기계적 에너지. 회전 운동 중 운동 에너지

역학.

질문 1번

참조 시스템. 관성 참조 시스템. 갈릴레오의 상대성 이론 - 아인슈타인

참조 프레임- 이것은 주어진 몸체의 움직임과 그와 관련된 좌표계가 설명되는 몸체 세트입니다.

관성 기준 시스템(IRS)자유롭게 움직이는 물체가 정지 상태 또는 균일한 직선 운동 상태에 있는 시스템입니다.

갈릴레오-아인슈타인 상대성 원리- 모든 관성 기준계의 모든 자연 현상은 동일한 방식으로 발생하며 동일한 수학적 형식을 갖습니다. 즉, 모든 ISO는 동일합니다.

질문 2번

운동 방정식. 강체의 운동 유형. 운동학의 주요 임무.

운동 방정식 재료 포인트:

- 운동의 운동 방정식

강체 모션의 유형:

1) 병진 운동 - 신체에 그려진 모든 직선은 자신과 평행하게 움직입니다.

2) 회전 운동 - 신체의 모든 지점이 원을 그리며 움직입니다.

Φ = Φ(티)

운동학의 주요 임무- 이는 알려진 가속도 a = a(t) 및 알려진 초기 조건 V 0 및 r 0 .

질문 번호 7

맥박 (이동량)는 신체의 기계적 운동 정도를 나타내는 벡터 물리량입니다. 고전 역학에서 물체의 운동량은 질량의 곱과 같습니다 중이 지점은 속도로 볼 때 V, 충격량의 방향은 속도 벡터의 방향과 일치합니다.

이론역학에서는 일반화된 충동일반화된 속도에 대한 시스템의 라그랑지안의 편도함수입니다.

시스템의 라그랑지안이 일부에 의존하지 않는 경우 일반화된 좌표, 그 다음으로 인해 라그랑주 방정식 .

자유 입자의 경우 라그랑주 함수의 형식은 다음과 같습니다.

폐쇄계의 라그랑지안이 공간에서의 위치로부터 독립하는 것은 다음과 같은 속성에서 비롯됩니다. 공간의 동질성: 잘 격리된 시스템의 경우 해당 시스템의 동작은 공간 내 어디에 배치하는지에 따라 달라지지 않습니다. 에 의해 뇌터의 정리이 균질성으로부터 일부 물리량이 보존됩니다. 이 양을 충격량(일반화되지 않은 일반)이라고 합니다.

고전역학에서는 완전하다. 충동재료 포인트 시스템은 재료 포인트 질량과 속도의 곱의 합과 동일한 벡터 수량이라고 합니다.

따라서 그 양을 한 물질점의 운동량이라고 합니다. 이는 입자 속도와 동일한 방향으로 향하는 벡터량입니다. 충격량의 국제단위계(SI) 단위는 다음과 같습니다. 킬로그램-미터/초(kg·m/s)

유한한 크기의 물체를 다루는 경우 운동량을 결정하려면 물체를 작은 부분으로 나누어야 하며, 이는 중요한 점으로 간주되어 합산될 수 있으며 결과적으로 다음과 같은 결과를 얻습니다.

외부 힘의 영향을 받지 않는(또는 보상되는) 시스템의 충격 저장됨제 시간에:

이 경우 운동량 보존은 뉴턴의 제2법칙과 제3법칙을 따릅니다. 시스템을 구성하는 각 중요한 점에 대해 뉴턴의 제2법칙을 작성하고 시스템을 구성하는 모든 중요한 점을 합함으로써 뉴턴의 제3법칙에 따라 평등을 얻습니다(* ).

상대론적 역학에서 상호작용하지 않는 물질 점 시스템의 3차원 운동량은 다음과 같습니다.

,

어디 나- 무게 나번째 재료 포인트.

상호작용하지 않는 재료 포인트의 폐쇄 시스템의 경우 이 값이 유지됩니다. 그러나 3차원 운동량은 기준계에 따라 달라지므로 상대론적으로 불변량이 아닙니다. 보다 의미 있는 양은 4차원 운동량이 될 것입니다. 이는 하나의 재료 지점에 대해 다음과 같이 정의됩니다.

실제로 입자의 질량, 운동량, 에너지 사이에는 다음과 같은 관계가 자주 사용됩니다.

원칙적으로 상호작용하지 않는 중요 포인트 시스템의 경우 해당 4개 순간이 합산됩니다. 그러나 상대론적 역학에서 입자가 상호작용하려면 계를 구성하는 입자의 운동량뿐만 아니라 입자 사이의 상호작용 장의 운동량도 고려해야 합니다. 따라서 상대론적 역학에서 훨씬 더 의미 있는 양은 보존 법칙을 완전히 만족하는 에너지-운동량 텐서입니다.

질문 #8

관성 모멘트- 물체의 질량이 병진 운동의 관성의 척도인 것과 마찬가지로 축을 중심으로 한 회전 운동의 물체 관성의 척도인 스칼라 물리량입니다. 신체의 질량 분포가 특징: 관성 모멘트는 기본 질량과 기본 질량의 거리의 제곱을 곱한 값의 합과 같습니다.

축방향 관성모멘트

일부 몸체의 축 관성 모멘트.

관성 모멘트 기계 시스템 고정 축에 대한 상대적인 양("축 관성 모멘트")은 다음과 같습니다. 자, 모든 대중의 곱의 합과 같습니다 N축까지의 거리를 제곱하여 시스템의 재료 점을 계산합니다.

,

• 나- 무게 나번째 포인트,
• 나는- 거리 나번째 점은 축을 가리킨다.

축 관성 모멘트몸 자물체의 질량이 병진 운동의 관성의 척도인 것과 마찬가지로 는 축을 중심으로 한 회전 운동의 물체 관성의 척도입니다.

,

• DM = ρ dV- 체적의 작은 요소의 질량 dV,
• ρ - 밀도,
• 아르 자형- 요소로부터의 거리 dV a축으로.

몸체가 균질하다면, 즉 밀도가 모든 곳에서 동일하다면

공식의 유도

DM관성 모멘트 디제이 나. 그 다음에

벽이 얇은 원통형(링, 후프)

공식의 유도

몸체의 관성 모멘트는 몸체를 구성하는 부분의 관성 모멘트의 합과 같습니다. 벽이 얇은 원통을 질량이 있는 요소로 나눕니다. DM관성 모멘트 디제이 나. 그 다음에

벽이 얇은 원통의 모든 요소는 회전축으로부터 동일한 거리에 있으므로 식 (1)은 다음과 같은 형식으로 변환됩니다.

슈타이너의 정리

관성 모멘트임의의 축에 대한 고체 몸체의 상대적인 크기는 몸체의 질량, 모양 및 크기뿐 아니라 이 축을 기준으로 한 몸체의 위치에 따라 달라집니다. 슈타이너의 정리(Huygens-Steiner theorem)에 따르면, 관성 모멘트몸 제이임의의 축에 상대적인 합계는 다음과 같습니다. 관성 모멘트이 몸 Jc고려 중인 축과 평행한 신체 질량 중심을 통과하는 축과 신체 질량의 곱에 대한 상대적인 값 중거리의 제곱당 디축 사이:

가 몸체의 질량 중심을 통과하는 축에 대한 몸체의 관성 모멘트라면, 그로부터 멀리 떨어진 평행축에 대한 관성 모멘트는 다음과 같습니다.

,

총 체질량은 어디에 있습니까?

예를 들어, 끝을 통과하는 축에 대한 막대의 관성 모멘트는 다음과 같습니다.

회전에너지

회전 운동의 운동 에너지-회전과 관련된 신체의 에너지.

몸체 회전 운동의 주요 운동학적 특성은 각속도(Ω)와 각가속도입니다. 회전 운동의 주요 동적 특성 - 회전축 z에 대한 각운동량:

Kz = 이즈ω

그리고 운동에너지

여기서 I z는 회전축에 대한 몸체의 관성 모멘트입니다.

관성 주축을 갖는 회전하는 분자를 고려할 때 유사한 예를 찾을 수 있습니다. 나는 1, 나는 2그리고 나 3. 회전에너지그러한 분자는 다음과 같은 표현으로 주어진다:

어디 와 1, 와 2, 그리고 와 3- 각속도의 주요 구성 요소.

일반적으로 각속도에 따른 회전 중 에너지는 다음 공식으로 구합니다.

, 어디 나- 관성 텐서.

질문 번호 9

충동의 순간 (각운동량, 각운동량, 궤도운동량, 각운동량)는 회전 운동량을 나타냅니다. 회전하는 질량의 양, 회전축을 기준으로 질량이 분포되는 방식, 회전 속도에 따라 달라지는 양입니다.

여기서 회전은 축을 중심으로 하는 규칙적인 회전뿐만 아니라 넓은 의미로 이해된다는 점에 유의해야 합니다. 예를 들어, 직선 운동운동선상에 있지 않은 임의의 가상점을 지나는 물체도 각운동량을 갖는다. 아마도 실제 회전 운동을 설명하는 데 있어서 가장 큰 역할은 각운동량일 것입니다. 그러나 이는 훨씬 더 광범위한 종류의 문제에 대해 매우 중요합니다(특히 문제에 중심 또는 축 대칭이 있는 경우, 그러나 이러한 경우에만 해당되는 것은 아닙니다).

각운동량 보존 법칙(각운동량 보존 법칙) - 닫힌 시스템의 모든 축에 대한 모든 각운동량의 벡터 합은 시스템 평형의 경우 일정하게 유지됩니다. 이에 따라, 시간에 대한 각운동량의 비미분에 대한 닫힌 시스템의 각운동량은 힘의 순간입니다.

따라서 시스템이 닫혀 있어야 한다는 요구 사항은 외부 힘의 주요(총) 모멘트가 0과 같아야 한다는 요구 사항으로 약화될 수 있습니다.

입자 시스템에 가해지는 힘 중 하나의 순간은 어디에 있습니까? (물론, 외부 힘이 전혀 없다면 이 요구 사항도 충족됩니다.)

수학적으로 각운동량 보존 법칙은 공간의 등방성, 즉 임의의 각도를 통한 회전에 대한 공간의 불변성에서 따릅니다. 임의의 무한한 각도로 회전하면 숫자가 있는 입자의 반경 벡터는 , 속도는 - 로 변경됩니다. 공간의 등방성으로 인해 시스템의 라그랑주 함수는 이러한 회전에 따라 변경되지 않습니다. 그렇기 때문에

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스케이터가 회전 각속도를 높이기 위해 회전축을 따라 스트레칭하는 이유는 무엇입니까?
로터가 회전하면 헬리콥터도 회전해야 합니까?

질문은 외부 힘이 신체에 작용하지 않거나 그 작용이 보상되어 신체의 한 부분이 한 방향으로 회전하기 시작하면 연료가 배출될 때와 마찬가지로 다른 부분도 다른 방향으로 회전해야 함을 시사합니다. 로켓은 로켓 자체가 반대 방향으로 움직입니다.

충동의 순간.

회전하는 디스크를 고려하면 몸체의 모든 입자가 동일한 속도로 움직이는 입자에 해당하기 때문에 디스크의 전체 운동량은 0이라는 것이 분명해집니다. 반대 방향(그림 6.9).

그러나 디스크는 움직이고 있으며 모든 입자의 회전 각속도는 동일합니다. 그러나 입자가 회전축에서 멀어질수록 운동량이 커진다는 것은 분명합니다. 결과적으로, 회전 운동의 경우 충격량과 유사한 또 다른 특성인 각운동량을 도입할 필요가 있습니다.

원을 그리며 움직이는 입자의 각운동량은 입자의 운동량과 회전축까지의 거리의 곱입니다(그림 6.10).

선형 속도와 각속도는 v = wr 관계식으로 관련됩니다.

고체 객체의 모든 점은 동일한 각속도로 고정된 회전축을 기준으로 이동합니다. 솔리드 바디는 재질 포인트의 집합으로 표현될 수 있습니다.

강체의 각운동량은 관성 모멘트와 회전 각속도의 곱과 같습니다.

각운동량은 벡터량이며, 공식 (6.3)에 따르면 각운동량은 각속도와 같은 방식으로 방향이 지정됩니다.

펄스 형태의 회전 운동 역학에 대한 기본 방정식입니다.

신체의 각가속도는 각속도의 변화를 이 변화가 발생한 기간으로 나눈 것과 같습니다. 이 표현을 회전 운동 역학의 기본 방정식으로 대체합니다. 따라서 I(Ω 2 - Ω 1) = MΔt, 또는 IΔΩ = MΔt입니다.

따라서,

ΔL = MΔt. (6.4)

각운동량의 변화는 물체나 시스템에 작용하는 힘의 전체 순간과 이러한 힘의 작용 지속 시간을 곱한 것과 같습니다.

각운동량 보존 법칙:

고정된 회전축을 갖는 물체 또는 물체 시스템에 작용하는 힘의 총 모멘트가 0이면 각운동량의 변화도 0입니다. 즉, 시스템의 각운동량은 일정하게 유지됩니다.

ΔL = 0, L = 상수.

시스템의 운동량 변화는 시스템에 작용하는 힘의 총 운동량과 같습니다.

회전하는 스케이터는 팔을 옆으로 벌리므로 관성 모멘트가 증가하여 회전 각속도가 감소합니다.

각운동량 보존 법칙은 "Zhukovsky 벤치 실험"이라고 불리는 다음 실험을 사용하여 입증할 수 있습니다. 중심을 통과하는 수직 회전축이 있는 벤치 위에 사람이 서 있습니다. 한 남자가 손에 아령을 쥐고 있습니다. 벤치를 회전시키려면 덤벨을 가슴 쪽으로 누르거나 팔을 내렸다가 올려 회전 속도를 변경할 수 있습니다. 팔을 벌리면 관성 모멘트가 증가하고 회전 각속도가 감소하고(그림 6.11, a), 팔을 ​​낮추면 관성 모멘트가 감소하고 벤치의 회전 각속도가 증가합니다(그림 6.11, a). 6.11, b).

사람은 가장자리를 따라 걸으면서 벤치를 회전시킬 수도 있습니다. 이 경우 총 각운동량은 0으로 유지되어야 하므로 벤치는 반대 방향으로 회전합니다.

자이로스코프라고 불리는 장치의 작동 원리는 각운동량 보존 법칙에 기초합니다. 자이로스코프의 주요 특성은 외부 힘이 회전축에 작용하지 않는 경우 회전축 방향을 보존하는 것입니다. 19세기에 자이로스코프는 선원들이 바다에서 방향을 잡는 데 사용되었습니다.

회전하는 강체의 운동 에너지.

회전하는 고체의 운동 에너지는 개별 입자의 운동 에너지의 합과 같습니다. 신체를 작은 요소로 나누어 보겠습니다. 각 요소는 중요한 요소로 간주될 수 있습니다. 그러면 신체의 운동 에너지는 신체가 구성되는 물질 지점의 운동 에너지의 합과 같습니다.

신체의 모든 지점의 회전 각속도는 동일하므로

우리가 이미 알고 있듯이 괄호 안의 값은 강체의 관성 모멘트입니다. 마지막으로, 고정된 회전축을 갖는 강체의 운동 에너지에 대한 공식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

일반적인 강체 운동의 경우 회전축이 자유로울 때 운동 에너지는 병진 운동 에너지와 회전 운동 에너지의 합과 같습니다. 따라서 질량이 림에 집중되어 도로를 따라 일정한 속도로 굴러가는 바퀴의 운동 에너지는 다음과 같습니다.

이 표는 재료 점의 병진 운동 역학에 대한 공식을 강체의 회전 운동에 대한 유사한 공식과 비교합니다.

작업

1. 바퀴의 질량이 열차 질량의 15%인 경우 유효 질량이 4000톤 무게의 열차의 중력 질량보다 몇 배나 큰지 구하십시오. 바퀴를 직경 1.02m의 디스크라고 생각하면 바퀴의 직경이 절반으로 커지면 답이 어떻게 변합니까?

2. 무게가 1200kg인 바퀴 쌍이 경사가 0.08인 언덕을 굴러 내려가는 가속도를 결정합니다. 바퀴를 디스크로 간주하십시오. 구름 저항 계수 0.004. 바퀴와 레일 사이의 접착력을 결정합니다.

3. 무게가 1400kg인 바퀴 쌍이 경사가 0.05인 언덕을 굴러가는 가속도를 결정합니다. 저항계수 0.002. 바퀴가 미끄러지지 않으려면 접착계수는 얼마가 되어야 합니까? 바퀴를 디스크로 간주하십시오.

4. 무게가 1200kg이고 직경이 1.02m인 8개의 바퀴가 있는 경우 무게가 40톤인 자동차가 경사도가 0.020인 언덕을 굴러 내려가는 가속도를 결정하고 바퀴가 레일에 접착하는 힘을 결정합니다. 저항계수 0.003.

5. 4000톤 무게의 열차가 0.3m/s 2 의 가속도로 제동할 때 타이어에 가해지는 브레이크 패드의 압력을 구하십시오. 한 쌍의 바퀴의 관성 모멘트는 600 kg m 2 이고, 축 개수는 400이며, 패드의 미끄럼 마찰 계수는 0.18, 구름 저항 계수는 0.004입니다.

6. 30m 트랙의 속도가 2m/s에서 1.5m/s로 감소한 경우 험프의 제동 플랫폼에서 무게가 60톤인 4축 자동차에 작용하는 제동력을 결정합니다. 한 쌍의 바퀴의 관성 모멘트는 500kgm 2입니다.

7. 기관차의 속도계를 보면 열차 속도가 1분 만에 10m/s에서 60m/s로 증가한 것으로 나타났습니다. 구동 휠 쌍이 미끄러졌을 가능성이 있습니다. 전기 모터의 전기자에 작용하는 힘의 순간을 결정합니다. 휠셋의 관성 모멘트는 600kg m 2이고 전기자는 120 kg m 2입니다. 기어비 기어 변속기 4.2. 레일에 가해지는 압력은 200kN이고, 레일에 있는 바퀴의 미끄럼 마찰 계수는 0.10입니다.

11. 회전의 운동에너지

동정

회전운동의 운동에너지 공식을 유도해보자. 몸을 각속도로 회전시키자 ω 고정 축을 기준으로 합니다. 신체의 모든 작은 입자는 다음과 같은 속도로 원을 그리며 병진 운동을 합니다. 나는 –회전축까지의 거리, 궤도 반경. 입자 운동 에너지 대중 나동일 . 입자 시스템의 총 운동 에너지는 운동 에너지의 합과 같습니다. 신체 입자의 운동 에너지에 대한 공식을 요약하고 모든 입자에 대해 동일한 각속도의 제곱의 절반을 합계 기호로 꺼냅니다. 회전축까지의 거리의 제곱에 의한 입자 질량의 곱의 합은 회전축에 대한 물체의 관성 모멘트입니다. . 그래서, 고정 축에 대해 회전하는 몸체의 운동 에너지는 축에 대한 몸체의 관성 모멘트와 회전 각속도의 제곱의 곱의 절반과 같습니다.:

회전체의 도움으로 기계적 에너지를 저장할 수 있습니다. 이러한 몸체를 플라이휠이라고 합니다. 일반적으로 이들은 혁명의 몸입니다. 도자기 바퀴에 플라이휠을 사용하는 것은 고대부터 알려져 왔습니다. 내연 기관에서는 파워 스트로크 중에 피스톤이 플라이휠에 기계적 에너지를 전달하고 플라이휠은 이후 3번의 스트로크 동안 엔진 샤프트를 회전시키는 작업을 수행합니다. 다이와 프레스에서 플라이휠은 상대적으로 저전력 전기 모터로 구동되며 거의 100분 동안 기계적 에너지를 축적합니다. 완전 회전충격이 가해지는 짧은 순간에 스탬핑 작업으로 넘어갑니다.

자동차, 버스 등 차량을 운전하기 위해 회전하는 플라이휠을 사용하려는 시도가 많이 있습니다. 마호모빌, 자이로모빌이라고 합니다. 그러한 실험 기계가 많이 만들어졌습니다. 후속 가속 중에 축적된 에너지를 사용하기 위해 전기 열차의 제동 중에 에너지를 축적하기 위해 플라이휠을 사용하는 것이 유망할 것입니다. 플라이휠 에너지 저장 장치는 뉴욕시 지하철 열차에 사용되는 것으로 알려져 있습니다.

먼저 고정 축 OZ를 중심으로 각속도로 회전하는 강체를 고려해 보겠습니다. ω (그림 5.6). 몸을 기본 덩어리로 분해합시다. 기본 질량의 선형 속도는 와 같습니다. 여기서 는 회전축으로부터의 거리입니다. 운동 에너지 나- 기본 질량은 다음과 같습니다.

.

몸 전체의 운동 에너지는 각 부분의 운동 에너지로 구성됩니다.

.

이 관계식의 오른쪽 합이 회전축에 대한 물체의 관성 모멘트를 나타낸다는 점을 고려하면, 최종적으로 다음을 얻습니다.

. (5.30)

회전체의 운동 에너지에 대한 공식(5.30)은 몸체의 병진 운동의 운동 에너지에 대한 해당 공식과 유사합니다. 공식 대체를 통해 후자로부터 얻습니다. .

일반적으로 강체의 운동은 물체의 질량 중심 속도와 동일한 속도로 병진하는 운동과 강체의 중심을 통과하는 순간 축 주위의 각속도로 회전하는 운동의 합으로 표현될 수 있습니다. 대량의. 이 경우 신체의 운동 에너지 표현은 다음과 같습니다.

.

이제 강체가 회전하는 동안 외부 힘의 순간에 의해 수행되는 작업을 찾아보겠습니다. 시간에 따른 외부 힘의 초등 작업 dt신체의 운동에너지 변화와 같을 것이다.

회전 운동의 운동 에너지로부터 미분을 취하면 그 증가분을 찾을 수 있습니다.

.

회전 운동의 기본 역학 방정식에 따라

이러한 관계를 고려하여 기본 작업의 표현을 다음 형식으로 줄입니다.

회전축 OZ 방향에 대한 결과적인 외력 모멘트의 투영은 고려된 시간 동안 신체의 회전 각도입니다.

(5.31)을 통합하여 회전체에 작용하는 외부 힘의 작용에 대한 공식을 얻습니다.

이면 공식이 단순화됩니다.

따라서 고정 축을 기준으로 강체를 회전하는 동안 외력의 작용은 이러한 힘의 모멘트를 이 축에 투영하는 작용에 의해 결정됩니다.

자이로스코프

자이로스코프는 빠르게 회전하는 대칭 몸체로, 회전축이 공간에서 방향을 바꿀 수 있습니다. 자이로스코프의 축이 공간에서 자유롭게 회전할 수 있도록 자이로스코프는 소위 짐벌 서스펜션에 배치됩니다(그림 5.13). 자이로스코프 플라이휠은 무게 중심을 통과하는 축 C 1 C 2를 중심으로 내부 링에서 회전합니다. 내부 링은 C 1 C 2에 수직인 축 B 1 B 2를 중심으로 외부 링에서 회전할 수 있습니다. 마지막으로 외부 레이스는 축 C 1 C 2 및 B 1 B 2에 수직인 축 A 1 A 2를 중심으로 스트럿 베어링에서 자유롭게 회전할 수 있습니다. 세 축은 모두 서스펜션의 중심 또는 자이로스코프의 받침점이라고 하는 고정된 점 O에서 교차합니다. 짐벌의 자이로스코프는 3개의 자유도를 가지므로 짐벌 중심을 중심으로 회전할 수 있습니다. 자이로스코프 서스펜션의 중심이 무게 중심과 일치하면 서스펜션 중심을 기준으로 자이로스코프의 모든 부분의 결과적인 중력 모멘트는 0이 됩니다. 이러한 자이로스코프를 균형 잡힌 자이로스코프라고 합니다.

이제 가장 생각해 보자. 중요한 속성다양한 분야에서 폭넓게 응용되고 있는 자이로스코프.

1) 안정성.

균형 잡힌 자이로스코프가 회전할 때 회전축은 실험실 기준 시스템을 기준으로 방향이 변하지 않습니다. 이는 마찰력의 순간과 동일한 모든 외부 힘의 순간이 매우 작으며 실제로 자이로스코프의 각운동량에 변화를 일으키지 않는다는 사실 때문입니다.

각운동량은 자이로스코프의 회전축을 따라 향하므로 방향은 변하지 않고 유지되어야 합니다.

외력이 짧은 시간 동안 작용하면 각운동량의 증가를 결정하는 적분은 작을 것입니다

. (5.34)

이는 큰 힘의 단기적인 영향 하에서도 균형 잡힌 자이로스코프의 움직임이 거의 변하지 않는다는 것을 의미합니다. 자이로스코프는 각운동량의 크기와 방향을 변경하려는 모든 시도에 저항하는 것으로 보입니다. 이는 자이로스코프가 빠르게 회전한 후 움직임이 획득하는 놀라운 안정성 때문입니다. 자이로스코프의 이러한 속성은 항공기, 선박, 미사일 및 기타 장치의 움직임을 자동으로 제어하는 ​​데 널리 사용됩니다.

방향이 일정한 외력의 순간에 의해 자이로스코프가 오랫동안 작용하면 자이로스코프의 축은 궁극적으로 외력의 순간 방향으로 설정됩니다. 이 현상은 자이로컴퍼스에 사용됩니다. 이 장치는 수평면에서 축이 자유롭게 회전할 수 있는 자이로스코프입니다. 때문에 일일 순환지구와 원심력의 작용으로 자이로스코프의 축은 과 사이의 각도가 최소화되도록 회전합니다(그림 5.14). 이는 자오선 평면의 자이로스코프 축 위치에 해당합니다.

2). 자이로스코프 효과.

한 쌍의 힘이 회전하는 자이로스코프에 적용되어 회전축에 수직인 축을 중심으로 회전하려는 경향이 있으면 처음 두 축에 수직인 세 번째 축을 중심으로 회전하기 시작합니다(그림 5.15). 자이로스코프의 이러한 비정상적인 동작을 자이로스코프 효과라고 합니다. 이는 한 쌍의 힘의 모멘트가 O 1 O 1 축을 따라 향하고 시간에 따른 벡터의 크기 변화가 동일한 방향을 갖는다는 사실로 설명됩니다. 결과적으로 새 벡터는 O 2 O 2 축을 기준으로 회전합니다. 따라서 언뜻 보기에 부자연스러운 자이로스코프의 동작은 회전 운동의 역학 법칙과 완전히 일치합니다.

삼). 자이로스코프의 세차 운동.

자이로스코프의 세차 운동은 축이 원뿔 모양으로 움직이는 것입니다. 이는 크기가 일정하게 유지되는 외력의 순간이 자이로스코프 축과 동시에 회전하여 항상 직각을 이루는 경우에 발생합니다. 세차운동을 보여주기 위해 확장된 축이 빠르게 회전하도록 설정된 자전거 바퀴를 사용할 수 있습니다(그림 5.16).

바퀴가 축의 확장된 끝 부분에 매달려 있으면 축은 자체 무게의 영향을 받아 수직 축을 중심으로 세차운동을 시작합니다. 빠르게 회전하는 꼭대기는 세차운동을 보여주는 역할도 할 수 있습니다.

자이로스코프가 세차운동을 하는 이유를 알아봅시다. 특정 점 O를 중심으로 축이 자유롭게 회전할 수 있는 불균형 자이로스코프를 생각해 보겠습니다(그림 5.16). 자이로스코프에 가해지는 중력의 모멘트는 크기가 동일합니다.

는 자이로스코프의 질량이고, 는 점 O에서 자이로스코프의 질량 중심까지의 거리이며, 는 자이로스코프 축과 수직선이 이루는 각도입니다. 벡터는 자이로스코프의 축을 통과하는 수직면에 수직으로 향합니다.

이 순간의 영향으로 자이로스코프의 각운동량(원점은 O 지점에 있음)은 시간 증가를 받고 자이로스코프 축을 통과하는 수직면은 각도만큼 회전합니다. 벡터는 항상 에 수직이므로 크기는 변하지 않고 방향만 변합니다. 그러나 얼마 후 상호 합의벡터이며 초기 순간과 동일합니다. 결과적으로 자이로스코프 축은 수직을 중심으로 계속 회전하여 원뿔을 묘사합니다. 이 움직임을 세차라고합니다.

세차운동의 각속도를 결정해보자. 그림 5.16에 따르면 원뿔 축과 자이로스코프 축을 통과하는 평면의 회전 각도는 다음과 같습니다.

자이로스코프의 각운동량은 어디에 있고, 시간에 따른 증가량은 어디입니까?

으로 나누어 , 주목된 관계와 변환을 고려하여 세차 각속도를 얻습니다.

. (5.35)

기술에 사용되는 자이로스코프의 경우 세차 각속도는 자이로스코프의 회전 속도보다 수백만 배 더 낮습니다.

결론적으로 전자의 궤도 운동으로 인해 세차 현상이 원자에서도 관찰된다는 점에 주목합니다.

역학 법칙의 적용 예

회전 운동 중

1. Zhukovsky 벤치를 사용하여 구현할 수 있는 각운동량 보존 법칙에 대한 몇 가지 예를 고려해 보겠습니다. 가장 간단한 경우, Zhukovsky 벤치는 볼 베어링의 수직 축을 중심으로 자유롭게 회전할 수 있는 디스크 모양의 플랫폼(의자)입니다(그림 5.17). 시위자는 벤치에 앉거나 서서 회전을 시작합니다. 베어링 사용으로 인한 마찰력은 매우 작기 때문에 벤치와 시연자로 구성된 시스템의 회전축에 대한 각운동량은 시스템을 자체 장치에 그대로 놔두면 시간이 지나도 변하지 않습니다. . 시위자가 손에 무거운 덤벨을 들고 팔을 옆으로 벌리면 시스템의 관성 모멘트가 증가하므로 각운동량이 변하지 않도록 회전 각속도가 감소해야 합니다.

각운동량 보존 법칙에 따라 이 경우에 대한 방정식을 만듭니다.

는 사람과 벤치의 관성 모멘트이고, 는 첫 번째 위치와 두 번째 위치에 있는 아령의 관성 모멘트이며, 는 시스템의 각속도입니다.

덤벨을 옆으로 들어 올릴 때 시스템의 회전 각속도는 다음과 같습니다.

.

사람이 덤벨을 움직일 때 한 일은 시스템의 운동 에너지 변화를 통해 결정될 수 있습니다.

2. Zhukovsky 벤치를 사용하여 또 다른 실험을 해보자. 시연자는 벤치에 앉거나 서서 축이 수직으로 향하는 빠르게 회전하는 바퀴를 받습니다(그림 5.18). 그 다음 시연자는 바퀴를 180 0 돌립니다. 이 경우 바퀴의 각운동량 변화는 모두 벤치와 시연자에게 전달됩니다. 결과적으로 벤치는 시연자와 함께 각운동량 보존 법칙에 따라 결정된 각속도로 회전하기 시작합니다.

초기 상태에서 시스템의 각운동량은 바퀴의 각운동량에 의해서만 결정되며 다음과 같습니다.

바퀴의 관성 모멘트는 어디에 있고 회전의 각속도는 어디입니까?

바퀴를 180° 각도로 돌린 후 시스템의 각운동량은 사람과 벤치의 각운동량과 바퀴의 각운동량의 합에 의해 결정됩니다. 바퀴의 각운동량 벡터가 반대 방향으로 바뀌고 수직 축에 대한 투영이 음수가 되었다는 사실을 고려하면 다음을 얻습니다.

,

는 "사람-플랫폼" 시스템의 관성 모멘트이고 는 사람과 함께 벤치의 회전 각속도입니다.

각운동량 보존의 법칙에 따르면

그리고 .

결과적으로 우리는 벤치의 회전 속도를 찾습니다.

3. 얇은 덩어리의 막대 중그리고 길이 엘막대의 중앙을 통과하는 수직축을 중심으로 수평면에서 각속도 Ω=10 s -1로 회전합니다. 동일한 평면에서 계속 회전하면 막대가 이동하여 이제 회전축이 막대의 끝을 통과합니다. 두 번째 경우의 각속도를 구합니다.

이 문제에서는 회전축에 대한 막대의 질량 분포가 변하기 때문에 막대의 관성 모멘트도 변합니다. 고립계의 각운동량 보존 법칙에 따르면,

막대의 중앙을 통과하는 축에 대한 막대의 관성 모멘트는 다음과 같습니다. 끝을 통과하는 축에 대한 막대의 관성 모멘트이며 Steiner의 정리에 의해 발견됩니다.

이러한 표현을 각운동량 보존 법칙으로 대체하면 다음을 얻습니다.

,

.

4. 로드 길이 엘=1.5m 및 질량 m 1=10kg이 상단에 힌지 방식으로 매달려 있습니다. 대량의 총알 m 2=10g, =500m/s의 속도로 수평으로 날아가다가 막대에 걸리게 됩니다. 충격 후 막대가 어떤 각도로 편향됩니까?

그림에서 상상해 보자. 5.19. 상호 작용하는 신체 "막대-총알" 시스템. 충격 순간의 외력(중력, 축 반작용)의 모멘트는 0이므로 각운동량 보존 법칙을 사용할 수 있습니다.

충돌 전 시스템의 각운동량은 서스펜션 지점에 대한 총알의 각운동량과 같습니다.

비탄성 충격 후 시스템의 각운동량은 공식에 의해 결정됩니다

,

서스펜션 지점에 대한 막대의 관성 모멘트는 어디에 있습니까? 총알의 관성 모멘트는 충격 직후 총알이 있는 막대의 각속도입니다.

대체 후 결과 방정식을 풀면 다음을 찾을 수 있습니다.

.

이제 보존법칙을 사용해 보자. 기계적 에너지. 총알이 막대에 맞은 후 막대의 운동 에너지를 상승의 가장 높은 지점에서의 위치 에너지와 동일시합시다.

,

이 시스템의 질량 중심의 높이는 어디입니까?

필요한 변환을 수행한 후 우리는 다음을 얻습니다.

막대의 편향 각도는 비율과 관련이 있습니다.

.

계산을 수행하면 =0.1p=18 0 을 얻습니다.

5. 다음을 가정하여 Atwood 기계에서 몸체의 가속도와 실의 장력을 결정합니다(그림 5.20). 회전축에 대한 블록의 관성 모멘트는 다음과 같습니다. 나, 블록 반경 아르 자형. 실의 질량을 무시하십시오.

하중과 블록에 작용하는 모든 힘을 배열하고 이에 대한 동역학 방정식을 작성해 봅시다.

블록을 따라 나사산이 미끄러지지 않으면 선형 가속도와 각가속도는 다음 관계에 의해 서로 관련됩니다.

이 방정식을 풀면, 우리는 다음을 얻습니다.

그런 다음 T1과 T2를 찾습니다.

6. Oberbeck 십자가 도르래(그림 5.21)에 나사산이 부착되어 있으며, 이 도르래에서 하중이 측정됩니다. 중= 0.5kg. 짐이 높은 곳에서 떨어지는 데 걸리는 시간을 구하세요. 시간=하단 위치까지 1m. 풀리 반경 아르 자형=3 cm 무게를 재는 4개의 무게 중=원거리에서 각각 250g 아르 자형= 축에서 30cm. 크로스와 풀리 자체의 관성 모멘트는 하중의 관성 모멘트와 비교하여 무시됩니다.

1. 몸의 회전을 고려하십시오. 움직이지 않는축 Z. 몸 전체를 일련의 기본 질량 m으로 나누겠습니다. 나. 기본 질량 m의 선형 속도 나- v 나는 = w R 나, 여기서 R 나– 질량 거리 m 나회전축에서. 그러므로 운동에너지는 나번째 기본 질량은 다음과 같습니다 . 신체의 총 운동 에너지: , 여기에 회전축에 대한 신체의 관성 모멘트가 있습니다.

따라서 고정 축을 중심으로 회전하는 몸체의 운동 에너지는 다음과 같습니다.

2. 이제 몸을 맡겨보자 회전하다일부 축 및 자체를 기준으로 축 이동점차적으로 자신과 평행을 유지합니다.

예: 미끄러짐 없이 구르는 공은 회전 운동을 하고, 회전축(점 "O")이 통과하는 무게 중심은 병진 이동합니다(그림 4.17).

속도 나- 기본 신체 질량은 다음과 같습니다. , 신체의 특정 지점 "O"의 속도는 어디에 있습니까? – "O" 지점을 기준으로 기본 질량의 위치를 ​​결정하는 반경 벡터입니다.

기본 질량의 운동 에너지는 다음과 같습니다.

참고: 벡터 곱은 벡터와 방향이 일치하며 계수는 다음과 같습니다(그림 4.18).

이 의견을 고려하여 다음과 같이 쓸 수 있습니다. , 회전축에서 질량까지의 거리는 어디에 있습니까? 두 번째 항에서 우리는 요인들을 주기적으로 재배열하고 그 후에 다음을 얻습니다.

신체의 총 운동 에너지를 얻기 위해 우리는 이 식을 다음과 같이 합산합니다. 초등 대중, 합계의 부호를 넘어서는 상수 요소를 제거합니다. 우리는 얻는다

기본 질량의 합은 몸체의 질량 "m"입니다. 이 표현은 (관성 중심의 정의에 따라) 신체 관성 중심의 반경 벡터에 의한 신체 질량의 곱과 같습니다. 마지막으로 점 "O"를 통과하는 축에 대한 몸체의 관성 모멘트입니다. 그러므로 우리는 쓸 수 있다

.

몸체 "C"의 관성 중심을 점 "O"로 취하면 반지름 벡터는 0이 되고 두 번째 항은 사라집니다. 그런 다음 관성 중심의 속도와 점 "C"를 통과하는 축에 대한 몸체의 관성 모멘트를 통해 다음을 얻습니다.

(4.6)

따라서 평면 운동에서 물체의 운동 에너지는 관성 중심의 속도와 동일한 속도에서의 병진 운동 에너지와 물체의 관성 중심을 통과하는 축 주위의 회전 에너지로 구성됩니다.

강체의 회전 운동 중 외력의 작용.

몸체가 고정된 Z축을 중심으로 회전할 때 힘이 한 일을 찾아보겠습니다.

내부 힘과 외부 힘이 질량에 작용한다고 가정합니다(결과적인 힘은 회전축에 수직인 평면에 있습니다)(그림 4.19). 이러한 힘은 시간에 맞춰 수행됩니다. dt직업:

에서 실시한 혼합 작품벡터 요소의 순환 순열을 통해 다음을 찾을 수 있습니다.

여기서 는 각각 "O" 지점에 대한 내부 힘과 외부 힘의 모멘트입니다.

모든 기본 덩어리를 합산하면 신체에 제때에 이루어지는 기본 작업을 얻을 수 있습니다. dt:

내부 힘의 순간의 합은 0입니다. 그런 다음 를 통해 외부 힘의 전체 순간을 표시하면 다음과 같은 표현에 도달합니다.

.

두 벡터의 스칼라 곱은 다음을 고려하여 벡터 중 하나의 모듈러스에 두 번째 벡터를 첫 번째 방향으로 투영한 값을 곱한 것과 동일한 스칼라로 알려져 있습니다. Z 축이 일치함), 우리는

,

하지만 승 dt=디 j, 즉 시간에 따라 신체가 회전하는 각도 dt. 그렇기 때문에

.

작업의 부호는 M z의 부호에 따라 달라집니다. 벡터 투영의 부호에서 벡터 방향으로.

따라서 물체가 회전할 때 내부 힘은 일을 하지 않으며 외부 힘의 일은 다음 공식에 의해 결정됩니다. .

유한한 시간 동안 이루어진 일을 적분으로 구함

.

결과적인 외부 힘의 순간을 방향으로 투영하는 것이 일정하게 유지되면 적분 기호에서 꺼낼 수 있습니다.

, 즉. .

저것들. 물체가 회전하는 동안 외력이 한 일은 회전 방향과 각도에 외력의 모멘트를 투영한 것과 같습니다.

반면, 물체에 작용하는 외력의 일은 물체의 운동 에너지를 증가시키게 됩니다(또는 회전하는 물체의 운동 에너지의 변화와 같습니다). 이것을 보여드리겠습니다:

;

따라서,

. (4.7)

스스로:

탄성력;

후크의 법칙.

7강

유체 역학

전류 라인 및 튜브.

유체역학은 액체의 움직임을 연구하지만 그 법칙은 기체의 움직임에도 적용됩니다. 정지된 유체 흐름에서 공간의 각 지점에서 입자의 속도는 시간과 무관한 양이며 좌표의 함수입니다. 정상 흐름에서 유체 입자의 궤적은 유선형을 형성합니다. 전류 라인의 조합은 전류 튜브를 형성합니다(그림 5.1). 유체가 비압축성이라고 가정하면 섹션을 통해 흐르는 유체의 양이 에스 1과 에스 2도 마찬가지일 것이다. 1초 안에 액체의 양이 이 섹션을 통과합니다.

, (5.1)

섹션의 유체 속도는 어디에 있고 입니까? 에스 1과 에스 2 , 벡터 및 는 다음과 같이 정의됩니다. 여기서 및 는 섹션의 법선입니다. 에스 1과 에스 2. 방정식 (5.1)은 제트 연속 방정식이라고 불린다. 따라서 유체 속도는 현재 튜브의 단면적에 반비례합니다.

베르누이 방정식.

우리는 이상적인 비압축성 유체를 고려할 것입니다. 내부마찰(점도)가 없습니다. 단면이 있는 정지 흐르는 액체(그림 5.2)에서 얇은 전류 튜브를 선택해 보겠습니다. 에스 1그리고 에스 2, 유선에 수직. 단면에서 1 단기간에 티입자는 거리를 이동합니다 내가 1, 그리고 섹션에서 2 - 멀리서 내가 2. 시간의 두 섹션을 통해 티동일한 양의 액체가 통과합니다. V= V 1 = 뷔 2많은 양의 액체를 옮기고 m=rV, 어디 아르 자형- 액체 밀도. 일반적으로 단면 사이의 유동관 내 전체 유체의 기계적 에너지 변화 에스 1그리고 에스 2그 중에 일어난 일 티, 부피 에너지를 변경하여 대체 가능 V 1부에서 2부로 넘어가면서 발생한 일입니다. 이러한 움직임으로 인해 이 볼륨의 운동 에너지와 위치 에너지가 변경되고 에너지의 총 변화가 발생합니다.

, (5.2)

여기서 v 1 그리고 v 2 - 단면의 유체 입자 속도 에스 1그리고 에스 2각기; g- 중력 가속도; 시간 1그리고 시간 2- 섹션 중심의 높이.

안에 이상적인 액체마찰 손실이 없으므로 에너지 이득은 다음과 같습니다. 드할당된 부피에 압력이 가한 일과 같아야 합니다. 마찰력이 없을 때 이 작업은 다음과 같습니다.

등식 (5.2)와 (5.3)의 우변을 동일시하고 동일한 지수를 가진 항을 등식의 한쪽으로 옮기면 다음을 얻습니다.

. (5.4)

튜브 섹션 에스 1그리고 에스 2임의로 취한 것이므로 현재 튜브의 어느 섹션에서나 표현이 유효하다고 주장할 수 있습니다.

. (5.5)

방정식 (5.5)는 베르누이 방정식이라고 불린다. 수평 유선형의 경우 시간 = const평등(5.4)은 다음과 같은 형식을 취합니다.

아르 자형 /2 + 피 1 = r /2 + p2 , (5.6)

저것들. 속도가 더 빠른 지점에서는 압력이 더 적습니다.

내부 마찰력.

실제 액체는 점도를 특징으로 하며, 이는 액체와 기체의 움직임이 원인이 아닌 경우 자발적으로 중단된다는 사실에서 나타납니다. 고정된 표면 위에 액체 층이 있고 그 위에 표면이 있는 판이 의 속도로 움직이는 실험을 생각해 보겠습니다. 에스(그림 5.3). 경험에 따르면 플레이트를 일정한 속도로 움직이려면 힘을 가해 플레이트에 작용해야 합니다. 플레이트는 가속도를 받지 않기 때문에 이 힘의 작용이 크기가 같고 방향이 반대인 다른 힘, 즉 마찰력에 의해 균형을 이룬다는 것을 의미합니다. . 뉴턴은 마찰력이 있음을 보여주었다.

, (5.7)

어디 디- 액체 층의 두께, h - 액체의 점도 계수 또는 마찰 계수, 마이너스 기호는 벡터의 다양한 방향을 고려합니다. F tr그리고 V영형. 층의 여러 위치에서 액체 입자의 속도를 조사하면 선형 법칙에 따라 변화하는 것으로 나타났습니다(그림 5.3).

v(z) = = (v 0 /d)·z.

이 평등을 미분하면, ​​우리는 다음을 얻습니다. dv/dz= V 0 /디. 이를 염두에 두고

공식 (5.7)은 다음과 같은 형식을 취합니다.

F tr=- h(dv/dz)S , (5.8)

어디 시간- 동적 점도 계수. 크기 dv/dz속도 구배라고 부른다. 축 방향으로 속도가 얼마나 빨리 변하는지 보여줍니다. 지. ~에 dv/dz= const 속도 구배는 속도 변화와 수치적으로 동일합니다. V그것이 변할 때 지유닛 당. 공식 (5.8)에 숫자를 넣어보자. dv/dz =-1 및 에스= 1, 우리는 얻는다 시간 = 에프. 이는 암시한다 물리적 의미 h: 점도 계수는 1과 동일한 속도 구배를 갖는 단위 면적의 액체 층에 작용하는 힘과 수치적으로 동일합니다. 점도의 SI 단위는 파스칼초(Pa·s로 표시)라고 합니다. CGS 시스템에서 점도 단위는 1 포이즈(P)이며 1 Pa s = 10P입니다.