Шоо шоо ба ялгаа: үржүүлэх товчилсон томъёог хэрэглэх дүрэм. Үржүүлэх товчилсон томъёо Кубуудын зөрүүг эсрэг чиглэлд хэрэглэх

Квадратуудын ялгаа

$a^2-b^2$ квадратуудын зөрүүний томъёог гаргая.

Үүнийг хийхийн тулд дараах дүрмийг санаарай.

Хэрэв бид илэрхийлэлд ямар нэгэн мономиал нэмж, ижил мономиалыг хасвал бид зөв ижилслийг олж авна.

Илэрхийлэлдээ нэмээд $ab$ мономиалыг хасъя:

Бид нийтдээ:

Өөрөөр хэлбэл, хоёр мономиалын квадратуудын ялгаа нь тэдгээрийн зөрүү ба нийлбэрийн үржвэртэй тэнцүү байна.

Жишээ 1

$(4x)^2-y^2$ бүтээгдэхүүн хэлбэрээр танилцуулна

\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]

\[((2x))^2-y^2=\зүүн(2x-y\баруун)(2х+у)\]

Кубуудын нийлбэр

$a^3+b^3$ кубуудын нийлбэрийн томъёог гаргая.

Нийтлэг хүчин зүйлсийг хаалтнаас хасъя:

$\left(a+b\right)$-г хаалтнаас гаргая:

Бид нийтдээ:

Өөрөөр хэлбэл, хоёр мономиалын шоо нийлбэр нь тэдгээрийн нийлбэр ба ялгааны хэсэгчилсэн квадратын үржвэртэй тэнцүү байна.

Жишээ 2

$(8x)^3+y^3$ бүтээгдэхүүн хэлбэрээр танилцуулна

Энэ илэрхийллийг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]

Квадратуудын зөрүүний томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

\[((2x))^3+y^3=\зүүн(2x+y\баруун)(4x^2-2xy+y^2)\]

Кубуудын ялгаа

$a^3-b^3$ шоо дөрвөлжин зөрүүний томьёог гаргая.

Үүнийг хийхийн тулд бид дээрхтэй ижил дүрмийг ашиглана.

Илэрхийлэлдээ нэмээд $a^2b\ ба \ (ab)^2$ мономиалуудыг хасъя:

Нийтлэг хүчин зүйлсийг хаалтнаас хасъя:

$\left(a-b\right)$-г хаалтнаас гаргая:

Бид нийтдээ:

Өөрөөр хэлбэл, хоёр мономиалын кубын зөрүү нь тэдгээрийн зөрүүг нийлбэрийн бүрэн бус квадратаар үржүүлсэнтэй тэнцүү байна.

Жишээ 3

$(8x)^3-y^3$ бүтээгдэхүүн хэлбэрээр танилцуулна

Энэ илэрхийллийг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]

Квадратуудын зөрүүний томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

\[((2x))^3-y^3=\зүүн(2x-y\баруун)(4x^2+2xy+y^2)\]

Квадрат ба нийлбэрийн зөрүү, шоо дөрвөлжингийн ялгаврын томъёог ашигласан бодлогын жишээ

Жишээ 4

Үүнийг анхаарч үзээрэй.

a) $((a+5))^2-9$

в) $-x^3+\frac(1)(27)$

Шийдэл:

a) $((a+5))^2-9$

\[(((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]

Квадратуудын зөрүүний томъёог ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

\[((a+5))^2-3^2=\зүүн(a+5-3\баруун)\зүүн(a+5+3\баруун)=\зүүн(a+2\баруун)(a +8)\]

Энэ илэрхийлэлийг дараах хэлбэрээр бичье.

Кубуудын томьёог хэрэгжүүлье:

в) $-x^3+\frac(1)(27)$

Энэ илэрхийлэлийг дараах хэлбэрээр бичье.

\[-x^3+\frac(1)(27)=(\зүүн(\frac(1)(3)\баруун))^3-x^3\]

Кубуудын томьёог хэрэгжүүлье:

\[(\left(\frac(1)(3)\баруун))^3-x^3=\left(\frac(1)(3)-x\right)\left(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\баруун)\]

Үржүүлэх товчилсон томъёо.

Үржүүлэх товчилсон томъёог судлах: нийлбэрийн квадрат ба хоёр илэрхийллийн зөрүүний квадрат; хоёр илэрхийллийн квадратуудын ялгаа; хоёр илэрхийллийн нийлбэрийн шоо ба зөрүүний шоо; хоёр илэрхийллийн шоо нийлбэр ба ялгаа.

Жишээг шийдвэрлэхдээ үржүүлэх товчилсон томъёог ашиглах.

Илэрхийллийг хялбарчлах, олон гишүүнтийг хүчинжүүлэх, олон гишүүнтийг стандарт хэлбэрт оруулахын тулд товчилсон үржүүлэх томъёог ашигладаг. Үржүүлэх товчилсон томъёог цээжээр мэддэг байх шаардлагатай.

a, b R гэж үзье. Дараа нь:

1. Хоёр илэрхийллийн нийлбэрийн квадрат нь тэнцүү байнаэхний илэрхийллийн квадрат дээр нэмэх нь эхний илэрхийллийн үржвэрийн хоёр дахин үржвэр, хоёр дахь нь хоёр дахь илэрхийллийн квадратыг нэмнэ.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Хоёр илэрхийллийн зөрүүний квадрат нь тэнцүү байнаэхний илэрхийллийн квадратаас эхний илэрхийллийн үржвэрийг хоёр дахин, хоёр дахь нь хоёр дахь илэрхийллийн квадратыг хасна.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. Квадратуудын ялгаахоёр илэрхийлэл нь эдгээр илэрхийллийн зөрүү ба тэдгээрийн нийлбэрийн үржвэртэй тэнцүү байна.

a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)

4. Нийлбэрийн шоохоёр илэрхийлэл нь эхний илэрхийллийн шоо дээр нэмэх нь эхний илэрхийллийн квадратын үржвэрийг гурав дахин, хоёр дахь нь эхний илэрхийллийн үржвэр ба хоёр дахь илэрхийллийн квадратыг гурав дахин нэмсэн хоёр дахь илэрхийллийн шоотой тэнцүү байна.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Ялгаатай шоохоёр илэрхийлэл нь эхний илэрхийллийн шоо, эхний илэрхийллийн квадратын үржвэрийг гурав дахин, хоёр дахь нь эхний илэрхийллийн үржвэр ба хоёр дахь илэрхийллийн квадратыг хоёр дахь илэрхийллийн шоо үржвэрийг гурав дахин нэмэгдүүлснийг хассантай тэнцүү байна.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Кубуудын нийлбэрхоёр илэрхийлэл нь эхний ба хоёр дахь илэрхийллийн нийлбэр ба эдгээр илэрхийллийн зөрүүний бүрэн бус квадратын үржвэртэй тэнцүү байна.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. Кубуудын ялгаахоёр илэрхийлэл нь эхний ба хоёр дахь илэрхийллийн зөрүүг эдгээр илэрхийллийн нийлбэрийн бүрэн бус квадратаар үржүүлсэнтэй тэнцүү байна.

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Жишээг шийдвэрлэхдээ үржүүлэх товчилсон томъёог ашиглах.

Жишээ 1.

Тооцоол

a) Хоёр илэрхийллийн нийлбэрийн квадратын томъёог ашиглан бид байна

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

б) Хоёр илэрхийллийн зөрүүний квадратын томъёог ашиглан бид олж авна

98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604

Жишээ 2.

Тооцоол

Хоёр илэрхийллийн квадратуудын зөрүүг томъёог ашиглан бид олж авна

Жишээ 3.

Илэрхийлэлийг хялбарчлах

(x - y) 2 + (x + y) 2

Хоёр илэрхийллийн нийлбэрийн квадрат ба ялгаварын квадратын томъёог ашиглая

(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2

Нэг хүснэгтэд үржүүлэх товчилсон томъёо:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Өмнөх хичээлүүд дээр бид олон гишүүнт хүчин зүйл хийх хоёр аргыг авч үзсэн: нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргаж байнаТэгээд бүлэглэх арга.

Энэ хичээлээр бид олон гишүүнт хүчин зүйл хийх өөр аргыг авч үзэх болно үржүүлэх товчилсон томъёог ашиглан.

Томъёо бүрийг дор хаяж 12 удаа бичихийг бид зөвлөж байна. Илүү сайн цээжлэхийн тулд бүх товчилсон үржүүлгийн томьёог бага багаар бичээрэй хууран мэхлэх хуудас.

Кубуудын томьёоны ялгаа ямар байдгийг санацгаая.

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)

Шоо дөрвөлжин томъёоны ялгааг санах нь тийм ч хялбар биш тул ашиглахыг зөвлөж байна онцгой аргаүүнийг санахын тулд.

Аливаа товчилсон үржүүлэх томъёо нь бас ажилладаг гэдгийг ойлгох нь чухал юм урвуу тал.

(a − b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3

Нэг жишээ авч үзье. Шоо дөрвөлжингийн зөрүүг тооцох шаардлагатай.

"27a 3" нь "(3a) 3" гэдгийг анхаарна уу, энэ нь шоо томьёоны зөрүүний хувьд "a"-ын оронд "3a"-г ашигладаг болохыг анхаарна уу.

Бид кубын зөрүүний томъёог ашигладаг. "a 3"-ын оронд бид "27a 3", томьёоны дагуу "b 3"-ын оронд "b 3" байна.

Шоо дөрвөлжингийн зөрүүг эсрэг чиглэлд хэрэглэх

Өөр нэг жишээг харцгаая. Та үржүүлэх товчилсон томъёог ашиглан олон гишүүнтийн үржвэрийг кубын зөрүү болгон хувиргах хэрэгтэй.

“(x − 1)(x 2 + x + 1)” олон гишүүнтүүдийн үржвэр нь шоо дөрвөлжингийн ялгаварын баруун талтай “томьёо”-той төстэй болохыг анхаарна уу, зөвхөн “a”-гийн оронд “x” байгаа бөгөөд оронд нь "b" тоонд "1" байна.

"(x − 1)(x 2 + x + 1)"-ийн хувьд бид эсрэг чиглэлд шоо томьёоны зөрүүг ашиглана.

Илүү төвөгтэй жишээг авч үзье. Олон гишүүнтийн үржвэрийг хялбарчлах шаардлагатай.

Хэрэв бид "(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1)"-ийг шоо дөрвөлжингийн зөрүүний баруун талтай харьцуулбал томьёо
« a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)", тэгвэл та эхний хаалтанд байгаа "a"-ын оронд "y 2", "b"-ийн оронд "1" байгааг ойлгож болно.

Том алгебрийн илэрхийллүүдийг үнэлэх үйл явцыг хурдасгахын тулд арифметик, ялангуяа алгебрт үржүүлэх товчилсон томъёо эсвэл дүрмийг ашигладаг. Томъёо нь өөрөө хэд хэдэн олон гишүүнтийг үржүүлэх алгебрийн дүрмээс гаралтай.

Эдгээр томъёог ашиглах нь янз бүрийн математикийн асуудлыг нэлээд хурдан шийдвэрлэх боломжийг олгодог бөгөөд илэрхийлэлийг хялбарчлахад тусалдаг. Алгебрийн хувиргалтын дүрмүүд нь илэрхийлэлтэй зарим заль мэх хийх боломжийг олгодог бөгөөд үүний дараа та тэгш байдлын зүүн талд баруун талд байгаа илэрхийлэлийг олж авах эсвэл тэгш байдлын баруун талыг хувиргах (зүүн талд байгаа илэрхийллийг олж авах) боломжтой. тэнцүү тэмдгийн дараа).

Бодлого, тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн ашигладаг тул товчилсон үржүүлэхэд ашигладаг томъёог санах ойноос мэдэх нь тохиромжтой. Энэ жагсаалтад орсон үндсэн томьёо болон тэдгээрийн нэрсийг доор харуулав.

Нийлбэрийн квадрат

Нийлбэрийн квадратыг тооцоолохын тулд та эхний гишүүний квадрат, эхний гишүүний хоёр дахин үржвэр, хоёр дахь болон хоёрдугаар гишүүний квадратаас бүрдэх нийлбэрийг олох хэрэгтэй. Илэрхийллийн хэлбэрээр энэ дүрмийг дараах байдлаар бичнэ: (a + c)² = a² + 2ac + c².

Квадрат ялгаа

Зөрүүний квадратыг тооцоолохын тулд та эхний тооны квадрат, эхний тооны үржвэрээс хоёр дахин, хоёр дахь (эсрэг тэмдгээр авсан) хоёр дахь тооны квадратаас бүрдэх нийлбэрийг тооцоолох хэрэгтэй. Илэрхийллийн хэлбэрээр энэ дүрэм дараах байдалтай байна: (a - c)² = a² - 2ac + c².

Квадратуудын ялгаа

Хоёр тооны квадратын зөрүүний томъёо нь эдгээр тоонуудын нийлбэр ба тэдгээрийн зөрүүний үржвэртэй тэнцүү байна. Илэрхийллийн хэлбэрээр энэ дүрэм дараах байдалтай харагдана: a² - с² = (a + с)·(a - с).

Нийлбэрийн шоо

Хоёр гишүүний нийлбэрийн кубыг тооцоолохын тулд та эхний гишүүний шоо, эхний гишүүн ба хоёр дахь гишүүний квадратын үржвэрийг гурав дахин, эхний гишүүн ба хоёр дахь гишүүний үржвэрийг гурав дахин нэмэгдүүлэх шаардлагатай. квадрат, хоёр дахь гишүүний шоо. Илэрхийллийн хэлбэрээр энэ дүрэм дараах байдалтай харагдана: (a + c)³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³.

Кубуудын нийлбэр

Томъёоны дагуу энэ нь эдгээр нөхцлүүдийн нийлбэр ба зөрүүний бүрэн бус квадратын үржвэртэй тэнцүү байна. Илэрхийллийн хэлбэрээр энэ дүрэм дараах байдалтай байна: a³ + c³ = (a + c)·(a² - ac + c²).

Жишээ.Хоёр шоо нэмснээр үүссэн зургийн эзлэхүүнийг тооцоолох шаардлагатай. Зөвхөн тэдгээрийн хажуугийн хэмжээ л мэдэгддэг.

Хэрэв хажуугийн утгууд бага байвал тооцоолол нь энгийн.

Хэрэв талуудын уртыг төвөгтэй тоогоор илэрхийлсэн бол энэ тохиолдолд "Шоо нийлбэр" томъёог ашиглах нь илүү хялбар бөгөөд энэ нь тооцооллыг ихээхэн хялбаршуулах болно.

Ялгаатай шоо

Кубын зөрүүний илэрхийлэл нь иймэрхүү сонсогдож байна: эхний гишүүний гуравдахь түвшний нийлбэрээр эхний гишүүний квадратын сөрөг үржвэрийг хоёр дахь гишүүнээр гурав дахин, эхний гишүүний үржвэрийг хоёр дахь гишүүний квадратаар гурав дахин нэмэгдүүлнэ. ба хоёр дахь гишүүний сөрөг шоо. Математик илэрхийллийн хэлбэрээр зөрүүний куб нь дараах байдалтай байна: (a - c)³ = a³ - 3a²c + 3ac² - c³.

Кубуудын ялгаа

Кубуудын томъёоны зөрүү нь кубуудын нийлбэрээс зөвхөн нэг тэмдгээр ялгаатай байна. Тиймээс кубуудын зөрүү нь эдгээр тоонуудын зөрүү ба нийлбэрийн бүрэн бус квадратын үржвэртэй тэнцүү томьёо юм. Маягтын хувьд шоо дөрвөлжингийн ялгаа дараах байдалтай байна: a 3 - c 3 = (a - c) (a 2 + ac + c 2).

Жишээ.Цэнхэр шооны эзэлхүүнээс хассаны дараа үлдэх зургийн эзлэхүүнийг тооцоолох шаардлагатай эзэлхүүний тоо шар өнгө, энэ нь бас шоо юм. Жижиг, том шоогийн зөвхөн хажуугийн хэмжээ нь мэдэгддэг.

Хэрэв хажуугийн утгууд бага бол тооцоолол нь маш энгийн. Хэрэв талуудын уртыг мэдэгдэхүйц тоогоор илэрхийлсэн бол тооцооллыг ихээхэн хөнгөвчлөх "Шоо дөрвөлжингийн ялгаа" (эсвэл "ялгааны шоо") гэсэн томъёог ашиглах нь зүйтэй.