)
гэх мэт.

3) Буруу бутархайг холимог тоо болгон бичихийн тулд (жишээ нь, бүхэл хэсгийг буруу бутархайгаас салгах) та хуваагчийг хуваагчаар хувааж, хуваалтын хэсгийг бүхэл тоогоор, үлдэгдлийг тоологч болгон авах хэрэгтэй. , мөн хуваагчийг хэвээр үлдээнэ үү.

Жишээлбэл, a)
, 200 оноос хойш: 7 = 28 (амралт. 4); б)
, 20-оос хойш: 5 = 4 (0 үлдсэн).

4) Бутархайг хамгийн бага нийтлэг хуваагч болгон багасгахын тулд та эдгээр бутархайн хуваагчдын хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг (LCM) олох хэрэгтэй (энэ нь тэдний хамгийн бага нийтлэг хуваарь байх болно), хамгийн бага нийтлэг хуваарийг эдгээр бутархайн хуваагчдад хуваах хэрэгтэй ( өөрөөр хэлбэл бутархайн нэмэлт хүчин зүйлийг олох) , бутархай бүрийн хүртэгч ба хуваагчийг нэмэлт хүчин зүйлээр үржүүлнэ.

Жишээлбэл, бутархай тоог өгье
хамгийн бага нийтлэг хуваагч руу:

,
,
;

630: 18 = 35, 630: 10 = 63, 630: 21 = 30.

гэсэн үг,
;
;
.

5) Энгийн бутархай дээр арифметик үйлдлийн дүрэм:

a) Ижил хуваагчтай бутархайг нэмэх, хасах үйлдлийг дараах дүрмийн дагуу гүйцэтгэнэ.

.

б) Өөр өөр хуваарьтай бутархайг нэмэх, хасах үйлдлийг а) дүрмийн дагуу эхлээд бутархайг хамгийн бага нийтлэг хуваарьт хүртэл бууруулсны дараа гүйцэтгэнэ.

в) Холимог тоог нэмэх, хасахдаа тэдгээрийг буруу бутархай болгон хувиргаж, дараа нь a) ба b) дүрмийг дагаж мөрдөж болно.

d) Бутархайг үржүүлэхдээ дараах дүрмийг ашиглана.

.

e) Нэг бутархайг нөгөөд хуваахын тулд та ногдол ашгийг хуваагчийн эсрэгээр үржүүлэх хэрэгтэй.

.

е) Холимог тоог үржүүлэх, хуваахдаа эхлээд буруу бутархай болгон хувиргаж, дараа нь d) ба e) дүрмийг ашиглана.

3º. Бутархайтай бүх үйлдлүүдийн жишээг шийдэхдээ хаалтанд байгаа үйлдлүүдийг эхлээд гүйцэтгэнэ гэдгийг санаарай. Хаалтны дотор болон гадна аль алиныг нь эхлээд үржүүлэх, хуваах, дараа нь нэмэх, хасах үйлдлийг гүйцэтгэдэг.

Дээрх дүрмийн хэрэгжилтийг жишээн дээр авч үзье.

Жишээ 1. Тооцоол:
.

1)
;

2)
;

5)
. Хариулт: 3.