전기장의 중첩 원리 공식화. 전계 강도

쌍극자 암 - 쌍극자 축을 따라 음전하에서 양전하로 향하고 그 사이의 거리와 같은 벡터.

쌍극자 p e의 전기 모멘트- 쌍극자 암과 방향이 일치하고 전하 계수와 암의 곱과 같은 벡터:

허락하다 아르 자형- 쌍극자 축의 중앙에서 점 A까지의 거리. 그럼, 주어진 르>> 나.

2) 필드 강도 수직선의 점 B에서,에서 중간에서 쌍극자 축으로 복원 ㄹ'>> ㄹ.

그렇기 때문에

전하의 상호 작용은 하전 입자에 의해 생성된 특수한 종류의 물질을 통해 수행됩니다. 전기장 . 전하가 주변 공간의 속성을 변경합니다. 이것은 대전된 물체 근처에 또 다른 전하가 있다는 사실에서 나타납니다(이를 재판) 힘이 작용합니다(그림 2). 이 힘의 크기에 따라 전하에 의해 생성된 필드의 "강도"를 판단할 수 있습니다. 큐. 시험 전하에 작용하는 힘이 공간의 주어진 지점에서 전기장을 정확하게 특성화하기 위해서는 시험 전하가 분명히 다음과 같아야 합니다. 핀 끝.

그림 2

테스트 충전을 하면 큐 등어느 정도 거리에서 아르 자형요금에서 큐(그림 2), 힘이 작용한다는 것을 알 수 있습니다. 그 크기는 취한 시험 전하의 크기에 따라 다릅니다. 큐 등 .

엘
그러나 모든 테스트 요금에 대한 비율이 에프/ 큐 등 동일하며 값에만 의존합니다. 큐그리고 아르 자형, 전하장을 결정 큐이 지점에서 아르 자형. 그러므로 이 비율을 "강도"를 특징짓는 양으로 취하는 것이 자연스럽습니다. 긴장 전기장(이 경우 전기장 포인트 차지):

.

따라서 전기장의 세기는 전력 특성 . 수치적으로는 시험 전하에 작용하는 힘과 같습니다. 큐 등 = 주어진 필드에 +1 배치.

필드 강도 - 벡터 . 그 방향은 방향과 같다. 힘 벡터 이 필드에 배치된 점 전하에 작용합니다. 그러므로 만약 전기장에서 포인트 차지 큐, 그러면 힘이 작용할 것입니다.

SI 단위의 전계 강도 차원:
.

전기장은 다음을 사용하여 편리하게 묘사됩니다. 힘의 선 . 힘의 선은 각 점에서의 접선 벡터가 그 점에서 전기장 세기 벡터의 방향과 일치하는 선입니다. 일반적으로 힘의 선은 양전하에서 시작하여 음전하에서 끝나며(또는 무한대로 이동) 어느 곳에서도 중단되지 않습니다.

전기장은 순종한다 중첩 원리 (추가), 다음과 같이 공식화할 수 있습니다. 전하 시스템에 의해 공간의 특정 지점에서 생성된 전기장의 세기는 공간의 동일한 지점에서 각각의 전하에 의해 개별적으로 생성된 전기장의 세기의 벡터 합과 같습니다.

.

1. 정전기장의 힘의 작용, 전위. 정전기력의 보수성, e와  사이의 관계. 포인트 및 분산 전하의 잠재력.

쿨롱의 법칙에 따르면 점전하에 작용하는 힘은 다음과 같다. 큐다른 전하에 의해 생성된 전기장에서 본부 . 기억해 본부어떤 고정점을 연결하는 반경 벡터를 따라 작용하는 작용선이 작용하는 힘이 호출됩니다. 영형(필드 센터) 궤적의 모든 지점. 모든 것이 역학에서 알려져 있습니다. 중앙군 ~이다 잠재적인 . 이 세력의 작용 의존하지 않는다그들이 행동하는 신체의 운동 경로의 형태에, 그리고 영닫힌 윤곽(이동 경로)을 따라. 정전기 장에 적용될 때:

.

즉, 필드 힘의 작업은 전하를 이동시킵니다. 큐점 1에서 점 2로 이동 경로의 모양에 관계없이 점 2에서 점 1로 전하를 이동시키는 작업과 크기는 같고 부호는 반대입니다. 따라서 전하의 이동에 대한 전계력의 작용은 이동 경로의 초기 및 최종 지점에서 전하의 잠재적 에너지의 차이로 나타낼 수 있습니다.

.

소개하자 잠재적인 정전기장 φ , 관계로 설정:

, (SI 차원:
).

그 다음에 일하다 야전군포인트 차지를 이동하여 큐포인트 1에서 포인트 2는 다음과 같습니다.

잠재적 차이
전압이라고 합니다. 전위뿐만 아니라 전압의 차원, [U] = B.

무한대에는 전기장이 없다고 가정하고 따라서
. 이것은 당신이 줄 수 있습니다 잠재력 식별 어떻게 해야 할 일, 전하를 옮기다큐= 무한대에서 공간의 주어진 지점까지 +1.따라서 전기장의 전위는 에너지 기능.

중첩 원리

3점 요금이 있다고 가정해 보겠습니다. 이러한 요금은 상호 작용합니다. 실험을 수행하고 각 전하에 작용하는 힘을 측정할 수 있습니다. 두 번째와 세 번째가 하나의 전하에 작용하는 총 힘을 찾으려면 평행 사변형 규칙에 따라 각각이 작용하는 힘을 더할 필요가 있습니다. 힘이 쿨롱의 법칙에 따라 계산된다면, 각각의 전하에 작용하는 측정된 힘이 다른 두 전하의 힘의 합과 같은지 여부에 대한 질문이 발생합니다. 연구에 따르면 측정된 힘은 두 전하의 측면에서 쿨롱 법칙에 따라 계산된 힘의 합과 같습니다. 이러한 경험적 결과는 진술 형식으로 표현됩니다.

• 다른 전하가 존재하는 경우 두 점 전하의 상호 작용력은 변경되지 않습니다.
• 두 점 전하가 점 전하에 작용하는 힘은 다른 점 전하가 없을 때 각 점 전하가 점 전하에 작용하는 힘의 합과 같습니다.

이 진술을 중첩의 원리라고 합니다. 이 원리는 전기 교리의 기초 중 하나입니다. 쿨롱의 법칙만큼 중요합니다. 일련의 혐의에 대한 일반화는 명백합니다. 필드의 여러 소스(전하 수 N)가 있는 경우 테스트 전하 q에 작용하는 결과적인 힘은 다음과 같이 찾을 수 있습니다.

\[\overrightarrow(F)=\sum\limits^N_(i=1)(\overrightarrow(F_(ia)))\left(1\right),\]

여기서 $\overrightarrow(F_(ia))$는 다른 N-1 전하가 없는 경우 전하 $q_i$가 전하 q에 작용하는 힘입니다.

중첩의 원리(1)는 점 전하 사이의 상호 작용 법칙을 사용하여 유한 크기의 몸체에 있는 전하 사이의 상호 작용력을 계산할 수 있도록 합니다. 이를 위해서는 각각의 전하를 점전하로 간주할 수 있는 작은 전하 dq로 나누고 쌍으로 취하고 상호작용력을 계산하고 결과적인 힘의 벡터 가산을 수행해야 합니다.

중첩 원리의 현장 해석

중첩의 원리에는 장 해석이 있습니다. 두 점 전하의 전계 강도는 다른 전하가 없을 때 각 전하에 의해 생성되는 강도의 합과 같습니다.

일반적으로 강도에 대한 중첩의 원리는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

\[\overrightarrow(E)=\sum(\overrightarrow(E_i))\left(2\right).\]

여기서 $(\overrightarrow(E))_i=\frac(1)(4\pi (\varepsilon )_0)\frac(q_i)(\varepsilon r^3_i)\overrightarrow(r_i)\ $- i의 강도- th point charge, $\overrightarrow(r_i)\ $- i번째 전하에서 공간상의 한 점까지의 반경 벡터. 식 (1)은 임의의 수의 점 전하의 전계 강도가 다른 점 전하가 없는 경우 각 점 전하의 전계 강도의 합과 같다는 것을 의미합니다.

중첩의 원리는 매우 높은 전계 강도까지 관찰된다는 것이 엔지니어링 실습에 의해 확인되었습니다. 원자와 핵의 장은 ($(10)^(11)-(10)^(17)\frac(B)(m)$ 정도의 매우 중요한 강도를 가지고 있지만 중첩의 원리는 다음과 같습니다. 또한 원자의 에너지 준위 계산에 사용되며 계산 데이터는 실험 데이터와 매우 정확하게 일치했습니다. 그러나 매우 작은 거리($\sim (10)^(-15)m$ 정도)와 극도로 강한 분야중첩의 원칙이 성립하지 않을 수 있습니다. 따라서 예를 들어 무거운 핵의 표면에서 강도는 $\sim (10)^(22)\frac(B)(m)$ 정도에 이르고 중첩 원리는 충족되지만 강도 $( 10)^(20)\frac(B )(m)$ 양자 역학 비선형 상호 작용이 발생합니다.

전하가 지속적으로 분포하는 경우(불연속성을 고려할 필요가 없음) 총 전계 강도는 다음과 같이 찾을 수 있습니다.

\[\overrightarrow(E)=\int(d\overrightarrow(E))\ \left(3\right).\]

식 (3)에서 적분은 전하 분포 영역에서 수행됩니다. 전하가 선($\tau =\frac(dq\ )(dl)-linear\density\distribution\charge$)을 따라 분포되면 (3)의 적분이 선을 따라 수행됩니다. 전하가 표면에 분포되어 있고 표면 밀도$\sigma =\frac(dq\ )(dS)$ 분포, 그 다음 표면에 대해 적분합니다. 체적 전하 분포: $\rho =\frac(dq\ )(dV)$, 여기서 $\rho $는 체적 전하 분포 밀도입니다.

중첩의 원리는 기본적으로 알려진 공간 전하 분포에서 공간의 모든 지점에 대해 $\overrightarrow(E)$를 결정할 수 있도록 합니다.

실시예 1

과제: 같은 점전하 q가 변이 a인 정사각형의 꼭짓점에 있습니다. 다른 세 전하로부터 각 전하에 어떤 힘이 작용하는지 결정하십시오.

정사각형 상단의 전하 중 하나에 작용하는 힘을 묘사해 봅시다(전하가 같기 때문에 선택은 중요하지 않습니다)(그림 1). 전하 $q_1$에 작용하는 결과적인 힘을 다음과 같이 씁니다.

\[\overrightarrow(F)=(\overrightarrow(F))_(12)+(\overrightarrow(F))_(14)+(\overrightarrow(F))_(13)\ \left(1.1\right ).\]

$(\overrightarrow(F))_(12)$ 및 $(\overrightarrow(F))_(14)$ 힘은 절대값이 같고 다음과 같이 찾을 수 있습니다.

\[\left|(\overrightarrow(F))_(12)\right|=\left|(\overrightarrow(F))_(14)\right|=k\frac(q^2)(a^2 )\ \왼쪽(1.2\오른쪽),\]

여기서 $k=9 (10)^9\frac(Nm^2)((Kl)^2).$

우리는 정사각형의 대각선이 다음과 같다는 것을 알고 쿨롱 법칙을 사용하여 힘 계수 $(\overrightarrow(F))_(13)$를 찾을 것입니다.

따라서 우리는 다음을 가지고 있습니다.

\[\left|(\overrightarrow(F))_(13)\right|=k\frac(q^2)(2a^2)\ \left(1.4\right)\]

그림 1과 같이 OX 축을 지시합시다. 1, 우리는 방정식 (1.1)을 설계하고 얻은 힘 모듈을 대체하여 다음을 얻습니다.

답: 정사각형의 꼭짓점에서 각 전하에 작용하는 힘은 다음과 같습니다. $F=\frac(kq^2)(a^2)\left(\frac(2\sqrt(2)+1)(2 )\오른쪽) .$

실시예 2

과제: 전하가 균일한 선형 밀도 $\tau $로 가는 실을 따라 균일하게 분포됩니다. 연속되는 스레드의 끝에서 $a$ 거리에 있는 필드 강도에 대한 표현식을 찾으십시오. 스레드 길이는 $l$입니다.

우리는 스레드에서 포인트 충전 $dq$를 선택하고 쿨롱 법칙에서 정전기장의 강도에 대한 표현식을 작성합니다.

주어진 지점에서 모든 장력 벡터는 X축을 따라 같은 방향으로 향하므로 다음을 얻습니다.

문제의 조건에 따라 전하가 선형 밀도 $\tau $인 스레드에 균일하게 분포되기 때문에 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

(2.4)를 방정식 (2.1)에 대입하고 다음을 통합합니다.

답변: 지정된 지점에서 스레드의 필드 강도는 다음 공식으로 계산됩니다. $E=\frac(k\tau l)(a(l+a)).$

정전기가 자체적으로 설정하는 작업 중 하나는 공간에서 주어진 고정 전하 분포에 대한 필드 매개변수를 추정하는 것입니다. 그리고 중첩의 원리는 그러한 문제를 해결하기 위한 옵션 중 하나입니다.

중첩 원리

서로 상호 작용하는 세 개의 점 전하가 있다고 가정합니다. 실험의 도움으로 각 전하에 작용하는 힘을 측정할 수 있습니다. 두 개의 다른 전하가 한 전하에 작용하는 총 힘을 찾으려면 평행사변형 규칙에 따라 이 두 전하 각각의 충격력을 더해야 합니다. 동시에 질문은 논리적입니다. 힘이 쿨롱 법칙에 따라 계산되는 경우 각 전하에 작용하는 측정된 힘과 다른 두 전하의 측면에서 오는 힘의 총합은 서로 같습니다. 연구 결과는 이 질문에 대한 긍정적인 대답을 보여줍니다. 실제로 측정된 힘은 다른 전하로부터 쿨롱 법칙에 따라 계산된 힘의 합과 같습니다. 이 결론은 일련의 진술로 작성되며 중첩의 원리라고 합니다.

정의 1

중첩 원리:

• 다른 전하가 존재하는 경우 두 점 전하의 상호 작용력은 변경되지 않습니다.
• 다른 두 점 전하로부터 점 전하에 작용하는 힘은 다른 점 전하가 없을 때 각 점 전하로부터 작용하는 힘의 합과 같습니다.

전하장의 중첩 원리는 전기와 같은 현상을 연구하는 기초 중 하나입니다. 그 중요성은 쿨롱의 법칙의 중요성과 비슷합니다.

전하 세트 N(즉, 필드의 여러 소스)에 대해 이야기할 때 테스트 전하가 경험하는 총 힘 큐는 다음 공식에 의해 결정될 수 있습니다.

F → = ∑ i = 1 N F i a → ,

여기서 F i →는 전하가 영향을 받는 힘입니다. 큐요금 q i 다른 N - 1 전하가 없는 경우.

점전하 사이의 상호작용 법칙을 이용한 중첩의 원리를 이용하여 유한한 크기의 물체에 존재하는 전하 사이의 상호작용력을 결정할 수 있다. 이를 위해 각 전하는 작은 전하 d q(우리는 그것들을 포인트 전하로 간주할 것입니다)로 나누어 쌍으로 취합니다. 상호작용력이 계산되고 최종적으로 얻은 힘의 벡터 가산이 수행됩니다.

중첩 원리의 현장 해석

현장 해석: 두 점 전하의 전계 강도는 다른 전하가 없을 때 각 전하에 의해 생성된 강도의 합입니다.

일반적인 경우 강도에 대한 중첩의 원리는 다음과 같습니다.

전자 → = ∑ 전자 → ,

여기서 E i → = 1 4 π ε 0 q i ε r i 3 r i → i 번째 점 전하의 강도, r i → - i 번째 전하에서 공간의 특정 점까지 그린 벡터의 반경입니다. 이 공식은 임의의 수의 점 전하의 전계 강도가 다른 점 전하가 없는 경우 각 점 전하의 전계 강도의 합이라는 것을 알려줍니다.

엔지니어링 관행은 매우 높은 전계 강도에 대해서도 중첩 원리의 준수를 확인합니다.

원자와 핵의 장은 상당한 크기의 강도(10 11 - 10 17 V·m 정도)를 갖지만, 이 경우 중첩의 원리는 에너지 준위를 계산하는 데도 사용되었습니다. 이 경우 계산 결과는 높은 정확도로 실험 데이터와 일치했습니다.

그럼에도 불구하고 매우 작은 거리(~10 - 15m 정도)와 극도로 강한 필드의 경우 중첩 원리가 적용되지 않을 수 있습니다.

실시예 1

예를 들어, ~ 10 22 V m 정도의 강도에서 무거운 핵의 표면에서 중첩 원리가 충족되고 10 20 V m의 강도에서 양자 역학 상호 작용 비선형성이 발생합니다.

전하 분포가 연속적일 때(즉, 불연속성을 고려할 필요가 없음) 총 전계 강도는 다음 공식으로 제공됩니다.

E → = ∫ d E → .

이 표기법에서 적분은 전하 분포 영역에서 수행됩니다.

• 선을 따라 전하를 분배할 때(τ = d q d l은 선형 전하 분포 밀도임), 적분은 선을 따라 수행됩니다.
• 표면에 전하를 분배할 때(σ = d q d S는 표면 분포 밀도), 적분은 표면에 대해 수행됩니다.
• 체적 전하 분포(ρ = d q d V는 체적 분포 밀도)에서 적분은 체적에 대해 수행됩니다.

중첩의 원리는 알려진 유형의 공간 전하 분포를 가진 공간의 모든 지점에 대해 E →를 찾는 것을 가능하게 합니다.

동일한 점 전하 q가 주어지면 변이 a인 정사각형의 꼭짓점에 위치합니다. 다른 세 가지 전하로부터 각 전하에 어떤 힘이 작용하는지 결정하는 것이 필요합니다.

해결책

그림 1에서 정사각형의 꼭짓점에서 주어진 전하에 영향을 미치는 힘을 보여줍니다. 요금은 동일하다는 조건이므로 어느 쪽이든 예시용으로 선택할 수 있습니다. 전하 q 1에 영향을 미치는 합산력을 기록해 봅시다.

F → = F 12 → + F 14 → + F 13 → .

힘 F 12 → 및 F 14 → 절대값이 같으므로 다음과 같이 정의합니다.

F 13 → = k q 2 2 a 2 .

그림 1

이제 O X 축의 방향을 설정하고(그림 1), F → = F 12 → + F 14 → + F 13 → 방정식을 설계하고 위에서 얻은 힘 모듈을 여기에 대입한 다음:

F = 2 k q 2 a 2 2 2 + k q 2 2 a 2 = k q 2 a 2 2 2 + 1 2 .

대답:정사각형의 꼭짓점에 있는 각 전하에 작용하는 힘은 F = k q 2 a 2 2 2 + 1 2 입니다.

실시예 3

가는 실을 따라 균일하게 분포된 전하가 제공됩니다(선형 밀도 τ). 연속을 따라 스레드 끝에서 멀리 떨어진 곳에서 전계 강도를 결정하는 표현식을 기록해야합니다. 나사 길이 - l .

그림 2

해결책

첫 번째 단계는 스레드에 포인트 차지를 할당하는 것입니다. 디큐. 쿨롱 법칙에 따라 정전기장의 강도를 나타내는 기록을 작성해 보겠습니다.

d E → = k d q r 3 r → .

주어진 지점에서 모든 장력 벡터는 OX 축을 따라 같은 방향을 가지며 다음과 같습니다.

d E x = k d q r 2 = d E .

문제의 조건은 전하가 주어진 밀도로 스레드를 따라 균일한 분포를 갖는 것으로 주어지며 다음과 같이 작성합니다.

우리는 이 항목을 정전기장의 강도에 대해 이전에 작성된 표현으로 대체하고 통합하고 다음을 얻습니다.

E = k ∫ a l + a τ d r r 2 = k τ - 1 r a l + a = k τ l a (l + a) .

대답:지정된 지점의 전계 강도는 공식 E = k τ l a (l + a) 에 의해 결정됩니다.

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