3-р бүлэг.

Магадлалын онолын үндсэн теоремууд ба түүнээс гарах үр дагавар

Тохиромжгүй магадлалыг нэмэх теорем

Үйл явдал

Хоёрдахь бүлэгт тодорхой нөхцөл хангагдсан тохиолдолд санамсаргүй тохиолдлын магадлалыг хэрхэн тодорхойлж болохыг харуулсан. Та бүхний мэдэж байгаагаар арифметик үйлдлүүдийг санамсаргүй үйл явдлуудаар гүйцэтгэх боломжтой бөгөөд гол нь үйл явдлыг нэмэх, үржүүлэх явдал юм. Магадлалын онол нь үндсэн теоремуудыг ашиглан үйл явдлын нийлбэр ба үржвэрийн магадлалыг олох боломжийг олгодог. хэлэлцэж буй үйл явдлын дор хаяж нэг нь тохиолдох магадлал эсвэл эдгээр үйл явдлын нэгэн зэрэг тохиолдох магадлалыг тодорхойлох.

Магадлалын онолын үндсэн теоремууд нь:

1. Магадлалыг нэмэх теорем.

2. Магадлалын үржүүлэх теорем.

Онцгой тохиолдлын магадлалыг нэмэх теоремыг авч үзье. Ингэж жүжиглэе АТэгээд INүл нийцэх үйл явдлууд бөгөөд бид эдгээр үйл явдлын магадлалыг мэддэг эсвэл олж болно гэж таамаглах болно.

Теорем 3.1.Хоёр үл нийцэх үйл явдлын аль нэг нь тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл.

Баталгаа.Болъё n – нийт тооүйл явдал тохиолдож болох тестийн адил боломжтой бүх энгийн үйл явдлууд Аэсвэл IN. -ээр тэмдэглэе т АТэгээд т Вүйл явдалд таатай энгийн үйл явдлын тоо АТэгээд INтус тус. Үйл явдлуудаас хойш АТэгээд INнийцэхгүй байгаа бол эдгээр үйл явдлын нийлбэр А + INивээл т А+ т Вэнгийн үйл явдлууд. Тийм ч учраас .

Теорем нь батлагдсан.

Үр дагавар.Хосоор үл нийцэх хэд хэдэн үйл явдлын аль нэг нь тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл.

БаталгааМатематик индукцийн аргыг ашиглан хийхэд хэцүү биш юм.

Жишээ 3.1. Нэг хайрцагт 8 цагаан, 5 хар, 10 улаан бөмбөлөг байдаг. Нэг бөмбөгийг санамсаргүй байдлаар сонгосон. Энэ бөмбөг цагаан биш байх магадлал хэд вэ?

Шийдэл. Үйл явдал болъё А- хар бөмбөг сонгох; IN- улаан бөмбөг сонгох. Дараа нь үйл явдал ХАМТ = А + INцагаан бус бөмбөг (хар эсвэл улаан) сонгохыг тодорхойлдог.

Сонгодог томъёоны дагуу . Теорем 3.1-ээр бид эцэст нь .■-г олж авна

Жишээ 3.2. Тус компани нь хоёр сул орон тоотой бөгөөд гурван эрэгтэй, таван эмэгтэй ажлын байранд зуучилж байна. Өргөдөл гаргагчдыг сонгон шалгаруулах ажлыг санамсаргүй байдлаар явуулсан тохиолдолд ажилд авсан хүмүүсийн дунд дор хаяж нэг хүн байх магадлалыг ол.

Шийдэл. Үйл явдал болъё ХАМТажилд авсан хүмүүсийн дунд дор хаяж нэг хүн байх болно. Үйл явдал болох нь ойлгомжтой ХАМТДараах хоёр үл нийцэх үйл явдлын аль нэг нь тохиолдсон үед тохиолдох болно. А- хоёр хүнийг ажилд авсан; IN– нэг эмэгтэй, нэг эрэгтэй ажилд орсон. Тиймээс, ХАМТ = А + IN.

Үйл явдлын магадлалыг олцгооё АТэгээд IN, сонгодог томъёог ашиглан бид олж авна

Тэгээд .

Үйл явдал АТэгээд IN– нийцэхгүй байгаа тул бид теорем 3.1-ийг хэрэглэж болно. Бид авдаг. ■

Жишээ 3.2-ыг шийдвэрлэхэд хоёр эмэгтэйг ажилд авна гэсэн ганц боломжит тохиолдлыг авч үзээгүй. Үүнийг үсгээр тэмдэглэе Дтүүний магадлалыг ол. Сонгодог томъёог ашигласнаар бид олж авна

.

Энэ үйл явдлуудыг ойлгоход хэцүү биш юм А, INТэгээд Дшалгалтын бүрэн бүлэг бүрдүүлэх: найман хүнээс хоёр хүнийг сонгох. Эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэрийг олъё: . Хүлээн авсан үр дүнг ерөнхий хэлбэрээр танилцуулж болно.

Теорем 3.2.Бүрэн бүлэг үүсгэх үйл явдлын магадлалын нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү байна.

Баталгаа.Үйл явдлуудыг зөвшөөр А 1 , А 2 , …, А нзарим сорилтод зориулж бүтэн бүлгийг бүрдүүлэх. Дараа нь тодорхойлолтоор бол энэхүү туршилтын үр дүнд нэг үйл явдал гарах нь гарцаагүй, өөрөөр хэлбэл. эдгээр үйл явдлын нийлбэр нь тодорхой үйл явдал юм. Найдвартай үйл явдлын магадлал 1. Иймээс тэгш байдал нь үнэн:

Бүрэн бүлгийн тодорхойлолтоор энэ нь үл нийцэх үйл явдлуудаас бүрддэг гэдгийг санаарай. Дараа нь теорем 3.1-ийн үр дүнд бид олж авна

Теорем нь батлагдсан.

Үр дагавар. Эсрэг үйл явдлын магадлалын нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү байна.

БаталгааЭнэ нь эсрэг тэсрэг үйл явдлууд бүрэн бүлгийг бүрдүүлдэг тул 3.2 теоремын дагуу томъёо нь биелнэ.

(3.3)

Хаана АТэгээд Ā - эсрэг үйл явдлууд.

Мөрдөн байцаалтын ажиллагаа нотлогдсон.

Асуудлыг шийдвэрлэхдээ хувиргасан томъёог (3.3) илүү их ашигладаг, тухайлбал

(3.4)

Жишээ 3.3. Гурван орон тоонд сонгогдох есөн хүнээс тав нь онц дүнтэй төгссөн. Эдгээр албан тушаалд сонгогдох боломж хүн бүрт ижил байдаг. Сонгогдсон хүмүүсийн дунд дор хаяж нэг эрдмийн зэрэгтэй байх магадлалыг тодорхойл.

Шийдэл. Үйл явдал болъё Асонгогдсон нэр дэвшигчдийн дундаас дор хаяж нэг нь эрдмийн зэрэгтэй байна гэсэн үг. Үйл явдал болох нь ойлгомжтой Ā эсрэг АСонгогдсон гурван хүн бүгд эрдмийн зэрэггүй байх болно. Эсрэг үйл явдлын магадлалыг олъё. Үүнийг хийхийн тулд бид сонгодог томъёог ашигладаг, бид авдаг

.

(3.3) томъёог ашиглан бид үйл явдлын магадлалыг олно А:

. ■

Жишээ 3.3-ын шийдлийг өөр, илүү урт аргаар олж авч болно. Энэ үйл явдал гэдгийг ойлгоход хэцүү биш юм Ань дараах үйл явдлуудын нийлбэр юм.

А 1 – сонгогдсон хүмүүсийн дунд онц дүнтэй дипломтой ганц нэр дэвшигч байгаа;

А 2 – шалгарсан хоёр нэр дэвшигчийн дунд онц дүнтэй дипломтой;

А 3 – шалгарсан гурван нэр дэвшигчийн дунд онц дүнтэй дипломтой.

Сонгодог томъёог ашиглан бид олж авна

Үйл явдал болох нь ойлгомжтой А 1 , А 2 , А 3 нь хоорондоо нийцэхгүй байгаа тул 3.3 теоремыг хэрэглэж болно. Тиймээс

Эхний шийдэл нь хамаагүй хялбар болох нь ойлгомжтой.

Дээр дурдсан теоремууд болон жишээнүүдэд харгалзах санамсаргүй үйл явдлуудын үл нийцэл гэж үзсэн. Мэдээжийн хэрэг, хамтарсан үйл явдлын дор хаяж нэг тохиолдох магадлалыг олох шаардлагатай асуудал гарч ирж магадгүй юм. Энэ тохиолдолд теорем 3.1-ийг хэрэглэх боломжгүй. Илүү олон бий ерөнхий хэлбэрүйл явдлын үржвэрийн магадлалын тухай ойлголтыг ашигладаг магадлалын нэмэх теорем.

Үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теорем

Санамсаргүй үйл явдал тохиолдож болох тестийг авч үзье А. Хэрэв туршилтын нөхцлөөс гадна үйл явдалд хязгаарлалт байхгүй бол Абайхгүй бол үйл явдлын магадлал Адуудсан болзолгүй магадлал.Хэрэв зарим нэмэлт нөхцөлийг зааж өгсөн бол нөхцөлт магадлалэнэ үйл явдал. Ихэнх тохиолдолд нэмэлт нөхцөл байдал нь өөр санамсаргүй үйл явдал тохиолдохтой холбоотой байдаг. Тиймээс, тодорхой үзэгдэлд дүн шинжилгээ хийхдээ асуулт гарч ирж магадгүй юм: тодорхой үйл явдал тохиолдох боломж нь нөлөөлж байна уу? Аөөр санамсаргүй үйл явдал тохиолдох INхэрэв тийм бол яаж? Жишээлбэл, довтолгоо INүйл явдал зайлшгүй гарахад хүргэдэг Аэсвэл эсрэгээр үйл явдал тохиолдох боломжийг үгүйсгэдэг А, эсвэл магадгүй зөвхөн магадлалын утгыг өөрчилнө. Хэрэв үйл явдал бол үүнийг ойлгоход хялбар байдаг INүйл явдалд таатай байна А, дараа нь үйл явдал тохиолдсон үед INүйл явдал Аүргэлж тохиолддог, эсвэл хэрэв АТэгээд IN– тухайн тестэд үл нийцэх хоёр үйл явдал, дараа нь тухайн үйл явдал тохиолдсон үед INүйл явдал Ахэзээ ч болохгүй. Гэсэн хэдий ч эдгээр нь захын тохиолдол гэж нэрлэгддэг. Үйл явдал болох үед хамгийн их сонирхол үүсдэг INямар нэгэн байдлаар тохиолдох үйл явдлын магадлалыг өөрчилдөг (өсгөх эсвэл бууруулах). А, шинэ нөхцөлд найдвартай эсвэл боломжгүй үйл явдал болгон хувиргахгүйгээр. Нэг үйл явдлын нөгөө үйл явдалд ийм нөлөөллийн шинж чанар бол нөхцөлт магадлал юм.

Нөхцөлт магадлалүйл явдал Аүүнийг өгсөн INүйл явдлын магадлал гэж нэрлэдэг А, үйл явдал гэсэн таамаглалаар тооцсон INаль хэдийн болсон.

Үүний нэгэн адил бид үйл явдлын нөхцөлт магадлалыг тодорхойлж болно IN, үйл явдал болсон тохиолдолд Ааль хэдийн болсон.

Жишээ 3.4. Нэг саванд 6 цагаан, 8 хар бөмбөлөг байг. Хоёр бөмбөгийг солихгүйгээр ар араасаа санамсаргүй байдлаар савнаас гаргаж авдаг. Эхний бөмбөгийг мөн цагаанаар зурсан бол хоёр дахь бөмбөг цагаан байх магадлалыг олоорой?

Шийдэл . Үйл явдал болъё Ахоёр дахь бөмбөг цагаан байх болно, мөн үйл явдал юм INЭхний бөмбөг цагаан байна. Асуудал нь үйл явдлын магадлалыг олохыг шаарддаг А, үйл явдал болсон тохиолдолд INболсон, өөрөөр хэлбэл. олох. Хэрэв үйл явдал INболсон, дараа нь саванд 13 бөмбөг үлдсэн бөгөөд үүнээс 5 нь цагаан байна. Тиймээс 5 нь цагаан өнгөтэй 13-аас цагаан бөмбөг зурах магадлал тэнцүү байна .■

Хоёр зүйлийг тэмдэглэе.

Нэгдүгээрт, үйл явдлын хувьд Азөвхөн түүний нөхцөлт магадлалыг олох боломжтой төдийгүй үйл явдлын нийт магадлал гэж нэрлэгддэг, i.e. аль нэг бөмбөгийг эхлээд сонгоход хоёр дахь бөмбөг цагаан өнгөтэй байх магадлал. Ийм магадлалыг олох талаар 3.4-т авч үзэх болно.

Хоёрдугаарт, эхний сонгосон бөмбөгний өнгө нь үйл явдлын магадлалд огт нөлөөлөхгүй байхаар жишээ нөхцөлийг өөрчилж болно. А. Бөмбөлгүүдийг өнгийг нь зассаны дараа буцааж саванд хийнэ гэж бид таамаглах болно. Дараа нь мэдээж хэрэг үйл явдлын магадлал АЭхний бөмбөгийг ямар өнгө сонгохоос хамаарахгүй, i.e. үйл явдал үүссэнээс (эсвэл тохиолдоогүйгээс). IN. Энэ тохиолдолд , өөрөөр хэлбэл үйл явдлын магадлал Аэнэ үйл явдлын нөхцөлт магадлалтай давхцаж байна. Үйл явдал нь өөрсдөө АТэгээд INЭнэ шалгалтанд бие даасан байна.

Хоёр үйл явдал АТэгээд INгэж нэрлэдэг бие даасан,хэрэв тэдгээр нь тус бүрийн тохиолдох магадлал нь өөр үйл явдал гарсан эсэхээс хамаарахгүй бол. Үгүй бол үйл явдлуудыг дууддаг хамааралтай.

Тодорхойлолтоос харахад бие даасан үйл явдлын хувьд АТэгээд INдараах томъёонууд хүчинтэй байна:

. (3.5)

Сонгодог тодорхойлолтыг ашиглан нөхцөлт магадлалыг олох томьёог авъя. Туршилтыг дараахь зүйлээс бүрдүүлээрэй nадил боломжтой энгийн үйл явдлууд. Үйл явдлыг дэмжсэн үйл явдлын тоо А, тэнцүү байна т А; үйл явдал IN – т В; үйл явдлын үйлдвэрлэл AB – t AB. Энэ нь ойлгомжтой . Үйл явдлаас хойш INивээл т Вүр дүн, үүнээс зөвхөн т Аивээл А, тэгвэл нөхцөлт магадлал нь тэнцүү байна

. Эцэст нь бид авдаг

(3.6)

(3.6) томъёоны хуваагч нь тэгээс ялгаатай гэдгийг анхаарах хэрэгтэй, учир нь нөхцөл байдлаас шалтгаалан үйл явдал юм. INтохиолдож болно, өөрөөр хэлбэл. т Втэгтэй тэнцүү биш.

Үүнтэй адил үндэслэлээр бид үйл явдлын нөхцөлт магадлалын томъёог гаргаж чадна IN: . Гэхдээ үйл явдлаас хойш ABүйл явдлаас ялгаагүй VAТэгээд , дараа нь үйл явдлын нөхцөлт магадлал INтомъёогоор тодорхойлж болно

(3.7)

Аксиоматик аргыг ашигласан магадлалын онолын хамгийн бүрэн гүйцэд хичээлүүдэд (3.6) ба (3.7) томъёог нөхцөлт магадлалын тодорхойлолт болгон, (3.5) томъёог бие даасан үйл явдлын тодорхойлолт болгон авдаг.

Дараах магадлалын үржүүлэх теорем нь (3.6) ба (3.7) томъёоноос шууд гардаг.

Теорем 3.2.Хоёр санамсаргүй тохиолдлын нэгэн зэрэг тохиолдох магадлал нь эхний үйл явдал аль хэдийн болсон гэсэн таамаглалаар тооцсон нэг үйл явдлын магадлал ба нөгөөгийн нөхцөлт магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.

(3.8)

Үр дагавар.Хэд хэдэн санамсаргүй үйл явдлын нэгэн зэрэг тохиолдох магадлал нь нэг үйл явдлын магадлал ба бусад бүх үйл явдлын нөхцөлт магадлалын үржвэртэй тэнцүү байдаг бол дараагийн үйл явдал бүрийн магадлалыг өмнөх бүх үйл явдал аль хэдийн болсон гэсэн таамаглалаар тооцдог.

Жишээ 3.5. Сугалаанд 20 тасалбар байгаагаас 5 нь хожсон. 3 тасалбарыг санамсаргүй байдлаар ээлж дараалан буцаахгүйгээр сонгоно. Эхний, хоёр, гурав дахь тасалбарууд хожих магадлалыг тодорхойл.

Шийдэл. Үйл явдал болъё Аялагч тасалбар эхлээд сонгох болно, үйл явдал юм IN- хоёр дахь тасалбар хожно, эцэст нь, ХАМТ- Гурав дахь тасалбар хожиж байна. Энэ нь ойлгомжтой .

Үйл явдлын нөхцөлт магадлал INүйл явдал болсон тохиолдолд Аболсон, өөрөөр хэлбэл. -тэй тэнцэх сугалаанаас нэг азын тасалбар сонгогдсон (19 тасалбар үлдсэн бөгөөд үүнээс 4 нь хожиж байна).

Үйл явдлын нөхцөлт магадлал ХАМТүйл явдлуудыг хангасан АТэгээд INболсон, өөрөөр хэлбэл. тэнцүү хожиж хоёр тасалбар сонгосон байна .

Теорем 3.2-ын үр дүнд бүтээгдэхүүний магадлал тэнцүү байна

3.5-р асуудлыг сонгодог томъёо болон комбинаторикийн томъёог ашиглан шийдэж болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

.

Аливаа санамсаргүй үйл явдлын хувьд теорем 3.2 нь үнэн юм АТэгээд IN. Үйл явдал тохиолдох онцгой тохиолдолд АТэгээд INбие даасан, дараах мэдэгдэл үнэн байна.

Теорем 3.3 . Хоёр үл нийцэх үйл явдал нэгэн зэрэг тохиолдох магадлал АТэгээд INнь эдгээр үйл явдлын магадлалын үржвэртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл.

Баталгаа.Үйл явдал АТэгээд IN- бие даасан. Теорем 3.2-ын дагуу (3.5) томъёог харгалзан бид олж авна

Теорем нь батлагдсан.

Тэгэхээр теорем 3.3-т бие даасан үйл явдлын үржвэрийн магадлалыг (3.9) томъёогоор олно гэж хэлсэн. Эсрэг заалт нь бас үнэн юм.

Теорем 3.4.Хэрэв (3.9) томъёо нь хоёр үйл явдлын хувьд үнэн бол эдгээр үйл явдал нь бие даасан байна.

Хэд хэдэн зүйлийг нотлох баримтгүйгээр танилцуулъя. чухал шинж чанарууд, бие даасан үйл явдлуудад хүчинтэй.

1. Хэрэв үйл явдал IN-аас хамаарахгүй А, дараа нь үйл явдал А-аас хамаарахгүй IN.

2. Хэрэв үйл явдал АТэгээд IN- бие даасан, дараа нь үйл явдлууд бие даасан байна АМөн .

3. Хэрэв хоёр үйл явдал бие даасан байвал тэдгээрийн эсрэг үйл явдлууд мөн бие даасан байна.

Теорем 3.3-ыг хязгаарлагдмал тооны үйл явдалд нэгтгэн дүгнэж болно. Гэсэн хэдий ч үүнийг хийхээсээ өмнө гурав ба түүнээс дээш үйл явдлын бие даасан байдлын тухай ойлголтыг илүү нарийвчлан авч үзэх шаардлагатай.

Гурав ба түүнээс дээш үйл явдлаас бүрдсэн бүлгийн хувьд хос бие даасан байдал, нийлбэрт бие даасан байдал гэсэн ойлголт байдаг.

Үйл явдал А 1 , А 2 , …, А нгэж нэрлэдэг хос бие даасан, хэрэв эдгээр үйл явдлын аль нэг нь бие даасан байвал.

Үйл явдал А 1 , А 2 , …, А нгэж нэрлэдэг нийт бие даасан (эсвэл зүгээр л бие даасан), хэрэв тэдгээр нь хосоороо бие даасан бөгөөд үйл явдал тус бүр болон бусад бүх боломжит бүтээгдэхүүнүүд бие даасан байвал.

Жишээлбэл, гурван үйл явдал А 1 , А 2 , АДараах үйл явдлууд бие даасан байвал 3 нь хамтдаа бие даасан байна.

А 1 ба А 2 , А 1 ба А 3 , А 2 ба А 3 ,

А 1 ба А 2 А 3 , А 2 ба А 1 А 3 , А 3 ба А 1 А 2 .

Теорем 3.5 . Хэрэв үйл явдлууд А 1 , А 2 , …, А нЭдгээр нь нийлбэрээрээ бие даасан байвал тэдгээрийн нэгэн зэрэг үүсэх магадлалыг дараах томъёогоор тооцоолно.

Баталгаа.Гурван үйл явдлын хувьд томьёо зөв болохыг харуулъя. Хэрэв гурваас дээш үйл явдал байвал томъёоны үнэн зөвийг математик индукцийн аргаар нотолно.

Тиймээс, үүнийг харуулъя. Үйл явдлын теоремын нөхцлийн дагуу А 1 , А 2 , А 3 нь хамтдаа бие даасан. Тиймээс, жишээлбэл, хоёр үйл явдал бие даасан байдаг А 1 А 2 ба А 3. (3.9) томъёоны дагуу бид . Үйл явдлын нөхцөлөөр А 1 ба А 2 нь бас бие даасан. Эхний хүчин зүйлд (3.9) томъёог ашигласнаар бид эцэст нь .

Теорем нь батлагдсан.

Хэрэв үйл явдлууд хосоороо бие даасан байвал нийлбэрээрээ бие даасан байх болно гэсэн үг биш гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Мөн эсрэгээр, хэрэв үйл явдлууд нийлбэрээрээ бие даасан байвал тэдгээр нь тодорхой байдлаар, хосоороо бие даасан байх болно.

Хосоороо бие даасан, гэхдээ хамтын хамааралтай үйл явдлуудын жишээг авч үзье.

Жишээ 3.6. Нэг хайрцганд 4 ижил карт, дээр нь тоонууд бичигдсэн байг.

Санамсаргүй байдлаар нэг карт сонгоно. Үйл явдал АТа 1 гэсэн тоотой карт, үйл явдлыг сонгосон гэсэн үг INсонгосон карт нь 2 дугаартай үйл явдал гэж үздэг ХАМТ– тоо 3. Үйл явдал мөн эсэхийг олж мэд А, INТэгээд ХАМТхос бие даасан эсвэл хамтран бие даасан.

Шийдэл. Үйл явдал бүрийн магадлал А, INТэгээд ХАМТсонгодог томъёог ашиглан олж болно (нийт 4 карт байгаа бөгөөд тэдгээрийн хоёр нь 1, 2, 3 гэсэн тоотой): .

Тэр үйл явдлуудыг үзүүлье А, INТэгээд ХАМТхос бие даасан. Дурын хоёр үйл явдлыг сонгоцгооё, жишээлбэл, АТэгээд IN. 1 ба 2-ын тоо нэгэн зэрэг гарч ирэх нь дөрвөн картын зөвхөн нэг карт дээр байж болох тул тэдний бүтээгдэхүүний магадлал нь .

Тиймээс тэгш байдал нь үнэн юм . Теорем 3.4-ийн үйл явдлуудаар АТэгээд INбие даасан. Үүнтэй адилаар бид үйл явдлын бие даасан байдлыг харуулж чадна INТэгээд ХАМТ, түүнчлэн үйл явдлууд АТэгээд ХАМТ. Хос бие даасан байдал нь батлагдсан.

Эдгээр үйл явдлууд нийлбэрээрээ бие даасан биш гэдгийг харуулъя. Бүх гурван үйл явдал нэгэн зэрэг тохиолдох магадлал, i.e. Дөрвөн картын зөвхөн нэг нь бүх гурван дугаартай тул гурван тооны харагдах байдал нь -тэй тэнцүү байна. Үйл явдлын магадлалын үржвэр нь тэнцүү байна. Тиймээс, , тиймээс нийлбэрт бие даасан байдал байхгүй. ■

Магадлалыг үржүүлэх теорем ба үл нийцэх үйл явдлын магадлалыг нэмэх теоремоос шууд нийцэх үйл явдлын магадлалыг нэмэх теоремыг дагаж мөрддөг.

\(\blacktrianglerright\) Хэрэв \(C\) үйл явдлыг гүйцэтгэхийн тулд \(A\) болон \(B\) (\(C=\(A\)) хамтарсан (нэг зэрэг тохиолдож болно) үйл явдлуудыг хоёуланг нь гүйцэтгэх шаардлагатай. ) ба \( B\)\) ), тэгвэл \(C\) үйл явдлын магадлал нь \(A\) ба \(B\) үйл явдлын магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.

Хэрэв үйл явдлууд хоорондоо нийцэхгүй бол тэдгээрийн нэгэн зэрэг тохиолдох магадлал \(0\) -тэй тэнцүү болохыг анхаарна уу.

\(\blacktrianglerright\) Үйл явдал бүрийг тойрог хэлбэрээр илэрхийлж болно. Хэрэв үйл явдлууд хамтарсан бол тойрог огтлолцох ёстой. \(C\) үйл явдлын магадлал нь хоёр тойрогт нэгэн зэрэг орох магадлал юм.

\(\blacktrianglerright\) Жишээ нь үхэл шидэхдээ \(C=\) (\(6\) тоо) магадлалыг ол.
\(C\) үйл явдлыг \(A=\) (тэгш тоо хасах) ба \(B=\) (гурваар хуваагдах тоог хасах) гэж томъёолж болно.
Дараа нь \(P\,(C)=P\,(A)\cdot P\,(B)=\dfrac12\cdot \dfrac13=\dfrac16\).

Даалгавар 1 №3092

Даалгаврын түвшин: Улсын нэгдсэн шалгалттай тэнцэнэ

Тус дэлгүүрт Dike, Ananas гэсэн хоёр брэндийн пүүз зардаг. Санамсаргүй байдлаар сонгосон хос пүүз нь Dike-аас байх магадлал \(0.6\) байна. Компани бүр пүүзэн дээрээ нэрээ бичихдээ алдаа гаргаж болно. Дайк нэрээ буруу бичих магадлал нь \(0.05\) ; Ананас нэрээ буруу бичих магадлал нь \(0.025\) . Санамсаргүй байдлаар худалдаж авсан пүүз нь компанийн нэрийг зөв бичсэн байх магадлалыг ол.

А үйл явдал: "хос пүүз зөв нэртэй байх болно" нь В үйл явдлын нийлбэртэй тэнцүү байна: "нэг хос пүүз нь Дайкаас, зөв ​​нэртэй байх болно" болон C: "хос пүүз нь Ананас ба зөв нэртэй."
В үйл явдлын магадлал нь "пүүзнүүд Дайкаас байх болно" болон "Дайк компанийн нэрийг зөв бичсэн" үйл явдлын магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна: \ C үйл явдлын хувьд мөн адил: \ Тиймээс, \

Хариулт: 0.96

Даалгавар 2 №166

Даалгаврын түвшин: Улсын нэгдсэн шалгалттай тэнцэнэ

Хэрэв Төмөр цагаан даамтай тогловол Ванягийн эсрэг 0.72 магадлалтай ялна. Хэрэв Төмөр хар даамтай тогловол Ваняг 0.63 магадлалаар ялна. Тимур, Ваня хоёр хоёр тоглодог бөгөөд хоёр дахь тоглолтонд даамын өнгийг өөрчилдөг. Ваня хоёр удаа ялах магадлалыг ол.

Ваня цагаан өнгөтэй \(0.37\) магадлалтай, хар өнгөтэй \(0.28\) магадлалтайгаар ялна. "Ваня Цагаантай хоёр тоглолтоос ялалт байгууллаа"\(\ \) ба "Ваня Хартай хоёр тоглолтоос яллаа"\(\ \) үйл явдлууд бие даасан бөгөөд тэдгээрийн нэгэн зэрэг тохиолдох магадлал \ байна.

Хариулт: 0.1036

Даалгавар 3 №172

Даалгаврын түвшин: Улсын нэгдсэн шалгалттай тэнцэнэ

Музейн орох хаалгыг хоёр харуул хамгаалдаг. Тэдний хамгийн том нь рация утсаа мартах магадлал \(0.2\) , хамгийн залуу нь рация мартах магадлал \(0.1\) байна. Тэдэнд ганц ч радио байхгүй байх магадлал хэд вэ?

Харгалзаж буй үйл явдлууд нь бие даасан байдаг тул тэдгээрийн нэгэн зэрэг тохиолдох магадлал нь тэдгээрийн магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна. Дараа нь шаардлагатай магадлал нь \-тэй тэнцүү байна.

Хариулт: 0.02

Даалгавар 4 №167

Даалгаврын түвшин: Улсын нэгдсэн шалгалттай тэнцэнэ

1 метрийн өндрөөс үсэрч байхдаа Костя хөлөө хугалах магадлалтай \(0.05\) . 1 метрийн өндрөөс үсэрч байхдаа Ваня хөлөө хугалсан байх магадлалтай \(0.01\) . 1 метрийн өндрөөс үсэрч байхдаа Антон хөлөө хугалсан байх магадлалтай \(0.01\) . Костя, Ваня, Антон нар нэгэн зэрэг 1 метрийн өндрөөс үсэрдэг. Зөвхөн Костя хөлөө хугалах магадлал хэд вэ? Хариултаа хамгийн ойрын мянгад дугуйл.

Үйл явдал "1 метрийн өндрөөс үсрэх үед Костя хөлөө хугалсан"\(,\ \) "1 метрийн өндрөөс үсрэх үед Ваня хөлөө хугалаагүй"\(\ \) болон "үсрэх үед" 1 метр өндөр, Антон хөлөө хугалаагүй"\( \ \) нь бие даасан тул нэгэн зэрэг үүсэх магадлал нь тэдний магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна. \ Бөөрөнхийлсний дараа бид эцэст нь \(0.049\) авна.

Хариулт: 0.049

Даалгавар 5 №170

Даалгаврын түвшин: Улсын нэгдсэн шалгалттай тэнцэнэ

Максим, Ваня хоёр боулинг тоглохоор шийджээ. Максим дунджаар найман шидэлт тутамд нэг удаа цохилт өгдөг гэж зөв тооцоолсон. Ваня дунджаар таван шидэлт тутамд нэг удаа цохилт өгдөг гэж зөв тооцоолсон. Максим, Ваня нар тус бүр нэг шидэлт хийдэг (үр дүнгээс үл хамааран). Тэдний дунд ажил хаялт гарахгүй байх магадлал хэд вэ?

Харгалзан үзэж буй үйл явдлууд нь бие даасан байдаг тул тэдгээрийн нэгэн зэрэг тохиолдох магадлал нь тэдгээрийн магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна. Энэ тохиолдолд Максим ажил хаяхгүй байх магадлал тэнцүү байна \ Ваня цохилт өгөхгүй байх магадлал нь \(1 - 0.2 = 0.8\) . Дараа нь шаардлагатай магадлал тэнцүү байна \[\dfrac(7)(8)\cdot 0.8 = 0.7.\]

Хариулт: 0.7

Даалгавар 6 №1646

Даалгаврын түвшин: Улсын нэгдсэн шалгалттай тэнцэнэ

Антон, Костя нар ширээний теннис тоглож байна. Костя өөрийн гарын үсгээр ширээг цохих магадлал \(0.9\) байна. Костя гарын үсэг зурах гэж оролдсон жагсаалд Антон ялах магадлал нь \(0.3\) юм. Костя гарын үсэгтэй цохилтоороо ширээг цохихыг оролдов. Костя өөрийн гарын үсгээр цохиж, эцэст нь энэ раллид ялах магадлал хэд вэ?

Харгалзаж буй үйл явдлууд нь бие даасан байдаг тул тэдгээрийн нэгэн зэрэг тохиолдох магадлал нь тэдгээрийн магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна. Түүгээр ч барахгүй Костя гарын үсэг зурах гэж оролдсон раллид Антон ялахгүй байх магадлал нь \(1 - 0,3 = 0,7\) тэнцүү байна. Дараа нь шаардлагатай магадлал нь \-тэй тэнцүү байна.

Мөн хийх даалгавар байх болно бие даасан шийдвэр, үүний хариултыг харж болно.

Асуудлын ерөнхий мэдэгдэл: зарим үйл явдлын магадлал нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд эдгээр үйл явдлуудтай холбоотой бусад үйл явдлын магадлалыг тооцоолох хэрэгтэй. Эдгээр бодлогод магадлалыг нэмэх, үржүүлэх гэх мэт магадлал бүхий үйлдлүүд шаардлагатай байдаг.

Жишээ нь, ан хийж байхдаа хоёр сум хийдэг. Үйл явдал А- эхний сумаар нугас цохих, үйл явдал Б- хоёр дахь цохилтоос цохисон. Дараа нь үйл явдлын нийлбэр АТэгээд Б- эхний эсвэл хоёр дахь цохилтоор эсвэл хоёр цохилтоор цохих.

Өөр төрлийн асуудал. Хэд хэдэн үйл явдлуудыг өгдөг, жишээлбэл, зоосыг гурван удаа шиддэг. Сүлд гурвууланд нь гарч ирэх, эсвэл ядаж нэг удаа сүлд гарч ирэх магадлалыг олох хэрэгтэй. Энэ бол магадлалыг үржүүлэх бодлого юм.

Тохиромжгүй үйл явдлын магадлалыг нэмэх

Магадлалыг нэмэх нь санамсаргүй үйл явдлын хослол эсвэл логик нийлбэрийн магадлалыг тооцоолох шаардлагатай үед ашиглагддаг.

Үйл явдлын нийлбэр АТэгээд Бтэмдэглэнэ А + Бэсвэл А ∪ Б. Хоёр үйл явдлын нийлбэр нь аль нэг үйл явдал тохиолдсон тохиолдолд л тохиолддог үйл явдал юм. Энэ нь тийм гэсэн үг А + Б– ажиглалтын явцад тохиолдсон тохиолдолд л тохиолдох үйл явдал Аэсвэл үйл явдал Б, эсвэл нэгэн зэрэг АТэгээд Б.

Хэрэв үйл явдлууд АТэгээд Бхарилцан үл нийцэх ба тэдгээрийн магадлалыг өгвөл нэг туршилтын үр дүнд эдгээр үйл явдлын аль нэг нь тохиолдох магадлалыг магадлалыг нэмэх замаар тооцоолно.

Магадлалын нэмэх теорем.Хоёр бие биендээ үл нийцэх үйл явдлын аль нэг нь тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Жишээ нь, ан хийж байхдаа хоёр сум хийдэг. Үйл явдал А– эхний сумаар нугас цохих, үйл явдал IN– хоёр дахь цохилт, үйл явдал ( А+ IN) – эхний болон хоёр дахь цохилтоос эсвэл хоёр цохилтоос авсан цохилт. Тэгэхээр, хэрэв хоёр үйл явдал бол АТэгээд IN- нийцэхгүй үйл явдлууд, тэгвэл А+ IN– эдгээр үйл явдлын дор хаяж нэг эсвэл хоёр үйл явдал тохиолдсон.

Жишээ 1.Нэг хайрцагт ижил хэмжээтэй 30 бөмбөг байна: 10 улаан, 5 цэнхэр, 15 цагаан. Өнгөт (цагаан биш) бөмбөгийг харахгүйгээр авах магадлалыг тооцоол.

Шийдэл. Үйл явдал болсон гэж үзье А- "улаан бөмбөгийг авлаа", мөн үйл явдал IN- "Цэнхэр бөмбөгийг авсан." Дараа нь үйл явдал нь "өнгөт (цагаан биш) бөмбөгийг авдаг." Үйл явдлын магадлалыг олцгооё А:

болон үйл явдлууд IN:

Үйл явдал АТэгээд IN- бие биедээ үл нийцэх, учир нь нэг бөмбөг авбал өөр өөр өнгийн бөмбөг авах боломжгүй. Тиймээс бид магадлалын нэмэгдлийг ашигладаг:

Хэд хэдэн үл нийцэх үйл явдлын магадлалыг нэмэх теорем.Хэрэв үйл явдлууд үйл явдлын иж бүрдлийг бүрдүүлдэг бол тэдгээрийн магадлалын нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү байна.

Эсрэг үйл явдлын магадлалын нийлбэр нь мөн 1-тэй тэнцүү байна.

Эсрэг үйл явдлууд нь үйл явдлын бүрэн багцыг бүрдүүлдэг бөгөөд үйл явдлын бүрэн багцын магадлал 1 байна.

Эсрэг үйл явдлын магадлалыг ихэвчлэн жижиг үсгээр тэмдэглэдэг хТэгээд q. Тухайлбал,

Үүний эсрэг үйл явдлын магадлалын дараах томьёо дагана.

Жишээ 2.Буудлагын талбайн бай нь 3 бүсэд хуваагдана. Тодорхой мэргэн бууч эхний бүсэд 0.15, хоёр дахь бүсэд 0.23, гуравдугаар бүсэд 0.17 байна. Буудагч бай онох магадлал, буудагч байг алдах магадлалыг ол.

Шийдэл: Буудагч байг онох магадлалыг ол:

Буудагч байг алдах магадлалыг олцгооё.

Магадлалыг нэмэх ба үржүүлэх аргыг хоёуланг нь ашиглах шаардлагатай илүү төвөгтэй бодлогуудыг "Магадлалыг нэмэх, үржүүлэхтэй холбоотой янз бүрийн бодлого" хуудаснаас үзнэ үү.

Нэгэн зэрэг тохиолдох үйл явдлын магадлалыг нэмэх

Хэрэв нэг үйл явдал тохиолдсон нь нэг ажиглалтад хоёр дахь үйл явдал тохиолдохыг үгүйсгэхгүй бол санамсаргүй хоёр үйл явдлыг хамтарсан гэж нэрлэдэг. Жишээ нь, үхэл шидэх үед үйл явдал Атоо 4 гарч цувисан гэж үзэж байна, үйл явдал IN- тэгш тоогоор эргэлддэг. 4 нь тэгш тоо тул хоёр үйл явдал таарч байна. Практикт нэгэн зэрэг тохиолдох үйл явдлуудын аль нэг нь тохиолдох магадлалыг тооцоолоход бэрхшээлтэй байдаг.

Хамтарсан үйл явдлын магадлалын нэмэх теорем.Хамтарсан үйл явдлын аль нэг нь тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд үүнээс хоёр үйл явдлын нийтлэг тохиолдох магадлалыг, өөрөөр хэлбэл магадлалын үржвэрийг хассан байна. Хамтарсан үйл явдлын магадлалын томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.

Үйл явдлуудаас хойш АТэгээд INнийцтэй, үйл явдал А+ INГурван боломжит үйл явдлын аль нэг нь тохиолдвол тохиолддог: эсвэл AB. Тохиромжгүй үйл явдлыг нэмэх теоремын дагуу бид дараах байдлаар тооцоолно.

Үйл явдал АХэрэв үл нийцэх хоёр үйл явдлын аль нэг нь тохиолдвол гарна: эсвэл AB. Гэсэн хэдий ч хэд хэдэн үл нийцэх үйл явдлуудаас нэг үйл явдал тохиолдох магадлал нь эдгээр бүх үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Үүний нэгэн адил:

(6) ба (7) илэрхийллийг (5) илэрхийлэлд орлуулснаар бид хамтарсан үйл явдлын магадлалын томъёог олж авна.

Томъёо (8) ашиглахдаа тухайн үйл явдлыг анхаарч үзэх хэрэгтэй АТэгээд INбайж болно:

• харилцан бие даасан;
• харилцан хамааралтай.

Харилцан хамааралгүй үйл явдлын магадлалын томъёо:

Харилцан хамааралтай үйл явдлын магадлалын томъёо:

Хэрэв үйл явдлууд АТэгээд INнийцэхгүй байгаа бол тэдгээрийн давхцал нь боломжгүй тохиолдол бөгөөд иймээс, П(AB) = 0. Тохиромжгүй үйл явдлын магадлалын дөрөв дэх томьёо нь:

Жишээ 3.Автомашины уралдаанд эхний машинаа жолоодоход түрүүлэх магадлал өндөр, харин хоёр дахь машинаа жолоодоход түрүүлэх магадлал өндөр байдаг. Олно:

• хоёр машин хоёулаа ялах магадлал;
• дор хаяж нэг машин ялах магадлал;

1) Эхний машин ялах магадлал нь хоёр дахь машины үр дүнгээс хамаарахгүй тул үйл явдлууд А(эхний машин ялна) ба IN(хоёр дахь машин ялах болно) - бие даасан үйл явдал. Хоёр машин хожих магадлалыг олъё:

2) Хоёр машины аль нэг нь ялах магадлалыг ол.

Магадлалыг нэмэх ба үржүүлэх аргыг хоёуланг нь ашиглах шаардлагатай илүү төвөгтэй бодлогуудыг "Магадлалыг нэмэх, үржүүлэхтэй холбоотой янз бүрийн бодлого" хуудаснаас үзнэ үү.

Магадлалын нэмэх асуудлыг өөрөө шийдэж, дараа нь шийдлийг хар

Жишээ 4.Хоёр зоос шидэж байна. Үйл явдал А- эхний зоос дээрх төрийн сүлд алдагдсан. Үйл явдал Б- хоёр дахь зоос дээрх төрийн сүлд алдагдсан. Үйл явдлын магадлалыг ол C = А + Б .

Үржүүлэх магадлал

Үйл явдлын логик үржвэрийн магадлалыг тооцоолох шаардлагатай үед магадлалын үржвэрийг ашигладаг.

Энэ тохиолдолд санамсаргүй үйл явдлууд бие даасан байх ёстой. Нэг үйл явдал тохиолдсон нь хоёр дахь үйл явдлын магадлалд нөлөөлөхгүй бол хоёр үйл явдлыг бие биенээсээ хамааралгүй гэж нэрлэдэг.

Бие даасан үйл явдлын магадлалын үржүүлэх теорем.Хоёр бие даасан үйл явдал нэгэн зэрэг тохиолдох магадлал АТэгээд INнь эдгээр үйл явдлын магадлалын үржвэртэй тэнцүү бөгөөд дараах томъёогоор тооцоолно.

Жишээ 5.Зоосыг гурван удаа дараалан шиддэг. Төрийн сүлд гурван удаа гарч ирэх магадлалыг ол.

Шийдэл. Зоосыг эхний шидэх, хоёр дахь, гурав дахь удаагаа шидэхэд сүлд харагдах магадлал. Төрийн сүлд гурван удаа гарч ирэх магадлалыг олъё.

Магадлалыг үржүүлэх бодлогыг бие даан шийдэж, дараа нь шийдлийг хар

Жишээ 6.Есөн шинэ теннисний бөмбөгний хайрцаг байна. Тоглохын тулд гурван бөмбөг авч, тоглолтын дараа буцааж тавьдаг. Бөмбөгийг сонгохдоо тоглосон бөмбөгийг тоглоогүй бөмбөгөөс ялгадаггүй. Гурван тоглолтын дараа хайрцагт тоглоогүй бөмбөг үлдэх магадлал хэд вэ?

Жишээ 7.Орос цагаан толгойн 32 үсэг нь хайчлагдсан цагаан толгойн карт дээр бичигдсэн байдаг. Таван картыг нэг нэгээр нь санамсаргүй байдлаар сугалж, харагдах дарааллаар нь ширээн дээр тавьдаг. Үсгүүд "төгсгөл" гэдэг үгийг үүсгэх магадлалыг ол.

Жишээ 8.Бүрэн тавцангаас (52 хуудас) дөрвөн картыг нэг дор гаргаж авдаг. Эдгээр дөрвөн карт бүгд өөр өөр костюмтай байх магадлалыг ол.

Жишээ 9. 8-р жишээтэй ижил даалгавар, гэхдээ карт бүрийг хассаны дараа тавцан руу буцаана.

Магадлалыг нэмэх, үржүүлэх, мөн хэд хэдэн үйл явдлын үржвэрийг тооцоолох шаардлагатай илүү төвөгтэй бодлогуудыг "Магадлалыг нэмэх, үржүүлэхтэй холбоотой янз бүрийн бодлого" хуудаснаас олж болно.

Харилцан хамааралгүй үйл явдлуудын дор хаяж нэг нь тохиолдох магадлалыг 1-ээс эсрэг үйл явдлын магадлалын үржвэрийг хасч, өөрөөр хэлбэл томъёог ашиглан тооцоолж болно.

Магадлалын нэмэх ба үржүүлэх теоремууд.
Хамааралтай, бие даасан үйл явдлууд

Гарчиг нь аймшигтай харагдаж байгаа ч бодит байдал дээр бүх зүйл маш энгийн байдаг. Энэ хичээлээр бид үйл явдлын магадлалыг нэмэх, үржүүлэх теоремуудтай танилцаж, ердийн бодлогод дүн шинжилгээ хийх болно. магадлалыг сонгодог тодорхойлох асуудалгарцаагүй уулзах болно, эсвэл замдаа аль хэдийн уулзсан байх магадлалтай. Энэ нийтлэл дэх материалыг үр дүнтэй судлахын тулд та үндсэн нэр томъёог мэдэж, ойлгох хэрэгтэй магадлалын онолэнгийн арифметик үйлдлүүдийг гүйцэтгэх чадвартай байх. Таны харж байгаагаар маш бага зүйл шаардагддаг тул хөрөнгөнд өөх тос нэмэгдэх нь бараг баталгаатай юм. Гэхдээ нөгөө талаас би практик жишээн дээр өнгөцхөн хандахаас дахин анхааруулж байна - бас олон нарийн зүйл байдаг. Амжилт хүсье:

Тохиромжгүй үйл явдлын магадлалыг нэмэх теорем: хоёрын аль нэг нь тохиолдох магадлал нийцэхгүйүйл явдал эсвэл (юу ч байсан хамаагүй), эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна:

Үүнтэй төстэй баримт нь олон тооны үл нийцэх үйл явдлын хувьд үнэн юм, жишээлбэл, гурван үл нийцэх үйл явдал болон:

Теорем бол зүүд юм =) Гэсэн хэдий ч ийм мөрөөдөл нь нотлох баримттай байдаг бөгөөд үүнийг жишээ нь: сурах бичиг V.E. Гмурман.

Шинэ, өнөөг хүртэл үл мэдэгдэх ойлголтуудтай танилцацгаая.

Хамааралтай, бие даасан үйл явдлууд

Бие даасан үйл явдлуудаас эхэлье. Үйл явдал байна бие даасан , тохиолдох магадлал бол аль нэг нь хамаарахгүйхэлэлцэж буй багцын бусад үйл явдлын харагдах байдал / харагдахгүй байдлын талаар (бүх боломжит хослолоор). ...Гэхдээ яагаад ерөнхий хэллэгийг туршиж үзэх хэрэгтэй вэ?

Бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теорем: бие даасан үйл явдлын хамт тохиолдох магадлал ба эдгээр үйл явдлын магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.

Хоёр зоос шидсэн 1-р хичээлийн хамгийн энгийн жишээ болон дараах үйл явдлууд руу буцъя.

– 1-р зоос дээр толгойнууд гарч ирнэ;
– 2 дахь зоос дээр толгойнууд гарч ирнэ.

Үйл явдлын магадлалыг олцгооё (1-р зоос дээр толгойнууд гарч ирнэ Тэгээд 2 дахь зоос дээр бүргэд гарч ирнэ - хэрхэн уншихаа санаарай үйл явдлын бүтээгдэхүүн!) . Нэг зоос дээрх толгойн магадлал нь өөр зоос шидсэн үр дүнгээс ямар ч байдлаар хамаардаггүй тул үйл явдлууд бие даасан байдаг.

Үүний нэгэн адил:
– 1-р зоос унах магадлал Тэгээд 2-р сүүл дээр;
– 1-р зоос дээр толгой гарч ирэх магадлал Тэгээд 2-р сүүл дээр;
– 1-р зоос толгой харуулах магадлал Тэгээд 2-р бүргэд дээр.

Үйл явдал үүсч байгааг анхаарна уу бүтэн бүлэгба тэдгээрийн магадлалын нийлбэр нь нэгтэй тэнцүү байна: .

Үржүүлэх теорем нь илүү олон тооны бие даасан үйл явдлуудыг хамардаг, жишээлбэл, хэрэв үйл явдлууд бие даасан байвал тэдгээрийн хамтарсан тохиолдох магадлал нь тэнцүү байна: . Тодорхой жишээн дээр дадлага хийцгээе:

Асуудал 3

Гурван хайрцаг тус бүр 10 хэсгээс бүрдэнэ. Эхний хайрцагт 8 стандарт хэсэг, хоёр дахь нь 7, гурав дахь нь 9. Хайрцаг бүрээс нэг хэсгийг санамсаргүй байдлаар гаргаж авдаг. Бүх хэсгүүд стандарт байх магадлалыг ол.

Шийдэл: Аливаа хайрцагнаас стандарт болон стандарт бус хэсгийг гаргаж авах магадлал нь бусад хайрцагнаас ямар хэсгүүдийг авахаас хамаарахгүй тул асуудал нь бие даасан үйл явдлуудыг авч үздэг. Дараах бие даасан үйл явдлуудыг авч үзье.

– 1-р хайрцагнаас стандарт хэсгийг хассан;
- 2-р хайрцгаас стандарт хэсгийг салгасан;
- 3-р хайрцагнаас стандарт хэсгийг хасав.

Сонгодог тодорхойлолтын дагуу:
харгалзах магадлалууд юм.

Бидний сонирхсон үйл явдал (1-р хайрцагнаас стандарт хэсгийг хасна Тэгээд 2-р стандартаас Тэгээд 3-р стандартаас)бүтээгдэхүүнээр илэрхийлэгддэг.

Бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теоремын дагуу:

– гурван хайрцагнаас нэг стандарт хэсгийг салгах магадлал.

Хариулт: 0,504

Хайрцагтай эрч хүчтэй дасгал хийсний дараа биднийг илүү сонирхолтой ургамлууд хүлээж байна.

Асуудал 4

Гурван саванд 6 цагаан, 4 хар бөмбөлөг байдаг. Урд бүрээс санамсаргүй байдлаар нэг бөмбөг сугалж авдаг. Магадлалыг ол: a) бүх гурван бөмбөг цагаан байх; б) гурван бөмбөг бүгд ижил өнгөтэй байна.

Хүлээн авсан мэдээлэлд үндэслэн "байх" цэгийг хэрхэн яаж шийдвэрлэхийг тааварлаарай ;-) Шийдлийн ойролцоо жишээг бүх үйл явдлын нарийвчилсан тайлбар бүхий академик хэв маягаар боловсруулсан болно.

Хамааралтай үйл явдлууд. Үйл явдал гэж нэрлэдэг хамааралтай , хэрэв түүний магадлал хамаарнааль хэдийн болсон нэг буюу хэд хэдэн үйл явдлаас. Та жишээ авахын тулд хол явах шаардлагагүй - хамгийн ойрын дэлгүүрт очно уу:

– Маргааш 19.00 цагаас шинэ талх худалдаанд гарна.

Энэ үйл явдлын магадлал нь маргааш шинэ талх хүргэх эсэх, оройн 19 цагаас өмнө зарагдах эсэх гэх мэт бусад олон үйл явдлаас хамаарна. Янз бүрийн нөхцөл байдлаас шалтгаалан энэ үйл явдал найдвартай эсвэл боломжгүй байж болно. Тиймээс үйл явдал болж байна хамааралтай.

Талх ... мөн Ромчуудын шаардсанаар циркчид:

– шалгалтанд оюутан энгийн тасалбар авна.

Хэрэв та анхных биш бол үйл явдал нь хамааралтай байх болно, учир нь түүний магадлал нь ангийнхан аль хэдийн тасалбар авсан эсэхээс хамаарна.

Үйл явдлын хамаарал/бие даасан байдлыг хэрхэн тодорхойлох вэ?

Заримдаа үүнийг асуудлын мэдэгдэлд шууд тусгасан байдаг боловч ихэнхдээ бие даасан дүн шинжилгээ хийх шаардлагатай болдог. Энд хоёрдмол утгагүй удирдамж байхгүй бөгөөд үйл явдлын хамаарал эсвэл бие даасан байдал нь байгалийн логик үндэслэлээс үүдэлтэй юм.

Бүх зүйлийг нэг овоолго болгохгүйн тулд хамааралтай үйл явдлын даалгаварБи дараах хичээлийг онцлон тэмдэглэх болно, гэхдээ одоо бид практикт хамгийн түгээмэл теоремуудыг авч үзэх болно.

Тохиромжгүй магадлалын нэмэлт теоремуудын талаархи бодлого
бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх

Энэхүү тандем нь миний субъектив үнэлгээний дагуу хэлэлцэж буй сэдвийн даалгавруудын 80 орчим хувийг гүйцэтгэдэг. Хит болон магадлалын онолын жинхэнэ сонгодог бүтээл:

Асуудал 5

Хоёр буудагч тус бүр бай руу нэг удаа буудсан. Эхний шидэгчийн цохилтын магадлал 0.8, хоёр дахь нь 0.6 байна. Магадлалыг ол:

a) зөвхөн нэг буудагч бай онох болно;
б) буудлагын дор хаяж нэг нь бай онох болно.

Шийдэл: Нэг мэргэн буучийн цохилт/алдах хувь нь нөгөө шидэгчийн гүйцэтгэлээс үл хамаарах нь ойлгомжтой.

Үйл явдлыг авч үзье:
- 1-р буудагч байг онох болно;
– Хоёр дахь буудагч байг ононо.

Нөхцөлөөр: .

Эсрэг үйл явдлын магадлалыг олцгооё - харгалзах сумнууд алга болно.

a) Үйл явдлыг авч үзье: - зөвхөн нэг буудагч байг онох болно. Энэ үйл явдал нь хоёр нийцэхгүй үр дүнгээс бүрдэнэ:

1-р мэргэн бууч цохих болно Тэгээд 2 дахь нь алдах болно
эсвэл
1 дэх нь алга болно Тэгээд 2 дахь нь цохих болно.

Хэл дээр үйл явдлын алгебруудЭнэ баримтыг дараах томъёогоор бичнэ.

Эхлээд бид үл нийцэх үйл явдлын магадлалыг нэмэх теоремыг, дараа нь бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теоремыг ашигладаг.

– ганц цохилт болох магадлал.

б) Үйл явдлыг авч үзье: - буудлагын нэг нь бай оносон байна.

Юуны өмнө БОДОЁ - "Ядаж НЭГ" гэсэн нөхцөл юу гэсэн үг вэ? Энэ тохиолдолд 1-р мэргэн бууч онох болно (2 дахь нь алдах болно) эсвэл 2 дахь (1 дэх нь алдах болно) эсвэлхоёр мэргэн бууч нэг дор - нийт 3 таарахгүй үр дүн.

Нэгдүгээр арга: өмнөх цэгийн бэлэн магадлалыг харгалзан тухайн үйл явдлыг дараах үл нийцэх үйл явдлуудын нийлбэрээр илэрхийлэх нь тохиромжтой.

хэн нэгэн тийшээ очих болно (зохицохгүй 2 үр дүнгээс бүрдэх үйл явдал) эсвэл
Хэрэв хоёр сум тусвал бид энэ үйл явдлыг үсгээр тэмдэглэнэ.

Тиймээс:

Бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теоремын дагуу:
– 1-р шидэгч онох магадлал Тэгээд 2 дахь мэргэн буудагч цохино.

Тохиромжгүй үйл явдлын магадлалыг нэмэх теоремын дагуу:
– бай руу дор хаяж нэг удаа онох магадлал.

Хоёр дахь арга: Эсрэг үйл явдлыг авч үзье: - хоёр мэргэн бууч хоцрох болно.

Бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теоремын дагуу:

Үр дүнд нь:

Онцгой анхааралХоёрдахь аргад анхаарлаа хандуулаарай - ерөнхийдөө энэ нь илүү оновчтой юм.

Нэмж дурдахад дээр дурдаагүй хамтарсан үйл явдлуудыг нэмэх теорем дээр үндэслэн үүнийг шийдэх өөр гуравдахь арга бий.

! Хэрэв та материалтай анх удаа танилцаж байгаа бол төөрөгдөлд орохгүйн тулд дараагийн догол мөрийг алгасах нь дээр.

Гурав дахь арга : үйл явдлууд нийцэж байгаа бөгөөд энэ нь тэдний нийлбэр нь "дор хаяж нэг буудагч байг онох болно" гэсэн үйл явдлыг илэрхийлж байна гэсэн үг (харна уу. үйл явдлын алгебр). By хамтарсан үйл явдлын магадлалыг нэмэх теорембие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теорем:

Шалгаж үзье: үйл явдал ба (0, 1, 2 цохилт тус тус)бүрэн бүлэг үүсгэх тул тэдгээрийн магадлалын нийлбэр нь нэгтэй тэнцүү байх ёстой.
, үүнийг шалгах шаардлагатай байсан.

Хариулт:

Магадлалын онолыг сайтар судалснаар та милитарист агуулгатай олон арван асуудалтай тулгарах бөгөөд үүний дараа та хэнийг ч буудахыг хүсэхгүй байх болно - асуудлууд нь бараг бэлэг юм. Загварыг бас хялбарчилж яагаад болохгүй гэж? Бичлэгийг товчилъё:

Шийдэл: нөхцөлөөр: , – харгалзах шидэгчдийг онох магадлал. Тэгвэл тэдний алдах магадлал:

a) Үл нийцэх магадлалыг нэмэх, бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теоремуудын дагуу:
– ганцхан буудагч бай онох магадлал.

б) Бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теоремын дагуу:
– мэргэн бууч хоёулаа алдах магадлал.

Дараа нь: – буудагчдаас ядаж нэг нь бай онох магадлал.

Хариулт:

Практикт та ямар ч дизайны сонголтыг ашиглаж болно. Мэдээжийн хэрэг, тэд илүү олон удаа богино замаар явдаг, гэхдээ бид 1-р аргыг мартаж болохгүй - энэ нь урт боловч илүү утга учиртай - илүү ойлгомжтой, юу, яагаад, яагааднэмэх, үржүүлэх. Зарим тохиолдолд зөвхөн зарим үйл явдлыг том үсгээр бичихэд тохиромжтой үед эрлийз хэв маяг тохиромжтой байдаг.

Бие даасан шийдлийн ижил төстэй ажлууд:

Асуудал 6

Галын дохио өгөхийн тулд бие даасан хоёр мэдрэгч суурилуулсан. Гал гарсан тохиолдолд мэдрэгч ажиллах магадлал нь эхний болон хоёр дахь мэдрэгчийн хувьд 0.5 ба 0.7 байна. Гал гарах магадлалыг ол:

a) мэдрэгч хоёулаа амжилтгүй болно;
б) мэдрэгч хоёулаа ажиллах болно.
в) ашиглах бүрэн бүлэг үүсгэх үйл явдлын магадлалыг нэмэх теорем, галд зөвхөн нэг мэдрэгч ажиллах магадлалыг ол. Энэ магадлалыг шууд тооцоолох замаар үр дүнг шалгана уу (нэмэх ба үржүүлэх теоремуудыг ашиглах).

Энд төхөөрөмжүүдийн үйл ажиллагааны бие даасан байдал нь нөхцөл байдалд шууд илэрхийлэгддэг бөгөөд энэ нь чухал тодруулга юм. Шийдэл дээжийг академик хэв маягаар боловсруулсан болно.

Хэрэв ижил төстэй бодлогод ижил магадлал, жишээ нь 0.9 ба 0.9 өгөгдсөн бол яах вэ? Та яг адилхан шийдэх хэрэгтэй! (үнэндээ үүнийг хоёр зоосоор жишээн дээр харуулсан)

Асуудал 7

Нэг сумаар эхний харвасан хүний ​​бай онох магадлал 0.8 байна. Эхний болон хоёр дахь харвагчид тус бүр нэг сум буудсаны дараа бай оногдохгүй байх магадлал 0.08 байна. Хоёр дахь буудагч нэг сумаар байг онох магадлал хэд вэ?

Энэ бол богино хугацаанд зохион бүтээсэн жижиг оньсого юм. Нөхцөл байдлыг илүү товчоор дахин томъёолж болох боловч би эх хувилбарыг дахин хийхгүй - практик дээр би илүү гоёмсог зохиомжийг судлах хэрэгтэй болно.

Түүнтэй уулзаарай - тэр танд зориулж асар их хэмжээний нарийн ширийн зүйлийг төлөвлөсөн хүн =):

Асуудал 8

Нэг ажилчин гурван машин ажиллуулдаг. Эхний ээлжийн машинд тохируулга хийх магадлал 0.3, хоёр дахь нь 0.75, гурав дахь нь 0.4 байна. Шилжилтийн үед гарах магадлалыг ол:

a) бүх машинд тохируулга шаардлагатай болно;
б) зөвхөн нэг машин тохируулах шаардлагатай;
в) дор хаяж нэг машин тохируулга хийх шаардлагатай.

Шийдэл: нөхцөл нь нэг технологийн процессын талаар юу ч хэлээгүй тул машин бүрийн ажиллагааг бусад машинуудын үйл ажиллагаанаас хамааралгүй гэж үзэх хэрэгтэй.

Бодлого №5-тай адилтгаж үзвэл, эндээс та ээлжийн явцад тохирох машинуудад тохируулга хийх шаардлагатай үйл явдлуудыг авч үзэх, магадлалыг бичих, эсрэг үйл явдлын магадлалыг олох гэх мэт боломжтой. Гэхдээ гурван объекттой бол би даалгаврыг ингэж форматлахыг үнэхээр хүсэхгүй байна - энэ нь урт бөгөөд уйтгартай байх болно. Тиймээс энд "хурдан" хэв маягийг ашиглах нь илүү ашигтай байдаг.

Нөхцөлийн дагуу: – ээлжийн үед тохирох машинд тааруулах шаардлагатай байх магадлал. Дараа нь тэдэнд анхаарал хандуулахгүй байх магадлал нь:

Уншигчдын нэг эндээс дажгүй үсгийн алдаа олсон, би засах ч үгүй ​​=)

a) Бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теоремын дагуу:
– ээлжийн үед гурван машинд тохируулга хийх шаардлагатай байх магадлал.

b) "Ээлжийн үед зөвхөн нэг машинд тохируулга хийх шаардлагатай" үйл явдал нь гурван үл нийцэх үр дүнгээс бүрдэнэ.

1) 1-р машин шаардах болноанхаарал Тэгээд 2-р машин шаардахгүй Тэгээд 3 дахь машин шаардахгүй
эсвэл:
2) 1-р машин шаардахгүйанхаарал Тэгээд 2-р машин шаардах болно Тэгээд 3 дахь машин шаардахгүй
эсвэл:
3) 1-р машин шаардахгүйанхаарал Тэгээд 2-р машин шаардахгүй Тэгээд 3 дахь машин шаардах болно.

Үл нийцэх магадлалыг нэмэх, бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теоремуудын дагуу:

– ээлжийн үед зөвхөн нэг машин тохируулга шаардах магадлал.

Энэ илэрхийлэл хаанаас ирснийг та одоо ойлгох хэрэгтэй гэж бодож байна

в) Машинууд тохируулга хийх шаардлагагүй байх магадлалыг, дараа нь эсрэг үйл явдлын магадлалыг тооцоолъё.
- наад зах нь нэг машин тохируулга хийх шаардлагатай болно.

Хариулт:

"ve" цэгийг мөн нийлбэрээр шийдэж болно, энд ээлжийн үед зөвхөн хоёр машин тохируулга хийх шаардлагатай болдог. Энэ үйл явдал нь эргээд "байх" цэгтэй адилтгаж тодорхойлсон 3 үл нийцэх үр дүнг агуулдаг. Тэгш байдлыг ашиглан асуудлыг бүхэлд нь шалгах магадлалыг өөрөө олохыг хичээ.

Асуудал 9

Зорилтот руу гурван буунаас салво буудсан. Зөвхөн эхний буугаар нэг сумаар цохих магадлал 0.7, хоёр дахь буунаас 0.6, гурав дахь буунаас 0.8 байна. Дараах магадлалыг ол: 1) ядаж нэг сум байг онох; 2) зөвхөн хоёр бүрхүүл нь бай онох болно; 3) байг дор хаяж хоёр удаа цохино.

Шийдэл, хариулт нь хичээлийн төгсгөлд байна.

Дахин давхцлын талаар: хэрэв нөхцөл байдлын дагуу эхний магадлалын хоёр эсвэл бүр бүх утга давхцаж байвал (жишээлбэл, 0.7, 0.7 ба 0.7) яг ижил шийдлийн алгоритмыг дагаж мөрдөх ёстой.

Өгүүллийг дуусгахын тулд өөр нэг нийтлэг тааврыг харцгаая.

Асуудал 10

Буудагч нь шидэлт болгондоо ижил магадлалаар байг ононо. Гурван цохилтоор дор хаяж нэг цохилт өгөх магадлал 0.973 бол энэ магадлал хэд вэ.

Шийдэл: буудсан болгонд бай онох магадлалаар тэмдэглэе.
ба дамжуулан - цохилт болгонд алдах магадлал.

Тэгээд үйл явдлуудыг бичье:
- 3 буудлага хийснээр буудагч дор хаяж нэг удаа бай онох болно;
– мэргэн буудагч 3 удаа алдах болно.

Нөхцөлөөр, дараа нь эсрэг үйл явдлын магадлал:

Нөгөөтэйгүүр, бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теоремын дагуу:

Тиймээс:

- шидэлт болгондоо алдах магадлал.

Үр дүнд нь:
– цохилт болгонд цохилт өгөх магадлал.

Хариулт: 0,7

Энгийн бөгөөд дэгжин.

Үзэж буй асуудалд зөвхөн нэг цохилтын магадлал, зөвхөн хоёр цохилт, бай руу гурван цохилт өгөх магадлалын талаар нэмэлт асуултуудыг тавьж болно. Шийдлийн схем нь өмнөх хоёр жишээн дээрхтэй яг ижил байх болно.

Гэсэн хэдий ч үндсэн бодит ялгаа нь энд байгаа явдал юм давтан бие даасан туршилтууд, бие биенээсээ хамааралгүй, үр дүнгийн магадлал ижил дарааллаар хийгддэг.