A4 b4 товчилсон үржүүлэх томъёо. Үржүүлэх товчилсон томъёо - Мэдлэгийн гипермаркет

Үржүүлэх товчилсон томъёо.

Үржүүлэх товчилсон томъёог судлах: нийлбэрийн квадрат ба хоёр илэрхийллийн зөрүүний квадрат; хоёр илэрхийллийн квадратуудын ялгаа; хоёр илэрхийллийн нийлбэрийн шоо ба зөрүүний шоо; хоёр илэрхийллийн шоо нийлбэр ба ялгаа.

Жишээг шийдвэрлэхдээ үржүүлэх товчилсон томъёог ашиглах.

Илэрхийллийг хялбарчлах, олон гишүүнтийг хүчинжүүлэх, олон гишүүнтийг стандарт хэлбэрт оруулахын тулд товчилсон үржүүлэх томъёог ашигладаг. Үржүүлэх товчилсон томъёог цээжээр мэддэг байх шаардлагатай.

a, b R гэж үзье. Дараа нь:

1. Хоёр илэрхийллийн нийлбэрийн квадрат нь тэнцүү байнаэхний илэрхийллийн квадрат дээр нэмэх нь эхний илэрхийллийн үржвэрийн хоёр дахин үржвэр, хоёр дахь нь хоёр дахь илэрхийллийн квадратыг нэмнэ.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Хоёр илэрхийллийн зөрүүний квадрат нь тэнцүү байнаэхний илэрхийллийн квадратаас эхний илэрхийллийн үржвэрийг хоёр дахин, хоёр дахь нь хоёр дахь илэрхийллийн квадратыг хасна.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. Квадратуудын ялгаахоёр илэрхийлэл нь эдгээр илэрхийллийн зөрүү ба тэдгээрийн нийлбэрийн үржвэртэй тэнцүү байна.

a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)

4. Нийлбэрийн шоохоёр илэрхийлэл нь эхний илэрхийллийн шоо дээр нэмэх нь эхний илэрхийллийн квадратын үржвэрийг гурав дахин, хоёр дахь нь эхний илэрхийллийн үржвэр ба хоёр дахь илэрхийллийн квадратыг гурав дахин нэмсэн хоёр дахь илэрхийллийн шоотой тэнцүү байна.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Ялгаатай шоохоёр илэрхийлэл нь эхний илэрхийллийн шоо, эхний илэрхийллийн квадратын үржвэрийг гурав дахин, хоёр дахь нь эхний илэрхийллийн үржвэр ба хоёр дахь илэрхийллийн квадратыг хоёр дахь илэрхийллийн шоо үржвэрийг гурав дахин нэмэгдүүлснийг хассантай тэнцүү байна.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Кубуудын нийлбэрхоёр илэрхийлэл нь эхний ба хоёр дахь илэрхийллийн нийлбэр ба эдгээр илэрхийллийн зөрүүний бүрэн бус квадратын үржвэртэй тэнцүү байна.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. Кубуудын ялгаахоёр илэрхийлэл нь эхний ба хоёр дахь илэрхийллийн зөрүүг эдгээр илэрхийллийн нийлбэрийн бүрэн бус квадратаар үржүүлсэнтэй тэнцүү байна.

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Жишээг шийдвэрлэхдээ үржүүлэх товчилсон томъёог ашиглах.

Жишээ 1.

Тооцоол

a) Хоёр илэрхийллийн нийлбэрийн квадратын томъёог ашиглан бид байна

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

б) Хоёр илэрхийллийн зөрүүний квадратын томъёог ашиглан бид олж авна

98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604

Жишээ 2.

Тооцоол

Хоёр илэрхийллийн квадратуудын зөрүүг томъёог ашиглан бид олж авна

Жишээ 3.

Илэрхийлэлийг хялбарчлах

(x - y) 2 + (x + y) 2

Хоёр илэрхийллийн нийлбэрийн квадрат ба ялгаварын квадратын томъёог ашиглая

(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2

Нэг хүснэгтэд үржүүлэх товчилсон томъёо:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Алгебрийн олон гишүүнтүүдийг хялбарчлахын тулд байдаг үржүүлэх товчилсон томъёо. Тэдгээр нь тийм ч олон биш бөгөөд тэдгээрийг санахад хялбар байдаг, гэхдээ та тэдгээрийг санаж байх хэрэгтэй. Томьёонд хэрэглэгддэг тэмдэглэгээ нь ямар ч хэлбэртэй байж болно (тоо эсвэл олон гишүүнт).

Эхний товчилсон үржүүлэх томъёог нэрлэнэ квадратуудын ялгаа. Энэ нь хоёр дахь тооны квадратаас нэг тооны квадратыг хасахаас бүрддэг бөгөөд энэ нь эдгээр тоонуудын хоорондох зөрүү, түүнчлэн тэдгээрийн үржвэртэй тэнцүү юм.

a 2 - b 2 = (a - b)(a + b)

Үүнийг тодорхой болгохын тулд харцгаая:

22 2 - 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9a 2 - 4b 2 c 2 = (3a - 2bc)(3a + 2bc)

Хоёр дахь томъёо нь ойролцоогоор квадратуудын нийлбэр. Хоёр хэмжигдэхүүний нийлбэрийн квадрат нь эхний хэмжигдэхүүний квадраттай тэнцүү, эхний хэмжигдэхүүний хоёр дахь үржвэрийн давхар үржвэрийг нэмж, хоёр дахь хэмжигдэхүүний квадратыг нэмсэн мэт сонсогдож байна.

(a + b) 2 = a 2 +2ab + b 2

Энэхүү томьёоны ачаар компьютерийн технологийг ашиглахгүйгээр олон тооны квадратыг тооцоолоход илүү хялбар болно.

Тиймээс жишээ нь: 112-ын квадрат нь тэнцүү байх болно
1) Эхлээд 112-ыг квадрат нь бидэнд танил болсон тоо болгон задалъя.
112 = 100 + 12
2) Бид үр дүнг дөрвөлжин хаалтанд оруулна
112 2 = (100+12) 2
3) Томъёог ашигласнаар бид дараахь зүйлийг авна.
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544

Гурав дахь томъёо нь квадрат зөрүү. Квадрат дээр бие биенээсээ хассан хоёр хэмжигдэхүүн тэнцүү байна, учир нь бид эхний хэмжигдэхүүний квадратаас хоёр дахь хэмжигдэхүүний хоёр үржвэрийг хасч, хоёр дахь хэмжигдэхүүний квадратыг нэмнэ.

(a + b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

Энд (a - b) 2 тэнцүү (b - a) 2. Үүнийг батлахын тулд (a-b) 2 = a 2 -2ab+b 2 = b 2 -2ab + a 2 = (b-a) 2

Товчилсон үржүүлгийн дөрөв дэх томьёог гэж нэрлэдэг нийлбэрийн шоо. Шоо дөрвөлжин дэх хоёр нийлбэр хэмжигдэхүүн нь 1 хэмжигдэхүүний шоотой тэнцүү, 1 хэмжигдэхүүний гурвалсан үржвэрийг 2-р хэмжигдэхүүнээр үржүүлж, эдгээрт 1 хэмжигдэхүүний гурвалсан үржвэрийг 2-ын квадратаар үржүүлсэн үржвэрийг нэмнэ. тоо хэмжээ, дээр нь хоёр дахь хэмжигдэхүүн шоо.

(a+b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Тав дахь нь, та аль хэдийн ойлгосноор, гэж нэрлэдэг ялгаа шоо. Шоо дахь эхний тэмдэглэгээнээс бид квадрат дахь эхний тэмдэглэгээний гурвалсан үржвэрийг хоёр дахь тэмдэглэгээгээр үржүүлсэнийг хасч, тэдгээрт эхний тэмдэглэгээний гурвалсан үржвэрийг хоёр дахь тэмдэглэгээний квадратаар үржүүлсэн үржвэрийг нэмнэ. тэмдэглэгээ, шоо дахь хоёр дахь тэмдэглэгээг хасна.

(a-b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Зургаа дахь гэж нэрлэдэг - шоо нийлбэр. Дунд хэсэгт давхар утга байхгүй тул кубуудын нийлбэр нь хоёр нэмэхийн үржвэрийг зөрүүний хэсэгчилсэн квадратаар үржүүлсэнтэй тэнцүү байна.

a 3 + b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)

Шоо нийлбэрийг хэлэх өөр нэг арга бол бүтээгдэхүүнийг хоёр хаалтанд оруулах явдал юм.

Долоо дахь, сүүлчийнх нь гэж нэрлэгддэг кубын ялгаа(энэ нь ялгаатай шоо томьёотой амархан андуурч болно, гэхдээ эдгээр нь өөр зүйл юм). Дунд хэсэгт давхар утга байхгүй тул шоо дөрвөлжингийн зөрүү нь хоёр хэмжигдэхүүний зөрүүг нийлбэрийн хэсэгчилсэн квадратаар үржүүлсэнтэй тэнцүү байна.

a 3 - b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)

Тиймээс товчилсон үржүүлэхэд ердөө 7 томьёо байдаг бөгөөд тэдгээр нь хоорондоо төстэй бөгөөд санахад хялбар байдаг, цорын ганц чухал зүйл бол тэмдгүүдэд андуурч болохгүй. Тэдгээрийг мөн урвуу дарааллаар ашиглахаар зохион бүтээсэн бөгөөд сурах бичигт ийм даалгаврууд цөөнгүй байдаг. Болгоомжтой байгаарай, бүх зүйл таны төлөө ажиллах болно.

Хэрэв танд томъёоны талаар асуух зүйл байвал сэтгэгдэл дээр бичихээ мартуузай. Бид танд хариулахдаа баяртай байх болно!

Хэрэв та жирэмсний амралттай байгаа ч мөнгө олохыг хүсч байвал. Орифлэймтэй интернэт бизнесийн холбоосыг дагана уу. Тэнд бүх зүйлийг маш нарийн бичиж, харуулсан. Энэ нь сонирхолтой байх болно!

Олон гишүүнтийг олон гишүүнтээр үржүүлэх

! руу олон гишүүнтийг олон гишүүнтээр үржүүлэх, та нэг олон гишүүнт гишүүн бүрийг нөгөө олон гишүүний гишүүн бүрээр үржүүлж, үр дүнг нэмэх хэрэгтэй.

Болгоомжтой байгаарай! Нэр томъёо бүр өөрийн гэсэн тэмдэгтэй байдаг.

Үржүүлэх товчилсон томъёоОлон гишүүнт нь ерөнхийдөө олон гишүүнтийг үржүүлэх 7 (долоо) нийтлэг тохиолдол юм.

Тодорхойлолт баҮржүүлэх товчилсон томъёо. Хүснэгт

Хүснэгт 2. Үржүүлэх товчилсон томъёоны тодорхойлолт (томруулахын тулд дарна уу)

Квадратыг үржүүлэх гурван товчилсон томъёо

1. Квадрат нийлбэрийн томъёо.

Нийлбэрийн квадратхоёр илэрхийлэл нь эхний илэрхийллийн квадрат дээр нэмэх нь эхний илэрхийллийн хоёр дахин үржвэр, хоёр дахь нь хоёр дахь илэрхийллийн квадраттай тэнцүү байна.

Томьёог илүү сайн ойлгохын тулд эхлээд илэрхийллийг хялбарчъя (нийлбэрийн квадратын томьёог өргөжүүлнэ үү)

Одоо хүчин зүйл ангилъя (томьёог нураах)

Факторинг хийх үед хийх үйлдлүүдийн дараалал:

1. аль мономиалууд квадрат болохыг тодорхойлох ( 5 Тэгээд 3м);
2. Тэдний давхар үржвэр томьёоны дунд байгаа эсэхийг шалгана уу (2 5 3м = 30м);
3. хариултыг бичнэ үү (5 + 3м) 2.

2. Квадрат ялгааны томъёо

Квадрат ялгаахоёр илэрхийлэл нь эхний илэрхийллийн квадратаас эхний илэрхийллийн үржвэрийг хоёр дахин, хоёр дахь нь хоёр дахь илэрхийллийн квадратыг хассантай тэнцүү байна.

Эхлээд илэрхийллийг хялбаршуулж үзье (томъёог өргөжүүлнэ үү):

Дараа нь эсрэгээр үүнийг хүчин зүйлээр ангилъя (томъёог нураая):

3. Квадрат ялгааны томъёо

Хоёр илэрхийлэл ба тэдгээрийн зөрүүний нийлбэрийн үржвэр нь эдгээр илэрхийллийн квадратуудын зөрүүтэй тэнцүү байна.

Томьёог нураацгаая (үржүүлэх үйлдлийг гүйцэтгэнэ)

Одоо томъёогоо өргөжүүлье (үүнийг хүчин зүйлээр тооцно)

Кубыг үржүүлэх дөрвөн товчилсон томъёо

4. Хоёр тооны нийлбэрийн кубын томъёо

Хоёр илэрхийллийн нийлбэрийн шоо нь эхний илэрхийллийн шоо дээр нэмэх нь эхний илэрхийллийн квадратын үржвэрийг гурав дахин, хоёр дахь нь эхний илэрхийллийн үржвэр ба хоёр дахь илэрхийллийн квадратыг гурав дахин нэмсэнтэй тэнцүү байна. хоёр дахь илэрхийлэл.

Томьёог "нурах" үед хийх үйлдлүүдийн дараалал:

1. куб болсон мономиалуудыг олоорой (энд 4xТэгээд 1 );
2. томъёонд нийцэж байгаа дундаж нөхцөлийг шалгах;
3. хариултыг бичнэ үү.

5. Хоёр тооны зөрүүний кубын томъёо

Хоёр илэрхийллийн зөрүүний шоо нь эхний илэрхийллийн шоо, эхний илэрхийллийн квадратын үржвэрийг гурав дахин, хоёр дахь илэрхийллийн үржвэрийг гурав дахин нэмсэн, хоёр дахь илэрхийллийн квадратыг хассантай тэнцүү байна. хоёр дахь илэрхийлэл.

6. Шоо нийлбэрийн томъёо

Хоёр илэрхийллийн шоо нийлбэр нь эхний ба хоёр дахь илэрхийллийн нийлбэр ба эдгээр илэрхийллийн зөрүүний бүрэн бус квадратын үржвэртэй тэнцүү байна.

Тэгээд буцаж:

7. Кубуудын томьёоны ялгаа

Хоёр илэрхийллийн шоо хоорондын зөрүү нь эхний ба хоёр дахь илэрхийллийн зөрүү ба эдгээр илэрхийллийн нийлбэрийн хэсэгчилсэн квадратын үржвэртэй тэнцүү байна.

Үржүүлэх товчилсон томъёоны хэрэглээ. Хүснэгт

Томьёог практикт ашиглах жишээ (амаар тооцоолох).

Даалгавар: a = 71 см талтай квадратын талбайг ол.

Шийдэл: S = a 2. Квадрат нийлбэрийн томъёог ашиглан бид байна

71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2*70*1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041 см 2

Хариулт: 5041 см 2

Илэрхийлэл ( а + б) 2 байна нийлбэрийн квадраттоо аТэгээд б. Зэрэглэлийн тодорхойлолтоор илэрхийлэл ( а + ба + б)(а + б). Тиймээс нийлбэрийн квадратаас бид үүнийг дүгнэж болно

(а + б) 2 = (а + б)(а + б) = а 2 + ab + ab + б 2 = а 2 + 2ab + б 2 ,

өөрөөр хэлбэл, хоёр тооны нийлбэрийн квадрат нь эхний тооны квадраттай тэнцүү бөгөөд эхний болон хоёр дахь тооны үржвэрийг хоёр дахин нэмж, хоёр дахь тооны квадратыг нэмсэн байна.

квадрат нийлбэрийн томъёо

(а + б) 2 = а 2 + 2ab + б 2

Олон гишүүнт а 2 + 2ab + б 2-ыг квадрат нийлбэрийн өргөтгөл гэж нэрлэдэг.

Учир нь аТэгээд бямар ч тоо эсвэл илэрхийллийг тэмдэглэвэл дүрэм нь товчлолоор хоёр гишүүний нийлбэр гэж үзэж болох аливаа илэрхийлэлийг квадрат болгох боломжийг бидэнд олгодог.

Жишээ.Дөрвөлжин илэрхийлэл 3 x 2 + 2xy.

Шийдэл:Нэмэлт хувиргалт хийхгүйн тулд бид нийлбэрийн квадратын томъёог ашиглана. Бид эхний тооны квадратын нийлбэр, эхний тооны үржвэрийн хоёр дахин үржвэр, хоёр дахь болон хоёр дахь тооны квадратыг авах ёстой.

(3x 2 + 2xy) 2 = (3x 2) 2 + 2(3x 2 2 xy) + (2xy) 2

Одоо мономиалуудыг үржүүлэх, нэмэгдүүлэх дүрмийг ашиглан бид үүссэн илэрхийллийг хялбаршуулж байна.

(3x 2) 2 + 2(3x 2 2 xy) + (2xy) 2 = 9x 4 + 12x 3 y + 4x 2 y 2

Квадрат ялгаа

Илэрхийлэл ( а - б) 2 байна квадрат зөрүүтоо аТэгээд б. Илэрхийлэл ( а - б) 2 нь хоёр олон гишүүнтийн үржвэр ( а - б)(а - б). Тиймээс ялгааны квадратаас бид үүнийг дүгнэж болно

(а - б) 2 = (а - б)(а - б) = а 2 - ab - ab + б 2 = а 2 - 2ab + б 2 ,

өөрөөр хэлбэл, хоёр тооны зөрүүний квадрат нь эхний тооны квадраттай тэнцүү бөгөөд эхний болон хоёр дахь тооны үржвэрийг хоёр дахин хасч, хоёр дахь тооны квадратыг нэмсэн байна.

Энэ нь дүрмийн дагуу нийт квадрат ялгааны томъёо, завсрын хувиргалтгүйгээр дараах байдлаар харагдах болно.

(а - б) 2 = а 2 - 2ab + б 2

Олон гишүүнт а 2 - 2ab + б 2-ыг квадрат зөрүүний тэлэлт гэж нэрлэдэг.

Энэ дүрэм нь хоёр тооны зөрүүгээр илэрхийлж болох илэрхийллийн товчилсон квадратад хамаарна.

Жишээ.Ялгааны квадратыг гурвалсан тоогоор илэрхийлнэ:

(2а 2 - 5ab 2) 2

Шийдэл:Квадрат ялгааны томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг олно.

(2а 2 - 5ab 2) 2 = (2а 2) 2 - 2(2а 2 5 ab 2) + (5ab 2) 2

Одоо илэрхийллийг стандарт олон гишүүнт болгон хувиргая:

(2а 2) 2 - 2(2а 2 5 ab 2) + (5ab 2) 2 = 4а 4 - 20а 3 б 2 + 25а 2 б 4

Квадратуудын ялгаа

Илэрхийлэл а 2 - б 2 нь квадратуудын ялгаатоо аТэгээд б. Илэрхийлэл а 2 - б 2 гэдэг нь хоёр тооны нийлбэрийг тэдгээрийн зөрүүгээр үржүүлэх товчилсон арга юм.

(а + б)(а - б) = а 2 + ab - ab - б 2 = а 2 - б 2 ,

өөрөөр хэлбэл хоёр тооны нийлбэр ба тэдгээрийн зөрүүний үржвэр нь эдгээр тоонуудын квадратуудын зөрүүтэй тэнцүү байна.

Энэ нь дүрмийн дагуу нийт квадрат зөрүүний томъёоиймэрхүү харагдаж байна:

а 2 - б 2 = (а + б)(а - б)

Энэ дүрэм нь илэрхийлэгдэж болох товчилсон үржвэрт хамаарна: нэг нь хоёр тооны нийлбэр, нөгөө нь ижил тооны зөрүү.

Жишээ.Бүтээгдэхүүнийг бином болгон хөрвүүлэх:

(5а 2 + 3)(5а 2 - 3)

Шийдэл:

(5а 2 + 3)(5а 2 - 3) = (5а 2) 2 - 3 2 = 25а 4 - 9

Жишээн дээр бид квадратуудын зөрүүг баруунаас зүүн тийш тооцоолох томъёог ашигласан, өөрөөр хэлбэл томъёоны баруун талыг өгсөн бөгөөд бид үүнийг зүүн тийш хөрвүүлсэн.

(а + б)(а - б) = а 2 - б 2

Практикт бүх гурван томъёог нөхцөл байдлаас шалтгаалан зүүнээс баруун тийш, баруунаас зүүн тийш ашигладаг.

Алгебрийн хичээлд судлагдсан анхны сэдвүүдийн нэг бол үржүүлэхийн товчилсон томъёо юм. 7-р ангид тэдгээрийг илэрхийлэл дэх томъёоны аль нэгийг таньж, олон гишүүнт хүчин зүйл, эсвэл эсрэгээр нь нийлбэр эсвэл зөрүүг хурдан квадрат эсвэл куб болгох шаардлагатай хамгийн энгийн нөхцөлд ашигладаг. Ирээдүйд FSU нь тэгш бус байдал, тэгшитгэлийг хурдан шийдвэрлэх, тэр ч байтугай тооны машингүйгээр зарим тоон илэрхийллийг тооцоолоход хэрэглэгддэг.

Томъёоны жагсаалт ямар харагддаг вэ?

Олон гишүүнтийг хаалтанд хурдан үржүүлэх боломжийг олгодог 7 үндсэн томъёо байдаг.

Заримдаа энэ жагсаалтад танилцуулсан таних тэмдгүүдээс үүдэлтэй дөрөв дэх зэрэглэлийн өргөтгөлийг багтаасан бөгөөд дараах хэлбэртэй байна.

a⁴ — b⁴ = (a - b)(a + b)(a² + b²).

Квадратуудын зөрүүг эс тооцвол бүх тэгшитгэл нь хос (нийлбэр - зөрүү) байна. Квадратуудын нийлбэрийн томъёог өгөөгүй.

Үлдсэн тэгш байдлыг санахад хялбар байдаг:

FSU нь ямар ч тохиолдолд, ямар ч үнэ цэнээр ажилладаг гэдгийг санах нь зүйтэй аТэгээд б: эдгээр нь дурын тоо эсвэл бүхэл илэрхийлэл байж болно.

Томъёоны тодорхой нэр томьёоны өмнө ямар тэмдэг байгааг гэнэт санахгүй байгаа тохиолдолд та хаалтыг нээж томъёог хэрэглэсний дараа ижил үр дүнг авч болно. Жишээлбэл, хэрэв FSU кубын ялгааг хэрэглэх үед асуудал гарсан бол та анхны илэрхийлэлийг бичих хэрэгтэй. үржүүлэх ажлыг нэг нэгээр нь гүйцэтгэнэ:

(a - b)³ = (a - b)(a - b)(a - b) = (a² - ab - ab + b²)(a - b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.

Үүний үр дүнд ижил төстэй бүх нэр томъёог авчирсны дараа хүснэгтэд байгаа ижил олон гишүүнтийг олж авав. Бусад бүх FSU-тай ижил залруулга хийж болно.

Тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд FSU ашиглах

Жишээлбэл, та агуулсан тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй 3-р зэргийн олон гишүүнт:

x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.

Сургуулийн сургалтын хөтөлбөрт куб тэгшитгэлийг шийдэх бүх нийтийн арга техникийг оруулаагүй бөгөөд ийм даалгавруудыг ихэвчлэн илүү шийддэг. энгийн аргууд(жишээлбэл, хүчин зүйлчлэлээр). Хэрэв бид таних тэмдгийн зүүн тал нь нийлбэрийн шоотой төстэй болохыг анзаарсан бол тэгшитгэлийг илүү энгийн хэлбэрээр бичиж болно.

(x + 1)³ = 0.

Ийм тэгшитгэлийн үндэсийг амаар тооцоолно. x = -1.

Тэгш бус байдлыг ижил төстэй аргаар шийддэг. Жишээлбэл, та тэгш бус байдлыг шийдэж болно x³ – 6x² + 9x > 0.

Юуны өмнө та илэрхийллийг хүчин зүйлээр тооцох хэрэгтэй. Эхлээд та хаалт хийх хэрэгтэй x. Үүний дараа хаалтанд байгаа илэрхийлэлийг зөрүүний квадрат руу хөрвүүлж болохыг анхаарна уу.

Дараа нь та илэрхийлэл тэг утгыг авах цэгүүдийг олж, тоон мөрөнд тэмдэглэх хэрэгтэй. Тодорхой тохиолдолд эдгээр нь 0 ба 3 байх болно. Дараа нь интервалын аргыг ашиглан аль интервалд x нь тэгш бус байдлын нөхцөлтэй тохирохыг тодорхойлно.

Гүйцэтгэх үед FSU нь ашигтай байж болох юм тооны машины тусламжгүйгээр зарим тооцоолол:

703² - 203² = (703 + 203)(703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453000.

Нэмж хэлэхэд, илэрхийлэлийг хүчин зүйлээр ялгах замаар та бутархайг хялбархан багасгаж, янз бүрийн алгебрийн илэрхийллийг хялбарчлах боломжтой.

7-8-р ангийн бодлогуудын жишээ

Дүгнэж хэлэхэд, бид алгебр дахь товчилсон үржүүлэх томъёог ашиглах хоёр даалгаврыг задлан шинжилж, шийдвэрлэх болно.

Даалгавар 1. Илэрхийллийг хялбарчлах:

(м + 3)² + (3м + 1)(3м - 1) - 2м (5м + 3).

Шийдэл. Даалгаврын нөхцөл нь илэрхийллийг хялбарчлах, өөрөөр хэлбэл хаалт нээх, үржүүлэх, нэмэгдүүлэх үйлдлүүдийг гүйцэтгэх, мөн ижил төстэй бүх нэр томъёог авчрах шаардлагатай. Илэрхийлэлийг нөхцөлт байдлаар гурван хэсэгт (нөхцлийн тоогоор) хувааж, боломжтой бол FSU ашиглан хаалтуудыг нэг нэгээр нь нээцгээе.

• (м + 3)² = м² + 6м + 9(нийлбэр квадрат);
• (3м + 1)(3м - 1) = 9м² – 1(квадратуудын ялгаа);
• Сүүлийн үед та үржүүлэх хэрэгтэй: 2м (5м + 3) = 10м² + 6м.

Хүлээн авсан үр дүнг анхны илэрхийлэл болгон орлъё:

(м² + 6м + 9) + (9м² – 1) - (10м² + 6м).

Шинж тэмдгүүдийг харгалзан бид хаалт нээж, ижил төстэй нэр томъёог танилцуулна.

м² + 6м + 9 + 9м² 1 - 10м² – 6м = 8.

Бодлого 2. Үл мэдэгдэх k-г 5-р зэрэглэлд багтаасан тэгшитгэлийг шийд.

k⁵ + 4к⁴ + 4к³ – 4к² – 4к = к³.

Шийдэл. Энэ тохиолдолд FSU болон бүлэглэх аргыг ашиглах шаардлагатай. Сүүлчийн болон эцсийн өмнөх нэр томъёог таних тэмдгийн баруун талд шилжүүлэх шаардлагатай.

k⁵ + 4k⁴ + 4к³ = k³ + 4к² + 4к.

Нийтлэг хүчин зүйл нь баруун болон зүүн талаасаа гардаг (k² + 4k +4):

k³(k² + 4k + 4) = k (k² + 4k + 4).

Бүх зүйлийг тэгшитгэлийн зүүн талд шилжүүлснээр баруун талд 0 үлдэх болно.

k³(k² + 4k + 4) - k (k² + 4k + 4) = 0.

Дахин нэг нийтлэг хүчин зүйлийг арилгах шаардлагатай байна:

(k³ - k)(k² + 4k + 4) = 0.

Олж авсан эхний хүчин зүйлээс бид гаргаж болно к. Богино үржүүлэх томъёоны дагуу хоёр дахь хүчин зүйл нь ижил тэнцүү байх болно (k+2)²:

k (k² - 1)(k + 2)² = 0.

Квадратуудын зөрүүний томъёог ашиглан:

k (k - 1)(k + 1)(k + 2)² = 0.

Бүтээгдэхүүн нь ядаж нэг хүчин зүйл нь тэг байвал 0-тэй тэнцүү тул тэгшитгэлийн бүх язгуурыг олоход хэцүү биш юм.

1. k = 0;
2. k - 1 = 0; k = 1;
3. k + 1 = 0; k = -1;
4. (k + 2)² = 0; k = -2.

Тайлбар жишээн дээр үндэслэн та томъёо, тэдгээрийн ялгааг хэрхэн санах, мөн FSU ашиглан хэд хэдэн практик асуудлыг шийдвэрлэх талаар ойлгох боломжтой. Даалгаврууд нь энгийн бөгөөд тэдгээрийг гүйцэтгэхэд бэрхшээл гарах ёсгүй.