Би хувьсах суурьтай USE логарифмын тэгш бус байдлыг шийдэх болно. Логарифмын тэгш бус байдлын тухай бүгд

АШИГЛАЛТЫН ЛОГАРИФМИЙН ТЭГШ БУС БАЙДАЛ

Сечин Михаил Александрович

Жижиг академиБүгд Найрамдах Казахстан улсын оюутнуудад зориулсан шинжлэх ухаан "Искател"

MBOU "Советская №1 дунд сургууль", 11-р анги, хот. Советский Советский дүүрэг

Гунко Людмила Дмитриевна, "Советская 1-р дунд сургууль" хотын төсвийн боловсролын байгууллагын багш.

Советский дүүрэг

Ажлын зорилго:С3 логарифмын тэгш бус байдлыг стандарт бус аргаар шийдвэрлэх механизмыг судлах, тодорхойлох сонирхолтой баримтуудлогарифм

Судалгааны сэдэв:

3) Стандарт бус аргуудыг ашиглан тусгай логарифмын С3 тэгш бус байдлыг шийдэж сурах.

Үр дүн:

Агуулга

Танилцуулга………………………………………………………………………………….4

Бүлэг 1. Асуудлын түүх……………………………………………………5

Бүлэг 2. Логарифмын тэгш бус байдлын цуглуулга ………………………… 7

2.1. Эквивалент шилжилт ба интервалын ерөнхий арга ………… 7

2.2. Үндэслэлчлэх арга…………………………………………………………… 15

2.3. Стандарт бус орлуулалт …………………………………… ............ ..... 22

2.4. Хавхтай даалгавар………………………………………………27

Дүгнэлт……………………………………………………………………………… 30

Уран зохиол………………………………………………………………… 31

Оршил

Би 11-р ангид сурдаг, үндсэн хичээл нь математик байдаг их сургуульд орохоор төлөвлөж байна. Тийм ч учраас би С хэсгийн бодлоготой маш их ажилладаг. С3 даалгаварт би ихэвчлэн логарифмтай холбоотой стандарт бус тэгш бус байдал эсвэл тэгш бус байдлын системийг шийдэх хэрэгтэй. Шалгалтанд бэлдэж байх үед би C3-т санал болгож буй шалгалтын логарифмын тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх арга, техникийн хомсдолтой тулгарсан. Сургуулийн сургалтын хөтөлбөрт энэ сэдвээр судлагдсан аргууд нь С3 даалгавруудыг шийдвэрлэх үндэслэл болохгүй. Математикийн багш намайг түүний удирдлаган дор С3 даалгаврууд дээр бие даан ажиллахыг санал болгосон. Үүнээс гадна би асуултыг сонирхож байсан: бид амьдралдаа логарифмуудтай тулгардаг уу?

Үүнийг харгалзан дараах сэдвийг сонгосон.

"Улсын нэгдсэн шалгалтын логарифмын тэгш бус байдал"

Ажлын зорилго:стандарт бус аргуудыг ашиглан C3 асуудлыг шийдвэрлэх механизмыг судлах, логарифмын талаархи сонирхолтой баримтуудыг тодорхойлох.

Судалгааны сэдэв:

1) Логарифмын тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх стандарт бус аргуудын талаар шаардлагатай мэдээллийг олох.

2) Логарифмын талаарх нэмэлт мэдээллийг ол.

3) Стандарт бус аргуудыг ашиглан тодорхой С3 бодлогуудыг шийдэж сур.

Үр дүн:

Практик ач холбогдол C3 асуудлыг шийдвэрлэх аппаратыг өргөжүүлэхээс бүрдэнэ. Энэ материалыг зарим хичээл, дугуйлан, математикийн сонгон хичээлд ашиглаж болно.

Төслийн бүтээгдэхүүн нь "С3 логарифмын тэгш бус байдлын шийдэлтэй" цуглуулга байх болно.

Бүлэг 1. Суурь мэдээлэл

16-р зууны туршид ойролцоогоор тооцооллын тоо, ялангуяа одон орон судлалд хурдацтай өссөн. Багаж хэрэгслийг сайжруулах, гаригуудын хөдөлгөөнийг судлах болон бусад ажилд асар их, заримдаа олон жилийн тооцоо шаардлагатай байв. Одон орон судлал биелэгдээгүй тооцоололд живэх бодит аюулд оров. Бусад салбарт бэрхшээлүүд гарч ирэв, жишээлбэл, даатгалын бизнест янз бүрийн хүүгийн нийлмэл хүүгийн хүснэгт шаардлагатай байв. Гол бэрхшээл нь олон оронтой тоо, ялангуяа тригонометрийн хэмжигдэхүүнүүдийг үржүүлэх, хуваах явдал байв.

Логарифмын нээлт нь 16-р зууны төгсгөлд сайн мэддэг байсан прогрессийн шинж чанарууд дээр үндэслэсэн юм. Геометр прогрессийн q, q2, q3, ... болон гишүүний хоорондох холболтын тухай арифметик прогресстэдгээрийн үзүүлэлтүүд нь 1, 2, 3,... Архимед “Псалмит” номдоо хэлсэн байдаг. Өөр нэг урьдчилсан нөхцөл бол градусын үзэл баримтлалыг сөрөг болон бутархай илтгэгч болгон өргөжүүлэх явдал байв. Геометрийн прогресс дахь үржүүлэх, хуваах, экспонентацилах, үндэс гарган авах нь арифметикт ижил дарааллаар - нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах үйлдлүүдтэй тохирч байгааг олон зохиогч онцолсон байдаг.

Энд логарифмыг илтгэгч болгох санаа гарч ирэв.

Логарифмын сургаалын хөгжлийн түүхэнд хэд хэдэн үе шат дамжсан.

1-р шат

Логарифмыг 1594 оноос хойш Шотландын Барон Напиер (1550-1617), арван жилийн дараа Швейцарийн механик Бурги (1552-1632) бие даан зохион бүтээжээ. Хоёулаа энэ асуудалд янз бүрийн аргаар хандсан ч арифметик тооцооллын шинэ, тохиромжтой хэрэгслийг өгөхийг хүссэн. Напиер логарифмын функцийг кинематик байдлаар илэрхийлж, улмаар функцийн онолын шинэ талбарт оржээ. Бурги нь салангид прогрессийг авч үзэх үндсэн дээр үлдсэн. Гэсэн хэдий ч хоёулангийнх нь логарифмын тодорхойлолт нь орчин үеийнхтэй төстэй биш юм. "Логарифм" (логарифм) гэсэн нэр томъёо нь Напиерт хамаардаг. Энэ нь "харилцааны тоо" гэсэн утгатай logos - "харилцаа" ба ariqmo - "тоо" гэсэн грек үгсийн нийлбэрээс үүссэн. Эхэндээ Напиер өөр нэр томъёог ашигласан: numeri artificiales - "хиймэл тоо", numeri naturalts - "натурал тоо" гэсэн үгийн эсрэг.

1615 онд Лондонгийн Греш коллежийн математикийн профессор Генри Бриггс (1561-1631) -тэй ярилцахдаа Непиер тэгийг нэгийн логарифм, 100-ыг аравын логарифм гэж авахыг санал болгов. зүйл, зүгээр л 1. Аравтын логарифмууд болон анхны логарифмын хүснэгтүүдийг ингэж хэвлэсэн. Хожим нь Бригсийн хүснэгтүүдийг Голландын ном худалдагч, математик сонирхогч Адриан Флаккус (1600-1667) нэмж оруулсан байна. Напиер, Бриггс нар хэдийгээр логарифм дээр бусдаас эрт ирсэн ч хүснэгтээ бусдаасаа хожуу буюу 1620 онд нийтэлсэн. Тэмдгийн бүртгэл ба Бүртгэлийг 1624 онд И.Кеплер нэвтрүүлсэн. “Натурал логарифм” гэсэн нэр томъёог 1659 онд Менголи, 1668 онд Н.Меркатор нэвтрүүлж, Лондонгийн багш Жон Шпейдель 1-1000 хүртэлх тооны натурал логарифмын хүснэгтүүдийг “Шинэ логарифм” нэрээр хэвлүүлжээ.

Анхны логарифмын хүснэгтүүд 1703 онд орос хэл дээр хэвлэгдсэн. Гэхдээ бүх логарифмын хүснэгтэд тооцооллын алдаа гарсан. Анхны алдаагүй хүснэгтүүдийг 1857 онд Германы математикч К.Бремикер (1804-1877) боловсруулан Берлинд хэвлүүлжээ.

2-р шат

Логарифмын онолын цаашдын хөгжил нь аналитик геометр ба хязгааргүй жижиг тооцооллын өргөн хэрэглээтэй холбоотой юм. Тэр үед тэгш талт гиперболын квадрат ба натурал логарифмын хоорондох холбоо тогтоогдсон байв. Энэ үеийн логарифмын онол нь олон тооны математикчдын нэртэй холбоотой байдаг.

Германы математикч, одон орон судлаач, инженер Николаус Меркаторын эссэ

"Logarithmotechnics" (1668) нь ln(x+1)-ийн тэлэлтийг харуулсан цувралыг өгдөг.

x-ийн хүч:

Энэ илэрхийлэл нь түүний бодлын явцтай яг таарч байгаа боловч тэр мэдээж d, ... тэмдгийг ашиглаагүй ч илүү төвөгтэй бэлгэдэл юм. Логарифмын цувааг нээснээр логарифмыг тооцоолох техник өөрчлөгдсөн: тэдгээрийг хязгааргүй цуваа ашиглан тодорхойлж эхлэв. Ф.Клейн 1907-1908 онд уншсан “Анхан шатны математикийг дээд өнцгөөс” лекцэндээ логарифмын онолыг бүтээх эхлэлийн цэг болгон томъёог ашиглахыг санал болгосон.

3-р шат

Логарифм функцийг урвуу функц гэж тодорхойлох

экспоненциал, өгөгдсөн суурийн илтгэгч болох логарифм

нэн даруй томъёолсонгүй. Леонхард Эйлерийн эссэ (1707-1783)

"Хязгааргүй жижиг тоонуудын шинжилгээний танилцуулга" (1748) нь цаашдаа үйлчилсэн

логарифмын функцүүдийн онолыг хөгжүүлэх. Тиймээс,

Логарифмыг анх нэвтрүүлснээс хойш 134 жил өнгөрчээ

(1614 оноос эхлэн тоолох), математикчид тодорхойлолтод ирэхээс өмнө

одоо сургуулийн хичээлийн үндэс болсон логарифмын тухай ойлголт.

Бүлэг 2. Логарифмын тэгш бус байдлын цуглуулга

2.1. Эквивалент шилжилт ба интервалын ерөнхий арга.

Эквивалент шилжилтүүд

, хэрэв a > 1

, хэрэв 0 < а < 1

Ерөнхий интервалын арга

Энэ арга нь бараг бүх төрлийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх хамгийн түгээмэл арга юм. Шийдлийн диаграм дараах байдалтай байна.

1. Тэгш бус байдлыг зүүн талын функц байх хэлбэрт оруул
, баруун талд 0.

2. Функцийн мужийг ол
.

3. Функцийн тэгийг ол
, өөрөөр хэлбэл тэгшитгэлийг шийднэ
(мөн тэгшитгэлийг шийдэх нь тэгш бус байдлыг шийдэхээс илүү хялбар байдаг).

4. Тоон мөрөнд функцийн тодорхойлолтын муж ба тэгийг зур.

5. Функцийн тэмдгүүдийг тодорхойл
олж авсан интервалууд дээр.

6. Функц шаардлагатай утгыг авах интервалуудыг сонгоод хариултыг бичнэ үү.

Жишээ 1.

Шийдэл:

Интервалын аргыг хэрэглэцгээе

хаана

Эдгээр утгын хувьд логарифмын тэмдгийн доорх бүх илэрхийлэл эерэг байна.

Хариулт:

Жишээ 2.

Шийдэл:

1-р арга зам . ADL нь тэгш бус байдлаар тодорхойлогддог x> 3. Иймд логарифм авах x 10-ын суурь руу бид авна

Сүүлийн тэгш бус байдлыг өргөтгөх дүрмийг ашиглан шийдэж болно, жишээлбэл. хүчин зүйлсийг тэгтэй харьцуулах. Гэхдээ энэ тохиолдолд функцийн тогтмол тэмдгийн интервалыг тодорхойлоход хялбар байдаг

тиймээс интервалын аргыг хэрэглэж болно.

Чиг үүрэг е(x) = 2x(x- 3.5)lgǀ x- 3ǀ нь үргэлжилсэн байна x> 3 ба цэгүүдэд алга болно x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Ингээд функцийн тогтмол тэмдгийн интервалуудыг тодорхойлно е(x):

Хариулт:

2-р арга . Анхны тэгш бус байдалд интервалын аргын санааг шууд хэрэглэцгээе.

Үүнийг хийхийн тулд илэрхийлэл гэдгийг санаарай аб- ав ба ( а - 1)(б- 1) нэг тэмдэгтэй байна. Дараа нь бидний тэгш бус байдал x> 3 нь тэгш бус байдалтай тэнцэнэ

эсвэл

Сүүлийн тэгш бус байдлыг интервалын аргыг ашиглан шийддэг

Хариулт:

Жишээ 3.

Шийдэл:

Интервалын аргыг хэрэглэцгээе

Хариулт:

Жишээ 4.

Шийдэл:

2 оноос хойш x 2 - 3x+ 3 > 0 бүх бодит x, Тэр

Хоёр дахь тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхийн тулд интервалын аргыг ашигладаг

Эхний тэгш бус байдалд бид орлуулалтыг хийдэг

Дараа нь бид 2y 2 тэгш бус байдалд хүрнэ - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, тэгш бус байдлыг хангадаг -0.5< y < 1.

Хаанаас, түүнээс хойш

Бид тэгш бус байдлыг олж авдаг

ямар үед хийгддэг x, үүний төлөө 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Одоо системийн хоёр дахь тэгш бус байдлын шийдлийг харгалзан бид эцэст нь олж авна

Хариулт:

Жишээ 5.

Шийдэл:

Тэгш бус байдал нь системийн цуглуулгатай тэнцэнэ

эсвэл

Интервалын аргыг ашиглая эсвэл

Хариулах:

Жишээ 6.

Шийдэл:

Тэгш бус байдал нь системтэй тэнцүү

Болъё

Дараа нь y > 0,

ба эхний тэгш бус байдал

систем хэлбэрийг авдаг

эсвэл задлах

квадрат гурвалсан хүчин зүйл,

Сүүлийн тэгш бус байдалд интервалын аргыг хэрэглэх,

Түүний шийдэл нь нөхцөлийг хангаж байгааг бид харж байна y> 0 нь бүгд байх болно y > 4.

Тиймээс анхны тэгш бус байдал нь системтэй тэнцүү байна:

Тиймээс тэгш бус байдлын шийдлүүд бүгд байна

2.2. оновчтой болгох арга.

Өмнө нь тэгш бус байдлыг оновчтой болгох аргыг ашигладаггүй байсан; Энэ бол "шинэ орчин үеийн" үр дүнтэй аргаЭкспоненциал ба логарифм тэгш бус байдлын шийдлүүд" (С.И. Колесниковагийн номноос иш татсан)
Багш нь түүнийг таньдаг байсан ч гэсэн айдас байсан - Улсын нэгдсэн шалгалтын шинжээч түүнийг мэддэг үү, яагаад сургууль дээр нь өгдөггүй юм бэ? Багш нь шавьдаа: "Чи үүнийг хаанаас авсан бэ - 2" гэж хэлэх тохиолдол байсан.
Одоо энэ аргыг хаа сайгүй сурталчилж байна. Мэргэжилтнүүдийн хувьд энэ аргатай холбоотой удирдамжууд байдаг бөгөөд C3 шийдэл дэх "Стандарт сонголтуудын хамгийн бүрэн хувилбарууд ..." -д энэ аргыг ашигладаг.
ГАЙХАЛТАЙ АРГА!

"Шидэт ширээ"

Бусад эх сурвалжид

Хэрэв a >1 ба b >1, дараа нь log a b >0 ба (a -1)(b -1)>0;

Хэрэв a >1 ба 0

хэрэв 0<а<1 и b >1, дараа нь лог a b<0 и (a -1)(b -1)<0;

хэрэв 0<а<1 и 00 ба (a -1)(b -1)>0.

Гүйцэтгэсэн үндэслэл нь энгийн боловч логарифмын тэгш бус байдлын шийдлийг ихээхэн хялбаршуулдаг.

Жишээ 4.

log x (x 2 -3)<0

Шийдэл:

Жишээ 5.

log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x )

Шийдэл:

Хариулах. (0; 0.5)U.

Жишээ 6.

Энэ тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхийн тулд хуваагчийн оронд (x-1-1)(x-1), тоологчийн оронд (x-1)(x-3-9 + x) үржвэрийг бичнэ.

Хариулах : (3;6)

Жишээ 7.

Жишээ 8.

2.3. Стандарт бус орлуулалт.

Жишээ 1.

Жишээ 2.

Жишээ 3.

Жишээ 4.

Жишээ 5.

Жишээ 6.

Жишээ 7.

log 4 (3 x -1) log 0.25

y=3 x -1 гэсэн орлуулгыг хийцгээе; тэгвэл энэ тэгш бус байдал хэлбэрээ авна

Лог 4 бүртгэл 0.25
.

Учир нь бүртгэл 0.25 = -лог 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , тэгвэл сүүлийн тэгш бус байдлыг 2log 4 y -log 4 2 y ≤ гэж дахин бичнэ.

t =log 4 y орлуулалтыг хийж t 2 -2t +≥0 тэгш бус байдлыг гаргая, үүний шийдэл нь интервалууд - .

Тиймээс y-ийн утгыг олохын тулд бид хоёр энгийн тэгш бус байдлын олонлогтой болно
Энэ олонлогийн шийдэл нь 0 интервалууд юм<у≤2 и 8≤у<+.

Тиймээс анхны тэгш бус байдал нь хоёр экспоненциал тэгш бус байдлын олонлогтой тэнцүү байна.
өөрөөр хэлбэл агрегатууд

Энэ олонлогийн эхний тэгш бус байдлын шийдэл нь 0 интервал юм<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. Тиймээс анхны тэгш бус байдал нь 0 интервалаас х-ийн бүх утгуудад хангагдана<х≤1 и 2≤х<+.

Жишээ 8.

Шийдэл:

Тэгш бус байдал нь системтэй тэнцүү

ODZ-ийг тодорхойлсон хоёр дахь тэгш бус байдлын шийдэл нь эдгээрийн олонлог байх болно x,

Үүний төлөө x > 0.

Эхний тэгш бус байдлыг шийдэхийн тулд бид орлуулалтыг хийдэг

Дараа нь бид тэгш бус байдлыг олж авна

эсвэл

Сүүлийн тэгш бус байдлын шийдлийн багцыг аргын тусламжтайгаар олно

интервал: -1< т < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, бид авдаг

эсвэл

Маш олон x, сүүлчийн тэгш бус байдлыг хангадаг

ОДЗ-д харьяалагддаг ( x> 0), тиймээс системийн шийдэл,

улмаар анхны тэгш бус байдал.

Хариулт:

2.4. Хавхтай даалгавар.

Жишээ 1.

.

Шийдэл.Тэгш бус байдлын ODZ нь 0 нөхцөлийг хангасан бүх x байна . Тиймээс бүх x нь 0 интервалаас байна
Жишээ 2.

log 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1.. ? Баримт нь хоёр дахь тоо нь үүнээс илүү байгаа нь ойлгомжтой

Дүгнэлт

Олон тооны боловсролын эх сурвалжаас C3 асуудлыг шийдвэрлэх тодорхой аргыг олоход амаргүй байсан. Хийсэн ажлын явцад би нийлмэл логарифмын тэгш бус байдлыг шийдэх стандарт бус аргуудыг судалж чадсан. Үүнд: эквивалент шилжилт ба интервалын ерөнхий арга, оновчтой болгох арга , стандарт бус орлуулалт , ODZ дээрх зангатай даалгавар. Эдгээр аргуудыг сургуулийн сургалтын хөтөлбөрт оруулаагүй болно.

Янз бүрийн аргуудыг ашиглан би улсын нэгдсэн шалгалтын С хэсэгт санал болгосон 27 тэгш бус байдлыг, тухайлбал C3-ийг шийдсэн. Аргын шийдэл бүхий эдгээр тэгш бус байдал нь "Шийдэлтэй C3 логарифм тэгш бус байдал" цуглуулгын үндэс болсон бөгөөд энэ нь миний үйл ажиллагааны төслийн бүтээгдэхүүн болсон юм. Төслийн эхэнд миний дэвшүүлсэн таамаглал батлагдсан: Хэрэв та эдгээр аргуудыг мэддэг бол C3 асуудлыг үр дүнтэй шийдвэрлэх боломжтой.

Үүнээс гадна би логарифмын талаар сонирхолтой баримтуудыг олж мэдсэн. Үүнийг хийх нь надад сонирхолтой байсан. Миний төслийн бүтээгдэхүүнүүд оюутнууд болон багш нарт хэрэгтэй болно.

Дүгнэлт:

Ийнхүү төслийн зорилго биелж, асуудал шийдэгдлээ. Би ажлын бүх үе шатанд төслийн үйл ажиллагааны хамгийн бүрэн гүйцэд, олон төрлийн туршлагыг хүлээн авсан. Төсөл дээр ажиллаж байхдаа миний хөгжлийн гол нөлөө нь оюуны чадамж, логик сэтгэцийн үйл ажиллагаатай холбоотой үйл ажиллагаа, бүтээлч чадвар, хувь хүний санаачлага, хариуцлага, тэсвэр тэвчээр, идэвхтэй байдлыг хөгжүүлэх явдал байв.

Судалгааны төсөл зохиохдоо амжилтанд хүрэх баталгаа Би олж авсан: сургуулийн томоохон туршлага, янз бүрийн эх сурвалжаас мэдээлэл авах, түүний найдвартай байдлыг шалгах, ач холбогдлоор нь ангилах чадвар.

Математикийн шууд хичээлийн мэдлэгээс гадна компьютерийн шинжлэх ухааны чиглэлээр практик ур чадвараа өргөжүүлж, сэтгэл судлалын чиглэлээр шинэ мэдлэг, туршлага хуримтлуулж, ангийнхантайгаа харилцаа холбоо тогтоож, насанд хүрэгчидтэй хамтран ажиллаж сурсан. Төслийн үйл ажиллагааны явцад зохион байгуулалт, оюуны болон харилцааны ерөнхий боловсролын чадварыг хөгжүүлсэн.

Уран зохиол

1. Корьянов А.Г., Прокофьев А.А. Нэг хувьсагчтай тэгш бус байдлын системүүд (С3 стандарт даалгавар).

2. Малкова A. G. Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх.

3. Самарова S. S. Логарифмын тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх.

4. Математик. Сургалтын бүтээлийн цуглуулга А.Л. Семенов, И.В. Ященко. -М.: МЦНМО, 2009. - 72 х.-

Бүх төрлийн логарифмын тэгш бус байдлын дунд хувьсах суурьтай тэгш бус байдлыг тусад нь судалдаг. Тэдгээрийг тусгай томъёогоор шийддэг бөгөөд зарим шалтгааны улмаас сургуульд ховор заадаг:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

"∨" хайрцгийн оронд та ямар ч тэгш бус байдлын тэмдгийг тавьж болно: их эсвэл бага. Хамгийн гол нь тэгш бус байдлын аль алинд нь шинж тэмдгүүд нь ижил байдаг.

Ингэснээр бид логарифмуудаас салж, асуудлыг оновчтой тэгш бус байдал болгон бууруулна. Сүүлийнх нь шийдвэрлэхэд илүү хялбар боловч логарифмыг хаяхад нэмэлт үндэс гарч ирж магадгүй юм. Тэдгээрийг таслахын тулд хүлээн зөвшөөрөгдсөн утгын хүрээг олоход хангалттай. Хэрэв та логарифмын ODZ-г мартсан бол би үүнийг давтахыг зөвлөж байна - үзнэ үү. Логарифм гэж юу вэ ».

Зөвшөөрөгдөх утгуудын хүрээтэй холбоотой бүх зүйлийг тусад нь бичиж, шийдвэрлэх ёстой.

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Эдгээр дөрвөн тэгш бус байдал нь системийг бүрдүүлдэг бөгөөд нэгэн зэрэг хангагдах ёстой. Зөвшөөрөгдөх утгуудын хүрээ олдсоны дараа үүнийг оновчтой тэгш бус байдлын шийдэлтэй огтлоход л үлддэг бөгөөд хариулт бэлэн болно.

Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:

Эхлээд логарифмын ODZ-ийг бичье.

Эхний хоёр тэгш бус байдал автоматаар хангагдах боловч сүүлчийнх нь бичигдсэн байх ёстой. Тооны квадрат нь тэг байх тул тухайн тоо өөрөө тэг байвал бид:

x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Логарифмын ODZ нь тэгээс бусад бүх тоонууд болох нь харагдаж байна: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Одоо бид үндсэн тэгш бус байдлыг шийдэж байна:

Бид логарифмын тэгш бус байдлаас рациональ руу шилждэг. Анхны тэгш бус байдал нь "бага" тэмдэгтэй бөгөөд энэ нь үүссэн тэгш бус байдал нь "бага" тэмдэгтэй байх ёстой гэсэн үг юм. Бидэнд байгаа:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · x 2< 0.

Энэ илэрхийллийн тэг нь: x = 3; x = −3; x = 0. Тэгээд ч x = 0 нь хоёр дахь үржвэрийн үндэс бөгөөд түүгээр дамжин өнгөрөхөд функцийн тэмдэг өөрчлөгдөхгүй гэсэн үг юм. Бидэнд байгаа:

Бид x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞) авна. Энэ багц нь логарифмын ODZ-д бүрэн агуулагдсан бөгөөд энэ нь хариулт гэсэн үг юм.

Логарифмын тэгш бус байдлыг хөрвүүлэх

Ихэнхдээ анхны тэгш бус байдал нь дээрхээс өөр байдаг. Логарифмтай ажиллах стандарт дүрмийг ашиглан үүнийг хялбархан засч залруулж болно - үзнэ үү. Логарифмын үндсэн шинж чанарууд" Тухайлбал:

Аливаа тоог өгөгдсөн суурьтай логарифм хэлбэрээр илэрхийлж болно;

Ижил суурьтай логарифмын нийлбэр ба зөрүүг нэг логарифмээр сольж болно.

Би хүлээн зөвшөөрөгдсөн утгын хүрээний талаар тусад нь сануулахыг хүсч байна. Анхны тэгш бус байдалд хэд хэдэн логарифм байж болох тул тэдгээрийн VA-г олох шаардлагатай. Тиймээс логарифмын тэгш бус байдлыг шийдэх ерөнхий схем нь дараах байдалтай байна.

Тэгш бус байдалд орсон логарифм бүрийн VA-г ол;

Логарифм нэмэх, хасах томъёог ашиглан тэгш бус байдлыг стандарт болгон бууруулна;

Дээрх схемийг ашиглан үүссэн тэгш бус байдлыг шийд.

Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:

Эхний логарифмын тодорхойлолтын мужийг (DO) олъё:

Бид интервалын аргыг ашиглан шийддэг. Тоолуурын тэгийг олох:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Дараа нь - хуваагчийн тэгүүд:

x − 1 = 0;
x = 1.

Бид координатын сум дээр тэг, тэмдгийг тэмдэглэнэ.

Бид x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞) авна. Хоёр дахь логарифм нь ижил VA-тай байх болно. Хэрэв та итгэхгүй бол шалгаж болно. Одоо бид хоёр дахь логарифмыг хувиргаж, суурь нь хоёр байна:

Таны харж байгаагаар логарифмын суурь ба урд талын гурвыг багасгасан. Бид ижил суурьтай хоёр логарифм авсан. Тэдгээрийг нэмье:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Бид стандарт логарифмын тэгш бус байдлыг олж авлаа. Бид томьёог ашиглан логарифмуудаас салдаг. Анхны тэгш бус байдал нь "бага" тэмдгийг агуулж байгаа тул үүссэн оновчтой илэрхийлэл нь мөн тэгээс бага байх ёстой. Бидэнд байгаа:

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Бид хоёр багц авсан:

ОДЗ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);

Нэр дэвшигчийн хариулт: x ∈ (−1; 3).

Эдгээр багцыг огтлоход л үлддэг - бид жинхэнэ хариултыг авна.

Бид олонлогуудын огтлолцлыг сонирхож байгаа тул хоёр сум дээр сүүдэрлэсэн интервалуудыг сонгоно. Бид x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3)-ийг авна - бүх цэгүүд цоорсон байна.

Бүх төрлийн логарифмын тэгш бус байдлын дунд хувьсах суурьтай тэгш бус байдлыг тусад нь судалдаг. Тэдгээрийг тусгай томъёогоор шийддэг бөгөөд ямар нэг шалтгааны улмаас сургуульд ховорхон заадаг. Танилцуулга нь математикийн 2014 оны Улсын нэгдсэн шалгалтын C3 даалгаврын шийдлүүдийг танилцуулж байна.
Татаж авах:

Урьдчилан үзэх:
Үзүүлэнг урьдчилан үзэхийг ашиглахын тулд Google бүртгэл үүсгээд түүн рүү нэвтэрнэ үү: https://accounts.google.com

Слайдын тайлбар:
Логарифмын суурь дахь хувьсагчийг агуулсан логарифмын тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх: арга, техник, эквивалент шилжилт, математикийн багш, 143-р дунд сургуулийн Князкина Т.В.
Бүх төрлийн логарифмын тэгш бус байдлын дунд хувьсах суурьтай тэгш бус байдлыг тусад нь судалдаг. Тэдгээрийг тусгай томъёогоор шийддэг бөгөөд ямар нэг шалтгааны улмаас сургуульд ховор заадаг: log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) ( k ( x) − 1) ∨ 0 “∨” хайрцгийн оронд та ямар ч тэгш бус байдлын тэмдгийг тавьж болно: их эсвэл бага. Хамгийн гол нь тэгш бус байдлын аль алинд нь шинж тэмдгүүд нь ижил байдаг. Ингэснээр бид логарифмуудаас салж, асуудлыг оновчтой тэгш бус байдал болгон бууруулна. Сүүлийнх нь шийдвэрлэхэд илүү хялбар боловч логарифмыг хаяхад нэмэлт үндэс гарч ирж магадгүй юм. Тэдгээрийг таслахын тулд хүлээн зөвшөөрөгдсөн утгын хүрээг олоход хангалттай. Логарифмын ODZ-ийг бүү мартаарай! Зөвшөөрөгдөх утгын хүрээтэй холбоотой бүх зүйлийг тусад нь бичиж, шийдвэрлэх ёстой: f (x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1. Эдгээр дөрвөн тэгш бус байдал нь системийг бүрдүүлдэг ба нэгэн зэрэг хангагдах ёстой. Зөвшөөрөгдөх утгуудын хүрээ олдсоны дараа үүнийг оновчтой тэгш бус байдлын шийдэлтэй огтлоход л үлддэг бөгөөд хариулт бэлэн болно.
Тэгш бус байдлыг шийд: Шийдэл Эхлээд логарифмын OD-г бичье. Тооны квадрат нь тэгтэй тэнцүү бөгөөд хэрэв тухайн тоо өөрөө тэгтэй тэнцүү бол бид: x 2 + 1 ≠ 1; x 2 ≠ 0; x ≠ 0. Логарифмын ODZ нь тэгээс бусад бүх тоонууд болох нь харагдаж байна: x ∈ (−∞0)∪(0 ;+ ∞). Одоо бид үндсэн тэгш бус байдлыг шийдэж байна: Бид логарифмын тэгш бус байдлаас оновчтой руу шилждэг. Анхны тэгш бус байдал нь "бага" тэмдэгтэй бөгөөд энэ нь үүссэн тэгш бус байдал нь "бага" тэмдэгтэй байх ёстой гэсэн үг юм.
Бидэнд: (10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)
Логарифмын тэгш бус байдлыг хувиргах нь ихэвчлэн анхны тэгш бус байдал нь дээрхээс өөр байдаг. Логарифмтай ажиллах стандарт дүрмийг ашиглан үүнийг хялбархан засч залруулж болно. Тухайлбал: Аливаа тоог өгөгдсөн суурьтай логарифм хэлбэрээр илэрхийлж болно; Ижил суурьтай логарифмын нийлбэр ба зөрүүг нэг логарифмээр сольж болно. Би хүлээн зөвшөөрөгдсөн утгын хүрээний талаар тусад нь сануулахыг хүсч байна. Анхны тэгш бус байдалд хэд хэдэн логарифм байж болох тул тэдгээрийн VA-г олох шаардлагатай. Ийнхүү логарифмын тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх ерөнхий схем нь дараах байдалтай байна: Тэгш бус байдалд орсон логарифм бүрийн VA-г ол; Логарифм нэмэх, хасах томъёог ашиглан тэгш бус байдлыг стандарт болгон бууруулна; Дээрх схемийг ашиглан үүссэн тэгш бус байдлыг шийд.
Тэгш бус байдлыг шийд: Шийдэл Эхний логарифмын тодорхойлолтын мужийг (DO) олъё: Интервалын аргаар шийд. Тоолуурын тэгийг ол: 3 x − 2 = 0; x = 2/3. Дараа нь - хуваагчийн тэгүүд: x − 1 = 0; x = 1. Координатын шулуун дээр тэг, тэмдэг тэмдэглэнэ.
Бид x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; +∞) авна. Хоёр дахь логарифм нь ижил VA-тай байх болно. Хэрэв та итгэхгүй бол шалгаж болно. Одоо хоёр дахь логарифмыг суурь дээр хоёр байхаар хувиргая: Таны харж байгаагаар логарифмын суурь ба урд талын гурвууд хүчингүй болсон байна. Бид ижил суурьтай хоёр логарифм авсан. Тэдгээрийг нэмнэ үү: log 2 (x - 1) 2
(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)
Бид олонлогуудын огтлолцлыг сонирхож байгаа тул хоёр сум дээр сүүдэрлэсэн интервалуудыг сонгоно. Бид авна: x ∈ (−1; 2/3) ∪ (1; 3) - бүх цэгүүд цоорсон байна. Хариулт: x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3)
C3 төрлийн USE-2014 даалгавруудыг шийдвэрлэх
Тэгш бус байдлын системийг шийд. ОДЗ:  1) 2)
Тэгш бус байдлын системийг шийд 3) -7 -3 - 5 x -1 + + + − − (үргэлжлэл)
Тэгш бус байдлын системийг шийд 4) Ерөнхий шийдэл: ба -7 -3 - 5 x -1 -8 7 log 2 129 (үргэлжлэл)
Тэгш бус байдлыг шийд (үргэлжлэл) -3 3 -1 + − + − x 17 + -3 3 -1 x 17 -4
Тэгш бус байдлын шийдлийг шийд. ОДЗ: 
Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх (үргэлжлэл)
Тэгш бус байдлын шийдлийг шийд. ОДЗ:  -2 1 -1 + − + − x + 2 -2 1 -1 x 2

Улсын нэгдсэн шалгалт эхлэхэд цаг хугацаа үлдэж, бэлтгэл хийх цаг гарна гэж та бодож байна уу? Магадгүй энэ нь тийм байх. Гэхдээ ямар ч тохиолдолд оюутан эрт бэлтгэл хийж эхлэх тусам шалгалтыг амжилттай өгдөг. Өнөөдөр бид логарифмын тэгш бус байдлын талаархи нийтлэлийг зориулахаар шийдлээ. Энэ бол нэмэлт зээл авах боломж гэсэн үг ажлын нэг юм.

Логарифм гэж юу болохыг та аль хэдийн мэдсэн үү? Бид үнэхээр найдаж байна. Гэхдээ энэ асуултанд хариулт байхгүй байсан ч энэ нь асуудал биш юм. Логарифм гэж юу болохыг ойлгох нь маш энгийн.

Яагаад 4? Та 81-ийг авахын тулд 3-ын тоог өсгөх хэрэгтэй. Зарчмыг ойлгосны дараа та илүү төвөгтэй тооцооллыг үргэлжлүүлж болно.

Та хэдэн жилийн өмнө тэгш бус байдлыг туулсан. Түүнээс хойш та математикт тэдэнтэй байнга таарч байсан. Хэрэв танд тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд асуудал байгаа бол тохирох хэсгийг шалгана уу.
Одоо бид ойлголтуудыг тусад нь мэддэг болсон тул тэдгээрийг ерөнхийд нь авч үзэх рүү шилжье.

Хамгийн энгийн логарифмын тэгш бус байдал.

Хамгийн энгийн логарифмын тэгш бус байдал нь зөвхөн энэ жишээгээр хязгаарлагдахгүй, зөвхөн өөр өөр тэмдэгтэй байдаг. Энэ яагаад хэрэгтэй вэ? Логарифмын тусламжтайгаар тэгш бус байдлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар илүү сайн ойлгох. Одоо илүү хэрэг болохуйц жишээ өгье, гэхдээ нилээд энгийн байдлаар бид дараа нь нарийн төвөгтэй логарифмын тэгш бус байдлыг үлдээх болно;

Үүнийг хэрхэн шийдвэрлэх вэ? Энэ бүхэн ODZ-ээс эхэлдэг. Хэрэв та аливаа тэгш бус байдлыг хялбархан шийдвэрлэхийг хүсч байвал энэ талаар илүү ихийг мэдэх нь зүйтэй.

ODZ гэж юу вэ? Логарифмын тэгш бус байдлын ODZ

Товчлол нь зөвшөөрөгдөх утгын хүрээг илэрхийлдэг. Энэхүү томъёолол нь улсын нэгдсэн шалгалтын даалгаварт ихэвчлэн гарч ирдэг. ODZ нь зөвхөн логарифмын тэгш бус байдлын хувьд танд ашигтай байх болно.

Дээрх жишээг дахин хар. Бид үүн дээр үндэслэн ODZ-ийг авч үзэх болно, ингэснээр та зарчмыг ойлгох болно, логарифмын тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх нь асуулт үүсгэхгүй. Логарифмын тодорхойлолтоос харахад 2х+4 нь тэгээс их байх ёстой. Манай тохиолдолд энэ нь дараахь зүйлийг илэрхийлнэ.

Тодорхойлолтоор энэ тоо эерэг байх ёстой. Дээр үзүүлсэн тэгш бус байдлыг шийд. Үүнийг амаар ч хийж болно, энд X нь 2-оос бага байж болохгүй нь тодорхой байна. Тэгш бус байдлын шийдэл нь хүлээн зөвшөөрөгдөх утгын хүрээний тодорхойлолт байх болно.
Одоо хамгийн энгийн логарифмын тэгш бус байдлын шийдэлд шилжье.

Бид тэгш бус байдлын хоёр талаас логарифмуудыг өөрсдөө хаядаг. Энэ нь бидэнд юу үлдээх вэ? Энгийн тэгш бус байдал.

Үүнийг шийдэхэд хэцүү биш. X -0.5-аас их байх ёстой. Одоо бид олж авсан хоёр утгыг систем болгон нэгтгэж байна. Тиймээс,

Энэ нь авч үзэж буй логарифмын тэгш бус байдлын зөвшөөрөгдөх утгуудын хүрээ байх болно.

Бидэнд ODZ яагаад хэрэгтэй байна вэ? Энэ бол буруу, боломжгүй хариултыг арилгах боломж юм. Хэрэв хариулт нь хүлээн зөвшөөрөгдсөн утгын хүрээнд байхгүй бол хариулт нь зүгээр л утгагүй болно. Улсын нэгдсэн шалгалтанд ихэвчлэн ODZ хайх шаардлагатай байдаг тул энэ нь зөвхөн логарифмын тэгш бус байдалд хамаарахгүй тул үүнийг удаан хугацаанд санах нь зүйтэй.

Логарифмын тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх алгоритм

Шийдэл нь хэд хэдэн үе шатаас бүрдэнэ. Эхлээд та зөвшөөрөгдөх утгуудын хүрээг олох хэрэгтэй. ODZ-д хоёр утгатай байх болно, бид дээр дурдсан. Дараа нь та тэгш бус байдлыг өөрөө шийдэх хэрэгтэй. Шийдлийн аргууд нь дараах байдалтай байна.

үржүүлэгчийг солих арга;

задрал;

оновчтой болгох арга.

Нөхцөл байдлаас шалтгаалан дээрх аргуудын аль нэгийг ашиглах нь зүйтэй. Шийдэл рүү шууд шилжье. Бараг бүх тохиолдолд улсын нэгдсэн шалгалтын даалгаврыг шийдвэрлэхэд тохиромжтой хамгийн түгээмэл аргыг танилцуулъя. Дараа нь бид задралын аргыг авч үзэх болно. Хэрэв та маш төвөгтэй тэгш бус байдалтай тулгарвал энэ нь тусалж чадна. Тиймээс логарифмын тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх алгоритм.

Шийдлийн жишээ :

Бид яг ийм тэгш бус байдлыг авсан нь дэмий хоосон биш юм! Суурь дээр анхаарлаа хандуулаарай. Санаж байна уу: хэрэв энэ нь нэгээс их байвал зөвшөөрөгдөх утгын хүрээг олоход тэмдэг нь хэвээр үлдэнэ; Үгүй бол та тэгш бус байдлын тэмдгийг өөрчлөх хэрэгтэй.

Үүний үр дүнд бид тэгш бус байдлыг олж авна:

Одоо бид зүүн талыг тэгтэй тэнцэх тэгшитгэлийн хэлбэрт оруулав. "Бага" тэмдгийн оронд "тэнцүү" гэж тавиад тэгшитгэлийг шийднэ. Тиймээс бид ODZ-ийг олох болно. Ийм энгийн тэгшитгэлийг шийдэхэд танд асуудал гарахгүй гэж найдаж байна. Хариултууд нь -4 ба -2. Энэ бүгд биш. Та эдгээр цэгүүдийг график дээр "+" ба "-" тэмдэглэгээг байрлуулах хэрэгтэй. Үүний тулд юу хийх шаардлагатай вэ? Интервал дахь тоог илэрхийлэлд орлуулна уу. Хэрэв утгууд эерэг байвал бид тэнд "+" тэмдэг тавина.

Хариулах: x -4-ээс их, -2-оос бага байж болохгүй.

Бид зөвхөн зүүн талд хүлээн зөвшөөрөгдөх утгуудын хүрээг олсон; Энэ нь хамаагүй хялбар юм. Хариулт: -2. Бид үүссэн талбайн аль алиныг нь огтолж байна.

Одоо л бид тэгш бус байдлыг өөрөө шийдэж эхэлж байна.

Үүнийг шийдвэрлэхэд хялбар болгох үүднээс аль болох хялбаршуулж үзье.

Бид шийдэлд интервалын аргыг дахин ашигладаг. Тооцооллыг алгасацгаая, өмнөх жишээнээс харахад бүх зүйл тодорхой байна. Хариулах.

Гэхдээ логарифмын тэгш бус байдал нь ижил суурьтай бол энэ арга тохиромжтой.

Янз бүрийн суурьтай логарифмын тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдэхийн тулд ижил суурьтай анхны бууралтыг шаарддаг. Дараа нь дээр дурдсан аргыг ашиглана уу. Гэхдээ илүү төвөгтэй тохиолдол бий. Логарифмын тэгш бус байдлын хамгийн төвөгтэй төрлүүдийн нэгийг авч үзье.

Хувьсах суурьтай логарифмын тэгш бус байдал

Ийм шинж чанартай тэгш бус байдлыг хэрхэн шийдвэрлэх вэ? Тийм ээ, ийм хүмүүсийг Улсын нэгдсэн шалгалтаас олж болно. Тэгш бус байдлыг дараах байдлаар шийдвэрлэх нь таны боловсролын үйл явцад сайнаар нөлөөлнө. Асуудлыг нарийвчлан авч үзье. Онолоо хаяад шууд практикт орцгооё. Логарифмын тэгш бус байдлыг шийдэхийн тулд жишээтэй нэг удаа танилцахад хангалттай.

Үзүүлсэн хэлбэрийн логарифмын тэгш бус байдлыг шийдэхийн тулд баруун талыг ижил суурьтай логарифм болгон багасгах шаардлагатай. Энэ зарчим нь ижил төстэй шилжилттэй төстэй. Үүний үр дүнд тэгш бус байдал иймэрхүү харагдах болно.

Үнэндээ логарифмгүй тэгш бус байдлын системийг бий болгох л үлдлээ. Оновчлолын аргыг ашиглан бид тэгш бус байдлын эквивалент систем рүү шилждэг. Та тохирох утгыг орлуулж, тэдгээрийн өөрчлөлтийг хянах үед дүрмийг өөрөө ойлгох болно. Систем нь дараах тэгш бус байдалтай байна.

Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ оновчтой болгох аргыг ашиглахдаа дараахь зүйлийг санах хэрэгтэй: нэгийг нь суурийнхаас хасах ёстой, логарифмын тодорхойлолтоор x-ийг тэгш бус байдлын хоёр талаас (баруунаас зүүнээс) хасч, хоёр илэрхийллийг үржүүлнэ. тэгтэй харьцуулан анхны тэмдгийн дор тохируулна.

Цаашдын шийдэл нь интервалын аргыг ашиглан хийгддэг, энд бүх зүйл энгийн байдаг. Шийдвэрлэх аргуудын ялгааг ойлгох нь танд чухал бөгөөд дараа нь бүх зүйл амархан болж эхэлнэ.

Логарифмын тэгш бус байдалд олон нюансууд байдаг. Тэдгээрийн хамгийн энгийн нь шийдвэрлэхэд хялбар байдаг. Тэд тус бүрийг хэрхэн асуудалгүй шийдвэрлэх вэ? Та энэ нийтлэл дэх бүх хариултыг аль хэдийн авсан байна. Одоо таны өмнө урт удаан дасгал байна. Шалгалтанд янз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэх дадлага хийснээр та хамгийн өндөр оноо авах боломжтой болно. Таны хүнд хэцүү ажилд амжилт хүсье!