접선 원에 접선을 구성합니다. 두 원의 상대적인 위치

일반적으로 이러한 문제에는 원과 점이 제공됩니다. 원에 대한 접선을 구성해야 하며 접선은 주어진 점을 통과해야 합니다.

점의 위치가 지정되지 않은 경우 점의 위치에 대한 세 가지 가능한 경우를 별도로 지정해야 합니다.

점이 주어진 원으로 둘러싸인 원 안에 있으면 그 점을 통해 접선을 구성할 수 없습니다.
점이 원 위에 있으면 접선은 주어진 점에 그려진 반지름에 수직인 선을 구성하여 구성됩니다.
점이 원으로 둘러싸인 원 외부에 있는 경우 접선을 구성하기 전에 반드시 통과해야 하는 원 위의 점을 찾습니다.

두 번째 경우를 해결하기 위해 반지름이 있는 직선에서 반지름과 동일하고 원 점의 반대쪽에 있는 세그먼트가 구성됩니다. 따라서 원의 한 점은 반경의 두 배에 해당하는 선분의 중앙이 됩니다. 다음으로, 반지름이 원래 원의 반지름의 두 배이고, 세그먼트 끝의 중심이 반지름의 두 배인 두 개의 원이 구성됩니다. 이 원과 문제의 조건에 따라 지정된 점의 교차점을 통과하는 직선이 그려집니다. 이는 원래 원의 반지름에 수직인 중앙값입니다. 즉, 원래 원에 수직이므로 원에 접합니다.

점이 원으로 둘러싸인 원 바깥에 있는 세 번째 경우는 다음과 같이 해결할 수 있습니다. 주어진 원의 중심과 주어진 점을 연결하는 선분을 구성하는 것이 필요합니다. 다음으로 중앙값 수직을 구성하여 중앙값을 찾습니다(이전 단락에서 설명). 그런 다음 원(또는 그 일부)을 그립니다. 구성된 원과 문제 조건에 의해 지정된 원의 교차점은 접선이 통과하는 지점이며, 이 접선도 문제 조건에 의해 지정된 지점을 통과합니다. 두 개의 알려진 점을 통해 접선이 그려집니다.

구성된 직선이 접선임을 증명하려면 문제의 조건에 의해 주어진 원의 반지름과 원의 교차점과 문제의 조건에 의해 주어진 점을 연결하는 선분이 이루는 각도를 고려해야 합니다. 문제. 이 각도는 반원(구성된 원의 지름)에 위치하며 이는 직선임을 의미합니다. 즉, 반지름은 구성된 선에 수직입니다. 따라서 구성된 선은 접선입니다.

수업 목표

교육 – 주제에 대한 지식의 반복, 일반화 및 테스트: "원에 접하는"; 기본 기술의 개발.
발달 – 학생들의 주의력, 인내, 끈기, 논리적 사고, 수학적 언어 능력을 개발합니다.
교육적 - 수업을 통해 서로에 대한 세심한 태도를 기르고 동지의 말을 듣는 능력, 상호 지원 및 독립성을 심어줍니다.
접점, 접선의 개념을 소개합니다.
접선과 그 부호의 속성을 고려하고 자연과 기술의 문제를 해결하는 데 적용되는 방법을 보여줍니다.

수업 목표

눈금자, 각도기 및 삼각형 그리기를 사용하여 접선을 구성하는 기술을 개발합니다.
학생들의 문제 해결 능력을 테스트합니다.
원에 대한 접선을 구성하기 위한 기본 알고리즘 기술을 숙지하세요.
이론적 지식을 문제 해결에 적용하는 능력을 기릅니다.
학생들의 사고와 언어를 개발합니다.
관찰하고, 패턴을 알아차리고, 일반화하고, 유추하여 추론하는 기술을 개발하기 위해 노력하세요.
수학에 대한 관심을 심어줍니다.

강의 계획

접선 개념의 출현.
탄젠트의 역사.
기하학적 정의.
기본 정리.
원에 대한 접선을 구성합니다.
강화.

접선 개념의 출현

접선의 개념은 수학에서 가장 오래된 개념 중 하나입니다. 기하학에서 원에 대한 접선은 해당 원과 정확히 하나의 교차점을 갖는 선으로 정의됩니다. 고대인들은 나침반과 자를 사용하여 원에 대한 접선을 그리고 나중에는 타원, 쌍곡선 및 포물선과 같은 원뿔 단면을 그릴 수 있었습니다.

탄젠트의 역사

현대에 와서 접선에 대한 관심이 되살아났다. 그러다가 고대 과학자들에게 알려지지 않은 곡선이 발견되었습니다. 예를 들어, 갈릴레오는 사이클로이드를 도입했고, 데카르트와 페르마는 이에 대한 접선을 구성했습니다. 17세기 전반기. 그들은 접선이 주어진 점의 작은 이웃에 있는 곡선에 "가장 가까운" 직선이라는 것을 이해하기 시작했습니다. 주어진 점(그림)에서 곡선에 대한 접선을 구성하는 것이 불가능한 상황을 상상하기 쉽습니다.

기하학적 정의

원- 중심이라고 불리는 주어진 점으로부터 등거리에 있는 평면상의 점들의 기하학적 궤적.

원.

관련 정의

원의 중심과 그 위에 있는 임의의 점(및 이 선분의 길이)을 연결하는 선분을 호출합니다. 반지름서클.
원으로 둘러싸인 평면의 부분을 이라고 합니다. 온 사방에.
원 위의 두 점을 연결하는 선분을 선분이라고 합니다. 현. 원의 중심을 통과하는 현을 현이라고 합니다. 지름.
원의 두 발산점은 원을 두 부분으로 나눕니다. 이 각 부분을 이렇게 부른다. 호서클. 호의 측정은 해당 중심각의 측정이 될 수 있습니다. 끝을 연결하는 세그먼트가 직경인 경우 호를 반원이라고 합니다.
원과 정확히 하나의 공통점을 갖는 직선을 직선이라고 합니다. 접선원에 연결하고 그 공통점을 선과 원의 접선점이라고 합니다.
원 위의 두 점을 지나는 직선을 직선이라고 합니다. 시컨트.
원의 중심각은 중심에 정점이 있는 평면각입니다.
꼭지점이 원 위에 있고 변이 이 원과 교차하는 각을 각이라고 합니다. 내접각.
공통 중심을 갖는 두 개의 원을 호출합니다. 동심원.

접선- 곡선 위의 한 점을 통과하고 이 점에서 1차까지 일치하는 직선.

원에 접함원과 공통점이 하나인 직선이다.

같은 평면 위의 원 위의 한 점을 지나는 직선으로, 이 점에 그려진 반지름에 수직인 직선 탄젠트라고 불리는. 이 경우 원 위의 이 점을 접선점이라고 합니다.

우리의 경우 "a"는 주어진 원에 접하는 직선이고 점 "A"는 접선 지점입니다. 이 경우 a⊥OA(직선 a는 반경 OA에 수직임)입니다.

그들은 말한다 두 개의 원이 닿다, 공통점이 하나 있다면. 이 지점은 원의 접점. 접촉점을 통해 원 중 하나에 대한 접선을 그릴 수 있으며, 이는 다른 원에 대한 접선이기도 합니다. 접촉하는 원은 내부일 수도 있고 외부일 수도 있습니다.

원의 중심이 접선의 같은 쪽에 있으면 접선을 내부 접선이라고 합니다.

원의 중심이 접선의 반대쪽에 있으면 접선을 외부 접선이라고 합니다.

a는 두 원의 공통 접선이고, K는 접선점입니다.

기본 정리

정리탄젠트와 시컨트에 대해

원 바깥에 있는 점에서 접선과 할선을 그리면 접선 길이의 제곱은 할선과 그 외부 부분의 곱과 같습니다. MC 2 = MA MB.

정리.원의 접선점에 그려진 반지름은 접선에 수직입니다.

정리.반지름이 원과 교차하는 점에서 선에 수직인 경우 이 선은 이 원에 접합니다.

증거.

이러한 정리를 증명하려면 점에서 선까지의 수직선이 무엇인지 기억해야 합니다. 이것은 이 지점에서 이 선까지의 최단 거리입니다. OA가 접선에 수직이 아니지만 접선에 수직인 직선 OS가 있다고 가정해 보겠습니다. 길이 OS에는 반경의 길이와 확실히 반경보다 큰 특정 세그먼트 BC가 포함됩니다. 따라서 어떤 라인에 대해서도 이를 증명할 수 있습니다. 우리는 접촉점까지 그려진 반경인 반경이 점 O에서 접선까지의 최단 거리라고 결론을 내립니다. OS는 접선에 수직입니다. 역정리의 증명에서 우리는 접선이 원과 단 하나의 공통점을 갖는다는 사실로부터 나아갈 것입니다. 이 직선이 원과 공통점 B를 하나 더 갖게 해주세요. 삼각형 AOB는 직사각형이고 두 변의 반지름이 동일하지만 이는 사실이 아닙니다. 따라서 우리는 이 직선이 점 A를 제외하고는 원과 더 이상 공통점이 없음을 발견합니다. 접선이다.

정리.한 점에서 원에 그려진 접선은 동일하며, 이 점과 원의 중심을 연결하는 직선은 접선 사이의 각도를 나눕니다.

증거.

증명은 매우 간단합니다. 이전 정리를 사용하여 OB는 AB에 수직이고 OS는 AC에 수직이라고 주장합니다. 직각삼각형 ABO와 ACO는 다리와 빗변이 동일합니다(OB=OS - 반지름, AO - 전체). 따라서 변 AB=AC이고 각도 OAC와 OAB는 동일합니다.

정리.원 위의 공통점을 갖는 접선과 현이 이루는 각도의 크기는 그 변 사이에 둘러싸인 호의 각도 크기의 절반과 같습니다.

증거.

접선과 현이 이루는 각도 NAB를 생각해 보세요. AC의 직경을 그려 봅시다. 접선은 접촉점에 그려진 직경에 수직이므로 ∠CAN=90o입니다. 정리를 알면 각도 알파(a)는 호 BC의 각도 값의 절반 또는 각도 BOS의 절반과 같습니다. ∠NAB=90 o -a, 여기에서 ∠NAB=1/2(180 o -∠BOC)=1/2∠AOB 또는 = 호 BA 각도 값의 절반을 얻습니다. 등.

정리.한 점에서 원까지 접선과 할선을 그리면 주어진 점에서 접선까지의 접선의 제곱은 주어진 점에서 원까지 할선의 길이를 곱한 것과 같습니다. 원과의 교차점.

증거.

그림에서 이 정리는 다음과 같습니다: MA 2 = MV * MC. 그것을 증명해 봅시다. 이전 정리에 따르면 각도 MAC는 호 AC의 각도 값의 절반과 동일하지만 각도 ABC는 정리에 따라 호 AC의 각도 값의 절반과 같으므로 이 각도는 각각 동일합니다. 다른. 삼각형 AMC와 BMA가 꼭지점 M에서 공통 각도를 갖는다는 사실을 고려하여 이 삼각형의 두 각도(두 번째 기호)의 유사성을 나타냅니다. 유사성으로부터 MA/MB=MC/MA, MA 2 =MB*MC를 얻습니다.

원에 대한 접선 구성

이제 그것을 파악하고 원에 대한 접선을 구성하기 위해 수행해야 할 작업을 알아 보겠습니다.

이 경우 원칙적으로 문제는 원과 점을 제공합니다. 그리고 당신과 나는 이 접선이 주어진 점을 통과하도록 원에 대한 접선을 구성해야 합니다.

점의 위치를 모르는 경우 가능한 점의 위치에 대한 사례를 고려해 보겠습니다.

첫째, 점은 주어진 원에 의해 제한되는 원 내부에 있을 수 있습니다. 이 경우 이 원을 통해 접선을 구성하는 것은 불가능합니다.

두 번째 경우에는 점이 원 위에 있고, 우리가 알고 있는 점에 그려진 반지름에 수직인 선을 그려 접선을 구성할 수 있습니다.

세 번째로, 점이 원에 의해 제한되는 원 바깥에 있다고 가정해보자. 이 경우 접선을 만들기 전에 접선이 통과해야 하는 원 상의 한 점을 찾아야 합니다.

첫 번째 경우에서는 모든 것이 명확해지기를 바라지만 두 번째 옵션을 해결하려면 반경이 있는 직선에 세그먼트를 구성해야 합니다. 이 세그먼트는 반지름 및 반대쪽 원에 있는 세그먼트와 동일해야 합니다.

여기서 우리는 원 위의 한 점이 반지름의 두 배와 같은 선분의 중앙이라는 것을 알 수 있습니다. 다음 단계는 두 개의 원을 만드는 것입니다. 이 원의 반지름은 원래 원 반지름의 두 배와 같고, 세그먼트 끝의 중심은 반지름의 두 배와 같습니다. 이제 우리는 이 원과 주어진 점의 교차점을 통과하는 직선을 그릴 수 있습니다. 이러한 직선은 처음에 그려진 원의 반지름에 수직인 중앙값입니다. 따라서 우리는 이 선이 원에 수직이고 이로부터 원에 접한다는 것을 알 수 있습니다.

세 번째 옵션에서는 원에 의해 제한되는 원 외부에 점이 있습니다. 이 경우, 먼저 주어진 원의 중심과 주어진 점을 연결하는 선분을 구성합니다. 그리고 우리는 그 중간을 찾습니다. 그러나 이를 위해서는 수직 이등분선을 구성하는 것이 필요합니다. 그리고 당신은 이미 그것을 만드는 방법을 알고 있습니다. 그런 다음 원이나 최소한 그 일부를 그려야 합니다. 이제 우리는 주어진 원과 새로 구성된 원의 교차점이 접선이 통과하는 지점임을 알 수 있습니다. 문제의 조건에 따라 지정된 지점을 통과하기도 합니다. 그리고 마지막으로, 여러분이 알고 있는 두 점을 통해 접선을 그릴 수 있습니다.

그리고 마지막으로 우리가 구축한 직선이 접선임을 증명하기 위해서는 원의 반지름과 조건으로 알려진 선분과 원의 교점을 연결하는 선분이 이루는 각도에 주목해야 한다. 문제의 조건에 따라 주어진 요점으로. 이제 결과 각도가 반원 위에 있음을 알 수 있습니다. 그리고 이것으로부터 이 각도가 옳다는 결론이 나옵니다. 결과적으로 반지름은 새로 구성된 선에 수직이 되며 이 선은 접선입니다.

접선의 구성.

접선의 구성은 미분학의 탄생을 가져온 문제 중 하나입니다. 라이프니츠가 쓴 미분 계산과 관련하여 최초로 출판된 저작의 제목은 "소수량이나 무리수량, 특수한 유형의 미적분학이 장애가 되지 않는 최대값과 최소값 및 접선의 새로운 방법"이었습니다.

고대 이집트인의 기하학적 지식.

티그리스강과 유프라테스강, 소아시아 사이의 계곡에 살았던 고대 주민들의 아주 작은 기여를 고려하지 않는다면 기하학은 기원전 1700년 이전의 고대 이집트에서 시작되었습니다. 열대 우기에는 나일강이 물을 가득 채우고 범람했습니다. 경작지의 면적은 물에 덮여 있었고, 세금 목적상 손실된 토지의 양을 확인하는 것이 필요했습니다. 측량사는 촘촘하게 늘어난 로프를 측정 도구로 사용했습니다. 이집트인들이 기하학적 지식을 축적한 또 다른 동기는 피라미드 건설과 미술과 같은 활동이었습니다.

기하학적 지식의 수준은 특히 수학에 전념하고 다양한 실제 문제에 대한 해결책이 제공되는 교과서 또는 오히려 문제집과 같은 고대 원고에서 판단할 수 있습니다.

이집트인의 가장 오래된 수학 원고는 1800년에서 1600년 사이에 어떤 학생에 의해 복사되었습니다. 기원전. 오래된 텍스트에서. 파피루스는 러시아 이집트학자 Vladimir Semenovich Golenishchev에 의해 발견되었습니다. 그것은 모스크바에 보관되어 있습니다 - A.S. 푸쉬킨은 모스크바 파피루스라고 불립니다.

모스크바의 것보다 200~300년 늦게 쓰여진 또 다른 수학 파피루스가 런던에 보관되어 있습니다. "모든 어두운 것들에 대한 지식을 얻는 방법에 대한 지침, 사물 자체에 숨겨져 있는 모든 비밀... 오래된 기념물에 따르면 서기관 아메스는 이것을 썼습니다." 원고는 "아메스 파피루스"라고 불립니다. 린드 파피루스 - 이집트에서 이 파피루스를 발견하고 구입한 영국인의 이름을 딴 것입니다. 아메스 파피루스는 실제로 필요할 수 있는 다양한 계산과 관련된 84가지 문제에 대한 솔루션을 제공합니다.

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러시아 연방 교육과학부

시 예산 교육 기관

노보시비르스크시 "체육관 No. 4"

섹션: 수학

연구

이 주제에 대해:

두 개의 접촉 원의 속성

10학년 학생:

카지아크메토프 라디크 일다로비치

주바레프 예브게니 블라디미로비치

감독자:

L.L. 바리노바

수학 선생님

최고 자격 카테고리

§ 1.소개……………………………………………………………………………3

§ 1.1 두 원의 상대적 위치..................................................................................3

§ 2 재산 및 그 증거..........................................................................................................................4

§ 2.1 속성 1……………………………………………………………4

§ 2.2 속성 2..........................................................................................................5

§ 2.3 속성 3..........................................................................................................6

§ 2.4 속성 4..........................................................................................................6

§ 2.5 속성 5…………………………………………………8

§ 2.6 속성 6………………………………………………………9

§ 3 업무..........................................................................................................................................................11

참고문헌..........................................................................................................................13

§ 1. 소개

두 개의 접하는 원과 관련된 많은 문제는 다음에 제시될 몇 가지 속성을 알면 더 간단하고 간단하게 해결할 수 있습니다.

두 원의 상대적인 위치

우선, 두 원의 가능한 상대적 위치를 규정해 보겠습니다. 4가지 경우가 있을 수 있습니다.

1. 원은 교차할 수 없습니다.

2. 교차합니다.

3. 바깥쪽 한 지점을 터치해 주세요.

4.내부의 한 지점을 터치합니다.

§ 2. 속성과 그 증명

바로 속성 증명으로 넘어가겠습니다.

§ 2.1 속성 1

접선과 원의 교차점 사이의 세그먼트는 서로 동일하며 주어진 원의 두 기하 평균 반지름과 같습니다.

증거 1. O 1 A 1 및 O 2 B 1 – 접촉점까지 그려지는 반경.

2. О 1 А 1 ┴ А 1 В 1, О2В1 ┴ А 1 В 1 → О 1 А 1 ║ О 2 В 1. (포인트 1에 따름)

▲O 1 O 2 D – 직사각형이기 때문에 О 2 D ┴ О 2 В 1
O 1 O 2 = R + r, O 2 D = R – r

피타고라스의 정리에 따르면 A 1 B 1 = 2√Rr

(O 1 D 2 =(R+r) 2 -(R-r) 2 =R 2 +2Rr+r2-R 2 +2Rr-r 2 =√4Rr=2√Rr)

A 2 B 2 = 2√Rr (유사하게 증명됨)

1) 접선과 원의 교차점에서 반지름을 그려 봅시다.

2) 이 반경은 접선에 수직이고 서로 평행합니다.

3) 작은 원의 중심에서 큰 원의 반지름까지 수직선을 낮추어 보겠습니다.

4) 결과 직각삼각형의 빗변은 원의 반지름의 합과 같습니다. 다리는 그 차이와 같습니다.

5) 피타고라스 정리를 사용하여 필요한 관계를 얻습니다.

§ 2.2 속성 2

원의 접선과 교차하고 접선과 함께 그 중 어느 곳에도 속하지 않는 직선의 교차점은 접선 점에 의해 제한되는 외부 접선의 세그먼트를 각각 부분으로 나눕니다. 는 이 원의 반지름의 기하 평균과 같습니다.

증거 1.MS= MA 1(접선 세그먼트로)

2.MC = MV 1(접선 세그먼트)

3.A 1 M = MV 1 = √Rr, A 2 N = NB 2 = √Rr(포인트 1과 2에 따름) )

증명에 사용된 진술 한 점에서 특정 원까지 그린 접선은 동일합니다. 우리는 주어진 두 원 모두에 대해 이 속성을 사용합니다.

§ 2.3 속성 3

외부 접선 사이에 둘러싸인 내부 접선 세그먼트의 길이는 접촉점 사이의 외부 접선 세그먼트의 길이와 동일하며 주어진 원의 두 기하 평균 반지름과 같습니다.

증거 이 결론은 이전 속성에서 따릅니다.

MN = MC + CN = 2MC = 2A 1 M = A 1 B 1 = 2√Rr

§ 2.4 속성 4

접하는 원의 중심과 접촉점에 그려진 반지름 사이의 접선 부분의 중점으로 형성된 삼각형은 직사각형입니다. 다리의 비율은 이 원의 반지름의 근의 몫과 같습니다.

증거 1.MO 1은 각도 A 1 MS의 이등분선이고, MO 2는 각도 B 1 MS의 이등분선입니다. 왜냐하면 각에 내접된 원의 중심은 이 각의 이등분선에 있습니다.

2. 포인트 1에 따르면 РО 1 MS + РСМО 2 = 0.5(РА1МС + РСМВ 1) = 0.5p = p/2

3.РО 1 MO 2 – 직접. MC는 삼각형 O 1 MO 2의 높이입니다. 왜냐하면 접선 MN은 접촉점에 그려진 반지름에 수직입니다. → 삼각형 O 1 MC와 MO 2 C는 유사합니다.

4.O 1 M / MO 2 = O 1 C / MC = r / √Rr = √r / R (유사)

증명에 사용된 진술 1) 각에 내접된 원의 중심은 이 각의 이등분선에 있습니다. 삼각형의 다리는 각의 이등분선입니다.

2) 이렇게 형성된 각도가 같다는 사실을 이용하여 우리가 구하는 각도가 직각임을 알 수 있습니다. 우리는 이 삼각형이 실제로 직각이라고 결론을 내립니다.

3) 높이(접선이 접선 점에 그려진 반경에 수직이기 때문에)가 직각 삼각형을 나누는 삼각형의 유사성을 증명하고 유사성을 통해 필요한 비율을 얻습니다.

§ 2.5 속성 5

원과 원의 접촉점과 원과 접선의 교점으로 이루어진 삼각형은 직사각형이다. 다리의 비율은 이 원의 반지름의 근의 몫과 같습니다.

증거

▲A 1 MC 및 ▲SMV 1은 이등변선입니다. → ÐMA 1 C = ÐMSA 1 = α, ÐMV 1 C = ÐMSV 1 = β.

2α + 2β + RA 1 MC + RSMV 1 = 2p → 2α + 2β = 2p - (RA 1 MC + RSMV 1) = 2p - p = p, α + β = p/2

그러나 RA 1 SV 1 = α + β → RA 1 SV 1 – 직접 → RA 1 CO 2 = RS 1 O 2 = p/2 – β = α

▲A 1 MC와 ▲CO 2 B 1은 유사 → A 1 C / SV 1 = MC / O 2 B 1 = √Rr / R = √r / R

증명에 사용된 진술 1) 삼각형이 이등변형이라는 점을 이용하여 삼각형의 각의 합을 적습니다. 삼각형의 이등변삼각형은 접선분의 동일성을 이용하여 증명됩니다.

2) 이런 식으로 각도의 합을 쓰면 문제의 삼각형이 직각을 가지므로 직사각형이라는 것을 알 수 있습니다. 진술의 첫 번째 부분이 입증되었습니다.

3) 삼각형의 유사성을 사용하여(정당화하기 위해 두 각도의 유사성 기호를 사용함) 직각삼각형의 다리 비율을 찾습니다.

§ 2.6 속성 6

원과 접선의 교점으로 형성된 사각형은 원을 내접할 수 있는 사다리꼴입니다.

증거 1.▲A 1 RA 2 와 ▲B 1 PB 2 는 이등변삼각형입니다. 왜냐하면 접선 세그먼트로서 A 1 P = RA 2 및 B 1 P = PB 2 → ▲A 1 RA 2 및 ▲B 1 PB 2 - 유사함.

2.A 1 A 2 ║ B 1 B 2, 왜냐하면 시컨트 A 1 B 1의 교차점에서 형성된 해당 각도는 동일합니다.

MN – 속성 2에 따른 중간선 → A 1 A 2 + B 1 B 2 = 2MN = 4√Rr

A 1 B 1 + A 2 B 2 = 2√Rr + 2√Rr = 4√Rr = A 1 A 2 + B 1 B 2 → 사다리꼴 A 2 A 1 B 1 B 2 밑변의 합은 같습니다 이것은 내접원이 존재하기 위한 필요충분조건입니다.

증명에 사용된 진술 1) 다시 접선분의 성질을 이용해보자. 그것의 도움으로 우리는 접선과 접선의 교차점에 의해 형성된 삼각형의 이등변을 증명할 것입니다.

2) 이것으로부터 이 삼각형들은 닮음이고 그 밑변들은 평행하다는 것을 알 수 있습니다. 이를 토대로 우리는 이 사변형이 사다리꼴이라는 결론을 내립니다.

3) 앞서 증명한 (2)의 성질을 이용하여 사다리꼴의 중심선을 구합니다. 이는 원의 두 기하 평균 반지름과 같습니다. 결과 사다리꼴에서는 밑면의 합과 변의 합이 같으며, 이는 내접원이 존재하기 위한 필요충분조건입니다.

§ 3. 문제

위에 설명된 속성을 사용하여 문제 해결을 단순화할 수 있는 방법에 대한 실제 예를 살펴보겠습니다.

문제 1

삼각형 ABC에서 변 AC = 15cm 삼각형에 원이 새겨져 있습니다. 두 번째 원은 첫 번째 원과 변 AB, BC에 닿습니다. AB 변에서는 점 F가 선택되고, BC 변에서는 점 M이 선택되어 세그먼트 FM이 원에 대한 공통 접선이 됩니다. FM이 4cm이고 점 M이 한 원의 중심에서 다른 원의 중심보다 두 배 더 멀리 떨어져 있는 경우 삼각형 BFM과 사변형 AFMC의 면적 비율을 구합니다.

주어진: FM-총 접선 AC=15cm FM=4cm O 2 M=2О 1 M

S BFM /S AFMC 찾기