시스템의 질량 중심의 운동 방정식은 다음과 같은 형태를 갖습니다. 질량 중심의 운동 방정식

입자 시스템을 다룰 때 이 시스템 전체의 위치와 움직임을 특징짓는 지점(질량 중심)을 찾는 것이 편리합니다. 두 개의 동일한 입자로 구성된 시스템에서 이러한 점 C는 분명히 두 입자 사이의 중간에 있습니다(그림 110a). 이는 대칭을 고려하면 분명합니다. 균질하고 등방성인 공간에서 이 점은 다른 모든 점과 구별됩니다. 왜냐하면 입자 중 하나에 더 가까운 다른 점 A의 경우 입자에 더 가까운 대칭 점 B가 있기 때문입니다. 두 번째 입자.

쌀. 110. 두 개의 동일한 입자의 질량 중심은 반경 벡터 를 갖는 점 C에 있습니다. 질량이 다른 두 입자의 질량 중심은 입자의 질량에 반비례하는 비율로 두 입자 사이의 세그먼트를 나눕니다. (b)

분명히 점 C의 반경 벡터는 동일한 입자의 반경 벡터 합의 절반과 같습니다(그림 110a). 즉, 이는 벡터의 일반적인 평균값입니다.

질량 중심의 결정.이 정의를 질량이 다른 두 입자의 경우로 일반화하는 방법 반경 벡터가 여전히 합의 절반인 시스템의 기하학적 중심과 함께 점이 특정 역할을 할 것으로 예상할 수 있습니다. 분포에 따라 위치가 결정됨

나는 대량으로 먹는다. 각 입자의 기여도가 질량에 비례하도록 정의하는 것은 당연합니다.

식 (1)에 의해 결정된 질량 중심의 반경 벡터는 입자 반경 벡터의 가중 평균 값이며, 이는 (1)을 다음 형식으로 다시 쓰면 분명합니다.

각 입자의 반경 벡터는 질량에 비례하는 가중치로 입력됩니다. 식 (1)에 의해 결정된 질량 중심 C는 입자를 연결하는 직선 부분에 있고 이를 입자 질량에 반비례하는 비율로 나눕니다(그림 110b).

여기에 주어진 질량 중심의 정의는 여러분이 알고 있는 지레의 평형 상태와 관련이 있다는 점에 유의하십시오. 균일한 중력장의 작용을 받는 점 질량이 무시할 수 있는 질량의 막대로 연결되어 있다고 상상해 봅시다. 이러한 지레는 지렛대가 질량 중심 C에 위치하면 평형 상태에 있게 됩니다.

질량과 반경 벡터가 있는 물질 점으로 구성된 시스템의 경우 공식 (1)을 자연스럽게 일반화하면 다음과 같습니다.

이는 시스템의 질량 중심(또는 관성 중심)의 반경 벡터를 정의하는 역할을 합니다.

질량 중심의 속도.질량 중심은 위치뿐만 아니라 입자 시스템 전체의 움직임을 특징으로 합니다. (2)로부터 다음과 같은 등식에 의해 결정되는 질량 중심의 속도는 시스템을 형성하는 입자의 속도로 다음과 같이 표현됩니다.

이전 단락의 식 (6)에서 다음과 같이 이 식의 오른쪽에 있는 분자는 시스템 P의 전체 운동량을 포함하고 분모는 전체 질량 M입니다. 따라서 입자 시스템의 운동량은 같습니다. 전체 시스템의 질량 M과 질량 중심 속도의 곱

공식 (4)는 개별 입자의 운동량이 입자의 속도와 관련되는 것과 마찬가지로 시스템의 운동량이 질량 중심의 속도와 관련되어 있음을 보여줍니다. 이러한 의미에서 질량 중심의 움직임은 시스템 전체의 움직임을 특징짓습니다.

질량 중심의 운동 법칙.이전 단락의 식 (9)로 표현된 입자 시스템의 운동량 변화 법칙은 본질적으로 질량 중심의 운동 법칙입니다. 사실, (4)로부터 우리는 시스템의 총 질량이 M으로 일정하다는 것을 알 수 있습니다.

이는 계의 운동량 변화율이 계의 질량과 질량 중심의 가속도를 곱한 것과 같다는 것을 의미합니다. (5)를 공식 (6) § 29와 비교하면,

(6)에 따르면, 시스템의 질량 중심은 질량 M의 한 물질 지점이 시스템에 들어오는 입자에 작용하는 모든 외부 힘의 합과 동일한 힘의 영향을 받아 움직이는 것처럼 움직입니다. 특히, 외부 힘의 영향을 받지 않는 닫힌 물리계의 질량 중심은 관성 기준계 내에서 균일하고 직선적으로 움직이거나 정지해 있습니다.

많은 경우에 질량 중심에 대한 아이디어는 운동량 보존 법칙을 직접 사용하는 것보다 훨씬 더 간단하게 일부 질문에 대한 답을 얻는 것을 가능하게 합니다. 다음 예를 고려하십시오.

우주선 밖의 우주비행사.엔진이 꺼진 채 대량 우주선을 기준으로 정지해 있는 대량 우주비행사가 가벼운 안전 코드를 사용하여 우주선을 향해 몸을 끌어당기기 시작합니다. 우주비행사와 우주선 사이의 초기 거리가 다음과 같다면 만나기 전에 우주비행사와 우주선은 어느 정도 이동해야 할까요?

우주선과 우주비행사의 질량중심은 그들을 연결하는 직선 위에 위치하며, 이후 해당 거리는 질량에 반비례한다.

우리는 바로 그것을 얻을

외부 힘이 없는 깊은 우주에서 이 폐쇄계의 질량 중심은 정지 상태이거나 일정한 속도로 움직입니다. 그가 정지해 있는 기준계에서 우주비행사와 우주선은 만나기 전에 공식 (7)에 의해 주어진 거리를 여행할 것입니다.

그러한 추론의 타당성을 위해서는 관성 기준틀을 사용하는 것이 근본적으로 중요합니다. 여기서 우리가 참조 프레임을 무모하게 연결한다면 우주선, 그러면 우리는 우주비행사가 당겨지면 외부 힘이 없을 때 시스템의 질량 중심이 움직이기 시작한다는 결론에 도달하게 됩니다. 그는 우주선에 접근합니다. 질량 중심은 관성 기준계에 대해서만 속도를 유지합니다.

입자 시스템의 질량 중심 가속도를 결정하는 방정식 (6)에는 입자 시스템에 작용하는 내부 힘이 포함되지 않습니다. 이것은 내부 힘이 질량 중심의 움직임에 전혀 영향을 미치지 않는다는 것을 의미합니까? 외부 힘이 없거나 이러한 힘이 일정할 때 이는 실제로 그렇습니다. 예를 들어, 균일한 중력장에서 비행 중에 폭발한 발사체의 질량 중심은 파편이 아직 땅에 떨어지지 않을 때까지 동일한 포물선을 따라 계속 이동합니다.

내부 세력의 역할.외부 힘이 변할 수 있는 경우 상황은 다소 복잡해집니다. 외부 힘은 질량 중심이 아니라 시스템의 개별 입자에 작용합니다. 이러한 힘은 입자의 위치에 따라 달라질 수 있으며 이동 중 각 입자의 위치는 외부 및 내부 모두에 작용하는 모든 힘에 의해 결정됩니다.

이에 대해 같이 설명해보자. 간단한 예내부 힘의 영향으로 비행 중에 작은 조각으로 부서지는 발사체. 모든 조각이 비행하는 동안 이미 언급한 바와 같이 질량 중심은 동일한 포물선을 따라 계속 이동합니다. 그러나 파편 중 적어도 하나가 땅에 닿고 움직임이 멈추면 새로운 외부 힘, 즉 떨어진 파편에 작용하는 지구 표면의 반력이 추가됩니다. 결과적으로 질량 중심의 가속도가 변경되고 더 이상 동일한 포물선을 따라 움직이지 않습니다. 이 반력의 출현은 발사체를 폭발시키는 내부 힘의 작용의 결과입니다. 따라서 발사체가 파손되는 순간 내부 힘의 작용으로 인해 나중에 질량 중심이 이동하는 가속도가 변경되고 결과적으로 궤적이 변경될 수 있습니다.

질량 중심의 움직임에 대한 내부 힘의 영향에 대한 더욱 놀라운 예를 들어 보겠습니다. 지구의 위성을 상상해 봅시다.

내부 힘의 영향으로 원형 궤도를 중심으로 회전하며 두 부분으로 나뉩니다. 반쪽 중 하나가 멈추고 지구에 수직으로 떨어지기 시작합니다. 운동량 보존 법칙에 따르면 후반부는 현재 원에 접선 방향으로 속도를 두 배로 늘려야 합니다. 아래에서 볼 수 있듯이 이러한 속도로 이 절반은 지구에서 무한히 먼 거리로 날아갈 것입니다. 결과적으로 위성의 질량 중심, 즉 두 개의 반쪽도 지구로부터 무한히 먼 거리로 이동하게 됩니다. 그 이유는 위성이 두 부분으로 분할될 때 내부 힘의 작용 때문입니다. 그렇지 않으면 분할되지 않은 위성이 계속해서 원형 궤도를 따라 움직일 것이기 때문입니다.

제트 추진.닫힌 계의 운동량 보존 법칙을 이용하면 반작용의 원리를 쉽게 설명할 수 있습니다. 연료가 연소되면 연소실의 온도가 상승하고 고압이 발생하며, 이로 인해 생성된 가스가 로켓 엔진 노즐에서 고속으로 빠져나갑니다. 외부 자기장이 없으면 로켓의 총 운동량과 노즐에서 빠져나가는 가스는 변하지 않습니다. 따라서 가스가 유출되면 로켓은 반대 방향으로 속도를 얻습니다.

Meshchersky 방정식.우리는 로켓의 움직임을 설명하는 방정식을 얻습니다. 어떤 순간에 로켓이 어떤 관성 기준계에 속도를 갖게 된다면, 주어진 시간에 로켓이 정지해 있는 또 다른 관성 기준계를 소개하겠습니다. 그러한 참조 시스템을 comoving이라고 부르겠습니다. 작동하는 로켓 엔진이 일정 기간 동안 로켓에 상대적인 속도로 대량 가스를 방출하면 잠시 후 이 동반 시스템의 로켓 속도는 0과 다르며 다음과 같습니다.

고려 중인 닫힌 물리적 시스템인 로켓과 가스에 운동량 보존 법칙을 적용해 보겠습니다. 초기 순간에 동반된 기준 틀에서 로켓과 가스는 정지 상태이므로 총 운동량은 0입니다. 시간이 지나면 로켓의 운동량은 방출되는 가스의 운동량과 같습니다.

로켓 시스템과 가스의 총 질량은 보존되므로 방출된 가스의 질량은 로켓 질량의 손실과 같습니다.

이제 일정 기간으로 나눈 후 방정식 (8)은 다음과 같이 다시 작성됩니다.

한계까지 이동하면 외부 힘이 없을 때 가변 질량 몸체(로켓)의 운동 방정식을 얻습니다.

방정식 (9)는 오른쪽이 반력, 즉 방정식에서 빠져나가는 가스가 로켓에 작용하는 힘으로 간주되는 경우 뉴턴의 제2법칙 형태를 갖습니다. 여기서 로켓의 질량은 일정하지 않지만 시간이 지남에 따라 물질 손실로 인해 감소합니다. 즉, 반력; 옆으로 향했다 반대 속도로켓과 관련하여 노즐에서 빠져나가는 가스. 이 힘이 클수록 가스 흐름 속도가 빨라지고 단위 시간당 연료 소비도 높아지는 것을 알 수 있습니다.

방정식 (9)는 특정 관성 기준 시스템, 즉 동반 시스템에서 얻어졌습니다. 상대성 원리로 인해 다른 관성 기준계에서도 마찬가지입니다. 반력 외에도 중력 및 공기 저항과 같은 다른 외부 힘이 로켓에 작용하는 경우 방정식 (9)의 오른쪽에 추가해야 합니다.

이 방정식은 Meshchersky에 의해 처음 얻어졌으며 그의 이름을 따왔습니다. 특정 엔진 작동 모드에서 질량이 특정 알려진 시간 함수인 경우 Meshchersky 방정식을 사용하면 언제든지 로켓의 속도를 계산할 수 있습니다.

공식 (1)을 사용하여 질량 중심을 결정하는 것이 타당함을 나타내는 물리적 고려 사항은 무엇입니까?

질량 중심은 어떤 의미에서 입자 시스템 전체의 움직임을 특징짓는가?

상호 작용하는 물체 시스템의 질량 중심 운동 법칙은 무엇을 말합니까? 내부 힘이 질량 중심의 가속도에 영향을 줍니까?

내부 힘이 시스템의 질량 중심 궤적에 영향을 미칠 수 있습니까?

이전 단락에서 고려한 발사체 파열 문제에서 질량 중심의 운동 법칙을 사용하면 초기 속도가 수평인 경우 두 번째 조각의 비행 범위를 즉시 찾을 수 있습니다. 어떻게 해야 하나요? 초기 속도에 수직 성분이 있는 경우 이러한 고려 사항이 적용되지 않는 이유는 무엇입니까?

로켓이 가속되는 동안 엔진은 일정한 모드로 작동하므로 가스 흐름의 상대 속도와 단위 시간당 연료 소비량은 변하지 않습니다. 로켓의 가속도는 일정할까요?

공진 기준 좌표계 대신 로켓이 이미 속도를 갖고 있는 관성 좌표계를 사용하여 Meshchersky 방정식을 도출합니다.

치올코프스키 공식.로켓이 외부 힘이 작용하지 않는 자유 공간에서 가속한다고 가정해 보겠습니다. 연료가 소모되면 로켓의 질량이 감소합니다. 소비된 연료의 질량과 로켓이 얻는 속도 사이의 관계를 찾아봅시다.

엔진을 켜면 고정 로켓이 속도를 높이기 시작하여 직선으로 움직입니다. 투영한 벡터 방정식(9) 로켓의 이동 방향에 대해 우리는 다음을 얻습니다.

방정식 (11)에서 로켓의 질량을 로켓이 얻는 속도의 함수로 간주하면 시간에 따른 질량 변화율은 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

점 와 함께, 위치는 반경 벡터에 의해 결정됩니다.

~라고 불리는 질량 중심중요한 포인트 시스템. 여기 나- 무게 나번째 입자; 아르 자형 나- 이 입자의 위치를 지정하는 반경 벡터. - 시스템의 총 질량. (균일한 중력장에서 질량 중심은 시스템의 무게 중심과 일치합니다.)

차별화된 아르 자형 기음시간이 지나면 질량 중심의 속도를 알 수 있습니다.

어디 다섯 나- 속도 나-번째 재료 포인트, 피 나- 그녀의 충동, 피 – 재료 포인트 시스템의 추진력. (2.18)로부터 시스템의 총 운동량은 다음과 같습니다.

피 = 중 다섯기음, (2.19)

(2.19)와 (2.16)으로부터 질량 중심의 운동 방정식을 얻습니다.

(에이 기음– 질량 중심의 가속도). 따라서 Eq.

질량 중심은 시스템의 질량과 동일한 질량을 갖는 물질 점이 시스템의 몸체에 가해지는 모든 외부 힘의 합력에 따라 움직이는 것과 같은 방식으로 움직입니다. 폐쇄형 시스템의 경우 그리고 C = 0. 이는 다음을 의미합니다. 닫힌계의 질량중심은 직선적이고 균일하게 움직이거나 정지해 있다.

질량 중심이 정지해 있는 기준 시스템을 다음과 같이 부릅니다. 질량 중심 시스템(약어 ts-체계). 이 시스템은 관성입니다.

보안 질문

1. 뉴턴의 법칙은 어떤 기준 틀에서 유효합니까?

2. 뉴턴 제2법칙의 어떤 공식을 알고 있나요?

3. 자유 낙하하는 물체의 무게는 얼마입니까?

4. 마찰력과 물체 속도의 스칼라 곱의 부호는 무엇입니까?

5. 질량 중심 시스템에서 물질점 시스템의 운동량은 얼마입니까?

6. 질량을 갖는 물체의 질량중심의 가속도는 얼마인가? 중그리고 힘의 영향을 받고 있습니까?

1. 총알이 두 개의 인접한 액체 상자를 관통합니다. 먼저 글리세린이 들어 있는 상자와 물이 들어 있는 동일한 상자입니다. 상자를 바꾸면 총알의 최종 속도가 어떻게 변합니까? 유체 저항 외에 총알에 작용하는 다른 힘 에프 = – 아르 자형 다섯 , 소홀히 하다.

2. 물질점의 운동은 다음 방정식으로 표현됩니다. x =에이 티 3 , 와이 =비 티.

3. 재료 점의 속도는 방정식 u로 제공됩니다. x = 에이 ∙죄 티,유 y = A∙코스 티.점에 작용하는 힘이 다음과 같이 변경됩니까? a) 크기; b) 방향으로?

4. 긴 실에 매달린 공 엘, 수평으로 밀면 높이가 상승한 후 시간서클을 떠나지 않고. 속도가 0과 같을 수 있습니까? a) 언제 시간< l b) 언제 H>l?

5. 질량이 있는 두 몸체 티 1 >엠 2명은 같은 높이에서 떨어졌다. 저항력은 두 몸체 모두에 대해 일정하고 동일한 것으로 간주됩니다. 시체가 떨어지는 시간을 비교해 보세요.

6. 나사산으로 연결된 두 개의 동일한 막대가 수평력의 작용으로 수평면을 따라 이동합니다. 에프 . 스레드의 인장력은 다음에 따라 달라집니다. a) 막대의 질량; b) 막대와 평면 사이의 마찰 계수에 대해?

7. 질량 블록 중 1 = 1kg이 질량 블록 위에 놓여 있습니다. 중 2 = 2kg. 시간에 비례하여 증가하는 수평 힘이 하부 블록에 작용하기 시작했습니다. F= 3티(에프– N에서, 티- c)에서. 어느 시점에서 상단 블록이 미끄러지기 시작합니까? 막대 사이의 마찰 계수는 m = 0.1이고, 하단 막대와 지지대 사이의 마찰은 무시할 수 있습니다. 수용하다 g= 10m/초 2.

8. 공통점 0의 나사산에 매달린 두 개의 공 a와 b는 동일한 수평면에 있는 원형 궤적을 따라 균일하게 움직입니다. 각속도를 비교해보세요.

9. 원뿔형 깔때기가 일정한 각속도 w로 회전합니다. 벽의 깔때기 내부에는 원뿔의 모선을 따라 자유롭게 미끄러질 수 있는 몸체가 있습니다. 회전하는 동안 몸체는 벽에 대해 평형을 이룹니다. 이 균형은 안정적인가, 불안정한가?

제3장
일과 에너지

n개의 재료 포인트로 구성된 특정 시스템이 있다고 가정해 보겠습니다. 그 중 하나를 선택하여 질량을 m k로 표시해 보겠습니다. 한 지점에 적용된 외부 힘(활성 힘과 결합 반력 모두)은 결과적으로 F k e 를 갖습니다. 내부 힘에는 결과적인 Fkl이 있습니다. 우리 시스템이 움직이고 있으므로 원하는 지점은 가속도 a k를 갖게 됩니다. 역학의 기본 법칙을 알면 다음 공식을 작성할 수 있습니다.

m k a k = F k e + F k l .

이는 시스템의 모든 지점에 적용될 수 있습니다. 이는 전체 시스템에 대해 다음 방정식을 공식화할 수 있음을 의미합니다.

m 1 a 1 = F 1 e + F 1 l, m 2 a 2 = F 2 e + F 2 l, ⋯ m n a n = F n e + F n l.

이 공식은 시스템의 움직임을 벡터 형식으로 설명하는 미분 방정식으로 구성됩니다. 이러한 등식을 해당 좌표축에 투영하면 다음을 얻습니다. 미분방정식예측의 움직임. 그러나 특정 문제에서는 시스템의 각 지점의 움직임을 계산할 필요가 없는 경우가 대부분입니다. 전체 시스템의 움직임 특성으로 제한할 수 있습니다.

질량 중심의 운동: 주요 정리

시스템의 운동 특성은 시스템의 질량 중심이 움직이는 법칙을 알면 결정될 수 있습니다.

정의 1

시스템의 관성 중심(질량 중심)는 반경 벡터 R을 갖는 가상 점으로, 반경 벡터 r 1, r 2, …로 표현됩니다. . . 공식에 따른 해당 재료 포인트 R = m 1 r 1 + m 2 r 2 + . . . + m n r n m .

여기서는 분자 m = m 1 + m 2 +의 표시기 합계입니다. . . + m 3은 전체 시스템의 총 질량을 나타냅니다.

이 법칙을 찾으려면 이전 단락에 제공된 시스템의 운동 방정식에 오른쪽과 왼쪽을 추가해야 합니다. 우리가 얻는 것은:

∑ m k a k ̅ = ∑ F k ̅ e + ∑ F k ̅ l .

질량 중심의 반경 벡터에 대한 공식을 사용하면 다음을 얻습니다.

∑ m k r k = M r c .

이제 시간에 대해 이차 미분을 해보겠습니다.

∑ m k a k = M a c .

여기서 문자 a c ̅는 시스템의 질량 중심에 의해 획득된 가속도를 나타냅니다.

정의 2

시스템의 내부 힘의 속성에 따르면 F k l은 0과 같습니다. 이는 최종 동등성이 다음과 같다는 것을 의미합니다.

Mac ̅ = ∑ F k ̅ e .

이 방정식은 다음과 같이 작성됩니다. 질량 중심의 운동 법칙. 적어 봅시다:

시스템의 질량 중심의 이동은 시스템에 작용하는 모든 외부 힘이 적용되는 전체 시스템과 동일한 질량의 재료 지점의 이동과 동일합니다.

즉, 시스템의 질량 중심 가속도와 시스템 자체의 질량의 곱은 이 시스템에 작용하는 모든 외부 힘의 기하학적 합과 같습니다.

위에서 얻은 방정식을 취하고 오른쪽과 왼쪽을 해당 좌표축에 투영해 보겠습니다. 우리는 다음을 얻을 것입니다:

M x c ¨ = ∑ F k x ̅ e , M y c ¨ = ∑ F k y ̅ e , M z c ¨ = ∑ F k z ̅ e .

이러한 등식은 데카르트 좌표계의 축에 투영할 때 질량 중심의 운동에 대한 미분 방정식입니다.

이 정리는 실용적인 가치가 크다. 그것이 정확히 무엇인지 설명해 보겠습니다.

정리 1

병진 운동하는 모든 물체는 질량이 전체 몸체의 질량과 동일한 물질 점으로 간주될 수 있습니다. 다른 모든 경우에 이러한 접근 방식은 공간에서 신체의 위치를 결정하기 위해 질량 중심이 어떤 위치에 있는지 아는 것으로 충분할 때만 가능합니다. 문제의 조건이 신체 움직임의 회전 부분을 배제하는 것을 허용하는 것도 중요합니다.
시스템의 질량 중심 운동 정리를 사용하면 문제가 발생하기 전에 미리 알려지지 않은 내부 힘을 고려할 수 없습니다.

실제 문제를 해결하기 위해 정리를 적용하는 예를 살펴보겠습니다.

실시예 1

상태:금속 링은 나사산에 의해 원심 분리기 축에 매달려 있습니다. 균일하게 만들어준다 회전 운동각속도는 Ω와 같습니다. 링의 중심이 회전축에서 얼마나 떨어져 있는지 계산합니다.

해결책

시스템이 중력 N N ̅ α α 의 영향을 받고 있다는 것은 명백합니다. 실의 장력과 구심 가속도도 고려해야 합니다.

시스템에 대한 뉴턴의 두 번째 법칙은 다음과 같습니다.

m a ̅ = N ̅ + m g ̅ .

이제 가로축과 세로축에 평등의 양쪽 투영을 만들고 다음을 얻습니다.

N 죄 α = m a ; N cosα = mg .

하나의 방정식을 다른 방정식으로 나눌 수 있습니다.

a = υ 2 R, υ = Ω R이므로 필요한 방정식은 다음과 같습니다.

R = gtg α Ω 2 .

답변: R = gtg α Ω 2 .

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시스템 운동의 미분 방정식

$n$ 재료 포인트로 구성된 시스템을 고려해 보겠습니다. 질량이 $m_(k)인 시스템의 어떤 점을 선택해 보겠습니다. $\overline(F)_(k)^(e) 점에 적용된 모든 외부 힘(활성 및 구속 반응 모두)의 결과를 나타냅니다. ) $, 결과적인 모든 내부 힘 - $\overline(F)_(k)^(l) $를 통해. 점에 가속도 $\overline(a_(k) )$가 있으면 동역학의 기본 법칙에 따라 다음과 같습니다.

어떤 지점에서든 비슷한 결과를 얻습니다. 따라서 전체 시스템에는 다음이 포함됩니다.

방정식 (1)은 벡터 형태의 시스템 운동의 미분 방정식입니다.

등식(1)을 좌표 축에 투영하면 이 축에 투영하여 미분 형태로 시스템의 운동 방정식을 얻습니다.

그러나 많은 구체적인 문제를 해결할 때 시스템의 각 지점에 대한 운동 법칙을 찾아야 할 필요성은 발생하지 않지만 때로는 전체 시스템의 운동을 결정하는 특성을 찾는 것으로 충분할 때도 있습니다.

시스템의 질량 중심 운동에 관한 정리

시스템의 운동 특성을 결정하려면 질량 중심의 운동 법칙을 알아야 합니다. 시스템의 질량 중심 또는 관성 중심은 가상의 점이며, 반경 벡터 $R$는 다음과 같이 재료 점의 반경 벡터 $r_(1) ,r_(2) ,...$를 통해 표현됩니다. 공식에:

$R=\frac(m_(1) r_(1) +m_(2) r_(2) +...+m_(n) r_(n) )(m) $, (2)

여기서 $m=m_(1) +m_(2) +...+m_(n) $는 전체 시스템의 총 질량입니다.

이 법칙을 찾기 위해 시스템 (1)의 운동 방정식으로 돌아가 왼쪽과 오른쪽 항을 항별로 추가해 보겠습니다. 그러면 우리는 다음을 얻습니다:

$\sum m_(k) \overline(a)_(k) =\sum \overline(F)_(k)^(e) +\sum \overline(F)_(k)^(l) $. (3)

공식 (2)로부터 우리는 다음을 얻습니다:

시간에 대해 2차 미분을 취하면 다음을 얻습니다.

$\sum m_(k) \overline(a)_(k) =M\overline(a)_(c) $, (4)

여기서 $\overline(a)_(c) $는 시스템 질량 중심의 가속도입니다.

시스템의 내부 힘의 속성 $\sum \overline(F)_(k)^(l) =0$에 따라 (4)를 고려하여 최종적으로 등식(3)을 얻습니다.

$M\overline(a)_(c) =\sum \overline(F)_(k)^(e) $. (5)

방정식 (5)는 시스템의 질량 중심 운동에 대한 정리를 표현합니다. 시스템의 질량과 질량 중심의 가속도의 곱은 시스템에 작용하는 모든 외부 힘의 기하학적 합과 같습니다. 또는 시스템의 질량 중심은 질량이 전체 시스템의 질량과 동일하고 모든 외부 힘이 시스템에 작용하는 힘이 적용되는 물질 지점처럼 움직입니다.

등식(5)의 양쪽을 좌표축에 투영하면 다음을 얻습니다.

$M\ddot(x)_(c) =\sum \overline(F)_(kx)^(e) $, $M\ddot(y)_(c) =\sum \overline(F)_( ky)^(e) $, $M\ddot(z)_(c) =\sum \overline(F)_(kz)^(e) $. (6)

이 방정식은 데카르트 좌표계의 축에 대한 투영에서 질량 중심의 운동에 대한 미분 방정식입니다.

정리의 의미는 다음과 같습니다.

정리

점진적으로 움직이는 물체는 항상 물체의 질량과 동일한 질량을 갖는 물질적 점으로 간주될 수 있습니다. 다른 경우에는 실제로 신체의 위치를 결정하기 위해 질량 중심의 위치를 아는 것으로 충분하고 문제의 조건에 따라 허용되는 경우에만 신체를 중요한 지점으로 간주할 수 있습니다. , 신체 움직임의 회전 부분을 고려하지 않습니다.
정리를 통해 이전에 알려지지 않은 모든 내부 힘을 고려에서 제외할 수 있습니다. 이것이 실용적인 가치입니다.

예

원심 기계의 축에 나사산에 매달린 금속 링이 각속도 $\omega $로 균일하게 회전합니다. 스레드는 축과 각도 $\alpha $를 만듭니다. 링의 중심에서 회전축까지의 거리를 구합니다.

\[\오메가 \] \[\알파 \]

우리 시스템은 중력 $\overline(N)$ $\overline(N)$ $\alpha \alpha$, 실의 장력, 구심 가속도의 영향을 받습니다.

우리 시스템에 대한 뉴턴의 두 번째 법칙을 적어 보겠습니다.

두 부분을 모두 x축과 y축에 투영해 보겠습니다.

\[\left\( \begin(array)(c) N\sin \alpha =ma; \\ N\cos \alpha =mg; \end(array) \right.(4)\]

하나의 방정식을 다른 방정식으로 나누면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

$a=\frac(v^(2) )(R) ;$$v=\omega R$이므로 필요한 거리를 구합니다.

답: $R=\frac(gtg\alpha )(\omega ^(2) ) $

기계 시스템은 동작이 분석되는 사전 선택된 임의의 재료 본체 세트입니다.

앞으로는 다음 규칙이 사용될 것입니다. 수학적 계산에서 물질의 특성에 따라 물질의 특성이 색인을 갖게 됩니다.

BODY MASS는 주어진 몸체를 구성하는 모든 물질 포인트의 질량의 합입니다.

외부 힘은 다음에 포함된 물질 지점 간의 상호 작용 힘입니다. 기계 시스템그리고 포함되지 않습니다.

내부 힘은 기계 시스템에 포함된 재료 지점 간의 상호 작용 힘입니다.

정리 D1. 기계 시스템의 내부 힘의 합은 항상 0입니다..

증거. 공리 D5에 따르면, 기계 시스템의 모든 재료 점 쌍에 대해 상호 작용력의 합은 항상 0과 같습니다. 그러나 모든 상호 작용 지점은 시스템에 속하므로 내부 힘에 대해 항상 반대되는 내부 힘이 있습니다. 따라서 모든 내부 힘의 총합은 필연적으로 0입니다. 등.

정리 D2.기계 시스템의 내부 힘 모멘트의 합은 항상 0과 같습니다..

증거. 공리 D5에 따르면, 모든 내부 힘에는 반대되는 내부 힘이 있습니다. 이러한 힘의 작용선이 일치하기 때문에 공간의 모든 지점에 대한 어깨는 동일하므로 공간에서 선택한 지점에 대한 모멘트의 크기는 동일하지만 부호는 다릅니다. 반대 방향으로 향하고 있습니다. 결과적으로 모든 내부 힘의 모멘트의 총합은 반드시 0입니다. 등.

정리 D3.전체 기계 시스템의 질량과 질량 중심의 가속도의 곱은 시스템에 작용하는 모든 외부 힘의 합과 같습니다.

증거. 유한한 수의 물질체로 구성된 임의의 기계 시스템을 고려해 보겠습니다. 공리 D2를 기반으로 각 몸체를 유한한 수의 재료 점으로 나눌 수 있습니다. 모든 것을 받아들이게 하라 N그런 점. 이러한 각 점에 대해 공리 D4를 기반으로 운동 방정식을 만들 수 있습니다.

그것을 고려하면 (KINEMATICS p. 3) 뿐만 아니라 물체에 작용하는 모든 힘을 분해합니다. 나번째 점, 외부 및 내부로 우리는 이전 평등으로부터 얻습니다.