"삼각함수 표현식 단순화" 단원. "삼각법 표현식 및 그 변환" 주제에 대한 강의 요약 삼각법 표현식의 값 찾기 예

섹션: 수학

수업: 11

레슨 1

주제: 11학년(통합국가시험 준비)

삼각함수 표현을 단순화합니다.

가장 간단한 솔루션 삼각 방정식. (2시간)

목표:

삼각법 공식의 사용 및 간단한 삼각 방정식 풀이와 관련된 학생들의 지식과 기술을 체계화, 일반화, 확장합니다.

수업을 위한 장비:

수업 구조:

조직적인 순간
노트북에서 테스트 중입니다. 결과에 대한 토론.
삼각함수 표현식 단순화
간단한 삼각 방정식 풀기
독립적인 작업.
강의 요약. 숙제 설명.

1. 조직적인 순간. (2분)

교사는 청중에게 인사하고, 수업 주제를 발표하고, 이전에 삼각법 공식을 반복하는 과제를 받았음을 상기시키고, 학생들이 시험을 준비하도록 합니다.

2. 테스트. (15분 + 3분 토론)

목표는 지식을 테스트하는 것입니다. 삼각법 공식그리고 그것을 적용하는 능력. 각 학생은 책상 위에 시험 버전이 담긴 노트북을 가지고 있습니다.

옵션은 얼마든지 있을 수 있습니다. 그 중 하나의 예를 들어 보겠습니다.

나 옵션.

표현식 단순화:

a) 기본 삼각법 항등식

1. 죄 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) 덧셈 공식

3. 죄5x - 죄3x;

c) 곱을 합계로 변환

6. 2sin8y cos3y;

d) 이중 각도 공식

7. 2sin5x cos5x;

e) 반각 공식

f) 삼중각 공식

g) 보편적 대체

h) 학위 감소

16. cos 2 (3x/7);

학생들은 노트북의 각 공식 옆에 있는 답을 볼 수 있습니다.

작업은 컴퓨터로 즉시 확인됩니다. 결과는 모두가 볼 수 있도록 대형 화면에 표시됩니다.

또한, 작업이 끝나면 학생들의 노트북에 정답이 표시됩니다. 각 학생은 어디에서 실수가 발생했는지, 어떤 공식을 반복해야 하는지 확인합니다.

3. 삼각법 표현의 단순화. (25분)

목표는 기본 삼각법 공식의 사용을 반복하고, 연습하고, 통합하는 것입니다. 통합 상태 시험에서 문제 B7을 해결합니다.

~에 이 단계에서수업을 강한 학생(후속 테스트와 함께 독립적으로 작업) 그룹과 교사와 함께 작업하는 약한 학생 그룹으로 나누는 것이 좋습니다.

강한 학생을 위한 과제(인쇄본으로 미리 준비됨). 2011년 통합 상태 시험(Unified State Exam 2011)에 따르면 주요 강조점은 축소 및 이중 각도 공식에 있습니다.

표현을 단순화하세요(강한 학생을 위한):

동시에 교사는 약한 학생들과 함께 작업하며 학생들의 받아쓰기에 따라 화면에서 과제를 토론하고 해결합니다.

믿다:

5) 죄(270° - α) + cos(270° + α)

단순화:

강팀의 활동 결과를 논의하는 시간이었습니다.

답변이 화면에 나타나고 비디오 카메라를 사용하여 5명의 학생의 작업이 표시됩니다(각각 하나의 작업).

약자는 해결의 조건과 방법을 본다. 논의와 분석이 진행 중입니다. 사용 기술적 수단그것은 빨리 일어납니다.

4. 간단한 삼각 방정식을 푼다. (30분)

목표는 가장 간단한 삼각 방정식의 해를 반복, 체계화 및 일반화하고 그 뿌리를 기록하는 것입니다. 문제 해결 B3.

삼각법 방정식은 어떻게 해결하든 가장 간단한 방정식으로 이어집니다.

과제를 완료할 때 학생들은 특별한 경우의 방정식의 근을 적는 데 주의를 기울여야 합니다. 일반적인 견해그리고 마지막 방정식에서 근의 선택에 관한 것입니다.

방정식 풀기:

답으로 가장 작은 양의 근을 적어보세요.

5. 독립적인 작업(10분)

목표는 습득한 기술을 테스트하고 문제, 오류 및 이를 제거하는 방법을 식별하는 것입니다.

학생의 선택에 따라 다단계 학습이 제공됩니다.

옵션 "3"

1) 표현식의 값을 찾으십시오.

2) 식을 단순화 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) 방정식을 푼다

"4"에 대한 옵션

1) 표현식의 값을 찾으십시오.

2) 방정식을 푼다 답에 가장 작은 양수근을 적어보세요.

옵션 "5"

1) 다음과 같은 경우 tanα를 구합니다.

2) 방정식의 근을 구하라 답으로 가장 작은 양의 근을 적어보세요.

6. 강의 요약(5분)

교사는 수업 중에 삼각법 공식을 반복하고 강화했으며 가장 간단한 삼각 방정식을 풀었다는 사실을 요약합니다.

세트 숙제(사전 인쇄본으로 준비) 다음 수업에서 무작위로 확인합니다.

방정식 풀기:

10) 답에 가장 작은 양의 근을 표시하십시오.

레슨 2

주제: 11학년(통합국가시험 준비)

삼각 방정식을 푸는 방법. 루트 선택. (2시간)

목표:

다양한 유형의 삼각 방정식을 푸는 데 필요한 지식을 일반화하고 체계화합니다.
학생들의 수학적 사고, 관찰, 비교, 일반화 및 분류 능력의 발달을 촉진합니다.
학생들이 정신활동 과정에서 어려움을 극복하고 자기조절과 활동에 대한 성찰을 하도록 격려한다.

수업을 위한 장비: KRMu, 각 학생을 위한 노트북.

수업 구조:

조직적인 순간
d/z와 self에 대한 토론. 지난 수업부터 일해
삼각 방정식을 푸는 방법을 검토합니다.
삼각 방정식 풀기
삼각 방정식에서 근 선택.
독립적인 작업.
강의 요약. 숙제.

1. 조직적인 순간(2분)

교사는 청중에게 인사하고 수업 주제와 작업 계획을 발표합니다.

2. a) 숙제 분석(5분)

목표는 실행을 확인하는 것입니다. 하나의 작품은 비디오 카메라를 사용하여 화면에 표시되고 나머지는 교사 확인을 위해 선택적으로 수집됩니다.

b) 독립적인 작업 분석(3분)

목표는 실수를 분석하고 이를 극복할 수 있는 방법을 제시하는 것입니다.

답변과 해결책이 화면에 표시됩니다. 학생들은 자신의 과제를 미리 제공받습니다. 분석은 빠르게 진행됩니다.

3. 삼각 방정식을 푸는 방법 검토(5분)

목표는 삼각 방정식을 푸는 방법을 기억하는 것입니다.

학생들에게 삼각 방정식을 푸는 방법이 무엇인지 물어보십시오. 소위 기본(자주 사용되는) 방법이 있다는 점을 강조하십시오.

변수 교체,
채권 차압 통고,
균질 방정식,

적용된 방법이 있습니다.

합계를 곱으로, 곱을 합계로 변환하는 공식을 사용하여,
정도를 줄이는 공식에 따르면,
보편적인 삼각법 치환
보조 각도 도입,
일부 삼각 함수에 의한 곱셈.

또한 하나의 방정식은 다양한 방법으로 풀 수 있다는 점을 기억해야 합니다.

4. 삼각 방정식 풀기(30분)

목표는 이 주제에 대한 지식과 기술을 일반화하고 통합하여 통합 상태 시험의 C1 솔루션을 준비하는 것입니다.

학생들과 함께 각 방법에 대한 방정식을 풀어보는 것이 바람직하다고 생각합니다.

학생이 해결책을 지시하고, 교사가 이를 태블릿에 적으면 전체 과정이 화면에 표시됩니다. 이렇게 하면 이전에 다뤘던 내용을 기억 속에서 빠르고 효과적으로 불러올 수 있습니다.

방정식 풀기:

1) 변수 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0 대체

2) 인수분해 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) 동차방정식죄 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) 합을 곱 cos5x + cos7x = cos(π + 6x)로 변환

5) 곱을 합계 2sinx sin2x + cos3x = 0으로 변환합니다.

6) sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x = 0.5 정도의 감소

7) 범용 삼각 치환 sinx + 5cosx + 5 = 0.

이 방정식을 풀 때 다음을 사용한다는 점에 유의해야 합니다. 이 방법사인과 코사인이 tg(x/2)로 대체되므로 정의 범위가 좁아집니다. 따라서 답을 쓰기 전에 π + 2πn, n Z 집합의 숫자가 이 방정식의 말인지 확인해야 합니다.

8) 보조각 도입 √3sinx + cosx - √2 = 0

9) 일부 삼각 함수 cosx cos2x cos4x = 1/8을 곱합니다.

5. 삼각 방정식의 근 선택(20분)

대학 입학 시 경쟁이 치열한 상황에서 시험의 첫 번째 부분만으로는 충분하지 않기 때문에 대부분의 학생들은 두 번째 부분(C1, C2, C3)의 과제에 주의를 기울여야 합니다.

따라서 이 수업 단계의 목표는 이전에 공부한 내용을 기억하고 Unified State Exam 2011의 문제 C1 해결을 준비하는 것입니다.

답을 작성할 때 근을 선택해야 하는 삼각 방정식이 있습니다. 이는 몇 가지 제한 사항으로 인해 발생합니다. 예를 들어 분수의 분모가 0이 아니고, 짝수 근 아래의 표현식이 음수가 아니고, 로그 기호 아래의 표현식이 양수입니다.

이러한 방정식은 복잡성이 증가한 방정식으로 간주됩니다. 통합 상태 시험 버전두 번째 부분, 즉 C1에 있습니다.

방정식을 푼다:

분수는 0과 같습니다. 사용하여 단위원루트를 선택해 보겠습니다(그림 1 참조).

그림 1.

우리는 x = π + 2πn, n Z를 얻습니다.

답: π + 2πn, n Z

화면에서는 뿌리 선택이 컬러 이미지로 원으로 표시됩니다.

요소 중 하나 이상이 0과 같고 호가 그 의미를 잃지 않으면 곱은 0과 같습니다. 그 다음에

단위원을 사용하여 근을 선택합니다(그림 2 참조).

비디오 강의 "삼각법 표현 단순화"는 기본적인 삼각법 항등식을 사용하여 삼각법 문제를 해결하는 학생들의 기술을 개발하도록 고안되었습니다. 비디오 수업에서는 삼각법 항등식의 유형과 이를 사용하여 문제를 해결하는 예에 대해 논의합니다. 시각 자료를 사용하면 교사가 수업 목표를 더 쉽게 달성할 수 있습니다. 자료를 생생하게 제시하면 암기가 촉진됩니다. 중요한 점. 애니메이션 효과와 음성 해설을 사용하면 자료를 설명하는 단계에서 교사를 완전히 대체할 수 있습니다. 따라서 수학 수업에서 이러한 시각 자료를 사용함으로써 교사는 교육 효과를 높일 수 있습니다.

비디오 강의가 시작될 때 주제가 발표됩니다. 그런 다음 앞서 연구한 삼각법 항등식을 떠올립니다. 화면에는 등식 sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t가 표시됩니다. 여기서 kϵZ의 경우 t≠π/2+πk, ctg t=cos t/sin t, t≠πk의 경우 정확합니다. 여기서 kϵZ, tg t· ctg t=1, t≠πk/2에 대해, 여기서 kϵZ는 기본 삼각법 항등식이라고 합니다. 이러한 항등식은 동등성을 증명하거나 표현을 단순화해야 하는 문제를 해결하는 데 자주 사용됩니다.

아래에서는 문제 해결에 이러한 정체성을 적용한 예를 고려합니다. 첫째, 표현을 단순화하는 문제의 해결을 고려할 것을 제안한다. 예제 1에서는 cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t라는 표현을 단순화할 필요가 있습니다. 예제를 풀려면 먼저 괄호에서 공통 인수 cos 2 t를 가져옵니다. 괄호 안의 이러한 변환의 결과로 표현 1-cos 2 t가 얻어지며, 그 값은 삼각법의 주요 항등식에서 sin 2 t와 같습니다. 표현식을 변환한 후, 괄호에서 또 다른 공통 인수 sin 2 t를 제거하는 것이 가능하다는 것이 분명하며, 그 후 표현식은 sin 2 t(sin 2 t+cos 2 t) 형식을 취합니다. 동일한 기본 항등으로부터 우리는 1과 같은 괄호 안의 표현식 값을 도출합니다. 단순화의 결과로 cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t를 얻습니다.

예제 2에서는 표현식 비용/(1-sint)+ 비용/(1+ sint)를 단순화해야 합니다. 두 분수의 분자에는 표현식 비용이 포함되어 있으므로 괄호에서 공약수로 꺼낼 수 있습니다. 그런 다음 (1-sint)(1+sint)를 곱하여 괄호 안의 분수를 공통 분모로 줄입니다. 가져온 후 비슷한 용어분자는 2로 유지되고 분모는 1 - sin 2 t입니다. 화면 오른쪽에는 기본 삼각 항등식 sin 2 t+cos 2 t=1이 호출됩니다. 이를 사용하여 분수 cos 2 t의 분모를 찾습니다. 분수를 줄인 후 비용/(1-sint)+ 비용/(1+ sint)=2/비용의 단순화된 형태를 얻습니다.

다음으로 삼각법의 기본 항등식에 대해 획득한 지식을 사용하는 항등 증명의 예를 고려합니다. 예시 3에서는 항등식(tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t를 증명해야 합니다. 화면 오른쪽에는 증명에 필요한 세 가지 ID(제한 사항이 있는 tg t·ctg t=1, ctg t=cos t/sin t 및 tg t=sin t/cos t)가 표시됩니다. 항등식을 증명하기 위해 먼저 괄호를 연 후 주요 삼각 항등식 tg t·ctg t=1의 표현을 반영하는 제품이 형성됩니다. 그러면 코탄젠트 정의의 항등식에 따라 ctg 2 t가 변환됩니다. 변환의 결과로 1-cos 2 t라는 표현이 얻어집니다. 주요 아이덴티티를 이용하여 표현의 의미를 찾아봅니다. 따라서 (tg2t-sin2t)·ctg2t=sin2t임을 증명하였다.

예제 4에서는 tg t+ctg t=6인 경우 tg 2 t+ctg 2 t 표현식의 값을 찾아야 합니다. 식을 계산하려면 먼저 등식의 오른쪽과 왼쪽을 제곱하세요(tg t+ctg t) 2 =6 2. 축약된 곱셈 공식이 화면 오른쪽에 호출됩니다. 식의 왼쪽에 있는 괄호를 열면 합 tg 2 t+2· tg t·ctg t+ctg 2 t가 형성되고 이를 변환하여 삼각법 항등식 tg t·ctg t=1 중 하나를 적용할 수 있습니다. , 그 형태가 화면 오른쪽에 호출됩니다. 변환 후에는 tg 2 t+ctg 2 t=34 등식이 얻어집니다. 등식의 좌변이 문제의 조건과 일치하므로 답은 34이다. 문제가 해결되었다.

비디오 강의 "삼각법 표현의 단순화"는 전통적인 방식으로 사용하는 것이 좋습니다. 학교 수업수학. 이 자료는 교사가 구현하는 데도 유용할 것입니다. 원격 학습. 삼각법 문제를 해결하는 기술을 개발합니다.

텍스트 디코딩:

"삼각함수 표현의 단순화."

평등

1) sin 2 t + cos 2 t = 1(사인 제곱 te 더하기 코사인 제곱 te는 1임)

2)tgt =, t ≠ + πk의 경우 kϵZ(탄젠트 te는 사인 te 대 코사인 te의 비율과 동일하며 te는 pi와 2를 더한 값 pi ka, ka는 zet에 속함)

3)ctgt = , t ≠ πk, kϵZ(코탄젠트 te는 코사인 te 대 사인 te의 비율과 동일하며 te는 pi ka와 같지 않고 ka는 zet에 속합니다).

4)tgt ∙ ctgt = 1(t ≠ , kϵZ)(탄젠트 te와 코탄젠트 te의 곱은 te가 피크 ka와 같지 않을 때 1과 같고, 이를 2로 나눈 값, ka는 zet에 속함)

기본 삼각 항등식이라고 합니다.

삼각함수 표현을 단순화하고 증명하는 데 자주 사용됩니다.

삼각함수 표현식을 단순화하기 위해 이러한 공식을 사용하는 예를 살펴보겠습니다.

예 1. 표현을 단순화합니다: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (코사인 제곱 te - 4차 코사인 te + 4차 사인 te로 표현).

해결책. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t =cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = 죄 2 티 1= 죄 2 티

(공통 인수 코사인 제곱 테를 꺼내면 괄호 안에 단위와 제곱 코사인 테의 차이가 나옵니다. 이는 첫 번째 항등식에 의한 제곱 사인 테와 같습니다. 우리는 4제곱 사인 테의 합을 얻습니다. 곱 코사인 제곱 테 및 사인 제곱 테 괄호 밖에서 공통 인자 사인 제곱 테를 꺼내고 괄호 안에는 기본 삼각법 항등식에 따라 코사인과 사인의 제곱의 합을 얻습니다. 결과적으로 우리는 사인 테의 제곱을 얻습니다.

예 2. 표현식을 단순화합니다: + .

(표현 be는 분모 1에서 사인 te를 뺀 첫 번째 코사인 te의 분자, 두 번째 코사인 te의 분모에서 사인 te를 더한 두 번째 코사인 te의 분자에 있는 두 분수의 합입니다.)

(공통 인수 코사인 te를 괄호에서 빼내고 괄호 안의 공통 분모로 가져옵니다. 이는 1 마이너스 사인 테와 1 더하기 사인 테의 곱입니다.

분자에서 우리는 다음을 얻습니다. 1 더하기 사인 테 더하기 1 빼기 사인 테, 우리는 유사한 것을 제공하고 분자는 유사한 것을 가져온 후 2와 같습니다.

분모에는 약식 곱셈 공식(제곱의 차이)을 적용하여 기본 삼각법 항등식에 따라 1과 사인테의 제곱의 차이를 구할 수 있습니다.

코사인 te의 제곱과 같습니다. 코사인 te로 줄인 후 최종 답을 얻습니다. 2를 코사인 te로 나눈 값입니다.

삼각함수 표현식을 증명할 때 이러한 공식을 사용하는 예를 살펴보겠습니다.

예 3. 항등식 증명 (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = sin 2 t (탄젠트 te와 사인 te의 제곱과 코탄젠트 te의 제곱의 차이의 곱은 사인 테).

증거.

평등의 왼쪽을 변환해 보겠습니다.

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t ∙ = 1 - cos 2t = 죄 2t

(괄호를 열어 보겠습니다. 이전에 얻은 관계에서 탄젠트 te와 코탄젠트 te의 제곱의 곱이 1과 같다는 것이 알려져 있습니다. 코탄젠트 te는 코사인 te와 사인 te의 비율과 같습니다. 코탄젠트의 제곱은 코사인 te의 제곱과 사인 te의 제곱의 비율이라는 의미입니다.

사인 제곱 te로 축소한 후 단위와 코사인 제곱 te 사이의 차이를 얻습니다. 이는 사인 제곱 te와 같습니다. Q.E.D.

예 4. tgt + ctgt = 6인 경우 tg 2 t + ctg 2 t 표현식의 값을 찾습니다.

(탄젠트와 코탄젠트의 합이 6인 경우 탄젠트 te와 코탄젠트 te의 제곱의 합)

해결책. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

원래 평등의 양쪽을 제곱해 봅시다:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (탄젠트 te와 코탄젠트 te의 합의 제곱은 6의 제곱과 같습니다). 약식 곱셈의 공식을 떠올려 보겠습니다. 두 수량의 합의 제곱은 첫 번째 제곱과 첫 번째 곱의 두 배, 두 번째 곱과 두 번째 제곱의 곱과 같습니다. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 (탄젠트 제곱 te 더하기 탄젠트 te와 코탄젠트 te 더하기 코탄젠트 제곱 te의 곱의 두 배) 서른여섯) .

탄젠트 te와 코탄젠트 te의 곱은 1과 같으므로 tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36(탄젠트 te와 코탄젠트 te와 2의 제곱의 합은 36과 같습니다),

섹션: 수학

수업: 11

레슨 1

주제: 11학년(통합국가시험 준비)

삼각함수 표현을 단순화합니다.

간단한 삼각 방정식을 푼다. (2시간)

목표:

삼각법 공식의 사용 및 간단한 삼각 방정식 풀이와 관련된 학생들의 지식과 기술을 체계화, 일반화, 확장합니다.

수업을 위한 장비:

수업 구조:

조직적인 순간
노트북에서 테스트 중입니다. 결과에 대한 토론.
삼각함수 표현식 단순화
간단한 삼각 방정식 풀기
독립적인 작업.
강의 요약. 숙제 설명.

1. 조직적인 순간. (2분)

2. 테스트. (15분 + 3분 토론)

목표는 삼각함수 공식에 대한 지식과 이를 적용하는 능력을 테스트하는 것입니다. 각 학생은 책상 위에 시험 버전이 담긴 노트북을 가지고 있습니다.

옵션은 얼마든지 있을 수 있습니다. 그 중 하나의 예를 들어 보겠습니다.

나 옵션.

표현식 단순화:

a) 기본 삼각법 항등식

1. 죄 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) 덧셈 공식

3. 죄5x - 죄3x;

c) 곱을 합계로 변환

6. 2sin8y cos3y;

d) 이중 각도 공식

7. 2sin5x cos5x;

e) 반각 공식

f) 삼중각 공식

g) 보편적 대체

h) 학위 감소

16. cos 2 (3x/7);

학생들은 노트북의 각 공식 옆에 있는 답을 볼 수 있습니다.

작업은 컴퓨터로 즉시 확인됩니다. 결과는 모두가 볼 수 있도록 대형 화면에 표시됩니다.

또한, 작업이 끝나면 학생들의 노트북에 정답이 표시됩니다. 각 학생은 어디에서 실수가 발생했는지, 어떤 공식을 반복해야 하는지 확인합니다.

3. 삼각법 표현의 단순화. (25분)

목표는 기본 삼각법 공식의 사용을 반복하고, 연습하고, 통합하는 것입니다. 통합 상태 시험에서 문제 B7을 해결합니다.

이 단계에서는 수업을 강한 학생 그룹(후속 테스트와 함께 독립적으로 작업)과 교사와 함께 작업하는 약한 학생 그룹으로 나누는 것이 좋습니다.

강한 학생을 위한 과제(인쇄본으로 미리 준비됨). 2011년 통합 상태 시험(Unified State Exam 2011)에 따르면 주요 강조점은 축소 및 이중 각도 공식에 있습니다.

표현을 단순화하세요(강한 학생을 위한):

동시에 교사는 약한 학생들과 함께 작업하며 학생들의 받아쓰기에 따라 화면에서 과제를 토론하고 해결합니다.

믿다:

5) 죄(270° - α) + cos(270° + α)

단순화:

강팀의 활동 결과를 논의하는 시간이었습니다.

답변이 화면에 나타나고 비디오 카메라를 사용하여 5명의 학생의 작업이 표시됩니다(각각 하나의 작업).

약자는 해결의 조건과 방법을 본다. 논의와 분석이 진행 중입니다. 기술적 수단을 사용하면 이러한 일이 빠르게 발생합니다.

4. 간단한 삼각 방정식을 푼다. (30분)

목표는 가장 간단한 삼각 방정식의 해를 반복, 체계화 및 일반화하고 그 뿌리를 기록하는 것입니다. 문제 해결 B3.

삼각법 방정식은 어떻게 해결하든 가장 간단한 방정식으로 이어집니다.

과제를 완료할 때 학생들은 특수한 경우와 일반형 방정식의 근을 작성하고 마지막 방정식에서 근을 선택하는 데 주의를 기울여야 합니다.

방정식 풀기:

답으로 가장 작은 양의 근을 적어보세요.

5. 독립적인 작업(10분)

목표는 습득한 기술을 테스트하고 문제, 오류 및 이를 제거하는 방법을 식별하는 것입니다.

학생의 선택에 따라 다단계 학습이 제공됩니다.

옵션 "3"

1) 표현식의 값을 찾으십시오.

2) 식을 단순화 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) 방정식을 푼다

"4"에 대한 옵션

1) 표현식의 값을 찾으십시오.

2) 방정식을 푼다 답에 가장 작은 양수근을 적어보세요.

옵션 "5"

1) 다음과 같은 경우 tanα를 구합니다.

2) 방정식의 근을 구하라 답으로 가장 작은 양의 근을 적어보세요.

6. 강의 요약(5분)

교사는 수업 중에 삼각법 공식을 반복하고 강화했으며 가장 간단한 삼각 방정식을 풀었다는 사실을 요약합니다.

숙제는 다음 수업에서 무작위로 확인하여 배정됩니다(사전 인쇄본으로 준비).

방정식 풀기:

10) 답에 가장 작은 양의 근을 표시하십시오.

레슨 2

주제: 11학년(통합국가시험 준비)

삼각 방정식을 푸는 방법. 루트 선택. (2시간)

목표:

다양한 유형의 삼각 방정식을 푸는 데 필요한 지식을 일반화하고 체계화합니다.
학생들의 수학적 사고, 관찰, 비교, 일반화 및 분류 능력의 발달을 촉진합니다.
학생들이 정신활동 과정에서 어려움을 극복하고 자기조절과 활동에 대한 성찰을 하도록 격려한다.

수업을 위한 장비: KRMu, 각 학생을 위한 노트북.

수업 구조:

조직적인 순간
d/z와 self에 대한 토론. 지난 수업부터 일해
삼각 방정식을 푸는 방법을 검토합니다.
삼각 방정식 풀기
삼각 방정식에서 근 선택.
독립적인 작업.
강의 요약. 숙제.

1. 조직적인 순간(2분)

교사는 청중에게 인사하고 수업 주제와 작업 계획을 발표합니다.

2. a) 숙제 분석(5분)

목표는 실행을 확인하는 것입니다. 하나의 작품은 비디오 카메라를 사용하여 화면에 표시되고 나머지는 교사 확인을 위해 선택적으로 수집됩니다.

b) 독립적인 작업 분석(3분)

목표는 실수를 분석하고 이를 극복할 수 있는 방법을 제시하는 것입니다.

답변과 해결책이 화면에 표시됩니다. 학생들은 자신의 과제를 미리 제공받습니다. 분석은 빠르게 진행됩니다.

3. 삼각 방정식을 푸는 방법 검토(5분)

목표는 삼각 방정식을 푸는 방법을 기억하는 것입니다.

학생들에게 삼각 방정식을 푸는 방법이 무엇인지 물어보십시오. 소위 기본(자주 사용되는) 방법이 있다는 점을 강조하십시오.

변수 교체,
채권 차압 통고,
균질 방정식,

적용된 방법이 있습니다.

합계를 곱으로, 곱을 합계로 변환하는 공식을 사용하여,
정도를 줄이는 공식에 따르면,
보편적인 삼각법 치환
보조 각도 도입,
일부 삼각 함수에 의한 곱셈.

또한 하나의 방정식은 다양한 방법으로 풀 수 있다는 점을 기억해야 합니다.

4. 삼각 방정식 풀기(30분)

목표는 이 주제에 대한 지식과 기술을 일반화하고 통합하여 통합 상태 시험의 C1 솔루션을 준비하는 것입니다.

학생들과 함께 각 방법에 대한 방정식을 풀어보는 것이 바람직하다고 생각합니다.

방정식 풀기:

1) 변수 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0 대체

2) 인수분해 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) 동차방정식 sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) 합을 곱 cos5x + cos7x = cos(π + 6x)로 변환

5) 곱을 합계 2sinx sin2x + cos3x = 0으로 변환합니다.

6) sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x = 0.5 정도의 감소

7) 범용 삼각 치환 sinx + 5cosx + 5 = 0.

이 방정식을 풀 때 사인과 코사인이 tg(x/2)로 대체되므로 이 방법을 사용하면 정의 범위가 좁아진다는 점에 유의해야 합니다. 따라서 답을 쓰기 전에 π + 2πn, n Z 집합의 숫자가 이 방정식의 말인지 확인해야 합니다.

8) 보조각 도입 √3sinx + cosx - √2 = 0

9) 일부 삼각 함수 cosx cos2x cos4x = 1/8을 곱합니다.

5. 삼각 방정식의 근 선택(20분)

따라서 이 수업 단계의 목표는 이전에 공부한 내용을 기억하고 Unified State Exam 2011의 문제 C1 해결을 준비하는 것입니다.

이러한 방정식은 복잡성이 증가한 방정식으로 간주되며 통합 상태 시험 버전에서는 두 번째 부분, 즉 C1에서 찾을 수 있습니다.

방정식을 푼다:

분수는 0과 같습니다. 단위원을 사용하여 근을 선택합니다(그림 1 참조).

그림 1.

우리는 x = π + 2πn, n Z를 얻습니다.

답: π + 2πn, n Z

화면에서는 뿌리 선택이 컬러 이미지로 원으로 표시됩니다.

요소 중 하나 이상이 0과 같고 호가 그 의미를 잃지 않으면 곱은 0과 같습니다. 그 다음에

단위원을 사용하여 근을 선택합니다(그림 2 참조).

그림 2.

시스템으로 가자:

시스템의 첫 번째 방정식에서 대체 로그 2(sinx) = y를 만들고 다음 방정식을 얻습니다. , 시스템으로 돌아가자

단위원을 사용하여 근을 선택합니다(그림 5 참조).

그림 5.

6. 독립적인 작업(15분)

목표는 자료의 동화를 통합 및 확인하고, 오류를 식별하고, 이를 수정하는 방법을 설명하는 것입니다.

이 작품은 학생들이 선택할 수 있도록 미리 인쇄된 형태로 준비된 세 가지 버전으로 제공됩니다.

어떤 방식으로든 방정식을 풀 수 있습니다.

옵션 "3"

방정식 풀기:

1) 2sin 2 x + sinx - 1 = 0

2) 죄2x = √3cosx

"4"에 대한 옵션

방정식 풀기:

1) cos2x = 11sinx - 5

2) (2sinx + √3)log 8 (cosx) = 0

옵션 "5"

방정식 풀기:

1) 2sinx - 3cosx = 2

7. 수업 요약, 숙제(5분)

교사는 수업을 요약하고 삼각 방정식을 여러 가지 방법으로 풀 수 있다는 사실에 다시 한 번 주목합니다. 최대 최선의 방법빠른 결과를 얻으려면 특정 학생이 가장 잘 배우는 것이 바로 그것입니다.

시험을 준비할 때 방정식을 푸는 공식과 방법을 체계적으로 반복해야 합니다.

숙제(인쇄본으로 미리 준비)를 배포하고 일부 방정식을 푸는 방법에 대해 설명합니다.

방정식 풀기:

1) cosx + cos5x = cos3x + cos7x

2) 5sin(x/6) - cos(x/3) + 3 = 0

3) 4sin 2 x + sin2x = 3

4) 죄 2 x + 죄 2 2x - 죄 2 3x - 죄 2 4x = 0

5) cos3x cos6x = cos4x cos7x

6) 4sinx - 6cosx = 1

7) 3sin2x + 4 cos2x = 5

8)cosx cos2x cos4x cos8x = (1/8)cos15x

9) (2sin 2 x - sinx)log 3 (2cos 2 x + cosx) = 0

10) (2cos 2 x - √3cosx)log 7 (-tgx) = 0

11)

안에 정체성 변화 삼각함수 표현다음과 같은 대수적 기법을 사용할 수 있습니다: 동일한 항을 더하고 빼기; 공통 인수를 괄호 안에 넣습니다. 같은 수량으로 곱셈과 나눗셈; 약식 곱셈 공식 적용; 완전한 정사각형을 선택하는 것; 이차 삼항식 인수분해; 변환을 단순화하기 위한 새로운 변수 도입.

분수가 포함된 삼각법 표현식을 변환할 때 비율 속성을 사용하여 분수를 줄이거나 분수를 공통 분모로 줄일 수 있습니다. 또한 분수의 분자와 분모에 같은 양을 곱하여 분수의 전체 부분을 선택하고 가능하면 분자 또는 분모의 동질성을 고려할 수도 있습니다. 필요한 경우 분수를 여러 개의 간단한 분수의 합이나 차이로 나타낼 수 있습니다.

또한 삼각함수 표현식을 변환하는 데 필요한 모든 방법을 적용할 때는 변환되는 표현식의 허용값 범위를 지속적으로 고려할 필요가 있습니다.

몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

예시 1.

A = (sin (2x – π) cos (3π – x) + sin (2x – 9π/2) cos (x + π/2)) 2 + (cos (x – π/2) cos ( 2x – 7π) 계산 /2) +
+ 죄(3π/2 – x) 죄(2x –5π/2)) 2

해결책.

축소 공식에서 다음과 같습니다.

죄(2x – π) = -죄 2x; cos(3π – x) = -cos x;

죄(2x – 9π/2) = -cos 2x; cos (x + π/2) = -sin x;

cos(x – π/2) = 사인 x; cos (2x – 7π/2) = -sin 2x;

죄(3π/2 – x) = -cos x; 사인(2x – 5π/2) = -cos 2x.

인수를 추가하는 공식과 주요 삼각법 항등식을 통해 우리는 다음을 얻습니다.

A = (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 = sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) =
= 사인 2 3x + 코사인 2 3x = 1

답: 1.

예시 2.

M = cos α + cos (α + β) · cos γ + cos β - sin (α + β) · sin γ + cos γ 식을 곱으로 변환합니다.

해결책.

인수를 추가하는 공식과 합계를 변환하는 공식에서 삼각함수적절한 그룹화 후 제품에

M = (cos (α + β) cos γ – sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) cos ((β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) (cos ((β – γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) 2cos ((β – γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) cos ((β – γ)/2) – (α + ( β + γ)/2)/2) =

4cos((β + γ)/2) cos((α +β)/2) cos((α + γ)/2).

답: M = 4cos ((α + β)/2) · cos ((α + γ)/2) · cos ((β + γ)/2).

실시예 3.

A = cos 2 (x + π/6) – cos (x + π/6) cos (x – π/6) + cos 2 (x – π/6) 표현식은 R의 모든 x에 대해 1을 취하고, 같은 의미. 이 값을 찾으십시오.

해결책.

이 문제를 해결하는 두 가지 방법이 있습니다. 첫 번째 방법을 적용하여 완전한 정사각형을 분리하고 해당 기본 삼각법 공식을 사용하여 다음을 얻습니다.

A = (cos (x + π/6) – cos (x – π/6)) 2 + cos (x – π/6) cos (x – π/6) =

4sin 2 x sin 2 π/6 + 1/2(cos 2x + cos π/3) =

사인 2 x + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 1/2 · (1 – cos 2x) + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 3/4.

두 번째 방법으로 문제를 해결하려면 A를 R의 x 함수로 간주하고 그 도함수를 계산하세요. 변환 후에 우리는 얻는다.

А' = -2cos (x + π/6) sin (x + π/6) + (sin (x + π/6) cos (x – π/6) + cos (x + π/6) sin (x + π/6)) – 2cos (x – π/6) sin (x – π/6) =

죄 2(x + π/6) + 죄 ((x + π/6) + (x – π/6)) – 죄 2(x – π/6) =

죄 2x – (죄(2x + π/3) + 죄(2x – π/3)) =

죄 2x – 2sin 2x · cos π/3 = 죄 2x – 죄 2x ‚ 0.

따라서 구간에서 미분 가능한 함수의 불변성 기준으로 인해 다음과 같은 결론을 내립니다.

A(x) ל(0) = cos 2 π/6 - cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x € R.

답: A = 3/4 for x € R.

삼각법 항등식을 증명하는 주요 기술은 다음과 같습니다.

에이)적절한 변환을 통해 ID의 왼쪽을 오른쪽으로 줄입니다.
비) ID의 오른쪽을 왼쪽으로 줄입니다.
다섯) ID의 오른쪽과 왼쪽을 동일한 형태로 축소합니다.
G)증명되는 신원의 왼쪽과 오른쪽 사이의 차이를 0으로 줄입니다.

예시 4.

cos 3x = -4cos x · cos (x + π/3) · cos (x + 2π/3)인지 확인하세요.

해결책.

해당 삼각법 공식을 사용하여 이 항등식의 우변을 변환하면 다음과 같습니다.

4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3) =

2cos x (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) – (x + 2π/3))) =

2cos x (cos (2x + π) + cos π/3) =

2cos x · cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) – cos x = cos 3x.

ID의 오른쪽이 왼쪽으로 축소됩니다.

실시예 5.

α, β, γ가 일부 삼각형의 내각이면 sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ = 2임을 증명하십시오.

해결책.

α, β, γ가 일부 삼각형의 내각임을 고려하면 다음을 얻습니다.

α + β + γ = π이므로 γ = π – α – β입니다.

죄 2 α + 죄 2 β + 죄 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ =

죄 2 α + 죄 2 β + 죄 2 (π – α – β) – 2cos α · cos β · cos (π – α – β) =

죄 2 α + 죄 2 β + 죄 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α – β) · (cos (α + β) =

죄 2 α + 죄 2 β + (죄 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α – β) (cos (α + β) =

1/2 · (1 – cos 2α) + ½ · (1 – cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) = 2.

원래 평등이 입증되었습니다.

실시예 6.

삼각형의 각 α, β, γ 중 하나가 60°가 되기 위해서는 sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0이면 충분함을 증명하십시오.

해결책.

이 문제의 조건은 필요성과 충분성을 모두 증명하는 것을 포함합니다.

먼저 증명해보자 필요성.

다음과 같이 표시될 수 있습니다.

죄 3α + 죄 3β + 죄 3γ = -4cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2).

따라서 cos (3/2 60°) = cos 90° = 0을 고려하면 각도 α, β 또는 γ 중 하나가 60°와 같으면 다음을 얻습니다.

cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0이므로 sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0입니다.

이제 증명해보자 적절지정된 조건.

sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0이면 cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0이므로

cos(3α/2) = 0이거나 cos(3β/2) = 0이거나 cos(3γ/2) = 0입니다.

따라서,

또는 3α/2 = π/2 + πk, 즉 α = π/3 + 2πk/3,

또는 3β/2 = π/2 + πk, 즉 β = π/3 + 2πk/3,

또는 3γ/2 = π/2 + πk,

저것들. γ = π/3 + 2πk/3, 여기서 k ϵ Z입니다.

α, β, γ가 삼각형의 각도라는 사실로부터 우리는 다음을 얻습니다.

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

따라서 α = π/3 + 2πk/3 또는 β = π/3 + 2πk/3 또는

모든 kϵZ 중 γ = π/3 + 2πk/3 k = 0만이 적합합니다.

따라서 α = π/3 = 60°, β = π/3 = 60°, 또는 γ = π/3 = 60°가 됩니다.

그 진술은 입증되었습니다.

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보론코바 올가 이바노브나

MBOU "중등 학교"

18번"

엥겔스, 사라토프 지역.

수학 선생님.

« 삼각함수 표현그리고 그들의 변신"

소개..........................................................................................................................3

제 1 장 삼각법 표현의 변환 사용에 관한 작업 분류 ..............................................................................5

1.1. 계산 작업 삼각함수 표현식의 값...........5

1.2.삼각함수 표현식을 단순화하는 작업....7

1.3. 수치 삼각법 표현식을 변환하는 작업.....7

1.4 혼합형 작업..........................................................................9

제2장. "삼각함수 표현의 변환"이라는 주제의 최종 반복을 구성하는 방법론적 측면...........................................................11

2.1 10학년의 주제별 반복 ............................................................................................11

테스트 1..........................................................................................................12

테스트 2..........................................................................................................13

테스트 3..........................................................................................14

2.2 11학년 최종 반복 ............................................................................................15

테스트 1..........................................................................................17

테스트 2..........................................................................................17

테스트 3..........................................................................................18

결론..........................................................................................................19

참고문헌 목록..........................................................................................20

소개.

오늘날의 상황에서 가장 중요한 질문은 "학생들의 지식 격차를 없애고 통합 상태 시험에서 발생할 수 있는 실수에 대해 경고할 수 있는 방법은 무엇입니까?"입니다. 이 문제를 해결하려면 학생들이 프로그램 자료를 형식적으로 동화하는 것이 아니라 깊고 의식적인 이해, 구두 계산 및 변환 속도 개발, 간단한 문제 해결 기술 개발을 달성해야 합니다. 마음.” 경우에만 학생들에게 확신을 줄 필요가 있습니다. 활성 위치, 수학을 공부할 때 습득 대상 실용적인 기술, 기술 및 그 사용을 통해 진정한 성공을 기대할 수 있습니다. 10-11학년의 선택 과목을 포함하여 통합 상태 시험을 준비할 수 있는 모든 기회를 활용하고 학생들과 함께 복잡한 과제를 정기적으로 검토하여 수업 및 추가 수업에서 문제를 해결할 수 있는 가장 합리적인 방법을 선택해야 합니다.긍정적인 결과표준 문제 해결 영역은 수학 교사가 다음을 생성함으로써 달성할 수 있습니다.학생들에 대한 좋은 기본 교육, 우리에게 열린 문제를 해결할 새로운 방법 찾기, 적극적으로 실험, 현대 적용 교육 기술, 새로운 사회적 조건에서 학생들의 효과적인 자기 실현과 자기 결정을 위해 유리한 조건을 만드는 방법, 기술.

삼각법은 학교 수학 과정의 필수적인 부분입니다. 삼각법에 대한 좋은 지식과 뛰어난 기술은 충분한 수준의 수학 교양을 입증합니다. 필수 조건수학, 물리학 및 다양한 기술 분야의 성공적인 연구학문.

작업의 관련성. 합격 분석 이후 지난 몇 년간의 결과(2011년 완료율 - 48.41%, 2012년 - 51.05%)에서 알 수 있듯이 상당수의 학교 졸업생이 수학의 이 중요한 부분에서 해마다 매우 열악한 준비를 보여줍니다. 통합 상태 시험에서는 학생들이 이 특정 섹션의 과제를 완료할 때 많은 실수를 하거나 그러한 과제를 전혀 수행하지 않는 것으로 나타났습니다. 하나에서 국가고시에서는 거의 세 가지 유형의 과제에서 삼각법 문제가 출제됩니다. 여기에는 작업 B5의 가장 간단한 삼각 방정식의 해법, 작업 B7의 삼각 함수 표현 작업, 작업 B14의 삼각 함수 연구, 다음을 설명하는 공식이 있는 작업 B12가 포함됩니다. 물리적 현상삼각함수를 포함하고 있습니다. 그리고 이것은 작업 B의 일부일뿐입니다! 그러나 C1 근을 선택하여 선호하는 삼각 방정식도 있지만 "그다지 선호하지 않는" 방정식도 있습니다. 기하학적 작업 C2와 C4.

작업의 목적. 분석하다 통합 상태 시험 자료작업 B7은 삼각법 표현의 변환에 전념하고 테스트에서 프레젠테이션 형식에 따라 작업을 분류합니다.

작품은 서론과 결론의 두 장으로 구성된다. 서론에서는 작품의 관련성을 강조합니다. 첫 번째 장에서는 삼각법 표현을 다음으로 변환하는 작업을 분류합니다. 테스트 작업통합 주 시험(2012).

두 번째 장에서는 10학년과 11학년의 "삼각함수 표현 변환" 주제의 반복 구성에 대해 논의하고 이 주제에 대한 테스트가 개발됩니다.

참고문헌 목록에는 17개의 출처가 포함되어 있습니다.

1장. 삼각함수 표현의 변환을 이용한 작업 분류.

중등(완전) 교육 표준과 학생 준비 수준 요구 사항에 따라 요구 사항 목록에는 삼각법의 기본 지식에 대한 작업이 포함됩니다.

삼각법의 기본을 배우는 것은 다음과 같은 경우에 가장 효과적입니다.

학생들이 이전에 배운 내용을 반복하도록 긍정적인 동기가 제공됩니다.

인간 중심 접근 방식이 교육 과정에서 구현됩니다.

학생들의 지식을 확장, 심화, 체계화하는 데 도움이 되는 과제 시스템이 사용됩니다.

고급 교육 기술이 사용됩니다.

통합 국가 시험 준비에 관한 문헌과 인터넷 리소스를 분석한 결과, 우리는 다음 중 하나를 제안했습니다. 가능한 분류과제 B7 (KIM 통일국가시험 2012-삼각법): 계산과제삼각함수 표현의 값; 에 대한 과제수치 삼각법 표현을 변환하고; 리터럴 삼각법 표현을 변환하는 작업; 혼합 유형 작업.

1.1. 계산 작업 삼각함수 표현의 의미.

단순 삼각법 문제의 가장 일반적인 유형 중 하나는 삼각 함수 값 중 하나의 값을 계산하는 것입니다.

a) 기본적인 삼각함수 항등식과 그 결과의 사용.

실시예 1 . 찾기
그리고
.

해결책.
,
,

왜냐하면 , 저것
.

답변.

실시예 2 . 찾다
, 만약에
그리고 .

해결책.
,
,
.

왜냐하면 , 저것
.

답변. .

b) 이중 각도 공식을 사용합니다.

실시예 3 . 찾다
, 만약에
.

해결책. , .

답변.
.

실시예 4 . 표현의 의미를 찾아보세요
.

해결책. .

답변.
.

1. 찾다 , 만약에

그리고

. 답변. -0.2

2. 찾다 , 만약에
그리고
. 답변. 0.4

3. 찾다

, 만약에 . 답변. -12.884. 찾다

, 만약에

. 답변. -0.845. 표현의 의미를 찾으십시오.

. 답변. 66. 표현의 의미를 찾아보세요

.답변. -19

1.2.삼각함수 표현을 단순화하는 작업. 학생들은 기하학, 물리학 및 기타 관련 분야에서 더 많은 응용을 찾을 수 있으므로 축소 공식을 잘 이해해야 합니다.

실시예 5 . 표현식 단순화
.

해결책. .

답변.
.

독립적인 솔루션을 위한 작업:

1. 표현을 단순화하라

. 답변. 0.62. 찾다

, 만약에

그리고. 답변. 10.563. 표현의 의미를 찾아보세요

, 만약에

. 답변. 2

1.3. 수치 삼각법 표현식을 변환하는 작업입니다.

수치 삼각법 표현을 변환하는 작업 기술을 연습할 때 삼각 함수 값 표, 패리티 속성 및 삼각 함수의 주기성에 대한 지식에 주의를 기울여야 합니다.

a) 일부 각도에 대해 정확한 삼각함수 값을 사용합니다.

실시예 6 . 믿다
.

해결책.
.

답변.
.

b) 패리티 속성 사용 삼각 함수.

실시예 7 . 믿다
.

해결책. .

답변.

다섯) 주기성 속성 사용삼각 함수.

실시예 8 . 표현의 의미를 찾아보세요
.

해결책. .

답변.
.

독립적인 솔루션을 위한 작업:

1. 표현의 의미를 찾아보세요

. 답변. -40.52. 표현의 의미를 찾아보세요

. 답변. 17

3. 표현의 의미를 찾아보세요
. 답변. 6

. 답변. -24

답변. -64

1.4 혼합 유형 작업.

인증 테스트 양식에는 매우 중요한 기능이 있으므로 여러 삼각법 공식 사용과 관련된 작업에 동시에 주의를 기울이는 것이 중요합니다.

실시예 9. 찾다
, 만약에
.

해결책.
.

답변.
.

실시예 10 . 찾다
, 만약에
그리고
.

해결책. .

왜냐하면 , 저것
.

답변.
.

실시예 11. 찾다
, 만약에 .

해결책. , ,
,
,
,
,
.

답변.

실시예 12. 믿다
.

해결책. .

답변.
.

실시예 13. 표현의 의미를 찾아보세요
, 만약에
.

해결책. .

답변.
.

독립적인 솔루션을 위한 작업:

1. 찾다

, 만약에

. 답변. -1.75
2. 찾다

, 만약에

. 답변. 33. 찾기

, 만약에 .답변. 0.254. 표현의 의미 찾기

, 만약에

. 답변. 0.35. 표현의 의미 찾기

, 만약에

. 답변. 5

2 장. "삼각법 표현의 변환"주제의 최종 반복을 구성하는 방법 론적 측면.

학업 성취도를 더욱 향상시키고 학생들 사이에서 깊고 지속적인 지식을 얻는 데 기여하는 가장 중요한 문제 중 하나는 이전에 다룬 내용을 반복하는 문제입니다. 연습에 따르면 10학년에서는 주제별 반복을 구성하는 것이 더 편리합니다. 11학년 - 최종 반복.

2.1. 10학년 주제 개정.

특히 수학적 자료를 작업하는 과정에서 훌륭한 가치완료된 각 주제 또는 코스의 전체 섹션을 반복합니다.

주제별 반복을 통해 주제에 대한 학생들의 지식은 완료의 마지막 단계 또는 특정 휴식 후에 체계화됩니다.

주제별 반복을 위해 특정 주제의 자료가 집중되고 일반화되는 특별 수업이 할당됩니다.

수업의 반복은이 대화에 학생들이 광범위하게 참여하는 대화를 통해 수행됩니다. 그 후, 학생들에게 특정 주제를 반복하는 과제가 주어지며 시험 작업이 수행될 것이라는 경고를 받습니다.

특정 주제에 대한 시험에는 모든 주요 질문이 포함되어야 합니다. 작업이 완료된 후에는 특징적인 오류를 분석하고 반복을 구성하여 이를 제거합니다.

주제별 반복 수업을 위해 우리는 개발된 테스트 형태의 평가 작업"삼각함수 표현의 변형"이라는 주제로.

테스트 번호 1

테스트 번호 2

테스트 번호 3

답안표

시험

2.2. 11학년 최종 검토.

최종 반복은 수학 과목의 주요 문제를 공부하는 마지막 단계에서 이루어지며, 학습과 논리적으로 연결되어 수행됩니다. 교육 자료이 섹션 또는 코스 전체에 대해.

교육 자료의 최종 반복은 다음 목표를 추구합니다.

1. 전체 자료의 활성화 훈련 과정논리적 구조를 명확히 하고 주제와 주제 간 연결 내에서 시스템을 구축합니다.

2. 반복 과정에서 과정의 주요 문제에 대한 학생들의 지식을 심화시키고 가능하다면 확장합니다.

모든 졸업생이 수학 시험을 의무적으로 통과하는 상황에서 통합 상태 시험의 점진적인 도입으로 교사는 모든 학생이 교육을 마스터하도록 보장할 필요성을 고려하여 수업 준비 및 수행에 대한 새로운 접근 방식을 취해야 합니다. 자료 기본 수준, 대학 입학을 위해 높은 점수를 얻고자 하는 동기가 부여된 학생들이 고급 및 높은 수준에서 자료를 습득하는 데 역동적으로 발전할 수 있는 기회입니다.

최종 개정 수업 중에 다음 작업을 고려할 수 있습니다.

실시예 1 . 표현식의 값을 계산합니다.해결책. =

= =

=0,5. 답변. 0.5. 예시 2. 표현식이 허용할 수 있는 가장 큰 정수 값을 지정하십시오.

해결책. 왜냐하면
세그먼트 [-1; 1] 그런 다음
세그먼트 [–0.4; 0.4] 그러므로 . 표현식에는 하나의 정수 값(숫자 4)이 있습니다.

답: 4 실시예 3 . 표현을 단순화하라

해결책: 큐브의 합을 인수분해하는 공식을 사용해 보겠습니다. 우리는

우리는:
.

답: 1

예시 4. 믿다
.

해결책. .

답: 0.28

최종 개정 수업에서는 "삼각법 표현의 변환"이라는 주제로 개발된 테스트를 제공합니다.

1을 초과하지 않는 가장 큰 정수를 입력하세요.

결론.

적절한 조치를 취한 후 방법론적 문헌이 주제에 관해 우리는 학교 수학 과정에서 삼각법 변환과 관련된 문제를 해결하는 능력과 기술이 매우 중요하다는 결론을 내릴 수 있습니다.

작업이 진행되는 동안 작업 B7의 분류가 수행되었습니다. 2012년 CMM에서 가장 자주 사용된 삼각법 공식을 고려합니다. 솔루션이 포함된 작업의 예가 제공됩니다. 통합 상태 시험을 준비하기 위해 반복을 구성하고 지식을 체계화하기 위해 차별화된 테스트가 개발되었습니다.

고려하여 시작한 작업을 계속하는 것이 좋습니다. 작업 B5에서 가장 간단한 삼각 방정식을 풀고, 작업 B14, 작업 B12에서 삼각 함수를 공부합니다. 여기에는 물리적 현상을 설명하는 공식과 삼각 함수가 포함되어 있습니다.

결론적으로 효율성에 주목하고 싶습니다. 통합 국가 시험에 합격이는 모든 범주의 학생을 대상으로 모든 수준의 교육에서 훈련 과정이 얼마나 효과적으로 구성되는지에 따라 크게 결정됩니다. 그리고 학생들에게 독립성과 책임감, 평생 학습을 계속할 의지를 심어줄 수 있다면 국가와 사회의 질서를 이행할 뿐만 아니라 우리 자신의 자존감도 높아질 것입니다.

교육 자료의 반복에는 교사가 필요합니다. 창의적인 작품. 그는 반복 유형 간의 명확한 연결을 제공하고 깊이 생각한 반복 시스템을 구현해야 합니다. 반복을 정리하는 기술을 익히는 것은 교사의 임무입니다. 학생들의 지식의 강도는 주로 솔루션에 달려 있습니다.

문학.

Vygodsky Ya.Ya., 초등 수학 핸드북. -M.: 나우카, 1970.

대수학 및 기초 분석의 난이도 증가 문제: 10-11학년 교과서 고등학교/ B.M. Ivlev, A.M. Abramov, Yu.P. 두드니친, S.I. Schwartzburd. – M.: 교육, 1990.

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쿠즈네초바 E.N.삼각함수 표현을 단순화합니다. 다양한 방법을 사용하여 삼각 방정식 풀기(통합 상태 시험 준비) 11학년. 2012-2013.

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통합 상태 시험 준비를 위한 교육 포털입니다.

수학 통합 국가 시험 준비 “오, 이 삼각법! http://festival.1september.ru/articles/621971/

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