회전 운동의 에너지. 회전 운동 중 운동 에너지와 일 회전 운동의 운동 에너지

1. 몸의 회전을 고려 움직이지 않는축 Z. 전신을 기본 질량 세트로 나눕니다 m 나. 기본 질량 m의 선속도 나– v 나는 = w R 나, 여기서 R 나– 질량 m의 거리 나회전축에서. 따라서 운동에너지는 나- 번째 기본 질량은 다음과 같습니다. . 신체의 총 운동 에너지: , 다음은 회전축에 대한 몸체의 관성 모멘트입니다.

따라서 고정 축을 중심으로 회전하는 물체의 운동 에너지는 다음과 같습니다.

2. 이제 몸을 맡겨라 회전하다어떤 축에 대해, 그리고 축 이동점진적으로 자신과 평행을 유지합니다.

예: 슬라이딩 없이 구르는 볼은 회전 운동을 하고 회전 축(점 "O")이 통과하는 무게 중심이 앞으로 이동합니다(그림 4.17).

속도 나- 신체의 기본 질량은 다음과 같다. , 신체의 특정 지점 "O"의 속도는 어디입니까? – 점 "O"와 관련된 기본 질량의 위치를 ​​결정하는 반경 벡터.

기본 질량의 운동 에너지는 다음과 같습니다.

참고: 벡터 곱은 벡터와 방향이 일치하고 계수는 다음과 같습니다(그림 4.18).

이 언급을 고려하여 다음과 같이 쓸 수 있습니다. , 여기서 회전축에서 질량의 거리입니다. 두 번째 항에서, 우리는 요인의 순환 순열을 만들고, 그 후에 우리는

신체의 총 운동 에너지를 얻기 위해 우리는 모든 기본 질량에 대해 이 식을 합산하고 합 기호에서 상수 요소를 제거합니다. 얻다

기본 질량의 합은 몸체 "m"의 질량입니다. 식은 본체 질량과 본체 관성 중심의 반경 벡터의 곱과 같습니다(관성 중심 정의에 따름). 마지막으로 - 점 "O"를 통과하는 축에 대한 몸체의 관성 모멘트. 그러므로 쓸 수 있는

.

몸체 "C"의 관성 중심을 점 "O"로 하면 반경 벡터는 0이 되고 두 번째 항은 사라집니다. 그런 다음 관성 중심의 속도를 통해 표시하고 점 "C"를 통과하는 축에 대한 몸체의 관성 모멘트를 통해 다음을 얻습니다.

(4.6)

따라서 평면 운동 시 물체의 운동 에너지는 관성 중심의 속도와 같은 속도로 병진 운동하는 에너지와 물체의 관성 중심을 지나는 축을 중심으로 하는 회전 에너지로 구성됩니다.

강체의 회전 운동 중 외력의 작용.

고정된 Z축을 중심으로 몸체가 회전할 때 힘이 한 일을 찾으십시오.

내부 힘과 외부 힘이 질량에 작용한다고 가정합니다(결과적인 힘은 회전축에 수직인 평면에 있음)(그림 4.19). 이 힘은 제 시간에 dt직업:

에 구현한 혼합 작품벡터 요소의 순환 순열, 우리는 다음을 찾습니다.

어디서 , - 각각 점 "O"에 대한 내부 및 외부 힘의 모멘트.

모든 기본 질량을 합하면 시간 동안 신체에 수행되는 기본 작업을 얻습니다. dt:

내부 힘의 모멘트의 합은 0과 같습니다. 그런 다음 를 통해 외부 힘의 총 모멘트를 나타내면 다음 식에 도달합니다.

.

두 벡터의 스칼라 곱은 다음을 고려하여 곱한 벡터 중 하나의 계수와 첫 번째 방향에 대한 두 번째 벡터의 투영의 곱과 동일한 스칼라입니다. Z 축과 일치), 우리는

,

하지만 w dt=디 j, 즉 몸이 시간에 따라 회전하는 각도 dt. 그렇기 때문에

.

작품의 부호는 M z 의 부호에 따라 달라집니다. 벡터의 방향에 대한 벡터 투영의 부호에서 .

따라서 몸체가 회전할 때 내력은 일하지 않고 외력의 일은 공식에 의해 결정됩니다. .

유한한 시간 간격 동안 수행된 작업은 다음을 적분하여 구합니다.

.

방향에 대한 외력의 결과 모멘트의 투영이 일정하게 유지되면 적분 기호에서 벗어날 수 있습니다.

, 즉. .

저것들. 물체의 회전 운동 중 외력의 일은 외력 모멘트의 투영과 회전 방향 및 각도의 곱과 같습니다.

한편, 몸체에 작용하는 외력의 일은 몸체의 운동에너지 증가분(또는 회전체의 운동에너지 변화량과 동일)으로 간다. 그것을 보여줍시다:

;

따라서,

. (4.7)

스스로:

탄성력;

훅의 법칙.

강의 7

유체 역학

전류의 라인과 튜브.

유체역학은 액체의 운동을 연구하지만 그 법칙은 기체의 운동에도 적용됩니다. 정지된 유체 흐름에서 공간의 각 지점에서 입자의 속도는 시간 및 좌표의 함수와 무관한 양입니다. 정지 흐름에서 유체 입자의 궤적은 유선을 형성합니다. 유선형 세트는 스트림 튜브를 형성합니다(그림 5.1). 우리는 액체가 비압축성이라고 가정하고 섹션을 통해 흐르는 액체의 부피 에스 1 및 에스 2도 마찬가지일 것이다. 1초에 다음과 같은 유체의 부피

, (5.1)

여기서 및 는 단면의 유체 속도 에스 1 및 에스 2, 벡터 및 는 및 로 정의되며, 여기서 및 는 단면에 대한 법선입니다. 에스 1 및 에스 2. 방정식(5.1)을 제트 연속성 방정식이라고 합니다. 이로부터 유체 속도는 현재 튜브의 단면적에 반비례합니다.

베르누이 방정식.

이상적인 비압축성 유체를 생각해 봅시다. 내부 마찰(점도)가 없습니다. 단면이 있는 고정된 흐르는 액체(그림 5.2)에서 전류의 얇은 관을 골라 봅시다. S1그리고 시즌2유선에 수직입니다. 섹션에서 1 단기간에 티입자가 거리를 이동 내가 1, 그리고 섹션에서 2 - 멀리서 내가 2. 시간의 두 섹션을 통해 티동일한 소량의 액체가 통과합니다. V= V 1 = V 2그리고 많은 양의 액체를 가지고 다니십시오. m=rV, 어디 아르 자형액체의 밀도입니다. 일반적으로 단면 사이의 현재 튜브에서 전체 액체의 기계적 에너지 변화 S1그리고 시즌2, 그 동안 일어난 일 티, 부피 에너지의 변화로 대체 가능 V, 섹션 1에서 섹션 2로 이동할 때 발생했습니다. 이러한 움직임으로 인해이 볼륨의 운동 및 위치 에너지가 변경되고 에너지의 총 변화가 변경됩니다.

, (5.2)

어디서 v 1 그리고 v 2 - 단면에서 유체 입자의 속도 S1그리고 시즌2각기; g- 중력 가속도; h1그리고 h2- 섹션 중심의 높이.

에 이상적인 유체마찰 손실이 없으므로 에너지 증가 드할당된 부피에 대한 압력력에 의해 수행된 일과 같아야 합니다. 마찰력이 없을 때 다음과 같이 작동합니다.

등식 (5.2)와 (5.3)의 우변을 동일시하고 동일한 지수를 가진 항을 등식의 한 부분으로 옮기면 다음을 얻습니다.

. (5.4)

튜브 섹션 S1그리고 시즌2자의적으로 취해진 것이기 때문에 그 표현이 현재 관의 어떤 부분에서도 유효하다고 주장할 수 있다.

. (5.5)

식 (5.5)를 베르누이 방정식이라고 합니다. 수평 유선형의 경우 시간 = 상수,평등(5.4)은 다음과 같은 형식을 취합니다.

아르 자형 /2 + 피 1 = r /2 + p2 , (5.6)

저것들. 압력은 속도가 더 큰 지점에서 더 적습니다.

내부 마찰력.

점도는 실제 액체에 내재되어 있으며, 이는 액체와 기체의 움직임이 원인이 없는 상태에서 자발적으로 멈춘다는 사실에서 나타납니다. 액체 층이 고정된 표면 위에 있고 표면과 함께 그 위에 떠 있는 판이 그 위에서 빠른 속도로 움직이는 실험을 생각해 보겠습니다. 에스(그림 5.3). 경험에 따르면 판을 일정한 속도로 움직이려면 판에 힘을 가해야 합니다. 판은 가속도를 받지 않기 때문에, 이 힘의 작용은 크기가 같고 반대 방향으로 향하는 다른 힘에 의해 균형을 이룬다는 것을 의미합니다. . 뉴턴은 마찰력이

, (5.7)

어디 디- 액체 층의 두께, h - 액체의 점도 계수 또는 마찰 계수, 빼기 기호는 벡터의 다른 방향을 고려합니다. F tr그리고 V영형. 층의 다른 위치에서 유체 입자의 속도를 조사하면 선형 법칙에 따라 변하는 것으로 나타났습니다(그림 5.3).

v(z) = (v 0 /d) z.

이 평등을 미분하면 DVD/DZ= V 0 /디. 이를 염두에 두고

공식 (5.7)은 다음과 같은 형식을 취합니다.

F tr=- 시간(dv/dz)S , (5.8)

어디 시간- 동점도 계수. 값 DVD/DZ속도 구배라고 합니다. 축 방향으로 속도가 얼마나 빨리 변하는지 보여줍니다. 지. ~에 DVD/DZ= const 속도 구배는 수치적으로 속도 변화와 동일 V바뀔 때 지유닛 당. 우리는 공식 (5.8)에 숫자로 넣습니다 DVD/DZ =-1 및 에스= 1, 우리는 시간 = 에프. 이것은 의미한다 물리적 의미 h: 점도 계수는 1과 같은 속도 구배에서 단위 면적의 액체 층에 작용하는 힘과 수치적으로 같습니다. 점도의 SI 단위는 파스칼 초(Pa s로 표시)라고 합니다. CGS 시스템에서 점도 단위는 1포아즈(P)이며 1Pa s = 10P입니다.

먼저 고정 축 OZ 주위를 각속도로 회전하는 강체를 고려하십시오. ω (그림 5.6). 몸을 기본 덩어리로 분해합시다. 기본 질량의 선속도는 , 여기서 는 회전축으로부터의 거리입니다. 운동 에너지 나- 그 기본 질량은 다음과 같을 것입니다.

.

몸 전체의 운동 에너지는 부분의 운동 에너지로 구성되므로

.

이 관계식의 우변의 합이 회전축에 대한 몸체의 관성모멘트임을 고려하면, 우리는 최종적으로 다음을 얻습니다.

. (5.30)

회전하는 물체의 운동 에너지 공식(5.30)은 물체의 병진 운동의 운동 에너지에 대한 공식과 유사합니다. 그것들은 형식적 치환에 의해 후자로부터 얻어진다. .

일반적으로 강체의 운동은 운동의 합으로 나타낼 수 있습니다. 즉, 물체의 질량 중심 속도와 같은 속도로 병진운동을 하고, 물체를 통과하는 순간축을 중심으로 각속도로 회전합니다. 질량 중심. 이 경우, 신체의 운동 에너지에 대한 표현은 다음과 같은 형식을 취합니다.

.

이제 강체가 회전할 때 외력의 모멘트가 하는 일을 구해보자. 시간의 외력의 기본 작업 dt신체의 운동 에너지의 변화와 같을 것입니다.

운동 에너지에서 미분하기 회전 운동, 증분 찾기

.

회전 운동의 기본 역학 방정식에 따라

이러한 관계를 고려하여 초등 작업에 대한 표현을 다음 형식으로 줄입니다.

여기서 회전축 OZ의 방향에 대한 외력의 결과 모멘트의 투영은 고려 된 시간 동안 몸체의 회전 각도입니다.

적분 (5.31), 우리는 회전체에 작용하는 외력의 일에 대한 공식을 얻습니다.

이면 공식이 단순화됩니다.

따라서 고정 축을 중심으로 강체가 회전하는 동안 외력의 작용은 주어진 축에서 이러한 힘의 모멘트를 투영하는 작용에 의해 결정됩니다.

자이로스코프

자이로스코프는 빠르게 회전하는 대칭 몸체로 회전축이 공간에서 방향을 변경할 수 있습니다. 자이로스코프의 축이 공간에서 자유롭게 회전할 수 있도록 자이로스코프는 소위 짐벌 서스펜션에 배치됩니다(그림 5.13). 자이로스코프의 플라이휠은 무게 중심을 통과하는 C 1 C 2 축을 중심으로 내부 환형 케이지에서 회전합니다. 내부 케이지는 차례로 C 1 C 2 에 수직인 축 B 1 B 2 를 중심으로 외부 케이지에서 회전할 수 있습니다. 마지막으로 외부 레이스는 축 C 1 C 2 및 B 1 B 2 에 수직인 축 A 1 A 2 주위의 스트럿 베어링에서 자유롭게 회전할 수 있습니다. 세 축은 모두 서스펜션의 중심 또는 자이로스코프의 받침이라고 하는 고정된 점 O에서 교차합니다. 짐벌의 자이로스코프에는 3개의 자유도가 있으므로 짐벌 중심을 중심으로 회전할 수 있습니다. 자이로스코프의 서스펜션 중심이 무게 중심과 일치하면 서스펜션 중심에 대한 자이로스코프의 모든 부분의 중력 모멘트는 0과 같습니다. 이러한 자이로 스코프를 균형이라고합니다.

이제 가장 많이 고려해보자 중요한 속성다양한 분야에서 폭넓게 활용되고 있는 자이로스코프.

1) 지속 가능성.

균형 잡힌 자이로스코프 랙이 회전할 때마다 회전 축은 실험실 기준 프레임에 대해 동일한 방향으로 유지됩니다. 이것은 마찰력의 모멘트와 동일한 모든 외력의 모멘트가 매우 작고 실질적으로 자이로스코프의 각운동량, 즉

각운동량은 자이로스코프의 회전축을 따라 향하기 때문에 방향은 변경되지 않은 상태로 유지되어야 합니다.

외력이 짧은 시간 동안 작용하면 각운동량의 증가를 결정하는 적분은 작을 것입니다

. (5.34)

이것은 큰 힘의 단기적인 영향 아래에서도 균형 잡힌 자이로스코프의 움직임이 거의 변하지 않는다는 것을 의미합니다. 자이로스코프는 말하자면 각운동량의 크기와 방향을 변경하려는 모든 시도에 저항합니다. 이와 관련하여 자이로스코프의 움직임이 급회전한 후 획득하는 놀라운 안정성이 있습니다. 자이로스코프의 이러한 특성은 항공기, 선박, 로켓 및 기타 차량의 움직임을 자동으로 제어하는 ​​데 널리 사용됩니다.

그러나 방향이 일정한 외력의 모멘트에 의해 자이로스코프가 장시간 작용하면, 자이로스코프의 축은 최종적으로 외력의 모멘트 방향으로 설정된다. 이 현상은 자이로컴퍼스에서 사용됩니다. 이 장치는 축이 수평면에서 자유롭게 회전할 수 있는 자이로스코프입니다. 때문에 일일 회전지구와 원심력 모멘트의 작용, 자이로스코프의 축은 사이의 각도가 최소가 되도록 회전합니다(그림 5.14). 이것은 자오선 평면에서 자이로스코프 축의 위치에 해당합니다.

2). 자이로스코프 효과.

회전하는 자이로스코프에 한 쌍의 힘이 가해지면 회전축에 수직인 축을 중심으로 회전하려는 경향이 있으며 처음 두 축에 수직인 세 번째 축을 중심으로 회전합니다(그림 5.15). 이러한 자이로스코프의 비정상적인 동작을 자이로스코프 효과라고 합니다. 한 쌍의 힘의 모멘트는 O 1 O 1 축을 따라 향하고 시간에 따른 값만큼 벡터의 변화는 같은 방향을 갖는다는 사실로 설명됩니다. 결과적으로 새 벡터는 O 2 O 2 축을 중심으로 회전합니다. 따라서 자이로스코프의 겉보기에 부자연스러운 동작은 회전 운동의 역학 법칙과 완전히 일치합니다.

삼). 자이로 세차운동.

자이로스코프의 세차 운동은 축의 원추형 움직임입니다. 크기가 일정하게 유지되는 외력의 모멘트가 자이로스코프의 축과 동시에 회전하여 항상 직각을 형성할 때 발생합니다. 세차 운동을 보여주기 위해 축이 확장된 자전거 바퀴가 빠르게 회전할 수 있습니다(그림 5.16).

휠이 차축의 확장된 끝 부분에 매달려 있으면 해당 차축은 자체 무게의 작용으로 수직 축을 중심으로 세차 운동을 시작합니다. 빠르게 회전하는 상단은 또한 세차 운동을 보여주는 역할을 할 수 있습니다.

자이로스코프의 세차 운동에 대한 이유를 찾으십시오. 축이 특정 점 O를 중심으로 자유롭게 회전할 수 있는 불균형 자이로스코프를 고려하십시오(그림 5.16). 자이로스코프에 가해지는 중력 모멘트는 크기가 같습니다.

여기서 는 자이로스코프의 질량, 는 점 O에서 자이로스코프의 질량 중심까지의 거리, 는 자이로스코프의 축이 수직으로 이루는 각도입니다. 벡터는 자이로스코프의 축을 통과하는 수직 평면에 수직으로 향합니다.

이 순간의 영향으로 자이로스코프의 각운동량(시작점은 점 O에 위치)은 시간이 증가하고 자이로스코프의 축을 통과하는 수직면은 각도만큼 회전합니다. 벡터는 항상 에 수직이므로 크기는 변경되지 않고 벡터는 방향만 변경됩니다. 그러나 잠시 후 상호 합의벡터이며 초기 순간과 동일합니다. 결과적으로 자이로스코프의 축은 수직을 중심으로 계속 회전하여 원뿔을 묘사합니다. 이 운동을 세차운동이라고 합니다.

세차 운동의 각속도를 결정합시다. 그림 5.16에 따르면 원뿔의 축과 자이로스코프의 축을 통과하는 평면의 회전 각도는 다음과 같습니다.

여기서 는 자이로스코프의 각운동량이고 는 시간에 따른 증분입니다.

로 나누면 위의 관계와 변환을 고려하여 세차 운동의 각속도를 얻습니다.

. (5.35)

기술에 사용되는 자이로스코프의 경우 세차 각속도는 자이로스코프의 회전 속도보다 수백만 배 작습니다.

결론적으로 세차 현상은 전자의 궤도 운동으로 인해 원자에서도 관찰된다는 점에 주목한다.

역학 법칙 적용의 예

회전할 때

1. Zhukovsky 벤치를 사용하여 구현할 수 있는 각운동량 보존 법칙의 몇 가지 예를 고려하십시오. 가장 간단한 경우 Zhukovsky 벤치는 볼 베어링의 수직 축을 중심으로 자유롭게 회전할 수 있는 디스크 모양의 플랫폼(의자)입니다(그림 5.17). 시위자는 벤치에 앉거나 서서 회전 운동을 합니다. 베어링 사용으로 인한 마찰력이 매우 작기 때문에 벤치와 회전축에 대한 데모로 구성된 시스템의 각운동량은 시스템을 그대로 두면 시간이 지남에 따라 변할 수 없습니다. 시위자가 무거운 덤벨을 손에 들고 팔을 옆으로 벌리면 시스템의 관성 모멘트가 증가하므로 각운동량이 변하지 않도록 회전 각속도가 감소해야 합니다.

각운동량 보존 법칙에 따라 이 경우에 대한 방정식을 작성합니다.

여기서 는 사람과 벤치의 관성 모멘트이고 는 첫 번째 및 두 번째 위치에서 덤벨의 관성 모멘트이며 는 시스템의 각속도입니다.

측면으로 덤벨을 사육할 때 시스템의 회전 각속도는 다음과 같습니다.

.

덤벨을 움직일 때 사람이 한 일은 시스템의 운동 에너지 변화를 통해 결정할 수 있습니다.

2. Zhukovsky의 벤치로 한 번 더 실험을 해보자. 시연자는 벤치에 앉거나 서서 수직으로 향하는 축이 있는 빠르게 회전하는 바퀴를 받습니다(그림 5.18). 그런 다음 시위자는 바퀴를 1800 돌립니다. 이 경우 바퀴의 각운동량 변화는 전적으로 벤치와 시연자에게 전가된다. 결과적으로 벤치는 데모와 함께 각운동량 보존 법칙에 따라 결정된 각속도로 회전합니다.

초기 상태에서 시스템의 각운동량은 바퀴의 각운동량에 의해서만 결정되며 다음과 같습니다.

여기서 는 바퀴의 관성 모멘트이고 는 회전 각속도입니다.

바퀴를 180 ° 각도로 돌린 후 시스템의 운동량 모멘트는 사람과 벤치의 운동량 모멘트와 바퀴의 운동량 모멘트의 합으로 이미 결정됩니다. 바퀴의 운동량 벡터가 방향을 반대로 변경하고 수직 축에 대한 투영이 음수가되었다는 사실을 고려하면 다음을 얻습니다.

,

여기서 는 "인간 플랫폼" 시스템의 관성 모멘트이고 는 사람과 함께 벤치의 회전 각속도입니다.

각운동량 보존 법칙에 따르면

그리고 .

결과적으로 우리는 벤치의 회전 속도를 찾습니다.

3. 얇은 막대 질량 중그리고 길이 엘막대의 중앙을 통과하는 수직축을 중심으로 수평면에서 각속도 ω=10 s -1 로 회전합니다. 동일한 평면에서 계속 회전하면서 로드가 이동하여 이제 회전축이 로드의 끝을 통과합니다. 두 번째 경우의 각속도를 찾으십시오.

이 문제에서는 회전축에 대한 막대의 질량 분포가 변경되기 때문에 막대의 관성 모멘트도 변경됩니다. 고립계의 각운동량 보존 법칙에 따르면,

여기 - 막대의 중간을 통과하는 축에 대한 막대의 관성 모멘트. - 끝을 통과하는 축에 대한 막대의 관성 모멘트로 슈타이너의 정리에 의해 구합니다.

이 식을 각운동량 보존 법칙에 대입하면 다음을 얻습니다.

,

.

4. 로드 길이 엘=1.5m 및 무게 m 1=10kg은 상단에 경첩이 달려 있습니다. 총알이 덩어리로 막대의 중심을 명중 m2=10g, =500m/s의 속도로 수평으로 날아가 막대에 끼입니다. 임팩트 후 로드가 어느 각도로 벗어나게 될까요?

그림에서 상상해보자. 5.19. 상호 작용하는 신체 시스템 "막대 총알". 충격 순간의 외력 모멘트(중력, 축 반작용)는 0이므로 각운동량 보존 법칙을 사용할 수 있습니다.

충돌 전 시스템의 각운동량은 서스펜션 지점에 대한 총알의 각운동량과 같습니다.

비탄성 충돌 후 시스템의 각운동량은 다음 공식에 의해 결정됩니다.

,

여기서 는 서스펜션 지점에 대한 막대의 관성 모멘트, 는 총알의 관성 모멘트, 는 충격 직후 총알이 있는 막대의 각속도입니다.

대체 후 결과 방정식을 풀면 다음을 찾습니다.

.

이제 역학적 에너지 보존 법칙을 적용해 보자. 총알이 총알에 맞은 후 막대의 운동 에너지를 상승의 가장 높은 지점에서의 위치 에너지와 동일시해 보겠습니다.

,

여기서 는 주어진 시스템의 질량 중심의 높이입니다.

필요한 변환을 수행한 후 다음을 얻습니다.

로드의 편향각은 비율에 의한 값과 관련이 있습니다.

.

계산을 수행하면 =0,1p=18 0 을 얻습니다.

5. Atwood 기계에서 몸체의 가속도와 실의 장력을 결정한다고 가정합니다(그림 5.20). 회전축에 대한 블록의 관성 모멘트는 다음과 같습니다. 나, 블록 반경 아르 자형. 실의 질량을 무시하십시오.

하중과 블록에 작용하는 모든 힘을 정리하고 그에 대한 역학 방정식을 작성합시다.

블록을 따라 나사산의 미끄러짐이 없으면 선형 및 각 가속도는 관계식으로 관련됩니다.

이 방정식을 풀면 다음을 얻습니다.

그런 다음 T 1 과 T 2 를 찾습니다.

6. Oberbeck 십자가의 풀리(그림 5.21)에 나사산이 부착되어 있는데, 여기에는 질량의 하중이 가해집니다. 중= 0.5kg. 높이에서 하중이 떨어지는 데 걸리는 시간 결정 시간= 바닥 위치까지 1m. 풀리 반경 아르 자형\u003d 3cm 무게 4개 중= 거리에서 각각 250g 아르 자형= 축에서 30cm. 추의 관성 모멘트와 비교하여 십자가 자체와 풀리의 관성 모멘트는 무시하십시오.

회전하는 몸체의 운동 에너지는 몸체의 모든 입자의 운동 에너지의 합과 같습니다.

모든 입자의 질량, 선형(원주 방향) 속도는 회전축에서 이 입자까지의 거리에 비례합니다. 이 식에 대입하고 합계의 부호에서 모든 입자에 공통적인 각속도 o를 취하면 다음을 찾을 수 있습니다.

회전하는 몸체의 운동 에너지에 대한 이 공식은 우리가 몸체의 소위 관성 모멘트 값을 도입하면 병진 운동의 운동 에너지에 대한 표현과 유사한 형태로 축소될 수 있습니다. 재료 점의 관성 모멘트는 점의 질량과 회전축으로부터의 거리의 제곱의 곱입니다. 몸체의 관성 모멘트는 몸체의 모든 물질 점의 관성 모멘트의 합입니다.

따라서 회전체의 운동 에너지는 다음 공식에 의해 결정됩니다.

식 (2)는 병진 운동에서 신체의 운동 에너지를 결정하는 공식과 질량 대신 관성 모멘트 I가 여기에 입력되고 속도 대신 그룹 속도가 입력된다는 점에서 다릅니다.

회전하는 플라이휠의 큰 운동 에너지는 갑자기 변화하는 하중에서 기계의 균일성을 유지하는 기술에 사용됩니다. 관성모멘트가 큰 플라이휠을 회전시키기 위해서는 처음에는 상당한 작업이 필요하지만 갑자기 큰 부하를 가하면 플라이휠의 운동에너지 비축량으로 인해 기계가 멈추지 않고 작동하게 된다.

특히 거대한 플라이휠은 전기 모터로 구동되는 압연기에 사용됩니다. 다음은 이러한 바퀴 중 하나에 대한 설명입니다. "바퀴의 지름은 3.5m이고 무게는 600rpm의 정상 속도에서 바퀴의 운동 에너지는 바퀴를 굴릴 때 공장에 동력을 제공하는 정도입니다. 20,000 리터의. 와 함께. 베어링의 마찰은 압력이 가해지는 동화에 의해 최소화되며 원심 관성력의 유해한 영향을 피하기 위해 바퀴의 둘레에 가해지는 하중이 바퀴를 벗어나도록 균형을 맞춥니다.

우리는 계산을 수행하지 않고 일부 몸체의 관성 모멘트 값을 제시합니다(이러한 각 몸체는 모든 섹션에서 동일한 밀도를 갖는다고 가정).

중심을 통과하고 평면에 수직인 축에 대한 얇은 링의 관성 모멘트(그림 55):

중심을 통과하고 평면에 수직인 축에 대한 원형 디스크(또는 실린더)의 관성 모멘트(디스크의 극 관성 모멘트, 그림 56):

지름과 일치하는 축에 대한 얇은 원형 디스크의 관성 모멘트(디스크의 적도 관성 모멘트, 그림 57):

공의 중심을 통과하는 축에 대한 공의 관성 모멘트:

중심을 통과하는 축에 대한 반경의 얇은 구형 층의 관성 모멘트:

중심을 통과하는 축에 대한 두꺼운 구형 층(외부 표면 반경과 공동 반경을 갖는 중공 공)의 관성 모멘트:

몸체의 관성 모멘트 계산은 적분 미적분을 사용하여 수행됩니다. 이러한 계산 과정에 대한 아이디어를 제공하기 위해 막대에 수직인 축에 대한 막대의 관성 모멘트를 찾습니다(그림 58). 막대의 단면, 밀도가 있다고 가정합니다. 우리는 길이가 있고 회전 축에서 거리 x에 위치한 막대의 기본적으로 작은 부분을 선택합니다. 그런 다음 질량 회전축에서 거리 x에 있으므로 관성 모멘트 0에서 I까지 적분합니다.

관성 모멘트 직육면체대칭축에 대해 (그림 59)

환형 원환체의 관성 모멘트(그림 60)

평면에서 (미끄럼 없이) 구르는 몸체의 회전 에너지가 이 몸체의 병진 운동 에너지와 어떻게 연결되는지 생각해 봅시다.

롤링 바디의 병진 운동 에너지는 , 여기서 는 바디의 질량이고 병진 운동의 속도입니다. 롤링 바디의 회전 각속도와 바디의 반경을 나타냅니다. 미끄러지지 않고 구르는 물체의 병진 운동 속도는 물체가 평면과 접촉하는 지점에서 물체의 원주 속도와 같다는 것을 이해하기 쉽습니다(몸이 1회전하는 동안 몸의 무게 중심은 거리를 이동하므로,

이런 식으로,

회전 에너지

따라서,

여기에서 관성 모멘트의 위 값을 대입하면 다음을 알 수 있습니다.

a) 롤링 후프의 회전 운동 에너지는 병진 운동의 에너지와 동일합니다.

b) 롤링 균질 디스크의 회전 에너지는 병진 운동 에너지의 절반과 같습니다.

c) 구르는 균질한 공의 회전 에너지는 병진 운동의 에너지입니다.

회전축의 위치에 대한 관성 모멘트의 의존성.점 C에 무게 중심이 있는 막대(그림 61)를 각속도(o 축 O 주위, 도면 평면에 수직. 특정 기간 동안 위치 A B에서 그리고 무게 중심은 호를 나타냅니다. 이 이동 막대는 막대가 먼저 병진적으로(즉, 자체에 평행하게 유지) 위치로 이동한 다음 C를 중심으로 회전하여 위치로 표시되는 것으로 간주할 수 있습니다. 회전축으로부터의 중력)에 의해, 그리고 각도에 의해 막대가 위치에서 이동할 때 그리고 위치에서 각 입자의 변위는 무게 중심의 변위와 동일합니다. 즉, 로드의 실제 움직임을 구하면 이 두 움직임이 동시에 수행된다고 가정할 수 있으며 O를 통과하는 축을 중심으로 두 부분으로 분해될 수 있습니다.

강의 3. 강체의 역학

강의 계획

3.1. 권력의 순간.

3.2. 회전 운동의 기본 방정식. 관성 모멘트.

3.3. 회전의 운동 에너지.

3.4. 충동의 순간. 각운동량 보존 법칙.

3.5. 병진 운동과 회전 운동의 유추.

힘의 순간

고정 축을 중심으로 한 강체의 움직임을 고려하십시오. 강체가 고정된 회전축 ОО( 그림 3.1) 및 임의의 힘이 가해집니다.

쌀. 3.1

우리는 힘을 힘의 두 가지 구성 요소로 분해합니다. 힘은 회전 평면에 있고 힘은 회전 축에 평행합니다. 그런 다음 힘을 두 가지 구성 요소로 분해합니다. – 반경 벡터를 따라 작용하고 – 이에 수직입니다.

본체에 가해지는 어떤 힘도 본체를 회전시키지 않습니다. 베어링에 힘을 가하고 압력을 가하지만 회전시키지 마십시오.

힘이 적용되는 반경 벡터의 위치에 따라 힘은 몸체를 균형에서 벗어나게 할 수도 있고 그렇지 않을 수도 있습니다. 따라서 축에 대한 힘 모멘트의 개념이 도입됩니다. 힘의 순간회전축에 대한 상대는 반경 벡터와 힘의 벡터 곱이라고 합니다.

벡터는 회전 축을 따라 지정되며 외적 규칙 또는 오른쪽 나사 규칙 또는 김렛 규칙에 의해 결정됩니다.

힘의 모멘트 계수

여기서 α는 벡터와 . 사이의 각도입니다.

그림 3.1에서. 그것은 분명하다 .

r0- 회전축에서 힘의 작용선까지의 최단 거리를 힘의 어깨라고 합니다. 그러면 힘의 순간을 쓸 수 있습니다.

M = Fr 0 . (3.3)

무화과에서. 3.1.

어디 에프벡터 반경 벡터에 수직인 방향에 대한 벡터의 투영입니다. 이 경우 힘의 모멘트는

. (3.4)

여러 힘이 몸에 작용하면 결과적인 힘의 모멘트는 개별 힘의 모멘트의 벡터 합과 같지만 모든 모멘트가 축을 따라 향하기 때문에 대수 합으로 대체할 수 있습니다. 본체를 시계 방향으로 회전하면 모멘트가 양수로 간주되고 시계 반대 방향으로 회전하면 음수로 간주됩니다. 모든 힘의 모멘트가 0()과 같으면 몸은 평형을 이룰 것입니다.

힘 모멘트의 개념은 "기발한 코일"을 사용하여 설명할 수 있습니다. 실의 실패는 실의 자유단에 의해 당겨집니다( 쌀. 3.2).

쌀. 3.2

실 장력의 방향에 따라 코일이 한 방향 또는 다른 방향으로 굴러갑니다. 비스듬히 잡아당기면 α , 축에 대한 힘의 모멘트 영형(그림에 수직으로) 코일을 반시계 방향으로 회전시키면서 뒤로 굴러갑니다. 비스듬히 장력이 있는 경우 β 토크는 시계 반대 방향이고 코일은 앞으로 굴러갑니다.

평형 조건()을 사용하여 힘의 "변환기"인 간단한 메커니즘을 설계할 수 있습니다. 더 적은 힘을 가하면 다른 무게의 짐을 들어 올릴 수 있습니다. 건설에 널리 사용되는 지렛대, 손수레, 다양한 종류의 블록이 이 원리를 기반으로 합니다. 하중의 무게로 인한 힘의 모멘트를 보상하기 위해 건설 크레인의 평형 조건을 준수하기 위해 항상 반대 부호의 힘의 모멘트를 생성하는 균형추 시스템이 있습니다.

3.2. 기본 회전 방정식
움직임. 관성 모멘트

고정 축을 중심으로 회전하는 절대 강체를 고려하십시오. OO(그림 3.3). 이 몸을 질량 Δ를 가진 요소로 정신적으로 나눕니다. m 1, Δ m2, …, Δ m n. 회전하는 동안 이러한 요소는 반지름이 있는 원을 설명합니다. r1,r2 , …,르네. 힘은 각 요소에 작용합니다 F1,F2 , …,F n. 축을 중심으로 한 몸체의 회전 OO힘의 총 모멘트의 영향으로 발생 중.

M \u003d M 1 + M 2 + ... + M n (3.4)

어디 M 1 = F 1 r 1, M 2 = F 2 r 2, ..., M n = F n r n

뉴턴의 제2법칙에 따르면 각 힘은 에프, 질량 D의 요소에 작용 중, 주어진 요소의 가속을 유발합니다. ㅏ, 즉.

파이 =디 난 난 난 (3.5)

해당 값을 (3.4)에 대입하면 다음을 얻습니다.

쌀. 3.3

선형 각가속도의 관계 알기 ε () 및 각가속도가 모든 요소에 대해 동일하다는 것을 알면 공식 (3.6)은 다음과 같습니다.

중 = (3.7)

=나 (3.8)

나고정 축에 대한 몸체의 관성 모멘트입니다.

그러면 우리는 얻을 것이다

남 = 나는 ε (3.9)

또는 벡터 형태로

(3.10)

이 방정식은 회전 운동의 역학에 대한 기본 방정식입니다. 뉴턴의 법칙의 방정식 II와 형태가 유사합니다. (3.10)에서 관성 모멘트는

따라서 주어진 물체의 관성 모멘트는 힘의 모멘트와 그에 따른 각가속도의 비율입니다. (3.11)에서 관성 모멘트는 회전 운동에 대한 본체의 관성의 척도임을 알 수 있습니다. 관성 모멘트는 병진 운동에서 질량과 같은 역할을 합니다. SI 단위 [ 나] = kg m 2. 공식 (3.7)에서 관성 모멘트는 회전축에 대한 몸체 입자의 질량 분포를 특성화합니다.

따라서 반지름 r의 원을 따라 움직이는 질량 ∆m의 요소의 관성 모멘트는 다음과 같습니다.

나는 = r2디 중 (3.12)

나= (3.13)

연속적인 질량 분포의 경우 합은 적분으로 대체될 수 있습니다.

나는 = ∫ r 2 dm (3.14)

여기서 통합은 전체 체질량에 대해 수행됩니다.

이것은 몸체의 관성 모멘트가 회전축에 대한 질량과 분포에 의존한다는 것을 보여줍니다. 이것은 실험적으로 증명할 수 있습니다 그림 3.4).

쌀. 3.4

두 개의 둥근 실린더, 하나는 속이 비어 있고(예: 금속) 다른 하나는 길이, 반지름 및 질량이 같은 단단한(목재) 실린더가 동시에 굴러 떨어지기 시작합니다. 관성 모멘트가 큰 중공 실린더는 솔리드 실린더보다 뒤쳐집니다.

질량을 알면 관성 모멘트를 계산할 수 있습니다. 중회전축에 대한 분포. 가장 간단한 경우는 질량의 모든 요소가 회전 축에서 동일하게 위치하는 경우 링입니다( 쌀. 3.5):

나= (3.15)

쌀. 3.5

질량이 있는 서로 다른 대칭 물체의 관성 모멘트에 대한 표현을 해보자. 중.

1. 관성 모멘트 반지, 속이 빈 얇은 실린더대칭축과 일치하는 회전축에 대해.

, (3.16)

아르 자형링 또는 실린더의 반지름

2. 솔리드 실린더와 디스크의 경우 대칭축에 대한 관성 모멘트

(3.17)

3. 중심을 지나는 축에 대한 공의 관성 모멘트

(3.18)

아르 자형- 볼 반경

4. 가늘고 긴 막대의 관성모멘트 엘막대에 수직이고 중간을 통과하는 축에 대해

(3.19)

엘- 막대의 길이.

회전축이 질량 중심을 통과하지 않으면 이 축에 대한 몸체의 관성 모멘트는 슈타이너의 정리에 의해 결정됩니다.

(3.20)

이 정리에 따르면 임의의 축 О'O'에 대한 관성 모멘트( )은 몸체의 질량 중심을 통과하는 평행 축에 대한 관성 모멘트( ) 더하기 체질량 곱하기 거리의 제곱 ㅏ차축 사이( 쌀. 3.6).

쌀. 3.6

회전 운동 에너지

고정 축 OO를 중심으로 절대 강체가 각속도를 갖는 회전을 고려하십시오. ω (쌀. 3.7). 강체를 다음으로 나눕니다. N기본 미사 ∆ 나는. 질량의 각 요소는 반지름의 원에서 회전합니다. 나는선형 속도(). 운동 에너지는 개별 요소의 운동 에너지의 합입니다.

(3.21)

쌀. 3.7

(3.13)에서 다음을 상기하십시오. 는 OO 축에 대한 관성 모멘트입니다.

따라서 회전체의 운동에너지는

전자 k \u003d (3.22)

우리는 고정 축을 중심으로 회전하는 운동 에너지를 고려했습니다. 신체가 병진 운동과 회전 운동의 두 가지 운동에 관여하는 경우 신체의 운동 에너지는 병진 운동의 운동 에너지와 회전 운동 에너지의 합입니다.

예를 들어 질량의 공 중구르는; 공의 무게 중심이 빠른 속도로 앞으로 이동합니다. 유 (쌀. 3.8).

쌀. 3.8

공의 총 운동 에너지는 다음과 같습니다.

(3.23)

3.4. 충동의 순간. 보존법
각운동량

관성 모멘트의 곱과 같은 물리량 나각속도에 ω , 를 각운동량(운동량 모멘트)이라고 합니다. 엘회전축에 대해.

- 각운동량은 벡터량이며 각속도의 방향과 일치한다.

시간에 대한 미분 방정식 (3.24), 우리는

어디, 중는 외부 힘의 총 모멘트입니다. 고립계에서는 외력의 순간이 없다( 중=0) 및

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짧은 리뷰

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재료 점 또는 점 시스템의 기계적 운동 변환의 두 가지 경우:

1. 기계적 운동은 기계적 운동으로 한 기계 시스템에서 다른 기계 시스템으로 전달됩니다.
2. 기계적 운동은 다른 형태의 물질 운동으로 바뀝니다(위치 에너지, 열, 전기 등의 형태로).

기계적 운동의 변환이 다른 형태의 운동으로의 전환 없이 고려될 때 기계적 운동의 척도는 재료 점 또는 기계 시스템의 운동량 벡터입니다. 이 경우 힘의 작용 측정은 힘의 운동량 벡터입니다.

기계적 운동이 다른 형태의 물질 운동으로 변환될 때, 물질 점 또는 기계적 시스템의 운동 에너지는 기계적 운동의 척도로 작용합니다. 기계적 운동을 다른 형태의 운동으로 변환할 때 힘의 작용을 측정한 값은 힘의 일입니다.

운동 에너지

운동 에너지는 움직이는 동안 장애물을 극복하는 신체의 능력입니다.

재료 점의 운동 에너지

물질 점의 운동 에너지는 스칼라 양이라고 하며, 이는 점의 질량과 속도의 제곱의 곱의 절반과 같습니다.

운동 에너지:

• 병진운동과 회전운동을 특징짓는다.
• 시스템 점의 운동 방향에 의존하지 않으며 이러한 방향의 변화를 특성화하지 않습니다.
• 내부 및 외부 힘의 작용을 특성화합니다.

기계 시스템의 운동 에너지

시스템의 운동 에너지는 시스템 몸체의 운동 에너지의 합과 같습니다. 운동 에너지는 시스템 몸체의 운동 유형에 따라 다릅니다.

에서 고체의 운동 에너지 결정 다른 유형움직임 움직임.

병진 운동의 운동 에너지
병진 운동에서 신체의 운동 에너지는 다음과 같습니다. 티=중 V2/2.

병진 운동에서 물체의 관성의 척도는 질량입니다.

몸의 회전 운동의 운동 에너지

몸체의 회전 운동 동안 운동 에너지는 회전축에 대한 몸체의 관성 모멘트와 각속도의 제곱의 곱의 절반과 같습니다.

회전 운동 중 몸체의 관성 측정은 관성 모멘트입니다.

물체의 운동 에너지는 물체의 회전 방향에 의존하지 않습니다.

신체의 평면 평행 운동의 운동 에너지

신체의 평면 평행 운동으로 운동 에너지는 다음과 같습니다.

강제 작업

힘의 작용은 일부 변위에서 몸체에 대한 힘의 작용을 특성화하고 이동 점의 속도 계수의 변화를 결정합니다.

힘의 기본 작업

힘의 기본 일은 점의 이동 방향으로 향하는 궤적에 대한 접선에 대한 힘의 투영과 이 접선을 따라 향하는 점의 극소 변위의 곱과 동일한 스칼라 값으로 정의됩니다. .

최종 변위에 대한 힘의 작용

최종 변위에 대한 힘의 작업은 기본 섹션에 대한 작업의 합과 같습니다.

최종 변위 M 1 M 0 에 대한 힘의 일은 기본 일에서 이 변위를 따라 적분하는 것과 같습니다.

M 1 M 2의 변위에 대한 힘의 작용은 M 1 및 M 0 점에 해당하는 가로축, 곡선 및 세로축으로 둘러싸인 그림의 영역으로 표시됩니다.

SI 시스템에서 힘과 운동 에너지의 일에 대한 측정 단위는 1(J)입니다.

힘의 작용에 관한 정리

정리 1. 특정 변위에 대한 합력의 일은 동일한 변위에 대한 성분 힘의 일의 대수적 합과 같습니다.

정리 2.결과 변위에 대한 일정한 힘의 일은 구성 요소 변위에 대한 이 힘의 일의 대수적 합과 같습니다.

힘

힘은 단위 시간당 힘이 한 일을 결정하는 양입니다.

전원 단위는 1W = 1J/s입니다.

힘의 작용을 결정하는 경우

내부 세력의 작용

변위에 대한 강체의 내부 힘의 작업 합계는 0과 같습니다.

중력의 작용

탄성력의 작용

마찰력의 작용

회전체에 작용하는 힘의 작용

고정축을 중심으로 회전하는 강체에 가해지는 힘의 기본 일은 회전축에 대한 외력의 주모멘트와 회전각 증가분의 곱과 같습니다.

회전 저항

고정 실린더와 평면 사이의 접촉 영역에서 접촉 압축의 국부 변형이 발생하고 응력은 타원 법칙에 따라 분포되며 이러한 응력의 결과 N의 작용선은 작용선과 일치합니다 실린더 Q에 가해지는 하중의 힘. 실린더가 구르면 하중 분포가 비대칭이 되고 최대 이동 방향으로 이동합니다. 결과 N은 값 k만큼 이동합니다. 회전 마찰력의 팔은 회전 마찰 계수라고도 하며 길이(cm)의 치수를 갖습니다.

물질 점의 운동 에너지 변화에 대한 정리

변위의 일부에서 재료 점의 운동 에너지 변화는 동일한 변위에서 점에 작용하는 모든 힘의 대수적 합과 같습니다.

기계 시스템의 운동 에너지 변화에 대한 정리

특정 변위에서 기계 시스템의 운동 에너지 변화는 에 작용하는 내부 및 외부 힘의 대수적 합과 같습니다. 재료 포인트같은 여행에 시스템.

강체의 운동 에너지 변화에 대한 정리

특정 변위에서 강체(불변 시스템)의 운동 에너지 변화는 동일한 변위에서 시스템의 점에 작용하는 로봇 외력의 합과 같습니다.

능률

메커니즘에 작용하는 힘

메커니즘 또는 기계에 적용되는 힘 및 힘 쌍(모멘트)은 그룹으로 나눌 수 있습니다.

1. 긍정적인 작용을 하는 구동력 및 모멘트(예를 들어 내연 기관의 피스톤에 가해지는 가스 압력과 같이 구동 링크에 적용됨).

2. 부정적인 작용을 하는 힘과 저항의 순간:

• 유용한 저항 (기계에서 필요한 작업을 수행하고 종동 링크에 적용됩니다, 예를 들어 기계에 의해 들어 올려지는 하중의 저항),
• 저항력(예: 마찰력, 공기 저항 등).

3. 중력과 스프링의 탄성력(양의 작용과 음의 작용, 전체 사이클의 작용은 0임).

4. 외부에서 몸체나 랙에 가해지는 힘과 모멘트(기초의 반작용 등)는 작용하지 않는다.

5. 운동학적 쌍으로 작용하는 링크 사이의 상호작용의 힘.

6. 링크의 관성력은 가속에 따른 링크의 질량과 움직임으로 인해 긍정적이고 부정적인 작업을 수행할 수 있으며 작업을 수행하지 않을 수 있습니다.

메커니즘에서 힘의 작용

기계의 정상 상태에서 운동 에너지는 변하지 않으며 기계에 가해진 구동력과 저항력의 일의 합은 0입니다.

기계를 작동시키는 데 드는 작업은 유용하고 유해한 저항을 극복하는 데 사용됩니다.

메커니즘 효율성

정상 동작의 기계적 효율성은 기계를 움직이는 데 소요되는 작업에 대한 기계의 유용한 작업의 비율과 같습니다.

기계의 요소는 직렬, 병렬 및 혼합으로 연결할 수 있습니다.

직렬 연결의 효율성

메커니즘이 직렬로 연결되면 전체 효율이 개별 메커니즘의 최저 효율보다 낮습니다.

병렬 연결의 효율성

메커니즘이 병렬로 연결되면 전체 효율은 개별 메커니즘의 가장 작은 것보다 크고 가장 높은 효율보다 낮습니다.

형식: PDF

언어: 러시아어, 우크라이나어

평 기어 계산의 예
평기어 계산의 예. 재료 선택, 허용 응력 계산, 접촉 및 굽힘 강도 계산이 수행되었습니다.

빔 벤딩 문제 해결의 예
이 예에서 횡력 및 굽힘 모멘트의 다이어그램이 그려지고 위험한 섹션이 발견되고 I-빔이 선택됩니다. 문제에서는 미분 종속성을 사용한 다이어그램 구성을 분석하고 다양한 빔 단면에 대한 비교 분석을 수행합니다.

샤프트 비틀림 문제 해결의 예
작업은 주어진 직경, 재료 및 허용 응력에 대한 강철 샤프트의 강도를 테스트하는 것입니다. 솔루션 중에 토크, 전단 응력 및 비틀림 각도의 다이어그램이 작성됩니다. 샤프트의 자체 무게는 고려되지 않습니다.

막대의 인장 압축 문제를 해결하는 예
작업은 주어진 허용 응력에서 강철 막대의 강도를 테스트하는 것입니다. 솔루션 중에 세로 방향 힘, 수직 응력 및 변위 플롯이 작성됩니다. 바의 자체 무게는 고려되지 않습니다.

운동 에너지 보존 정리의 적용
기계 시스템의 운동 에너지 보존에 대한 정리를 적용하는 문제를 해결하는 예